1

Løsning av typeoppgaver

og eksamensoppgaver med

Microsoft Mathematics,

WordMat og GeoGebra

Av Sigbjørn Hals

2

Innhold

Innledning........................................................................................................................ 3

Typeoppgave 1 ............................................................................................................... 3

Oppgaven ............................................................................................................. 3

Fremgangsmåten ................................................................................................. 4

Løsningen ............................................................................................................ 4

Typeoppgave 2 ............................................................................................................... 5

Oppgaven ............................................................................................................. 5

Fremgangsmåten ................................................................................................. 5

Løsningen ............................................................................................................ 7

Oppgave 4 i 1T, våren 2011 ........................................................................................... 8

Oppgaven ............................................................................................................. 8

Fremgangsmåten ................................................................................................. 9

Løsningen .......................................................................................................... 11

Oppgave 6 i 1T, våren 2011 ......................................................................................... 13

Oppgaven ........................................................................................................... 13

Fremgangsmåten ............................................................................................... 14

Løsningen .......................................................................................................... 14

Oppgave 3 i R2, våren 2011 ........................................................................................ 15

Oppgaven ........................................................................................................... 15

Fremgangsmåten ............................................................................................... 16

Løsningen .......................................................................................................... 17

Oppgave 6 i R2, våren 2011 ........................................................................................ 19

Oppgaven ........................................................................................................... 19

Fremgangsmåten ............................................................................................... 19

Løsningen .......................................................................................................... 20

Øvingsoppgaver ............................................................................................................ 21

Oppgave 8, alternativ I. 1P våren 2010 ............................................................ 21

Oppgave 6. 1T våren 2010 ................................................................................ 21

Oppgave 5. S1 våren 2010................................................................................ 22

3

Innledning

Med en todelt eksamen i matematikk, får elevene vist om de behersker både

grunnleggende regneferdigheter (del 1) og det å tenke matematisk og kunne løse

sammensatte problemer (del 2). Det er selvsagt viktig å beherske begge deler.

I et brev fra Utdanningsdirektoratet datert 19.12.11, blir det annonsert en endring av

eksamensordningen. I brevet står det m.a.:

Bakgrunnen for forslaget er primært at læreplanens krav til bruk av digitale verktøy ikke blir godt nok ivaretatt innenfor dagens eksamensordning. Forslagene til endring er basert på erfaringene med eksamen i matematikk hittil i Kunnskapsløftet, tilbakemeldinger fra sensorer og sentrale fagmiljøer. Et viktig formål er også å bedre kunne ivareta læreplanens kompetansemål med krav til å argumentere, resonnere, utlede, drøfte og bevise i matematikk. Dette er kompetanser som er viktige å ivareta til eksamen, og som internasjonale undersøkelser som PISA og TIMSS Advanced viser at norske elever scorer relativt dårlig på sammenlignet med elever i andre land.

Kilde: http://www.udir.no/Upload/Eksamen/4/Erfaringer_og_vurderinger_av_eksamen_2011_2012.pdf?epslanguage=no

Den nye eksamensordningen er planlagt å tre i kraft fra våren 2015. Vi vil altså få økte krav til digital kompetanse, og til å «argumentere, resonnere, utlede, drøfte og

bevise». Det er da rimelig å gå ut fra at det vil bli gitt eksamensoppgaver på del 2, der elevene i større grad vil måtte omforme en situasjonsbeskrivelse til et matematisk uttrykk og der de kan bruke digitale verktøy til til å utføre de nødvendige

beregningene. De to typeoppgavene er eksempler på slike oppgaver. Den første kunne vært gitt på ungdomstrinnet, om de de behersket digitale verktøy som kan løse tre likninger med tre ukjente. Den andre typeoppgaven krever matematiske

kunnskaper fra kurset R2.

Typeoppgave 1

Oppgaven

I en rettvinklet trekant er høyden på hypotenusen 12 cm og summen av

lengdene av alle sidene er 60 cm. Hva er lengden på hver av de tre sidene a, b og c i

trekanten? Finnes det flere løsninger?

4

Fremgangsmåten

Ut fra den rettvinklede trekanten, kan vi finne tre likninger med tre ukjente:

, og

Åpne Microsoft Mathematics, velg Ligningsløser og skriv de tre likningene inn i

Ligningsløser, Løs system av 3 ligninger.

Skriv inn de tre likningene og klikk på Løs.

Løsningen

Vi kan utlede tre likninger fra opplysningene om den rettvinklede trekanten:

I Omkretsen:

II Pytagoras:

III To uttrykk for arealet av trekanten:

5

Ved å skrive disse tre likningene inn i Microsoft Mathematics, får vi løsningene

Det er rimelig at vi får to løsninger på grunn av symmetriegenskapene. Vi vil få en

løsning som er en speiling av den andre. Dersom b skal være den lengste kateten,

slik som på figuren, får vi bare løsningen

Typeoppgave 2

Oppgaven

På ei øy er det mange mus. Musene formerer seg raskt. Dersom det ikke var

naturlige fiender til musene må øye, ville antallet mus hver måned øke med 40 % av

den aktuelle bestanden. På den samme øya var der også ugler, som til sammen

spiste 12 mus hver dag.

a) Kall bestanden av mus for y, og lag en differensiallikning som viser veksten i

musebestanden hver måned. (Vi regner 30 dager i hver måned.)

b) Hvor mange mus er der på øya etter seks måneder, dersom det i

utgangspunktet er 800 mus på øya?

c) Hvor mange mus må det i utgangspunktet være på øya, dersom bestanden

skal holde seg stabil på samme nivå hele tiden?

d) Finn den generelle løsningen av differensiallikningen.

Fremgangsmåten

a) Differensiallikningen blir: .

b) For å finne svaret på oppgave b og c, vil det lønne seg å lage et retningsdiagram.

Trykk Alt og M. Skriv inn differensiallikningen og trykk på Show Graph. Velg

Direction field og bruk innstillingene slik figuren nedenfor viser.

Trykk Update. Her blir resultatet utydelig om vi klikker OK for å sette inn

retningsdiagrammet. Bruk derfor et utklippsverktøy, kopier diagrammet til

utklippstavla og lim det inn i Words-dokumentet.

6

b) Vi kan nå lese svaret på oppgave b rett ut av diagrammet. (Musene er utryddet).

c) Vi ser at det må være 900 mus i utgangspunktet for at bestanden skal holde seg

på det samme nivået hele tiden.

d)

Trykk Alt og M. Skriv eller kopier inn differensiallikningen på nytt.

Trykk på WordMat, Solve equation(s) og velg Solve differential equation.

Dersom vi tar med initialbetingelsen y = konstanten k når x = 0, får vi denne

løsningen:

( )

Vi ser da at når k = 900, blir det første leddet 0, og bestanden blir uavhengig

av x og alltid lik 900 mus.

7

Løsningen

a) Når veksten er 40 % av populasjonen, får vi at .

Det forsvinner ( ) mus/måned. Differensiallikningen blir da:

b) Jeg brukte WordMat til å tegne retningsdiagrammet for differensiallikningen. I

tillegg tegnet jeg løsningskurven for punktet (0, 800). En ser da fra diagrammet at

musebestanden er utryddet før det har gått 6 måneder.

8

c) Vi kan også lese fra diagrammet at det må være 900 mus i utgangspunktet for at

bestanden skal holde seg stabil.

d) Jeg lar WordMat finne den generelle løsningen av differensiallikningen:

Oppgave 4 i 1T, våren 2011

Oppgaven

9

Fremgangsmåten

a)

Skriv inn overskriften og a). Trykk mellomromstasten.

Trykk Alt og D for å definere funksjonen f.

Bruk ^2 og mellomromstasten for at WordMat skal skrive 2.

Trykk Alt og P for å plotte grafen. Velg innstillingene slik figuren nedenfor viser.

Klikk Update og OK. Reguler størrelsen på figuren ved å dra på skrå inn mot

midten i et av hjørnene.

Skriv «x (km/h)» i feltet for tittel langs x-aksen og «f(x) (gram CO_2 per min)» i

feltet for tittel langs y-aksen. WordMat ordner automatisk CO_2 om til CO2.

10

b)

Kopier grafen og lim den inn igjen under punkt b.

Dobbeltklikk på den nylig innlimte grafen slik at den åpnes for redigering.

Skriv inn 150 i et felt slik figuren nedenfor viser. Klikk Update og OK.

Les av ( ) grafisk og skriv resultatet.

Trykk Alt og M, skriv ( ) og trykk Alt og L for å løse likningen.

Klikk i løsningene og reduser antallet desimaler der.

Trykk Alt og M og skriv inn ( ) Trykk Alt og L for å løse likningen.

Reduser antallet desimaler i svaret.

Trykk Alt og M, skriv inn ( ) og trykk Alt og B for å beregne verdien.

Skriv svaret. Klikk på Hjem, Skrift og velg dobbelt understrekning

under Type understrekning.

c)

Trykk Alt og M. Skriv ( ) Trykk Alt og B for å beregne denne verdien.

Trykk Alt og M. Skriv 142,4 g/min. Trykk Alt og G for å skrive et gangetegn.

Skriv 30 min.

Trykk Alt og B for å beregne det samlede utslippet. Legg merke til at WordMat

regner ut riktig enhet (g) i svaret.

Skriv svaret omgjort til kg, med to strek under.

11

Løsningen

Oppgave 4

a) ( )

b 1)

Grafisk løsning:

Vi ser av grafen ovenfor at utslippet er 150 g CO2 per km når farten er ca. 60

km/t eller ca. 85 km/h.

12

Løsning ved regning:

( )

Jeg løste likningen ovenfor ved å trykke på Alt og L i WordMat.

Utslippet var 150 g/km når farten var 59,7 km/h eller 86,0 km/h

b 2)

Vi har en ekstremalverdi (her minimumsverdi) når ( ) Jeg skriver inn

denne likningen, og trykker Alt og L for å løse den. Deretter skriver jeg inn

( ) og trykker Alt og B for å beregne verdien.

( )

( )

Vi har det minste utslippet når farten er ca. 73 km/h. Utslippet er da 142 gram

CO2 per km.

c) Jeg regnet først ut utslippet når farten var 70 km/h.

( )

2 per minutt når farten er 70 km/h.

I løpet av en halv time blir da det samlede utslippet

Det samlede utslippet er 4,3 kg CO2.

13

Oppgave 6 i 1T, våren 2011

Oppgaven

14

Fremgangsmåten

a) Her leser vi bare av og skriver ned svarene direkte ut fra grafen.

b)

Her leser vi først av punktene (0,15) og (5, 90) fra grafen.

Vi kan gjerne bruke topunktsformelen, men det er lett å se direkte at da blir

stigningstallet

, og at konstantleddet også blir 15.

Fordi vi bruker ( ) om funksjonen som beskriver nedkjølingen i oppgave c, kan

vi her bruke ( ) om funksjonen som beskriver oppvarmingen av vannet. Trykk

Alt og D og definer funksjonen g. ( )

Trykk Alt og M og skriv inn ( ) . Trykk Alt og L for å løse likningen.

c) Oppgaven er her litt upresist definert. Vi har to områder der temperaturen kan

være over 60 °C. Det er under oppvarmingen ( ) der funksjonen g

gjelder, og under nedkjølingen ( ), der funksjonen f gjelder.

Trykk Alt og D. ( ) .

Trykk Alt og M og skriv inn ( ) . Trykk Alt og L for å løse ulikheten.

WordMat klarer ikke å løse ulikheten ( ) Jeg bruker derfor wxMaxima til

å løse ulikheten .

I wxMaxima skriver vi inn ulikheten, klikker på Regn ut og deretter på Til

desimaltall.

d) Ut fra likningen ( ) ser vi at når x går mot uendelig går

( ) mot konstantleddet 5.

Løsningen

Oppgave 6

a1) Vi ser av figuren at grafen skjærer y-aksen når

Vannet hadde temperaturen 15 °C da det ble tappet fra springen.

a2) Vi ser av figuren at de varmer vannet i 5 min. Temperaturen var da 90 °C.

b) Her leser vi først av punktene (0,15) og (5, 90) fra grafen.

Vi kan gjerne bruke topunktsformelen, men det er lett å se direkte at da blir

stigningstallet

, og at konstantleddet også blir 15.

15

Vi kaller funksjonen for oppvarmingen g. ( )

c) Jeg brukte WordMat, og skrev inn ( ) . Ved å trykke på Alt og L får jeg da

svaret

Jeg brukte CAS-verktøyet wxMaxima til å løse ulikheten ( )

Jeg skrev da inn ulikheten i inntastingsfeltet, trykket Regn ut, og lot programmet

gjøre svaret om til desimaltall. Jeg vurderte rimeligheten i svaret ved å

sammenligne med grafen, og svaret så ut til å stemme ut fra denne.

Temperaturen er høyere enn 60 °C når

d) Ut fra likningen ( ) , ser vi at når x går mot uendelig går

( ) mot konstantleddet 5.

Temperaturen i kjøleskapet er 5 °C.

Oppgave 3 i R2, våren 2011

Oppgaven

16

Fremgangsmåten

a)

Åpne GeoGebra 4.0

Skriv i inntastingsfeltet:

OBS! Du må trykke Alt og e for å få Eulers tall e.

Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet:

Bruk kommandoen Ekstremalpunkt[f, 0, 4] for å finne toppunktet.

Høyreklikk på punktet, bytt navn fra A til Toppunkt og velg deretter Vis navn og

verdi fra det aktuelle nedtrekksfeltet.

Bruk pekeverktøyet og dra et rektangel over det utsnittet du ønsker å bruke og

trykk på Ctrl, Shift og C samtidig. Utsnittet er da kopiert til utklippstavla.

Gå tilbake til Word-dokumentet og trykk Ctrl og V for å lime inn bildet av grafen.

En alternativ måte å tegne grafen på, er å ikke åpne GeoGebra, men å trykke

Alt og M, skrive inn likningen ( ) √

.

Klikk på nedtrekksmenyen ved «Show Graph» og velg GnuPlot.

Velg innstillingene slik figuren nedenfor viser.

Klikk på Settings og fjern haken for Vis forklaring.

Klikk på Update og deretter på OK, for å sette inn grafen.

Trykk Alt og D for å definere funksjonen ( ) √

Trykk Alt og M og skriv ( )

17

Vi får svaret

Trykk Alt og M, og skriv f(3/2). Trykk Alt og B for å beregne verdien.

b)

Trykk Alt og D for å definere funksjonen f i WordMat:

( ) √

. Bruk Alt og G for gangetegn.

Trykk på Alt og M for å skrive inn et nytt uttrykk.

Klikk på ikonet med ring rundt nedenfor når du har valgt WordMat.

Velg det øverste alternativet («Rumfang af omdrejningslegeme»).

Bytt ut a og b som grenser for integralet med 0 og 4.

Trykk Alt og B for at WordMat skal regne ut volumet.

Løsningen

Oppgave 3

a) Jeg brukte kommandoen Funksjon[2*sqrt(x)*e^(-x/2), 0, 4] for å tegne grafen for x-

verdier mellom 0 og 4. Jeg brukte Alt og e for å få Eulers tall. Videre brukte jeg

kommandoen Ekstremalpunkt[f, 0, 4] for å finne maksimumsverdien i dette

området.

18

Toppunktet har koordinatene (1,5, 1,5)

Alternativ løsning uten bruk av GeoGebra:

a) Jeg definerte funksjonen f i WordMat og lot programmet tegne grafen til

funksjonen for den aktuelle definisjonsmengden. ( ) √

For å finne toppunktet lot jeg WordMat regne ut løsningen på likningen

( ) .

Svaret

ser rimelig ut i forhold til grafen. Til slutt lot jeg programmet regne

ut (

) √

√

√ . Toppunktet har koordinatene ( )

b) Jeg har alt definert funksjonen f i WordMat. ( ) √

, og brukte verktøyet

Volum av omdreiingslegeme («Rumfang af omdrejningslegeme») til å skrive og

regne ut integralet som vi må bruke for å finne volumet.

∫ ( ( ))

(

)

Volumet av omdreiingslegemet er 21,1.

19

Oppgave 6 i R2, våren 2011

Oppgaven

Fremgangsmåten

a)

Åpne GeoGebra og skriv i inntastingsfeltet:

Les svarene direkte av fra grafen.

b)

Tegn grafen til den deriverte i det samme koordinatsystemet. Det gjør vi ved å

skrive

Deretter skifter vi navn på funksjonen fra h til f’.

Vi tegner fortegnslinja ut fra grafen til den deriverte.

For å finne koordinatene til endepunktene, som også er toppunkt og bunnpunkt,

skriver vi (0, f(0)) og (24, f(24)).

20

c) Vi ser at g er definert som g(x) = 22 + f(x), og bruker dette til å finne den laveste og

høyeste temperaturen i løpet av dette døgnet.

Løsningen

Oppgave 6

a) Vi tegner grafen med GeoGebra.

Vi leser av at amplituden er 7 og perioden ( )

b) Jeg tegnet grafen til den deriverte i det samme koordinatsystemet som grafen til f,

og brukte denne til å tegne fortegnslinja for den deriverte.

21

Grafen og fortegnslinja at f har minimumspunktene (-3, 7.1) og (24, -5) og

maksimumspunktene (0, -5) og (15, 7.1).

c) Vi ser av grafen at f har sitt absolutte bunnpunkt i (3, -7.1) og sitt absolutte

toppunkt i (15, 7.1). g, som er definert som g(x) = 22 + f(x), vil da ha sitt

absolutte bunnpunkt i (3, -7.1 + 22) = (3, 14.9) og sitt absolutte toppunkt i

(15, 7.1 + 22) = (15, 27.1).

Den laveste temperaturen er 14,9 °C kl 3 om natta og den høyeste

temperaturen er 27,1 °C kl 15.

Øvingsoppgaver

Oppgave 8, alternativ I. 1P våren 2010

Oppgave 6. 1T våren 2010

22

Oppgave 5. S1 våren 2010