Lorenzov sustav i kaos...

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

ZAVOD ZA MATEMATIKU

LORENZOV SUSTAV I KAOS

Studenti: Valentino Sambolek

Smjer: Ekoinženjerstvo

Mentor: prof.dr.sc.Ivica Gusić

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU


ZAVOD ZA MATEMATIKU

LORENZOV SUSTAV I KAOS

Valentino Sambolek, Anamarija Slivar, Barbara Žuteg

prof.dr.sc.Ivica Gusić

Zagreb, svibanj 2014.


SADRŽAJ

1. UVOD ................................................................................................................................................. 1

2. TEORIJA DETERMINISTIČKOG KAOSA ...................................................................................... 2

3. LORENZOV SUSTAV ....................................................................................................................... 6

3.1. Lorenzov atraktor ......................................................................................................................... 7

3.1.1. Lorenzove jednadžbe ........................................................................................................... 12

4. EKSPERIMENTALNI DIO .............................................................................................................. 13

4.1. Primjer 1. .................................................................................................................................... 15

4.1.1. Primjer 1.1. .......................................................................................................................... 16

4.2. Primjer 2. .................................................................................................................................... 17

4.2.1. Primjer 2.1. .......................................................................................................................... 18

4.3. Primjer 3. .................................................................................................................................... 19

4.3.1. Primjer 3.1. ......................................................................................................................... 20

4.4. Primjer 4. .................................................................................................................................... 21

4.4.1. Primjer 4.1. .......................................................................................................................... 22

4. ZAKLJUČAK ................................................................................................................................... 23

5. LITERATURA: ................................................................................................................................. 24

1

1. UVOD

Znanstvenici su u prošlosti uvijek tražili formule i matematičke modele koji egzaktno

mogu dati rezultate nekog procesa, tj. predvidjeti slijedeće stanje nekog sustava u budućnosti

– takav sustav je bio determiniran. To je bilo moguće kod sustava s malo varijabli, malo

stupnjeva slobode: znajući početne vrijednosti varijabli koje su potrebne u nekoj jednadžbi

možemo dobiti točno rješenje te jednadžbe. Međutim, većina sustava u prirodi ima jako puno

ulaznih varijabli i velike stupnjeve slobode koje su znanstvenici pojednostavnjivali

(ignorirajući neke faktore i efekte) ili su ih jednostavno izbjegavali zbog kompleksnosti

njihovog računa.

Unatoč velikim naporima u istraživanjima zakonitosti prirode i velikim uspjesima na

tim područjima, mnogi znanstveni problemi, ostajali su gotovo potpuno nerazjašnjeni.

Osobito se to odnosilo na neke aspekte nepravilnih gibanja, kao što su klimatske pojave,

turbulentne pojave u tekućinama, nelinearni učinci u elektroničkim krugovima, varijacije

brojnosti pojedinih biljnih i životinjskih vrsta, nelinearna epidemiologija nekih zaraznih ili

kroničnih nezaraznih bolesti, nelinearni socijalni, ekonomski ili politički fenomeni.

Nepravilna strana prirode, isprekidana i neuređena uvijek je bila zagonetka za znanost.

Tada se razvija novi dio fizike, tj. kvantne mehanike - teorija (determinističkog) kaosa

koja opisuje ponašanje nekih nelinearnih dinamičkih sustava koji se pod određenim uvjetima

ponašaju na prividno nepredvidljiv način. Cilj teorije kaosa je, pronaći temeljni poredak u,

naizgled, nasumičnim podacima. Teorija kaosa definira nove metodološke granice, istražuje

tajni red prirode u kojem pravilnost (red) i nepravilnost (kaos) postoje jedan pored drugog.

Kaos probija granice između znanstvenih disciplina. Radi se o znanosti o ukupnoj prirodi

sustava koja postavlja snažne tvrdnje o općem ponašanju složenosti.

2

2. TEORIJA DETERMINISTIČKOG KAOSA

Teorija determinističkog kaosa je kvalitativno proučavanje nestabilnog neperiodnog

ponašanja u determinističkim nelinearnim dinamičkim sustavima.

Nestabilno ponašanje je ono kod kojeg je za prijelaz između periodnog i neperiodnog,

pa čak i između vrsta neperiodnog ponašanja, potrebna vrlo mala promjena u sustavu – to

uključuje vrlo značajnu ovisnost o početnim uvjetima. Kao primjer nestabilnosti možemo

uzeti atmosferske promjene (leptirov učinak). Ovisnost o početnim uvjetima svojstvo je

raznih nekaotičnih sustava, međutim svi kaotični sustavi nužno imaju to svojstvo.

Neperiodno ponašanje opisuje kako nijedan parametar sustava ne prolazi kroz

periodne promjene vlastitih vrijednosti, tj. da se niti jedno stanje sustava ne ponavlja u

potpunosti. Spomenimo meteorološke vremenske prilike,tj. promatramo li npr. dnevne

temperature kroz godinu možemo reći da su općenito ljetni dani topliji od zimskih, ali se

svejedno temperature nikada potpuno ne ponavljaju. Kaotični sustavi nisu u svim mogućim

stanjima kaotični, već osim pravilnosti u kaosu, postoje i potpuno pravilna, periodna stanja, u

kojima ne vlada kaos. Teorija kaosa ne proučava samo kaotična stanja dinamičkih sustava,

nego sva stanja sustava koji mogu u određenim uvjetima biti kaotični. Npr. kapajuća slavina

je uglavnom periodni sustav, ali kako i takav sustav može biti kaotičan (konkretno, pri većem

toku vode), onda je i ona iz perspektive determinističkog kaosa zanimljiva.

Nelinearni sustav je onaj sustav čiji model je opisan nelinearnim jednadžbama (osim

ako taj model ne reduciramo do linearnosti, što je bila praksa fizičara klasične mehanike, i

time izgubimo na njegovoj ispravnosti i upotrebljivosti). Nelinearnost zakona koji sustavom

vladaju je preduvjet za nastanak determinističkog kaosa u njemu, kao i ostalih pojava vezanih

za kaos.

Dinamički sustav je onaj koji doživljava promjene stanja u vremenu, odnosno, po

svojoj prirodi nije statičan (iako dinamički sustavi imaju svoje točke mirovanja, u kojima se

parametri sustava više ne mjenjaju, primjerice njihalo koje miruje u okomitom položaju,

ovješeno prema dolje).

3

Parcijalne diferencijalne jednadžbe prirodno nastaju pri promatranju ovisnosti jedne

veličine o nekoliko drugih veličina. Konačan cilj je pronalaženje formule za ovisnost međutim

ako to nije moguće zadovoljavamo se i numeričkim rješenjem. Druga važna klasa problema

dolazi od razmatranja više međusobno zavisnih veličina koje ovise i o vremenu t. Tada u

svakom trenutku možemo odrediti vrijednosti tih veličina te procjenjivati brzine njihovih

promjena. Tako dolazimo do vrlo važnog poopćenja običnih diferencijalnih jednadžbi

odnosno do sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Ograničimo li se na slučaj kada te

brzine ovise samo o vrijednostima veličina a ne o vremenu u kojem gledamo tada sustav ima

oblik ( prikazan je dvodimenzijski sustav međutim analogno je za bilo koju dimenziju) :

�� = ��, , �

�� = ��,

gdje su x i y veličine koje promatramo a f i g dvije funkcije. Cilj nam je riješiti sustav

tj. dobiti formule za ��, �� za svaki t i tako opisati život dinamičkog sustava. To

općenito nije moguće pa se pribjegava drugim metodama npr. ako je poznato stanje

dinamičkog sustava u trenutku �� odnosno početni uvjeti �� = �� i �� =�zanima nas grafička ili numerička metoda kojom ćemo približno odrediti x(t), y(t) za svaki

t. Zato su nam neophodne kompjutorske tehnike.

Pri proučavanju dinamičkih sustava važnu ulogu ima putanja (orbita ,trajektorija)

točke ��00 , sa svojstvom da postoji vrijeme �� tako da bude �� = �� i �� =� (tj. putanja koja prolazi kroz zadane početne uvjete). Prema definiciji to je skup svih

��, �� gdje t prolazi svim vremenima. Proučavanje dinamičkih sustava vodi do novih

matematičkih pojmova, poput kaosa.

Autonomne sustave treba shvatiti kao takve kod kojih se brzine veličina odnosno

njihove promjene s vremenom mogu zapisati kao funkcije samo od � i o . Intuitivno

shvaćamo ako su u trenutku t vrijednosti veličina �� i �� , onda se za mali vremenski

interval ∆� veličina � približno promijeni za ��, ∆� a za ��, ∆�. Glavna je podjela na linearne ( kada su �, � linearne funkcije) i na nelinearne sustave

kada su neke od �, � nelinearne. Dok se linearni sustavi uvijek mogu eksplicitno riješiti to

općenito ne vrijedi za nelinearne.

4

Teorija kaosa opisuje ponašanje nekog nelinearnog dinamičkog sustava koji pod

određenim uvjetima izvodi fenomen poznat kao kaos.

Karakteristike kaotičnog sustava su:

• osjetljivost na početne uvjete, tzv. efekt leptira (butterfly effect)

• sustav će s vremenom popuniti sav dostupan prostor (trajektorije sustava

iscrtaju sav dostupan prostor i nikad se ne ponavljaju)

• periodne orbite sustava su jako guste (nema prevelikih odstupanja od

prethodne putanje)

Bitno je da se takvi sustavi uvijek vraćaju, privlače nekim stabilnim vrijednostima.

Krenuvši od početnih uvjeta, izračun u kaosu se nastavlja postupkom iteracije. To znači da

rezultate koje dobijemo uvrštavanjem početnih vrijednosti u izraz jesu ulazni podaci za novi

krug proračuna tog istog izraza. Kada vrijednosti koje dobivamo računom teže nekoj

vrijednosti (broju, točki, krivulji), kažemo da smo dobili atraktor periode. Atraktor može biti

točka, krivulja, ploha. Ponekad te vrijednosti teže prema više različitih vrijednosti pa

govorimo o atraktorima viših perioda. Može se dogoditi i to da atraktor nema nikakvu

periodnost, da se izračuni ne približavaju nekoj određenoj vrijednosti, već su naizgled

nasumice razbacani u prostoru i nemaju definirani jasan oblik. Tada govorimo o kaotičnom ili

čudnom atraktoru. Najpoznatiji je Lorentzov atraktor.

Kaotične sustave dijelimo na:

1. Kontinuirane (“fluidne”, neisprekidane) - oni sustavi koji pokazuju “glatke”

promjene kroz vrijeme, tj. u proizvoljno malenom vremenskom periodu dolazi do promjene

parametara (osim, naravno, u slučaju kada sustavi miruju). Svi takvi sustavi su opisani

diferencijalnim jednadžbama, i intuitivno su najbliži stvarnim uvjetima u prirodi.

Rast neke populacije može se opisati jednom od jednostavnijih diferencijalnih

jednadžbi 1. reda

�� = �� 1 − �

��

gdje je λ koeficijent rasta populacije, L nosivi kapacitet

Integriranjem dobivamo jednadžbu:

�� = �� = ��

��

5

Populacija krenuvši od neke male vrijednosti ubrzano raste a onda u nekom trenutku

približavajući se nosivom kapacitetu prelazi u usporeni rast. Može se dogoditi da populacija

kreće iznad nosivog kapaciteta pa u tom slučaju broj jedinki ubrzano pada do neke vrijednosti.

2. Diskontinuirani (diskretni, isprekidani, skokoviti) - oni sustavi kod kojeg nema

glatke promjene parametara, jer se te promjene ne događaju stalno, nego u diskretnim

vremenskim intervalima. Ovakvi sustavi su češći u prirodi nego što bi se to moglo pomisliti,

posebice u biološkom svijetu, a opisuju se iteracijskim jednadžbama.

Dolazimo dakle do pojma iteracija (lat. ponavljanje), koji se veže za drugi tip

dinamičkih sustava, one diskontinuirane. Naime, iterirati određenu funkciju koja ima oblik

= �� znači prevesti je u oblik �� = ��, pa, počevši od početne vrijednosti x0

preslikavanjem dobivamo niz��,�� = ��, � = ��, �! = �� , tako da

općenito vrijedi �� = �� = �� = ⋯ = ��, gdje je fn n-ta iteracija

funkcije. Drugim riječima, iteriranje je numerička (isključivo numerička!) metoda kojom

riješimo funkciju nad početnom vrijednosti x0, potom riješenje postane varijabla nad kojom

ponovno izvršimo funkciju, itd. To je isključivo numerička metoda stoga što je nemoguće

(točnije, ne nemoguće, već prekomplicirano) uvrštavati funkciju u samu sebe umjesto

varijable više od nekoliko iteracija, a kamo li kada n→∞. Razumljivo je da se prevođenjem

diferencijalnih jednadžbi u iteracijske dobiva komputabilnost, ali se gubi kontinuiranost.

Razvojem teorije kaosa počelo je preispitivanje modela. Postavilo se pitanje

koliko su sustavi kaotični i postoji li stabilan sustav. Istraživanjem kaosa i njegovih učinaka

otkrilo se da sustavi mogu prelaziti iz kaotičnih u regularne i obrnuto. Analizom nelinearnih

dinamičkih jednadžbi matematičari su uspjeli dublje prodrijeti u složenu matematičku

strukturu kaotičnih pojava. Fiziolozi su pronašli začuđujući red u nepravilnim otkucajima

ljudskog srca, ekolozi su prepoznali zakonitosti iznenadnih povećanja i smanjenja raznih

bioloških populacija, ekonomisti su uvidjeli da su se velike ekonomske krize i depresije ipak

javljale u nekim logičnim vremenskim razmacima, politolozi su otkrili velike nepravilnosti i

nezakonitosti u klasičnim anketama javnog mnijenja,itd.

6

3. LORENZOV SUSTAV

Edward Norton Lorenz rođen je u West Hartfordu, država Connecticut, SAD. Osim

vremenom, Lorenz se bavio i matematikom. Lorenz je 1938. godine završio studij matematike

na Sveučilištu Dartmouth u New Hampshireu i na Sveučilištu Harvard u Cambridgeu,

Massachusetts. Završetak Lorenzovog studiranja popratio je ubrzo i početak Drugog svjetskog

rata pa je spletom okolnosti završio kao prognozer vremena za potrebe ratnog zrakoplovstva.

Posao prognozera inspirirao je Lorenza da nakon rata završi studij meteorologije na

Massachusettskom institutu tehnologije (MIT), gdje je kasnije bio i dugogodišnji profesor.

Njegov interes za meteorologiju i matematiku rezultirao je mnoštvom radova o klasičnim

problemima kao što su opće kruženje atmosfere i sl. Cilj radova bilo je bolje razumijevanje i

točnije prognoziranje vremena.

Bio je prvi istraživač teorije kaosa. Prihvaćajući načela determinizma, bavio se

diferencijalnim modelom oblaka i zračnih struja iz čega je proizašao jedan od najpoznatijih

kaotičnih sustava, Lorenzov sustav poznatiji pod imenom “leptirova krila”. Lorenz je ustvrdio

da je nemoguće točno predvidjeti vrijeme (smisao je da je pripadni matematički model –

dinamički sustav – preosjetljiv na male promjene početnih uvjeta; dakle, s ovakvim

matematičkim pristupom dolazi se do kaosa – ono što je zanimljivo jest da i praksa pokazuje

kaos u vremenu). Nakon dobro iskušane metode pokušaja i pogrešaka, Lorenz je došao do

jednadžbi koje su na zadovoljavajući način opisivale ponašanje atmosfere, njih dvanaest. On

je opisao atmosferu kao sustav fluida i sveo na tri diferencijalne jednadžbe, koje su trebale

opisivati uvjete u atmosferi, a time i predviđati vrijeme. Iako su mnogi bili skeptični glede te

ideje, ona se pokazala uspješnom, a dokaz za to je mehanička analogija kruga konvekcije –

kružno gibanje vrućeg fluida koji se podiže i okreće kao vodenično kolo.

Činilo se da ove njegove jednadžbe opisuju potpuno nasumično ponašanje, ali kada bi

dao ispisati graf, krivulja koju bi dobio uvijek je bila dvostruka spirala. Ranije su bile poznate

samo dvije vrste poretka: stalno stanje, u kojem se varijable nisu nikada mijenjale i periodno

ponašanje, u kojem sustav oblikuje krug, beskonačno se ponavljajući. Lorenzove jednadžbe

su definitivno slijedile neki poredak – uvijek su opisivale spiralu. Lorenz nije bio prvi koji je

otkrio ovo neobično ponašanje, ali je bio među prvima koji su ga krenuli detaljnije proučavati.

Osim što je otkrio da jedan savršeno predvidljiv sustav generira potpuni kaos, Lorenz je

napravio i korak više. Ne samo da je stoljećima poznat red u obliku dobrih starih

7

diferencijalnih jednadžbi generirao kaos nego je unutar kaosa generirao se red. Taj red je bio

sve samo ne deterministički.

Teorijska istraživanja ranijih autora, dakle istraživanja za koja su dovoljni olovka i

papir, ukazala su na neke važne osobine nelinearnih sustava – primjerice na mogućnost da je

ponašanje tih sustava silno ovisno o početnim uvjetima kojima su izloženi. No nitko od

Lorenzovih prethodnika nije uspio odrediti konkretna neperiodička rješenja nelinearnih

diferencijalnih jednadžbi.

3.1. Lorenzov atraktor

Lorenz je bio prvi koji je uočio da male promjene u dinamičnom sustavu (stvarno

stanje u prirodi), kao što je klima, "mogu imati velike i često neočekivane posljedice". Shvatio

je da mora postojati veza između nesklonosti ponavljanja vremenskih prilika i nemogućnosti

prognostičara da ih predvide – veza između neperiodnosti i nepredvidivosti. Lorenz je kreirao

računalni program sa skupom od 12 jednadžbi kako bi modelirao promjene vremena. Dana

numerička pravila proizašla iz Newtonovih zakona gibanja morala su uz pomoć računala

davati približno dobar opis događanja u atmosferi. I uistinu, u Lorenzovom imaginarnom

svijetu ubrzo su puhali vjetrovi, vrtjele se ciklone. Podaci koje je Lorenz dobivao bili su

fascinantni. No međutim primijetio je kako se nikada nisu ponavljali. Nije bilo periodnosti.

Pravilnost koja je postojala, nije se ponavljala. Bio je to uredan nered. Umjesto dugoročno

točne vremenske prognoze, otkrio je uznemirujuću činjenicu, da gomilanje podataka i

varijabli, poput brzine vjetra, tlaka zraka, vlage, temperature i atmosferskih promjena, neće

povećati točnost dugoročne vremenske prognoze. Shvatio je da će, koliko god on podataka

prikupio, dugoročnija vremenska prognoza uvijek biti netočna. Razlog je, zaključio je, u tome

što su dinamički sustavi (sustav diferencijalnih jednadžbi) poput vremena sastavljeni od

previše međusobno povezanih varijabli ili međudjelujućih elemenata koji su krajnje osjetljivi

na početne uvjete.

Kako bi pojednostavio prikazivanje tih podataka, Lorenz je razvio jednostavan način

grafičkog prikaza. Brda i doline koje je računalo iscrtavalo odavalo je promjene smjera

gibanja vjetra i slično. Proučavajući te nizove, Lorenz se jednog dana zainteresirao za jedan

niz i odlučio ponoviti pokus. Zainteresiran za određeni problem, Lorenz je krenuo ponoviti

sekvencu. Kako je htio uštedjeti na vremenu, nije započeo proces od početka, već od

središnjeg dijela. Uredno je unio zadane i umjesto očekivanog niza jednakog prethodnom,

8

Lorenz je gledao u jedan sasvim novi niz. Prva pretpostavka bila je kako je riječ o novoj

pogrešci računala, no međutim ubrzo je shvatio da nije krivo računalo, već nešto sasvim

drugo. Postojala je razlika u točnosti unesenih podataka. Računalo je podatke pamtilo na šest

decimala, ali ispisivalo na tri radi uštede prostora. Smatralo se da pogreška na tisućinki nije

bitna, jer je niti tadašnji uređaji nisu mogli detektirati u okolišu. Međutim Lorenz je shvatio da

je ta razlika itekako bitna, jer da je unio potpuni niz, ne bi dobio tako različit graf. Kao

matematičar htio je razumjeti kako je došlo da razdvajanja grafova. Stoga je dobiveni graf

ispisao na prozirnu foliju i usporedio s prethodnim. U početku su se oni potpuno preklapali,

ali nakon nekog vremena dolazilo je do malih razlika koje su se sve više povećavale, da bi na

kraju grafovi postali dva potpuno različita i nepovezana sustava. Lorenz je otkrio osjetljivost

na početne uvjete, osnovu teorije kaosa. Time je dokazao kako pokretanje računalne

simulacije s početnim vrijednostima samo malo promijenjenim od prvobitnih uzrokuje

vremensku prognozu izrazito drukčijom od početne, što znači da u složenim, nelinearnim

sustavima, mala promjena u vrijednosti početnih parametara može uzrokovati velike promjene

u vrijednosti rezultata.

Slika 2. Rješenja Lorenzovog programa printana u ovisnosti o vremenu. Odskakanju sustava

ukazuju na osjetljivost na početne uvjete.

U znanosti, kako i u životu, poznato je da lanac događaja može imati kriznu točku koja

će uvećati sitne promjene. Kaos znači da se takve točke nalaze posvuda, tj. da prevladavaju..

Lorenz je dokazao da su dinamički sustavi doista određeni svojim uzrocima. Kad bismo

uistinu bili u mogućnosti znati apsolutno točno sve uzroke, mogli bismo predvidjeti

budućnost tih sustava. No broj utjecaja koji utječu na neki dinamičan sustav, i koje je otkrio

Lorenz, zapravo je vrlo velik, tj. takvi su sustavi osjetljivi toliko da na njih može utjecati i

nešto naoko sasvim beznačajno.

9

Lorenz je shvatio bitnost otkrića i nastavio se njime baviti. Želio je razumjeti kako se i

zašto neki sustavi ponašaju na tako neobičan i nepredvidljiv način. Smatrao da sustav od 12

jednadžbi koje je koristio za modeliranje promjene vremena treba pojednostaviti i učiniti

razumljivijim. Zbog toga je počeo proučavat konvekcije fluida. To je bio prvi kaotični sustav.

Model konvekcije predstavlja nelinearan sustav koji je teško zbrajati i uglavnom je nerješljiv.

U dinamici fluida sve se do tada svodilo na jednu jednadžbu, Navier-Stokesovu, koja

povezuje brzinu, tlak, gustoću i viskozitet fluida.

Model se sastojao od fluida u zatvorenoj kutiji sa glatkim unutarnjim stranicama, čije

se dno konstantno grije (tako da se održi na istoj temperaturi), i čiji se vrh isto tako hladi.

Razlika u temperaturi između vrućeg dna i hladnog vrha upravlja tokom. Pri malim

temperaturnim razlikama, sustav ostaje miran i stabilan pri čemu se toplina kreće prema vrhu,

ne prevladavajući prirodnu sklonost fluida da ostane miran. U kutiji se formiraju dva strujna

valjka, koji rotiraju u suprotnim smjerovima, tako da se jedan dio fluida uzgonom uzdiže (to

je onaj dio bliže unutrašnjosti, dakle topliji dio), a drugi dio pada (hladniji dio uz stranice

posude). Bilo koje kretanje koje se pojavljuje nasumce, prestat će i sustav će se vratiti u

stabilno stanje. Međutim, kada se razlika temperature poveća, stvorit će se novi oblik

ponašanja. Kako fluid na dnu postaje vrući, počinje se širiti pri čemu postaje rjeđi. Zbog toga

postaje lakši dovoljno da nadvlada trenje, te se počinje gibati prema površini. U kutiji se

stvara valjkasto kotrljanje kod kojeg se vrući fluid uspinje uz jednu stranicu, dok se hladni

fluid spušta uz drugu, opisujući krug. Takvo ponašanje fluida može se susresti i u prirodi.

Takve konvekcijske ćelije nastaju npr. prilikom zagrijavanja pustinjskog tla kad kotrljajući

zrak formira stjenovite oblike, gore u oblacima ili dolje u pijesku. Ukoliko se još više poveća

razlika u temperaturi, ponašanje postaje sve složenije. Dolazi do nestabilnosti i lelujanja

strujnih valjaka, pri čemu se valjci fluida gube, i zamjenjuju ih nepravilnosti i turbulencije, tj.

kaos.

10

Slika 3. Konvekcijski valjci u fluidu. Lijeva slika prikazuje pravilno ponašanje, desna pak

lelujanje valjaka, odnosno kaos. (strelice označavaju dovod topline)

Lorenz je pokušavajući matematičkim simulacijama načiniti dugoročnu vremensku

prognozu otkrio tzv. efekt leptirovih krila, odnosno "The Butterfly Effect". Razlika među

početnim točkama dviju krivulja toliko je malena da se može usporediti sa zamahom

leptirovih krila. Ovaj fenomen temelji se na ideji da beskonačno male promjene, kao što je

lepet krila insekta, mogu voditi do ogromnih posljedica. Zamah krila jednog leptira danas

može napraviti neznatnu promjenu u atmosferi, ali ono što će atmosfera s tim učiniti tokom

vremena, razlikuje se od onoga što bi bila napravila da tog zamaha nije bilo. Možda se

katastrofalan potres u Indoneziji, koji se trebao dogoditi, ne dogodi, a odigra se nešto što se

nije trebalo dogoditi. Ovaj fenomen, čest u teoriji kaosa, nazivamo i osjetna ovisnost o

početnim uvjetima. Takvu malu količinu razlika u mjerenjima možemo smatrati

eksperimentalnom bukom, pozadinskom bukom ili netočnošću opreme.Ukratko, leptir mašući

krilima danas u Pekingu, može time prouzročiti oluju slijedećeg mjeseca u New Yorku.

Lorenzov je rad na matematičkom modeliranju kompleksnih putanja čestica zraka, (putanje su

opisane sustavima linearnih diferencijalnih jednadžbi), kulminirao slavnom slikom koja se

zove "Lorenz Attractor", a oblikom je slična leptirovim krilima, Slika 4.

11

Slika 4. Lorenzov atraktor nalik leptirovim krilima

Slika opisuje cijelo stanje Lorenzovog modela u jednom trenutku reprezentirano jednom

točkom u 3D Kartezijevem sustavu. Ukoliko promatramo kroz vrijeme kako se sustav mijenja

te bilježimo po jednu točku, te točke bi se pojavljivale potpuno slučajno u prostoru međutim

ako bismo to radili kroz duže vrijeme oblikovala bi se krivulja nalik leptirovim krilima, Slika

4. Jedna je od mnogih kasnije otkrivenih kaotičnih atraktora. Beskonačno je dugačka,

ekstremno složena; iako se čini da teži tome da se zgusne u jednu jedinu crtu, zapravo nikada

samu sebe ne presijeca. Teško bi je bilo moguće vidjeti bez generiranja računalom. Ona ima

fraktalna svojstva, to je fraktal Hausdorffove dimenzije između 2 i 3. Grassberger je 1983.

procjenio njegovu Hausdorffovu dimenziju na 2.06 ± 0.01 i korelacijsku dimenziju na 2.05 ±

0.01.

12

3.1.1. Lorenzove jednadžbe

Na temelju ponašanja konvekcije fluida, Lorenz je postavio sustav od 3 diferencijalne

jednadžbe odnosno sustav, koji se nakon mnogih redukcija i zamjena, svodi na sljedeći

matematički sustav triju diferencijalnih jednadžba –nepoznanice su �, , # a derivira se po t:

$�$% = &� − �

$'$% = ��( − # −

$)$% = � − b#

gdje se s zove Prandtlovim brojem, r Rayleighjevim brojem i b se zove geometrijskim

faktorom. Svi su &, (,b > 0 , ali je obično & = 10, b = 8/3 a ( varira. Sustav

ispoljava kaotično ponašanje za r = 28 i prikazuje čvoraste periodne orbite za druge

vrijednosti od r.

Varijabla x je proporcionalan intenzitetu konvekcije, y razlici temperature, a z razlici

linearnog i stvarnog vertikalnog temperaturnog profila.

13

4. EKSPERIMENTALNI DIO

Primjeri kaotičnih sustava

Rješenje Lorenzovog sustava tri navedenih diferencijalnih jednadžbi izvedeno je pomoću

programa Wolfram Mathematica. Da bi dobili prikaz kaotičnih sustava definirali smo

diferencijalne jednadžbe, parametre �&, (, b, početne uvjete te vrijeme promatranja sustava u

kojem se odvija kaos. Pri definiranju sustava koristili smo naredbe: Table, NDSolve,

ParametricPlot3D, Module, Do. A naredbom Do računali smo izraz pri čemu se vrijednost i

mijenja od imin do imax s korakom trojka.

Kod preko kojeg smo rješavali sustav:

% parametri

β:=8/3; σ:=7; ρ:=5; % početni uvjeti za x, y i z min:=-1; max:=1; % vrijeme do kojeg se sustav razvija tmax:=3 granica:=10; % definiranje početnih uvjeta preko funkcije Flatten koja služi za poravnavanje zadane liste početnih uvjeta koja se definira preko funkcije Table pocetni=Flatten[Table[{x,y,z},{x,min,max},{y,min,max},{z,min,max}],2]; jednadzbe[x0_,y0_,z0_]:={x'[t]�σ*(y[t]-x[t]),y'[t]�x[t]*(ρ-z[t])-y[t],z'[t]�x[t]*y[t]-β*z[t],x[0]==x0,y[0]==y0,z[0]�z0}; % Naredbom Module definiraju se početne vrijednosti za x, y i z, ona specificira da su varijable x, y, z lokalne tj. da ne postoje izvan modula. % Za numeričko rješavanje triju diferncijalnih jednadžbi služi naredba NDSolve

14

% Trodimenzionalna prostorna krivulja parametrizirana po promjenjivom t dobiva se naredbom ParametricPlot3D, PlotRange → granica trodimenzionalnog prostora, određuje raspon koordinata, AxesLabel → prikaz osi, PlotStyle → boja i stil % Naredba Do računa izraz pri čemu se vrijednost i mijenja od imin do imax s korakom

trojka.

graf[x0_,y0_,z0_]:=Module[{xans,yans,zans},{xans,yans,zans}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[NDSolve[jednadzbe[x0,y0,z0],{x[t],y[t],z[t]},{t,0,tmax}]];ParametricPlot3D[{xans,yans,zans},{t,0,tmax},PlotRange->{{-granica,granica},{-granica,granica},{-granica,granica}},AxesLabel->{"x","y","z"},AspectRatio->1,DisplayFunction->Identity,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]]; Module[{i,x0temp,y0temp,z0temp,trojka,novigraf},fazni={};Do[trojka=pocetni[[i]];x0temp=trojka[[1]];y0temp=trojka[[2]];z0temp=trojka[[3]];novigraf=graf[x0temp,y0temp,z0temp];fazni=Append[fazni,novigraf],{i,1,Length[pocetni]}]]; % prikazuje više trajektorija u jednom sustavu

Show[fazni,DisplayFunction->$DisplayFunction]

U sljedećim primjerima bit će prikazani primjeri Lorenzovog sustava i kaosa, pri fiksnim

parametrima s promjenom početnih uvjeta. Vidjet ćemo kako se s promjenom početnih uvjeta

mijenja sustav. Na slikama su vidljiva dva područja gdje se trajektorije približavaju

zamišljenim rupama, međutim dolazi do toga da se tu trajektorije međusobno udaljavaju

počevši od najmanjeg radijusa prema većem na jednom krilu i prelazi se na drugo krilo te se

tako to ponavlja u beskonačnost ali nikada po istom putu samih trajektorija. Za male

vrijednosti ρ, sustav je stabilan i završava u jednu od dvije fiksne točke atraktora. Kada je ρ

veći od 24.74, fiksne točke postaju repulzori koji odbijaju trajektorije na vrlo složen način,

evolvirajući bez presijecanja same sebe.

15

4.1. Primjer 1.

( = 28

b = 8/3

& = 10

tmax=15

MIN= 1

MAX= 2

Slika 5. Ovisnost Lorenzovog atraktora o ( = 28, b = 8/3, & = 10

16

4.1.1. Primjer 1.1.

Ova slika prikazuje jednu od mogućih situacija koje se događaju kada se kaos razvija sa

prethodno navedenim parametrima. Ovdje je početak u točki T (2,1,1).

Slika 6. Ovisnost Lorenzovog atraktora o ( = 28, b = 8/3, & = 10 pri točno određenim

početnim uvjetima s početkom u točki T (2,1,1)

17

4.2. Primjer 2.

( = 14

b = 8/3

& = 10

tmax=5

MIN= −1

MAX= 1


18

4.2.1. Primjer 2.1.

Ova slika prikazuje jednu od mogućih situacija koje se događaju kada se kaos razvija sa

prethodno navedenim parametrima. Ovdje je početak u točki T (-1,1,-1).


19

4.3. Primjer 3.

( = 13

b = 8/3

& = 10

tmax=5

MIN= 1

MAX= 2


20

4.3.1. Primjer 3.1.

Ova slika prikazuje jednu od mogućih situacija koje se događaju kada se kaos razvija sa prethodno navedenim parametrima. Ovdje je početak u točki T (2,2,2).


21

4.4. Primjer 4.

( = 15

b = 8/3

& = 10

tmax=5

MIN= −4

MAX= −2


22

4.4.1. Primjer 4.1.

Slika 14. prikazuje jednu od mogućih situacija koje se događaju kada se kaos razvija sa prethodno navedenim parametrima. Ovdje je početak u točki T (-2,-3,-2).


23

4. ZAKLJUČAK

Kaos se rabi u opisivanju prividno kompleksnog ponašanja sustava za koje

pretpostavljamo da su jednostavni. Kaos se javlja kada je neki sustav vrlo osjetljiv na početna

stanja. Početna stanja predstavljaju determinirane vrijednosti mjera pri nekom zadanom

početnom vremenu. Kaos je ne samo teorija već i metoda, ne samo skup uvjerenja već i način

provođenja znanosti.

Posebno značenje teorije kaosa je u njezinoj interdisciplinarnosti. Svojom

univerzalnošću kaos prožima raznorodne discipline i polja ljudskog djelovanja: od dinamike

fluida i prognoze vremena, preko anatomije, proučavanja srčanih aritmija, biljnih i

životinjskih populacija, sve do fluktuacija cijena dionica na burzama. Teorija kaosa otvorila je

nove filozofske vidike, tjerajući nas na preispitivanje stavova o determinizmu zbivanja,

odnosu znanstvenih i religijskih spoznaja, o evoluciji i slobodi volje, društvenim i političkim

revolucijama, te ulozi pojedinca u povijesti. Često naoko nevažne činjenice iz jednog

područja predstavljaju ključ rješenja u nekom drugom području.

Kaos nam daje jedan novi pogled na svijet koji nas okružuje. Međutim iz te iste teorije

proizlazi i konačno ograničenje naše spoznaje. Naime, što god učinili i kako god preciznim

učinimo naša računala, ona će uvijek biti ograničena određenom memorijom. Na taj način

početni uvjeti nikada neće biti apsolutno točno uneseni, a time niti zbivanja biti predvidiva.

Uvijek će postojati mjesto za kaos. Iz toga proizlazi da će budućnost zauvijek ostati skrivena i

nepredvidiva. Ona će uvijek nepoznata čekati dolazeće generacije da je otkrivaju i svojom

težnjom napretku i novim znanstvenim spoznajama učine boljom no što je to ona sada.

24

5. LITERATURA:

1. K.T.Alligood, T.D.Sauer, J.A.Yorke, CHAOS:An Introduction to Dynamical Systems,

Springer, 359-365 , 2000.

2.http://www.zvjezdarnica.com/znanost/velikani/edward-norton-lorenz-leptir-koji-je-

promijenio-svijet/318

3. http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-2-1-Lorenzove_jednadjbe.htm

4. http://hr.wikipedia.org/wiki/Lorenzov_atraktor

5.http://www.fer.unizg.hr/_download/repository/NSU_Predavanje_02_Kaos_OK_2009_2010.

pdf

6. http://mimi.imi.hr/~franic/tkaos.html

7. http://mathworld.wolfram.com/LorenzAttractor.html

8. www.reference.wolfram.com

9. M. Kolaković, I. Vrankić, Teorija kaosa, Zbornik Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, godina

2, broj 1, 2004

Lorenzov sustav i kaos...

Documents

Transcript of Lorenzov sustav i kaos...