LOGÍSTICA - MÓDULO 3
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MODULO 3
ESTADISTICA BASICA
CONCEPTOS BASICOS.
Para desarrollar los esquemas que nos
permitan determinar algunas estimaciones
de la Demanda de renglones, bien sean
suministros, partes o repuestos, así como
para el uso de modelos en Control de
Inventarios, se requiere emplear algunos
conceptos básicos de estadística, tales
como Probabilidades y Funciones Teóricas
de probabilidad.
VARIABLES ALEATORIAS
• Generalmente, las variables a considerar en un proceso de Logística tienen carácter aleatorio; tal es por ejemplo, el uso de un repuesto en un equipo el cual se sustituye por fallas.
• Ahora bien, para tener definida una variable aleatoria, es preciso conocer todo el conjunto de valores que puede tomar dicha variable y, además, conocer la probabilidad que tiene de tomar esos valores.
VALOR QUE TOMA UNA VARIABLE
• Una variable aleatoria puede tomar un
conjunto de valores que pueden ser finitos
o infinitos; así mismo, el conjunto de
valores puede ser numerable o no.
• Los valores que toma la variable aleatoria
pueden ser discretos o continuos dentro
de un intervalo.
Si F(x) es continua y existe su derivada F’ (x) = f(x) y ésta es continua para
todo valor de x, excepto a lo más para cierto conjunto de valores, tal que
cualquier intervalo finito contiene un número finito de elementos, se dice
que la distribución es continua:
Luego
donde f(x) es la función de densidad correspondiente.
Decimos que una función de distribución es discreta cuando, en todo
intervalo finito, los valores que toma la variable xi son numerables y,
además, el conjunto es denso dondequiera. En este conjunto, todos los
valores de xi forman un conjunto R en el que todos sus puntos son límites.
La función correspondiente puede ser expresada por:
P(xi = Xi) = p(i)
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Para el desarrollo de los esquemas de
logística, se usan frecuentemente las
siguientes distribuciones de probabilidad
• 1. Poisson
• 2. Exponencial
• 3. Binomial
• 4. Normal
DISTRIBUCION DE POISSON
Una variable aleatoria xi se dice que tiene una Distribución de Poisson
cuando puede tomar todos los valores enteros y positivos 0, 1, 2,...... con la
Probabilidad
Siendo el valor RT el valor promedio y N el valor que toma la variable.
Los parámetros de la distribución son:
El Promedio M = RT
La Varianza V(x) = M
La desviación estándar DS = V(x)
A continuación se ilustra con un ejemplo el uso de esta distribución.
Un cojinete falla a una rata de 0,0001 por hora, esto es una falla
aproximadamente cada 10.000 horas de trabajo.
Es importante, a los fines de planificación, conocer cual es la probabilidad
de que el cojinete falle, 0, 1, 2, 3, 4 veces en 20.000 horas de trabajo,
expresado de la manera siguiente:
P (x=0) = P (0;2)
P (x=1) = P (1;2)
P (x=2) = P (2;2)
P (x=3) = P (3;2)
P (x=4) = P (4;2)
El valor RT es valor medio M y representa el número promedio de fallas en
20.000 horas, es decir: M = RT = (0,0001) * (20.000) = 2
DISTRIBUCION PROBABILISTICA DE POISSON
variable x probabilidad
acumulada
probabilidad
puntual riesgo
0 0,135335283 0,135335 0,864665
1 0,406005850 0,270671 0,593994
2 0,676676416 0,270671 0,323324
3 0,857123460 0,180447 0,142877
4 0,947346983 0,090224 0,052653
5 0,983436392 0,036089 0,016564
6 0,995466194 0,012030 0,004534
7 0,998903281 0,003437 0,001097
8 0,999762553 0,000859 0,000237
9 0,999953502 0,000191 0,000046
distProb.xls
La distribución exponencial es bastante parecida a la
distribución de Poisson. Su expresión matemática es:
F(x) = Exp [ -M ] = Exp [ -RT ]
Para fines de trabajo se expresa mediante un concepto
muy usado; es el término de CONFIABILIDAD, y
permite encontrar la probabilidad de no fallar
o Probabilidad de Sobrevivencia Ps.
Ps (T) = Exp [ -RT ]
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Para el ejemplo anterior se tiene:
Ps (20.000) = Exp [ -2 ]
Ps (20.000) = 0,1353
La probabilidad que el cojinete sobreviva 20.000 horas
es del 14% aproximadamente.
El parámetro de la distribución es el siguiente:
M = RT
V (X) = M
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Tiempo hs
rata fallas
Pb superv
Pb falla
20000 0,0001 1,35335E-05 0,999986
10000 0,0001 3,67879E-05 0,999963
5000 0,0001 6,06531E-05 0,999939
2000 0,0001 8,18731E-05 0,999918
1000 0,0001 9,04837E-05 0,999910
distProb.xls
DISTRIBUCION BINOMIAL
• La distribución binomial permite encontrar la probabilidad que un evento pueda ocurrir K veces en N intentos, cuando la probabilidad de ocurrencia viene dada por P.
• La función de densidad se define mediante:
• Que a través del desarrollo del binomio se expresa como:
• (n;k): son combinaciones de n elementos tomados de k en k
• P: Probabilidad que ocurra
• Q: 1– P: Probabilidad que no ocurra
• k: Número de eventos favorables, y
• n: Número de intentos
Supóngase tres artículos de un inventario; cada uno puede ser sustituido por
los otros y tienen una probabilidad independiente de salir del 0,05. Se
requiere conocer la probabilidad de tener:
tres artículos disponibles, 2, 1 y ninguno
P = 0.95 Q = 0,05
3 artículos: P (X = 3) = (3;3) . (0.95)3 . (0.05)0 = 0,8574
2 artículos: P (X = 2) = (3;2) . (0.95)2. (0.05)1 = 0,1354
1 artículo : P (X = 1) = (3;1) . (0.95)1. (0.05)2 = 0.0071
0 artículos: P (X = 0) = (3;0) . (0.95)0. (0.05)3 = 0.0001
Si el uso ocurre aleatoriamente en el tiempo, el riesgo de tener no más de 1
artículo disponible es:
1 – (0,8574 + 0,1354) = 0,0072
Los parámetros de la distribución binomial vienen dados por:
M = NP
DS = NPQ
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Pro
bab
ilid
ad
es
1 2 3 4
Variables discretas
DISTRIBUCION BINOMIAL
DISTRIBUCION BINOMIAL
Articulos
Probabilidad
puntual Riesgo
3 0,857375 0,142625
2 0,135375 0,864625
1 0,007125 0,992875
0 0,000125 0,999875
distProb.xls
La distribución normal es de carácter continuo y su función viene
dada por:
En consecuencia la función de distribución será:
DISTRIBUCION NORMAL
Esta última expresión está tabulada en la tabla
denominada Distribución Normal Acumulativa,
Tabla N°3-1
La distribución normal describe muchos de los
procesos naturales y permite encontrar sin mucha
dificultad probabilidades de ocurrencia tales
como:
La Tabla N° 3-2 siguiente muestra una tarjeta de
inventario con los datos deun elemento filtrante
de un motor Diesel. Sobre este problema se
pueden determinar algunas características, por
ejemplo:
1. ¿ Se distribuyen los datos normalmente?
2. ¿ Cuál es la rata promedio de uso?
3. ¿ Cuál es la desviación standard?
El promedio mensual de las cantidades despachadas MQD se
encuentra directamente en el Gráfico 3-1, al leer en la ordenada
correspondiente a X = 50%, es decir 197.
Se procede ahora a calcular los parámetros
y la desviación estándar
DISTRIBUCION NORMAL
Consumo Cantidad Pobabilidad Probabilidad
de Filtros s-orden en un punto acumulada
191 174 0,00684964 0,04352755
214 178 0,01089358 0,07864719
198 179 0,01206602 0,09012228
184 184 0,01851993 0,16630627
178 186 0,02115044 0,20599119
207 190 0,02582056 0,30031328
206 191 0,02676980 0,32661772
217 193 0,02830254 0,38177710
174 194 0,02886199 0,41037156
194 197 0,02961229 0,49844144
202 198 0,02953939 0,52803092
179 202 0,02768159 0,64327662
207 206 0,02375172 0,74670014
193 206 0,02375172 0,74670014
206 207 0,02254701 0,76985491
221 207 0,02254701 0,76985491
197 214 0,01342291 0,89579715
186 217 0,00989513 0,93064930
190 221 0,00610035 0,96226154
MEDIA 197,0526
DS 13,47209 distProb.xls
FUNCION DE DENSIDAD
0,0000
0,0050
0,0100
0,0150
0,0200
0,0250
0,0300
0,0350
0,0400
174 179 186 191 194 198 205 207 214 221
Cantidades
Pro
ba
bilid
ad
es
Datos reales
Curva Teórica
TIEMPO MEDIO ENTRE DESPACHOS
Cantidad usada meses entre despacho Probabilidad acum Complemento
1 13,9 0,988518217 0,011481783
2 12,2 0,967352981 0,032647019
3 10,1 0,905083483 0,094916517
4 8,2 0,796614971 0,203385029
5 7,6 0,750969520 0,249030480
6 6,6 0,664265059 0,335734941
7 6,1 0,616929152 0,383070848
8 4,2 0,426984330 0,573015670
9 4,2 0,426984330 0,573015670
10 3,8 0,387660521 0,612339479
11 3,8 0,387660521 0,612339479
12 3 0,312721265 0,687278735
13 2,7 0,286317447 0,713682553
14 2 0,229175852 0,770824148
15 1,7 0,206796441 0,793203559
16 1,7 0,206796441 0,793203559
17 1 0,159874100 0,840125900
18 0,5 0,130998996 0,869001004
19 0,3 0,120525558 0,879474442
Media 4,926315789
Desviaciòn Estandar 3,946143280 distProb.xls
El valor promedio se encuentra gráficamente
intersectando la P = 0,37 con el valor de x que es
5, luego
TMED = 5
La función para esta distribución es:
Por ejemplo para T = 10 meses
Luego, la probabilidad que el tiempo entre
despachos exceda de 10 meses es de
14%.