Lógica Proposicional Aula 5 - Cap. 7 Fundamentos da IA Mestrado – FEI.
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Lógica Proposicional
Aula 5 - Cap. 7
Fundamentos da IA
Mestrado – FEI
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Resoluçao de problemas por busca Conhecimento sobre resultados e ações
permite a solução automática de problemas “complexos”– um agente reativo não conseguiria encontrar a
rota entre Arad e Bucareste Porém até agora este conhecimento é
muito específico e inflexível– peça de xadrez pode estar em 2 lugares ao
mesmo tempo ??
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Agente baseado em conhecimento pode combinar o conhecimento geral
com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações.
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Agente baseado em conhecimento pode combinar o conhecimento geral
com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações.
Grande parte das deduções humanas dependem do tratamento de incertezas– segunda parte do curso...
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Agentes lógicos
Representam o mundo Utilizam inferência para tirar conclusões
sobre o mundo representado
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Agentes lógicos
Conhecimento é representado como sentenças em uma linguagem de representação de conhecimento;
Um conjunto de sentenças forma a base de conhecimento (BC) do agente.
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Informar e perguntar
Novas sentenças são adicionadas à base de conhecimento por meio da tarefa TELL;
Consultas à base de conhecimento são feitas pela tarefa ASK;– ambos processos podem envolver
inferências• INFERÊNCIA: derivação de novas sentenças a
partir de sentenças antigas.
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Inferência clássica (dedução)
A resposta de uma pergunta (ASK) à base de conhecimento deve seguir o que foi informado anteriormente (TELL);
Nada é inventado à medida em que o processo de inferência se desenrola;– portanto, TELL é um processo não
clássico (abdução)!– E aprendizagem também (indução).
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Mundo de Wumpus
Desempenho– ouro +1000, morte-1000– passo -1 , flecha -10
Ambiente – quadrados próximos ao
wumpus fedem– próximos ao poço: brisa– quadrado do ouro: brilho– uma flecha somente– atirar mata wumpus se em
frente– Pegar ouro no quad., deixa
ouro no quad. Sensores: [fedor, brisa, brilho, impacto, grito] Atuadores: esquerda, direita,
pegar, deixar, atirar
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Explorando o mundo de wumpusPrimeira percepção: [nada, nada, nada, nada, nada]
Deduz: [1,2] e [2,1] são seguros...
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Explorando o mundo de wumpus
Segunda percepção: [nada, brisa ,nada ,nada ,nada]
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Explorando o mundo de wumpus
Dedução: poço em [1,3] ou [2,2]quadrado vazio em [2,1]
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Explorando o mundo de wumpus
Nova percepção: [fedor , nada , nada , nada , nada]Nova dedução: wumpus em [3,1]
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Explorando o mundo de wumpus
Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [1,2], nem brisa em [2,1])
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Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [2,2] nem brisa em [2,1])
Esta é uma inferência difícil pois se baseia em informação obtida em diferentes instantes e lugares, e se baseia na falta de uma percepção...
Está além das habilidades da maioria dos animais, mas factível para um agente lógico
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Propriedade do raciocínio lógico
As conclusões serão corretas se as informações disponíveis estiverem corretas!
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Lógica -- sintaxe
...base de conhecimento consiste de sentenças...
Sentenças são escritas com uma sintaxe;
Sintaxe especifica sentenças bem formadas– ex. em aritmética: X + Y = 4
• x2y+= : não é bem formada
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Lógica -- semântica
Define o significado das sentenças; em lógica: significado é a verdade de
cada sentença em relação à interpretações possíveis.– Ex. x + y = 4, verdade na interpretação x=2
e y=2, falso na interpretação x=1 e y =1.– Em lógica clássica, as sentenças só
podem ser verdadeiras ou falsas
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Lógica -- semântica
– Dizemos que “m é um modelo de ”: se é verdade na interpretação m
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Lógica -- semântica
Dada duas sentenças e , se em todos as interpretações em que é verdadeira, também o é dizemos que é consequência lógica de :
|=
“se é verdadeira também deve ser.”
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Lógica -- semântica: wumpus
Situação após detectar nada em [1,1], mover à direita e brisa em [2,1]
Considerar as interpretações possíveis para poços
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Lógica -- semântica: wumpus
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Lógica -- semântica: wumpus
BC = regras do mundo de wumpus + observações
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Lógica -- semântica: wumpus
BC = regras do mundo de wumpus + observações 1 = "[1,2] é seguro", BC |= 1
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Lógica -- semântica: wumpus
BC = regras do mundo de wumpus + observações 2 = "[2,2] é seguro", BC |= 2
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Lógica -- semântica: wumpus
Em alguns modelos em que BC é verdadeira, 2 é falsa, logo não há como deduzir se há um poço em [2,2] nem se não há...
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Este algoritmo de inferência é denominado:
verificação de modelos
pois enumera todos os modelos possíveis para verificar se é verdadeira em todos os modelos em que BC é verdadeira
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Derivação lógica Se um algoritmo de inferência i pode
derivar de BC:
BC |-i um algoritmo de inferência é “consistente
” (correto) se deriva apenas sentenças permitidas (pertencentes ao modelo).
e completo se puder derivar qualquer sentença permitida.
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Sound and completeness(correção e completeza)
BC |-i
BC |=
completeness
soundness
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Hipótese básica da IA “logiscista”
Se a BC representa fatos no mundo real, qualquer sentença derivada de BC por um procedimento de inferência consistente também será verdadeira no mundo real
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Hipótese básica da IA “logiscista”
... portanto, embora a inferência opere sobre a sintaxe, o processo corresponde à conclusões verdadeiras no mundo real.
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Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real?
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Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real? Os sensores do agente criam a
conexão.– E se houver exceções?– E se a verdade for temporária?– E se houver regras gerais não previstas
pelo engenheiro de conhecimento??
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Lógica proposicional - sintaxe
Sentenças atômicas (elementos sintáticos indivisíveis):– um único símbolo proposicional;– cada símbolo é uma proposição que pode
ser verdadeira ou falsa;
– nomes em maiúsculas: A, B, W1,3...
– Verdadeiro– Falso
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LP- sintaxe- sentenças atômicas
– se S é sentença, S é sentença (negação)
– Um literal é uma sentença atômica negada ou não.
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LP- sintaxe- sentenças complexas – se S1 e S2 são sentenças, tb o são:
• S1 S2 (conjunção -- e)• S1 S2 (disjunção -- ou)• S1 S2 (implicação-se, então)• S1 S2 é sentença (bicondicional - se e
somente se)
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LP- sintaxe-- precedência Utilize parênteses:
– ((A B) C)) Ou se apoie na ordem de precedência:
, , , e P Q R S equivale a:
(( P) (Q R)) S
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Lógica proposicional: semântica
Um modelo proposicional simplesmente fixa o valor verdade para todo símbolo proposicional de uma BC:
E.g. P1,2 P2,2 P3,1
false true false Verdadeiro é verdadeiro em todo modelo e
Falso é falso em todo modelo;– O valor verdade de todos os outros símbolos
proposicionais deve ser especificado diretamente no modelo.
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Lógica proposicional: semântica Regras para avaliar o valor verdade com
respeito a um modelo m: S é verdade sse S é falso – S1 S2 é verdade sse S1 é verdade e S2 é
verdade– S1 S2 é verdade sse S1é verdade ou S2 é
verdade– S1 S2 é verdade sse S1 é falso ou S2 é verdade– i.e., é falso sse S1 é verdade e S2 é falso– S1 S2 é verdade sse S1S2 é verdade e S2S1 é
verdade
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Tabela verdade
Assim reduz-se a verdade de sentenças complexas à verdade de sentenças mais simples em um processo recursivo.E.g.:P1,2 (P2,2 P3,1) = true (true false) = true true = true
Obs. Cada linha da tabela é uma interpretação possível.
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Tabela verdade
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Enumere todas os modelos e verifique se é verdadeira em todo modelo em que BC é verdadeira.
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Inferência por enumeração de modelos
A busca em profundidade para enumerar todos as interpretações para encontrar modelos é correta e completa.
Para n simbolos, complexidade temporal é O(2n), e espacial é O(n)
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Equivalência lógica Duas sentenças são logicamente equivalentes sse verdadeiras
nos mesmos modelos: sse |= e |= :
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Validade e satisfatibilidade
Uma sentença é válida se verdadeira em todos os modelos,e.g., True, A A, A A, (A (A B)) B
» TautologiasValidade é ligada à inferência via o Teorema da Dedução :
KB |= se e somente se (KB ) é valida
Uma sentença é satisfatível se verdadeira em algum modeloe.g., A B, C
Uma sentença é insatisfatível se verdadeira em nenhum modeloe.g., AA
Satisfatibilidade é ligada à inferência via o seguinte:KB |= se e somente se (KB ) é insatisfatível
Raciocinando por contraposição
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Teorema da Dedução
Validade é ligada à inferência via o Teorema da Dedução :
BC |= se e somente se (BC ) é valida
• Podemos imaginar o algoritmo anterior como a verificação da validade de BC
• Reciprocamente, toda sentença de implicação válida descreve uma inferência legítima.
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Inferência como prova Regras de inferência:
– Modus ponens
,
– Eliminação-de-e
,
– Todas as equivalências anteriores podem ser usadas como regras de inferência.
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Exemplo: BC mundo de wumpus
Seja Pij verdade se existe um poço em [i, j].
Seja Bij verdade se há brisa em [i, j].R1: P11
R2: B11
R3: B21
"Poços causam brisas em quadrados adjacentes "R4: B11 (P12 P21)
R5: B21 (P11 P22 P31)
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Exemplo: Wumpus Seja a base de conhecimento R1 -- R5,
vamos provar P12:
– Eliminação de bicondicional a R4:
R6: (B11(P12 P21))((P12 P21)B11)
– Eliminação-e em R6:
R7:(B11(P12P21)) e R7`:((P12P21)B11)
– Contraposição em R7`:
R8: ( B11 (P12 P21))
– Modus ponens com R2 e R8:
R9: (P12 P21))
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Exemplo: Wumpus
– Regra de de Morgan em R9:
R10: P12 P21
i.e. nem [1,2], nem [2,1] possui um poço!
[obs. Erro no livro!]
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Métodos de prova Há duas categorias principais de métodos de provas:
– Aplicação das regras de inferência• Geração correta (sound) de novas sentenças a partir de
antigas; • Prova = uma sequência de aplicações de regras de inferência
– Regras de inferência podem ser usadas como ações em um algoritmo de busca
• Tipicamente requer transformar as sentenças em uma forma normal (def. a seguir)
– Model checking• enumeração de modelos em tabelas verdade• retrocesso melhorado, e.g., Davis--Putnam-Logemann-
Loveland (DPLL)• busca heurística em um espaço de modelos WALKSAT
(correto, porém incompleto)
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Resolução
Satisfatibilidade é ligada à inferência via o seguinte:BC |= se e somente se (BC ) é insatisfatível
Raciocinando por contraposição
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ResoluçãoForma Normal Conjuntiva -- Conjunctive Normal Form (CNF)
conjunção de disjunções de literaisE.g., (A B) (B C D)
Regra de inferência resolução (para CNF):l1 … lk, m1 … mn
l1 … li-1 li+1 … lk m1 … mj-1 mj+1 ... mn
onde li e mj são literais complementares. l1 l2 l2 l3
l1 l3
E.g., P1,3 P2,2, P2,2
P1,3
correta e completa para lógica proposicional
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Resolução
Qualquer algoritmo de busca completo, aplicando apenas a regra de resolução, pode derivar qualquer conclusão permitida por qualquer base de conhecimento em lógica proposicional!
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Conversão para CNFB1,1 (P1,2 P2,1)
Eliminar , trocando por ( )( ).(B1,1 (P1,2 P2,1)) ((P1,2 P2,1) B1,1)
2. Eliminar , trocando por .(B1,1 P1,2 P2,1) ((P1,2 P2,1) B1,1)
3. Mover para dentro usando as leis de de Morgan e negação dupla:(B1,1 P1,2 P2,1) ((P1,2 P2,1) B1,1)
4. Aplicar a lei distributiva ( sobre ) e eliminar ‘(‘ ’)’:(B1,1 P1,2 P2,1) (P1,2 B1,1) (P2,1 B1,1)
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Algoritmo de Resolução
Primeiro a entrada é convertida em CNF. Em seguida a regra de resolução é aplicada às cláusulas restantes. Cada par que contém literais complementares é resolvido para gerar uma nova cláusula, que é adicionada ao conjunto..
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Algoritmo de Resolução
O processo continua até que:– não exista nenhuma cláusula nova a ser
adicionada; nesse caso, não há consequência lógica
– a cláusula vazia é derivada; assim, a consequência lógica é verificada.
Raciocinando por contraposição
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Algoritmo da resolução Prova por contradição, i.e., para provar em BC,
mostrar que KB é insatisfatível
PL-Resolve retorna o conj. de todas as cláusulas possíveisobtidas pela resolução de duas entradas
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Exemplo de resolução
BC = (B1,1 (P1,2 P2,1)) B1,1
= P1,2
2,1
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Encadeamento pra frente e pra trás
(Forward and backward chaining) Cláusula de Horn (resolução restrita)
BC = conjunção de cláusulas de Horn– cláusula de Horn =
• símbolo proposicional; ou• (conjunção de símbolos) símbolo
(CORPO) CABEÇA(I.e., disjunção de literais nos quais no máximo um é positivo)
– E.g., C (B A) (C D B) Modus Ponens (para Horn): completo para BC Horn
1, … , n, 1 … n
Podem ser usadas com forward chaining ou backward chaining. Algoritmos simples e de complexidade linear (em rel. ao tamanho da
base de conhecimento) !
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Forward chaining
Começa a partir de fatos conhecidos (literais positivos) na base de conhecimento. Se todas as premissas de uma implicação forem verdade, sua conclusão será acrescentada ao conjunto de fatos conhecidos.
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Forward chaining example
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Forward chaining example
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Forward chaining example
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Forward chaining example
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Forward chaining example
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Forward chaining example
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Forward chaining example
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Forward chaining example
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Backward chaining
Funciona da pergunta q à base de conhecimento:
– para provar q na BC,• verifique se q já faz parte de BC, ou• prove pela BC todas as premissas de alguma regra
que conclua q
Evitar laços: verifique se os novos subgoals já foram provados ou já falharam!
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Exemplo de Backward chaining
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Backward chaining example
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Backward chaining example
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Backward chaining example
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Backward chaining example
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Backward chaining example
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Backward chaining example
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Backward chaining example
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Backward chaining example
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Backward chaining example
![Page 81: Lógica Proposicional Aula 5 - Cap. 7 Fundamentos da IA Mestrado – FEI.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062512/552fc10c497959413d8c4142/html5/thumbnails/81.jpg)
Forward vs. backward chaining
ForwC é baseado no dados, – Pode ser usado para derivar conclusões a partir de
percepções de entrada, sem uma consulta específica em mente;
– Pode executar muito trabalho irrelevante para o objetivo;– Executa um trabalho extensivo;
BackC é baseado no objetivo, – Apropriado para resolução de problemas;– Funciona em tempo linear– Complexidade de BackC pode ser muito menor do que
linear em relação ao tamanho da base de conhecimento por que o processo só toca fatos relevantes para provar um objetivo.
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CONCLUSÃO
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CONCLUSÃO
VOCÊS PRECISAM ESTUDAR!! Leiam o cap. 7 até a p. 214 Próxima aula tem mais!!