• Standar Kompetensi

Menggunakan logika matematika dalam

pemecahan masalah yang berkaitan dengan

pernyataan majemuk dan pernyataan

berkuantor.

• Kompetensi Dasar

1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu

pernyataan majemuk dan pernyataan

berkuantor

2. Merumuskan pernyataan yang setara

dengan pernyataan majemuk atau

pernyataan berkuantor yang diberikan

3. Menggunakan prinsip logika

matematika yang berkaitan dengan

pernyataan majemuk dan pernyataan

berkuantor dalam penarikan

kesimpulan dan pemecahan masalah

A. PERNYATAAN DAN KALIMAT TERBUKA

• Pernyataan adalah kalimat yang hanya

benar saja atau salah saja, tetapi tidak

dapat sekaligus benar dan salah .

Lambang pernyataan dinyatakan

dengan menggunakan huruf kecil

seperti p,q,r dan sebagainya.

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan

dilambangkan dengan “ � “. Benar atau

salah dari suatu pernyataan dapat

ditentukan dengan memakai Dasar

Empiris dan Dasar tak Empiris.

• Kalimat terbuka adalah kalimat yang

memuat pe-ubah/variabel sehingga

belum dapat ditentukan nilai

kebenarannya.

• Ingkaran atau Negasi

o Jika p adalah pernyataan yang

diketahui, maka ingkaran atau

negasi dari p dapat ditulis dengan

memakai lambing : “ ∿ p “

o Jika p adalah pernyataan yang

bernilai benar, maka ∿ p bernilai

salah

o Jika p adalah pernyataan yang

bernilai salah, maka ∿ p bernilai

benar

• Pernyataan berkuantor

o Kuantor universal (umum), Kuantor

universal dilambangkan dengan “ ∀

x “ dibaca “ untuk semua x “ atau

“ untuk setiap x”

o Kuantor eksistensial, dilambangkan

dengan “ ∃ x “ dibaca “ Ada x “ atau

“ beberapa x “

o Kalimat terbuka bisa diubah

menjadi sebuah pernyataan dengan

membubuhkan kuantor universal

atau

o kuantor eksistensial didepan

kalimat terbuka.

• Ingkaran pernyataan berkuantor

o Ingkaran dari pernyataan

berkuantor universal adalah

sebuah pernyataan berkuantor

ekstensial

o Ingkaran dari pernyataan

berkuantor ekstensial adalah

sebuah pernyataan berkuantor

universal

LATIHAN 1

a. Diantara kalimat berikut, manakah yang

merupakan pernyataan, kemudian tentukan

nilai kebenarannya jika kalimat itu

merupakan pernyataan.

1. 111 habis dibagi 3

2. Badu berbadan tegap

3. Tutuplah pintu itu

4. Udara adalah benda cair

5. Jika x = �

� makan x

2 = 4

6. Untuk x = -1, berapakah nilai 2x – 1 ?

7. Carilah nilai x pada persamaan 2x – 3 =

1

8. Jika x < 1, maka x < 4

b. Manakah diantara kalimat berikut yang

merupakan kalimat terbuka, jika kalimat

terbuka, tentukan himpunan

penyelesaiannya !

1. Terdapat bilangan asli n sehingga

3n – 2 = 7

2. 3x – 2 = 4x + 7

3. 2x + 4 adalah bilangan genap untuk

setiap x ∊ cacah

4. Suatu kubus mempunyai p buah rusuk

5. 4x2 – 2 = 2

6. 4 – 6 = 7 – 5

7. Jumlah dua bilangan asli adalah

bilangan asli genap

8. Ada bilangan asli n sehingga 3n – 1 = 5

9. Satu tahun sama dengan 400 hari

10. x2 – x – 2 = 0

LATIHAN 2

1. Nyatakan ingkaran atau negasi dan nilai

kebenaran dari pernyataan berikut :

a. 254 habis dibagi 3

LOGIKA MATEMATIKA

b. Madonna adalah seorang penyanyi

c. 4 bukan anggota himpunan

penyelesaian dari 3x + 1 < 15 , x ∊ A

2. Tentukan negasi dari pernyataan berikut

serta nilai kebenarannya !

a. Semua bilangan prima adalah bilangan

asli

b. ∀ x ∊ R , x + 3 = 4

c. Beberapa bilangan prima adalah

bilangan genap

d. ∃ x ∊ R , x + 4 =1

3. Diberikan kalimat terbuka 3 – 4x = – 9

dengan x pe-ubah pada bilangan real.

Carilah nilai pengganti x sehingga kalimat

terbuka itu menjadi pernyataan yang

bernilai

a. Benar

b. Salah

B. PERNYATAAN MAJEMUK

Dua pernyataan atau lebih dapat

dikomposisikan dengan kata hubung logika

akan membentuk pernyataan baru yang

disebut Pernyataan Majemuk atau

Pernyataan Komposisi.

Jenis pernyataan majemuk

o Konjungsi : “∧“ p ∧ q dibaca “ p dan q “

Tabel kebenaran

p q p ∧ q

B B B

B S S

S B S

S S S

o Disjungsi : “ ∨ “p ∨ q dibaca “ p atau q “

Tabel kebenaran

p Q p ∨ q

B B B

B S B

S B B

S S S

o Implikasi : “ → “ atau “ ⇒ “ p → q

dibaca “ Jika p maka q

Tabel kebenaran

p Q p → q

B B B

B S S

S B B

S S B

o Bi-implikasi : “ ↔ “ atau “ ⇔ “p ↔ q

dibaca “ Jika p maka q “

Tabel kebenaran

p q p ↔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

LATIHAN

1. Tentukan komponen-komponen dari setiap

pernyataan majemuk berikut :

a. 2 dan 5 adalah pembagi dari 10

b. Seseorang yang sudah berumur 17

tahun keatas atau sudah menikah wajib

memiliki KTP

c. Jika hujan terus menerus maka sungai

banjir

d. x + a = y + a jika dan hanya jika x = y

2. Diketahui p : hari ini hujan deras, dan q :

hari ini aliran listrik terputus. Tulis setiap

pernyataan berikut menggunakan lambing

logika .

a. Hari ini hujau deras dan aliran listrik

tidak terputus

b. Hari ini hujan tidak deras atau aliran

listrik terputus

c. Jika hari ini tidak hujan deras maka

aliran listrik tidak terputus

d. Tidak benar bahwa hari ini aliran listrik

terputus jika dan hanya jika hujan deras

3. Diketahui p : Dia pria tampan

q : Dia pria pandai

Tulislah dengan kata-kata :

a. ∿ p ∧ q c. ∿ p ⇒ ∿ q

b. ∿ p ∨ ∿ q d. ∿ (q ↔ p)

4. Tentukan nilai x agar kalimat “ x2 – 5x + 4 =

0 dan 2 + 2 = 4 “ menjadi konjungsi yang

salah

5. Tentukan nilai kebenaran dari setiap

pernyataan majemuk berikut :

a. Dua adalah bilangan prima walaupun

genap

b. 5 x 4 = 20 dan 20 adalah bilangan genap

c. 13 atau 17 habis dibagi 2

d. Jika log 3 + log 5 = log 8, maka 103 + 10

3

= 108

e. x2 – 4x + 3 = 0 mempunyai akar real jika

dan hanya jika x2 – 4x = 0 tidak

mempunyai akar real

6. Jika p adalah pernyataan yang bernilai salah

dan q adalah pernyataan yang bernilai

benar, maka tentukan nilai kebenaran

berikut :

a. p ∧ ∿ q g. ∿ p → ∿ q

b. ∿ p ∧ ∿ q h. ∿ (p → ∿ q)

c. ∿ p ∨ q i. ∿ (∿ p → q)

d. ∿ p ∨ ∿ q j. ∿ p ⇔ q

e. p → ∿ q k. p ↔ ∿ q

f. ∿ p → q l. ∿(∿ p ↔ q)

7. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan

majemuk berikut :

a. ∿ (p ∨ ∿ q)

b. (∿ p ∧ q) ⇒ p

c. q ⇔ (p ∨ ∿ q)

d. ∿ p ∧ ((p ⇒ q))

e. ∿ p ∨ ((q ⇒ p))

o Ingkaran dari disjungsi, konjungsi,

implikasi dan biimplikasi

• ∿ (p ∨ q) ≡ (∿ p ∧ ∿ q)

• ∿ (p ∨ q) ≡ (∿ p ∨ ∿ q)

• ∿ (p → q) ≡ (p ∧ ∿ q)

• ∿ (p ↔ q) ≡ (p ∧ ∿ q) atau (q ∧ ∿ p)

Contoh :

Tentukan ingkaran dari setiap pernyataan

berikut :

a. Surabaya adalah ibu kota Jawa Timur

atau kota pahlawan

b. Asam didarat dan ikan di laut

c. Jika Badu seorang actor maka ia

seniman

d. Segitiga sama sisi jika dan hanya jika

ketiga sisinya sama panjang

o Sifat-sifat yang berlaku pada Disjungsi

dan Konjungsi

1. Sifat Komutatif

a. p ∨ q ≡ q ∨ p

b. p ∧ q ≡ q ∧ p

2. Sifat Asosiatif

a. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

b. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

3. Sifat Distributif

a. Distributif terhadap konjungsi

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

b. Distributif terhadap Disjungsi

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

C. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

Jika “ p → q” adalah sebuah implikasi,

maka :

o q → p disebut Konvers dari implikasi

p → q

o ∿ p → ∿ q disebut Invers dari implikasi

p → q

o ∿ q → ∿ p disebut Kontraposisi dari

implikasi p → q

Hubungan nilai kebenaran dari q → p,

∿ p → ∿ q, ∿ q → ∿ p

p q ∿ p ∿ q Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

p → q q → p ∿p→∿ q ∿ q → ∿ p

B B S S

B S S B

S B B S

S S B B

Kesimpulan :

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

Contoh Soal :

1. Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi

dari setiap pernyataan implikasi berikut :

a. Jika harga naik, maka permintaan turun

b. Jika n adalah kelipatan 4, maka n adalah

kelipatan 2

c. Jika x = 5, maka x2 = 25

2. Tentukan Konvers, Invers dan Kontraposisi

dari setiap implikasi berikut :

a. ∿ p → q

b. ∿ p → ∿ q

c. q → p

d. q → ∿ p

e. (p ∨ q) → r

f. (p ∧ r) → r

g. (∿ p ∨ q) ⇒ r

h. p → (q ∨ r)

i. p → (q ∧ r)

D. PENARIKAN KESIMPULAN

Argumen adalah penarikan kesimpulan dari

serangkaian premis. Argumen dikatakan sah

jika bentuk argumennya merupakan

Tautologi (semua nilai kebenarannya

adalah benar).

Ada tiga aturan dalam penarikan

kesimpulan (Argumen), yaitu :

o Modus Ponenns

Adalah suatu argument yang sah

dengan bentuk :

Premis (1) : p → q

Premis (2) : p

Konklusi : ∴ q

o Modus Tollens

Adalah argument yang sah dengan

bentuk :

Premis (1) : p → q

Premis (2) : ∿ q

Konklusi : ∴ ∿ p

o Silogisme ada dua yaitu :

a. Silogisme hipotetik, yaitu :

Premis (1) : p → q

Premis (2) : q → r

Konklusi : p → r

b. Silogisme Disjungsi, yaitu :

Premis (1) : p ∨ q atau p ∨ q

Premis (2) : ∿ p ∿ q

Konklusi : ∴ q ∴ p