DEEL IWISKUNDIGE LOGICAInhoudHoofdstuk I : De propositielogicaHoofdstuk II : De predikatenlogicaHoofdstuk III : Onbeslisbaarheid en de onvolledigheidsstelling van G odelAanbevolen literatuur- J. Barwise, J. Etchemedy, Tarskis World, CSLI publications (1993).- J. Barwise, J. Etchemedy, Language, Proof and Logic, CSLI publications(2002)- J. vanBenthem, H. vanDitmarsch, J. Ketting, W. Meyer-Viol, Logicavoor informatici, Addison Wesley Nederland (1994).Typesetby AMS-TEX12 DEELI. WISKUNDIGELOGICAInleiding(kort historisch overzicht)De Griekse wijsgeer Aristoteles(384-322 v.C.) was de eerste die de regels van hetcorrect redeneren ontleedde.Leibniz(Duits wiskundige en wijsgeer (1646-1716)) stelde voor de regels van het re-deneren met wiskundige middelen te bestuderen. Maar zelf heeft hij dat programmanooit uitgewerkt.Op het einde van de 19deeeuw begonnen Boole, Peano, Frege, Russell, en anderenmet de wiskundigestudie van de redeneerregels (symbolischeof mathematische log-ica) (voordien was de logica het domein van wijsgeren). Hun doel was de wiskundeop meer exacte wijze te funderen,om zo een aantal paradoxenweg te werken diete wijten waren aan een te slordige fundering (Grondslagenonderzoek).Sinds G odel (1930) is de wiskundige logica meerdan de studie der redeneerregelsen grondslagenonderzoek (zie Hoofdstuk III).De wiskundige logica heeft implicaties voor de losoe,zuivere wiskunde,com-puterwetenschappen, kunstmatige intelligentie en de taalkunde.NotatieIn deze tekst maken we gebruik van de volgende standaard notaties :N = 0, 1, 2, 3, (de natuurlijke getallen),N0 = N0 ,Z = 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, (de gehele getallen),Q = a/b [ a, b Z , b ,= 0 (de rationale getallen),R =de verzameling der reele getallen.Bovendien gebruiken we de volgende afkortingen :Geg. GegevenT.B. Te BewijzenBew. BewijsV.T.B. Voldoende Te Bewijzen.We schrijven A B om aan te duiden dat A een deelverzameling is van B; dit sluitniet uit datA = B.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 3HOOFDSTUKIDEPROPOSITIELOGICA1. Depropositielogicataal- We voeren een kunstmatige taal in : de propositielogicataal (prop-taal) .- De symbolenvan de prop-taal bestaan uit1. de propositiesymbolen : p0, p1, p2,(oneindig veel)2. de connectieven : (en) (conjunctie) (of) (disjunctie) (niet) (negatie) (als...dan) (implicatie) (asa) (equivalentie)3. de hulpsymbolen : ( , ) (haakjes).- Een zinvan de prop-taal is een rij symbolen van de prop-taal die kan bekomenworden door herhaaldelijke toepassing van de volgende regels :1. Elk propositiesymbool is een zin van de prop-taal.2. AlsA enBzinnen van de prop-taal zijn, dan zijn ook(A B)(A B)(A B)(A B)Azinnen van de prop-taal.- Voorbeelden :(p0 p1)(p7 (p1 p125))(p1 p3)zijn zinnen van de prop-taal.Maar(p0p1)p1 p2)Typesetby AMS-TEX4 DEELI. WISKUNDIGELOGICAzijn geen zinnen van de prop-taal.- We maken nu nog een aantal afspraken om het geheel meer overzichtelijk te maken :Als geen misverstand mogelijk is, zullen we gemakkelijkheidshalve haakjes weglaten:We spreken af dat we dit mogen doen in de volgende situaties:-de buitenste haakjes : A Bin plaats van (A B) .-herhaalde disjunctie:(ABC) in plaats van (A(BC)), of in plaats van((AB)C), omdat de laatste twee zinnen altijd dezelfde waarheidswaardehebben. We laten dit ook toe voor meer dan 3 disjuncten.-herhaaldeconjunctie: idemalsvoorherhaaldedisjunctiemaarnumet in plaats van .- Hierboven worden de symbolenA, B, C,gebruikt om zinnen van de prop-taalaan te duiden. Dus alsA, B zinnen van de prop-taal aanduiden, dan duidt(A B)een zin van de prop-taal aan, maar met meestal meer dan 5 symbolen.Dus A, B,zijnhieroptevattenalsvariabelen, zoalsindealgebrax, ygeenechte getallen zijn, maar variabelen om getallen aan te duiden.- Men noemtA het antecedens van de implicatieA B, enBhet consequens.-Meer algemeen mag men voor de propositiesymbolen ook andere symbolen of teken-reeksengebruikendanp0, p1,..., opvoorwaardedatmendaneersteenexplicietelijst van deze symbolen of tekenreeksen geeft.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 52. Interpretatie(=semantiek)vandepropositielogicataal- Zij A een zin van de prop-taal. Indien we p0, p1, p2,interpreteren als uitsprakendie ofwel waar, ofwel vals zijn (=proposities), dan kunnen weA ook interpreterenals een uitspraak die ofwel waar, ofwel vals is, door , , , , te interpreterenals respectievelijk en, of, niet, als...dan, asa (asa is de afkorting van alsenslechtsals). Wesprekenhierbij af dat wedenegatie altijdlatenslaanopdekleinstedeelzindieop volgt. Dus bijvoorbeeld A Binterpreteren we door (niet A) of B .- Symbolisch duiden we vals aan met 0, en waar met 1.- Indien de waarheidswaarde (dit wil zeggen waar of vals) w(A) van A en w(B)vanBgekend is, dan wordt de waarheidswaarde vanA B, A B, A, A B,A Bgegeven (per denitie) door de volgende waarheidstabel :w(A) w(B) w(A B) w(A B) w(A) w(A B) w(A B)1 1 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 00 1 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 1-EnigermateproblematischisdedenitievandewaarheidswaardevanA B.AlsBwaar is, is het redelijk te denieren datA Bwaar is. AlsA waar is, enBis vals, dan is natuurlijkA Bvals. Per afspraak denieren we datA Bwaar is in t geval datA enBbeiden vals zijn. Dusperdenitiehebbenwe((A B)isvals)asa(AiswaarenBisvals).Hetkanzijndatditniethelemaalovereenkomtmetonstaalgevoelinhetdageli-jksleven. BekijkbijvoorbeelddeuitspraakAlsvandaagdezonschijntdanislogicaeenbelangrijkvak. Aannemendedatlogicainderdaadeenbelangrijkvakis, besluitenwedatvolgensonzedenitievanals....dandeuitspraakwaaris.Nochtans zou men kunnen opmerken dat het weer van de dag niets te maken heeftmet de belangrijkheidvan het vak logica. Op die grond zouden sommige mensenmischienverwachtendatdeuitspraakvalsis, maarvolgensonzeafsprakenisdeuitspraak waar. Alleszins is de uitspraak wel misleidend...Bekijk vervolgens de uitspraak Als de maan een dampkring heeft dan is het vaklogicaonbelangrijk. Daardemaangeendampkringheeftisdeuitspraakwaar.Weer zou men dezelfde kritiek kunnen uiten als hierboven.- Denitievan Tautologie (intutief geformuleerd). Een zinA van de prop-taalheet eentautologie (of logischwaar ) als Awaar is voor omhet evenwelkewaarheidswaarde voorp0, p1,.- We willen echter deze denitie op een meer exacte wijze formuleren, daarom voerenwe eerst een andere denitie in :Denitie. Een waarderingw is een afbeeldingw: A[ A is een zin van de prop-taal 0, 1,6 DEELI. WISKUNDIGELOGICAdie voor alle zinnenA,Bvoldoet aan bovenstaande tabel.Dusw(A) is volledig bepaald van zodra menw(p0), w(p1), w(p2),kent.Denitie van Tautologie (exact geformuleerd). Een zin A van de prop-taal heeteen tautologie(of logisch waar) alsw(A) = 1 voor elke waarderingw.Denitie. TweezinnenA, Bvandeprop-taal hetenlogischequivalent alsA Been tautologie is.Voorbeeld. ZijA, B, Czinnen van de prop-taal. Dan is[(A B) C] [(A C) (B C)]een tautologie.We verieren dit door de waarheidstabel op te stellen :A B C (AB) (AB)C AC BC (AC)(BC) (AB)C(AC)(BC)1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 0 0 0 11 0 1 1 1 1 0 1 11 0 0 1 0 0 0 0 10 1 1 1 1 0 1 1 10 1 0 1 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1Voorbeeld. ZijA, Bzinnen van de prop-taal. Dan zijnA B, enA B,logisch equivalent.We verieren dit door de waarheidstabel op te stellen :A B AB AAB (AB)(AB)1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 10 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1-Wekunnenvooreenzinvandeprop-taalaltijdnagaanofheteentautologieisdoor de waarheidstabel op te stellen.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 73. Enkelebelangrijketautologieen- ZijA, B, C, D zinnen van de prop-taal, dan zijn de volgende zinnen (1)-(17) tau-tologieen. Dit kan bewezen worden door de waarheidstabel op te stellen.(1) (A B) (B A), (A B) (B A) (commutativiteit)(2) [(A B) C] [A (B C)] (associativiteit)[(A B) C] [A (B C)]Dus in t vervolg kunnen we als afkorting de haakjes weglaten in (AB)C.(3) [A (B C)] [(A B) (A C)] (distributiviteit van t.o.v. )[A (B C)] [(A B) (A C)] (distributiviteit van t.o.v. )(4) (A A) A, (A A) A (idempotentie)(5) A A, A A (dubbele ontkenning), (uitgesloten derde)(6) (A B) (A B) (wetten van De Morgan)(A B) (A B)(7) (A B) (A B) (uitdrukking van pijl in , )(8) (A B) (B A) (contrapositie)(9) (A A) B (uit een contradictie volgt alles)(10) [A (B B)] A (bewijs uit het ongerijmde)(11) (A B) (A B) (negatie van de pijl)(12) [(A B) (B C)] (A C) (transitiviteit van de pijl)(13) (A B) [(A B) (B A)] (uitdrukking van in twee pijlen)(14) (A B) (A B) (contrapositie)(15) [(A B) (B C)] (A C) (transitiviteit van )(16) [A (B C)] [(A B) C](17) [A (B (C D))] [(A B C) D]- Verder hebben we ook nog de volgende vanzelfsprekende regels :(18) AlsA enA Btautologieen zijn, dan isBeen tautologie.(19) AlsA enBtautologieen zijn, dan isA Been tautologie.(20) Als A een tautologie is, en als we in A op elke plaats de propositievariabelep0 door een zelfde zin B vervangen, dan bekomen we opnieuw een tautologie.(zelfde resultaat voorp1, p2, enz.)Voorbeeld : (p0 p1) p0is een tautologie, dus ook[(p3 p5

B) p1] (p3 p5

B) is een tautologie.(21) Zij Aeenzin, enzij BeendeelzinvanA(ditwil zeggeneendeelrijvanopeenvolgende symbolen vanA die zelf een zin van de prop-taal is). ZijCeenzinvandeprop-taal,dielogischequivalentismetB. AlsweinAdedeelzinBvervangen doorC, bekomen we een zinDdie logisch equivalentis metA. AlsA een tautologie is, dan isD ook een tautologie.Voorbeeld : We hebben de volgende tautologie (volgens (16))(p0 (p1 p2

B)) ((p0 p1) p2) .Volgens (8) isp1 p2

Blogisch equivalent met p2 p1

C.8 DEELI. WISKUNDIGELOGICAWe bekomen dus de volgende tautologie(p0 (p2 p1)

C) ((p0 p1) p2) .Stelling. ZijA een zin van de prop-taal. Dan isA logisch equivalent met een zinBdiebestaatuitdisjunctiesvanconjunctiesvanpropositiesymbolenof negatiesvan propositiesymbolen. (We zeggen datBin disjunctieve normaalvormis.)Voorbeeld : (p0p1) (p3p4) is niet in disjunctieve normaalvorm. We hebbenechter de volgende logische equivalenties :(p0 p1) (p3 p4) (p0 p1) (p3 p4) De Morgan [(p0 p1) p3] [(p0 p1) p4] distributiviteit [(p0 p3) (p1 p3)] [(p0 p4) (p1 p4)] (p0 p3) (p1 p3) (p0 p4) (p1 p4)De laatste zin is in disjunctieve normaalvorm.Bewijs :Door gebruik te maken van (13) kunnen we de wegwerken. Door gebruiktemakenvan(7)kunnenwedepijlenwegwerken. DoorgebruiktemakenvandewettenvanDeMorgan, kunnenwedenegatiesdoorschuiventotvlakvoordepropositiesymbolen. Tenslotte gebruiken we de distributiviteit van t.o.v. .Voorbeeld : (p0 p1) (p2p1) is niet in disjunctieve normaalvorm. We hebbenechter de volgende equivalenties :(p0 p1) (p2 p1) [(p0 p1) (p2 p1)] [(p2 p1) (p0 p1)] [(p0 p1) (p2 p1)] [(p2 p1) (p0 p1)]

(p0 p1) (p2 p1)

[(p2 p1) (p0 p1)] [p0 p1 p2] [(p2 p1) (p0 p1)] [(p0 p1 p2) (p2 p1)] [(p0 p1 p2) (p0 p1)] (p0 p2 p1) (p1 p2 p1) (p2 p2 p1) (p0 p0 p1) (p1 p0 p1) (p2 p0 p1) (p0 p1 p2) (p0 p1 p2)De laatste zin is in disjunctieve normaalvorm.Oefening : Breng in disjunctieve normaalvorm[(p0 p2) p1] (p1 p2).Oplossing :[(p0 p2) p1] (p1 p2)[p0 p2 p1] (p1 p2)[p0 (p1 p2)] [p2 (p1 p2)] [p1 (p1 p2)](p0 p1) (p0 p2) (p2 p1) (p2 p2) (p1 p1) (p1 p2)(p0 p1) (p0 p2) (p2 p1) (p1 p2) .DEELI. WISKUNDIGELOGICA 9Stelling. ZijA een zin van de prop-taal. Dan isA logisch equivalent met een zinBdiebestaatuitconjunctiesvandisjunctiesvanpropositiesymbolenof negatiesvan propositiesymbolen. (We zeggen datBin conjunctieve normaalvormis.)Inderdaad de situatie is hier volledig analoog met wat we hierboven gezien hebbenvoordedisjunctievenormaalvorm: hetbewijs, devoorbeeldenendeoefeningenkunnenaangepastwordendooroveral tevervangendoor , en tevervangendoor .10 DEELI. WISKUNDIGELOGICA4. PraktischemethodenWe hebben reeds opgemerkt dat het opstellen van de waarheidstabel een algemenemethode (algorithme) geeft, om na te gaan of een zin van de prop-taal een tautologieis. Alsdezinnpropositiesymbolenbevat, moetenweindewaarheidstabel 2nverschillendewaarderingenbeschouwen. Ditgeeftdusontzaglijkveel werkalsngrootis. Inspecialegevallenkanmensomsveel snellerwerkendoorgebruiktemakenvanderesultatenvan 3ofdoorhetgezondverstandtegebruiken. Involgende oefeningen stellenA, B, C, D, Ezinnen van de prop-taal voor.Oefening1. Toon aan dat(A B) (A B)een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen.Oplossing. Het linkerlid is logisch equivalent metA B (formule (7) van 3).Het rechterlid is logisch equivalent metA B (De Morgan).Oefening2. Toon aan dat(A (B C)) ((A B) C)een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen.Oplossing. (1ste werkwijze)Het linkerlid is logisch equivalent metA (B C) (formule (7) van 3).Het rechterlid is logisch equivalent met(A B) C (formule (7) van 3 )(A B) C (De Morgan)A (B C) .Oplossing. (2de werkwijze)a) Omaantetonendat[A (B C)] [(A B) C] eentautologieis,moeten we het volgende aantonen:Gegeven : w(A (B C)) = 1 ,w(A B) = 1 .Te bewijzen : w(C) = 1 .Bewijs : Uit w(A B) =1, volgt w(A) =1enw(B) =0. Dusuit w(A (B C)) = 1, volgt nu datw(B C) = 1. Dusw(C) = 1, daarw(B) ,= 1.b) We tonen ook aan dat [(A B) C] [A (B C)] een tautologie is.Gegeven : w((A B) C) = 1, enw(A) = 1 .Te bewijzen : w(B C) = 1 .Bewijs : Veronderstelw(B) = 0 . Danw(A B) = 1 , dusw(C) = 1 . Dusw(B C) = 1 .Oefening3. Toon aan dat[(A B) C] [(A C) B]een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen.Oplossing.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 11Het linkerlid is logisch equivalent met(A B) C (formule (7) van 3)A B C (De Morgan)Het rechterlid is logisch equivalent met(A C) B (formule (7) van 3)A C B (De Morgan)A B COefening4. Toon aan dat[D ((A B) C)] [D C] D (A B)een tautologie is, zonder een waarheidstabel op te stellen.Oplossing. We moeten dus eigenlijk het volgende bewijzen :Gegeven :w[D ((A B) C)] = 1, (1)w(D C) = 1, (2)w(D) = 1, (3)w(A) = 1. (4)Te bewijzen : w(B) = 1 .Bewijs. Uit (3) en (2) volgt w(C) = 0 . Uit (3) en (1) volgt w((AB) C) = 1 .Uit dit laatste enw(C) = 0 , volgtw(A B) = 0 . Uit dit laatste enw(A) = 1 ,volgtw(B) = 0 . Dusw(B) = 1 .Opmerking. Indien we oefening 4 zouden willen oplossen met een waarheidstabel,dan zouden we veel meer werk hebben, omdat we dan 24= 16 waarderingen zoudenmoeten beschouwen.Oefening 5. Toon aan dat de zin (17) in 3 een tautologie is, zonder een waarhei-dstabel op te stellen.Oplossing. We hebben de volgende tautologieen :[A (B E)] [(A B) E] (3 (16))[A (B (C D

E))] [(A B) (C D

E)] (3 (16))[((A B) C) D] .Het gevraagde volgt nu uit 3 (21).12 DEELI. WISKUNDIGELOGICAOefening6. Toon aan dat(E D) (B C) [(E A) (((B C) E) (D A))]een tautologie is.Oplossing. We moeten dus eigenlijk het volgende bewijzen :Gegeven :(1) w(E D) = 1,(2) w(B C) = 1,(3) w(E A) = 1.Te bewijzen :(4) w[(B C) E] = 1 en(5) w(D A) = 1.Bewijs : Uit(2) volgt(4). Alsw(E) = 1,dan volgtuit (1) datw(D) = 1,en alsw(E) = 0, dan volgt uit (3) dat w(A) = 1 . Dus in elk geval hebben we w(DA) = 1 .Dit bewijst (5).De volgende oefening toont aan hoe we de propositielogica kunnen gebruiken in deelementaire verzamelingenleer.Oefening7. ZijX,Y ,Zdeelverzamelingen vanU. Het complement van bv. XinUduiden we aan metX , dusX = UX . Toon aan dat :AlsZ X , danX Y X (Y Z) .Oplossing. Zijx een willekeurig element vanU. We moeten bewijzen datx (X Y ) x (X (Y Z))[x X

p0(x Y

p1)] [x X

p0(x Y

p1x Z

p2)].Maar er is gegeven datx Z

p2 x X

p0.Het is dus voldoende te bewijzen dat(p2 p0) (p0 p1) [p0 (p1 p2)]een tautologie is. Dit is gemakkelijk, want deze zin is logisch equivalent met[(p2 p0) (p0 p1)] [p0 (p1 p2)][(p0 p2) (p0 p1)] [p0 (p1 p2)][p0 (p2 p1)] [p0 (p1 p2)][p0 (p1 p2)] [p0 (p1 p2)].DEELI. WISKUNDIGELOGICA 135. SchakelnetwerkenWe beschouwenelektrische netwerkenbestaande uit dradenenschakelaars; deschakelaarskunnentweestandeninnemen : aan(1)enuit(0). Doordedradenkan er stroom vloeien (1) of geen stroom vloeien (0).in/AuitDebovenstaandeguursteltschakelaarAvoor. AiseenschakelaardiemetAverbonden is en die aan is asaA uit is.Bekijk de volgende schakeling/A/BDoor de schakeling loopt stroom (1) of geen stroom (0) naargelangA, B aan of uitzijn, en dit volgens de volgende tabel :A B schakeling0 0 00 1 01 0 01 1 1Dezetabel isdezelfdealsdewaarheidstabel van . Debovenstaandeschakelingkan dus voorgesteld worden doorA B.De schakeling voorA Bis :/A /BDe schakeling voor A B(ofA B) is/A /B14 DEELI. WISKUNDIGELOGICABeschouw nu de volgende twee schakelingen :/A

/C

/B(A B) C/A/C /B/C(A C) (B C)De twee schakelingen zijn gelijkwaardig (d.w.z. bij dezelfde stand van de schakelaarsis de output dezelfde). Omdat in de eerste schakeling de schakelaars minder dikwijlsvoorkomen, noemen we de eersteeenvoudiger.Oefeningen1) Vereenvoudig de volgende schakeling/A/B

/A

/ADe schakeling wordt voorgesteld door de zin ((AB)A)A. Maar die is logischequivalent met (A B A) (A A)

0, en dus metA B.Dus/A/Bis een vereenvoudiging.2) Construeereenschakelingmet2schakelaarsAenBzodathetomzettenvaniedereschakelaardeoutputverandert(van0naar1of van1naar0)(ditisdezogenaamde hotelschakelaar).Een schakeling met volgende tabel voldoet aan het gevraagde :A B schakeling0 0 00 1 11 0 11 1 0DEELI. WISKUNDIGELOGICA 15Maar de zin (A B) (A B) heeft dezelfde waarheidstabel. De schakeling isdus :/A/B /A/B16 DEELI. WISKUNDIGELOGICAHOOFDSTUKIIDEPREDIKATENLOGICA1. StructurenDenitie. Zijn1, n2, , nk, m1, m2, , mr, N0. Een structuur Tmet sig-natuur < n1, , nk; m1, , mr; > bestaat uit:(i) Een niet lege verzamelingD, hetuniversum van T genoemd,(ii) Voor elkei = 1, 2, , k een relatieRi opD metni argumenten. DusRi iseen deelverzameling vanDni= D DD

nikeren= (x1, , xni) [ x1 D, , xni D.(iii) Voorelkej=1, 2, , reenafbeelding(=functie)Fj :DmjD.Deaf-beeldingFjheeft dusmjargumenten.(iv) Voorelkel=1, , eenelementdl D. Zoeenelementdlwordteenconstante genoemd.Notatie : T =< D; R1, R2, , Rk ; F1, F2, , Fr ; d1, d2, , dl>.Een relatie met 1 argument is gewoon een deelverzameling vanD.DerelatiesR1, R2,hoevennietonderlingverschillendtezijn, deafbeeldingenF1, F2,hoeven niet onderling verschillend te zijn. Ook de elementend1, d2, vanD hoeven niet onderling verschillend te zijn.We kunnen ook structuren beschouwen metsignatuur , dus zonder relaties :< T; ; F1, , Fr; d1, , d>,signatuur < n1, , nk; ; >, dus zonder functies :< T; R1, , Rk; d1, , d>,signatuur < n1, , nk; m1, , mr>, zonder constanten :< T; R1, , Rk; F1, , Fr>,signatuur , alleen maar functies : < T; ; F1, , Fr>,signatuur zonder relaties en functies : < T; ; ; d1, , d>,signatuur < n1, , nk>, zonder functies en constanten:< T; R1, , Rk>.Voorbeelden. We hebben bijvoorbeeld de volgende structuren:Typesetby AMS-TEXDEELI. WISKUNDIGELOGICA 17< alle mensen ; ...is ouder van... , ...is een vrouw > signatuur < 2, 1 >< alle mensen ; jonger ; moeder, vader ; JanDenef > signatuur < 2; 1, 1; 1 >< N; < > signatuur < 2 >< N; < ; ; 0, 1 > signatuur < 2; ; 2 >< N; < ; ; 2, 5, 3, 11, 2 > signatuur < 2; ; 5 >< N; ; +,; 0, 1 > signatuur < N; signatuur < 2; 2, 2; 2 >< N; signatuur < 2, 2 >< R; signatuur < 2, 1 >- In 2 gaan we voor elke gegeven signatuur een kunstmatige taal L invoeren waarinwe over elke structuur met die gegeven signatuur kunnen spreken. Eerst gaan wedietaal Lbekijkenzonderrekeningtehoudenmetwatdezinnenvandietaal Lbetekenen.In 3 zullen we dan exact denieren hoe we die zinnen kunnen interpreteren (=se-mantiek).18 DEELI. WISKUNDIGELOGICA2. Depredikatenlogicatalen1- Voor elke rij n1, n2, , nk , m1, , mr , N0 gaan we een kunstmatige taal Linvoeren. Daarom xeren we nun1, n2, , nk , m1, , mr , N0.De predikatenlogicataal (pred-taal) L met signatuur< n1, , nk; m1, , mr; >wordt als volgt gedenieerd :- Desymbolen van L bestaan uit1. De relatiesymbolen : P1, P2, , Pk2. De functiesymbolen : G1, G2, , Gr3. De constantesymbolen : c1, c2, , c4. De variabelen : v0, v1, v2,(oneindig veel)5. De connectieven : , , , , 6. De kwantoren : , 7. Gelijkheidssymbool : =8. Hulptekens : (, ) (haakjes) en , (de komma)- Een termvan L is een rij symbolen van L die kan bekomen worden door herhaal-delijke toepassing van de volgende regels :1. Elke variabele is een term van L.2. Elk constantesymbool van L is een term van L.3. Alst1, t2, t3,termen zijn van L dan zijnG1(t1, t2, , tm1)G2(t1, t2, , tm2)...Gr(t1, t2, , tmr)termen van L. (De getallen m1, m2, , mr hangen af van de signatuur vanL.)Voorbeeld. G2 (G1 (G2(v1, v2, c1), G1(v1, c2)) , c1, c2)iseentermindepred-taalmet signatuur< 1; 2, 3, 5; 3 >, maarG2(v1, v2) is geen term in die taal.- Eenformulevan Lis eenrij symbolenvan Ldiekanbekomenwordendoorherhaaldelijke toepassing van de volgende regels :1. Alst1, t2, t3,termen zijn van L dan zijnP1(t1, t2, , tn1)P2(t1, t2, , tn2)...Pk(t1, t2, , tnk)1Het beschouwen van meerdere predikatenlogicatalen (voor elke signatuur een) is niet zoaantrekkelijkvanuit logistischstandpunt. Menkanechter eentaal invoerendie al onze ver-schillendetalenalsdeelbevat, ditnoemtmendandepredikatenlogicataal. Wijverkiezenechterommetmeerderetalentewerkenomwillevandidactischeennotationelevoordelen.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 19formules van L. (De getallen n1, n2, , nk hangen af van de signatuur vanL.)2. Alst1ent2termen zijn van L dan ist1 = t2een formule van L.3. AlsA enBformules van L zijn, dan zijn ook(A B)(A B)(A B)(A B)Aformules van L.4. AlsA een formule van L is en alsx een variabele is, dan zijn(x)A(x)Aformules van L.- Opmerking. ni wordt het aantal argumenten van het relatiesymbool Pi genoemd,enmiwordt het aantal argumenten van het functiesymbool Gigenoemd. De for-mules bekomen door 1 en 2 heten atomischeformules.- Opmerking. De lezer moet er zich van bewust zijn, dat de bovenstaande deni-ties (en bijna alle denities in deze cursus) vatbaar zijn voor vele variaties, en datelkhandboekoverlogicaeenverschillendstel denitiesgebruikt. Indezecursuszullen we ook andere symbolen of tekenreeksen gebruiken in plaats van de hierbovenopgesomde relatiesymbolen, functiesymbolen, en constantesymbolen. Indien we ditdoen, dan moeten we vooraf duidelijk specicieren welke de gebruikte relatiesym-bolen, functiesymbolen, enconstantesymbolenzijn. Zokunnenwebijvoorbeeldwerkenineenpred-taal metsignatuur, metslechtseenrelatiesym-boolOUDERDAN(met2argumenten), mettweefunctiesymbolenMOEDERenVADER (elk met een argument), en een constantesymbool JAN. Een voorbeeld vaneenatomischeformuleindezetaalisOUDERDAN(MOEDER(JAN),JAN).Ookvoor de variabelen mogen we eventueel andere symbolen of tekenreeksen kiezen alsdit vooraf gespecicieerd wordt. We moeten erg oppassen dat we duidelijk onder-scheid maken tussen de variabelen en de constantesymbolen.- Opmerking. Een relatie wordt ook wel eens een predikaat genoemd, vandaar denaam predikatenlogica.- Voorbeelden : Zij L de pred-taal met signatuur< 2, 3, 4; 1, 2; 1 >, dan zijn( P1(v0, v112) (v0)P2(v0, v10, G2(c1, G1(v0))) )(v1) (P3(v0, v1, v5, v2) (v3) (P1(v1, v2) P2(v1, v2, v3)))(v1)P1(v0, v0)(v0) ((v0)P2(v0, v2, v9) (P1(v0, v0)))formules van L.- De afsprakenaangaandehetweglatenvanhaakjes, dieweinhoofdstukI 1gemaakt hebben, blijven we gebruiken in de predikatenlogica. Dus mogen weP1(v0, v112) (v0)P2(v0, v10, v2)20 DEELI. WISKUNDIGELOGICAschrijven in plaats van(P1(v0, v112) (v0)P2(v0, v10, v2))- HierbovengebruiktenwedesymbolenA, B, C,omformulesvan Laanteduiden. Desymbolenx, y, z,wordensomsgebruikt omvariabelen(dusele-menten van v0, v1, v2,) aan te duiden. Dus als bijvoorbeeld A, B formules vanL aanduiden, en alsx een variabele aanduidt, dan duidt((x)A B)een formule van L aan, maar de rij van deze 9 symbolen is zelf geen formule van L.- Soms gaan we een formule van L aanduiden metA(x), om er de aandacht op tevestigen dat de variabelex mag voorkomen in de formule.- DenitievanvrijeengebondenvariabelenEenformule Avan Lis eenrij vansymbolen. Eendeelrij vanopeenvolgendesymbolenvanAdiezelf eenformuleis, wordteendeelformulevanAgenoemd.Voorbeeld :(v1)(P3(v0, v1, v5, v2) (v3)(P1(v1, v2) P2(v1, v2, v3))

deelformule) P1(v5, v5)Zij xeenvariabele, enveronderstel datdekwantor(x)opeenbepaaldeplaatsvoorkomtindeformuleA. Hetbereikvandekwantor(x)opdieplaats, isdekleinste deelformule vanA die direct volgt na die kwantor (x). Op dezelfde wijzedenieren we het bereik van een kwantor (x). Voorbeeld :(v1) (P1(v0, v1) P2(v0, v1))

bereikP3(v1)Veronderstel dat de variabelex op een bepaalde plaats in de formuleA voorkomt.We zeggen datxgebonden is op die plaats inA,alsx op die plaats voorkomt ineenkwantor(x)of(x)ofinhetbereikervan. Wezeggendatxvrij isopdieplaats in de formuleA, als ze daar niet gebonden is. Voorbeeld :P1(v0, v1

vrij) (gebonden

v0)P2(v0, v0

gebonden,vrij

v1)( v0

gebonden)(P2(gebonden

v0, v1, v1

vrij) (gebonden

v1) P3(v0, v1

gebonden,vrij

v2, v3))Hetisdusmogelijkdateenvariabeleineenformuleopsommigeplaatsenvrijisen op andere plaatsen gebonden is. (Dit is soms hinderlijk maar het loont niet demoeite om het te verbieden.)- Denitie. Eenzin(ofgeslotenformule)van Liseenformulevan Lzondervrije variabelen.Voorbeeld : (metc1een constantesymbool)(v0)(v1)(v3)(P1(v0, v1) P2(c1, v1, v3)) is een zin.(v0)(P1(v0, v1) P2(v0, v1, v3)) is geen zin.(v1)(v2)P1(v0, v2) is geen zin.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 213. Interpretatie(=semantiek)vandepredikatenlogicatalen- Zij L de predikatenlogicataal met signatuur < n1, , nk; m1, , mr; >, en zijT = een structuur met zelfde signatuur.ZijA een zin van L. We kunnenA interpreteren in T: interpreteerPi doorRi ,GjdoorFj, cldoordl, interpreteer = door de gelijkheidsrelatie, interpreteer deconnectieven , , , ,door en, of, implicatie, asa, niet, en interpreteer (x)door er bestaat een x in het universum D zodanig dat, en interpreteer (x) doorvoorallexinhetuniversumDgeldt . Wesprekenhierbij af dateenkwantoraltijdslaatopzijnbereik,dusopdekleinstedeelformuleachterdekwantor. Opdeze wijze bekomen we een bewering aangaande de structuur Tdie ofwel waar is(wezeggendandatAwaarisin T, notatie T A) , ofwel valsis. Wezulleneennauwkeurigedenitiegevenvanhetzojuistgeschetstebegrip,maareersteenvoorbeeld :Voorbeeld1. Zij Ldepred-taal met signatuur . Zij T1=. ZijA de zin(v1)(v2) (P1(v1, v2) (v3)(P1(v1, v3) P1(v3, v2))).Dan isA vals in T1maar waar in T2.- We kunnen niet zeggen of een formule met vrije variabelen, bv. P1(v1, v2) waar ofvals is in de structuur T. Daarvoor moeten we eerst de vrije variabelen vervangendoor elementen van het universumD. Daarom maken we de volgende denitie :Denitie : Een bedelings voor een structuur T is een afbeeldings: v0, v1, v2, D :vi s(vi) .Zij nuA een formule van L met vrije variabelenvi, vj, . We zeggen datA waaris in Tonder de bedelings (notatie T, s A) als de formule waar is in Tnadatmen de vrije variabelenvi, vj,vervangen heeft doors(vi), s(vj), .Vooraleer we een exacte denitie geven, bekijken we nog een voorbeeld :Voorbeeld 2. Zij L en T1zoals in voorbeeld 1. Zijs een bedeling mets(v1) = 1 ,s(v2) = 2 . Zijs

een bedeling mets

(v1) = 2 , s

(v2) = 4 . ZijBde formule(v3)(P1(v1, v3) P1(v3, v2)) .Dan hebben we datT1, sB en T1, sB.( betekent : niet ).- Exactedenitievan - Zij L de predikatenlogicataal met signatuur < n1, , nk; m1, , mr; >, en zijT = een structuur met zelfde signatuur.Zijs een bedeling voor T.Alvorens aan de eigenlijke denitie vante beginnen,voeren we nog een notatiein:22 DEELI. WISKUNDIGELOGICANotatie : Zijj N,r D, en zijs een bedeling voor T. Mets(vj [ r) duiden weeen nieuwe bedeling voor T aan, die gedenieerd is doors(vj [ r): v0, v1, v2, D :vi

rs(vi)alsi = jalsi ,= j.- Zij t een term van L. Onder de bedelings kunnen we de termt op evidentewijzeinterpreterendooreenelements(t) D.Ditelementwordtbekomendoordevariabelenvanttevervangendoordewaardediedebedelingdaaraanasso-cieert en door de functiesymbolen en constantesymbolenG1, , Gr, c1, , cteinterpreteren doorF1, , Fr, d1, , d. Men noemts(t) de interpretatie vant inTonderdebedelings. Eenexactedenitievans(t)doorinductieophetaantalsymbolen vant is als volgt :1. Alst de variabeleviis, dans(t) = s(vi).2. Alst het constantesymboolciis, dans(t) = di.3. Alst de termGi(t1, , tmi) is, mett1, , tmitermen, dans(t) = Fi (s(t1), , s(tmi)) .- Zij A een formule van L. Intutief is het duidelijk wat we bedoelen met de formuleA is waar in T onder de bedeling s (notatie T, sA). Inderdaad, de termen die inA voorkomen moeten genterpreteerd worden zoals hierboven. Een exacte denitie,door inductie op het aantal symbolen vanA, is als volgt :1. Zijt1, , tnitermen van L, danT, sPi(t1, , tni) asa (s(t1), , s(tni)) voldoet aan de relatieRi.2. Zijt1ent2termen van L, danT, st1 = t2asa s(t1) = s(t2).3. ZijA enBformules van L, danT, s(A B) asa T, sA en T, sBT, s(A B) asa T, sA of T, sBT, s(A B) asa T, sA of T, sBT, s(A B) asa T, sA asa T, sBT, sA asa T, sA.4. ZijA een formule van L , danT, s(vj)A asa er bestaat eenr D zodat T, s(vj[r)A ,T, s(vj)A asa voor elker D geldt T, s(vj[r)A .We veronderstellen hier datA het bereik is van de vooropstaande kwan-tor. Aan deze veronderstelling is niet voldaan wanneer we bij het schrijvenvanAonzeafspraakoverhetweglatenvandebuitenstehaakjeshebbengebruikt. BijvoorbeeldalsAdeformuleP1(vj) P2(vj)is, dangeldthetbovenstaande niet.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 23Eigenschap1. Zij Ceenformulevan L, enzij sens

bedelingenvoor T.Veronderstel dats(vi) = s

(vi) voor elke variabelevidievrij voorkomt inC. DanT, sC asa T, s

C.Dus, dewaarheidswaardevanCisonafhankelijkvandewaardevandebedelingop die variabelen die niet voorkomen inCof die alleen gebonden voorkomen inC.Inderdaad, uit 4 hierboven volgt dat we voor een gebonden variabele vj de bedelingvervangen doors(vj [ r), zodat de waardes(vj) geen rol speelt.Denitie. Zij Aeenzinvan L(duseenformulezondervrijevariabelen). Wezeggen A is waar in T (Notatie TA) asaT, sA voor minstens een (en dusvoor elke !)bedelings.Oefening1. Zij L, T1, en T2zoals in voorbeeld 1. ZijA de formule(v0) (v1 = v0 (v1)(P1(v0, v1) P1(v1, v2))) .Voor welke bedelingens geldt(a) T1, sA(b) T2, sA.Belangrijkedenities.ZijA een formule van de predikatenlogicataal L. We zeggen datA logisch waaris(notatieA) asa T, sA voor elke structuur T met zelfde signatuur als L envoor elke bedelings voor T.TweeformulesA, Bvandepredikatenlogicataal Lhetenlogischequivalent als deformuleA Blogisch waar is.Een theorie Tin L is een verzameling zinnenvan L. We zeggen dat de structuurT een model is voor T( notatie TT) als TBvoor elkeB T.Voorbeelden- De formule (v0)P1(v0, v1) (v0)P1(v0, v1) is logisch waar. Om dit in te zienmoet je gebruik maken van het feit dat het universum van een structuur minstenseen element bevat (per denitieD ,= ).- De zin (v0)(v1)v1 = v0 is niet logisch waar. Inderdaad, deze zin is waar in eenstructuur T asa het universum van T bevat slechts een element.- Dus ook de zin (v0)(v1)v1 = v0is niet logisch waar.- Deze voorbeelden tonen aan datA niet impliceert datA.24 DEELI. WISKUNDIGELOGICAOefening2.- Beschouw de pred-taal met signatuur< 2, 1 > met relatiesymbolen OUDERVAN(met 2 argumenten) en VROUW (met 1 argument). De verzameling van de mensen(die nu leven of ooit geleefd hebben) is het universum van een structuur met sig-natuur< 2, 1 > en relaties ... is ouder van ... en ... is een vrouw. Vertaal indie pred taal de volgende beweringen over die structuur:a) Niemand is vader van iedereen.b) Iedereen heeft een moeder.c) Wie een dochter heeft, heeft een zoon.-Denieerindiepred-taaldevolgenderelatiesintweeargumenten(jemoetduseen formule in die pred-taal vinden (met twee vrije variabelen) wiens interpretatiede opgegeven relatie is)d) ... is grootouder van ...e) ... is zuster van ...f) ... is oom van ...Oefening3.- Beschouwdepred-taal metsignatuur , mettweerelatiesymbolenVROUW (met 1 argument), en OUDERDAN (met twee argumenten), en met tweefunctiesymbolenMOEDERenVADER(elkmet eenargument). Deverzamelingvan de mensen (die nu leven of ooit geleefd hebben) is het universum van een struc-tuur met signatuur< 1, 2; 1, 1>,met relaties ... is een vrouw,en ... is ouderdan ... en functies de moeder van ... en de vader van .... (We nemen hier aandatelkemensdieooitgeleefdheefteenmenselijkevaderenmoederhad, watinwerkelijkheid niet kan ...) Vertaal in die pred taal de volgende beweringen overdie structuur:a) Niemand is vader van iedereen.b) Iedereen heeft een moeder die ouder is dan zijn vader.c) Wie een dochter heeft, heeft een zoon.g) Sommige vaders zijnouder dande moeder vansommige vanhunkinderen.(opgepast: met sommige ..... bedoelen we minstens een ...)-Denieerindiepred-taaldevolgenderelatiesintweeargumenten(jemoetduseen formule in die pred-taal vinden (met twee vrije variabelen) wiens interpretatiede opgegeven relatie is)d) ... is grootvader van ...e) ... is zuster van ...f) ... is oom van ...- Is de volgende zin van die pred-taal al dan niet logisch waar:(v0) OUDERDAN(MOEDER(v0), v0)Antwoord: niet logisch waar, want om logisch waar te zijn moet de zin waar zijn alsmen OUDERDAN interpreteert door t is eender welke relatie in twee argumentenen MOEDER door t is eender welke functie in een argument.Opmerkingen.- In de vorige twee oefeningen denieren we niet exact wat we bedoelen met ver-talen, maarhetisintuitief wel duidelijkwathierbedoeldwordt. Inhetkadervan de Tarski-werelden zullen we hieronder aan de notie vertalen een speciekeDEELI. WISKUNDIGELOGICA 25betekenis geven (die echter niet van toepassing is op de situatie hierboven).-Metsommige...bedoelenwesteedsminstenseen, alhoewel achterdeuit-drukkingsommigesteedseenmeervoudsvormkomt. Dusalswezeggensom-migemensenhebbendeeigenschap..., danbedoelenwedatminstens eenmenseigenschap ... heeft.Tarski-werelden- EenTarski-wereldbestaat uit objecten(hoogstens 12) dieopeenschaakbordmet8x8veldenstaan(zieguur1verderop). Elkobjectisofwel eenpyramide(tetraeder), ofwel een kubus, ofwel een regelmatig twaalfvlak (dodecaeder). Zo eenobjectkangroot(large), klein(small), ofmiddelmatig(medium)zijn. Eengrootobject mag niet staan op een veld dat een hoekpunt gemeen heeft met een veld waareen object op staat.We beschouwen een Tarki-wereld als een structuur met signatuur< 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3; ; 6 > .Het universum is de verzameling van de objecten op het schaakbord, en de relatieszijn de volgende:... is een tetraeder Tet (...)... is een kubus Cube (...)... is een dodecaeder Dodec (...)... is klein Small (...)... is middelmatig Medium (...)... is groot Large (...)... is kleiner dan ... Smaller (... , ...)... is groter dan ... Larger (... , ...)... staat aan de linkerkant van ... LeftOf (... , ...)... staat aan de rechterkant van ... RightOf (... , ...)... staat aan de voorkant van ... FrontOf (... , ...)... staat aan de achterkant van ... BackOf (... , ...)... staat tussen ... en ... Between(... , ... , ...)- We zullen werken in een predtaal met zelfde signatuur, en met relatiesymbolen Tet,Cube, Dodec, Small, Medium, Large, Smaller, Larger, LeftOf, RightOf, FrontOf,BackOf, Between, dieweineenTarski-wereldinterpreterenzoals wehierbovenhebben aangeduid en hieronder nog verder zullen preciseren. Verder gebruiken wedeconstantesymbolena, b, c, d, e, f. Wenoemendezetaal deTarski-wereld-pred-taal. OmeenTarski-wereldtespecicierenmoetenweeentekeningmakenwaarop duidelijk de schikking van de objecten is af te lezen. Dikwijls gebruiken wedaarvoor een twee-dimensionaletekening: een tetraer wordt dan voorgesteld dooreendriehoek, eenkubusdooreenvierkant, eneendodecaederdooreenvijfhoek(zie guur 2 verderop). Om een Tarski-wereld volledig te specicieren moeten weookdeinterpretatiesaangevenvandeconstantesymbolena, b, c, d, e, f. Ditzijn objecten op het schaakbord die niet onderling verschillend hoeven te zijn. Weduiden dit aan door de gelijknamige letter bij het objet te schrijven. Soms dat wede interpretaties van sommige constante symbolen niet expliciet aangeven wanneerdit niet echt relevant is voor onze doeleinden.-Sommigevanonzerelatiesmoetennognauwkeurigergedenieerdworden: Wezeggen dat een object x aan de linkerkant van een object y staat, dus LeftOf(x,y),26 DEELI. WISKUNDIGELOGICAasa de kolom waartoe x behoort aan de linkerkant gelegen is van de kolom waartoeybehoort(dezekolommenmogenduszekernietdezelfdezijn). DedenitievanRightOf is analoog. We zeggen dat een object x aan de voorkant van een object ystaat, dus FrontOf(x,y) , asa de rij waartoe x behoort meer naar voor gelegen is dande rij waartoe y behoort (deze rijen mogen dus zeker niet dezelfde zijn). De denitievan BackOf is analoog. Als een object x kleiner (of groter) is dan een object y, danis x zeker niet even groot als y. De denitie van Between(v,x,y) (lees: v staat tussenx en y) is moeilijker. Een eerste voorwaarde is alvast dat de objecten v,x,y op drieonderlingverschillendeveldenstaan, endatdeveldenwaaropxenystaangeenenkel gemeenschappelijk hoekpunt hebben. Bovendien moet aan de volgende voor-waarde voldaan zijn: De verbindingslijn (met de uiteinden niet meegeteld) tussende objecten x en y moet het veld waar v op staat snijden (eventueel mag dit in eenhoekpunt). Met de verbindingslijn tussen x en y bedoelen we het volgende: Indienx en y in dezelfde kolom of rij staan dan verbindt men de middens van de tegenoverelkaar staande zijden (dus de zijden die op elkaar uitzien) van de velden waarop xen y staan. Dit doen we ook indien x en y behoren tot kolommen die aangrenzendzijn, of behoren tot rijen die aangrenzend zijn. In de andere gevallen verbindt mendedichtstbijelkaargelegenhoekpuntenvandeveldenwaaropxenystaan. Zieguur 3 verderop. Voor het waar zijn van Between(v,x,y) doet het er niet toe of eral dan niet nog andere objecten op de verbindingslijn tussen x en y staan.- Meer voorbeeldenenillustraties vindjeinhet materiaal voor deoefeningen-zittingen. Inderdaad, metTarski-wereldenkunnenleerrijkeoefeningengemaaktworden. Bijvoorbeeld: in de eerstvolgende oefening hieronder vraagt men om eenaantal uitsprakenoverTarski-wereldenindenatuurlijketaal tevertalennaardehogeringevoerdepred-taal. Met vertalenbedoelenwehierdat devertalingdezelfdewaarheidswaarde(waarofvals)moethebbenalsdegegevenuitspraak,inelke Tarski-wereld. Andere oefeningen zijn van de volgende aard: Gegeven een zinin onze pred-taal, en gegeven een Tarski-wereld, dan wordt er gevraagd of die zin aldan niet waar is in die wereld. Of gegeven een aantal zinnen dan kan men vragenof er een Tarski-wereld bestaat waarin al die zinnen waar zijn, en indien die bestaatdan moet je zo een wereld produceren.27

Figuur 1: Een Tarski-wereld (Wittgens.wld)

Figuur 2: Dezelfde Tarski-wereld, maar nu twee-dimensionaal

Figuur 3: De relatie Between: de aangeduidevelden bevinden zich tussen de verbonden kubussen

28 DEELI. WISKUNDIGELOGICA- Je moet jezelf oefenen met de softwaretool Tarskis World (versie 4.1) (In 2003alleen nog maar voor de studenten op de campus te Kortrijk .)Die software werktmet twee soorten bestanden: bestanden met extensie .wld die een Tarski-wereld be-vatten, en bestanden met extensie .sen die een lijst zinnen van onze pred-taal (eneventueelcommentaren)bevatten. Detoolkanzelfnagaanofeengegevenzinaldan niet waar is in een gegeven Tarski-wereld. Dit is erg nuttig: Zo kan je zelf jeantwoord controleren voor een oefening die je vraagt of een gegeven zin al dan nietwaar is in een gegeven Tarski-wereld. En nog veel meer: Indien je antwoord fout isdan click je op de knop GAME, en dan ontstaat er een interactief proces van vra-gen (door de computer gesteld) en antwoorden (door jou gegeven), waaruit duidelijkzal worden waar je fout zat. Dus telkens dat je antwoord fout is moet je de GAMEspelen. Je kan de software ook gebruiken bij oefeningen op vertalen. Inderdaaddevertalingdiejij gevondenhebtisnietnoodzakelijkdezelfdedandevertalingdie de docent geeft, maar beiden moeten dezelfde waarheidswaarde hebben in elkeTarski-wereld. Dusjemoetineenaantal (doordedocentopgegeven)wereldentestenofjedezelfdewaarheidswaardebekomt, enindienditzoisdanisdekansheel groot dat je antwoord correct is (maar niet helemaal zeker). De werelden diededocentopgeeftzijnzodaniggekozenomdiekanszogrootmogelijktemaken.Indien de waarheidswaarde niet altijd voor beiden dezelfde is dan moet je weer deGAME spelen!- De syntax die door de softwaretool Tarskis world gebruikt wordt veschilt optweepuntenmet deonze: dehaakjes ronddekwantoren(v) en(v) moetenaltijdweggetatenworden. Bovendienzijneralleenmaardevolgendevariabelen:u, v, w, x, y, z.- We vermelden ook nog enkele opmerkingen in verband met de software:Er is geen undo functie: dus oppassen geblazen dat je je werk niet verliest.Kopieren, knippen en plakken werken zoals je dat gewoon bent via het menu EDIT,maar werken niet met de rechtermuisknop en ook niet met de toetsen Ctrl-c, Ctrl-x,Ctrl-v.Je kan commentaar schrijven door eerst een ; te typen.Voor de waarheid van een zin te verien of voor er de GAME mee te spelen, moetje de cursor ergens binnen in de zin of langs rechts van de zin plaatsen. De cursorniet uiterst links plaatsen (dit selecteert de zin samen met het volgnummer).Je moet de tweedimensionale view bekijken om zeker te zijn dat je geen objectenvergeet. Afwisselen tussen 2-dim en 3-dim gaat via het menu DISPLAY.Je kan van alle zinnen tegelijkertijd de waarheidswaarde bepalen door in de menuEDIT te klikken op verify all.Weradentensterksteaandeopgegevenoefeningen-bestandennooittewijzigen.Sla alle wijzigingen op onder nieuwe bestandsnamen, en neem eerst een Backup vanalles!!! Dit is echt oppassen geblazen.DevolgendeEngelstaligeterminologievertaaltzichalsvolgtinhetNederlands:well-formedformula, ookwgenoemdheetbijonsformule, sentenceheetbij onszin, individual constantheetbij onsconstantesymbool, enrst-order language noemen wij predicatenlogicataal.Oefening4. (Tarski 73)Vertaal devolgendeuitsprakenovereenTarski-wereldnaar de Tarski-wereld-pred-taal.1) Elke tetraeder staat aan de voorkant van elke dodecaeder.2) Geen dodecaeder heeft iets aan zijn achterkant staan.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 293) Geen tetraeder is even groot als minstens een kubus.4) Elke dodecaeder heeft dezelfde afmeting als minstens een kubus.5) Eender wat tussen twee tetraedra is een kleine kubus.6) Elke kubus staat tussen objecten.7) Elke kubus die iets aan zijn achterkant heeft staan, is klein.8) Elke dodecaeder met niets aan zijn rechterkant is klein.9)Elkedodecaedermetnietsaanzijnrechterkant, heeftietsaanzijnlinkerkantstaan.10) Elke dodecaeder aan de linkerkant van minstens een kubus, is groot.Al deze zinnen zijn waar in de Tarski-wereld Bolzano.wld . In de wereld Ron.wldzijn alleen de zinnen 4,5,8,9,10 waar. In de wereld Claire.wld zijn alleen de zinnen1,3,5,7,9,10 waar. En in de wereld Peano.wld zijn alleen de zinnen 8 en 9 waar. Dievier laatste werelden staan afgebeeld op de volgende bladzijde.Oefening5. Is de volgende zin van de Tarski-wereld-pred-taal al dan niet logischwaar?(x)(y)(Smaller(x, y) x = y)Antwoord: Niet logisch waar. Leg uit waarom!30

De Tarski-wereldBolzano.wld De Tarski-wereldRon.wld

De Tarski-wereldClaire.wld

De Tarski-wereldPeano.wld DEELI. WISKUNDIGELOGICA 314. EnkelebelangrijkelogischwareformulesZij L een predikatenlogicataal.Eigenschap1 (negatievaneenkwantor)ZijA een formule van L, enx een variabele, dan(1)(x)A (x)A(2)(x)A (x)A(3)(x)A (x)A(4)(x)A (x)A.Bewijs : evident.Eigenschap2 (doorschuivenvankwantorenI)ZijA enBformules van L, enx een variabele, dan(1)(x)(A B) ((x)A (x)B) ( schuift door )(2)(x)(A B) ((x)A (x)B) ( schuift door )(3)(x)(A B) ((x)A (x)B)(4)((x)A (x)B) (x)(A B)(5)(x)(A B) ((x)A (x)B)( schuift door , mits omklappen kwantor in antecedens)(6)(x)(A B) ((x)A (x)B)(7)(x)(A B) ((x)A (x)B)Nochtans bestaan er formulesA enBvan L zodat(8)((x)A (x)B) (x)(A B)(9)(x)(A B) ((x)A (x)B)(metbedoelen we niet )Bewijsvan(1). Zij Teenwillekeurigestructuur,metzelfdesignatuurals Lenseen bedeling voor T.a) Veronderstel T, s(x)(A B), dan bestaat er eenr Dzodat T, s(x [r)A B. Dus er zijn twee gevallen) T, s(x [ r)A, of) T, s(x [ r)B.Veronderstel eerst). Dan hebben weT, s(x)A,en a fortioriT, s((x)A (x)B) .Het geval) leidt tot dezelfde conclusie.b) Veronderstel T, s((x)A (x)B) . Dus zijn er twee gevallen :) T, s(x)A, of) T, s(x)B.Veronderstel eerst). Dan bestaat er eenr D zodatT, s(x [ r)A.A fortiori hebben we danT, s(x [ r)A B.DusT, s(x)(A B) .Het geval) leidt tot dezelfde conclusie.32 DEELI. WISKUNDIGELOGICABewijs van (2), (3), (4), (6) en (7) : analoog met (1).Bewijs van (5) . Men kan (5) bewijzen op dezelfde manier als (1), maar we kunnenook als volgt tewerk gaan : (x)(A B) (x)(A B) (Hoofdstuk 1) ((x)A (x)B) (uit (1)) ((x)A (x)B) (Eigenschap 1) ((x)A (x)B) (Hoofdstuk 1)Bewijs van (8). Zij A de formule x = y en B de formule x = y . Het rechterlid van(8)isdanvalsinelkestructuuronderelkebedeling. Hetlinkerlidvan(8)isdanwaaronderelkebedelinginelkestructuurwaarvanhetuniversumminstenstweeelementen bevat.Bewijs van (9). ZijA de formulex = y enBde formule x = y . Eigenschap3 (doorschuivenvankwantorenII)Zijx een variabele. ZijA(x) een formule van L waarinx vrij mag voorkomen. ZijSeen formule van L waarinx niet vrij mag voorkomen. Dan hebben we(1)(x)(A(x) S) ((x)A(x) S)(2)(x)(A(x) S) ((x)A(x) S)(3)(x)(A(x) S) ((x)A(x) S)(kwantor klapt om in antecedens)(4)(x)(S A(x)) (S (x)A(x))(5)(x)S S en(x)S SNochtans bestaan er formulesA(x) enS , metx niet vrij voorkomend inS , zodat(6)(x)(A(x) S) [(x)A(x) S]Bewijs van (1). Zij T een structuur, met zelfde signatuur als L, ens een bedelingvoor T. Wehebben T, s(x)(A(x) S) asa er bestaat eenrDzodat[ T, s(x [ r)A(x) enT, s(x [ r)S].Maaruit 3Eigenschap1volgt T, s(x [ r) Sasa T, s S.WebekomendusT, s(x)(A(x)S) asaer bestaat een r D zodat [T, s(x [ r)A(x) en T, s S] asa [ er bestaat eenr D zodat T, s(x [ r)A(x)] en T, sS asaT, s(x)A(x) en T, sS asa T, s(x)A(x) S .Bewijs van (2) : Analoog met (1).Bewijs van (3). We hebben (x)(A(x) S) (x)(A(x) S) (Hoofdstuk 1) ((x)A(x) S) (uit (2)) ((x)A(x) S) (Eigenschap 1) ((x)A(x) S) (Hoofdstuk 1)Bewijs van (4) : analoog met (3).Bewijs van (5) : evident (zie 3 Eigenschap 1).Bewijsvan(6) : Kiesvoor Seenformuledievalsisonderelkebedelinginelkestructuur, bv. (v1)(v1 ,= v1). Dan hebben we voor elke formuleBdat (B S) B (waarom?)DEELI. WISKUNDIGELOGICA 33Dus hebben we (A(x) S) A(x) , (x)(A(x) S) (x)A(x) .Maar anderzijds [(x)A(x) S] (x)A(x) .Dus indien (6) wel logisch waar zou zijn, dan zou (x)A(x) (x)A(x) .HetisechterduidelijkdatereenformuleA(x)bestaat, zodatdebovenstaandeformule niet logisch waar is. (Neem bijvoorbeeld voorA(x) de formulex = y, mety een andere variabele danx). Eigenschap4 (verwisselenvankwantoren)ZijA een formule van L, en zijx, yvariabelen, dan(1)(x)(y)A (y)(x)A(2)(x)(y)A (y)(x)A(3)(x)(y)A (y)(x)ANochtans bestaan er formulesA, zodat(4)(y)(x)A (x)(y)A.Bewijs van (1) en (2) : evident.Bewijs van (3) : ook evident. Intutief : dex van het linkerlid kan dienen voor hetrechterlid.Bewijsvan(4). Hetpunthierisdatdexinhetantecedensafhankelijkkanzijnvan y. Het consequens beweert echter dat er een x bestaat, onafhankelijk van y diewerktvooralleytegelijkertijd. NeemvoorA bijvoorbeeldde formulex =y. ZijTeen structuur waarvan het universum minstens 2 elementen bevat,en zijs eenbedeling voor T. Dan hebben weT, s(y)(x)x = y ,T, s(x)(y)x = y .34 DEELI. WISKUNDIGELOGICAEigenschap5 (Eengebondenvariabelevannaamveranderen)Zij x, tvariabelen, enzij A(x)eenformulewaarino.a. devariabelexvrij magvoorkomen. ZijA(t) de formule die men bekomt door inA(x), op elke plaats waarx vrij voorkomt, x te vervangen doort. (Terminologie: A(x) is bekomen vanafA(x)doorsubstitutievantvoorx). Veronderstel daterinA(x)geenbuitenstehaakjesweggelatenzijn(danisA(x)hetbereikvandevooropstaandekwantorin(x)A(x) ). Veronderstel ook dat de variabeletniet voorkomt in de formuleA(x).Dan hebben we (x)A(x) (t)A(t) (1) (x)A(x) (t)A(t). (2)Bewijs van (1): Evident, beide formules hebben dezelfde betekenis.Opmerking: Als je voorA(x) de formule x =t neemt,of als je voorA(x) deformule(t)x=tneemt, danis(1)vals. DaaromsteltmeninEigenschap5devoorwaarde datt niet voorkomt inA(x).Denitie. Een formule van L is in prenex normaalvormals ze bestaat uit een rijkwantoren, gevolgd door een formule zonder kwantoren waar geen buitenste haakjesweggelaten zijn.Voorbeeld :(v2)(v0)(v3) ((P1(v2) P2(v5, v0)) P1(v6)) in prenex normaalvorm(v2) ((v0)P1(v0) (v6)P2(v3, v6)) niet in prenex normaalvorm(v2)P1(v2) P2(v2) niet in prenex normaalvormEigenschap6 (Prenexnormaalvorm)Elke formule van L is logisch equivalent met een formule in prenex normaalvorm.Bewijs. Eerstdrukkenwedepijlenendubbelepijlenuitin en . DaarnakunnenwedenegatieachterdekwantorenschuivendoorgebruiktemakenvanEigenschap 1. Verder hebben we ((x)A(x) B(x)) ((y)A(y) B(x)) Eigenschap 5 (y) (A(y) B(x)) Eigenschap 3 ,als yeennieuwevariabeleisdienietvoorkomtinA(x)enB(x), enalsergeenbuitenstehaakjesweggelatenzijninA(x). Wehebbenanalogeformulesvoor .Doorherhaaldemalendezeformulestoetepassen, kunnenweal dekwantorennaar voren schuiven. Oefening. Breng (v0)P1(v0) (v1)P2(v0, v1) in prenex normaalvorm.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 35Oplossing :(v0)P1(v0) (v1)P2(v0, v1) (v0)P1(v0) (v1)P1(v0, v1) (v0)P1(v0) (v1)P2(v0, v1) (v2)P1(v2) (v1)P2(v0, v1) (v2) [P1(v2) (v1)P2(v0, v1)] (v2)(v1) [(P1(v2)) P2(v0, v1)] .Oefening. Breng (v0)P1(v0) (v0)P3(v0) in prenex normaalvorm.Oplossing :(v0)P1(v0) (v0)P3(v0) (v0) [P1(v0) (v0)P3(v0)] (v0) [P1(v0) (v1)P3(v1)] (v0)(v1) [P1(v0) P3(v1)] .Opmerking. In de procedure voor het bekomen van de prenex normaalvorm mogenvrije variabelen nooit van naam veranderd worden.36 DEELI. WISKUNDIGELOGICA5. Hetmakenvanoefeningenoveraldannietlogischwaar- We hebben nu reeds veel voorbeelden gezien van logisch ware formules. De notatieinverbandmetdebedelingenmaaktensommigebewijzenwatlastig. Eenredenhiervoor is dat we resultaten wilden bekomen waarin variabelen voor formules (bv.A, B,) voorkomen. Indien we te maken hebben met concrete formules (dus zon-der variabelen om formules aan te duiden) kan men werken met een vereenvoudigdenotatiedieveelexibeleris. Wevoerennudezenotatieinaandehandvaneenvoorbeeld :-Nieuwenotatie. Wewerkenmeteenvoorbeeld : Zij Ldepred. taalmetsig-natuur< 1, 2 >. De relatiesymbolen zijn dusP1() enP2(, ). ZijA de formuleP1(v2) [P2(v1, v2) (v1) (P1(v1) P2(v1, v2))]Alleenv1env2komenvrijvoor. Zij Teenstructuurmetsignatuurens een bedeling voor Tmets(v1) =a, s(v2) =b. We zullen gebruik maken van denieuwe notatieTP1(b) [P2(a, b) (v1) (P1(v1) P2(v1, b))]om aan te duiden dat T, sA. Dus we vervangen in A overal waar v1 vrijvoorkomtv1dooraenoveral waarv2vrij voorkomtv2doorb. Dezenotatieissomsveelhandiger. In de oefeningen zullen we bijna altijddeze nieuwe notatie gebruiken.- Deze notatie kan ook toegepast worden indien we werken met variabelen om for-mules aan te duiden, indien we tenminste voorzichtiggenoeg zijn. Zij bijvoorbeeldA(x, y) enB(x, y) formules waarin er geen andere vrije variabelen voorkomen danx, y. Zij Teenstructuurenseenbedelingvoor Tmets(x) =a, s(y) =b.Dangebruikt men de notatieT(A(a, b) (x)B(x, b))om aan te duiden datT, s(A(x, y) (x)B(x, y)) .-Webeginnennumetdeoefeningenoveral dannietlogischwaar. Indiendegegevenformulelogischwaaris, dientditbewezenteworden. Elkecorrectere-denering is aanvaardbaar. We zullen steeds gebruik maken van de nieuwenotatievoordebedelingen. Indiendeformulenietlogischwaaris, dientditbewezenteworden aan de hand van een expliciet tegenvoorbeeld. Men moet dus een concretestructuur en een bedeling produceren waarin de gegeven formule vals is.Oefening1. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v1)P1(v1) (v1)(v2)[(P1(v1) P2(v2)) (P3(v1) P4(v2))] (v2)(P2(v2) P4(v2))Antwoord. Logisch waar.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 37Bewijs. Er zijn geen vrije variabelen. Zij T een structuur.Geg. T(v1)P1(v1), (1)T(v1)(v2) [(P1(v1) P2(v2)) (P3(v1) P4(v2))] . (2)T.B. T(v2) (P2(v2) P4(v2)) .Bew. Zijr D willekeurig .V.T.B. TP2(r) P4(r).Uit (1) volgt dat era D bestaat zodat TP1(a).Uit (2) voorv1 = a volgtT(v2) [(P1(a) P2(v2)) (P3(a) P4(v2))] .Hieruit volgt voorv2 = r datT(P1(a) P2(r)) (P3(a) P4(r)) .Daar TP1(a) bekomen weTP2(r) (P3(a) P4(r)),dus a fortioriTP2(r) P4(r). Oefening2. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v0)(v1) (P1(v0, v1) P2(v0, v1)) [(v0)(v1)P1(v0, v1) (v0)(v1)P2(v0, v1)]Antwoord. Logisch waar.Bewijs. Er zijn geen vrije variabelen. Zij T een structuur.Geg. T(v0)(v1) (P1(v0, v1) P2(v0, v1)) , (1)T(v0)(v1)P1(v0, v1). (2)T.B. T(v0)(v1)P2(v0, v1).Bew. Uit (2) volgt dat er eena D bestaat zodatT(v1)P1(a, v1). (3)Uit (1) volgt voorv0 = a datT(v1) (P1(a, v1) P2(a, v1)) .Er bestaat dusb(a) D, afhankelijk vana, zodatTP1 (a, b(a)) P2 (a, b(a)) . (4)Uit (3) volgt afortiori dat TP1 (a, b(a)), dus samenmet (4) geeft dit TP2 (a, b(a)) . Dus T(v0)(v1)P2(v0, v1). Opmerking. Indebovenstaandeoefeninghebbenwedenotatieb(a)gebruiktom aan te duiden datb(a) mogelijkerwijze afhangt van de keuze vana.Bijhetinvoerenvaneennieuweletter(bv. renainoefening1enaenb(a)inoefening 2) is het van essentieel belang om te benadrukken of de letter willekeurigewaarden mag aannemen of dat er een waarde bestaat.Oefening3. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v1)(v2) (P1(v1, v2) P1(v2, v1)) (v1)P1(v1, v1)Antwoord. Logisch waar.38 DEELI. WISKUNDIGELOGICABewijs. Er zijn geen vrije variabelen. Zij T een structuur.Geg. T(v1)(v2) (P1(v1, v2) P1(v2, v1)) (1)T.B. T(v1)P1(v1, v1)Bew. Kiesa D willekeurig.T.B. TP1(a, a).Bew. Uit (1) voor v1=aenv2=avolgt TP1(a, a)P1(a, a). DusTP1(a, a), want anders zou TP1(a, a) wat TP1(a, a) impliceert. Oefening4. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v0) (P1(v0, v0) P2(v0, v1)) [(v0)P1(v0, v0) (v0)P2(v0, v1)]Antwoord. Niet logisch waar.Tegenvoorbeeld.Structuur T: universum N,interpretatieP2is N2,interpretatieP1is (1, 1) N2,Bedelings mets(v1) = 1. (v1is de enige vrije variabele.)In T, s hebben we(v0)(P1(v0, v0) P2(v0, v1)

vals)

waar,neemv0=2 [(v0)P1(v0, v0)

waar (v0)P2(v0, v1)

vals]

vals

Hoe gevonden ? NeemP2altijd vals. KiesP1zodat (v0)P1(v0, v0) is waar en(v0) (P1(v0, v0) vals) is waar. Dan is de gegeven formule vals.Oefening5. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v0) (P1(v0, v0) P2(v0, v1)) [(v0)P1(v0, v0) (v0)P2(v0, v1)]Antwoord. Niet logisch waarTegenvoorbeeld.Structuur T: universum N,interpretatieP2is N2,interpretatieP1is (1, 1) N2.Bedelings mets(v1) = 1. (v1is de enige vrije variabele.)In T, s hebben we(v0)(P1(v0, v0) P2(v0, v1)

vals)

vals(voorv0=1) [(v0)P1(v0, v0)

vals (v0)P2(v0, v1)

vals]

waar

Hoe gevonden ? De implicatie van links naar rechts is waar. Om een tegenvoorbeeldte vinden moeten we dus het rechterlid waar maken en het linkerlid vals. Kies danP1enP2zodatP2altijdvalsis, (v0)P1(v0, v0)valsen(v0)(P1(v0, v0) vals)vals.DEELI. WISKUNDIGELOGICA 39Oefening6. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v0) (P1(v0, v0) P2(v0, v1)) [(v0)P1(v0, v0) (v0)P2(v0, v1)]Antwoord. Logisch waar.Bewijs. (v1is de enige vrije variabele.)Het is duidelijk dat (v0) (P1(v0, v0) P2(v0, v1)) (v0) (P1(v0, v0) P2(v0, v1)) .Anderzijds levert Eigenschap 2 van 4 dat (v0) (P1(v0, v0) P2(v0, v1)) ((v0)P1(v0, v0) (v0)P2(v0, v1)) .Dus de gegeven formule is logisch waar. Oefening7. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v1)(v2) [P3(v3) (P1(v1) P2(v2))] [P3(v3) ((v1)P1(v1) (v2)P2(v2))]Antwoord. Logisch waar.Bewijs. (v3 is de enige vrije variabele.)Door gebruik te maken van de Eigenschap3 in 4 bekomen we(v1)(v2) [P3(v3) (P1(v1) P2(v2))] (P3(v3) (v1)(v2) (P1(v1) P2(v2))) (P3(v3) (v1) (P1(v1) (v2)P2(v2))) (P3(v3) ((v1)P1(v1) (v2)P2(v2))) . Oefening8. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v0)(v1) (P1(v0, v1) P2(v0, v1)) [(v0)(v1)P1(v0, v1) (v0)(v1)P2(v0, v1)]Antwoord. Niet logisch waar.Tegenvoorbeeld.Structuur T: universum N,interpretatieP2is N2,interpretatieP1is = dus (a, b)[a = b N2.Bedeling niet relevant, er zijn geen vrije variabelen.Voor T hebben we dan(v0) (v1)(P1(v0, v1) P2(v0, v1)

vals)

waar,kiesv1=v0

waar [(v0)(v1)P1(v0, v1)

waar (v0)(v1)P2(v0, v1)

vals]

valsHoe gevonden ? Indien je dezelfde redenering als in oefening 2 probeert, zie je datdit niet werkt omdat de eerste (v1) misschien voldaan is voor een andere waardedan de tweede (v1). Daarom ga je dus op zoek naar een tegenvoorbeeld. Daarvoormoet (v0)(v1)P2(v0, v1) vals zijn, (v0)(v1)P1(v0, v1) waar, en(v0)(v1) (P1(v0, v1) P2(v0, v1)) waar.40 DEELI. WISKUNDIGELOGICAOefening9. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v1)(v2)(v3)[v1 = v2v2 = v3v1 = v3] (v1)(v2)(v3)[v3 = v1v3 = v2]Antwoord. Logisch waar.Bewijs. (Er zijn geen vrije variabelen.) Het antecendens is waar in een structuurTasa er bestaan geen 3 elementen in het universumDvan Tdie onderling ver-schillend zijn asa het aantal elementen van D hoogstens twee is. Als D = d1, d2dan is het consequens waar, inderdaad neemv1=d1, v2=d2. Ook alsD = d1blijft het consequens waar, neemv1 = v2 = d1.Oefening10. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v0) [P1(v0, v1) (v0)P1(v0, v0)] [(v0)P1(v0, v1) (v0)P1(v0, v0)]Antwoord. Niet logisch waar.Tegenvoorbeeld.Structuur T: universum N,interpretatieP1is ,= dus (a, b) N2[a ,= b.Bedelings mets(v1) = 1. (v1is de enige vrije variabele.)Dan hebben we voor T, s :(v0)[P1(v0, 1) (v0)P1(v0, v0)

vals]

waar,neemv0=1 [(v0)P1(v0, 1)

waar (v0)P1(v0, v0)

vals]

valsHoe gevonden ? Uit wat we weten over het doorschuiven van kwantoren verwachtenwe dat de formule niet logisch waar is. Maar omdat de formule een speciale vormheeft, kunnen we daar a priori niet zeker van zijn. Om een tegenvoorbeeld T, s tevinden, moet (v0)P1(v0, v0) vals zijn, (v0)P1(v0, v1) waar, en (v0)[P1(v0, v1) vals] waar . Dus (v0)P1(v0, v1) moet waar zijn in T, s.Oefening11. Is de volgende formule al dan niet logisch waar ?(v1)(v2) (P1(v1) P2(v2)) (v2)(v1) (P1(v1) P2(v2))Antwoord. Niet logisch waar.Tegenvoorbeeld.Structuur T: universum N,interpretatieP1is n N[n even,interpretatieP2is n N[n even.Bedeling niet relevant, er zijn geen vrije variabelen.Dan hebben we voor T(v1)(v2)(v1even v2even)

waar, neemv2evenalsv1even,v2oneven alsv1oneven (v2)(v1)(v1even v2even)

vals, inderdaad als er zo eenv2zoubestaandanzouelke v1dezelfde pariteit hebben alsv2DEELI. WISKUNDIGELOGICA 41Hoe gevonden ? Uit wat we weten over het verwisselen van de volgorde van kwan-toren verwachtenwe dat de formule niet logisch waar is. Maar omdat de formuleeen speciale vorm heeft, kunnen we daar a priori niet zeker van zijn. Om een tegen-voorbeeld te vinden, merken we op dat de implicatie van rechts naar links logischwaar is. Dus in een tegenvoorbeeld moet het linkerlid waar zijn en het rechterlidvals. Het rechterlid impliceert datP1(v1) dezelfde waarheidswaarde heeft voor allev1. Dus kiezen we voorP1een relatie die soms waar is en soms vals. Als we voorP2een relatie kiezen die soms waar is en soms vals, dan is het linkerlid waar.Strategie. Voor het oplossen van de oefeningen over al dan niet logisch waar,gebruiken we de volgende strategie : Eerst 5 minuten proberen te bewijzen dat deformule logisch waar is, daarna 5 minuten werken op niet logisch waar. Nadien10 minuten voor logisch waar, 10 minuten voor niet logisch waar, 15 minutenvoor logisch waar, enz.Omtebewijzendateenformulelogischwaaris, kunjedevolgende3methodesgebruiken :- Methode van het gezond verstand, bv. oefening 1,2 en 3 .- Rekenen met logische equivalenties, bv. oefening 6 en 7.- Nagaan wat de formule eigenlijk betekent, bv. oefening 9.Deze 3 methodes kunnen ook gecombineerd worden. In paragraaf 7 zullen we nogeenanderemethodezienomtebewijzendat eenformulelogischwaar is. Diemethode kan soms ook gebruikt worden om een tegenvoorbeeld te vinden indien deformule niet logisch waar is. Het werk dat je doet om logisch waar te proberen,kan je soms op het spoor brengen waarom een formule niet logisch waar is.6. LogischegevolgenZij L een pred-taal .Denitie 1. Zij een verzameling van zinnen van L en zijB een zin van L. Wezeggen dat B een logisch gevolg is van , als B waar is in elke structuur (met zelfdesignatuur als L) waarin al de zinnen van waar zijn. DusBis een logisch gevolgvan , als en slechts alsBwaar is in elk model van .Opgepastwedenierenhetbegriplogischwaaralleenmaarwanneeraldefor-mules zinnen zijn.Indien = {A1, , A

} eindig is, dan zeggen we ook datBeen logisch gevolg isvanA1, , A

, in plaats van datBeen logisch gevolg is van .Merk op datBeen logisch gevolg is vanA1, , A

, als en slechts als de zin(A1 A2 A

) Blogisch waar is.Oefening1. Is de zin onder de streep al dan niet een logisch gevolg van de tweezinnen erboven?(v0) [P1(v0) (P2(v0) P3(v0))](v1) [P2(v1) (P3(v1) P2(v1))](v1)P1(v1)Antwoord. Ja.Bewijs. Zij D een willekeurige structuurGeg. D(v0)[P1(v0) (P2(v0) P3(v0))], (1)D(v1)[P2(v1) (P3(v1) P2(v1))]. (2)T.B. D(v1)P1(v1).Zija D willekeurig.T.B. DP1(a).Veronderstel DP1(a). (3)T.B. een contradictie.Uit (3) en (1) volgt DP2(a) P3(a). (4)We maken de volgende geval-onderscheiding :Geval 1 : DP2(a). (5)Uit (2) en (5) volgt danP3(a) P2(a).Maar dit is in contradictie met (5).Geval 2 : DP3(a) en DP2(a). (6)Uit (2) volgt danP2(a).Maar dit is in contradictie met (6). Oefening 2. Is de zin onder de streep al dan niet een logisch gevolg van de zinnenerboven?(v0)(P1(v0) P2(v0)) (1)(v0)(P3(v0) P2(v0)) (2)(v0)(P1(v0) P3(v0)) (3)Antwoord. Nee.42gevolg43Tegenvoorbeeld.Structuur D: universum N,interpretatieP1is N,interpretatieP2is N,interpretatieP3is .Dan zijn (1) en (2) waar in D ,maar (3) is vals in D.Oefening 3. Is de zin onder de streep al dan niet een logisch gevolg van de zinnenerboven?(v0)P1(v0)(v0)P1(v0)(v1)(P1(v1) (v0)P2(v0))(v1)(P3(v1) P2(v1))(v0)(P1(v0) P3(v0))Antwoord. Ja.Bewijs. Zij D een willekeurige structuur.Geg.D(v0)P1(v0), (1)D(v0)P1(v0), (2)D(v1)(P1(v1) (v0)P2(v0)), (3)D(v1)(P3(v1) P2(v1)). (4)T.B.D(v0)(P1(v0) P3(v0)). (5)Bew. Uit(1)volgtdatereena Dbestaatzodat D P1(a).Samenmet(3),voorv1 = a, geeft ditD(v0)P2(v0). (6)Uit (2) volgt dat er eenb D bestaat zodatDP1(b). (7)Formule (4) voorv1 = b geeftDP3(b) P2(b).Maar samen met (6) impliceert ditDP3(b). (8)Uit (7) en (8) volgt dus (5). Oefening 4. Is de zin onder de streep al dan niet een logisch gevolg van de zinnenerboven?(v2)((v1)v2 = G1(v1) (v1)(v2 = G1(v1) G1(v2) = v1)) (1)(v1)(G1(v1) = G1(c1) v1 = c1) (2)G1(G1(c1)) = c1(3)Opgepastc1is een constantesymbool.44Antwoord. Ja.Bewijs. Zij D een willekeurige structuur.Geg.D(1) (1

)D(2) (2

)T.B.D(3).Bew. Uit (1) voorv2 = G1(c1) volgt dat er eena D bestaat zodatDG1(c1) = G1(a), (4)DG1(G1(c1)) = a. (5)Uit (2) voorv1 = a en (4) volgta = c1. Samen met (5) impliceert dit (3). Denitie2. Zij Aeenzinvandepropositielogicataal dieeentautologieis. ZijB0, B1, B2, zinnen van de predikatenlogicataal L. ZijCde zin van L die menbekomtdoorinAdepropositiesymbolenp0, p1, p2, tevervangendoorrespec-tievelijkB0, B1, B2, . Het is evident dat de zinClogisch waar is. De zinnenCdie men op die manier kan bekomen noemt men de tautologien van L.ZijA1, A2, , AnenB zinnen van L. We zeggen datB een tautologisch gevolg isvanA1, A2, , Anals(A1 A2 An) Beentautologie van Lis. Het is danevident dat Beenlogischgevolgis vanA1, A2, , An. Om aan te tonen dat een zin een tautologisch gevolg is van een aan-tal gegeven zinnen, kan men altijd gebruik maken van een waarheidstabel. Dus eencomputer kan dit in principe gemakkelijk nagaan (dit in tegenstelling met logischegevolgen in het algemeen).Voorbeeld. De zin (x)(y)(P0(x, y)P1(x)) is een tautologisch gevolg van de zinnen(x)P0(x, x) en ((x)(y)(P0(x, y) P1(x)) (x)P0(x, x)). Inderdaad dit volgtuit de tautologie (p0(p1p0)) p1 in de prop-taal, door p0 te vervangen door(x)P0(x, x) enp1door (x)(y)(P0(x, y) P1(x)).Opmerking1. ZijA een zin van L, en zijBeen deelformule vanA. ZijB

eenformule van L die dezelfde vrije variabelen heeft alsB. Als we in A de deelformuleBvervangen doorB

, dan bekomen we terug een zin, noem dieA

.IndienB

logisch equivalent is metB, dan isA

logisch equivalent metA, en dusafortiorieenlogischgevolgvanA. MaaralswealleenmaarwetendatB

Blogisch waar is, dan kunnen we daar in het algemeen niet uit concluderen dat A

eenlogisch gevolg is vanA. Geef een voorbeeld om dit te illustreren! Op het examenworden dikwijls fouten van die aard gemaakt!457. DePeanoAxiomasZij L+ de pred-taal met signatuur . Dus L+ heeft twee functiesymbolenG1(, ) enG2(, ) met twee argumenten en twee constantesymbolenc1, c2. Met Nbedoelen we de structuur< N; ; +, ; 0, 1> met zelfde signatuur. We beschouwende theorie PA (Peano Axiomas) in L+ waarvan de zinnen hieronder opgeschrevenzijn. (Voor de overzichtelijkheid schrijven wex + yin plaats vanG1(x, y),x yinplaats vanG2(x, y) en 0, 1 in plaast vanc1, c2.)1. (v1)(v2)v1 + v2 = v2 + v1(v1)(v2)(v3) (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)(v1) 0 + v1 = v12. (v1)(v2)v1 v2 = v2 v1(v1)(v2)(v3) (v1 v2) v3 = v1 (v2 v3)(v1) 1 v1 = v13. (v1)(v2)(v3)v1 (v2 + v3) = (v1 v2) + (v1 v3)4. (v1)(v2)(v3)(v1 + v2 = v1 + v3 v2 = v3)(v1)v1 + 1 = 05. Voor elke formule A(x) van L+ waarin alleen maar de variabelen t1, , tkenx vrij voorkomen, hebben we een axioma van de vorm(t1) (tk) [(A(0) (x) (A(x) A(x + 1))) (x)A(x)] .- Er zijn oneindig veel axiomas (5), zij formuleren het principe van de inductie .- Klaarblijkelijk is N een model voor PA. We beschouwen PA als een axioma systeemom N te beschrijven.- Alle klassieke stellingen aangaande de natuurlijke getallen (die in L+kunnengeformuleerd worden) zijn bewijsbaar uit PA (dus zijn een logisch gevolg van PA).Daarom dacht men v o or 1931 dat elke zin van L+ die waar is in N, bewijsbaar zouzijnuitPA.KurtG odel(1931)beweesechterdatditnietwaaris (zieHoofdstukIII).