LİSE MATEMATİK - Pegem.Net 1- TANITIM(7).pdfMATEMATİK NEDİR? Matematik, kimilerine göre genel...

15
2 1 0 8 kpss ÖABT Önce biz sorduk 50 Soruda SORU 30 Güncellenmiş Yeni Baskı LİSE MATEMATİK ALAN EĞİTİMİ

Transcript of LİSE MATEMATİK - Pegem.Net 1- TANITIM(7).pdfMATEMATİK NEDİR? Matematik, kimilerine göre genel...

2 10 8

kpss

ÖABT

Öncebiz sorduk

50 Soruda

SORU30

GüncellenmişYeni

Baskı

LİSEMATEMATİK

ALAN EĞİTİMİ

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Alan Eğitimi Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-318-911-4

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.

5. Baskı: 2018, Ankara

Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu

Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde

Yenimahalle/ANKARATel : 0312 394 55 91

Yayıncı Sertifika No: 14749Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected]

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi [email protected] adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

1) Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a) Analiz

b) Cebir

c) Geometri

d) Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

2) Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014-2015-2016-2017 ÖABT MATEMATİK ÖABT Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR?Matematik Nedir?......................................................................................................................................................3

Mutlakçılar ............................................................................................................................................................3Yarı Deneyselciler .................................................................................................................................................4Teorik-Uygulamalı Matematik ...............................................................................................................................4Klasik-Modern Matematik .....................................................................................................................................4Akademik-Okul Matematiği...................................................................................................................................4Çözümlü Test ........................................................................................................................................................7Çözümler ..............................................................................................................................................................9

2. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETMEMatematiği Öğrenme ve Öğretme ........................................................................................................................13

Bilişsel Öğrenme Alanı .......................................................................................................................................13Duyuşsal Öğrenme Alanı....................................................................................................................................13Devinişsel Öğrenme Alanı ..................................................................................................................................13Davranışçı Yaklaşım ...........................................................................................................................................13

Klasik Koşullanma ........................................................................................................................................13Edimsel Koşullanma .....................................................................................................................................14

Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım .........................................................................................................................14Fonksiyonalist Yaklaşım .....................................................................................................................................14Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım ................................................................................................................................14Yapılandırmacı Yaklaşım ....................................................................................................................................14Buluş Yoluyla Öğrenme ......................................................................................................................................15Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme) ......................................................................................................................16Bilgi-İşlem Yaklaşımı ..........................................................................................................................................16Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim) ........................................................................................................16Gerçekçi Matematik Eğitimi ................................................................................................................................16Çoklu Zekâ Kuramı .............................................................................................................................................17Öğrenme Stilleri ..................................................................................................................................................17Matematik Öğretimi Yöntemleri ..........................................................................................................................17

Düz Anlatım Yöntemi ....................................................................................................................................17Tanımlar Yardımıyla Öğretim ........................................................................................................................17Buluş Yoluyla Öğretim ..................................................................................................................................17Analizle Öğretim ...........................................................................................................................................18Senaryo ile Öğretim ......................................................................................................................................18Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim ........................................................................................................18Kurallar Yardımıyla Öğretim .........................................................................................................................18Deneysel Etkinliklerle Öğretim......................................................................................................................18Oyunlarla Öğretim ........................................................................................................................................18

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................19Çözümler ............................................................................................................................................................21

3. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMIOrtaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ................................................................................................25

2006 Programın Özellikleri .................................................................................................................................254+4+4 Eğitim Sistemi..........................................................................................................................................25Öğretim Programının Genel Amaçları ................................................................................................................26Öğretim Programının Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı ..........................................................................................27Öğretim Programının Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı .................................................................................27

vi

Öğretim Programında Yeterlilik ve Beceriler .......................................................................................................28Öğretim Programında Değerler Eğitimi ..............................................................................................................29Öğretim Programının Uygulanmasında Dikkat Edilecek Hususlar .....................................................................29Öğretim Programının Yapısı ...............................................................................................................................29Çözümlü Test ......................................................................................................................................................35Çözümler ............................................................................................................................................................37

4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZMEProblem Çözme .....................................................................................................................................................41

Problem Nedir?...................................................................................................................................................41Problem Çözme ..................................................................................................................................................41

Problemi Anlama ..........................................................................................................................................41Çözüm İçin Plan Yapma ...............................................................................................................................41Planın Uygulanması .....................................................................................................................................41Değerlendirme ..............................................................................................................................................41

Problem Çözme Öğretimi ...................................................................................................................................43Sistematik Liste Yapma ................................................................................................................................43Tahmin ve Kontrol .........................................................................................................................................43Diyagram Çizme ...........................................................................................................................................43Bağıntı Bulma ...............................................................................................................................................44Değişken Kullanma.......................................................................................................................................44Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma ...........................................................................................44Geriye Doğru Çalışma ..................................................................................................................................44Eleme ...........................................................................................................................................................44Tablo Yapma .................................................................................................................................................44Muhakeme etme ...........................................................................................................................................44

Problem Kurma...................................................................................................................................................45Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma ..............................................................................................45Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma ..................................................................................................45Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma ......................................................................................................46

Matematik Eğitiminde Problem Çözme ..............................................................................................................46Problem Çözme İçin Öğretim .......................................................................................................................46Problem Çözmeye İlişkin Öğretim ................................................................................................................46Problem Çözme ile Öğretim .........................................................................................................................46

Çözümlü Test ......................................................................................................................................................47Çözümler ............................................................................................................................................................49

5. BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ Mantık Öğretimi .....................................................................................................................................................53

Temel Kavramların Öğretimi ...............................................................................................................................53Önerme Kavramı ..........................................................................................................................................53Önermenin Olumsuzu (Değili) ......................................................................................................................54

Bileşik Önermeler ...............................................................................................................................................54Veya Bağlacı (∨) (Dahili Birleşim) .................................................................................................................55Ve Bağlacı (∧) ...............................................................................................................................................55Koşullu Önerme (⇒) .....................................................................................................................................55İki Yönlü Koşullu Önerme (⇔) .....................................................................................................................55

Bileşik Önermelerin Özellikleri ............................................................................................................................56Tek Kuvvet Özelliği .......................................................................................................................................56Değişme Özelliği...........................................................................................................................................56Birleşme Özelliği ...........................................................................................................................................56

vii

Dağılma Özelliği �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������56Totoloji ve Çelişki ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������57Açık Önermeler���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������57Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������57Çözümlü Test ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������59Çözümler ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������61

6. BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ Kümeler Öğretimi ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������65

Temel Kavramların Öğretimi �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������65Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������66Kümelerle İşlemlerin Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������67

Birleşim İşlemi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������67Kesişim İşlemi�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������68Fark İşlemi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������68Kartezyen Çarpım�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������68

Çözümlü Test ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������70Çözümler ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������72

7. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİGerçek Sayılar Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������75

Karekök Kavramı ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������76Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������77

İşlem Özelliklerinin Öğretimi �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������77Çarpma İşlemi Öğretimi ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������77

İşlem Özelliklerinin Öğretimi �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������78Bölme İşlemi Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������78Gerçek Sayılar ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������79Eşitlik Özellikleri��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������79Eşitsizlik Özellikleri ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������80Asal Sayılar ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������81Bölünebilme Kuralları �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������82En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) ������������������������������������������������������������������������84Aralıklar ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������84Denklem Çözümü �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������85Çözümlü Test ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������86Çözümler ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������89

8. BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİÜslü ve Köklü İfadeler Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������93

Üslü İfadeler Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������93Üslü Denklemler ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������94Köklü İfadeler Öğretimi ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������94Çözümlü Test �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������97Çözümler �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������99

9. BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİPolinomlar Öğretimi ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������103

Polinomlar Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������103Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi ���������������������������������������������������������������������������������������������������������104

Toplama ve Çıkarma Öğretimi ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������104

viii

Çarpma Öğretimi ........................................................................................................................................105Bölme Öğretimi ...........................................................................................................................................105

Çarpanlara Ayırma Öğretimi .............................................................................................................................107Ortak Çarpan Parantezine Alma.................................................................................................................107Gruplandırma..............................................................................................................................................107Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması ..................................................................................................107a2 + 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ...........................................................................................108a2 - 2ab + b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ............................................................................................108a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması .................................................................109a2 - b2 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ......................................................................................................109a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması .............................................................................. 110x3 - a3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ...................................................................................................... 110ax2 + bx + c Polinomunun Çarpanlara Ayrılması ........................................................................................ 110

Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi ....................................................................................................... 112Çözümlü Test .................................................................................................................................................... 114Çözümler .......................................................................................................................................................... 116

10. BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER,, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİİkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi ������������������������������������������������������������� 119

İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi .............................................................................................................120Eşitsizlikler Öğretimi .........................................................................................................................................123İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi ...........................................................................................................126

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................128Çözümler ..........................................................................................................................................................130

11. BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİOlasılık ve İstatistik Öğretimi ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������133

Olasılık Öğretimi ...............................................................................................................................................134Toplama Yoluyla Sayma İlkesi ....................................................................................................................134Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi .....................................................................................................................134Permütasyon ..............................................................................................................................................134

Tekrarlı Permütasyon............................................................................................................................135Kombinasyon ..............................................................................................................................................135Binom Açılımı .............................................................................................................................................136Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar..................................................................................................................136Olay Çeşitleri ..............................................................................................................................................137

Kesin ve İmkânsız Olaylar ....................................................................................................................137Tümleyen Olay .....................................................................................................................................138Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar ............................................................................................................138Bağımlı ve Bağımsız Olaylar ................................................................................................................138

Koşullu Olasılık ...........................................................................................................................................139Olasılık Çeşitleri....................................................................................................................................139

İstatistik Öğretimi ..............................................................................................................................................142Veri Toplama ...............................................................................................................................................142Tablo ve Grafikler........................................................................................................................................142Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri ............................................................................................................144

Aritmetik Ortalama ................................................................................................................................144Tepe Değer (Mod).................................................................................................................................144Ortanca (Medyan).................................................................................................................................145Açıklık (Ranj) ........................................................................................................................................145Standart Sapma....................................................................................................................................145

ix

Çözümlü Test ....................................................................................................................................................148Çözümler ..........................................................................................................................................................150

12. BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİTrigonometri Öğretimi ..........................................................................................................................................153

Yönlü Açılar Öğretimi........................................................................................................................................153Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi ................................................................................................................155Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri ............................................................................................................156Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi .....................................................................................................157Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi ..................................................................................................157Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi.............................................................................................................159Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi ......................................................................................................................159Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi ...............................................................................................................160Çözümlü Test ....................................................................................................................................................162Çözümler ..........................................................................................................................................................164

13. BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİKarmaşık Sayılar Öğretimi �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������167

Karmaşık Sayılar Öğretimi................................................................................................................................168Karmaşık Kökler ...............................................................................................................................................168Çözümlü Test ....................................................................................................................................................169Çözümler ..........................................................................................................................................................170

14. BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİÜstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi�������������������������������������������������������������������������������������������������������������173

Üstel Fonksiyon ................................................................................................................................................174Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................................................174Onluk ve Doğal Logaritma ................................................................................................................................175Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri................................................................................................................176Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler ................................................................................................176Çözümlü Test ....................................................................................................................................................177Çözümler ..........................................................................................................................................................179

15. BÖLÜM: DİZİLER ÖĞRETİMİDiziler Öğretimi .....................................................................................................................................................183

Toplam Sembolü ................................................................................................................................................183Diziler .................................................................................................................................................................184Monoton Diziler ..................................................................................................................................................184Aritmetik Dizi ......................................................................................................................................................185 Geometrik Dizi ...................................................................................................................................................185Çözümlü Test .....................................................................................................................................................187Çözümler ...........................................................................................................................................................189

16. BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİFonksiyon Öğretimi .............................................................................................................................................193

Fonksiyon Kavramı ...........................................................................................................................................194Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi ............................................................................................194

Venn Şeması ile Gösterim ..........................................................................................................................195Liste Biçiminde Gösterim ............................................................................................................................195Grafiklerle Gösterim....................................................................................................................................195

x

Cebirsel Gösterim .......................................................................................................................................196Fonksiyonların Grafiği.......................................................................................................................................196Fonksiyon Türleri ..............................................................................................................................................197Ters Fonksiyon .................................................................................................................................................198Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar.................................................................................................................198Çift ve Tek Fonksiyon .......................................................................................................................................199Fonksiyonlarda İşlemler....................................................................................................................................199

Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi ....................................................................................................................200Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi...........................................................................................................201Parçalı Fonksiyonlar .........................................................................................................................................201Mutlak Değer Fonksiyonu .................................................................................................................................201Çözümlü Test ....................................................................................................................................................203Çözümler ..........................................................................................................................................................205

17. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİLimit ve Süreklilik Öğretimi .................................................................................................................................209

Limit ..................................................................................................................................................................209Süreklilik ........................................................................................................................................................... 211Çözümlü Test ....................................................................................................................................................213Çözümler ..........................................................................................................................................................215

18. BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİTürev ve İntegral Öğretimi ...................................................................................................................................219

Türev..................................................................................................................................................................220Türevin Uygulamaları.........................................................................................................................................221Belirli İntegral .....................................................................................................................................................223Belirsiz İntegral ..................................................................................................................................................224Belirli İntegralin Uygulamaları ............................................................................................................................224Çözümlü Test .....................................................................................................................................................226Çözümler ...........................................................................................................................................................228

19. BÖLÜM: GEOMETRİ ÖĞRETİMİGeometri Öğretimi ................................................................................................................................................231

Çocuklarda Geometrik Düşünmenin Gelişimi ....................................................................................................232Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Öğretimi.............................................................................................................237Üçgenin Yardımcı Elemanları ............................................................................................................................239Pisagor Bağıntısı ...............................................................................................................................................239Trigonometrik Oranlar ........................................................................................................................................239Analitik Geometri ...............................................................................................................................................240Çember ve Daire................................................................................................................................................240Geometrik Cisimler ............................................................................................................................................241Dönüşüm Geometrisi .........................................................................................................................................243Uzay Geometri ...................................................................................................................................................246Çözümlü Test .....................................................................................................................................................247Çözümler ...........................................................................................................................................................248

Kaynaklar .............................................................................................................................................................249

MATEMATİK NEDİR?

3

MATEMATİK NEDİR?Matematik, kimilerine göre genel ölçü ve düzen bilimi, kimilerine göre evrensel bir dil, kimilerine göre ise mede-niyetten medeniyete zenginleşerek aktarılan sayılar, şe-killer, uzaylar gibi soyut varlıkları ve aralarındaki ilişkileri inceleyen bilim dalıdır. Ortak bir tanıma ulaşamamakla birlikte her tanımlamanın ya da betimlemenin doğruluk payının olduğu söylenebilir. Tanımlamaların büyük bir kısmında matematiğin konusunun sayılar, şekiller, fonk-siyonlar vb. soyut varlıklar olduğu ve düşünme yapısının da tümdengelim olduğu ifade edilmektedir.

Örnek

“İki çift sayının çarpımı, çifttir.” önermesinde matematik-sel düşüncenin hangi işletim yolu kullanılmaktadır?A) İndirgeme

B) Genelleme

C) Soyutlama

D) Tümevarım

E) Tümdengelim

Çözüm

“İki çift sayının çarpımı çifttir.” önermesinin doğruluğu gösterilirken 2n ve 2k gibi iki çift sayı alınıp çarpılarak ispat yapılır. Yani en genel durum için önermenin doğru-luğu gösterilmiş olur ve bilinir ki önerme her özel durum için de doğrudur. “Genelden özele” şeklinde özetlenebi-len bu düşünce yapısı tümdengelimdir.

Cevap E

Bugünkü matematik bilginin ortaya çıkışı ile ilgili olarak iki yaklaşımdan söz edilmektedir:

1. Matematiği insanoğlu kendi icat etti.

2. Matematik evrende vardı, insanoğlu bunu yaşarken fark etti.

Her iki ekolün de savunanları kendi yaklaşımlarını haklı çı-karacak bazı kanıtlar ortaya koymaktadır. Bunlardan ikinci yaklaşımı benimseyen grubun sunduğu örneklerden belki de en önemlisi Fibonacci Sayıları ve Altın Oran’dır. İtalyan Matematikçi Leonardo Fibonacci’nin meşhur tavşan prob-leminden yola çıkarak ulaştığı Fibonacci Dizisi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … şeklinde olup bu dizideki her bir terimin kendinden önceki terime oranlanmasıyla oluşan yeni dizinin yakınsa-dığı 1,618 değeri de Altın Oran olarak bilinmektedir. Gerek ardışık Fibonacci sayıları ve gerekse Altın Oran sayısı do-ğada, resimde, müzikte, mimaride ve daha pek çok yerde şaşırtıcı bir şekilde insanoğlunun karşısına çıkmaktadır.

Matematik yeni bilgilerin üretimi konusunda “kendi kendi-ne yeterlik” özelliği ile diğer bilim dallarından farklılaşmak-tadır. Yani matematiğin bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında dil ve mantık dışında bir şeye ihtiyaç yoktur.

Matematik, belli bir düzen ve mantıksal sıralamaya sahip kavram ve işlemler üzerine kurulu bir bilimdir. Bu düzen veya intizamı bulmak ve keşfetmek ve sonrasında anlam-landırmak, tam anlamıyla “matematik yapmak” demektir.

Mevcut matematik bilgisinin oluşmasına yönelik teorik matematikçiler “amaç olarak matematik” görüşünü sa-vunurken uygulamalı matematikçiler ise “araç olarak matematik” görüşünü desteklemektedir. Genel inanış ise, bugünkü bilgilerin büyük kısmının matematik yapma amacıyla ve bir kısmının da günlük yaşam problemlerine çözüm ararken ortaya çıktığı yönündedir.

Örnek

Matematiksel bilginin türeyişinde katkısı olan bilim dalları hangileridir?

A) Sosyoloji-Psikoloji

B) Dil-Mantık

C) Fizik-Kimya

D) Tıp-Biyoloji

E) Tarih-Edebiyat

Çözüm

Matematiğin “kendi kendine yeterlik” özelliği olduğu ha-tırlanırsa yeni bilgi üretmek için geçmiş bilgilerin yanında katkısı olan bilim dalları sadece dil ve mantıktır.

Cevap B

Matematik bilgisinin doğasına bakış farklılaşabilmek-tedir. Matematik felsefesine bakıldığında bu farklı algı-lamalardan dolayı ortaya mutlakçı, kesinlikçi ve öznelci felsefeler çıkmıştır.

Mutlakçılar

Eflatuncular, matematiğin nesne ve yapılarının insandan bağımsız olarak var olduğunu iddia etmektedirler. Onlara göre matematik yapmak, bizden önce var olan bu nesne ve yapıların keşfedilmesidir.

Matematiğin doğasına deneysel olarak bakan görüş, matematiksel doğruların deneysel yollarla genellenebile-ceğini söyler. Deneyselcilik, matematiği sağlam temel-ler üzerinde inşa etmeyi amaçlamış ve bunu deneysel kanıtlamalarla yapmaya çalışmıştır.

Matematiği kendi içinde tutarlı bir yapıya kavuşturmak amacıyla onu mantıksal önermelere indirgemeye çalışan mantıkçılar olmuştur. Onlara göre matematik, mantık-tan başka bir şey değildir. Mantığı kullanmaktaki amaç, matematiği kesin biçimde tanımlanmış çıkarsama kural-larına ve aksiyomlara dayandırmaktır. Bu görüşü savu-nanların başında Frege, Russell ve Peano gelmektedir.

4

Formalistlere göre matematik, soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Sistemi oluşturan terim-ler anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeler içe-rikten yoksun birer önerme kalıbıdırlar. Formalistler ma-tematiği, aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlayarak tutarlılık ve tamlık özelliğine sahip simgesel bir sisteme dönüştürmeye çalışmışlardır. Bu görüşü savunanların başında Hilbert gelmektedir.

Sezgi, matematikçinin formül, sembol veya ispat kullan-madan bir problemin çözümünü ve bir teoremin doğru-luğunu görebilmesi, hissedebilmesidir. Sezgiciler de mantıkçılar ve formalistler gibi matematikte kesinlik arar. Onlar matematiksel kesinliği, insanın matematiksel tü-mevarım yeteneğine bağlamaktadır. Bildiğimiz en meş-hur sezgiciler Brouwer ile Poincare’dir.

Yarı Deneyselciler

Lakatos’a göre, matematik felsefesi tarih, yöntem ve yanlışlanabilir bilgi kuramı boyutlarında ele alınmalıdır. Sosyal ve kültürel bir ürün olması nedeniyle matematik-çiler yanılabilir ve ürünleri de mükemmel olmayabilir. Yarı deneyselci yaklaşım yanlışlanabilirlik kavramına vurgu yapar ve bu sistemde kuramlar ispatlanmaz, açıklanır ve doğrulukları onaylanır. Onlara göre, matematiksel doğru-lar her zaman yanlışlanabilirlik aşamasında kalmaktadır ve sürekli gelişmeye ve değişmeye açıktır, dinamik bir yapıya sahiptir.

Mutlakçılardan ve yarı deneyselcilerden farklı olarak ge-lenekselcilere göre, matematiğin bilgileri ve doğrulukla-rı, dilbilim geleneklerinden etkilenir ve onlar tarafından şekillenir. Wittgenstein’a göre, matematiksel ve mantık-sal doğrular, dilin kabul edilen kurallarına ve gramerine bağlıysa ve bu durumda doğrular dilin kurallarını ve gra-merini bozuyorsa yanlışlanabilirlikleri söz konusudur.

Örnek

Matematiği soyut nesne ve ilişkiler olarak ele alan ve sistemi oluşturan terimleri anlamsız birer simge, ilişkileri dile getiren ifadeleri içerikten yoksun birer önerme kalıbı olarak görenler hangi yaklaşımın savunucularıdır?

A) Sezgici yaklaşım

B) Deneyselci yaklaşım

C) Mutlakçı yaklaşım

D) Formalist yaklaşım

E) Mantıkçı yaklaşım

Çözüm

Formalist yaklaşımı savunanlar, matematiği soyut nes-ne ve ilişkileri konu alan bir sistem olarak görmektedirler.

Cevap D

Matematiği kendi içinde farklı açılardan sınıflandırmak mümkündür. Teorik-uygulamalı matematik, klasik-mo-dern matematik, akademik-okul matematiği gibi.

Teorik-Uygulamalı Matematik

Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutuyla teo-rik (pür) matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve bu durumun kişiyi en-telektüel doyuma ulaştırmasıdır. Hardy’nin dediği gibi, "Teorik matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması veya faydalı olması gibi bir endişesi yoktur."

Teorik matematikçilerin ortaya koyduğu matematiksel bilgilerin diğer bilim dallarında ve günlük yaşamda nasıl kullanılabileceğini araştırmak ise uygulamalı matema-tikçilerin işidir. Biliyoruz ki çoğu teorik matematik ürünü daha sonraları pratik uygulama alanı bulmuştur.

Klasik-Modern Matematik

Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel iş-lemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid’in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan bir ge-ometrinin ele alındığı matematiktir.

1960’lı yıllarda ABD’de başlatılan eğitim reformlarının sonucunda modern matematik kavramı ortaya çıkmıştır. Modern matematik, küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanı-larak yapılan soyutlamalar ve birbirinden bağımsız gibi gö-rünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlan-tılı hâle gelmiştir. Modern matematik müfredatı ülkemizde 1970’li yılların başında uygulanmaya başlanmıştır.

Akademik-Okul Matematiği

Akademik matematik, teorik matematikçilerin uğraştığı ma-tematik olarak tanımlanabilir. Akademik matematiğin ama-cı, matematiğin ulaşmış olduğu birikimi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır.

Okul matematiği “Toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz?” sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili “Ne öğretelim?” ve “Nasıl öğretelim?” konusu ile ilgilenir. Akademik matematik ürünü bilgilerin genç nesillere akta-rılması, okul matematiğinin işidir.

Okullarda öğretilen matematiğin amacı her düzeyde bazı farklılıklar göstermektedir. İlköğretim ve ortaöğretim düze-yinde okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen ma-tematik kültürü vermek ve temel matematiksel beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini geliştirmektir. Yükseköğretim düzeyindeki okul matematiğinin amacı ise öğrenim görülen alana göre farklılaşmaktadır. Örneğin, Fen Fakültesi Matematik bölümünde okutulan matema-

5

tiğin amacı, öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenci-ye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak iken Eğitim Fakültesinde okutulan matemati-ğin amacı, öğretmen adayına sahip olması gereken alan bilgisini sağlayan matematiği kazandırmaktır.

Bu çerçevede matematik öğretiminin genel amaçları aşağıdaki gibi sıralanabilir:

• Öğrencilerin açık-seçik ve mantıklı düşünüp iletişim kurabilmelerine yardımcı olma

• Günlük yaşamda, gerçek dünyada ve başka konu alanlarında kullanılabilecek gerekli becerileri sağlama

• Örüntüleri, ilişkileri tanıma ve genelleme yapabilme yeteneğini geliştirme

• Yaratıcılığı ve sezgisel düşünmeyi geliştirme

• Zihinsel bağımsızlığı geliştirme

• Estetik değerleri geliştirme

• Dünyaya ve öteki kültürlere ilgiyi artırma

• Toplumun gelişmesine katkıda bulunma

Buna göre okulda iyi bir matematik eğitimi alan öğrenci;

• Matematiğe değer vermeyi öğrenir,

• Matematiksel düşünme becerisi kazanır,

• Matematiği iletişim aracı olarak kullanır,

• Problem çözme becerisi kazanır.

Örnek

“Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, mate-matiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve böylece matematik biliminin farkında olmasını sağlamak” hangi düzeyde okul matematiğinin amacıdır?

A) Okul öncesi

B) İlköğretim

C) Ortaöğretim

D) Yükseköğretim (Fen fakültesi)

E) Yükseköğretim (Eğitim fakültesi)

Çözüm

Öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matema-tiksel düşünme seviyesini yükseltmek ve öğrenciye akademik matematik alanında çalışabilecek bir altyapı hazırlamak, Yükseköğretim (Fen fakültesi) düzeyinde okutulan matematiğin amacını ifade etmektedir.

Cevap D

Örnek

Aşağıda, matematik tarihinden bazı olaylar verilmiştir.

I. Harezmi’nin ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik çalışmaları

II. Euler’in i 1= - gösterimini kullanması

III. Apollonuis’un koniklerle ilgili çalışmaları

IV. Descartes’ın analitik geometriyle ilgili çalışmaları

Bu olayların kronolojik sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

A) I, III, IV, II B) III, IV, I, II C) III, I, IV, II

D) I, III, II, IV E) III, I, II, IV

Çözüm

İkinci dereceden denklemlerin çözümleriyle ilgili çalış-malar yapan Harezmi 750-820 yıllarında, gösterimini ilk kez kullanan Euler 1707-1783 yıllarında, i 1= -

koniklerle ilgili çalışmalar yapan Apollonios M.Ö.260-190 yıllarında ve analitik geometriyle ilgili çalışmalar yapan Descartes 1596-1650 yıllarında yaşamıştır. Buna göre söz konusu olayların kronolojik sırası “III-I-IV-II” olur.

Cevap C