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LOS NUMEROS REALES
Conjunto no vacío designado como ℜ y denominado conjunto de los números reales. En
él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ”
Relación de igualdad
Definición: R = ⎨(a,b) en que a ∧ b ∈ ℜ ∧ a R b ⎬
Propiedades de la relación “ = ” :
A1 Reflexividad : ∀ a ∈ ℜ ⇒ a = a
A2 Simetría : ∀ a, b ∈ ℜ, si a = b ⇒ b = a
A3 Transitividad : ∀ a, b, c ∈ ℜ, si a = b ∧ b = c ⇒ a = c
Operaciones en ℜ
Definición: Adición o Suma (+) : (a,b) ∈ ℜ → a + b ∈ ℜ
Multiplicación o producto ( . ) : (a,b) ∈ ℜ → a . b ∈ ℜ
Propiedades de las operaciones ( + ) y ( . ) : B1 Conmutatividad : a + b = b + a B2 Asociatividad : a + ( b + c ) = ( a + b ) + a B3 Existe un elemento identidad para la suma : a + 0 = 0 + a = a B4 Existencia de elementos inversos para la suma : a + (-a) = (-a) + a = 0 B5 Conmutatividad : a . b = b . a B6 Asociatividad : a . ( b . c ) = ( a . b ) . c B7 Existe un elemento identidad para la multiplicación: a . 1 = 1 . a = a B8 Existencia de inversos para la multiplicación, si a ≠ 0 : a . a-1 = a-1 . a = 1 B9 Ley distributiva: a . ( b + c ) = a . b + a . c
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La compatibilidad entre estas dos operaciones y la relación de igualdad, se establece
mediante las leyes:
Si a = b ⇒ a + c = b + c ; Si a = b ⇒ a . c = b . c Teorema 1. En ℜ, los elementos identidad para la suma y para la multiplicación
(neutro aditivo y multiplicativo respec.) son únicos.
Demostración: Se emplea el Método de Reducción al Absurdo. Supongamos la
existencia de otro elemento neutro para la suma, designado como 0* ≠ 0.
Entonces aplicando B2 se tiene:
0* + 0 = 0 y 0 + 0* = 0*
Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3), se concluye
que 0 = 0* ⇒⇐ la suposición de la Hipót., luego es falso que 0* ≠ 0 y
entonces el neutro para la suma es único.
TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo.
Teorema 2. En ℜ, los elementos inversos para la suma y para la multiplicación son
únicos.
Demostración: Dado a ∈ ℜ, supongamos ∃ (-a) y a´ elementos inversos de a para la
suma en que (-a) ≠ a´. Entonces se cumple:
a + (-a) = 0 y a + a´ = 0 ⇒ a + (-a) = a + a´ ⇔
[ a + (-a) ] + (-a) = [ a + a´ ] + (-a) ⇒ 0 + (-a) = [ a + (-a) ] + a´ luego
(-a) = a´ ⇒⇐ la Hipótesis ⇒ Es falso (-a) ≠ a´ y el inverso aditivo es único.
TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del inverso multiplicativo.
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Teorema 3: i) El cero es el inverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0
ii) El uno es inverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1
Demostración: i) a + (-a) = 0 y el inverso aditivo es único, luego si a = 0 entonces:
0 + (-0) = 0 por lo tanto: (-0) = 0
ii) Demostrar de manera análoga.
COROLARIO: i) Por unicidad del inverso aditivo, si a + b = 0 ⇒ a = -b y
b = -a
ii) Por unicidad del inverso multiplicativo si a . b = 1 ⇒ a = b-1 y
b = a-1
Teorema 4: ∀ a ∈ ℜ ; a . 0 = 0
Demostración: Por axioma B3 se tiene que: 0 + 0 = 0, por lo tanto:
0 . a = ( 0 + 0 ) . a
0 . a = 0 . a + 0 . a Distributividad.
(-0 . a) + 0 . a = (-0 . a) + 0 . a + 0 . a
0 = a . 0 + [ (-0 . a) + 0 . a ]
0 = a . 0 = 0 . a
En particular, por este teorema: 0 . 0 = 0 y 1 . 0 = 0
Teorema 5: ∀ a , b ∈ ℜ, se cumplen las siguientes propiedades:
i) - (-a) = a
ii) (-a) . b = - (ab)
iii) a . (-b) = - (ab)
Demostración: TAREA
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Teorema 6: ∀ a, b ∈ ℜ en que a ≠ 0 y b ≠ 0 se tiene que:
i) (a-1)-1 = a ii) a-1 b = (a . b-1)-1
iii) a . b-1 = (a-1 . b)-1 iv) a-1 . b-1 = (a . b)-1
Demostración: i) (a-1)-1 = (a-1)-1 . 1 = (a-1)-1 . ( a . a-1) = [(a-1)-1 . (a-1)] . a
= 1 . a = a ⇒ (a-1)-1 = a
Tarea: Demostrar i), ii), iii) e iv).
Teorema 7: Leyes de Cancelación:
i) a + b = a + c ⇔ b = c ii) a . b = a . c ⇔ b = c a ≠ 0
Demostración: ii) Si a ≠ 0 ⇒ ∃ a-1 entonces si: a . b = a . c por la
compatibilidad de la igualdad con la multiplicación:
a-1 . (a . b) = a-1 . (a . c)
(a-1 . a) . b = (a-1 . a) . c ⇒ b = c. El recíproco corresponde
a la compatibilidad igualdad-multiplicación.
Tarea: Demostrar i)
Teorema 8: ∀ a, b ∈ ℜ si a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
Demostración: Si a ≠ 0 entonces ∃ a-1 por lo tanto: a-1 . (a . b) = 0 . a-1
(a-1 . a) . b = 0 ⇒ b = 0. Demostrar para a = 0.
Teorema 9: i) La ecuación a + x = b tiene única solución: x = b + (-a)
ii) La ecuación a . x = b tiene única solución: x = a-1 b ( a ≠ 0 )
Tarea: Demostrar
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Definición 9: Se define a + (-b) como la diferencia entre a y b ; a – b
Teorema 10: ∀ a, b ∈ ℜ se cumple:
i) a – (-b) = a + b
ii) a – b = 0 ⇔ a = b
iii) a – (b + a) = a – b - a
Demostración: i) a – (-b) = a + [- (-b)] = a + b por T5 i)
ii) a – b = 0 ⇒ a + (-b) = 0 ⇒ a + b + (-b) = 0 + b
⇒ a + 0 = b ⇒ a = b
iii) a = a ⇒ a + 0 = a + 0
⇒ a + (a + b) + [-(a + b)] = a + a + (-a)
⇒ a + a + (-a) + b + (-b) + [-(a + b)] = a + a + (-a) +
(-a) + (-b)
⇒ a + 0 + 0 + [-(a + b)] = a + 0 + (-a) + (-b)
⇒ a + [-(a + b)] = a + (-b) + (-a)
⇒ a – (a + b) = a – b – a Por def. 9
Definición 10: Dados a, b ∈ ℜ ∧ b ≠ 0 se define a a . b-1 como ba
o bien
a : b expresándose cuociente entre a y b o bien a dividido
por b.
Teorema 11: Dados a, a1 , a2 , b, b1, b2 ∈ ℜ entonces se cumplen:
i) 1a
= a ii) Si a ≠ 0 ⇒ a1
= a-1 iii) Si a ≠ 0 ⇒ aa
= 1
iv) Si a2 ≠ 0 ∧ b2 ≠ 0 ⇒ 2
1
2
1
bb
aa
= ⇔ a1 . b2 = b1 . a2
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LOS REALES COMO CUERPO ORDENADO
Sea ℜ+ ⊂ ℜ, este subconjunto satisface los siguientes axiomas: 1. ℜ+ es cerrado para la suma. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a + b ∈ ℜ+. 2. ℜ+ es cerrado para la multiplicación. Si a, b ∈ ℜ+ ⇒ a . b ∈ ℜ+. 3. Axioma de Tricotomía. ∀ a ∈ ℜ se cumple una y solo una de las
siguientes afirmaciones: i) a = 0 ii) a ∈ ℜ+
iii) -a ∈ ℜ+ Definición 1: i) a < b ⇔ b – a ∈ ℜ+ ii) a > b ⇔ a – b ∈ ℜ+ Teorema 1: Dados los reales a y b se cumple una y solo una afirmación: i) a = b ii) a < b iii) a > b Demostración: Aplicando el axioma de Tricotomía al número b – a, se tiene
una y solo una propiedad:
i) b – a = 0 ii) b – a ∈ ℜ+ iii) –(b – a ) ∈ ℜ+
i) Por T 10 ii): si b – a = 0 ⇒ a = b ii) Por definición 1 i): si b – a ∈ ℜ+ ⇒ a < b iii) Por definición 1 : si - (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ a – b ∈ ℜ+ ⇒ a > b
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Teorema 2: Dado un real a, se cumple una y solo una proposición: i) a = 0 ii) a > 0 iii) a < 0 Demostración: Consecuencia del Teor. 1 haciendo b = 0 Teorema 3: La relación “<” tiene las siguientes propiedades: i) No reflexiva: ∀ a ∈ ℜ, no se cumple que a < a ii) No simétrica (asimétrica): Si a < b no se cumple que a > b. iii) Transitiva: Si a > b ∧ b > c ⇒ a > c Demostración: i) Si a > a ⇒ a – a ∈ ℜ+ ⇒ 0 ∈ ℜ+ ⇒ ⇐ Ax. Tric. ii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ por Ax. Tric. b – a ∉ ℜ+
iii) Si a > b ⇒ a – b ∈ ℜ+ ∧ si b > c ⇒ b – c ∈ ℜ+ por lo tanto dado que ℜ+ es cerrado para la suma: (a – b ) + (b – c ) ∈ ℜ+ ⇒ a – c ∈ ℜ+ ⇒ a > c Definición 2: Llamaremos conjunto de los números negativos al conjunto: ℜ- = ⎨ x ∈ ℜ : - x ∈ ℜ+ ⎬ OBSERVACIÓN: El 0 ∉ ℜ- por lo tanto, no es positivo ni negativo, además ℜ+ ∩ ℜ- = φ pero como todo real pertenece a uno y solo uno de los conjuntos ℜ+, ℜ-, ⎨0⎬ entonces: ℜ = ℜ+ ∪ ℜ- ∪ ⎨0⎬ en que 0 representa una frontera entre positivos y negativos.
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Definición 3: i) a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b) ii) a ≥ b ⇔ (a > b) ∨ (a = b) Teorema 4: La relación “≤” tiene las siguientes propiedades:
i) Reflexiva: a ≤ a , ∀ a ∈ ℜ ii) Antisimétrica: Si a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b iii) Transitiva: Si a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c
Demostración:
i) Como a = a entonces a ≤ a
ii) Si a ≤ b ⇒ (a < b) ∨ (a = b). Si b ≤ a ⇒ (b < a) ∨ (a = b). Por Teor. 1 solo es posible a = b iii) Se tienen aquí las siguientes posibilidades:
a < b ∧ b < c ⇒ a < c por Teor. 3
a < b ∧ b = c ⇒ b – a ∈ ℜ+ y c – b = 0 ; por lo tanto: b – a + (c – b) =
c – a ∈ ℜ+ luego a < c
a = b ∧ b < c ⇒ Similar a la anterior.
a = b ∧ b = c ⇒ La igualdad es transitiva y de la definición de la relación
“ ≤ ”.
Teorema 5: a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c
Demostración: Si a ≤ b ⇒ a < b ∨ a = b. Si a < b ⇒ b – a ∈
ℜ+ ⇒ (b – a) + 0 ∈ ℜ+ ⇒ (b – a) + (c – c) ∈ ℜ+
⇒ (b + c) – (a + c) ∈ ℜ+ ⇒ a + c < b + c ⇒
a + c ≤ b + c. Si a = b ⇒ a + c = b + c
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Teorema 6: i) Si a ≤ b y c es positivo, entonces: a . c ≤ b . c
ii) Si a ≤ b y c es negativo, entonces: a . c ≥ b . c
Demostración: i) Si a ≤ b ⇒ a < b ∨ a = b.
Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+ como c ∈ ℜ+ ⇒ (b – a ) . c ∈ ℜ+ ⇒ a . c < b . c
Dado que a = b , por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c
Por lo tanto: a . c ≤ b . c ii) Si a ≤ b ⇒ a < b ∨ a = b. Si a < b ⇒ b – a ∈ ℜ+ como
c ∈ ℜ- ⇒ - c ∈ ℜ+, luego: - c (b – a) ∈ ℜ+ ⇒ - bc + ac > 0 ⇒
a . c > b . c. Por compatibilidad igualdad-multiplicación ⇒ a . c = b . c
Por lo tanto: a . c ≥ b . c
Teorema 7: i) Si a > 0 ⇒ - a < 0 ii) Si a < 0 ⇒ - a > 0
iii) Si a > 0 ⇒ a-1 > 0 iv) Si a < 0 ⇒ a-1 < 0
Demostración: i) Si a > 0 ⇒ a ∈ ℜ+ ⇒ -a ∈ ℜ- ⇒ -a < 0
ii) Si a < 0 ⇒ -a ∈ ℜ+ ⇒ -a > 0
iii) Si a > 0 Supongamos que a-1 < 0 por T.6 i) a . a > 0 y por T.6
ii) : a-1 ( a . a ) < 0 ⇒ (a-1 . a) . a < 0 ⇒ a < 0 ⇒⇐ Hip., por lo
tanto: a-1 > 0
iv) Tarea
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Teorema 8: a . b > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
Demostración: (⇒) Si a . b > 0 ⇒ a ≠ 0 y b ≠ 0 (T8., Nºs ℜ) . Si
a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0 ⇒ b > 0
Si a < 0 ⇒ a-1 < 0 ⇒ a-1 (a . b) < 0 ⇒ b < 0
(⇐) Tarea
Teorema 9: a . b < 0 ⇔ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
Demostración: (⇒) Si a . b < 0 ⇒ Si a > 0 ⇒ a-1 > 0 ⇒ a-1 (a . b) < 0
⇒ b < 0
Si a < 0 ⇒ a-1 < 0 ⇒ a-1 (a . b) > 0 ⇒ b > 0
Teorema 10: Sean a, b ∈ ℜ, si a < b ⇒ a < 2ba+
< b
Demostración: Si a < b sumando entonces : a + a < b + a ⇒ 2a < b + a
Si repetimos pero sumando b se tiene: a + b < 2b
Por transitividad: 2a < b + a < 2b. Luego dividiendo por 2 > 0
Se tiene: a < 2ba+
< b
Este teorema permite afirmar que siempre entre dos números reales distintos
es posible intercalar un tercer número c,
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VALOR ABSOLUTO EN LOS REALES
Permite determinar cuan cerca o lejos se encuentra un número del cero, por ejemplo. Definición 1: Llamaremos valor absoluto del número real a, denotado por a , al número:
a si a ≥ 0 a = - a si a < 0 Podemos apreciar que el número a y su inverso aditivo -a están a igual
distancia del cero.
Teorema 1: i) a ≥ 0 ii) a = a− iii) - a ≤ a ≤ a
iv) a = 0 ⇔ a = 0 v) ba . = a . b
vi) Si b > 0, a ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b
vii) Si b > 0, a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ -b
viii) ba + ≤ a + b Demostración: i) Por Tricotomía: a > 0 ; a = 0 ; a < 0. Analizando cada una: Si a > 0 entonces a = a > 0
Si a = 0 entonces 0 = 0
Si a < 0 entonces - a > 0 , luego: - a > a > 0 Por lo tanto: a ≥ 0
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ii) a = a− Aplicamos Tricotomía: Si a > 0 ⇒ - a < 0, por lo tanto: a = a y a− = - ( - a ) = a Luego se cumple Si a = 0 ⇒ entonces: 0 = 0− = 0 Se cumple Si a < 0 ⇒ entonces - a > 0, por lo tanto: a = -a y a− = -a Se cumple iii) - a ≤ a ≤ a Aplicamos Tricotomía: Si a ≥ 0 ⇒ a = a , además - a ≤ 0. Puesto que : a > - a
a ≥ a > - a ≥ - a ⇒ a ≥ a ≥ - a Si a < 0 ⇒ a = - a y - a > 0. Por lo tanto a < - a. ⇒
- a = a < - a = a ⇒ a ≥ a ≥ - a iv) a = 0 ⇔ a = 0 ⇐ Si a = 0 , por definición a = 0 = 0 ⇒ a ∈ ℜ, por tricotomía a > 0 ∨ a < 0 ∨ a = 0. Descartando las
dos primeras posibilidades por contradicciones con la hipótesis por
ej:
Si a > 0 ⇒ a = a > 0 contradice la hipótesis.
resta la única posibilidad a = 0
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v) ba . = a . b Por Tricotomía: a . b > 0 ; a . b = 0 ; a . b < 0
Si a . b > 0 ⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0). Por definición
de valor absoluto: ba . = a . b y para la primera posibilidad:
a > 0 ∧ b > 0 ⇒ a = a ∧ b = b. Por lo tanto a . b = a . b
Luego: ba . = a . b
Si a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 entonces:
ba . = 0 = 0 = a . b
Si a . b < 0 Tarea
vi) Si b > 0, a ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b Aplicando Tricotomía
⇒ Si a ≥ 0 ⇒ a = a Por Hipót., a ≤ b ⇒ a ≤ b
como b ≥ 0 ⇒ - b < 0 . Luego: - b ≤ a ≤ b
Si a < 0 ⇒ a = - a Por Hipót. – a ≤ b y como - a ≥ 0
y - b ≤ 0 ⇒ - b ≤ a ≤ - a ≤ b ⇒ - b ≤ a ≤ b
⇐ Si a ≥ 0 ⇒ a = a , por Hipót., a ≤ b
Si a < 0 ⇒ a = - a . por Hipót., – a ≤ b luego a ≤ b
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vii) Si b > 0, a ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ -b
⇒ Supongamos a ≥ b. Si a ≥ 0 entonces a = a y por lo tanto
a ≥ b. Si en cambio a < 0 entonces a = - a y en este caso
– a ≥ b luego: a ≤ - b
⇐ Tarea
viii) Tarea
AXIOMA DEL SUPREMO
Definición 1: Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≥ x entonces y es cota
superior de A.
Definición 2: Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el supremo de A si y solo
si:
i) y es cota superior de A.
ii) Si ∀ z, cota superior de A, se tiene y ≤ z.
El supremo es la menor de las cotas superiores.
Teorema 1: Si A ⊆ ℜ, entonces y es el supremo de A ⇔ y es una cota
superior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que y - ε < x.
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Demostración: ⇒ Si y es supremo de A ⇒ y es cota superior de A,
por definición de supremo. Sea ε ℜ+, supongamos, por
reducción al absurdo, que ∃ x ∈ A tal que y - ε < x, luego
se puede afirmar que x ≤ y - ε ∀ x ∈ A, por lo tanto y - ε
es una cota superior, pero y - ε < y ⇒⇐ la hipót., que y es
supremo de A (y es la menor de las cotas superiores). Por lo
tanto debe existir al menos un x ∈ A mayor que y - ε.
⇐ Por Hipót., y es una cota superior de A, será supremo si es la menor de
las cotas superiores. Supongamos, al absurdo, que existe una cota
superior de A, z < y luego x < z ∀ x ∈ A. Como z < y ⇒
y – z > 0 aplicando la hipót., con ε = y – z, ∃ x ∈ A, x > y – (y – z).
Luego ∃ x ∈ A tal que x > z ⇒⇐ con hipót., que z es cota superior de A.
En consecuencia es falso suponer que existe una cota superior de A menor que
y, luego y es la menor cota superior de A y por tanto su supremo.
Teorema 2: Un conjunto de números reales puede tener a lo más un
supremo.
Demostración: Supongamos que en A ⊆ ℜ existen dos supremos y, z en que
y ≠ z , supongamos además que z < y, lo cual significa que
y – z > 0. Si tomamos este número positivo como ε
particular, por definición de supremo concluimos que ∃ x ∈
A tal que: x > y – (y – z), luego x > z ⇒⇐ que z sea
supremo de A. Por lo tanto existe a lo más un supremo en
un conjunto de números reales.
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El conjunto vacío es acotado superiormente por cualquier número real, puede
demostrarse por reducción al absurdo. Luego, el supremo de vacío es - ∞
Axioma del Supremo.
Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota superior, entonces
tiene supremo en ℜ.
Definición 3: Si ∀ x ∈ A ⊂ ℜ, ∃ y tal que y ≤ x entonces y es cota
inferior de A.
Definición 4: Si y ∈ ℜ ∧ A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A si y solo
si:
iii) y es cota inferior de A.
iv) Si ∀ z, cota inferior de A, se tiene y ≥ z.
El ínfimo es la mayor de las cotas inferiores.
Teorema 3: Si A ⊂ ℜ, entonces y es el ínfimo de A ⇔ y es una cota
inferior de A y ∀ ε ∈ ℜ+, ∃ x ∈ A tal que x < y + ε
TAREA: Demostrar en forma análoga a Teor 1.
Teorema 4: Un conjunto de números reales puede tener a lo más un ínfimo.
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TAREA: Demostrar en forma análoga a Teor 2.
El conjunto vacío es acotado inferiormente por cualquier número real, el
ínfimo de vacío es +∞
Teorema 5: Si un conjunto no vacío de números reales tiene una cota
inferior, entonces tiene ínfimo en ℜ
TAREA: Demostrar
NUMEROS NATURALES E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Definición 1: Sea I ⊂ ℜ, diremos que I es inductivo si se cumple:
i) 1∈ I ii) Si k ∈ I ⇒ k + 1 ∈ I
Teorema 1: Si A, B son conjuntos inductivos, entonces A ∩ B es inductivo.
Demostración: Sean A y B dos conjunto inductivos de ℜ. Por propiedad i)
de la def., 1 ∈ A ∩ B. Si k∈ A ∩ B ⇒ k ∈ A ∧ k ∈ B
pero como A y B son inductivos, entonces k + 1 ∈ A y k
+ 1 ∈ B ⇒ k + 1 ∈ A ∩ B. Entonces A ∩ B es
inductivo.
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Definición 2: Llamaremos conjunto de los números naturales ℵ, al
menor conjunto inductivo de ℜ , es decir:
{ }inductivoesIII ,: ℜ⊂∩=ℵ
Teorema 2: Principio de Inducción
Sea k ∈ ℵ y P( k) una propiedad satisfecha por k. Si se
cumplen: i) P( 1 )
ii) ∀ k, si P( k ) entonces P( k + 1)
Entonces la propiedad P( k) se satisface para todo k ∈ ℵ.
Demostración: Sea I = { }satisfacesekPk )(:ℜ∈ .Veremos que I es
inductivo
• 1 ∈ I, pues P(1) se satisface por i)
• Si k ∈ I entonces P(k) y por ii) se tiene P(k + 1), por
lo tanto k + 1 ∈ I
Como I es inductivo, por definición 2 ℵ ⊂ I, es decir,
P(k) se cumple ∀ k ∈ ℵ.
FUNCIONES DE VARIABLE CONTINUA
Definición 1: Sea x perteneciente a un intervalo I. Si mediante una cierta
regla tal que a cada x ∈ I le corresponda un único y ∈ ℜ, decimos que y es
una función numérica de x denotada: y = f(x) ; x se denomina variable
independiente e y variable dependiente.
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Definición 2: Se define dominio de la función f(x) al conjunto:
D( f ) = ⎨ x ∈ I : ∃ y ∈ ℜ tal que y = f(x) ⎬
Se define recorrido de la función f(x) al conjunto:
R( f ) = ⎨ y ∈ ℜ : ∃ x ∈ D( f ) : y = f(x) ⎬
Se define gráfico de f(x) al conjunto:
G( f ) = ⎨ (x, y) ∈ D( f ) × R( f ) : y = f(x) ⎬
Ejemplos de funciones:
• Función constante: ∀ x ∈ I le corresponde un mismo elemento
c; f(x) = c
• Función lineal: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax + b con a,
b constantes y a ≠ 0
• Función cuadrática: ∀ x ∈ I le corresponde el número ax2 + bx
+ c con a, b, c constantes y a ≠ 0.
• Función polinomial: ∀ x ∈ I le corresponde el número anxn +
.....+ a1x + a0 en que los ai son constantes.
• Función racional: Aquella que se obtiene mediante cuocientes
de polinomios: )()()(
xqxpxf = en que D( f ) = ℜ - ⎨ x : q(x) = 0 ⎬
Definición 3: Dadas dos funciones numéricas f y g, se definen las
siguientes funciones cuyo dominio es D( f ) ∩ D( g )
i) ( f ± g ) ( x ) = f( x ) ± g( x )
ii) ( fg )( x ) = f( x ) . g( x )
iii) ( f / g )( x ) = f( x ) / g( x )
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Definición 4: Dadas dos funciones numéricas f y g, se dice que:
i) f = g si D( f ) = D( g ) y f( x ) = g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g )
ii) f < g si y f( x ) < g( x ) ∀ x ∈ D( f ) ∩ D( g )
Definición 5: Diremos que la función f es acotada, si su recorrido es un
conjunto acotado, es decir, si ∃, M > 0 : )(xf ≤ M, ∀ x ∈ D( f ).
Definición 6: Sea f una función numérica no constante, I un intervalo
contenido en el dominio de f y x0 un punto de I. Se dice que f tiene:
i) Un cero en x0 cuando f( x0 ) = 0.
ii) Un máximo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≤ f( x0 )
iii) Un mínimo en x0, con valor f( x0 ), cuando ∀ x ∈ I, f( x ) ≥ f( x0 )
iv) Un extremo en x0 cuando f tiene un máximo o un mínimo en x0.
Definición 7:
i) Una función se dice periódica, si existe un T ∈ ℜ, tal que: f(x + T) = f( x )
ii) Una función f se dice par si f(-x) = f(x), ∀ x ∈ D( f )
iv) Una función f se dice impar si f(-x) = - f(x), ∀ x ∈ D( f )
Definición 8: Sean I y J intervalos. Sean f y g funciones numéricas tales
que D( f ) = I, D( g ) = J y R( f ) ⊂ J. Entonces la función compuesta de f
con g, denotada g f está definida por:
i) D(g f) = I
ii) ( g f )(x) = g( f(x)), ∀ x ∈ I
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Definición 9: Una función f : I → J se dice sobreyectiva si y solo si:
R( f ) = J
Definición 10: Una función f se dice uno a uno o inyectiva sobre un
intervalo I, si ∀ x1, x2 ∈ I, con x1 ≠ x2 se tiene f( x1 ) ≠ f( x2 ).
Equivalentemente: f( x1 ) = f( x2 ) entonces x1 = x2
Ejemplos:
1. Sea f(x) = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8. Encontrar:
a) f(6) y f(-1)
b) El dominio de f(x).
c) f(1 – t) y su dominio
d) f [ f(3) ]
e) Su representación gráfica.
f) Determinar si esta función es acotada superior e inferiormente y si
es así determine las cotas.
Solución:
a) f(6) = (6 – 2)(8 – 6) = 4 . 2 = 8 ; f(-1) = (-1 – 2)(8 - -1) = - 27
b) Df(x) = ⎨x ∈ ℜ : 2 ≤ x ≤ 8 ⎬
c) f(1 – t) = [(1 – t) - 2] [8 – (1 – t) ] = - t2 - 8 t – 7
d) f [ f(3) ] = f(5) = 9 y
e) y = (x – 2)(8 – x) para 2 ≤ x ≤ 8 9
0 2 5 8 x
22
f) La función es creciente para 2 < x < 5 pero es decreciente para 5 < x
< 8, por lo tanto su cota superior es 9 (para x = 5) y en los extremos
2 y 8, la función presenta su mínimo valor por lo tanto es acotada
inferiormente y su cota inferior es x = 0.
2. Determinar el dominio de las siguientes funciones:
a) )42)(3( +− xx b) 4
22 −−
xx c) xsen 3 d) log10 (x3 – 3x2 – 4x + 12)
Solución:
a) Df(x) = ⎨ x ∈ ℜ : -2 ≤ x ≤ 3 ⎬
b) ∀ x ∈ ℜ : x ≠ ± 2
c) 2m π ≤ 3x ≤ (2m + 1) π ⇒ 2m π /3 ≤ x ≤ (2m + 1) π /3 con
m = 0, ±1, ±2,….
d) (x – 3)(x2 – 4) > 0 ⇒ x > 3, -2 < x < 2
SUCESIONES
Definición 1: Una sucesión es una función f: ℵ → ℜ tal que a cada n le
asigna f(n) = an. También se denota como ⎨ an ⎬ en que an
es el término general de la sucesión o término enésimo.
23
Ejemplo: an = n2 ; ⎨ n2 ⎬ = 12, 22, 32,......, n2
an = 1/(2n – 1) para n = 1, 2, 3,...... los términos de la sucesión
son 1, 1/3, 1/5, 1/7,..........
Definición 2: Se dice que una sucesión es acotada si existe un número M tal
que na < M, ∀ n ∈ ℵ
Definición 3: Una sucesión es:
i) Estrictamente creciente si an < an+1 , ∀ n
ii) Creciente si an ≤ an+1 , ∀ n
iii) Estrictamente decreciente si an > an+1 , ∀ n
iv) Decreciente si an ≥ an+1 , , ∀ n
v) Monótona si satisface cualquiera de las condiciones anteriores.
Formas Indeterminadas
i) ∀ x ∈ ℜ, en que -∞ < x < ∞
ii) (+∞) + a = +∞ , ∀ a ∈ ℜ
iii) (-∞) + a = (-∞) , ∀ a ∈ ℜ
iv) (+∞) . a = +∞ , si a > 0
v) (-∞) . a = - ∞, si a > 0
vi) (-∞) . a = + ∞, si a < 0
vii) (+∞). a = - ∞, si a < 0
Las operaciones con estos símbolos que no están explícitamente definidas no
tienen sentido, nada se puede concluir, por tal razón se denominan formas
indeterminadas, por ejemplo: (+∞) + (- ∞) ; (+∞) . 0 ; (- ∞) . 0 ; etc.
24
Límite de una sucesión
Definición 4: El número L es el límite de la sucesión ⎨an⎬ si dado un
número positivo ε, existe un número N ∈ ℵ tal que si n ≥ N, se cumple que:
ε<− Lan , es decir, L - ε < an < L + ε, ∀ n ≥ N.
En este caso se expresa: nna
∞→lim = L o que la sucesión converge hacia L.
Ejemplo: Aplicando la definición de limite de una sucesión, verifique que el
limite de la sucesión 5413
+−
=nnun es ¾.
Solución:
Debemos mostrar que para cada ε > 0 (no importa cuan pequeño) existe un
número N (dependiente de ε) tal que ε<−43
nu ∀ n > N.
Ahora: ε<+
−=−
+−
)54(419
43
5413
nnn cuando ε<
+ )54(419n
o bien
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−> 5
419
41
εn Escogiendo N = ¼ (19/4ε - 5) vemos que: ε<−
43
nu
para todo n > N, por lo tanto 43lim =
∞→ nnu
Teorema 1:
Si =∞→ nn
alim A y =∞→ nn
blim B entonces:
1. =+∞→
)(lim nnnba nn
a∞→
lim + nnb
∞→lim = A + B
2. =−∞→
)(lim nnnba nn
a∞→
lim - nnb
∞→lim = A - B
3. =∞→
).(lim nnnba nn
a∞→
lim . nnb
∞→lim = A . B
25
4. n
n
n ba
∞→lim =
nn
nn
b
a
∞→
∞→
lim
lim = B
A en que =
∞→ nnblim B ≠ 0
Si B = 0 y A ≠ 0 entonces el límite no existe, pero si A = 0 y B = 0, entonces el límite puede existir o no.
5. p
nn
pnn
aa ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛=
∞→∞→limlim = Ap ∀ p ∈ ℜ si Ap existe.
6. na
np
∞→lim =
nna
p ∞→lim
= pA ∀ p ∈ ℜ si pA existe.
Demostración: 1. Si =
∞→ nnalim A y =
∞→ nnblim B entonces:
=+∞→
)(lim nnnba nn
a∞→
lim + nnb
∞→lim = A + B
Debemos demostrar que ∀ ε > 0, podemos encontrar N > 0 tal que
ε<+−+ )()( BAba nn ∀ n > N. De la desigualdad con módulo
baba +≤+ resulta: )()()()( BbAaBAba nnnn −+−=+−+ ≤
BbAa nn −+− . Por hipótesis, dado ε > 0 podemos encontrar N1 y
N2 tal que:
ε21
<− Aan ∀ n > N1 y ε21
<− Bbn ∀ n > N2
de la desigualdad: εεε =+<+−+21
21)()( BAba nn ∀ n > N en que
se debe considerar a N como el mayor de N1 y N2
26
Teorema 2. Toda sucesión convergente está acotada
Demostración: Dado =∞→ nn
alim A, debemos demostrar que existe un número
positivo P tal que <na P ∀ n > N. AAaAAaa nnn +−≤+−=
Por hipót., se sabe que podemos encontrar N tal que: ε<− Aan ∀ n > N
Por desigualdad con módulo: baba −≥− ⇒ Aan +< ε ∀ n > N
Por lo tanto se cumple <na P ∀ n > N si escogemos P como el mayor de
los números: a1, a2, a3,......., an, A+ε .
TAREA: Demostrar los restantes.
Ejercicios:
1. Calcular los límites de las siguientes sucesiones aplicando los teoremas de
límites:
a) nnnn
n +−−
∞→ 2
2
2324lim b)
72453
lim2
−+−
∞→ nnn
n c) )(lim 2 nnn
n−+
∞→
d) 348
)2()3(lim
−+−
∞→ nnn
n e) 121
2
10.210.310.310.4lim −−∞→ +
−nn
nn
n f) nnn
n
/1)32(lim +∞→
2. Aplicando la definición de límite de una sucesión, demuestre que:
32
2324lim −
=+−
∞→ nn
n
27
LIMITE DE FUNCIONES.
Definición: Sea y = f(x) una función numérica. Decimos que L es el límite
de esta función en x = a, con a ∈ ℜ, si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal
que, si 0 < ax− < δ entonces ε<− Lxf )( , se expresa:
Lxfax
=→
)(lim
Ejemplo: Si f(x) = 112
+−
xx
entonces 2)(lim1
−=−→
xfx
. Significa que dado
ε > 0 queremos que Lxf −)( =
ε<−−=+−=−−+− )1(21)2(112
xxxx
Y L + ε y = f(x) L L - ε O a - δ a a + δ X
28
DERIVADA DE UNA FUNCION
Definición: Sea y = f(x) una función definida en todo punto x0 del
intervalo abierto (a, b). Se define la derivada de la función en el
punto x = x0 al límite:
hxfhxf
h
)()(lim 00
0
−+=
→
Si este límite existe. Se denota como: dxydxf
dxd
=)( ⎜0xx =
Interpretación Geométrica
Y B Q P θ S f ( x0 + h ) – f ( x0 )
δ R
f(x0) Δx = h
A X x0 x0 + h
Sea la curva APQB la representación de la función y = f(x) de la figura, el
cuociente θtgx
xfxxfPRQR
=Δ
−Δ+=
)()( 00 es la pendiente de la secante
que une los puntos P y Q de la curva. Cuando Δx → 0 la secante se aproxima
a la tangente a la curva en el punto P, es decir PS entonces:
δtgPRSR
xxxf
x==
ΔΔ+
=→
)(lim 0
0