Lógica Proposicional

Conseqüência lógica e equivalência

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Conseqüência lógica

• Uma fórmula B é conseqüência lógica de uma fórmula A, denotando-se A ⊨ B sse

• Toda interpretação I que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que I[A] = T implica I[B] = T ;

• De modo similar D é conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas (ou teoria) Γ ={A1, A2 … An }, denotando-se por Γ ⊨ B sse

• Para toda interpretação I que satisfaz todas as fórmulas de Γ também satisfaz B.

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Conseqüência lógica

• Exemplo:Modus ponens: P , (P Q) ⊨Q .

• Teorema da dedução:Γ, A ⊨ B sse Γ ⊨ A B .

• Mais exemplos…

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Prova do Teorema da dedução• A prova de Γ, A ⊨ B sse Γ ⊨ A B é feita em 2 mãos: • Γ, A ⊨ B implica Γ ⊨ A B

• Para toda I[Γ] = T , I[A B] tem que ser tb T– Se I[A] = T, então I[B]=T já que Γ, A ⊨ B e I[AB]=T– Se I[A] = F, então I[A B] = T

• Γ ⊨ A B implica Γ, A ⊨ B• Toda I[Γ] = T faz com que I[A B] =T• Por contradição: Suponhamos que

– I[Γ] = T, I[A]=T e, absurdamente I[B] = F– I [A B] seria F, o que contradiz a premissa de que– I[Γ] = T, I[AB]= T– Portanto I[B]=T!

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Equivalência lógica

• Duas fórmulas A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A ≡ B sse

• A ⊨ B e B ⊨ A

• Na prática para verificar se duas fórmulas são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas;• Definição: A ↔ B ≡ (A B ) ^ (B A )• Teorema: A ≡ B sse A ↔ B é tautologia.

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Algumas equivalências notáveis

• ¬¬P ≡ P (dupla negação);• P Q ≡¬P V Q (definição de em função de ¬ e v);• ¬(P V Q) ≡ (¬P ^ ¬Q) e ¬(P ^ Q) ≡ (¬P V ¬Q)

• Leis de De Morgan

• P ^ (Q V R) ≡ (P ^ Q) V (P ^ R) • Distributividade de ^ sobre v

• P v (Q ^ R) ≡ (P v Q) ^ (P v R)• Distributividade de v sobre ^

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Equivalência lógica

•(Re)definições de conectivos em função de e :• P Q ≡¬P V Q ≡ ¬(P ^ ¬Q);• P V Q ≡ ¬(¬P ^ ¬Q)

•É possível se definir todos os conectivos em função de um só ?

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Um só conectivo

# (negação conjunta) e

– | (disjunção alternativa), definidos pela seguinte tabela:

P Q P # Q P | Q1 1 0 01 0 1 00 1 1 00 0 1 1

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NAND

Fazendo:– P = (P # P), E– P Q =((P # Q) # (Q # Q)), pode-se definir os conectivos e a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses.

Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas.

Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: P # Q = (P Q) E P | Q = (P Q):

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Lógica Proposicional

•Exercícios (pg. 27).