5/26/2018 Logaritmo

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Logaritmo 1

Logaritmo

Logaritmo

Grfica de Logaritmo

Definicin

Tipo Funcin real

Descubridor(es) John Napier (1614)

Dominio

Codominio

Imagen

Propiedades Biyectiva

Cncava

Estrictamente creciente

Trascendente

Clculo infinitesimal

Derivada

Funcin inversa

Lmites

Funciones relacionadas Funcin exponencial

El rojo representa el logaritmo en base e.

El verde corresponde a la base 10.

El prpura al de la base 1,7.

En matemticas, el logaritmo de un nmeroen una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hay

que elevar la base para obtener dicho nmero. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es

igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103

= 101010.

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Logaritmo 2

De la misma manera que la operacin opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicacin la divisin, el clculo

de logaritmos es la operacin inversa a la exponenciacin de la base del logaritmo.

Para representar la operacin de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subndice la

base y despus el nmero resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3 5=243 luego log3243=5.

Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificacin delos clculos. Estos fueron prontamente adoptados por cientficos, ingenieros, banqueros y otros para realizar

operaciones fcil y rpidamente, usando reglas de clculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el

hecho ms importante por identidades logartmicas que el logaritmo de un producto es la suma de los

logaritmos de los factores:

La nocin actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conect estos con la funcin exponencial en el

siglo XVIII.

DefinicinDado un nmero real (argumentox), la funcin logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un nmero

fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la funcin inversa de b a la potencia n. Esta funcin se

escribe como: n = logbx, lo que permite obtener n.

(esto se lee como: logaritmo en base b dex es igual a n; si y slo si b elevado a la n da por resultado ax)

Para que la definicin sea vlida, no todas las bases y nmeros son posibles. La base b tiene que ser positiva y

distinta de 1, luego b> 0 y b 1,x tiene que ser un nmero positivox> 0 y n puede ser cualquier nmero real (n

R).

As, en la expresin 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Propiedades generales

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los

caracterizan. As, logaritmo de su base es siempre 1; logbb= 1 ya que b1= b. El logaritmo de 1 es cero

(independientemente de la base); logb1=0 ya que b0= 1.

Si el nmero real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a< 1 entonces logba da un valor negativo o se dice que es

un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno sern

negativos por ser la funcin logartmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-, +). Tambin se puede

demostrar usando la identidad logartmica logb(x/y)=logbx- logby; puesto que apertenece al intervalo 0 < a< 1, suinverso a-1 ser mayor que uno, con lo que log

b(a)=log

b(1/a-1) = log

b1 - log

b(a-1)= -log

b(a-1).

Los nmeros negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se

tendr siempre que bn ser mayor que cero, bn > 0; en consecuencia, no hay ningn valor real de n que pueda

satisfacer bn =x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstculo se puede salvar, ampliando el dominio de

definicin al cuerpo de los nmeros complejos C, pudiendo calcular logaritmos de nmeros negativos usando el

logaritmo complejo o recurriendo a la frmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresin geomtrica y la de los exponentes una progresin

aritmtica. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y sus exponentes sern 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. ya

que 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, y 24 = 16, etc. luego log2

1 = 0, log2

2 = 1, log2

4 = 2, log2

8 = 3 y log2

16 = 4, etc.

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Logaritmo 3

Identidades logartmicas

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritmticas muy tiles a la hora de realizar clculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raz es igual al producto entre la inversa del ndice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin ms que hacer:

El logaritmo de a en la base b es igual al cociente del logaritmo de a en la base c, entre el logaritmo de b en la

base c.[1]

Sea l el logaritmo de a en la base b, entonces el logaritmo de la potencia emsima de a en la base b a la n es

lm/n[2]

Eleccin y cambio de base

Entre los logaritmos ms utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo comn),

base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La eleccin de un determinado nmero como

base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre s. Es til la siguiente frmula que defineal logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son nmeros reales positivos y que tanto b como k son

diferentes de 1):

en la que k es cualquier base vlida. Si hacemos k=x, obtendremos:

El logaritmo ms ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en fsica, matemticas,

ingeniera y en ciencias en general. Tambin es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como ,en ciencias que hacen uso de las matemticas, como la qumica en la medida de la acidez (denominada pH) y en

fsica en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energa de un

terremoto (escala sismolgica de Richter), etc. En informtica se usa el logaritmo en base 2 la mayora de veces.

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Logaritmo 4

Propiedades analticas

Un estudio ms profundo de los logaritmos requiere el concepto defuncin. Un ejemplo es la funcin que produce la

x-sima potencia de b para cualquier nmero real x, donde la base (o raz) b es un nmero fijo. Esta funcin se

escribe como

Funcin logartmica

Para justificar la definicin de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuacin exponencial

tiene una solucin x y que esta solucin es nica, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1.

Una demostracin de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del clculo elemental.[3] Este teorema

establece que una funcin continua que produce dos valores m y n tambin produce cualquier valor que se encuentre

entre m y n. Una funcin es continua si esta no salta, esto es, si su grfico puede ser escrito sin levantar el lpiz del

papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la funcinf(x) = bx. Puesto quef toma arbitrariamente valoresgrandes positivos y valores pequeos positivos, cualquier nmero y> 0 que se encuentra entre f(x

0) y f(x

1) para un

adecuadox0

yx1. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuacin f(x) =y tiene una solucin.

Ms an, hay nicamente una solucin para esta ecuacin, puesto que la funcin f es estrictamente creciente (para b

> 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b< 1).[4]

La nica solucinx es el logaritmo de y en la base b, logb(y). La funcin que asigna a caday su logaritmo se llama

funcin logaritmo ofuncin logartmica (o logaritmo a secas).

Funcin inversa

Grfico de la funcin logartmica logb(x) (azul) se

obtiene mediante reflexin del grfico de la

funcin bx (roja) sobre la lnea diagonal (x =y).

La frmula para el logaritmo de una potencia dice en particular quepara cualquier nmerox,

En lenguaje llano, tomando lax-sima potencia de b y luego el base-b

logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un nmero

positivoy, la frmula

dice que tomando primero el logaritmo y despus exponenciando se

vuelve a obtener y. As, las dos maneras posibles de combinar (o

componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el nmero original.Por lo tanto, el logaritmo en base b es lafuncin inversa def(x) = bx.[5]

Las funciones inversas estn ntimamente relacionadas con las

funciones originales. Sus grficos se corresponden el uno con el otro

mediante el intercambio de las coordenadasx ey (o por reflexin sobre

la lnea diagonalx =y), como se muestra en la figura de la derecha: un

punto (t, u = bt) sobre el grfico def proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el grfico del logaritmo y viceversa.

Como consecuencia, logb(x) diverge a infinito (se hace ms grande que cualquier nmero dado) six tiende a infinito,

siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, logb(x) es un funcin creciente. Para b< 1, log

b(x) tiende a menos

infinito en lugar de a infinito. Cuandox

se aproxima a cero, logb(x

) tiende a menos infinito parab> 1 (a ms infinitocuando b< 1, respectivamente).

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Logaritmo 5

Derivada e integral indefinida

El grfico del logaritmo natural (verde) y su

tangente enx = 1.5 (negro)

Las propiedades analticas de las funciones pasan a sus inversas.[3] As,

comof(x) = bx es una funcin continua y diferenciable, tambin lo ser

logb(y). Toscamente hablando, una funcin continua es diferenciable si

su grfico no tiene trazos puntiagudos. Ms an, como la derivada de

f(x) evaluada en ln(b)bx por las propiedades de la funcin exponencial,la regla de la cadena implica que la derivada de log

b(x) es dada por[4]

Esto es, la pendiente de la tangente que toca el grfico del logaritmo en

base-b en el punto (x, logb(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la

derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento

funcional generalizadof(x) es

El cociente del miembro derecho es denominado derivada logartmica def. Calcularf'(x) por medio de la derivada de

ln(f(x)) se conoce como diferenciacin logartmica.[6] La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:

Frmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta

ecuacin usando el cambio de bases.

Representacin integral del logaritmo natural

El logaritmo natural de t es el rea sombreada

bajo el grfico de la funcinf(x) = 1/x (inversa de

x).

El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/xdx desde 1 at:

En otras palabras, ln(t) es igual al rea entre el eje x y el grfico de la

funcin 1/x, recorrido desdex = 1 ax = t (figura a la derecha). Esto es

una consecuencia del teorema fundamental del clculo y del hecho de

que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de esta

ecuacin puede servir con una definicin para el logaritmo natural. Las

frmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas

de esta definicin.[7] Por ejemplo, la frmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:

La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable (w =x/t).

En la ilustracin de abajo, la descomposicin corresponde a dividir el rea en las partes azul y amarilla. Reescalando

el rea azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente

no se cambia su tamao. Movindola apropiadamente, el rea de la grfica se ajusta a la funcin f(x) = 1/x de nuevo.

Por lo tanto, el rea azul del trmino izquierdo, que es la integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integral

desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostracin geomtrica ms.

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Logaritmo 6

Una demostracin visual de la frmula del producto del logaritmo natural.

La frmula de la potencia ln(tr) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:

La segunda igualdad usa los cambios de variable (integracin por sustitucin), w :=x1/r.

La suma sobre los inversos de los nmeros naturales,

es llamada serie armnica. Est estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la

diferencia,

converge (i.e., se aproxima arbitrariamente cerca) a un nmero conocido como constante de Euler-Mascheroni. Esta

relacin ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como quicksort.[8]

Transcendencia del logaritmo

El logaritmo es un ejemplo de funcin trascendente y desde un punto de vista terico, el teorema de

Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos suelen tomar valores difciles . La declaracin formal se basa en la

nocin de nmeros algebraicos, que incluye a todos los nmeros racionales, pero tambin nmeros tales como la raz

cuadrada de 2 o

Nmeros complejos que no son algebraicos son llamados transcendentes; por ejemplo, y e son dos de esos

nmeros. Casi todos los nmeros complejos son trascendentes. Usando estas nociones, el teorema de

GelfondScheider declara que dados dos nmeros algebraicos a y b, logb(a) es, o un nmero trascendente, o un

nmero racional p / q (en cuyo caso aq

= bp

, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamenterelacionados).[9]

Clculo

Los logaritmosson fciles del calcular en algunos casos, tales como log10

(1,000) = 3. En general, los logaritmos

pueden ser calculados usando series depotencias o la media aritmtico-geomtrica, o ser obtenidos de una tabla de

logaritmos precalculada que proporciona una precisin fijada.[10][11] El mtodo de Newton, un mtodo iterativo para

resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado tambin para calcular el logaritmo, porque su funcin

inversa, la funcin exponencial, puede ser calculada eficientemente.[12] Usando tablas de referencias, mtodos como

CORDIC pueden ser usados para calcular logaritmos si la nicas operaciones disponibles son la adicin y eldesplazamiento de bits. Ms an, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en la

repeticin cuadrtica dex, aprovechando la relacin

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Logaritmo 7

Serie de potencias

Serie de Taylor

Serie de Taylor de ln(z) atz= 1. La animacin

muestra las primeras 10 aproximaciones junto

con las aproximaciones 99 y 100.

Para cualquier nmero realz que satisfaga 0

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Logaritmo 8

Un mtodo ntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo de enteros. De la serie anterior, se

deduce que:

Si el logaritmo de un entero grande n es conocido, entonces esta serie obtiene una veloz serie convergente para

log(n+1).

Aproximacin mediante media aritmtico-geomtrica

La media aritmtico-geomtrica da aproximaciones con gran precisin del logaritmo natural. ln(x) es aproximado

con una precisin de 2p (op bits precisos) mediante la siguiente frmula (dada por Carl Friedrich Gauss):

Aqu M denota la media aritmtico-geomtrica. Se puede obtener mediante el clculo repetido de la media (media

aritmtica) y de la raz cuadrada del producto de dos nmeros (media geomtrica). Ms an, m es escogido tal que

Ambas, media aritmtico-geomtrica y las constantes y ln(2) pueden ser calculadas mediante series convergentes

muy rpidas.

Extensiones

Es posible extender el concepto de logaritmo ms all de los reales positivos.

Nmeros reales

Para enteros b yx, el nmero es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b ox

tienen un factor primo que el otro no tiene.El logaritmo natural de un nmero real positivo est bien definido y es un nmero real. Sin embargo, generalizar el

logaritmo natural a nmeros reales negativos slo puede hacerse introduciendo nmeros complejos.

Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de nmeros complejos la eleccin de logaritmo de un nmero negativo

no es nica, aunque la eleccin hecha es la ms frecuentemente usada para extender el logaritmo a nmeros reales

negativos.

Nmeros complejos

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Factorizaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_enterohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Media_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Media_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Media_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Media_aritm%C3%A9tico-geom%C3%A9trica

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Logaritmo 9

Principal rama del logaritmo complejo, Log(z).

El logaritmo natural de un nmero complejoz es otro nmero complejo

b = ln(z) que sea solucin de la ecuacin:

(*)

La ecuacin anterior no tiene solucin nica. De hecho, tiene un

nmero infinito de soluciones, aunque todas ellas son fciles de

encontrar. Dado un nmero complejo z escrito en forma polar, unasolucin posible de la ecuacin (*) es b

0:

Puede comprobarse que sta no es la nica solucin, sino que para

cualquier valor resulta que el nmero complejo bk, definido a

continuacin, tambin es solucin:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Logaritmo en base imaginaria

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de

logaritmos se puede resolver fcilmente con la frmula:

Dndez es cualquier nmero complejo excepto 0. Sin embargo, cabe sealar que la frmula anterior slo es una de

las posibles soluciones ya que la ecuacin:

admite no slo la solucin dada anteriormente sino que cualquierx de la forma:

tambin es solucin.

Matrices

Una matrizB es logaritmo de una matriz dadaA si la exponenciacin deB esA:

A diferencia de la exponenciacin de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre.

En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo est definido para todos y cada uno de losautovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz est definido y es una matriz real.

Si el logaritmo no est definido sobre el espectro o conjunto de autovalores, aun as es posible definir una matriz

logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de nmeros negativos o complejos), aunque no resulta

nica.

En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es ms complicado, ya que requiere encontrar primero su

forma cannica de Jordan.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Forma_can%C3%B3nica_de_Jordanhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espectro_de_un_operadorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Autovalorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_diagonalizablehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Exponenciaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Exponencial_de_matriceshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejo%23Unidad_imaginariahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejo%23Unidad_imaginariahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Superficie_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AComplex_log.jpg

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Logaritmo 10

Logaritmo discreto

Los logaritmos discretos son los anlogos en teora de grupos de los logaritmos ordinarios. En particular, un

logaritmo ordinario loga(b) es una solucin de la ecuacin ax= b sobre nmeros reales o nmeros complejos. De

manera similar, si g y h son elementos de un grupo cclico finito G, entonces una solucinx de la ecuacin gx= h es

llamada logaritmo discreto en la base g de h en el grupo G.

Si (G,) es un grupo cclico finito de orden n, donde es el operador multiplicacin, si se escoge un generador g de G,entonces cada elemento h de G puede ser escrito como h= gk para algn entero k, de manera que la funcin

asigna a cada h la clase de equivalencia modulo n de k, esto es, todos los k que cumplan que hgk mod n.

Este logaritmo tiene aplicaciones en criptografa, en especial en el mtodo de intercambio de claves de

Diffie-Hellman o en el sistema de ElGamal.

Historia

John Napier (Neper), fue el primero que defini y

desarroll los logaritmos.

El mtodo de clculo mediante logaritmos fue propuesto por primeravez, pblicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en

su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost

Brgi, un matemtico y relojero suizo al servicio del duque de

Hesse-Kassel, concibi por primera vez los logaritmos; sin embargo,

public su descubrimiento cuatro aos despus que Napier. La inicial

resistencia a la utilizacin de logaritmos fue cambiada por Kepler, por

el entusiasta apoyo de su publicacin y la impecable y clara

explicacin de cmo funcionaban.

Este mtodo contribuy al avance de la ciencia, y especialmente de la

astronoma, facilitando la resolucin de clculos muy complejos. Loslogaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegacin

martima y otras ramas de la matemtica aplicada, antes de la llegada

de las calculadoras y computadoras. Adems de la utilidad en el

clculo, los logaritmos tambin ocuparon un importante lugar en las

matemticas ms avanzadas; el logaritmo natural presenta una solucin

para el problema de la cuadratura de un sector hiperblico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no us una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de

manera eficaz con base 1/e. Para los propsitos de interpolacin y facilidad de clculo, eran tiles para hallar la

relacin r en una serie geomtrica tendente a 1. Napier escogi r= 1 - 10

7

= 0,999999 (Brgi eligir= 1 + 104= 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenan log 1 = 0, sino log 10 7= 0. As, si N es un

nmero y L es el logaritmo, Napier calcula: N= 107(1 107)L. Donde (1 107)107 es aproximadamente 1/e,

haciendoL/107 equivalente a log1/e

N/107. Vase logaritmo neperiano.

Inicialmente, Napier llam nmeros artificiales a los logaritmos y nmeros naturales alos antilogaritmos. Ms

tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un nmero que indica una proporcin: (logos) el

sentido de proporcin, y (arithmos) significado nmero, y se define, literalmente, como un nmero que

indica una relacin o proporcin. Se refiere a la proposicin que fue hecha por Napier en su teorema fundamental,

que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relacin de los nmeros a los cuales corresponden, de

manera que una progresin aritmtica de logaritmos corresponde a una progresin geomtrica de nmeros. El

trmino antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utiliz ampliamente en matemticas,perdur en muchas tablas, hasta que cay en desuso.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Progresi%C3%B3n_aritm%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_neperianohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Computadorahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Navegaci%C3%B3n_mar%C3%ADtimahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Navegaci%C3%B3n_mar%C3%ADtimahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Geodesiahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Astronom%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Keplerhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Joost_B%C3%BCrgihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Joost_B%C3%BCrgihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=John_Napierhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo%3AJohn_Napier_%28Neper%29.jpghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=John_Napierhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cifrado_ElGamalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Diffie-Hellmanhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Diffie-Hellmanhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritm%C3%A9tica_modular%23Clases_de_equivalencia_m%C3%B3dulo_nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_generador_de_un_grupohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Orden_%28teor%C3%ADa_de_grupos%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_c%C3%ADclicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_finitohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_c%C3%ADclicohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo_discreto

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Logaritmo 11

Vigencia

El concepto de logaritmo se mantiene vigente por su vnculo con la integral definida bajo una hiperblica xy = 1; en

la solucin de ecuaciones exponenciales y logartmicas, en la simplificacin de derivadas y por su ligazn a e[15]

Notas

[1][1] Dolcani y otros: lgebra moderna y trigometra

[2][2] Ibdem

[3][3] Lang, 1997, Seccin III.3.

[4][4] Lang, 1997, Seccin IV.2.

[5][5] , section 1.6

[6][6] , p. 386

[7][7] , section III.6

[8][8] , sections 11.5 and 13.8

[9][9] , p. 10

[10][10] , sections 4.2.2 (p. 72) and 5.5.2 (p. 95)

[11] , section 6.3, p. 105111

[12][12] , section 1 for an overview

[13] La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para nmeros complejosz que satisfacen que

UNIQ-nowiki-0-be9ed176f0cc7d1c-QINUz 1 UNIQ-nowiki-1-be9ed176f0cc7d1c-QINU < 1.

[14] La misma serie se cumple para el valor principal del logaritmo complejo para nmeros complejosz con parte real positiva.

[15][15] Vavilov: Problemas de matemtica

Referencias

Bibliografa

Lang, Serge (1997). Undergraduate Texts in Mathematics (2. edicin). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN

978-0-387-94841-6.

Doctor Honoris Causa Rito Rizquez, University of Boston, J..Aritmtica razonada. Marcos, C.; Martnez, J..Matemticas.

Gonzlez Aguilar.Matemticas.

Chvez ReyesCarmen; Len Quintanar, Adriana.La Biblia de las Matemticas.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre LogaritmoCommons. Weisstein, Eric W. Logaritmo (http://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html) (en ingls).MathWorld.

Wolfram Research.

Historia de los logaritmos por Francisco Javier Tapia Moreno (http:/

/

www.

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Proyecto MaTeX: Logaritmos (formato PDF, 58 pginas). (http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/

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http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/ExpoLog.pdfhttp://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/ExpoLog.pdfhttp://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdfhttp://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdfhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wolfram_Researchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=MathWorldhttp://mathworld.wolfram.com/Logarithm.htmlhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eric_W._Weissteinhttp://commons.wikimedia.org/wiki/Logarithmhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Wikimedia_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:FuentesDeLibros/978-0-387-94841-6http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=ISBNhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Springer-Verlaghttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Serge_Lang

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Fuentes y contribuyentes del artculo 12

Fuentes y contribuyentes del artculoLogaritmoFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=74200170 Contribuyentes: -Erick-, 142857, Abin, Acratta, Adept, Airunp, Alberto Leguiza, Aleator, Alejandrocaro35, Algarabia,Allforrous, Alvaro qc, Amanuense, Andreasmperu, Andrestorreg, Antonorsi, Antur, AoX, Arjuno3, Arkady, Arnajuan, Axvolution, Aipni-Lovrij, Banfield, Belgrano, Biasoli,Bibliofilotranstornado, Bonaire, Brittanygarcia, Bucephala, Bucho, BuenaGente, C4Z4D0R159, CARHER666, Camilo, Carcediano, Carlosavelar1992, Cascaradeg7, Cesarsorm, Charlie suarezz,ConnieGB, Creosota, Crichtoman, Csoliverez, Ctrl Z, Cyrax, DJ Nietzsche, Dangelin5, Daniel JG, David0811, Davius, Deltasubk, Dibujon, Diegusjaimes, Dishtonio, Dnamendoza, Dodo, Dorieo,Echani, Edslov, Eduardosalg, El Moska, Emijrp, Equi, Etepero, Farisori, Fernando101, Filipo, Foundling, Fsd141, Furado, G katerin, Gaby mda, GermanX, Ggenellina, Greek, Gngora, Gtz,HUB, Hampcky, Hanjin, Harpagornis, Humbefa, Humberto, Igna, Ingenioso Hidalgo, Isaac9898, Isha, JABO, JMCC1, JacobRodrigues, Jainfante, JanoMasoneria, Jarisleif, Jehtao, Jerowiki,

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