Lógica de Predicados Decidibilidade, Corretude, Completude, Consistência.
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Lógica de Predicados
Decidibilidade, Corretude,
Completude, Consistência
Como avaliar sistemas de dedução?? Avaliação do algoritmo
Finitude Complexidade
Avaliação da capacidade de inferência Qualidade: Consistência Eficiência: Completude
Avaliação do algoritmo de dedução Análise de lógicas Finitude = Decidibilidade
Tem a ver com teoria da computação Computabilidade, Máquinas de Turing, funções
recursivas, ...
Análise para métodos de dedução Correção Completude Consistência
Computabilidade Intuitivamente uma função é dita
computável se é possível calcular seu valor, dado qualquer elemento do seu domínio
Será toda função, bem definida, computável?
NEM SEMPRE!!!
Decidibilidade Caso particular de computabilidade
quando a função só admite dois valores É possível resolver um problema
algoritmicamente (insolubilidade)? Quando se fala se um problema é solúvel
tem-se um problema de decidibilidade Trata-se de saber se um algoritmo acaba
Devolvendo uma resposta, no nosso caso, T ou F
Há lógicas que são assim!!
Complexidade Computabilidade diz respeito a se um
problema pode ou não ser resolvido Complexidade diz respeito à
quantidade de recursos necessários para resolver um problema
Os recursos (normalmente) são: Memória Tempo
Porém... Complexidade não será analisada nesse curso
E para sistemas de dedução? Desejamos que nossos sistemas de
dedução tenham certas propriedades...
Quais??
Relembrando conceitos Tautologia Teorema Contradição
Avaliando sistemas de dedução
Queremos que o nosso sistema de dedução hipotético SD seja correto, completo e consistente
Que danado é isso???
Correto Correto:
Toda sentença deduzida por SD a partir de um dado conjunto de
sentenças S inclusive o conjunto vazio de sentenças!
Seja realmente dedutível a partir de S!
Se as premissas são válidas, a conclusão também é válida!
Completo e Consistente Completo:
Toda sentença realmente dedutível a partir de S, seja também dedutível através de SD
Consistente: Não seja possível gerar contradições
usando SD
Teorema da corretude Um sistema de dedução SD é correto se
satisfaz à condição abaixo Todas as condições são a mesma no fundo
Se H é conseqüência lógica de um
conjunto de hipóteses a partir de SD, H é realmente conseqüência lógica de
Se ├SD H, então ├ H SD só deduz fórmulas corretas!!
Teorema da correção (cont.) Outra forma de dizer:
Se H é um teorema em SD (├SD H) então H é uma tautologia
Intuitivamente, se H é dedutível a partir de nenhuma sentença, H não depende de nenhuma
interpretação para ser sempre verdadeira!
Teorema da completude Um sistema de dedução SD é completo se
satisfaz à condição abaixo Todas as condições são a mesma no fundo
Se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses , H também é conseqüência lógica de a partir de SD
Se ├ H, então ├SD H Toda fórmula dedutível também é
dedutível por SD!!
Teorema da completude (cont.)
Outra forma de dizer: Se H é uma tautologia então H é um teorema em SD (├SD H)
Intuitivamente, se H é sempre verdadeira, ela deve ser dedutível sem nenhuma premissa H não depende de nenhuma
interpretação de nenhuma sentença para ser sempre verdadeira!
Teorema da Consistência Um sistema de dedução SD é
consistente sse não é possível deduzir usando SD duas fórmulas que se contradizem
Não é possível ├SD H e ├SD H
Prova de Consistência Se ├SD H, pelo teorema da correção H é tautologia H é contraditória Não é possível ├SD H,
pois H seria uma tautologia Não é possível que H e H sejam
tautologias
Consistência e satisfatibilidade
Um conjunto de fórmulas é consistente sse não existir uma fórmula H de forma a
├ H e ├ H Não é possível deduzir H e H a partir de
Teorema da Consistência e satisfatibilidade Um conjunto de fórmulas é consistente sse for satisfatível
Demonstração em 2 passos Se um conjunto de fórmulas é
consistente então não existe uma fórmula H de forma a ├ H e ├ H
Se não existir uma fórmula H de forma a ├ H e ├ H então é consistente
Demonstração do passo 1 Se é consistente então não é possível
├ H e ├ H Se, por absurdo, for insatisfatível
Não existe I que satisfaz e I[H] = F e I[H] = F
Pelos teoremas da correção e completude ├ H e ├ H, que é uma contradição!
Demonstração do passo 2 Se é satisfatível então
existe I que satisfaz Se, por absurdo, for inconsistente
Existe H tal que ├ H e ├ H Pelo teorema da correção
H e H são conseqüências lógicas de Como I que satisfaz
I[H] = I[H] = T, que é uma contradição!
Métodos vistos Dedução natural Tableaux semânticos Resolução
Corretude, completude e consistência?
A Dedução natural é Correta
Se H é um teorema em DN (├DN H) então H é uma tautologia. Isto é verdade?
Para toda interpretação I, se I satisfaz e├ H, então I[H]=T
Logo, não existe I que satisfaz e I[H]=F
Se é vazio (teorema), I satisfaz H e I[H]=T para todo I
Então H é uma tautologia
Dedução natural Consistente
Não é possível introduzir “passos inválidos” numa prova por DN
Completa Regras de introdução e eliminação
são completas para Lógica Proposicional
Métodos por refutação Tableaux semânticos e Resolução Corretos: Se H é um teorema em DN (├T H)
então H é uma tautologia. Isto é verdade?
O próprio método de prova foi feito para provar tautologias
Métodos por refutação Consistência depende de corretude Ver prova em [Fitting 90] Um conjunto arbitrário de fórmulas
proposicionais S pode ser uma propriedade consistente proposicional sse Não contiver contradições Não for vazio ou infinito ...
Uma fórmula de S é satisfatível Tableaux semânticos e expansões por
resolução são propriedades consistentes proposicionais