Lógica Matemática 2011
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Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
1
Lógica Matemática
LOMA – 40 tempos
36 – Aulas
2 – Prova
2 – Exame
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
2
Avaliação
• 1 prova dissertativa, com peso 8
• Exercícios Avaliatórios, com peso 2
• Exame
• Segunda Época
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
3
Bibliografia
Básica
• Introdução á Lógica Matemática– Editora CENGAGE
– Carlos A. F. Bispo, Luiz B. Castanheira e Oswaldo Mello S. Filho
Complementar
• Introdução à Lógica 3a ed., Irvin M. Copi.
• Lógica, Ed. MAKRON Books – John Nolt e Dennis Rohatyn.
• Introdução à Lógica, Editora UNESP – Cezar A. Mortari.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
4
Unidades
• Calculo Proposicional– Proposição
– Tabela Verdade
– Classificação das proposições
– Tautologias
– Dedução Formal
• Cálculo de predicados– Funções Proposicionais
– Quantificadores
– Argumentos Quantificados
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
5
O que é a Lógica Matemática?
Estudo da validade das formas de
argumentos.
Dedutiva
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
6
Lógica Formal
Período Grego (IV a.C. – XIX)
Sistemas de Regras
Período Booleano (XIX – XX)
Conjunto de Leis
Período Contemporâneo (XX – XXI)
Estrutura Linguística
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
7
Alguns Lógicos• Aristóteles (384-322 a. C.)
• Abelardo (1079 -1142)
• Ockham (1285 -1347)
• Leibniz (1646 -1716)
• De Morgan (1806 -1871)
• Boole (1815 -1864)
• Frege (1848 -1925)
• Whitehead (1861 -1947)
• Russell (1872 -1970)
• Brouwer (1881 -1966)
• Lewis (1883 -1964)
• £ukasiewicz (1878 -1956)
• Tarski (1902 -1983)
• Ramsey (1903 -1930)
• Church (1903 -1995)
• Gödel (1906 -1978)
• Rosser (1907 -1989)
• Herbrand (1908 -1931)
• Kleene (1909 -1994)
• Turing (1912 -1954)
• Robinson (1918 -1974)
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
8
SINOPSE DAS VÁRIAS LÓGICAS
Clássica
Cálculo de predicados de primeira
ordem• Teoria de Conjuntos
• Teoria de Tipos
• Teoria de Categorias como Fundamento da
Matemática
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
9
SINOPSE DAS VÁRIAS LÓGICAS
Não ClássicaComplementares da Clássica
• Epistêmica Clássica
Lógica da Crença
Lógica do Conhecimento• Modal Clássica
• Clássica de Ação, etc.
• Intencionais Clássicas
• Indutiva Clássica, etc.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
10
SINOPSE DAS VÁRIAS LÓGICAS
HeterodoxasParacompletas
Paraconsitentes
Não Aléticas
Quânticas
Relevantes
Modais Paraconsistentes
Epistêmicas Paracompletas
Indutivas Paraconsistentes
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
11
Cálculo Proposicional
Estuda as condições de validade de
formas de argumento mostradas na
linguagem proposicional.
Na linguagem proposicional temos
símbolos, regras de formação e regras
de dedução.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
12
Proposição
Sentença declarativa que assume
um dos dois valores-verdade: verdade
(V) e falsidade (F).
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
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Exemplos de Proposição
• sen 90O = 1
• Júpiter está a 100 km da Terra.
• Os suíços fabricam os melhoresrelógios, e os franceses o melhorvinho.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
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14
Contra-exemplos de Proposição
• Venha aqui!
• Atenção sala!
• Não corra tão rápido!
• Quantas vezes terei que repetir isso?
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
15
Princípios da Lógica Clássica
• Identidade
“Toda proposição é idêntica a si mesma.”
• Não Contradição
“Uma proposição não pode ser verdadeira
e falsa ao mesmo tempo.”
• Terceiro Excluído
“Toda proposição ou é verdadeira
ou é falsa, não existindo um terceiro
valor que ela possa assumir.”
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
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16
Formalização
A formalização consiste emconverter um conjunto de proposiçõesinterligadas para uma estruturacomposta de letras proposicionais,conectivos lógicos e símbolos depontuação.
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Letras Proposicionais
• A, B, C,...
• a, b, c,...
• P1, P2, P3, ...
• p1, p2, p3, ...
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Conectivos Proposicionais
Conectam duas proposições
• Negação não
• Conjunção e
• Disjunção ou
• Condicional se..., então
• Bicondicional se, e somente se,
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Símbolos de Pontuação
• Parênteses ( )
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
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Proposição Simples e Composta
simples se, e somente se, contém uma
única afirmação.
composta quando for constituída por
uma seqüência finita de pelo menos
duas proposições simples.
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Exemplos
• Simples
Joaquim faltou ao paradão.
• Composta
Joaquim faltou ao paradão e foi punido.
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22
Conjunção
Combinação de duas proposições
ligadas pela palavra
e
substituída pelo símbolo
“”
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Exemplo da Conjunção
Maria foi ao cinema e Marta ao teatro.
Tradução:
C: Maria foi ao cinema.
T: Marta foi ao teatro.
Simbolicamente
C T
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Disjunção
Combinação de duas proposições
ligadas pela palavra
ou
substituída pelo símbolo
“”
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25
Exemplo da Disjunção
José será jogador de futebol ou
cursará medicina.
Tradução
F: José será jogador de futebol.
M: cursará Medicina.
Simbolicamente
F M
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Condicional
Duas proposições formam uma
condicional quando for possível
colocá-las na forma:
Se antecedente, então conseqüente
Simbolicamente
A C
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27
Exemplo de Condicional
Se dormir na aula, então serei punido.
Tradução
D: dormir na aula
P: serei punido
Simbolicamente
D P
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28
Bicondicional
Proposição que pode ser colocado na forma:
A se, e somente se, B
Simbolicamente
AB
pode ser entendida como uma
conjunção de dois condicionais
AB e BC
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29
Exemplo de bicondicional
“Só haverá diminuição da violência se a
educação for prioridade.”
Tradução
V: Haverá diminuição da violência.
E: A educação é prioridade governamental.
Simbolicamente
VE
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30
Negação
Não liga duas proposições, simplesmente, nega a afirmação da
proposição que o precede.
Simbolicamente
A
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31
Exemplos de Negação
“Alfredo não gosta de marchar”.
Tradução
M: Alfredo gosta de marchar.
M
“A estabilidade não gera desemprego”.
Tradução
E: A estabilidade gera desemprego.
E
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32
Fórmula Bem Formada - fbf
Seqüência qualquer de elementos do
vocabulário do cálculo proposicional
constitui uma fórmula.
Nem toda fórmula é aceitável para o
cálculo proposicional.
Uma fórmula aceitável para o cálculo
proposicional é fórmula bem formada.
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33
Regras de Formação
• Uma letra proposicional é uma fbf.
• Se P é uma fbf, então P também é.
• Se P e Q são fbfs, então também são:
(P Q)
(P Q)
(P Q)
(P Q)
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34
Regras de Pontuação
Cada parêntese aberto “(”
deve ser fechado “)”
sendo que os internos à expressão
precedem aos mais externos.
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35
Prioridade dos Conectivos
1o
2o e
3o e
Quando houver ambigüidade
parênteses devem ser colocados.
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36
Exercícios
Propostos
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37
Tabela Verdade
• Dispositivo onde figuram as possíveis combinaçõesdos valores-verdade das proposições.
• O valor verdade único de uma proposição é obtido apartir dos valores verdade de suas proposiçõessimples.
• A atribuição de um valor-verdade para umaproposição simples é semântico.
• Número de linhas 2n, onde n é o número deproposições simples.
• Número de colunas n+p, onde p é o número deconectivos.
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38
Valores da Tabela Verdade
Conjunção Disjunção Condicional Bicondicional
p q p q p q p q p q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
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39
Valores da Tabela Verdade
Negação
p p
V F
F V
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40
Critérios para o Valor-Verdade
O valor-verdade de uma
proposição composta depende
unicamente
do valor lógico de suas
proposições simples.
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41
Conjunção ()
Uma conjunção tem seu valor
lógico (V) se, e somente se, as duas
proposições que a compõem forem
verdadeiras (V)
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42
Disjunção ()
Uma disjunção tem valor-verdade (F)
se, e somente se, ambas proposições
que a compõem são falsas (F)
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43
Condicional ()
Uma proposição condicional é
falsa (F) se, e somente se,
a proposição antecedente for
verdadeira (V) e a consequente
for falsa (F).
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44
Bicondicional ()
Uma proposição bicondicional
tem valor verdade (V) se, e somente se,
as duas proposições que a compõem
tiverem o mesmo valor-verdade.
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45
Negação ()
A negação de uma proposição
verdadeira (V) é uma proposição
falsa (F) e a de uma proposição
falsa (F) é uma proposição
verdadeira (V).
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46
Exercícios
Propostos
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47
Tautologia
Uma proposição composta é
tautológica ou uma tautologia se, e
somente se, seu valor lógico é sempre
verdade (V).
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48
Contradição
Uma proposição composta é uma
contradição se, e somente se, o seu
valor lógico for sempre falso (F).
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49
Contingência
Uma proposição composta é
contingente, ou uma contingência,
quando o seu valor lógico pode ser (V)
ou (F), dependendo do valor de suas
proposições simples.
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50
Exercícios
Propostos
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51
Implicação Tautológica
É uma proposição condicional
tautológica.
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52
Equivalência Tautológica
É uma proposição bicondicional
tautológica
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53
Propriedades Tautológicas
Reflexiva
p p
p p
Simétrica
(p q) (q p)
Transitiva
(p q) (q r) (p r)
(p q) (q r) (p r)
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54
Exercícios
Propostos
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55
Argumento
É um conjunto de n proposições, sendo que uma delas é conseqüência e
depende das demais.
A proposição consequência é chamada de conclusão, e as demais de
premissas.
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56
Forma de Argumento
1. P1
2. P2
...
(n-1). P(n-1)
n. C
Pi são as premissas e C é a conclusão
Equivalentemente
P1P2P3...P(n-1)C
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57
Exercícios
Propostos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
58
Tautologias Úteis
A seguir, implicações e equivalências
tautológicas que serão utilizadas para
provar a validade de um argumento.
Sejam “p”, “q”, “r” e “s” proposições
simples quaisquer.
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59
Equivalências
01) Indepotência (IND)
• (p p) p
• (p p) p
02) Comutação (COM)
• (p q) (q p)
• (p q) (q p)
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60
Equivalências
03) Associação (ASS)
• ((p q) r) (p (q r))
• ((p q) r) (p (q r))
04) Distribuição (DIS)
• (p (q r)) ((p q) (p r))
• (p (q r)) ((p q) (p r))
• (p (q r)) ((p q) (p r))
• (p (q r)) ((p q) (p r))
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61
Equivalências
05) Leis de De Morgan (MOR)
• (p q) (p q)
• (p q) (p q)
06) Dupla Negação (D.N.)
• (p) p
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62
Equivalências
07) Equivalência Material (E.M.)
• (p q) ((p q) (q p))
• (p q) ((p q) (p q))
08) Implicação Material (I.M.)
• (p q) (p q)
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63
Equivalências
09) Negação da Implicação Material (N.I.M.)
• (p q) (p q)
10) Transposição (TRA)
• (p q) (q p)
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64
Equivalências
11) Importação / Exportação (I. E.)
• ((p q) r) (p (q r))
12) Absurdo (ABD)
• (p (q q)) p
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65
Implicações
01) Adição (ADI)
p ou p(pq)
____
pq
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66
Implicações
02) Simplificação (SIM)
pq ou pqp
____
q
pq ou pqq
____
q
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
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67
Implicações
03) Conjunção (CON)p ou pqpq
q
____
pq
p ou pqqp
q
____
qp
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
68
Implicações
04) Absorção (ABS)
pq ou (pq)(pp q)
_______
p(pq)
05) Modus Ponens (M.P.)
pq ou (pq)pq
p
_______
q
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
69
Implicações06) Modus Tollens (M.T.)
pq ou (pq)qp
q
____
p
07) Dilema Construtivo (D.C.)
pq ou (pq)(rs)(pr)qs
rs
pr
____
qs
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
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70
Implicações
08) Dilema Destrutivo (D.D.)
pq ou (pq)(rs)(qs)(pr)
rs
qs
______
pr
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71
Implicações
09) Silogismo Disjuntivo (S.D.)
pq ou (pq)pq
p
____
q
pq ou (pq)qp
q
____
p
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
72
Implicações
10) Silogismo Hipotético (S.H.)
pq ou (pq)(qr)(pr)
qr
____
pr
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73
Implicações
11) Exportação (EXP.)
pqr ou (pqr)(p(qr))
_______
p(qr)
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74
Implicações
12) Importação (IMP.)
p(qr) ou (p(qr))(pqr)
________
p q r
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75
Regras de Dedução
A prova direta de validade de umargumento no cálculo proposicional utilizaas regras a seguir.1. introduzir premissas usando
a. equivalências;
b. implicações;
c. Teorema da Dedução.
2. Cada premissa introduzida deve indicar, à suadireita, o número das linhas e a tautologia porela utilizada.
3. Usar as premissas e a regra 1 para se chegar àconclusão.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
76
Exercícios
Propostos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
77
Teorema da Dedução (T.D.)
Dado um argumento
A1A2A3...An-1(BC)
se a proposição C pode ser obtida pela
aplicação das regras de dedução
direta 1a e 1b às premissas
A1, A2, A3, ... , An-1 e B,
então (BC) pode ser obtido das premissas
A1, A2, A3, ..., An-1
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
78
Teorema da Dedução (T.D.)
Se o argumento
A1A2A3...An-1B C
for válido, então,
A1A2A3...An-1(BC)
será válido.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
79
Exercícios
Propostos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
80
Prova Indireta
Redução ao Absurdo (R.A.)
A prova indireta de validade de um
argumento consiste da introdução de uma
nova premissa que seja a negação da
conclusão e, a partir disso, a derivação de
uma contradição. Dessa contradição obtida,
conclui-se a validade do argumento.
A prova indireta da validade é mais
conhecida como Redução ao Absurdo,
sendo utilizada em algumas demonstrações
matemáticas.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
81
Exercícios
Propostos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
82
Prova de Invalidade
1. Tabela Verdade
a. Uma linha falsa
2. Atribuição de Valores
a. Premissas verdadeiras
b. Conclusão Falsa
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
83
Exercícios
Propostos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
84
Cálculo de Predicados
No cálculo de predicados, a atenção se
volta para a estrutura da proposição simples.
A mais simples proposição envolve um
termo e um predicado:
Termo designa um objeto ou indivíduo;
Predicado indica a sua propriedade.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
85
Função Proposicional
Uma função proposicional em , um
conjunto de termos, é um predicado P
associado a um termo x, em , que
não pode ser classificada como
verdadeira ou falsa.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
86
Classificação de Função
Proposicional
A classificação de uma Função
proposicional Px, é possível quando x
representar em relação aos elementos
de
pelo menos um
todos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
87
Quantificadores
São operadores lógicos querestringem as funções proposicionaisde forma que elas se refiram a todo oconjunto de termos ou a uma partedele.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
88
Quantificadores
Função
Proposicional
+
Quantificador
= Proposição
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
89
Quantificadores
• : quantificador universal
(para todo, qualquer que seja, etc.)
• : quantificador existencial
(existe, há, alguns, etc.).
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
90
Formalização do Cálculo de
Predicados
1. Termos serão indicados com as últimasletras minúsculas do alfabeto : x, y e z.
2. Predicados serão indicados por letrasmaiúsculas à esquerda dos termos.
3. Função proposicional entre parênteses.
4. Quantificador à esquerda do termo e ambosà esquerda da função proposicional.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
91
Fórmula Bem Formada - CP
1. Um predicado “P” seguido de um termo “x”é uma fbf: Px.
2. Se Px e Qx são fbf, então serão também fbf:
a. Px
b. Px Qx
c. Px Qx
d. Px Qx
e. Px Qx
f. x (Px)
g. x (Px)
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
92
Exercícios
Propostos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
93
Equivalências entre
quantificadores
Para se provar a validade de
argumentos que apresentas funções
proposicionais quantificadas é
conveniente, que estas e seus
quantificadores não se apresentem
na forma negativa.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
94
Equivalências entre
quantificadores
No caso de existir quantificador
negado, devemos substituí-lo de forma
equivalente.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
95
Equivalências entre
quantificadores
Se representar um predicado
associado aos termos de um conjunto
, as equivalências a seguir se
verificam:
1. x (x) é equivalente ax (x)
2. x (x) é equivalente a x (x)
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
96
Exercícios
Propostos
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
97
Exemplificação
É a aplicação de duas
tautologias que transformam funções
proposicionais em proposições.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
98
Exemplificação Existencial (E.E.)
Se existe um termo c associado ao
predicado , estipulamos que tal termo seja c.
x (x)
______
c
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
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99
Exemplificação Universal (E.U.)
Se todos os termos estão associados aopredicado , escolhemos aleatoriamente umdeles, c.
x (x)
______
c
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
100
Generalização
Transforma proposições em funções
proposicionais.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
101
Generalização Existencial (G.E.)
Se um termo c está associado aopredicado , então existe um termoassociado a .
c
_____
x (x)
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
102
Generalização Universal (G.U.)
Se o termo c pode ser qualquer
elemento de , então qualquer termo
está associado ao predicado .
c
______
x (x)
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
103
Observação
A Exemplificação Existencial
sempre antecede a Exemplificação
Universal
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
104
Validade de Argumentos
Quantificados
1. Transformar o argumento quantificado, por
meio da exemplificação, em argumento sem
quantificadores.
2. Usar a prova direta de validade para esse
argumento exemplificado.
3. Usar generalização para se obter a
conclusão do argumento quantificado.
Dr. Alessandro, Ms. José Pedro e
Ms. Luiz
105
Exercícios
Propostos