Luova ja jäljittelevä päättely lukion derivaatta …...Derivoiminen koettiin mekaaniseksi...
Transcript of Luova ja jäljittelevä päättely lukion derivaatta …...Derivoiminen koettiin mekaaniseksi...
Pro gradu -tutkielma
Toukokuu 2017
Fysiikan ja matematiikan laitos
Itä-Suomen yliopisto
Luova ja jäljittelevä päättely lukion
derivaatta -kurssin oppikirjassa
Eetu Käsnänen
Eetu Käsnänen Luova ja jäljittelevä päättely lukion derivaatta -kurssin
oppikirjassa.
Itä-Suomen yliopisto
Matematiikan aineenopettajakoulutus
Fysiikan ja matematiikan laitos
Työn ohjaaja Tutkijatohtori Antti Viholainen
Tiivistelmä
Tutkimuksella haluttiin selvittää sisältääkö lukion uuden opetussuunnitelman (2015)
mukaisesti koottu oppikirja tarpeeksi luovuutta vaativia tehtäviä ja hyödynnetäänkö
niissä tarpeeksi teknologiaa. Tutkimukseen sisältyi sekä kvantitatiivinen että
kvalitatiivinen analyysi.
Kvantitatiiviseen tutkimukseen valittiin oppikirjan joka toinen tehtävä, ja ne analysoitiin
käyttämällä tutkimusmenetelmissä esitettyä analysointityökalua. Tehtävät luokiteltiin
niiden vaatimien päättelytapojen mukaisesti luokkiin malliratkaisujen, kirjan esimerkkien
ja teorian perusteella. Tutkitut päättelytavat olivat muistamiseen (MR), algoritmiseen
(AR), lokaaliin luovaan (LCR) ja globaaliin luovaan päättelyyn (GCR) perustuvia.
Lisäksi oppikirjan käyttämää tehtävien luokittelua ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja
syventäviin tehtäviin verrattiin niiden sisältämiin päättelytapoihin.
Kvalitatiiviseen tutkimukseen valittiin jokaisesta edellä mainitusta päättelytavasta yksi,
ja niitä analysoitiin teoreettisen viitekehyksen avulla. Lisäksi tarkasteltiin myös
teknologian hyödyntämistä tehtävien ratkaisun tukena.
Tutkimus osoitti, vastoin hypoteesia, että oppikirjan tehtävät sisältävät luovaa päättelyä
enemmän kuin jäljittelevää päättelyä. Jäljittelevää päättelyä vaati noin kolmasosa
oppikirjan luokitelluista tehtävistä ja loput vaativat ainakin osakseen luovaa päättelyä.
Oppikirja vastaa näin opetussuunnitelman perusteiden (2015) asettamia vaatimuksia.
Oppikirjan tehtävät olivat suurelta osin monipuolisia ja niissä tutkittiin huomattavasti
arkielämän ilmiöitä.
Abstract
The aim of the study was to find out whether the textbook compiled by the new
curriculum (2015) contains a sufficient degree of creativity and technology. The study
included both quantitative and qualitative analysis.
In the quantitative study, every second exercise was selected from the textbook and was
analysed using the analytical tool which is presented in the research methods chapter.
Tasks were categorized according the reasoning they required, based on model solutions,
book examples and theory. The study methods discussed were memorization (MR),
algorithmic (AR), local based (LCR) and global creative reasoning (GCR). Additionally,
the classification of assignments used in the textbook for core tasks, strengthening tasks,
and advanced tasks was compared with the reasoning they contained.
For each of the abovementioned reasoning methods, one exercise was chosen from each
category and exercises were analysed using the theoretical framework. In addition,
technology utilization was considered to support the solution of task.
The study showed, contrary to the hypothesis, that the exercises of the textbook contain
creative reasoning more than imitative reasoning. Imitative reasoning was required in
about one third of the classified tasks of the textbook, and the rest required at least in
some part creative reasoning. The textbook thus obeys the curriculum (2015) criteria. The
tasks of the book were largely versatile and they were often connected to everyday life
phenomena.
Esipuhe
Halusin kirjoittaa didaktisen gradun, sillä valmistun opettajaksi ja koen sen palvelevan
tulevaa ammattiani matemaattista gradua paremmin. Pohtiessani tutkielmani aihetta
minulla ei ollut mielessäni valmista aihetta. Lopullinen aihe muotoutui muutamien
tapaamisten aikana ohjaajani kanssa. Aiheen selvittyä tutkielman aloittaminen kesti oman
aikansa, mutta päästessäni vauhtiin sujui sen tekeminen lähes vaivattomasti.
Opinnot alkavat olemaan paketissa ja on aika esittää kiitokset. Haluan kiittää kaikkia
suurenmoisia opiskelukavereita mahtavasta opiskeluajasta. Suuri kiitos avopuolisolleni
Elina Hallikaiselle tuesta ja rohkaisusta gradun kirjoittamisessa ja muutenkin opinnoissa.
Kiitos Antti Viholaiselle tutkielmani ohjaamisesta ja viisaista sanoista.
Joensuussa 19. toukokuuta 2017 Eetu Käsnänen
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Teoria 4
Matematiikan kompetenssit 4
Luovuus 6
Ongelmanratkaisu 7
Päättelytavat 9
Derivaatan oppiminen 11
Aiemmat tutkimukset 12
3 Tutkimusmenetelmät 14
Oppikirjan yleisesittely 15
Luokittelukriteerit 16
Esimerkkejä 17
Tehtävien kvalitatiivinen analyysi 22
4 Tulokset 23
Kvantitatiivinen analyysi 23
Kvalitatiivinen analyysi 29
5 Pohdinta 35
Päättelytapojen vertailu 35
Kvalitatiivinen analyysi 38
Teknologian hyödyntäminen 39
Tutkimuksen luotettavuus 40
Jatkotutkimusaiheita 41
Viitteet 42
Liite A Luokitellut tehtävät 44
Liite B Tehtävien malliratkaisut 58
1
Luku I
1 Johdanto
Oppikirjalla on matematiikan opiskelussa tänä päivänäkin suuri rooli ja sen tulisi
noudattaa opetussuunnitelman perusteita. Se toimii niin opettajan työkaluna, kuin
oppilaankin. Hyvä ja monipuolinen oppikirja motivoi opiskelijaa ja voi saada
kiinnostumaan oman matemaattisen ongelman ratkaisun ja matemaattisen ajattelun
kehittämisestä. Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015 (Opetushallitus, 2015)
määrittelee mitä matematiikan opetuksessa on painotettava. Se ohjaa opetusta, sekä
oppimateriaaleja. Tutkimukseen valittu oppikirja on kirjoitettu sitä silmällä pitäen.
Opiskelijaa tulee kannustaa lukion opetussuunnitelman mukaan kehittämään luovia
ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin. Opetuksen tulee sisältää ajankohtaisia aiheita,
ilmiöitä ja niihin liittyviä ongelmia. Opetuksessa tulee käyttää vaihtelevia
opetusmenetelmiä, sekä hyödyntää teknologiaa. Teknologiaa, dynaamisia matematiikan
ohjelmistoja, symbolisia laskenta ohjelmia, tilasto-ohjelmia, taulukkolaskentaa ja
digitaalisia tietolähteitä tulee sisältyä matematiikan opetukseen ja opiskeluun.
Opiskelijoiden tulee kyetä esittämään kysymyksiä, luomaan oletuksia ja päätelmiä, sekä
perustelemaan omia väitteitään. (Opetushallitus, 2015)
Opiskelijoiden oppimisvaikeuksia ja ratkaisujen puutteellista perustelutaitoa on tutkineet
Boesen, Lithner ja Palm. Heidän mukaansa oppikirjan teorian uudelleen kirjoittaminen
tai pelkästään jonkin algoritmin seuraaminen tehtävän ratkaisemisessa ei anna itsessään
2
opiskelijalle valmiuksia suoriutua haastavammista matemaattisista ongelmista. Tällainen
jäljittelevä päättely ei vaadi opiskelijalta aiheen syvempää ymmärrystä. (Boesen, Lithner
& Palm, 2010) Kuitenkin Lithnerin jäljittelevää ja luovaa päättelyä koskevasta
tutkimuksesta selviää, että jäljittelevällä päättelyllä on suuri merkitys matematiikan
luovan ongelmanratkaisun kehittymisessä. (Lithner, 2007)
Teknologian kehittyminen on korostanut matemaattisen ongelmanratkaisutaidon
merkitystä (Polya, 2014). Teknologian rooli matematiikan opetuksessa kasvaa koko ajan
sähköisen ylioppilaskokeen ja kehittyvät tekniikan myötä. Kuten lukion
opetussuunnitelman perusteista käy ilmi, tulee teknologiaa hyödyntää niin matematiikan
opetuksessa kuin oppimisessa. Teknologian monipuolinen käyttäminen antaa oppilaalle
valmiudet suoriutua nyky-yhteiskunnan tuomista haasteista ja niiden käytön
hallitseminen kehittää osaltaan myös luovuutta. Erilaisten dynaamisten applikaatioiden
avulla voidaan havainnollistaa ongelmaa ja sitä voidaan tutkia usealta eri kannalta. Näin
ongelmista saadaan luovia ja päästään eroon vanhahtavista käsityksistä. (Heikkinen,
2016)
Derivaatta on lukion matematiikan yksi osa-alueista, joka tutkii funktion
muutosherkkyyttä. Tätä aihetta pidetään usein opiskelijoiden keskuudessa hankalana ja
suurimmalta osin teoria painotteisena tylsänä aiheena. Todellisuudessa derivaattaa voi
soveltaa moneen arkielämän ilmiöön, mutta omalta lukioajaltani muistan, ettei
arkielämän ja derivaatan välille syntynyt juurikaan yhteyttä. Derivoiminen koettiin
mekaaniseksi suoritukseksi, jossa tärkeintä oli oikeaan vastaukseen pääseminen. Halusin
tutkia, onko uuden opetussuunnitelman mukaisesti koottu oppikirja edelleen
teoriapainotteinen, vai vaaditaanko tehtävien ratkaisemisessa luovuutta.
Tutkielman tarkoituksena on tutkia, millaisia päättelytapoja uuden opetussuunnitelman
mukainen oppikirja vaatii oppilaalta ja sisältääkö oppikirja tarpeeksi luovuutta vaativia
tehtäviä. Päättelytapoja tarkastellaan myös teknologian näkökulmasta, ja teknologian
3
hyödyntämistä tutkitaan päättelytapojen, lähinnä luovan päättelyn kannalta.
Matemaattinen ongelman ratkaisutaito vaatii opiskelijalta teorian tuntemista ja saman
tyyppisten, mekaanisten laskutoimitusten suorittamista kehittyäkseen. Luovuuden
merkitys matemaattisen ajattelun ja matemaattisen ongelman ratkaisutaidon
kehittymisessä on suuri. Ilman luovuutta kaiken matemaattisen tekemisen tulisi olla vain
toisten tulosten kopioimista, eikä yksilölle jäisi juurikaan tilaa kokeilla itse. Luovuus tuo
matematiikkaan mahdollisuuden soveltaa aiemmin opittuja asioita, ja parhaassa
tapauksessa kehittää jotain uutta, ennalta määräämätöntä. Toivottavasti matematiikan
opetus lukiossa olisi menossa kohti luovaa matemaattista ajattelua.
4
Luku II
2 Teoria
Tässä luvussa esitellään teoreettisia lähtökohtia matematiikan oppimisesta ja oppikirjan
tehtävien analysoinnista. Ensimmäisessä alaluvussa käsitellään matematiikan oppimista
ja tehtävien analysointia Nissin ja Højgaardin (2011) kehittämien kahdeksan
kompetenssin avulla. Toisessa alaluvussa tarkastellaan luovuutta, josta siirrytään
matemaattiseen ongelman ratkaisuun. Matemaattinen ongelmanratkaisu vaatii päättelyä,
joten kolmannessa alaluvussa esitetään tutkimuksessa käsitellyt päättelytavat, jonka
jälkeen viimeisessä alaluvussa käsitellään kuinka derivaattaa tulisi opiskella.
Matematiikan kompetenssit
Niss ja Højgaard ovat kehittäneet matematiikan kompetensseja, jotka kuvaavat
matemaattisen ongelmanratkaisuprosessia. Kompetensseja on yhteensä kahdeksan ja ne
on jaettu kahteen pääryhmään; kyky kysyä ja vastata kysymyksiin matematiikassa
matematiikan avulla, sekä kyky käyttää matematiikan kieltä ja matemaattisia
apuvälineitä. Ensimmäiseen pääryhmään kuuluvat neljä ensimmäistä kompetenssia ja
toiseen pääryhmään kuuluvat loput neljä kompetenssia. Näiden kompetenssien avulla
pystytään analysoimaan ja kuvaamaan niin opettajan kuin oppilaankin valmiuksia
suoriutua matemaattisesta ongelmanratkaisusta.
5
Kuva 1. Nissin & Højgaardin kompetenssikukka. (Niss & Højgaard, 2011)
Neljä ensimmäistä kompetenssia ovat matemaattisen ajattelun, ongelmaan pureutumisen,
mallinnuksen ja perustelun kompetenssit. Matemaattisen ajattelun kompetenssissa
opiskelijan tulee ymmärtää kysymys sekä löytää tarpeelliset ja riittävät tiedot
ongelmanratkaisemiseksi. Ongelmaan pureutuminen tarkoittaa, että opiskelija osaa lähteä
tarkastelemaan ongelmaa oikealla tavalla ja kykenee pureutumaan sen ytimeen.
Mallinnuksen kompetenssissa paneudutaan opiskelijan kykyyn yhdistää matematiikan eri
osa-alueita, sekä analysoida ja rakentaa malleja niiden pohjalta. Opiskelijan kykyä
perustella väitteensä tai ratkaisunsa matemaattisesti oikein kuvaa perustelun kompetenssi.
Toiseen pääryhmään, eli kykyyn käyttää matematiikan kieltä ja apuvälineitä kuuluvat
esittelyn, symbolismin ja formalismin, kommunikoinnin sekä apuvälineiden ja työkalujen
kompetenssit. Esittämisen kompetenssilla tarkoitetaan, että opiskelija osaa hyödyntää,
6
käsitellä ja ymmärtää erilaisia matemaattisia esitysmuotoja. Symbolismin ja formalismin
kompetenssissa opiskelijan tulee ymmärtää ja osata käyttää matemaattista kieltä
ratkaisuissaan sekä perusteluissaan. Kommunikoinnin kompetenssissa opiskelijan tulee
osata ilmaista matemaattista tietoa usealla eri tavalla, kuten kuvaajin, tekstein ja
suullisesti. Viimeinen kompetenssi, eli apuvälineiden ja työkalujen kompetenssi
tarkoittaa, että opiskelijan tulee tietää, ymmärtää ja osata käyttää matemaattisen
ongelmanratkaisemiseen sopivia apuvälineitä. Lisäksi opiskelija osaa myös etsiä
tarvittavaa tietoa tukemaan omaa ongelmanratkaisuprosessia.
Kaikki esitetyt kompetenssit ovat itsenäisiä ja toimivat erillään, mutta ne myös
kietoutuvat toisiinsa. Kun tehtävän ratkaisua aloitetaan analysoimaan, voi siitä löytyä
useita kompetensseja, mutta analysointi voidaan tehdä myös käyttämällä vain siihen
parhaiten sopivaa kompetenssia. (Niss & Højgaard, 2011)
Luovuus
Luovuuden käsite on hankala määritellä tarkoin, mutta sen sisältymistä arkielämään ei
tule vähätellä. Monet arkielämän askareet tai tilanteet vaativat luovuutta ja matematiikalla
on sen kehittämisessä suuri rooli. (Pehkonen, 2012) Luovuus liitetään helposti taiteeseen,
eikä sen yhteyttä arkielämään välttämättä nähdä. Opettaja tarvitsee luovuutta muun
muassa työnsä suunnitteluun ja toteuttamiseen. Luovuus onkin kaikille yksilöille
ominainen piirre, johon liittyviä taitoja ja ajattelumalleja voidaan kehittää. Sitä tarvitaan,
kun yksilön tulee selviytyä yllättävästä tai muuttuvasta tilanteesta. (Sahlberg, Meisalo,
Lavonen & Kolari, 1993) Luovuudelle voidaan antaa eräs määritelmä; ”Luovuus on
toimintaa, jossa yksilö tuottaa jotakin uutta ja ennalta määräämätöntä” (Pehkonen, 2012).
Käsitteenä luovuus riippuu miltä kannalta sitä halutaan katsoa. Tässä tutkielmassa
luovuuden tarkastelu painottuu luovuuteen matematiikassa ja muiden alojen määritelmät
luovuudelle sivuutetaan. Luovuus onkin kykyä rikkoa rajoja ja kokeilla jotain uutta.
7
Luovuus ja luova päättely voivat johtaa epävarmuuteen ja vaativat riskinottoja.
Luovuuteen liittyy vahvasti yksilön mielikuvitus ja intuitio, jolla yksilö voi alkaa ratkaista
matemaattista ongelmaa. Se vaatii yksilöltä kykyä katsoa asiaa aivan uudelta kannalta, ja
unohtamaan vanhahtavat ajattelumallit, joissa ratkaisuun päädytään esimerkiksi
muistamalla asioita ulkoa. Luovaa ongelmaa tarkasteltaessa lopputulokseen ei kannata
kiinnittää liikaa huomioita, sillä tärkeintä luovuudessa ei ole itse vastaus, vaan polku jota
pitkin siihen päädytään. Opettajalla on avaimet kehittääkseen oppilaiden luovaa ajattelua
tarjoamalla heille sopivan haastavia ja luovia ongelmia ratkaistavaksi. (Pehkonen, 2012;
Polya, 2014)
Ongelmanratkaisu
Matemaattista ongelmanratkaisua tulee harjoitella koulussa, jotta opiskelija pystyy
suoriutumaan ongelmanratkaisusta itsenäisesti niin koulussa kuin arkielämässäkin. Eräs
tapa kehittää ongelmanratkaisutaitoa on harjoitella tehtävien ratkaisemista jäljittelemällä.
Ongelmatehtäviä tulee ensin tarkkailla, jäljitellä ja seurata miten muut ihmiset niitä
ratkaisevat. Tällaisen harjoittelun myötä oppilas oppii ratkaisemaan ongelmia
itsenäisesti. Ongelmanratkaisutaidon syntymiseen ja kehittymiseen vaaditaan motivaatio
oppia ratkaisemaan ongelmatehtäviä. Opettajan tulee pyrkiä motivoimaan oppilaitaan
mielekkäiden ilmiöiden ja arkipäiväisten ongelmien avulla, näin oppilas ymmärtää
ongelmanratkaisutaidon merkityksen syvemmin ja hän osaa soveltaa taitojaan
arkielämässä. Matemaattinen ongelmanratkaisu voidaan jakaa neljään vaiheeseen;
ongelman ymmärtäminen, ratkaisumenetelmän kehittäminen, suunnitelman toteutus sekä
ratkaisun tarkastelu ja arviointi. (Polya, 2014) Nämä neljä ongelmanratkaisun vaihetta
voidaan liittää Nissin ja Højgaardin määrittelemiin edellä käsiteltyihin kompetensseihin.
Ratkaistava ongelma tulee ymmärtää, sillä ei ole mielekästä alkaa ratkaista ongelmaa,
mitä ei ymmärrä. Oppilaan tulisi aina ymmärtää käsiteltävä ongelma ja haluta aidosti
8
ratkaista se. Sanallisissa tehtävissä oppilaiden tulee tunnistaa olennaiset tiedot
tehtävänannosta ja pohtia niitä huolellisesti. Tämä vaihe kuuluu matemaattisen ajattelun
kompetenssiin.
Ratkaisumenetelmän kehittämisen tarkoitus on suunnitella ennen varsinaisen ratkaisun
suorittamista menetelmä, jolla tehtävää voisi alkaa ratkaista. Oppilaan valitseman
menetelmän ei tarvitse olla täydellinen, vaan sitä voi kehittää ongelmanratkaisuprosessin
edetessä. Oppilaalla tulee siis olla idea, kuinka hän lähtee ongelmaa ratkaisemaan ja sitä
tulee kyetä tarkastelemaan oikealla tavalla, eli pureutumaan ongelman ytimeen. Tämä
ongelmanratkaisuprosessin vaihe kuuluu ongelmaan pureutumisen kompetenssiin.
Suunnitelman toteuttamisvaiheessa oppilaan on tarkoitus käyttää itse keksimää tai
kehittämää ratkaisumenetelmää. Tämän vaiheen toteutuksen ei tule olla liian helppoa, ja
tässä vaiheessa voidaan huomatakin oman ratkaisumenetelmän vajaavaisuus ja joutua
palaamaan ratkaisumenetelmän kehittämiseen. Oppilaan tulee yhdistellä aiemmin
opittuja taitoja ja edettävä kärsivällisesti kohti ratkaisua. Oppilas hyödyntää tässä
vaiheessa mallinnuksen, sekä apuvälineiden ja työkalujen kompetensseja.
Saatua ratkaisua ongelmaan tulee tarkastella ja sen oikeellisuutta tulee arvioida
kriittisesti. On hyvä myös tarkastaa, että pohjatietoja on käytetty oikein ja vastaus on
järkevä. Tämän vaiheen tarkoitus on tarjota oppilaalle mahdollisuus syventää
oppimistaan kritisoimalla omaa ratkaisuprosessiaan. Hänellä on mahdollisuus oppikirjan
sulkemisen sijaan kehittää omaa ymmärrystään ja syventää oppimista hiomalla
ratkaisuaan vieläkin paremmaksi. Onko siinä jotain ylimääräisiä vaiheita vai onko
ratkaisussa jokin kohta, jonka suorittaminen ei olekaan ratkaisuun päätymisen kannalta
olennaista? (Polya, 2014) Saatu ratkaisu, sen esittäminen, symbolismi ja formalismi, sekä
kommunikointi ovat tämän vaiheen kompetensseja.
Luovaa ongelmanratkaisua oppii vain itse tekemällä ja se kehittyykin parhaiten
harjoittelemalla aktiivisesti edellä mainittujen vaiheiden avulla. Luova ongelmanratkaisu
9
tarkoittaa avoimien ja joustavien menetelmien käyttämistä. Näillä menetelmillä yksilöltä
odotetaan ongelman tutkimista ja tarkastelua monipuolisesti, sekä ongelman lähestymistä
eri näkökulmista. Kuten luovuus yleensäkin, vaatii myös luova ongelmanratkaisu yksilöä
tuottamaan jotain ennalta arvaamatonta avoimen tai osakseen avoimen tehtävän
ratkaisemiseksi. Avoin tehtävä ei juurikaan rajaa sitä, kuinka sitä tulisi lähestyä, eikä
niissä määritellä ongelman ratkaisumenetelmää tarkasti, vaan ratkaisumenetelmän
kehittäminen ja ratkaisuun päätymisen polku jätetään ratkaisijan itse kehitettäväksi tai
löydettäväksi. (Sahlberg ym. 1993)
Päättelytavat
Matemaattisen ongelman ratkaisemiseen tarvittavat päättelytavat voidaan jakaa kahteen
päätyyppiin; jäljittelyyn perustuvaan ja luovaan päättelyyn. (Lithner, 2007) Jäljittelyyn
perustuva päättely voidaan taasen jakaa kahteen osioon; muistamiseen perustuvaan ja
algoritmiseen päättelyyn. Muistamiseen perustuvalla päättelyllä tarkoitetaan
ratkaisumallin valitsemista tehtävän ratkaisun muistamisen perusteella. Se perustuu
asioiden kirjoittamiseen ulkomuistista. Tällaisia tehtävätyyppejä ovat esimerkiksi
kysymykset: ”Mikä on rationaalifunktio tai kuinka monta litraa on yksi
kuutiosenttimetri.” Myös jotkin todistustehtävät perustuvat muistamiseen ja niihin
vastataan vain muistelemalla aiemmin kirjoitettua tai esitettyä todistusta.
Algoritmiseen päättelyyn rajataan yleensä tehtävät, joissa voidaan käyttää kaavoja, jotka
ovat ratkaisijalle tuttuja. Algoritmisessa päättelyssä polku ratkaisun saavuttamiseksi on
heti tehtävän alussa tiedossa. Tämä polku voi olla valmis esimerkki oppikirjassa, tai
vaikkapa valmiina annettu kaava. Tällaisessa tehtävätyypissä virhe syntyy vain, mikäli
tekee laskuvirheen. Tehtävän alussa valitaan ratkaisuun käytettävä kaava ja sitä
käyttämällä päädytään suoraviivaisesti ratkaisuun. Saatua ratkaisua ei arvioida tai
kritisoida, vaan perusteluita pidetään triviaaleina ja yleensä ne sivuutetaan. Algoritmista
10
päättelyä vaativien tehtävien merkitystä luovan ongelmaratkaisutaidon kehittymisessä ei
tule aliarvioida ja se on suuressa osassa oppilaan harjoitellessa omia
ongelmanratkaisutaitojaan (Polya, 2014). Jäljittelemällä tehtävien ratkaisuja ja
seuraamalla ratkaisuprosesseja oppikirjan esimerkkien avulla päästään aktiivisella
harjoittelulla koko ajan lähemmäksi luovaa matemaattista ajattelutapaa (Sahlberg ym.,
1993).
Luovuudella tarkoitetaan matematiikassa joustavaa ajattelua ja sitä pidetään myös
älykkyyden mittana. Luovuus onkin olennainen osa matemaattista ongelmanratkaisua.
Siihen kuuluu suurena osana yksilön oma intuitio tehtävän ratkaisuun pääsemisessä, sekä
yksilön kyky käyttää mielikuvitusta etsiessään toimivia ratkaisumalleja ongelmaan.
Luovassa ajattelussa yksilö tuottaa jotain ennalta-arvaamatonta, mitä ei ole esimerkiksi
tehtävässä määritetty. Tarkoituksena on valita tai kokeilla useita ratkaisumenetelmiä ja
aloittaa ongelman tarkastelu niillä. Luovan tehtävän ratkaisua ei voida saavuttaa
mekaanisesti laskemalla. Divergoiva ajattelu, eli mielikuvitus ja logiikka ovat luovan
ajattelun yhdistelmiä. Konvergoiva ajattelu tarkoittaa määrätietoista tavoitteeseen
pyrkivää loogista ajattelua, eikä se välttämättä vaadi ratkaisijaltaan luovuutta, toisin kuin
divergoiva ajattelu. Matemaattisen ongelmanratkaisun tarkoitus on kehittää luovuutta, ja
sen vuoksi myös uudessa opetussuunnitelman perusteissa se onkin keskiössä. Luovuuden
kehittämisen tarkoituksena on pyrkimys eroon vanhoista luutuneista ajattelutavoista ja
asenteista matematiikkaa kohtaan. Matemaattista ongelmanratkaisua pyritään
kehittämään joustavammaksi ja vastaanottavammaksi. (Pehkonen, 2012)
Matematiikassa luova päättely voidaan jakaa myös kahteen eri osaan, lokaaliin (LCR) ja
globaaliin luovaan päättelyyn (GCR). (Lithner, 2007) Lokaali luova päättely (LCR)
tarkoittaa, että osa ongelmanratkaisua vaatii luovuutta. Tehtävät ovat yleensä analyyttisiä
ja ratkaisuun päästään yleensä osakseen itse keksityllä ratkaisumallilla tai kaavalla.
Tehtävän pääideaa ei kuitenkaan tarvitse keksiä itse, vaan ratkaisussa voidaan käyttää jo
opittuja asioita. Globaalia luovaa päättelyä tarvitaan täysin luovan tehtävän
11
ratkaisemiseen. Tehtävän ratkaisemiseksi yksilön tulee seurata intuitiotaan tai
mielikuvitusta saadakseen tehtävän ratkaistuksi. Tehtävä ei yleensä ratkea heti, vaan sen
ratkaiseminen vaatii useampien ratkaisumallien tarkastelua ja kokeilemista. Tällaiset
ongelmat ovat joustavaa ajattelua kehittäviä ongelmia. Globaalia luovaa päättelyä
vaativan tehtävän ratkaisemisessa yksilön täytyy tuottaa jotain ennalta määräämätöntä
päästäkseen lopputulokseen tai eteenpäin ongelmanratkaisussaan. (Boesen ym., 2010;
Pehkonen, 2012)
Derivaatan oppiminen
Hähkiöniemi (2006) tuo esiin väitöskirjassaan hyötyjä erilaisten representaatioiden
käytöstä derivaatan opettamisessa. Representaatio tarkoittaa ongelman esittämistä,
kuvaamista tai sen tuomaa mielikuvaa, nämä mielikuvat voidaan rinnastaa divergoivaan
ajatteluun. Hähkiöniemen tutkimuksessa oppilaat käyttivät ongelmaan tutustuessaan ja
sitä ratkaistaessa kuvaajaa. Kuvaajasta tutkittiin jyrkkyyttä, vaakasuoruutta ja tangenttia.
Näitä käyrän ominaisuuksia oppilaat havainnollistivat elein ja käsien liikkein. Erilaisten
representaatioiden avulla voidaan oppia itse derivaatta, kun käsitellään sitä objektina,
Hähkiöniemi sanoo.
Opiskelija voi alkaa muodostaa matemaattista käsitettä kahdella eri tavalla Hähkiöniemen
(2006) mukaan. Hän voi suorittaa toimintoja jo olemassa oleville objekteille ja
abstrahoida näistä toiminnoista uuden objektin. Opiskelija voi esimerkiksi abstrahoida
derivaatan arvojen laskemisen toiminnoista derivaatta käsitteen.
Hähkiöniemi kertoo väitöskirjassaan hypoteettisesta oppimispolusta derivaatan
oppimisessa, jossa erilaiset representaatiot auttavat oppilasta oppimaan derivaatan. Tässä
mallissa derivaatan tutkiminen voidaan aloittaa liikkeen tai keskinopeuden kuvaajan
tulkinnalla. Näin derivaatta saadaan heti liitettyä jo opittuihin tuttuihin asioihin. Oppilas
12
saa näin käsityksen, että derivaatalla tarkoitetaan funktion herkkyyttä muutokselle.
(Hähkiöniemi, 2006)
Samu Eskelinen käsittelee pro gradu tutkielmassaan derivaatan oppimista Tall & Vinner
(1981) tutkimuksen mukaan. Tutkimuksessa on ilmennyt, että opiskelijoiden vaikeudet
funktion graafisten representaatioiden ymmärtämisessä johtuvat perinteisten
opetusmenetelmien käytöstä. Funktio esitetään tutkimuksen mukaan yleensä graafisesti,
mutta sen tutkiminen jää taka-alalle ja siirrytään algebralliseen tarkasteluun. Näin
graafiselle tulkinnalle ei anneta tarpeeksi tilaa toimia tukena ja apuvälineenä oppimisessa.
(Eskelinen, 2015)
Aiemmat tutkimukset
Matematiikan oppikirjoja on tutkittu yleisesti laajalti, alakoulun oppikirjoista lukion
oppikirjoihin. Isokääntä (2015) on tutkinut omassa pro gradu -tutkielmassaan yläkoulun
ja lukion geometrian oppikirjoja niiden sisältämien esimerkkien avulla. Hänen mukaansa
oppikirjojen rakenteet eivät juurikaan eroa toisistaan, mutta toteaa kuitenkin uuden
opetussuunnitelman voivan tuoda niihin vaihtelevuutta. (Isokääntä, 2015)
Partanen (2013) on tutkinut lukion oppikirjan käyttöä lukiolaisten kannalta pro gradu -
tutkielmassaan ja hän toteaakin, että oppikirjaa käytetään suurimmaksi osaksi tehtävien
tekemiseen. Tutkimuksessa huomattiin lukiolaisten positiivinen suhtautuminen
oppikirjaan heidän oppimisensa tukena, mutta se vaatii oppikirjalta tiivistä teoriaa ja
hyviä malliesimerkkejä. (Partanen, 2013)
Luovaa ja jäljittelevää päättelyä oppikirjan tehtävissä on tutkinut Gustafsson (2013) pro
gradu -tutkielmassaan. Hän tutki yläkoulun kirjasarjoja ja havaitsi niiden sisältävän
enemmän jäljittelevää, kuin luovaa päättelyä vaativia tehtäviä. (Gustafsson, 2013)
13
Luovuutta matematiikassa ovat tutkineet muiden muassa Lithner (2007). Lithner on
tutkinut erilaisia päättelytapoja, sekä luovuuden merkitystä matematiikan oppimisessa.
Hän jakoi ongelmanratkaisemiseen tarvittavat päättelytavat jäljittelyä vaativiin ja
luovuutta vaativiin päättelytapoihin. (Lithner, 2007)
Leskinen on tutkinut pro gradu -tutkielmassaan luovuuden merkitystä matemaattiseen
ongelmanratkaisuun, sekä luovuuden merkitystä opetuksessa. Hänen mukaansa luovuutta
vaativia tehtäviä tulisi sisällyttää opetukseen perinteisen opetustyylin rinnalle. (Leskinen,
2014)
14
Luku III
3 Tutkimusmenetelmät
Tutkimuksella haluttiin selvittää, minkä verran uuden opetussuunnitelman mukaisesti
kootussa oppikirjassa esiintyy luovaa päättelyä. Hypoteesina oli, että jäljittelyyn
perustuvaa päättelyä esiintyy luovaa päättelyä enemmän. Tutkimus sisältää kaksi osaa;
kvantitatiivisen ja kvalitatiivisen analyysin. Molemmissa analyyseissä tutkittiin myös
teknologian hyödyntämistä jokaisessa luokitteluun valitussa päättelytavassa. Painoarvo
teknologian tarkastelussa oli luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä ja sitä verrattiin
jäljittelevää päättelyä sisältäviin tehtäviin. Tehtävä sisälsi teknologiaa, mikäli
tehtävänannossa niin sanottiin, tehtävään oli liitetty Geogebra-applikaatio tai tehtävän
ratkaisusta kävi ilmi, että siinä oletetaan käytettävät teknologisia apuvälineitä, kuten
CAS-laskinta. Teknologia oli kaksiarvoinen muuttuja, eli tehtävä joko sisälsi teknologiaa
tai ei. Tutkimukseen valittiin Otavan Juuri MAA 6 Derivaatta (Hähkiöniemi, Juhala,
Juutinen, Louhikallio-Fomin, Luoma-Aho, Raittila, & Tikka, 2016) - kurssin oppikirja,
joka on koottu vuoden 2015 lukion opetussuunnitelman perusteita mukaillen.
Tutkimuskysymyksiksi muotoutui seuraavat:
1. Millaista luovaa päättelyä derivaatta -kurssin tehtävät vaativat tai sisältävät?
2. Onko uuden opetussuunnitelman vaatimuksiin luovuudesta vastattu oppikirjassa?
15
3. Hyödynnetäänkö teknologiaa luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä jäljittelevää
päättelyä vaativia tehtäviä enemmän?
Kvantitatiivisessa tutkimuksessa luokiteltiin oppikirjan joka toinen tehtävä
päättelytapojen (MR, AR, LCR ja GCR) mukaisesti luokkiin. (Lithner, 2007) Tehtäviä
luokiteltiin yhteensä 136 kappaletta, jolla saatiin kattava kuva oppikirjan sisältämistä
tehtävistä. Luokiteltujen tehtävien vaatimat päättelytavat laskettiin prosentteina, mikä
kertoo, kuinka paljon mitäkin päättelytapaa oppikirjan tehtävissä vaaditaan. Tehtävien
teknologian hyödyntämistä oppimisen tukena ja apuvälineenä tarkasteltiin ja teknologian
hyödyntämistä tutkittiin jokaisen päättelytavan kohdalla erikseen. Luokiteltujen tehtävien
vaatimia päättelytapoja verrattiin myös oppikirjan käyttämään tehtävien luokitteluun.
Kvalitatiiviseen analyysiin valittiin jokaiseen päättelytapaan luokiteltu tehtävä ja sitä
analysoitiin opetussuunnitelman perusteiden, matemaattisten kompetenssien, eri
päättelytapojen ja derivaatan oppimisen kannalta. Laadullisella tutkimuksella haluttiin
tuoda esiin erilaisten päättelytapojen merkitys matematiikan ymmärtämisessä ja
oppimisessa. Lisäksi haluttiin tarkastella, kuinka hyvin oppikirja toteuttaa
opetussuunnitelmassa määritetyt tavoitteet.
Oppikirjan yleisesittely
Oppikirjan rakenne on perinteinen ja jokainen kappale koostuu teoriaosasta, esimerkeistä
ja harjoitustehtävistä, joihin löytyy oikeat vastaukset kirjan takaa. Tehtävät on luokiteltu
oppikirjassa ydintehtäviin, vahvistaviin ja syventäviin tehtäviin. Vahvistavat ja
syventävät tehtävät ovat monipuolisempia ja haastavampia kuin ydintehtävät. Jokaisessa
kappaleessa muutamia tehtäviä, joihin löytyy kirjan takaosasta vihje. Näin opiskelijan ei
tarvitse heti pyytää apua, vaan hän voi ensin yrittää ratkaista tehtävää vihjeen avulla.
Oppikirja sisälsi valmiita digiapplikaatioita osassa tehtävistä, ja jokaisen kappaleen alussa
oli myös digijohdanto, joka sisälsi applikaation uuden aiheen ymmärtämiseksi.
16
Applikaatiot oli toteutettu Geogebra-ohjelmalla ja niitä pystyi käyttämään suoraan
oppikirjan digimateriaalista. Opiskelijan on siis mahdollista myös vastata tehtäviin
verkkokirjaan ja tehdä sinne muistiinpanoja.
Luokittelukriteerit
Tehtäviä analysoitiin oppikirjan esimerkkien, teorian ja malliratkaisujen avulla
käyttämällä alla esitettyä analysointityökalua. Analysointityökalussa on sovellettu
Lithnerin (2007) tekemää päättelytapojen luokittelua ja sitä on muokattu vastaamaan
lukion oppikirjan tarpeita. Luokitteluryhmiä tarkennettiin, jotta erot tehtävien
luokittelussa saatiin yksiselitteisesti esiin. Kukin tehtävä voi kuulua vain yhteen
luokkaan.
Tehtävät luokiteltiin seuraaviin neljään ryhmään:
1. Muistamiseen perustuva päättely (MR)
• Toistetaan määrättyä prosessia ja muistetaan, kuinka tehtävä ratkaistaan.
• Tehtävän ratkaiseminen perustuu aiemmin opitun ulkoa muistamiseen.
• Kirjasta löytyvät tai ennalta läpikäydyn todistuksen kirjoittaminen.
• Esim. Mikä on kulmakerroin? Mikä on polynomi?
2. Algoritmiin perustuva päättely (AR)
• Kirjasta löytyy vastaava esimerkki, jolla tehtävän voi ratkaista suoraan.
• Oppikirjasta löytyy suora kaava, jolla tehtävän voi ratkaista.
• Tehtävän ratkaisemiseen tarvittava polku on heti tehtävän alusta tiedossa.
• Perusteluja pidetään triviaaleina ja väärään vastaukseen päädytään vain tekemällä
laskuvirhe.
• Tehtävän voi ratkaista mekaanisesti laskemalla
17
3. Lokaaliin luovuuteen perustuva päättely (LCR)
• Osa tehtävän ratkaisua vaatii luovaa ajattelua
• Tehtäviin ei löydy täysin vastaavaa esimerkkiä oppikirjasta tai tehtävän muotoilu
poikkeaa siitä tai kirjan teoriasta huomattavasti.
• Vaatii tehtävän ratkaisijalta omaa päättelyä, eikä kirjasta löydy apua tehtävän
täydelliseen ratkaisemiseen.
4. Globaaliin luovuuteen perustuva päättely (GCR)
• Tehtävä poikkeaa täysin kirjan esimerkeistä tai teoriasta.
• Vaatii oman ratkaisumenetelmän löytämisen tai kehittämisen
• Tehtävät, jotka sisältävät useiden aiemmin opittujen asioiden yhdistämistä.
Esimerkkejä
Alla on esitetty kaksi esimerkkitehtävää jokaisesta luokittelussa käytetystä
päättelytavasta, sekä perustelut luokittelulle. Esimerkit 1-4 ovat jäljittelyyn perustuvaa
päättelyä vaativia tehtäviä ja näistä esimerkit 1 ja 2 ovat muistamiseen perustuvaa
päättelyä vaativia ja esimerkit 3 ja 4 algoritmiseen päättelyyn perustuvia. Esimerkit 5-8
vaativat ratkaisijalta luovuutta ainakin jossain vaiheessa tehtävänratkaisuprosessia.
Esimerkit 5 ja 6 vaativat lokaalia luovaa päättelyä ja esimerkit 7 ja 8 globaalia luovaa
päättelyä. Kvalitatiiviseen analyysiin valittiin joka toinen seuraavista esimerkkitehtävistä.
18
Esimerkki 1.
207) Seuraavista päättelyistä vain yksi on oikein. Mikä?
A Jos halutaan laskea funktion f raja-arvo kohdassa 𝑥 = 1, ensin on varmistettava, että
arvo 𝑓(1) on olemassa.
B Funktion arvo ja raja-arvo kohdassa 𝑥 = 𝑎 voivat olla eri suuria.
C Jos tiedetään, että 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1
𝑓(𝑥) = 1, niin 𝑓(−1) = 1.
Tehtävän sai ratkaistua vain muistamalla oppikirjassa esitetty teoria ulkoa ja tämän
vuoksi tehtävä kuuluu muistamiseen perustuvan päättelyn luokkaan. Tehtävän väittämiä
pystyi vertaamaan suoraan oppikirjan teoriaan ja löytämään oikean päättelyn.
Esimerkki 2.
247) Onko funktio 𝑓 jatkuva kohdassa 𝑥 = 2? Perustele.
a) b) c)
Tehtävän ratkaisuun riitti oppikirjasta löytyvän määritelmän (s.53) ulkoa muistaminen.
Malliratkaisuissa esiintyvänä perusteluna on vain määritelmän uudelleen kirjoittaminen.
Esimerkki 3.
126) Ratkaise epäyhtälö. Varmista tulos kuvaajan avulla.
a) 3−5𝑥
8𝑥−6≤ 0 b)
2𝑥−6
𝑥2−9≥ 0
19
Tehtävä jäljittelee oppikirjan esimerkkiä kolme (s. 25) ja ratkaisuun päädytään suoraan
sen avulla. Opiskelijalta vaaditaan algoritmista päättelyä epäyhtälöiden ratkaisemisessa.
Esimerkki 4.
340) Olkoon 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 𝑥.
a) Muodosta funktion 𝑓 derivaattafunktio 𝑓′(𝑥).
b) Laske funktion 𝑓 muutosnopeus kohdassa 𝑥 = 2 eli 𝑓′(2).
Tehtävän ratkaisussa jäljiteltiin oppikirjan määritelmää (s. 86) ja derivointisääntöjä (s.
89), joiden käyttäminen tällaisessa tehtävässä kuuluu algoritmiseen päättelyyn.
Esimerkki 5.
434) a) Tutki appletin avulla, kuinka monta nollakohtaa funktiolla 𝑓(𝑥) =1
3𝑥3 − 𝑥2 + 𝑐
voi olla. Kiinnitä erityisesti huomiota funktion paikalliseen maksimin ja minimin sijaintiin
eri tilanteissa.
b) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1
3𝑥3 − 𝑥2 + 2 on yksi nollakohta.
c) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1
3𝑥3 − 𝑥2 + 1 on kolme nollakohtaa.
Tehtävän ratkaiseminen vaati useampien asioiden yhdistämistä, kuten Bolzanon lause,
kulkukaavio ja teoria. Ratkaisu tehtävän kaikkiin kohtiin on jo alussa tiedossa, sillä
tehtävään kuuluu Geogebralla tehty appletti. Tehtävä vaatii osakseen luovuutta
ratkaisussa, mutta ratkaisu on jo valmiiksi tiedossa ja tämän vuoksi tehtävä kuuluu
lokaaliin luovaan päättelyyn.
20
Esimerkki 6.
527) Joen varteen halutaan rajata aidalla 200𝑚2:n suuruinen suorakulmion muotoinen
alue. Aita tarvitaan kolmelle sivulle.
a) Arvioi lyhyimmän mahdollisen aidan pituus appletin avulla.
b) Muodosta lauseke aidan pituudelle. Valitse muuttujaksi 𝑥 joen suuntaisen sivun pituus.
c) Määritä lyhyimmän mahdollisen aidan pituus.
Tehtävään kuului appletti, jonka avulla lyhyimmän aidan pituuden saa selvitettyä, eli
vastaus tehtävään on jo alussa tiedossa. Lyhyimmän mahdollisen aidan pituuden
määrittäminen vaatii opiskelijalta luovaa päättelyä, eli osa tehtävän ratkaisusta vaatii
luovaa päättelyä ja tämän vuoksi tehtävä kuuluu lokaalin luovan päättelyn luokkaan.
Esimerkki 7.
332) Tutki käyriä 𝑦 =𝑥2−3
2𝑥−3 ja 𝑦 = 𝑥2 + 1.
a) Määritä käyrien yhteiset pisteet ilman teknisiä apuvälineitä.
b) Piirrä käyrät sopivalla ohjelmalla ja tarkastele käyriä erityisesti yhteisten pisteiden
läheisyydessä tarvittaessa suurentaen kuvaa. Kuvaile havaitsemasi ero.
21
c) Määritä yhteisiin pisteisiin piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet algebrallisesti.
Käytä tarvittaessa symbolisen laskennan ohjelmaa apuna. Miten tangenttien yhtälöt
vahvistavat b-kohdan havainnot?
Tehtävässä vaaditaan opiskelijalta paljon aiemmin opittujen asioiden yhdistämistä ja
tehtävänannosta tulee kyetä löytämään ratkaisulle olennaisimmat asiat. Opiskelijan tulee
ajatella luovasti ja vapaasti valittavan teknologian käyttäminen tukee tätä, joten tehtävä
kuuluu globaaliin luovaan päättelyyn.
Esimerkki 8.
438) Suorakulmion muotoisesta peltilevystä rakennetaan laatikko poistamalla jokaisesta
nurkasta yhtä suuret neliön muotoiset palat ja taittamalla jäljelle jäänyt levy
suorakulmaiseksi särmiöksi. Miten pois leikattavien neliöiden sivun pituus tulisi valita,
jotta laatikon tilavuus olisi suurin mahdollinen? Mikä on tällöin tilavuus?
Tehtävä liittyy arkielämään ja vaikka siihen on tehty appletti, ei se anna kuitenkaan
valmista vastausta vaan kaikki seikat ovat avoimena opiskelijalle. Opiskelijan tulee
ajatella luovasti ja koettaa kokeilemalla keksiä kuinka ratkaisuun päädytään. Tämän
vuoksi tehtävä kuuluu globaalin luovan päättelyn luokkaan.
22
Tehtävien kvalitatiivinen analyysi
Tutkimus sisältää myös laadullisen analyysin, jossa neljää tehtävää analysoidaan
tarkemmin ja tarkastellaan mitä matematiikan kompetensseja, teknologiaa ja
päättelytapaa niiden ratkaiseminen vaatii. Analysoitavat tehtävät olivat edellä esitetyt
tehtävät: 207, 126, 434 ja 332. Tehtävät valittiin, sillä ne kuvaavat hyvin päättelytapaa,
jota ne edustavat.
23
Luku IV
4 Tulokset
Tässä luvussa esitellään tutkimustulokset ja niitä tarkastellaan tarkemmin
pohdintaosiossa. Kvantitatiivisen analyysin tulokset on esitetty oppikirjan lukujen
mukaisessa järjestyksessä ja niistä jokainen käsitellään erikseen. Lopuksi on esitetty
kaikkien tehtävien yhteenlasketut eri päättelytapojen prosentuaaliset osuudet.
Kvantitatiivisen analyysin tuloksissa on esitetty valitut tehtävät päättelytapojen
mukaisessa järjestyksessä ja niitä on tarkasteltu niin päättelytapojen kuin matemaattisten
kompetenssien, derivaatan oppimisen, uuden opetussuunnitelman ja teknologian
kannalta.
Kvantitatiivinen analyysi
Oppikirjan ensimmäisen luvun tehtävien (24kpl) jakauma on esitetty seuraavassa
taulukossa.
24
Taulukko 1. Luvun 1. Rationaalifunktio, tehtävien luokittelu (yhteensä 24 tehtävää)
MR AR LCR GCR Teknologia
Yhteensä: 0 7 10 7 9
Prosentteina: 0% 29,2% 41,6% 29,2% 37,5%
Rationaalifunktio luku (Taulukko 1) ei sisältänyt yhtään tehtävää, joka perustuisi vain
ulkoa muistamiseen. Algoritmiseen päättelyyn perustuvia tehtäviä oli 29,2%
tarkastelluista tehtävistä. Täysin luovia tai luovuutta vaativia tehtäviä oli 70,8%
luokitelluista tehtävistä. Näistä lokaalia luovaa päättelyä (LCR) vaativia oli 41,6% ja
globaalia luovaa päättelyä (GCR) vaativia 29,2%. Ensimmäisen luvun tehtävistä 37,5%
hyödynnettiin teknologiaa.
Raja-arvo ja jatkuvuus luvun tehtävien (34kpl) vaatimat päättelytavat on esitetty
seuraavassa taulukossa.
Taulukko 2. Luvun 2. Raja-arvo ja jatkuvuus, tehtävien luokittelu (yhteensä 34
tehtävää)
MR AR LCR GCR Teknologia
Yhteensä: 4 10 15 5 9
Prosentteina: 11,8% 29,4% 44,1% 14,7% 26,5%
Toisen luvun (Taulukko 2) tehtävistä 41,2% oli jäljittelyyn perustuvia tehtäviä. Niistä
11,8% oli muistamiseen perustuvia (MR) tehtäviä ja 29,4% oli algoritmiseen päättelyyn
25
perustuvia (AR). Luovuutta vaativia tehtäviä oli yhteensä 58,8% raja-arvo ja jatkuvuus -
luvun tehtävistä. Niistä 44,1% tehtävistä vaati luovuutta jossain vaiheessa tehtävän
ratkaisua ja kuuluivat näin lokaalin luovan päättelyn (LCR) luokkaan. Globaalia luovaa
päättelyä (GCR) vaativia tehtäviä oli 14,7% luvun tehtävistä. Teknologiaa hyödynnettiin
26,5% 34 luokitellusta tehtävästä.
Derivaatta -luvun tehtävien (30kpl) luokittelu on esitetty seuraavassa taulukossa.
Taulukko 3. Luvun 3. Derivaatta, tehtävien luokittelu (yhteensä 30 tehtävää)
MR AR LCR GCR Teknologia
Yhteensä: 1 10 13 6 11
Prosentteina: 3,3% 33,3% 43,3 20,0% 36,7%
Kolmannen luvun tehtävistä (Taulukko 3) 36,6% perustui jäljittelevään päättelyyn, joista
3,3% perustui muistamiseen perustuvaan päättelyyn (MR) ja 33,3% perustui
algoritmiseen päättelyyn (AR). Luovaan päättelyyn perustuvia tehtäviä oli 63,3% luvun
tehtävistä, joista 43,3% kuului lokaaliin luovaan päättelyyn (LCR) ja 20,0% kuului
globaaliin luovaan päättelyyn (GCR). Tehtävistä 36,7% hyödynnettiin teknologiaa.
Polynomifunktion kulku -luvun tehtävien (25kpl) luokittelu on esitetty seuraavassa
taulukossa.
26
Taulukko 4. Luvun 4. Polynomifunktion kulku, tehtävien luokittelu (yhteensä 25
tehtävää)
MR AR LCR GCR Teknologia
Yhteensä: 0 7 5 13 7
Prosentteina: 0% 28,0% 20,0% 52,0% 28,0%
Luvun neljä (Taulukko 4) tehtävistä yksikään ei kuulunut muistamiseen perustuvan
päättelyn (MR) ryhmään. Algoritmiseen päättelyyn perustuvia tehtäviä oli 28,0% luvun
luokitelluista tehtävistä. Luovaa päättelyä vaativia tehtäviä oli 72,0% kaikista 25
tehtävästä. Näistä 20% kuului lokaaliin luovaan päättelyyn (LCR) ja 52,0% globaaliin
luovaan päättelyyn (GCR). Teknologia sisältyi 28,0% luvun tehtävistä.
Viidennen ja viimeisen luvun tehtävien (23kpl) luokittelu on esitetty seuraavassa
taulukossa.
Taulukko 5. Luvun 5. Rationaalifunktion kulku, tehtävien luokittelu (yhteensä 23
tehtävää)
MR AR LCR GCR Teknologia
Yhteensä: 0 8 7 8 8
Prosentteina: 0% 34,8% 30,4% 34,8% 34,8%
Rationaalifunktion kulku -luvun tehtävistä (Taulukko 5) 34,8% kuului jäljittelyyn
perustuvaan päättelyyn ja nämä kaikki tehtävät kuuluivat algoritmisen päättelyn (AR)
27
luokkaan. Muistamiseen perustuvia tehtäviä ei ollut yhtään. Luovaa päättelyä vaati 65,2%
luvun 23 luokitellusta tehtävästä, joista 30,4% kuului lokaaliin luovaan päättelyyn (LCR)
ja 34,8% kuuluin globaaliin luovaan päättelyyn (GCR). Teknologiaa oli hyödynnetty
34,8% tehtävistä.
Alla on esitetty kaikkien lukujen luokiteltujen tehtävien yhteenlasketut osuudet kussakin
luokassa.
Taulukko 6. Oppikirjan kaikki tehtävät luokiteltuna (yhteensä 136 tehtävää)
MR AR LCR GCR Teknologia
Yhteensä: 5 42 50 39 44
Prosentteina: 3,7% 30,9% 36,7% 28,7% 32,4%
Kaikista luokitelluista tehtävistä (136kpl) (Taulukko 6) jäljittelyyn perustuvaa päättelyä
vaativia tehtäviä oli 34,6%, joista 3,7% oli muistamiseen perustuvia (MR) ja 30,9%
algoritmiseen perustuvia (AR). Luovaa päättelyä vaati kaikista luokitelluista tehtävistä
65,4%. Lokaalia luovaa päättelyä (LCR) vaati 36,7% tehtävistä ja 28,7% vaati globaalia
luovaa päättelyä (GCR). Kaikista luokitelluista tehtävistä 32,4% hyödynsi teknologiaa
tehtävän ratkaisussa.
Oppikirjassa tehtävät oli luokiteltu ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja syventäviin
tehtäviin. Taulukossa 7 on esitetty kunkin oppikirjan käyttämän luokittelutavan
sisältämien päättelytapojen määrä prosentteina.
28
Taulukko 7. Oppikirjan käyttämän tehtäväjaon luokittelu päättelytapojen mukaan.
Tehtävätyyppi: MR AR LCR GCR Teknologia
Ydintehtävät 12,1% 75,8% 12,1% 0% 9,1%
Vahvistavat
tehtävät
1,6% 20,3% 45,3% 32,8% 40,6%
Syventävät
tehtävät
0% 10,3% 43,6% 46,1% 38,5%
Ydintehtäviä oli yhteensä 33 kappaletta, vahvistavia tehtäviä oli 64 kappaletta ja
syventäviä tehtäviä oli 39 kappaletta. Ydintehtävistä 12,1%, vahvistavista tehtävistä 1,6%
ja syventävistä tehtävistä 0% vaati muistamiseen perustuvaa päättelyä (MR).
Ydintehtävistä 75,8%, vahvistavista tehtävistä 20,3% ja syventävistä tehtävistä 10,3%
vaati algoritmista päättelyä (AR). Ydintehtävistä 12,1%, vahvistavista tehtävistä 45,3%
ja syventävistä tehtävistä 43,6% vaati lokaalia luovaa päättelyä (LCR). Ydintehtävistä
0%, vahvistavista tehtävistä 32,8% ja syventävistä tehtävistä 46,1% vaati globaalia
luovaa päättelyä (GCR). Ydintehtävistä 9,1%, vahvistavista tehtävistä 40,6% ja
syventävistä tehtävistä 38,5% hyödynsi teknologiaa tehtävän ratkaisussa. Vahvistavissa
ja syventävissä tehtävissä hyödynnettiin teknologiaa ydintehtäviä enemmän.
29
Taulukko 8. Päättelytapojen sisältämä teknologian määrä.
MR AR LCR GCR
Yhteensä: 1 4 19 20
Prosentteina: 20,0% 9,5% 38,0% 51,3%
Muistamiseen perustuvan päättelytavan tehtäviä luokittelussa oli viisi, algoritmiseen
päättelyyn perustuvia tehtäviä oli luokittelussa 42, lokaaliin luovaan päättelyyn kuului 50
tehtävää ja globaaliin luovaan päättelyyn kuului 39 tehtävää (Taulukko 6). Muistamiseen
perustuvista (MR) tehtävistä 20%, eli yksi tehtävä hyödynsi teknologiaa ja algoritmiseen
päättelyyn kuuluvista tehtävistä 9,5% hyödynsi teknologiaa. Lokaalin luovan päättelyn
tehtävistä 38% hyödynnettiin teknologiaa ja globaalin luovan päättelyn tehtävistä 51,3%
hyödynsi teknologiaa (Taulukko 8).
Kvalitatiivinen analyysi
Oppikirjan malliratkaisut tehtäviin on esitetty liitteessä B niiden käsittelyjärjestyksessä.
207 (MR): Seuraavista päättelyistä vain yksi on oikein. Mikä?
A Jos halutaan laskea funktion f raja-arvo kohdassa 𝑥 = 1, ensin on varmistettava, että
arvo 𝑓(1) on olemassa.
B Funktion arvo ja raja-arvo kohdassa 𝑥 = 𝑎 voivat olla eri suuria.
C Jos tiedetään, että 𝑙𝑖𝑚𝑥 → −1
𝑓(𝑥) = 1, niin 𝑓(−1) = 1.
30
Tehtävän ratkaiseminen vaatii vain muistamiseen perustuvaa päättelyä. Tehtävän
ratkaisemiseen tarvittavat tiedot löytyvät kirjan teoria osiosta. Tehtävä oli oppikirjassa
luokiteltu vahvistavaksi tehtäväksi. Tehtävän malliratkaisussa oli perusteltu vääriä
väittämiä, vaikkei sitä tehtävän annossa pyydetty.
Tehtävän ratkaisussa tuli löytää kolmesta väittämästä oikea. Oikean väittämän voi löytää
lukemalla kirjan teoria osion huomautuksen: ”Funktion arvolla kohdassa 𝑥 = 𝑎 ei ole
raja-arvon olemassaolon eikä itse raja-arvon kannalta merkitystä. Funktion ei tarvitse olla
edes määritelty kohdassa 𝑥 = 𝑎 (Hähkiöniemi ym. 2016).”
Tehtävän ratkaisu sivuaa (Niss & Højgaardin 2011) kompetenssikukan toista pääryhmää,
jossa opiskelijan tulee kyetä kysymään ja vastaamaan kysymyksiin matematiikassa ja
matematiikan avulla. Tehtävässä opiskelijalta vaaditaan matemaattisen ajattelun
kompetenssia, eli opiskelijan tulee ymmärtää kysymys ja osata etsiä tarvittavat tiedot
ongelmanratkaisemiseksi oppikirjasta. Tehtävän ratkaiseminen perustuu vain ulkoa
muistamiseen tai suoraan oppikirjasta tiedon hakemiseen, joten ratkaisuprosessiin ei
sisälly muita matemaattisia kompetensseja.
Tehtävässä ei vaadita opiskelijalta luovuutta, eikä matemaattista ajattelua edellä mainittua
enempää. Tehtävässä ei hyödynnetä teknologiaa, eikä se vastaa suoraan uutta
opetussuunnitelmaa.
126 (AR): Ratkaise epäyhtälö. Varmista tulos kuvaajan avulla.
a) 3−5𝑥
8𝑥−6≤ 0 b)
2𝑥−6
𝑥2−9≥ 0
Tehtävä on mekaaninen laskutoimitus, jonka voi ratkaista jäljittelemällä kirjan
esimerkkiä vaihe vaiheelta. Tehtävä on luokiteltu oppikirjassa ydintehtäväksi, eli sen
tarkoitus on vahvistaa perusasioiden hallitsemista.
31
Tehtävässä tuli ratkaista kaksi epäyhtälöä ja varmistaa tulos kuvaajan avulla. Ratkaisu
aloitetaan määrittelemällä määrittelyehto, jonka jälkeen ratkaistaan osoittajan
nollakohdat merkkikaaviota varten. Nämä kaikki vaiheet on esitetty esimerkissä 3 (s. 25),
eikä tehtävän ratkaisu malliratkaisun perusteella poikkea siitä.
Tehtävän ratkaisuun sisältyy vahvasti (Niss & Højgaard, 2011) toisen pääryhmän
kompetensseja, eli kykyä käyttää matematiikan kieltä ja apuvälineitä. Opiskelijalta
vaaditaan esittelyn ja osakseen myös symbolismin ja formalismin kompetensseja.
Opiskelijan tulee kyetä tarkastelemaan ratkaisuaan kuvaajan avulla, sekä hyödyntämään
merkkikaaviota ratkaisuun pääsemisessä. Apuvälineiden ja työkalujen kompetenssin
hyödyntäminen ongelmanratkaisuprosessissa on jätetty avoimeksi tehtävänannossa,
vaikkakin jotakin sopivaa ohjelmaa hyödyntäen kuvaajien piirtäminen kyseessä olevien
epäyhtälöiden kohdalla on suotavaa.
434 (LCR): a) Tutki appletin avulla, kuinka monta nollakohtaa funktiolla 𝑓(𝑥) =1
3𝑥3 −
𝑥2 + 𝑐 voi olla. Kiinnitä erityisesti huomiota funktion paikalliseen maksimin ja minimin
sijaintiin eri tilanteissa.
b) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1
3𝑥3 − 𝑥2 + 2 on yksi nollakohta.
c) Osoita, että funktiolla 𝑓(𝑥) =1
3𝑥3 − 𝑥2 + 1 on kolme nollakohtaa.
Tehtävä vaatii ratkaisijalta lokaalia luovaa päättelyä, sillä tehtävässä tulee osoittaa kahden
eri funktion nollakohtien lukumäärät. Oppikirjassa tehtävä on luokiteltu vahvistaviin
tehtäviin, joten sen tarkoitus on syventää oppimista.
Tehtävässä tutkittiin appletin avulla funktiota, jonka vakiotermi oli c. Appletti oli
Geogebralla toteutettu ja sen käyttäminen oli selkeää. Appletin avulla pystyi
havaitsemaan vakiotermin arvon vaikutuksen nollakohtien lukumäärään. Sen avulla
nähtiin, että b- ja c-kohdissa osoitettavilla funktioilla on tehtävänannon mukaisesti
32
nollakohtia, mutta niiden lukumäärän osoittaminen on jätetty opiskelijan oman pohdinnan
varaan.
Nollakohtien osoittamisen tukena pystyi käyttämään oppikirjan esimerkkejä, mutta
valmista esimerkkiä siihen ei kuitenkaan ollut. Opiskelijan tulee ensin derivoida funktiot
ja selvittää derivaattafunktioiden nollakohdat. Tämän jälkeen derivaattafunktion avulla
voidaan tehdä kulkukaavio, josta havaitaan millä väleillä nollakohdat sijaitsevat. Lopuksi
Bolzanon lausetta hyödyntämällä saatiin osoitettua väite oikeaksi.
Tehtävä hyödyntää seuraavia matemaattisia kompetensseja: matemaattisen ajattelun
kompetenssi, ongelmaan pureutumisen kompetenssi, perustelemisen kompetenssi,
symbolismin ja formalismin kompetenssi ja apuvälineiden ja työkalujen kompetenssi.
Matemaattisen ajattelun kompetenssia tarvitaan, kun tehtävää aloitetaan ratkaisemaan.
Opiskelijan tulee ymmärtää mitä hän on osoittamassa, sekä hänen tulee soveltaa
oppikirjan esimerkkejä, jotta tehtävän ratkaisussa pääsee alkuun. Funktio täytyy
ymmärtää ensin derivoida ja aloittaa tämän jälkeen funktion kulun tarkastelu
derivaattafunktion avulla. Nämä vaiheet sisältyvät niin matemaattisen ajattelun kuin
ongelmaan pureutumisen kompetensseihin. Ratkaisuprosessissa tulee osata kirjoittaa
epäyhtälöt formaalisti, sekä tulos tulee perustella matemaattisesti oikein. Tehtävään
rakennettua applettia tulee osata hyödyntää ja osata nähdä siitä vakiotermin arvon
muuttumisen vaikutus nollakohtiin, sekä ymmärtää käyttää ratkaisussaan Bolzanon
lausetta. Nämä liittyvät apuvälineiden ja työkalujen kompetenssiin.
332 (GCR): Tutki käyriä 𝑦 =𝑥2−3
2𝑥−3 ja 𝑦 = 𝑥2 + 1.
a) Määritä käyrien yhteiset pisteet ilman teknisiä apuvälineitä.
b) Piirrä käyrät sopivalla ohjelmalla ja tarkastele käyriä erityisesti yhteisten pisteiden
läheisyydessä tarvittaessa suurentaen kuvaa. Kuvaile havaitsemasi ero.
33
c) Määritä yhteisiin pisteisiin piirrettyjen tangenttien kulmakertoimet algebrallisesti.
Käytä tarvittaessa symbolisen laskennan ohjelmaa apuna. Miten tangenttien yhtälöt
vahvistavat b-kohdan havainnot?
Tehtävän ratkaiseminen vaatii globaalia luovaa päättelyä, sillä siinä tulee tutkia käyriä
useilla eri tavoilla, eikä ratkaisuun ole oppikirjassa mallia. Oppilaan tulee kyetä
kehittämään ratkaisumenetelmät jokaiseen kohtaan itse. Oppikirjassa tehtävä on
luokiteltu syventäviin tehtäviin.
Ensimmäisessä kohdassa tuli selvittää käyrien yhteiset pisteet, jotka saadaan selville
asettamalla käyrien yhtälöt yhtä suuriksi. Tämä vaihe tuli suorittaa ilman teknisiä
apuvälineitä ja olikin enemmän mekaaninen laskutoimitus. Kuitenkaan käyrien yhteisien
pisteiden määrittämiseen ei oppikirjassa annettu suoraan mallia, joten sen opiskelija
joutui keksimään itse tai muistelemaan aiemmin opittuja asioita.
Tehtävän b-kohdassa tuli piirtää käyrät itse valitsemallaan ohjelmalla ja havainnoida
käyrien käyttäytymistä yhteisten pisteiden läheisyydessä. Tästä tulisi huomata, että käyrät
leikkaavat yhdessä ja sivuavat toisiaan toisessa pisteessä. Opiskelijalle annettiin vapaus
käyttää haluamaansa sovellusta ratkaisunsa tukena. Leikkauspisteisiin piirrettyjen
tangenttien kulmakertoimet tuli määrittää c-kohdassa algebrallisesti ja käyttää
symbolisen laskennan ohjelmaa tukena. Opiskelijan tuli kertoa kuinka tangenttien yhtälöt
vahvistava b-kohdan havaintoja. Tangenttien kulmakertoimien määritys on jätetty aivan
opiskelijan oman valinnan varaan ja ne voikin tehtävässä ratkaista haluamallaan tavalla.
Niiden ratkaiseminen vaatii derivaatan käsitteen ja määritelmän ymmärtämistä. Lisäksi
b-kohdan havaintojen perustelu c-kohdasta saatujen tangenttien yhtälöiden avulla kertoo
opiskelijan taitotasosta ja kyvystä ratkaista matemaattisia ongelmia itsenäisesti.
Opiskelijan tulee ymmärtää kysymys ja löytää tarpeelliset tiedot ratkaisun saamiseksi,
niin kuvaajasta kuin tehtävänannostakin. Tehtävässä tulee kyetä lähtemään
tarkastelemaan ongelmaa oikealta suunnalta ja se vaatiikin hieman intuitiota opiskelijalta,
34
sillä oppikirjasta ei tähän tehtävään mennessä löydy valmista mallia. Tehtävä vaatii
opiskelijaa yhdistelemään aiemmin opittuja asioita ja arvioimaan kriittisesti omaa
työskentelyään. Ratkaisu tulee osata perustella matemaattisesti oikein ja c-kohdan
tuloksia tulee kyetä soveltamaan b-kohdan havaintoihin. Tehtävä toteuttaa kaikki neljä
ensimmäiseen pääryhmään kuuluvaa matemaattista kompetenssia. Ratkaisun
saavuttaminen c-kohdassa vaatii opiskelijalta divergoivaa ajattelua.
Tehtävässä tulee hyödyntää paljon teknologiaa ja sen valinta on jätetty opiskelijan itse
päätettäväksi. Opiskelija joutuu käyttämään ratkaisussaan siis kommunikoinnin sekä
apuvälineiden ja työkalujen kompetensseja, toisesta matemaattisten kompetenssien
pääryhmästä. Kommunikoinnin kompetenssi näkyy c-kohdassa, kun sen avulla tulee
kertoa kuinka tangenttien yhtälöt tukevat b-kohdan havaintoja.
35
Luku V
5 Pohdinta
Tässä luvussa käsitellään ensin luokiteltujen tehtävien päättelytapoja, ja sitä kuinka ne
jakautuivat oppikirjassa. Tämän jälkeen käsitellään kvalitatiivista analyysiä ja pohditaan
sen tuloksia. Lopuksi pohditaan teknologian hyödyntämistä ja jatkotutkimusaiheita.
Päättelytapojen vertailu
Oppikirjan luokitelluista tehtävistä alle 35% sisälsi jäljittelyyn perustuvaa päättelyä
(Taulukko 6), eli muistamiseen ja algoritmiseen päättelyyn perustuvaa. Tästä vain 3,7%
oli puhtaasti ulkoa muistamista vaativia tehtäviä. Oppikirjassa oli selvästi kiinnitetty
huomiota siihen, että muistamiseen perustuvia tehtäviä ei olisi. Muistamiseen
perustuvalla päättelyllä ei voida mitata oppilaan ymmärtämistä, eivätkä ne kehitä
matemaattista ongelmanratkaisukykyä (Lithner, 2007). Jäljittelyyn perustuvien tehtävien
kohdalla tilanne on toinen. Polya (2014) mainitsee teoksessaan, että matemaattisen
ongelmanratkaisutaidon kehittyminen vaatii jäljittelevien tehtävien tekemistä.
Opiskelijan tulee jäljitellä jotain tiettyä polkua ratkaisuun pyrkiessään, ja näin hänen
matemaattinen ajattelu- ja ongelmanratkaisutaidot kehittyvät kohti luovaa ajattelutapaa.
Algoritmiseen päättelyyn perustuvien tehtävien osuus luokitelluista tehtävistä oli 30,9%,
mikä on mielestäni täysin perusteltua. Yhtälöiden mekaanisen derivoimisen tulee olla
36
opiskelijalla hallussa, jotta hän voi suoriutua luovan tehtävän ratkaisemisesta. Hänellä
tulee olla taito suoriutua mekaanisista laskutoimituksista, että hän voi ajatella luovasti ja
kehittyä ongelmanratkaisussa.
Oppikirjan luokitelluista tehtävistä luovaa päättelyä vaati yhteensä 65,4%. Tästä lokaalia
luovaa päättelyä vaati 36,7% ja globaalia luovaa päättelyä 28,7%. Osa lokaalia luovaa
päättelyä vaativista tehtävistä vaati luovuutta enemmän kuin toiset, mutta ero globaaliin
luovaan päättelyyn oli selkeä. Noin kaksi kolmasosaa luokitelluista tehtävistä sisälsi
ainakin palan luovaa ajattelua ja tämä onkin ongelmanratkaisun kannalta erittäin
merkittävä seikka. Tekemällä lokaalia luovaa päättelyä vaativia tehtäviä opiskelijan
matemaattinen ongelmanratkaisutaito kehittyy, ja hänen valmiudet suoriutua globaalia
luovaa päättelyä vaativista tehtävistä parantuvat (Polya, 2014). Opiskelija saa käyttää
mielikuvitustaan ratkaisua kehitellessään, ja tämä antaa myös opettajalle mahdollisuuden
ruokkia opiskelijan motivaatiota yleisestikin matematiikkaa kohtaan. Globaalia luovaa
päättelyä vaativissa tehtävissä opiskelijan tulee osata yhdistellä useita aiemmin opittuja
asioita, eikä ratkaisuun löytynyt oppikirjasta vastaavaa esimerkkiä. Opiskelijalle annettiin
useissa tehtävän annoissa tietoon, että hänen tulee käyttää jotain sopivaksi katsomaansa
teknologista apuvälinettä ongelmaan tutustumisessa, kuten myös ratkaisuun
pääsemisessä. Opiskelijan saatua globaalia luovaa päättelyä vaativa tehtävä ratkaistua,
tuo se hänelle tunteen onnistumisesta. Tällaisilla onnistumisen kokemuksilla, eli
affekteilla on suuri merkitys matematiikan ongelmanratkaisutaidon kehittymisessä ja
motivaatiossa matematiikkaa kohtaan (Hyvärinen, 2017). Globaalia luovaa päättelyä
vaativat tehtävät sisälsivät myös useampia Niss & Højgaardin matematiikan
kompetensseja, ja olivat sen vuoksi huomattavasti monipuolisempia muihin tehtäviin
nähden. Yllättävien ja muuttuvien tilanteiden käsitteleminen antaa myös opettajalle
enemmän tietoa opiskelijan taitotasosta ja siitä, kuinka hän osaa ratkaista matemaattisia
ongelmatehtäviä. Matemaattinen luovuus onkin sitä, että opiskelija voi tuottaa jotain
ennalta määräämätöntä ja seurata intuitiotaan. Globaalin luovan päättelyn tehtävissä
opiskelijan tuli alkaa ratkaista ongelmaa rohkeasti, ja välillä kokeilemalla erilaisia
37
ratkaisumalleja. Osassa globaalin luovan päättelyn tehtävissä opiskelijan tuli käyttää vain
intuitiotaan päästäkseen ratkaisuun. Globaalin luovan päättelyn tehtävissä oli myös paljon
hyödynnetty arkielämän ilmiöitä ja niitä pyrittiin tuomaan tehtävissä selvästi esiin.
Derivaatta nähdään helposti teoreettisena, eikä sen yhteyttä arkielämään välttämättä
nähdä. Oppikirjan luovaa päättelyä vaativat tehtävät pyrkivät kuitenkin rikkomaan tätä
käsitystä ja syventävät oppimista taidokkaasti.
Tehtävät oli jaettu oppikirjassa ydintehtäviin, vahvistaviin tehtäviin ja syventäviin
tehtäviin. Ydintehtävien tarkoitus oli harjoitella luvun perusasioita, ja ne sisälsivätkin
suurimmalta osin joko muistamiseen perustuvaa tai algoritmiseen perustuvaa jäljittelevää
päättelyä. Vahvistavat tehtävät ja syventävät tehtävät vaativat enemmän luovuutta ja
antoivat opiskelijalle mahdollisuuksia kehittää omia ratkaisumalleja. Taulukosta 7
nähdään, kuinka oppikirjan käyttämän luokittelun tehtävät sijoittuivat eri
päättelytapoihin. Ydintehtävistä vain noin 12% vaati hieman luovuutta, kun taas yli 75%
ydintehtävistä vaati algoritmista päättelyä. Ydintehtävät sijoittuivat selvästi jäljittelevään
päättelyyn, ja ehkä näin olikin tarkoitus. On hyvä huomata, että muistamiseen
perustuvalla päättelyllä oli näissä ydintehtävissä pieni osa, ja suurin painoarvo oli annettu
algoritmiselle jäljittelylle. Vahvistavat ja syventävät tehtävät sisälsivät huomattavasti
enemmän luovaa päättelyä kuin ydintehtävät. Syventävissä tehtävissä globaalia luovaa
päättelyä vaativien tehtävien osuus oli noin 14 prosenttiyksikköä suurempi kuin
vahvistavien tehtävien globaalin luovuuden määrä. Oppikirjan tehtävien luokittelu on
mielestäni onnistunut ja korreloi suoraan saatujen tulosten kanssa. Mitä haastavampi
tehtävä, sitä enemmän luovuutta tulee hyödyntää.
Oppikirjassa oli viisi lukua, joista kahta viimeistä lukuun ottamatta kaikki luvut
noudattivat samanlaista jakaumaa luokiteltujen tehtävien sisältämissä päättelytavoissa.
Kolmessa ensimmäisessä luvussa oli kaikissa eniten lokaaliin luovaan päättelyyn
perustuvia tehtäviä, algoritmiseen päättelyyn perustuvia tehtäviä oli toiseksi eniten ja
vähiten oli muistamiseen perustuvaa päättelyä. Viimeisissä kahdessa luvussa globaalin
38
luovan päättelyn osuus oli muita suurempi tai yhtä suuri. Oppikirjan lukujen välillä ei siis
ole juurikaan eroavaisuuksia, vaan luvut toteuttavat samanlaista tyyliä, eli luovaa
päättelyä on suurimmassa osassa tehtävistä. Globaalia luovaa päättelyä vaaditaan
viimeisissä luvuissa sen vuoksi enemmän, että niissä on jo käsitelty perusasiat ja
tehtävissä voidaan soveltaa jo paremmin aiemmin opittua.
Oppikirjan tehtävien vaatimista päättelytavoista voi olla ylpeä, sillä yli puolet oppikirjan
tehtävistä sisälsivät luovaa päättelyä. Tämä oli täysin vastoin hypoteesia. Kuvittelin, että
derivaatta on niin teoreettinen aihe, että siihen on erittäin hankala saada luovuutta
mukaan, mutta näin ei onneksi ollut. Tehtävät vastaavat opetussuunnitelmaa erittäin
hyvin, sillä niissä hyödynnettiin tavallisia ilmiöitä ja tuotiin näin derivaattaa hieman
lähemmäksi jokaisen opiskelijan arkielämää. Opiskelijalle annettiin useissa tehtävissä
vapaat kädet lähteä ratkaisemaan ongelmaa, ja opiskelijoilta vaadittiin usein myös
perusteluja ja pohdintaa, kuinka tulokseen tai ratkaisumenetelmään on päästy.
Kvalitatiivinen analyysi
Muistamiseen perustuvassa tehtävässä (207) ei mitata osaamista tai ymmärtämistä, vain
ainoastaan ulkoa muistamista ja kappaleen lukemista. Tehtävällä ei ole juurikaan
merkitystä derivaattakäsitteen ymmärtämisessä tai oppimisessa, eikä se ole
monipuolinen. Tämän tyyppisiä tehtäviä voidaan pitää täytetehtävinä, eikä niillä ole
merkitystä oppikirjassa, joka sisältää paljon luovaa päättelyä vaativia tehtäviä.
Algoritmista päättelyä vaativassa tehtävässä (126) jäljiteltiin vain valmista esimerkkiä,
mutta se oli kuitenkin monipuolinen tehtävä, sillä se sisältää useita eri vaiheita.
Matemaattisen ajattelun kehittymisen ja matemaattisen ongelman ratkaisutaidon
harjoittelussa tällainen monivaiheinen tehtävä voi olla hyödyksi. Opiskelijalle voi
kehittyä ymmärrystä, mitä tehdään ja hän voi oppia ajattelemaan matemaattisesti
kehittyneemmin jäljittelyä vaativien tehtävien avulla. Luovuutta ei vaadittu tehtävien
39
ratkaisussa, mutta toisaalta tehtävään sisältyi vahvasti ongelmanratkaisuprosessin
käytännöntaitojen opetteluvaihe, jonka avulla oppilaan matemaattinen ajattelu kehittyy ja
hän oppii näin ratkaisemaan ongelmia itsenäisesti.
Luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä (434 ja 332) opiskelijalta vaadittiin useampien
asioiden yhdistämistä ja ne toteuttavat hyvin matematiikan kompetensseja. Tehtävissä oli
useammin hyödynnetty teknologiaa luovuuden tukena ja havainnollistuksessa jäljittelyä
vaativiin tehtäviin verrattuna. Opiskelijalle jätetään ratkaisumenetelmä avoimeksi ja hän
saa näin käyttää mielikuvitustaan ratkaisuun pyrkiessään. Ratkaisun tarkastelu ja
arvioiminen tapahtuvat useasti teknologisten sovellusten avulla. Luovuutta vaativien
tehtävien ratkaisussa hyödynnetään usein eri representaatioita kuten Hähkiöniemen
(2006) väitöskirjan mukaan derivaatan opiskelussa tulisikin tehdä. Tehtävät motivoivat
opiskelijaa ratkaisussa olemalla monipuolisia ja opiskelijalle on annettu ainakin lähes
vapaat kädet ratkaisumenetelmään. Luovuutta vaativien tehtävien monipuolisuus
toteuttaa opetussuunnitelman perusteiden (2015) asettamat vaatimukset luovuudesta ja
monipuolisuudesta. Opiskelijaa kehotetaan esittämään kysymyksiä ratkaisuprosessin
aikana ja tämä kannustaa luovaan ongelmanratkaisuun. Teknologian monipuolinen
hyödyntäminen luovuuden osalta lisää mielekkyyttä ja sen käytön avoimuus luo
mahdollisuuden käyttää juuri haluamaansa apuvälinettä. Tämä tuo vaihtelua
ratkaisuprosessiin opiskelijoiden välillä ja mahdollistaa tehtävien ratkaisujen vertailun
opiskelijaryhmissä.
Teknologian hyödyntäminen
Teknologiaa pyydettiin käyttämään tai sen käyttäminen oli selvästi nähtävissä 32,4%
tarkastelluista oppikirjan tehtävistä (Taulukko 6), mikä on kunnioitettava määrä. Uusi
opetussuunnitelma painottaakin, että teknologiaa tulee hyödyntää mahdollisimman
paljon opetuksessa ja tämä kirja mielestäni tekee sen. Appletit toimivat erittäin hyvin ja
40
niiden avulla pääsi tarkastelemaan ongelman ydintä. Teknologian hyödyntäminen
useassa muodossa tuo mielestäni esiin teknologian monipuolisen hyödyntämisen
opiskelijan luovuuden kehittämisen kannalta ja sen, että siihen on todellakin panostettu.
Oppikirjan luokitelluista luovuutta vaativista tehtävistä useat hyödynsivät teknologiaa
luovuuden tukena (Taulukko 8), kun taasen jäljittelevää päättelyä vaativissa tehtävissä
vain murto-osassa oli hyödynnetty teknologiaa. Jäljittelevissä tehtävissä appletit eivät
mahdollistaneet luovuutta opiskelijalla, vaan ne oli tarkoin rajattu palvelemaan vain
kyseisen tehtävän ratkaisua. Muistamiseen perustuvista tehtävistä yksi viidesosa
hyödynsi teknologiaa, mutta tulokset oikeellisuutta tulee kritisoida, sillä kategoriaan
kuuluvia tehtäviä oli vain viisi. Luovuuden ja teknologian välillä on selvä yhteys ja ne
nähdäänkin toisiaan vahvistavina seikkoina. Mitä monipuolisempi tehtävä, sitä
moniulotteisempi appletti mahdollistavat luovuuden käyttämisen ratkaisuprosessissa.
Globaalia luovaa päättelyä vaativissa tehtävissä hyödynnettiin teknologiaa lokaalia
luovaa päättelyä vaativia tehtäviä enemmän, joka kertoo myös luovuuden ja teknologian
välisestä yhteydestä. Myös oppikirja luokittelu ydintehtäviin, vahvistaviin ja syventäviin
tehtäviin tukee tätä väitettä. Mitä monipuolisempi ja haastavampi tehtävä, sitä enemmän
teknologiaa käytetään ratkaisuprosessin tukena.
Tutkimuksen luotettavuus
Tutkimuksessa käytettiin vain yhtä oppikirjaa, joten tulokset voisivat olla erilaisia, mikäli
oppikirjoja olisi useampia. Lisäksi luovuutta vaativaa päättelyä voisi tarkastella
muidenkin aihealueiden kannalta ja tällöin saataisiin kattavampi kuva oppikirjojen
sisältämän luovuuden määrästä. Oppikirjasta valittiin vain joka toinen tehtävä, jonka
vuoksi analyysi ei ole täysin kattava ja mahdollisesti toisen tyyppiset tehtävät ovat jääneet
analysoimatta. Pidän tätä kuitenkin epätodennäköisenä, sillä luokiteltavien tehtävien
valinnassa käytettiin liukuvaa menetelmään, joten valitut tehtävä eivät aina olleet
kappaleen ensimmäinen tehtävä ja niin edelleen. Luokittelukriteerit ovat tarkoin tutkittuja
41
ja Lithnerin (2007) kehittämää luokittelua voidaan pitää luotettavana. Tätä saman
tyyppistä luokittelua on käytetty myös muissa tutkimuksissa, kuten Gustafssonin (2013)
pro gradu -tutkielmassa. Oppikirja vastaa uuden opetussuunnitelman perusteiden (2015)
vaatimuksia luovuudesta, teknologiasta ja monipuolisuudesta, joten tuloksia voidaan
pitää luotettavina, sillä niiden kuuluukin vastata opetussuunnitelmaa. Luotettavuutta
lisäisi myös, mikäli tehtävien vaatimaa luovuutta tutkittaisiin opiskelijoiden tekemien
ratkaisujen pohjalta, eikä vain malliratkaisujen avulla. Näin matematiikan kompetensseja
saataisiin paremmin hyödynnettyä ja luovuuden käsitettä laajennettua, sekä luovuutta
tutkittua enemmän yksilön kannata. Näin polku ratkaisuun olisi opiskelijan itse luoma ja
päättelytavat riippuisivat yksilöistä. Jako luovaa tai jäljittelevää päättelyä vaativiin
tehtäviin ei ole absoluuttinen, vaan sama tehtävä voi olla toiselle oppilaalle luovuutta
vaativa, mutta toiselle oppilaalle ei. Näin ollen luokittelun tuloksetkin voivat riippua
luokittelijasta ja toinen luokittelija voisi saada samoilla kriteereillä erilaisia tuloksia.
Jatkotutkimusaiheita
Tutkitun Juuri MAA 6-oppikirjan jatkotutkimusaiheena voisi olla oppikirjassa olevien
digijohdantojen tutkiminen ja niiden hyöty kappaleen asioiden sisäistämisessä. Lisäksi
oppikirja sisältää teknologiaa ja sitä on monessa muodossa hyödynnettykin, joten sen
merkitystä derivaatan opettamisessa voisi tutkia. Oppikirjan tehtävien vaatimia
päättelytapoja voisi myös vertailla toisten kustantajien kokoamiin uuden
opetussuunnitelman mukaisiin oppikirjoihin ja tutkia onko näiden välillä eroja.
Tehtävien vaatimia päättelytapoja voisi myös analysoida opiskelijoiden tekemien
vastausten pohjalta, jolloin polku tehtävän ratkaisemiseen olisi opiskelijan itse luoma.
Näin matemaattisten kompetenssien liittäminen olisi luonnollisempaa ja luovuutta
pystyisi analysoimaan enemmän yksilön kannalta.
42
Viitteet
Boesen, J.; Lithner, J.;& Palm, T. (2010). The relation between types of assesment tasks
and the mathematical reasoning students use. Umeå Mathematics Education
Research Centre, Umeå University, 1-17.
Eskelinen, S. (2015). Opiskelijoiden kokemuksia teknologia-avusteisista tutkivan
matematiikan tehtävistä derivaatan oppimisessa. Pro Gradu -tutkielma. Itä-
Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.
Gustafsson, H. (2013). Luova ja jäljittelevä päättely yläkoulun matematiikan oppikirjojen
tehtävissä. Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan
laitos.
Heikkinen, J. (2016). OPS 2016 tavoitteet ja teknologian integrointi perinteiseen
matematiikan opetukseen. Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan
ja matematiikan laitos.
Hyvärinen, J. (2017). Affektit matematiikan oppimisessa ja opetuksessa. Pro Gradu -
tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.
Hähkiöniemi, M. (2006). The role of representations in learning the derivative.
Väitöskirja, Jyväskylän yliopisto.
Hähkiöniemi, M.; Juhala, S.; Juutinen, P.; Louhikallio-Fomin, S.; Luoma-Aho, E.;
Raittila, T.;& Tikka, T. (2016). Juuri 6 – Derivaatta. Keuruu, Kirjapaino Oy.
Isokääntä, A. (2015) Geometria yläkoulun ja lukion oppikirjoissa. Pro Gradu -tutkielma.
Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.
43
Kansanen, P.;& Uusikylä, K. (2002). Luovuutta, motivaatiota, tunteita – Opetuksen
tutkimuksen uusia suuntia. Jyväskylä, Gummerus Kirjapaino Oy.
Leskinen, J. (2014). Luovuus matematiikan opetuksessa. Pro Gradu -tutkielma. Oulun
yliopisto, Matemaattisten tieteiden laitos.
Lithner, J. (2007). A Research framework for creative and imitative reasoning.
Educational Studies Mathematics 67: 255-276.
Opetushallitus, (2015). Lukion opetussuunnitelman perusteet 2015. Haettu:
http://www.oph.fi/download/172124_lukion_opetussuunnitelman_perusteet_201
5.pdf (22.3.2017)
Niss, M.;& Højgaard, T. (2011). Competencies and Mathematical Learning – Ideas and
inspiration for the development of mathematics teaching and learning in
Denmark. Department of Science, Roskilde University, 1-209.
Partanen, M. (2013). Lukiolaisten kokemuksia ja näkemyksiä pitkän matematiikan
oppikirjan käytöstä. Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja
matematiikan laitos.
Pehkonen, E. (2012). Luovuus matematiikassa. Helsingin yliopisto, OKL. Dimensio 77
(1), 48-55.
P��lya, G. (2014) Ratkaisemisen taito – Kuinka lähestyä matemaattisia ongelmia.
Tallinna, AS Pakett.
Roivas, S. (2015). Teknologian käyttö matematiikan oppitunnilla yläkoulussa ja lukiossa.
Pro Gradu -tutkielma. Itä-Suomen yliopisto, Fysiikan ja matematiikan laitos.
Sahlberg, P.;Meisalo, V.;Lavonen, J.;& Kolari, M. (1993). Luova ongelmanratkaisu
koulussa. Helsinki, Painatuskeskus Oy.
Uusikylä, K.;& Piirto, J. (1999). Luovuus - Taito löytää rohkeus toteuttaa. Juva, WSOY.
44
Liite A
Luokitellut tehtävät
Tehtävänumero/
Aihe
Päättely-
tapa:
1.
Rationaalifunktio
MR AR LCR GCR Tekno-
logia
Esimerkki/
sivu
Teoria Muita huomioita
102 x Esim 1/ s. 11 s. 11
104 x Esim 3/ s. 14-
15
106 x Määritelmä s.
11
s. 11
108 x Esim 2/ s. 13
45
110 x x Vihje kirjan
lopussa
112 x x s. 11
114 x x
116 x x
118 x x Vihje kirjan
lopussa
120 x x
122 x Esim 1/ s. 23
124 x Esim 1/ s. 23
126 x Esim 3/ s. 25
128 x x Vihje kirjan
lopussa
130 x Vihje kirjan
lopussa
132 x
46
134 x Esim 1/ s. 21
136 x
138 x Vihje kirjan
lopussa
140 x
142 x x
144 x
146 x
148 x x Vihje kirjan
lopussa
2. Raja-arvo ja
jatkuvuus
201 x Määritelmä s. 35
203 x
205 x Esim 1/ s. 36
47
207 x Muista teoria ulkoa
209 x Esim 1/ s.36
ja esim 3/ s.
38
211 x
213 x x Vihje kirjan
lopussa
215 x Esim 3/ s. 38 Vihje kirjan
lopussa
217 x Esim 3/ s. 38
219 x Vihje kirjan
lopussa
221 x x
223 x x Vihje kirjan
lopussa
225 x Esim 1/ s. 38
48
227 x Esim 1/ s. 38
229 x
231 x x
233 x x
235 x
237 x
239 x x Digiapplikaatio
241 x
243 x Esim 2/ s. 47
245 x
247 x Määritelmä s. 53
249 x Johdanto s. 52
251 x s. 52-55
49
253 x Vihje kirjan
lopussa
255 x x
257 x x Vihje kirjan
lopussa ja
digiapplikaatio
259 x x Vihje kirjan
lopussa
261 x
263 x
265 x
267 x
3. Derivaatta
302 x x s. 65 Vihje kirjan
lopussa
304 x Esim 1/ s. 66
50
306 x Määritelmä s. 67
308 x Esim 1/ s. 66 s. 65 ja
määritelmä s. 67
310 x Teoria toimii
tukena, muttei anna
valmista vastausta.
312 x Määritelmä s. 67
314 x
316 x x Vihje kirjan
lopussa
318 x x s. 75-77
320 x Määritelmä s. 76
322 x x Vihje kirjan
lopussa
324 x x s.76 Vihje kirjan
lopussa
51
326 x x
328 x x Edellisen
kappaleen asiaa
330 x Vihje kirjan
lopussa. Tehtävään
vaadittavaa teoriaa
ei ole vielä
käsitelty.
332 x
334 x Määritelmä s. 76
336 x Esim 1/ s. 87
338 x Esim 2/ s. 88 Määritelmä s. 76
340 x Määritelmä s. 76 Vihje kirjan
lopussa
342 x Vihje kirjan
lopussa
344 x s.90
52
346 x Esim 3/ s. 88
348 x
350 x Vihje kirjan
lopussa. Vaatii
aiempien lukion
kurssien asioiden
hallitsemista.
352 x x
354 x x
356 x x Vihje kirjan
lopussa
358 x Vihje kirjan
lopussa
360 x x
4.
Polynomifunktion
kulku
53
402 x Määritelmä s.
101
Vihje kirjan
lopussa
404 x Esim 2/ s. 104
406 x Esim 2/ s. 104
408 x x Vihje kirjan
lopussa
410 x Määritelmä s.
101
412 x x Esim 3/ s. 105 Vihje kirjan
lopussa
414 x
416 x
418 x Esim 2/ s. 104 Vihje kirjan
lopussa
420 x x Vihje kirjan
lopussa
54
422 x Johdanto s. 109
424 x Johdanto s. 109
426 x Esim 2/ s. 112
428 x Arkielämän
sovellutus
430 x
432 x
434 x x
436 x
438 x x Vihje kirjan
lopussa ja
digiapplikaatio
440 x x
442 x
444 x
55
446 x x
448 x Vihje kirjan
lopussa
450 x
5.
Rationaalifunktion
kulku
501 x Johdanto s. 124
503 x Lause s. 125 Vihje kirjan
lopussa
505 x Lause s. 125
507 x Lause s.125
509 x Vihje kirjan
lopussa
511 x
56
513 x x Vihje kirjan
lopussa
515 x x
517 x
519 x x
521 x x
523 x Esim 4/ s. 138
525 x Esim 4/ s. 138
527 x x
529 x x Esim 2/ s. 135 Vihje kirjan
lopussa ja
digiapplikaatio
531 x Johdanto s. 133
533 x
535 x Vihje kirjan
lopussa