LOGARİTMA

ÜSTEL FONKSİYON

Tanım: aR+-{1} ve xR olmak üzere y=ax fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

y=2x

y=(1/3)x üstel fonksiyona verilebilecek örneklerdir.

I) f(x)=ax fonksiyonu için a>1 iken şunlar söylenebilir:

a) f: RR+

b) f:bire-bir fonksiyondur.

c) f:örten fonksiyondur.

d) f:artan fonksiyondur.

Örnek olarak f(x)=2x grafiği çizilirse yukarıdaki bilgilerin doğrulandığı görülür.

1

2

1

y

x

II) f(x)=ax fonksiyonu için 0<a<1 iken şunlar söylenebilir:

a) f: RR+

b) f:bire-bir fonksiyondur.

c) f:örten fonksiyondur.

d) f:azalan fonksiyondur.

Örnek olarak f(x)=(1/2)x grafiği çizilirse yukarıdaki bilgilerin doğrulandığı görülür.

2

-1

1

y

x

LOGARİTMA FONKSİYONU

Tanım: f:RR+, aR+-{1} olmak üzere f(x)=ax fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

y=ax Logay=x olur.

f:RR+ f(x)=ax ise f-1:R+R f-1(x)=Logax dir.

dom f:R rng f:R+

dom f-1: R+ rng f-1:R

R R+

x y

exp

Log

f(3)=23

f-1(23)=Log223=3

R R+

3 23

f:exp

f-1:Log

Logaritma ve üstel fonksiyon arasındaki işlemsel ilişkiyi daha iyi kavrayabilmek için örnekler yazılacak olursa

a=bm Logba=m, bR+-{1}

p=kn Logkp=n, kR+-{1} dır.

Logaritma fonksiyonu grafik olarak incelenecek olursa;

I) f(x)=Logax, a>1 fonksiyonu için

a) f: R+R

b) f:artan fonksiyondur.

1

y

x

f(x)=ax ve f-1(x)=Logax a>1 birbirlerinin tersleri olduğuna

göre grafiklerinin y=x dogrusuna göre simetrik olması gerekir.

1

y

x

1

y=x

y=ax

y=Logax

II) f(x)=Logax, 0<a<1 fonksiyonu içina) f: R+ Rb) f:azalan fonksiyondur.

y

1 x

f(x)=ax ve f-1(x)=Logax 0<a<1 birbirlerinin tersleri

olduğuna göre grafiklerinin y=x dogrusuna göre simetrik olması gerekir.

1

y

x

1

y=x

y=ax

y=Logax

Kullanılan Logaritma Sistemleri

Doğal Logaritma Fonksiyonu

e=2,71828.... Sayısının taban olarak kullanıldığı logaritma doğal logaritmadır.

Logex=Lnx biçiminde yazılır.

Ln:R+ R, x y=Ln x=Logex dir.

On Tabanına Göre Logaritma

Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir.

Log10x=Logx biçiminde yazılır.

Log:R+ R, x y=Logx=Log10x dir.

ÖRNEKLER-I

b=an logab=n tanımını kullanarak aşağıdakilerin çözümleri yapılabilir.

Soru 1: Log816=x ise x kaçtır?

Çözüm: 8x=16 23x=24 3x=4 x=4/3

Soru 2: Log1/27x=2/3 ise x kaçtır?

Çözüm: (1/27)3/2=x (3-3)2/3=x 3-2=x x=1/9

Soru 3: Logx81=-4 ise x kaçtır?

Çözüm: x-4=81 x-4=34 x-4 =(1/3)-4 x=1/3

Soru 4: Logx=3 ise x kaçtır?

Çözüm: Logx=3 log10x=3 x=103

Soru 5: 3Ln=6 ise x kaçtır?

Çözüm: Lnx=6/3 logex=2 x=e2

ÖRNEKLER-II

f(x)=ax f-1(x)=Logax dir. Buna göre logaritmik ve üstel fonksiyonların terslerini bulmak için aşağıdaki örnekler incelenebilir.

Soru 1: f(x)=3Log2(5x) ise f-1(x)=?

Çözüm: y=3Log2(5x)

y/3=Log2(5x) 2y/3=5x x=(2y/3)/5=f-1(y) f-1(x)=1/5(2x/3)

Soru 3: f(x)=4+32x+1 ise f-1(x)=?

Çözüm: y= 4+32x+1 y-4=32x+1 Log3(y-4)=2x+1

x=(1/2)(Log3(y-4)-1)=f-1(y) f-1(x)=(1/2)(Log3(x-4)-1)

Soru 2: f(x)=4-2Log3(8-x) ise f-1(x)=?

Çözüm: y= 4-2Log3(8-x) 2Log3(8-x)=4-y Log3(8-x)=(4-y)/2

3(4-y)/2=8-x x=8-3(4-y)/2=f-1(y) f-1(x)=8-3(4-x)/2

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri

f:R+ R, f(x)=Logax, aR+-{1} için aşağıdaki özellikler geçerlidir.

1) Loga1=0

Örnek: Log31=0

2) Logaa=1

Örnek: Log33=1

3) Loga(x.y)=Logax+Logay

Örnek: Log3(4.5)=Log34+Log35

4) Loga(x/y)=Logax-Logay

Örnek:Log3(7/2)=Log37-Log32

5) Logaxn=nLogax

Örnek: Log342=2Log34

6) aloga

(f(x))=f(x)

Örnek: 3log3

5=5

7) logab=(logcb/logca)

Örnek: Log35=(Log25/Log23)

8) Logab=1/logba

Örnek: Log35=1/Log53

9) Loganbm=(m/n)LogabNot: (Logax3/ Log ax2)≠ Log a(x3/x2).

ÖRNEKLER-IIILogaritma Özellikleri ile İlgili Örnekler

Soru 1: Log 2=a ve log3=b ise log 15’i a ve b cinsinden bulun.

Çözüm: Log15=Log3.5=log3+log5=log3+log(10/2)

=log3+log10-log2=b+1-a.

Soru 2: Log3 64=a ise log1254 a cinsinden neye eşittir?

Çözüm: Log326=a 6log32=a log32=a/6

Log1254’e taban değiştirme uygulanırsa

Log1254=(log354)/(log312)=(log32.33)/(log322.3)

=(log32+3log33)/(2log32+log33)=(a/6+3)/(2.a/6+1)=(a+18)/(2a+6)

Soru 3: Log932=a ise log2454 a cinsinden neye eşittir?

Çözüm: Log32 (25 )=(5/2)log32=a log32=(2a)/5

Log2454’e taban değiştirme uygulanırsaLog2454=(log354)/(log324) =(log32.33)/(log323.3)=(log32+3log33)/(3log32+log33)=(2a/5+3)/(3.2a/5+1)=(2a+15)/(6a+5)

Soru 4: Log6 3=x ise (log616)/(log836) x cinsinden neye eşittir?

Çözüm: Log616.log368=log624.log6223=4 log62.(3/2)log62

=6(log62)2=6[log6(6/3)]2= 6(log66-log63)2=6(1-x)2

IV- Logaritmik Denklemlerin Çözümleri

Soru 1: Log3x-log3(x-1)=log94 denklemini çözün.

Çözüm: x>0 ve x-1>0 olmalı

Log3x/(x-1)=(2/2)log32=log32

x/(x-1)=2 2x-2=x x=2, 2>1

Ç.K={2}

Soru 2: Log(34-x2)/Log(8-x)=2 denklemini çözün.

Çözüm: Log(34-x2)/Log(8-x)=2 Log(8-x)(34-x2)=2

34-x2=(8-x)2 34-x2=64-16x+x2 2x2-16x+30=0 x2-8x+15=0

(x-3)(x-5)=0 x=3 ve x=5 değerleri denklemi sağlar.

Ç.K={3,5}

Soru 3: (Lnx)2-2Lnx-3 =0 denklemini çözünüz.

Çözüm: (Lnx)2-2Lnx-3 =0

(Lnx +1).(Lnx-3)=0

Lnx=-1 ve Lnx=3

x=e-1 ve x=e3

Ç.K={1/e,e3}

Soru 4: Log3x -2Logx3=1 denklemini çözünüz.

Çözüm: Logx3= 1/Log3x dir. Buna göre

Log3x-(2/log3x)-1=0 (Log3x)2-Log3x-2=0 (Log3x+1)(Log3x-2)=0

Log3x=-1 ve Log3x=2 x=3-1 ve x=32

Ç.K={1/3,9}

Soru 5: xlogx =1000x2 denklemini çözünüz.

Çözüm: Logxlogx= Log1000x2 (Her iki tarafın 10 tabanında logaritması alınır).

logx.logx=Log1000+logx2

(logx)2=3+2logx

(logx)2-2logx-3=0

(logx+1)(logx-3)=0

logx=-1 ve logx=3

x=10-1 ve x=103

Ç.K={1/10,103}

V- Logaritmik Eşitsizliklerin Çözümleri

Soru 1: Log2(x+4) >1 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm: Log2(x+4)>1

• x+4>2 x>-2

• x+4>0 x>-4

Ç.K={x: x>-2, xR}

Soru 2: Log1/4 (x-2)>-2 eşitsizliğini çözünüz.

Çözüm: Log1/4 (x-2)>-2 -Log4(x-2)>-2 Log4 (x-2)<2

• x-2<42 x<18

• x-2>0 x>2

Ç.K=(2,18)

V- Üstel ve Logaritma Fonksiyonunun Tanım KümesiLogaritma fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için aşağıdaki bilgileri hatırlayın.

f(x)=Logg(x)h(x) ise f fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için şu özellikler incelenir.

• h(x)>0

• g(x)>0

• g(x)≠1

Soru 1: f(x)=3log2(-x2+3x+4) ise f fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz.Çözüm: -(x2-3x-4)>0 -(x+1)(x-4)>0

Tanım aralığı: (-1,4)x

f(x)

-1 4

-- +

Soru 2: a) f(x)=2Logx

b) f(x)= Log x2 ise f fonksiyonlarının tanım aralıklarını bulunuz.

Çözüm: a) f(x)=2logx

x>0 Tanım aralığı: (0,)

b) f(x)=logx2

x2>0 Tanım aralığı: R-{0}.

Uyarı: İşlem olarak logx2=2logx dir. Ancak bu fonksiyonların, tanım aralıkları ve grafikleri farklıdır.

Soru 3: f(x)=logx-2(16-x2) fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz.

Çözüm: f(x)=logx-2(16-x2)

•16-x2>0 x2<16 -4<x<4

• x-2>0 x>2

• x-2 ≠1 x≠3

Tanım aralığı: (2,4)-{3}.

On Tabanına Göre Logaritma

Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve log ile belirtilir.

Logaritmik cetveller 10 tabanına göre hazırlanmıştır. Bir sayının 10 tabanında logaritması iki kısımdan oluşur.

Logx =Karakteristik+Mantis.

Karakteristik tam sayı kısmı Mantis ise ondalık kısmıdır.

Loga=Log(10k.m)=k.log10+logm= k+logm.

k: tamsayı kısmı

Logm: ondalık kısmı

Örnek:

• Log654=2+0,8155=2,8155

Karakteristik=2 Mantis=0,8155

• Log65,4=1+0,8155=1,8155

• Log6,54=0+0,8155=0,8155

• Log0,654=-1+0,8155=1,8155

Yukarıdaki sayıların logaritmalarının mantisleri logaritma cetvellerinden, karakteristikleri ise basamak sayılarına bakılarak bulunur.

Örnek 1: Log2=0,301 ise Log200 kaçtır?

Çözüm: Log200=log2.100=log2+log102 = 0,301+2=2,301

200 sayısının basamak sayısı=3. Karakteristik =3-1=2 olur.

Örnek 2 : Log213 sayısının karakteristik kısmı kaçtır?

Çözüm: 23<13<24

Log223<log213<log224

3<log213<4

Log213 sayısının karakteristik kısmı=3 tür.

Örnek 3 : Log3=0,4771, log5=0,6550 ve log2=0,3010 ise 6050 sayısının basamak sayısını bulunuz.

Çözüm: Log(60)50=50log60=50log3.5.22=50[log3+log5+2log2]

=50[0,4771+0,6990+0,6020]= 50(1,7781)=88,9050

Log(60)50=88,9050

(60)50 nin basamak sayısı 88+1=89 olur.