ELECTRÓNICA DIGITAL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO El sistema de numeración binario está basado en el uso de dos dígitos. Tiene su fundamento en los dos estados posibles en los que se pueden encontrar los diversos elementos eléctricos y electrónicos (activado/desactivado, 1/0).

Elem/Estado 1 0 Lámpara (encendida) (apagada)

Contacto (activado, cerrado) (desactivado, abierto)

voltímetro (con tensión) (sin tensión)

00 VV

Todo elemento eléctrico/ electrónico que tenga dos estados diferenciados se le puede aplicar el sistema binario. A uno de los estados se le asigna el dígito 1 y a otro el dígito 0. Esta equivalencia, nos aporta grandes ventajas a la hora de la interpretación y diseño de los circuitos electrónicos, como veremos más adelante.

A BL

L = A ⋅ B

A

BL = A + B

L

(L se activa cuando están accionados A y B)

( L se activa cuando están accionados A ó B)

B

C

L = A ⋅ ( B + C )LA

( L se activa cuando están accionados A y B ó C )

A Ā

Símbolos matemáticos aplicados a los circuitos lógicos

Contactos en serie (producto lógico)

Contactos en paralelo (suma lógica)

Conexión mixta

Valor ComplementarioSi llamamos A a un determinado elemento en uno de sus estados, a su inverso le llamaremos complementario de A y se escribe: Ā

POSTULADOS DEL ALGEBRA DE BOOLELa asociación de un contacto A con otro cerrado en paralelo equivale a un contacto cerrado A + 1 = 1

A

La asociación de un contacto A con otro abierto en paralelo equivale a dicho contacto A

A + 0 = AA

La asociación de un contacto A con otro cerrado en serie equivale a dicho contacto A

A ⋅ 1 = AA

La asociación de un contacto A con otro abierto en serie equivale a un contacto abierto

A ⋅ 0 = 0A

Dos contactos iguales en serie equivalen a uno sólo

A + A = AA

A

A ⋅ A = AA

Dos contactos iguales en paralelo equivalen a uno sólo

A

POSTULADOS DEL ALGEBRA DE BOOLEPOSTULADOS DEL ALGEBRA DE BOOLE

Propiedad conmutativa A + B = B + A

A

B

B

A

El resultado de un conjunto de contactos en paralelo es el mismo sin importar su disposición

A ⋅ B = B ⋅ A A B B A

El resultado de un conjunto de contactos en serie es el mismo sin importar su disposición

A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C

La asociación de un contacto en serie con otros dos en paralelo equivale a asociar en paralelo dos circuitos en serie formados por el contacto producto

B

C

LA

B

C

LA

A

Propiedad distributiva

A + B ⋅ C = (A + B) ⋅ (A + C)La asociación de un contacto en paralelo con otros dos en serie equivale a la disposición en serie del primero en paralelo con cada uno de los otros dos.

C

A

LB

A

C

LA

B

Un contacto en paralelo con su inverso da como resultado un contacto cerrado

A + A = 1 LA

A

L

Un contacto en serie con su inverso da como resultado un contacto abierto

A ⋅ A = 0LAA

Si a un número se le hace una doble inversión, este no varía

A = A A ⋅ B = A ⋅ B A + B = A + B

Si se invierten los dos miembros de una igualdad, esta no varía Si A = B; A = B

POSTULADOS DEL ALGEBRA DE BOOLE

TEOREMAS DEL ALGEBRA DE BOOLE

A + A⋅ B = A

A ⋅ (A + B) = A

A + Ā ⋅ B = A+ B

(A+ B) ⋅ B = A⋅ B (A + B) ⋅ B = A ⋅ B + B ⋅ B = A ⋅ B + 0 = A ⋅ B

(A+ B) ⋅ (A+C) = A⋅ C + A ⋅ B (A+B)⋅(A+C) = A⋅A+A⋅C+B⋅A+B⋅C = A⋅C+B⋅A+B⋅C⋅(A+A) =

A + Ā ⋅ B = (A + Ā) ⋅ (A + B) = 1⋅ (A + B) = A + B

A ⋅ ( A + B) = A ⋅ A + A ⋅ B = A + A ⋅ B = A

A + A ⋅ B = A ⋅ (1+ B) = A ⋅ 1 = A

Factor común; prop. distributiba

B + 1 = 1

prop. distributiba A + A = A Igualdad anterior

B ⋅ B = 0

(A + Ā ) = 1

prop. distributiba

prop. Distributiba de la suma respecto al producto

prop. distributiba (A ⋅ Ā ) = 0

Al multiplicar por 1 se mantiene la igualdad: (A + Ā ) = 1

prop. distributiba Factor común B + 1 = 1 ; C + 1 =1 (A ⋅ 1) = A

= A⋅C+B⋅A+B⋅C⋅A+B⋅C⋅A = A⋅C⋅(1+B)+B⋅A⋅(1+C) = A⋅C+A⋅B

Los resultados de las operaciónes A + By (A ⋅ B) resultan iguales, luego se verifica la igualdad

Teoremas de Morgan

A+B = A⋅ B

A B A B A+B A+B A ⋅ B 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0

A ⋅ B = A+B

A B A B A ⋅ B A ⋅ B A + B 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0

Demostración; comprobamos todas las posibilidades:

Los resultados de las operaciónes A ⋅ B y (A + B) resultan iguales, luego se verifica la igualdad

PUERTAS LÓGICAS

S

1E1

S E1 S 0 11 0

NOT E1

(inversión; NO)

E1

S = E1

(Europea) (Americana)

S

≥ 1E1

E2S1 E1 E2 S

0 0 00 1 11 0 11 1 1

OR E1

E2

S = E1+E2

E1

S

E2

(suma; O)

(Europea) (Americana)

PUERTAS LÓGICAS

&E1

E2S

E1 E2 S10 0 00 1 01 0 01 1 1

AND E1 S E1

S

E2

(producto; Y )

(Europea) (Americana)

S = E1◦ E2

E2

= 1E1

E2S1 E1 E2 S1

0 0 00 1 11 0 11 1 0

XOR(OR exclusiva )

(Europea) (Americana)

E1

E2S1

E2

E1

S

E2

E1

S = E1 E2 = E1◦ E2 + E2◦ E1

PUERTAS LÓGICAS

PUERTAS LÓGICAS

≥ 1E1

E2S

E1 E2 S0 0 10 1 01 0 01 1 0

NOR

E1

E2

S = E1+ E2

E1

A

E2

(OR negada)

(Europea) (Americana)S

AS

&E1

E2S

E1 E2 S10 0 10 1 11 0 11 1 0

NAND

E1 SE1

E2

(AND negada)

(Europea) (Americana)

S = E1◦ E2

E2

AS

A

= 1E1

E2S

E1 E2 S0 0 10 1 01 0 01 1 1

XNOR (XOR negada)

(Europea) (Americana)

E1

E2S

E1E1

E2 E2

S = E1 E2 = E1 E2+ E1 E2

S

PUERTAS LÓGICAS

≥ 1I1I2 Q1

I1 I20 0 00 0 10 1 00 1 1I3

111

0

1 0 01 0 11 1 01 1 1

111

1

I3 Q1

&I1I2 Q1

I1 I2 I30 0 00 0 10 1 00 1 1I3

000

0

1 0 01 0 11 1 01 1 1

001

0

Q1

OR NOR

≥ 1I1I2 Q1

I1 I20 0 00 0 10 1 00 1 1I3

000

1

1 0 01 0 11 1 01 1 1

000

0

I3 Q1

AND NAND

I1 I20 0 00 0 10 1 00 1 1

111

1

1 0 01 0 11 1 01 1 1

110

1

I3 Q1

&I1I2 Q1I3

PUERTAS LÓGICAS3

entradas

CIRCUITOS CON PUERTAS LÓGICAS

&E1

E2

≥ 1

= 1S=(E1 E2) (E1+ E2)

(E1 E2)

(E1+ E2)

E1

E2

S

PUERTAS LÓGICAS

0

10 &

E1

E2

≥ 1

= 1

(E1 E2)

(E1+ E2)

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

E1 E2 S0 0 00 11 0 11 1 0

1

Ejercicios

&

I1

I2 ≥ 1

I1 I2 Q10 0 10 1 01 0 11 1 1

&

Q1 =1

0

0 0

1

1

0

1

1

Ejercicios

I1 I20 0 00 0 10 1 00 1 1

000

0

1 0 01 0 11 1 01 1 1

011

0

I3 Q1

&I1

I2

≥ 1 = 1

Q1

1

1

0

0

1

1 1

0 1

0

I3

≥ 1

1

1

1

0 1 0 1

Ejercicios

&

&

≥ 1

= 1

≥ 1

≥ 1

I1

I2I1 I2 Q10 0 10 1 01 0 11 1 1