LOG530 Distribusjonsplanlegging

LOG530 DISTRIBUSJONSPLANLEGGING

Rutenettmodellen

2

KONTINUERLIG LOKALISERING

LOG530 Distribusjonsplanlegging

Rutenettmodellen

• I denne delen skal vi nå forsøke å finne gode lokaliseringer til fasiliteter som lager, fabrikker, osv., som betjener kunder lokalisert i gitte noder. Til forskjell fra nettverksmodellene, hvor vi hadde gitte plasseringer av alle noder for produsenter, lager, kunder, etc., så er nå plasseringen av enkelte noder ennå helt ukjent. Det kan være plassering av ett eller flere lager, en skole, brannstasjon e.l., som vi ønsker å finne en gunstig lokalisering til. Denne fasiliteten skal så betjene kundene, som er lokalisert i kjente posisjoner/noder.

• Ved kontinuerlig lokalisering kan vi helt fritt velge den geografiske plasseringen av de nye nodene. Vi kan f.eks. tenke oss et kart med x og y koordinater, der vi har plottet inn nodene hvor kundene er plassert. Vårt problem blir nå å finne x og y koordinatene til de nye fasilitetene.

• Målsettingen med lokaliseringen vil ofte være å minimere avstander eller kostnader forbundet med transport fra fasiliteten til kundenodene. Men ved kontinuerlige lokaliseringsmetoder er vi stort sett begrenset til å måle avstandene som rette linjer eller som rektangulære avstander, og vi er avskåret fra å benytte reelle avstander.

• Vi kan heller ikke beregne avstandene på forhånd, ettersom vi ennå ikke vet lokaliseringen av de nye fasilitetene.

3

AVSTANDER


Rutenettmodellen

Euklidsk avstand måler korteste avstand mellom to punkter i og j med koordinatene (xi; yi) og (xj; yj) som en rett linje:

For båttrafikk og flytrafikk over store avstander må en beregne avstander basert på storsirkler. I mange praktiske situasjoner korrigeres den korteste avstanden med en faktor k > 1 for å kompensere for at faktisk avstand er lenger enn den korteste rette linje. Faktorer på 1,2 – 1,5 er f.eks. brukt ved beregning av amerikanske highways og jernbaner.Rektangulær avstand måles ved formelen:

Navnet er beskrivende, ettersom den først beregner avstanden ”vannrett” i x-retningen og deretter ”loddrett” i y-retningen i en x-y graf. Avstanden mellom punktene beregnes altså som ”en halv firkant”, i stedet for som ”diagonalen” mellom punktene. Avstandsmålet kalles også Manhattan metrikk, ettersom det tilsvarer rimelig godt til rutenettet av gater på Manhattan og avstandene der.

2 2

i j i jx x y y

i j i jx x y y

4

PROBLEM


Rutenettmodellen

I et område på Manhattan skal det plasseres en postkasse for ekspresspost. Åtte store firmaer innenfor området skal bruke denne, og er plassert på gatehjørner som angitt i figuren. Det er bare mulig å bevege seg langs de angitte gatene i nord/sør og øst/vest retning. Avstanden mellom 2 nabo avenyer er 800 meter, og avstanden mellom 2 nabo ”streets” er 600 meter.

1

2 3

4 5

6

7

8

0 800 1600 2400 3200

0

600

1200

1800

2400

3000

A Street

B Street

C Street

D Street

E Street

F Street

1. Ave. 2. Ave. 3. Ave. 4. Ave. 5. Ave.

Vi har her tatt oss den frihet og sjonglert med x- og y –aksene. Rotér figuren 90° mot klokken for å få origo i «normal» posisjon.

5

DATA


Rutenettmodellen

Node Firma

E-W Street

Street nr. N-S Avenue

Avenue nr.

Pakker pr.dag

1 Sue Em Ltd. A Street 1 First Avenue 1 302 Tort and Retort B Street 2 Third Avenue 3 503 Bank and Rupt B Street 2 Forth Avenue 4 25

4 Jail Em Fast Ltd. C Street 3Second Avenue 2 45

5 Hang Em Inc. C Street 3 Fifth Avenue 5 606 Trial By Jury Inc. D Street 4 First Avenue 1 35

7Never Guilty

Inc. E Street 5 Forth Avenue 4 70

8Mob Law and

Sons F Street 6 Forth Avenue 4 20

Vi skal forsøke å plassere postkassen slik at de 8 firmaene totalt sett får kortest mulig avstand å tilbakelegge. Daglig behov for ekspresspakker varierer mellom firmaene, og vi bør derfor vektlegge avstandene med behovet.Dette problemet passer godt til tyngdepunktmetoden. Tyngdepunktmetoden er en kontinuerlig lokaliseringsmetode, og velger x- og y- koordinater helt fritt i grafen. Ulempen er at plasseringen man kommer fram til ikke nødvendigvis finner sted langs vegnettet.

LOG530 Distribusjonsplanlegging 6

SYMBOLERRutenettmodellen

n antall noderN mengden av noder N = {1, 2, ..., n}di behov ved node i i NRi Transportkostnad pr. vareenhet pr. lengdeenhet for node i i N(xi ; yi) Koordinater for node i i N

Beslutningsvariabler:

x0 x-koordinat for lokalisering av fasiliteten (postkassen)y0 y-koordinat for lokalisering av fasiliteten (postkassen)


HEURESTIKKTyngdepunktmetoden er en meget enkel heuristikk;

velg koordinatene (x0 ; y0) slik:

Rutenettmodellen

Beregn veide gjennomsnittskoordinater for nodene, og plasser fasiliteten i det ”veide midtpunktet”. I vårt eksempel har vi ikke oppgitt noen transportkostnad pr. vareenhet pr. lengdeenhet for node i, og vi kan derfor sette Ri = 1. Formlene beregner da veid totalavstand delt på total etterspørsel.

0

i i ii N

i ii N

R x dx

R d

0

i i ii N

i ii N

R y dy

R d


REGNEARK TYNGDEPUNKTMETODENRutenettmodellen

1

2 3

4 5

6

7

8

0 800 1600 2400 3200

0

600

1200

1800

2400

3000

A Street

B Street

C Street

D Street

E Street

F Street


I stedet for å benytte en heuristikk for å finne tyngdepunktet, kan vi bruke rutenettmetoden. Den vil beregne korrekte avstander nå vi benytter et rektangulært avstandsmål, ettersom den først reiser ”vannrett” i x-retningen og deretter ”loddrett” i y-retningen i en x-y graf. Plasseringen en kommer fram til vil finne sted langs vegnettet.


MATEMATISK FORMULERINGMålfunksjon:

Rutenettmodellen

36 1‑Minimer samlet

transportkostnad for alle noder til fasiliteten.

0 0min i i i ii N

R d x x y y

Vi ønsker å minimere totale kostnader ved å frakte pakkene til postkassen. For node i vil den rektangulære avstanden til postkassen utgjøre |xi – x0| + |yi – y0|.Multipliserer vi denne avstanden med mengde (di) og kostnad pr. mengdeenhet pr. avstandsenhet (Ri) får vi totalkostnaden for node i : Ridi[|xi – x0| + |yi – y0|].Restriksjoner:Vi har ingen restriksjoner til dette problemet, postkassen kan plasseres hvor som helst. Vi kan også tillate negative verdier for koordinatene, ettersom nullpunktet kan velges fritt i grafen.

36 1‑ Minimer 30(|0 X0|+|0 Y0|) + 50(|600 X0|+|1600 Y0|)

+ 25(|600 X0|+|2400 Y0|) + 45(|1200 X0|+|800 Y0|)

+ 60(|1200 X0|+|3200 Y0|) + 35(|1800 X0|+|0 Y0|)

+ 70(|2400 X0|+|2400 Y0|) + 20(|3000 X0|+|2400 Y0|)


REGNEARK RUTENETTMODELLENRutenettmodellen

Merk at Solver automatisk transformerer fra NSP til et LP-problem

11

LOKALISERING RUTENETTMETODEN


Rutenettmodellen

Vi ser at vi nå faktisk får den optimale plasseringen akkurat på hjørnet mellom C Street og 4. Avenue.

Om vi benytter Euklidske avstander blir optimale koordinater (1272,3; 1791,3), som er ganske nær heuristikkløsningen (1379; 1743), dvs. nær hjørnet C Street og 3. Avenue.

1

2 3

4 5

6

7

8

0 800 1600 2400 3200

0

600

1200

1800

2400

3000

A Street

B Street

C Street

D Street

E Street

F Street




Flere fasiliteter kontinuerlig metode:n antall noder

N mengden av noder N = {1, 2, ..., n}di behov ved node i i NRi Transportkostnad pr. vareenhet pr. lengdeenhet for node i i N(xi ; yi) Koordinater for node i i Np Antall fasiliteter som skal opprettesP Mengden av fasiliteter P = {n+1, n+2, ..., n+p}




xj x-koordinat for lokalisering av fasilitet j (postkasse j) j Pyj y-koordinat for lokalisering av fasilitet j (postkasse j) j PWij Angir om node i blir betjent av fasilitet j Wij {0, 1,} ; i N ; j P



Rutenettmodellen

36 2‑

Minimer samlet transportkostnad fra alle noder til fasilitetene som

benyttes.

ij i i i j i ji N j P

W Rd x x y y

Restriksjoner:

36 3‑Hver kunde

benytter kun en postkasse.

1 ijj P

W for alle i N


KONTINUERLIG LOKALISERING TO FASILITETER

Rutenettmodellen

1

2 3

4 5

6

7

8

0 800 1600 2400 3200

0

600

1200

1800

2400

3000

A Street

B Street

C Street

D Street

E Street

F Street

1. Ave.

2. Ave.

3. Ave.

4. Ave.

5. Ave.

12

16

LOKALISERING ETTER DISKRET METODE


Rutenettmodellen

Når vi benytter en diskret lokaliseringsmetode, så skal lokaliseringen skje i en på forhånd utvalgt mengde av mulige noder. Vi har altså et endelig antall gitte punkter å velge blant. I dette eksemplet er punktene definert som gatehjørnene. Ettersom det er 5 Avenues og 6 Streets, gir det i alt 5∙6 = 30 hjørner/noder.Vi må anta at postkassen har ”ubegrenset” kapasitet, i hvert fall stor nok kapasitet til å dekke sum etterspørsel. Da kan vi benytte en p-MP modell.

1

2 3

4 5

6

7

8

0 800 1600 2400 3200

0

600

1200

1800

2400

3000

A Street

B Street

C Street

D Street

E Street

F Street





n antall noderN mengden av noder N = {1, 2, ..., n}k antall kunder 1 ≤ k ≤ nK mengden av kunder K = {1, 2, ..., k}p antall fasiliteter 1 ≤ p ≤ kdt behov ved node t t Kcft avstand mellom node f og node t f N; t K

Yft Binærvariabel som indikerer om en fasilitet i node f betjener kunde t f N; t KUf Binærvariabel som indikerer om en fasilitet skal opprettes i node f f N



Rutenettmodellen

36 4‑Minimer samlet transportkostnad for alle kunder til fasilitetene som

betjener de.

min t ft ftf N t K

d c Y


MATEMATISK FORMULERINGRestriksjoner:

Rutenettmodellen

36 5‑Hver kunde blir betjent

fra kun en fasilitet.

1 ftf N

Y for alle t K



Rutenettmodellen

36 6‑Ingen kunder kan bli betjent

fra en node uten fasilitet. ft fY U for alle f N og t K

36 7‑Ingen kunder kan bli betjent

fra en node uten fasilitet. ft f

t K

Y k U for alle f N



Rutenettmodellen

36 8‑Det skal opprettes

nøyaktig p fasiliteter.

ff N

U p

Forenkling:Vi kan her forenkle modellen, ettersom det i dette eksemplet bare skal plasseres en postkasse, dvs. antall fasiliteter p = 1. Vi trenger derfor ikke Yft variabelen, fordi alle klienter må bli betjent fra den ene fasiliteten som opprettes.



Rutenettmodellen

36 9‑Minimer samlet transportkostnad

for alle kunder til fasiliteten som opprettes.

min t ft ff N t K

d c U

36 10‑Det skal

opprettes kun 1 fasilitet.

1ff N

U

Restriksjoner:


REGNEARK DISKRET LOKALISERINGRutenettmodellen

Samme lokalisering som ved

kontinuerlig metode

Merk at vi har løst problemet uten bruk av Solver. Vi velger den lokalisering som gir lavest total veid avstand til alle kundene.


DISKRET LOKALISERING TO FASILITETER

Rutenettmodellen

25

LOKALISERING 2 FASILITETER DISKRET METODE


Rutenettmodellen

Nå kan vi ikke benytte forenklingen, og må derfor bruke ligning 36‑4 til 36‑8 som vår modell, dvs. en generell p-MP modell.

Vi ser at optimal plassering nå er på hjørnet av C Street og 1. Avenue, samt hjørnet av C Street og 4. Avenue. Total veid avstand (brevmeter) blir redusert fra 538.000 til 346.000.

1

2 3

4 5

6

7

8

0 800 1600 2400 3200

0

600

1200

1800

2400

3000

A Street

B Street

C Street

D Street

E Street

F Street

1. Ave.

2. Ave.

3. Ave.

4. Ave.

5. Ave.

LOG530 Distribusjonsplanlegging

Documents

Transcript of LOG530 Distribusjonsplanlegging