LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Definición de límite

Cuando f(x) está arbitrariamente cerca de un número real L, para toda x lo suficientemente cerca,

pero diferente de a, se dice que: límx→a

f ( x )=L.

Ejemplo: f ( x )= x2−4

x−2 . Observamos que f (2) no existe, ya que no se puede dividir entre cero.x<2 x>2

x f ( x ) x f ( x )1.9 3.9 2.1 4.11.95 3.95 2.05 4.051.99 3.99 2.01 4.011.995 3.995 2.005 4.0051.999 3.999 2.001 4.001

Podemos concluir que: límx→2

f ( x )= límx→ 2

x2−4x−2

=4, como puede verse con toda claridad en la gráfica.

En las siguientes gráficas se puede analizar si el límite de la función que representan existe o no, cuando x se acerca a un valor determinado:

, f (1)=2 límx→−3

f ( x )=6, f (−3 )=3 ,

límx→2

f ( x ) no existe límx→0

f ( x ) no existe, f (−1 )=1

f (2) no existe f(0) no existe

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4-3-2-1

1234

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-4-3-2-1

1234567

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-7-6-5-4-3-2-1

12345

x

y

-2 -1 1 2 3 4 5 6-1

123456789

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-5-4-3-2-1

1234

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-3-2-1

12345

x

y

Propiedades de los límites

1límx→a

c=c, es decir: el límite de una constante es la misma constante.

2límx→a

xn=an

3límx→a

[cf ( x ) ]=c límx→a

f ( x )

4límx→a

[ f (x )±g( x )]= límx→a

f ( x )±límx→a

g ( x )

5 Si f ( x )=c0 xn+c1 xn−1+c2 xn−2+c3 xn−3+.. . .. .. .+cn−2 x2+cn−1 x+cn (función polinomio),

entonces: límx→a

f ( x )= f (a )

6límx→a

[ f (x )g( x ) ]=límx→a

f ( x ) límx→a

g( x )

7límx→a

f ( x )g ( x )

=límx→a

f ( x )

límx→a

g ( x ), siempre y cuando lím

x→ag( x )≠0

8límx→a

n√ f ( x )=n√ límx→a

f ( x )

Ejemplos

1lím

x→−27=7

; Teorema 1

2límx→3

3 x2=3 límx→3

x2=3(32 )=3( 9)=27; Teoremas 3 y 2

3límx→1

( 4−3 x5 )= límx→1

4−límx→1

(3x5 )= límx→1

4−3 límx→1

x5=4−3(15 )=4−3=1; Teoremas 4, 3, 1 y 2

4lím

x→−1(5 x3−3 x2+3 x−2 )=5(−1)3−3(−1)2+3(−1 )−2=−5−3−3−2=−13

; Teorema 5

5límx→2

[ (6−2 x3 ) ( x2+8 ) ]=límx→ 2

(6−2 x3) límx→2

( x2+8 )=[6−2(8) ] [4+8 ] (−10)(12 )=−120; Teoremas 6 y 5

6límx→4

2x2−3 x+4x3+2

=límx→ 4

(2 x2−3x+4)

límx→ 4

( x3+2)=

2(16)−3(4 )+464+2

=2466

=4

11; Teoremas 7 y 5

7lím

x→−2√10−3 x=√ lím

x→−2(10−3 x )=√10+6=√16=4

; Teoremas 8 y 5

8límx→3

x3−8x−3

=240

→ no existe; Teoremas 7 y 5

Cálculo de límites que implican la indeterminación 00

1límx→2

x3−8x−2

=límx→2

( x−2 ) ( x2+2 x+4 )x−2

=límx→2

( x2+2 x+4 )=12

2límx→0

( x+3 )2−9x

=límx→0

x2+6 x+9−9x

= límx→ 0

x ( x+6 )x

=límx→ 0

( x+6 )=6

1

3

límx→−5

√4−x−3x+5

= límx→−5

(√4−x−3 ) (√4−x+3 )( x+5 ) (√4−x+3 )

= límx→−5

4−x−9( x+5 ) (√4−x+3 )

= límx→−5

−( x+5 )( x+5 ) (√4−x+3 )

=−16

4límx→3

x4−81x2−x−6

=límx→3

( x2−9 ) ( x2+9 )( x−3 ) ( x+2 )

=límx→3

(x−3 ) (x+3 ) ( x2+9 )( x−3 ) ( x+2 )

=límx→3

(x+3 ) ( x2+9 )x+2

=(6 )(18 )

5=108

5

5 Sif ( x )=2+x−x2 encontrar: lím

h→0

f ( 4+h )−f (4 )h

f (4+h)=2+(4+h )−(4+h )2=2+4+h−16−8 h−h2=−10−7 h−h2; f (4 )=2+4+16=−10

límh→0

f ( 4+h )− f (4 )h

=límh→ 0

−10−7 h−h2+10h

=límh→0

(−7−h )=−7

6 Si f ( x )=x2−9 encontrar: lím

h→0

f ( x+h)− f ( x )h ; f ( x+h)= (x+h )2−9=x2+2 xh+h2−9

límh→0

f ( x+h )− f ( x )h

=límh →0

x2+2 xh+h2−9−x2+9h

=límh →0

h (2 x+h )h

=límh→0

(2x+h )=2 x

Límites unilaterales

límx→a+

f ( x )=A → Acercamiento por la derecha de a ¿}¿¿ límx→a

f ( x ) existe ⇔ A=B ¿

Ejemplos

y=f ( x ) y=f ( x ) y=√x+2

límx→1−

f ( x )=3 ; límx→ 1+

f ( x )=5 límx→0−

f ( x )=1 ; límx→ 0+

f ( x )=1

límx→−2−

√x+2 no existe

límx→1

f ( x ) no existe límx→0

f ( x )=1

límx→−2+

√x+2=0 ; límx→−2

√ x+2 n.e .

Límites infinitos

Si límx→a

f ( x )≠0 y límx→ a

g( x )=0 → límx→a

f ( x )g( x )

=±∞, dependiendo del signo del cociente.

Ejemplos

-3 -2 -1 1 2 3 4

-7-6-5-4-3-2-1

12345

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4-3-2-1

1234

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

4

x

y

2

1límx→2

3( x−2 )2

=∞ , puesto que +/+ = + .Ver gráfica en la siguiente hoja, a la izquierda.

2lím

x→−1−

−2( x+1 )

=∞ , puesto que - / - = + ;

límx→−1+

−2( x+1 )

=−∞ , puesto que - / + = -

límx→−1

f ( x ) no existe. Ver gráfica en la siguiente hoja, en el centro.

3f ( x )=¿ {x−2 si x<1¿ ¿¿¿

límx→1−

f ( x )= límx →1−

(x−2 ) =−1;

límx→1+

f ( x )= límx →1+

1x−1

=∞

límx→1

f ( x ) no existe . Ver gráfica abajo a la derecha.

f ( x )= 3( x−2 )2 f ( x )= −2

x+1 f ( x )=¿ {x−2 si x<1 ¿ ¿¿¿

4

límx→3

x+3x2−9

→ ¿ { límx→3−

x+3x2−9

=−∞¿ ¿¿

Ver gráfica a la derecha. Observar que el punto (-3, -1/6) f ( x )= x+3

x2−9

no existe, puesto que: f ( x )= x+3

x2−9= 1

x−3si x≠−3

Límites al infinito

límx→±∞

f ( x )=L o

límx→±∞

f ( x )=±∞ . La x puede tender al infinito positivo o al infinito negativo y el

resultado del límite, en el segundo caso, puede ser infinito positivo o infinito negativo, dependiendo de la función.

Ejemplos

1límx→∞

3x+1

=0. Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores positivos.

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7-1

1

2

3

4

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5-4-3-2-1

1234

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-5-4-3-2-1

1234

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4-3-2-1

1234

x

y

3

límx→−∞

3x+1

=0. Cuando x crece al infinito, la función tiende a cero a través de valores negativos.

Ver la gráfica de la función en la siguiente hoja, a la izquierda.

2

límx→∞

5( x−4 )2

=0¿ }¿¿¿ En ambos casos, la función tiende a cero a través de valores positivos.

Ver gráfica en la siguiente hoja, en el centro.

3límx→∞

√x+7=∞ . Ver gráfica abajo a la derecha.

límx→−∞

√x+7 no existe, porque la función no está definida para valores de x≤−7

f ( x )= 3

x+1 f ( x )= 5

( x−4 )2 f ( x )=√ x+7

Todas las propiedades vistas para límites normales, también son válidas para límites al infinito.

Propiedad particular: Si p > 0

→ ¿{límx→∞

1x p =0 ¿¿¿

Cálculo de límites que implican la forma indeterminada ∞∞

1

límx→∞

2−5 x2

3 x2+x−1= lím

x→∞

2x2

−5

3+ 1x− 1

x2

= 0−53+0−0

=−53

=−53

2

límx→−∞

4 x2+xx3−3 x2+2

= límx→−∞

2x3

+ 1x2

1− 3x2 + 2

x3

= 0+01−0+0

=0

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-4-3-2-1

1234

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112

-2

-1

1

2

3

4

x

y

4

3

límx→∞

2−x−4 x3

x2+x+1= lím

x→∞

2x3

− 1x2

−4

1x+ 1

x2 + 1x3

=0−0−40+0+0

=−∞

Límites al infinito de funciones racionales (Reglas prácticas)

Si f ( x ) es una función racional (el cociente de dos funciones polinomio) y si an xn es el término con la

mayor potencia de x en el numerador y bm xm es el término con la mayor potencia de x en el denominador

→ límx→∞

f ( x )= límx→∞

an xn

bm xm y límx→−∞

f ( x )= límx→−∞

an xn

bm xm.

Ejemplos

1límx→∞

2−5 x2

3 x2+x−1=lím

x→∞

−5 x2

3 x2 =−53

=−53

2lím

x→−∞

4 x2+xx3−3x2+2

= límx→−∞

4 x2

x3 = límx→−∞

4x=0

3límx→∞

2−x−4 x3

x2+x+1=lím

x→∞

−4 x3

x2 = límx→∞

(−4 x )=−∞

Si f ( x ) es una función polinomio y an xn es el término con la mayor potencia de x

→ límx→±∞

f (x )= límx→±∞

(an xn )

Ejemplo

límx→∞

(−2 x3−3 x2+4 x+5 )= límx→∞

(−2 x3 )=−∞ ; límx→−∞

(−2 x3−3 x2+4 x+5 )= límx→−∞

(−2 x3 )=∞

Límite de una función definida por partes o intervalos

Ejemplos

1 f ( x )=¿ {2−x2 si x≤1¿ ¿¿¿ , encontrar límx→1

f ( x ) ; límx→∞

f ( x ) ; límx→−∞

f (x )

Como f ( x ) cambia de estructura en x=1 , se requiere evaluar límitesunilaterales.límx→1−

f ( x )= límx →1−

( 2−x2 )=1 ; límx →1+

f ( x )= límx→ 1+

(4 )=4 → límx→1

f ( x ) no existe

límx→∞

f ( x )= límx→∞

(4 )=4 ; límx→∞

f ( x )= límx→∞

(2−x2 )= límx→∞

(−x2 )=−∞

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5-4-3-2-1

1234

x

y

5

2f ( x )=¿ {x−1 si x<4 ¿ ¿¿¿

, encontrar límx→4

f ( x ) ; límx→∞

f ( x ) ; límx→−∞

f ( x )

límx→4−

f ( x )= límx→4−

( x−1 ) =3 ; límx→4+

f ( x )= límx →4+

(7−x ) =3 → límx→4

f ( x )=3

límx→∞

f ( x )=límx→∞

(7−x )=límx→∞

(−x )=−∞

límx→−∞

f ( x )= límx→−∞

( x−1 )= límx→−∞

( x )=−∞

Problemas

1 Si el costo total de producción de q artículos en una industria está dado por c=7 ,000+10 q , encontrar el costo promedio, cuando el nivel de producción crece continuamente.

c̄= cq=7 ,000

q+10 → lím

q→∞(7 ,000q

+10)=0+10=10, es decir, el costo promedio se

aproxima a un nivel estable de $10 / artículo.

2 La población p de una ciudad en t años está dada por p=50 ,000+18 , 000

(t+3 )2 . Encontrar la

población a largo plazo: límt →∞

p=límt→∞ [50 ,000+

18 , 000( t+3 )2 ]=50 , 000

habitantes3 Para una relación particular de huésped-parásito, si x representa la densidad de huéspedes,

es decir el número de huéspedes por unidad de área y y representa el número de parásitos

en un determinado período, entonces y= 1 , 000 x

12+40 x . Encontrar a qué valor se aproximaría el número de parásitos, si la densidad de huéspedes aumentara sin cota.

límx→∞

y= límx→∞

1,000 x12+50 x

= límx→∞

1 ,000 x50 x

= límx→∞

(20 )=20parásitos.

Continuidad de una función en un punto

Definición:

f ( x ) es continua en x=a⇔¿ {1 . f (a ) existe ¿ {2 . límx→a

f ( x ) existe ¿ ¿¿

Ejemplos

1

f ( x )=¿{13

x2 si x<3 ¿¿¿¿ Determinar si la función es continua en x=−1 , x=3 , x=5 :

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-5-4-3-2-1

1234

x

y

6

1 . f (−1 )=13(−1 )2=1

3; 2 . lím

x→−1f ( x )= lím

x→−1 (13

x2)=13

; 3 . límx→−1

f (x )=f (−1 )

Por lo tanto f ( x ) es continua en x=−1 .

1.f (3)=3−1=2; 2. lím

x→3−f ( x )= lím

x→3−( 13

x2)=3 , límx →3+

f ( x )= límx→3+

(x−1)=2 →

límx→3

f ( x ) no existe. Por lo tanto la función es discontinua en x=3 .

1. 1 . f (5 )=5−1=4 ; 2 . lím

x→5f ( x )=lím

x→5( x−1 )=4 →

es continua en x=5 .

2f ( x )=¿ {4 si x≤−2 ¿ ¿¿¿

Determinar si la función es continua en x=−2 :1 . f (−2 )=4 ; 2 . lím

x→−2−f ( x )= lím

x →−2−(4 )=4 , lím

x →−2+f ( x )= lím

x→−2+(6+x )=4 → lím

x →−2f ( x )=4

3.lím

x→−2f (x )=f (−2 )=4 →

la función es continua en x=−2 .

Continuidad de una función en un intervalo

Definición: f ( x ) es continua en ( a ,b ) ⇔ f ( x ) es continua para toda a< x<b

Propiedades de continuidad

1 La función polinomio es continua para todo número real, es decir es continua en el intervalo (−∞ ,∞).

2 La función racional (cociente de dos funciones polinomio), es discontinua sólo para aquellos valores de x en donde el denominador es cero.

Ejemplos

1f ( x )= x2−4

x2+2 x−15= x2−4

(x+5 ) ( x−3 )→ f ( x )

es discontinua en x=−5 y x=3

o dicho de otra forma, es continua en los intervalos (−∞ ,−5 ), (−5,3 ) y (3 ,∞)

2g( x )= x+2

x2+9 Como no existe ningún valor de x tal que el denominador sea cero, la función no tiene discontinuidades. Es decir, es continua en el intervalo (−∞ ,∞) .

3h( x )= 4−x−3 x2

x3−16 x2+63 x= 4− x−3 x2

x ( x2−16 x+63 )= 4−x−3 x2

x (x−9 ) ( x−7 )→

es discontinua en x=0 ,x=7 y x=9 . Es decir es continua en los intervalos (−∞ ,0 ) , (0,7 ) , (7,9 ) y (9 ,∞) .

7

Problemas

1 El costo c, en pesos, por enviar un paquete es de 50 pesos si pesa hasta 5 kilogramos, de 80 pesos si su peso es mayor de 5 y hasta 10 kilogramos, y de (x + 70) pesos si pesa más de 10 y hasta 50 kilogramos. Expresar la función del costo, analizar en qué puntos tiene discontinuidades y trazar su gráfica.

c ( x )=¿ {50 si 0<x≤5 ¿ {80 si 5<x≤10 ¿ ¿¿¿Los únicos puntos de probable discontinuidad son el 5 y el 10:

c (5 )=50 ; límx→5−

c ( x )=50 , límx →5+

c( x )=80 → límx→5

c ( x ) no existe.

Por lo tanto la función es discontinua en x=5 .

c (10 )=80 ; límx→10−

c( x )=80 , límx→10+

c (x )=80 → límx→ 10

c ( x )=80

Por lo tanto la función es continua en x=10 .

Su representación gráfica se encuentra abajo a la izquierda.

2 La tarifa telefónica de larga distancia entre las ciudades de Guadalajara y Ensenada es de $15 los primeros 3 minutos y de $(x + 20), para las llamadas de más de tres minutos. Expresar la función de la tarifa telefónica, analizar si hay puntos de discontinuidad y trazar su gráfica.

c ( t )=¿ {15 si t≤3 ¿ ¿¿¿. El único punto de probable discontinuidad está en t=3 :

c (3 )=15 ; límx→3−

c ( x )=límx→ 3−

(15)=15 , límx→3+

c ( x )= límx→ 3+

( t+20 )=23 → límx→3

c ( x ) no existe.

Por lo tanto la función es discontinua en t=3 .

Su gráfica se representa abajo a la derecha.

10 20 30 40 50 60

20

40

60

80

100

120

140

x

c

2 4 6 8 10 12 14

5

10

15

20

25

30

t

c

8

Gráfica del problema 1 Gráfica del problema 2

10 20 30 40 50 60

20

40

60

80

100

120

140

x

c

2 4 6 8 10 12 14

5

10

15

20

25

30

t

c

9