Logaritmy - nasprtej.cz · Tento vzoreček upraví dva logaritmy, které jsou navzájem v...

Autor: Marek Liška www.nasprtej.cz Téma: Logaritmy

Ročník: 2.

1

Škola: Gymnázium J. K. Tyla © Úpravy může provádět pouze tým serveru www.nasprtej.cz.

Logaritmy

(čteme: logaritmus z x o základu a)

a – základ logaritmu →

x – argument logaritmu →

Základní operace

Terminologie

Dekadický logaritmus:

Přirozený logaritmus:

Vzorce

Základ logaritmu (a) musí být vždy kladné

číslo různé od jedné a argument logaritmu (x)

musí být kladný. Pokud logaritmus tyto

podmínky nesplňuje, pak není definován.

Tyto vzorce jsou velmi důležité pro počítání s logaritmy, proto je

nutné si je zapamatovat a umět je používat. Na následujících

stránkách naleznete podrobně vysvětleny všechny tyto vzorce

včetně vzorových příkladů.

Jestliže argument logaritmu (x) je roven základu

logaritmu (a), pak výsledek je roven vždy jedné.

Přirozený logaritmus je takový logaritmus, kdy je základ roven

Eulerovu číslu 𝑒 . Pokud je základ logaritmu Eulerovo číslo, pak se

takový logaritmus píše ve tvaru: 𝑥.

Pokud je argument logaritmu (x) roven jedné, pak je vždy výsledkem číslo nula.

Základ logaritmu (a) může být libovolné číslo v intervalu, ve kterém je

definován – 𝑎 𝑅 .

Dekadický logaritmus je takový logaritmus, který má

základ roven číslu deset. Pokud je základ logaritmu deset,

pak není nutno ho psát.


Ročník: 2.

2


1.

| | √

√

2.

3.

První vzorec umožňuje převod logaritmu na exponenciální

rovnici a naopak. Tento vzoreček je nejdůležitější, jelikož

se používá snad v každém příkladu s logaritmy!

Princip je jednoduchý. Stačí pouze např. u prvního příkladu

vzít argument logaritmu, kde je v našem případě t, který

následně dáme do rovnosti se základem logaritmu, v našem

případě 8, přičemž bude mít v exponentu číslo za

rovnítkem v zadání, tedy v našem případě číslo 3.

Výsledkem tedy bude 𝑡 – viz příklad vlevo.

V tomto případě je postup velmi podobný. Opět nejdříve

vezmeme číslo 100, které se bude rovnat základu, tedy číslu

10, přičemž bude mít v exponentu číslo, které je za

rovnítkem v zadání, ale v našem případě tam žádné číslo

není, tudíž si tam dosadíme libovolnou neznámou, například

y. Poté bude výsledkem 𝑦 – viz příklad vlevo.

Zde je postup opět velmi podobný. Nejdříve vezmeme

číslo 9, které se bude rovnat základu, přičemž bude mít

v exponentu číslo, které je za rovnítkem v zadání, tedy

𝑎 . Následně odmocníme, přičemž musíme

neznámou dát do absolutní hodnoty, protože měla sudou

mocninu, takže výsledná hodnota může být jak kladná,

tak i záporná. V tomto případě je ale absolutní hodnota

zbytečná, jelikož je neznámá v základu, tak podle

podmínky nesmí být neznámá záporná a rovna jedné,

tudíž není možné, aby kořen vyšel záporný, pak tedy

bude výsledkem nějaké kladné číslo různé od jedné, tedy

číslo 3 – viz rovnice vlevo.

Zde je princip opravdu primitivní. Pokud bude základ

mocniny, v našem případě 5, stejný se základem

logaritmu, pak se celý příklad bude rovnat

argumentu logaritmu, tedy číslu 2 – viz příklady vlevo.

V tomto případě je potřeba použít znalosti z mocnin,

tedy to, že lze rozdělit exponenty, protože pokud je

mezi exponenty sčítání, pak se základy mocnin mezi

sebou násobí. Potom už lze použít vzoreček a příklad

tak vyřešit.

Pokud bude základ logaritmu a argument stejný, pak

výsledkem logaritmu bude exponent argumentu –

viz příklady vlevo.


Ročník: 2.

3


4.

5.

6.

7.

8.

9.

Následující vzoreček lze použít pouze tehdy,

pokud mají logaritmy stejné základy a jsou

navzájem v součtu. Poté pouze stačí vynásobit

argumenty logaritmů, čímž vznikne jeden

logaritmus o stejném základu z čísla, které vyjde

po vynásobení argumentů.

Tento vzorec funguje na podobném principu jako

předchozí, pouze s tím rozdílem, že se argumenty mezi

sebou dělí. Vzorec lze použít pouze tehdy, když jsou

dva logaritmy se stejným základem navzájem v rozdílu.

Tento vzoreček upraví dva logaritmy, které jsou navzájem v podílovém

tvaru, se stejným základem do podoby jednoho logaritmu, který bude mít

logaritmus stejný jako argument logaritmu ve jmenovateli zlomku,

argument výsledného logaritmu bude stejný jako argument logaritmu

v čitateli zlomku.

Tento vzoreček se používá především u

logaritmických rovnic – viz kapitola Logaritmická

rovnice, kterou naleznete na www.nasprtej.cz.

Tento vzoreček umožňuje to, že lze exponent

argumentu logaritmu přesunout před

logaritmus, kde bude mezi číslem a logaritmem

násobení – viz příklady vlevo.

Pomocí tohoto vzorečku lze snadno a především rychle dostat

požadované řešení. Stačí, aby základ prvního logaritmu byl

stejný jako argument logaritmu druhého a argument prvního

logaritmu totožný se základem druhého logaritmu, pak bude

výsledkem vždy číslo jedna.

http://www.nasprtej.cz/


Ročník: 2.

4


Příklady

√

| |

(

)

√

| |

V tomto případě požijeme vzoreček 𝑎 𝑥 𝑦 𝑎𝑦 𝑥.

Následně celou rovnici odmocníme, čímž dostaneme

požadovaný výsledek. Neznámá je v absolutní hodnotě,

protože měla neznámá sudou mocninu, tudíž výsledkem

může být jak kladné, tak i záporné číslo. Řešením ale

nakonec bude pouze kladné číslo, protože podmínka nám

záporné číslo nedovoluje (kladné číslo různé od jedné).

Opět aplikujeme vzoreček 𝑎 𝑥 𝑦 𝑎𝑦 𝑥,

následně použijeme znalosti z mocnin, tedy to, že

záporný exponent převedeme na kladný tak, že

převrátíme zlomek.

Zde použijeme vzoreček 𝑎 𝑥 𝑦 𝑎𝑦 𝑥,

následně převrátíme zlomky. Následně vidíme, že

pokud se rovnají čitatele, tak se musí rovnat i

jmenovatele, tudíž můžeme čitatele vypustit a dát do

rovnosti pouze jmenovatele. Dále rovnici umocníme

a neznámou a dáme do absolutní hodnoty, jelikož

může být neznámá kladná i záporná, pokud je na

sudou mocninu. Výsledkem ale bude kladné číslo,

jelikož je neznámá v základu mocniny, kde může být

číslo pouze kladné různé od jedné.

V těchto už trochu složitějších příkladech se využívá více vzorečků, leckdy najednou. Často se používá

vzoreček 𝑎 𝑟 𝑠 𝑎 𝑟 𝑎 𝑠 a 𝑎𝑟

𝑠 𝑎 𝑟 𝑎 𝑠. Cílem je dostat co nejjednodušší tvar,

nejlépe celé číslo, popř. v jednom logaritmu, záleží na zadání. V tomto případě si poslední logaritmus

rozdělíme pomocí vzorečku, čímž se nám odečte od jiného logaritmu, poté vytkneme a následně využijeme

základní znalosti o logaritmech ( 𝑎 𝑎 ) – viz příklad níže.


Ročník: 2.

5


(

)

[

(

)

]

[(

)

]

(

)

Příklady použity z:

PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha:

Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.

Nejdříve použijeme vzoreček 𝑎 𝑟𝑠 𝑠 𝑎 𝑟,

přičemž cílem je dostat takový tvar, abychom

dokázali použít znalost: 𝑎 𝑎 . Nakonec

vše sečteme, popř. odečteme, čímž dostaneme

řešení.

V tomto případě použijeme následující vzoreček

na všechny tři logaritmy – 𝑎 𝑎𝑟 𝑟. Poté

pouze sečteme a dostaneme požadovaný

výsledek.

Zde použijeme vzoreček 𝑎 𝑟 𝑠

𝑎 𝑟 𝑎 𝑠 a znalosti o logaritmech

( 𝑎 ). Následně pak stačí pouze

vytknout, použít opět vzoreček a

nakonec využít to, že 𝑎 𝑎 .

Logaritmy - nasprtej.cz · Tento vzoreček upraví dva logaritmy, které jsou navzájem v...

Documents

Transcript of Logaritmy - nasprtej.cz · Tento vzoreček upraví dva logaritmy, které jsou navzájem v...