Ympäristötiedon keruu � MAA-C2001

luento 5: Korkeudet, korkeusjärjestelmät, geopotentiaali jageoidi

Martin Vermeer

�����

�����

������������

������������

������������

������������

������������������������

������������������������

������������

4. huhtikuuta 2017

1 / 51

Sisältö:

I Korkeus ja korkeudenmittaus; vaaitus

I Painovoima, gravitaatio ja potentiaali

I Lyhyesti geoidista ja ellipsoidista; "GPS-vaaitus"

I Eri korkeustyypit: ortometrinen, normaali

I Suomen korkeusratkaisut ja -järjestelmät: N60, N2000, ...

2 / 51

Korkeus, geopotentiaali ja geoidi

Korkeudet ilmaisevat pisteiden sijainnit Maan paikallisenpainovoiman vektorin (vertikaalin eli luotiviivan) suuntaan,etäisyydet sopivasta vertauspinnasta, �keskimerenpinnasta�. Maantodellinen muoto on monimutkainen: sopiva vertauspinta onkaareva, jopa kumpuileva. Vertauspintaa kutsutaan geoidiksi: se onMaan painovoimakentän ekvipotentiaalipinta, sellainen pinta, jollakaikilla pisteillä on sama geopotentiaali, Maan painovoimakentänpotentiaali. Painovoiman suunta eli luotiviiva on kaikkiallakohtisuora sitä vastaan. Pisteen etäisyyttä tästä pinnasta,mitattuna luotiviivaa pitkin, kutsutaan sen ortometriseksi

korkeudeksi. Näin ollen ortometrisella korkeudella on yksinkertainengeometrinen tulkinta, ja se on tietysti metrinen suure.

3 / 51

Ortometrinen korkeus

H

P

Merenpinta, geoidi

�Tunneli�

�Kuilu�

Topogra�a

Luotiviiva

Vertausellipsoidi

Ortometriset korkeudet ovat metrisiä etäisyyksiä geoidista, eli siitävesipinnasta, joka muodostuisi, jos merivesi pääsisi vapaastiliikkumaan topogra�an alla mielikuvituksellisen tunneliverkostonkautta. Ortometrista korkeutta voitaisiin siinä tapauksessasuoraan mitata luotiviivaa pitkin kuvatunlaisen kuilun kautta.

4 / 51

Eri korkeuden vertauspinnat ja korkeuskäsitteet

5 / 51

Suomen geoidi

20˚

20˚

24˚

24˚

28˚

28˚

32˚

32˚

60˚ 60˚

62˚ 62˚

64˚ 64˚

66˚ 66˚

68˚ 68˚

70˚ 70˚

2010 Oct 20 13:27:28

15

16

16

17

17

18

18

18

18

19

19

19

19

20

20

20

21

21

22

22

23

23

24

24

25

25

262728

29

30

31

Suomen geoidimalli FIN2000(data c© Geodeettinen laitos).Yksikkö m.

6 / 51

Vaaituksen geometria, linjavaaitus

20

��������������

00

10

��������

näkymä

t

Vaaituslatat

Vaaituskoje

∆H = t − e

e

tähtäys

Vaakasuora

e1t1

e2entnt2

7 / 51

Miten korkeusjärjestelmä luodaan

Linjavaaituksen antamat korkeuserot ∆H ei saa (suuremmilla alueilla) summatayhteen sellaisenaan. Ne on ensin muunnettava geopotentiaalieroiksi ∆C :

∆C = g ·∆H,

missä g on paikallinen painovoima. Sen jälkeen pätee geopotentiaalieroille∑sulj. silm.

∆C = 0,

vaikka raa'oille korkeuseroille ∑sulj. silm.

∆H 6= 0!

Toisin sanoen, kun korkeuserojen summa

B∑A

∆H riippuu valitusta matkasta

A:sta B:hen � eikä siis ole yksiselitteinen � on taas potentiaalierojen

summa

B∑A

∆C riippumaton matkan valinnasta. Yksiselitteisenä

geopotentiaali sopii paremmin alueen korkeusjärjestelmän perusteeksi.

8 / 51

Miten korkeusdatum luodaan

Kuvittele hetkeksi ettei Helsinki vaan Turku olisi Suomen pääkaupunki, ja ettäSuomen korkeusjärjestelmän datum-pisteeksi olisi valittu merkki Tuomiokirkonseinällä. Silloin kaikki Turun lähistöllä olevat korkeuspisteet olisivat hyvintarkkoja, mutta Helsingin alueen pisteet olisivat saman verran epätarkkoja kuinnykyjärjestelmässä ovat Turun pisteet: onhan vaaitus Turun ja Helsingin välilläjonkin verran epätarkka.

Tarkkuus riippuu näkökohdasta, valitusta datumista.

Vaihtoehtoisia korkeusdatumeita A ja B.9 / 51

Datumin esimerkki: korkeusdatumi N60 (1)

Graniittipaasi (pääkiintopiste), N60-datumin vertauspiste, Helsingin tähtitorninpihalla Kaivopuistossa. Siihen kaiverrettukorkeusarvo on 30,4652 m. Tämä onkorkeus Katajanokan siltaan kiinnitetynvesiasteikkon nollapisteen yläpuolella, mikävuosina 1904-1907 oli 109 mmkeskimerenpinnan alapuolella.Ensimmäinen Suomen tarkkavaaitus käyttitätä lähtöpisteenään ja tuottikorkeusdatumin nimeltä NN. Toisessatarkkavaaituksessa luotiin väliaikainenkorkeusdatumi N43 samalla lähtöpisteellä.

←�Rakkauden Silta�

10 / 51

Korkeusdatumi N60 (2)

Kuten kerrotaan julkaisussa[Kääriäinen, 1966] sivulla49, N60 datuminmäärityksessä otettiintämän pääkiintopisteenkorkeudeksi 30,51376 m.

Tämä kiintopiste oli Suomen toisen tarkka-vaaituksen lähtöpiste, josta levitettiin tämäkorkeusjärjestelmä kaikkialle Suomessa sijaitsevillekiintopisteille, näin tarjoten tarkkoja korkeuksiainfrastruktuuri- ja yhdyskuntarakentamisenkäyttöön kaikkialla Suomessa. Korkeuksialaskettaessa otettiin huomioon postglasiaalinenmaannousu ja N60-datumin 'epookki'(määrittelyn ajanhetki) on 1960.0.

11 / 51

Korkeusdatumi N2000 (1)

Suomen kolmannen tarkavaatuksenvalmistuttua perustettiin uusikorkeusdatumi epookilla 2000.0.Vanha epookki 1960.0 oli liiankauas menneesyydessä ja senjärjestelmän korkeudet eivät enääollut Suomen tilanteessa realistisia:maannousu vaihtelee arvosta4mm/yr Helsingin seudulla arvoon9mm/yr Oulun lähistöllä.Neljänkymmenen vuoden aikana setuotti 20 senttimetrin kallistus.

Kuvassa ( c© FGI) erotukset N2000 -N60. −→

12 / 51

Korkeusdatumi N2000 (2)

N.A.P.

Lähtöpiste taas graniittipaasi, nyt Metsähovissamihin korkeuslukema on kaiverrettu. Nyt nollatasoon käsitteellisesti Amsterdamin eli N.A.P.(Normaal Amsterdams Peil) -datumihttp://en.wikipedia.org/wiki/Amsterdam_

Ordnance_Datum

I Kuitenkaan Amsterdam ei ole enäämerikaupunki � N.A.P.:n toteutus erilainen

I Vaaitusmatka Suomi-Amsterdamhyvin pitkä,tarkkuus kärsi

I Merenpinta Helsingissä on n. 30 cm yliAmsterdamin merenpinta, johtuenmeritopografasta (Liittyy Itämerensuolaisuusgradienttiin).

13 / 51

Vaaituskoje

�����

�����

�����

�����

�����

�����

��������������

������

����

����

������������

������������

����������������

������������

Putkitasain

Jalkaruuvit Nostoruuvi

SäätöruuviPystyakseli

Kolmijalka

KaukoputkiMittaus-

14 / 51

Automaattivaaituskoje

2α

s s

α

Kompensaattorin tasoObjektiiviKuvataso

15 / 51

Digitaalinen vaaituskoje (1)

Digitaalivaaituskojeiden tuoma mittauksen automatisointi säästääkustannuksia. Mittaukset tallennetaan suoraan kojeen muistiin jatarvittavat tarkistukset tehdaan heti. Digitaalivaaituskojeen kanssakäytetään viivakoodilatta: luetaan korkeusarvoja CCD-kameran japrosessorijärjestelmän avulla. Kone varoittaa jos jos eteen ja taakse-etäisyydet eroavat toisistaan liikaa.

16 / 51

Digitaalinen vaaituskoje (2)

Toisin kuin perinteinen vaaituslatta missä mittaus aina kohdistuuyhteen tai korkeintaan kahteen jaotuksen reunaan, käytetäändigitaalilatasta aina kokonainen alue, 30 cm Zeiss DiGi12 -kojeentapauksessa. Tästä on sekä etuja että haittoja.

20

00

10

17 / 51

Vaaituslattoja

10 cm

5 cm10

00

5 cm

10 cm

20

00

10

62

63

64

65

02

03

04

01

Latta-asteikon jaotusvaihtoehtoja: E-jaotus, shakkilautajaotus,tarkkuuslatta, digijaotus (viivakoodi). Oikealla vaaitusmikrometri.

18 / 51

Vaaituslatat käyttötarkoituksen mukaan

19 / 51

Latanalustat

Kahva

Suojakappale

(Nuija)

���

���

����������

Latta

Vaaituksen eri latanalustat: kilpikonna, kiila, raidekenkä.

20 / 51

Itselaskeva latta

eli pintavaaituslatta:

I jaotus kasvaa ylhäältä alas

I alapäässä aseteltava jalka, jota voidaan vetää ulos tunnetullapisteellä, jotta saadaan oikea metrin osa-arvo näkyviin. Senjälkeen lähdetään maastoon kartoittamaan pisteidenkorkeuksia.

,38

Uusi piste, eteen (e)

12,38

12,75

,75

Tunnettu, taakse (t)

21 / 51

Pintavaaitus

Ks. kuva. Pintavaaituksen tuloksia tarvitaan ja käytetään

I numeerisia korkeusmalleja (DTM, Digital Terrain Model)luotaessa paikallisesti ja korkealla erotuskyvyllä

I siirrettävien maamassojen laskemiseen.

Kiintopiste

e

e

ee

e

e e

e

e

t

Koje

te

22 / 51

Tekninen vaaitus (1)

I Asennusmittaus teollisuudessa ja rakennustyömailla. Tämäkuuluu insinöörigeodesian alaan.

I Ääritapaus: CERNin hiukkastörmäytin Genevessä,ympärysmitta 27 km, tarkkuus millimetrien luokkaa[Schrock, 2014]

I Paperikoneet, telakatI Tierakentaminen, sillat, tunnelitI jne. jne.

23 / 51

Tekninen vaaitus (2)

I Muodonmuutosten eli deformaatioiden mittaus

I Ääritapaus: postglasiaalinen maannousuI Kaasun, öljyn tai juomaveden pumppaamisen aiheuttamat

seuraukset, antropogeeni maan vajoaminenI Patojen, vesialtaiden deformaatiotI Vanhoja rakennuksia; Pisan torniI jne. jne.

24 / 51

Pro�ilien ja poikkileikkausten vaaitus

Poikkileikkaus

Linja, esim. tien linjaus

Kiintopiste

Poikkileikkaus

Pro�ili on maan pinnan pitkittäisleikkaus tietyn reitinmukaan, yleensä suunniteltua tietä, rautatietä taivesiväylää pitkin.

Poikkileikkaus on maan pinnan poikittaisleikkaus, kohtisuora linjaavastaan. Taittokohdissa jaetaan kulma tasan.Tyypillinen pituus 20�50m. Tarkoitus on antaatukea suunnittelutyölle ja mahdollistaamaansiirtovolyymien laskenta.

25 / 51

Lasertaso

Lasertasot ovatkompensaattoristabiloituja laitteitajoissa laservaloa heitetään pyörivänprisman kautta ympäristöön vaakatasoamuodostamaan. Kojeet ovat käteviärakennustyömailla, joilla ne realisoivatvaakatasoa, jota käyttäjä voi saadanäkyviin esim. kepin avulla. Mm. hiekanlevittäminen tai seinän muuraaminensuoraksi helpottuu olennaisesti. Sopivalla(digitaali-)ilmaisimella varustettu lattaantaa suoraan alla olevan pisteenkorkeus.

26 / 51

Lisää geopotentiaalista

Maaston korkeus h (x , y) korkeuskäyrillä kuvattuna ja korkeusgradientit(nuolet). Oikealla maaston perspektiivikuva.

Kuvaan on piirretty nuolina korkeuskentän gradientti, vektorikenttä

v (x , y) =∂h (x , y)

∂xi +

∂h (x , y)

∂yj.

Gradientti on aina kohtisuora korkeuskäyrää kohtaan, joka on samaa

korkeusarvoa omaavien pisteiden joukko eli ekviarvokäyrä. Korkeuskentän

h (x , y) tavalla voidaan kuvata myös geopotentiaalia W (x , y , z)

kolmiulotteisessa avaruudessa, �korkeuskäyrien� eli ekvipotentiaalipintojenja kolmiulotteisen gradientin avulla.

27 / 51

Geopotentiaalipöytä

W (x , y , z)

Tällaiset pöydät löytyvät monessa tiedekeskusksessa. Pöydän pinnankorkeus kuvaa Maan painovoimapotentiaalia, tosin vain kahdessaulottuvuudessa. Nuolet kuvaavat taas geopotentiaalin gradienttia elipöydän pinnan kaltevuutta.

Geopotentiaalipöydällä lasikuulaa voidaan saada kiertämään �maapallon�ympäri elliptisessä Kepler-radassa, mikäli pinnan muoto on riittävänrealistinen eli Newtonin painovoimakaavan mukainen.

28 / 51

Maan normaalipainovoimakenttä

Vertausellipsoidi on normaalipainovoimakentän eräsekvipotentiaalipinta, samalla tavalla kuin geoidi on todellisen

painovoimakentän ekvipotentiaalipinta.

29 / 51

Painovoima potentiaalin gradienttina

Painovoimavektori on geopotentiaalin W (x , y , z) gradientti1:

g = ∇W = gradW =∂W

∂xi +

∂W

∂yj +

∂W

∂zk,

jossa i, j, k ovat x−,y− ja z−suuntaiset yksikkövektorit. Samallatavalla on myös normaalipainovoimavektori

−→γ = ∇U = gradU =∂U

∂xi +

∂U

∂yj +

∂U

∂zk,

normaalipainovoimapotentiaalin U gradientti.

1Symbolin ∇ nimi on nabla.30 / 51

Häiriöpotentiaali

Vähentämällä todellisesta painovoimapotentiaalistanormaalipotentiaali saadaan häiriöpotentiaali:

T ≡W − U.

Normaalipainovoiman suuruutta merkitään symbolilla γ ≡ ‖γ‖,samalla tavalla kuin todellisen painovoiman suuruus g ≡ ‖g‖.Koska molemmat vektorit ovat melkein samansuuntaisia � suoraanalaspäin � voidaan myös kirjoittaa

g = −dWdh

, γ = −dUdh.

Normaalikentän painovoimaa voidaan eksaktisti laskea, jos ontiedossa pisteen P leveysaste ϕP ja korkeus vertausellipsoidista hP :

γP = γ (ϕP , hP) .

Normaalipainovoima, kuten todellinenkin painovoima, väheneenopeasti korkeuden mukaan. Vähennys on n. 0,3mGal jokaistametriä kohti. Riippuvuus leveysasteesta on paljon heikompaa.

31 / 51

Tasopinnat ja luotiviivat

GeoidiVertausellipsoidi

Voimaviiva (luotiviiva)Geopotentiaalikenttä

Ekvipotentiaalipinta

Normaalipotentiaali

32 / 51

Todellisen ja normaalipainovoimakentänekvipotentiaalipinnat

.

.

.

ζ

P

h

Q

UP

UQ

W0 = U0

U0

Ellipsoidin normaali

WP = UQ

Luotiviiva

H

N

Vertausellipsoidi

Geoidi

(ϕP , λP)(ΦP ,ΛP)

33 / 51

Brunsin kaava (1)

Kuvassa WP = UQ , seuraa (linearisointi korkeuden h mukaan):

UP ≈ UQ + ζ∂U

∂h

∣∣∣∣P

= UQ + ζγP .

Vähentämällä saadaan häiriöpotentiaali

TP ≡WP − UP = ζγP ⇒ ζ =TP

γP. (1)

Kaava (1) on kuuluisa Brunsin kaava. Suure ζ kutsutaan pisteen P

korkeusanomaliaksi.

34 / 51

Brunsin kaava (2)

Kun piste P sijaitsee merenpinnalla (geoidilla), on WP = W0 ja Q

sijaitsee vertausellipsoidilla, eli UQ = U0 = W0. Tässä tapauksessaζ → N, geoidi-undulaatio eli geoidin etäisyys vertausellipsoidista.Brunsin kaava on nyt

N =T0

γ0,

jossa sekä T0 että γ0 lasketaan merenpinnan tasolla. KäytännössäN ≈ ζ, paitsi vuoristoissa.

35 / 51

Globaali geoidi

Maailman geoidimalli EGM08. GeoidikorkeudetGRS80-vertausellipsoidista −107m (sininen) � +86m (punainen).

c©{} U.S. National Geospatial-Intelligence Agency.

36 / 51

Painovoima potentiaalin gradienttina

.

.

.

O

y

i

j

Ekvipotentiaalipinnat W = vakio

x

∂W∂x

∂W∂z

∂W∂y

Piste P

g = ∂W∂x i + ∂W

∂y j + ∂W∂z k

Painovoimavektorik

z

W = W0 − 3∆W

W = W0 −∆W

W = W0

W = W0 − 2∆W

Painovoimavektori on geopotentiaalin gradientti, eliderivaatta kolmen paikkakoordinaatin mukaan.

37 / 51

Painovoiman ominaisuuksia

Tästä syystä paikallinen painovoima on

1. vektorina aina kohtisuora ekvipotentiaalipintoja kohtaan, ja

2. sitä suurempi, miten lähempänä toisiaan eriekvipotentiaalipinnat ovat.

Painovoimakenttä on konservatiivinen kenttä. Tämä merkitsee, ettäkun kuljetetaan koemassa suljetun polun ympäri, ei tehdä työtä.Konservatiivista voimakenttää voidaan aina kirjoittaa potentiaalingradienttina kuvassa esitetyllä tavalla.

38 / 51

Työintegraali

WB

WA

B

A

g4

g3g2

g1

∆x3∆x1

∆x4

W = vakio

∆x2

Työn polku-integraali:

WA −WB =´ AB〈g · dx〉 ≈

∑4i=1 〈gi ·∆xi 〉 .

39 / 51

Geopotentiaalilukuja

Käytännössä käytetään usein itse geopotentiaalin W sijasta sen eroC ≡ − (W −W0) �keskimerenpinnan� potentiaalista W0. Tämäpotentiaaliero, joka kasvaa ylöspäin, kutsutaangeopotentiaaliluvuksi ja yo. integraalikaavasta tulee

CB − CA = −ˆ B

A

〈g · dx〉 .

Suljetun polun tapauksessa meilla on

˛〈g · dx〉 = 0.

Geopotentiaalilukuja lasketaan maan yli ulottuvan vaaituksen

mittaustuloksista. Kaikki metriset korkeudet, kuten esimerkiksiortometrinen korkeus, lasketaan geopotentiaaliluvuista.

40 / 51

Geopotentiaaliyksikkö, GPU

Geopotentiaalin SI-yksikkö on m2/s2: matka × voima / massa =matka × kiihtyvyys = m× m/s2. Maan painovoimakentässä Maanpinnan lähellä, missä painovoiman kiihtyvyys on g = 9, 8m/s2,vastaa yhden metrin korkeusero n. 9, 8m2/s2 potentiaalieroon.

Määritetään geopotentiaaliyksikkö, GPU (GeoPotential Unit):

1GPU ≡ 10m2/s2,

niin yhden metrin korkeusero vastaa n. 0, 98GPU potentiaalieroon;vastaavasti, 1GPU potentiaaliero vastaa n. 1, 02m korkeuseroon.

Näin voidaan, kiitos siitä, että g sattuu olemaan noin 10m/s2,ilmaistaa geopotentiaalierot yksikössä, joka on hiemanintuitiivisempi kuin vastaava SI-yksikkö!

41 / 51

Ortometrisia korkeuksia, taas

P

g

g

H

Geoidi

∆H1

∆H2∆H ′2

∆H ′1

WP

∆H3

W0

Korkeudet ja ekvipotentiaalipinnat. Huomaa, että miten suurempi(vahvempi) painovoima g (aina kohtisuora ekvipotentiaalipintojakohtaan), sitä lähempänä toisiaan ovat ekvipotentiaalipinnat.

Kuvassa pisteen P ortometrinen korkeus on

H = ∆H ′1

+ ∆H ′2

+ ∆H ′3,

Kuitenkin vaaitus antaa korkeuserot ∆H1,∆H2,∆H3 maastossa,maanpinnalla pisteen ja rannikon välillä, ja

H 6= ∆H1 + ∆H2 + ∆H3!

42 / 51

Geopotentiaaliluku rannikolta

Jos pisteessä O on W = W0, seuraa, että CO = 0. Silloin kuvanesimerkkitapauksessamme2 pisteen P geopotentiaaliluku on:

C = ∆C1 + ∆C2 + ∆C3 = g1∆H1 + g2∆H2 + g3∆H3

2Yleisessä tapauksessa kaava on

C =

ˆ H

0

g (z) dz .

43 / 51

Geopotentiaaliluku luotiviivaa pitkin

Kuitenkin myös:C = g

′1∆H

′1 + g

′2∆H

′2 + g

′3∆H

′3,

jossa g ′i painovoima-arvoja kallion sisällä pisteen P luotiviivalla.

Lasketaan luotiviivan keskipainovoima3:

g ≡ g ′1∆H ′

1 + g ′2∆H ′

2 + g ′3∆H ′

3

∆H ′1 + ∆H ′

2 + ∆H ′3

=g ′1∆H ′

1 + g ′2∆H ′

2 + g ′3∆H ′

3

H.

Nyt

C = gH ⇒ H =C

g,

klassinen ortometristen korkeuksien määritelmäkaava.

3Yleinen kaava on taas

g =1

H

ˆ H

0

g (z) dx .

44 / 51

Ortometristen korkeuksien ongelma

Ongelmaksi tässä jää g :n eli painovoiman keskiarvon määritysluotiviivaa pitkin, kallion sisällä. Tarkassa laskennassa myösmaaston muotoja tarvitaan.

Eli, vaikka ortometriset korkeudet ovat fysikaalisesti elegantteja,niiden tarkka määritys voi olla käytännössä hankala.

Käytännön määritys lähtee maanpinnalla mitatusta arvosta gP ,olettamalla, että painovoima kasvaa alaspäin � maankuoren sisällä� tietyn kaavan mukaisesti, esim. Poincaré'n ja Prey'n kaavanmukaan, ks. [Heiskanen and Moritz, 1967]. Näin saatu likiarvo onSuomen alueella täysin riittävä.

45 / 51

Normaalikorkeuksia

Normaalikorkeuksien kaava on

H∗ =C

γ,

jossa γ on normaalipainovoiman keskiarvo, laskettuna taas pisteenluotiviivaa pitkin.

Toisin kuin ortometrisillä korkeuksilla, normaalikorkeuksilta puuttuuintuitiivinen, suoraan fysikaalinen tulkintatapa. Ne ovat kuitenkinmyös korkeuksia �merenpinnalta�, ja itse merenpinnannormaalikorkeus on 0.

Suomen alueella erot ortometristen ja normaalikorkeuksien välillä onmillimetriluokka. Vuoristoissa ne voivat olla useita desimetrejä.

46 / 51

Dynaamisia korkeuksia

Käytetään harvemmin. Saadaan yksinkertaisesti jakamallageopotentiaaliluku C leveysasteen 45◦ maanpinnannormaalipainovoimalla γ45, joka on vakio:

Hdyn =C

γ45.

47 / 51

Korkeustyyppien ominaisuudet

I Metrinen oikeellisuus:

jos on kaksi pistettä P ja Q toistensa suoraan yläpuolella, ja niidenvälinen etäisyys on 1 m, niin myös HP − HQ on tarkasti 1 m. Vainortometrisilla korkeuksilla on tämä ominaisuus. Dynaamisten korkeuksienmetrinen oikeellisuus on varsin heikko. Metrinen oikeellisuus on sitäparempaa, miten lähempänä kaavan nimittäjässä oleva ilmaisu ontodellista keskimääräistä painovoimaa luotiviivaa pitkin.

I Energeettinen oikeellisuus:

vesi virtaa aina �alaspäin� kyseessä olevassa korkeustyypissä. Kolmestamainitusta tyypistä vain dynaamiset korkeudet ovat energeettisestioikeellisia � kun ovat suoraan verrannollisia geopotentiaalilukuihin C .

I Tarkka laskettavuus, riippumattumuus epävarmoista hypoteeseista

Normaalikorkeudet ja dynaamiset korkeudet ovat tarkasti laskettavissateorian perusteella. Normaalikorkeuksien tapauksessa on ilmoitettava mikä

normaalikenttä on valittu laskennoissa.

Ortometriset korkeudet edellyttävät sekä todellisen painovoimakentän

että topogra�an muodon ja tiheyden tuntemusta. Käytännössä

kuitenkin näiden tekijöiden aiheuttama epävarmuus on suhteellisenpieni.

48 / 51

Esimerkki: Päijänne

Pohjoinen Etelä

HE

HP

Geoidi: W = W0

gE

gP

Päijänne

Päijänne: W = W0 + 76,9 GPU

Ortometrisissa korkeuksissa katsottuna vesi voi joskus virrata �ylöspäin�.Vaikka Päijänteen pohjois- ja eteläpäät ovat samallageopotentiaalitasolla, 76,9 geopotentiaaliyksikköä keskimerenpinnanpotentiaalia korkeammin, on eteläpään ortometrinen korkeus HE suurempikuin pohjoispään HP, koska paikallinen painovoima g on pohjoisessavahvempi kuin etelässä. Korkeusero on Päijänteen tapauksessa 8 mm(Jaakko Mäkinen, henkilökohtainen viesti). Normaalipainovoimakentänavulla laskettuna saadaan 6 mm. Loput 2 mm tuleepainovoima-anomalioiden erosta järven pohjois- ja eteläpäiden välillä.

49 / 51

Yhteenveto, kysymyksiä

Tämän päivän aiheita:

I Korkeus ja korkeudenmittaus; vaaitus

I Painovoima, gravitaatio ja potentiaali

I Lyhyesti geoidista ja ellipsoidista; "GPS-vaaitus"

I Eri korkeustyypit: ortometrinen, normaali

I Suomen korkeusratkaisut ja -järjestelmät: N60, N2000, ...

Kysymyksiä?

Kiitos!50 / 51

Kirjallisuutta

Heiskanen, W. A. and Moritz, H. (1967).Physical Geodesy.W.H. Freeman and Company, San Francisco.

Kääriäinen, E. (1966).The Second Levelling of Finland in 1935-1955.Publication 61, Finnish Geodetic Institute, Helsinki.

Schrock, G. (Kesäkuu 2, 2014).CERN.xyHt.http://www.xyht.com/civiltransportation/cern-2/.

51 / 51