LOS DIAGRAMAS DE VORONOI - Comunidad de Madrid
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LOS DIAGRAMAS DE VORONOI LA FORMA MATEMATICA DE DIVIDIR EL MUNDO Por Claudia Expósito Rodriguez
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LOS DIAGRAMAS DE VORONOI
LA FORMA MATEMATICA DE DIVIDIR EL MUNDO
Por Claudia Expósito Rodriguez
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
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01.- INDICE
02.- Motivación 03
03.-Cause 04
04.-Introducción 05
05.-Qué es un diagrama de Voronoi 08
06.- Cronología Histórica 10
07.- Evolución 14
08.- Campos de Aplicación 16
09.- ¿Dividimos el mundo? 18
10.- Distintos usos de los diagramas de Voronoi 25
10.1.-El brote de cólera en Londres de 1854 25
10.2.-El ataque a Pearl Harbor 28
10.3.-Patrones en la piel de una jirafa 30
10.4.-Tratamiento de tumores 32
10.5.-Estudio de la estructura de los huesos 34
10.6.-Robótica 35
10.7.-Planificación de trayectorias 36
10.8.-Sistemas de Información Geográfica 37
10.9.-Servicios urbanos 37
10.10.-Modelización de bosques 39
10.11.-Investigaciones biológicas 41
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10.12.-Histología 42
10.13.-Aplicaciones en climatología 45
10.14.-Aplicaciones en deporte 46
11.-Construcción de diagramas de Voronoi 50
11.1.-Algunas propiedades de los diagramas de Voronoi 53
12.- Entender los diagramas de Voronoi 54
12.1.-Propiedades de los diagramas de Voronoi en el plano 58
12.2.-Método para un primer cálculo de los diagramas de Voronoi 59
12.2.1.-Proposición 1ª 60
12.2.2.-Proposición 2ª 62
12.3.-Algoritmos 63
12.3.1.-Cálculo de la Intersección de Semiplanos 63
12.3.2.-Algoritmo Incremental 63
12.3.3.-Divide y Vencerás 64
12.3.4.-Algoritmo de Fortune 66
13.-Trabajo Práctico (Ubicación de un centro comercial) 68
13.1.-Exposición 68
13.2.-Representación en el plano 70
14.-Problemática 76
15.-Juicio crítico y conclusiones finales 78
16.-Bibliografía 79
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2.- MOTIVACIÓN:
¿Cuál es la mejor manera de planificar la ubicación de un lugar, teniendo en
cuenta factores relativos a proximidad o lejanía y al índice de mayor o menor
población?.
Una buena ayuda para resolver esta situación se encuentra en los diagramas
de Voronoi, que constituyen una especie de mosaico, cuya propiedad
fundamental consiste en la división del plano por medio de puntos y la
asignación a cada uno de ellos, de la región que se encuentre más cerca de
ese punto que de cualquier otro.
Seguidamente y en función del objetivo que nos hayamos fijado, podremos
ajustar el patrón de búsqueda que más se adapte a nuestras necesidades.
En concreto, este trabajo aborda el problema de localizar la mejor la
ubicación para un centro comercial en un pequeño núcleo urbano,
aprovechando para ello la zona con mayor densidad de población en el
menor espacio posible.
A pesar de tratarse de sistemas complejos, nuestro objetivo es una
planificación más sencilla, que vamos a llevar a cabo únicamente con la
ayuda de regla y compas.
No obstante y dada la importancia de la materia a tratar, haremos un
recorrido a lo largo de su historia para una mejor comprensión de todo el
trabajo.
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3.- CAUSE:
What is the best way to plan a location of a place, taking in consideration
proximity or distance and the more or less population ratio? A good help to
solve this situation could be found in Voronoi’s diagram. It’s a partitioning of
a plane into regions based on distance to points in a specific subset of the
plane. That set of points (called seeds, sites, or generators) is specified
beforehand, and for each seed there is a corresponding region consisting of
all points closer to that seed than to any other. These regions are called
Voronoi cells. Following this, and with the objective that we are looking for,
we can adjust the search to the rule closer to our needs.
Specifically, this work is about the problem of how to locate the best place
for a mall in a small urban core and take advantage of the area with highest
population in the smaller possible place
Despite to be complex systems, the objective is to plan it with a simple help:
rule and compass. Anyway, and due to the importance of the subject, we are
going to go through the Voronois diagrams history to document this work
exercise.
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4.-INTRODUCCION:
Seguramente hemos oído hablar alguna vez de la eterna cuestión de si las
matemáticas se inventan o se descubren; si están ahí esperando ser
descubiertas o si son una construcción del pensamiento humano que después,
casualmente, permiten describir con detalle casi cualquier fenómeno natural.
La realidad es que entrar en esa cuestión tan profunda no es ni mucho menos
la finalidad de este trabajo. Lo que si se pretende es poner de relieve un claro
ejemplo en el que las matemáticas son descubiertas porque están escondidas
en el concepto natural de proximidad y/o pertenencia.
Nos referimos al Diagrama de Voronoi.
Debe su nombre al matemático ruso Gueorgui Feodósievich Voronói, que en
1908 formaliza el estudio de formas cuadráticas definidas positivas en Rn,
constituyendo sin duda el método más simple que existe para encontrar la
estructura geométrica entre puntos aleatorios, u ordenados en un plano
bidimensional.
Además se relaciona directamente con gran parte de las estructuras que
encontramos en la naturaleza, como las cortezas de un árbol, los patrones de
las hojas, las estructuras de la piña, los dibujos en la piel de algunos animales
o incluso en las grietas que se forman en los suelos por la reciente
humedad.(Ver imágenes)
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
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Sus usos han sido de lo más variado y en los más diversos campos del
conocimiento, es por ello, que cada nueva aplicación de los diagramas de
Voronoi, requiere una variación diferente y el uso de un elemento esencial
denominado algoritmo.
Por definición, un algoritmo es un conjunto ordenado de operaciones
sistemáticas que permite hacer un cálculo y hallar la solución de un tipo de
problemas.
Pues bien hay literalmente cientos de algoritmos diferentes, para construir
varios tipos de diagramas de Voronoi; sin embargo y dada su complejidad
no ahondaremos en la cuestión y tan sólo nos limitaremos a citar únicamente
los más importantes.
Gracias al empleo de algoritmos avanzados en este tipo de procedimientos,
podemos reconocer patrones y obtener múltiples combinaciones con
aplicaciones en las áreas más variadas.
Así, símbolos, variables, códigos y secuencias son algunas de las pocas
combinaciones que puede contener un algoritmo para la creación de todo un
sistema y que han existido desde siempre.
Cualquier mecanismo se puede transformar en un algoritmo.
Un ejemplo claro son los dibujos, diagramas y formaciones escritas que se han
generado desde la antigüedad y que han servido para la comunicación entre
las diferentes culturas.
El mismo abecedario, aunque directamente no es un algoritmo sino un sistema,
a partir de combinar sus variables (letras y consonantes) nos permiten crear
algoritmos, donde el tono, la forma y la entonación podrían tener significados
diversos.
Todo lo que nos rodea puede ser entendido a través del lenguaje universal de
los números, las matemáticas: Quince pasos para llegar del garaje a la puerta
de tu casa. Diez movimientos para prepararte un café. Doce pasos para
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vestirte. Cuarenta y cuatro pasos para prepararte la cena del día. Ocho horas
en las que realizas un trabajo durante una jornada de 24 horas.
Todos estos procesos son simples algoritmos que repetimos cotidianamente y
con los que sin saberlo creamos mecanismos.
A lo largo de ésta investigación, se ha recopilado numerosa información cuya
síntesis y conclusiones podrán enjuiciarse a medida que avancemos en el
contenido del presente documento.
Por ello y para un mejor entendimiento del asunto que se va a tratar, se
intentarán resumir las cuestiones más técnicas, mediante ejemplos prácticos y
sencillos, que nos llevarán a comprender que son los diagramas de Voronoi,
como crearlos y cuáles son sus propiedades y principales aplicaciones en los
distintos campos de estudio.
Finalmente, usando un sencillo diagrama de Voronoi, se abordará y
planificará la creación de un centro comercial en el área urbana de una
pequeña localidad, ubicado lo más cerca del mayor núcleo de población
posible, con la correspondiente explicación de su desarrollo.
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5.-¿QUÉ ES UN DIAGRAMA DE VORONOI? Podríamos definirlo como la descomposición de un espacio métrico en
regiones, asociado a la presencia de objetos, de tal forma que a cada
objeto se le asigna una región del espacio métrico, formada por los puntos
que son más cercanos a él que a ninguno de los otros objetos.
Por ejemplo, si tenemos un conjunto de 8 puntos en el plano euclídeo, su
diagrama de Voronoi es una partición del plano de este estilo:
Figura: http://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
Ante la presencia de un nuevo punto, por ejemplo, el verde en la siguiente
figura, es inmediato reconocer cuál de los 8 originales es el más cercano a
él. El punto generador de la región en la que ha caído.
http://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
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Esta propiedad del Diagrama de Voronoi tiene aplicaciones inmediatas,
tales como encontrar el ‘restaurante’ de comida rápida de alguna famosa
cadena más cercano a tu ubicación.
http://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
Se trata de una estructura tan lógica e intuitiva que aparece cada vez que
uno se plantea cuestiones relacionadas con problemas de proximidad.
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6. CRONOLOGÍA HISTORICA. A pesar de que gran parte del desarrollo y muchas de las aplicaciones
iniciales ocurrieron en el campo de las Ciencias Naturales, la primera
aplicación conocida del concepto de Diagrama de Voronoi aparece en un
mapa del médico John Snow, incluido en el reporte sobre el brote de Cólera
de St. James, Westminster, durante el otoño de 1854.
Durante los años 1853 y 1854, Londres se enfrentó a una tercera epidemia
de cólera. Por aquél entonces los habitantes de ciertos distritos del sur de
la ciudad extraían agua del Támesis o la obtenían de bombas de uso público.
Como los desechos humanos eran vertidos en alcantarillas improvisadas o
directamente al río, Snow sostenía que la gente, al beber agua contaminada
extraída del río, ingería materia insana y de esta manera contraía el cólera.
A principios de septiembre de 1854, el sector Golden Square fue escenario
de un brote epidémico de gran intensidad (500 muertes en 10 días). Snow
era vecino del área y sabía que la mayoría extraía agua de una bomba en la
calle Broad Street, por ello registró las direcciones de 83 personas fallecidas
en el área.
Pronto confirmó que la mayoría de los moradores se abastecían de la bomba
mencionada, dado que calculó la distancia entre la residencia de cada
víctima y la bomba más cercana.
Aunque no hay atribución alguna asociada a este mapa, es más que
probable que esta obra de John Snow, se haya convertido en el mapa más
famoso de alguna enfermedad del siglo XIX que se reproduce en gran
variedad de textos, tanto en epidemiología como en cartografía. (ver figura)
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Análisis del brote de cólera en Londres, por John Snow. Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
Otra aplicación aparece en el área de Ciencias Sociales, en el trabajo del
germanista Carl Hagg, que utilizó los Diagramas de Voronoi como un medio
para visualizar la variación dialectal y así mismo la identificación de
Isoglosas (barreras lingüisticas). (ver figura).
En su estudio de dialectos al sureste de Alemania (1898), definió el
equivalente a un Diagrama de Voronoi de un conjunto de localidades en las
que se habían recogido datos de su dialecto.
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Posteriormente pinto los bordes de Voronoi compartidos por dos localidades
si diferían en términos de características de dialecto, así, bordes muy
remarcados indicaban la presencia de Isoglosas
Geografía de los dialectos de Suabia Figura:https://es.wikipedia.org/wiki/Alem%C3%A1n_de_Suiza
Además de estos trabajos, se han venido desarrollando otras aplicaciones
en las Ciencias Sociales durante los últimos cincuenta años.
Uno de los primeros fue el desarrollado por Donald Bogue en 1949, quien
usó los polígonos de Voronoi definidos alrededor de centros metropolitanos
en Estados Unidos como sustitutos de sus áreas de mercado (ver Figura)
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Estudio de áreas de mercado por Bogue. Copyright: Universidad de Florida. Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
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7.-EVOLUCIÓN Una búsqueda rápida a través de la literatura de geometría computacional
reciente, encuentra alrededor de 300 documentos, casi todos publicados en
la última década, con Voronoi o Delaunay en el título. Más de un tercio de
esos documentos se publicaron desde 1990.
Geógrafos, antropólogos y arqueólogos han usado también el concepto para
modelar otros tipos de sistemas territoriales humanos, relacionados en la
economía espacial, con la Ley de las Áreas de Mercado
A modo de ejemplo y teniendo en cuenta la forma de la frontera entre las
áreas de mercado de dos centros que compiten en diversas condiciones de
precios de mercado y costos de transporte es posible hallar argumentos
similares definiendo varios tipos de Diagramas de Voronoi.
Sin embargo, las aplicaciones empíricas (basadas en la observación y la
experiencia), permanecieron limitadas debido a la falta de un medio sencillo
y eficaz de construcción de Diagramas de Voronoi, lo que llevó a la búsqueda
de soluciones desde el área de la informática, dando lugar al desarrollo de
una serie de algoritmos durante la década de los 70/s, para construir
Diagramas de Voronoi en dos y tres dimensiones, lo que inmediatamente
propició otros progresos en Ciencias de la Computación que a su vez,
impulsaron avances en el campo de la naciente Geometría Computacional.
Este esfuerzo se vio culminado con la obra pionera de Michael Shamos y
Dan Hoey (1975) (Problemas de punto más cercano), donde no sólo
presentan un algoritmo para la construcción del Diagrama de Voronoi, sino
que también muestran la forma en la que éste se podría utilizar para resolver
problemas relativos a un conjunto finito de puntos distintos en el espacio
euclídeo, al tiempo que proponen formas de generalizar los Diagramas de
Voronoi, permitiendo que en los años siguientes el concepto básico se
extienda a una gran variedad de formas y campos.
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En la actualidad sus aplicaciones son innumerables en campos tan diversos
como la meteorología, las matemáticas, la medicina, la geografía, la
biología, el diseño asistido por ordenador, sistemas de posición global,
robótica, sistemas de detección de errores, modelado digital del Terreno y
su utilización en la reconstrucción de superficies, reconocimiento de
patrones, e incluso en el mundo del deporte, donde se efectúan diagramas
para visualizar las áreas de influencia de los jugadores y establecer cuál de
ellos tiene una mejor disposición táctica y conexión entre sus integrantes.
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8. CAMPOS DE APLICACIÓN
Existen al menos veinte campos en los que los diagramas de Voronoi son
de uso común (aunque a menudo no con ese nombre).
Antropología y arqueología: identificar las partes de una región bajo la
influencia de diferentes clanes neolíticos, jefaturas, centros ceremoniales o
fortalezas de colinas.
Astronomía: identificar cúmulos de estrellas y cúmulos de galaxias (Aquí
vimos lo que puede ser la imagen más antigua de un diagrama de Voronoi,
dibujado por Descartes en 1644, donde las regiones describieron las
regiones de influencia gravitacional del sol y otras estrellas).
Biología, Ecología, Silvicultura: Modelar y analizar la competencia de
plantas ("Área potencialmente disponible para un árbol", "Polígonos
vegetales")
Cartografía: une fotografías satelitales en grandes mapas de "mosaicos"
Cristalografía y química: estudio de las propiedades químicas del sodio
metálico ("regiones de Wigner-Seitz");
Modelado de estructuras de aleación como empaquetaduras de esferas
(Dominio de un átomo)
Análisis de elementos finitos: generación de mallas de elementos finitos
que evitan ángulos pequeños
Geografía: Análisis de patrones de asentamientos urbanos
Geología: Estimación de reservas de mineral en un depósito usando
información obtenida de pozos; modelos de patrones de grietas en basalto
debido a la contracción en el enfriamiento
Modelado geométrico: Encontrar triangulaciones "buenas" de superficies
3D
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Marketing: Mercado modelo de áreas metropolitanas de EE. UU. Área de
mercado que se extiende a tiendas minoristas individuales
Matemáticas: Estudio de formas cuadráticas definidas positivas
(Tesselación de Dirichlet, Diagrama de Voronoi)
Metalurgia: Modelado de crecimiento de grano en películas de metal
Meteorología: Cálculo de los promedios regionales de precipitación, dados
los datos en pluviómetros discretos (polígonos de Thiessen)
Reconocimiento de patrones: Localización de descripciones simples para
las formas que extraen caracterizaciones 1D de las formas 2D ("eje medial"
o "esqueleto" de un contorno)
Fisiología: Análisis de la distribución capilar en cortes transversales de
tejido muscular para calcular el transporte de oxígeno (dominios capilares)
Robótica: Planificación del camino en presencia de obstáculos
Estadísticas y datos: Análisis de la agrupación estadística (interpolación de
vecinos naturales)
Zoología: Modelar y analizar los territorios de los animales.
Además de todas estas aplicaciones del mundo real, los diagramas de
Voronoi tienen varias aplicaciones en el campo de la informática, en
particular la geometría computacional, que busca soluciones a problemas
cotidianos, tales como determinar la oficina de correos más cercana a una
casa, el par más cercano dado un conjunto de puntos, todos los vecinos más
cercanos, o el círculo vacío más grande, también conocido como el problema
del vertedero de desechos tóxicos.
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9.-¿DIVIDIMOS EL MUNDO?
Existen muchas formas de dividir el mundo. Las más habituales son las
reales, o las que al menos, asumimos como tales: las que el curso de la
historia ha ido marcando en forma de fronteras y son asumidas por el
conjunto de personas, países y organizaciones que habitamos el planeta.
Pero hay formas de dividir el mundo mucho más perfectas. Perfectas y
matemáticas. Una de ellas ha sido explorada por el especialista en
visualización de datos Jason Davies, radicado en Londres, quién ha aplicado
las matemáticas al reparto político del territorio.
De este modo, ha creado varios mapas para cuya elaboración ha utilizado
algoritmos y bases de datos, dividiendo el planeta en regiones que orbitan
sobre el punto en el que está la capital o ciudad más cercana. (ver figuras)
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El mundo dividido en áreas Voronoi en función de sus Capitales. Figuras: https://www.jasondavies.com/maps/voronoi/capitals/
Como curiosidad y según éste reparto, Sevilla quedaría bajo influencia de
Lisboa, mientras que Cataluña sería parte de un “país” cuya capital sería
Andorra.
Campeche, Yucatán y Quintana Roo quedarían bajo la influencia de Belice,
Chiapas de Guatemala y varios estados de la Unión Americana volverían a
formar parte del territorio mexicano.
El último mapa de Davies, realizado también con el diagrama de Voronoi,
divide el mundo en casi 3.000 regiones. Son exactamente 2.980 y se
corresponden con las áreas circundantes a los diferentes aeropuertos del
planeta.
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Cada región está más cerca de un aeropuerto en particular que cualquier
otra. Esta partición de la esfera se llama diagrama esférico de Voronoi.
En el mapa de los aeropuertos se hace evidente que las zonas más
densamente pobladas, pero sobre todo las más ricas, son aquellas divididas
en pequeñas partes de terreno (muchos aeropuertos).
En cambio, las zonas del mapa que se corresponden con las regiones menos
desarrolladas o muy poco densamente pobladas (pocos aeropuertos) del
planeta, cuentan con regiones mucho más amplias.(ver figura)
El mundo dividido en áreas Voronoi en función de sus aeropuertos.
Figura: https://www.jasondavies.com/maps/voronoi/airports/
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El punto más remoto se encuentra a 76° S, 68° E y se encuentra a 5.147 km
de los tres aeropuertos más cercanos (no se han incluido los puntos de
aterrizaje sobre la Antártida debido a su pequeño tamaño y no tratarse de
aeropuertos con servicios regulares) (ver figura).
Circuncentro con mayor radio de circunferencia circunscrita.
Figura: https://www.jasondavies.com/maps/voronoi/airports/
El aeropuerto de Mataveri a 27° S, 109 W es el más remoto y se encuentra
situado a 2.602 km del aeropuerto más cercano, el de Totegegie. (Ver figura)
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Circuncentro con mayor radio descrito entre aeropuertos
Figura: https://www.jasondavies.com/maps/voronoi/airports/
Estados Unidos también tiene su propio mapa de Voronoi basándose en las
capitales estatales.(Ver figura).
Mapa de Estados Unidos, aplicando el diagrama de Voronoi desde sus capitales estatales.
Figura:https://www.geografiainfinita.com/2014/05/el-mundo-perfecto-de-voronoi-donde-
matematica-y-geografia-se-unen/
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Como curiosidad, citaremos que también existe un mapa provincial de
España sobre el que se trasponen las áreas de Voronoi.(ver figura)
Mapa de De Burgos, casi intacto, que se corresponde con el de las provincias actuales. Figura:https://www.geografiainfinita.com/2014/05/el-mundo-perfecto-de-voronoi-donde-matematica-
y-geografia-se-unen/
Hay cambios notables, aunque no tantos como podría pensarse. Al fin y al
cabo se nota que Javier de Burgos, padre de la primigenia división
administrativa de 1833, buscaba que desde el punto más alejado de la
provincia se pudiera llegar a la capital en un día.
Los Diagramas de Voronoi se utilizan en todos aquellos estudios en los que
hay que determinar áreas de influencia, como por ejemplo, en la cobertura
hospitalaria, cercanía de estaciones de bomberos o del metro, centros
comerciales, control del tráfico aéreo o telefonía móvil.
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Aunque su campo de aplicación es más extenso de lo que puede imaginarse.
De hecho, constituyen una de las funciones de análisis básicas en los
Sistemas de Información Geográfica (SIG).
El diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos en el plano, consiste en la
división de dicho plano en tantas regiones como puntos tengamos, de tal
forma que a cada punto le asignemos la región formada por todo lo que está
más cerca de él que de ningún otro.
Se trata pues de estructuras fundamentales dentro de la Geometría
Computacional1, que de alguna forma almacenan toda la información
referente a la proximidad entre puntos. Además son uno de los métodos de
interpolación2 más simples, especialmente apropiados cuando los datos son
cualitativos.
Aunque deben su nombre al matemático ruso Gueorgui Feodósievich
Voronói, sus innumerables aplicaciones hacen que sean también conocidos
como Polígonos de Thiessen (por el meteorólogo estadounidense Alfred
Thiessen), Teselación3 de Dirichlet (en honor al matemático alemán Peter
Gustav Lejeune Dirchlet), Celdas de Wigner-Seitz (por el físico matemático
húngaro Eugene Wigner y el físico estadounidense Frederick Seitz) o Zonas
de Brillouin (por el físico francés León Nicolás Brillouin).
1 Rama de las ciencias de la computación dedicada al estudio de algoritmos que pueden ser expresados en términos de la geometría. 2 Subcampo matemático que permite la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un
conjunto discreto de puntos 3 Construcción geométrica que permite realizar una partición del plano euclídeo.
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10.-DISTINTOS USOS DE LOS DIAGRAMAS DE VORONOI. Seguidamente se van a exponer diversos ejemplos sobre la
aplicación de los diagramas de Voronoi en cuestiones distintas, para
poder ampliar un poco más nuestro conocimiento acerca de la
importancia de estos sistemas.
10.1.- EL BROTE DE CÓLERA EN LONDRES DE 1854.
Por aquel entonces no se conocía con exactitud la etiología ni el
método de trasmisión del cólera, y se debatían entre dos
posibilidades: el contagio por contacto con el enfermo, sus ropas y
pertenencias; o la teoría miasmática1 que atribuían la trasmisión a
condiciones atmosféricas, como los vientos.
John Snow, médico y residente en la zona de Broad Street, usó el
método geográfico deduciendo que la causa de la enfermedad era el
consumo de aguas contaminadas por heces.
Para ello, en un mapa señaló la distribución de muertes por cólera y
de las fuentes de agua potable de la ciudad, delimitando las regiones
de Voronoi de cada una de esas bombas.
En la figura siguiente, los puntos identifican los domicilios de las
personas fallecidas, mientras que las cruces representan las bombas
de suministro de agua, se ha resaltado la bomba de Broad Street con
una cruz roja.
1 Teoría formulada por Thomas Sydenham (1624-1689) y Giovanni María Lancisi (1654-1720), según la cual los miasmas, que eran el conjunto de emanaciones fétidas de suelos y aguas impuras, eran la causa de enfermedad.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
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Análisis del brote de cólera en Londres, por John Snow. Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
Snow calculó la distancia entre la residencia de cada difunto y la
bomba de agua más cercana, llegando a la conclusión de que la zona
más afectada por el cólera se correspondía con la región de Voronoi
asociada a la bomba de Broad Street, ya que en su región se dieron
73 de 83 casos. Tras retirar la manija de la bomba de Broad Street, el
brote de cólera se extinguió.
Para comprobar si en verdad la bomba de Broad Street es la más
cercana al domicilio de la zona con mayor número de muertes por
cólera, en la figura siguiente se ha dibujado el diagrama de Voronoi
tomando como puntos generadores cada bomba en el mapa.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
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El resultado, expone gráficamente la relación espacial entre las
muertes por cólera y la bomba de Broad Street.
Diagrama de Voronoi del análisis de brote de cólera en Londres. Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
Tras la inhabilitación de la bomba, se observó una reducción en la
incidencia y mortandad por cólera. Aunque posteriormente, debido
a la incredulidad de las autoridades y la presión popular, se habilito
nuevamente su uso.
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10.2.- EL ATAQUE A PEARL HARBOR DE 1941.
El 26 de noviembre de 1941 una fuerza de ataque japonesa
compuesta por seis portaaviones zarpó desde el norte de Japón en
ruta hacia el noroeste del archipiélago de Hawái. Desde allí lanzó sus
unidades aéreas para atacar la Base Americana de Pearl Harbor,
durante la mañana del 7 de diciembre.
El ataque conmocionó al pueblo estadounidense y llevó directamente
a la entrada de los Estados Unidos en la Segunda Guerra Mundial. La
siguiente Figura muestra el trayecto seguido por los japoneses. Se ha
marcado con una cruz roja la base naval de Pearl Harbor y las bases
navales cercanas a ella (islas Aleutianas, Midway y Wake), mediante
una cruz azul. Hay que aclarar que la ruta es aproximada.
Ruta del ataque a Pearl Harbor recorrida por la Fuerza Japonesa de ida y vuelta. Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
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El propósito es comprobar si en realidad el plan fue rigurosamente
estructurado, basándose en la mayor distancia posible a las bases
navales cercanas a Pearl Harbor, para evitar que pudieran detectar el
ataque antes de cometerse.
Una vez trazado el correspondiente diagrama de Voronoi, podemos
deducir que la flota japonesa escogió uno de los puntos más
alejados de las bases en las islas Aleutianas y Wake para salir. La
ruta siguió la línea mediatriz entre las islas Aleutianas y Midway
antes de desviarse en el punto más alejado entre las islas Aleutianas,
Midway y Pearl Harbor. (Ver Figura)
Diagrama de Voronoi del análisis del ataque japonés a la Base de Pearl Harbour. Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
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10.3.- PATRONES EN LA PIEL DE UNA JIRAFA
Un reciente estudio efectuado por investigadores del Kings College
de Londres acaba de confirmar la hipótesis planteada por el
matemático británico Alan Turing hace medio siglo, según la cual los
patrones biológicos como las rayas del tigre y las manchas del
leopardo aparecen por la interacción de un par de morfógenos
(sustancias que gobiernan el desarrollo tisular), uno activador y otro
inhibidor.
Estos dos morfógenos se combinarían para crear el patrón de rayas o
manchas. Así el activador forma la raya, pero, al interaccionar con el
inhibidor, deja de manifestarse y da lugar a un espacio en blanco
antes de volver a manifestarse en forma de otra raya.
Las jirafas tienen un sistema de vasos sanguíneos que pasan por
debajo de las manchas rojizas de sus pelajes (ver Figura).
Patrones en la piel de una jirafa Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
31
Un vaso sanguíneo más grande rodea cada mancha y envía vasos
más pequeños al centro de la mancha.
En el centro de cada mancha, los vasos liberan calor desde el
cuerpo, regulando la temperatura corporal del animal. Sus manchas
sirven para deshacerse del calor ya que ellas no pueden sudar, el
centro de las manchas es por donde emana la temperatura más
caliente del cuerpo.
Para asegurarnos de que la piel de una jirafa sigue un diseño de
diagrama de Voronoi, se trataron de ubicar los puntos generadores a
partir del color más oscuro dentro de las regiones, es decir, se
intentaron hallar los vasos que liberan el calor, el resultado puede
observarse en la Figura siguiente.
Aproximación del diagrama de Voronoi en la piel de una jirafa. Figura: https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/UlisesMartinezRodriguez.pdf
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
32
Como se esperaba, los vasos que liberan calor poseen un color más
oscuro en relación al resto de la piel, también se constata que los
patrones de ésta siguen un diseño de diagrama de Voronoi.
10.4.- TRATAMIENTO DE TUMORES
Las células epiteliales son los bloques de construcción que forman,
por ejemplo, la capa externa de la piel y recubren los vasos
sanguíneos y los órganos de todos los animales.
Hasta ahora, representábamos dichas células como prismas, pero un
equipo internacional de científicos liderado por el experto en biología
Luis M. Escudero de la Universidad de Sevilla (España), ha
descubierto que ese modelo no se corresponde con la organización
de las células en los tejidos epiteliales a la luz del microscopio,
identificando una nueva forma geométrica, denominada escutoide,
con 5 aristas en un extremo y seis en el otro. (Ver Imagen)
Representación de escutoides. Figura: https://naukas.com/2018/07/31/la-cronica-de-los-escutoides-contada-por-sus-autores/
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
33
Este hallazgo es una solución geométrica para el embalaje
tridimensional de los epitelios y ha sido posible gracias al uso de
modelos computacionales que utilizaban la diagramación de Voronoi.
Basándose en esta idea Luis M. Escudero y algunos colaboradores
han ideado un método que puede servir para revolucionar el
diagnóstico automatizado de ciertas formaciones tumorales.
Lo que han hecho en líneas generales ha sido es crear un modelo de
tejido epitelial (y muscular) ideal mediante el siguiente procedimiento
computacional:
(1) Se genera un conjunto de puntos al azar;
(2) A dichos puntos se les calcula su diagrama de Voronoi;
(3) Se calcula el centro de masas de cada una de las regiones
resultantes, lo que nos proporciona un nuevo conjunto de
puntos;
(4) Se calcula el diagrama de Voronoi del nuevo conjunto.
Este proceso se repite hasta tres veces más. El aspecto que tiene
este quinto diagrama de Voronoi calculado es el modelo de tejido
ideal calculado por el Dr. Escudero.
A partir de aquí estos investigadores miden cómo de parecido es el
tejido de una muestra real con el tejido modelo, si se parecen según
ciertos parámetros (geométricos y topológicos), el tejido real está
sano; en otro caso se concluye que algunas células no presentan las
mismas características físicas que sus vecinas, lo que puede indicar
el comienzo de un proceso tumoral.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
34
10.5.- ESTUDIO DE LA ESTRUCTURA DE LOS
HUESOS.
En nuestros huesos podemos distinguir dos zonas diferenciadas: el
hueso compacto y el hueso esponjoso o trabecular.
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
Pues bien, existen una importante cantidad de trabajos enfocados a
generar modelos en 2 dimensiones que representen la arquitectura
trabecular2 de los huesos, usando diagramas de Voronoi, tomando
como puntos en este caso, los centros de los poros del hueso
esponjoso.
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
2 Estructura esponjosa en la que se intercalan huecos llenos de médula ósea roja.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
35
10.6.- ROBOTICA
Si tenemos una escena con obstáculos en las que un robot deba
moverse, una forma de evitar las colisiones sería diseñar la
trayectoria del robot sobre las líneas del diagrama de Voronoi de los
obstáculos, con lo que se movería siempre a medio camino entre dos
de ellos.
En la imagen, los obstáculos figuran en círculos rojos, y las líneas
punteadas azules son los límites de las distintas regiones de Voronoi
de los mismos
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
Como puede observarse, también es posible calcular el diagrama de
Voronoi de otros objetos que no sean puntos, así si el robot camina
por las líneas azules, no habrá colisión.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
36
10.7.- PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS.
Este trabajo aborda el problema de la planificación local de
trayectorias en entornos desconocidos, muy .útil en el desarrollo de
sistemas de seguridad.
Mediante diagramas de Voronoi se modela el entorno percibido, para
determinar las zonas más alejadas o próximas a los puntos
deseados.
Una vez generado el patrón, permite colocar sensores de movimiento
para su uso por ejemplo en instalaciones de seguridad o bien
evitarlos mediante la búsqueda del camino más adecuado. También
puede aplicarse para localizar la mejor ubicación de cámaras de
seguridad en un recinto, de forma que con la menor cantidad posible
de ellas se evite generar puntos ciegos
Figura: http://asignatura.us.es/fgcitig/presentaciones/Tema%203-Voronoi.pdf
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
37
10.8.- SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA
Una idea similar a la del robot, se propone en un trabajo de C.M. Gold
de 2006, planteando el uso de esta misma estructura en el ámbito de
sistemas de información geográfica, utilizando, de nuevo, las aristas
del diagrama para evitar la colisión con los accidentes geográficos.
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
10.9.- SERVICIOS URBANOS
Otra aplicación de este diagrama, por ejemplo, es el cálculo del
mayor círculo vacío.
Imaginemos que los puntos representan núcleos urbanos y que
queremos ubicar un servicio indeseable, algo que nadie quiere tener
cerca, como por ejemplo una central nuclear.
El servicio indeseado hay que ubicarlo dentro de la envolvente
convexa de los núcleos de población.
De manera intuitiva, la envolvente convexa de un conjunto de puntos
en el plano, es la forma que adoptaría una goma elástica si la
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
38
soltáramos alrededor de los puntos, en los que hemos clavado
puntillas, en la siguiente figura la tenemos en verde:
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
Observamos que los puntos que están sobre la envolvente convexa
(en verde) tienen regiones de Voronoi no acotadas, abiertas.
En ese caso, para ubicar un servicio no deseado dentro de la frontera
verde, lo que tenemos que conseguir es que la población más
cercana a dicho servicio esté lo más alejada posible del mismo.
Esto se consigue ubicándolo en el centro del mayor círculo vacío de
poblaciones que podamos dibujar dentro de la frontera verde.
Pues bien, ese círculo estará centrado en un vértice del diagrama de
Voronoi.(ver figura siguiente)
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
39
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
10.10.- MODELIZACIÓN DE BOSQUES
El diagrama de Voronoi también se ha usado como herramienta de
investigación forestal para analizar y predecir la influencia del espacio
ocupado por los árboles en la evolución de un bosque.
Manuel Abellanas de la Universidad Politécnica de Madrid, junto a
otros investigadores, ha desarrollado un modelo informático
denominado VOREST, capaz de simular la evolución de un bosque y
calcular automáticamente el área de influencia de un árbol
determinado, lo que permite conseguir predicciones precisas sobre la
producción de madera.
El proceso se basa en el hecho de que todo árbol tiene a su
alrededor un área de influencia de mayor o menor tamaño, y que, en
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
40
función de dicha área, determina el crecimiento futuro de un árbol
individual.
La competencia que se produce entre los árboles por dominar ese
espacio para poder desarrollarse hace que estos sistemas biológicos
estén directamente relacionados con los diagramas de Voronoi.
La información visual que ofrece la aplicación permite representar el
diagrama de Voronoi que modeliza las áreas de influencia de cada
uno de los árboles cargados en el programa en un instante
determinado de su crecimiento.
Entorno gráfico de VOREST: Modelo de bosque y su correspondiente diagrama de Voronoi.
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
Otra de las funcionalidades de esta herramienta es generar una
representación más o menos detallada del aspecto real que podría
esperarse de los árboles estudiados en su entorno natural.
De esta forma, la aplicación es capaz de generar una escena
tridimensional con un grado de detalle suficientemente alto del
aspecto que presenta el bosque en la realidad.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
41
Opciones de modelado y visualización
Figura: https://www.infor.uva.es/egc07/articulos/28.pdf
La conclusión es que la aplicación VOREST constituye una
herramienta útil para la investigación en la Ingeniería Forestal y es un
buen ejemplo de cómo la Geometría Computacional se aplica en
problemas reales.
10.11.- INVESTIGACIONES BIOLÓGICAS
A nivel microscópico también podemos encontrar trabajos que aplican
el diagrama de Voronoi a sus investigaciones.
Desde 1974, F.M. Richards, biólogo estructural en Yale e innovador
en el estudio de las relaciones entre las estructuras de proteínas y
sus funciones biológicas, señaló la eficiencia y relevancia de nuestra
estructura en 3 dimensiones para la descripción de la estructura de
las proteínas.
Entre los numerosos trabajos que podemos encontrar en esa línea,
tenemos, por ejemplo, la herramienta, VORO3D, que permite la
visualización en tres dimensiones de la estructura de las proteínas.
Para ello, considera el empaquetamiento de aminoácidos cercanos a
la superficie de la proteína, como regiones de Voronoi abiertas.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
42
Representación con VORO3D de beta-purotionina
Figura: https://naukas.com/2011/12/23/cada-uno-en-su-region-y-voronoi-en-la-de-todos/
10.12.- HISTOLOGÍA3
Los espacios de Voronoi constituyen un sistema para compartimentar
un plano o espacio en circunscripciones, de modo que cada «centro
de circunscripción» tenga influencia sobre todos los puntos del área
que estén más cerca de él que de otros centros.
Típica imagen de diagrama de Voronoi
Figura: https://ilustracionmedica.wordpress.com/2017/08/02/higado-voronoi/
3Parte de la biología que estudia la composición, la estructura y las características de los tejidos orgánicos de los seres
vivos.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
43
Esta típica imagen de un diagrama de Voronoi (o teselación de
Dirichlet o polígonos de Thiessen), en la que observamos que cada
punto verde domina un área en el cual cada punto del plano está más
cerca de éste que de los puntos verdes vecinos, es perfectamente
superponible sobre la imagen clínica del endotelio corneal obtenida
mediante microscopía confocal, bajo estas lineas.
Imagen clínica del endotelio corneal obtenida mediante microscopía confocal Figura: https://ilustracionmedica.wordpress.com/2017/08/02/higado-voronoi/
Muchos órganos y tejidos se estructuran siguiendo parcelaciones tipo
Voronoi, como las células de los recubrimientos epiteliales, que se
adosan unas a otras formando un patrón poligonal.
Lo mismo sucede si observamos un corte transversal de fibras de
músculo esquelético, los espacios del hueso trabecular o las hojas de
las plantas.(ver figura siguiente)
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
44
Ejemplos biológicos de estructuras de Voronoi. Figura: https://ilustracionmedica.wordpress.com/2017/08/02/higado-voronoi/
Pero quizás sea el hígado el órgano cuya estructura se ajusta más
perfectamente a la teoría matemática de los espacios de Voronoi.
El tejido hepático está formado por lobulillos de forma más o menos
hexagonal y en el eje de cada lobulillo hay una vena centrolobulillar
que recoge toda la sangre de su lobulillo, respetando la segmentación
voronoide.
El árbol que recoge el drenaje de estas venas acaba en las grandes
venas suprahepáticas que desembocan en la cava inferior.
Distribución voronoide de los lobulillos hepáticos.
Figura: https://ilustracionmedica.wordpress.com/2017/08/02/higado-voronoi/
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
45
He aquí un órgano majestuoso cuya arquitectura se rige por
principios matemáticos.
10.13.- APLICACIONES EN CLIMATOLOGÍA
Este método se aplica para determinar la lluvia media en una zona,
cuando se sabe que las medidas de precipitación en los diferentes
pluviómetros sufren variaciones, teniendo además el condicionante
que la cuenca es de topografía suave o en lo posible plana.
El procedimiento para el cálculo es el siguiente:
1. Se unen los pluviómetros adyacentes con líneas rectas.
2. Se trazan mediatrices a las líneas que unen los pluviómetros.
Recordar que una mediatriz es una línea recta perpendicular a un
segmento de recta y que parte de su punto medio. Como las figuras
formadas son triángulos, las mediatrices se encuentran en un punto
dentro del mismo, ver Figura 20.
3. Se prolongan las mediatrices hasta el límite de la cuenca.
4. Se calcula el área formada por las mediatrices para cada
pluviómetro.
Comenzaremos con el trazado de las mediatrices (líneas en color
rojo) para la cuenca mostrada en la Figura 20, prolongándolas hasta
los límites de la misma.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
46
Se observa que cada pluviómetro queda con un área de influencia
dentro de la cuenca.
El siguiente paso es medir el área asociada a cada pluviómetro y
determinar el ponderador de área para encontrar la precipitación
media. Ver Tabla 11.
Retomando los mismos valores de precipitación, tenemos:
Figuras: http://gaia.geologia.uson.mx/academicos/ochoa/CURSO%20HIDROLOGIA%202K17-1/PRESENTACIONES%202/ESCRITOS/M%E9todo%20de%20los%20pol%EDgonos%20de%20Thiessen.pdf
El ponderador de área se calcula como el cociente entre el área de
asociada a cada pluviómetro y el área total, por esto su suma da 1.
La precipitación ponderada, se obtiene al multiplicar la precipitación
medida en cada pluviómetro y al factor ponderador de área. Para el
ejemplo, se obtuvo un valor de precipitación ponderada de 1351.747
mm, valor que está cercano al obtenido por el método del promedio
aritmético.
10.14.- APLICACIONES EN DEPORTE
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
47
Si pensamos en los jugadores sobre el terreno de juego como puntos
sobre un plano, podemos asignarle a cada uno de ellos su región de
Voronoi que estará formada por los puntos del terreno de juego que
están más cerca de cada jugador que del resto. Evidentemente, como
los jugadores no están quietos, en general, este diagrama irá
modificándose con el tiempo pero nos puede decir, en cada instante,
qué equipo está mejor posicionado en el campo.
Tomemos por ejemplo dos equipos, el rojo y el azul (ver figura).
Figura:http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=17918&Itemid=33
A simple vista la ventaja posicional de uno sobre el otro no esté muy
clara, pero si dibujamos el diagrama de Voronoi de los jugadores (ver
figura), se puede observar que el equipo azul no sólo ocupa mayor
región del campo, sino que sus regiones están todas conectadas, con
lo cual se favorecen los pases entre los distintos jugadores de dicho
equipo (cosa que no ocurre con el rojo).
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
48
Figura:http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=17918&Itemid=33
Se aprecia aún más claramente si diferenciamos con dos colores las
regiones de influencia asociadas a los jugadores de cada uno de los
equipos
Figura:http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=17918&Itemid=33
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
49
Evidentemente, este diagrama irá variando cuando se muevan los
jugadores, pero existen multitud de herramientas que permiten
calcular estos diagramas , asignando las regiones de influencia de
cada jugador en función de su posición y de la dirección de su
movimiento.
Después, lo único que necesitamos es un entrenador que sepa cómo
aplicarlo.
Con todo esto, si tenemos en cuenta el movimiento de los jugadores,
el diagrama de Voronoi más preciso de dos equipos tendría más bien
la forma de la siguiente figura.
Figura:http://vps280516.ovh.net/divulgamat15/index.php?option=com_content&task=view&id=17918&Itemid=33
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
50
11.- CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE VORONOI
Dividimos el plano en un conjunto de puntos, que dan lugar a regiones. A
cada punto se le asigna una región delimitada por bordes, formados a su vez
por segmentos de recta, semirrecta o rectas.
En los bordes de una región encontramos puntos que pertenecen a tres o
más regiones y los llamamos vértices
Estos se sintetizan al unir los puntos entre sí, trazando las mediatrices de
los segmento de unión. Las intersecciones de estas mediatrices determinan
una serie de polígonos en un espacio bidimensional alrededor de un conjunto
de puntos de control, de manera que el perímetro de los polígonos
generados sea equidistante a los puntos vecinos y designando su área de
influencia.
Sea P = {p1,p2,…pn} un conjunto de n puntos distintos del plano.
Definimos el Diagrama de Voronoi del conjunto P como una subdivisión del
plano en n celdas, una por cada punto de P, con la propiedad de que un
punto ‘q’ pertenece a la celda correspondiente al punto ‘p’ sí y solo sí la
distancia euclidea de ‘q’ a ‘p’ es menor que a cualquier otro punto de P
Diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos
Figura: http://oa.upm.es/1800/1/PFC_GINES_RODRIGUEZ_GAVILAN.pdf
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
51
Dados 2 puntos, Pi y Pj, en un plano T, la perpendicular al segmento PiPj en
su punto medio divide el plano en dos regiones Vi y Vj.
La región Vi contiene todos y sólo los puntos cuya distancia a Pi es menor
que a Pj y la región Vj contiene el resto.
Regiones de Voronoi de dos puntos
Figura: http://oa.upm.es/1800/1/PFC_GINES_RODRIGUEZ_GAVILAN.pdf
El lugar geométrico de los puntos que están más cerca de un punto Pi que
del resto de puntos se denomina región de Voronoi del punto Pi, Vi, y al
punto Pi su punto generador.
El concepto se extiende a múltiples puntos Pn de forma que cada uno de
ellos se asocia a una región de Voronoi, Vn, que contiene todos los puntos
del plano más próximos. Si se aplica a un dominio cerrado se genera un
conjunto de polígonos convexos que divide el plano.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
52
Regiones de Voronoi de N puntos
Figura: http://oa.upm.es/1800/1/PFC_GINES_RODRIGUEZ_GAVILAN.pdf
Al conjunto de puntos p1,…,pn se denomina conjunto generador del
Diagrama de Voronoi.
Un conjunto de puntos del plano es convexo si el segmento que une dos
puntos cualesquiera del conjunto está totalmente contenido en el conjunto.
Figura: http://oa.upm.es/1800/1/PFC_GINES_RODRIGUEZ_GAVILAN.pdf
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
53
10.1.-ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DIAGRAMAS
DE VORONOI:
Dos puntos Pi y Pj son vecinos si comparten una arista. Una arista es la
bisectriz perpendicular del segmento PiPj.
1. Un vértice de Voronoi es un punto equidistante a tres generadores (si
lo es a más de tres hablamos de casos degenerados) y es la
intersección de tres aristas.
2. Dentro del círculo con centro en un vértice de Voronoi y que pasa por
3 puntos generadores no puede existir ningún otro punto generador.
3. Una región de Voronoi es no acotada si su punto generador pertenece
a la envolvente convexa de la nube de puntos.
4. Una región de Voronoi es un polígono convexo o es una región no
acotada.
5. El diagrama de Voronoi de un conjunto de puntos es único y distinto
de los demás.
Propiedades del Diagrama de Voronoi
Figura: http://oa.upm.es/1800/1/PFC_GINES_RODRIGUEZ_GAVILAN.pdf
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
54
12.-ENTENDER LOS DIAGRAMAS DE VORONOI.
Para comprender cómo funciona el diagrama de Voronoi, es interesante coger
un plano, el de una ciudad, por ejemplo. Luego, dibujamos un punto sobre él por
cada una de las plazas que observemos en el mismo.
Figura: https://okdiario.com/curiosidades/2018/06/11/diagrama-voronoi-concepto-ejemplo-2414426
Si únicamente hubiera una plaza en todo el plano, sabríamos que se denomina
como región de Voronoi a toda la ciudad dimensionada en el mapa, porque todos
los objetos están más cerca de la plaza que ningún otro, puesto que no hay más
plazas.
Pero la cosa se complica un poco cuando encontramos que, por ejemplo, hay
dos plazas, A y B. En este caso, habríamos de dividir el plano en dos.
Por un lado, encontraríamos todos los objetos que se encuentran más cerca de
la plaza A, y por otro, todos aquellos que están más próximos a la plaza B.
Mediremos las distancias en líneas rectas y seleccionaremos según la longitud
hasta el punto, que es cada plaza.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
55
Y así se ha de hacer según el número de plazas, que será el número de puntos,
así si existen tres, igual que si hubiese hasta 10, o incluso más, mediremos cada
objeto para encontrar cuál es su plaza más cercana para que las regiones de
Voronoi, es decir, de influencia, queden perfectamente delimitadas.
Es decir, en este diagrama necesitamos dividir el plano en diversas regiones,
tantas como puntos. De esta manera, a cada punto le asignamos una región que
está formada todo cuanto esté más cercano que ningún otro.
Un diagrama puede servir por ejemplo para saber dónde ubicar un lugar de
nuestro interés, dependiendo de la cercanía o lejanía que queramos
respecto de la población.
O partiendo de varios de estos locales ya existentes, conocer cuál es el más
cercano o alejado a una o varias localidades o domicilios que fijemos.
Las variantes que se pueden dar son innumerables.
Ahora imaginemos que sobre el mapa de la ciudad dibujamos un punto por
cada farmacia que haya en la misma:
Una farmacia:
Es el caso más simple. La región de Voronoi sería toda la ciudad, debido a
que todos los lugares de la ciudad están más cerca de dicha farmacia que
de cualquier otra, puesto que no hay más.
Figura: https://naukas.com/2012/01/28/esta-voronoi-que-se-ponga/
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
56
Dos farmacias:
Figura: https://naukas.com/2012/01/28/esta-voronoi-que-se-ponga/
En este caso la ciudad quedaría dividida en dos, lo que propicia 3 posibilidades: Los lugares que están más cerca de la farmacia A, que son los que se
encuentran en el área denominada (Vor (A))
Los lugares que están más cerca de la farmacia B que son los que se
encuentran en el área denominada (Vor(B)).
Los lugares que están a la misma distancia de las 2.
Figura: https://naukas.com/2012/01/28/esta-voronoi-que-se-ponga/
1
2
3
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
57
Por lo tanto, los puntos que están a la misma distancia de ambas farmacias
son los que residan sobre la mediatriz entre los dos puntos que definen las
farmacias en el plano y que no es más que la recta perpendicular al
segmento que une A y B por el punto medio de este.
Tres farmacias:
En el caso de 3 farmacias denominadas A, B y C, se razona de forma similar
y teniendo en cuenta que las mediatrices son la frontera que delimitan las
regiones de influencia 2 a 2, nos quedaría una división de la ciudad en tres
regiones; cada una de ellas representa la región de Voronoi de cada
farmacia, es decir, la zona de la ciudad que le ‘corresponde’ por ser la
farmacia más cercana.
Ocurre lo mismo que en el caso anterior, cada una de las rectas indica que
hay la misma distancia entre los dos puntos que delimita, ahora tendríamos
3 casos diferentes en vez de uno como cuando teníamos 2 farmacias;
La misma distancia de A que de B.
La misma distancia de A que de C.
La misma distancia de B que de C.
Figura: https://naukas.com/2012/01/28/esta-voronoi-que-se-ponga/
1
2 3
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
58
12.1.-Propiedades de los diagramas de Voronoi en el
plano.
El diagrama de Voronoi es un conjunto de celdas cuyas caras son polígonos
convexos, que posiblemente no estén acotados.
CASO A.-
Cada punto en una arista del diagrama de Voronoi es equidistante de sus
dos vecinos más cercanos pi y pj.
Existe un círculo centrado en ese punto tal que pi y pj se encuentran en este
círculo, y ningún otro sitio está al interior de él.
Figura: https://www.tamps.cinvestav.mx/~ertello/gc/sesion16.pdf
CASO B.-
El vértice en el cual tres celdas de Voronoi V(pi), V(pj), y V(pk) se intersectan, es
llamado un vértice de Voronoi, tiene la propiedad de ser equidistante de los sitios
pi , pj , y pk. Por lo tanto, es el centro del círculo que pasa por estos sitios.
Además este círculo no contiene otros sitios en su interior.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
59
Figura: https://www.tamps.cinvestav.mx/~ertello/gc/sesion16.pdf
Generalmente tres puntos en el plano definen un único círculo.
Una celda del diagrama de Voronoi es no limitada si y sólo si el sitio
correspondiente se encuentra en la cubierta convexa.
Un sitio está en la cubierta convexa si y sólo si es el punto más cercano de algún
punto en el infinito.
12.2.-Método para un primer cálculo de los diagramas de
Voronoi.
Está basado en otra posible aproximación a la definición de diagrama de Voronoi
en la que se consideran los semiplanos generados a partir de la bisectriz entre
dos puntos cualesquiera de P.
De entre los dos semiplanos generados por la bisectriz entre pi y pj,
denotaremos a h(pi,pj) al semiplano que contiene a pi.
Por lo tanto, los puntos del plano pertenecientes a h(pi,pj) son aquellos que están
más próximos a pi que a pj.
Tomamos a p1 como fijo y consideramos la intersección de todos los h(p1,pj)
con j >o= 2. Cualquier punto perteneciente a dicha intersección estará más cerca
de p1 que de cualquier otro punto de P y por tanto dicha intersección pasa a ser
la región de Voronoi de p1.
LEMA: “La intersección de los semiplanos h(p1,pj) es Vor(p1)”.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
60
En esta podemos enunciar la propiedad descrita anteriormente.
Deducimos que las regiones de Voronoi serán conjuntos convexos al ser
intersección de convexos (semiplanos).
En la figura se ve el diagrama de Voronoi y una de sus regiones que se observa
que es convexo.
Figura: http://asignatura.us.es/fgcitig/contenidos/gctem3ma.htm
En las dos siguientes proposiciones veremos caracterizaciones para las regiones
y bordes no acotados del diagrama.
Una región de Voronoi es no acotada si y sólo si su generador se encuentra
en la frontera de la envolvente convexa.
12.2.1.-Proposición 1ª:
a) Los bordes de una región de Voronoi son rectas infinitas si y sólo si todos los
puntos de P descansan sobre una misma recta.
LOS DIAGRAMAS DE VORONOI CLAUDIA EXPOSITO RODRIGUEZ
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b) El borde de Voronoi entre dos generadores es una semirrecta si y sólo si P no
es colineal y los generadores son consecutivos en la frontera de la envolvente
convexa de P.
c) El borde de Voronoi entre dos generadores es segmento de recta finito si y
sólo si P es no colineal y al menos uno de los dos generadores está en el interior
de la envolvente convexa de P.
Terminaremos esta sección con una caracterización de los bordes y vértices de
un diagrama de Voronoi. Hemos visto que los bordes son partes de bisectrices
entre dos generadores, y los vértices son intersecciones de aquellas.
Hay un número cuadrático de bisectrices, mientras que la complejidad del
diagrama es lineal.
Esto es, no todas las bisectrices definen un borde, ni todas las intersecciones
son vértices.
Para caracterizar que bisectrices e intersecciones caracterizan los elementos del
diagrama daremos la siguiente definición:
Dado un punto Q llamaremos círculo máximo vacío al mayor círculo centrado en
q que no contiene a ningún generador del diagrama en su interior.
Figura: http://asignatura.us.es/fgcitig/presentaciones/Tema%203-Voronoi.pdf
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A partir de esta definición podemos dar una caracterización de los
bordes y vértices de un diagrama de Voronoi.
12.2.2.-Proposición 2ª:
Dado un diagrama de Voronoi Vor(P) generado por un conjunto de puntos P en
el plano, se cumple:
a) Un punto q es vérticie de Vor(P) si y sólo si el círculo máximo vacío centrado
en q contiene tres o (en el caso de tratarse de un diagrama degenerado) más
generadores en su frontera.
Figura: http://asignatura.us.es/fgcitig/contenidos/gctem3ma.htm
b) La bisectriz entre dos generadores define un borde de Vor(P) si y sólo si
existe un punto q sobre dicha bisectriz tal que el círculo máximo vacío centrado
en q contiene solamente a estos dos generadores en su frontera.
Figura: http://asignatura.us.es/fgcitig/contenidos/gctem3ma.htm
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12.3.-ALGORITMOS
El gran número de aplicaciones del diagrama de Voronoi ha llevado a numerosos
investigadores a desarrollar algoritmos para computarlo, los más usados son los
siguientes.
12.3.1.- Cálculo de la Intersección de semiplanos
Tal y como hemos dicho anteriormente, podemos construir cada región de
Voronoi por separado mediante la intersección de n-1 semiplanos. La
construcción de n semiplanos tomaría O(nlogn) para calcular cada celda de
Voronoi, haciendo un tiempo total de O(n2logn), ello suponiendo que se pudieran
ensamblar las celdas para construir el diagrama.
12.3.2.- Algoritmo Incremental
El algoritmo incremental se basa en la siguiente idea: ir añadiendo puntos
mientras se va modificando el cierre convexo.
Consta de tres pasos:
Paso 1: Se elige un punto. Si el nuevo punto está dentro del cierre, no
hay nada que hacer. En otro caso, se borran todos los bordes
del polígono que se ven desde el punto, es decir, que trazando
una línea desde el punto no se choque con ninguna otra.
Paso 2: Se añaden dos líneas para conectar el nuevo punto al resto del
antiguo cierre.
Paso 3: Se repite de nuevo desde el paso 1 para los puntos que estén
fuera del cierre convexo actual, hasta que todos los vértices
estén dentro.
El tiempo total que toma este algoritmo es del orden de O (n2) y a pesar de su
complejidad cuadrática, ha sido el método más popular para construir diagramas
de Voronoi.
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12.3.3.- Divide y Vencerás
El diagrama de Voronoi puede construirse con un algoritmo tipo divide y vencerás
en tiempo O(n log n). Esta consiste en resolver un problema a partir de la solución
de subproblemas del mismo tipo, pero de menor tamaño.
Si los subproblemas son todavía relativamente grandes se aplicará de nuevo
esta técnica hasta alcanzar subproblemas lo suficientemente pequeños para ser
solucionados directamente.
La resolución de un problema mediante esta técnica consta fundamentalmente
de los siguientes pasos:
Paso 1. En primer lugar ha de plantearse el problema de forma que pueda
ser descompuesto en k subproblemas del mismo tipo, pero de
menor tamaño. A esta tarea se le conoce como división.
Se divide el conjunto en dos mitades de, aproximadamente, el mismo tamaño
Paso 2. En segundo lugar han de resolverse independientemente
todos los subproblemas, bien directamente si son elementales
o bien de forma recursiva. El hecho de que el tamaño de los
subproblemas sea estrictamente menor que el tamaño original
del problema nos garantiza la convergencia hacia los casos
elementales, también denominados casos base.
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Se calcula el diagrama de Voronoi de la izquierda
Se calcula el diagrama de Voronoi de la derecha
Se calcula la cadena divisoria
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Paso 3. Por último, combinar las soluciones obtenidas en el paso anterior
para construir la solución del problema original.
Se eliminan todas las líneas de cada diagrama que no caen a su lado de la cadena divisoria Figuras:https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/44404/TFG_Angel_Moya_Carrasco.pdf?sequence=1&isAllowed=y
12.3.4.- El Algoritmo de Fortune
Hasta mediados de los ochenta, la mayoría de las implementaciones para
computar el diagrama de Voronoi usaban el algoritmo incremental cuadrático,
admitiendo su mayor lentitud para evitar la complejidad del código divide y
vencerás.
En 1985 Fortune inventó un inteligente algoritmo de barrido plano que resulta tan
simple como el incremental, pero en tiempo O(n log n).
Antes de comenzar con la explicación del algoritmo de Fortune es importante
considerar que este algoritmo es bastante más complicado que cualquier otro
algoritmo de barrido del plano que hemos visto hasta ahora.
Recordemos que la clave para cualquier algoritmo de barrido del plano es la
capacidad para descubrir todos los eventos próximos de manera eficiente.
Por ejemplo, para encontrar las intersecciones de segmentos de línea, estas son
descubiertas antes de que la línea de barrido llegue a ellas (son agregados como
eventos futuros)
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El problema con el diagrama de Voronoi es el de predecir cuándo y dónde se
producirán los próximos eventos.
Imagine que detrás de la línea de barrido ya se ha construido el diagrama de
Voronoi basándose en los sitios que se han encontrado hasta ahora en el barrido.
La dificultad es que un sitio que queda por delante de la línea de barrido podría
generar un vértice de Voronoi que se encuentre detrás de la línea de barrido.
Fortune hizo la inteligente observación de que podía calcularse el diagrama de
Voronoi mediante barrido del plano construyendo una versión distorsionada de
éste pero que es topológicamente equivalente.
Esta versión distorsionada del diagrama se basa en una transformación que
modifica la forma en que las distancias son medidas en el plano El diagrama
resultante tiene la misma estructura topológica que el diagrama de Voronoi, pero
sus aristas son arcos parabólicos, en vez de segmentos de línea recta.
Una vez que este diagrama distorsionado es obtenido, es fácil “corregirlo” en
tiempo O (n) para producir el diagrama de Voronoi correcto.
Fortune, Barrido recta Figura:https://idus.us.es/xmlui/bitstream/handle/11441/44404/TFG_Angel_Moya_Carrasco.pdf?sequence=
1&isAllowed=y
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13.-TRABAJO PRÁCTICO. (Ubicación de un centro comercial)
13.1.-EXPOSICIÓN
Cuando en una zona es necesario colocar lugares, los diagramas nos permitirán
saber el sitio idóneo para ubicarlo dependiendo de las necesidades del sitio.
Si queremos colocar una central nuclear o un cementerio querremos que esté lo
más alejado del mayor número de personas posible, pero por otro lado si
queremos construir un hospital o un centro comercial, se impondrá la necesidad
de ubicarlo lo más cerca del mayor número posible de personas.
Para llevar a cabo nuestro ejemplo práctico, a partir del mapa de un pueblo,
vamos a intentar localizar el emplazamiento más idóneo para un centro
comercial, de manera que su ubicación se encuentre lo más cerca posible del
mayor núcleo de población.
Para ello transformaremos en puntos las zonas pobladas que estén cercanas,
como puede ser una urbanización, sin tener en cuenta lugares públicos no
habitables como hospitales, farmacias o centros comerciales.
A partir de estos puntos trazaremos con ayuda del compás las mediatrices de
cada par de puntos. Esto lo haremos con cada punto y todos lo que le rodean.
Una vez obtenidas las mediatrices retocamos y borramos las rectas que sobren
hasta obtener el diagrama de voronoi con todas las regiones.
Por ultimo con el compás trazaremos círculos desde los vértices hasta los grupos
de puntos generadores que lo forman.
La circunferencia más pequeña y que contenga más puntos será donde
ubicaremos nuestro centro comercial ya que es la mayor densidad de población
en el menor espacio posible.
Para ello, con la ayuda de un compás sacaremos la mediatriz de cada punto,
respecto del resto de puntos que le rodean.
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Los vértices formados estarán a la misma distancia de todos los puntos a los que
pertenece.
Para poder realizarlo, vamos a comenzar situando puntos por puntos las
urbanizaciones o los grupos de casas que se encuentren cerca unas de otras
para poder empezar a trazar los diagramas.
A partir de estos puntos trazaremos con ayuda del compás las mediatrices de
cada par de puntos. Esto lo haremos con cada punto y todos los que le rodean.
Una vez obtenidas las mediatrices retocamos y borramos las rectas que sobren
hasta obtener el diagrama de Voronoi con todas las regiones.
Por ultimo con el compás trazaremos círculos desde los vértices hasta los puntos
generadores que lo componen.
La circunferencia más pequeña y que contenga más puntos será donde
ubicaremos nuestro centro comercial ya que será el mayor núcleo de población
en el menor espacio posible.
En las páginas siguientes, podremos observar paso a paso el modo en que se
ha llevado a cabo la planificación sobre el plano.
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13.2.REPRESENTACION EN EL PLANO:
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14.- PROBLEMÁTICA ENCONTRADA
La idea inicial de este trabajo fue concebida en el IES GUADARRAMA, durante
el último trimestre del pasado curso 1º de bachillerato y la tutora asignada para
conducir el proyecto y ayudarme a lo largo de su desarrollo, fue la profesora
LAURA LORENZO, con la que tuve ocasión de reunirme durante su fase inicial.
Debido a mi traslado al IES LA DEHESILLA, durante todo el verano he
trabajado por mi cuenta, sin poder contar con asesoramiento de ningún tipo,
esperando que al inicio del nuevo curso se me asignara un nuevo Tutor
familiarizado en la materia, que pudiera guiarme y ayudarme a lo largo de este
difícil proyecto.
La responsabilidad ha recaído en ANTONIO CABALLERO, al que he conocido
muy poco tiempo antes de tener que entregar el trabajo, con lo cual únicamente
he podido contar con su apoyo al final.
Esto le ha llevado a tomar la decisión de ceder al Jurado, los 2 puntos con que
cuenta para puntuar el trabajo, toda vez que considera que no ha visto mis
progresos, sino simplemente el final de mi trabajo, lo que desde mi punto de
vista supone un hándicap para mí, con respecto a otros alumnos que si han
podido contar con el asesoramiento necesario.
Esta falta de tutela, ha conllevado que aspectos complejos del trabajo haya
tenido que intentar comprenderlos por mi cuenta, mirando páginas, foros,
ejemplos o incluso trabajos universitarios muy lejos de mi nivel, hasta conseguir
llegar a mis conclusiones y poder explicarlo para que no solo lo entendiera yo,
sino las personas a las que luego se lo iba a exponer.
Otro de los grandes problemas ha estado en la parte práctica, y ha consistido
en la localización del mapa de un pueblo, donde fuera factible y cómodo llevar
a cabo los diagramas de Voronoi, ya que tenía que realizarlos como
antiguamente se hacía, a mano y con la ayuda de regla y compas.
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A pesar de haber recorrido varios ayuntamientos ninguno me ofrecía un mapa
con el que sentirme a gusto para llevar a cabo la finalidad del trabajo por lo que
opte por buscar fotos en internet de pequeñas poblaciones o parte de ellas, a
pesar de desconocer su ubicación, a partir del cual he comenzado a desarrollar
el trabajo.
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15.-JUICIO CRITICO Y CONCLUSIONES
FINALES
Tal y como avanzaba en la introducción, el objetivo principal del trabajo
consistía en la utilización de un diagrama de Voronoi para localizar el mejor
emplazamiento de un Centro Comercial en una zona urbana, de forma que
quedase situado en el área vacía más grande, lo más cerca del mayor núcleo
de población posible. Una vez finalizado y a pesas de las múltiples dificultades
encontradas, el fin para el que fue concebido, ha sido alcanzado.
Sin embargo, a medida que avanzaba en su desarrollo y gracias a la constante
búsqueda de documentación, empecé a sentir una fascinación especial por el
enorme alcance de estos procedimientos. De manera que comencé a plasmar
aquellos descubrimientos que me iban sorprendiendo, con la intención de
acercar a todos aquellos que quieran leer el trabajo, a algo tan complejo, pero
tan fascinante como los Diagramas de Voronoi.
Por ello, espero que este breve relato sobre los Diagramas de Voronoi, a través
de su historia, su evolución y sus aplicaciones pasadas y presentes, sirvan
para darnos una pequeña idea de la importancia de estos sistemas, cuyas
futuras aplicaciones en todos los campos del conocimiento, estamos
empezando a descubrir.
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