6 Logika sudova 6.1 Simboli i prevođenje Ranija poglavlja su pokazala da je valjanost deduktivnih zaključivanja čisto funkcija njegove forme. Znajući formu zaključivanja, često možemo da odmah kažemo da li je ono valjano ili nevaljano. Ipak, na nesreću, obična jezička upotreba često zamračuje formu zaključivanja. Da bi odagnala ovu opskurnost, logika često uvodi različite uprošćujuće procedure. U poglavlju 5 smo koristili slova da bismo predstavili termine u silogizmu i razvili smo neke tehnike da bismo redukovali silogizme na ono što se naziva njihovom standardnom formom. U ovom poglavlju, prepoznavanje forme je omogućeno uvoĎenjem specijalnih simbola koji se nazivaju operatori ili veznici. Kada se zaključivanja izraze posredstvom ovih simbola, odreĎivanje valjanosti često postaje stvar pukog vizuelnog pregleda.

Temeljeni elementi u dva prethodna odeljka bili su termini. MeĎutim, u logici sudova temeljni elementi su celi iskazi (ili sudovi). Iskazi se predstavljaju slovima, a ta slova se onda kombinuju posredstvom operatora da bi se obrazovale složene simboličke predstave.

Da bismo razumeli simboličko predstavljanje koje se koristi u logici sudova, nužno je razlučiti ono što se naziva prostim iskazima od složenih iskaza. Prosti iskaz je onaj iskaz koji ne sadrži neke druge iskaze kao svoje komponente. Evo nekih primera:

Butan je jedinjenje vodonika. Džems Džojs je napisao Ulis. Paraket papagaji su živopisne ptice. Foki preti istrebljenje.

Svako pogodno veliko slovo može biti izabrano da bi se njime predstavio bilo koji iskaz. Stoga, B bi moglo biti izabrano da bi se predstavio prvi, J drugi, P treći, a M četvrti iskaz. Kao što će uskoro biti objašnjeno, mala slova su rezervisana za to da se upotrebljavaju kao iskazne promenljive.

Složeni iskaz je onaj iskaz koji sadrži makar jedan prost iskaz kao svoj sastavni deo. Evo nekih primera:

Nije slučaj da je Emili Bronte napisala Džejn Ejr. Bostonski simfonijski orkestar će svirati Mocarta, a Klivlendski simfonijski orkestar će svirati

Štrausa. Ili će privatni vazdušni saobraćaj biti smanjen, ili će se sudari u vazduhu nastaviti. Ako IBM predstavi novu liniju proizvoda, to će učiniti i Epl. Divovi će pobediti ako i samo ako njihova odbrana izdrži.

Korišćenjem slova koja stoje umesto prostih iskaza, ovi složeni iskazi se mogu predstaviti na sledeći način:

Nije slučaj da E. B i C. Ili P ili M. Ako I onda A. G ako i samo ako D. U prvom primeru, zapazite da je iskaz složen čak i ako sadrži samo jednu komponentu (E). U

opštem slučaju, negativni iskazi se interpretiraju kao složene jedinice koje se sastoje od potvrdnog iskaza i izraza "nije slučaj da".

Izrazi "nije slučaj da", "i", "ili", "ako...onda...", i "ako i samo ako" prevode se logičkim operatorima. Slede pet logičkih operatora: Operator Naziv Logička funkcija Koristi se kao prevod za

~ tilda negacija nije, nije slučaj da

tačka konjunkcija i, takoĎe, štaviše

klin disjunkcija ili, ukoliko potkovica implikacija ako...onda..., samo ako

trostruka linija ekvivalencija ako i samo ako

Kada kažemo da se logički operatori koriste da se "prevedu" ovi izrazi to ne znači da su izrazi i operatori identični. Kao u svakom prevodu (sa engleskog na francuski, na primer), javlja se izvesno izobličenje značenja. Zančenje izraza kao što su "i","ili", i "ako i samo ako" često je nejasno i može se razlikovati od konteksta do konteksta, dok je značenje logičkih operatora jasno, precizno i nepromenljivo. Stoga, kada kažemo da se logički operatori mogu koristiti za prevoĎenje izraza običnog jezika, podrazumevamo to da operatori zahvataju izvestan aspekt korelativnih izraza. Tačan karakter ovog aspekta izložen je u sledećem odeljku ovog poglavlja. Svrha ovog odeljka je da razvije upoznatost sa logičkim opratorima kroz vežbanje u prevoĎenju.

Kada koristimo operatore da bismo preveli prethodne primere složenih iskaza, rezultati su sledeći:

Nije slučaj da E ~E

B i C B C

Ili P ili M. P M

Ako I onda A I A

G ako i samo ako D G D

Iskaz ~E naziva se negacija. Iskaz B C naziva se konjunktivni iskaz (ili konjunkcija), a iskaz P M nziva se disjunktivni iskaz (ili disjunkcija); u konjunktivnom iskazu, komponente B i C nazivaju se

konjunkti, a u disjunktivnom iskazu komponente P i M nazivaju se disjunkti. Iskaz I A se naziva kondicionalom i izražava relaciju materijalne implikacije. Njegove komponente se zovu antecedens (I) i konsekvens (A). Konačno, G D se naziva bikondicional i izražava relaciju materijalne ekvivalencije.

Upotrebimo sada logičke operatore da bismo preveli još neke iskaze. Simbol tilda se koristi da se prevede bilo koji negirani prosti sud:

Roleks ne proizvodi kukuruzne pahuljice. ~E Nije slučaj da Roleks proizvodi kukuruzne pahuljice. ~E Lažno je da Roleks proizvodi kukuruzne pahuljice. ~E

Svi ovi iskazi su negacije. Glavni operator je tilda. ~B

~(G H)

~[(A F) (C G)]

Simbol tačka se koristi u prevoĎenju takvih konjunkcija kao što su "i", "takoĎe", "ali", "ipak",

"pak", "dok", "štaviše", "iako" i "mada".

Ford pravi kamione i Krajsler pravi kombije. F C

Ford pravi kamione, ali Krajsler pravi kombije. F C

Ford pravi kamione; ipak, Krajsler pravi kombije. F C

Honda i Suzuki prave motocikle. H S. Zapazite da je poslednji primer ekvivalentan iskazu "Honda pravi motocikle i Suzuki pravi

motocikle". Da bismo takav iskaz preveli kao konjunkciju dva prosta iskaza, prvobitni iskaz mora biti ekvivalentan složenom iskazu na engleskom. Na primer, iskaz "Meri i Luiz su prijateljice" nije

ekvivalentan po značenju iskazu "Meri je prijateljica i Luiz je prijateljica", tako da se ovaj iskaz ne može

prevesti kao M L.

Svi ovi iskazi su konjunkcije. Glavni operator je tačka.

K ~L

(E F) (G H)

[(R T) (S U)] [(W X) (Y Z)]

Simbol klin se koristi da bi se prevelo "ili" i "ukoliko". U prethodnom odeljku je objašnjeno da

je "ukoliko" po značenju ekvivalentno sa "ako ne". Ta ekvivalencija važi i u logic i sudova, samo što je u logici sudova obično jednostavnije izjednačiti "ukoliko" sa "ili". Na primer, iskaz "Nećeš diplomirati ukoliko ne položiš početni kurs engleskog" ekvivalentan je iskazu "Ili ćeš položiti početni kurs engleskog ili nećeš diplomirati", a takoĎe i iskazu "Ako ne položiš početni kurs engleskog, onda nećeš diplomirati". Kao što to sledeći odeljak pokazuje, simbol klin ima značenje "i/ili" - to jest, "ili" u inkluzivnom smislu. Mada se "ili" i "ukoliko" ponekad upotrebljavaju u ekskluzivnom smislu, obično se za prevoĎenje koristi klin.

Reči "ili...ili..." koje se često koriste da bi se uveli disjunktivni iskazi, imaju prvenstveno značenje punktuacije. Položaj ovih reči nam često kaže gde se moraju staviti zagrade u simboličkom izrazu. Ako zagrade nisu potrebne, "ili...ili..." uopšte nema posledica po prevod. Slično zapažanje važi i za reč "oba" koja se često koristi da bi se navele konjunkcije. Evo nekih disjunktivnih iskaza:

Boing sklapa avione, a Lokid konstruiše rakete. B L

Boing sklapa avione ili Lokid konstruiše rakete. B L

Boing sklapa avione ukoliko Lokid konstruiše rakete. B L

Ukoliko Boing sklapa avione, Lokid konstruiše rakete. B L

Na osnovu engleskog smisla ovih iskaza trebalo bi da bude jasno da je B L logički ekvivalentno sa

L B. Slično tome, F C je logički ekvivalentno sa C F.

Ovi iskazi su svi disjunkcije. Glavni operator je klin.

~C ~D

(F H) (~K ~L)

[S (T U)] [(X (Y Z)]

Simbol potkovica se koristi da bi se prevelo "ako...onda...", "samo ako" i slični izrazi koji ukazuju na kondicional. Izrazi "u slučaju da", "pod uslovom da", "ako je dato da" obično se prevode na isti način kao i "ako". Prema uobičajenoj upotrebi, simbol potkovica se koristi i za prevoĎenje "implicira". Iako se "implicira" najispravnije upotrebljava za opisivanje odnosa izmeĎu premisa i zaključka nekog zaključivanja, ovaj prevod možemo privatiti kao alternativno značenje za "implicira".

Funkcija izraza "samo ako" u nekom smislu je upravo suprotna funkciji reči "ako". Na primer, iskaz "Ulovićeš ribu samo ako si stavio mamac na udicu" ne znači "Ako si stavio mamac na udicu, onda ćeš uhvatiti ribu". Da je to značio, onda bi svi sa mamcem na udici ulovili ribu. Preće biti da taj iskaz znači "Ako nisi stavio mamac na udicu, onda nećeš uhvatiti ribu", što je logički ekvivalentno sa "Ako uhvatiš ribu, onda si stavio mamac na udicu". Da biste izbegli greške u prevoĎenju "ako" i "samo ako", zapamtite ovo pravilo: Iskaz koji sledi posle "ako" je uvek antecedens, a iskaz koji sledi posle "samo

ako" je uvek konsekvans. Stoga, "C ako i samo ako H" prevodi se kao C H, dok se "C ako H" prevodi

sa H C. Još neki primeri:

Ako Ginis vari pivo, onda Džejmison destiliše viski. G J

Ginis vari pivo ako Džejmison destiliše viski. J G

Ginis vari pivo samo ako Džejmison destiliše viski. G J

Šveps pravi tonik pod uslovom da Bifiter pravi džin B S Šveps pravi tonik implicira da Bifiter pravi džin. S B

Priikom prevoĎenja kondicionala od suštinske važnosti je izbegnuti brkanje antecedensa sa

konsekvensom. Iskaz A B nije logički ekvivalentan iskazu B A.

Svi ovi iskazi su kondicionali. Glavni operator je potkovica.

H ~J

(A C) (D E)

[K (S ~T)] [~F (M O)]

Simbol potkovica se koristi i za prevoĎenje iskaza koji su izraženi posredstvom dovoljnih

uslova i nužnih uslova. Za dogaĎaj A se kaže da je dovoljan uslov za dogaĎaj B kad god je javljanje A sve što je neophodno za javljanje B. S druge strane, za dogaĎaj A se kaže da je nužan uslov za dogaĎaj B kad god se B ne može javiti bez javljanja A. Na primer, to što imamo grip je dovoljan uslov da se loše osećamo, dok je to što imamo vazduh za disanje nužan uslov za preživljavanje. I druge stvari osim gripa mogu biti uzrok tome da se loše osećamo, ali on je sam po sebi dovoljan; i druge stvari osim vazduha su nam neophodne za opstanak, ali bez njega preživljavanje je nemoguće. Drugim rečima, vazduh je nužan.

Da biste preveli iskaze koji sadrže dovoljne i nužne uslove u simboličku formu, smestite iskaz koji imenuje dovoljan uslov u antecedens kondicionala, a iskaz koji imenuje nužan uslov u konsekvens. Mnemonička poštapalica "SUN" može se zgodno upotrebiti da bi se ovo pravilo stalno imalo na umu.

Okretanje "U" postrance stvara S N, gde S i N, svako ponaosob, označavaju dovoljne i nužne uslove. Šta god da je dato kao dovoljan uslov dolazi na mesto S, a šta god da je dato kao nužan uslov dolazi na mesto N:

Hiltonovo otvaranje novog hotela je dovoljan uslov za to da i Meriot učini isto. H M

Hiltonovo otvaranje novog hotela je nužan uslov za to da i Meriot učini isto. M H

Simbol trostruka linija se koristi za prevoĎenje izraza "ako i samo ako" i "je nužan i dovoljan uslov za":

Kodak izbacuje na tržište novi film ako i samo ako Fudži to isto radi. K F Kodakovo izbacivanje novog filma na tržište je dovoljan i nužan uslov za to da Fuži to isto uradi. K F

Analiza prvih iskaza otkriva da je K F logički ekvivalentno sa (K F) (F K). Iskaz "Kodak izbacuje novi

film na tržište samo ako Fudži to isto radi" prevodi se sa K F, a "Kodak izbacuje novi film na tržište ako

Fudži to isto radi" prevodi se sa F K. Kombinovanjem dva iskaza na engleskom dobijamo

(K F) (F K), što predstavlja nešto duži način za pisanje K F. Slična analiza važi i za drugi iskaz.

Zbog toga što poredak dva konjunkta može biti obrnut, K F je logički ekvivalentno sa F K. Ipak, kada prevodimo takve iskaze, usvajamo konvenciju da se slovo koje predstavlja prvi engleski iskaz piše s leve strane trostruke linije, a slovo koje predstavlja drugi engleski iskaz piše sa desne strane trosruke

linije. Stoga, navedeni primeri se prevode kao K F, a ne kao F K.

Svi ovi iskazi su bikondicionali (materijalne ekvivalencije). Glavni operator je trostruka linija.

M ~T

(B D) (A C)

[K (F I)] [~L (G H)]

Kad god se u prevedenom iskazu javi više od dva slova, moraju se koristiti velike i male

zagrade da bi se ukazalo na odgovarajući opseg operatora. Na primer, iskaz A B C je dvosmislen.

Kada se uvedu zagrade, iskaz postaje ili (A B) C ili A (B C). Ova dva iskaza nisu logički ekvivalentna. Stoga, kada su u pitanju iskazi kao što je ovaj, u engleskom iskazu se mora pronaći neki trag koji nas navodi na ispravno smeštanje zagrada u simbolički iskaz. Takav trag obično daju zarezi i tačka-zarezi,

reči kao što su "ili" i "oba" i upotreba jednog predikata u konjunkciji sa dva ili više subjekta. Sledeći iskazi ilustruju ispravno smeštanje zagrada.

Kompak pravi kompjutere i Intel projektuje čipove, ili Adobi piše softver. (C I) A

Kompak pravi kompjutere, i Intel projektuje čipove ili Adobi piše softver. C (I A)

Ili Kompak pravi kompjutere i Intel projektuje čipove ili Adobi piše softver. (C I) A

Kompak pravi kompjutere i ili Intel projektuje čipove ili Adobi piše softver. C (I A)

Kompak pravi kompjutere ili i Intel projektuje čipove i Adobi piše softver. C (I A)

Kompak pravi kompjutere ili Lotus i Adobi pišu softver. C (L A) Ako Maksel pravi diskove, onda ako Soni proizvodi monitore, onda Epson

pravi štampače. M (S E) Ako to što Maksel pravi diskove implicira da Soni proizvodi monitore, onda

Epson pravi štampače. (M S) E Ako ili Filips i Soni proizvode monitore ili Epson pravi štampače, onda Fudžicu pravi tastature. [(P S) E] F

Nemojte brkati:

A ako B B A

A samo ako B A B

A ako i samo ako B A B

Kada se tilda javi u simboličkom izrazu, uzima se po konvenciji da ona pogaĎa samo jedinicu koja sledi

neposredno posle nje. Na primer, u izrazu ~K M tilda pogaĎa samo K; u izrazu ~(K M) ona pogaĎa ceo izraz u zagradama. U engleskom jeziku, izraz "Nije slučaj da K ili M" je dvosmislen, zbog toga što je opseg negirajućih reči neodreĎen. Da bismo eliminisali tu dvosmislenost, sada usvajamo konvenciju da se negirajuće reči posmatraju kao da pogaĎaju samo jedinicu koja sledi posle njih. Stoga se "Nije slučaj

da K ili M" prevodi kao ~K M.

Iskaz "Nije i S i T" se prevodi kao ~(S T). Prema jednom važnom pravilu koje se naziva De

Morganovo pravilo ovaj iskaz je logički ekvivalentan sa ~S ~T. Na primer, iskaz "Nije slučaj da su i Stiven i Tomas otpušteni" ekvivalentan je po značenju iskazu "Ili Stiven nije otpušten ili Tomas nije otpušten". Zbog toga što prvi iskaz nije ekvivalentan po značenju sa "Stiven nije otpušten i Tomas nije

otpušten", ~(S T) nije logički ekvivalentno sa ~S ~T. Analogno tome, iskaz "Nije ni S ni T" prevodi se

kao ~(S T), što je prema De Morganovom pravilu logički ekvivalentno sa ~S ~T. Na primer, "Nije ni Stiven ni Tomas otpušten" ekvivalentno je po značenju sa "Stiven nije otpušten i Tomas nije otpušten". Stoga, ~(S T) nije logički ekvivalentno sa ~S ~T. Sledeći primeri ilustruju ove teze:

Nije slučaj da je Šel odgovoran, ali Ekson jeste. ~S E

Nisu i Šel i Ekson odgovorni. ~(S E)

Ni Šel ni Ekson nisu odgovorni. ~S ~E

Nisu ni Šel ni Ekson odgovorni. ~(S E)

Ili Šel ili Ekson nije odgovoran. ~S ~E

Simbolički izrazi koje smo koristili tokom ovog odeljka da bismo preveli smislene, nedvosmislene engleske iskaze nazivaju se dobro obrazovane formule (DOF). Dobro obrazovana formula je sintaktički ispravan sklop simbola. U engleskom, na primer, izraz "mačka je na tremu" je sintaktički ispravan, ali izraz "trem na je mačka" nije sintaktički ispravan. Neki primeri sklopova simbola

koji nisu dobro obrazovane formule su "A B", "A B( C)" i "~ B C".

Rezime Operator nije, nije slučaj da, lažno je da ~

i, pak, ali, ipak, štaviše, meĎutim, pa ipak, takoĎe, mada, oba

ili, ukoliko ako, samo ako, ako je dato da, u slučaju, pod uslovom da,

dovoljan uslov za, nužan uslov za (Pažnja: Ne brkajte antecedens

sa konsekvensom)

ako i samo ako, dovoljan i nužan uslov za Vežbanje 6.1 I. Prevedite sledeće iskaze u simboličku formu koristeći velika slova da biste prikazali potvrdne engleske iskaze: 5. Ako Škotska proglasi nezavisnost, onda Engleska smanjuje uvoz. 6. Škotska proglašava nezavisnost ako engleska smanjuje uvoz. 7. Škotska proglašava nezavisnost ako i samo ako Engleska smanjuje uvoz. 8. Škotska proglašava nezavisnost samo ako Engleska smanjuje uvoz. 13. Ili MaĎarska usvaja političke reforme i Rumunije zamrzava plate ili Bugarska širi sektor usluga. 20. Peru povećava štednju na vojsci ukoliko i Gvajana i Bolivija ne poboljšaju zdravstvenu zaštitu. 27. Ako i Niger i Čad guše slobodu govora, onda Sudan ili Zair pati od plemenskih sukoba. 31. Nemačka i Francuska podržavaju zajedničku valutu ukoliko je Švajcarska i Italija ne podržavaju. 41. To što Kina napušta komunizam je dovoljan uslov da Tibet povrati svoju slobodu. 42. To što Kina napušta komunizam je nužan uslov da Tibet povrati svoju slobodu. II. Prevedite iskaze u simboličku formu koristeći velika slova da biste prikazali potvrdne engleske iskaze. 3. Televizija visoke rezolucije je tehnološko čudo, ali je skupa. 11. Ako upotreba Interneta nastavi da raste, onda će veći broj ljudi postati sajber-narkomani i normalni ljudski odnosi će se iskvariti. 14. Ako filmovi sadrže subliminalne seksualne poruke ili ako dovode u pitanje tradicionalnu porodicu, onda konzervativni političari pozivaju na cenzuru. 17. Virus Ebole je smrtonosan, ali će postati najveća pretnja čovečanstvu ako i samo ako doĎe do toga da može da se širi u vazduhu, a ne pronaĎe se vakcina. 18. Ako je evoluciona biologija tačna, onda su viši oblici života nastali slučajno, a ako je tako, onda nije slučaj da postoji bilo kakav smisao u prirodi i božansko proviĎenje je mit. III. Odredite koje od sledećih formula nisu dobro formirane formule:

1. (S T) (~U W)

2. ~(K L) ( G H)

3. (E~F) (W X)

4. (B ~T) ~(~C U)

5. (F ~Q) (A E T)

6. ~D ~[(P Q) (T R)]

7. [(D Q) (P E)] [A ( H)] 8. M(N Q) (~C D)

9. ~(F ~G) [(A E) ~H]

10. (R S T) ~(~W ~X)