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GESTIÓN PEDAGÓGICA
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Página 8 de 46 RECURSOS PEDAGÓGICOS / MÓDULO DE CLASE Fecha de Elaboración:
22 /02/2020
Este documento es propiedad intelectual de American School, se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización
del Gerente General.
LOGARITMOS
DEFINICIÓN
El logaritmo de un número real positivo (N) en una base positiva (b) (diferente de la unidad) se define como el exponente (x) al cual hay que elevar a la expresión llamada base para que no reproduzca el número dado.
Así:
PROPIEDADES GENERALES No existe el logaritmo de los números negativos en el campo de los números reales, pero si en los complejos. Ejemplo:
en R : pero si en C.
9log 3
La escala logarítmica más conocida es la escala de Richter, utilizada para medir la intensidad de los terremotos. Toma su nombre del sismólogo estadounidense Charles Richter (1900-1985).
Se mide la energía liberada en un terremoto, mediante la amplitud máxima de las ondas que registra el sismógrafo. Dado que llega a haber diferencias enormes entre unos y otros casos, se define la magnitud M del seísmo utilizando logaritmos:
log E = 11,8 + 1,5·M
Donde M es la magnitud del terremoto en la escala de Richter y E la energía liberada (expresada en ergios)
Fig 1.Terremotos.[ilustración]. Consultado el 12 de junio del
2020. Recuperado de
https://www.eitb.eus/es/noticias/internacional/detalle/685067
7/terremoto-albania-situacion-balance-muertos-28-noviembre-
2019/
log Nb
= x N = bx
número
base logaritmo
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1. Logaritmo de una unidad en cualquier base es
igual a cero.
2. Logaritmo de la base es igual a la unidad.
3. Logaritmo de un producto.
Ejemplo:
log35+log37+log32+log3(x+1)=log370(x+1) 4. Logaritmo de un cociente.
Ejemplo:
logb
CD
AB = logb A+logb B+logb C–logb D
5. Logaritmo de una potencia:
No confundir:
6. Logaritmo de una raíz
7. Cambio de base
Sea “a” la base desconocida o no conveniente. Sea “b” la base conocida o conveniente.
8. Regla de la cadena.
Consecuencia:
Ejemplo:
9.
Ejemplo:
Si se invierte la base de un logaritmo este
sistema cambia de signo. Así:
Ejemplo:
Propiedad de la permuta
SISTEMAS DE LOGARITMOS
a) Logaritmos decimales, vulgares o de Brigg’s.
b) Logaritmos naturales o neperianos.
e = número inconmensurable.
donde: 2 < e < 3; (e 2,7182)
01log b
1blog b
BlogAlog)B.A(log bbb
BlogAlog)B
A(log bbb
NlognNlog bn
b
NlogNlog nb
nb
Nlogn
1Nlog b
nb
alog
NlogNlog
b
ba
1blog.alog ab
blog
1alog
ab
aLogdlog.clog.blog.alog eedcb
eLogelog.dlog.clog.alog bdcab
nn
b
nnb
bNlog
Nlog
Nlog
24log16log
216log16log216log
24
216
224
4
NlogNlog b
b
1
7
4log4log7log4log7log 3333
3
1
ablogcblogca
NlogNlog10
LNInNNloge
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Ejemplo:
Las propiedades también se cumplen en este
sistema de logaritmos:
In 1 = 0
In e = 1
In (AB) = In A + In B
In = In A – In B
In = k In N
In = k
ECUACIONES LOGARÍTMICAS El conjunto solución se le llama Conjunto de Valores Admisibles (CVA), luego se aplica las propiedades de los logaritmos en la ecuación, con el objeto de obtener otra más sencilla, que nos lleve a su solución o soluciones, que deben ser elementos del CVA. Se mencionará cuatro casos elementales de ecuaciones logarítmicas.
CASO I
Siendo: L > 0 L 1, la ecuación: es
equivalente a resolver:
CASO II
Siendo: L > 0 L 1, resolver la ecuación:
. Se resuelve así:
f(x) > 0 G(x) > 0: CVA
f(x) = G(x)
CASO III
Siendo: L > 0 L 1, resolver la ecuación:
. Se resuelve por:
f(x) > 0 G(x) > 0: CVA
f(x) . G(x) = L
CASO IV
logG(x) f(x) = R
Se resuelve:
f(x) > 0 G(x) > 0 G(x) 1 : CVA f(x) = [G(x)]R
7L7In7loge
B
A
kN
Ne NIn ke
R)x(fLog L
RL)x(f
0)x(f
)x(Glog)x(flog LL
R)x(Glog)x(flog LL
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EJERCICIOS DESARROLLADOS
01. Resolver:
Resolución
y2 + 3y > 0 y2 + 3y = 22
y2 + 3y = 4 y2 + 3y – 4 = 0
y = 1 v y = – 4
02. Resolver:
Resolución
CVA
07y404y2 y2 – 4 = 4y – 7
y = 1 v y = 3 Ojo: y = 1 (No satisface las relaciones iniciales). y = 3 Conjunto solución. 03. Resolver:
)3(log3y2log5ylog
Resolución
(y – 5) ( 2y – 3) = 9
– 13y + 6 = 0
y = 6 v y = 1/2 Sólo cumple con y = 6 Conjunto solución.
04. Resolver:
Resolución
5y+19>0y+1>0y+10 =5y+19
y = 6 v y = – 3 Cumple sólo y = 6 Conjunto solución.
05. Resolver:
Resolución
CVA está dado por:
y > 0 y 1
Luego por propiedad:
)y8(log16logy
2log
yy
18log16log.2logyyy
12log2log.2log 3y
4yy
12log3)2(log4y
2y
012log32log4y
2y
y = 2 y = 1/16
PRÁCTICA DE AULA
INSTRUCCIÓN: Aplica estrategias para resolver ejercicios
de logaritmos. Luego sube tus desarrollos a la carpeta
classrron
1) Hallar “L” en:
L =
a) 5/8 b)1
5
6
c) 3
d) 7/5 e) N.A. 2) Simplificar la expresión:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 16
3) Indicar el equivalente de:
L = a) 12 b) 4 c) 42 d) 6 e) 1 4) Reducir la expresión:
R =
a) 220 b) 150 c) 100 d) 12 e) 42 5) Indicar el equivalente de:
a) 60 b) 30 c) 15 d) 7,5 e) 3,75
2)y3y(log 22
)7x4(log)4y(log 22
2
7y44y2
03y4y2
3)3y2)(5y(3y205y
2y2
2)19y5(log 1y
2)1y(
018y3y9y5)1y( 22
y8162ylog
35,0log37log
72log25log
9 25log
)162log5(3log66 )9log4(log
32log123log123
35log152log15.2
56log156log23.2
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6) Efectuar la expresión:
a) 30 b) 42 c) 12 d) 10 e) 15 7) Para qué valor de “L” se verifica la relación: 5,2LlogLlogLlogLlog
3
12739
a) 27 b) 9 c) 4 d) 16 e) 3 8) Luego de resolver el sistema:
2logL = 4logR ........... ()
3logL + 4logR = 20 ........... () Calcular: logR L + R
a) 98 b) 102 c) 89 d) 202 e) 96 9) Resolver el sistema:
logL + logR2 = 5 ........... ()
logR + logM2= 8 ........... ()
logM + logL2 = 5 ........... () Indicar luego el valor de: log(L.R.M.) a) 9 b) 6 c) 3 d) 4 e) 5
10) Si:
logL+logR+logM= log
L
2 +log
R
3 +log
M
4
Hallar: L . R . M
a) 6 2 b) 4 2 c) 2 2 d) 2 2 e) 4 2
11) Si:
= 0 . Hallar: .
a) log 6 b) log
2
3 c) log
3
2
d)3log
2log e)
2log
3log
12) El valor de:
es:
a) 10000 b) 5050 c) 10100 d) 4950 e) 20000
13) Si: . Hallar el producto de
las soluciones: a) 0,001 b) 0,1 c) 0,01 d) 10 e) 100
14) Una escala utilizada para medir la cantidad de
energía liberada por un terremoto es la escala de
Ritcher, representada por la ecuación:
log 𝐸 = 1,5. 𝑅 + 11,8;
donde:
E: energía liberada, en ergios R: magnitud del terremoto, medida en grados en la escala de Ritcher. En el terremoto de del 13 de junio del 2005 en Haura, provincia de Iquique, que tuvo una magnitud de 7,8; ¿Qué energía liberó?
33log57log23log32log
25.4.9
RlogLlog 23 RlogL
)32(Rlog)21(Rlog)10(Rlog
RRRL
)10099(RlogR........
06Llog)L(log Llog