LỜI NÓI ĐẦU - uet.vnu.edu.vntantd/Giao trinh Ky thuat dieu khien.pdf · khiển. Các lý...
206
1 LỜI NÓI ĐẦU Kỹ thuật điều khiển là một lĩnh vực kỹ thuật đặc biệt, bởi vì nó gắn liền với nhiều ngành khoa học nghiên cứu về các hệ thống động rất đa dạng về bản chất, như các hệ thống cơ khí, điện, điện tử, các quá trình hóa học và sinh học, và cả các hệ thống kinh tế, chính trị và xã hội. Vì vậy, phạm vi ứng dụng của kỹ thuật điều khiển cũng rất rộng lớn, từ các lĩnh vực kỹ thuật như năng lượng điện, điện tử, viễn thông, cơ khí... đến các vấn đề mang tính xã hội. Kỹ thuật điều khiển sử dụng mô hình toán học của các hệ thống động trong việc phân tích hành vi của hệ thống, trên cơ sở đó áp dụng các lý thuyết điều khiển để xây dựng các bộ điều khiển nhằm làm cho hệ thống hoạt động như được mong muốn. Lý thuyết điều khiển cổ điển tập trung vào các vấn đề của điều khiển phản hồi. Mặc dù những cơ sở toán học của lý thuyết điều khiển phản hồi đã xuất hiện từ thế kỷ 19 và nhất là trong những năm 1920-1940, như mô hình phương trình vi phân của các hệ thống động, lý thuyết về tính ổn định, các phương pháp phân tích trong miền tần số..., những năm sau chiến tranh thế giới lần thứ hai cho đến thập kỷ 60 của thế kỷ 20 mới được coi là giai đoạn phát triển thực sự của lý thuyết điều khiển cổ điển với sự ra đời của các công cụ phân tích và thiết kế hệ thống. Đặc điểm cơ bản của lý thuyết điều khiển cổ điển là việc sử dụng các phương pháp trong miền tần số, dựa trên phép biến đổi Laplace. Chính do đặc điểm đó nên lý thuyết điều khiển cổ điển chỉ thích hợp cho các hệ thống tuyến tính bất biến. Thập kỷ 60 của thế kỷ 20 là thời điểm đánh dấu sự mở đầu của kỷ nguyên không gian trong lịch sử của loài người. Kể từ đây, kỹ thuật điều khiển bước vào một giai đoạn mới − giai đoạn phát triển của lý thuyết điều khiển hiện đại. Hai khái niệm quan trọng nhất trong kỹ thuật điều khiển hiện đại là các phương pháp trong miền thời gian và điều khiển số. Việc thiết kế các hệ thống điều khiển phi tuyến phức tạp, ví dụ như hệ thống điều khiển quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo, vượt quá khả năng của các phương pháp cổ điển. Các phương pháp trong miền thời gian, sử dụng mô hình biến trạng thái, đã vượt qua được những hạn chế của lý thuyết điều khiển cổ điển khi đối mặt với các hệ thống phi tuyến. Với sự phát triển mạnh mẽ của các lĩnh vực ứng dụng của điều khiển phi tuyến như trong kỹ thuật hàng không vũ trụ hay robotics, vai trò của các phương pháp trong miền thời gian cũng trở nên ngày càng chiếm ưu thế so với các phương pháp trong miền tần số trong kỹ thuật điều khiển hiện đại. Ngày nay, thật khó tưởng tượng việc xây dựng một hệ thống điều khiển nếu thiếu đi máy tính hay các bộ vi điều khiển. Các lý thuyết của điều khiển số gắn liền với sự ra đời của máy tính, và cùng với sự phổ biến ngày càng rộng rãi của các hệ thống điều khiển sử dụng máy tính, điều khiển số đã trở thành lĩnh vực quan trọng hàng đầu của kỹ thuật điều khiển. Ngoài ra, kỹ thuật điều khiển hiện đại còn quan tâm tới những vấn đề như điều khiển thích nghi và điều khiển tối ưu, do các hệ thống cần điều khiển ngày càng trở nên phức tạp, không thể mô hình hóa được một cách chính xác, và do tính hiệu quả đối với nhiều hệ thống điều khiển hiện đại được xem là chỉ tiêu chất lượng quan trọng nhất.
Transcript of LỜI NÓI ĐẦU - uet.vnu.edu.vntantd/Giao trinh Ky thuat dieu khien.pdf · khiển. Các lý...
1
LỜI NÓI ĐẦU
Kỹ thuật điều khiển là một lĩnh vực kỹ thuật đặc biệt, bởi vì nó gắn liền với nhiều ngành khoa học nghiên cứu về các hệ thống động rất đa dạng về bản chất, như các hệ thống cơ khí, điện, điện tử, các quá trình hóa học và sinh học, và cả các hệ thống kinh tế, chính trị và xã hội. Vì vậy, phạm vi ứng dụng của kỹ thuật điều khiển cũng rất rộng lớn, từ các lĩnh vực kỹ thuật như năng lượng điện, điện tử, viễn thông, cơ khí... đến các vấn đề mang tính xã hội. Kỹ thuật điều khiển sử dụng mô hình toán học của các hệ thống động trong việc phân tích hành vi của hệ thống, trên cơ sở đó áp dụng các lý thuyết điều khiển để xây dựng các bộ điều khiển nhằm làm cho hệ thống hoạt động như được mong muốn. Lý thuyết điều khiển cổ điển tập trung vào các vấn đề của điều khiển phản hồi. Mặc dù những cơ sở toán học của lý thuyết điều khiển phản hồi đã xuất hiện từ thế kỷ 19 và nhất là trong những năm 1920-1940, như mô hình phương trình vi phân của các hệ thống động, lý thuyết về tính ổn định, các phương pháp phân tích trong miền tần số..., những năm sau chiến tranh thế giới lần thứ hai cho đến thập kỷ 60 của thế kỷ 20 mới được coi là giai đoạn phát triển thực sự của lý thuyết điều khiển cổ điển với sự ra đời của các công cụ phân tích và thiết kế hệ thống. Đặc điểm cơ bản của lý thuyết điều khiển cổ điển là việc sử dụng các phương pháp trong miền tần số, dựa trên phép biến đổi Laplace. Chính do đặc điểm đó nên lý thuyết điều khiển cổ điển chỉ thích hợp cho các hệ thống tuyến tính bất biến. Thập kỷ 60 của thế kỷ 20 là thời điểm đánh dấu sự mở đầu của kỷ nguyên không gian trong lịch sử của loài người. Kể từ đây, kỹ thuật điều khiển bước vào một giai đoạn mới − giai đoạn phát triển của lý thuyết điều khiển hiện đại. Hai khái niệm quan trọng nhất trong kỹ thuật điều khiển hiện đại là các phương pháp trong miền thời gian và điều khiển số. Việc thiết kế các hệ thống điều khiển phi tuyến phức tạp, ví dụ như hệ thống điều khiển quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo, vượt quá khả năng của các phương pháp cổ điển. Các phương pháp trong miền thời gian, sử dụng mô hình biến trạng thái, đã vượt qua được những hạn chế của lý thuyết điều khiển cổ điển khi đối mặt với các hệ thống phi tuyến. Với sự phát triển mạnh mẽ của các lĩnh vực ứng dụng của điều khiển phi tuyến như trong kỹ thuật hàng không vũ trụ hay robotics, vai trò của các phương pháp trong miền thời gian cũng trở nên ngày càng chiếm ưu thế so với các phương pháp trong miền tần số trong kỹ thuật điều khiển hiện đại. Ngày nay, thật khó tưởng tượng việc xây dựng một hệ thống điều khiển nếu thiếu đi máy tính hay các bộ vi điều khiển. Các lý thuyết của điều khiển số gắn liền với sự ra đời của máy tính, và cùng với sự phổ biến ngày càng rộng rãi của các hệ thống điều khiển sử dụng máy tính, điều khiển số đã trở thành lĩnh vực quan trọng hàng đầu của kỹ thuật điều khiển. Ngoài ra, kỹ thuật điều khiển hiện đại còn quan tâm tới những vấn đề như điều khiển thích nghi và điều khiển tối ưu, do các hệ thống cần điều khiển ngày càng trở nên phức tạp, không thể mô hình hóa được một cách chính xác, và do tính hiệu quả đối với nhiều hệ thống điều khiển hiện đại được xem là chỉ tiêu chất lượng quan trọng nhất.
2
Cuốn sách này được biên soạn với mục đích làm tài liệu giáo khoa nhập môn kỹ thuật điều khiển cho sinh viên các chuyên ngành kỹ thuật. Phần lớn nội dung của sách được biên soạn dựa trên hai cuốn sách được chọn làm giáo trình chính cho môn học kỹ thuật điều khiển bậc đại học tại nhiều trường đại học lớn trên thế giới là Modern Control Systems của Richard C. Dorf và Feedback Control of Dynamic Systems của Gene F. Franklin et al. Tài liệu này đã được duyệt đưa vào giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Điện tử - Viễn thông tại trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội. Các lý thuyết điều khiển được giới thiệu ở đây là những lý thuyết chung, có thể áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau chứ không thiên về một chuyên ngành nào. Nội dung của sách sẽ chỉ giới hạn trong phạm vi các vấn đề của điều khiển các hệ thống tuyến tính bất biến. Giới hạn đó là cần thiết đối với môn học đầu tiên của kỹ thuật điều khiển, nhằm tránh cho sinh viên khỏi bị choáng ngợp trước quá nhiều vấn đề khi mới bắt đầu làm quen với lĩnh vực này. Nội dung lý thuyết trong sách được chia làm ba phần chính: các mô hình toán học của hệ thống động (Chương II, III), phân tích (Chương IV đến IX) và thiết kế hệ thống điều khiển phản hồi (Chương X, XI). Do đối tượng nghiên cứu là các hệ thống tuyến tính bất biến, phần lớn nội dung lý thuyết trong sách sẽ là lý thuyết điều khiển cổ điển, bao gồm: mô hình hàm chuyển dựa trên phép biến đổi Laplace (Chương II), phương pháp Routh-Hurwitz phân tích tính ổn định của hệ thống trong miền tần số (Chương VI), phương pháp quỹ tích nghiệm (Chương VII), các phương pháp dựa trên đáp ứng tần số (Chương VIII, IX), và các phương pháp thiết kế trong miền tần số (Chương X). Để giúp sinh viên bước đầu tiếp cận với một số khái niệm của lý thuyết điều khiển hiện đại, cuốn sách có đưa ra giới thiệu một số nội dung về mô hình biến trạng thái (Chương III), các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống dựa trên mô hình biến trạng thái (một phần chương VI và toàn bộ chương XI) và điều khiển số (Chương XII). Mặc dù việc đặt các khái niệm này vào trong khuôn khổ của các hệ thống tuyến tính bất biến không làm nổi lên được sự ưu việt của các công cụ hiện đại so với các công cụ cổ điển cũng như các vấn đề của kỹ thuật điều khiển hiện đại, việc giới thiệu chúng vẫn là tiền đề cần thiết cho các môn tiếp theo trong hệ thống môn học của kỹ thuật điều khiển mà nội dung sẽ bao gồm các lĩnh vực của kỹ thuật điều khiển hiện đại như điều khiển số, điều khiển phi tuyến, điều khiển thích nghi và điều khiển tối ưu. Một phần rất quan trọng thường có trong các môn học về kỹ thuật điều khiển là giới thiệu cho sinh viên các công cụ phân tích, thiết kế và mô phỏng hệ thống điều khiển trên máy tính. Điều đó sẽ giúp môn học trở nên lý thú hơn và có tính thực tiễn cao hơn. Trong cuốn sách này này, phần mềm MATLAB của hãng MathWorks và bộ chương trình Control System Toolbox của MATLAB được chọn làm công cụ thực hành. MATLAB là bộ phần mềm tính toán phục vụ cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau, vì vậy phần lớn sinh viên các chuyên ngành kỹ thuật đều quen thuộc với MATLAB. Bộ chương trình công cụ Control System Toolbox được xây dựng trong môi trường MATLAB như một công cụ phân tích, thiết kế và mô phỏng các hệ thống tuyến tính bất biến, sử dụng các phương pháp trong miền tần số và cả các phương pháp trong miền thời gian. Như vậy, bộ công cụ phần mềm này rất phù hợp với nội dung của cuốn sách.
3
Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp tại Khoa Điện tử - Viễn thông, Trường Đại học Công nghệ, đặc biệt là Giáo sư Huỳnh Hữu Tuệ và Tiến sỹ Trần Quang Vinh, đã giúp đỡ tác giả hoàn thành cuốn sách này. Mọi ý kiến đóng góp về nội dung của sách, xin gửi về cho tác giả tại Bộ môn Xử lý thông tin, Khoa Điện tử - Viễn thông, Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội.
4
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................1
CHƯƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN ..................7
1.1. Giới thiệu......................................................................................................... 7
1.2. Lịch sử của điều khiển tự động ....................................................................... 9
1.3. Ví dụ về các hệ thống điều khiển hiện đại .................................................... 11
CHƯƠNG II. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG...........................15
2.1. Giới thiệu....................................................................................................... 15
2.2. Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý ............................................... 16
2.3. Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý ..................................................... 18
2.4. Biến đổi Laplace ........................................................................................... 20
2.5. Hàm chuyển của các hệ thống tuyến tính ..................................................... 25
2.6. Mô hình sơ đồ khối ....................................................................................... 30
2.7. Mô hình lưu đồ tín hiệu................................................................................. 34
CHƯƠNG III. CÁC MÔ HÌNH BIẾN TRẠNG THÁI .................................44
3.1. Giới thiệu....................................................................................................... 44
3.2. Biến trạng thái của một hệ thống động ......................................................... 45
3.3. Phương trình vi phân của vector trạng thái ................................................... 47
3.4. Đáp ứng theo thời gian rời rạc ...................................................................... 50
CHƯƠNG IV. ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI .........................................................................................................53
4.1. Hệ thống điều khiển vòng hở và vòng kín .................................................... 53
4.2. Độ nhạy của hệ thống điều khiển đối với sự biến thiên của các tham số ..... 54
4.3. Điều khiển đáp ứng nhất thời ........................................................................ 57
4.4. Tín hiệu nhiễu trong hệ thống điều khiển phản hồi ...................................... 59
4.5. Sai số ở trạng thái thường trực ...................................................................... 62
CHƯƠNG V. HIỆU SUẤT CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI .........................................................................................................66
5.1. Giới thiệu....................................................................................................... 66
5.2. Mô tả hiệu suất trong miền thời gian ............................................................ 67
5.3. Chỉ số hiệu suất ............................................................................................. 74
5
5.4. Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống điều khiển phản hồi................ 76
CHƯƠNG VI. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ THỐNG PHẢN HỒI TUYẾN TÍNH .......................................................................................................80
6.1. Khái niệm về tính ổn định............................................................................. 80
6.2. Điều kiện ổn định Routh-Hurwitz................................................................. 81
6.3. Tính ổn định của hệ thống trong miền thời gian........................................... 84
6.4. Tính ổn định tương đối của các hệ thống điều khiển phản hồi ..................... 86
CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH NGHIỆM ...........................88
7.1. Giới thiệu....................................................................................................... 88
7.2. Khái niệm quỹ tích nghiệm........................................................................... 88
7.3. Phương pháp quỹ tích nghiệm ...................................................................... 91
7.4. Thiết kế tham số bằng phương pháp quỹ tích nghiệm.................................. 94
7.5. Độ nhạy và quỹ tích nghiệm ......................................................................... 95
CHƯƠNG VIII. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ ...................99
8.1. Giới thiệu....................................................................................................... 99
8.2. Đồ thị của đáp ứng tần số............................................................................ 101
8.3. Mô tả hiệu suất trong miền tần số ............................................................... 108
CHƯƠNG IX. TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ ........................113
9.1. Giới thiệu..................................................................................................... 113
9.2. Ánh xạ của các chu tuyến trong mặt phẳng s.............................................. 114
9.3. Điều kiện Nyquist ....................................................................................... 117
9.4. Tính ổn định tương đối và điều kiện Nyquist ............................................. 120
9.5. Đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín........................................................ 126
9.6. Tính ổn định của hệ thống điều khiển với trễ ............................................. 129
CHƯƠNG X. THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRONG MIỀN TẦN SỐ ........................................................................132
10.1. Giới thiệu................................................................................................... 132
10.2. Các phương pháp bù ................................................................................. 133
10.3. Các mạch bù nối tiếp................................................................................. 134
10.4. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch sớm pha ............................................. 140
10.5. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha .......................................... 144
10.6. Phương pháp bù sử dụng mạch tích phân ................................................. 146
6
10.7. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch chậm pha ........................................ 149
10.8. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch chậm pha ........................................... 151
10.9. Mạch bù sớm-chậm pha và bộ điều khiển PID......................................... 153
CHƯƠNG XI. THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI ..................................................157
11.1. Giới thiệu................................................................................................... 157
11.2. Tính điều khiển được và tính quan sát được ............................................. 158
11.3. Sự triệt tiêu điểm cực-điểm không............................................................ 161
11.4. Các phương trình biến trạng thái tương đương......................................... 163
11.5. Đặt điểm cực bằng phản hồi trạng thái ..................................................... 164
11.6. Điều khiển tối ưu bậc hai .......................................................................... 169
CHƯƠNG XII. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ .......................................173
12.1. Giới thiệu................................................................................................... 173
12.2. Hệ thống lấy mẫu ...................................................................................... 174
12.3. Biến đổi z................................................................................................... 175
12.4. Biến đổi z nghịch....................................................................................... 179
12.5. Phân tích tính ổn định của hệ thống trong mặt phẳng z ............................ 180
12.6. Tính ổn định và hiệu suất của hệ thống lấy mẫu bậc hai .......................... 182
PHỤ LỤC A. GIỚI THIỆU MATLAB VÀ BỘ CHƯƠNG TRÌNH CONTROL SYSTEM TOOLBOX CỦA MATLAB.....................................................185
A.1. Giới thiệu.................................................................................................... 185
A.2. Sử dụng MATLAB..................................................................................... 186
A.3. Thiết lập các mô hình hệ thống bằng Control System Toolbox................. 194
A.4. Phân tích mô hình....................................................................................... 201
A.5. Thiết kế hệ thống điều khiển...................................................................... 203
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................206
7
Chương I
GIỚI THIỆU VỀ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN Tóm tắt nội dung Mục đích của chương là giới thiệu một cách khái quát về các phương pháp thiết kế và xây dựng hệ thống điều khiển. Để hiểu được mục đích của hệ thống điều khiển, chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về các hệ thống điều khiển trong lịch sử phát triển của loài người. Thậm chí cả những hệ thống xuất hiện sớm nhất cũng đã bao gồm ý tưởng về phản hồi, một khái niệm có ý nghĩa trung tâm đối với toàn bộ cuốn sách này. Ứng dụng của kỹ thuật điều khiển hiện đại bao gồm việc sử dụng các chiến lược điều khiển cho các thiết bị trong nhiều lĩnh vực như hàng không, công nghiệp luyện kim, y học... Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng thú vị của kỹ thuật điều khiển. 1.1. Giới thiệu Nhiệm vụ của các kỹ sư điều khiển là hiểu rõ và điều khiển các thành phần của môi trường làm việc, thường được gọi là các hệ thống, nhằm tạo ra những sản phẩm có ích cho xã hội. Để có thể điều khiển một cách hữu hiệu, các hệ thống cần điều khiển phải được mô hình hóa, vì vậy sự hiểu biết bản chất và nguyên lý hoạt động của các hệ thống là vô cùng quan trọng. Trong thực tế, kỹ thuật điều khiển còn được áp dụng cho những hệ thống mà hoạt động của chúng chưa được lý giải hoàn toàn, ví dụ như một số quy trình hóa học. Thách thức đối với kỹ thuật điều khiển ngày nay là mô hình hóa và điều khiển các hệ thống hiện đại, phức tạp, có nhiều quan hệ tương hỗ, như các hệ thống điều khiển giao thông, các quá trình hóa học, hay các hệ thống robot... Tuy nhiên, lĩnh vực lớn nhất của kỹ thuật điều khiển vẫn là các hệ thống tự động hóa công nghiệp, một lĩnh vực đã và đang phát triển mạnh mẽ, mang lại nhiều lợi ích cho nền kinh tế và xã hội. Lý thuyết điều khiển dựa trên các nền tảng của lý thuyết phản hồi và phân tích hệ thống tuyến tính, kết hợp các khái niệm của mạng truyền dữ liệu và lý thuyết truyền thông. Vì vậy, phạm vi của kỹ thuật điều khiển không hạn chế trong một ngành kỹ thuật cụ thể nào mà có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hàng không, hóa học, cơ học, môi trường, xây dựng, điện và điện tử... Ví dụ, chúng ta thường gặp các hệ thống điều khiển trong đó bao gồm các bộ phận điện, cơ học và cả hóa học. Ngoài ra, những kiến thức ngày càng tăng về động lực của các hệ thống chính trị, xã hội và thương mại cho phép mở ra khả năng ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong các hệ thống như vậy. Một hệ thống điều khiển (control system) là một liên kết của nhiều thành phần, tạo nên một cấu hình hệ thống có khả năng đáp ứng một yêu cầu nhất định. Cơ sở để thực hiện việc phân tích một hệ thống là kiến thức nền tảng cung cấp bởi lý thuyết hệ thống tuyến tính, trong đó giả thiết mối quan hệ giữa các thành
8
phần của hệ thống là mối quan hệ nhân-quả. Một thành phần hay quá trình (process) cần được điều khiển có thể biểu diễn bằng một khối có đầu vào và đầu ra (Hình 1.1). Quan hệ vào-ra thể hiện mối quan hệ nhân-quả của quá trình, trong đó tín hiệu vào được xử lý nhằm tạo ra một tín hiệu ra, thường là với công suất đã được khuyếch đại. Một hệ thống điều khiển kiểu vòng hở (open-loop) sử dụng một bộ điều khiển nhằm điều khiển một quá trình đáp ứng một yêu cầu xác định trước được thể hiện trong Hình 1.2.
Quá trình Vào Ra
Hình 1.1. Quá trình cần điều khiển
Trái với các hệ thống điều khiển vòng hở, một hệ thống điều khiển kiểu vòng kín (closed-loop) sử dụng thêm một giá trị đo của tín hiệu ra thực sự để so sánh với đáp ứng đầu ra được mong muốn cho quá trình cần điều khiển. Giá trị đo này được gọi là tín hiệu phản hồi (feedback signal). Sơ đồ của một hệ thống điều khiển phản hồi kiểu vòng kín được thể hiện trong Hình 1.3.
Quá trình Đáp ứng mong muốn Ra
Hình 1.2. Hệ thống điều khiển vòng hở
Bộ điều khiển
Định nghĩa: một hệ thống điều khiển phản hồi là một hệ thống điều khiển có khuynh hướng duy trì một mối quan hệ được định trước giữa các giá trị biến thiên của hệ thống bằng các phép so sánh giữa các giá trị này, sử dụng sự sai khác như một phương thức điều khiển.
Quá trình Đáp ứng mong muốn Ra
Hình 1.3. Hệ thống điều khiển phản hồi kiểu vòng kín
Bộ điều khiển
So sánh
Hệ đo
Hệ thống điều khiển phản hồi thường sử dụng hàm mô tả một mối quan hệ xác định trước giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào đối sánh để điều khiển quá trình. Thường thì sự sai khác giữa tín hiệu ra của quá trình và tín hiệu vào đối sánh được khuyếch đại và sử dụng để điều khiển quá trình sao cho sự sai khác liên tục giảm. Khái niệm phản hồi được coi là nền tảng cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển. Do sự phức tạp của các hệ thống cần điều khiển ngày càng lớn và việc đạt được hiệu suất tối ưu của các hệ thống ngày càng được quan tâm, tầm quan trọng của kỹ thuật điều khiển đã và đang gia tăng một cách nhanh chóng. Khi các hệ thống trở nên phức tạp, chúng ta cần xem xét tới mối quan hệ giữa nhiều biến cần điều khiển của hệ thống. Những hệ thống như vậy được gọi là hệ thống điều khiển đa biến (multi-variable control system hay còn gọi là MIMO − multiple-
9
input multiple-output), để phân biệt với các hệ thống đơn biến (SISO − single-input single-output). Mô hình một hệ thống điều khiển đa biến được biểu diễn trong Hình 1.4. Các
giá trị ra
Quá trình Đáp ứng mong muốn
Hình 1.4. Hệ thống điều khiển đa biến
Bộ điều khiển
So sánh
Hệ đo
1.2. Lịch sử của điều khiển tự động Ứng dụng phản hồi để điều khiển một hệ thống có quá trình lịch sử vô cùng lý thú. Những ứng dụng đầu tiên của điều khiển phản hồi xuất hiện cùng với sự phát triển các cơ cấu điều chỉnh dùng phao nổi của người Hy Lạp trong giai đoạn 300 B.C. đến 1 B.C., ví dụ như chiếc đồng hồ nước của Ktesibios. Vào khoảng năm 250 B.C., Philon sáng chế ra một loại đèn dầu, sử dụng một phao nổi để khống chế sao cho mực dầu trong đèn luôn ở một mức cố định. Tại thành phố Alexandria của Ai Cập vào thế kỷ đầu tiên sau công nguyên, một tác giả tên là Heron đã viết một cuốn sách mang tiêu đề Pneumatica, trong đó mô tả vài dạng cơ cấu điều khiển mức nước sử dụng phao nổi. Hệ thống phản hồi đầu tiên được phát minh ở châu Âu là thiết bị khống chế nhiệt độ của Cornelis Drebbel (1572 – 1633) ở Hà Lan. Dennis Papin (1647 – 1712) phát minh ra thiết bị điều chỉnh áp suất cho nồi hơi vào năm 1681. Đây là một dạng thiết bị an toàn, tương tự như van an toàn của nồi áp suất. Thiết bị điều khiển phản hồi tự động đầu tiên được sử dụng trong một hệ thống công nghiệp được ghi nhận là thiết bị điều tốc do James Watt phát triển vào năm 1769, dùng để điều khiển tốc độ của động cơ hơi nước.
Hình 1.5. Thiết bị điều tốc bằng các quả cầu (flyball governor) của James Watt
Theo người Nga thì hệ thống phản hồi đầu tiên là một thiết bị điều chỉnh mức nước, do I. Polzunov phát minh vào năm 1765. Thiết bị này đo mức nước trong nồi hơi và điều khiển việc đóng mở van cấp nước. Giai đoạn trước 1868, sự phát triển các hệ thống điều khiển tự động còn mang tính trực giác. Các nỗ lực nhằm tăng độ chính xác của các hệ thống điều khiển
10
dẫn đến làm chậm sự suy giảm của các dao động nhất thời, thậm chí làm hệ thống trở nên không ổn định. Điều đó dẫn đến sự cấp thiết phải phát triển một lý thuyết về điều khiển tự động. Vào năm 1868, J.C. Maxwell là người đã thiết lập một lý thuyết toán học liên quan tới lý thuyết điều khiển, sử dụng mô hình phương trình vi phân để giải thích các vấn đề về tính thiếu ổn định mà thiết bị điều tốc của James Watt gặp phải. Nghiên cứu của Maxwell quan tâm tới ảnh hưởng của các tham số của hệ thống tới hiệu suất của hệ thống. Cũng trong khoảng thời gian đó, nhà khoa học Nga I.A. Vyshnegradskii đã thiết lập một lý thuyết toán học về các thiết bị điều chỉnh. Từ giai đoạn trước chiến tranh thế giới thứ II, lý thuyết và kỹ thuật điều khiển phát triển theo hai xu hướng khác nhau. Tại Mỹ và Tây Âu, một trong những động lực chính thúc đẩy các ứng dụng của phản hồi là sự phát triển các hệ thống điện thoại và các bộ khuyếch đại phản hồi điện tử, thực hiện bởi Bode, Nyquist và Black tại Bell Telephone Laboratories (Bell Labs – thành lập bởi AT&T vào năm 1925, từ năm 1996 trở thành một bộ phận của Lucent Technologies). Đặc trưng của xu hướng này là sử dụng các phương pháp trong miền tần số, chủ yếu để mô tả hoạt động của các bộ khuyếch đại phản hồi bằng các biến tần số như dải thông. Xu hướng thứ hai diễn ra ở Liên bang Xô viết, nơi mà lý thuyết điều khiển là lĩnh vực thống lĩnh bởi nhiều nhà toán học và cơ học ứng dụng danh tiếng. Vì vậy, lý thuyết điều khiển Xô viết đi theo hướng dùng các mô hình toán học trong miền thời gian, sử dụng các phương trình vi phân. Một động lực to lớn có tác dụng thúc đẩy sự phát triển về lý thuyết cũng như ứng dụng của điều khiển tự động xuất hiện trong thời gian diễn ra chiến tranh thế giới thứ II, do sự cần thiết phải thiết kế và chế tạo các hệ thống lái tự động cho máy bay, ngắm bắn tự động, điều khiển anten của radar, cùng nhiều hệ thống thiết bị quân sự khác dựa trên phương thức điều khiển phản hồi. Sự phức tạp và hiệu suất được mong đợi của các hệ thống thiết bị quân sự này đòi hỏi phải mở rộng các kỹ thuật điều khiển đã có và thúc đẩy sự quan tâm tới các hệ thống điều khiển cũng như sự phát triển các lý thuyết và phương pháp mới. Cho tới năm 1940, trong hầu hết các trường hợp, việc thiết kế các hệ thống điều khiển là một nghệ thuật theo phương pháp thử-và-sai. Trong những năm của thập kỷ 1940s, các phương pháp toán học và phân tích đã tăng cả về số lượng và tính hữu dụng, giúp kỹ thuật điều khiển trở thành một ngành kỹ thuật độc lập. Các kỹ thuật trong miền tần số thống trị lĩnh vực điều khiển sau chiến tranh thế giới thứ II với ứng dụng ngày càng phổ biến của phương pháp biến đổi Laplace và mặt phẳng tần số phức. Vào những năm 1950s, trọng tâm của lý thuyết điều khiển là sự phát triển và ứng dụng của các phương pháp mặt phẳng s và đặc biệt là phương pháp quỹ tích nghiệm. Đến những năm 1980s, việc sử dụng máy tính số cho các bộ phận điều khiển trở nên phổ biến. Những phần tử điều khiển sử dụng máy tính này có khả năng tính toán một cách nhanh chóng và chính xác, điều đó trước kia nằm ngoài khả năng của các kỹ sư điều khiển. Ngày nay, máy tính là không thể thiếu trong các hệ điều khiển ở đó rất nhiều biến của hệ thống cần được đo đạc và điều khiển cùng một lúc. Với sự mở đầu kỷ nguyên không gian, một động lực nữa của kỹ thuật điều khiển xuất hiện, đó là sự cần thiết phải thiết kế các hệ thống điều khiển vô cùng
11
phức tạp và có độ chính xác cao cho các hệ thống tên lửa và thăm dò không gian. Thêm nữa, sự cần thiết phải giảm tới mức tối thiểu trọng lượng của các vệ tinh và điều khiển chúng một cách chính xác đã khai sinh một lĩnh vực quan trọng: điều khiển tối ưu. Do những yêu cầu đó, các phương pháp trong miền thời gian của Lyapunov, Minorsky và một số nhà khoa học khác ngày càng được quan tâm. Ngoài ra, những lý thuyết về điều khiển tối ưu được phát triển bởi L.S. Pontryagin (Nga) và R. Bellman (Mỹ) cũng là những chủ đề được quan tâm. 1.3. Ví dụ về các hệ thống điều khiển hiện đại Điều khiển phản hồi là một yếu tố quan trọng trong nền công nghiệp cũng như trong đời sống xã hội hiện đại. Điều khiển ô tô là một ví dụ. Lái xe là một công việc nhẹ nhàng khi chiếc ô tô đáp ứng một cách nhanh chóng những lệnh của người lái. Những chiếc ô tô hiện đại có bộ phận trợ lực tay lái và phanh, sử dụng các bộ khuyếch đại thủy lực để khuyếch đại lực do người lái xe tác động lên tay lái và phanh. Sơ đồ khối đơn giản của một hệ thống điều khiển tay lái ô tô được thể hiện trong Hình 1.6. Hướng lái người lái xe mong muốn được so sánh với giá trị đo của hướng chuyển động thực sự của xe để sinh ra một giá trị đo độ sai lệch. Hướng chuyển động thực sự của xe được cảm nhận bởi bản thân người lái xe, bằng trực giác và cảm giác về độ nghiêng của cơ thể. Ngoài ra còn có một thông tin phản hồi nữa là cảm giác tay lái của người lái xe. Các hệ thống điều khiển lái của tàu thủy hay máy bay cũng có nguyên lý tương tự. Tất cả các hệ thống đó hoạt động theo một quy trình vòng kín, được biểu diễn trong Hình 1.7. Tín hiệu ra mong muốn và tín hiệu ra thực sự được so sánh và sự sai khác sẽ được khuyếch đại bằng một bộ khuyếch đại công suất. Tín hiệu ra từ bộ khuyếch đại sẽ khiến bộ phận chấp hành điều chỉnh quá trình nhằm làm giảm sai lệch nói trên. Ví dụ, khi một chiếc tàu thủy hướng quá sang bên phải, bánh lái của tàu sẽ được điều chỉnh để lái tàu về bên trái. Hệ thống biểu diễn trong Hình 1.7 là một hệ thống điều khiển phản hồi âm, vì tín hiệu ra bị trừ vào tín hiệu vào và sự sai khác đó được sử dụng làm tín hiệu vào cho bộ khuyếch đại.
_
Ô tô Hướng mong muốn
Hướng thực sự
Hình 1.6. Hệ thống điều khiển tay lái ô tô
Cơ cấu lái
Lái xe
Cảm nhận của lái xe (trực giác, xúc giác)
Cảm giác tay lái
Sai lệch
+ _
Các hệ thống điều khiển quen thuộc với chúng ta cũng có những phần tử cơ bản như hệ thống trong Hình 1.7. Ở một hệ thống điều chỉnh mức chất lỏng trong bể chứa bằng tay, tín hiệu vào là một mức chất lỏng người vận hành được lệnh phải duy trì (và được ghi nhớ bởi người vận hành), bộ khuyếch đại công suất là bản thân người vận hành và bộ cảm biến là trực giác của người vận hành. Bộ phận chấp hành là một van mà người điều khiển phải đóng hay mở để điều chỉnh
12
mức chất lỏng trong bể. Một ví dụ nữa rất quen thuộc với cuộc sống của chúng ta là chiếc tủ lạnh. Người sử dụng có thể đặt một mức nhiệt độ mong muốn, một nhiệt kế sẽ đo nhiệt độ thực sự trong tủ lạnh và độ sai lệch của nhiệt độ thực sự với nhiệt độ mong muốn, còn động cơ nén khí của tủ lạnh đóng vai trò của bộ khuyếch đại công suất.
Quá trình Tín hiệu vào hay đối sánh
Tín hiệu ra
Hình 1.7. Một hệ thống điều khiển vòng kín cơ bản
Cơ cấu chấp hành
Khuyếch đại
Hệ đo
_ +
Tự động hóa được định nghĩa như một công nghệ trong đó các mệnh lệnh đã được lập trình được sử dụng để vận hành một quá trình nhất định, và được kết hợp với sự phản hồi thông tin để xác định xem các mệnh lệnh đó có được thực hiện một cách đúng đắn hay không. Tự động hóa thường được áp dụng cho các quá trình vốn đã được vận hành bởi con người. Khi được tự động hóa, quá trình có thể vận hành mà không cần tới sự trợ giúp hay can thiệp của con người. Trong thực tế, phần lớn các hệ thống tự động có khả năng thực hiện các chức năng của chúng với độ chính xác cao hơn và tốn ít thời gian hơn so với khả năng con người có thể làm được. Một trong những lĩnh vực đặc biệt của tự động hóa là robotics. Robot là những thiết bị tự động được điều khiển bằng máy tính. Robot công nghiệp là một lĩnh vực đặc biệt của tự động hóa, trong đó các thiết bị tự động (robot) được thiết kế để thay thế lao động của con người. Để làm được điều đó, robot cần phải mang một số những đặc tính tương tự như con người. Một trong những thiết bị có đặc tính tương tự con người được sử dụng phổ biến nhất là các cánh tay máy, thiết bị chấp hành cơ khí có cấu trúc phỏng theo cánh tay và cổ tay của con người. Một ứng dụng rất quan trọng của công nghệ điều khiển là các bộ phận điều khiển trong ô tô hiện đại: các hệ thống điều khiển cho giảm xóc, trợ lái, điều khiển hiệu suất làm việc của động cơ, hay các hệ thống lái bốn bánh, điều khiển chống trượt... Người ta hay nói đến khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn trong kỹ thuật điều khiển. Cũng giống như nhiều ngành khác, trong nhiều lĩnh vực của kỹ thuật điều khiển lý thuyết đã đi trước ứng dụng khá xa. Tuy nhiên, có một lĩnh vực mà khoảng cách này là không đáng kể, đó là trong công nghiệp năng lượng điện. Ngành năng lượng điện chủ yếu bao gồm các lĩnh vực chuyển hóa năng lượng thành điện năng, kiểm soát và phân phối. Các hệ thống điều khiển bằng máy tính đã được sử dụng để tăng tính hiệu quả trong việc sử dụng các nguồn năng lượng. Ngoài ra, việc kiểm soát lượng chất thải của các nhà máy điện để giảm thiểu ô nhiễm đã trở thành một vấn đề vô cùng quan trọng. Các nhà máy điện hiện đại với công suất lớn tới hàng trăm megawatts cần những hệ thống điều khiển tự
13
động chịu trách nhiệm về các mối quan hệ giữa các biến của toàn bộ quá trình và thực hiện việc tối ưu hóa quá trình sản xuất điện năng. Một quá trình như vậy có thể có tới hơn 90 biến đặt dưới một sự điều khiển thống nhất. Ví dụ, để điều khiển hoạt động của lò hơi, hệ thống cần đo các giá trị biến thiên như nhiệt độ, áp suất, nồng độ ôxy... và cung cấp cho máy tính thực hiện việc tính toán. Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển bằng máy tính được biểu diễn trong Hình 1.8. Ngành công nghiệp năng lượng điện đã sử dụng được nhiều khía cạnh hiện đại của kỹ thuật điều khiển vào những ứng dụng có ý nghĩa quan trọng. Bài học của ngành công nghiệp năng lượng điện cho thấy, yếu tố làm duy trì khoảng cánh giữa lý thuyết và ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong nhiều lĩnh vực là việc thiếu những thiết bị dùng để đo đạc tất cả các biến quan trọng của các quá trình, bao gồm cả chất lượng và thành phần của sản phẩm. Khi những thiết bị này trở nên sẵn có, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển hiện đại vào các hệ thống công nghiệp sẽ tăng lên nhanh chóng.
Quá trình Tín hiệu
đối sánh Tín hiệu
ra
Hình 1.8. Một hệ thống điều khiển bằng máy tính
Cơ cấu chấp hành
Máy tính
Hệ đo
_ +
Ứng dụng của khái niệm điều khiển phản hồi đã và đang xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực như điều khiển tự động việc tàng trữ hàng hóa, các hệ thống tự động hóa trong nông nghiệp, các hệ thống sưởi ấm và làm lạnh sử dụng năng lượng mặt trời, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển trong các lĩnh vực y-sinh học như thí nghiệm, chẩn đoán, cấy ghép bộ phận giả và các hệ thống điều khiển sinh học. Cuối cùng, một lĩnh vực đang thu hút nhiều sự quan tâm là mô hình hóa các quá trình phản hồi phổ biến trong các hệ thống xã hội, kinh tế và chính trị. Các mô hình như vậy rất có ích cho việc tìm hiểu, giải thích và dự đoán các hoạt động của các hệ thống này, ví dụ như để đánh giá tác động của sự điều tiết và chi tiêu của nhà nước tới các hoạt động của hệ thống kinh tế. Bài tập Bài 1.1. Một nguồn phát laser có thể điều khiển mức năng lượng của ánh sáng phát ra bao gồm các bộ phận sau: một laser được điều khiển bởi một dòng điện vào để phát ra năng lượng dưới dạng ánh sáng, một bộ vi điều khiển có chức năng điều khiển dòng điện cấp cho laser và một cảm biến. Vi xử lý so sánh mức năng lượng được mong muốn với một tín hiệu từ bộ cảm biến tỷ lệ với năng lượng thực sự đang phát ra của nguồn laser. Vẽ sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín đó. Bài 1.2. Vẽ sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống điều khiển phản hồi mô tả việc điều khiển tốc độ của xe ô tô bởi người lái xe.
14
Bài 1.3. Một máy ảnh tự động sử dụng laser hay siêu âm để xác định khoảng cách tới đối tượng được chụp và tự điều chỉnh tiêu cự của ống kính cho phù hợp. Vẽ sơ đồ khối của hệ thống. Bài 1.4. Chúng ta có thể coi việc tắm như là điều khiển một quá trình có hai lối vào là đường nước nóng và đường nước lạnh với lưu lượng được điều khiển bởi hai van độc lập với nhau. Mục đích của việc điều khiển lượng nước vào mỗi đường là để nước ở phun ra ở vòi tắm có lưu lượng và nhiệt độ như mong muốn. Vẽ sơ đồ khối của hệ thống vòng kín. Bài 1.5. Một người lính dừng chân hàng ngày bên cạnh một cửa hiệu trên đường tới doanh trại và chỉnh đồng hồ đeo tay của anh ta theo đồng hồ treo tại cửa hiệu vào đúng 9 giờ sáng mỗi ngày. Một ngày, anh ta bước vào cửa hiệu và khen ngợi tính chính xác của chiếc đồng hồ tại cửa hiệu với người chủ cửa hiệu. Ông ta trả lời rằng ông chỉnh chiếc đồng hồ hàng ngày vào lúc 5 giờ chiều theo tiếng đại bác chào cờ tại doanh trại quân đội. Người lính nói, anh ta là một pháo thủ và chính anh ta là người bắn phát đại bác vào lúc 5 giờ chiều mỗi ngày đó. Thông tin phản hồi trong trường hợp này là phản hồi âm hay dương? Giả sử cứ sau 24 giờ chạy liên tục, chiếc đồng hồ tại cửa hiệu sẽ bị chậm một phút và chiếc đồng hồ của người lính sẽ bị chậm ba phút, sai lệch về thời gian của phát đại bác sau 15 ngày sẽ là bao nhiêu?
15
Chương II
MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG Tóm tắt nội dung Để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển, cần phải có được mô hình toán học định lượng của những hệ thống này. Chúng ta sẽ xem xét nhiều loại hệ thống khác nhau như các hệ thống cơ học hay điện, cùng với các phương trình vi phân được sử dụng để mô tả động lực của những hệ thống này. Để có thể giải các phương trình vi phân bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi Laplace, trước hết cần phải thiết lập các phương pháp xây dựng các mô hình tuyến tính cho các thành phần của mỗi hệ thống. Khi đó, chúng ta có thể kết hợp tất cả các phương trình vi phân mô tả một hệ thống và thực hiện phép biến đổi Laplace cho những phương trình này. Phần tiếp theo của chương mô tả phương thức biểu diễn các mối quan hệ vào-ra giữa các thành phần hay hệ thống con dưới dạng hàm chuyển. Tập hợp các hàm chuyển thể hiện các bộ phận liên kết với nhau của một hệ thống có thể biểu diễn được bằng mô hình sơ đồ khối hoặc đồ thị dòng tín hiệu. Các phương pháp phân tích được sử dụng để thiết lập các phương trình cho các biến ra của một hệ thống điều khiển với một số dạng tín hiệu vào chọn lọc. 2.1. Giới thiệu Để hiểu và điều khiển các hệ thống phức tạp, cần phải thiết lập được các mô hình toán học định tính của những hệ thống này. Mô hình toán học được thiết lập dựa trên sự phân tích các mối quan hệ giữa các biến của hệ thống. Bởi vì các hệ thống chúng ta cần quan tâm là những hệ thống động về bản chất, người ta thường dùng các phương trình vi phân để mô tả chúng. Nếu những phương trình đó có thể được tuyến tính hóa, phương pháp biến đổi Laplace có thể được sử dụng để đơn giản hóa việc giải chúng. Trong thực tế, do sự phức tạp của hệ thống và do nhiều yếu tố có liên quan không được xác định, chúng ta phải sử dụng đến các giả thiết về hệ thống. Vì vậy, khi nghiên cứu các hệ thống vật lý, cần phải đưa ra được những giả thiết cần thiết để tuyến tính hóa hệ thống. Khi đó, chúng ta có thể sử dụng các định luật vật lý mô tả hệ thống tuyến tính để thiết lập được một hệ phương trình vi phân tuyến tính. Cuối cùng, các công cụ toán học, ví dụ như biến đổi Laplace, được sử dụng để giải ra nghiệm của hệ phương trình mô tả hoạt động của hệ thống. Tóm lại, phương pháp phân tích vấn đề của các hệ thống động có thể bao gồm những bước như sau:
1. Xác định hệ thống và các thành phần của hệ thống 2. Thiết lập mô hình toán học và các giả thiết cần thiết 3. Viết các phương trình vi phân mô tả mô hình của hệ thống 4. Giải các phương trình cho các biến ra cần xác định 5. Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có phù hợp với các giả thiết 6. Phân tích lại hoặc chuyển sang bước thiết kế
16
2.2. Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý Các phương trình vi phân mô tả hoạt động của một hệ thống vật lý được thiết lập bằng cách sử dụng các định luật vật lý của các quá trình. Phương pháp này có thể áp dụng cho các hệ thống cơ khí, điện, chất lỏng, nhiệt động... Ví dụ, chúng ta có thể mô hình hóa hệ thống giảm xóc của ô tô bằng một hệ thống cơ học đơn giản như trong Hình 2.1, bao gồm một vật có khối lượng M được treo bằng một lò xo, có thể trượt theo phương thẳng đứng bên trong một ống có vai trò cản dao động (damper). Hệ số ma sát giữa bề mặt vật và bề mặt ống là f. Hệ số đàn hồi của lò xo là K. Vật có thể chuyển động theo chiều thẳng đứng y dưới tác động của một ngoại lực F(t). Theo định luật 2 của Newton:
)()()()(2
2tFtKy
dttdyf
dttydM =++ (2.1)
y
F(t)
K Hệ số ma sát f
Hình 2.1. Hệ thống lò xo-vật-cản
M
Kéo vật tới một vị trí ban đầu rồi thả ra, khi đó chuyển động của vật sẽ là một dao động tắt dần. Giải phương trình (2.1) cho y(t) chúng ta sẽ thu được phương trình chuyển động của vật dưới dạng:
)sin()( 111 1 θβα += − teKty t (2.2)
Ví dụ thứ hai là một mạch RLC (Hình 2.2) sử dụng một nguồn dòng có cường độ dòng điện là i(t) và sinh ra một hiệu điện thế v(t). Theo định luật Kirchhoff, chúng ta có được phương trình sau:
)()(1)()(
0
tidvLdt
tdvCRtv
t
=++ ∫ ττ (2.3)
Giả sử i(t) = 0 và hiệu điện thế v ban đầu khác không, giải phương trình (2.3) cho v(t) chúng ta sẽ thu được phương trình của hiệu điện thế có dạng:
)cos()( 222 2 θβα += − teKtv t (2.4)
Đây cũng là phương trình của một dao động tắt dần (Hình 2.3), tương tự như phương trình chuyển động (2.2) của hệ thống cơ học trong Hình 2.1.
17
R L C i(t) v(t)
Hình 2.2. Một mạch RLC Để thấy rõ sự tương tự của các phương trình vi phân của hai hệ thống cơ học và điện nêu trên, chúng ta làm một phép biến đổi nhỏ: viết lại phương trình (2.1) của hệ thống cơ học theo vận tốc v(t) = dy(t)/dt, phương trình sẽ trở thành:
)()()()(
0
tFdvKtfvdt
tdvMt
=++ ∫ ττ (2.5)
Do sự tương tự của hai phương trình (2.5) và (2.3) cũng như của hai biến: vận tốc v(t) trong (2.5) và hiệu điện thế v(t) trong (2.3), hai biến đó được gọi là hai biến đồng dạng, và hai hệ thống cũng được gọi là các hệ thống đồng dạng. Khái niệm đồng dạng giữa các hệ thống rất hữu ích và là một kỹ thuật mạnh cho việc mô hình hóa hệ thống. Ngoài các cặp biến đồng dạng của các hệ thống điện và cơ học là hiệu điện thế-vận tốc hay dòng điện-lực, người ta còn thường sử dụng sự đồng dạng của cặp hiệu điện thế-lực.
t
v(t)
0
e-α2t
2π/β2
Hình 2.3. Dao động tắt dần của hiệu điện thế v(t) trong mạch RLC
Các hệ thống đồng dạng với các giải pháp tương tự nhau bao gồm cả các hệ thống điện, cơ học, nhiệt và chất lỏng. Sự tồn tại của các hệ thống và giải pháp
18
đồng dạng cho phép chúng ta mở rộng kết quả phân tích của một hệ thống cho tất cả các hệ thống đồng dạng với nó, cũng được mô tả bằng chính những phương trình vi phân của hệ thống đầu tiên. Vì vậy những kiến thức chúng ta có được trong việc phân tích và thiết kế một loại hệ thống, ví dụ như các hệ thống điện, sẽ có thể áp dụng ngay lập tức cho các hệ thống cơ học, nhiệt, chất lỏng... 2.3. Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý Phần lớn các hệ thống vật lý chỉ tuyến tính trong những khoảng nhất định của các biến. Tất cả các hệ thống trong thực tế đều trở thành phi tuyến nếu các biến của chúng có thể thay đổi không giới hạn. Ví dụ, hệ thống dao động lò xo trong Hình 2.1 là một hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình 2.1, chừng nào vị trí của vật, y(t), chỉ xê dịch trong một khoảng nhỏ nhất định. Nếu ta tác dụng lực để y(t) tăng lên mãi thì đến một mức độ nào đó lò xo sẽ không còn chịu được và đứt. Vì vậy, câu hỏi về sự tuyến tính và khoảng áp dụng được cần phải đặt ra cho mỗi hệ thống. Tính tuyến tính của một hệ thống được xác định dựa trên mối quan hệ giữa tín hiệu kích thích (tín hiệu vào) và đáp ứng của hệ thống. Trong mạng điện ở Hình 2.2, tín hiệu kích thích là dòng điện i(t) và đáp ứng của hệ thống là hiệu điện thế v(t). Phát biểu một cách tổng quát, một hệ thống là tuyến tính khi và chỉ khi nó thỏa mãn được cả điều kiện sau:
1. Nguyên lý chồng: Nếu đáp ứng của hệ thống là y1(t) khi tín hiệu kích thích là x1(t) và đáp ứng của hệ thống là y2(t) khi tín hiệu kích thích là x2(t) thì đáp ứng của hệ thống sẽ là y1(t)+y2(t) khi tín hiệu kích thích là x1(t)+x2(t).
2. Tính chất đồng nhất: Nếu y là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là x thì khi tín hiệu vào được nhân với một hệ số tỷ lệ, tín hiệu ra của hệ thống cũng phải thay đổi theo cùng tỷ lệ, nghĩa là đáp ứng của hệ thống sẽ là βy khi tín hiệu kích thích là βx, với β là một giá trị bất kỳ.
Ví dụ, hệ thống được mô tả bởi quan hệ y = x2 không phải là một hệ thống tuyến tính vì không thỏa mãn cả hai điều kiện. Hệ thống được mô tả bởi quan hệ y = mx+b cũng không tuyến tính vì không thỏa mãn được tính chất đồng nhất. Tuy nhiên, hệ thống này có thể coi là tuyến tính xung quanh một điểm (x0, y0) cho các thay đổi ∆x, ∆y: ∆x = x−x0, ∆y = y−y0; vì mối quan hệ giữa ∆x và ∆y, biểu diễn bằng phương trình ∆y = m∆x, thỏa mãn cả hai điều kiện đã nêu. Phần lớn các hệ thống cơ học và điện đều có thể coi là tuyến tính trong một miền giá trị khá rộng của các biến. Điều đó thường không đúng với các hệ thống nhiệt và chất lỏng, vì những hệ thống này có khá nhiều đặc trưng phi tuyến. Tuy nhiên, chúng ta có thể tuyến tính hóa các phần tử phi tuyến với giả thiết tín hiệu thay đổi trong khoảng khá nhỏ. Xét một phần tử với tín hiệu kích thích là x(t) và đáp ứng là y(t), ở đó mối quan hệ giữa hai biến được biểu diễn bằng phương trình: y(t) = g(x(t)) (2.6) ở đó g biểu thị rằng y(t) là một hàm của x(t). Xác định một giá trị của tín hiệu vào, x0, gọi là điểm làm việc bình thường của phần tử. Thực hiện khai triển Taylor tại x0, chúng ta có:
19
...!2
)(!1
)()(2
02
20
000
+−
+−
+====
xxdx
gdxxdxdgxgxgy
xxxx (2.7)
Với giả thiết tín hiệu thay đổi rất nhỏ xung quanh điểm làm việc bình thường, chúng ta có thể xấp xỉ (2.7) bằng phương trình:
)(!1
)( 000
00
xxmyxxdxdgxgy
xx−+=
−+=
= (2.8)
hay:
∆y = m∆x (2.9) Độ chính xác của phép xấp xỉ tuyến tính này phụ thuộc vào khả năng áp dụng giả thiết trong từng trường hợp cụ thể. Nếu biến ra y phụ thuộc vào nhiều biến vào, x1, x2, ..., xn, quan hệ giữa y và các biến vào có thể được biểu diễn dưới dạng: y = g(x1, x2, ..., xn) (2.10) Tương tự như đối với trường hợp hàm đơn biến, chúng ta có thể thực hiện khai triển Taylor tại điểm làm việc xác định bởi x10, x20, ..., xn0, và bỏ qua các thành phần có bậc cao để thu được xấp xỉ tuyến tính:
)(...)(),...,,(0
00
011000 11
121 nn
xxnxxn xx
xgxx
xgxxxgy
nn
−∂∂
++−∂∂
+===
(2.11)
Ví dụ 2.1 Xét một hệ thống con lắc bao gồm một vật có khối lượng M được treo bằng một sợi dây có độ dài L (Hình 2.4). Giả thiết sợi dây không có khối lượng và không đàn hồi. Mômen quay trên vật được tính bằng công thức:
T = MgLsinθ (2.12)
M
L
θ
Hình 2.4. Hệ thống con lắc
ở đó g là gia tốc trọng trường và θ là góc giữa sợi dây với phương thẳng đứng.
20
Điểm cân bằng của hệ thống là θ0 = 0o. Áp dụng khai triển Taylor tới đạo hàm bậc nhất tại θ0, chúng ta có được xấp xỉ tuyến tính của T:
θθθθθθθ
θθMgLMgLMgLT =−=−
∂∂
==
))(0(cos)(sin00
0
(2.13)
Xấp xỉ này tương đối chính xác với -π/4 ≤ θ ≤ π/4. Ví dụ, sai số của phép xấp xỉ khi con lắc qua các vị trí ±30o là khoảng 2%. 2.4. Biến đổi Laplace Khả năng xấp xỉ tuyến tính các hệ thống vật lý cho phép chúng ta xem xét tới việc sử dụng biến đổi Laplace (Laplace transform). Phương pháp biến đổi Laplace cho phép biến các phương trình vi phân tuyến tính thành các phương trình đại số dễ giải hơn. Với phương pháp này, việc xác định đáp ứng của hệ thống theo thời gian bao gồm những bước sau:
1. Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hoạt động của hệ thống 2. Áp dụng biến đổi Laplace cho các phương trình vi phân 3. Giải các phương trình đại số thu được sau các phép biến đổi cho các biến
cần quan tâm Biến đổi Laplace tồn tại cho một phương trình vi phân nếu tích phân không thực sự của biến đổi hội tụ. Nói một cách khác, điều kiện đủ để một hàm f(t) có biến đổi Laplace là f(t) liên tục từng đoạn trong miền [0, ∞), và:
∞<>∃ ∫∞
−
0
)(:0 dtetfs st (2.14)
Nếu ∀t > 0: |f(t)| < Meαt với các giá trị thực M > 0 và α > 0 nào đó, tích phân trên sẽ hội tụ với mọi ∞ > s > α. Giá trị nhỏ nhất có thể của α được gọi là giới hạn của hội tụ tuyệt đối. Biến đổi Laplace của hàm f(t) tồn tại với mọi s > α và được định nghĩa như sau:
∫∞
−==0
)()]([)( dtetftfsF stL (2.15)
Phép biến đổi Laplace nghịch (inverse Laplace transform) của F(s) được định nghĩa như sau:
∫∞+
∞−
− ==i
i
st dsesFπi
sFtfσ
σ
)(21)]([)( 1L (2.16)
ở đó σ được chọn sao cho tất cả các điểm cực (pole) của F(s) đều nằm bên trái của đường biên của tích phân trong mặt phẳng phức, nghĩa là F(σ+iω) hội tụ với mọi ω nằm trong khoảng (−∞, +∞). Một số tính chất của biến đổi Laplace:
1. Tính duy nhất
21
F(s) ≡ G(s) ⇒ f(t) ≡ g(t) 2. Tuyến tính L[αf1(t) + βf2(t)] = αF1(s) + βF2(s) L−1[αF1(s) + βF2(s)] = αf1(t) + βf2(t)
3. Vi phân − Đạo hàm bậc 1
)0()()( fssFdt
tdf−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡L
− Đạo hàm bậc 2
0
22
2 )()0()()(=
−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
tdttdfsfsFs
dttfdL
− Đạo hàm bậc n
∑= =
−
−−−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ n
k tk
kknn
n
n
dttfdssFs
dttfd
1 01
1 )()()(L
4. Tích phân
ssFdf
t)()(
0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∫ ττL
)()()()(0
sGsFdgtft
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−∫ τττL
5. Dịch tần số L[e−αtf(t)] = F(s+α)
6. Dịch thời gian L[f(t−τ)] = e−sτF(s)
7. Nhân tỷ lệ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=αα
α sFtf 1)]([L
8. Nhân chập L[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
9. Giá trị khởi đầu )(lim)0( ssFf
s ∞→=
10. Giá trị cuối cùng )(lim)(
0ssFf
s→=∞
Bảng 2.1. Biến đổi Laplace của một số hàm quan trọng
f(t) (t ≥ 0) F(s) Hàm xung đơn vị δ(t) 1 (s > 0)
1 s1 (s > 0)
22
t 21s
(s > 0)
tn (n∈Ζ+) 1!+ns
n (s > 0)
e−αt α+s
1 (s > max(0,−α))
sin(ωt) 22 ωω+s
(s > 0)
cos(ωt) 22 ω+ss (s > 0)
Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản được mô tả bởi phương trình (2.1). Biến đổi Laplace của phương trình (2.1) là:
[ ] )()()0()()0()(0
2 sFsKYyssYfdtdysysYsM
t=+−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
= (2.17)
Với các điều kiện F(s) = 0, y(0) = y0 và 00=
=tdtdy , chúng ta có:
Ms2Y(s) − Msy0 + fsY(s) − fy0 + KY(s) = 0 (2.18) Giải phương trình (2.18) cho Y(s):
)()(
)()()()( 2
02
0sqsp
MKsMfsyMfs
KfsMsyfMssY =
++
+=
++
+= (2.19)
Phương trình q(s) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng (characteristic equation) của Y(s) bởi vì nghiệm của phương trình này quyết định đặc trưng của đáp ứng theo thời gian của hệ thống. Nghiệm của phương trình đặc trưng được gọi là các điểm cực (pole), còn nghiệm của phương trình p(s) = 0 được gọi là các điểm không (zero) của Y(s). Để xác định đáp ứng theo thời gian y(t) của hệ thống bằng biến đổi Laplace nghịch của Y(s), người ta thường dùng phương pháp khai triển phân thức đơn giản. Phương pháp này có thể phát biểu như sau: Giả sử hàm Y(s) có thể biểu diễn được dưới dạng:
))...()(())...()((
)(21
21
n
mpspsps
zszszssY
−−−−−−
= (2.20)
ở đó zi (i = 1..m) là các điểm không của Y(s) và pj (j = 1..n) là các điểm cực của Y(s). Khi đó Y(s) có thể khai triển được thành tổng của các phân thức đơn giản:
n
nps
kps
kps
ksY−
++−
+−
= ...)(2
2
1
1 (2.21)
kj (j = 1..n) được gọi là các phần dư (residue). Để tính nhanh được k1, chúng ta nhân cả hai vế của phương trình (2.21) với (s − q1):
23
n
n pspsk
pspskksYps
−−
++−−
+=− 1
2
1211 ...)()( (2.22)
Cho s = p1, vế phải của phương trình (2.22) sẽ chỉ còn lại k1, nghĩa là:
11
))...()(())...()((
)()(32
2111
psn
m
ps pspspszszszs
sYpsk== −−−
−−−=−= (2.23)
Các phần dư còn lại, k2, k3,..., kn, cũng được tính bằng cách tương tự. Xét một trường hợp cụ thể, với K/M = 2, f/M = 3 và y0 = 1. Khi đó phương trình (2.19) trở thành:
)2)(1(
323
3)( 2 +++
=++
+=
sss
ssssY (2.24)
Áp dụng phương pháp khai triển phân thức đơn giản với (2.24):
21
)( 21+
++
=sk
sksY (2.25)
k1 và k2 được tính như sau:
223)()1(
111 =
++
=+=−=−= ss s
ssYsk (2.26)
113)()2(
222 −=
++
=+=−=−= ss s
ssYsk
Đáp ứng theo thời gian y(t) được xác định bởi biến đổi Laplace nghịch của Y(s):
tt eess
sYty 2111 22
11
2)]([)( −−−−− −=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+−
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+== LLL (2.27)
Việc cuối cùng là xác định trạng thái thường trực (steady state) hay còn gọi là giá trị cuối cùng (final value) của f(t):
0)2)(1(
)3(lim)(lim)(lim00
=++
+==
→→∞→ ssssssYty
sst (2.28)
Điều đó có nghĩa là, vị trí cuối cùng của vật khi hệ thống ở vị trí cân bằng bình thường là y = 0. Trở lại trường hợp tổng quát được biểu diễn bằng phương trình (2.19). Định nghĩa tỷ số cản (damping ratio) )2( KMf=ζ và tần số tự nhiên (natural frequency) MKn =ω của hệ thống. Phương trình (2.19) trở thành:
220
2)2()(
nn
ns
yssYωζω
ζω++
+= (2.29)
Phương trình đặc trưng của Y(s) có các nghiệm như sau:
24
122,1 −±−= ζωζω nns (2.30)
Khi ζ > 1, s1 và s2 là các nghiệm thực và đáp ứng theo thời gian của hệ thống giảm liên tục, hệ thống được coi là bị cản quá mức (overdamped). Khi ζ < 1, phương trình đặc trưng có các nghiệm phức:
22,1 1 ζωζω −±−= nn is (2.31)
Trong trường hợp thứ hai, đáp ứng theo thời gian của hệ thống là một dao động tắt dần, khi đó hệ thống được coi là bị cản dưới mức (underdamped). Trường hợp ζ = 1 được gọi là điều kiện tắt dần tới hạn (critical damping).
t
y(t)
0
ζ < 1
y0
Hình 2.5. Đáp ứng của một hệ thống lò xo-vật-cản
ζ = 1 ζ > 1
Đồ thị của các điểm cực và điểm không của Y(s) trong mặt phẳng phức (mặt phẳng s) được thể hiện ở Hình 2.6, trong đó góc θ = arccosζ. Với tần số tự nhiên ωn là một hằng số và tỷ số cản ζ thay đổi, các nghiệm của phương trình đặc trưng có quỹ tích nằm trên một đường tròn có bán kính ωn trong trường hợp phương trình có nghiệm phức, hay nằm trên trục thực (trục σ) của mặt phẳng s trong trường hợp phương trình có nghiệm thực (Hình 2.7). Mối quan hệ giữa vị trí của các điểm cực và dạng của đáp ứng theo thời gian của hệ thống được thể hiện trên đồ thị của các điểm cực và điểm không. Biến đổi Laplace và phương pháp mặt phẳng s là những kỹ thuật rất có hiệu quả trong việc phân tích và thiết kế hệ thống khi trọng tâm là hiệu suất của đáp ứng nhất thời và trạng thái thường trực. Trong thực tế, vấn đề được quan tâm chủ yếu đối với các hệ thống điều khiển chính là hiệu suất của đáp ứng nhất thời và trạng thái thường trực, chính vì vậy các kỹ thuật sử dụng biến đổi Laplace có giá trị vô cùng to lớn
25
đối với chúng ta.
−2ζωn −ζωn
×
×
σ
iω
ωn
- điểm không × - điểm cực
21 ζω −ni
21 ζω −− ni
0
Hình 2.6. Đồ thị các điểm cực và điểm không của Y(s) trong mặt phẳng s
θ
ζ = 1 ζ > 1 σ
iω
ωn
iωn
−iωn
0
Hình 2.7. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi ωn không đổi
ζ > 1
ζ < 1
ζ < 1
2.5. Hàm chuyển của các hệ thống tuyến tính Hàm chuyển1 (transfer function) của một hệ thống tuyến tính được định nghĩa là tỷ số giữa biến đổi Laplace của biến ra và biến đổi Laplace của biến vào, với giả thiết tất cả các điều kiện ban đầu đều bằng không. Hàm chuyển của một hệ thống (hay một phần tử) biểu thị mối quan hệ mô tả động lực của hệ thống được quan tâm. Hàm chuyển chỉ có thể định nghĩa được cho các hệ thống tuyến tính bất biến (linear time-invariant system hay LTI) do biến đổi Laplace không sử dụng được cho các hệ thống phi tuyến hay các hệ thống biến đổi (time-varying system).
1 Thuật ngữ thường được dùng từ trước tới nay là hàm truyền. Tuy nhiên, do khái niệm chúng ta đang đề cập tới được dùng để biểu diễn các hệ thống ở đó các biến vào và ra có thể khác nhau về bản chất, từ hàm truyền được dùng ở đây không thật chính xác vì nó không phản ánh được sự chuyển hóa xảy ra trong hệ thống. Vì vậy, tác giả của giáo trình này đề nghị sử dụng thuật ngữ hàm chuyển để thay thế.
26
Thêm nữa, hàm chuyển mô tả hành vi của một hệ thống dưới dạng quan hệ vào-ra, vì vậy mô tả bằng hàm chuyển không chứa những thông tin về cấu trúc bên trong của hệ thống. Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản, được mô tả bởi phương trình (2.1), có biến đổi Laplace là phương trình (2.17). Với các điều kiện ban đầu bằng không, phương trình (2.17) trở thành: Ms2Y(s) + fsY(s) + KY(s) = F(s) (2.32) Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác định như sau:
KfsMssF
sYsG++
== 21
)()()( (2.33)
Ví dụ 2.2 Xem xét một hệ thống lò xo-vật-cản sử dụng hai vật và hai cản, và mạch điện đồng dạng với nó (Hình 2.8), dựa trên cặp đồng dạng lực-dòng điện. Vận tốc v1(t) và v2(t) của các vật trong hệ thống cơ học đồng dạng với hiệu điện thế v1(t) và v2(t) tại các điểm của mạch điện. Giả thiết các điều kiện ban đầu bằng không, chúng ta có được các phương trình của hệ thống cơ học: M1sV1(s) + (f1 + f2)V1(s) – f1V2(s) = F(s) (2.34)
0)()]()([)( 212122 =+−+
ssVKsVsVfssVM (2.35)
M2
M1
K
f1
f2
F(t)
v2(t)
v1(t)
R2 L C2 i(t)
v1(t)
C1
R1 v2(t)
Hình 2.8. Hệ thống hai vật và mạch điện hai nút đồng dạng
Để có được các phương trình của mạch điện đồng dạng, chỉ cần thay F(s) = I(s), M1 = C1, M2 = C2, R1 = 1/f1, R2 = 1/f2, và L = 1/K vào hai phương trình trên. Biến đổi để hai phương trình (2.34) và (2.35) trở thành: (M1s + f1 + f2)V1(s) – f1V2(s) = F(s) (2.36)
0)()( 21211 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++− sV
sKfsMsVf (2.37)
27
hay có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++−
−++
0)(
)()(
2
1
121
1211 sFsVsV
sKfsMf
fffsM (2.38)
Giải phương trình (2.38) cho biến ra V1(s):
2112211
121 ))((
)()()(fsKfsMffsM
sFsKfsMsV−++++
++= (2.39)
Hàm chuyển của hệ thống:
2112211
121
))(()(
)()()(
fsKfsMffsMsKfsM
sFsVsG
−++++++
== (2.40)
Ví dụ 2.3 Động cơ một chiều là một thiết bị dẫn động có chức năng làm chuyển động một tải trọng. Sơ đồ của một động cơ một chiều được biểu diễn trên Hình 2.9. Ký hiệu góc quay của trục động cơ theo thời gian là θ(t), vận tốc góc là ω(t), mômen quán tính của tải trọng là J và hệ số ma sát của tải trọng là f.
if(t)
va(t)
ia(t) Ra La
Tải trọng ω,θ
vf(t)
Rf
Lf
Hình 2.9. Sơ đồ của một động cơ một chiều
Phần ứng Phần trường
Hàm chuyển của động cơ một chiều sẽ được thiết lập cho một xấp xỉ tuyến tính của động cơ trong thực tế, bỏ qua các hiệu ứng bậc hai như trễ và sụt thế. Hiệu điện thế vào của động cơ có thể đặt vào phần trường hoặc phần ứng. Từ thông φ của phần trường trong động cơ là một đại lượng tỷ lệ với dòng điện if:
φ(t) = Kfif(t) (2.41) ở đó Kf là một hằng số. Mômen quay của trục động cơ được coi là có quan hệ tuyến tính với φ và dòng điện trong phần ứng theo công thức sau:
Tm(t) = K1φ(t)ia(t) = K1Kfif(t)ia(t) (2.42) Để hệ thống được mô tả bằng phương trình (2.42) tuyến tính, một trong hai dòng điện phải có cường độ được giữ không đổi, dòng điện còn lại có cường độ thay đổi sẽ là tín hiệu vào của hệ thống. Trước hết chúng ta sẽ xem xét động cơ điều khiển bởi dòng điện của phần trường. Trong trường hợp này, dòng điện của phần ứng có cường độ ia(t) = I không đổi. Áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình
28
(2.42), chúng ta có: Tm (s) = (K1KfI)If(s) = KmIf(s) (2.43) ở đó Km = K1KfI được gọi là hệ số của động cơ. Theo định luật Kirchhoff, mối quan hệ giữa cường độ dòng điện và hiệu điện thế của phần trường được thể hiện bằng phương trình:
dt
tdiLtiRtv f
ffff)(
)()( += (2.44)
hay dưới dạng của biến đổi Laplace:
Vf(s) = RfIf(s) + Lf[sIf(s) − if(0)] = (Rf + Lfs)If(s) (2.45) Mômen quay trên trục động cơ bao gồm mômen của tải trọng và mômen tạo bởi tác động của nhiễu: Tm(t) = TL(t) + Td(t) (2.46) trong đó mômen của tải trọng TL(t) được tính bởi công thức:
dt
tdfdt
tdJtTL)()()( 2
2 θθ+= (2.47)
Biến đổi Laplace của (2.47):
TL(s) = J[s2Θ(s) − sθ(0) − θ’(0)] + f[sΘ(s) − θ(0)] = s(Js + f)Θ(s) (2.48) Bỏ qua tác động của nhiễu, từ các phương trình (2.43), (2.46) và (2.48) chúng ta sẽ thu được:
KmIf(s) = s(Js + f)Θ(s) (2.49) Từ (2.45), chúng ta có:
sLR
sVsI
ff
ff +
=)(
)( (2.50)
Thay (2.50) vào (2.49): )())(()( sΘsLRfJsssVK fffm ++= (2.51)
Hàm chuyển của hệ thống bao gồm cả động cơ và tải trọng là:
))(()(
)()(sLRfJss
KsV
sΘsGff
m
ff ++
== (2.52)
hay:
)1)(1(
)()(
++=
sssfRK
sGLf
fmf ττ
(2.53)
ở đó τf = Lf/Rf là hệ số thời gian của phần trường của động cơ và τL = J/f là hệ số thời gian của tải trọng. Thường thì τL > τf và τf có thể bỏ qua được. Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần trường được thể hiện trong Hình 2.10,
29
với Ω(s) và Θ(s) là các biến đổi Laplace của ω(t) và θ(t). Với động cơ một chiều điều khiển bởi phần ứng, cường độ dòng điện của phần trường if(t) = I không đổi. Khi đó, mômen quay của động cơ, biểu diễn dưới dạng biến đổi Laplace sẽ là: Tm(s) = (K1KfI)Ia(s) = KmIa(s) (2.54) Quan hệ giữa Ia(s) và Va(s) được biểu diễn bằng phương trình: Va(s) = (Ra + Las)Ia(s) + Vb(s) (2.55)
sLR ff +1
Km Vf(s) If(s) Tm(s) TL(s)
Td(s)
fJs +1
Ω(s)
s1
Θ(s)
Hình 2.10. Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần trường
+
−
Chúng ta có thể thấy, khác với trường hợp của động cơ điều khiển bởi phần trường được thể hiện trong phương trình (2.45), ở đây xuất hiện thành phần Vb(s) là biến đổi Laplace của hiệu điện thế của suất phản điện động vb(t). Đại lượng này tỷ lệ với vận tốc quay của động cơ:
Vb(s) = KbΩ(s) (2.56) Kb là hệ số của suất phản điện động. Từ (2.54) và (2.56), chúng ta có công thức biểu diễn Ia(s) theo Va(s):
sLR
sΩKsVsIaa
baa +
−=
)()()( (2.57)
Tương tự như phương trình (2.49) của động cơ điều khiển bởi phần trường, chúng ta có:
KmIa(s) = s(Js + f)Θ(s) (2.58) Thay (2.57) vào (2.58):
Km[Va(s) − KbΩ(s)] = s(Js + f)(Ra + Las)Θ(s) (2.59) hay:
KmVa(s) = s(Js + f) (Ra + Las)Θ(s) + KbKmsΘ(s) (2.60) Hàm chuyển của hệ thống bao gồm cả động cơ và tải trọng là:
]))([()(
)()(mbaa
m
aa KKsLRfJss
KsVsΘsG
+++== (2.61)
Trong nhiều động cơ một chiều, hệ số thời gian của phần ứng τa = La/Ra có thể bỏ qua được. Khi đó:
30
)1(
)(])[(
)(1 ++
=++
=ss
KKfRKKKRfJss
KsG mbam
mba
ma τ
(2.62)
với τ1là hệ số thời gian của hệ thống bao gồm động cơ và tải trọng:
mba
aKKfR
JR+
=1τ (2.63)
Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần ứng được thể hiện trong Hình 2.11. Trong mô hình này, khối phản hồi Kb sinh ra do suất phản điện động của bản thân động cơ chứ không phải để sử dụng cho mục đích điều khiển, vì vậy đây vẫn là một hệ thống kiểu vòng hở.
+
Tm(s)
sLRK
aa
m+
Va(s) TL(s)
Td(s)
fJs +1
Ω(s)
s1
Θ(s)
Hình 2.11. Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần ứng
− +
Kb
−
Hàm chuyển là một khái niệm vô cùng quan trọng vì nó cung cấp cho các nhà phân tích và thiết kế mô hình toán học của các phần tử của hệ thống. Chúng ta sẽ còn được thấy giá trị của hàm chuyển trong nỗ lực nhằm mô hình hóa các hệ thống động. Phương pháp sử dụng hàm chuyển vô cùng hữu ích bởi vì đáp ứng nhất thời của hệ thống được mô tả bởi vị trí các điểm cực và điểm không của hàm chuyển trong mặt phẳng s. 2.6. Mô hình sơ đồ khối Các hệ thống động, bao gồm cả các hệ thống điều khiển tự động, được biểu diễn một cách toán học bằng các hệ phương trình vi phân. Như chúng ta đã được biết tới trong các mục trước, việc sử dụng biến đổi Laplace cho phép quy vấn đề phân tích hệ thống về việc giải các phương trình đại số tuyến tính. Bởi vì nhiệm vụ của các hệ thống điều khiển là điều khiển một số biến nhất định, các mối quan hệ tương hỗ giữa các biến được điều khiển và các biến điều khiển cần phải được xác định. Những mối quan hệ này thường được biểu diễn dưới dạng hàm chuyển của các hệ thống con, thể hiện sự liên hệ giữa các biến vào và ra. Vì vậy chúng ta có thể nhận định rằng hàm chuyển là một quan hệ quan trọng trong kỹ thuật điều khiển. Tầm quan trọng của mối quan hệ nhân-quả biểu thị bởi hàm chuyển còn được thể hiện khi chúng ta cần biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến của hệ thống dưới dạng sơ đồ. Biểu diễn sơ đồ khối của các mối quan hệ trong hệ thống được sử dụng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển. Sơ đồ khối bao gồm các khối vận hành một chiều, biểu diễn hàm chuyển của các biến được quan tâm. Chúng ta đã
31
biết đến ví dụ về sơ đồ khối ở mục trước (Hình 2.10 và 2.11), biểu diễn hàm chuyển của các phần tử của động cơ một chiều. Hàm chuyển chỉ thể hiện mối quan hệ giữa một biến vào và một biến ra. Để biểu diễn một hệ thống có nhiều biến cần được điều khiển, sơ đồ liên kết khối được sử dụng. Sơ đồ liên kết khối của một hệ thống có hai biến vào và hai biến ra được thể hiện trong Hình 2.12. Chúng ta có thể viết hệ phương trình cho các biến ra của hệ thống đó như sau:
C1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s) (2.64) C2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s) (2.65)
ở đó Gij(s) là hàm chuyển biểu diễn mối quan hệ giữa biến vào thứ j và biến ra thứ i. Một cách tổng quát, cho một hệ thống có J biến vào và I biến ra, chúng ta có thể viết hệ phương trình dưới dạng ma trận:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)(...
)()(
)(...
)()(
...
...
...
...
)(...
)()(
)(...
)()(
2
1
2
1
1
21
11
2
1
sR
sRsR
sG
sGsG
sG
sGsG
sC
sCsC
JIJ
J
J
II
(2.66)
hay: C = GR (2.67) ở đó C và R là các ma trận cột chứa I biến ra và J biến vào, còn ma trận G có kích thước I×J được gọi là ma trận hàm chuyển. Biểu diễn ma trận của mối quan hệ tương hỗ giữa nhiều biến đặc biệt có giá trị đối với các hệ thống điều khiển đa biến phức tạp.
G11(s)
G22(s)
G21(s)
G12(s)
R1(s)
R2(s)
C1(s)
C2(s)
+
+
+
+
Hình 2.12. Sơ đồ liên kết khối của một hệ thống nhiều biến
Sơ đồ khối của một hệ thống có thể rút gọn được bằng các kỹ thuật rút gọn sơ đồ khối để trở thành một sơ đồ khối đơn giản hơn với ít khối hơn sơ đồ ban đầu. Các kỹ thuật biến đối và rút gọn sơ đồ khối xuất phát từ các phép biến đổi đại số với các biến của sơ đồ. Ví dụ, với một sơ đồ khối bao gồm hai khối nối tiếp nhau như trong Hình 2.13, chúng ta có: X3(s) = G2(s)X2(s) = G2(s)G1(s)X1(s) (2.68)
32
Vì vậy, sơ đồ khối trong Hình 2.13 có thể rút gọn được thành một sơ đồ chỉ có một khối với biến vào là X1(s), biến ra là X3(s) và hàm chuyển là G1(s)G2(s).
G1(s) G2(s) X1(s) X2(s) X3(s)
Hình 2.13. Sơ đồ khối của hệ thống gồm hai khối nối tiếp
Ví dụ thứ hai là một hệ thống điều khiển phản hồi âm (Hình 2.14). Tín hiệu sai lệch được đưa vào khối G(s) là:
Ea(s) = R(s) − B(s) = R(s) − H(s)C(s) (2.69) Tín hiệu ra của hệ thống:
C(s) = G(s)Ea(s) = G(s)[R(s) − H(s)C(s)] (2.70) hay: C(s)[1 + G(s)H(s)] = G(s)R(s) (2.71)
G(s)
H(s)
R(s) C(s) Ea(s)
B(s)
+
−
Hình 2.14. Hệ thống điều khiển phản hồi âm
Vì vậy, sơ đồ khối trong Hình 2.14 có thể rút gọn được thành một sơ đồ chỉ có một khối với biến vào là R(s), biến ra là C(s) và hàm chuyển là:
)()(1
)()()(
sHsGsG
sRsC
+= (2.72)
Hàm chuyển vòng kín (2.72) rất quan trọng vì nó sẽ được sử dụng rất nhiều trong các hệ thống điều khiển trong thực tế. Một số phép biến đổi sơ đồ khối thường dùng được giới thiệu trong bảng dưới đây. Phân tích hệ thống bằng phương pháp rút gọn sơ đồ khối giúp ta hiểu rõ hơn vai trò của mỗi phần tử trong hệ thống, so với việc rút gọn bằng cách biến đổi các phương trình.
Bảng 2.2. Một số phép biến đổi sơ đồ khối
Tên phép biến đổi Sơ đồ ban đầu Sơ đồ tương đương
Kết hợp các khối nối tiếp
G1(s) G2(s)X1(s) X2(s) X3(s)
G1(s)G2(s) X1(s) X3(s)
33
Chuyển điểm cộng tín hiệu ra sau khối
G(s) X1(s) X3(s)+ ±
X2(s)
G(s) X1(s) X3(s)
+ ±
X2(s) G(s)
Chuyển điểm chia tín hiệu ra trước khối
G(s) X1(s) X2(s)
X2(s)
G(s) X1(s) X2(s)
G(s) X2(s)
Chuyển điểm chia tín hiệu ra sau khối
G(s) X1(s) X2(s)
X1(s)
G(s) X1(s) X2(s)
X1(s) 1/G(s)
Chuyển điểm cộng tín hiệu ra trước khối
G(s) X1(s) X3(s)+ ±
X2(s)
G(s) X1(s) X3(s)
+ ±
X2(s)1/G(s)
Loại bỏ vòng phản hồi
G(s) X1(s)
+ ±
X2(s)
H(s)
)()(1)(
sHsGsG
m X1(s) X2(s)
Ví dụ 2.4 Hình 2.15 là sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng. Các bước được thực hiện để rút gọn sơ đồ này được thể hiện trong Hình 2.16a−d.
G1 G2 G3 G4
H1
H2
H3
+
−
+
+
+ −
R(s) C(s)
Hình 2.15. Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng
Biểu diễn các hệ thống điều khiển phản hồi bằng sơ đồ khối là một phương pháp rất có giá trị và được sử dụng rộng rãi. Sơ đồ khối cung cấp cho chúng ta hình ảnh trực quan của các mối quan hệ tương hỗ giữa các biến được điều khiển
34
và các biến vào của hệ thống. Hơn nữa, việc sử dụng sơ đồ khối cho phép chúng ta hình dung được các khả năng sửa đổi sơ đồ khối bằng cách thêm các khối vào sơ đồ đang có nhằm làm thay đổi và tăng hiệu suất của hệ thống.
G1 G2 G3 G4
H1
H2/G4
H3
+
−
+
+
+−
R(s) C(s)
(a)
G1 G2 143
43
1 HGGGG
−
H2/G4
H3
+
−
+−
R(s) C(s)
(b)
G1 232143
4321 HGGHGG
GGG+−
H3
+
−
R(s) C(s)
(c)
34321232143
43211 HGGGGHGGHGG
GGGG++−
R(s) C(s)
(d) Hình 2.16(a) − (d). Các bước rút gọn sơ đồ khối của hệ thống điều khiển phản
hồi nhiều vòng trong Hình 2.15
2.7. Mô hình lưu đồ tín hiệu Các mô hình sơ đồ khối đủ để biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến cần điều khiển và các biến vào của hệ thống. Tuy nhiên, với các hệ thống tương đối phức tạp, việc thực hiện thủ tục rút gọn sơ đồ khối khá là rắc rối và thường rất khó hoàn thành trọn vẹn. Một lựa chọn khác cho việc xác định mối quan hệ giữa các
35
biến của hệ thống là phương pháp biểu diễn hệ thống bằng đồ thị, được phát triển bởi Mason và được gọi là phương pháp lưu đồ tín hiệu. Điểm mạnh của phương pháp này là ở công thức tính gia lượng (gain) của lưu đồ, cho phép xác định quan hệ giữa các biến hệ thống mà không cần tới việc rút gọn hay biến đổi lưu đồ. Việc chuyển đổi từ dạng biểu diễn sơ đồ khối sang dạng đồ thị khá đơn giản. Lưu đồ tín hiệu (signal-flow graph) là một đồ thị có nhiều nút được nối với nhau bởi các nhánh có hướng nhằm biểu diễn một tập hợp các quan hệ tuyến tính. Lưu đồ tín hiệu đặc biệt hữu ích cho các hệ thống điều khiển phản hồi bởi vì mối quan tâm chủ yếu của lý thuyết phản hồi là sự lưu chuyển và xử lý tín hiệu trong các hệ thống. Phần tử cơ sở của một lưu đồ tín hiệu là một đoạn đơn hướng được gọi là nhánh (branch), biểu thị sự phụ thuộc giữa một biến vào và một biến ra, tương tự như một khối trong sơ đồ khối. Các điểm vào và ra hay các điểm chuyển tiếp được gọi là các nút (node). Một lưu đồ tương đương với sơ đồ khối trong Hình 2.12 được thể hiện trong Hình 2.17. Tất cả các nhánh xuất phát từ một nút sẽ chuyển tín hiệu của nút đó tới nút ra của mỗi nhánh. Tín hiệu tại mỗi nút, trừ các nút tín hiệu vào, là tổng của tín hiệu do tất cả các nhánh đi vào nút đó mang tới. Một đường dẫn (path) là một nhánh hay một chuỗi liên tiếp các nhánh theo đó có thể đi từ một nút (tín hiệu) tới một nút (tín hiệu) khác. Một vòng (loop) là một đường dẫn đóng kín xuất phát và kết thúc tại cùng một nút và trên đường dẫn đó không có nút nào được đi qua hơn một lần.
R1(s)
R2(s)
C1(s)
C2(s)
G11(s)
G22(s)
G21(s)
G12(s)
Hình 2.17. Đồ thị dòng tín hiệu của một hệ thống liên kết
Lưu đồ chính là một phương pháp trực quan để biểu diễn các hệ phương trình đại số, nhằm thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến. Để làm ví dụ, xem xét hệ phương trình đại số sau đây:
a11x1 + a12x2 + r1 = x1 (2.73) a21x1 + a22x2 + r2 = x2 (2.74)
ở đó r1, r2 là các biến vào và x1, x2 là các biến ra. Lưu đồ biểu diễn hệ phương trình trên được thể hiện trong Hình 2.18. Viết lại hệ phương trình dưới dạng:
(1 − a11)x1 + (−a12)x2 = r1 (2.75) (−a21)x1 + (1 − a22)x2 = r2 (2.76)
Nghiệm của hệ phương trình:
212
122
21122211
2121221
1)1)(1(
)1( raraaaaa
rarax∆
+∆
−=
−−−+−
= (2.77)
36
211
121
21122211
1212112
1)1)(1(
)1( raraaaaa
rarax∆−
+∆
=−−−
+−= (2.78)
ở đó ∆ là định thức của hệ phương trình (2.75)(2.76) và được tính như sau:
∆ = (1 − a11) (1 − a22) − a12a21 = 1 − (a11 + a22 + a12a21) + a11a22 (2.79) Trong lưu đồ ở Hình 2.18 có tất cả ba vòng: a11, a22 và a12 a21, ở đó a11 và a22 được gọi là các vòng không cắt nhau bởi chúng không có nút nào chung.
r1
r2
1
1
x1
x2
a11
a22
a21 a12
Hình 2.18. Lưu đồ của một hệ phương trình đại số
Trường hợp tổng quát, sự phụ thuộc tuyến tính Tij giữa một biến độc lập ri (thường được gọi là biến vào) với một biến phụ thuộc xj được xác định bằng quy tắc vòng của Mason:
∆
∆
=∑
kijij
ij
kkP
T (2.80)
ở đó:
− Pijk: gia lượng của đường dẫn thứ k từ nút ri đến nút xj trong lưu đồ, được
tính bằng tích các gia lượng (hay hàm chuyển) của tất cả các nhánh của đường dẫn đó
− ∆: định thức của lưu đồ − ∆ijk
: định thức của lưu đồ sau khi đã loại trừ các vòng cắt với đường dẫn thứ k từ nút ri đến nút xj
Phần tổng trong công thức (2.80) bao gồm tất cả các đường dẫn có thể từ nút ri đến nút xj. Giả sử lưu đồ có tất cả N vòng với gia lượng của các vòng là L1, L2,..., LN, định thức của lưu đồ khi đó sẽ được tính như sau:
∑=
−=∆N
iiL
1
1
+ ΣLiLj | 2 vòng i và j không cắt nhau
− ΣLiLjLk | 3 vòng i, j và k đôi một không cắt nhau
+ ...
37
Ví dụ 2.5 Quay lại ví dụ 2.4, lưu đồ tín hiệu của hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng trong ví dụ đó được thể hiện trong Hình 2.19. Lưu đồ có ba vòng với gia lượng của các vòng lần lượt là L1 = −G2G3H2, L2 = G3G4H1 và L3 = −G1G2G3G4H3. Từng đôi một trong cả ba vòng này đều cắt nhau. Vì vậy, chúng ta tính được định thức của lưu đồ như sau:
∆ = 1 − (−G2G3H2 + G3G4H1 −G1G2G3G4H3) = 1 + G2G3H2 − G3G4H1 + G1G2G3G4H3 (2.81)
R(s) C(s) 1 G1 G2 G3 G4
H1
−H2
−H3
1 1
Hình 2.19. Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng
Đường dẫn duy nhất từ R(s) đến C(s) trong lưu đồ có gia lượng là: P1 = G1G2G3G4 (2.82) Do đường dẫn này cắt cả ba vòng của lưu đồ, khi loại bỏ ba vòng này lưu đồ sẽ không còn vòng nào, vì vậy ∆1 = 1. Từ đó, chúng ta tính được hàm chuyển của hệ thống:
34321143232
4321111)(
)()(HGGGGHGGHGG
GGGGPsRsCsT
+−+=
∆∆
== (2.83)
Lưu đồ tín hiệu và công thức tính gia lượng của lưu đồ có thể sử dụng được trong việc phân tích các hệ thống điều khiển phản hồi, máy tính tương tự, các mạch khuyếch đại, các hệ thống thống kê, các hệ thống cơ học, và nhiều ứng dụng khác nữa. Bài tập
Bài 2.1. Một nhiệt điện trở có đáp ứng với nhiệt độ là R = R0e−0,1T, ở đó giá trị điện trở R0 = 10.000Ω, R là điện trở (Ω) và T là nhiệt độ (oC). Xác định mô hình tuyến tính của nhiệt điện trở tại T = 20oC cho một khoảng thay đổi nhỏ của nhiệt độ. Bài 2.2. Một máy in laser có vị trí của đầu laser được điều khiển bởi một tín hiệu vào r(t). Biến đổi Laplace của phương trình biểu diễn quan hệ giữa r(t) và vị trí y(t) của đầu laser là:
)(50060
)100(500)( 2 sRss
ssY++
+=
(a) Xác định đáp ứng y(t) của hệ thống khi tín hiệu vào r(t) là hàm nhảy bậc đơn vị (r(t) = 0 khi t < 0 và r(t) = 1 khi t ≥ 0).
38
(b) Xác định giá trị cuối cùng (trạng thái thường trực) của y(t) trong trường hợp (a).
Bài 2.3. Một mạch lọc có tác dụng lọc các thành phần có tần số cao (hình vẽ dưới). Xác định hàm chuyển V2(s)/V1(s).
v1(t) v2(t) C1 L C2
Bài 2.4. Một thiết bị phi tuyến được biểu diễn bằng phương trình y = f(x) = x . Điểm làm việc của thiết bị là tại x0 = 0,5. Xác định xấp xỉ tuyến tính của thiết bị. Bài 2.5. Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hoạt động của mạch điện trong hình vẽ dưới.
~ v(t)
R1
R2
C1
L1
L2
C2 i1(t) i2(t)
Bài 2.6. Một hệ thống chống rung được thể hiện trong hình vẽ dưới. Khối lượng của vật M2 và hệ số đàn hồi của lò xo K2 được chọn sao cho vật có khối lượng M1 sẽ không di chuyển nếu lực F(t) = αsinωot.
(a) Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hệ thống. (b) Vẽ mạch điện đồng dạng với hệ thống này, dựa trên cặp đồng dạng lực-
dòng điện.
39
F(t) K1
K2
M1
M2
f
y1(t)
y2(t)
Bài 2.7. Một bộ khuyếch đại phi tuyến có đặc tính được mô tả như sau:
⎩⎨⎧
<−≥
=0 khi
0 khi )(vào
2vào
vào2vào
ra vvvvtv
Bộ khuyếch đại hoạt động trong khoảng ±0,5V quanh điểm làm việc. Mô tả bộ khuyếch đại bằng một xấp xỉ tuyến tính khi điểm làm việc là vvào = 0V và khi điểm làm việc là vvào = 1V. Bài 2.8. Sử dụng biến đổi Laplace để tính I2(s) trong bài 2.5, với giả thiết v(t) = 0, i1(0) = 0, i2(0) = 0, hiệu điện thế ban đầu trên tụ C1 bằng không và hiệu điện thế ban đầu trên tụ C2 bằng 10V. Bài 2.9. Xác định hàm chuyển của mạch vi phân trong hình vẽ dưới
v1(t) v2(t) C
R1
R2
Bài 2.10. Cường độ ánh sáng của một bóng đèn được giữ không đổi nhờ sử dụng một vòng phản hồi điều khiển bằng transitor quang. Lưu đồ của hệ thống được thể hiện trong hình vẽ dưới, ở đó I(s) là cường độ ánh sáng của đèn và R(s) là mức ánh sáng mong muốn. Tính hàm chuyển I(s)/R(s).
40
R(s) I(s)
1 G1(s) G2(s)
−H(s)
Bài 2.11. Một hệ thống phanh chống bó cứng cho bốn bánh của ô tô sử dụng phản hồi điện tử để tự động điều khiển lực phanh trên mỗi bánh. Lưu đồ đơn giản của hệ thống được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó Ff(s) và Fr(s) là lực phanh trên các bánh trước và sau, còn R(s) là đáp ứng mong muốn của xe trên đường trơn trượt. Xác định Ff(s)/R(s).
R(s)
Ff(s)
Fr(s)
1 G1(s) G2(s)
G3(s)
−H1(s)
−H2(s)
Bài 2.12. Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống lái tàu thủy được thể hiện trong hình vẽ dưới, ở đó C(s) là hướng đi thực sự của tàu, R(s) là hướng đi mong muốn và A(s) là góc quay của bánh lái. Xác định hàm chuyển C(s)/R(s).
R(s) C(s)A(s)
1 K 1 G1(s) G2(s)
−H2(s)
−H3(s)
−H1(s)
−1
1/s
Bài 2.13. Một hệ thống giảm xóc chủ động cho xe chạy trên những địa hình phức tạp sử dụng một cảm biến có khả năng nhận biết được điều kiện đường xá ở phía trước. Hệ thống có khả năng chủ động thích ứng để xe không bị nảy khi xe đi vào
những chỗ gồ ghề. Sơ đồ khối của hệ thống được biểu diễn trong hình vẽ dưới. Xác định K1 phù hợp để xe không bị xóc (độ nảy mong muốn R(s) = 0).
41
K1
K2 G(s) Độ nảy mong muốn R(s)
Độ nảy thực sự
C(s)
Động lực của xe
Trở ngại trên đường D(s)
Cảm nhận trở ngại trên đường
+ −
− +
+
Bài 2.14. Một mạch cầu T có hàm chuyển như sau:
222121
22211
vào
ra
)2(121
)()(
sCRRCsRRsCRRCsR
sVsV
+++
++=
Vẽ đồ thị các điểm cực và điểm không khi R1 = 0,5; R2 = 1 và C = 0,5. Bài 2.15. Amplidyne là một thiết bị khuyếch đại công suất có hệ số khuyếch đại cực lớn (hình vẽ dưới), có hàm chuyển là:
)1)(1()(
)()(
++=
qc
qc
c
dssRRK
sVsV
ττ
ở đó, K là một hằng số, τc = Lc/Lc và τq = Lq/Lq.
vc Lc
Rc
ic
iq Rq
Lq
id
Ld
vd
Rd
Một hệ thống điều khiển động cơ sử dụng amplidyne được thể hiện trong hình vẽ dưới. Xác định hàm chuyển Θ(s)/Vc(s) và vẽ sơ đồ khối của hệ thống.
42
vc Lc
Rc
ic
iq Rq
Lq
id
Ld
if = I
Rd Ra
La
J, f
θ
Bài 2.16. Một động cơ một chiều điều khiển bởi phần trường (ia = I không đổi) được biểu diễn trong hình vẽ dưới. Chuyển động của trục động cơ được truyền tới trục của tải trọng bằng cơ cấu khớp bánh răng có hệ số truyền là n = N1/N2. Mômen quán tính và hệ số ma sát của trục động cơ là Jm và fm. Mômen quán tính và hệ số ma sát của tải trọng là là JL và fL. Tính hàm chuyển của hệ thống θL(s)/Vf(s).
if
ia
va
Ra La
Tải trọng
vf
Rf
Lf
ωL, θL
JL, fL
Jm, fm N1 N2
Bài 2.17. Xem xét một hệ thống bao gồm một động cơ một chiều điều khiển bởi phần trường và tải trọng. Thời gian để tốc độ quay của tải trọng đạt được 1rad/s là 0,5s khi đưa một hiệu điện thế đầu vào không đổi là 100V. Tốc độ của tải trọng khi hệ thống đạt tới trạng thái thường trực là 2rad/s. Xác định hàm chuyển của hệ thống θ(s)/Vf(s), với giả thiết hệ số thời gian của phần trường của động cơ có thể bỏ qua được. Bài 2.18. Một hệ phương trình đại số được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
43
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
140
01
1
203
xxx
xxx
Vẽ lưu đồ tín hiệu của hệ phương trình và tính định thức của hệ thống bằng quy tắc vòng của Mason. Bài 2.19. Thiết lập lưu đồ tín hiệu cho hệ phương trình sau, ở đó x1, x2 là các biến phụ thuộc và hai giá trị 8 và 13 là các giá trị vào:
x1 + 2 x2 = 8 2x1 + 3x2 = 13
Tính giá trị của các biến phụ thuộc bằng quy tắc vòng của Mason. Bài 2.20. Một mạch điện được mô tả bằng hệ phương trình sau đây:
i1 = (v1 − va)L1 ia = (va − v2)L2 va = (i1 − ia)C1 v2 = iaC2
ở đó v1 là biến vào, v2 là biến ra, còn i1, ia và va là các biến phụ thuộc khác. Thiết lập lưu đồ của hệ và xác định hàm chuyển V2(s)/V1(s). Bài 2.21. Lưu đồ tín hiệu của một mạch khuyếch đại thuật toán không đảo được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó k = (R1 + Rf)/R1. Tính hệ số khuyếch đại của mạch vra/vvào.
evào vvào vra 1 A
−k
Bài 2.22. Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống điều khiển với hai biến vào và hai biến ra được thể hiện trên hình vẽ dưới. Xác định C1(s)/R1(s) và C2(s)/R1(s) khi R2(s) bằng không.
R1
R2
C1
C2
1
1
G1 G2
G3 G4
G5 G6
−H1
H2
44
Chương III
CÁC MÔ HÌNH BIẾN TRẠNG THÁI
Tóm tắt nội dung Chúng ta đã dùng biến đổi Laplace để mô tả hoạt động của các hệ thống phản hồi. Tuy nhiên, cần phải nhớ rằng đáp ứng của hệ thống theo thời gian mới thực sự là vấn đề được quan tâm chủ yếu. Chương này sẽ đề cập tới một phương pháp phân tích hệ thống ngay trong miền thời gian. Các phương trình vi phân mô tả một hệ thống điều khiển sẽ được xem xét và một dạng phương trình thích hợp được chọn. Một tập các biến trạng thái được sử dụng để biến đổi các phương trình vi phân thành hệ phương trình vi phân bậc nhất. Các phương pháp tính toán ma trận sẽ được sử dụng để xác định đáp ứng theo thời gian của một hệ thống điều khiển. Những phương pháp tính toán ma trận trong miền thời gian cho phép chúng ta dễ dàng xây dựng giải thuật để giải các bài toán này bằng máy tính. Một ưu điểm của mô hình biến trạng thái là nó cho phép mô hình hóa cả các hệ thống phi tuyến, là điều mà các mô hình dựa trên biến đổi Laplace không thể làm được. Mặc dù việc phân tích các hệ thống phi tuyến không nằm trong phạm vi của cuốn sách này, chúng ta vẫn sẽ đưa ra một phương pháp đơn giản cho phép tính toán đáp ứng theo thời gian của một hệ thống phi tuyến nhằm minh họa cho sự ưu việt nói trên của mô hình biến trạng thái, đó là phương pháp xấp xỉ theo thời gian rời rạc. 3.1. Giới thiệu Trong chương trước, chúng ta đã nghiên cứu việc sử dụng biến đổi Laplace để biến các phương trình vi phân mô tả hệ thống thành phương trình đại số của một biến phức s. Chúng ta có thể dễ dàng giải các phương trình đại số này để thu được hàm chuyển biểu diễn mối quan hệ giữa biến vào và biến ra của hệ thống. Các phương pháp trong miền tần số đã và vẫn sẽ là những công cụ vô cùng quan trọng trong kỹ thuật điều khiển. Tuy nhiên, những hạn chế của các phương pháp trong miền tần số đòi hỏi chúng ta phải xem xét các phương pháp giải phương trình vi phân biểu diễn hệ thống trong miền thời gian. Như chúng ta đã biết, các kỹ thuật trong miền tần số thường chỉ áp dụng cho các hệ thống tuyến tính có tham số bất biến theo thời gian. Thêm nữa, khả năng áp dụng các kỹ thuật này cho các hệ thống đa biến cũng rất hạn chế bởi vì hàm chuyển chỉ biểu thị mối quan hệ của một cặp biến vào-ra. Ngược lại, các kỹ thuật trong miền thời gian có thể sử dụng được cho các hệ thống phi tuyến, các hệ thống biến đổi hay các hệ thống đa biến. Ví dụ về một hệ thống biến đổi là một quả tên lửa, với trọng lượng là một tham số thay đổi do nhiêu liệu bị đốt cháy trong khi bay. Ví dụ về các hệ thống phi tuyến hay đa biến cũng rất nhiều, vì phần lớn các hệ thống điều khiển trong thực tế là các hệ thống phi tuyến và đa biến. Miền thời gian bao gồm cả đáp ứng và mô tả của một hệ thống theo đại lượng
45
thời gian, t. Biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển là cơ sở của lý thuyết điều khiển hiện đại và tối ưu hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ phân tích biểu diễn trong miền thời gian của các hệ thống điều khiển và các phương pháp xác định đáp ứng theo thời gian của hệ thống. 3.2. Biến trạng thái của một hệ thống động Phương pháp phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển trong miền thời gian sử dụng khái niệm trạng thái của hệ thống. Trong một hệ thống động, trạng thái (state) của hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái (state variables) x1(t), x2(t),..., xn(t). Các biến trạng thái là những biến quyết định hành vi của hệ thống trong trong tương lai khi trạng thái hiện thời của hệ thống và các tín hiệu vào đã được biết. Với một hệ thống như vậy, cho biết các tín hiệu vào và giá trị khởi đầu của các biến trạng thái tại thời điểm t0 là x1(t0), x2(t0),..., xn(t0), chúng ta có thể xác định giá trị của các tín hiệu ra và các biến trạng thái tại bất cứ thời điểm nào trong tương lai. Một ví dụ đơn giản về biến trạng thái là trạng thái của một công tắc ON/OFF. Công tắc có thể ở vị trí ON hoặc OFF nên giá trị của biến trạng thái của công tắc tại mỗi thời điểm sẽ là một trong hai giá trị này. Nếu công tắc đang ở trạng thái OFF và có một tín hiệu vào (nhấn công tắc) thì trạng thái tiếp theo của công tắc sẽ là ON và ngược lại. Xem xét lại ví dụ về hệ thống lò xo-vật-cản trong Hình 2.1, được mô tả bằng phương trình (2.1). Để mô tả hệ thống này bằng phương pháp biến trạng thái, chúng ta chọn hai biến trạng thái là vị trí và vận tốc của vật. Sử dụng hai biến trạng thái x1 và x2: x1(t) = y(t) và x2(t) = dy(t)/dt, phương trình (2.1) có thể viết lại như sau:
)()()()(12
2 tFtKxtfxdt
tdxM =++ (3.1)
Do vậy, chúng ta có thể biến đổi phương trình vi phân bậc hai (2.1) thành một hệ hai phương trình vi phân bậc nhất:
)(1
122
21
tFM
xMKx
Mf
dtdx
xdt
dx
+−−=
= (3.2)
Hệ phương trình vi phân này mô tả hành vi của hệ thống bằng tốc độ thay đổi của hai biến trạng thái. Ví dụ thứ hai là một mạch RLC (Hình 3.1). Trạng thái của hệ thống có thể mô tả được bằng hai biến x1 và x2, ở đó x1 là hiệu điện thế vc(t) trên tụ điện và x2 bằng cường độ iL(t) của dòng điện đi qua cuộn cảm. Sự lựa chọn các biến trạng thái này dựa trên việc chúng là hai đại lượng được dùng để xác định năng lượng tích trong mạch:
2
22cL CvLi
E+
= (3.3)
46
Vì vậy, x1(t0) và x2(t0) đại diện cho năng lượng tổng cộng của mạng, nghĩa là trạng thái của mạng, tại thời điểm t = t0. Trong một mạng RLC thụ động, số biến trạng thái cần phải bằng số lượng các phần tử tích năng lượng trong mạch. Áp dụng các định luật Kirchhoff cho dòng điện và hiệu điện thế, chúng ta có được các phương trình sau đây:
dt
dvCi cc = (3.4)
và:
LcL Riv
dtdiL −= (3.5)
R
L
C i(t) vra
Hình 3.1. Một mạch RLC
vc
ic
iL
Dòng điện sinh ra bởi nguồn dòng rẽ thành hai nhánh trong mạch: i(t) = ic + iL (3.6) Từ các phương trình (3.4), (3.5) và (3.6), chúng ta thiết lập được hai phương trình vi phân bậc nhất với hai biến trạng thái x1 và x2:
)(112
1 tiC
xCdt
dx+−= (3.7)
212 1 x
LRx
Ldtdx
−= (3.8)
Tín hiệu ra của hệ thống: vra(t) = RiL = Rx2 (3.9) Sử dụng các phương trình (3.7), (3.8), (3.9) và các điều kiện ban đầu x1(t0) và x2(t0), chúng ta có thể xác định hành vi của hệ thống trong tương lai cũng như tín hiệu ra của nó. Tập hợp các biến trạng thái được chọn không phải là một tập hợp duy nhất, mà chúng ta có thể có nhiều lựa chọn khác nhau. Trong ví dụ trên, bất kỳ hai tổ hợp tuyến tính nào của x1(t) và x2(t) độc lập với nhau đều có thể là cặp biến trạng thái của hệ thống. Trong thực tế, người ta thường chọn các biến trạng thái là những biến có thể đo đạc được một cách dễ dàng. Một phương pháp khác để xây dựng mô hình của một hệ thống là sử dụng đồ thị liên kết. Đồ thị liên kết có thể sử dụng được cho các hệ thống điện, cơ, thủy lực, nhiệt... cũng như các hệ thống kết hợp nhiều loại phần tử khác nhau. Đồ thị
47
liên kết sẽ sinh ra hệ phương trình dưới dạng biến trạng thái. Các biến trạng thái của một hệ thống đặc trưng cho hoạt động của hệ thống đó. Mối quan tâm chính của chúng ta là các hệ thống vật lý, trong đó các biến là hiệu điện thế, cường độ dòng điện, vận tốc, vị trí, áp suất, nhiệt độ và các đại lượng vật lý tương tự. Tuy nhiên, khái niệm trạng thái của hệ thống không bị giới hạn cho các hệ thống vật lý mà còn đặc biệt hữu ích cho việc phân tích các hệ thống sinh học, xã hội, kinh tế và chính trị. Với những hệ thống đó, khái niệm trạng thái vượt ra khỏi khái niệm năng lượng của hệ thống vật lý, trở thành những khái niệm rộng lớn hơn, cho phép chúng ta dự báo được hoạt động của hệ thống trong tương lai. 3.3. Phương trình vi phân của vector trạng thái Trạng thái của một hệ thống tuyến tính mô tả được bởi một tập hợp các phương trình vi phân bậc nhất của các biến trạng thái x1, x2,..., xN. Các phương trình vi phân này có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
dx1/dt = a11x1 + a12x2 + ... + a1NxN + b11u1 + b12u2 + ... + b1MuM dx2/dt = a21x1 + a22x2 + ... + a2NxN + b21u1 + b22u2 + ... + b2MuM ... (3.10) dxN/dt = aN1x1 + aN2x2 + ... + aNNxN + bN1u1 + bN2u2 + ... + bNMuM
Hệ phương trình vi (3.10) có thể viết dưới dạng ma trận:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
MNMNN
M
M
NNNNN
n
N
n u
uu
bbb
bbbbbb
x
xx
aaa
aaaaaa
x
xx
dtd
......
.........
......
.........
...2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
2
1
(3.11)
hay:
BuAxx+=
dtd (3.12)
ở đó x là vector trạng thái (state vector):
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
Nx
xx
...2
1
x (3.13)
u là vector của các biến vào:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
Mu
uu
...2
1
u (3.14)
Ma trận A có kích thước N×N và ma trận B có kích thước N×M là các ma trận hệ
48
số, với M là số biến vào của hệ thống và N là số biến trạng thái. Phương trình vi phân của vector trạng thái (state vector differential equation) thể hiện mối quan hệ giữa tốc độ thay đổi của các biến trạng thái với trạng thái của hệ thống và các tín hiệu vào. Các tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính có thể xác định được từ các biến trạng thái và các tín hiệu vào dưới dạng tổng quát như sau: y = Cx + Du (3.15) ở đó y là vector biểu diễn các tín hiệu ra của hệ thống, C là một ma trận hệ số có kích thước K×N và D là một ma trận hệ số có kích thước K×M, với K là số biến ra của hệ thống. Để giải phương trình vi phân của vector trạng thái, trước hết chúng ta xem xét trường hợp đơn giản với một biến vào và một biến trạng thái:
)()( tbutaxdtdx
+= (3.16)
Biến đổi Laplace của phương trình (3.16):
sX(s) − x(0) = aX(s) + bU(s) (3.17) hay:
)()0()( sUas
bas
xsX−
+−
= (3.18)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của phương trình (3.18), chúng ta có được biến trạng thái x(t):
∫ −+=t
taat dbuexetx0
)( )()0()( τττ (3.19)
Nghiệm của phương trình tổng quát (3.12) cũng có dạng tương tự:
∫ −+=t
tt deet0
)( )()0()( τττ Buxx ΑA (3.20)
trong đó hàm eAt được định nghĩa như sau:
∑∞
=
+=1 !i
iit
ite AIA (3.21)
I là ma trận đơn vị có kích thước bằng kích thước của ma trận A. Hàm ma trận Φ(t) = eAt được gọi là ma trận cơ sở (fundamental matrix) hay ma trận chuyển tiếp (transition matrix) của hệ thống. Chúng ta có thể viết lại phương trình (3.20) dưới dạng như sau:
∫ −+=t
dttt0
)()()0()()( τττ BuΦxΦx (3.22)
49
Tính Φ(t) theo công thức (3.21) khá phức tạp nếu không có máy tính, vì vậy chúng ta sẽ tìm hiểu một phương pháp tính ma trận này một cách đơn giản hơn. Nếu tất cả các biến vào của hệ thống đều bằng không, nghĩa là u(t) = 0, phương trình (3.22) trở thành:
x(t) = Φ(t)x(0) (3.23)
Khi đó, phần tử φij(t) của ma trận Φ(t) chính là đáp ứng của trạng thái xi(t) khi tất cả các giá trị khởi đầu của các biến trạng thái đều bằng không, trừ xj(0) được đặt bằng một, có nghĩa là:
φij(t) = xi(t)|xj(0) = 1,∀k≠j: xk(0) = 0 (3.24)
Để làm ví dụ, lấy hệ thống biểu diễn trong Hình 3.1, với giá trị của các tham số như sau: R = 3, L = 1 và C = 0,5. Các phương trình vi phân của các biến trạng thái của hệ thống là (3.7) và (3.8). Để tính ma trận Φ(t) của hệ thống, trước hết chúng ta cho cho biến vào i(t) = 0 và thực hiện biến đổi Laplace cho hai phương trình để thu được các phương trình sau:
)(2)(1)0()( 2211 sXsXC
xssX −=−=− (3.25)
)(3)()()(1)0()( 212122 sXsXsXLRsX
LxssX −=−=− (3.26)
Theo công thức (3.24), để tính φ11(t) và φ21(t) cần phải đặt x1(0) = 1 và x2(0) = 0. Khi đó, (3.25) và (3.26) trở thành: sX1(s) + 2X2(s) = x1(0) = 1 (3.27) X1(s) − (s + 3)X2(s) = 0 (3.28) Giải hệ hai phương trình trên chúng ta thu được:
)2)(1(3)(1 ++
+=
ssssX (3.29)
)2)(1(1)(2 ++
=ss
sX (3.30)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của hai hàm trên, chúng ta sẽ có được φ11(t) và φ21(t):
tt eetxt 2111 2)()( −− −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+==
2)1)(s(s3sLφ (3.31)
tt eetxt 2221
1)()( −− −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
==2)1)(s(s
Lφ (3.32)
Để tính φ12(t) và φ22(t) chúng ta cần đặt x1(0) = 0 và x2(0) = 1. Khi đó, (3.25) và (3.26) trở thành: sX1(s) + 2X2(s) = 0 (3.33) X1(s) − (s + 3)X2(s) = −x2(0) = −1 (3.34)
50
Giải hệ hai phương trình trên chúng ta thu được:
)2)(1(2)(1 ++
−=
sssX (3.35)
)2)(1()(2 ++=
ssssX (3.36)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của hai hàm trên, chúng ta sẽ có được φ12(t) và φ22(t):
tt eetxt 2112 222)()( −− +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−==
2)1)(s(sLφ (3.37)
tt eestxt 2222 2)()( −− +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
==2)1)(s(s
Lφ (3.38)
Chúng ta có được hàm ma trận Φ(t):
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−+−−= −−−−
−−−−
)2()()22()2()( 22
22
tttt
tttt
eeeeeeeetΦ (3.39)
3.4. Đáp ứng theo thời gian rời rạc Đáp ứng của một hệ thống biểu diễn bởi một phương trình vi phân của vector trạng thái có thể được xác định bằng một xấp xỉ theo thời gian rời rạc (discrete-time approximation). Để có được xấp xỉ đó, chúng ta cần xác định giá trị các biến trạng thái tại các thời điểm t = 0, T, 2T, 3T, 4T... Từ định nghĩa của đạo hàm:
t
tttdt
tdt ∆
−∆+=
→∆
)()(lim)(0
xxx (3.40)
chúng ta có thể xấp xỉ đạo hàm của x(t) bằng công thức sau:
T
tTtdt
td )()()( xxx −+= (3.41)
nếu T là một giá trị rất nhỏ. Thay vào phương trình (3.12), chúng ta có:
BuAxxx+=
−+T
tTt )()( (3.42)
hay: x(t + T) = TAx(t) + x(t) + TBu(t) = (TA + I)x(t) + TBu(t) (3.43) Nếu giá trị khởi đầu x(0) đã biết, chúng ta có thể xác định giá trị của vector trạng thái x(t) tại các thời điểm t = T, 2T, 3T, 4T... bằng công thức đệ quy: x[(k + 1)T] = (TA + I)x(kT) + TBu(kT) (3.44) Phương pháp xấp xỉ theo thời gian rời rạc đặc biệt hữu ích đối với các hệ thống phi tuyến, khi chúng ta không thể giải phương trình bằng cách sử dụng ma
51
trận chuyển tiếp như đã trình bày ở mục trước. Trường hợp tổng quát nhất, hệ thống được biểu diễn ở dạng sau:
),,( tdtd uxfx
= (3.45)
Sử dụng xấp xỉ (3.41), chúng ta có:
]),(),([)()( tttT
tTt uxfxx=
−+ (3.46)
hay: x(t + T) = x(t) + Tf[x(t), u(t), t] (3.48) Đặt t = kT, chúng ta có được công thức đệ quy: x[(k + 1)T] = x(kT) + Tf[x(kT), u(kT), kT] (3.49) Đối với các hệ thống phi tuyến, sử dụng xấp xỉ theo thời gian rời rạc là một phương pháp thích hợp và dễ thực hiện, vì vậy vai trò của phương pháp này ngày càng lớn kể từ khi máy tính được sử dụng trong các hệ thống điều khiển. Bài tập Bài 3.1. Một hệ thống tay máy một khớp được biểu diễn bằng phương trình vi phân sau đây:
dv(t)/dt = −k1v(t) − k2y(t) + k3i(t) ở đó v(t) là vận tốc, y(t) là vị trí và i(t) là cường độ dòng điều khiển động cơ. Biểu diễn phương trình trạng thái của hệ thống dưới dạng ma trận. Bài 3.2. Một hệ thống có ma trận A của phương trình vi phân của vector trạng thái được cho như sau:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0010
A
(a) Xác định ma trận Φ(t) (b) Cho giá trị khởi đầu của các biến trạng thái là x1(0) = x2(0) = 1, xác định
x(t) Bài 3.3. Một mạch điện được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó tín hiệu vào là v(t) và tín hiệu ra là vc(t).
~ v(t)
R L
C vc(t)
i(t)
(a) Xác định một tập hợp biến trạng thái phù hợp
52
(b) Sử dụng các biến trạng thái để thiết lập các phương trình vi phân bậc nhất mô tả hệ thống
(c) Biểu diễn các phương trình trạng thái của hệ thống dưới dạng ma trận Bài 3.4. Một mạch cầu cân bằng được thể hiện trong hình vẽ dưới, ở đó v1 và v2 là các biến vào. Xác định các ma trận A và B của phương trình vi phân của vector trạng thái, với hai biến trạng thái là vc và iL.
v1(t)
R2
L
C vc(t)
iL(t)
~ ~ v2(t)
R1 R1
R2
Bài 3.5. Một hệ thống phi tuyến được biểu diễn bằng hệ phương trình vi phân sau:
2122
2111
xbxhxdt
dx
xaxkxdt
dx
+−=
+=
Tính x1(t) và x2(t) với k = 1, h = 3, a = b = 0,5, x1(0) = x2(0) = 10.
53
Chương IV
ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
Tóm tắt nội dung Với các mô hình toán học đã trình bày ở các chương trước, chúng ta đã có thể nghiên cứu các công cụ phân tích sử dụng cho việc mô tả các đặc tính của hệ thống điều khiển phản hồi. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm tín hiệu sai khác của hệ thống. Tín hiệu này được dùng để điều khiển quá trình, với mục tiêu cuối cùng là giảm sự sai khác tới mức nhỏ nhất có thể. Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu khái niệm độ nhạy của hệ thống đối với sự thay đổi của tham số, với mục đích nhằm giảm thiểu những ảnh hưởng gây ra bởi những biến thiên không được mong muốn của các tham số. Chúng ta sẽ mô tả hiệu suất nhất thời của hệ thống phản hồi và chỉ ra cách làm tăng hiệu suất này. Một vấn đề quan trọng trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển là làm giảm ảnh hưởng của những tín hiệu vào không được mong muốn (nhiễu) lên tín hiệu ra của hệ thống. Đó cũng sẽ là một chủ đề trong chương này. 4.1. Hệ thống điều khiển vòng hở và vòng kín Một hệ thống điều khiển là liên kết của nhiều thành phần tạo nên một cấu hình hệ thống nhằm tạo ra một đáp ứng mong muốn. Trong hệ thống điều khiển phản hồi, một tín hiệu tỷ lệ với sự sai khác giữa đáp ứng mong muốn và đáp ứng thật sự của hệ thống được sử dụng để điều khiển quá trình, tạo nên hệ thống vận hành theo một chuỗi vòng kín: Điều khiển → Quá trình → Đáp ứng → Cảm biến (đo) → So sánh → Điều khiển. Việc sử dụng phản hồi rất cần thiết cho mục tiêu nâng cao độ chính xác của hệ thống điều khiển. Chúng ta có thể thấy các hệ thống trong tự nhiên như các hệ thống sinh học và sinh lý đều là các hệ thống phản hồi, ví dụ như hệ thống điều khiển nhịp tim của con người. Để thể hiện các đặc trưng của phản hồi, chúng ta sẽ xem xét một hệ thống phản hồi một vòng đơn giản. Mặc dù phần lớn các hệ thống điều khiển trong thực tế là các hệ thống phản hồi nhiều vòng, cách tốt nhất để tìm hiểu đầy đủ về phản hồi là nghiên cứu hệ thống phản hồi một vòng. Những gì chúng ta rút ra được từ đó có thể mở rộng ra cho các hệ thống phản hồi nhiều vòng. Để ngắn gọn, khi chúng ta viết một tín hiệu sẽ có nghĩa là tín hiệu trong miền thời gian hoặc biến đổi Laplace của tín hiệu đó. Một hệ thống vòng hở có tín hiệu vào là R(s), tín hiệu ra là C(s) và hàm chuyển là G(s), được thể hiện bằng mối quan hệ: C(s) = G(s)R(s) (4.1)
Sai số của hệ thống là E(s) = R(s) − C(s). Sự khác biệt giữa các hệ thống vòng hở và vòng kín là, trong các hệ thống vòng kín, một tín hiệu sai khác (error signal)
54
được sinh ra và được dùng để điều khiển quá trình. Trong hệ thống vòng kín được biểu diễn ở Hình 4.1, tín hiệu Ea(s) là tín hiệu sai khác:
Ea(s) = R(s) − H(s)C(s) (4.2)
G(s)
H(s)
R(s) C(s) Ea(s)
B(s)
+
−
Hình 4.1. Hệ thống điều khiển phản hồi âm
Ea(s) sẽ bằng E(s) nếu H(s) = 1. Vậy tại sao chúng ta không dùng các hệ thống phản hồi với H(s) = 1? Vấn đề là, tín hiệu vào của các hệ thống thường là các tín hiệu điện, trong khi tín hiệu ra có thể là nhiệt độ, vị trí, vận tốc..., vì vậy người ta phải dùng cảm biến để đo được các tín hiệu ra và chuyển thành tín hiệu điện để so sánh với tín hiệu vào. Trong trường hợp đó, H(s) chính là hàm chuyển của bộ phận cảm biến. Quan hệ giữa biến vào và ra của hệ thống trong Hình 4.1 được thể hiện bằng công thức:
)()()(1
)()( sRsHsG
sGsC+
= (4.3)
Tín hiệu sai khác dùng để điều khiển quá trình:
)()()(1
1)()()()( sRsHsG
sCsHsRsEa +=−= (4.4)
Từ công thức (4.4) chúng ta thấy rằng nếu tích G(s)H(s) càng lớn thì Ea(s) sẽ càng nhỏ. Ý nghĩa của điều đó là, nếu chỉ xét tới sai số gây ra bởi nhiễu từ môi trường chứ không tính sai số gây ra bởi bản thân các phần tử của hệ thống, thì khi công suất của các phần tử của hệ thống điều khiển phản hồi càng lớn hệ thống sẽ hoạt động càng chính xác. 4.2. Độ nhạy của hệ thống điều khiển đối với sự biến thiên của các tham số Bất cứ quá trình điều khiển nào đều phải đối mặt với những yếu tố tự nhiên có ảnh hưởng tới hoạt động của nó như sự thay đổi của môi trường xung quanh, sự lão hóa của thiết bị... dẫn đến việc xác định không chính xác các tham số của hệ thống. Trong hệ thống vòng hở, những sai số và thay đổi đó sẽ làm thay đổi và làm tăng sai số của đáp ứng của hệ thống. Với hệ thống điều khiển vòng kín, những thay đổi của tín hiệu ra gây ra bởi những biến thiên trong quá trình có thể được cảm nhận và khác phục. Độ nhạy (sensitivity) của hệ thống điều khiển đối với sự biến thiên của các tham số hệ thống là yếu tố vô cùng quan trọng. Một trong các điểm mạnh của điều khiển phản hồi là khả năng làm giảm độ nhạy của hệ thống đối với sự biến thiên của các tham số. Từ công thức (4.3) suy ra, nếu G(s)H(s) >> 1 trong toàn bộ miền giá trị được
55
quan tâm của s, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:
)()(
1)()()(
)()( sRsH
sRsHsG
sGsC =≅ (4.5)
Điều đó có nghĩa là, nếu độ lớn của G(s)H(s) được tăng lên rất lớn thì ảnh hưởng của G(s) lên tín hiệu ra sẽ suy giảm tới mức không đáng kể. Khi đó, ảnh hưởng do biến thiên của các tham số của quá trình biểu diễn bởi hàm chuyển G(s) lên tín hiệu ra sẽ không đáng kể. Tất nhiên, cho dù G(s)H(s) rất lớn thì sự biến thiên của các tham số vẫn sẽ làm thay đổi tín hiệu ra. Giả sử những thay đổi trong quá trình làm hàm chuyển của quá trình trở thành G(s) + ∆G(s) và tín hiệu ra trở thành C(s) + ∆C(s). Chúng ta có:
)()()]()([1
)()()()( sRsHsGsG
sGsGsCsC∆++∆+
=∆+ (4.6)
Sự thay đổi của tín hiệu ra được tính như sau:
)(
)]()(1)][()()()(1[)(
)()()(1
)()()]()([1
)()()(
sRsHsGsHsGsHsG
sG
sRsHsG
sGsHsGsG
sGsGsC
+∆++∆
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−∆++∆+
=∆ (4.7)
Thường thì G(s) >> ∆G(s), do vậy G(s)H(s) >> ∆G(s)H(s), vì vậy chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:
)()]()(1[
)()( 2 sRsHsG
sGsC+
∆≅∆ (4.8)
Gọi T(s) là hàm chuyển của hệ thống điều khiển phản hồi:
)()(1
)()()()(
sHsGsG
sRsCsT
+== (4.9)
Độ nhạy của hệ thống được định nghĩa là tỷ lệ giữa thay đổi của hàm chuyển của hệ thống (tính theo phần trăm) và thay đổi của hàm chuyển của quá trình (tính theo phần trăm):
)()()()(
sGsGsTsTS
∆∆
= (4.10)
hay:
)()(
sTsG
GTS ⋅∂∂
= (4.11)
Từ (4.9) và (4.11), chúng ta thu được:
56
)()(11
)]()(1[)()(
)]()(1[)()()()(1
2
sHsG
sHsGsGsG
sHsGsHsGsHsG
S
+=
+⋅
+
−+=
(4.12)
Chúng ta lại thấy một lần nữa là độ nhạy của hệ thống đối với sự biến thiên của quá trình được điều khiển sẽ càng nhỏ khi tích G(s)H(s) càng lớn. Sự biến thiên của phần tử phản hồi H(s) cũng gây ra thay đổi của tín hiệu ra. Độ nhạy của hệ thống đối với sự biến thiên của phần tử phản hồi được định nghĩa như sau:
)()(
sTsH
HTSH ⋅
∂∂
= (4.13)
Từ (4.9) và (4.13), chúng ta thu được:
)()(1)()(
)]()(1[)()(
)]()(1[)(
2
2
sHsGsHsG
sHsGsGsH
sHsGsGSH +
−=
+⋅
+
−= (4.14)
Trái với trường hợp trước, ở đây SH sẽ xấp xỉ −1 khi G(s)H(s) >> 1. Điều đó có nghĩa là, đối với hệ thống điều khiển phản hồi việc sử dụng những bộ phận phản hồi có độ tin cậy cao, tức là luôn giữ được các tham số không bị biến đổi theo sự thay đổi của môi trường, là điều vô cùng quan trọng. Ví dụ 4.1
Một mạch khuyếch đại đảo sử dụng khuyếch đại thuật toán được biểu diễn trong Hình 4.2. Hệ số khuyếch đại của khuyếch đại thuật toán là A ≥ 104. Do trở kháng của khuyếch đại thuật toán rất lớn, dòng điện đi vào bộ khuyếch đại có thể coi là không đáng kể. Vì vậy chúng ta thiết lập được phương trình sau:
02
0
1
vào =−
+−
Rvv
Rvv nn (4.15)
v0 vvào vn
−
+ A
+
−
R1
R2
Hình 4.2. Mạch khuyếch đại đảo
Hiệu điện thế đầu ra của khuyếch đại thuật toán v0 = Avn, vì vậy:
Av
vn0= (4.16)
Thay (4.16) vào (4.15):
57
02
0
2
0
1
vào
1
0 =−+−Rv
ARv
Rv
ARv (4.17)
hay:
121
vào20 ARRR
vARv
−+= (4.18)
Hàm chuyển của hệ thống:
AKK
AARRR
ARvv
T−+
=−+
==1121
2
vào
0 (4.19)
ở đó K = R1/R2. Độ nhạy của hệ thống đối với sự biến thiên của hệ số khuyếch đại A được tính như sau:
AKKK
AKKAA
AKKKAAKK
TA
ATS A
−++
=
−+⋅
−+−−−+
=
⋅∂∂
=
11
)1()1()(1
2 (4.20)
Độ nhạy của hệ thống đối với sự biến thiên của hệ số K được tính như sau:
AKKKAK
AKKAK
AKKAA
TK
KTSK −+
−=
−+⋅
−+
−−=⋅
∂∂
=1)1()1(
)1(2 (4.21)
Cho A = 104 và K = 0,1, chúng ta tính được SA ≅ −10−3 và SK ≅ −1. Như vậy, tín hiệu ra của mạch khuyếch đại đảo chịu ảnh hưởng rất ít từ sự biến thiên của hệ số khuyếch đại A của khuyếch đại thuật toán, nhưng lại bị tác động rất nhiều khi hệ số K biến thiên. 4.3. Điều khiển đáp ứng nhất thời Đáp ứng nhất thời (transient response) là đáp ứng của hệ thống trong một khoảng thời gian ngắn khi xuất hiện một sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu vào, trước khi đạt được trạng thái thường trực. Bởi vì mục đích của hệ thống điều khiển là tạo ra một đáp ứng được mong muốn, đáp ứng nhất thời của hệ thống thường phải được điều chỉnh cho tới khi thỏa mãn được yêu cầu. Trong các hệ thống điều khiển vòng hở, nếu đáp ứng của hệ thống không được như mong muốn, quá trình G(s) sẽ cần phải được thay thế bằng quá trình khác phù hợp hơn. Trái lại, đáp ứng của hệ thống vòng kín có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số của vòng phản hồi. Một cách khác nữa để làm thay đổi đáp ứng của hệ thống là nối vào trước quá trình một bộ lọc có hàm chuyển là G1(s) (Hình 4.3). Khi đó, đáp ứng của hệ thống có thể điều chỉnh được bằng việc điều chỉnh G1(s). Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống điều khiển tốc độ một động cơ một chiều điều khiển bởi phần ứng với hàm chuyển là G(s) = Ω(s)/Va(s). Từ công thức hàm
58
chuyển (2.62) của động cơ điều khiển bởi phần ứng, chúng ta có:
1)1(
)()(
1
1
1 +=
++
=sK
ssKKfRK
ssG mbamττ
(4.22)
ở đó:
mba
mKKfR
KK
+=1 (4.23)
G1(s) G(s) R(s) C(s)
Hình 4.3. Sử dụng bộ lọc để điều chỉnh đáp ứng
Để thay đổi tốc độ của động cơ, phát một tín hiệu vào r(t) là một hàm nhảy bậc có dạng r = kE, ở đó E là hiệu điện thế của nguồn cung và k là một tham số có thể điều chỉnh được bằng một biến trở. Biến đổi Laplace của r(t):
s
kEsR =)( (4.24)
Tính Ω(s):
)1(
)()()(1
1+
==ss
EkKsRsGsΩτ
(4.25)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của Ω(s), chúng ta có được giá trị biến đổi tốc độ nhất thời của động cơ:
)1()( 1
1
1t
eEkKt τω−
−= (4.26)
Nếu đáp ứng nhất thời này quá chậm, cách thực tế nhất là thay động cơ bằng một cơ khác để giảm hệ số thời gian τ1. Tuy nhiên, do hệ số này phụ thuộc nhiều vào quán tính của tải trọng, việc thay động cơ có thể cũng không giúp được gì nhiều. Chúng ta có thể dùng một hệ thống điều khiển vòng kín để điều khiển tốc độ của động cơ nói trên bằng cách sử dụng một tốc độ kế có hàm chuyển là Kt để sinh ra một tín hiệu tỷ lệ với tốc độ của động cơ (Hình 4.4). Tín hiệu sai khác được khuyếch đại với một hệ số là Ka để sinh ra tín hiệu vào va(t) điều khiển động cơ. Hàm chuyển của toàn bộ hệ thống vòng kín là:
11
11)(1
)()()(
KKKsKK
sGKKsGK
sRsΩ
ta
a
ta
a++
=+
=τ
(4.27)
Thay (4.24) vào (4.27):
])1([1
)(11
11
11
1τ
ττ KKKss
kEKKs
kEKKKs
KKsΩ
ta
a
ta
a++
=⋅++
= (4.28)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của (4.28):
59
)1(1
)( 1
11
1
1t
KKK
ta
ata
eKKK
kEKKt τω
+−
−+
= (4.29)
Vì KaKtK1 >> 1, chúng ta có thể lấy xấp xỉ:
)1()( 1
1 tKKK
t
ta
eKkEt τω
−−≅ (4.30)
Hệ số thời gian của hệ thống vòng kín này là 1
1KKK ta
cττ = . Cách dễ dàng nhất
để tăng tốc độ đáp ứng của hệ thống là tăng hệ số khuyếch đại Ka. Tuy nhiên, Ka lớn nghĩa là hiệu điện thế vào va(t) của động cơ sẽ lớn. Vì vậy trong hệ thống vòng kín người ta thường phải dùng động cơ lớn hơn so với hệ thống vòng hở để tránh hiện tượng quá áp cho động cơ.
G(s) R(s) Ω(s)
Hình 4.4. Hệ thống điều khiển tốc độ vòng kín
Ka
Kt
_ + Va(s)
4.4. Tín hiệu nhiễu trong hệ thống điều khiển phản hồi Hiệu ứng quan trọng thứ ba của phản hồi trong một hệ thống điều khiển là sự điều khiển và loại trừ một phần ảnh hưởng của tín hiệu nhiễu. Một tín hiệu nhiễu (disturbance signal) là tín hiệu không được mong muốn gây ảnh hưởng đến tín hiệu ra của hệ thống, làm tín hiệu ra của hệ thống bị sai lệch. Các bộ khuyếch đại điện tử có nhiễu sinh ra từ bên trong các mạch tích hợp hay transitor. Anten radar thường bị nhiễu gây ra bởi những cơn gió mạnh. Nhiều hệ thống phát ra những tín hiệu bị biến dạng gây ra bởi các phần tử phi tuyến. Một trong những điểm ưu việt của các hệ thống phản hồi là khả năng làm giảm bớt ảnh hưởng của nhiễu. Để làm ví dụ, xem xét hệ thống điều khiển vận tốc của động cơ một chiều điều khiển bởi phần ứng, có sơ đồ khối được biểu diễn trong Hình 4.5. Td(s) là thành phần của mômen quay do động cơ sinh ra bởi tác động của nhiễu. Áp dụng các kỹ thuật biến sơ đồ khối, chúng ta tính được hàm chuyển của hệ thống đối với tín hiệu nhiễu Td(s):
)(1
)]/(1][)([1)]/(1][)([
)()(
sLRKKfJs
KfJssLRKfJssLRK
KsLR
sTsΩ
aabm
baam
aam
m
aa
d
+++−=
+++++
⋅+
−= (4.31)
Thay đổi của vận tốc gây ra do nhiễu là:
60
)()(
1)( sTsLRKKfJs
sΩ daabm +++
−= (4.32)
Tiếp theo, xem xét hệ thống điều khiển vận tốc vòng kín như trong Hình 4.4, với G(s) là hệ thống vòng hở ở trên. Áp dụng các kỹ thuật biến sơ đồ khối, chúng ta tính được hàm chuyển của hệ thống đối với tín hiệu nhiễu Td(s):
ta
a
ma
aa
d KsGKsGK
KKsLR
sTsΩ
)(1)(
)()(
+⋅
+−= (4.33)
ở đó:
bmaa
m
baam
aam
KKfJssLRK
KfJssLRKfJssLRK
sG
+++=
+++++
=
))((
)]/(1][)([1)]/(1][)([
)( (4.34)
+
Tm(s)
sLRK
aa
m+
Va(s) TL(s)
Td(s)
fJs +1
Ω(s)
Hình 4.5. Hệ thống điều khiển vận tốc vòng hở
− +
Kb
−
Thay (4.34) vào (4.33):
)()(1
))(()()(
sLRKKKKfJs
KKKKKfJssLRKK
KKsLR
sTsΩ
aatabm
tmabmaa
ma
ma
aa
d
++++−=
++++⋅
+−=
(4.35)
Thay đổi của vận tốc gây ra do nhiễu trong trường hợp của hệ thống vòng kín là:
)()()(
1)( sTsLRKKKKfJs
sΩ daatabm ++++
−= (4.36)
So sánh hai công thức (4.32) và (4.36), chúng ta thấy rõ ràng là ảnh hưởng của nhiễu tới vận tốc của động cơ giảm đi ở hệ thống vòng kín so với hệ thống vòng hở. Lưu đồ trong Hình 4.6 biểu diễn trường hợp được tổng quát từ ví dụ trên. Sử dụng quy tắc vòng của Mason, chúng ta tính được ảnh hưởng của tín hiệu nhiễu Td(s) tới tín hiệu ra như sau:
61
)()()(1
)()( sTsHsGK
sGsC da+−
= (4.37)
Vì KaG(s)H(s) >> 1, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:
)()(
1)( sTsHK
sC da
−≅ (4.38)
Theo công thức này, cách đơn giản nhất để làm giảm ảnh hưởng của tín hiệu nhiễu trong trường hợp này là tăng hệ số khuyếch đại Ka.
1 G(s)
Td(s)
−H(s)
−1
R(s) C(s)
Hình 4.6. Lưu đồ tín hiệu của hệ thống vòng kín
Ka Ea(s)
Một vấn đề chúng ta thường gặp trong các hệ thống phản hồi là nhiễu sinh ra bởi các bộ cảm biến trong khối phản hồi. Lược đồ tín hiệu trong Hình 4.7 biểu diễn một hệ thống phản hồi trong đó có một tín hiệu nhiễu N(s) tác động tới vòng phản hồi. Sử dụng quy tắc vòng của Mason, chúng ta tính được ảnh hưởng của tín hiệu nhiễu này tới tín hiệu ra:
)()()()(1
)()()(21
2 sNsHsHsG
sHsGsC+−
= (4.39)
Vì G(s)H1(s)H2(s) >> 1, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:
)()(
1)(1
sNsH
sC −≅ (4.40)
Công thức này cho thấy, ảnh hưởng của nhiễu trong khối phản hồi tới tín hiệu ra của hệ thống sẽ càng giảm khi H1(s) càng lớn, nghĩa là tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu (signal-to-noise ratio) của bộ phận cảm biến càng lớn.
1 G(s)
H1(s) −H2(s) 1
R(s) C(s)
N(s)
Hình 4.7. Hệ thống vòng hở với nhiễu của cảm biến
Lưu đồ tín hiệu trong Hình 4.8 biểu diễn một trường hợp khác: tín hiệu nhiễu
62
tác động trực tiếp vào tín hiệu ra của hệ thống. Trong trường hợp này, chúng ta tính được ảnh hưởng của tín hiệu nhiễu tới tín hiệu ra:
)()()(
1)()()(1
1)( sTsHsGK
sTsHsGK
sC da
da
−≅+
−= (4.41)
Cũng tương tự như trường hợp biểu diễn trong Hình 4.6, cách đơn giản nhất để làm giảm ảnh hưởng của tín hiệu nhiễu trong trường hợp này là tăng hệ số khuyếch đại Ka.
1 G(s)
Td(s)
−H(s)
−1
R(s) C(s)
Hình 4.8. Hệ thống vòng kín với nhiễu ở tín hiệu ra
Ka Ea(s)
4.5. Sai số ở trạng thái thường trực Sai số ở trạng thái thường trực (steady-state error) là sai số của đáp ứng khi hệ thống khi đã đạt được trạng thái thường trực, nghĩa là khi đáp ứng nhất thời đã triệt tiêu. Trong phần này, chúng ta sẽ so sánh sai số ở trạng thái thường trực của các hệ thống vòng hở và vòng kín. Sai số của hệ thống vòng hở, dưới dạng biến đổi Laplace:
Eo(s) = R(s) − C(s) = R(s) − G(s)R(s) = [1 − G(s)]R(s) (4.42) Để tính sai số của hệ thống vòng hở ở trạng thái thường trực, sử dụng định lý giá trị cuối cùng: (s)sE(t)e o
so
t 0limlim→∞→
= (4.43)
Sử dụng tín hiệu vào là một hàm nhảy bậc đơn vị để làm ví dụ so sánh, biến đổi Laplace của tín hiệu vào là:
s
sR 1)( = (4.44)
Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống vòng hở là:
)0(11)](1[lim)(0
Gs
sGses
o −=−=∞→
(4.45)
Sai số của hệ thống vòng kín, dưới dạng biến đổi Laplace:
)()()(1
1)()()(1
)()()( sRsHsG
sRsHsG
sGsRsEc +=
+−= (4.46)
Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống vòng kín với tín hiệu vào là hàm
63
nhảy bậc đơn vị:
)0()0(1
11)()(1
1lim)(0 HGssHsG
ses
c +=⋅
+=∞
→ (4.47)
Trong các hệ thống, các giá trị G(0) và H(0) thường lớn hơn một rất nhiều, vì vậy sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống vòng kín thường thấp hơn so với hệ thống vòng hở. Mặc dù việc sử dụng phản hồi làm tăng độ phức tạp và làm giảm độ ổn định của hệ thống, đồng thời làm giảm hệ số khuyếch đại giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào, những lợi ích mà phương pháp điều khiển phản hồi mang lại bao gồm làm giảm sai số của hệ thống, giảm độ nhạy của hệ thống đối với biến thiên của các tham số, điều chỉnh đáp ứng nhất thời dễ dàng hơn, giảm ảnh hưởng của nhiễu và giảm sai số ở trạng thái thường trực khiến việc sử dụng phản hồi trong các hệ thống điều khiển là một xu thế tất yếu bất kể những nhược điểm nêu trên. Bài tập Bài 4.1. Một hệ thống vòng kín bao gồm một quá trình có hàm chuyển G(s) = 100/(3s + 1) và khối phản hồi âm có hàm chuyển H(s) = 1.
(a) Tính độ nhạy của hệ thống đối với G(s). (b) Tính hệ số thời gian của hệ thống.
Bài 4.2. Một hệ thống âm thanh số có sơ đồ khối được biểu diễn trong hình vẽ dưới, trong đó D(s) là tín hiệu nhiễu.
+ Vvào(s)
D(s)
+ +
−
Vra(s) K1 K2
(a) Tính độ nhạy của hệ thống đối với K2. (b) Xác định ảnh hưởng của nhiễu lên tín hiệu ra. (c) Chọn giá trị nào cho K1 để làm giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu?
Bài 4.3. Một hệ thống có hàm chuyển là:
2)2()(
+=
sKsG
Tính sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống khi tín hiệu vào là một hàm nhảy bậc có độ lớn bằng A. Bài 4.4. Một ổ đĩa từ có một động cơ và đầu đọc/ghi. Hàm chuyển của hệ thống bao gồm động cơ và đầu đọc/ghi này là:
64
)1(10)(+
=ss
sGτ
ở đó τ = 0,001s. Bộ phận điều khiển sẽ tính sai số giữa vị trí thực sự và vị trí mong muốn của đầu đọc/ghi và khuyếch đại sai số đó với hệ số khuyếch đại K.
(a) Xác định sai số vị trí ở trạng thái thường trực nếu tín hiệu vào (vị trí mong muốn) là một hàm nhảy bậc đơn vị.
(b) Xác định K để sai số ở trạng thái thường trực là 1mm nếu tín hiệu vào là hàm r(t) = 10t (cm/s).
Bài 4.5. Một hệ thống có lưu đồ tín hiệu được biểu diễn trong hình vẽ dưới.
R(s) C(s)
M(s)
U(s) Q(s) G(s)
−1
(a) Tính hàm chuyển của toàn hệ thống. (b) Tính độ nhạy của hệ thống đối với G(s). (c) Độ nhạy của hệ thống có phụ thuộc U(s) hay M(s) không?
Bài 4.6. Một hệ thống điều khiển anten radar có sơ đồ khối được biểu diễn trong hình vẽ dưới. Hàm chuyển G(s) của bộ phận gồm động cơ và amplidyne là:
22
2
2)(
nn
n
sssG
ωζω
ω
++=
với ζ = 0,4 và ωn = 10. Hàm chuyển của bộ khuyếch đại từ là:
1)(1 +=
sk
sG aτ
với τ = 0,2s. Tín hiệu ra của hệ thống là vị trí góc của anten, đơn vị là radian.
+ R(s)
Td(s)
− +
−
Θ(s) G1(s) G(s)
(a) Xác định độ nhạy của hệ thống đối với sự thay đổi của tham số ka. (b) Giả sử tín hiệu nhiễu Td(s) = 15/s, xác định ka để sai số ở trạng thái thường
trực của hệ thống nhỏ hơn 0,2o khi R(s) = 0. (c) Xác định sai số của hệ thống với tín hiệu nhiễu Td(s) = 15/s khi không có
vòng phản hồi.
65
Bài 4.7. Sơ đồ khối của hệ thống phản hồi nhằm giảm sự thay đổi nhiệt độ trên một mạch điện tử được biểu diễn ở hình vẽ dưới. Sự thay đổi nhiệt độ trên mạch được thể hiện bằng hàm chuyển:
40020400)( 2 ++
=ss
sG
Sự suy giảm nhiệt độ trong môi trường được thể hiện bằng một hàm nhảy bậc D(s). Hệ thống sử dụng một bộ phận sinh nhiệt nhằm làm giảm ảnh hưởng của sự suy giảm nhiệt độ trong môi trường, hàm chuyển của bộ phận này là:
11,0)(1 +=
sksG
+ R(s)
D(s)
+ +
−
C(s) G1(s) G (s)
(a) Xác định độ nhạy của hệ thống đối với sự biến thiên của k. (b) Xác định ảnh hưởng của D(s) tới nhiệt độ thực sự của mạch là C(s).
Bài 4.8. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm (hệ thống phản hồi âm có hàm chuyển của khối phản hồi bằng một) có hàm chuyển của quá trình cần điều khiển là
)2)(()4(10)(++
+=
sassssG . Xác định độ nhạy của hệ thống đối với một thay đổi rất
nhỏ của tham số a. Bài 4.9. Hệ thống điều khiển lái của một tàu thủy có sơ đồ khối biểu diễn trong hình vẽ dưới. Nhiễu gây ra bởi sức gió tác động lên tàu có dạng D(s) = 1/s. Tín hiệu vào của hệ thống là vị trí bánh lái và tín hiệu ra là góc lệch giữa hướng của
tàu và hướng mong muốn. Hàm chuyển 10010
100)( 2 ++=
sssG .
+ R(s)
D(s)
+ +
−
C(s) K G (s)
(a) Xác định ảnh hưởng của D(s) khi K = 5 và khi K = 20. (b) Chứng tỏ rằng bánh lái có thể được dùng để đưa tàu về đúng hướng, nghĩa
là C(s) = 0.
66
Chương V
HIỆU SUẤT CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
Tóm tắt nội dung Khả năng điều chỉnh đáp ứng nhất thời cũng như đáp ứng ở trạng thái thường trực là một lợi ích của việc sử dụng hệ thống điều khiển phản hồi. Các số tham số của hệ thống có thể cần phải được điều chỉnh để hệ thống có được đáp ứng như mong đợi. Để làm được điều đó, việc đầu tiên chúng ta cần làm là định nghĩa đáp ứng mong muốn dưới dạng các yêu cầu định lượng về hiệu suất của hệ thống. Chúng ta sẽ sử dụng một số dạng tín hiệu vào chọn lọc để thử đáp ứng của một hệ thống điều khiển. Đáp ứng này sẽ được đặc trưng hóa bằng một tập hợp chọn lọc các số đo của đáp ứng như sự quá mức của đáp ứng với tín hiệu vào dạng nhảy bậc. Tiếp đó, chúng ta sẽ phân tích hiệu suất của hệ thống bằng cách phân tích vị trí của các điểm cực và điểm không của hàm chuyển của hệ thống trong mặt phẳng s. Chúng ta sẽ thấy được rằng, một trong những số đo quan trọng nhất của hiệu suất là sai số ở trạng thái thường trực. Khái niệm chỉ số hiệu suất, tức là phương thức thể hiện hiệu suất của hệ thống bằng một giá trị (hay chỉ số), sẽ được giới thiệu. Trong chương này, chúng ta sẽ mô tả một tập hợp các số đo hiệu suất định lượng thích hợp cho việc biểu diễn hiệu suất của hệ thống điều khiển. Các chỉ số hiệu suất của hệ thống chính là cơ sở cho các bài toán điều khiển tối ưu. 5.1. Giới thiệu Khả năng điều chỉnh hiệu suất nhất thời và hiệu suất ở trạng thái thường trực là một ưu điểm đặc trưng của các hệ thống điều khiển phản hồi. Để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển, chúng ta cần định nghĩa và đo được hiệu suất của hệ thống. Sau đó, dựa trên những số đo hiệu suất, các tham số của hệ thống có thể được điều chỉnh để đạt được đáp ứng mong muốn cho hệ thống. Vì các hệ thống điều khiển là các hệ thống động, hiệu suất của chúng thường được mô tả dưới dạng của đáp ứng theo thời gian cho một tín hiệu vào nhất định và sai số ở trạng thái thường trực. Các yêu cầu thiết kế cho hệ thống điều khiển thường bao gồm một số chỉ số của đáp ứng theo thời gian cho một tín hiệu vào nhất định cùng độ chính xác được mong muốn cho trạng thái thường trực. Tuy nhiên, trong quá trình thiết kế, các yêu cầu thường được điều chỉnh lại cho phù hợp. Vì vậy, các yêu cầu thiết kế hiếm khi được coi là một tập hợp những yêu cầu cần phải tuân thủ chặt chẽ, mà thường được coi là cố gắng đầu tiên nhằm thể hiện hiệu suất được mong muốn. Các đặc điểm mong muốn cho hệ thống được phát biểu dưới dạng các số đo của hiệu suất nhằm chỉ ra cho người thiết kế yêu cầu về chất lượng của hệ thống. Nói một cách khác, các số đo hệ suất chính là câu trả lời cho câu hỏi: hệ thống thực
67
hiện nhiệm vụ được thiết kế cho nó tốt tới mức nào? 5.2. Mô tả hiệu suất trong miền thời gian Các mô tả định lượng yêu cầu về hiệu suất trong miền thời gian là những chỉ số quan trọng vì các hệ thống điều khiển đều là những hệ thống trong miền thời gian. Điều đó có nghĩa là, hiệu suất nhất thời hay hiệu suất theo thời gian của hệ thống là mối quan tâm chủ yếu đối với các hệ thống điều khiển. Điều cần làm đầu tiên là xác định xem hệ thống có ổn định hay không. Chúng ta sẽ nghiên cứu các kỹ thuật phân tích tính ổn định của hệ thống ở các chương sau. Nếu hệ thống ổn định, đáp ứng của hệ thống với một tín hiệu vào nhất định sẽ cung cấp một số số đo của hiệu suất. Tuy nhiên, do tín hiệu vào thực sự của hệ thống thường khó xác định, các tín hiệu vào thử (test input signal) chuẩn thường được sử dụng. Phương pháp này rất hữu ích bởi vì tồn tại một tương quan giữa đáp ứng của hệ thống với một tín hiệu vào thử chuẩn và khả năng của hệ thống khi hoạt động ở những điều kiện bình thường. Hơn nữa, việc sử dụng tín hiệu vào chuẩn cho phép người thiết kế so sánh nhiều thiết kế khác nhau. Nhiều hệ thống điều khiển có các tín hiệu vào cũng tương tự các tín hiệu vào thử chuẩn. Các tín hiệu thử vào chuẩn thường được sử dụng là: (1) tín hiệu nhảy bậc (step), (2) tín hiệu dốc (ramp), (3) tín hiệu parabol và (4) tín hiệu xung đơn vị (unit impulse). Định nghĩa và biến đổi Laplace của các tín hiệu này được trình bày trong bảng sau.
Bảng 5.1. Các tín hiệu vào thử chuẩn
Tín hiệu r(t) R(s)
Nhảy bậc ⎩⎨⎧
<≥
0 khi 00 khi
ttK
sK
Dốc ⎩⎨⎧
<≥0 khi 00 khi
ttKt
2sK
Parabol ⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥0 khi 0
0 khi 2
ttKt 3
2sK
Xung đơn vị
)(lim)(0
tft εε
δ→
= , ở đó
⎪⎩
⎪⎨⎧
><
≤≤=ε
εεε
tt
ttfhay 0 khi 0
0 khi 1)(
1
Dạng tổng quát ⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥0 khi 0
0 khi t
tKt n 1
!+ns
nK
68
Với một hệ thống vòng hở có tín hiệu vào là r(t), tín hiệu ra là c(t) và hàm chuyển là G(s): C(s) = G(s)R(s), nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vị δ(t), chúng ta sẽ có R(s) = 1, nghĩa là C(s) = G(s) hay c(t) = g(t). Mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của một hệ thống điều khiển phản hồi được biểu diễn bằng phương trình:
)()(1
)()( sRsG
sGsC+
= (5.1)
Xem xét một hệ thống phản hồi với hàm chuyển G(s) của quá trình có dạng như sau:
)(
)(pss
KsG+
= (5.2)
Thay (5.2) vào (5.1), chúng ta có:
)()( 2 sRKpss
KsC++
= (5.3)
Viết lại phương trình (5.3) dưới dạng của tỷ số cản ζ và tần số tự nhiên ωn:
)(2
)( 22
2sR
sssC
nn
n
ωζω
ω
++= (5.4)
ở đó, )2( Kp=ζ và Kn =ω . Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm nhảy bậc đơn vị, nghĩa là R(s) = 1/s, phương trình (5.4) trở thành:
)2(
)( 22
2
nn
n
ssssC
ωζω
ω
++= (5.5)
Đáp ứng theo thời gian của hệ thống có dạng như sau:
)1sin(1
11)( 22
θζωζ
ζω +−−
−= − tetc ntn (5.6)
ở đó ζζ
θ21
arctan−
= . Đồ thị của c(t) với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị
cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ được biểu diễn trong Hình 5.1. Chúng ta có thể thấy được trên đồ thị, khi ζ càng giảm, biên độ dao động của đáp ứng càng tăng. Nếu tín hiệu vào r(t) là một hàm xung đơn vị, nghĩa là R(s) = 1, phương trình (5.4) trở thành:
22
2
2)(
nn
n
sssC
ωζω
ω
++= (5.7)
69
Đáp ứng theo thời gian của hệ thống có dạng như sau:
)1sin(1
)( 22
tetc ntn n ζω
ζ
ω ζω −−
= − (5.8)
Đồ thị của c(t) với tín hiệu vào là hàm xung đơn vị cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ được biểu diễn trong Hình 5.2. Chúng ta có thể chọn vài số đo hiệu suất từ đáp ứng nhất thời của hệ thống với các tín hiệu vào là tín hiệu nhảy bậc hay tín hiệu xung đơn vị.
c(t)
ωnt
ζ = 0,1
ζ = 0,2
ζ = 0,4
ζ = 0,8
ζ = 1,0
ζ = 2,0
Hình 5.1. Đáp ứng nhất thời của hệ thống với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ
Các số đo hiệu suất chuẩn thường được định nghĩa trên cơ sở đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào nhảy bậc (Hình 5.3). Tốc độ của đáp ứng được đo bằng thời gian lên (rise time) Tr và thời gian tới đỉnh (peak time) Tp. Thời gian lên Tr là khoảng thời gian để đáp ứng của hệ thống tăng từ 10% lên 90% của giá trị cuối cùng, còn thời gian tới đỉnh Tp là khoảng thời gian để đáp ứng của hệ thống đạt tới mức cực đại. Một số đo nữa là phần trăm quá mức (percent overshoot) Po được định nghĩa như sau:
%100×−
=fv
fvMP p
o (5.9)
ở đó, Mp là giá trị cực đại của đáp ứng và fv là giá trị cuối cùng của đáp ứng. Với tín hiệu vào nhảy bậc, fv thường có giá trị bằng độ lớn của tín hiệu vào. Thời gian quá độ (settling time) Ts được định nghĩa là khoảng thời gian cần thiết để hệ thống ổn định trong một khoảng δ nhất định của giá trị cuối cùng fv.
70
Với hệ thống được biểu diễn bằng phương trình (5.4), giá trị của Ts với δ bằng 2% của fv là bốn lần giá trị của hệ số thời gian τ của hệ thống:
n
sTζω
τ 44 == (5.10)
c(t)
ωnt
ζ = 0,1 ζ = 0,2
ζ = 0,4
ζ = 0,8
ζ = 1,0
Hình 5.2. Đáp ứng nhất thời của hệ thống với tín hiệu vào là hàm xung đơn vị cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ
ζ = 2,0
Để xác định thời gian tới đỉnh Tp, chúng ta cần giải phương trình sau:
0)(=
dttdc (5.11)
Biến đổi Laplace của đạo hàm khi các điều kiện ban đầu bằng không là:
)()( ssCdt
tdc=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡L (5.12)
Thay (5.5) vào (5.12), chúng ta có được phương trình:
22
2
2)(
nn
n
ssdttdc
ωζω
ω
++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡L (5.13)
Lấy biến đổi Laplace nghịch của phương trình (5.13):
)1sin(1
)( 22
tedt
tdcn
tn n ζωζ
ω ζω −−
= − (5.14)
Từ (5.11) và (5.14), chúng ta có được phương trình cần giải để xác định Tp là:
71
0)1sin(1
22
=−−
− te ntn n ζω
ζ
ω ζω (5.15)
Vế trái của phương trình (5.15) bằng không khi π1 2 ktn =−ζω với k là một số nguyên. Chúng ta dễ dàng thấy được, khi k = 1, nghiệm của phương trình chính là Tp, nghĩa là:
π1 2 =− pn Tζω (5.16)
hay:
21
π
ζω −=
npT (5.17)
c(t)
t
Tr Tp
Mp
fv
fv+δ
fv−δ
Ts
Hình 5.3. Các số đo hiệu suất trên đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào nhảy bậc đơn vị
Thay (5.17) vào (5.6), chúng ta sẽ tính được giá trị cực đại Mp của đáp ứng:
θ
ζθ
ζ
θζωζ
ζωζω
ζω
sin1
11)πsin(1
11
)1sin(1
11)(
22
22
pnpn
pn
TT
pnT
pp
ee
TeTcM
−−
−
−+=+
−−=
+−−
−==
(5.18)
72
ở đó ζζ
θ21
arctan−
= , vì vậy sinθ được tính như sau:
22
11
arctansinsin ζζζ
θ −=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −= (5.19)
Thay (5.19) vào (5.18), chúng ta có được giá trị của Mp theo ζ và ωn:
21π11 ζζζω −−− +=+= eeM pnT
p (5.20)
Đây là giá trị cực đại của đáp ứng với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị, trong trường hợp này giá trị cuối cùng của đáp ứng là fv = 1. Giá trị phần trăm quá mức Po được tính như sau:
2
21π
1100%100
111 ζζ
ζζπ−−
−−=×
−+= eePo (5.21)
Khi thiết kế hệ thống, chúng ta thường muốn đáp ứng của hệ thống có cả Po và Tp càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên, trong khi Po giảm theo chiều tăng của tỷ số cản ζ thì Tp lại tăng, như được thể hiện trên đồ thị của ví dụ đang xét (Hình 5.4). Vì vậy, chúng ta cần điều chỉnh lại các yêu cầu ban đầu của Po và Tp để có thể xác định được giá trị phù hợp cho ζ.
Po
ζ
Tp
Po Tp
5,0
4,0
3,0
4,8
4,6
4,4
4,2
3,8
3,6
3,4
3,2
Hình 5.4. Đồ thị của các số đo phần trăm quá mức Po và thời gian tới đỉnh Tp của đáp ứng hệ thống khi tỷ số cản ζ thay đổi (đặt ωn = 1)
Vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống được biểu diễn
73
bằng phương trình (5.4) thể hiện trong Hình 5.5. Đồ thị này cho chúng ta thấy được sự tương quan giữa đáp ứng trong miền thời gian của hệ thống với vị trí các điểm cực của hàm chuyển trong mặt phẳng s thông qua các hệ số ζ, ωn và góc θ.
-ζωn
×
×
σ
iω
ωn
21 ζω −ni
0
Hình 5.5. Đồ thị vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống trong mặt phẳng s
θ
21 ζω −− ni
Đồ thị trong Hình 5.4 biểu diễn các số đo hiệu suất của một hệ thống bậc hai. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, các số đo hiệu suất của hệ thống có bậc lớn hơn hai cũng có thể xấp xỉ được bằng đồ thị này. Ví dụ, xem xét một hệ thống bậc ba có hàm chuyển vòng kín như sau:
))(2(
)( 22
2
γωζωω
+++=
ssssT
nn
n (5.22)
Phương trình đặc trưng của hệ thống nói trên có hai nghiệm là các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bậc hai biểu diễn bởi phương trình (5.4) và nghiệm thứ ba bằng −γ. Các số đo hiệu suất của hệ thống này sẽ có giá trị xấp xỉ các số đo hiệu suất của hệ thống bậc hai nếu như: ||10|| nζωγ ≥ (5.23)
Khi đó cặp nghiệm của hệ thống bậc hai được gọi là các nghiệm trội (dominant roots) của hệ thống bậc ba. Nói một cách khác, đáp ứng của một hệ thống bậc ba có thể xấp xỉ được bằng đáp ứng của một hệ thống bậc hai nếu độ lớn phần thực của các nghiệm trội nhỏ hơn 1/10 độ lớn phần thực của nghiệm thứ ba của phương trình đặc trưng. Ví dụ 5.1
Xem xét hệ thống được biểu diễn bằng phương trình (5.3). Chúng ta muốn chọn giá trị các tham số K và p sao cho giá trị phần trăm quá mức Po của đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào nhảy bậc không vượt quá 5% và thời gian quá độ Ts không quá 4s. Ts được tính theo biểu thức (5.10), do vậy chúng ta có:
1hay 44≥≤= n
nsT ζω
ζω (5.24)
74
Sử dụng công thức (5.21), chúng ta tính được điều kiện để Po ≤ 5% là 21≥ζ hay θ ≤ 45o. Để thỏa mãn các yêu cầu, đồng thời có được giá trị của Ts và Tp càng nhỏ càng tốt, chọn giá trị nhỏ nhất có thể cho ζ là 21 và 21 == ζωn . Khi
đó, chúng ta có được các giá trị 22 == nK ω và p = 2ζωn = 2.
5.3. Chỉ số hiệu suất Chỉ số hiệu suất (performance index) là một số đo định lượng hiệu suất của một hệ thống và được lựa chọn sao cho phù hợp với các yêu cầu đặt ra cho hệ thống. Sau khi hiệu suất được mong muốn cho hệ thống đã được mô tả một cách định lượng, chỉ số hiệu suất sẽ được tính toán hay đo đạc và được dùng để đánh giá hiệu suất của hệ thống. Trong kỹ thuật điều khiển hiện đại, chỉ số hiệu suất là một khái niệm rất quan trọng và cần thiết cho các hệ thống điều khiển thích nghi, cho việc tối ưu hóa các tham số hệ thống một cách tự động và thiết kế các hệ thống điều khiển tối ưu. Một hệ thống được coi là hệ thống điều khiển tối ưu (optimum control system) khi các tham số của hệ thống được điều chỉnh được điều chỉnh sao cho các chỉ số đạt được cực trị, thường là giá trị cực tiểu. Các chỉ số hiệu suất thường được sử dụng bao gồm:
1. Tích phân của sai số bình phương (ISE):
∫=T
dtteI0
21 )( (5.25)
Giới hạn trên T là một giá trị thời gian hữu hạn được chọn sao cho tích phân tiếp cận giá trị ở trạng thái thường trực. Người ta thường chọn T = Ts, tức là thời gian quá độ của hệ thống. Chỉ số này thường được dùng để phát hiện ra các hệ thống có tỷ số cản quá lớn hay quá nhỏ so với mức phù hợp.
2. Tích phân của sai số tuyệt đối (IAE):
∫=T
dtteI0
2 |)(| (5.26)
Chỉ số này thường được dùng khi chúng ta quan tâm nhiều hơn tới sai số ở đoạn cuối của đáp ứng nhất thời.
3. Tích phân của thời gian nhân sai số tuyệt đối (ITAE):
∫=T
dttetI0
3 |)(| (5.27)
4. Tích phân của thời gian nhân sai số bình phương (ITSE):
75
∫=T
dttteI0
24 )( (5.28)
Các chỉ số I3 và I4 được dùng vì chúng khuyếch đại sự thay đổi của sai số khi các tham số của hệ thống thay đổi, trong đó chỉ số I3 phân biệt rõ nhất, cũng có nghĩa là điểm cực tiểu của nó được thể hiện rõ ràng nhất. Ngoài các chỉ số hiệu suất nêu trên, chúng ta có thể định nghĩa các chỉ số khác dưới dạng tổng quát:
∫=T
dtttctrtefI0
]),(),(),([ (5.29)
ở đó f là một hàm của sai số, tín hiệu vào, tín hiệu ra và thời gian. Ví dụ 5.2
Xem xét một hệ thống điều khiển phản hồi có hàm chuyển của toàn hệ thống như sau:
12
1)( 2 ++=
sssT
ζ (5.30)
Các đồ thị trong Hình 5.6 thể hiện sự biến thiên của các chỉ số hiệu suất của hệ thống khi tỷ số cản ζ biến đổi, với tín hiệu vào là một hàm nhảy bậc đơn vị. Nhìn vào hình vẽ chúng ta thấy được chỉ số I3 có sự thay đổi rõ ràng nhất, và chỉ số này đạt được giá trị cực tiểu khi tỷ số cản ζ có giá trị khoảng 0,7.
Hình 5.6. Đồ thị các chỉ số hiệu suất khi tỷ số cản ζ thay đổi
ζ
76
5.4. Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống điều khiển phản hồi Một trong những nguyên nhân chủ yếu của việc sử dụng phản hồi, cho dù làm tăng giá thành và độ phức tạp của hệ thống, là khả năng làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. Như đã được đề cập ở chương trước, sai số ở trạng thái thường trực của một hệ thống vòng kín thường nhỏ hơn vài lần so với sai số của hệ thống vòng hở. Chúng ta đã dùng ký hiệu Ea(s) để chỉ tín hiệu sai khác được dùng để điều khiển quá trình trong hệ thống vòng kín. Tuy nhiên, sai số thực sự của hệ thống phải là E(s) = R(s) − C(s). Với hệ thống phản hồi như trong Hình 4.1, chúng ta có:
)()()(1
)()()(1)()()(1
)()()( sRsHsG
sGsHsGsRsHsG
sGsRsE+
−+=
+−= (5.31)
Nếu H(s) = 1:
)()(1
1)( sRsG
sE+
= (5.32)
Khi đó, E(s) = Ea(s). Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống khi H(s) = 1 là:
)(1
)(lim)(lim0 sG
ssRteestss +
==→∞→
(5.33)
Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống cho một số tín hiệu vào thử chuẩn khi H(s) = 1 được xác định như sau:
− Tín hiệu nhảy bậc:
)0(1)(1
)(lim0 G
AsG
sAsesss +
=+
=→
(5.34)
ở đó A là độ lớn của tín hiệu nhảy bậc. Giả sử hàm chuyển G(s) của quá trình có dạng như sau:
∏
∏
=
=
−
−
= Q
jj
N
M
ii
pss
zsKsG
1
1
)(
)()( (5.35)
Giá trị N chính là số lần tích phân, hay còn gọi là số định kiểu (type number) của hệ thống, bởi vì sai số ở trạng thái thường trực phụ thuộc vào giá trị này, cụ thể như sau:
o Hệ thống kiểu-0 (type-zero):
pQ
jj
M
ii
ss KA
pzK
Ae+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
∏∏==
11
11
(5.36)
77
ở đó:
∏
∏
=
=
→−
−
== Q
jj
M
ii
sp
p
zKsGK
1
10
)(lim (5.37)
được gọi là hằng số sai số vị trí (position error constant).
o Hệ thống có N ≥ 1:
0
)()(
lim
11
0=
−−+
=
∏∏==
→ Q
jj
M
ii
N
N
sss
pszsKs
Ase (5.38)
− Tín hiệu dốc r(t) = At:
)(
lim)(
lim)(1)(lim
00
2
0 ssGA
ssGsA
sGsAse
sssss→→→
=+
=+
= (5.39)
o Hệ thống kiểu-0:
∞=
−−
=
∏∏==
→ Q
jj
M
ii
sss
pszssK
Ae
11
0)()(
lim (5.40)
o Hệ thống kiểu-1 (type-one):
v
Q
jj
M
ii
sss KA
pszsK
Ae =
−−
=
∏∏==
→
11
0)()(
lim (5.41)
ở đó:
∏
∏
=
=
→−
−
== Q
jj
M
ii
sv
p
zKssGK
1
10
)(lim (5.42)
được gọi là hằng số sai số vận tốc (velocity error constant).
o Hệ thống có N ≥ 2:
0
)()(
lim
11
1
0=
−−
=
∏∏==
−
→ Q
jj
M
ii
N
sss
pszsK
Ase (5.43)
78
− Tín hiệu parabol, còn gọi là tín hiệu gia tốc (acceleration) r(t) = At2/2:
)(
lim)(
lim)(1)(lim 20220
3
0 sGsA
sGssA
sGsAse
sssss→→→
=+
=+
= (5.44)
o Hệ thống có N < 2:
∞=
−−
=
∏∏==
−→ Q
jj
M
ii
Nsss
pszsKs
Ae
11
20
)()(
lim (5.40)
o Hệ thống kiểu-2 (type-two):
a
Q
jj
M
ii
sss KA
pszsK
Ae =
−−
=
∏∏==
→
11
0)()(
lim (5.41)
ở đó:
∏
∏
=
=
→−
−
== Q
jj
M
ii
sa
p
zKsGsK
1
12
0)(lim (5.42)
được gọi là hằng số sai số gia tốc (acceleration error constant).
o Hệ thống có N ≥ 3:
0
)()(
lim
11
2
0=
−−
=
∏∏==
−
→ Q
jj
M
ii
N
sss
pszsK
Ase (5.43)
Các hệ thống điều khiển thường được mô tả bằng số định kiểu và các hằng số sai số của chúng. Chú ý rằng, các hằng số sai số Kp, Kv và Ka tuy được định nghĩa khác nhau nhưng có giá trị như nhau, nên có thể gọi chung là hằng số sai số. Bài tập Bài 5.1. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là
)4(6)(++
=ssssG .
(a) Xác định hàm chuyển của hệ thống vòng kín. (b) Tính đáp ứng theo thời gian của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nhảy bậc
có độ lớn bằng A. (c) Xác định giá trị phần trăm quá mức của đáp ứng. (d) Tính giá trị ở trạng thái thường trực của đáp ứng.
79
Bài 5.2. Hệ thống điều khiển đầu đọc/ghi của một ổ đĩa máy tính có hàm chuyển vòng kín như sau:
)13,0)(25,0()8,0(313,0)( 2 +++
+=
sssssT
(a) Vẽ các điểm cực và điểm không của hệ thống. (b) Ước lượng giá trị phần trăm quá mức của đáp ứng khi tín hiệu vào là một
hàm nhảy bậc. Bài 5.3. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là
)2()(
+=
ssKsG . Đáp ứng được mong muốn cho hệ thống khi tín hiệu vào là một
hàm nhảy bậc được mô tả bằng hai giá trị: thời gian tới đỉnh Tp = 1s và phần trăm quá mức Po = 5%.
(a) Có tồn tại giá trị của K để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn được hai yêu cầu trên hay không?
(b) Nếu không tồn tại giá trị của K để cả hai yêu cầu trên được thỏa mãn đồng thời, xác định giá trị của K để để đáp ứng của hệ thống thỏa mãn được hai yêu cầu đã được nới lỏng với cùng một tỷ lệ như nhau.
Bài 5.4. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm đơn giản có hàm chuyển của quá trình là G(s) = K/s. Tín hiệu vào của hệ thống là một hàm nhảy bậc có độ lớn bằng A. Điều kiện khởi đầu của hệ thống tại thời điểm t0 là c(t0) = Q, ở đó c(t) là tín hiệu ra của hệ thống. Định nghĩa một chỉ số hiệu suất I như sau:
∫∞
=0
2 )( dtteI
(a) Chứng tỏ rằng I = (A − Q)2/(2K). (b) Xác định K để chỉ số hiệu suất I đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5.5. Một bộ khuyếch đại từ với trở kháng đầu ra thấp mắc nối tiếp với một bộ tiền khuyếch đại và một mạch lọc thông thấp như trong hình dưới. Bộ tiền khuyếch đại có trở kháng đầu vào cao và hệ số khuyếch đại bằng một, được dùng để cộng tín hiệu.
120+s
vvào
vra +
−
R = 50Ω C
Khuyếch đại từ
(a) Chọn giá trị cho tụ điện C để hệ thống có tỷ số cản bằng 0,7. (b) Tính thời gian quá độ Ts của hệ thống.
80
Chương VI
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ THỐNG PHẢN HỒI TUYẾN TÍNH
Tóm tắt nội dung Một hệ thống thiếu ổn định sẽ dẫn đến những sai số và sai lầm trong đáp ứng. Vì vậy chúng ta luôn phải tìm cách đảm bảo sao cho hệ thống ổn định và có đáp ứng nằm trong một khoảng xác định. Tính ổn định của một hệ thống phản hồi liên quan đến vị trí của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hàm chuyển của hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp xác định xem một hệ thống có ổn định hay không và ổn định ở mức độ nào. Ngoài phương pháp sử dụng vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng, chúng ta sẽ xem xét cả một phương pháp xác định tính ổn định của hệ thống không dùng đến vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng mà sử dụng các hệ số đa thức của phương trình đặc trưng. Các phương pháp xác định tính ổn định của hệ thống được biểu diễn bằng mô hình biến trạng thái cũng sẽ được đề cập tới. 6.1. Khái niệm về tính ổn định Một đặc tính rất quan trọng của hiệu suất nhất thời của một hệ thống là tính ổn định (stability) của hệ thống. Một hệ thống ổn định được định nghĩa là một hệ thống có đáp ứng luôn nằm trong một khoảng xác định. Điều đó có nghĩa là, nếu các tín hiệu vào và nhiễu tác động tới hệ thống đều nằm trong những khoảng xác định và đáp ứng của hệ thống có độ lớn nằm trong một khoảng xác định, thì hệ thống được coi là ổn định. Khái niệm tính ổn định có thể minh họa được bằng việc đặt một vật thể hình nón trên mặt phẳng ngang. Nếu hình nón nằm trên đáy của nó, hình nón sẽ luôn có xu hướng trở về trạng thái cần bằng khi chúng ta tác dụng một lực làm nó nghiêng đi một chút. Vị trí và đáp ứng trong trường hợp này được gọi là ổn định. Nếu hình nón nằm trên cạnh, nó sẽ lăn khi chúng ta tác động vào, nhưng vẫn tiếp tục nằm trên cạnh. Vị trí này được gọi là vị trí ổn định trung tính. Nếu chúng ta đặt hình nón trên đỉnh của nó, hình nón sẽ đổ xuống cạnh nếu không được giữ. Vị trí này được gọi là không ổn định. Tính ổn định của một hệ thống động cũng được định nghĩa một cách tương tự. Đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào hay một điều kiện ban đầu sẽ có dạng giảm dần, trung tính (không thay đổi), hay tăng dần theo thời gian. Đặc biệt, theo định nghĩa của tính ổn định, một hệ thống tuyến tính ổn định khi và chỉ khi tích
phân ∫∞
0
)( dtty , với y(t) là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn
vị, phải hữu hạn. Vị trí các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống trong mặt
81
phẳng s cũng chỉ ra tính ổn định của đáp ứng nhất thời. Hệ thống có các điểm cực đều nằm ở bên trái trục ảo sẽ có đáp ứng giảm dần, trong khi hệ thống có các điểm cực nằm bên phải trục ảo có đáp ứng trung tính hoặc tăng dần. Như vậy, để có được một hệ thống ổn định, các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống cần phải nằm ở bên trái của trục ảo trong mặt phẳng s. Với các hệ thống tuyến tính, chúng ta nhận thấy rằng, yêu cầu về tính ổn định có thể định nghĩa được dưới dạng vị trí của các điểm cực của hàm chuyển vòng kín. Hàm chuyển của một hệ thống vòng kín có thể biểu diễn được dưới dạng sau:
∑ ∑
∏ ∏
∏
= =
= =
=
++++
+=
++++
+
=
=
Q
k
R
m mmm
m
k
k
Q
k
R
mmmmk
M
ii
ssB
sA
sss
zsK
sqspsT
1 1222
1 1
222
1
2
)2()(
)(
)()()(
ωαασ
ωαασ
(6.1)
Thực hiện biến đổi Laplace nghịch của phương trình (6.1), chúng ta có được đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào là hàm xung đơn vị sẽ có dạng:
∑∑=
−
=
− +=R
mm
t
m
mQ
k
tk teBeAtc mk
11
)sin()( ωω
ασ (6.2)
Để đáp ứng của hệ thống được giới hạn trong một khoảng xác định, điều kiện cần và đủ là ∀k: σk > 0 và ∀m: αm > 0. Điều đó có nghĩa là, tất cả các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống cần phải nằm ở nửa bên trái trục ảo của mặt phẳng s. Như vậy, điều kiện cần và đủ để một hệ thống điều khiển phản hồi ổn định là tất cả các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống đều có phần thực mang giá trị âm. Chúng ta có thể xác định xem một hệ thống có ổn định hay không bằng cách giải phương trình đặc trưng của hệ thống để tìm các nghiệm của nó. Tuy nhiên, nếu chỉ để trả lời câu hỏi hệ thống có ổn định hay không thì việc đó là quá thừa. Sau đây, chúng ta sẽ xem xét các phương pháp để xác định tính ổn định của hệ thống mà không cần phải giải phương trình đặc trưng. 6.2. Điều kiện ổn định Routh-Hurwitz Một phương pháp xác định tính ổn định của các hệ thống tuyến tính được A. Hurwitz và E.J. Routh nghiên cứu và công bố độc lập với nhau vào cuối thế kỷ 19. Phương pháp Routh-Hurwitz đưa ra câu trả lời cho câu hỏi về tính ổn định bằng cách xem xét phương trình đặc trưng của hệ thống. Phương trình đặc trưng của hệ thống có thể viết được dưới dạng sau:
0...)( 11
10 =++++= −−
nnnn asasasasq (6.3)
82
Thiết lập bảng Routh-Hurwitz từ các hệ số của đa thức q(s):
− Bước 1: điền hai hàng đầu tiên của bảng Nếu n chẵn:
sn a0 a2 a4 ... an sn−1 a1 a3 a5 ... 0
Nếu n lẻ: sn a0 a2 a4 ... an−1 sn−1 a1 a3 a5 ... an
− Bước 2: điền các hàng từ 3 đến n+1 Giả sử hàng thứ k−2 và k−1 đã được điền:
sn−k+3 x1 ... xi xi+1 ... sn−k+2 y1 ... yi xi+1 ...
Điền tiếp hàng thứ k: sn−k+1 ... zi ... 0
ở đó:
11
11
11
1111 1+
+++ −=−
=i
iiii yy
xxyy
yxyxz (6.4)
Điều kiện Routh-Hurwitz được phát biểu như sau: Số nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực dương đúng bằng số lần đổi dấu của các phần tử trong cột thứ nhất của bảng Routh-Hurwitz. Điều đó có nghĩa là, điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các phần tử của cột thứ nhất trong bảng Routh-Hurwitz đều có cùng dấu. Chúng ta cần xét đến hai trường hợp đặc biệt xảy ra khi trong cột thứ nhất của bảng Routh-Hurwitz có ít nhất một phần tử bằng không:
− Nếu một phần tử của cột thứ nhất bằng không, nhưng trong các phần tử cùng hàng với nó có ít nhất một phần tử khác không: trong trường hợp này hệ thống không ổn định.
− Nếu mọi phần tử cùng hàng với một phần tử có giá trị bằng không ở cột thứ nhất đều bằng không: giả sử tất cả các phần tử ở hàng thứ k đều bằng không. Điều đó có nghĩa là tất cả các phần tử trong bảng từ hàng thứ k trở đi đều bằng không. Trường hợp này xảy ra khi phương trình đặc trưng có các nghiệm nằm trên trục ảo của mặt phẳng s và đối xứng nhau qua tâm của trục tọa độ phức. Các nghiệm này chính là nghiệm của một phương trình phụ được thiết lập từ các phần tử ở hàng ngay trên của hàng đầu tiên toàn giá trị không, tức là hàng thứ k−1:
0...)( 232
21 =+++= −−−+− knknkn sysysysU (6.5)
Khi đó, chúng ta sẽ xác định tính ổn định của hệ thống qua các nghiệm còn lại của phương trình đặc trưng bằng cách áp dụng điều kiện Routh-Hurwitz cho phương trình sau:
0)()(=
sUsq (6.6)
83
Ví dụ 6.1 Xem xét một hệ thống điều khiển tay máy có phương trình đặc trưng như sau: q(s) = s5 + s4 + 4s3 + 24s2 + 3s + 63 = 0 (6.7) Bảng Routh-Hurwitz cho q(s) được thiết lập dưới đây:
s5 1 4 3s4 1 24 63s3 -20 -60 0s2 21 63 0s1 0 0 0s0 0 0 0
Phương trình phụ trong trường hợp này là: U(s) = 21s2 + 63 = 0 (6.8)
Nghiệm của phương trình phụ là 3is ±= , là hai nghiệm đối xứng nhau trên trục ảo. Chúng ta sẽ xem xét các nghiệm còn lại của phương trình sau:
0)21(211
)()( 23 =+++= sss
sUsq (6.9)
hay:
02123 =+++ sss (6.10) Chúng ta có được bảng Routh-Hurwitz của phương trình (6.10):
s3 1 1s2 1 21s1 -20 0s0 21 0
Trong bảng này, chúng ta thấy có hai lần đổi dấu ở cột thứ nhất, tức là phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm với phần thực lớn hơn không. Vì vậy hệ thống chúng ta đang xem xét không ổn định. Ví dụ 6.2
Một ổ đĩa máy tính có sơ đồ khối được biểu diễn trong Hình 6.1, ở đó G(s) là hàm chuyển thể hiện động lực của cơ cấu đầu đọc ghi và D(s) là hàm chuyển của bộ phận điều khiển:
)3)(2(
1)(++
=sss
sG (6.11)
1
)()(++
=s
asKsD (6.12)
Chúng ta tính được phương trình đặc trưng của hệ thống: q(s) = s4 + 6 s3 + 11 s2 + (K+6)s + Ka = 0 (6.13) Bảng Routh-Hurwitz của phương trình này được thiết lập dưới đây:
84
s4 1 11 Kas3 6 K+6 0s2
610 K
− Ka 0
s1 K
KaK−
−+60366
0 0
s0 Ka 0 0
G(s) R(s) C(s) D(s) _
+
Hình 6.1. Sơ đồ khối của hệ thống trong ví dụ 6.2
Theo điều kiện Routh-Hurwitz, điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là:
06
10 >−K hay K < 60 (6.14)
và
060366 >−
−+K
KaK hay KKKa
36)6)(60( +−
< (6.15)
và Ka > 0 (6.16) 6.3. Tính ổn định của hệ thống trong miền thời gian Như chúng ta đã trình bày ở Chương III, một hệ thống tuyến tính có thể biểu diễn được dưới dạng phương trình vi phân bậc nhất của vector trạng thái:
BuAxx+=
dtd (6.17)
Đáp ứng của hệ thống khi đó sẽ là: y = Cx + Du (6.18) Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (6.17), chúng ta có được: sX(s) = AX(s) + BU(s) (6.19) hay:
X(s) = (sI − A)−1BU(s) (6.20) trong đó I là ma trận đơn vị có kích thước bằng kích thước của ma trận A. Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (6.18), chúng ta có được: Y(s) = CX(s) + DU(s) (6.21) Thay (6.20) vào (6.21):
85
)(])([)( 1 sss UDBAICY +−= − (6.22)
Ma trận nghịch đảo của một ma trận M được tính bằng công thức sau:
)det()(adj1
MMM =− (6.23)
ở đó, adj(M) là ma trận liên hợp của M và det(M) là định thức của ma trận M. Áp dụng công thức này, phương trình (6.22) trở thành:
)()det()(adj)( s
sss UD
AIBAICY ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−
= (6.24)
Phương trình (6.24) thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống trong miền tần số, vì vậy phương trình đặc trưng của hệ thống là:
q(s) = det(sI − A) = 0 (6.25) Như vậy, để khảo sát tính ổn định của hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái, chúng ta có thể dùng điều kiện Routh-Hurwitz cho phương trình đặc trưng (6.25). Các nghiệm của phương trình này chính là các giá trị riêng (eigenvalues) của ma trận A. Một phương pháp đơn giản hơn để xác định tính ổn định của hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái là sử dụng định lý Lyapunov. Định lý Lyapunov được phát biểu như sau: Điều kiện cần và đủ để tất cả các giá trị riêng của một ma trận A đều có phần thực âm là nghiệm của phương trình sau phải là một ma trận xác định dương đối xứng:
ATX + XA = −N (6.26) ở đó, AT là ma trận chuyển vị của ma trận A, N là một ma trận xác định dương đối xứng bất kỳ, còn ma trận X là ẩn của phương trình. Ma trận xác định dương đối xứng (symmetric positive definite matrix) là ma trận đối xứng có các giá trị riêng đều lớn hơn không. Cách dễ nhất để kiểm tra xem một ma trận đối xứng có phải là ma trận xác định dương đối xứng hay không là kiểm tra các định thức con chính (principal minor) của ma trận. Nếu tất cả các định thức con chính của một ma trận đối xứng đều lớn hơn không, ma trận đó là ma trận xác định dương đối xứng. Ví dụ 6.3
Một hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái với ma trận A được cho như sau:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−=
abba
A (6.27)
Để xác định tính ổn định của hệ thống, chúng ta lấy ma trận ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
N và giải
phương trình sau:
86
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
1001
2221
1211
2221
1211abba
xxxx
xxxx
abba
(6.28)
trong đó x12 = x21. Nghiệm của phương trình (6.28) là:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
a
a
210
021
X (6.29)
Các định thức con chính của X là 1/(2a) và 1/(4a2). Vì vậy, điều kiện để hệ thống ổn định là 1/(2a) > 0 hay a > 0. 6.4. Tính ổn định tương đối của các hệ thống điều khiển phản hồi Các phương pháp của Routh-Hurwitz và Lyapunov cho phép chúng ta xác định tính ổn định tuyệt đối của hệ thống. Tuy nhiên, với một hệ thống ổn định, chúng ta có thể còn mong muốn xác định tính ổn định tương đối của nó. Tính ổn định tương đối (relative stability) của một hệ thống có thể được định nghĩa như một thuộc tính đo được bằng thời gian quá độ tương đối của mỗi nghiệm hay mỗi cặp nghiệm đối xứng nhau qua trục thực của phương trình đặc trưng của hệ thống. Vì vậy, tính ổn định tương đối của hệ thống được biểu diễn bởi phần thực của mỗi nghiệm hay cặp nghiệm đối xứng. Nghiệm có phần thực càng gần giá trị không thì thời gian quá độ tương đối của nó càng lớn, nghĩa là tính ổn định tương đối của nó càng thấp. Ngoài ra, tính ổn định tương đối của hệ thống còn có thể được định nghĩa bằng tỷ số cản tương đối của mỗi cặp nghiệm phức hay tốc độ đáp ứng tương đối và phần trăm quá mức tương đối thay cho thời gian quá độ tương đối. Bài tập Bài 6.1. Một hệ thống có phương trình đặc trưng như sau:
s3 + 3Ks2 + (2+K)s + 4 = 0 Hãy xác định khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định. Bài 6.2. Một hệ thống có phương trình đặc trưng như sau:
s3 + 9s2 + 26s + 24 = 0 Dùng điều kiện Routh-Hurwitz để chứng tỏ rằng hệ thống này ổn định. Bài 6.3. Một hệ thống điều khiển có sơ đồ khối được thể hiện trong hình vẽ dưới. Hãy xác định giá trị của K mà tại đó hệ thống bắt đầu không ổn định.
+ R(s) +
−
C(s) 1
2+s
)2( +ss
K
−
Bài 6.4. Một hệ thống điều khiển phản hồi có sơ đồ khối được biểu diễn trong hình vẽ dưới, ở đó hàm chuyển của quá trình được cho như sau:
87
2)10(20)(
+
+=
ssssG
G(s) R(s) C(s) K
_
+
Hãy xác định khoảng giá trị K để hệ thống ổn định.
Bài 6.5. Một hệ thống được biểu diễn bằng phương trình vi phân BuAxx+=
dtd
của vector trạng thái x, trong đó ma trận A được cho như sau:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
21100010
kA
Hãy xác định khoảng giá trị của k để hệ thống ổn định. Bài 6.6. Một hệ thống điều khiển đầu đọc ghi băng cassette có sơ đồ khối được biểu diễn trong hình vẽ dưới.
2)50(10+s
R(s) C(s) 200+s
K_
+
(a) Xác định khoảng giá trị của K để cho hệ thống ổn định. (b) Xác định giá trị của K để phần trăm quá mức của đáp ứng với tín hiệu vào
là hàm nhảy bậc đơn vị vào khoảng 5%. Bài 6.7. Hệ thống lái tự động của một tàu thủy được biểu diễn bởi phương trình vi phân của vector trạng thái như sau:
)(
0003,0
2,0
)(
0010130010015,01000605,0
3tt
dtd δ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
=−
xx
ở đó vector trạng thái x(t) gồm bốn biến trạng thái x1, x2, x3 và x4. (a) Xác định xem hệ thống có ổn định hay không. (b) Thêm vòng phản hồi vào hệ thống, khi đó chúng ta có δ(t) = −k1x1 − k2x3.
Có tồn tại các giá trị của k1 và k2 để hệ thống ổn định hay không?
88
Chương VII
PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH NGHIỆM Tóm tắt nội dung Trong các chương trước, chúng ta đã thấy hiệu suất của hệ thống phản hồi có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số của hệ thống, và chúng ta có thể mô tả hiệu suất đó bằng vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s. Vì vậy, việc xác định sự thay đổi vị trí của các nghiệm đặc trưng trong mặt phẳng s khi một tham số thay đổi là rất cần thiết. Quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s có thể xác định được bằng phương pháp sử dụng đồ thị. Nội dung chương này sẽ đề cập tới các phương pháp được sử dụng để phác ra được quỹ tích của các nghiệm này. Không những có thể xác định được các nghiệm dịch chuyển như thế nào khi một tham số thay đổi, chúng ta còn có thể biểu diễn được sự biến đổi của các nghiệm đó khi có nhiều hơn một tham số thay đổi. Điều đó cung cấp cho chúng ta khả năng thiết kế một hệ thống với nhiều tham số điều chỉnh được nhằm đạt được hiệu suất mong muốn. 7.1. Giới thiệu Tính ổn định tương đối và hiệu suất nhất thời của một hệ thống điều khiển vòng kín có liên quan trực tiếp tới vị trí các nghiệm vòng kín của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s. Thêm nữa, chúng ta thường cần phải điều chỉnh một vài tham số của hệ thống để có được vị trí phù hợp cho các nghiệm. Vì vậy, sẽ rất có giá trị nếu chúng ta xác định được các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống di chuyển như thế nào trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi, nghĩa là xác định quỹ tích của các nghiệm trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi. Phương pháp quỹ tích nghiệm (root locus) được Evans giới thiệu vào năm 1948 và đã được phát triển để trở thành một phương pháp được ứng dụng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển. Phương pháp quỹ tích nghiệm là một phương pháp sử dụng đồ thị để thể hiện quỹ tích của các nghiệm trong mặt phẳng s khi các tham số thay đổi. Trong thực tiễn, phương pháp quỹ tích nghiệm cung cấp cho chúng ta một số đo độ nhạy của các nghiệm của phương trình đặc trưng đối với sự thay đổi của các tham số được xem xét. Trong phương pháp này, điều kiện Routh-Hurwitz có thể được sử dụng để xác định khoảng biến đổi được phép cho các tham số nhằm đảm bảo hệ thống luôn ổn định khi các tham số thay đổi. Mặc dù phương pháp quỹ tích nghiệm được thiết kế để áp dụng cho các hệ thống phản hồi một vòng, phương pháp này cũng có thể áp dụng được cho các hệ thống nhiều vòng với nhiều tham số thay đổi. 7.2. Khái niệm quỹ tích nghiệm Với hệ thống điều khiển vòng kín có sơ đồ khối như trong Hình 7.1, phương trình đặc trưng của hệ thống là:
89
q(s) = 1 + G(s)H(s) = 0 (7.1)
G(s)
H(s)
R(s) C(s) +
−
Hình 7.1. Hệ thống điều khiển phản hồi
Đặt F(s) = G(s)H(s), phương trình (7.1) trở thành:
1 + F(s) = 0 hay F(s) = −1 (7.2) Vì s là biến phức, hàm F(s) co thể biểu diễn dưới dạng:
F(s) = r(s)cosθ(s) + ir(s)sinθ(s) (7.3)
ở đó r(s) là độ lớn và θ(s) là góc cực của F(s):
)]([real)]([imagarctan)(
)()(
sFsFs
sFsr
=
=
θ (7.4)
Thay (7.3) vào phương trình (7.2), chúng ta có được phương trình sau:
r(s)cosθ(s) + ir(s)sinθ(s) = −1 (7.5) Vì vậy, điều kiện cần thiết để phương trình đặc trưng của hệ thống được thỏa mãn là: r(s) = 1 (7.6) và
θ(s) = (2k + 1)π (7.7)
với k là một số nguyên. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu ∠F(s) = θ(s). Để minh họa cho khái niệm quỹ tích nghiệm, trước hết chúng ta xem xét một hệ thống phản hồi có G(s) = 1/[s(s + a)] và H(s) = K, ở đó K là một giá trị có thể thay đổi trong khoảng từ 0 đến +∞. Trong trường hợp này, F(s) là biểu thức sau:
)(
)(ass
KsF+
= (7.8)
Để thỏa mãn điều kiện (7.6), chúng ta cần phải có:
1)(=
+ assK (7.9)
hay: | s || s + a | = K (7.10) Tiếp theo, chúng ta cần xem xét tới góc cực của hàm F(s). Để làm điều này,
90
chúng ta sẽ cần tới hai quy tắc sau đây:
1. Nếu f(s) = a(s)b(s) thì ∠f(s) = ∠a(s) + ∠b(s) (7.11) 2. Nếu f(s) = a(s)/b(s) thì ∠f(s) = ∠a(s) − ∠b(s) (7.12)
Vì vậy, góc cực của hàm F(s) như ở (7.8) có thể biểu diễn được dưới dạng:
∠F(s) = −∠s − ∠(s + a) (7.13) Thay (7.13) vào phương trình (7.7), chúng ta có được:
−∠s − ∠(s + a) = (2k + 1)π (7.14)
Phương trình (7.14) chỉ có thể thỏa mãn được với k = 0 hay k = −1, nghĩa là:
−∠s − ∠(s + a) = ±π (7.15) Điều kiện (7.15) chỉ được thỏa mãn nếu nghiệm s của phương trình đặc trưng nằm trên trục thực của mặt phẳng s hoặc nằm trên đường thẳng vuông góc với trục thực và đi qua điểm −a/2. Điều kiện (7.10) được dùng để xác định các điểm giới hạn của quỹ tích. Khi K = 0, phương trình đặc trưng của hệ thống chính là phương trình đặc trưng của hệ thống vòng hở với các nghiệm 0 và −a. Phương trình đặc trưng có nghiệm thực khi K ≥ 0 và K ≤ a2/4. Khi K = a2/4 thì cả hai nghiệm của phương trình đều là −a/2. Quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi được biểu diễn trong Hình 7.2. Các mũi tên trong hình vẽ thể hiện chiều dịch chuyển của các nghiệm trong mặt phẳng s khi K tăng từ 0 đến +∞.
0 −a σ
iω
K = 0
K = 0
−a/2
K = a2/4
s1
∠(s1+a) ∠s1
Hình 7.2. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi từ 0 đến +∞
Để thể hiện rõ hơn khả năng của phương pháp quỹ tích nghiệm, chúng ta sẽ sử dụng lại ví dụ ở trên, nhưng với trường hợp K cố định, còn a thay đổi. Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
91
s2 + as + K = 0 (7.16) Sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz, chúng ta sẽ thấy được rằng để hệ thống ổn định thì cần có a ≥ 0. Vì vậy, chúng ta sẽ chỉ tìm quỹ tích của các nghiệm khi a tăng từ 0 đến +∞. Chia hai vế của phương trình (7.16) cho s2 + K, chúng ta có được phương trình:
01 2 =+
+Ks
as (7.17)
Phương trình này có dạng rất giống phương trình (7.2), nghĩa là F(s) trong trường hợp này sẽ là biểu thức sau đây:
Ks
assF+
= 2)( (7.18)
Tương tự như trong ví dụ trên, chúng ta sẽ có được các điều kiện sau:
1||
||2 =+ Kssa (7.19)
và
∠F(s) = ∠s − ∠(s + Ki ) − ∠(s − Ki ) = ±π (7.20) Điều kiện (7.20) chỉ được thỏa mãn nếu nghiệm s của phương trình đặc trưng nằm trên trục thực của mặt phẳng s hoặc nằm trên đường tròn có tâm là gốc của mặt phẳng s và có bán kính là K . Khi a = 0, hai nghiệm của phương trình đặc trưng là Ki± . Phương trình có nghiệm thực khi Ka 2≥ . Khi Ka 2= , hai nghiệm thực của phương trình đều là K− . Quỹ tích các nghiệm của phương trình đặc trưng khi a thay đổi được biểu diễn trong Hình 7.3. Các mũi tên trong hình vẽ thể hiện chiều dịch chuyển của các nghiệm trong mặt phẳng s khi a tăng từ 0 đến +∞. 7.3. Phương pháp quỹ tích nghiệm Trong phương pháp quỹ tích nghiệm của Evans, tác giả sử dụng một quy trình để phác họa nhanh quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống phản hồi. Trước hết, chúng ta có thể biểu diễn phương trình đặc trưng này dưới dạng của phương trình (7.2). Giả sử chúng ta cần xác định quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi một tham số K của hệ thống thay đổi từ 0 đến +∞. Để sử dụng được quy trình này, F(s) cần phải biểu diễn được dưới dạng tích của tham số K và một biểu thức: F(s) = KP(s). Bước tiếp theo là chuyển biểu thức P(s) về dạng các điểm không và điểm cực:
∏
∏
=
=
−
−
= N
jj
M
ii
ps
zssP
1
1
)(
)()( (7.21)
92
Khi đó, chúng ta có thể viết lại phương trình đặc trưng của hệ thống dưới dạng như sau:
0)()(11
=−+− ∏∏==
M
ii
N
jj zsKps (7.22)
0
Ki+
σ
iω
a = 0
Hình 7.3. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng khi a thay đổi từ 0 đến +∞
Ki−
K−
a = 0
Ka 2=
Khi K = 0, các nghiệm của phương trình đặc trưng chính là các điểm cực của P(s). Còn khi K tiến tới +∞ thì các nghiệm của phương trình đặc trưng tiến tới các điểm không của P(s). Vì vậy, quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng sẽ bắt đầu tại các điểm cực của P(s) và kết thúc tại các điểm không cũng của P(s) khi tham số K tăng từ 0 đến +∞ (nếu không có điểm không tương ứng thì đường quỹ tích sẽ tiến tới vô cùng). Số đường quỹ tích, tương ứng với số nghiệm của phương trình đặc trưng, đúng bằng số điểm cực của P(s) nếu P(s) có số điểm cực lớn hơn hoặc bằng số điểm không. Còn nếu P(s) có số điểm cực ít hơn số điểm không thì số đường quỹ tích sẽ bằng số điểm không. Chú ý rằng, đồ thị quỹ tích các nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống luôn đối xứng qua trục thực vì các nghiệm phức của phương trình đặc trưng luôn là các cặp liên hợp của nhau. Một điểm cần biết nữa là phần quỹ tích trên trục thực của các nghiệm luôn nằm trong các đoạn của trục thực ngay phía bên trái của các điểm cực hay điểm không của P(s) có thứ tự lẻ (không phân biệt điểm không và điểm cực) tính từ phải sang trái. Điều này được minh họa trong Hình 7.4. Nếu số điểm không của P(s) ít hơn số điểm cực, một số đường quỹ tích sẽ kết thúc tại các điểm không ở vô cùng dọc theo các đường tiệm cận (asymptote). Tất cả các đường tiệm cận này đều xuất phát từ một điểm trên trục thực có tọa độ σa được xác định như sau:
93
MN
zpM
ii
N
jj
a −
−
=∑∑== 11σ (7.23)
Góc của các đường tiệm cận này được tính như sau:
)1( 2,..., 1, 0, ,)12(−−=
−+
= MNkMN
kka
πφ (7.24)
× o × × ×
o − điểm không × − điểm cực
Các đoạn của quỹ tích nghiệm
Hình 7.4. Phần quỹ tích trên trục thực của các nghiệm
Khi K có một giá trị làm phương trình đặc trưng có nghiệm kép thực, đường quỹ tích nghiệm sẽ rời khỏi trục thực tại điểm trên trục thực có tọa độ bằng giá trị các nghiệm kép đó. Điểm này được gọi là điểm thoát (breakaway point) của quỹ tích. Một loại điểm quan trọng nữa là giao điểm của quỹ tích nghiệm với trục ảo của mặt phẳng s. Giao điểm này có thể xác định được bằng cách sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz để tìm giá trị của K ở đó hệ thống bắt đầu chuyển từ trạng thái ổn định sang bất ổn định và xác định các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm trên trục ảo ứng với giá trị K đó. Ngoài ra, sẽ rất hữu ích cho việc phác họa quỹ tích nghiệm nếu chúng ta xác định được góc của đường quỹ tích tại điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Các góc này có thể tính được bằng cách sử dụng điều kiện (7.7). Tóm lại, các bước được sử dụng để ước lượng quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bao gồm:
1. Biến đổi phương trình đặc trưng về dạng 1 + KP(s) = 0, ở đó K là tham số có giá trị thay đổi.
2. Xác định vị trí các điểm cực và điểm không của P(s) trong mặt phẳng s. 3. Xác định các đoạn của các đường quỹ tích nghiệm nằm trên trục thực. 4. Xác định số đường quỹ tích. 5. Xác định điểm gốc của các đường tiệm cận và góc của các đường tiệm
cận. 6. Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực nếu có. 7. Sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz để xác định giao điểm của quỹ tích và
trục ảo nếu có. 8. Xác định góc của các đường quỹ tích tại các điểm khởi đầu và kết thúc.
Ví dụ 7.1 Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
94
0)4)(2(
)1(1 2 =++
++
ssssK (7.25)
Các đoạn của quỹ tích nằm trên trục thực là [−1,0], [−4,−2] và [−∞,−4], vì tại điểm s = −4 có hai điểm cực. Số đường quỹ tích trong trường hợp này sẽ bằng số điểm cực của P(s), nghĩa là bằng bốn. Quỹ tích có ba đường tiệm cận với điểm gốc trên trục thực của các đường tiệm cận này là:
314
)1()4(2)2(0−=
−−−−+−+
=aσ (7.26)
Góc của ba đường tiệm cận lần lượt là:
3π5
14π5
π14π3
3π
14π
3
2
1
=−
=
=−
=
=−
=
a
a
a
φ
φ
φ
(7.27)
Để tìm điểm thoát của quỹ tích, trước hết cần biến đổi phương trình (7.25) về dạng:
1
)4)(2( 2
+++
−=s
sssK (7.28)
Điểm thoát của quỹ tích là tại điểm trên trục thực có giá trị của s thỏa mãn điều kiện sau đây:
0=dsdK (7.29)
hay: 3s4 + 24s3 + 62s2 + 64s + 32 = 0 (7.30)
Phương trình (7.30) có bốn nghiệm, nhưng chỉ có hai nghiệm thực là s = −2,6 và s = −4. Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy được ngay là khi s = −4 thì K = 0, phương trình đặc trưng bị triệt tiêu thành một đẳng thức, nên điểm s = −4 không thể là điểm thoát của quỹ tích. Vì vậy, điểm thoát của quỹ tích trên trục thực là điểm có giá trị s = −2,6. Còn để xác định các điểm giao của quỹ tích với trục ảo, chúng ta sử dụng điều kiện Routh-Hurwitz và tính ra được quỹ tích cắt trục ảo tại hai điểm có các giá trị là s = ±i4,86. Từ các giá trị tính được, chúng ta có thể phác họa được quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng khi K thay đổi (Hình 7.5). 7.4. Thiết kế tham số bằng phương pháp quỹ tích nghiệm Phương pháp quỹ tích nghiệm vốn được phát triển với mục đích xác định quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống phản hồi khi hệ số phản hồi K thay đổi từ 0 đến +∞. Tuy nhiên, như chúng ta đã thấy, ảnh hưởng
95
của các tham số khác của hệ thống cũng có thể được nghiên cứu bằng cách sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm. Câu hỏi được đặt ra là: bằng cách nào chúng ta có thể nghiên cứu hoạt động của hệ thống khi có nhiều tham số thay đổi chứ không phải chỉ có một. Mặc dù phương pháp quỹ tích nghiệm là phương pháp một tham số, nó có thể được mở rộng để áp dụng cho trường hợp có hơn một tham số thay đổi. Đây là phương pháp thiết kế tham số (parameter design), sử dụng quỹ tích nghiệm để lựa chọn giá trị cho các tham số.
0 σ
iω
Hình 7.5. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng trong ví dụ 7.1
× o × × −1 −2 −4 −3
o − điểm không × − điểm cực
Giả sử chúng ta cần xem xét tác động của sự thay đổi của hai tham số α và β của một hệ thống phản hồi. Để làm điều đó, chúng ta cần thực hiện phương pháp quỹ tích nghiệm hai lượt. Trong lượt đầu tiên, đặt β = 0 và vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng với α thay đổi. Sau khi đã đánh giá được tác động của α, chọn một giá trị thích hợp cho α và thực hiện phương pháp quỹ tích nghiệm một lần nữa với β thay đổi để chọn được giá trị phù hợp cho β. Tương tự như thế, chúng ta có thể mở rộng phương pháp quỹ tích nghiệm để áp dụng trong các trường hợp hệ thống có nhiều hơn hai tham số thay đổi. 7.5. Độ nhạy và quỹ tích nghiệm Như chúng ta đã tìm hiểu trong Chương IV, tác động của sự biến thiên của các tham số tới đáp ứng của hệ thống có thể mô tả được bằng số đo độ nhạy (sensitivity) của hệ thống đối với sự thay đổi của một tham số:
KKTT
KTS T
K ∂∂
=∂∂
=lnln (7.31)
96
trong đó T(s) là hàm chuyển của cả hệ thống và K là tham số được xem xét. Bởi vì nghiệm của phương trình đặc trưng quyết định dạng của đáp ứng nhất thời của hệ thống, tác động của sự biến thiên của tham số tới vị trí của các nghiệm là một số đo độ nhạy quan trọng. Khái niệm độ nhạy của nghiệm (root sensitivity) của một hệ thống được định nghĩa như sau:
KK
pK
pS jjp
Kj
∂
∂=
∂
∂=
ln (7.32)
ở đó pj là nghiệm thứ j của phương trình đặc trưng của T(s):
∏
∏
=
=
−
−
= N
jj
M
ii
ps
zsAsT
1
1
)(
)()( (7.33)
Độ nhạy TKS khi đó có thể khai triển được như sau:
∑∑==
−⋅
∂
∂−
−⋅
∂∂
+∂∂
=∂∂
=N
j j
jM
i i
iTK psK
pzsK
zKA
KTS
11
1ln
1lnln
lnlnln (7.34)
Do hai tham số A và K độc lập với nhau và giả thiết là các điểm không của T(s) độc lập với tham số K, nghĩa là:
01
ln
0lnln
1
=−
⋅∂∂
=∂∂
∑=
M
i i
i
zsKz
KA
(7.35)
Từ (7.34) và (7.35), chúng ta có được:
∑∑==
−−=
−⋅
∂
∂−=
N
j j
pK
N
j j
jTK ps
SpsK
pS
j
11
1ln
(7.36)
Độ nhạy của nghiệm jpKS có thể đánh giá được bằng cách xem xét đường cong tại
nghiệm s = pj của quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của T(s) khi K thay đổi. Số đo độ nhạy của nghiệm đối với sự biến thiên của một tham số rất có giá trị trong việc so sánh độ nhạy của nhiều tham số thiết kế tại các giá trị nghiệm khác nhau. Để sử dụng được độ nhạy của nghiệm cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển, một loạt phép tính toán phải được thực hiện cho các giá trị khác nhau của các điểm không và điểm cực của hàm chuyển. Vì vậy, việc sử dụng độ nhạy của nghiệm như một kỹ thuật thiết kế phần nào bị hạn chế do khối lượng tính toán lớn trong khi thiếu một chỉ dẫn rõ ràng cho việc điều chỉnh các tham số để làm giảm độ nhạy. Tuy nhiên, độ nhạy của nghiệm có thể sử dụng
97
được như một phương pháp phân tích, cho phép người thiết kế so sánh các thiết kế khác nhau của hệ thống. Độ nhạy của nghiệm được dùng như một chỉ số biểu diễn độ nhạy của một hệ thống đối với những biến thiên của tham số được thể hiện trong mặt phẳng s. Bài tập Bài 7.1. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
022)4(1 2 =
++
++
sssKs
(a) Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bằng phương pháp của Evans.
(b) Xác định K để phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau và tính giá trị hai nghiệm này.
(c) Xác định thời gian quá độ của hệ thống khi phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau.
Bài 7.2. Một thiết bị ghi băng sử dụng một hệ thống điều khiển tốc độ phản hồi âm với hàm chuyển của khối phản hồi là H(s) = 1. Hàm chuyển của quá trình cần điều khiển là:
)54)(2()( 2 +++=
ssssKsG
Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi K thay đổi. Bài 7.3. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
0)6)(3)(1(
1 =+++
+sss
K
(a) Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực. (b) Tìm điểm gốc của các đường tiệm cận. (c) Xác định giá trị của K tại điểm thoát của quỹ tích.
Bài 7.4. Một thiết bị điều khiển thang máy sử dụng một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
)50)(20)(1()1()(
++++
=ssss
sKsG
Sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm để xác định giá trị của K sao cho tỷ số cản ζ của một cặp nghiệm phức có giá trị bằng 0,8. Bài 7.5. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
0)4)(1(
)1(1 2
2=
++
++
ssssK
(a) Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình khi K tăng từ 0 đến +∞. (b) Xác định khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định.
98
(c) Với giá trị nào của K trong khoảng 0 đến +∞ phương trình chỉ có nghiệm phức? Tính giá trị của các nghiệm đó.
99
Chương VIII
CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ Tóm tắt nội dung Chúng ta đã xem xét việc sử dụng các tín hiệu vào thử như tín hiệu xung hay tín hiệu nhảy bậc trong việc phân tích hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ sử dụng tín hiệu vào có dạng sin ở trạng thái thường trực và xem xét đáp ứng của hệ thống khi tần số của tín hiệu dạng sin thay đổi.
Chúng ta sẽ nghiên cứu đáp ứng của G(s) khi s = iω và vài dạng đồ thị phức cho G(iω) khi ω thay đổi. Những đồ thị này mang lại cho chúng ta các hiểu biết sâu sắc về hiệu suất của hệ thống. Một vài số đo hiệu suất cho đáp ứng tần số của hệ thống sẽ được đề cập tới. Các số đo này có thể sử dụng được như các mô tả định lượng chất lượng của hệ thống và chúng ta có thể điều chỉnh các tham số của hệ thống để thỏa mãn các yêu cầu được định nghĩa trên các số đo hiệu suất đó. 8.1. Giới thiệu Trong các chương trước, đáp ứng và hiệu suất của hệ thống được mô tả dưới dạng của biến tần số phức s và vị trí các điểm cực và điểm không trong mặt phẳng s. Một phương pháp khác rất quan trọng và rất có tính thực tiễn cho việc phân tích và thiết kế hệ thống là phương pháp đáp ứng tần số. Đáp ứng tần số (frequency response) của một hệ thống được định nghĩa là đáp ứng ở trạng thái thường trực của hệ thống với tín hiệu vào là một tín hiệu dạng sin. Với tín hiệu sin là tín hiệu vào duy nhất, tín hiệu ra cho một hệ thống tuyến tính cũng như các tín hiệu chuyển tiếp trong toàn hệ thống đều có dạng sin ở trạng thái thường trực, chỉ khác tín hiệu vào ở biên độ và góc pha. Một thuận lợi đối với phương pháp đáp ứng tần số là rất dễ tìm các nguồn tín hiệu thử dạng sin với nhiều khoảng biên độ và tần số khác nhau. Vì vậy, việc xác định đáp ứng tần số của hệ thống bằng thử nghiệm rất dễ thực hiện và là phương pháp đáng tin cậy nhất cũng như ít phức tạp nhất trong việc phân tích hệ thống bằng thực nghiệm. Chúng ta còn có thể tìm được hàm chuyển của hệ thống từ đáp ứng tần số được xác định bằng thực nghiệm. Thêm nữa, việc thiết kế hệ thống trong miền tần số cho phép chúng ta điều khiển dải thông của hệ thống và một số số đo khác của đáp ứng đối với nhiễu. Thuận lợi thứ hai của phương pháp đáp ứng tần số là hàm chuyển mô tả hành vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống có thể xác định được bằng cách dùng iω thay cho s trong hàm chuyển T(s) của hệ thống. Hàm chuyển biểu diễn hành vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là một hàm của biến phức iω, và bản thân nó cũng là một hàm phức T(iω), được đặc trưng bởi độ lớn và góc pha. Độ lớn và góc pha của T(iω) được biểu diễn bằng các đồ thị, cung cấp cho chúng ta những thông tin quan trọng cho việc phân tích và thiết kế
100
hệ thống. Điều bất lợi cơ bản của phương pháp đáp ứng tần số trong việc phân tích hệ thống là mối liên hệ không trực tiếp giữa tần số và miền thời gian. Các mối liên hệ trực tiếp giữa đáp ứng tần số và các đặc tính của đáp ứng nhất thời tương ứng khá mỏng manh, trong khi trong thực tế, đặc tính của đáp ứng tần số được điều chỉnh bằng cách sử dụng các điều kiện thiết kế thường được nhằm để mang lại đáp ứng nhất thời như mong muốn. Trong các chương trước, chúng ta đã sử dụng cặp biến đổi Laplace:
∫∞
−==0
)()]([)( dtetftfsF stL (8.1)
và
∫∞+
∞−
− ==i
i
st dsesFπi
sFtfσ
σ
)(21)]([)( 1L (8.2)
ở đó biến phức s = σ + iω. Tương tự, chúng ta có cặp biến đổi Fourier:
∫+∞
∞−
−== dtetftfiF tiωω )()]([)( F (8.3)
và
∫+∞
∞−
− == ωωω ω deiFπ
iFtf ti)(21)]([)( 1F (8.4)
Biến đổi Fourier tồn tại cho f(t) khi:
∞<∫+∞
∞−
dttf |)(| (8.5)
Biến đổi Fourier và biến đổi Laplace có mối quan hệ rất gần gũi. Khi hàm f(t) chỉ xác định với t ≥ 0, khoảng lấy tích phân của hai biến đổi là như nhau. Khi đó, hai phép biến đổi chỉ khác nhau về dạng biến phức. Vì vậy, nếu chúng ta đã có biến đổi Laplace F(s) của một hàm f(t), chúng ta có được biến đổi Fourier cũng của f(t) bằng cách thay s bởi iω trong F(s). Chúng ta có thể tự hỏi, nếu biến đổi Fourier và biến đổi Laplace gần nhau tới như vậy, tại sao không luôn sử dụng biến đổi Laplace? Câu trả lời là, biến đổi Laplace cho phép chúng ta tìm hiểu vị trí của các điểm cực và điểm không của hàm chuyển T(s) trong mặt phẳng s, còn phương pháp đáp ứng tần số sử dụng biến đổi Fourier cho phép chúng ta xem xét hàm chuyển T(iω) cùng các đặc tính về độ lớn và pha của hệ thống, với ω là tần số của tín hiệu vào và ra của hệ thống. Khả năng biểu diễn tính chất của hệ thống bằng các phương trình và đồ thị của độ lớn và pha là một thuận lợi cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống
101
điều khiển. Xem xét đáp ứng tần số của một hệ thống vòng kín, với tín hiệu vào r(t) có biến đổi Fourier là R(iω). Khi đó, đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển phản hồi được xác định bằng cách thay s bởi iω trong phương trình biểu diễn mối quan hệ của hệ thống vòng kín, C(s) = T(s)R(s), để có được phương trình sau:
)()()(1
)()()()( ωωω
ωωωω iRiHiG
iGiRiTiC+
== (8.6)
Áp dụng biến đổi Fourier nghịch cho C(iω), chúng ta sẽ thu được đáp ứng nhất thời c(t). Tuy nhiên, việc ước lượng biến đổi nghịch này thường khá khó khăn kể cả cho những hệ thống đơn giản nhất, vì vậy phương pháp tích phân bằng đồ thị có thể được sử dụng. Ngoài ra, một vài số đo của đáp ứng nhất thời có liên hệ tới các đặc tính tần số cũng có thể sử dụng được cho các mục đích trong việc thiết kế hệ thống. 8.2. Đồ thị của đáp ứng tần số Hàm chuyển G(s) của một hệ thống có thể mô tả được trong miền tần số bằng mối quan hệ như sau:
G(iω) = G(s)|s = iω = R(ω) + iI(ω) (8.7) ở đó:
R(ω) = real[G(iω)] và I(ω) = imag[G(iω)] (8.8)
Chúng ta cũng có thể biểu diễn hàm chuyển bằng độ lớn |G(ω)| và góc pha φ(ω):
G(iω) = |G(iω)|eiφ(ω) (8.9) ở đó:
)()()( 22 ωωω IRiG += (8.10)
và:
)()(arctan)(
ωωωφ
RI
= (8.11)
Biểu diễn đồ thị của đáp ứng tần số có thể sử dụng phương trình (8.7) hay (8.9). Đồ thị của phương trình (8.7) được gọi là đồ thị cực (polar plot) của đáp ứng tần số. Các tọa độ của đồ thị cực là phần thực và phần ảo của G(iω). Ví dụ 8.1
Một bộ lọc RC đơn giản được biểu diễn trong Hình 8.1. Hàm chuyển của bộ lọc này là:
1
1)()()(
1
2+
==RCssV
sVsG (8.12)
102
v1(t) v2(t) C R
Hình 8.1. Bộ lọc RC
Thay s bằng iω, chúng ta có được hàm chuyển dạng sin ở trạng thái thường trực:
1
11
1)(1 +
=+
=ωωω
ωiRCi
iG (8.13)
ở đó ω1 = 1/(RC). Để vẽ đồ thị cực của G(iω), chúng ta cần biểu diễn phương trình (8.13) dưới dạng của phương trình (8.7) bằng cách như sau:
1)(
)(1)(
11)()(1)( 2
1
12
12
1
1
+−
+=
+
−=
ωω
ωω
ωωωω
ωωω iiiG (8.14)
Quỹ tích của hàm chuyển G(iω) khi ω tăng từ 0 đến +∞ là nửa đường tròn có tâm tại điểm (1/2, 0) và bán kính 1/2 trong mặt phẳng cực (Hình 8.2).
R(ω)
I(ω)
1 0 ω = 0 ω = ∞
Hình 8.2. Đồ thị cực cho bộ lọc RC
Hạn chế của đồ thị cực là việc tính toán đáp ứng tần số khá rắc rối và không thể hiện được ảnh hưởng của từng điểm cực hay điểm không trong đồ thị. Vì vậy, người ta sử dụng đồ thị logarit (logarithmic plot), thường gọi là đồ thị Bode (Bode plot), để đơn giản hóa việc xác định biểu diễn đồ thị của đáp ứng tần số. Lấy logarit tự nhiên của G(iω) biểu diễn dưới dạng của phương trình (8.9):
ln G(iω) = ln |G(iω)| + iφ(ω) (8.15)
Từ đó, chúng ta có thể vẽ đồ thị của φ(ω) và logarit của độ lớn |G(iω)| khi ω thay đổi. Người ta thường biểu diễn logarit của độ lớn |G(iω)| dưới dạng logarit cơ số 10 bằng công thức 20log10|G(iω)| với đơn vị là dB.
103
Trở lại ví dụ 8.1, hệ số thời gian của bộ lọc RC là τ = RC. Viết lại phương trình (8.13) dưới dạng sau:
11
11
11
1)( 2222 +−
+=
+=
+=
τωωτ
τωωτωω i
iRCiiG (8.16)
Logarit của độ lớn hàm chuyển là:
)1(log101
1log20log20 2210221010 τω
τω+−=
+=G (8.18)
Ở tần số rất nhỏ, ω << 1/τ, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:
(dB) 01log10log20 1010 =−≅G (8.19)
Tại ω = 1/τ, chúng ta có được:
(dB) 01,32log10log20 1010 −=−=G (8.20)
Tần số ω = 1/τ thường được gọi là tần số gãy (break frequency) hay tần số bẻ góc (corner frequency). Góc pha của bộ lọc là:
)arctan()(real)(imagarctan)( ωτωφ −==
GG (8.21)
Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω) được thể hiện trong Hình 8.3.
20log10|G| (dB)
φ(ω) (o)
ω (rad/s)
τ2
1
τ
1
τ2
3
τ
2
τ2
5
τ
3
τ2
7
τ
4
τ2
9
τ
5
Hình 8.3. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω) = 1/( iωτ + 1)
Trong đồ thị Bode, người ta thường sử dụng thang logarit cho tần số ω, vì đồ
104
thị thay đổi rất chậm khi tần số rất lớn. Khoảng nằm giữa hai tần số ω1 và ω2, ở đó ω2 = 10ω1, được gọi là một quãng mười (decade). Khi tần số rất lớn, ω >> 1/τ, sự sai khác độ lớn của hàm chuyển giữa điểm đầu và điểm cuối một quãng mười có thể ước lượng được như sau:
(dB) 20101log20log20
)(log20)(log20)(log10)(log10
)(log20)(log20
102
110
110210
22110
22210
110210
−===
+−=+−≅
−
ωω
τωτωτωτω
ωω GG
(8.22)
Đồ thị Bode của hàm chuyển sử dụng thang logarit cho trục ω được thể hiện trong Hình 8.4.
20log10|G| (dB)
φ(ω) (o) ω (rad/s)
τ
1 τ10
Hình 8.4. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω) = 1/( iωτ + 1) sử dụng thang logarit cho trục ω
τ10
1
Lợi ích chính yếu trong việc sử dụng đồ thị logarit là việc chuyển đổi hàm chuyển từ dạng tích thành tổng. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể biểu diễn hàm chuyển G(iω) ở dạng:
105
∏∏
∏
==
=
+++
+
= R
knnk
M
mm
N
Q
ll
kkiiii
iKiG
1
2
1
1
])())(2(1[)1()(
)1()(
ωωωωζωτω
ωτ
ω (8.23)
Hàm chuyển này có Q điểm không, N điểm cực tại gốc tọa độ, M điểm cực nằm trên trục thực và R cặp điểm cực liên hợp phức. Rõ ràng là việc vẽ đồ thị cực cho một hàm như thế này là việc cực kỳ khó khăn. Logarit của độ lớn hàm chuyển G(iω) là:
∑
∑∑
∑
=
==
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
+−−
++=
R
k nn
k
M
mm
Q
l
N
Q
ll
kk
ii
ii
iKiG
1
2
10
110
110
1101010
21log20
1log20)(log20
1log20log20)(log20
ωωω
ωζ
ωτω
ωτω
(8.24)
Góc pha φ(ω) là tổng các góc pha của các thành phần:
∑∑
∑
==
=
−−−−
=
R
k n
nkM
mm
Q
ll
k
kN1
221
1
2arctan)arctan()90(
)arctan()(
ωω
ωωζωτ
ωτωφ
o
(8.25)
Từ hai công thức trên, chúng ta thấy đồ thị Bode có thể vẽ được bằng cách cộng các đồ thị của các thành phần riêng biệt của hàm chuyển. Như vậy, có bốn kiểu thành phần khác nhau có thể xuất hiện trong hàm chuyển:
1. Hằng số (K). 2. Điểm cực/điểm không tại gốc tọa độ (iω). 3. Điểm cực/điểm không trên trục thực (1 + iωτ). 4. Các cặp điểm cực/điểm không liên hợp phức (1 + 2(ζ/ωn)iω + (iω/ωn)2).
Chúng ta có thể xác định đồ thị logarit của độ lớn và đồ thị góc pha cho từng thành phần của hàm chuyển, sau đó cộng chúng lại để có được đồ thị Bode cho toàn bộ hàm chuyển. Chúng ta cũng có thể đơn giản hóa việc vẽ đồ thị bằng cách sử dụng các xấp xỉ tiệm cận của các đường cong và chỉ tính các giá trị chính xác tại một số tần số đặc biệt. Hằng số (K). Giá trị logarit của hằng số cũng là một hằng số (20log10K), còn góc pha bằng không.
Điểm cực hay điểm không tại gốc tọa độ (iω). Với một điểm cực tại gốc tọa
106
độ, logarit của độ lớn là:
20log10|1/(iω)| = −20log10ω (8.26)
và góc pha là φ(ω) = −90o. Với N điểm cực tại gốc tọa độ, chúng ta sẽ có:
20log10|1/(iω)N| = −20Nlog10ω (8.27)
và góc pha là φ(ω) = −90oN. Với một điểm không tại gốc tọa độ, logarit của độ lớn là:
20log10|iω| = 20log10ω (8.28)
và góc pha là φ(ω) = 90o.
Điểm cực hay điểm không nằm trên trục thực (1 + iωτ). Điểm cực nằm trên trục thực tương ứng với 1/(1 + iωτ) trong hàm chuyển, chính là ví dụ 8.1 chúng ta đã xem xét. Vì vậy, theo phương trình (8.18), logarit của độ lớn là
)1(log10log20 221010 τω+−=G và góc pha là φ(ω) = −arctan(ωτ). Đường tiệm
cận của 20log10|G| khi ω << τ có độ dốc bằng không, còn đường tiệm cận khi giá trị ω >> τ có độ dốc là −20dB/decade. Giao điểm của hai đường tiệm cận này chính tại tần số gãy ω = 1/τ. Với điểm không nằm trên trục thực, tương ứng với (1 + iωt) trong hàm chuyển, logarit của độ lớn là
)1(log10log20 221010 τω+=G và góc pha là φ(ω) = arctan(ωτ). Trong trường
hợp này, đường tiệm cận của 20log10|G| khi ω << τ có độ dốc cũng bằng không và đường tiệm cận khi ω >> τ có độ dốc là 20dB/decade.
Các cặp điểm cực hay điểm không liên hợp phức (1 + 2(ζ/ωn)iω + (iω/ωn)2). Thành phần của hàm chuyển tương ứng với một cặp điểm cực liên hợp phức có thể biểu diễn dưới dạng 1/(1 + i2ζu − u2), ở đó u = ω/ωn. Logarit của độ lớn khi đó được tính như sau:
]4)1[(log10
4)1(
4)1(log20
4)1(2
4)1(1log20
211log20
222210
2222
2222
10
22222222
210
210
uu
uu
uu
uuui
uuu
uui
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
+−−=
+−
+−=
+−−
+−
−=
−+
(8.29)
và góc pha là:
212arctan)(
uu
−−=
ζωφ (8.30)
Khi u << 1, nghĩa là ω << ωn, logarit của độ lớn sẽ xấp xỉ 0dB và góc pha xấp xỉ 0o. Còn khi u >> 1, nghĩa là ω >> ωn, logarit của độ lớn sẽ xấp xỉ −10log10(u4) =
107
−40log10u và góc pha sẽ xấp xỉ −180o. Như vậy, đường tiệm cận logarit của độ lớn khi ω << ωn có độ dốc bằng không và đường tiệm cận logarit của độ lớn khi ω >> ωn có độ dốc bằng −40dB/decade. Hai đường tiệm cận này cắt nhau tại tần số ω = ωn. Sự sai khác giữa đồ thị thực sự và các đường tiệm cận là một hàm của tỷ số cản ζ. Đồ thị Bode của thành phần tương ứng với cặp điểm cực liên hợp phức cho vài giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ được biểu diễn trong Hình 8.5. Giá trị lớn nhất của |G(iω)|, độ lớn của đáp ứng tần số, được ký hiệu là Mpω, cũng là một hàm của ζ. Giá trị lớn nhất này xuất hiện tại tần số ωr, được gọi là tần số cộng hưởng (resonant frequency), được tính bằng cách cho đạo hàm bậc nhất
0)(=
duuqd
, ở đó q(u) = 1 + i2ζu − u2. Chúng ta tính được ωr:
21 khi 21 2 <−= ζζωω nr (8.31)
20log10|G| (dB)
φ(ω) (o) ω/ωn
Hình 8.5. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω) = 1/[1 + 2(ζ/ωn)iω + (iω/ωn)2] cho các giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ
0,1 1 10
ζ = 1
ζ = 1
ζ = 0,0625
ζ = 0,0625
ζ = 0,5
ζ = 0,5
Giá trị lớn nhất của |G(iω)| được tính như sau:
21 khi 12
1)(2
<−
== ζζζ
ωω rp iGM (8.32)
Một quan sát thú vị là, nếu chúng ta đổi dấu phần thực của các điểm không hoặc các điểm cực của hàm chuyển, độ lớn của đáp ứng tần số vẫn sẽ giữ nguyên, chỉ có pha bị dịch. Tuy nhiên, để hệ thống ổn định, tất cả các điểm cực cần nằm bên trái trục ảo, vì vậy chúng ta chỉ quan tâm tới các điểm cực có phần
108
thực âm. Các điểm không của hàm chuyển có thể nằm ở cả hai bên của trục ảo mà không ảnh hưởng tới tính ổn định của hệ thống, nhưng ảnh hưởng đến độ dịch pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào. Hàm chuyển có tất cả các điểm không đều nằm bên trái trục ảo được gọi là hàm chuyển dịch pha tối thiểu (minimum phase-shift transfer function), bởi độ dịch pha trong trường hợp này là ít nhất. Còn hàm chuyển có điểm không nằm bên phải trục ảo được gọi là hàm chuyển dịch pha không tối thiểu (non-minimum phase-shift transfer function). Điều này được minh họa bởi Hình 8.6.
20log10|G| (dB)
φ(ω) (o) ω (rad/s)
Hình 8.6. Đồ thị Bode của ba hàm chuyển (1))4)(3)(2(
)2)(1()(1 +++++
=sss
sssG
(2))4)(3)(2(
)2)(1()(2 ++++−
=sss
sssG và (3) )4)(3)(2(
)2)(1()(3 +++−−
=sss
sssG
0,1 1 10
(3)
(2)
(1)
100
(1)(2)(3)
8.3. Mô tả hiệu suất trong miền tần số Với các hệ thống bậc hai đơn giản, chúng ta đã mô tả hiệu suất của hệ thống bằng các số đo như phần trăm quá mức, thời gian quá độ và các chỉ số hiệu suất như tích phân của sai số bình phương (ISE). Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
)2(
)(2
n
n
sssG
ζωω+
= (8.33)
Hàm chuyển vòng kín của hệ thống đó sẽ là:
109
22
2
2)(
nn
n
sssT
ωζω
ω
++= (8.34)
Đáp ứng tần số của hệ thống được biểu diễn trong Hình 8.7. Bởi vì đây là hệ thống bậc hai, chúng ta có thể liên hệ tỷ số cản ζ và phần trăm quá mức của hệ thống với giá trị Mpω. Khi Mpω tăng, phần trăm quá mức của hệ thống với tín hiệu vào nhảy bậc cũng tăng. Đồng thời, tần số cộng hưởng ωr cũng có liên hệ tới tốc độ của đáp ứng nhất thời. Tốc độ của đáp ứng nhất thời còn có thể mô tả được bằng một số đo nữa là tần số dải thông (bandwidth frequency) ωB. Tần số dải thông được định nghĩa là tần số mà ở đó độ suy giảm đạt tới mức một trên căn hai của tín hiệu vào (hay 0,707 lần tín hiệu vào), nếu tính theo dB thì tần số ωB tương ứng với giá trị −3dB trên đồ thị logarit độ lớn của hàm chuyển T(iω). Khi tỷ số cản 21=ζ , ωB sẽ có giá trị đúng bằng tần số tự nhiên ωn.
20log10|T| (dB)
φ(ω) (o)
ω (rad/s)
Hình 8.7. Đặc trưng của đáp ứng tần số của hệ thống bậc hai
20log10Mpω
ωr ωB
-3
Sự hữu ích của các số đo dựa trên đáp ứng tần số kể trên và mối quan hệ của chúng với hiệu suất nhất thời thực sự của hệ thống phụ thuộc vào việc hệ thống có thể xấp xỉ được bởi một hệ thống bậc hai có cặp điểm cực phức liên hợp hay không. Khái niệm về cặp nghiệm trội đó của phương trình đặc trưng của hệ thống đã được đề cập tới ở Chương V. Sai số ở trạng thái thường trực cũng có thể liên hệ được với đáp ứng tần số của một hệ thống vòng kín. Như chúng ta đã đề cập tới trong mục 5.4, sai số ở trạng thái thường trực với một tín hiệu vào thử xác định có mối quan hệ với số
110
lần tích phân (số điểm cực tại gốc tọa độ) của hệ thống vòng hở. Vì vậy, với hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình được biểu diễn lần bằng phương trình (8.33), sai số ở trạng thái thường trực với tín hiệu vào là hàm dốc r(t) = At được xác định bởi hằng số sai số vận tốc Kv:
vt K
Ate =∞→
)(lim (8.35)
Hằng số sai số vận tốc của hệ thống được xác định như sau:
ζω
ζωω
2)2(lim)(lim
2
00n
n
nssv ss
sssGK =+
==→→
(8.36)
Hàm chuyển G(s) có thể viết lại dưới dạng:
)1(
12
1)2(
)(+
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=ssK
sssG v
n
n
τζω
ζω (8.37)
Chuyển (8.37) sang biểu diễn trong miền tần số:
)1(
)(+
=ωτω
ωiiKiG v (8.38)
Đó chính là dạng hàm chuyển (8.23), được sử dụng trong việc phân tích để vẽ đồ thị Bode của đáp ứng tần số. Nói một cách tổng quát, nếu hàm chuyển vòng hở của một hệ thống phản hồi có dạng:
∏
∏
=
=
+
+
= M
mm
N
Q
ll
ii
iKiG
1
1
)1()(
)1()(
ωτω
ωτ
ω (8.39)
thì hệ thống có số định kiểu bằng N và hằng số sai số bằng K. Tóm lại, các đặc tính của đáp ứng tần số hoàn toàn thích hợp để biểu diễn hiệu suất của hệ thống, vì vậy chúng rất có ích cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển phản hồi. Bài tập Bài 8.1. Một hệ thống vòng hở có hàm chuyển như sau:
)40)(10()100(300)(
+++
=sss
ssG
Xác định tần số khi góc pha có giá trị là −180o. Tính độ lớn của G(iω) tại tần số đó. Bài 8.2. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
111
)()(
assKsG+
=
Yêu cầu đối với hệ thống là phần trăm quá mức với tín hiệu vào nhảy bậc nhỏ hơn 30%.
(a) Xác định yêu cầu tương ứng đối với giá trị Mpω của hàm chuyển vòng kín T(iω).
(b) Xác định tần số cộng hưởng ωr. (c) Xác định tần số dải thông ωB của hệ thống vòng kín.
Bài 8.3. Vẽ đồ thị cực của đáp ứng tần số cho các hệ thống có hàm chuyển như sau:
(a) )21)(5,01(
1)(ss
sG++
=
(b) 25,01)(
sssG +
=
(c) )164(
3)( 2 +++
=ss
ssG
(d) )4)(2(
)8(30)(++
+=
sssssG
Bài 8.4. Một hệ thống điều khiển áp suất của một bình nén khí được biểu diễn trong hình dưới, ở đó Pd là áp suất mong muốn, P0 là áp suất thực trong bình, Qra là áp suất của luồng khí đi ra qua van xả, Gc(s) là hàm chuyển của bộ điều khiển, Gv(s) là hàm chuyển của van khí vào được điều khiển bởi bộ điều khiển, và H(s) là hàm chuyển của cảm biến dùng để đo áp suất trong bình. Các hàm chuyển này được cho như sau:
Gc(s) = 10+2s
)115/)(11,0(1)(
++=
sssGv
90090450)( 2 ++
=ss
sH
Xác định các đặc trưng của đáp ứng tần số của hệ thống, bao gồm tần số cộng hưởng ωr, giá trị lớn nhất Mpω và tần số dải thông ωB.
1/s
Qra
−H(s)
−1
Pd P0 Gc(s) 1 Gv(s)
112
Bài 8.5. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình như sau:
)30/1)(10/1)(1)(2/1(10)(
sssssG
++++=
Vẽ đồ thị Bode của hệ thống.
113
Chương IX
TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ Tóm tắt nội dung Như chúng ta đã đề cập tới từ các chương trước, việc xác định một hệ thống có ổn định hay không là điều rất quan trọng. Nếu hệ thống ổn định, vấn đề quan trọng tiếp theo sẽ là xác định mức độ ổn định hay tính ổn định tương đối của hệ thống. Đáp ứng tần số của hàm chuyển có thể sử dụng để cung cấp câu trả lời về tính ổn định tương đối của hệ thống. Nội dung chương này sẽ trình bày cách sử dụng đáp ứng tần số của hàm chuyển T(iω) của hệ thống vòng kín cũng như hàm chuyển của vòng phản hồi G(iω)H(iω) để phân tích đáp ứng và hiệu suất của hệ thống với thời gian trễ thuần túy và không suy giảm bên trong vòng phản hồi của hệ thống vòng kín. 9.1. Giới thiệu Việc xác định hệ thống có ổn định hay không luôn cần thiết khi phân tích hệ thống điều khiển. Xa hơn nữa, với một hệ thống ổn định, xem xét tính ổn định tương đối của hệ thống cũng thường được yêu cầu. Trong Chương VI, chúng ta đã thảo luận khái niệm tính ổn định và một số phương pháp xác định tính ổn định tuyệt đối và tương đối của một hệ thống, trong đó nổi bật là phương pháp Routh-Hurwitz sử dụng phương trình đặc trưng của biến phức s = σ + iω. Còn trong Chương VII, chúng ta đã nghiên cứu tính ổn định tương đối của hệ thống bằng cách sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm, cũng được biểu diễn dưới dạng của biến phức s. Trong chương này, chúng ta sẽ quan tâm đến việc xác định tính ổn định của hệ thống trong miền tần số thực, có nghĩa là dưới dạng của đáp ứng tần số đã được trình bày ở Chương VIII. Đáp ứng tần số biểu diễn đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào dạng sin ở trạng thái thường trực và cung cấp đầy đủ thông tin cho việc xác định tính ổn định tương đối của hệ thống. Đáp ứng tần số của hệ thống có thể đo được một cách dễ dàng bằng thực nghiệm, vì vậy có thể dùng được để nghiên cứu tính ổn định tương đối của hệ thống khi mà giá trị của các tham số hệ thống không xác định. Thêm nữa, điều kiện ổn định trong miền tần số rất hữu ích cho việc xác định các phương pháp thích hợp nhằm làm tăng tính ổn định tương đối của hệ thống. Một điều kiện ổn định trong miền tần số được phát triển bởi H. Nyquist vào năm 1932 và tới nay vẫn tiếp tục là một phương pháp mang tính nền tảng đối với việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ thống điều khiển tuyến tính. Điều kiện ổn định Nyquist (Nyquist stability criterion) dựa trên một định lý về lý thuyết của hàm biến phức của Cauchy. Định lý của Cauchy liên quan đến ánh xạ của các chu tuyến (mapping of contours) trong mặt phẳng s, có thể hiểu được dễ dàng mà không cần tới một chứng minh hình thức.
114
Để xác định tính ổn định tương đối của một hệ thống vòng kín, chúng ta cần phải xem xét phương trình đặc trưng của hệ thống, có thể biểu diễn được dưới dạng: F(s) = 1 + P(s) = 0 (9.1) Để đảm bảo tính ổn định, tất cả các nghiệm của phương trình cần nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Nyquist sử dụng một ánh xạ từ mặt phẳng s vào một mặt phẳng gọi là mặt phẳng F(s). Vì vậy, để hiểu được điều kiện Nyquist, trước hết chúng ta cần tìm hiểu ánh xạ của các chu tuyến trong mặt phẳng phức. 9.2. Ánh xạ của các chu tuyến trong mặt phẳng s Chúng ta quan tâm tới ánh xạ của các đường biên trong mặt phẳng s bởi hàm F(s). Ánh xạ của chu tuyến là ánh xạ của một chu tuyến hay một quỹ đạo trong một mặt phẳng vào một mặt phẳng khác bởi một quan hệ F(s). Vì s là một biến phức, hàm F(s) có giá trị phức và có thể biểu diễn được dưới dạng F(s) = u + iv, và có thể biểu diễn trong một mặt phẳng phức F(s) với các tọa độ u và v. Để làm ví dụ, xem xét hàm F(s) = 2s + 1 và một chu tuyến được thể hiện trong Hình 9.1a. Ánh xạ của chu tuyến trong mặt phẳng s vào mặt phẳng F(s) được thực hiện như sau:
F(s) = u + iv = 2s + 1 = 2(σ + iω) + 1 = (2σ + 1) + i2ω (9.2) Vì vậy, chúng ta có được:
u = 2σ + 1 và v = 2ω (9.3) Ánh xạ của chu tuyến từ mặt phẳng s vào mặt phẳng F(s) được thể hiện trong Hình 9.1b. Ánh xạ này giữ nguyên các góc của chu tuyến trong mặt phẳng s nên được gọi là ánh xạ bảo giác (conformal mapping). Hướng của chu tuyến được chỉ định bằng các mũi tên trong hình vẽ. Vùng nằm bên trong của chu tuyến (phía bên phải theo hướng của chu tuyến) là một vùng đóng kín (enclosed area) bởi chu tuyến. Vì vậy chúng ta sẽ quy ước chiều dương của chu tuyến là chiều thuận theo chiều quay của kim đồng hồ, và vùng đóng kín bởi chu tuyến là vùng bên phải khi đi theo chiều dương của chu tuyến. Chúng ta xem xét một ví dụ khác, trong đó một chu tuyến vuông như trong Hình 9.2a được ánh xạ bởi hàm sau:
2
)(+
=s
ssF (9.4)
Ánh xạ của chu tuyến trong mặt phẳng F(s) được biểu diễn trong Hình 9.2b. Chú ý rằng các góc của chu tuyến tại các điểm A, B, C và D được bảo toàn.
115
−1
A
B C
D
0 1 −1 σ
iω
+i
−i
A
B C
D
0 3 u
iv +i2
−i2 (b) (a)
Hình 9.1. Ánh xạ của một chu tuyến vuông bởi hàm F(s) = 2s + 1
A
B 0
−i
−1
A
B C
D
0 1 −1 σ
iω
+i
−i
(a) Hình 9.2. Ánh xạ của một chu tuyến vuông bởi hàm F(s) = s/(s + 2)
C
D
u
iv
+i
(b)
Định lý của Cauchy liên quan tới ánh xạ của một hàm F(s) có một số hữu hạn điểm cực và điểm không nằm ở bên trong một chu tuyến. Do vậy, hàm F(s) có thể biểu diễn dưới dạng:
∏
∏
=
=
−
−
= N
jj
M
ii
ps
zsKsF
1
1
)(
)()( (9.5)
116
Xem xét hệ thống với phương trình đặc trưng F(s) = 0. Định lý của Cauchy, thường được gọi là nguyên lý góc cực (principle of the argument), được phát biểu như sau: Nếu một chu tuyến đơn giản Γs trong mặt phẳng s bao quanh Z điểm không và P điểm cực của hàm F(s) khi đi theo chiều quay của kim đồng hồ dọc theo chu tuyến, ánh xạ của Γs trong mặt phẳng F(s) là chu tuyến ΓF sẽ bao quanh gốc tọa độ của mặt phẳng F(s) tất cả là Z − P lần theo chiều quay của kim đồng hồ. Chú ý rằng, định lý này chỉ có thể áp dụng nếu không có điểm cực nào của F(s) nằm trên chu tuyến Γs, vì tại các điểm cực của F(s) ánh xạ là không xác định. Định lý của Cauchy có thể giải thích được bằng cách xem xét góc cực của hàm F(s) khi điểm s đi theo chu tuyến Γs theo chiều quay của kim đồng hồ. Với F(s) được biểu diễn bằng phương trình (9.5), chúng ta có thể tính được góc cực của F(s):
∑∑==
−∠−−∠=∠N
jj
M
ii pszssF
11
)()()( (9.6)
Dễ dàng nhận thấy, thay đổi tổng cộng của góc cực ∠(s − q) khi điểm s đi đúng một vòng quanh chu tuyến Γs theo chiều quay của kim đồng hồ sẽ là 0 nếu điểm q nằm ở vùng bên ngoài của chu tuyến và sẽ bằng −2π nếu điểm q nằm ở trong vùng đóng kín bởi chu tuyến. Giả sử Z điểm không và P điểm cực của F(s) nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến, thay đổi tổng cộng của góc cực ∠F(s) khi điểm s đi đúng một vòng quanh chu tuyến Γs theo chiều quay của kim đồng hồ sẽ là −2π(Z − P). Góc cực ∠F(s) với s là một điểm nằm trên chu tuyến Γs chính là góc cực của một điểm nằm trên chu tuyến ΓF trong mặt phẳng F(s). Như vậy, khi một điểm trên chu tuyến ΓF đi hết một vòng chu tuyến theo chiều quay của kim đồng hồ thì sự thay đổi tổng cộng của góc cực trong mặt phẳng F(s) bằng −2π(Z − P), nghĩa là điểm đó đã đi được đúng Z − P vòng quanh gốc tọa độ của mặt phẳng F(s), cũng có nghĩa là chu tuyến ΓF bao quanh gốc tọa độ Z − P lần theo chiều quay của kim đồng hồ. Nếu Z − P < 0, chu tuyến ΓF có chiều âm (ngược chiều quay của kim đồng hồ). Các ví dụ minh họa cho định lý của Cauchy được thể hiện trong Hình 9.3 và Hình 9.4. Trong ví dụ ở Hình 9.3, F(s) có ba điểm không và một điểm cực nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến Γs, vì vậy chu tuyến ánh xạ của Γs là chu tuyến ΓF có số lần bao quanh gốc tọa độ của mặt phẳng F(s) là 3 − 1 = 2. Còn ở ví dụ trong Hình 9.4, chỉ có một điểm cực của F(s) nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến Γs, vì vậy chu tuyến ΓF chỉ bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng F(s) một vòng và chiều của ΓF là chiều âm.
117
× σ
iω
u
iv
0 0
Hình 9.3. Ví dụ minh họa định lý của Cauchy
× σ
iω
u
iv
0 0
Hình 9.4. Ví dụ minh họa định lý của Cauchy
9.3. Điều kiện Nyquist Để hệ thống ổn định, tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng F(s) = 0 đều phải nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Chọn một chu tuyến Γs sao cho chu tuyến này nằm ở nửa bên phải trục ảo trong mặt phẳng s, đồng thời toàn bộ vùng bên phải cũng nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến này. Chu tuyến Nyquist là một chu tuyến đáp ứng được điều kiện nêu trên. Chu tuyến này được tạo thành bởi trục ảo của mặt phẳng s và một nửa đường tròn nằm bên phải trục ảo, có tâm tại gốc tọa độ và bán kính r → ∞ (Hình 9.5). Xem xét một hệ thống vòng kín có phương trình đặc trưng được biểu diễn dưới dạng của phương trình (9.1). Điều kiện Nyquist sẽ sử dụng ánh xạ bởi hàm P(s) của chu tuyến Nyquist thay cho hàm F(s), vì P(s) thường đã được biểu diễn ở dạng đã nhân tử hóa nên xác định các điểm không và điểm cực của P(s) dễ dàng hơn là của F(s). Các điểm cực của P(s) cũng chính là các điểm cực của F(s). Vì 1)()( −= sFsP , điểm gốc tọa độ trong mặt phẳng F(s) sẽ trở thành điểm (−1, 0) trong mặt phẳng P(s). Điều kiện ổn định Nyquist được phát biểu như sau: Một hệ thống phản hồi ổn định khi và chỉ khi chu tuyến ΓP trong mặt phẳng P(s) không bao quanh điểm (−1, 0) khi số điểm cực của P(s) nằm ở nửa bên phải của
118
mặt phẳng s bằng không, hoặc số lần chu tuyến ΓP bao quanh điểm (−1, 0) theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ đúng bằng số điểm cực của P(s) nằm ở nửa bên phải của mặt phẳng s. Chúng ta có thể thấy rất rõ ràng rằng, điều kiện Nyquist chính là một hệ quả của sự kết hợp giữa điều kiện cân bằng dựa trên vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng, nghĩa là các điểm không của F(s), trong mặt phẳng s và định lý của Cauchy nêu trên.
iω
σ 0
r → ∞
Hình 9.5. Chu tuyến Nyquist
Ví dụ 9.1 Một hệ thống phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là:
)1(
1)(+
=ss
sGτ
(9.7)
và hệ số phản hồi K. Phương trình đặc trưng của hệ thống có dạng: 1 + KG(s) = 0 (9.8) Vì vậy, chúng ta có được:
)1(
)()(+
==ssKsKGsPτ
(9.9)
Trong trường hợp này, do P(s) có một điểm cực nằm ở gốc tọa độ, để có thể áp dụng định lý của Cauchy cho chu tuyến Nyquist, chúng ta cần phải tránh điểm gốc tọa độ trong mặt phẳng s theo một nửa đường tròn nhỏ tâm tại gốc tọa độ có bán kính ε → 0 (Hình 9.6a). Chúng ta sẽ chia chu tuyến Nyquist ra làm bốn phần và xác định ánh xạ của từng phần bởi hàm P(s) như sau: (a) Gốc tọa độ trong mặt phẳng s: Đoạn chu tuyến tránh gốc tọa độ trong mặt phẳng s được biểu diễn bằng phương trình s = εeiφ, ở đó góc φ thay đổi từ −90o tại ω = 0− đến +90o tại ω = 0+. Vì ε → 0, chúng ta xác định được ánh xạ P(s):
119
φ
εφεφφεε εετεεi
iii eKeK
eeKsP −
→→→→==
+=
0000limlim
)1(lim)(lim (9.10)
Vì vậy, ánh xạ của đoạn chu tuyến quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng s là nửa đường tròn có tâm tại gốc tọa độ trong mặt phẳng P(s), bán kính bằng ∞ và có góc cực thay đổi từ +90o tại ω = 0− đến −90o tại ω = 0+ (Hình 9.6b).
(b) Đoạn trên trục ảo trong mặt phẳng s từ ω = 0+ đến ω = +∞: Ánh xạ của đoạn này chính là đồ thị cực của hàm P(iω) với ω thay đổi từ 0+ đến +∞. Khi ω tiến đến +∞, độ lớn của hàm P(iω) được tính như sau:
0lim)1(
lim)(lim 2 ==+
=∞→∞→∞→ τωωτω
ωωωω
Kii
KiP (9.11)
Giá trị của góc cực ∠P(iω) khi ω → +∞ được tính như sau:
o180π)arctan(lim
2π
)]1()([lim)(lim
−=−=−−=
+∠−−∠=∠
∞→
∞→∞→
ωτ
ωτωω
ω
ωωiiiP
(9.12)
iω
σ
r → ∞
Hình 9.6. Chu tuyến Nyquist và ánh xạ bởi hàm P(s) = K/[s(τs + 1)]
ε → 0 ω = 0−
ω = 0+
ω = −∞
ω = +∞
u
iv ω = 0−
ω = 0+
ω = +∞ ω = −∞
−1
(a) (b)
r' → ∞
(c) Nửa đường tròn từ ω = +∞ đến ω = −∞: Đường tròn này được biểu diễn trong mặt phẳng s bằng phương trình s = reiφ, ở đó r → ∞ và góc φ thay đổi từ +90o tại ω = +∞ đến −90o tại ω = −∞. Ánh xạ của đoạn này trong mặt phẳng P(s) được xác định như sau:
φφφ
φ
τ2
2lim)1(
lim)(lim i
riir
i
re
rK
rereKreP −
∞→∞→∞→=
+= (9.13)
120
Phương trình (9.13) là phương trình của một đường tròn có bán kính tiến tới không và góc cực thay đổi từ −180o tại ω = +∞ đến +180o tại ω = −∞.
(d) Đoạn trên trục ảo trong mặt phẳng s từ ω = −∞ đến ω = 0−: Ánh xạ của đoạn này chính là đồ thị cực của hàm P(iω) với ω thay đổi từ −∞ đến 0− hay là đồ thị cực của hàm P(−iω) với ω thay đổi từ +∞ đến 0+. Ánh xạ của đoạn này đối xứng với ánh xạ của đoạn ω = 0+ đến ω = +∞ đã xét ở trên qua trục thực trong mặt phẳng P(s).
Sau khi đã xác định được chu tuyến ΓP trong mặt phẳng P(s), chúng ta sẽ xem xét đến tính ổn định của hệ thống. Vì P(s) không có điểm không nào và số điểm cực của P(s) nằm ở nửa bên phải của mặt phẳng s cũng bằng không, để hệ thống ổn định, chu tuyến ΓP không được bao quanh điểm (−1, 0) trong mặt phẳng P(s). Điều đó luôn đúng với mọi giá trị của K và τ, vì vậy hệ thống trong ví dụ này luôn ổn định. Từ ví dụ trên, chúng ta có thể rút ra hai kết luận chung:
1. Đồ thị của chu tuyến ΓP trong khoảng −∞ < ω < 0− là liên hợp phức của đồ thị trong khoảng 0+ < ω < +∞. Vì vậy, chu tuyến ΓP có dạng đối xứng với trục đối xứng là trục thực của mặt phẳng P(s).
2. Độ lớn của P(s) tiến tới không hoặc là một hằng số khi s nằm trên đường tròn tâm ở gốc tọa độ của mặt phẳng s và có bán kính r → ∞.
9.4. Tính ổn định tương đối và điều kiện Nyquist Chúng ta đã đưa ra một định nghĩa tính ổn định tương đối của hệ thống như một thuộc tính trong mặt phẳng s được đo bằng thời gian quá độ tương đối tương ứng với mỗi nghiệm hay cặp nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống. Chúng ta sẽ đưa ra một số đo tương tự của tính ổn định tương đối để sử dụng cho phương pháp đáp ứng tần số. Điều kiện Nyquist cung cấp cho chúng ta những thông tin thích hợp để xem xét tính ổn định tuyệt đối và còn có thể sử dụng để định nghĩa và xác định tính ổn định tương đối của hệ thống.
Điều kiện ổn định Nyquist được định nghĩa dựa trên điểm (−1, 0) trên đồ thị cực, tương ứng với các giá trị 0dB và −180o trong đồ thị Bode. Điểm này được gọi là điểm ổn định. Khoảng cách giữa đồ thị của P(iω) và điểm ổn định là một số đo tính ổn định tương đối của hệ thống. Ví dụ 9.2
Một hệ thống phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là:
)1)(1(
1)(21 ++
=sss
sGττ
(9.14)
và hệ số phản hồi K. Vì vậy, chúng ta có được:
)1)(1(
)()(21 ++
==sss
KsKGsPττ
(9.15)
Theo những kết luận trong mục trước, để xem xét tính ổn định của hệ thống,
121
chúng ta chỉ cần xác định phần của chu tuyến ΓP là đồ thị cực của hàm P(iω) khi ω thay đổi từ 0+ đến +∞ để suy ra toàn bộ chu tuyến ΓP. P(iω) được biểu diễn như sau:
)1)(1(
)(21 ++
=ωτωτω
ωiii
KiP (9.16)
Khi ω → 0+, độ lớn của P(iω) tiến tới vô cùng và góc cực ∠P(iω) được tính như sau:
o902π00
2π
)]arctan()[arctan(lim2π
)]1()1()([lim
210
210
−=−=−−−=
+−−=
+∠−+∠−−∠
+
+
→
→
ωτωτ
ωτωτω
ω
ωiii
(9.17)
Khi ω → +∞, chúng ta sẽ có:
01lim)(lim 3 ==∞→∞→ ω
ωωω
iP (9.18)
và
o2702
3π2π
2π
2π
)]arctan()[arctan(lim2π
)]1()1()([lim
21
21
−=−=−−−=
+−−=
+∠−+∠−−∠
+∞→
+∞→
ωτωτ
ωτωτω
ω
ωiii
(9.19)
Dạng của chu tuyến ΓP được thể hiện trong Hình 9.7. Để tính giao điểm của hàm P(iω) với trục thực của đồ thị, chúng ta cần giải phương trình sau đây:
0)(1
)1)(1()]([imag 22
21
422
21
221
2=
+++
−−=
ττωττω
ττωωω KiP (9.20)
Giải phương trình (9.20), chúng ta có được:
01 212 =− ττω hay
21
1ττ
ω = (9.21)
Vì vậy, hàm P(iω) cắt trục thực của đồ thị tại điểm:
[ ]21
2121 )(real
ττττττ
+−==
KiPu (9.22)
122
Hình 9.7. Đồ thị Nyquist với P(s) = K/[s(τ1s + 1)(τ2s + 1)]
u
iv
ω = 0+
ω = +∞ −1
Vì P(s) không có điểm không nào và số điểm cực của P(s) nằm ở nửa bên phải của mặt phẳng s cũng bằng không, để hệ thống ổn định, chu tuyến ΓP không được bao quanh điểm (−1, 0) trong mặt phẳng P(s), nghĩa là:
121
21 −>+
−ττττK hay
21
21ττττ +
<K (9.23)
Khi21
21ττττ +
=K , chu tuyến ΓP sẽ đi qua điểm ổn định (−1, 0). Giá trị
21
21ττττ +
=rK được gọi là giá trị ranh giới. Khi K càng nhỏ so với giá trị ranh
giới thì tính ổn định tương đối của hệ thống càng cao, vì vậy sự chênh lệch giữa giá trị ranh giới Kr và K có thể sử dụng để thể hiện tính ổn định tương đối. Số đo này được gọi là dự trữ gia lượng (gain margin) và được định nghĩa là nghịch đảo của độ lớn của P(iω) tại tần số mà ở đó góc pha đạt ±180o (hay imag[P(iω)] = 0). Trong ví dụ 9.2, dự trữ gia lượng được tính như sau:
KKK
iPr=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=−1
21
21)(
1ττττ
ω (9.24)
Dự trữ gia lượng còn có thể được định nghĩa dưới dạng logarit (dB):
(dB) log20log20
)(log20)(
1log20
1010
1010
KK
iPiP
r −=
−= ωω (9.25)
Như vậy, số đo dự trữ gia lượng biểu thị một hệ số mà gia lượng K của hệ thống
123
có thể tăng thêm trước khi hệ thống đạt tới ranh giới của trạng thái ổn định. Một lựa chọn khác cho số đo tính ổn định tương đối được định nghĩa dưới dạng chênh lệch góc pha giữa một hệ thống nhất định và một hệ thống nằm ở ranh giới của trạng thái ổn định. Số đo này, được gọi là dự trữ pha (phase margin), được định nghĩa là góc pha mà hàm P(iω) phải quay đi để điểm có |P(iω)| = 1 trùng với điểm (−1, 0) trong mặt phẳng P(iω). Số đo này biểu thị mức chậm pha có thể thêm trước khi hệ thống trở nên không ổn định, và có thể xác định được từ đồ thị Nyquist như trong Hình 9.7. Dự trữ gia lượng (dB) và dự trữ pha đều có thể ước lượng được từ đồ thị Bode. Đây là một thuận lợi lớn, vì việc vẽ đồ thị Bode thường là dễ dàng hơn so với đồ thị cực. Hình 9.8 thể hiện phương pháp xác định dự trữ gia lượng (dB) và dự trữ pha của hệ thống với P(iω) như sau từ đồ thị Bode của P(iω):
)12,0)(1(
1)(++
=ωωω
ωiii
iP (9.26)
20log10|P(iω)| (dB)
φ(ω) (o) ω
Hình 9.8. Xác định dự trữ gia lượng và dự trữ pha trên đồ thị Bode
Dự trữ gia lượng
Dự trữ pha
Sử dụng các số đo dự trữ gia lượng và dự trữ pha, chúng ta có thể trả lời được câu hỏi hệ thống nào ổn định hơn trong hai hệ thống được so sánh. Một câu hỏi nữa được đặt ra là các số đo trong miền tần số thực có quan hệ như thế nào với đáp ứng nhất thời của hệ thống? Chúng ta sẽ tìm cách trả lời câu hỏi này trong ví dụ sau bằng cách xác định mối liên hệ giữa dự trữ pha với tỷ số cản ζ của một hệ thống vòng kín bậc hai. Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
124
)2(
)(2
n
nss
sGζω
ω+
= (9.27)
Chúng ta có được hàm chuyển của hệ thống như sau:
22
2
2)(
nn
n
sssT
ωζω
ω
++= (9.28)
Các nghiệm của phương trình đặc trưng của T(s) là:
21 ζωζω −±−= nn is (9.29)
Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định đáp ứng tần số của P(s) = G(s)H(s):
)(2
)()2(
)( ωφωζωωω
ωω i
n
n eiPii
iP =+
= (9.30)
ở đó độ lớn của P(iω) được tính như sau:
222
2
2224
2
44)(
n
n
n
niPωζωω
ω
ωωζω
ωω
+=
+= (9.31)
và góc pha của P(iω) là:
n
niiζωωζωωωωφ
2arctan
2π)2()()( −−=+∠−−∠= (9.32)
Để xác định dự trữ pha của hệ thống, chúng ta cần xác định tần số ωc ở đó độ lớn |P(iω)| = 1:
14 222
2=
+ ncc
n
ωζωω
ω (9.33)
hay:
42222 )4( nncc ωωζωω =+ (9.34)
Giải phương trình (9.34), chúng ta tính được ωc:
142 42 ++−= ζζωω nc (9.35)
Từ đó, chúng ta tính được dự trữ pha của hệ thống:
125
142
2arctan
2142
arctan2π
2arctan
2ππ
)π()(
42
42
++−=
++−−=
−−=
−−=
ζζ
ζζ
ζζ
ζωω
ωφφ
n
c
cpm
(9.36)
Đồ thị của φpm khi ζ thay đổi được biểu diễn trong Hình 9.9. Chúng ta có thể dùng xấp xỉ tuyến tính φpm = 100ζ (o) khi ζ ≤ 0,7. Xấp xỉ này cũng có thể dùng cho các hệ thống có bậc cao hơn, nếu như đáp ứng nhất thời của hệ thống phụ thuộc chủ yếu vào cặp nghiệm trội. Ví dụ, hệ thống bậc ba với P(iω) được biểu diễn bằng phương trình (9.26) có dự trữ pha được xác định từ đồ thị Bode trong Hình 9.8 là 45o. Khi đó, chúng ta có thể xác định được giá trị của tỷ số cản ζ của hệ thống:
ζ ≅ φpm/100 = 0,45 (9.37)
ζ
φpm (o)
Hình 9.9. Đồ thị của dự trữ pha φpm khi tỷ số cản ζ thay đổi
Chúng ta cũng có thể tính được xấp xỉ của giá trị cực đại Mp của đáp ứng nhất thời bằng cách sử dụng công thức (5.20) dùng để tính Mp cho hệ thống bậc hai:
2,1121π ≅+= −− ζζeM p (9.38)
126
Qua mối liên hệ giữa dự trữ pha và giá trị cực đại của đáp ứng nhất thời được thể hiện ở trên, chúng ta có thể kết luận rằng dự trữ pha cũng có thể sử dụng như một chỉ số để mô tả hiệu suất nhất thời của hệ thống. 9.5. Đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín Hiệu suất nhất thời của một hệ thống phản hồi có thể ước lượng được từ đáp ứng tần số của hàm chuyển vòng kín, nghĩa là từ đáp ứng tần số của hàm chuyển T(iω). Trong mục trước, chúng ta đã đề cập tới điều kiện Nyquist và chỉ số dự trữ pha, đều được định nghĩa trên hàm P(iω) = G(iω)H(iω). Một chỉ số hiệu suất trong miền tần số nữa là độ lớn cực đại của đáp ứng tần số của hệ thống, Mpω, đã được đề cập tới ở Chương VIII. Chúng ta cũng đã xác định được mối quan hệ giữa Mpω và tỷ số cản ζ của hệ thống vòng kín có hàm chuyển T(s) như ở phương trình (9.28) bằng công thức (8.32):
21 khi 12
12
<−
= ζζζ
ωpM (9.39)
Vì mối quan hệ giữa Mpω và tỷ số cản ζ thể hiện mối quan hệ giữa đáp ứng tần số và đáp ứng nhất thời của hệ thống, chúng ta sẽ muốn xác định được Mpω từ đồ thị Nyquist. Về ý nghĩa, điều đó cho phép chúng ta xác định đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín từ đáp ứng tần số của P(iω) = G(iω)H(iω), chính là hàm chuyển vòng hở của hệ thống vòng kín. Chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín và của hệ thống vòng hở, khi H(iω) = 1. Khi đó, hàm chuyển của hệ thống vòng kín sẽ là:
)(1
)()(ω
ωωiG
iGiT+
= (9.40)
Đặt G(iω) = u + iv, với u và v là các tọa độ trong mặt phẳng G(iω). Độ lớn của đáp ứng tần số vòng kín được tính như sau:
22
22
)1(1)()(
vuvu
ivuivuiTM
++
+=
+++
== ωω (9.41)
Phương trình (9.41) có thể viết lại như sau:
22222 ])1[( vuvuM +=++ (9.42)
hay:
222222 )1(2)1( MvMuMuM =−+−− (9.43)
Chia cả hai vế của phương trình (9.43) cho (1 − M2), sau đó cộng [M2/(1 − M2)]2 vào cả hai vế, chúng ta có được phương trình sau:
127
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
11112 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−=+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−−
MM
MMv
MMu
MMu (9.44)
hay:
2
22
2
2
2
11 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
MMv
MMu (9.45)
Phương trình (9.45) là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng G(iω) có tâm tại điểm (M2/(1 − M2), 0) và có bán kín là |M/(1 − M2)|. Khi M(ω) > 1, đường tròn này nằm bên phải của đường thẳng u = 1/2 trong mặt phẳng G(iω), còn khi M(ω) < 1, đường tròn này nằm bên trái của đường thẳng u = 1/2. Nếu M(ω) = 1, đường tròn sẽ trở thành đường thẳng u = 1/2. Như vậy, với một giá trị M(ω) = M, chúng ta sẽ vẽ được một đường tròn trong mặt phẳng G(iω) có phương trình là (9.45). Giao điểm của đường tròn này với đồ thị cực của G(iω) sẽ là các điểm tương ứng với các tần số mà tại đó độ lớn của đáp ứng tần số của T(iω) bằng M. Với M(ω) = Mpω, chúng ta vẽ được đường tròn có tâm tại điểm
)0,)1(( 22ωω pp MM − và có bán kính là )1( 2
ωω pp MM − . Đường tròn này tiếp
xúc với đồ thị cực của G(iω) tại điểm tương ứng với tần số cộng hưởng ωr (Hình 9.10).
Hình 9.10. Đồ thị cực của G(iω) và các đường tròn với các giá trị khác nhau của |T(iω)|
u
iv
ω = ωr
ω = ω1
ω = ω2
0
Tương tự, chúng ta tính được góc pha của đáp ứng tần số vòng kín bằng công thức sau đây:
u
vuvivuivuiT
+−=++∠−+∠=∠=
1arctanarctan)1()()()( ωωφ (9.46)
128
Lấy tangent cả hai vế của phương trình (9.46), chúng ta có:
22
)]1()[(1)1(
1arctantanarctantan1
1arctantanarctantan
1arctanarctantan)(tan
vuuv
uvuvuvuv
uv
uv
uv
uv
uv
uv
++=
+++−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=ωφ
(9.47)
hay:
0tan
22 =−++φ
vvuu (9.48)
Cộng cả hai vế của phương trình (9.48) với ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
φ2tan11
41 , chúng ta có được:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+−+++
φφφ 2222
tan11
41
tan41
tan41 vvuu (9.49)
hay:
222
sin21
tan21
21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
φφvu (9.50)
Phương trình (9.50) là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng G(iω) có tâm tại điểm (−1/2, 1/(2tanφ)) và có bán kính là 1/|2sinφ|. Như vậy, với một giá trị φ(ω) = φ, chúng ta sẽ vẽ được một đường tròn trong mặt phẳng G(iω) có phương trình là (9.50). Giao điểm của đường tròn này với đồ thị cực của G(iω) sẽ là các điểm tương ứng với các tần số mà tại đó góc pha của đáp ứng tần số của T(iω) bằng φ. Chúng ta có thể dùng các đường tròn tương ứng với các giá trị độ lớn và góc pha của đáp ứng tần số của T(iω) trong đồ thị cực của G(iω) để xác định đáp ứng tần số của T(iω). Tuy nhiên, việc này sẽ được thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta sử dụng đồ thị logarit độ lớn theo pha của G(iω) thay cho đồ thị cực. Đồ thị logarit độ lớn theo pha (log-magnitude-phase diagram) tương đương với đồ thị Bode, tuy nhiên trong đó đáp ứng tần số sẽ được biểu diễn bằng một đồ thị với một trục là góc pha và trục kia là độ lớn của đáp ứng tần số tính theo dB, khác với đồ thị Bode gồm hai phần cho độ lớn và góc pha theo tần số. Các đường tròn tương ứng với các giá trị độ lớn và góc pha của đáp ứng tần số của T(iω) sẽ trở thành lưới các đường cong trong đồ thị logarit độ lớn theo pha của G(iω). Đồ thị
129
logarit độ lớn theo pha của hàm chuyển vòng hở G(iω) với lưới các đường cong tương ứng với các giá trị logarit độ lớn (tính bằng dB) và góc pha của hàm chuyển vòng kín G(iω)/[1 + G(iω)] được gọi là biểu đồ Nichols của G(iω). Biểu đồ Nichols của hàm chuyển vòng hở sau đây:
)12,0)(1(
1)(++
=ωωω
ωiii
iG (9.51)
được thể hiện trong Hình 9.11. Sử dụng biểu đồ này, chúng ta thấy đường tiếp xúc với đồ thị của đáp ứng tần số của G(iω) tương ứng với giá trị logarit độ lớn của hàm chuyển vòng kín G(iω)/[1 + G(iω)] khoảng 2,5dB, và góc pha tại điểm tiếp xúc, tức là tại tần số cộng hưởng, của hàm chuyển vòng kín là khoảng −72o. Phương pháp sử dụng biểu đồ Nichols cho phép chúng ta xác định đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín từ đáp ứng tần số vòng hở, nếu hàm chuyển của khối phản hồi H(s) = 1. Nếu H(s) ≠ 1, chúng ta vẫn có thể sử dụng phương pháp này, nhưng dựa trên đáp ứng tần số của hàm P(iω) = G(iω)H(iω) thay cho hàm chuyển vòng hở G(iω). Vì thế hàm chuyển G(iω)H(iω) được gọi là hàm chuyển vòng hở của hệ thống vòng kín.
20log10|G| (dB)
φ(ω) (o)
Đáp ứng tần số của G(iω) Độ lớn của
G/(1 + G) theo dB
Góc pha của G/(1 + G)
−180 −120 −90o −150 −50o −30o
Hình 9.11. Biểu đồ Nichols của hàm chuyển vòng hở G(iω) = 1/[iω(iω + 1)(0,2iω + 1)]
9.6. Tính ổn định của hệ thống điều khiển với trễ Nhiều hệ thống điều khiển có trễ trong vòng kín của hệ thống, làm ảnh hưởng đến tính ổn định. Trễ (time delay) là khoảng thời gian giữa thời điểm khởi đầu
130
của một sự kiện tại một điểm trong hệ thống và thời điểm xảy ra hành động là kết quả của sự kiện đó tại một điểm khác trong hệ thống. Điều kiện Nyquist có thể sử dụng được để xác định ảnh hưởng của trễ tới tính ổn định tương đối của hệ thống phản hồi. Trễ thuần túy (pure time delay) là trễ có thể biểu diễn được bằng hàm chuyển có dạng sau đây:
Gd(s) = e−sT (9.52) ở đó T là thời gian trễ. Loại trễ này gây ra do tín hiệu được truyền dưới dạng chuyển động của một dạng vật chất cần một khoảng thời gian hữu hạn để đi từ một điểm tới một điểm khác trong hệ thống. Trong trường hợp này, các điểm không và điểm cực của hàm chuyển không bị thay đổi, vì vậy dạng của đáp ứng nhất thời cũng không thay đổi khi trễ được tính đến. Điều kiện Nyquist vẫn áp dụng được cho hệ thống với trễ. Với đáp ứng tần số của hệ thống, thành phần e−iωT không làm thay đổi độ lớn mà chỉ gây ra một sự dịch pha của đáp ứng tần số. Như chúng ta đã đề cập tới trong mục 9.4, dự trữ pha là một chỉ số thể hiện tính ổn định tương đối của hệ thống vòng kín. Thành phần trễ e−iωT sẽ gây ra một sự chậm pha, làm giảm dự trữ pha của hệ thống, nghĩa là sẽ làm cho hệ thống kém ổn định hơn. Bài tập Bài 9.1. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển vòng hở như sau:
)2)(1()(
++=
sssKsG
(a) Xác định dự trữ gia lượng của hệ thống (bằng dB) khi K = 4. (b) Xác định giá trị của K để dự trữ gia lượng của hệ thống bằng 16dB. (c) Xác định dự trữ pha của hệ thống khi K = 3.
Bài 9.2. Vẽ đồ thị cực của hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) trong các trường hợp sau và dùng điều kiện Nyquist để xác định tính ổn định của các hệ thống vòng kín tương ứng:
(a) )4(
)()( 2 ++=
sssKsHsG
(b) )2()1()()( 2 +
+=
sssKsHsG
Bài 9.3.
(a) Tìm một chu tuyến Γs phù hợp trong mặt phẳng s có thể dùng với định lý của Cauchy để xác định xem hệ thống có thỏa mãn điều kiện tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có tỷ số cản lớn hơn một giá trị ζ1.
(b) Tìm một chu tuyến Γs phù hợp trong mặt phẳng s có thể dùng với định lý của Cauchy để xác định xem hệ thống có thỏa mãn điều kiện tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực nhỏ hơn một giá trị −σ1.
131
(c) Sử dụng định lý của Cauchy và chu tuyến Γs trong phần (b) để xác định xem hệ thống sau có thỏa mãn điều kiện tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực nhỏ hơn −1, với phương trình đặc trưng của hệ thống là:
q(s) = s3 + 8s2 + 30s + 36 Bài 9.4. Một hệ thống phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là:
)14)(1()(
++=
ssKsG
và hàm chuyển của khối phản hồi là:
15,01)(+
=s
sH
(a) Xác định giá trị của K để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống nhỏ hơn 7% khi tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc.
(b) Với giá trị K được xác định trong phần (a), sử dụng điều kiện Nyquist để xem xét tính ổn định của hệ thống.
(c) Xác định dự trữ pha và dự trữ gia lượng của hệ thống. Bài 9.5. Sơ đồ khối của một hệ thống vòng kín với trễ được biểu diễn trong hình dưới, ở đó thời gian trễ T = 6s.
e−sT R(s) C(s) K + 1/s
_ +
(a) Sử dụng điều kiện Nyquist để xác định tính ổn định của hệ thống với giá
trị K = 1. (b) Xác định K để hệ thống ổn định.
132
Chương X
THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
TRONG MIỀN TẦN SỐ Tóm tắt nội dung Trong các chương trước, chúng ta đã nghiên cứu các phương pháp nhằm đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống bằng cách điều chỉnh một hay nhiều tham số. Tuy nhiên, chúng ta cũng nhận thấy rằng chỉ điều chỉnh tham số không phải trong trường hợp nào cũng đủ để có được hiệu suất mong muốn. Vì vậy, có thể cần phải đưa thêm một khối mới vào trong hệ thống để bù đắp cho những hạn chế của hệ thống ban đầu. Khối này được gọi là bộ bù. Chương này sẽ giới thiệu một số phương pháp thiết kế bù trong miền tần số cho phép chúng ta đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống. Nhiều phương pháp bù khác nhau sẽ được thảo luận để nêu bật được sự hữu ích của chúng trong việc cải thiện hiệu suất. 10.1. Giới thiệu Hiệu suất của hệ thống điều khiển phản hồi là vấn đề có tầm quan trọng bậc nhất. Trong Chương V, chúng ta đã nghiên cứu các số đo định lượng cho hiệu suất. Các yêu cầu về hiệu suất nhiều khi đối chọi với nhau và thường là không thể thỏa mãn tất cả một cách hoàn toàn, vì vậy chúng ta phải tìm ra sự thỏa hiệp giữa các yêu cầu để điều chỉnh các tham số của hệ thống nhằm đạt được một hiệu suất phù hợp. Chúng ta cũng đã nhận ra từ các chương trước là việc có được đáp ứng hệ thống mong muốn không chỉ đơn giản là điều chỉnh các tham số, mà trong nhiều tình huống đòi hỏi phải xem xét lại cấu trúc và thiết kế lại hệ thống. Điều đó có nghĩa là, việc thiết kế một hệ thống điều khiển bao gồm việc sắp đặt cấu trúc của hệ thống và lựa chọn các phần tử và tham số phù hợp. Việc thay đổi hay điều chỉnh cấu trúc của hệ thống điều khiển để đạt được hiệu suất phù hợp được gọi là bù (compensation). Bù là việc điều chỉnh cấu trúc hệ thống nhằm sửa chữa những thiếu sót hay thiếu phù hợp. Mục đích của chương này là xem xét những vấn đề của thiết kế và bù đối với hệ thống điều khiển. Phương pháp bù thay đổi đáp ứng của hệ thống bằng cách thêm phần tử vào cấu trúc của hệ thống phản hồi. Phần tử này sẽ cân bằng hoặc bù cho những thiếu sót của hiệu suất. Thiết bị bù có thể là một thiết bị điện, cơ khí, thủy lực, khí hay nhiều kiểu thiết bị hay mạch khác, được gọi là bộ bù (compensator). Thường thì trong các hệ thống điều khiển, bộ bù là một mạch điện, vì thế còn thường được gọi là mạch bù (compensation network). Hàm chuyển của một bộ bù có dạng Gc(s) = Era(s)/Evào(s), ở đó Evào(s) và Era(s) là biến đổi Laplace của tín hiệu vào và ra của bộ bù. Bộ bù có thể được đặt ở một vị trí phù hợp trong cấu trúc của hệ thống. Vài kiểu bù cho một hệ thống điều khiển phản hồi một vòng đơn giản được thể hiện trong Hình 10.1. Bộ bù được đặt trên đường cấp tiếp (feedforward
133
path) được gọi là bộ bù nối tiếp (cascade compensator) (Hình 10.1a). Ngoài ra còn các sơ đồ bù khác như bù phản hồi (feedback compensator), bù tín hiệu ra hay tải (output/load compensator), bù tín hiệu vào (input compensator). Việc lựa chọn sơ đồ bù cho một hệ thuộc vào các yêu cầu đối với hệ thống, mức công suất tại các nút tín hiệu trong hệ thống và các thiết bị bù sẵn có. Tuy nhiên, các sơ đồ bù thường được sử dụng nhất vẫn là bù nối tiếp và bù phản hồi (HÌnh 10.1a và b).
R(s) C(s) 1 G(s) Gc(s) 1
−H(s)
Bù
R(s) C(s) 1 G(s) 1 1
−H(s)
(a) Bù nối tiếp
Gc(s)
(b) Bù phản hồi
R(s) C(s) 1 G(s) Gc(s) 1
−H(s) (c) Bù tín hiệu ra hay tải
R(s) C(s) 1 G(s) Gc(s) 1
−H(s) (d) Bù tín hiệu vào
Hình 10.1. Các kiểu bù
Thường thì cách tốt nhất và đơn giản nhất để cải thiện hiệu suất của một hệ thống điều khiển là thay đổi bản thân quá trình nếu có thể. Tuy nhiên, chúng ta cũng thường gặp các trường hợp ở đó quá trình là không thể thay đổi hay đã được thay đổi tới mức tối đa có thể được nhưng vẫn không đạt được hiệu suất mong muốn. Khi đó việc thêm các mạch bù vào hệ thống trở nên rất hữu ích cho việc cải thiện hiệu suất của hệ thống. Trong chương này chúng ta sẽ giả thiết rằng quá trình đã được cải thiện tới mức tốt nhất có thể, vì thế hàm chuyển G(s) của quá trình là không thể thay đổi thêm được nữa. 10.2. Các phương pháp bù Chúng ta đã biết từ các chương trước rằng hiệu suất của một hệ thống điều khiển
134
có thể mô tả được bằng các số đo hiệu suất trong miền thời gian, như thời gian tới đỉnh, phần trăm quá mức, thời gian quá độ... Ngoài ra, người ta còn đặt ra mức sai số ở trạng thái thường trực lớn nhất được phép cho một số tín hiệu vào thử và nhiễu. Các yêu cầu về hiệu suất này có mối quan hệ với vị trí của các điểm cực và điểm không của hàm chuyển của hệ thống trong mặt phẳng s. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm để xác định vị trí thích hợp cho các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống nhằm thỏa mãn các yêu cầu về hiệu suất. Tuy nhiên, khi việc sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm không cho ra được một cấu hình ưng ý cho hệ thống, cần phải thêm một mạch bù vào hệ thống để thay đổi quỹ tích của các nghiệm. Vì vậy, phương pháp quỹ tích nghiệm có thể sử dụng kết hợp với bù để tìm được cấu hình cho phép hệ thống đạt được hiệu suất như mong muốn. Cách khác để mô tả hiệu suất của hệ thống điều khiển phản hồi là sử dụng các số đo hiệu suất trong miền tần số như độ lớn cực đại của đáp ứng tần số, tần số cộng hưởng, dự trữ pha của hệ thống... Chúng ta có thể thêm mạch bù vào hệ thống nếu cần nhằm thỏa mãn được các yêu cầu về hiệu suất. Việc thiết kế mạch bù Gc(s) được xây dựng dựa trên đáp ứng tần số mô tả bằng đồ thị cực, đồ thị Bode hay biểu đồ Nichols. Do hàm chuyển nối tiếp có thể thể hiện được một cách dễ dàng trên đồ thị Bode bằng cách cộng các đáp ứng tần số, phương pháp bù trên đồ thị Bode là phương pháp thường được sử dụng nhất. Mục đích của chương này là mô tả các phương pháp bù trong miền tần số cho hệ thống điều khiển phản hồi. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét các mạch bù sớm pha và mô tả cách thiết kế mạch bù bằng các kỹ thuật quỹ tích nghiệm và đáp ứng tần số. Sau đó, chúng ta sẽ mô tả việc thiết kế các mạch bù tích phân (chậm pha), cũng với cả hai phương pháp quỹ tích nghiệm và đáp ứng tần số. 10.3. Các mạch bù nối tiếp Trong mục này chúng ta sẽ xem xét thiết kế của mạch bù nối tiếp và phản hồi được biểu diễn trong Hình 10.1a và 10.1b. Mạch bù có hàm chuyển Gc(s) được nối tiếp với một quá trình không thể thay đổi có hàm chuyển là G(s). Hàm chuyển vòng hở của hệ thống vòng kín khi đó sẽ là Gc(s)G(s)H(s). Rõ ràng là mạch bù Gc(s) có thể làm thay đổi quỹ tích nghiệm hay đáp ứng tần số của hệ thống. Chúng ta sẽ chọn các mạch bù có hàm chuyển dưới dạng như sau:
∏
∏
=
=
−
−
= N
jj
M
ii
c
ps
zsKsG
1
1
)(
)()( (10.1)
Khi đó, vấn đề cần giải quyết chỉ là lựa chọn các điểm cực và điểm không của mạch bù. Để minh họa cho các thuộc tính của mạch bù, trước hết chúng ta sẽ xem xét một mạch bù bậc nhất. Phương pháp bù được phát triển trên cơ sở của mạch bù bậc nhất sau đó sẽ được mở rộng cho các mạch bù bậc cao hơn. Xem xét mạch bù bậc nhất với hàm chuyển như sau:
135
pszsKsGc −
−=
)()( (10.2)
Vấn đề thiết kế mạch bù trở thành việc lựa chọn các giá trị của K, z và p sao cho hệ thống đạt được hiệu suất mong muốn. Khi |z| < |p|, mạch bù được gọi là mạch sớm pha (phase-lead network) hay mạch vi phân (differentiator network). Nếu |p| rất lớn, còn điểm không nằm tại gốc tọa độ của mặt phẳng s, chúng ta sẽ có một mạch vi phân với hàm chuyển có dạng:
spKsGc ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=)( (10.3)
Đặc trưng tần số của mạch vi phân (10.3) có dạng như sau:
2/π)( ic e
pK
pKiiG ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ωωω (10.4)
Góc pha của Gc(iω), thường được gọi là góc sớm pha, trong trường hợp này bằng 90o. Đáp ứng tần số của mạch bù bậc nhất có hàm chuyển (10.2) được biểu diễn như sau:
[ ]1
)1(1)(
1)()()()()( 1
++
=−
−=
−−
=ωτωατ
ωω
ωωω
iiK
pizipKz
piziKiGc (10.5)
ở đó K1 = Kz/p, α = p/z và τ = −1/p. Góc pha của Gc(iω) khi đó sẽ là:
φ(ω) = arctan(αωτ) − arctan(ωτ) (10.6) Đặc trưng tần số của mạch sớm pha khi K1 = 1 được biểu diễn trong Hình 10.2. Hàm chuyển bù sớm pha có thể có được bằng cách sử dụng mạch điện trong Hình 10.3. Phương trình của dòng điện trong mạch sớm pha này là:
2
221
1
21 )()()()()(R
tvdt
tdvtdvCR
tvtv=
−+
− (10.7)
Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (10.7) với các điều kiện ban đầu bằng không, chúng ta có được phương trình:
2
221
1
21 )()]()([)()(R
sVsVsVCsR
sVsV=−+
− (10.8)
hay: )()()()1( 22121112 sVCsRRRRsVCsRR ++=+ (10.9)
Vì vậy, hàm chuyển của mạch là:
CsRRRRCsR
RRR
CsRRRRCsRR
sVsVsGc ])([1
1)1()()()(
2121
1
21
2
2121
12
1
2
+++
⋅+
=+++
== (10.10)
136
20log10α
φ(ω) (o)
20log10|Gc| (dB)
zp ω (rad/s) Hình 10.2. Đồ thị Bode của mạch sớm pha
10log10α
Đặt CRR
RR
21
21+
=τ và 2
21R
RR +=α , phương trình (10.10) trở thành:
sssGc τ
ατα +
+⋅=
111)( (10.11)
v1(t) v2(t) C
R1
R2
Hình 10.3. Một mạch sớm pha
Đó chính là hàm chuyển (10.5) với K1 = 1/α. Để loại trừ ảnh hưởng suy giảm của mạch bù do thành phần 1/α < 1, chúng ta cần dùng thêm một mạch khuyếch đại có hệ số khuyếch đại α, khi đó chúng ta sẽ có mạch bù với K1 = 1.
Để xác định tần số ωm mà tại đó góc sớm pha có giá trị lớn nhất, giải phương trình sau đây:
0)(=
ωωφ
dd (10.12)
137
hay:
0)][arctan()][arctan(=−
ωωτ
ωαωτ
dd
dd (10.13)
Khai triển phương trình (10.13):
011 22222 =+
−+ τω
ττωα
ατ (10.14)
Giải phương trình (10.14), chúng ta xác định được tần số ωm:
zpm ==ατ
ω 1 (10.15)
Như vậy, giá trị lớn nhất của góc sớm pha là:
αα
αα
τατ
τατ
α
ωφφ
21arctan
1arctanarctan
1arctan1arctan
)(
−=
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
= mm
(10.16)
Phương trình (10.16) được sử dụng để tính tỷ số α giữa giá trị điểm cực và giá trị điểm không của mạch bù để có được góc sớm pha mong muốn. Đồ thị của φm theo α được thể hiện trên Hình 10.4. Theo đồ thị, góc pha của mạch bù này có giá trị khó có thể quá 70o. Vì vậy, nếu yêu cầu đưa ra là góc sớm pha lớn nhất phải lớn hơn 70o, chúng ta có thể phải sử dụng tới hai mạch bù nối tiếp.
α
φm (o)
Hình 10.4. Đồ thị của góc pha lớn nhất của mạch sớm pha khi α thay đổi
Một dạng của mạch sớm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-đạo hàm (proportional-derivative controller, hay PD controller), vì phương trình của nó bao gồm hai thành phần, tỷ lệ và đạo hàm, có dạng như sau:
138
dt
tduKtuKtu DP)()()( vào
vàora += (10.17)
Hàm chuyển của bộ điều khiển PD có dạng:
DPPD sKKsUsUsG +==
)()()(
vào
ra (10.18)
Sử dụng mạch bù có hàm chuyển GPD(s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh đáp ứng của hệ thống bằng cách thay đổi hai tham số KP và KD. Mạch sớm pha như trong Hình 10.3 có thể sử dụng để làm bộ điều khiển PD. Khi đó, chúng ta phải chọn các phần tử của mạch sao cho hệ số thời gian τ của mạch sớm pha phải rất nhỏ để có thể bỏ qua được thành phần τs, trong khi α lại phải khá lớn để thành phần ατs không quá nhỏ. Hàm chuyển của mạch sớm pha khi đó có thể xấp xỉ được như sau:
sKKsKs
sKsGc αταττατ
1111
1)1(
1)1()( +=
+≅
++
= (10.19)
Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PD. Người ta còn thường sử dụng một mạch bù nối tiếp có đặc tính chậm pha. Một mạch chậm pha (phase-lag network) được thể hiện trong Hình 10.5. Các phương trình hiệu điện thế của mạch chậm pha này là: )()()( 211 tvtvtiR −= (10.20)
và:
)()(1)( 20
2 tvdiC
tiRt
=+ ∫ ττ (10.21)
v1(t) v2(t)
C
R1
R2
Hình 10.5. Một mạch chậm pha
i(t)
Thực hiện biến đổi Laplace cho các phương trình (10.20) và (10.21) với các điều kiện ban đầu bằng không, chúng ta có được các phương trình sau:
)()()( 211 sVsVsIR −= hay 1
21 )()()(R
sVsVsI −= (10.22)
và:
)()(1)( 22 sVssI
CsIR =⋅+ (10.23)
139
Thay (10.22) vào (10.23):
)()]()([1221
11
2 sVsVsVCsRR
R=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ (10.24)
hay: )(])(1[)()1( 22112 sVCsRRsVCsR ++=+ (10.25)
Hàm chuyển của mạch chậm pha là:
CsRR
CsRsVsVsGc )(1
1)()()(
21
2
1
2
+++
== (10.26)
Đặt τ = R2C và 2
21R
RR +=α , phương trình (10.26) trở thành:
pszs
sssGc −
−⋅=
++
=αατ
τ 111)( (10.27)
ở đó z = −1/τ và p = z/α. Hàm chuyển của mạch chậm pha này cũng tương tự hàm chuyển của mạch sớm pha chúng ta đã xét ở trên, nhưng có |z| > |p|. Vì α > 1, điểm cực của Gc(s) sẽ nằm gần với gốc của trục tọa độ trong mặt phẳng s. Kiểu mạch bù như vậy còn được gọi là mạch tích phân (integrator network). Đồ thị Bode của mạch chậm pha được biểu diễn trong Hình 10.6. Nhìn vào đồ thị, chúng ta thấy rằng đáp ứng tần số của mạch chậm pha suy giảm theo thời gian, trái với mạch sớm pha có đáp ứng tần số tăng theo thời gian, nhưng với cùng tốc độ. Góc pha của hai mạch cũng có giá trị bằng nhau, tuy nhiên có dấu ngược nhau. Góc pha của mạch chậm pha cũng đạt được độ lớn cực đại tại tần số
zpm =ω .
Một dạng của mạch chậm pha được gọi là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân (proportional-integral controller, hay PI controller), vì phương trình của nó bao gồm hai thành phần, tỷ lệ và tích phân, có dạng như sau:
∫+=t
IP duKtuKtu0
vàovàora )()()( ττ (10.28)
Hàm chuyển của bộ điều khiển PI có dạng:
s
KKsUsUsG I
PPI +==)()()(
vào
ra (10.29)
Tương tự như đối với bộ điều khiển PD, khi sử dụng mạch bù có hàm chuyển GPI(s) này, chúng ta có thể điều chỉnh ảnh hưởng của mạch bù, qua đó điều chỉnh đáp ứng của hệ thống bằng cách thay đổi hai tham số KP và KI. Chúng ta có thể sử dụng mạch chậm pha như trong Hình 10.5 để làm bộ điều khiển PI. Khi đó, các phần tử của mạch phải được chọn sao cho α rất lớn để hàm chuyển của mạch chậm pha có điểm cực gần bằng không. Hàm chuyển của mạch chậm pha khi đó có thể xấp xỉ được như sau:
140
ss
ss
ssGc)(11
111
11)( ατ
ατατ
ααττ
+≅++
⋅=++
= (10.30)
Đó chính là dạng của hàm chuyển của bộ điều khiển PI.
−20log10α φ(ω) (o)
20log10|Gc| (dB)
ω (rad/s)
Hình 10.6. Đồ thị Bode của mạch chậm pha zp
−10log10α
Trong các mục tiếp sau, chúng ta sẽ áp dụng các mạch bù này vào các hệ thống để có được đáp ứng tần số hay vị trí nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s như mong muốn. Mạch sớm pha được sử dụng để tạo ra một góc sớm pha, nhờ đó có được dự trữ pha như mong muốn cho hệ thống. Việc sử dụng mạch sớm pha cũng có thể biểu diễn được trên mặt phẳng s như một phương pháp làm thay đổi quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng. Còn mạch chậm pha, mặc dù có ảnh hưởng làm giảm tính ổn định của hệ thống, thường được sử dụng để cung cấp sự suy giảm nhằm làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. 10.4. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch sớm pha Khi một mạch bù nối tiếp được sử dụng trong hệ thống, đáp ứng tần số của hệ thống được bù sẽ là tổng của đáp ứng tần số của mạch bù và đáp ứng tần số của hệ thống khi chưa được bù. Điều đó có thể biểu diễn được một cách dễ dàng trên đồ thị Bode. Vì vậy, trong các loại đồ thị của đáp ứng tần số, đồ thị Bode thường được sử dụng nhất cho việc thiết kế mạch bù. Hàm chuyển vòng hở của hệ thống phản hồi trong Hình 10.1a là Gc(iω)G(iω)H(iω). Để thiết kế mạch bù cho sơ đồ đó, trước tiên chúng ta cần vẽ đồ thị Bode cho hàm chuyển G(iω)H(iω), sau đó xác định hai giá trị p và z thích
141
hợp cho Gc(iω) để đáp ứng tần số của hệ thống có được hình dạng như mong muốn. Chọn giá trị cho tham số của G(iω) sao cho sai số ở trạng thái thường trực là chấp nhận được. Sau đó, kiểm tra dự trữ gia lượng và giá trị cực đại Mp của đáp ứng nhất thời của hệ thống vòng kín (chưa bù) xem chúng có thỏa mãn các yêu cầu được đặt ra hay không. Nếu không, một góc sớm pha có thể được cộng vào góc pha của hệ thống bằng cách đặt một mạch bù Gc(iω) vào một vị trí thích hợp. Để giá trị tăng thêm cho dự trữ pha là lớn nhất, chúng ta sẽ muốn đặt mạch bù sao cho tần số ωm tương ứng với giá trị góc pha lớn nhất của Gc(iω) nằm tại điểm mà độ lớn của đáp ứng tần số của Gc(iω)G(iω)H(iω) có giá trị bằng một (hay bằng không nếu tính bằng dB). Theo đồ thị trong Hình 10.2, độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở tại tần số ωm khi được bù sẽ tăng thêm một lượng là 10log10α so với trước khi được bù. Giá trị của α được chọn để có được giá trị góc sớm pha lớn nhất φm phù hợp, theo phương trình (10.16). Như vậy, để xác định mạch bù sớm pha, chúng ta cần thực hiện các bước sau đây:
1. Xác định tham số của G(iω) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống thỏa mãn được yêu cầu.
2. Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù. 3. Xác định giá trị thích hợp cho góc sớm pha lớn nhất φm của mạch bù. 4. Xác định α từ φm bằng phương trình (10.16). 5. Xác định tần số ở đó logarit độ lớn của đáp ứng tần số của hàm chuyển
vòng hở khi chưa có bù G(iω)H(iω) bằng −10log10α . Đó chính là tần số ωm tương ứng với góc sớm pha lớn nhất φm của mạch bù.
6. Vẽ đồ thị Bode của đáp ứng tần số của Gc(iω)G(iω)H(iω). Nếu đáp ứng tần số này chưa thỏa mãn được yêu cầu, lặp lại từ bước 1.
Ví dụ 10.1 Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
)2(
)(+
=ssKsG (10.31)
Yêu cầu về hiệu suất đối với hệ thống là sai số ở trạng thái thường trực với tín hiệu vào là hàm dốc phải nhỏ hơn 5% độ dốc của tín hiệu vào và giá trị nhỏ nhất của dự trữ pha của hệ thống bằng 45o. Đặt tín hiệu vào của hệ thống là hàm dốc r(t) = at và c(t) là đáp ứng theo thời gian. Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống vòng kín được tính như sau:
)]()()([lim
)]()([lim
)]()([lim
0
0
sTsRsRs
sCsRs
tctre
s
s
t
−=
−=
−=
→
→
∞→
(10.32)
Thay R(s) = a/s2 và (10.31) vào (10.32), chúng ta có được:
142
Ka
sKs
a
ssKs
aess
2
2
lim
)2(1
1lim00
=
++
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
⋅=→→
(10.33)
Yêu cầu đối với sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống là e ≤ 0,05a, nghĩa là:
aKa 05,02≤ hay K ≥ 40 (10.34)
Chọn K = 40, chúng ta có được hàm chuyển vòng hở của hệ thống chưa có bù như sau:
)15,0(
20)2(
40)()(+
=+
=ωωωω
ωωiiii
iHiG (10.35)
Đồ thị Bode của đáp ứng tần số của G(iω)H(iω) được thể hiện trên Hình 10.7. Để xác định dự trữ pha của hệ thống, trước hết chúng ta cần xác định tần số ωc ở đó độ lớn |G(iω)H(iω)| = 1 bằng cách giải phương trình sau:
11)5,0(
202
=+ωω
(10.36)
φ(ω) (o)
ω (rad/s)
20log10|GH| (dB)
Hình 10.7. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(iω)H(iω) trong ví dụ 10.1
Phương trình (10.36) tương đương với phương trình:
143
400)125,0( 22 =+ωω (10.37)
hay:
016004 24 =−+ ωω (10.38)
Giải phương trình (10.38), chúng ta xác định được tần số ωc ≅ 6,2rad/s. Góc pha của G(iω)H(iω) tại tần số này là:
o
o
162
)5,0arctan(90
)15,0()()]()([
−≅
−−=
+∠−−∠=∠
c
cccc iiiHiG
ω
ωωωω
(10.39)
Vì vậy, dự trữ pha của hệ thống chưa có bù là:
φpm = −162o − (−180o) = 18o (10.40)
Như vậy, so với yêu cầu, giá trị dự trữ pha còn thiếu khoảng 45o − 18o = 27o. Chúng ta sẽ bù một góc sớm pha lớn hơn khoảng còn thiếu này một chút vì tần số để xác định dự trữ pha của hệ thống với bù sẽ không phải là ωc. Chọn mạch bù có góc sớm pha lớn nhất φm = 30o. Thay vào phương trình (10.16), chúng ta có:
o302
1arctan =−α
α (10.41)
hay:
3
130tan2
1==
− o
αα (10.42)
Phương trình (10.42) có hai nghiệm, α = 3 và α = 1/3. Tuy nhiên, vì α phải lớn hơn một nên α = 3 chính là giá trị cần tìm. Để xác định tần số ωm, chúng ta tìm trên đồ thị Bode của G(iω)H(iω) tần số ứng với độ lớn là −10log10α ≅ 4,8dB hoặc giải phương trình sau:
αωω
1
1)5,0(
202
=+
(10.43)
hay:
048004 24 =−+ ωω (10.44)
Giải phương trình (10.44), chúng ta tìm được tần số ωm ≅ 8,2rad/s. Theo phương trình (10.15):
2,83
11≅==
τατωm (10.45)
từ đó tính được τ = 0,07. Điểm cực và điểm không của Gc(iω) được tính như sau:
2,141−≅−=
τp và 7,4−≅=
αpz (10.46)
144
Hàm chuyển của mạch bù sớm pha là:
2,1417,41)(
sssGc +
+= (10.47)
Hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã được bù khi đó sẽ là:
)12,14)(15,0(
)17,4(20)()()(++
+=
ωωωωωωω
iiiiiHiGiGc (10.48)
Góc pha của hệ thống đã được bù tại tần số ωm = 8,2rad/s:
oo 1,1362,14
arctan)5,0arctan(907,4
arctan)( −=−−−= mm
mm
ωω
ωωφ (10.49)
Dự trữ pha của hệ thống đã được bù, được xác định tại chính tần số ωm, khi đó sẽ là −136,1o − (−180o) = 43,9o (Hình 10.8). Giá trị dự trữ pha này chưa đạt được mức tối thiểu theo yêu cầu là 45o. Vì vậy, chúng ta cần tăng giá trị góc sớm pha lớn nhất φm của mạch bù và thực hiện lại các bước trên.
φ(ω) (o)
20log10|GcGH| (dB)
ω (rad/s)
Hình 10.8. Đồ thị Bode của hàm chuyển Gc(iω)G(iω)H(iω) trong ví dụ 10.1 10.5. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha Việc thiết kế mạch bù sớm pha có thể thực hiện được trong mặt phẳng s. Mục đích của phương pháp thiết kế này là làm thay đổi quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống, để làm quỹ tích đó đi qua các vị trí nghiệm thỏa mãn được yêu cầu đặt ra cho hệ thống. Như chúng ta đã biết ở Chương VII, quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín có dạng
145
0)(1 =+ sKP khi K thay đổi được xác định từ các điểm không và điểm cực của P(s). Vì vậy, khi chúng ta sử dụng mạch bù nối tiếp như trong Hình 10.1a với hàm chuyển của mạch bù có dạng:
pszssGc −
−=)( (10.50)
quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng 1 + Gc(s)G(s)H(s) = 0 sẽ được thay đổi nhờ vào giá trị điểm cực và điểm không của Gc(s). Việc đầu tiên chúng ta phải làm theo phương pháp này là xác định vị trí của cặp nghiệm trội tương ứng với các giá trị được mong muốn cho tỷ số cản ζ và tần số tự nhiên ωn, được xác định từ các yêu cầu về hiệu suất trên đáp ứng nhất thời của hệ thống. Điểm không của Gc(s) thường được chọn là điểm có giá trị đúng bằng giá trị thực của cặp nghiệm trội mong muốn để tạo một góc sớm pha bằng 90o. Để đảm bảo rằng cặp điểm được chọn sẽ nằm trên quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trương của hệ thống sau khi bù, điểm cực của Gc(s) phải được chọn sao cho góc cực của Gc(s)G(s)H(s) phải bằng ±180o tại các điểm đó. Tóm lại, phương pháp bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha bao gồm các bước như sau:
1. Chuyển các yêu cầu về hiệu suất của hệ thống thành các giá trị tương ứng cho tỷ số cản ζ và tần số tự nhiên ωn và xác định vị trí cặp nghiệm mong muốn trong mặt phẳng s từ các giá trị này.
2. Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống chưa có bù và xác định xem quỹ tích đó có đi qua các vị trí đã chọn hay không. Nếu câu trả lời là không, chúng ta sẽ thiết kế mạch bù trong các bước tiếp sau.
3. Đặt điểm không của mạch bù trên trục thực của mặt phẳng s sao cho giá trị của điểm không này đúng bằng giá trị phần thực của cặp nghiệm mong muốn.
4. Xác định vị trí điểm cực của mạch bù trên trục thực của mặt phẳng s sao cho góc cực của Gc(s)G(s)H(s) bằng ±180o tại vị trí cặp nghiệm mong muốn.
5. Xác định tham số của G(s) để hệ thống sau khi bù có được cặp nghiệm trội của phương trình đặc trưng như mong muốn, sau đó xác định sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống.
6. Nếu sai số không thỏa mãn yêu cầu đặt ra cho hệ thống, xác định lại vị trí cặp nghiệm mong muốn và lặp lại các bước như trên.
Ví dụ 10.2 Trong ví dụ này, chúng ta lại xem xét hệ thống đã đề cập tới trong ví dụ 10.1. Giả sử yêu cầu về hiệu suất của hệ thống là phần trăm quá mức Po ≤ 20% và thời gian quá độ Ts ≤ 1s với tín hiệu vào nhảy bậc. Theo phương trình (5.21), chúng ta có thể xác định được khoảng giá trị của tỷ số cản ζ tương ứng với điều kiện Po ≤ 20% là ζ ≥ 0,45. Vì tốc độ của đáp ứng nhất thời tỷ lệ nghịch với tỷ số cản ζ, chúng ta sẽ chọn giá trị mong muốn cho ζ là 0,45.
146
Thời gian quá độ Ts của hệ thống bậc hai được tính theo ζ và ωn bằng công thức (5.10). Vì vậy, theo điều kiện Ts ≤ 1s nêu trên chúng ta có:
14≤
nζω hay ζωn ≥ 4 (10.51)
Phần thực của cặp nghiệm tương ứng với các giá trị nói trên của ζ và ωn là −ζωn. Vì ảnh hưởng của cặp nghiệm này càng lớn nếu chúng nằm càng gần trục ảo, chúng ta sẽ chọn vị trí gần trục ảo nhất có thể mà vẫn thỏa mãn điều kiện (10.51), nghĩa là ζωn = 4 hay ωn = 9. Như vậy, vị trí được mong muốn cho cặp nghiệm trội của phương trình đặc trưng của hệ thống là cặp điểm
21 ζωζω −±− nn i = −4 ± i8. Khi đó, điểm không của Gc(s) sẽ là z = −4. Để xác định giá trị điểm cực của Gc(s), chúng ta cần giải phương trình sau đây:
oo 180)824()84()84(90 −=++−∠−+−∠−+−−∠− iiip (10.52)
hay:
o2704arctan2arctan4
8arctan −=+++p
(10.53)
Giải phương trình (10.53), chúng ta xác định được giá trị điểm cực của Gc(s) là .8,10−≅p Giá trị của K để phương trình đặc trưng của hệ thống sau khi bù có
được cặp nghiệm như mong muốn sẽ được tính như sau:
0)8,1084)(284)(84(
)484(1 =++−++−+−
++−+
iiiiK (10.54)
hay:
8,96)88,6)(82)(84(
8=
++−+−=
iiiiK (10.55)
10.6. Phương pháp bù sử dụng mạch tích phân Với nhiều hệ thống điều khiển, mục tiêu chủ yếu là đạt được độ chính xác cao ở trạng thái thường trực. Thêm nữa, hiệu suất nhất thời của các hệ thống cũng cần được duy trì trong một giới hạn hợp lý. Như đã phân tích trong Chương IV, chúng ta có thể làm tăng độ chính xác ở trạng thái thường trực của hệ thống phản hồi bằng cách tăng hệ số khuyếch đại trên chiều thuận của hệ thống. Tuy nhiên, cách đó có thể làm cho đáp ứng nhất thời của hệ thống trở nên không thể chấp nhận được, thậm chí không ổn định. Vì vậy, người ta thường sử dụng mạch bù trên chiều thuận của hệ thống điều khiển phản hồi nhằm đạt được độ chính xác cần thiết ở trạng thái thường trực cho hệ thống. Xem xét hệ thống phản hồi với hàm chuyển vòng hở G(s)H(s). Thay cho sai số E(s) = R(s) − C(s), chúng ta sẽ sử dụng tín hiệu sai khác Ea(s), đã được định nghĩa ở Chương IV:
Ea(s) = R(s) − C(s)H(s) (10.56)
147
Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là:
[ ]
)()(1)(lim
)()(1)()(1)(lim
)()()(lim
)(lim)(lim
0
0
0
0
sHsGssR
sHsGsHsGssR
sHsCsRs
ssEte
s
s
s
asat
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=
−=
=
→
→
→
→∞→
(10.57)
Giả sử tín hiệu vào của hệ thống là tín hiệu nhảy bậc đơn vị, hay R(s) = 1/s. Đồng thời, giả sử hàm chuyển vòng hở của hệ thống đã bù có thể biểu diễn được như sau:
∏
∏
=
=
−
−
= Q
jj
N
M
ii
pss
zsKsHsG
1
1
)(
)()()( (10.58)
Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực trở thành:
∏∏
∏
==
=
→→−+−
−
=M
ii
Q
jj
N
Q
jj
N
satzsKpss
pss
te
11
1
00)()(
)(
lim)(lim (10.59)
Như đã phân tích ở Chương V, sai số của hệ thống phụ thuộc vào giá trị của N, nghĩa là số điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt phẳng s của G(s)H(s):
− Nếu N < 0: s−N → 0 khi s → 0. Vì vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sẽ là:
1
)()(
)(
lim)(lim
11
1
00=
−+−
−
=
∏∏
∏
=
−
=
=
→→ M
ii
NQ
jj
Q
jj
satzsKsps
ps
te (10.60)
− Nếu N = 0:
p
M
ii
Q
jj
Q
jj
sat KzsKps
ps
te+
=
−+−
−
=
∏∏
∏
==
=
→→ 11
)()(
)(
lim)(lim
11
1
00 (10.61)
Giá trị của hằng số sai số Kp càng lớn thì sai số ở trạng thái thường trực
148
của hệ thống sẽ càng nhỏ khi N = 0. − Nếu N > 0:
0
)()(
)(
lim)(lim
11
1
00=
−+−
−
=
∏∏
∏
==
=
→→ M
ii
Q
jj
N
Q
jj
N
satzsKpss
pss
te (10.62)
Như vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sẽ triệt tiêu nếu hàm chuyển vòng hở của hệ thống có ít nhất một điểm cực tại gốc tọa độ trong mặt phẳng s. Mỗi điểm cực tại gốc tọa độ của hàm chuyển vòng hở của hệ thống có thể coi như một phép tích phân. Vì vậy, khi độ chính xác của hệ thống ở trạng thái thường trực không đạt yêu cầu, chúng ta có thể dùng một mạch tích phân để bù. Sử dụng một bộ điều khiển PI làm mạch bù có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống xuống tới không vì hàm chuyển của mạch này có điểm cực nằm ở gốc tọa độ. Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống điều khiển phản hồi âm có hàm chuyển của quá trình là:
1
)(1 +
=sKsG
τ (10.63)
và hàm chuyển của khối phản hồi là:
1
1)(2 +
=s
sHτ
(10.64)
Sai số của hệ thống ở trạng thái thường trực với khi tín hiệu vào là hàm nhảy bậc đơn vị sẽ là:
K
ssKss
sHsGssRte
ssat +=
+++
=+
=→→→∞ 1
1
)1)(1(1
)1(lim)()(1
)(lim)(lim
21
00
ττ
(10.65)
Chúng ta có thể làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống bằng cách tăng K. Tuy nhiên, tăng K sẽ làm cho tỷ số cản ζ của hệ thống giảm, vì vậy có thể dẫn đến việc hiệu suất nhất thời của hệ thống không đáp ứng được yêu cầu đặt ra. Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét việc sử dụng mạch bù tích phân có hàm chuyển như phương trình (10.29) để làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống. Thật vậy, sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống sau khi bù là:
0)()1)(1(
)1)(1(lim
)1)(1()(1
)1(lim)()()(1
)(lim)(lim
21
210
21
00
=++++
++=
+++
+=
+=
→
→→∞→
PIPs
PIPscsat
KKsKKssssss
sssKKsKK
sssHsGsG
ssRte
ττττ
ττ (10.66)
149
Hiệu suất nhất thời của hệ thống khi đó có thể điều chỉnh được bằng cách điều chỉnh các tham số K, KP và KI. 10.7. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch chậm pha Như chúng ta đã đề cập ở mục trước, mạch chậm pha trong Hình 10.5 là một mạch tích phân, có thể sử dụng được để bù cho hệ thống nhằm làm giảm sai số ở trạng thái thường trực. Hàm chuyển của mạch chậm pha này được biểu diễn bằng phương trình (10.27):
pszs
sssGc −
−⋅=
++
=αατ
τ 111)( (10.67)
Giả sử hệ thống vòng kín được quan tâm có hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) được biểu diễn bằng phương trình (10.58) và giả sử chúng ta có thể xác định được bằng phương pháp quỹ tích nghiệm vị trí cặp nghiệm trội với chúng hệ thống có hiệu suất nhất thời như mong muốn, tương ứng với giá trị K = β. Mục đích của việc sử dụng mạch bù chậm pha cho hệ thống là nhằm làm tăng hằng số sai số nhưng không gây ảnh hưởng đáng kể tới hiệu suất nhất thời của hệ thống. Gọi Ke là hằng số sai số của hệ thống:
∏
∏
=
=
→−
−
== Q
jj
M
ii
N
se
p
zKsHsGsK
1
10
)()(lim (10.68)
Phương trình đặc trưng của hệ thống khi có bù là:
0
)(
)(1
1
1 =
−
−
⋅−−
⋅+
∏
∏
=
=Q
jj
N
M
ii
pss
zs
pszsK
α (10.69)
Nếu chọn z và p sao cho |p| < |z| << 1, quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có bù sẽ thay đổi rất ít so với khi chưa có bù, vì khi đó phương trình đặc trưng (10.69) của hệ thống sau khi bù có thể xấp xỉ được bằng phương trình sau:
0
)(
)(1
1
1 =
−
−
⋅+
∏
∏
=
=Q
jj
N
M
ii
pss
zsKα
(10.70)
Phương trình (10.70) sẽ có cặp nghiệm mong muốn như của hệ thống khi chưa có bù khi K = αβ. Như vậy, với z và p được chọn như trên và K = αβ, hiệu suất nhất thời của hệ thống sau khi được bù sẽ thay đổi không đáng kể so với trước khi có
150
bù. Gọi eK ′ là hằng số sai số của hệ thống sau khi có bù, hằng số này sẽ được tính như sau:
eQ
jj
M
ii
Q
jj
M
ii
e K
p
z
pz
p
z
pzK αβ
ααβ
=
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
−
⋅⋅=′
∏
∏
∏
∏
=
=
=
=
1
1
1
1 (10.71)
Phương trình (10.71) cho thấy, hằng số sai số của hệ thống sau khi được bù sẽ tăng với tỷ lệ là α = z/p so với trước khi có bù. Như vậy, các bước cần thiết cho việc thiết kế một mạch bù chậm pha trong mặt phẳng s được thực hiện theo trình tự sau đây:
1. Xác định quỹ tích nghiệm của hệ thống khi chưa có bù. 2. Xác định các yêu cầu đối với hiệu suất nhất thời của hệ thống và xác định
vị trí cặp nghiệm trội trên quỹ tích nghiệm sao cho hiệu suất nhất thời của hệ thống chưa có bù đáp ứng được các yêu cầu đặt ra.
3. Xác định giá trị tham số K của hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) và hằng số sai số Ke ứng với cặp nghiệm đã xác định trong bước 2.
4. So sánh Ke với giá trị hằng số sai số được mong muốn để tính tỷ số α = z/p cần thiết cho mạch bù.
5. Xác định vị trí của điểm không và điểm cực của mạch bù theo tỷ lệ được xác định ở bước 4 sao cho quỹ tích nghiệm của hệ thống sau khi bù vẫn đi qua vị trí cặp nghiệm được xác định trong bước 2.
Ví dụ 10.3 Chúng ta lại tiếp tục sử dụng hệ thống trong các ví dụ 10.1 và 10.2, với tỷ số cản của cặp nghiệm trội được chọn là 0,45 và hằng số sai số của hệ thống không nhỏ hơn 20. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống chưa có bù được biểu diễn trên Hình 10.9. Sử dụng đồ thị quỹ tích nghiệm này, chúng ta xác định được cặp nghiệm ứng với giá trị của tỷ số cản ζ = 0,45 là xấp xỉ −1 ± i2. Giá trị của K để phương trình đặc trưng của hệ thống có cặp nghiệm phức đó sẽ là:
K = − (−1 + i2)2 − 2(−1 + i2) = 5 (10.72) Hằng số sai số của hệ thống kiểu-1 là hằng số sai số vận tốc Kv. Giá trị Kv của hệ thống chưa có bù với K = 5 là:
5,225==vK (10.73)
Đặt hằng số sai số vận tốc của hệ thống sau khi bù là 20=′vK , tỷ số α = z/p của mạch bù chậm pha sẽ sử dụng được tính như sau:
85,2
20==
′=
v
v
KK
α (10.74)
Việc còn lại là chọn z và p sao cho |p| < |z| << 1 để quỹ tích nghiệm của hệ thống
151
sau khi bù gần như không bị thay đổi so với trước khi có bù và thỏa mãn điều kiện z/p = α. Ngoài ra, để đảm bảo tính ổn định của hệ thống người ta thường chọn z và p nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Trong ví dụ này chúng ta có thể chọn z = −0,1 và p = −0,1/8 = −0,0125.
0 −2 σ
iω
−1
Hình 10.9. Quỹ tích nghiệm của hệ thống phản hồi có hàm chuyển vòng hở G(s)H(s) = K/[s(s + 2)]
ζ = 0,45
i2
−i2
10.8. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch chậm pha Chúng ta đã thấy trong mục 10.4 sự thuận tiện của việc sử dụng đồ thị Bode để thiết kế mạch bù. Với phương pháp bù sử dụng mạch chậm pha, yếu tố được quan tâm không phải là sự chậm pha của mạch bù mà là độ suy giảm −20log10α. Mạch chậm pha được sử dụng để làm giảm tần số ωc tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở của hệ thống bằng 0dB. Bằng việc làm giảm tần số ωc, chúng ta có thể làm tăng dự trữ pha của hệ thống nếu như độ chậm pha của mạch bù tại tần số cω′ (tần số tại đó giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số của hệ thống sau khi bù bằng 0dB) được khống chế ở mức tương đối nhỏ. Như vậy, ngoài mục đích để làm giảm sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống như đã được trình bày ở mục trên, mạch bù chậm pha còn được sử dụng để làm tăng dự trữ pha, nghĩa là nhằm điều chỉnh hiệu suất nhất thời của hệ thống. Phương pháp bù bằng mạch chậm pha trong Hình 10.5 trên đồ thị Bode được thực hiện bằng các bước như sau:
1. Xác định hệ số của G(iω) để sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống thỏa mãn được yêu cầu.
2. Ước lượng dự trữ pha của hệ thống chưa có bù. Nếu giá trị dự trữ pha này chưa thỏa mãn được yêu cầu đặt ra, thực hiện các bước tiếp theo.
3. Xác định tần số cω′ tại đó giá trị dự trữ pha sẽ thỏa mãn được yêu cầu nếu
152
giá trị logarit độ lớn của đáp ứng tần số vòng hở tại cω′ bằng 0dB, có tính tới một góc chậm pha nhỏ gây ra bởi mạch bù.
4. Tính giá trị của α sao cho giá trị logarit độ lớn của G(iω)H(iω) tại tần số cω′ bằng 20log10α.
5. Tính giá trị của τ sao cho góc chậm pha của mạch bù tại tần số cω′ có giá trị như đã định trong bước 3, từ đó tính ra được điểm không và điểm cực của Gc(s).
Ví dụ 10.4 Trong ví dụ này, chúng ta sẽ thực hiện bù chậm pha trên đồ thị Bode cho hệ thống với các yêu cầu về hiệu suất như trong ví dụ 10.1. Tương tự như trong ví dụ 10.1, chúng ta sẽ chọn được giá trị K = 40 để hệ thống đáp ứng được yêu cầu về sai số ở trạng thái thường trực. Giá trị dự trữ pha của hệ thống khi chưa có bù là 18o, trong khi yêu cầu được đưa ra là dự trữ pha không nhỏ hơn 45o. Để hệ thống có được dự trữ pha bằng 45o, góc pha của G(iω)H(iω) tại tần số cω′ phải bằng −130o, nếu tính thêm một góc chậm pha bằng 5o. Vì vậy, chúng ta có thể xác định được cω′ bằng cách giải phương trình sau:
o130)2()()()( −=+∠−−∠=∠ ωωωω iiiHiG (10.75)
hay:
oo 1302
arctan90 −=−−ω (10.76)
Từ phương trình (10.76), chúng ta tính được giá trị của tần số cω′ :
(rad/s) 68,140tan2 ≅=′ ocω (10.77)
Chúng ta thiết lập được phương trình sau đây để tính tỷ số α = z/p của mạch bù chậm pha:
)()(log20log20 1010 cc iHiG ωωα ′′= (10.78)
hay:
4)2(
)()(2 +′′
=+′′
=′′=cccc
ccK
iiKiHiG
ωωωωωωα (10.79)
Thay các giá trị K = 40 và 68,1=′cω vào phương trình (10.79), chúng ta sẽ tính được giá trị của α:
1,9468,168,1
402
≅+
=α (10.80)
Như đã đề cập ở trên, góc chậm pha của mạch bù tại tần số cω′ được đặt bằng 5o, có nghĩa là:
153
o511
−=++
∠′= ci
iωωαωτ
ωτ (10.81)
hay:
o5)arctan()arctan( −=′−′ τωατω cc (10.82)
Lấy tang của cả hai vế phương trình (10.82):
)5tan(1 22
o
c
cc −=′+
′−′
τωατωατω (10.83)
Thay các giá trị 68,1=′cω và và α = 9,1 vào để giải phương trình (10.83), chúng ta sẽ tìm được hai nghiệm τ ≅ 6 và τ ≅ 0. Trong hai nghiệm này, chỉ có nghiệm thứ nhất có thể chấp nhận được. Chúng ta đã tìm được hàm chuyển của mạch bù chậm pha như sau:
018,017,011,0
6,54161
61,9161)(
++
≅++
=×+
+=
ss
ss
sssGc (10.84)
Đồ thị Bode của hàm chuyển vòng hở Gc(iω)G(iω)H(iω) của hệ thống sau khi bù được biểu diễn trong Hình 10.10.
φ(ω) (o)
20log10|GcGH| (dB)
ω (rad/s)
Hình 10.10. Đồ thị Bode của hàm chuyển Gc(iω)G(iω)H(iω) trong ví dụ 10.4 10.9. Mạch bù sớm-chậm pha và bộ điều khiển PID Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể cần một mạch bù có thể cung cấp cả góc sớm pha như của một mạch sớm pha và sự suy giảm về độ lớn như của một mạch
154
chậm pha. Một mạch có đặc tính như vậy được gọi là mạch sớm-chậm pha (lead-lag network). Một mạch sớm-chậm pha sẽ có cả hai thành phần sớm pha và chậm pha, vì vậy hàm chuyển của mạch sẽ có dạng như sau:
s
sssK
pszs
pszsKsGc
2
2
1
11
2
2
1
1
11
11)(
βττ
τατ
++
⋅++
=−−
⋅−−
= (10.85)
ở đó, |z1| < |p1| và |z2| > |p2|, hay α > 1 và β > 1. Để thiết kế hàm chuyển của mạch bù sớm-chậm pha, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp đã được giới thiệu trong các mục trước, dùng để thiết kế hàm chuyển cho các mạch bù sớm pha và bù chậm pha. Ví dụ, hàm chuyển của mạch bù sớm-chậm pha có thể thiết kế được trong mặt phẳng s bằng cách xác định điểm không và điểm cực của thành phần sớm pha sao cho quỹ tích nghiệm của hệ thống sau khi bù sẽ đi qua vị trí được mong muốn cho cặp nghiệm trội của phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín, sau đó xác định điểm không và điểm cực của thành phần chậm pha nhằm làm tăng hằng số sai số ứng với cặp nghiệm trội đó lên với tỷ lệ là β. Một dạng của mạch sớm-chậm pha được sử dụng rất phổ biến, nhất là trong các hệ thống điều khiển công nghiệp, là bộ điều khiển tỷ lệ-tích phân-đạo hàm (proportional-integral-derivative controller hay PID controller), hay còn gọi là bộ điều khiển ba phương thức (three-mode controller), được biểu diễn bằng phương trình vi phân có dạng như sau:
∫++=t
IDP duKdt
tduKtuKtu0
vàovào
vàora )()()()( ττ (10.86)
Hàm chuyển của bộ điều khiển PID nói trên sẽ là:
s
KsKKsUsUsG I
DPPID ++==)()()(
vào
ra (10.87)
Thành phần tỷ lệ (KP) của bộ điều khiển PID có tác dụng làm tăng tốc độ của đáp ứng và làm giảm (nhưng không làm triệt tiêu được) sai số ở trạng thái thường trực. Thành phần tích phân (KI) có thể làm triệt tiêu sai số ở trạng thái thường trực, như chúng ta đã đề cập tới ở mục 10.6, nhưng sẽ làm ảnh hưởng đến hiệu suất nhất thời theo chiều hướng không được mong muốn vì phần trăm quá mức của đáp ứng nhất thời sẽ tăng khi KI tăng. Ngược lại với KI, thành phần đạo hàm (KD) có tác dụng nâng cao tính ổn định của hệ thống và làm giảm phần trăm quá mức của đáp ứng nhất thời, nhờ đó cải thiện hiệu suất nhất thời của hệ thống vòng kín. Đặc biệt, người ta thường sử dụng các bộ điều khiển PID để điều khiển những quá trình quá phức tạp để có thể thiết lập được các mô hình toán học chính xác, thường là các quá trình phi tuyến và đa biến. Trong những trường hợp đó, với ba tham số KP, KI và KD của bộ điều khiển PID để điều chỉnh, chúng ta vẫn có thể hy vọng đạt được hiệu suất mong muốn cho hệ thống mà không cần thực hiện nhiều bước phân tích và thiết kế phức tạp.
155
Bài tập Bài 10.1. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá
trình là )4(
400)(+
=ss
sG . Chúng ta muốn sử dụng một bộ điều khiển PI để bù cho
hệ thống. Hàm chuyển của bộ điều khiển PI là:
sKKsGc
21)( +=
Nếu K2 = 1, xác định giá trị của K1 sao cho phần trăm quá mức của hệ thống vào khoảng 20% với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc. Bài 10.2. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
)4)(2()(
++=
sssKsG
Chúng ta mong muốn thiết kế một hệ thống có tần số tự nhiên và tỷ số cản của cặp nghiệm phức trội là ωn = 3 và ζ = 0,5 cùng với hằng số sai số Kv = 2,7. Xác định hàm chuyển thích hợp cho một mạch bù để hệ thống thỏa mãn được những yêu cầu kể trên. Bài 10.3. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
)1200
)(1100
(
900.15)(++
=sss
sG
Một mạch bù có hàm chuyển Gc(s) = K1 + K2s được sử dụng để hàm chuyển Gc(iω)G(iω)H(iω) có logarit độ lớn bằng 0dB tại tần số ωc = 500rad/s và dự trữ pha của hệ thống bằng 45o. Tính K1 và K2. Bài 10.4. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá
trình (bao gồm cả trễ) là 1
)(+
=−
sesG
s. Một mạch bù PI có hàm chuyển như sau:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
sKsGc τ
11)(
được sử dụng để hệ thống có phần trăm quá mức là 5% với tín hiệu vào là hàm nhảy bậc. Xác định K và τ. Bài 10.5. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng cho một robot lặn có quá trình được biểu diễn bằng một hàm chuyển bậc ba:
)50)(10()(
++=
sssKsG
Hiệu suất nhất thời được mong muốn cho toàn bộ hệ thống là phần trăm quá mức
156
khoảng 7,5% cho tín hiệu vào nhảy bậc và thời gian quá độ khoảng 400ms. Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha thích hợp cho hệ thống nói trên và giá trị thích hợp cho K bằng phương pháp bù trong mặt phẳng s. Bài 10.6. Một hệ thống điều khiển phản hồi đơn vị âm được dùng một máy in có hàm chuyển của động cơ và bộ khuyếch đại như sau:
)15)(1(15,0)(
++=
ssssG
Xác định hàm chuyển của một mạch bù sớm pha có α = 10 để hệ thống có tần số dải thông ωB = 0,75rad/s và dự trữ pha bằng 30o.
157
Chương XI
THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI Tóm tắt nội dung Các số đo hiệu suất của hệ thống thường được định nghĩa trong miền thời gian, như phần trăm quá mức, thời gian lên của đáp ứng nhất thời... Vì vậy, việc phát triển các phương pháp thiết kế trong miền thời gian là một nhu cầu rất tự nhiên. Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét đến vấn đề thiết kế bằng cách sử dụng các phương trình của biến trạng thái. Các khái niệm tính điều khiển được và tính quan sát được sẽ được giới thiệu và các điều kiện của chúng sẽ được đưa ra thông qua những ví dụ đơn giản. Chúng ta sẽ nghiên cứu các phép biến đổi tương đương và sử dụng biến đổi tương đương để trình bày phương pháp thiết kế bù cho hệ thống vòng kín sử dụng phản hồi trạng thái, được gọi là phương pháp đặt điểm cực. Vấn đề cuối cùng sẽ được đề cập tới là việc thiết kế hệ thống phản hồi tối ưu sử dụng chỉ số hiệu suất là tích phân của một hàm bậc hai biểu thị trạng thái năng lượng của hệ thống. 11.1. Giới thiệu Ngoài các kỹ thuật sử dụng quỹ tích nghiệm và đáp ứng tần số, còn có một phương pháp thứ ba được sử dụng trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển phản hồi: phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái. Trong phương pháp này, chúng ta sẽ thiết kế các bộ bù bằng cách sử dụng trực tiếp các mô tả với biến trạng thái của hệ thống. Cũng giống như các phương pháp thiết kế trong miền tần số, mục đích của phương pháp trong không gian trạng thái là xác định hàm chuyển Gc(s) của mạch bù sao cho đáp ứng của hệ thống sau khi bù thỏa mãn được các yêu cầu thiết kế. Phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái có nhiều ưu điểm so với các phương pháp trong miền tần số mà chúng ta đã nghiên cứu ở Chương X. Thứ nhất, việc sử dụng trực tiếp mô tả của hệ thống bằng các phương trình vi phân của biến trạng thái, thường được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân của vector trạng thái, cho phép phương pháp trong không gian trạng thái có thể áp dụng được với cả các hệ thống phi tuyến, các hệ thống biến đổi, hay các hệ thống đa biến, điều mà chúng ta không thể thực hiện được với các phương pháp trong miền tần số. Tất nhiên, trong chương này chúng ta vẫn sẽ tập trung chủ yếu vào các hệ thống tuyến tính, có tham số bất biến theo thời gian và đơn biến, nhưng những kết quả được trình bày trong chương có thể mở rộng được cho các trường hợp tổng quát hơn. Thứ hai, như chúng ta đã đề cập tới trong Chương V, hiệu suất của hệ thống điều khiển có thể đánh giá được bằng các chỉ số hiệu suất là tích phân của các hàm sai số. Các hệ thống điều khiển với chỉ số hiệu suất đạt tới mức cực trị được gọi là các hệ thống điều khiển tối ưu (optimum control system).
158
Việc thiết kế các hệ thống điều khiển tối ưu sẽ cần phải tính toán giá trị tối thiểu của tích phân của các hàm sai số của đáp ứng theo thời gian, vì vậy sẽ thực hiện được một cách dễ dàng hơn với phương pháp thiết kế trong miền thời gian. Một điểm quan trọng nữa là phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái đặc biệt phù hợp với việc sử dụng máy tính trong tính toán thiết kế, vì vậy phương pháp này ngày càng trở nên phổ biến hơn trong kỹ thuật điều khiển. 11.2. Tính điều khiển được và tính quan sát được Theo mô hình biến trạng thái đã được trình bày trong Chương III, một hệ thống động có thể mô tả được bằng phương trình vi phân của vector trạng thái x dưới dạng như sau:
BuAxx+=
dtd (11.1)
Đáp ứng theo thời gian của hệ thống được xác định từ tín hiệu vào và trạng thái của hệ thống: y = Cx + Du (11.2) ở đó u và y là các vector của các biến vào và các biến ra của hệ thống. Với các hệ thống đơn biến (một biến vào và một biến ra), các phương trình mô tả hệ thống nói trên có thể viết lại dưới dạng sau đây:
)()()( tutdt
td bAxx+= (11.3a)
)()()( tdutty += cx (11.3b)
Giả sử x là một vector N chiều. Khi đó, A là một ma trận N×N, b là một vector cột N chiều, c là một vector hàng N chiều, còn d là một giá trị vô hướng. Hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) được gọi là điều khiển được (controllable) nếu chúng ta có thể làm hệ thống chuyển từ một trạng thái bất kỳ sang bất cứ một trạng thái nào khác trong một khoảng thời gian hữu hạn bằng cách áp dụng một tín hiệu vào. Để làm ví dụ, xem xét mạch điện trong Hình 11.1. Hệ thống này chỉ cần một biến trạng thái duy nhất là hiệu điện thế trên tụ điện C: x = vc(t). Nếu hiệu điện thế khởi đầu trên tụ điện bằng không, nghĩa là x(0) = 0, hiệu điện thế này sẽ luôn bằng không bất kể chúng ta cho hiệu điện thế vào bằng bao nhiêu, do tính đối xứng của các giá trị điện trở trong mạch. Trong trường hợp đó, chúng ta không thể làm hệ thống chuyển từ trạng thái x = 0 sang một trạng thái x ≠ 0. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng mạch điện trong Hình 11.1 không điều khiển được. Nếu như chúng ta có thể xác định giá trị khởi đầu của các biến trạng thái từ các thông tin về biến vào và biến ra của hệ thống trong một khoảng thời gian hữu hạn, hệ thống khi đó sẽ được coi là quan sát được (observable). Xem xét mạch điện trong Hình 11.2 có tín hiệu vào là dòng điện i(t). Tương tự như ví dụ chúng ta đã xem xét ở mục 3.2 (Chương III), trạng thái năng lượng của mạch điện này có thể biểu diễn được thông qua hai biến x1(t) = iL(t) và x2(t) = vc(t). Tuy nhiên,
159
nếu tín hiệu ra của hệ thống là hiệu điện thế vR(t) trên điện trở R, tín hiệu ra sẽ không phụ thuộc vào hai biến trạng thái này do vR(t) luôn bằng Ri(t), vì vậy chúng ta sẽ không thể xác định được các giá trị khởi đầu x1(0) và x2(0) từ tín hiệu vào i(t) và tín hiệu ra vR(t), do đó hệ thống sẽ được coi là không quan sát được. Còn nếu chúng ta sử dụng hiệu điện thế vc(t) làm tín hiệu ra, hệ thống khi đó sẽ là hệ thống quan sát được bởi vì chúng ta sẽ tính được các giá trị khởi đầu x1(0) và x2(0) từ các giá trị của tín hiệu vào i(t) và tín hiệu ra vc(t).
R1 R1
R2 R2
C v(t)
vra(t)
vc(t)
Hình 11.1. Mạch điện không điều khiển được
Tiếp theo, chúng ta sẽ quan tâm tới các điều kiện để hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) là hệ thống điều khiển được và quan sát được.
vR(t)
C
R
Hình 11.2. Một mạch RLC
i(t)
L
vc(t)
iL(t)
Theo kết quả đã được trình bày ở Chương III, nghiệm của phương trình vi phân của vector trạng thái trong hệ phương trình (11.3) có dạng như sau:
∫ −+=t
tt dueet0
)( )()0()( τττ bxx ΑA (11.4)
ở đó:
∑∞
=
+=1 !i
iit
ite AIA (11.5)
160
Thay (11.5) vào bên trong tích phân của phương trình (11.4) và biến đổi phương trình (11.4) về dạng sau đây:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −+=−
∫
∫
∫
∫ ∑∞
=
...!2
)()(
)()(
)(
]...[
)(!
)()0()(
0
20
0
2
0 1
t
t
t
t
i
iit
dut
dut
du
duitet
τττ
τττ
ττ
τττ
bAAbb
bAIxx A
(11.6)
Để hệ thống điều khiển được, luôn phải tồn tại nghiệm của u(t) cho phương trình (11.6) với mọi x(t) và x(0). Điều đó xảy ra khi và chỉ khi hạng của ma trận
]...[ 2bAAbb đúng bằng N. Ma trận này là một ma trận có N hàng và có số cột bằng vô cùng. Theo định lý Cayley-Hamilton, ma trận AN với A là một ma trận vuông có kích thước N×N sẽ là tổ hợp tuyến tính của các ma trận A0, A1, A2,..., AN-1. Vì vậy, hạng của ma trận ]...[ 2bAAbb sẽ đúng bằng hạng của ma trận vuông có kích thước N×N dưới đây:
]...[ 12 bAbAAbbU −= N (11.7)
Ma trận U được gọi là ma trận của tính điều khiển được (controllability matrix) của hệ phương trình (11.3). Như vậy, điều kiện cần và đủ để hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) điều khiển được là ma trận U phải không suy biến. Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống được biểu diễn bằng hệ phương trình sau đây:
[ ]x
xx
1201
0115,1
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
y
udtd
(11.8)
Ma trận của tính điều khiển được của hệ thống là:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
105,11
AbbU (11.9)
Ma trận U không suy biến vì có định thức khác không. Vì vậy, hệ thống đang được xem xét là một hệ thống điều khiển được. Thay (11.4) vào phương trình thứ hai của hệ phương trình (11.3), chúng ta tính được biến ra của hệ thống như sau:
161
)()()0(
...
]...!2
1[
)()()0(!
)()()0(
0
)(2
2
0
)(
1
0
)(
tduduett
tdudueit
tdudueey(t)
tt
tt
i
ii
ttt
++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
∫
∫∑
∫
−
−∞
=
−
ττ
ττ
ττ
τ
τ
τ
bcxcAcAc
bcxAIc
bxc
Α
Α
ΑA
(11.10)
Để hệ thống quan sát được, luôn phải tồn tại nghiệm của x(0) với mọi u(t) và y(t). Tương tự như với tính điều khiển được, chúng ta sẽ rút ra được điều kiện cần và đủ để hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) quan sát được là ma trận vuông có kích thước N×N dưới đây:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−1
2
...NcA
cAcAc
V (11.11)
phải không suy biến. Ma trận V được gọi là ma trận của tính quan sát được (observability matrix) của hệ phương trình (11.3). Quay lại với ví dụ ở trên, ma trận của tính quan sát được của hệ thống được tính như sau:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2212
cAc
V (11.12)
Ma trận V cũng có định thức khác không. Vì vậy, hệ thống trong ví dụ nói trên là một hệ thống quan sát được. Ngoài các điều kiện về tính điều khiển được và tính quan sát được trên đây, còn nhiều điều kiện khác cũng có thể sử dụng được. Hai điều kiện chúng ta đã xem xét là những điều kiện được được đề cập tới nhiều nhất bởi sự dễ hiểu của chúng. 11.3. Sự triệt tiêu điểm cực-điểm không Từ các điều kiện về tính điều khiển được và tính quan sát được trên đây, chúng ta có thể rút ra được mối quan hệ giữa tính điều khiển được và tính quan sát được với hàm chuyển của hệ thống qua định lý sau đây. Định lý 11.1
Một hệ thống là điều khiển được và quan sát được nếu hàm chuyển được sinh ra từ biểu diễn của hệ thống trong không gian trạng thái không thể rút gọn hơn
162
được, nghĩa là không xảy ra sự triệt tiêu điểm cực-điểm không (pole-zero cancellation) của hàm chuyển. Mối quan hệ nói trên sẽ được làm rõ thông qua ví dụ sau đây: Xem xét một hệ thống bao gồm hai khối nối tiếp với nhau. Khối thứ nhất được biểu diễn bằng hệ phương trình sau:
11
111
xy
uxdtdx
=
+= (11.13)
và biểu diễn trong không gian trạng thái của khối thứ hai là:
222
222 2
uxy
uxdt
dx
+=
−−= (11.14)
Hàm chuyển của hai khối sẽ lần lượt là:
1
1)(1 −=
ssG (11.15)
và
11)(2 +
−=
sssG (11.16)
Hàm chuyển của hệ thống gồm hai khối mắc nối tiếp là:
11
11)()()( 21 +
−⋅
−==
ss
ssGsGsG (11.17)
Vì hàm chuyển này rút gọn được nên hệ thống không thể vừa điều khiển được, vừa quan sát được, theo Định lý 11.1. Chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp sau:
− Nếu khối thứ hai mắc phía trước khối thứ nhất: Trong trường hợp này, tín hiệu vào của hệ thống là u = u1, tín hiệu ra y = y2, tín hiệu ra y1 của khối thứ nhất sẽ trở thành tín hiệu vào u2 của khối thứ hai, vì vậy phương trình sẽ được biểu diễn trong không gian trạng thái như sau:
12
122
11
2
xxy
xxdt
dx
uxdtdx
+=
−−=
+=
(11.18)
hay:
[ ]x
xx
1101
1201
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=
y
udtd
(11.19)
163
Chúng ta tính được các ma trận U và V của hệ phương trình (11.19) như sau:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==2011
AbbU (11.20)
và:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1111
cAc
V (11.21)
Do det(U) ≠ 0 và det(V) = 0, hệ thống sẽ điều khiển được nhưng không quan sát được.
− Nếu khối thứ hai mắc phía sau khối thứ nhất: Trong trường hợp này, tín hiệu vào của hệ thống là u = u2, tín hiệu ra y = y1, tín hiệu ra y2 của khối thứ nhất sẽ trở thành tín hiệu vào u1 của khối thứ hai, vì vậy phương trình sẽ được biểu diễn trong không gian trạng thái như sau:
1
22
211
2
xy
uxdt
dx
uxxdtdx
=
−−=
++=
(11.22)
hay:
[ ]x
xx
0121
1011
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
y
udtd
(11.23)
Chúng ta tính được các ma trận U và V của hệ phương trình (11.23) như sau:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−==
2211
AbbU (11.24)
và:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1101
cAc
V (11.25)
Do det(U) = 0 và det(V) ≠ 0, hệ thống sẽ quan sát được nhưng không điều khiển được.
11.4. Các phương trình biến trạng thái tương đương Chúng ta tiếp tục xem xét hệ thống được biểu diễn trong không gian trạng thái bởi hệ phương trình (11.3) có vector trạng thái x là một vector N chiều. Chọn một
164
ma trận P sao cho P là một ma trận không suy biến có kích thước N×N. Định nghĩa một vector x' = Px, nghĩa là x = P−1x'. Thay x = P−1x' vào (11.3), chúng ta có được hệ phương trình mới:
duy
udt
d
+′=
+′=′
−
−−
xcP
bxAPxP
1
11 )(
(11.26)
hay:
uudtd bxAPbxPAPx ′+′′=+′=′ −1 (11.27a)
udduy ′+′′=+′= − xcxcP 1 (11.27b)
ở đó, A' = PAP−1, b' = Pb, c' = cP−1 và d' = d. Điều dễ thấy là hai hệ phương trình (11.3) và (11.27) có dạng giống hệt nhau. Vector x' là kết quả của một phép biến đổi tuyến tính với vector trạng thái x. Phép biến đổi đó được gọi là phép biến đổi tương đương (equivalence transformation), được biểu diễn bởi ma trận biến đổi P. Các phương trình của (11.3) và (11.27) được gọi là các phương trình biến trạng thái tương đương (equivalent state-variable equations). Phép biến đổi A' = PAP−1 được gọi là phép biến đổi đồng dạng (similarity transformation). Một đặc điểm của phép biến đổi đồng dạng này là nó không làm thay đổi các giá trị riêng của ma trận A, nghĩa là hai ma trận A và A' có cùng các giá trị riêng. Như chúng ta đã biết từ Chương VI, các giá trị riêng của ma trận A chính là các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống được biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3). Như vậy, hai ma trận A và A' có cùng các giá trị riêng có nghĩa là phép biến đổi tương đương không làm thay đổi hàm chuyển. Ma trận của tính điều khiển được của hệ phương trình (11.27) là:
PUbPAbPAPAbPb
PbPAPPbPAPPbPAPPb
bAbAbAbU
==
=
′′′′′′=′
−
−−−−
−
]...[
])(...)([
]...[
12
11211
12
N
N
N
(11.28)
Vì P là một ma trận không suy biến, hạng của hai ma trận U và U' sẽ bằng nhau. Điều đó có nghĩa là phép biến đổi tương đương không làm thay đổi tính điều khiển được. Tương tự, phép biến đổi tương đương cũng không làm thay đổi tính quan sát được. 11.5. Đặt điểm cực bằng phản hồi trạng thái Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp thiết kế sử dụng phản hồi trạng thái (state feedback) để đặt giá trị cho các điểm cực (pole placement) của phương trình đặc trưng của hệ thống. Với hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3), các điểm cực của hàm chuyển G(s) chính là các giá trị riêng của ma trận A. Chúng ta sẽ thiết kế một hệ thống sử dụng thông tin phản hồi của tất cả các biến trạng thái với các hệ số phản hồi không đổi. Đặt ]...[ 21 NKKK=h là vector của các hệ số phản hồi trạng thái. Tín hiệu u(t) để điều khiển quá trình
165
G(s) khi đó sẽ là:
u(t) = r(t) − hx(t) (11.29) ở đó r(t) là một tín hiệu đối sánh, thường là đáp ứng được mong muốn cho hệ thống. Thay (11.29) vào hệ phương trình (11.3):
rrdtd bxbhAhxbAxx
+−=−+= )()( (11.30a)
drdrdy +−=−+= xhchxcx )()( (11.30b)
Các điểm cực của hệ thống với phản hồi trạng thái sẽ là các giá trị riêng của ma trận (A − bh). Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng, nếu hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình trạng thái (11.3) là điều khiển được thì chúng ta có thể đặt được các giá trị mong muốn cho các điểm cực của hệ thống phản hồi biểu diễn bởi hệ phương trình (11.30) bằng cách chọn giá trị thích hợp cho các hệ số phản hồi trạng thái.
Gọi ∆(s) là đa thức đặc trưng của ma trận A: ∆(s) = det(sI − A). Phương trình ∆(s) = 0 chính là phương trình đặc trưng của hàm chuyển G(s). Giả sử ∆(s) được biểu diễn như sau:
NNNN asasass ++++=∆ −− ...)( 2
21
1 (11.31)
Chúng ta sẽ xác định một phép biến đổi tương đương với ma trận biến đổi P để biến đổi phương trình (11.3a) về dạng chính tắc cho hệ thống điều khiển (control canonical form) như sau:
u
aaaa
udtd
NN
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+′
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−−
=
′+′′=′
−
0...001
01...00...............00...1000...01
... 121
x
bxAx
(11.32)
ở đó A' = PAP−1, hay: A'P = PA (11.33) Giả sử ma trận P được biểu diễn dưới dạng:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
Np
pp
P...
2
1
(11.34)
ở đó pi (i = 1..N) là các vector hàng N chiều. Phương trình (11.33) trở thành:
166
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−−− −
Ap
ApApAp
p
ppp
NN
NN aaaa
......01...00...............00...1000...01
...
3
2
1
3
2
1121
(11.35)
Từ phương trình (11.35), chúng ta có được hệ phương trình sau đây:
App
AppApp
App
NN
N
iiia
=
==
=−
−
=∑
1
32
21
11
... (11.36)
Chúng ta còn có Pb = b', hay:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0...01
...2
1
bp
bpbp
N
(11.37)
Từ (11.36) và (11.37) sẽ suy ra được:
1...
...0
00
121
212
1
====
===
===
−
−−
−
bApAbpbp
bApAbpbp
Abpbpbp
NN
NNN
NN
N
(11.38)
Biểu diễn hệ phương trình (11.38) dưới dạng ma trận:
]1...00[]...[ 1 =− bAAbbp NN (11.39)
hay: ]1...00[=Up N (11.40)
Nếu hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình trạng thái (11.3) là điều khiển được, nghĩa là ma trận U không suy biến, chúng ta sẽ tính được pN từ phương trình (11.40):
1]1...00[ −= Up N (11.41)
Với pN đã xác định, ma trận biến đổi P sẽ tính được như sau:
167
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
−
N
NN
NN
p
ApAp
P...
2
1
(11.42)
Áp dụng phép biến đổi với ma trận P vào phương trình (11.30a) của hệ thống phản hồi:
rdtd PbxPbhAPx
+′−=′ −1)( (11.43)
hay:
rdtd bxhbAx ′+′′′−′=′
)( (11.44)
trong đó h' = hP−1. Giả sử ]...[ 21 NKKK ′′′=′h , phương trình (11.44) trở thành:
u
KaKaKa
dtd
NNNN
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+′
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ ′−−′−−′−−
=′
−−
0...01
01...00.........00...1
... 1111
xx (11.45)
Phương trình đặc trưng của hệ thống phản hồi biểu diễn bởi phương trình (11.45) có dạng như sau:
0)(...)()det( 111 =′+++′++=′′+′− −
NNNN KasKass hbAI (11.46)
Đó cũng chính là phương trình đặc trưng của hệ thống phản hồi biểu diễn bởi hệ phương trình trạng thái (11.30), bởi vì P là ma trận biến đổi của một phép biến đổi tương đương. Đặt các giá trị mong muốn cho các nghiệm của phương trình đặc trưng (11.46), chúng ta sẽ tính được các giá trị của h', từ đó tính được vector hệ số phản hồi h bằng công thức h = h'P. Tóm lại, phương pháp thiết kế bằng cách sử dụng phản hồi trạng thái để đặt giá trị cho các điểm cực của hệ thống biểu diễn bằng hệ phương trình trạng thái (11.3) bao gồm những bước như sau:
1. Xác định đa thức đặc trưng ∆(s) của ma trận A: N
NNN asasasss ++++=−=∆ −− ...)det()( 22
11AI (11.47)
2. Chọn các nghiệm được mong muốn cho phương trình đặc trưng của hệ thống. Gọi các nghiệm này là λ1, λ2,..., λN. Xác định đa thức đặc trưng được mong muốn cho hệ thống từ các nghiệm đó:
N
NNNN
asasas
ssss
′++′+′+=
−−−=∆′−− ...
))...()(()(2
21
1
21 λλλ (11.48)
3. Tính vector hệ số phản hồi h' của phương trình tương đương: ]...[ 2211 NN aaaaaa −′−′−′=′h (11.49)
168
4. Tính ma trận biến đổi P bằng các công thức (11.41) và (11.42). 5. Tính vector hệ số phản hồi trạng thái cho hệ thống phản hồi từ h' và P
theo công thức h = h'P. Phương pháp tính vector hệ số phản hồi h trình bày ở trên được gọi là công thức Ackermann. Ví dụ 11.1
Xem xét một hệ thống vòng hở được biểu diễn bằng các phương trình trạng thái sau đây:
[ ]x
xx
0110
01010
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
y
udtd
(11.50)
Chúng ta sẽ thiết kế một hệ thống sử dụng phản hồi trạng thái sao cho hệ thống có hai điểm cực tại −2 ± i2. Trước hết, cần tính đa thức đặc trưng của ma trận A như sau:
sss
sss +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
=−=∆ 210
1det)det()( AI (11.51)
Còn đa thức đặc trưng được mong muốn là:
84)22)(22()( 2 ++=++−+=∆′ ssisiss (11.52)
Từ đó sẽ tính được vector hệ số phản hồi h' của phương trình tương đương: ]83[]0814[ =−−=′h (11.53)
Ma trận của tính điều khiển được của hệ phương trình (11.50) là:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==1010100
AbbU (11.54)
Ma trận biến đổi ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1pp
P được tính như sau:
]01,0[010
1010]10[
1001]10[ 1
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
== −Up (11.55)
và:
]1,00[1010
]01,0[21 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
== App (11.56)
Từ (11.53), (11.55) và (11.56), chúng ta sẽ tính được vector hệ số phản hồi trạng thái h:
]3,08,0[01,01,00
]83[ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′= Phh (11.57)
169
Như vậy, các phương trình trạng thái của hệ thống với phản hồi trạng thái được biểu diễn như sau:
r
r
rdtd
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
+−=
100
4810
100
]3,08,0[100
1010
)(
x
x
bxbhAx
(11.58)
và: xxhc ]01[)( =+−= drdy (11.59)
Hàm chuyển của hệ thống phản hồi sẽ là:
8410
100
814
]01[8)4(
1
100
4810
00
]01[)(
2
1
++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
ss
ss
ss
ss
sT
(11.60)
Hàm chuyển này có hai điểm cực tại −2 ± i2 đúng như chúng ta mong đợi. 11.6. Điều khiển tối ưu bậc hai Trong mục trước, chúng ta đã xem xét hệ thống điều khiển phản hồi với tín hiệu vào là tín hiệu đối sánh r(t) và vector hệ số phản hồi h. Trong phần này, chúng ta sẽ dùng các giả thiết r(t) = 0 và hệ thống được kích thích bởi trạng thái ban đầu x(0) ≠ 0. Hiệu suất của hệ thống điều khiển có thể biểu diễn được bởi các số đo hiệu suất là hàm tích phân, được gọi là các chỉ số hiệu suất, đã được đề cập tới ở Chương V. Một chỉ số hiệu suất ở dạng tổng quát được biểu diễn dưới dạng như sau:
∫∞
=0
]),(),(),([ dtttctrtefI (11.61)
Vì tín hiệu ra y(t) và sai số e(t) là các hàm của tín hiệu vào và trạng thái của hệ thống, chúng ta có thể biểu diễn chỉ số hiệu suất tổng quát dưới dạng sau đây:
∫∞
=0
]),(),([ dtttutgI x (11.62)
Các hệ thống được điều chỉnh sao cho một chỉ số hiệu suất đạt đạt giá trị nhỏ nhất thường được gọi là các hệ thống điều khiển tối ưu. Vấn đề được đặt ra trong mục này là lựa chọn các hệ số phản hồi để cho hệ thống với phản hồi trạng thái
170
trở nên tối ưu. Khi r(t) = 0, chúng ta sẽ có u(t) như sau:
u(t) = − hx(t) (11.63) Thay (11.61) vào phương trình vi phân (11.30a) của vector trạng thái của hệ thống phản hồi để thu được phương trình sau đây:
FxxbhAx=−= )(
dtd (11.64)
ở đó, F = A − bh. Do các biến trạng thái thường được chọn để biểu thị trạng thái năng lượng của hệ thống, chúng ta có thể chọn chỉ số hiệu suất có dạng như sau:
∫∞
+=0
2 )]()()([ dttuttI λQxxT (11.65)
ở đó, Q là một ma trận xác định dương đối xứng và λ là một hằng số dương. Sở dĩ chúng ta chọn ma trận xác định dương đối xứng là vì ma trận đối xứng luôn có các giá trị riêng thực, và 0>QxxT với mọi x ≠ 0 khi và chỉ khi Q là ma trận xác định dương. Khi đó, chỉ số hiệu suất hiệu suất I sẽ có cùng chiều tăng giảm với năng lượng tiêu thụ của hệ thống. Thay (11.63) vào (11.65):
∫∫
∫
∫
∞∞
∞
∞
=+=
+=
+=
00
0
0
)(
)(
])([
dtdt
dt
dtI
RxxxhhQx
hxhxQxx
hxhxQxx
TTT
TTT
TT
λ
λ
λ
(11.66)
ở đó, R = Q + λhTh. Chúng ta sẽ tìm một ma trận xác định dương đối xứng S sao cho:
RxxSxx TT −=)(dtd (11.67)
Biến đổi vế trái của phương trình (11.67):
dtd
dtd
dtd xSxSxxSxx T
TT +=)( (11.68)
Thay (11.64) vào (11.68):
171
xSFSFxSFxxSxFx
SFxxSxFxSxx
)(
)()(
+=+=
+=
TTTTT
TTT
dtd
(11.69)
Từ (11.67) và (11.69), chúng ta sẽ có được điều kiện ràng buộc các ma trận S, F và R:
FTS + SF = −R (11.70) Thay (11.67) vào phương trình (11.65) để tính chỉ số hiệu suất:
)0()0()()(
)()(
)(
0
0
0
SxxSxx
Sxx
Sxx
xx
TT
T
T
T
+∞∞−=
−=
−=
=
∞
∞
∞
∫
∫
tt
dtdtd
dtI
(11.71)
Giả sử hệ thống ổn định, nghĩa là x(∞) = 0. Chỉ số hiệu suất (11.65) khi đó sẽ là:
)0()0( SxxT=I (11.72)
Như vậy, để hệ thống trở nên tối ưu, chúng ta cần tính ma trận S sao cho )0()0( SxxT=I đạt giá trị nhỏ nhất. Vector hệ số phản hồi h sẽ được xác định
bằng các phương trình F = A − bh và (11.70). Bài tập Bài 11.1. Kiểm tra tính điều khiển được và tính quan sát được của các hệ thống sau đây:
(a) xyuxdtdx 2 ; =+−=
(b) [ ]xxx 22y ;01
1110
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= u
dtd
(c) [ ]xxx 01y ;42
0213
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= udtd
(d) [ ]xxx 001y ;142
001002013
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
= udtd
Bài 11.2. Chứng minh rằng hệ thống sau đây:
172
[ ]x
xx
02y21
00
2
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= u
dtd
λλ
điều khiển được khi và chỉ khi λ1 ≠ λ2, đồng thời chứng minh rằng hệ thống này luôn không quan sát được. Bài 11.3. Chứng minh rằng hệ thống sau đây:
[ ]x
xx
02y0
1
2
1
2
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= u
bb
dtd
λλ
điều khiển được khi và chỉ khi b2 ≠ 0, đồng thời chứng minh rằng hệ thống này luôn quan sát được. Bài 11.4. Xem xét một quá trình được biểu diễn bằng các phương trình trạng thái sau đây:
[ ]x
xx
12y01
1111
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= u
dtd
Xác định các hệ số phản hồi trạng thái sao cho hệ thống phản hồi có các điểm cực tại −2 và −3. Bài 11.5. Xem xét một quá trình được biểu diễn bằng các phương trình trạng thái sau đây:
[ ]x
xx
01y21
0213
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= udtd
Xác định các hệ số phản hồi trạng thái sao cho hệ thống phản hồi có các điểm cực tại −2 ± i2. Bài 11.6. Xem xét một quá trình có hàm chuyển như sau:
)2)(1(10)(
+−=
ssssG
Thiết lập phương trình vi phân của vector trạng thái của quá trình và xác định các hệ số phản hồi trạng thái sao cho hệ thống phản hồi có các điểm cực tại −2, −3 và −4.
173
Chương XII
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ
Tóm tắt nội dung Máy tính số có thể sử dụng được với vai trò bộ điều khiển hay bộ bù trong một hệ thống điều khiển. Trong chương này, chúng ta sẽ quan tâm tới các phương pháp mô tả và phân tích hiệu suất của các hệ thống điều khiển sử dụng máy tính số, hay còn gọi là các hệ thống điều khiển số. Hệ thống điều khiển số được mô hình hóa như một hệ thống sử dụng dữ liệu được lấy mẫu theo chu kỳ được định trước, tạo nên một chuỗi giá trị rời rạc của tín hiệu theo thời gian. Những chuỗi dữ liệu này, được gọi là dữ liệu được lấy mẫu, có thể được biến đổi vào không gian phức đặc trưng bởi biến phức s, sau đó vào miền z bằng quan hệ z = esT. Miền z là một miền tần số phức có các thuộc tính tương tự như miền s của biến đổi Laplace. Biến đổi z của hàm chuyển có thể dùng để phân tích tính ổn định và đáp ứng nhất thời của hệ thống. Bằng cách đó chúng ta có thể xác định đáp ứng của một hệ thống phản hồi với máy tính được dùng làm khối điều khiển hay bù. Các hệ thống điều khiển sử dụng máy tính như vậy rất phổ biến trong nhiều lĩnh vực, nhất là trong tự động hóa công nghiệp, ở đó máy tính thường được kết hợp với các thiết bị chấp hành để thực hiện những nhiệm vụ bao gồm hàng loạt các thao tác phức tạp. 12.1. Giới thiệu Từ những năm 70 của thế kỷ XX, việc sử dụng máy tính số như một thiết bị điều khiển đã trở nên phổ biến trong nhiều ngành công nghiệp. Ngày nay, các hệ thống điều khiển tự động sử dụng máy tính không chỉ hoạt động trong các lĩnh vực công nghiệp mà đã trở nên thông dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của nền kinh tế và đời sống xã hội, từ nông nghiệp, y tế đến lĩnh vực giải trí, từ những dây chuyền sản xuất hoàn toàn tự động đến các thiết bị gia dụng như máy giặt, tủ lạnh... Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển sử dụng máy tính được biểu diễn ở Hình 12.1. Trong mô hình này, máy tính tiếp nhận tín hiệu sai khác e(t) và thực hiện các tính toán cần thiết để điều khiển thiết bị chấp hành (actuator) có nhiệm vụ tác động tới quá trình cần điều khiển. Trong thực tế, các hệ thống điều khiển cần tới máy tính thường là các hệ thống phức tạp với nhiều biến vào và ra, vì vậy các hệ thống điều khiển sử dụng máy tính thường là các hệ thống đa biến. Máy tính trong một hệ thống điều khiển số (digital control system) sử dụng các tín hiệu vào và tín hiệu ra đều dưới dạng tín hiệu số để điều khiển quá trình. Tuy nhiên, do tín hiệu ra từ cảm biến và tín hiệu dùng để điều khiển thiết bị chấp hành thường là các tín hiệu tương tự, hệ thống sẽ cần phải sử dụng các bộ biến đổi tương tự-số (analog-to-digital converter) và biến đổi số-tương tự (digital-to-analog converter) như trong Hình 12.2 để thực hiện việc chuyển đổi tín hiệu giữa
174
hai dạng tương tự và số.
Quá trình Đáp ứng
mong muốn
Ra
Hình 12.1. Một hệ thống điều khiển sử dụng máy tính
Bộ chấp hành
Máy tính
Hệ đo
+
−
e(t)
Có nhiều dạng máy tính khác nhau được sử dụng trong các hệ thống điều khiển số. Nếu như trong các dây chuyền công nghiệp người ta thường sử dụng các loại máy tính nhỏ như các bộ điều khiển logic khả trình (programmable logic controller - PLC) hay thậm chí cả máy tính cá nhân, thì trong các hệ thống điều khiển nhúng (embedded control systems), rất phổ biến với các thiết bị điện/điện tử công nghiệp và dân dụng, các vi điều khiển thường được sử dụng.
Quá trình Đáp ứng
mong muốn
Ra
Hình 12.2. Một hệ thống điều khiển sử dụng máy tính với các bộ biến đổi giữa tín hiệu số và tín hiệu tương tự
Bộ chấp hành
Máy tính
Hệ đo Biến đổi A/D
Biến đổi D/A
Trong phạm vi thời lượng của cuốn sách, mục đích của chương này chỉ nhằm giới thiệu một số khái niệm cơ sở ban đầu về hệ thống điều khiển số. Các vấn đề của hệ thống điều khiển số đòi hỏi một môn học riêng và sẽ được đề cập tới trong một tài liệu riêng. 12.2. Hệ thống lấy mẫu Định nghĩa một cách đơn giản, hệ thống lấy mẫu (sampled-data system) là một hệ thống điều khiển ở đó một quá trình theo thời gian liên tục (continuous-time process) được điều khiển bởi một thiết bị số. Số hóa một tín hiệu theo thời gian liên tục bao gồm hai bước: rời rạc hóa (discretization) và lượng tử hóa (quantization). Một tín hiệu theo thời gian rời rạc (discrete-time signal), hay thường được gọi tắt là tín hiệu rời rạc (discrete signal), là chuỗi các giá trị độ lớn của một tín hiệu theo thời gian liên tục được lấy mẫu tại những thời điểm khác nhau. Khoảng thời gian giữa hai lần lấy mẫu liền nhau được gọi là khoảng thời gian lấy mẫu (sampling interval). Trong thực tế, tín hiệu thường được lấy mẫu theo một chu kỳ đều đặn, khi đó khoảng thời gian lấy mẫu được gọi là chu kỳ lấy mẫu (sampling period). Tín hiệu theo thời gian rời rạc tương ứng với một tín hiệu theo thời gian liên tục f(t) thường được biểu diễn dưới dạng f(kT) (k = 0,1,2,...), ở đó T là chu kỳ lấy mẫu. Một bộ lấy mẫu hoạt động như một công tắc, cứ cách một khoảng thời gian bằng T lại đóng một lần. Với một bộ lấy mẫu lý tưởng (ideal sampler), nếu tín hiệu đầu vào là f(t)
175
thì tín hiệu ra, ký hiệu là f*(t), sẽ là một chuỗi các xung với độ lớn là f(kT), hay:
∑∞
=
−=0
)()()(k
kTtkTftf* δ (12.1)
ở đó δ(t) là tín hiệu xung đơn vị. Độ lớn của một tín hiệu theo thời gian rời rạc có thể nhận bất cứ giá trị nào trong miền số thực. Tuy nhiên, các bộ biến đổi tương tự-số và các máy tính số chỉ có thể biểu diễn được một tập hợp hữu hạn các giá trị số, vì vậy tín hiệu theo thời gian rời rạc cần được lượng tử hóa để chuyển thành tín hiệu số. Độ chính xác của bộ chuyển đổi tương tự-số cũng như của các thiết bị số khác phụ thuộc vào số bit thiết bị sử dụng để biểu diễn các giá trị số. Vì vậy, khi nói đến tín hiệu số chúng ta phải đề cập tới sai số lượng tử hóa. Hệ thống điều khiển số chỉ có thể được coi là chính xác khi sai số này rất nhỏ so với độ lớn của tín hiệu. Một phương pháp đơn giản thường được dùng trong việc mô hình hóa các hệ thống lấy mẫu là sử dụng một bộ lấy mẫu lý tưởng và một bộ giữ mẫu bậc không (zero-order hold) nối tiếp nhau (Hình 12.3). Bộ giữ mẫu bậc không có tác dụng duy trì độ lớn của tín hiệu không thay đổi trong khoảng thời gian đúng bằng chu kỳ lấy mẫu T. Ví dụ về đáp ứng của bộ lấy mẫu và bộ giữ mẫu được thể hiện trong Hình 12.4. Chúng ta có thể mô hình hóa bộ giữ mẫu bằng một phép nhân chập:
p(t) = r*(t) ∗ h(t) (12.2) ở đó h(t) là một hàm xung vuông đơn vị có độ dài đúng bằng chu kỳ lấy mẫu T:
⎩⎨⎧
≥<<≤
=)hay 0(0
)0(1)(
TttTt
th (12.3)
Bộ giữ r(t) r*(t) p(t)
Hình 12.3. Sơ đồ bộ lấy mẫu và giữ mẫu bậc không
12.3. Biến đổi z Thực hiện biến đổi Laplace cho tín hiệu ra f*(t) của một bộ lấy mẫu lý tưởng, chúng ta có được:
[ ] ∑∑∞
=
−∞
=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
00
)()()()(k
ksT
k
ekTfkTtkTftf* δLL (12.4)
Đặt: z = esT (12.5) Phép biến đổi z một phía (unilateral z-transform) của tín hiệu f(t) được định nghĩa như sau:
176
[ ] [ ] ∑∞
=
−===0
)()()()(k
kzkTftf*tfzF ZZ (12.6)
Phép biến đổi z này được gọi là một phía để phân biệt với phép biến đổi z hai phía (bilateral z-transform), được định nghĩa với k chạy từ −∞ đến +∞. Trong kỹ thuật điều khiển, biến đổi z một phía được sử dụng bởi vì tín hiệu được xác định trong miền thời gian có mốc là không. Vì vậy từ đây chúng ta sẽ chỉ viết "biến đổi z" thay cho dạng đầy đủ là "biến đổi z một phía".Biến đổi z biến một tín hiệu theo thời gian thời rạc, nghĩa là một chuỗi các giá trị thực, thành dạng biểu diễn trong miền tần số phức. Như chúng ta đã thấy ở trên, biến đổi z chính là biến đổi Laplace của tín hiệu ra từ một bộ lấy mẫu lý tưởng, chỉ có khác là biến phức s được thay bằng biến phức z. Ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z được biểu diễn bởi phương trình (12.5). Điều đó có nghĩa là, một đường thẳng có phương trình s = a trong mặt phẳng s sẽ trở thành một đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng eaT trong mặt phẳng z (Hình 12.5).
t
t
t
r(t)
r*(t)
p(t)
0
T 2T 3T
Hình 12.4. Đáp ứng của hệ thống bao gồm bộ lấy và giữ mẫu (bậc không) với một tín hiệu vào r(t)
177
Để làm ví dụ, chúng ta sẽ xác định biến đổi z của hàm nhảy bậc đơn vị u(t) như sau:
11
1)()( 100 −
=−
===−
∞
=
−∞
=
− ∑∑ zz
zzzkTuzU
k
k
k
k (12.7)
Hàm chuyển của các hệ thống lấy mẫu được định nghĩa dựa trên phép biến đổi z thay cho phép biến đổi Laplace được dùng để định nghĩa hàm chuyển của các hệ thống theo thời gian liên tục. Một số tính chất của biến đổi z:
1. Tuyến tính Z[αf1(t) + βf2(t)] = αF1(z) + βF2(z)
Real s
Imag s
Real z
Imag z
0 0
Hình 12.5. Ánh xạ của một đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng s sang mặt phẳng z
a eaT
2. Suy giảm Z[e− αtf(t)] = F(zeαT)
3. Dịch thời gian
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=+ ∑
−
=
−1
0
)()()(n
k
kn zkTxzFznTtfZ (n∈Z+)
[ ] )()( zFznTtf n−=−Z (n∈Z+) 4. Nhân chập Z[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(z)F2(z)
5. Nhân thời gian
[ ]dz
zdFTzttf )()( −=Z
6. Giá trị khởi đầu )(lim)0( zFf
z ∞→=
7. Giá trị cuối cùng )()1(lim)( 1
1zFzf
z
−
→−=∞
178
Bảng 12.1. Biến đổi Laplace và biến đổi z của một số hàm quan trọng
f(t) (t ≥ 0) F(s) F(z) Hàm xung đơn vị δ(t) 1 1 (z > 0)
1 s1
1−zz (z > 1)
t 21s
2)1( −zTz (z > 1)
t2 32s
3
2
)1()1(
−+
zzzT (z > 1)
e−αt α+s
1 Tezz
α−− (z > 1)
sin(ωt) 22 ωω+s
1)cos(2
)sin(2 +− Tzz
Tzω
ω (z > 1)
cos(ωt) 22 ω+ss
1)cos(2)]cos([
2 +−−
TzzTzz
ωω (z > 1)
Ví dụ 12.1 Sơ đồ của một hệ thống lấy mẫu vòng hở bao gồm bộ lấy và giữ mẫu cùng với quá trình cần điều khiển có hàm chuyển G(s) (Hình 12.6). Mối quan hệ giữa tín hiệu ra c(t) của hệ thống và tín hiệu ra p(t) của bộ giữ mẫu được biểu diễn bằng phương trình của các biến đổi Laplace: C(s) = G(s)P(s) (12.8) Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (12.2), chúng ta sẽ có được biểu diễn của P(s) như sau:
[ ]
sesR*
esR*
ethsR*
sHsR*thtr*sP
sT
Tst
Tst
−
−
−
−=
=
=
=∗=
∫
∫
1)(
)(
)()(
)()()()()(
0
0
L
(12.9)
Thay (12.9) vào (12.8):
179
ssGesR*
sesR*sGsC sT
sT )()1)((1)()()( −−
−=−
= (12.10)
Chuyển phương trình (12.10) sang dạng của biến đổi z:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−= −
ssGzzRzC )()1)(()( 1 Z (12.11)
Vì vậy, hàm chuyển của hệ thống lấy mẫu vòng hở sẽ được tính bằng phương pháp sau đây:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−== −
ssGz
zRzCzT )()1()()()( 1 Z (12.12)
p(t) Bộ giữ mẫu r(t) r*(t)
Hình 12.6. Hệ thống lấy mẫu vòng hở
G(s) c(t)
12.4. Biến đổi z nghịch Biến đổi z nghịch (inverse z-transform) được dùng để xác định chuỗi các giá trị rời rạc f(kT) (k = 0,1,2...) của hàm f(t) khi đã biết biến đổi z của f(t) là F(z). Theo công thức (12.6) của biến đổi z, các giá trị f(kT) chính là các hệ số khi khai triển F(z) dưới dạng một chuỗi lũy thừa của z−1. Với các hệ thống tuyến tính bất biến, F(z) biểu diễn được dưới dạng F(z) = N(z)/D(z), ở đó N(z) và D(z) là các đa thức của z. Giả sử pi (i = 1..n) là các điểm cực của F(z), khi đó để xác định biến đổi z nghịch của F(z) người ta thường sử dụng một phương pháp khai triển phân thức đơn giản gần giống với phương pháp dùng cho biến đổi Laplace nghịch chúng ta đã giới thiệu ở Chương II. Tuy nhiên, trong trường hợp này chúng ta sẽ thực hiện khai triển với F(z)/z thay vì khai triển F(z):
n
n
pzk
pzk
pzk
zk
zzF
−++
−+
−+= ...)(
2
2
1
10 (12.13)
Vì vậy:
n
n
pzzk
pzzk
pzzkkzF
−++
−+
−+= ...)(
2
2
1
10 (12.14)
Dựa vào bảng 12.1, biến đổi Laplace nghịch của F(z) khi đó sẽ được tính như sau:
∑∑==
+=+=n
i
kii
n
i
kTTp
i pkkTkekkTkkTfi
10
1
ln
0 )()()( δδ (12.15)
Để làm ví dụ, xem xét một hàm F(z) có dạng như sau:
123
32)( 2 −+−
=zz
zzF (12.16)
180
Khai triển F(z)/z:
311)31)(1(3
32)( 210
−+
++=
−+−
=z
kzk
zk
zzzz
zzF (12.17)
ở đó k0, k1 và k2 được tính như sau:
3)31(13
3)(0
0 =−××
−==
=zz
zzFk (12.18)
45
)311()1(33)1(2)1()(
11 −=
−−×−×−−×
=+=−=z
zzzFk (12.19)
47
)131()31(33)31(2)31()(
312 −=
+××−×
=−==z
zzzFk (12.20)
Vì vậy, biến đổi z nghịch của F(z) sẽ có dạng:
( )kkkTkTf 3147)1(
45)(3)( −−−= δ (12.21)
12.5. Phân tích tính ổn định của hệ thống trong mặt phẳng z Chúng ta đã biết từ Chương VI điều kiện để một hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các điểm cực của phương trình đặc trưng của hệ thống phải nằm ở bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Viết lại phương trình (12.5) biểu diễn ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z dưới dạng như sau:
z = esT = e(σ+iω)T (12.22) hay:
Tzez T ωσ =∠= và (12.23)
Như vậy, khi s nằm bên trái trục ảo, nghĩa là σ < 0, độ lớn của z sẽ nằm trong khoảng (0,1). Điều đó có nghĩa là nửa bên trái trục ảo trong mặt phẳng s tương ứng với phần bên trong đường tròn đơn vị (đường tròn có bán kính bằng một có tâm tại gốc tọa độ) của mặt phẳng z (Hình 12.7). Vì vậy chúng ta có thể phát biểu: điều kiện để một hệ thống lấy mẫu ổn định là tất cả các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống đều phải nằm bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z.
181
Real s
Imag s
Real z
Imag z
0
Hình 12.7. Ánh xạ từ nửa bên trái trục ảo trong mặt phẳng s sang mặt phẳng z
0 1
Ví dụ 12.2
Một hệ thống lấy mẫu vòng kín được biểu diễn ở Hình 12.8, ở đó hàm chuyển của quá trình cần điều khiển là:
)1(
)(+
=ssKsG (12.24)
Bộ giữ mẫu e(t) e*(t) c(t)
Hình 12.8. Hệ thống lấy mẫu vòng kín
r(t) G(s) +
−
Chúng ta có thể tính được hàm chuyển vòng hở của hệ thống nói trên theo công thức (12.12):
TT
TTT
T
T
o
ezezeTezTeK
ezz
zTK
ezz
zz
zTzKz
sK
sK
sKz
ssKzzT
−−
−−−
−
−−
−
−
++−−−+−+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
−−
−−=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
++−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=
)1()1()1(
111
1)1()1(
1)1(
)1()1()(
2
21
21
21
Z
Z
(12.25)
Phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín có dạng 1 + To(z) = 0, hay:
182
0)1(
)1()1(1 2 =++−
−−+−++ −−
−−−
TT
TTT
ezezeTezTeK (12.26)
Nếu chu kỳ lấy mẫu T = 1s, phương trình (12.26) trở thành:
03678,03678,1
2644,03678,01 2 =+−
++
zzzK (12.27)
Áp dụng phương pháp quỹ tích nghiệm như khi phân tích hệ thống trong mặt phẳng s, chúng ta sẽ xác định được điều kiện để tất cả các nghiệm của phương trình (12.27) đều nằm bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z là
4,20 << K . Đó chính là điều kiện để hệ thống lấy mẫu trong ví dụ này ổn định.
12.6. Tính ổn định và hiệu suất của hệ thống lấy mẫu bậc hai Chúng ta sẽ phân tích hiệu suất của một hệ thống lấy mẫu vòng kín như trong Hình 12.8, ở đó G(s) là một hàm chuyển bậc hai:
)1(
)(+
=ssKsGτ
(12.28)
Hàm chuyển vòng hở của hệ thống được tính theo công thức (12.12):
ττ
τττ
τ
τ
ττττ
ττ
ττ
τττ
τ
TT
TTT
T
T
o
ezezeTezTeK
ezz
zTK
ezz
zz
zTzKz
sK
sK
sKz
ssKzzT
−−
−−−
−
−−
−
−
++−−−+−+
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+−−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+
−−
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=
)1()()(
)1(1
1)1()1(
1)1(
)1()1()(
2
21
2
21
21
Z
Z
(12.29)
Phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín sẽ có dạng 1+To(z) = 0 hay dưới dạng q(z) = 0, ở đó:
τττ
ττ
ττ
ττTTT
TT
eeTeK
zeTeKzzq−−−
−−
+−−+
+−−++=
)(
)]1()([)( 2
(12.30)
Để xác định điều kiện ổn định cho hệ thống, chúng ta có thể dùng phương pháp quỹ tích nghiệm. Tuy nhiên, vì q(z) là một đa thức bậc hai có dạng z2 + az + b, chúng ta có thể xác định điều kiện ổn định bằng cách đơn giản hơn, dựa trên điều kiện cần và đủ để phương trình q(z) = 0 có tất cả các nghiệm đều nằm bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z là:
|q(0)| < 1, q(1) > 0 và q(−1) > 0 (12.31)
183
Từ biểu thức (12.30) và điều kiện (12.31), chúng ta xác định được điều kiện để hệ thống lấy mẫu bậc hai ổn định:
0)()1()(1
0)()1()(1
1)(1
>+−−+++−+−
>+−−++−−++
<+−−<−
−−−−−
−−−−−
−−−
τττττ
τττττ
τττ
ττττ
ττττ
ττ
TTTTT
TTTTT
TTT
eeTeKeTeK
eeTeKeTeK
eeTeK
(12.32)
hay:
)1()(2)1(2
1
0,0
ττ
τ
ττ
τ
ττ
ττ
TT
T
TT
T
eTeeK
eTeeK
TK
−−
−
−−
−
++−+
<
−−−
<
>>
(12.33)
Từ các điều kiện này, chúng ta sẽ tính ra được giá trị lớn nhất được phép của gia lượng K cho một hệ thống bậc hai.
Hiệu suất của hệ thống lấy mẫu nói trên phụ thuộc vào tỷ số T/τ. Tỷ số này càng nhỏ thì các đặc tính của hệ thống lấy mẫu càng gần với hệ thống theo thời gian liên tục. Vì vậy, nếu có được tỷ số T/τ rất nhỏ, chúng ta có thể dùng các chỉ số hiệu suất của hệ thống theo thời gian liên tục để cho hệ thống lấy mẫu tương ứng. Để làm giảm được tỷ số T/τ, tốc độ tính toán và/hoặc độ dài từ của máy tính số cần được tăng lên để giảm chu kỳ lấy mẫu T. Bài tập Bài 12.1. Tín hiệu y(t) có biến đổi Laplace như sau:
)5)(1(5)(
++=
ssssY
Xác định biến đổi z của y(t) với chu kỳ lấy mẫu T = 0,2s. Bài 12.2. Xác định biến đổi z nghịch của Y(z):
zzzzzzY
5,05,112)( 23
23
+−++
=
Bài 12.3. Hệ thống lấy mẫu với hàm chuyển:
2,01,0)( 2
2
−++
=zz
zzzT
có ổn định không? Bài 12.4. Một hệ thống lấy mẫu phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là G(s) = 1/(s+1).
(a) Xác định hàm chuyển của hệ thống. (b) Xác định đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm bậc thang đơn vị.
184
(c) Tính giá trị khởi đầu và giá trị cuối cùng của đáp ứng trong phần (b).
185
Phụ lục A
GIỚI THIỆU MATLAB VÀ BỘ CHƯƠNG TRÌNH CONTROL SYSTEM TOOLBOX CỦA MATLAB
A.1. Giới thiệu A.1.1. MATLAB MATLAB là một ngôn ngữ tính toán hiệu năng cao phục vụ cho các lĩnh vực kỹ thuật, tích hợp các chức năng tính toán, hiển thị và lập trình trong một môi trường dễ sử dụng, trong đó các bài toán kỹ thuật và giải pháp cho chúng được thể hiện bằng các phương pháp và ký hiệu toán học quen thuộc. Các ứng dụng của MATLAB bao gồm:
1. Tính toán 2. Phát triển thuật toán 3. Mô hình hóa, mô phỏng và thử nghiệm 4. Phân tích, khai thác và hiển thị dữ liệu 5. Đồ họa phục vụ các ứng dụng khoa học và kỹ thuật 6. Phát triển ứng dụng, bao gồm cả xây dựng giao diện đồ họa cho người sử
dụng MATLAB là một hệ thống tương tác, với phần tử dữ liệu cơ sở là mảng (array) không cần định cỡ, cho phép chúng ta giải quyết nhiều bài toán kỹ thuật, đặc biệt là các bài toán sử dụng các phép tính toán ma trận và vector, trong khoảng thời gian rất ngắn so với việc viết các chương trình để giải chúng bằng các ngôn ngữ như C hay Fortran. MATLAB là cách viết tắt của Matrix Laboratory, vốn được phát triển với mục đích cung cấp giao diện cho các phần mềm tính toán ma trận của các thư viện tính toán LINPACK và EISPACK. Ngày nay, MATLAB sử dụng các phần mềm của các thư viện LAPACK và ARPACK, là những đại diện cho các thành tựu tiên tiến nhất trong lĩnh vực phần mềm tính toán ma trận. MATLAB đã được sử dụng làm công cụ giảng dạy cho các môn học thuộc nhiều lĩnh vực như toán học, các môn khoa học và kỹ thuật trong các trường đại học trên khắp thế giới. MATLAB còn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng đòi hỏi khối lượng tính toán lớn. Đặc biệt, MATLAB còn cung cấp các giải pháp hướng tới các ứng dụng cụ thể dưới dạng các bộ công cụ (toolboxes). Các bộ công cụ này cho phép người sử dụng học và ứng dụng được những công nghệ cụ thể cho công việc của mình. Các bộ công cụ là những tập hợp các hàm viết bằng ngôn ngữ của MATLAB (các M-files), cho phép sử dụng môi trường MATLAB để giải các lớp bài toán cụ thể. MATLAB có các bộ công cụ cho các lĩnh vực như kỹ thuật điều khiển, xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, mạng neural, logic mờ, mô phỏng, và nhiều lĩnh vực khác nữa.
186
A.1.2. Control System Toolbox MATLAB có một tập hợp phong phú các hàm rất có ích cho công việc của các kỹ sư điều khiển cũng như những người nghiên cứu về hệ thống, ví dụ như các hàm tính toán số phức, giá trị đặc trưng (eigenvalue), giải phương trình, tính ma trận nghịch đảo... Nhìn một cách tổng quát hơn, MATLAB cung cấp khả năng áp dụng các phương pháp của đại số tuyến tính, tính toán ma trận và giải tích số, là những nền tảng cần thiết cho kỹ thuật điều khiển cũng như nhiều lĩnh vực khác. Control System Toolbox sử dụng cấu trúc ma trận và các hàm cơ sở của MATLAB để xây dựng một tập hợp các hàm chuyên dụng cho lĩnh vực kỹ thuật điều khiển. Control System Toolbox là một tập hợp các thuật toán, được cài đặt chủ yếu dưới dạng M-files, thể hiện các kỹ thuật thường dùng trong phân tích, thiết kế và mô hình hóa các hệ thống điều khiển. Control System Toolbox cho phép mô hình hóa các hệ thống điều khiển bằng các kỹ thuật cả cổ điển và hiện đại như hàm chuyển, zero-pole-gain hay các mô hình trong không gian trạng thái. Chúng ta có thể thiết lập mô hình của các hệ thống cả liên tục và rời rạc. Các hàm được cung cấp trong Control System Toolbox bao gồm các phép biến đổi giữa các dạng mô hình, các hàm tính toán và vẽ đồ thị của đáp ứng theo thời gian, đáp ứng tần số và quỹ tích nghiệm của hệ thống. Ngoài ra còn các hàm sử dụng cho các phương pháp thiết kế hệ thống hiện đại như đặt điểm cực, điều khiển tối ưu, xấp xỉ hệ thống... Chúng ta cũng có thể viết các chương trình ở dạng M-files để cài đặt các hàm mới chưa có trong Control System Toolbox. A.2. Sử dụng MATLAB A.2.1. Khởi động và thoát khỏi MATLAB Để khởi động MATLAB trong Windows, nhấn đúp phím trái của chuột tại biểu tượng của MATLAB trên Windows Desktop hay chọn MATLAB trong Start Up menu, MATLAB Desktop sẽ mở ra. Để thoát khỏi MATLAB, chọn File/Exit trong menu của MATLAB Desktop hay gõ lệnh quit tại dấu nhắc trong cửa sổ lệnh của MATLAB Desktop. A.2.2. MATLAB Desktop Khi chúng ta khởi động MATLAB, MATLAB Desktop sẽ xuất hiện, bao gồm các công cụ (giao diện đồ họa) phục vụ việc quản trị files, biến và các chương trình ứng dụng (Hình A.1). Chúng ta có thể đóng, mở, thay đổi kích thước cửa sổ của các công cụ của MATLAB Desktop. Một số công cụ thường dùng của MATLAB Desktop:
− Cửa sổ lệnh (Command Window): có thể sử dụng để chạy các hàm, các M-files, nhập dữ liệu vào các biến hay xem giá trị các biến. Các lệnh trong cửa sổ lệnh được gõ vào tại dấu nhắc » của MATLAB. Các lệnh xem, thay đổi và tạo thư mục và đường dẫn trong MATLAB tương tự các lệnh của MS-DOS (dir, pwd, cd, mkdir). Chúng ta cũng có thể thực hiện các lệnh của MS-DOS trong cửa sổ lệnh bằng cách thêm dấu ! vào trước lệnh MS-DOS. Ví dụ:
187
» cd C:\ » mkdir matlab_test » !copy *.bat matlab_test AUTOEXEC.BAT 1 file(s) copied. » cd matlab_test » dir AUTOEXEC.BAT »
− Command History: các lệnh chúng ta gõ vào cửa sổ lệnh sẽ được ghi vào cửa sổ Command History cùng với nhãn thời gian đánh dấu thời điểm bắt đầu và kết thúc của mỗi phiên làm việc. Chúng ta có thể mở cửa sổ này để xem lại các lệnh đã thực hiện và copy những dòng lệnh vào cửa sổ lệnh hay chương trình soạn thảo.
− Launch Pad: cung cấp giao diện đồ họa để người sử dụng có thể mở các bộ công cụ (toolboxes), các chương trình demo và các tài liệu trợ giúp của MATLAB một cách thuận tiện.
− Chương trình soạn thảo và debug (Editor/Debugger): được sử dụng để soạn thảo và debug các M-files, là những chương trình có thể thực hiện được như những hàm của MATLAB. Để tạo một M-file mới, chọn File/New/M-file trên menu của MATLAB Desktop hoặc gõ lệnh edit trong cửa sổ lệnh. Để mở một M-file đã có, chọn File/Open trên menu của MATLAB Desktop hay gõ lệnh edit <xxxx.m> trong cửa sổ lệnh, ở đó xxxx là tên của M-file và .m là phần mở rộng của M-file. Để chạy một M-file từ cửa sổ lệnh, gõ vào tên của M-file (không có phần mở rộng).
Hình A.1. MATLAB Desktop
188
A.2.3. Sử dụng lệnh help và lookfor của MATLAB Chúng ta có thể xem tài liệu trợ giúp của MATLAB bằng cách sử dụng Help menu của MATLAB Desktop hoặc gõ lệnh help trong cửa sổ lệnh. Để xem hướng dẫn sử dụng một hàm của MATLAB bằng lệnh help, gõ help <tên hàm>. Nếu không nhớ được tên hàm mà chỉ nhớ một số từ khóa gắn với hàm cần tìm, chúng ta có thể tìm kiếm những thông tin cần thiết bằng cách gõ lệnh lookfor <từ khóa>. A.2.4. Biến trong MATLAB
MATLAB lưu giữ các biến dưới dạng các ma trận có kích thước M×N, ở đó M là số hàng và N là số cột của ma trận. Ma trận kích thước 1×1 là một giá trị vô hướng. Ma trận kích thước 1×N là một vector hàng, còn ma trận kích thước M×1 là một vector cột. Các phần tử của ma trận có thể là một số thực hay số phức. Đơn vị ảo 1− được ký hiệu là i hoặc j, trừ phi người sử dụng đã định nghĩa lại các biến này. Các phần tử của một ma trận được viết trong cặp [ ], với các phần tử của các cột tách nhau bởi dấu cách hoặc dấu phảy, và các hàng tách nhau bằng dấu chấm phảy. Ví dụ dưới đây là các phép gán giá trị cho một biến x:
» x = 5; % giá trị thực » x = 5+10i; % giá trị ảo » x = 5+10j; % tương đương dòng trên » x = [1 2 3]; % vector hàng » x = [1; 2; 3]; % vector cột » x = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % ma trận 3×3
Chú ý: chúng ta có thể viết một giá trị ảo là 5+10i, nhưng không thể viết là 5+i10. Các cách viết khác là 5+10*i hay 5+i*10 đều được chấp nhận. Dấu % được sử dụng cho các chú giải trong dòng lệnh. Còn dấu ; được đặt cuối lệnh nếu chúng ta không muốn MATLAB in ngay ra trạng thái thực hiện của dòng lệnh trong cửa sổ lệnh. Ví dụ, nếu ta không đặt ; cuối các lệnh gán thì trên cửa sổ lệnh sẽ hiển thị như sau:
» x = 5 x = 5 » x = [1 2 3] x = 1 2 3 » x = [1; 2; 3] x = 1 2 3
Để xem giá trị của một biến, chỉ việc gõ tên biến vào cửa sổ lệnh, hoặc dùng lệnh disp. Ví dụ:
189
» x = [1 2 3]; » x x = 1 2 3 » disp(x) 1 2 3
A.2.5. Các phép toán với số phức Ví dụ sau thể hiện các hàm quan trọng đối với các biến phức:
» x = 3+4i % gán giá trị phức cho x x = 3.0000 + 4.0000i » real(x) % phần thực của x ans = 3 » imag(x) % phần ảo của x ans = 4 » abs(x) % độ lớn (magnitude) của x ans = 5 » angle(x) % góc pha của x, tính bằng radian ans = 0.9273 » conj(x) % liên hợp phức của x ans = 3.0000 − 4.0000i
Nếu x là một ma trận, các hàm sẽ được thực hiện với từng phần tử của ma trận. Ví dụ:
» x = [3+4i 5−10i] x = 3.0000 + 4.0000i 5.0000 − 10.0000i » real(x) ans = 3 5 » imag(x) 4 −10
A.2.6. Sinh vector Trong MATLAB, để vẽ được đồ thị của một hàm f(x) trong một khoảng giá trị [x1, x2] của x, chúng ta cần phải có một vector các giá trị rời rạc của f(x) trong khoảng [x1, x2]. Để làm được việc đó, trước hết phải rời rạc hóa khoảng giá trị [x1, x2] của x, sau đó tính các giá trị của f(x) cho các giá trị của x trong khoảng [x1, x2].Các lệnh và hàm sinh vector thường được sử dụng cho mục đích rời rạc hóa một khoảng giá trị của x. Cách sử dụng các lệnh và hàm này như sau:
190
− Lệnh [x1:s:x2]: sinh một vector x bao gồm các giá trị cách đều nhau trong khoảng [x1, x2] với bước là s. Ví dụ:
» x = [0:0.5:10]; % sinh vector x có 21 giá trị từ 0 đến 10, bước 0,5
− Hàm linspace(x1,x2,N): sinh một vector gồm N giá trị cách đều nhau trong khoảng [x1, x2]. Ví dụ:
» x = linspace(0,10,21); % kết quả giống như ví dụ trên
− Hàm logspace(d1,d2,N): sinh một vector gồm N giá trị cách đều nhau theo thang logarithm (cơ số 10) trong khoảng [10d1,10d2], trừ phi d2 bằng pi (π), khi đó khoảng giá trị sẽ là [10d1, π]. Ví dụ:
» x = logspace(0,3,4) x = 1 10 100 1000 » x = logspace(0,pi,4) x = 1.0000 1.4646 2.1450 3.1416
A.2.7. Truy nhập tới các phần tử của ma trận Các phần tử của ma trận được truy nhập tới bằng các chỉ số (indexes) của hàng và cột. Trong MATLAB, chỉ số bắt đầu từ 1. Ví dụ:
» A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % ma trận 3×3 » x = A(3,1) % phần tử ở hàng 3, cột 1 x = 7
Để truy nhập tới một ma trận con của ma trận, người ta thường sử dụng tới ký hiệu :, ví dụ:
» x = A(:,2) % toàn bộ cột thứ 2 của A x = 2 5 8 » x = A(2:3,1:3) % ma trận con của A gồm hàng 2-3, cột 1-3 x = 4 5 6 7 8 9
A.2.8. Các phép tính ma trận
− Cộng ma trận: A+B
− Trừ ma trận: A−B
− Nhân ma trận: A*B
− Chia ma trận: có hai phép chia ma trận được định nghĩa như sau, nếu A*x = B thì x = A\B (phép chia trái, ký hiệu là \), còn nếu x*A = B thì x = B/A
191
(phép chia phải, ký hiệu là /) với điều kiện ma trận A lấy nghịch đảo được và kích thước các ma trận phù hợp.
− Lấy mũ: A^k (tương đương A*A*...*A, tất cả k lần)
− Chuyển vị liên hợp: A' hoặc ctranspose(A)
− Nhân các phần tử tương ứng của 2 ma trận cùng kích thước: A.*B, kết quả là một ma trận cùng kích thước, phần tử ở hàng i cột j bằng A(i,j)*B(i,j)
− Chia các phần tử tương ứng của 2 ma trận cùng kích thước: Phép chia phải: A./B, kết quả là một ma trận cùng kích thước, phần tử ở hàng i cột j bằng A(i,j)/B(i,j) Phép chia trái: A.\B, kết quả là một ma trận cùng kích thước, phần tử ở hàng i cột j bằng B(i,j)/A(i,j)
− Lấy mũ các phần tử của ma trận: A.^k, kết quả là một ma trận cùng kích thước, phần tử ở hàng i cột j bằng A(i,j)^k
A.2.9. Các phép toán quan hệ
− Lớn hơn: > − Lớn hơn hoặc bằng: >= − Nhỏ hơn: < − Nhỏ hơn hoặc bằng: <= − Bằng nhau: == − Không bằng nhau: ~=
Kết quả của một phép toán quan hệ sẽ là 1 (đúng) hoặc 0 (sai). Nếu phép toán quan hệ được thực hiện cho hai ma trận (kích thước bằng nhau), kết quả sẽ là một ma trận gồm các giá trị 0 và 1, bao gồm kết quả các phép so sánh giữa các phần tử tương ứng của hai ma trận. Ví dụ:
» [1 2; 3 4] >= [2 1; 3 2] ans = 0 1 1 1
A.2.10. Các lệnh điều kiện MATLAB có các cấu trúc tương tự các ngôn ngữ lập trình bậc cao khác, như các lệnh if, for, while và các phép toán logic and (hay &), or (hay |), not (hay ~). Hãy sử dụng lệnh help để tìm hiểu cách sử dụng các lệnh này. A.2.11. Các hàm toán học MATLAB cung cấp một số lớn các hàm toán học cơ sở. Các hàm thường dùng là sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp (lấy mũ của e), log (logarithm tự nhiên), log10 (logarithm cơ số 10), sqrt (căn bậc 2), abs (giá trị tuyệt đối). Khi biến vào của các hàm nay là các ma trận, chúng sẽ được thực hiện cho từng phần tử của ma trận.
192
A.2.12. M-files MATLAB là một ngôn ngữ biên dịch, nghĩa là lệnh được gõ vào cửa sổ lệnh sẽ được dịch trong phạm vi của phiên làm việc hiện tại của MATLAB. Để lập trình trong MATLAB, chúng ta có thể dùng hai dạng: script và hàm. Cả hai dạng này đều sử dụng M-files. Script
Một script la một chuỗi các dòng lệnh MATLAB được ghi vào một M-file (phần mở rộng của M-file là .m). Khi M-file được chạy, MATLAB sẽ thực hiện từng lệnh trong script tương tự như lệnh đó được gõ vào cửa sổ lệnh. Phạm vi của các lệnh trong script là toàn bộ phiên làm việc hiện tại của MATLAB chứ không phải chỉ trong phạm vi của M-file, nghĩa là các lệnh trong script có thể sử dụng các biến đã được định nghĩa trước khi M-file được gọi. Vì vậy, nếu các lệnh trong script không cần dùng tới các biến đã định nghĩa trước đó, cần dùng lệnh clear ở đầu script để tránh những hiệu ứng không mong muốn. Sau đây là một script làm ví dụ:
% script file: vidu.m % vẽ đồ thị của hàm số x = te-tcos(2πt) trong khoảng [0,8] clear all % xóa tất cả các biến và hàm % do người dùng định nghĩa trước trước đó t = linspace(0,8,401); x = t.*exp(–t).*cos(2*pi*t); plot(t,x)
Hàm M-files chứa hàm được bắt đầu bằng một định nghĩa hàm như sau:
function [output1, output2,...] = function_name(input1, input2,...) Tiếp theo định nghĩa hàm là các lệnh MATLAB như trong scripts. Tuy nhiên, các lệnh đó chỉ có phạm vi bên trong hàm và các biến được định nghĩa trong phạm vi hàm là các biến cục bộ trừ phi chúng được khai báo là biến toàn cục bằng cách sử dụng lệnh global. Sau đây là một ví dụ về hàm:
% file: f1.m % tính s = f1(a,b) = ea+2|b| function s = f1(a,b) if b > 0, k = a+2*b; else k = a−2*b; end s = exp(k);
A.2.13. Nhật ký Như đã nói tới ở phần trên, các lệnh được gõ vào cửa sổ lệnh đều được ghi vào cửa sổ Command History của MATLAB desktop. Chúng ta cũng có thể yêu cầu MATLAB lưu nhật ký các lệnh được gọi trong mỗi phiên làm việc ra file bằng
193
cách sử dụng lệnh diary. Để mở một file nhật ký và bắt đầu ghi, thực hiện lệnh sau:
» diary <tên file>
Các lệnh được gõ vào cửa sổ lệnh sau đó sẽ được ghi vào file có tên đã được chỉ ra trong lệnh trên. Để kết thúc việc ghi nhật ký và đóng file nhật ký, gõ lệnh sau:
» diary off
A.2.14. Vẽ đồ thị Các lệnh vẽ đồ thị 2-D đơn giản trong MATLAB:
− plot: vẽ đồ thị dưới dạng đường liên tục − stem: vẽ đồ thị dưới dạng các điểm rời rạc − loglog: tương tự plot, nhưng hai trục tọa độ X và Y đều chia theo thang
logarithm (cơ số 10) − semilogx: tương tự plot, nhưng trục tọa độ X chia theo thang logarithm
(cơ số 10) − semilogy: tương tự plot, nhưng trục tọa độ Y chia theo thang logarithm (cơ
số 10) − bar: vẽ biểu đồ cột − histogram: vẽ biểu đồ tần suất − polar: vẽ đồ thị trong hệ tọa độ cực
Các lệnh liên quan đến trình bày đồ thị:
− xlabel: gắn nhãn cho trục X − ylabel: gắn nhãn cho trục Y − title: gắn tiêu đề cho đồ thị − grid: hiển thị lưới tọa độ − text: đặt xâu ký tự vào đồ thị − axis: điều chỉnh thang và thuộc tính của các trục tọa độ − figure: tạo một cửa sổ mới cho lệnh vẽ, hàm sẽ trả về số hiệu của cửa sổ
mới được tạo. Nếu lệnh figure có tham số − figure(n), cửa sổ vẽ có số hiệu n sẽ được kích hoạt và lệnh vẽ tiếp theo sẽ vẽ vào cửa sổ này.
− hold on: cho phép giữ lại hệ tọa độ và đồ thị đang hiển thị khi có lệnh vẽ mới trong cùng cửa sổ. Các lệnh vẽ mới sẽ chỉ vẽ thêm đồ thị, các trục tọa độ và thuộc tính của chúng vẫn giữ nguyên
− hold off: xóa bỏ tác dụng của lệnh trên, mỗi khi có lệnh vẽ mới, hình vẽ đang hiển thị trong cùng cửa số sẽ bị xóa
− close(n): đóng cửa sổ vẽ có số hiệu n − subplot: lấy một phần của đồ thị đang hiển thị
Sau đây là một ví dụ sử dụng các hàm vẽ đồ thị: % vẽ đồ thị của các hàm số x1 = te-tcos(2πt) và x2 = te-tsin(2πt) % trong khoảng [0,8] t = linspace(0,8,401); x1 = t.*exp(–t).*cos(2*pi*t);
194
x2 = t.*exp(–t).*sin(2*pi*t); plot(t,x1); hold on plot(t, x2); xlabel('Time (s)'); ylabel('Amplitude');
A.3. Thiết lập các mô hình hệ thống bằng Control System Toolbox A.3.1. Thiết lập các mô hình tuyến tính bất biến theo thời gian Control System Toolbox (CST) có các hàm cho phép thiết lập các mô hình của các hệ thống tuyến tính bất biến (linear time-invariant systems hay LTI), bao gồm các mô hình hàm chuyển, điểm không-điểm cực-gia số (zero-pole-gain) hay các mô hình trong không gian trạng thái (mô hình biến trạng thái). Hàm chuyển
Mô hình hàm chuyển của một hệ thống tuyến tính G(s) = Y(s)/X(s) trong CST được thiết lập bằng hàm tf(X,Y), ở đó X là vector biểu diễn đa thức X(s) và Y là vector biểu diễn đa thức Y(s). Đa thức P(s) = a1sn + a2sn-1 + a3sn-2 + ... + ans + an+1 được biểu diễn bằng vector P = [a1 a2 a3 ... an an+1]. Ví dụ, hệ thống có hàm chuyển G(s) = s/(s2 + 2s + 10) được thiết lập bằng lệnh sau:
» G = tf([1 0],[1 2 10]) Transfer function: s ------------------- s^2 + 2 s + 10
Zero-pole-gain Các mô hình zero-pole-gain sử dụng hàm chuyển được biểu diễn dưới dạng:
))...()(())...()(()(
21
21
n
m
pspspszszszsksG
−−−−−−
=
ở đó, gia số k (gain) là một giá trị, zi (i = 1..m) là các điểm không (zeros) của G(s) và pj (j = 1..n) là các điểm cực (poles) của G(s). Vì vậy, các mô hình zero-pole-gain được biểu diễn bằng giá trị k và hai vector Z = [z1 z2 ... zm] và P = [p1 p2 ... pn], thiết lập bởi hàm zpk(Z,P,k). Ví dụ:
» G = zpk(3,[–1 –2],2) Zero/pole/gain: 2 (s-3) --------------- (s+1) (s+2) » G = zpk(0,[–1+3i –1–3i],1) Zero/pole/gain: s -------------------- (s^2 + 2s + 10)
195
Mô hình trong không gian trạng thái (mô hình biến trạng thái) Các mô hình trong không gian trạng thái sử dụng các phương trình vi phân mô tả động lực của hệ thống dưới dạng:
DuCxy
BuAxx
+=
+=dtd
ở đó, x là vector chứa các biến trạng thái, u là vector chứa các biến vào và y là vector chứa các biến ra. A, B, C, D là các ma trận hệ số của hệ phương trình. Kích thước của các ma trận này như sau: A có kích thước Nx×Nx, B có kích thước Nx×Nu, C có kích thước Ny×Nx, D có kích thước Ny×Nu, ở đó Nx là số biến trạng thái, Nu là số biến vào và Ny là số biến ra. Một mô hình trong không gian trạng thái được thiết lập bởi lệnh ss(A,B,C,D). Ví dụ, một hệ thống được mô tả bởi phương trình sau:
Idtd
dtd 3522
2=++ θθθ
Chuyển phương trình này sang dạng ở trên, chúng ta có x = [θ ; dtdθ ], u = I,
dtdθ
=y , A = [0 1; −5 −2], B = [0 ; 3], C = [0 1] và D = 0. Mô hình này được
thiết lập bằng lệnh sau: » sys = ss([0 1 ; −5 −2],[0 ; 3],[0 1], 0) a = x1 x2 x1 0 1 x2 −5 −2 b = u1 x1 0 x2 3 c = x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model.
Mô hình trong không gian trạng thái có thể được biểu diễn ở dạng tổng quát hơn như sau:
196
DuCxy
BuAxxE
+=
+=dtd
ở đó E là một ma trận có kích thước Nx×Nx. Để thiết lập mô hình này ta dùng lệnh dss(A,B,C,D,E). Các mô hình theo thời gian rời rạc
Các mô hình được thiết lập bởi các hàm đã trình bày ở trên đều là các mô hình theo thời gian liên tục. Để thiết lập các mô hình theo thời gian rời rạc, chúng ta vẫn dùng các hàm đó, nhưng thêm một tham số là khoảng thời gian lấy mẫu ts (tính bằng giây). Các hàm thiết lập các mô hình theo thời gian rời rạc sẽ là: tf(X,Y,ts), zpk(Z,P,k,ts), ss(A,B,C,D,ts) và dss(A,B,C,D,E,ts). Ví dụ:
» G = tf([1 0],[1 2 10],0.1) Transfer function: z ------------------- z^2 + 2 z + 10 Sampling time: 0.1
A.3.2. Chuyển đổi giữa các loại mô hình Các hàm tf, zpk và ss cũng được dùng để chuyển đổi từ một loại mô hình sang một loại mô hình khác. Ví dụ:
» G = tf([1 3],[1 –3 2]) % mô hình hàm chuyển Transfer function: s + 3 ----------------- s^2 - 3 s + 2 » G = zpk(G) % chuyển sang mô hình zero-pole-gain Zero/pole/gain: (s+3) ------------- (s-2) (s-1) » sys = ss(G) % chuyển sang mô hình trong không gian trạng thái a = x1 x2 x1 2 1.118 x2 0 1 b = u1 x1 0 x2 2 c = x1 x2 y1 2.236 0.5
197
d = u1 y1 0 Continuous-time model.
Để chuyển đổi giữa các mô hình theo thời gian liên tục và mô hình theo thời gian rời rạc, dùng các hàm c2d và d2c
− sysd = c2d(sysc,ts): chuyển đổi mô hình liên tục sysc thành mô hình rời rạc sysd, ở đó ts là thời gian lấy mẫu.
− sysc = d2c(sysd): chuyển đổi mô hình rời rạc sysd thành mô hình liên tục sysc.
Khi thực hiện các phép tính toán với các mô hình, các mô hình thường được chuyển đổi một cách tự động về loại mô hình phù hợp với phép tính toán/hàm sẽ được thực hiện. Chú ý: việc chuyển đổi giữa các loại mô hình có thể gây ra sai số, vì vậy cần tránh việc chuyển đổi nếu có thể. A.3.3. Các thao tác với mô hình LTI
Phép thao tác Lệnh MATLAB Sơ đồ tương đương
Cộng sys = sys1 + sys2 hoặc sys = parallel(sys1,sys2)
sys1
sys2
+
+
Trừ sys = sys1 − sys2
sys1
sys2
+
−
Nhân sys = sys1*sys2 hoặc sys = series(sys1,sys2)
sys1 sys2
Ghép theo hàng sys = [sys1 sys2]
sys1
sys2
+
+
198
Ghép theo cột sys = [sys1 ; sys2]
sys1
sys2
Phản hồi âm sys = feedback(sys1,sys2,−1)
sys1
sys2
+
−
Phản hồi dương sys = feedback(sys1,sys2,+1)
sys1
sys2
+
+
A.3.4. Xây dựng mô hình bằng hàm append và connect Chúng ta có thể xây dựng một mô hình bằng cách kết nối nhiều khối (mô hình), sử dụng các thao tác với mô hình được mô tả trong bảng trên. Tuy nhiên, điều có thể thực hiện một cách nhanh chóng hơn bằng cách sử dụng hai hàm append và connect. Giả sử chúng ta muốn xây dựng một mô hình từ các mô hình sys1, sys2,..., sysN. Trước hết, dùng hàm append để gộp các mô hình này vào thành một mô hình có các khối không kết nối với nhau:
» sys = append(sys1,sys2,...,sysN);
sys1
sys2
sysN
...
sys
1 1
2
2 3
Các biến vào và ra của sys là các biến vào và ra của các mô hình sys1, sys2,..., sysN, và được đánh số theo thứ tự xuất hiện của chúng trong hàm append. Sau đó, sử dụng hàm connect để kết nối các khối của mô hình:
» sysc = connect(sys,Q,inputs,outputs)
ở đó:
− Q là ma trận định nghĩa kết nối giữa các khối. Phần tử đầu tiên trên mỗi dòng của ma trận Q là số thứ tự của một lối vào và các phần tử tiếp theo là số thứ tự, với dấu + hoặc −, của các lối ra sẽ được nối đến lối vào đó. Dấu
199
− có nghĩa là tín hiệu sẽ bị trừ đi tại điểm cộng tín hiệu. Các phần tử không được dùng đến của ma trận Q sẽ mang giá trị không.
− inputs và outputs là hai vector dùng để xác định những biến vào và ra nào của mô hình sys sẽ là các biến vào và ra của mô hình sysc.
Trong ví dụ sau đây, mô hình như trong hình vẽ dưới được xây dựng từ ba mô hình đã được định nghĩa trước là sys1, sys2 và sys3:
sys2
sys3
+
−
sys1 1
2
3
4
1
2
3
» sys = append(sys1,sys2,sys3); » Q = [3 1 –3 ; 4 2 0]; » inputs = [1 2]; » outputs = 2; » sysc = connect(sys,Q,inputs,outputs);
A.3.5. Trễ của tín hiệu vào CST cho phép tính tới trễ của tín hiệu vào cho các hệ thống theo thời gian liên tục trong giới hạn kiểm soát được. Trong không gian trạng thái, một hệ thống theo thời gian liên tục có độ trễ của các tín hiệu vào đều là τ (tính bằng giây) được mô tả bằng hệ phương trình:
)()()(
)()()(
τ
τ
−+=
−+=
ttt
ttdt
td
DuCxy
BuAxx
Trong các mô hình sử dụng hàm chuyển, hàm chuyển của hệ thống với độ trễ τ là G(s)e-sτ, ở đó G(s) là hàm chuyển của hệ thống trong trường hợp không có trễ. Nếu mỗi kênh tín hiệu vào có một độ trễ riêng, biểu diễn trong không gian trạng thái có dạng:
)]( ; ... ; )( ; )()()(
)]( ; ... ; )( ; )()()(
2211
2211
nn
nn
tutututt
tutututdt
td
τττ
τττ
−−−+=
−−−+=
D[Cxy
B[Axx
Trong CST, để đặt độ trễ của tín hiệu vào cho một mô hình, ta có thể dùng lệnh set cho thuộc tính InputDelay của mô hình, ví dụ:
» G = tf([1 0],[1 2 10]) Transfer function: s ------------------- s^2 + 2 s + 10 » set(G,’InputDelay’,0.05) % đặt trễ của tín hiệu vào là 0,05 » G
200
Transfer function: s exp(-0.05*s) * ------------------- s^2 + 2 s + 10 » sys = ss(-1,[1 2],[2 ; 1],0) % mô hình với 2 biến vào, 2 biến ra a = x1 x1 -1 b = u1 u2 x1 1 2 c = x1 y1 2 y2 1 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model. » set(sys,’InputDelay’,[0.01 0.02]) % trễ cho 2 kênh vào là 0,01 và 0,02 » sys a = x1 x1 -1 b = u1 u2 x1 1 2 c = x1 y1 2 y2 1 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Input delays (listed by channel): 0.01 0.02 Continuous-time model.
201
A.4. Phân tích mô hình A.4.1. Đáp ứng của hệ thống theo thời gian Để mô phỏng đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi một mô hình, chúng ta có thể dùng các lệnh sau:
− step(sys): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc đơn vị. Để vẽ đồ thị đáp ứng của mô hình sys trong một khoảng thời gian từ 0 đến một thời điểm t, dùng lệnh step(sys,t). Ví dụ: step(sys,1) sẽ vẽ đồ thị của đáp ứng trong 1 giây đầu.
− step(sys1,sys2,...): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của các hệ thống biểu diễn bởi nhiều mô hình trong cùng một hình vẽ với tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc đơn vị.
− y = step(sys,t): tính toán các giá trị rời rạc của đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm nhảy bậc đơn vị, theo vector thời gian t. Điều đó có nghĩa y là một vector mà mỗi phần tử y(i) là giá trị của đáp ứng tại thời điểm t(i).
− impulse(sys): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm xung đơn vị. Để vẽ đồ thị đáp ứng của mô hình sys trong một khoảng thời gian từ 0 đến một thời điểm t, dùng lệnh impulse(sys,t). Ví dụ: impulse(sys,1) sẽ vẽ đồ thị của đáp ứng trong 1 giây đầu.
− impulse(sys1,sys2,...): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của các hệ thống biểu diễn bởi nhiều mô hình trong cùng một hình vẽ với tín hiệu vào của hệ thống là hàm xung đơn vị.
− y = impulse(sys,t): tính toán các giá trị rời rạc của đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống là hàm xung đơn vị, theo vector thời gian t. Điều đó có nghĩa y là một vector mà mỗi phần tử y(i) là giá trị của đáp ứng tại thời điểm t(i).
− lsim(sys,u,t): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào của hệ thống được biểu diễn bởi một hàm rời rạc u theo vector thời gian t. Điều đó có nghĩa u là một vector mà mỗi phần tử u(i) là giá trị của tín hiệu vào tại thời điểm t(i). Ví dụ, để vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys với tín hiệu vào là hàm u(t) = sin(4πt) trong khoảng [0,8] với bước thời gian là 0,1s, dùng các lệnh sau:
» t = [0:0.1:8]; » u = sin(4*pi*t); » lsim(sys,u,t);
Nếu sys là một mô hình rời rạc thì khoảng thời gian giữa các điểm trong t cần phù hợp với khoảng thời gian lấy mẫu của sys. Nếu sys là một mô hình
202
có nhiều biến vào thì u là một ma trận, mỗi dòng tương ứng với một biến vào.
− lsim(sys1,sys2,...,u,t): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của các hệ thống biểu diễn bởi nhiều mô hình trong cùng một hình vẽ với tín hiệu vào của hệ thống được biểu diễn bởi một hàm rời rạc u theo vector thời gian t.
− initial(sys,x0): tính toán và vẽ đồ thị đáp ứng theo thời gian của hệ thống biểu diễn bởi một mô hình trong không gian trạng thái sys ở điều kiện không có tác động từ bên ngoài (các tín hiệu vào của hệ thống đều bằng không), ở đó x0 là vector chứa các giá trị khởi đầu của các biến trạng thái.
A.4.2. Các điểm không và điểm cực của hàm chuyển Để tính toán và vẽ đồ thị các điểm không và điểm cực của hàm chuyển của một hệ thống, chúng ta có thể dùng các hàm sau:
− z = zero(sys): hàm trả về vector z là giá trị các điểm không của hàm chuyển của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys.
− p = pole(sys): hàm trả về vector p là giá trị các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys.
− pzmap(sys): vẽ đồ thị các điểm không và điểm cực của hàm chuyển của hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys trong mặt phẳng s (mặt phẳng phức).
A.4.3. Quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của một hệ thống phản hồi khi hệ số phản hồi thay đổi Trong hệ thống điều khiển phản hồi biểu diễn ở hình vẽ dưới, đáp ứng của hệ thống có thể điều chỉnh được bằng cách thay đổi hệ số phản hồi K.
G(s)
K
R(s) C(s) +
−
Để vẽ đồ thị quỹ tích của các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống trên khi K thay đổi từ 0 đến +∞, sử dụng lệnh sau:
» rlocus(sys)
ở đó sys là mô hình của hệ thống có hàm chuyển là G(s). Trên đồ thị này, khi chúng ta nhấn chuột vào một điểm trên các đường quỹ tích của các nghiệm, chương trình sẽ hiển thị giá trị của K (gain) và nghiệm của phương trình đặc trưng (pole) tại điểm đó cùng với các giá trị của các số đo hiệu suất của tín hiệu ra tương ứng, bao gồm phần trăm quá mức (percent overshoot), hệ số cản (damping) và tần số tự nhiên (frequency) của đáp ứng.
203
A.4.4. Các phương pháp đáp ứng tần số Các hàm và lệnh sau đây của CST được sử dụng cho việc phân tích hệ thống bằng các phương pháp đáp ứng tần số:
− freqresp(sys,w): tính toán đáp ứng tần số của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys tại các tần số được chỉ định bởi vector w. Hàm trả về một vector chứa các giá trị của đáp ứng tần số tương ứng với các tần số trong w.
− bode(sys): vẽ đồ thị Bode của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys.
− nyquist(sys): vẽ đồ thị Nyquist của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys.
− nichols(sys): vẽ biểu đồ Nichols của một hệ thống biểu diễn bởi mô hình sys.
− [gm,pm,wg,wp] = margin(sys): tính toán dự trữ gia lượng và dự trữ pha của một hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys và các tần số tương ứng. Các giá trị trả về bao gồm dự trữ gia lượng gm, dự trữ pha pm, tần số wg tại đó góc pha bằng −180o và wp là tần số tại đó độ lớn của đáp ứng tần số bằng một. Nếu chúng ta gọi lệnh margin(sys) (không có các biến chứa các giá trị trả về), đồ thị Bode của hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys sẽ được vẽ, trên đó có các đường chỉ ra dự trữ gia lượng (tính theo dB), dự trữ pha và các tần số tương ứng.
A.5. Thiết kế hệ thống điều khiển A.5.1. Thiết kế trong miền tần số Lệnh sisotool của CST sẽ mở một giao diện đồ họa cho phép người sử dụng thiết kế một hệ thống điều khiển phản hồi đơn biến (SISO) bằng các phương pháp bù trong miền tần số, bao gồm phương pháp sử dụng quỹ tích nghiệm và phương pháp bù trên đồ thị Bode. Hệ thống phản hồi được thiết kế bằng sisotool bao gồm bốn thành phần: quá trình G, bộ tiền lọc (prefilter) F, mạch bù C và khối phản hồi H. Mạch bù C có thể được đặt phía trước G (bù nối tiếp) hoặc đặt trên nhánh phản hồi (bù phản hồi). Để thay đổi giữa hai mô hình bù đó, chúng ta chỉ cần nhấn chuột vào nút FS (Feedback Structure) trong cửa sổ con biểu diễn mô hình hệ thống. Nút +/− trong cửa sổ con đó cho phép chuyển đổi giữa hai kiểu phản hồi âm và dương (Hình A.2). Để sử dụng sisotool nhằm thiết kế hệ thống điều khiển phản hồi cho một quá trình được biểu diễn bằng mô hình G, chúng ta có thể sử dụng lệnh sau:
» sisotool(G)
Khi đó hàm chuyển của bộ lọc F và khối phản hồi H đều sẽ được đặt bằng một. Hàm chuyển khởi đầu của mạch bù C cũng được đặt bằng một. Nếu chúng ta muốn khởi đầu với một mạch bù C có hàm chuyển khác một, sử dụng lệnh sau:
» sisotool(G,C)
hoặc sử dụng lệnh:
204
» sisotool(G,C,H,F)
để gán thêm các mô hình cho khối phản hồi và bộ tiền lọc.
Hình A.2. Giao diện đồ họa của SISOtool
Sau khi cửa sổ của sisotool đã mở ra, trong cửa sổ đó sẽ hiển thị đồ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống và đồ thị Bode của đáp ứng tần số của hàm chuyển vòng hở. Chúng ta có thể thiết kế trực tiếp trên các đồ thị này bằng cách dùng chuột đặt ví trí cho các điểm cực trong đồ thị quỹ tích nghiệm hay thay đổi độ lớn của đáp ứng tần số để điều chỉnh dự trữ pha và dự trữ gia lượng trên đồ thị Bode. Hàm chuyển của mạch bù C sẽ được thay đổi tương ứng. Ngoài ra, chúng ta còn có thể thay đổi trực tiếp hàm chuyển của mạch bù C hay bộ lọc F bằng cách chọn Compensators/Edit trên menu của sisotool. Kết quả của những thay đổi đó sẽ được thể hiện trên các đồ thị. A.5.2. Thiết kế trong không gian trạng thái Phương pháp thiết kế hệ thống phản hồi trong không gian trạng thái có thể thực hiện được với các hàm sau đây của CST:
− ctrb(sys): tính ma trận của tính điều khiển được của một hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys, ở đó sys phải là một mô hình trong không gian trạng thái.
− obsv(sys): tính ma trận của tính quan sát được của một hệ thống được biểu diễn bởi mô hình sys, ở đó sys phải là một mô hình trong không gian trạng thái.
− place(A,B,p): tính ma trận hệ số phản hồi H để hệ thống điều khiển phản hồi được biểu diễn bằng phương trình vi phân của vector trạng thái sau đây:
205
BrxBHAx+−= )(
dtd
có các điểm cực tại các giá trị định trước cho bởi vector p. Nói một cách khác, hàm place sẽ tính ma trận H sao cho p chính là vector với các phần tử chính là các giá trị riêng của ma trận (A − BH). Khác với công thức Ackermann được giới thiệu ở Chương XI vốn chỉ sử dụng được cho các hệ thống đơn biến, hàm place cho phép chúng ta sử dụng phương pháp đặt điểm cực cho cả các hệ thống đa biến.
206
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Richard C. Dorf, Modern Control Systems (5th edition). Addison-Wesley Publishing, 1989.
2. Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, Modern Control Systems (9th edition). Addison-Wesley Publishing, 2000.
3. Chi-Tsong Chen, Analog and Digital Control System Design: Transfer Functions, State-Space, and Algebraic Methods. Saunders College Publishing, 1993.
4. Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems (4th edition). Prentice Hall, 2002.
5. MATLAB Full Product Family Help for Release 12.1. 6. MATLAB Control System Toolbox - User's Guide (Version 4.1). 7. Thomas F. Weiss, MATLAB Tutorial for Systems and Control Theory.
MIT, 1999.
