LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA - lung.si · PDF fileLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1...
Transcript of LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA - lung.si · PDF fileLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1...
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA
MATEMATIKA 1 – 1. del EKONOMSKI TEHNIK – PTI
gradivo za interno uporabo
Pripravila: Mateja Strnad
Šolsko leto 2011/12
MATEMATIKA 1
i
KAZALO
1 ŠTEVILA ............................................................................................................................... 1
1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA .......................................................................................... 1
1.1.1 Naravna števila ..................................................................................................... 1
1.1.2 Naravna števila – VAJE .......................................................................................... 2
1.1.3 Cela števila ............................................................................................................ 2
1.1.4 Cela števila – VAJE ................................................................................................ 3
1.1.5 Urejenost celih števil ............................................................................................ 3
1.1.6 Urejenost celih števil – VAJE ................................................................................. 4
1.1.7 Večkratniki ............................................................................................................ 4
1.1.8 Potence z naravnimi eksponenti .......................................................................... 4
1.1.9 Potence z naravnimi eksponenti – VAJE ............................................................... 4
1.1.10 Algebrski izrazi ...................................................................................................... 5
1.1.11 Algebrski izrazi – VAJE........................................................................................... 6
1.2 DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL ...................................................................................... 7
1.2.1 Kriteriji deljivosti ................................................................................................... 8
1.2.2 Praštevila in sestavljena števila ............................................................................ 8
1.2.3 Osnovni izrek o deljenju ....................................................................................... 9
1.2.4 Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik ........................................ 9
1.2.5 Deljivost naravnih števil – VAJE .......................................................................... 11
1.3 RACIONALNA ŠTEVILA ................................................................................................ 11
1.3.1 Razširjanje in krajšanje ulomkov ........................................................................ 12
1.3.2 Urejenost racionalnih števil ................................................................................ 12
1.3.3 Računske operacije z ulomki .............................................................................. 13
1.3.4 Ulomki – vaje ...................................................................................................... 13
1.3.5 Potence s celimi eksponenti ............................................................................... 16
1.3.6 Potence s celimi eksponenti – VAJE ................................................................... 16
1.3.7 Decimalni zapis racionalnih števil ....................................................................... 16
1.3.8 Periodična decimalna števila .............................................................................. 17
1.3.9 Decimalna števila – VAJE .................................................................................... 18
1.3.10 Sklepni račun ...................................................................................................... 18
MATEMATIKA 1
ii
1.3.11 Sklepni račun – VAJE ........................................................................................... 19
1.3.12 Procentni račun .................................................................................................. 19
1.3.13 Procentni račun – VAJE ....................................................................................... 20
1.4 REALNA ŠTEVILA ......................................................................................................... 20
1.4.1 Kvadratni in kubični koren .................................................................................. 20
1.4.2 Kvadratni in kubični koren – VAJE ...................................................................... 22
1.4.3 Interval ................................................................................................................ 22
1.4.4 Interval – VAJE .................................................................................................... 23
1.4.5 Absolutna vrednost ............................................................................................ 23
1.4.6 Absolutna vrednost – VAJE ................................................................................. 24
1.4.7 Približki in napake ............................................................................................... 24
1.4.8 Zaokroževanje – VAJE ......................................................................................... 25
1.4.9 Koreni višjih stopenj ........................................................................................... 25
1.4.10 Koreni višjih stopenj – VAJE ................................................................................ 26
1.4.11 Potence z racionalnimi eksponenti..................................................................... 26
1.4.12 Potence z racionalnimi eksponenti - VAJE .......................................................... 27
2 GEOMETRIJA V RAVNINI ................................................................................................... 27
2.1 OSNOVNI POJMI ......................................................................................................... 27
2.1.1 Osnovni pojmi – VAJE ......................................................................................... 30
2.2 SKLADNOST IN MERJENJE KOTOV .............................................................................. 31
2.2.1 Merjenje kotov – VAJE ........................................................................................ 32
2.3 VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST........................................................................... 32
2.3.1 Toge preslikave ................................................................................................... 33
2.3.2 Vaje ..................................................................................................................... 34
2.4 GEOMETRIJSKI LIKI ..................................................................................................... 34
2.4.1 Trikotnik .............................................................................................................. 34
2.4.2 Trikotnik – VAJE .................................................................................................. 35
2.4.3 Krog in krožnica .................................................................................................. 36
2.4.4 Krog in krožnica – VAJE ....................................................................................... 37
2.4.5 Štirikotnik in pravilni n-kotnik............................................................................. 37
2.4.6 Štirikotnik in pravilni n-kotnik – VAJE ................................................................. 39
2.5 Podobnost .................................................................................................................. 40
MATEMATIKA 1
iii
2.5.1 Podobnost – VAJE ............................................................................................... 41
2.6 Kotne funkcije ostrih kotov ........................................................................................ 41
2.6.1 Kotne funkcije ostrih kotov – VAJE ..................................................................... 43
2.7 METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI .......................................................................... 44
2.7.1 Ploščina in obseg ................................................................................................ 44
2.7.2 Ploščina in obseg – VAJE ..................................................................................... 46
2.7.3 Razreševanje trikotnika ...................................................................................... 48
2.7.4 Razreševanje trikotnika – VAJE ........................................................................... 48
2.7.5 Krog ..................................................................................................................... 49
2.7.6 Krog – VAJE ......................................................................................................... 49
3 FUNKCIJE IN ENAČBE ........................................................................................................ 50
3.1 Pravokotni koordinatni sistem ................................................................................... 50
3.1.1 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini ............................................................. 50
3.1.2 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini – VAJE ................................................. 51
3.1.3 Razdalja med dvema točkama v ravnini ............................................................. 51
3.1.4 Razdalja med točkama – VAJE ............................................................................ 52
3.1.5 Obseg in ploščina trikotnika v koordinatnem sistemu ....................................... 52
3.1.6 Obseg in ploščina trikotnika – VAJE .................................................................... 52
3.2 Realna funkcija ........................................................................................................... 53
3.2.1 Graf funkcije ....................................................................................................... 54
3.2.2 Lastnosti funkcij .................................................................................................. 54
3.2.3 Lastnosti funkcij – VAJE ...................................................................................... 56
3.3 LINEARNA FUNKCIJA IN LINEARNA ENAČBA .............................................................. 58
3.3.1 Linearna funkcija ................................................................................................. 58
3.3.2 Enačba premice v ravnini .................................................................................... 59
3.3.3 Linearna funkcija – VAJE ..................................................................................... 59
3.3.4 Linearna enačba .................................................................................................. 60
3.3.5 Linearna enačba – VAJE ...................................................................................... 61
3.3.6 Linearna neenačba.............................................................................................. 61
3.3.7 Linearna neenačba – VAJE .................................................................................. 61
3.3.8 Sistem linearnih enačb ....................................................................................... 62
3.3.9 Sistem linearnih enačb - VAJE ............................................................................. 63
MATEMATIKA 1
iv
3.4 Potenčna funkcija ....................................................................................................... 63
3.4.1 Premiki in raztegi funkcij .................................................................................... 65
3.4.2 Potenčna funkcija – VAJE .................................................................................... 66
3.5 Kvadratna funkcija ..................................................................................................... 66
3.5.1 Ničle kvadratne funkcije ..................................................................................... 67
3.5.2 Graf kvadratne funkcije ...................................................................................... 67
3.5.3 Kvadratna funkcija – VAJE .................................................................................. 68
3.5.4 Kvadratna enačba ............................................................................................... 69
3.5.5 Kvadratna enačba – VAJE ................................................................................... 69
3.5.6 Kvadratna neenačba ........................................................................................... 69
3.5.7 Kvadratna neenačba – VAJE ............................................................................... 69
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
1
1 ŠTEVILA
1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA
1.1.1 Naravna števila
1. Naravna števila so števila, s katerimi štejemo
⊆ = {1, 2, 3, 4,…} 2. Najmanjše naravno število je 1. 3. Vsako naravno število n ima natanko enega naslednika n+1, zato največjega naravnega
števila ni. 4. Številska premica
Naravna števila ponazorimo geometrijsko s premico p na kateri izberemo točko O, ki jo imenujemo izhodišče. Desno od točke O izberemo točko E, ki predstavlja število 1. Razdalja med točkama O in E predstavlja enoto. Z nanašanjem daljice OE v desno dobimo slike naravnih števil.
5. V množici naravnih števil sta definirani operaciji seštevanje in množenje. 6. Računski zakoni
Zakon o zamenjavi členov (komutativnost seštevanje)
abba +=+
Zakon o zamenjavi faktorjev (komutativnost množenja)
abba ⋅=⋅
Zakon o poljubnem združevanju členov (asociativnost seštevanja)
)()( cbacba ++=++
Zakon o poljubnem združevanju faktorjev (asociativnost množenja)
)()( cbacba ⋅⋅=⋅⋅
Zakon o razčlenjevanju (distributivnost)
cabacba ⋅+⋅=+⋅ )(
Obstaja nevtralni element za množenje
� ∙ 1 = 1 ∙ � = �
7. Reševanje številskih izrazov:
a. Izraze rešujemo od leve proti desni, pri čemer najprej množimo, potem seštevamo,
razen če oklepaji ne narekujejo drugače.
b. Če imamo izraz z oklepaji, najprej razrešimo notranje oklepaje.
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
2
1.1.2 Naravna števila – VAJE
1. Izračunaj
a. 2 + 3 ∙ 4 + 5 =
b. 2 ∙ 3 + 4 ∙ 5 =
c. (2 + 3) ∙ 4 + 5 =
d. 2(3 + 4 ∙ 5) =
e. (5 + 1)(2 + 3) =
2. Izračunaj
a. (3 + 4) ∙ 7 + 2 ∙ (5 + 1) =
b. (8 + (2∙3+1) ∙ 4) ∙ 10 =
c. (3 ∙ 5 + 1) + �(4 + 2 ∙ 3) + 5� ∙ 6 + 7 ∙ 8 =
d. �(5 ∙ 3 + 4 + 1) ∙ 6 + 10� ∙ 10 =
e. 2 + ��(3 + 7 ∙ 2) ∙ 5 + 1� ∙ 6� ∙ 4 =
1.1.3 Cela števila
1. Množico celih števil dobimo tako, da naravnim številom dodamo število 0 in nasprotne
vrednosti naravnih števil.
∧ = {…, -2, -1, 0, 1, 2,…}
∧ = ∧- ∪ 0 ∪�∧+
∧+ = ⊆
2. Računske operacije v množici celih števil: seštevanje, množenje in odštevanje.
3. Računski zakoni
• Veljajo vsi računski zakoni, ki veljajo za računanje z naravnimi števili.
• Obstaja nevtralni element za seštevanje
� + 0 = 0 + � = �
• Vsakemu celemu številu a pripada celo število –a, tako da velja
� + (−�) = 0
Število –a imenujemo nasprotno število števila a.
4. Absolutna vrednost celega števila
Absolutna vrednost števila a pomeni oddaljenost števila a od izhodišča. Absolutna
vrednost števila je pozitivno število ali pa število 0.
Absolutno vrednost števila a označimo z ���. �−4� = 4
�4� = 4
5. Računanje s celimi števili:
• Seštevanje
če imata seštevanca različna predznaka, odštejemo manjšo absolutno vrednost od
večje absolutne vrednosti in rezultat opremimo s predznakom seštevanca, ki ima
večjo absolutno vrednost
3 + (−7) = −4
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
3
(−3) + 7 = 4
če imata seštevanca enaka predznaka, predznak prepišemo, absolutni vrednosti
števil pa seštejemo
(−3) + (−7) = −10
3 + 7 = 10
• Odštevanje:
Odšteti neko število je enako kot prišteto njegovo nasprotno vrednost.
� − � = � + (−�) 3 − 7 = 3 + (−7)
• Množenje:
če je število negativnih faktorjev sodo, je produkt pozitivno število
če je število negativnih faktorjev liho, je produkt negativno število
(+�) ∙ (−�) = −��
(−�) ∙ (+�) = −��
(−�) ∙ (−�) = +��
(+�) ∙ (+�) = +��
1.1.4 Cela števila – VAJE
1. Izračunaj
a. (−5) + (−2) − (−4) − (+7) =
b. (+5) + �(−8) + �(−6) + (+4)�� =
c. 2(−5) − 4(−3) + (−3)(+7) =
d. �(−3) + (+7)��(−5) + (−2)� =
e. 3 + �5 − (4 + 3 ∙ 2)�(1 − 3) =
f. (−7) − �(−5)(+6) − (+3)(−4)�(4 − 6) =
g. 4(−5) + ��−6 − (−3)(−1)� − 9(−5)� (9 − 10) =
1.1.5 Urejenost celih števil
Številska množica je urejena, če lahko po velikosti primerjamo poljubna dva elementa.
Za poljubni celi števili a in b velja natanko ena od možnosti:
a > b (a je večji od b)
a < b (a je manjši od b)
a = b
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
4
1.1.6 Urejenost celih števil – VAJE
1. Števila 3, -2, 5, -1, 0, -7, 6, -6 uredi po velikosti.
2. Nariši števila na številsko premico in jih uredi po velikosti.
a. 5, -2, 1, 0, -4, 3
b. 4, -4, 3, -3, 2, -2
1.1.7 Večkratniki
Naj bo a celo število. Če seštejemo k takih števil, dobimo spet celo število, ki ga imenujemo
večkratnik števila a.
� + � + � +⋯+ � = � ∙ �� ! "#
1.1.8 Potence z naravnimi eksponenti
Krajši zapis produkta n enakih faktorjev
� ∙ � ∙ � ∙ … ∙ � = �%� ! "%
imenujemo potenca in preberemo a na n.
Številu a pravimo osnova, številu n pa eksponent.
Pravila za računanje s potencami
1. Množenje potenc z enako osnovo Dve potenci z enakima osnovama zmnožimo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa seštejemo
�% ∙ �& = �%'& 2. Potenciranje produkta
Produkt dveh ali več števil potenciramo tako, da potenciramo posamezne faktorje (� ∙ �)% = �% ∙ �%
3. Potenciranje potenc Potenco potenciramo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa zmnožimo
(�&)% = �&∙% 4. Negativna osnova
(−�)(% = �(% (−�)(%') = −�(%')
1.1.9 Potence z naravnimi eksponenti – VAJE
1. Izračunaj
a. (−3)( + (9 ∙ (−2) + 4) − 3( − 6 ∙ (−2) + 2 ∙ 13 =
b. 2* ∙ 3( − 5 ∙ 2+ + 10( =
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
5
2. Poenostavi
a. �+ ∙ � =
b. 4,( ∙ 3,- =
c. (−2�) ∙ (+7�*) =
d. 3�( ∙ 5�* =
e. 5��* ∙ 6�*�- =
f. 4,*. ∙ (−7,./) =
g. (�+)* ∙ (�()( ∙ (�*)- =
h. (−�)-(−�)* =
i. (−3�(�*)- =
j. 0(3,*0)((−2.(0)* =
1.1.10 Algebrski izrazi
Številski izraz je smiselni računski zapis števil, računskih operacij in oklepajev.
Algebrski izraz je oznaka za računski izraz, v katerem nastopajo tudi spremenljivke.
Številski izraz Algebrski izraz Ime
3 + 4 � + � + 1 vsota
5 − 1 � − � razlika
3 ∙ 4 �� produkt
2* �( potenca
Izraze poimenujemo tudi po številu členov, ki jih sestavljajo
Ime Algebrski izraz
enočlenik � �� �*
dvočlenik � − � 2� + �
tričlenik � + � − 1
Računanje z izrazi je v glavnem dveh vrst:
1. Razširjanje izrazov: računanje potenc dvočlenikov ali veččlenikov, računanje vrednosti
izraza,…
2. Poenostavljanje izrazov: faktorizacija (zapis izraza kot produkt več faktorjev), Vietovo
pravilo, izpostavljanje skupnega faktorja,…
Kvadrat dvočlenika
Kvadrat dvočlenika je tričlenik, ki ga sestavljajo: kvadrat prvega člena, dvakratni produkt
prvega in drugega člena in kvadrat drugega člena.
(� ± �)( = �( ± 2�� + �(
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
6
Kub dvočlenika
Kub dvočlenika je štiričlenik, ki ga sestavljajo: kub prvega člena, trikratni produkt kvadrata
prvega člena in drugega člena, trikatni produkt prvega člena in kvadrata drugega člena in kub
drugega člena.
(� + �)* = �* + 3�(� + 3��( + �*
(� − �)* = �* − 3�(� + 3��( − �*
Produkt vsote in razlike istih dveh členov
(� + �)(� − �) = �( − �(
Razcep razlike dveh kvadratov
�( − �( = (� + �)(� − �)
Razcep vsote in razlike dveh kubov
�* + �* = (� + �)(�( − �� + �() �* − �* = (� − �)(�( + �� + �()
Izpostavljanje skupnega faktorja
Po distributivnostnem zakonu lahko v veččleniku izpostavimo skupni faktor, ki je lahko tudi
algebrski izraz.
2�( + 4�� = 2�(� + 2�)
Viètovo pravilo
Pravilo za razcep kvadratnega tričlenika z vodilnim koeficientom 1.
,( + 3, + 4 = (, + �)(, + �); č7�87�� + � = 3�9:�� ∙ � = 4
1.1.11 Algebrski izrazi – VAJE
1. Kvadriraj
a. (� + 3)( =
b. (� − 3)( =
c. (2� + 5)( =
d. (3� − 2�)( =
2. Kubiraj
a. (� + 1)* =
b. (� − 2)* =
c. (2, + 1)* =
d. (2: − 5)* =
3. Zmnoži izraze
a. (, + 2)(, − 2) =
b. (� + 3)(� − 3) =
c. (2� − 7)(2� + 7) =
d. (5, + 1)(5, − 1) =
e. (� + 1)(�( − � + 1) =
f. (� + 3)(� + 5) =
g. (, − 7)(, + 4) =
h. (� − 10)(� − 3) =
i. (, + 7�)(, + 4�) =
j. (�� + 1)(�� − 31) =
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
7
4. Izpostavi skupni faktor
a. 5, − 10 =
b. 2�( − 4�� =
c. ,(. + ,.( =
d. 4�(� + 6�� =
e. 4�� − ��( =
f. 10�*� − 5�(�( + 10�� =
g. �+ − �- + �* =
5. Razstavi izraze
a. 2�* − 18� =
b. 3�- − 108�( =
c. �( + 8� + 12 =
d. �( − 3� − 10 =
e. ,* + 27 =
f. �* − 8 =
g. :( + 2: − 15 =
h. ,( − 9, + 20 =
6. Razstavi
a. ,* + ,( + 3, + 3 =
b. ,* + 2,( − 2, − 4 =
c. ,* − 4,( − 3, + 12 =
d. ;- − 6;* − ; + 6 =
e. 2:- − 16:* + 30:( =
f. ,- − 3,* + 2,( =
g. �+ + 14�- + 13�* =
h. ,+. − 8,(.- =
i. �-� − 27��- =
j. −4�+�* − 32�(�< =
7. Skrči izraze in rezultate razstavi a. (� + 3)(� − 1) + 2(� − 4)(� + 4) − 2�( = b. (2, − 5)( − (3, − 4)(3, + 4) + 6,(, + 3) − 44 = c. (3� − 5)(3� + 5) − (2� − 3)( − �(12 − �) + 10 =
1.2 DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL
Naravno število a je delitelj naravnega števila b, če obstaja naravno število k, da velja:
� = � ∙ �
Trditve:
• Število a je delitelj samega sebe in vseh svojih večkratnikov.
• 1 je delitelj vsakega naravnega števila.
• Če d deli naravni števili n in m, n>m, potem d deli tudi vsoto in razliko števil n in m.
Če število a deli število b, potem sta števili a in b v relaciji deljivosti. Zapišemo ��� (a deli b)
��� �=� = � ∙ �
Lastnosti relacije deljivosti:
1. Je refleksivna
���, ker je � = 1 ∙ �
2. Je antisimetrična
če ��� in ���, potem je � = �
3. Je tranzitivna
če ��� in ��1, potem ��1
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
8
1.2.1 Kriteriji deljivosti
Kriteriji deljivosti so pravila, s katerimi si pomagamo pri ugotavljanju, ali je dano število
deljivo z izbranimi števili.
1. Deljivost z 2, 5 in 10
Število je deljivo z 2, če je zadnja števka soda ali 0.
Število je deljivo s 5, če je zadnja števka 5 ali 0.
Število je deljivo z 10, če je zadnja števka 0.
2. Deljivost s 3 in 9
Število je deljivo s 3 oz. z 9, če je vsota njegovih števk deljiva s 3 oz. 9.
3. Deljivost s 6
Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3.
4. Deljivost z 10%
Število je deljivo z 10%, če je zadnjih n mest enakih 0.
1.2.2 Praštevila in sestavljena števila
Vsa naravna števila lahko, glede na število deliteljev, razdelimo na 3 skupine:
1. V prvi skupini je samo število 1, ki ima samo enega delitelja – samega sebe.
2. V drugi skupini so števila, ki imajo natanko dva delitelja: 1 in samega sebe. To so
praštevila.
3. V tretji skupini so števila, ki imajo več kot dva delitelja. To so sestavljena števila.
Osnovni izrek aritmetike:
Vsako naravno število lahko na en sam način zapišemo kot produkt potenc s praštevilskimi
osnovami.
Primer:
Razstavimo število 2520 na prafaktorje
2520 2 1260 2
630 2 315 3 105 3
35 5 7 7 1
2520 = 2* ∙ 3( ∙ 5 ∙ 7
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
9
1.2.3 Osnovni izrek o deljenju
Za poljubni naravni števili a in b (a večji ali enak b) obstajata natanko določeni števili k in r iz
⊆0, da velja
� = � ∙ � + > 0 ≤ > < �
Število a je deljenec, število b je delitelj, število k je količnik in število r je ostanek, ki je
manjši od delitelja b ali je enak 0.
Če je ostanek enak 0, potem je število a večkratnik števila b.
Primer:
Delimo število 23 s 7.
23 = 3 ∙ 7 + 2
Količnik je 3 in ostanek je 2.
1.2.4 Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik
Skupni delitelj dveh števil a in b je število d, ki deli obe števili.
Dve števili imata vsaj en skupni delitelj 1.
Največji skupni delitelj števil a in b je največje število od tistih, ki delijo števili a in b.
Označimo ga z D(a,b).
Primer:
Delitelji števila 8: {1, 2, 4, 8}
Delitelji števila 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Skupni delitelji obeh števil: {1, 2, 4}
Največji skupni delitelj D(8, 12) = 4
Najmanjši skupni večkratnik števil a in b je najmanjše število od tistih, ki so deljiva s
številoma a in b. Označimo ga z v(a,b).
Primer:
Večkratniki števila 8: {8, 16, 24, 31, 40, 48, 56,…}
Večkratniki števila 6: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…}
Skupni večkratniki obeh števil: {24, 48,…}
Najmanjši skupni večkratnik v(6, 8) = 24
Iskanje D(a, b):
1. Števili a in b zapišemo kot produkt praštevil
2. Poiščemo tista praštevila, ki so v obeh številih, za eksponent vzamemo najmanjšega od
eksponentov tega praštevila
3. Produkt teh praštevil je največji skupni delitelj
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
10
Iskanje v(a, b):
1. Števili a in b zapišemo kot produkt praštevil
2. Za vsako praštevilo, ki se pojavi v številu a ali b, poiščemo največji eksponent
3. Produkt teh praštevil je najmanjši skupni večkratnik
Primer
Poiščimo največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 240 in 186.
240 2 186 2 120 2 93 3
60 2 31 31 30 2 1 15 3
5 5 1
240 = 2- ∙ 3 ∙ 5
186 = 2 ∙ 3 ∙ 31
A(240, 186) = 2 ∙ 3 = 6
C(240, 186) = 2- ∙ 3 ∙ 5 ∙ 31 = 7440
Evklidov algoritem
Je računski postopek, s katerim določimo največji skupni delitelj dveh števil. Uporabimo ga
tedaj, ko sta števili a in b veliki ali pa ju ne znamo razcepiti na prafaktorje. Temelji na
osnovnem izreku o deljenju.
Poiščimo največji skupni delitelj števil 6300 in 1815 z Evklidovim algoritmom.
Večje število delimo z manjšim. Uporabimo osnovni izrek o deljenju.
6300 = 3 ∙ 1815 + 855
Prejšnji delitelj delimo z ostankom 1815 = 2 ∙ 855 + 105
Ponovimo postopek iz prejšnje vrstice 855 = 8 ∙ 105 + 15
Ponovimo postopek iz prejšnje vrstice 105 = 7 ∙ 15 + 0
Evklidov algoritem se zaključi, ko dobimo ostanek 0.
Največji skupni delitelj števil 6300 in 1815 je zadnji od 0 različni ostanek.
A(6300, 1815) = 15
Pravilo
Produkt najmanjšega skupnega večkratnika in največjega skupnega delitelja dveh števil je
enak produktu obeh števil.
C(�, �) ∙ A(�, �) = � ∙ �
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
11
1.2.5 Deljivost naravnih števil – VAJE
1. Za števila 24, 45, 65, 84, 120, 158, 252, 360, 765, 928, 4781 ugotovi ali so deljiva s
katerim od števil 2, 3, 5, 6, 9 ali 10.
2. Zapiši števko a tako, da bo število 124a79 deljivo z 9.
3. Ugotovi za kateri števki a je število 3676a deljivo s 6.
4. Razstavi števila na prafaktorje
a. 72
b. 96
c. 116
d. 147
e. 180
f. 765
g. 828
h. 1485
5. Števila 15, 21, 37, 64, 95 deli s številom 5. Zapiši račune v obliki osnovnega izreka o
deljenju naravnih števil.
6. Poišči prvih osem skupnih deliteljev števil 180 in 450.
7. Poišči največji skupni delitelj parov števil
a. 15, 24
b. 36, 56
c. 136, 204
d. 1242, 1224
8. Poišči najmanjši skupni večkratnik parov števil
a. 6, 16
b. 20, 33
c. 48, 84
d. 124, 174
9. Z Evklidovim algoritmom poišči največji skupni delitelj naslednjih parov števil
a. 96, 78
b. 237, 431
c. 357, 453
10. Za dane pare števil poišči največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik
a. 76, 44
b. 153, 68
c. 369, 551
d. 4350, 9450
11. Zapiši največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik izrazov
a. 4�(�*, 6�*�
b. �( − 9, �( − 6� + 9
c. 0* − 80(, 0- + 60*
d. 2�* − 4�(, �< − 8�*
1.3 RACIONALNA ŠTEVILA
Pri deljenju dveh celih števil rezultat ni vedno celo število. Cela števila bomo dopolnili z
ulomki.
DE a…števec, b…imenovalec
Deljenje z 0 nima pomena zato imenovalec ne sme biti enak 0.
Racionalna števila so števila, ki jih lahko zapišemo v obliki ulomka DE, pri čemer sta a in b
poljubni celi števili (� ≠ 0). Množico racionalnih števil označimo s črko ∠.
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
12
∠ = G�� ; �, �� ∈ ∧, � ≠ 0I
Nasprotna vrednost ulomka DE je ulomek − D
E. Vsota danega in njemu nasprotnega ulomka je
enaka 0. �� + �−
��� = 0
Obratna vrednost ulomka DE je ulomek, katerega števec in imenovalec sta med seboj
zamenjana ED.
����J) = �� ; � ∙ � ≠ 0
Vrednost ulomka je enaka nič, če je števec enak nič:
0� = 0
1.3.1 Razširjanje in krajšanje ulomkov
Ulomek razširimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z istim neničelnim številom. Pri
tem se vrednost ulomka ne spremeni.
13 =
1 ∙ 23 ∙ 2 =
26
Ulomek krajšamo tako, da števec in imenovalec delimo z istim neničelnim številom. Pri tem
se vrednost ulomka ne spremeni.
812 =
8: 412: 4 =
23
Če je negativen samo števec ali samo imenovalec, je celoten ulomek negativen. Če sta
negativna števec in imenovalec, je celoten ulomek pozitiven.
1.3.2 Urejenost racionalnih števil
Racionalna števila lahko ponazorimo na številski premici. Vsakemu racionalnemu številu
pripada natanko ena točka na številski premici. Slike pozitivnih ulomkov ležijo desno, slike
negativnih ulomkov pa levo od koordinatnega izhodišča.
Pri dveh ulomkih DE in
LM imamo tri možnosti:
1. prvi ulomek je večji od drugega DE > L
M
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
13
2. drugi ulomek je večji od prvega DE < L
M
3. ulomka sta enaka DE = L
M
Ulomka DE in
LM sta enaka, če velja � ∙ O = � ∙ 1
Kako uredimo ulomke po velikosti?
1. razširimo ulomke na skupni imenovalec
2. primerjamo števce razširjenih ulomkov
1.3.3 Računske operacije z ulomki
Seštevanje in odštevanje ulomkov
Vsoto oziroma razliko ulomkov dobimo tako, da ulomke razširimo na skupni imenovalec (to
je najmanjši skupni večkratnik) in seštejemo oziroma odštejemo števce.
�� ±
1O =
�O�O ±
�1�O =
�O ± �1�O
Množenje ulomkov
Ulomka množimo tako, da števec pomnožimo s števcem, imenovalec pa z imenovalcem. �� ∙1O =
�1�O
Deljenje ulomkov
Ulomek DE delimo z neničelnim ulomkom
LM tako, da ulomek
DE množimo z obratno vrednostjo
ulomka LM.
�� :1O =
�� ∙ �
1O�
J) = �� ∙O1 =
�O�1
Dvojni ulomek: ��1O= �� :
1O =
�� ∙O1 =
�O�1
1.3.4 Ulomki – vaje
1. Številom )* , − (
P , 3 )/ , − </ , −2 poišči nasprotna števila.
2. Ulomka P/ in − ))
< predstavi s točkama na številski premici.
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
14
3. Ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec:
a. *+ , (*
b. /)( , *- , − )
< c.
)Q , − /
)( , -* , 3
4. Ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec
a. )R , )S
b. )RTS , RS
c. *R-ST , (*RS
d. -RS , *RTS , RSU
5. Spodnje ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec
a. (D , )DJ(
b. )RJ( , )
R'( c.
(DDTJP , *
DTJ*D
d. *
DT'D , -DD'* , 2�
6. Dane ulomke zapiši z okrajšanimi ulomki
a. )(()
b. )+(+
c. <Q)-
d. +-Q)
7. Okrajšaj ulomke
a. -R<R
b. *DU<DT
c. RVRW
d. )(DVET)QDTE
e. *<XUY)ZQXVY
f. JQQDTEUL)()DEULT
8. Okrajšaj ulomke
a. (D'--
b. +DJ++
c. RTJR(R
d. DTEJDUET
DVE
e. (DT')(D')Q
(D'<
f. RUJ-R(RT'-R
9. Ali so dani ulomki enaki?
a. (* , -<
b. *))( , +((Z
c. )-P , − -(
(/ d. − /
+ , − +<-Z
10. Uredi po velikosti števila
a. (+ , )( , *)Z b. −5, *)< , − ()
- , *Q , ))( , 6, − *PQ
11. Izračunaj
a. *Q + )
Q =
b. )( + (
* =
c. -+ − (
* =
d. 5 *-+ 2 )< =
e. 3 -+− 1 *- =
f. *- + P
+− )(Z =
g. )( − )
*− *)Z =
h. 2 *-+ 4 )*− 2 +< =
i. )( − )
*− �(*+ )<� =
j. +< + �*-− )
Q� =
k. +< + [*-− �)Q− )
<�\ =
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
15
12. Izračunaj
a. D+ + D
( =
b. *D + +
D =
c. (E* + +E
< =
d. /+D + *
-D =
e. *R- + +R
* − R< =
f. )D + -
*+ <+D =
g. *X- − ; − X
+ =
h. +(R − *
- + RJ)R =
i. D'E( + (DJE
* =
j. DJ*- − DJ)
* =
k. D'ED + (DJ*E
E =
l. *RRJ)+ R')
RJ) =
m. X'*X'(+ XJ)
X'( =
n. *D'((D'-+ D'-
D'( =
o. R'*
RT'QR')<− RJ*R'- =
p. *DT
DTJDJ(+ )D')− *D
D'( =
q. (R
RT'(RJ*− (RTJR + <
RU'(RTJ*R =
13. Izračunaj
a. )* ∙ )- =
b. -/ ∙ <+ =
c. -+ ∙ )+Q =
d. (−8) ∙ ))- =
e. DP ∙ D- =
f. *D ∙ +D =
g. <R ∙ Q* =
h. *DT- ∙ QD =
i. <DET+ ∙ )ZD()ET =
j. 7,( ∙ -*+RU =
14. Izračunaj
a. R')R ∙ R'(R') = b.
RTJ*R'(RTJ) =
15. Izračunaj
a. (* : +- =
b. 8: *Q =
c. �−4 (*� : 7 /Q =
d. *R( : -R+ =
e. +RT* : PR
U(Z =
f. RJ)R : RJ)( =
g. D'*(D : DJ)-D =
h. DTJ-*D : DTJ(D<D =
16. Dan je izraz -
DT'*D − ()JDPDJDU + D'*
DTJ*D.
a. Poenostavi izraz.
b. Za � = 4 izračunaj vrednost izraza.
c. Ali ima izraz za � = 3 in za � = −3 smisel?
17. Izračunaj
a. RTJ)<+ ∙ �2 − (RJ(
R'- � =
b. RU'-RT'*R
(R'- : RT'*R'(( =
c. � )DTJ*D'(� : � *
DJ)− *DJ(+ +
DTJ-D'-� =
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
16
1.3.5 Potence s celimi eksponenti
Potenca z eksponentom 0
�Z = 1; � ≠ 0
Potenca z negativnim eksponentom
�J% = 1�% ; � ≠ 0
Za računanje s potencami veljajo naslednja pravila:
enaki osnovi enaka eksponenta
množenje �& ∙ �% = �&'% �% ∙ �% = (��)%
deljenje �&�% = �&J%
�%�% = �
���
%
potenciranje (�&)% = �&∙%
1.3.6 Potence s celimi eksponenti – VAJE
1. Zapiši kot celo število ali z okrajšanim ulomkom
a. 5(, 5J), 2*, 2J*, 4J(, 17Z
b. 10*, 10J), 10J(, 10J*, (−10)J(, (−10)J+
2. Izračunaj
a. 2* ∙ 2J< =
b. 3J*: 3- =
c. 5J-: 5J+ =
d. (2J*)( ∙ )- =
3. Izračunaj
a. �( ∙ �J- =
b. ,J-: ,+ =
c. (�+)J( ∙ (�J*)- =
d. (�J*)J-: (�()J) =
e. (��()J*: (�*�)J( =
f. (2,)J+ ∙ (3,)( =
g. (4,()J*: (2J(,)- =
4. Poenostavi izraze
a. (2�J*�() ∙ (2J(�-�)) =
b. (�(�J() ∙ (�J)�() ∙ (�(�*) =
c. (5��J(): (5(�J*�() =
d. (��J)) ∙ (�(�*): (�(�J)) =
1.3.7 Decimalni zapis racionalnih števil
Desetiški ulomki so tisti številski ulomki, katerih imenovalec lahko razširimo do potence
števila 10. Vsak desetiški ulomek se da zapisati v obliki končnega decimalnega števila.
35 =
610 = 0,6
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
17
Racionalno število, ki je zapisano v decimalni obliki, zapišemo v obliki ulomka tako, da število
najprej zapišemo kot desetiški ulomek, nato pa dobljeni ulomek še krajšamo.
17,45 = 17 45100 = 17920
Računanje z decimalnimi števili
1. seštevanje in odštevanje:
decimalna števila napišemo drugo pod drugo, tako da je decimalna vejica pod decimalno
vejico, in nato računamo kot običajno.
4 , 7 6 + 3 , 7 8 5
4 , 5 4 5
2. množenje:
decimalno število z m decimalkami in decimalno število z n decimalkami pomnožimo tako
kot cela števila, v rezultat pa postavimo decimalno vejico tako, da je za njo n+m decimalk.
3,785 ∙ 4,76 =? 3785 ∙ 476 = 1801660
3,785 ∙ 4,76 = 18,01660 = 18,0166
3. deljenje:
pri deljenju decimalnih števil pomnožimo deljenec in delitelj s tako potenco števila 10, da
postane delitelj celo število.
1,55: 0,625 =�= 1550: 625 = 2,48
1.3.8 Periodična decimalna števila
Racionalno število DE �(� ≠ 0) spremenimo v decimalno število tako, da izračunamo vrednost
a : b.
Vsi ulomki niso desetiški. Tak ulomek je )*. Če bi ga hoteli zapisati kot decimalno število, bi
morali zapisati neskončno decimalk:
13 = 0,3333…
Decimalne številke, pri katerih se decimalke ponavljajo, imenujemo periodična decimalna
števila. V našem primeru se ponavlja 3, zato je perioda 3. Označimo jo z vodoravno črto nad
števko.
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
18
13 = 1, 3̂
Vsako racionalno število lahko zapišemo kot končno decimalno število ali kot neskončno
periodično decimalno število.
1.3.9 Decimalna števila – VAJE
1. Zapiši z decimalnim številom
a. ))Z , *P)Z , )*)ZZ
b. )( , )- , *-
c. *Q , /(Z , (*+Z
2. Zapiši z okrajšanim ulomkom
a. 2,5
b. 0,3
c. 1,75
d. 0,09
e. 1,375
f. 1,68
3. Uredi po velikosti
−18 ; �0,025;�−522 ;�
150 ;�
76 ;�−0,227; 1,16;�−
320
4. Izračunaj
a. 4,5 ∙ 12,3 − 7,33 =
b. 1,152: 7,2 + 12,97 =
c. 3,8 ∙ 13,05 − 0,05 ∙ 18,12 =
5. Zapiši v decimalnem zapisu
a. (*
b. *))
c. */
d. /((
6. Zapiši z okrajšanim ulomkom
a. 2, 3̂
b. 0, 48^̂^̂
c. 1, 18^̂^̂
d. 0,07̂
e. 0,013^̂^̂
f. 2,023̂
7. Izračunaj
a. (* ∙ 0, 3̂ − 0,4 = b. 0,2 ∙ 0,83̂ − 1,75: *- =
1.3.10 Sklepni račun
Razmerje je primerjanje dveh istovrstnih količin med sabo.
Razmerje med številoma a in b zapišemo �: � (a proti b). Števili a in b sta člena razmerja.
Sorazmerje je enakost dveh razmerij.
�: � = 1: O �=� ∙ O = � ∙ 1
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
19
Produkt zunanjih členov sorazmerja je enak produktu njegovih notranjih členov.
Premo sorazmerje
Dve količini sta premo sorazmerni, če se zaradi povečanja ene količine 2-krat, 3-krat …, tudi
druga količina poveča natančno 2-krat, 3-krat …
Obratno sorazmerje
Dve količini sta obratno sorazmerni, če se zaradi povečanja ene količine 2-krat, 3-krat …,
druga količina natančno 2-krat, 3-krat … zmanjša.
Naloge, v katerih nastopajo premo in obratno sorazmerne količine, rešujemo s sklepanjem (s
sklepnim računom).
1.3.11 Sklepni račun – VAJE
1. Izračunaj neznani člen sorazmerja
a. ,: 7 = 3: 5 b. 3: , = 6: 5
2. En liter bencina tehta 0,7 kg. Koliko tehta 54 litrov bencina?
3. 20 metrov visoko drevo ima 8 metrov dolgo senco. Kako dolgo senco ima ob istem času
mali Žan, ki meri točno 1 m?
4. Pet delavcev naredi v eni uri 1200 izdelkov. Koliko izdelkov naredi v eni uri 20 delavcev?
5. Šest pleskarjev je prebarvalo tovarniško dvorano v 21 urah. V kolikšnem času bi isto delo
opravil en sam pleskar?
6. Z zalogo hrane bi 15 ljudi shajalo 32 dni. Koliko časa bi shajalo z isto zalogo hrane 12
ljudi?
1.3.12 Procentni račun
Večkrat želimo povedati, kako velik del celote, rečemo ji tudi osnove, pomeni določen delež.
To naredimo tako, da izračunamo količnik med deležem in osnovo. Rezultat imenujemo
relativni delež. Osnovo označimo z o, delež z d in relativni delež z r.
> = O_
Relativni delež lahko zapišemo v obliki ulomka, decimalnega zapisa ali odstotka.
1% = 1100
1‰ = 11000
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
20
Splošen obrazec za procentni račun (s p označimo število procentov):
3 = O ∙ 100_
1.3.13 Procentni račun – VAJE
1. Zapiši z ulomkom:
a. 5%
b. 7,5%
c. 40%
d. 5‰
e. 8‰
2. Zapiši v procentih:
a. *+
b. /)Z
c. P(Z
d. +)(
3. Od 520 prijavljenih tekmovalcev se jih je 494 udeležilo tekme. Koliko procentov
prijavljenih se je udeležilo tekmovanja? Kolikšen procent prijavljenih se tekme ni
udeležil?
4. V podjetju je 1 200 zaposlenih. Od tega je 47% moških in 53% žensk. Koliko je zaposlenih
žensk in koliko moških?
5. Avtomobil, ki je stal 19 700€ se je pocenil za 8,5%. Kolikšna je nova nižja cena
avtomobila?
1.4 REALNA ŠTEVILA
Množica realnih števil ∇ je množica vseh takih števil, ki se dajo zapisati z neskončnim
decimalnim zapisom. Sestavljajo jo racionalna in iracionalna števila. Racionalna števila imajo
končen ali neskončen ponavljajoč (periodičen) decimalni zapis, iracionalna števila pa imajo
neskončen neponavljajoč (neperiodičen) decimalni zapis in jih ne moremo zapisati v obliki
ulomka.
Številske množice so povezane tako:
⊆�∧�∠�∇
1.4.1 Kvadratni in kubični koren
b�c
Poiskati kvadratni koren danega števila a (� ≥ 0) pomeni poiskati tako nenegativno število
x, da je ,( = �.
Poiskati kubični koren danega števila a pomeni poiskati tako število x, da je ,* = �.
korenjenec
korenski eksponent korenski znak
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
21
Računanje s koreni
1. Seštevanje korenov
Seštevamo in odštevamo lahko le korene z istim korenskim eksponentom in istim
korenjenencem.
b� + b� = 2b�
b�U + b�U = 2b�U
2. Množenje korenov
Množimo lahko korene z istim korenskim eksponentom.
b� ∙ b� = b��
b�U ∙ b�U = b��U
3. Deljenje korenov
Delimo lahko korene z istim korenskim eksponentom.
b�: b� = b�b� = e��
b�U : b�U = b�Ub�U = e��
U
Pri računanju s koreni veljajo tudi naslednja pravila
�b��( = �
�b��% = b�%
b�� = b� ∙ b�
e�� =b�b�
(b�U )* = �
(b�U )% = b�%U
b��U = b�U ∙ b�U
e��U = b�U
b�U
Delno korenjenje kvadratnega korena
Pri delnem korenjenju število razcepimo na produkt dveh faktorjev, od katerih je en faktor
popoln kvadrat. Ker lahko ta faktor korenimo, drugega pa ne, pravimo temu delno
korenjenje
b12 = b3 ∙ 4 = b3 ∙ b4 = 2b3
Racionalizacija imenovalca
Racionalizacija imenovalca je postopek s katerim odpravimo koren iz imenovalca ulomka.
�b� =
� ∙ b�b� ∙ b� =
�b�� ; � ≠ 0
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
22
40b7 =
40 ∙ b7b7 ∙ b7 =
40b77
1.4.2 Kvadratni in kubični koren – VAJE
1. Izračunaj spodnje korene
a. b81
b. b225
c. b10000
d. e)-
e. e P(+
f. b27U
g. b−64U
h. e Q)(+
U
2. Poenostavi
a. b36�(
b. b,- c. eDTET
3. Delno koreni
a. b8
b. b50
c. b80
4. Natančno izračunaj
a. b20 + b45 b. b32 − b72 + 3b98
5. Racionaliziraj
a. )(b*
b. )<b)(
c. (DEb(E
d. )
b(J) e.
</'b/
f. +'b*+Jb*
1.4.3 Interval
Dani sta dve realni števili a in b tako, da je � < �. Množico vseh realnih števil med a in b
imenujemo interval. Števili a in b sta krajišči intervala. Zaprti interval vključuje poleg vseh
števil med a in b tudi obe krajišči, odprti interval je brez krajišč, polodprti oziroma polzaprti
interval pa vključuje levo ali desno krajišče.
zaprti interval
f�, �g = h, ∈ ∇; � ≤ , ≤ �i
odprti interval
f�, �g = h, ∈ ∇; � < , < �i
b a 0
b a 0
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
23
na levo odprti in na desno zaprti interval
f�, �g = h, ∈ ∇; � < , ≤ �i
na desno odprti in na levo zaprti interval
f�, �g = h, ∈ ∇; � ≤ , < �i
Zapis podmnožic realnih števil s simbolom intervala:
∇' = (0,∞)
∇Z' = f0,∞) ∇J = (−∞, 0)
∇ZJ = (−∞, 0g ∇ = (−∞,∞)
1.4.4 Interval – VAJE
1. Na številski premici predstavi interval
a. f2, 5g b. f0,4)
c. (−3,1g d. (−2, 2)
2. Množice zapiši z intervali in jih predstavi na številski premici
a. h, ∈ ∇; 2 < , < 5i b. h, ∈ ∇; �−2 ≤ , ≤ 2i
c. h, ∈ ∇; �−3 < , ≤ 4i d. h, ∈ ∇; −5 ≤ , < 0i
1.4.5 Absolutna vrednost
Geometrijsko pomeni absolutna vrednost števila a njegovo oddaljenost na številski premici
od števila 0.
Absolutna vrednost ��� števila a je enaka a, če je število a nenegativno, če pa je število a
negativno, je enaka – �:
��� = G �; � ≥ 0−�; � < 0
Lastnosti absolutne vrednosti:
1. ��� ≥ 0
2. ��� = 0 �=� = 0
3. ��� = �−�� 4. �� ∙ �� = ��� ∙ ��� 5. �� + �� ≤ ��� + ���
Razdalja med številoma a in b na številski premici je enaka �� − ��.
b a 0
b a 0
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
24
1.4.6 Absolutna vrednost – VAJE
1. Izračunaj absolutno vrednost števila
a. 4
b. −3
c. −5
d. 0
e. − )(
2. Izračunaj
a. �3� + �−2� b. �−11� − �4� c. 3 ∙ �−4� + �−2� d. �−8� − 4 ∙ �3� e. 3 ∙ �−2� − 4 ∙ �3 − 2 ∙ 5� f. �−3 + 1� − 2 ∙ �4 ∙ 1 − 17� − �8 − 4 ∙ 9�
3. Izračunaj razdaljo med danima številoma na številski premici
a. 3, 7
b. −2, 4
c. −5,−2
d. 3, −7
1.4.7 Približki in napake
Označimo z a točno vrednost izmerjene količine, z A pa njen približek. Pri merjenju smo
storili napako, ki je enaka �� − l�. Imenujemo jo absolutna napaka.
Če z m označimo največjo možno vrednost za absolutno napako, potem je točna vrednost
omejena z l − m < � < l + m
Pogosto nas pri ocenjevanju napak bolj kot velikost napake zanima njeno razmerje s točno
vrednostjo. Dobljeno razmerje imenujemo relativna napaka in je enaka �DJn�D . Relativno
napako običajno izrazimo v odstotkih.
Zaokroževanje
Rezultat lahko zaokrožimo na dva načina:
• na n mest natančno (rezultat je zapisan z n števkami)
• na n decimalnih mest natančno (za decimalno vejico je n števk)
Kako zaokrožujemo?
• Če je prva odvržena števka 0, 1, 2, 3 ali 4, obdržane števke ostanejo nespremenjene.
• Če je prva odvržena števka 5, 6, 7, 8 ali 9, zadnjo obdržano števko povečamo za 1. Če
je zadnja obdržana števka 9, povečamo za 1 tudi prejšnjo števko.
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
25
1.4.8 Zaokroževanje – VAJE
1. Izračunaj s kalkulatorjem in rezultat zaokroži na 3 decimalna mesta natančno
a. 2 + b5
b. b6U + b2U
c. 3,5( ∙ o
d. b*JTU<
2. Izračunaj s kalkulatorjem in rezultat zaokroži na 4 mesta natančno
a. 2 ∙ b13
b. �-/ ∙ 3,2 − 3� ∙ 2,2 − 4
1.4.9 Koreni višjih stopenj
Število b je n-ti koren iz a natanko takrat, ko je �% = �.
� = b�c �=�% = �
Za sodi korenski eksponent je korenjenec a lahko le pozitivno realno število. Za lihi korenski
eksponent je število a lahko pozitivno ali negativno realno število.
Velja:
b1c = 1
b0c = 0
b�%c = �
�b�c �% = �
Računanje s koreni
1. Seštevanje korenov
b�c + b�c = 2b�c
2. Potenca korena
�b�c �& = b�&c
3. Krajšanje in razširjanje korenskega in potenčnega eksponenta:
b�&c = b�&∙pc∙q 3 ≠ 0
b�&c = b�&:rc:s > ≠ 0
4. Množenje korenov
b�c ∙ b�c = b� ∙ �c
MATEMATIKA 1 ŠTEVILA
26
6. Deljenje korenov
b�c
b�c = e��c
7. Koren korena
e b�tc = b�c∙t
1.4.10 Koreni višjih stopenj – VAJE
1. Izračunaj
a. b121
b. b81V
c. b32u
d. b64U
2. Poenostavi
a. b�-Tv
b. b�*wx
c. y,)(.)QW
d. y,)Z.(+u
3. Poenostavi
a. y,.(U ∙ y,+.U
b. y,(.V ∙ y,(./V
c. y,J*.<u ∙ y,J(.-u
d. b�U ∙ b�V
e. b�u ∙ b�wu
f. b� ∙ b�U
4. Poenostavi
a. eyb8�<Z�)(1<uUV
b. y,b,UU
c. y,b,U
d. y,(b,UV
1.4.11 Potence z racionalnimi eksponenti
Za poljubno naravno število n, celo število m in nenegativno realno število a je definirana
potenca z racionalnim eksponentom
�&% = b�&c
Za računanje s tako definiranimi potencami veljajo enaka pravila kot za računanje s
potencami s celimi eksponenti.
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
27
1.4.12 Potence z racionalnimi eksponenti - VAJE
1. Zapiši kot koren
a. 17wU
b. 15wT
c. 22TU
d. �+<�wu
e. 7JwT
2. Zapiši kot potenco
a. b31U
b. b68u
c. b142+U
d. b73/u
3. Izračunaj
a. 169wT
b. 81wV
c. 8wU
d. 27VU
4. Poenostavi
a. �wU ∙ �TU
b. �Tu ∙ � wwv
c. �Vu ∙ �JTU
d. �VU: �wU
e. �Uu: � wwv
f. ��wU�UT
g. ��UV�wU
5. Natančno izračunaj
a. �*(�J( − 3Z ∙ 3J)
b. 27JwU − 3( + 10 ∙ 2Z
c. �−2�wT�J)�( ∙ (�(�J()J)
2 GEOMETRIJA V RAVNINI
2.1 OSNOVNI POJMI
Aksiom je temeljna in nazorna resnica, s katero se vsi strinjamo. Aksiom je resnica, ki je ne
dokazujemo, ampak verjamemo, da je pravilna.
Izreki so bolj ali manj razumljive trditve, katerih resničnost pa ni očitna. O resničnosti
posameznih izrekov se matematik prepriča z natančnim sklepanjem.
Definicije so opisi novih pojmov in določenih lastnosti. Definicija je natančen dogovor, o čem
govorimo, ko omenimo nek pojem.
Osnovni geometrijski pojmi so točka, premica in ravnina.
Točko narišemo s krožcem ali križcem in označimo z veliko črko A, B, C,…
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
28
Premico narišemo z ravno črto, označimo pa z malo črko p, q, s, t,…
Ravnino narišemo kot paralelogram, ki predstavlja samo del ravnine, označimo pa z velikimi
grškimi črkami Φ, Π, Ω,…
Aksiom: Dve različni točki določata natanko eno premico.
Točke l), l(, l*…, ki ležijo na isti premici, so kolinearne, če ne ležijo na isti premico, pa so
nekolinearne.
Aksiom: Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino.
Točke l), l(, l*, l-…,ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne, če ne ležijo na isti ravnini, pa
so nekomplanarne.
Aksiom: Če imata premica in ravnina dve skupni točki, leži vsa premica na tej ravnini.
Dve različni premici imata lahko največ eno skupno točko.
Premici, ki imata natanko eno skupno točko, se sekata. Skupno točko imenujemo presečišče
premic.
Premici, ki ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali ki sovpadata, sta
vzporedni. Premici, ki ne ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke, sta
mimobežni.
Ravnina je enolično določena
• s premico in točko, ki ne leži na tej premici
• s premicama, ki se sekata
• z dvema vzporednicama, ki ne sovpadata
Ravnini, ki nimata nobene skupne točke ali pa imata vse točke skupne, sta vzporedni.
Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno točko, ravnino prebada. Skupno točko
imenujemo prebodišče P.
Aksiom: Če so tri različne točke kolinearne, ena vedno leži med drugima dvema.
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
29
Aksiom: Če sta A in B dve različni točki premice p, potem na premici p ležita vsaj še dve točki
C in D, in sicer C leži med A in B, D pa tako, da C leži med A in D.
Med dvema različnima točkama premice je neskončno mnogo točk.
Za poljubni dve točki A in B je definirana razdalja O(l, z) med točkama A in B, za katero
velja:
1. O(l, z) ≥ 0
2. O(l, z) = 0 natanko takrat, ko je l = z
3. O(l, z) ≤ O(l, {) + O({, z) za poljubno točko C (trikotniška neenakost)
Če za dve različni točki A, B in točko C velja O(l, z) = O(l, {) + O({, z), potem točka C leži
na premici, ki poteka skozi točki A in B, in sicer med točkama A in B.
Množica točk premice, ki ležijo med različnima točkama A in B, vključno z A in B, je daljica
AB. Točki A in B sta njeni krajišči. Dolžina �|}� daljice lz je razdalja med točkama A in B.
Poljubna točka O razdeli premico na dva poltraka, ki imata točko O za izhodišče.
Premica na kateri leži daljica oz. poltrak je nosilka daljice oz. poltraka.
Množica vseh točk, ki so od točke S oddaljene za pozitivno število r, je krožnica s središčem S
in polmerom (radiem) r. Množica vseh točk, ki so od točke S oddaljene manj ali enako r, je
krog s središčem S in polmerom r.
Vsaka premica p razdeli ravnino na dve polravnini. Premica p je rob polravnine. Točki A in B
ležita na isti polravnini, če daljica AB ne seka roba polravnine.
Enostavni lik je množica točk v ravnini, katero omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne
seka.
Množica točk v ravnini je konveksna, če za poljubni točki A in B iz te množice velja, da je
daljica AB njena podmnožica.
Dva poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota. Če poltraka ne ležita na isti premici, je
eden od kotov konveksen, drugi pa nekonveksen.
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
30
Če poltraka ležita na isti premici, vendar na različnih straneh izhodišča, določata dva enaka
konveksna – iztegnjena kota. Če se poltraka na isti premici pokrivata, določata polni kot ali
ničelni kot.
Kota, ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazen, sta sosedna kota.
Sosedna kota, katerih kraka, ki nista skupna, ležita na isti premici, sta sokota.
Označevanje kotov
• ∢(ℎ, �); s poltrakoma h in k, ki določata kot
• ∢l�z; s točko A na enem poltraku, vrhom V in točko B na drugem poltraku
• �, �, �, �…; z grškimi črkami
Tri nekolinearne točke A, B in C določajo trikotnik ABC. Točke A, B in C so oglišča trikotnika,
daljice AB, AC in BC so njegove stranice. Koti ∢zl{, ∢l{z, ∢{zl so notranji koti trikotnika
ABC. Sokoti notranjih kotov so zunanji koti trikotnika.
Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri vrtenja
urinega kazalca, če si sledijo v smeri vrtenja urinega kazalca, je negativno orientiran.
Točke l), l(… ,l% v ravnini, od katerih nobene zaporedne tri ne ležijo na isti premici,
določajo n-kotnik. Točke l), l(… ,l% so oglišča n-kotnika; daljice, ki povezujejo sosedni
oglišči, so stranice n-kotnika; daljice, ki povezujejo dve nesosedni oglišči, pa diagonale n-
kotnika.
Število diagonal n-kotnika je enako
:(: − 3)2
Če za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala oglišča ležijo na isti polravnini te
nosilke, je n-kotnik konveksen.
2.1.1 Osnovni pojmi – VAJE
1. V ravnini nariši tri različne premice p, q in r. Koliko presečišč lahko določajo? Nariši vse
različne primere.
b a
c
C
B A
α β
γ
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
31
2. Nariši tri nekolinearne točke A, B in C.
a. Nariši vse različne daljice, ki jih določajo te točke. Kaj lahko poveš o presekih teh
daljic?
b. Nariši poltrake, ki imajo eno od danih točk za izhodišče ter potekajo skozi eno od
drugih dveh točk.
3. Izračunaj število diagonal 8-kotnika, 13-kotnika in 20-kotnika.
4. Točka A leži med točkama B in C. Kolikšna je razdalja med točkama B in C, če je:
a. O(l, z) = 4�cm, O(l, {) = 8 cm
b. O(l, z) = 3�m, O(l, {) = 7 m
5. Dana je točka A. Nariši množico vseh točk, ki so od točke A oddaljene
a. 3 cm
b. 2 cm
6. Dana je točka T. Nariši množico vseh točk, ki so od točke T oddaljene za največ
c. 3 cm
d. 2,7 cm
2.2 SKLADNOST IN MERJENJE KOTOV
Dva lika � in �) sta skladna, če lahko lik � prenesemo na lik �) tako, da se popolnoma
prekrijeta. Znak za skladnost je ≅.
Daljici sta skladni natanko takrat, ko sta enako dolgi.
Trikotnika sta skladna, če se ujemata:
• v vseh treh stranicah
• v dveh stranicah in kotu med njima
• v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti daljše os obeh stranic ali
• v eni stranici in njej priležnih kotih.
Orientacija kota je pozitivna, če si kraka sledita v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, če
si sledita v smeri vrtenja urinega kazalca, pa je orientacija negativna.
Osnovna enota za merjenje kotov je kotna stopinja. Kot velikosti 1° je 360. del polnega kota.
Poznamo še kotno minuto (1°=60') in kotno sekundo (1'=60'').
Kota sta skladna natanko takrat, ko sta enako velika.
Kot � je oster, če je 0° < � < 90°, in top, če je 90° < � < 180°. Če je � = 90°, je � pravi
kot.
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
32
Kota � in � sta suplementarna, če je njuna vsota 180°: � + � = 180° . Kota � in � sta
komplementarna, če je njuna vsota 90°: � + � = 90°. Sokota sta suplementarna.
Kota sta sovršna, če se njuna kraka dopolnjujeta v premico. Sovršna kota sta skladna.
Kot med (sekajočima) premicama je manjši izmed kotov, ki jih določata.
Naj premica r seka premico p pod kotom �, premico q pa pod kotom �. Premici p in q sta
vzporedni natanko takrat, ko je � = �.
2.2.1 Merjenje kotov – VAJE
1. Dane kote zapiši na minuto natančno
a. � = 15°13′10′′ b. � = 47°35�54��
c. � = 81°3′31′′ 2. Kota � in � sta suplementarna. Koliko meri �, če je � =
a. 80°
b. 115°
c. 35°25'
d. 14°23'37''
3. Kota � in � sta komplementarna. Koliko meri �, če je � =
a. 27°
b. 28,7°
c. 19°16'
d. 89°18''
2.3 VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST
Aksiom o vzporednici: Skozi izbrano točko, ki ne leži na premici, lahko tej premici narišemo
natanko eno vzporednico.
Če vzporednici sekamo s premico, dobimo dve presečišči, ob njiju pa pare kotov z
vzporednimi kraki:
1. pari kotov (�, �), (�, �), (��, �′), (��, �′) imajo oba kraka vzporedna v isto smer
2. pari kotov (�, �), (�, �), (��, �′), (��, �′) imajo oba kraka vzporedna v nasprotno smer,
imenujemo jih tudi sovršni koti
3. pari kotov (�, �′), (�, �′), (�, �′), (�, �′) imajo en krak vzporeden v isto smer, drug krak
pa vzporeden v nasprotno smer.
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
33
Para kotov z vzporednimi kraki sta ali skladna ali suplementarna.
Pravokotnica je premica, ki dano premico seka pod pravim kotom.
V ravnini je na dano premico mogoče skozi izbrano točko narisati natanko eno pravokotnico.
Pravokotna projekcija točke T na premico p je točka, ki leži na presečišču premice p in
pravokotnice skozi točko T na premico p. To je točki T najbližja točka premice p, označimo jo
s T'.
Razdalja točke T od premice p:
O(�, 3) = O(�, �′) = ���′�, kjer je T' projekcija točke T na premico p.
Pravokotna projekcija daljice AB na premico je daljica A'B' – njeni krajišči sta pravokotni
projekciji točk A in B.
2.3.1 Toge preslikave
Preslikave v ravnini, ki ohranjajo razdalje, so toge preslikave. Toga preslikava preslika lik v
skladen lik.
• Vzporedni premik za dano usmerjeno daljico preslika trikotnik ABC v skladen trikotnik
A'B'C'. Orientacija se pri tem ohranja.
• Vrtenje trikotnika ABC okoli točke O za dani kot �. Orientacija trikotnika se ohranja.
• Zrcaljenje trikotnika ABC čez premico p (orientacija se obrne) in čez točko Z (orientacija
se ohrani).
Množica je simetrična glede na dano premico, če se pri zrcaljenju čez to premico preslika
vase. Tej premici rečemo simetrijska os, somernica ali simetrala.
Množica je središčno simetrična, če obstaja točka, čez katero se množica preslika vase.
V
U
p1
��'
�'
�
�'
�'
� �
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
34
2.3.2 Vaje
1. Dana je premica p in na njej točka T. Nariši premico q, ki je pravokotna na premico p in
poteka skozi točko T.
2. Dana je premica p in točka T, ki ne leži na premici. Nariši premico q, ki je pravokotna na
premico p in poteka skozi točko T.
3. Dana je premica p in točka T, ki ne leži na premici. Nariši premico q, ki je vzporedna
premici p in poteka skozi točko T.
4. Dana je premica p. Nariši množico točk, ki so od premice p oddaljene
a. 2 cm
b. 2,5 cm
5. Dan je kot � = 60° s krakoma k in h. V kotu določi točko T, ki je od kraka k oddaljena 3
cm, od kraka h pa 2 cm.
6. Izberi dve različni točki A in B. Zavrti točko B okrog dane točke A za kot:
a. 180°
b. 60°
c. −45°
7. Nariši premico p in točko A izven premice. Prezrcali točko A čez premico p.
8. Nariši trikotnik s podatki � = 5 cm, 1 = 6 cm, � = 45°. Prezrcali ga čez nosilko stranice c.
9. Nariši simetralo daljice AB z dolžino 6 cm.
10. Konstruiraj kote 60°, 90°, 45° in 30°.
2.4 GEOMETRIJSKI LIKI
2.4.1 Trikotnik
�, �, � so notranji koti trikotnika ABC, sokoti notranjih kotov trikotnika pa so zunanji koti
tega trikotnika.
Vsota notranjih kotov trikotnika je 180°. Vsota zunanjih kotov trikotnika je 360°.
Zunanji kot v trikotniku je enak vsoti notranjih nepriležnih kotov.
V trikotniku leži nasproti daljše stranice večji kot in obratno, nasproti večjega kota leži daljša
stranica. Vsota dolžin poljubnih dveh stranic trikotnika je večja od dolžine tretje stranice.
Višina na stranico trikotnika je daljica, ki povezuje oglišče z nosilko nasprotne stranice in je
pravokotna nanjo. Njena dolžina je razdalja oglišča od nasprotne stranice.
A B
C
� �
�
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
35
Nosilke vseh treh višin na stranice trikotnika se sekajo v eni točki, ki jo imenujemo višinska
točka in je ena od znamenitih točk trikotnika.
Težiščnica na stranico v trikotniku je daljica, ki povezuje oglišče z razpoloviščem nasproti
ležeče stranice. Težiščnice na vse tri stranice poljubnega trikotnika se sekajo v isti točki, ki se
imenuje težišče trikotnika in je ena od znamenitih točk trikotnika. Težišče deli težiščnico v
razmerju 2:1.
Trikotnik v katerem sta dve stranici enako dolgi, imenujemo enakokrak trikotnik. Enako
dolgi stranici sta kraka, tretja stranica pa je osnovnica. Simetrala kota nasproti osnovnice je
hkrati simetrala osnovnice, torej jo razpolavlja pod pravim kotom.
2.4.2 Trikotnik – VAJE
1. Izračunaj tretji notranji kot trikotnika
a. � = 40°, � = 80° b. � = 23°25�, � = 71°11′ 2. Izračunaj preostale notranje in zunanje kote trikotnika
a. � = 50°, �� = 100° b. �� = 95°20�, � = 14°15′ 3. Koliko merijo notranji koti, če so v razmerju 2:7:9?
4. Katera stranica trikotnika ABC je najdaljša, če merita dva izmed njegovih kotov:
a. � = 42°, � = 71° b. � = 76°45�, � = 26°31′ 5. Nariši trikotnik z danimi podatki in določi njegovo višinsko točko
a. 1 = 5 cm, CL = 4 cm, � = 45° b. � = 3 cm, CE = 5 cm, � = 120° 6. Nariši trikotnik z danimi podatki in določi njegovo težišče
a. � = 5,5 cm, 1 = 6 cm, �L = 5 cm b. � = 4 cm, � = 7 cm, �E = 4 cm
7. Nariši trikotnik s podatki
a. CL = 4,8 cm, � = 60°, � = 45° b. � = 5 cm, CD = 4 cm, � = 30°
c. 1 = 6 cm, �L = 5 cm, � = 75° d. CL = 5 cm, �E = 4 cm, � = 60°
A B
C
c
a
bV
A B
C
T
c
ab
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
36
2.4.3 Krog in krožnica
Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke. Izbrana točka je
središče krožnice, razdalja od središča do poljubne točke na krožnici pa polmer ali radij
krožnice.
t: tangenta
s: sekanta
�lz�: tetiva
lz� : lok
točki A in B določata lok in tetivo
r: polmer
> = 2O: premer ali diameter
E in F: diametralni točki
Naj bosta A in B točki na krožnici. Obodni kot nad lokom lz� je kot, ki ima vrh na krožnici,
kraka pa gresta skozi točki A in B. Središčni kot nad lokom lz� je kot, katerega vrh je središče
krožnice, kraka pa gresta skozi točki A in B.
Nad istim lokom meri obodni kot polovico središčnega kota:
� = 2�
Vsi obodni koti nad istim lokom so enaki.
S
S
A B
T
A B
S
A B
T
�
�
SEF
D
AB
t
s
r
d
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
37
Talesov izrek o kotu v polkrogu: Če je osnovnica trikotnika premer kroga in tretje oglišče leži
na krožnici, je trikotnik pravokoten.
Trikotniku lahko vedno očrtamo in včrtamo krožnico. Središče trikotniku očrtane krožnice je
presečišče simetral stranic, središče trikotniku včrtane krožnice pa je presečišče simetral
kotov. Obe točki sta znameniti točki trikotnika.
2.4.4 Krog in krožnica – VAJE
1. Koliko meri obodni kot nad lokom, nad katerim meri središčni kot:
a. 82°
b. 123°32'
c. 126°
d. 95°17'
2. Obodni kot je za 65° manjši od središčnega kota nad istim lokom. Koliko merita oba kota?
3. Nariši trikotnik z danimi podatki in mu očrtaj krog
a. � = 5,5 cm, � = 5 cm, 1 = 6 cm b. � = 3 cm, � = 30°, � = 120° 4. Nariši trikotnik z danimi podatki in mu včrtaj krog
a. � = 4 cm, CE = 5 cm, � = 45° b. � = � = 6 cm, � = 75°
2.4.5 Štirikotnik in pravilni n-kotnik
Štirikotnike delimo glede na število parov vzporednih stranic v tri skupine:
• paralelograme, ki imajo dva para vzporednih stranic
• trapeze, ki imajo en par vzporednih stranic
• trapezoide, ki nimajo nobenega para vzporednih stranic.
Vsak štirikotnik ima dve diagonali. Diagonala e povezuje oglišči A in C, diagonala f pa oglišči B
in D.
Vsota notranjih kotov štirikotnika je 360°.
A B
C
So
A B
C
Sv
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
38
Paralelogram
a, b: stranici
A, B, C, D: oglišča
l{ = 7, zA = �: diagonali
�, �: notranja kota
S: presečišče diagonal
Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic.
Prav tako velja, da je štirikotnik paralelogram, če izpolnjuje enega od naslednjih pogojev:
• poljubni nasprotni stranici sta skladni
• poljubna nasprotna kota sta skladna
• poljubna sosedna kota sta suplementarna
• diagonali se razpolavljata
Romb je paralelogram, ki ima vse stranice enako dolge. Diagonali se sekata pod pravim
kotom in razpolavljata notranje kote.
Pravokotnik je paralelogram, ki ima vse notranje kote prave. Diagonali sta enako dolgi.
Kvadrat je pravokotnik, ki ima vse stranice enako dolge. Je hkrati tudi romb.
A
D
a
Ba
Ca
a
A Ba
D
b
Ca
b
dd
BA
D C
a
a
a
a
A
D
B
C
b
a
ef
S
� �
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
39
Trapez
lz, {A: osnovnici
lA, zA: kraka
7 = l{, � = zA: diagonali
��: srednica trapeza povezuje razpolovišči krakov in
je vzporedna osnovnicama
Dolžina srednice je aritmetična sredina obeh osnovnic
� = � + 12
Enakokraki trapez ima enako dolga kraka in enako dolgi diagonali. Kota ob osnovnici sta
skladna. Lahko mu očrtamo krog.
Deltoid
Deltoid ima dva para enako dolgih stranic. Diagonali sta pravokotni, ena diagonala
razpolavlja drugo. Kota pri A in C sta skladna. Deltoid ima eno simetrijsko os.
�, �: stranici
7, �: diagonali
�, �, �, �: notranji koti
Pravilni n-kotnik
Pravilni n-kotnik ima vse stranice enake in enake notranje kote. Vsota njegovih notranjih
kotov je (: − 2) ∙ 180°, velikost notranjega kota pa je n-ti del vsote.
2.4.6 Štirikotnik in pravilni n-kotnik – VAJE
1. Nariši paralelogram s podatki
a. � = 5 cm, � = 4,5 cm, � = 60° b. � = 5 cm, � = 3 cm, 7 = 7 cm
c. � = 5,5 cm, � = 4,5 cm, CD = 4 cm
A B
D
d
a
C
b
c
E F
e f
A Ce
D
B
f
b
aa
b
�
�
�
�
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
40
2. Nariši pravokotnik s podatki
a. � = 5,5 cm, O = 7 cm b. � = 6 cm, ∢(O, �) = 30° 3. Nariši kvadrat katerega
a. stranica meri 6 cm b. diagonala meri 8 cm
4. Nariši romb s podatki
a. � = 5 cm, � = 75° b. � = 5 cm, 7 = 8 cm
c. 7 = 8 cm, � = 5 cm
5. Nariši trapez s podatki
a. � = 6 cm, � = 5 cm, 1 = 3 cm, 7 = 7 cm
b. � = 7 cm, O = 5 cm, 1 = 4 cm, � = 75° c. � = 10 cm, � = 5 cm, � = 60°, � = 75° d. � = 7 cm, � = 5 cm, 1 = 2 cm, O = 3 cm
6. Nariši enakokraki trapez s podatki � = 6 cm, � = 5 cm, 7 = 7 cm.
2.5 PODOBNOST
Podobnostna preslikava P s faktorjem � > 0 je preslikava točk v ravnini, ki dve točki preslika
tako, da je razdalja njunih slik s številom k pomnožena razdalja točk A in B.
�(l) = l)
�(z) = z)
�l)z)� = � ∙ �lz�
Talesov izrek o sorazmerjih:
Če množico premic, ki se sekajo v eni točki sekamo z množico vzporednic, je razmerje
odsekov na eni premici šopa enako razmerju enakoležnih odsekov na katerikoli premici
istega šopa.
��l)�: �l)z)� = ��l(�: �l(z(� ali
��l)�: ��l(� = ��z)�: ��z(�
Trikotnika lz{ in l)z){) sta podobna, če imata enaka razmerja vseh stranic in enake vse
notranje kote.
�: �: 1 = �): �): 1), � = �), � = �), � = �) ⇒ ∆lz{~∆l)z){)
Dva trikotnika sta si podobna, če se ujemata
1. v razmerju dveh enakoležnih stranic: �: �) = �: �) = 1: 1) = �
V
A2
A1
B2
B1
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
41
2. v dveh kotih, npr. � = �), � = �)
3. v razmerju dveh stranic in v vmesnem kotu, npr. �: 1 = �): 1), � = �)
Izreki v pravokotnem trikotniku
Višinski izrek
Kvadrat višine v pravokotnem trikotniku je enak produktu pravokotnih projekcij katet na
hipotenuzo.
C( = �) ∙ �)
Evklidov izrek
Kvadrat katete v pravokotnem trikotniku je enak produktu hipotenuze in pravokotne
projekcije te katete na hipotenuzo.
�( = �) ∙ 1 �( = �) ∙ 1
Pitagorov izrek
Kvadrat hipotenuzo v pravokotnem trikotniku je enak vsoti kvadratov obeh katet.
1( = �( + �(
2.5.1 Podobnost – VAJE
1. Razdeli daljico AB dolžine 5,8 cm na:
a. 4 enake dele b. 7 enakih delov
2. Stranice trikotnika ABC merijo: � = 4 cm, � = 5 cm, 1 = 9 cm. Določi preostali stranici
trikotniku ABC podobnega trikotnika A'B'C', če je
a. �� = 12 cm b. �� = 2,5 cm
3. Natančno izračunaj neznane količine v pravokotnem trikotniku
a. � = 15 cm, � = 20 cm, 1 =? , �) =? , �) =? , C =? b. � = 45 cm, �) = 27 cm, � =?, 1 =? , �) =? , C =?
2.6 KOTNE FUNKCIJE OSTRIH KOTOV
Naj bo � ostri kot v pravokotnem trikotniku. Sinus kota � je količnik med kotu � nasprotno
kateto in hipotenuzo. Kosinus kota � je količnik med kotu � priležno kateto in hipotenuzo.
AB
c
C
b
a
N
v
a1b1
� �
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
42
Tangens kota � je količnik med kotu � nasprotno kateto in priležno kateto. Kotangens kota
� je količnik med kotu � priležno kateto in nasprotno kateto.
sin � = LD cos � = E
L tan � = DE cot � = E
D
Zveze med kotnimi funkcijami
tan � = sin �cos �
cot � = cos �sin �
tan � ∙ cot � = 1
�9:(� + 1_�(� = 1
Velikost kotnih funkcij lahko ponazorimo v enotskem krogu, katerega polmer je enak 1.
Ker smo se omejili le na ostre kote, potrebujemo le del krožnice v I. kvadrantu. V njem si
izberimo poljuben poltrak z začetkom v koordinatnem izhodišču, ki s pozitivnim delom
abscisne osi določa kot �. Iz presečišča poltraka s krožnico narišemo pravokotnico na
abscisno os in tako dobimo pravokotni trikotnik. Njegovi kateti sta koordinati točke �(,, .), hipotenuza pa je polmer enotske krožnice.
Razmerje med kotu � nasprotno kateto in hipotenuzo je y, zato nam velikost ordinate
predstavlja velikost kotne funkcije sin �.
Podobno nam velikost abscise točke �(,, .) na enotskem krogu grafično predstavlja velikost
kotne funkcije cos �.
�(,, .) = �(cos � , sin �)
C Ab
B
a c
�
0 1-1
1
-1
T(x,y)
�
x
y
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
43
Če se kot � veča od 0° do 90°, se ordinata točke na enotski krožnici veča od 0 do 1. Funkcija
sin � torej za ostre kote od 0° do 90° raste.
Pri enaki rasti kota � pa se abscisa točke �(,, .) manjša od 1 do 0. Zato funkcija cos � za
ostre kote pada.
Natančne vrednosti kotnih funkcij za nekatere kote:
0° 30° 45° 60° 90°
sin � 0 12
b22
b32 1
cos � 1 b32
b22
12 0
tan � 0 b33 1 b3 ∞
cot � ∞ b3 1 b33 0
Za izračun kotnih funkcij preostalih kotov uporabimo kalkulator.
Sinus kota je enak kosinusu komplementarnega kota in obratno, pa tudi tangens kota je enak
kotangensu komplementarnega kota in obratno.
sin � = cos(90° − �) cos � = sin(90° − �) tan � = cot(90° − �)
2.6.1 Kotne funkcije ostrih kotov – VAJE
1. Določi vrednost vseh kotnih funkcij za oba ostra kota v pravokotnem trikotniku s
katetama:
a. � = 6 cm, � = 8�cm b. � = 36 cm, � = 15�cm
2. Brez uporabe kalkulatorja izračunaj
a. sin 30° + cos 60° b. 4 sin 45° + 2 cos 45°
c. tan 30° − cot 30° d. sin 30° tan 45° cos 60°
0 1
1
1
y
x�
sin �
cos�
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
44
3. Natančno izračunaj dolžini preostalih stranic v pravokotnem trikotniku s podatki:
a. � = 20 cm, � = 30° b. � = 24 cm, � = 60°
4. Na štiri mesta natančno izračunaj
a. sin 69° b. cos 32°
c. tan 43,2° d. cos 84°15�
5. Na mm natančno izračunaj dolžini preostalih stranic pravokotnega trikotnika s podatki:
a. � = 7 cm, � = 37° b. 1 = 6,5 cm, � = 41,5° 6. Nariši tak kot �, da je
a. sin � = (* b. cos � = 0,8
7. Na stotinko stopinje natančno izračunaj kot �, če je:
a. sin � = )*
b. sin � = 0,1234
c. cos � = b**
d. tan � = b2
8. Na minuti natančno izračunaj kota � in � v pravokotnem trikotniku s stranicama:
a. � = 4 cm, � = 5 cm b. � = 9,9 cm, 1 = 10,1 cm
2.7 METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI
2.7.1 Ploščina in obseg
Obseg je dolžina krivulje, ki določa lik. Označimo ga s črko o.
Ploščina je del ravnine, ki jo pokriva lik. Označimo jo s črko S.
Pravokotnik
_ = 2(� + �) � = ��
O = b�( + �( (diagonala)
Kvadrat
_ = 4�
� = �(
O = �b2
Paralelogram
� = ��� = ���
sin � = C�
C = � sin �
� = �� ¡¢£
o: osnovnica
v: višina
_ = 2(� + �)
A B
D C
A1
v
B1
�
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
45
Romb
� = 7�2
_ = 4�
Trikotnik
� = D∙Y¤( = E∙Y¥
( = L∙Y¦(
� = 12�� sin � =12�1 sin � =
12 �1 sin �
_ = � + � + 1
Če sta trikotnika ABC in A'B'C'podobna, je razmerje stranic:
�: �� = �: �� = 1: 1� = �
Za ploščini podobnih trikotnikov velja
�: �� = �(
Pravokotni trikotnik
� = ��2
Enakostranični trikotnik
C = �b32
� = �(b34
Trapez
� = � + 12
� = �C
_ = � + � + 1 + O
A B
C
v_a
c
ab
� �
�
A Ba
D C
d
c
bs
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
46
Deltoid
� = 12 7�
_ = 2(� + �)
Pravilni n-kotnik
Pravilni n-kotnik je sestavljen iz n skladnih enakokrakih trikotnikov. Če znamo izračunati
ploščino tega trikotnika, poznamo tudi ploščino pravilnega n-kotnika.
R: polmer pravilnemu n-kotniku očrtanega kroga
�%: stranica pravilnega n-kotnika
�∆ = 12§( sin360°:
�% = : ∙ �∆
�% = 12: ∙ §( sin360°:
2.7.2 Ploščina in obseg – VAJE
1. Zapiši v cm2
a. 20 dm2
b. 0,1 dm2
c. 5 m2
d. 820 mm2
2. Zapiši v m2
a. 1 km2 b. 630 dm2
3. Izračunaj obseg in ploščino pravokotnika s stranicama
a. � = 6 cm, � = 18 cm b. � = 0,3 cm, � = 10 mm
4. Izračunaj drugo stranico pravokotnika z dano ploščino in stranico
a. � = 510�m2, � = 34 m b. � = 64�cm2, � = 8 cm
5. Izračunaj ploščino kvadrata z obsegom
a. 12 m b. 13,6 km
6. Izračunaj dolžino diagonale v pravokotniku s stranicama
a. � = 3 cm, � = 5�cm b. � = � = 12 m
A Ce
D
B
f
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
47
7. Obseg pravokotnika meri 860 m. Kolikšna je njegova ploščina, če:
a. se stranici razlikujeta za 90 m
b. je ena stranica za 70 m daljša od druge
c. sta stranici enako dolgi
d. je ena stranica štirikrat daljša od druge
8. Izračunaj ploščino paralelograma s podatki
a. � = 4 cm, � = 6 cm, � = 30° b. � = 20 dm, CD = 10 dm
9. Razmerje dveh stranic paralelograma je �: � = 2: 1. Višina na stranico a meri 10 cm,
ploščina pa 400 cm2. Koliko merita stranici in koliko višina na stranico b?
10. Izračunaj dolžino diagonale in obseg romba z dano ploščino in drugo diagonalo:
a. � = 24 m2, 7 = 8 m b. � = 252 cm2, � = 7 dm
11. Izračunaj ploščino trikotnika s podatki
a. � = 4 cm, CD = 2 cm b. � = 12 cm, � = 8 cm, � = 140° 12. Izračunaj stranico a v enakostraničnem trikotniku s ploščino
a. 60 cm2 b. 80 mm2
13. Izračunaj obseg enakokrakega trikotnika z osnovnico c in ploščino S
a. � = 60 cm2, 1 = 10 cm b. � = 64 cm2, 1 = 8 cm
14. V pravokotnem trikotniku s ploščino � = 900 cm2 izračunaj hipotenuzo c, če:
a. je ena kateta dvakrat daljša od druge
b. sta obe kateti enako dolgi
c. se kateti razlikujeta za 51 cm
d. dolžina ene katete predstavlja 12,5% dolžine druge
15. Natančno izračunaj ploščino trapeza z osnovnicama � = 6 m in 1 = 4 m ter višino �C = 3 m.
16. Izračunaj višino in nato še ploščino trapeza ABCD
a. � = 6 cm, � = 4 cm, 1 = 3 cm, � = 30° b. � = 32 cm, 1 = 20 cm, O = 10 cm, � = 45°
17. Določi ploščino enakokrakega trapeza z osnovnicama � = 5 dm in 1 = 3 dm ter krakom
� = 4 dm.
18. Izračunaj ploščino deltoida z danimi podatki
a. 7 = 20 cm, � = 10 cm b. � = 8 cm, � = 6 cm, � = 150° 19. Kolikšna je ploščina pravilnega n-kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom 16 cm, če je
a. : = 5 b. : = 10
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
48
2.7.3 Razreševanje trikotnika
Naslednje zakonitosti veljajo v poljubnem trikotniku
Polmer trikotniku očrtanega kroga
§ = DEL-¨ � = DEL
-©
Sinusni izrek
2§ = Dª«¬ = E
ª«¬® = Lª«¬¯
Sinusni izrek uporabljamo pri razreševanju trikotnika, kadar poznamo dve stranici trikotnika
ter kot nasproti ene od njih ali dva kota in eno od stranic.
Kosinusni izrek
�( = �( + 1( − 2�1 cos �
�( = �( + 1( − 2�1 cos �
1( = �( + �( − 2�� cos �
Kosinusni izrek nam pomaga pri računanju neznanih stranic oz. kotov trikotnika, pri katerem
poznamo dolžine vseh treh stranic ali dolžini dveh stranic in kot med njima.
Polmer trikotniku včrtanega kroga
> = ¨°
pri čemer je S ploščina trikotnika ABC in s polovica njegovega obsega
� = D'E'L(
Heronov obrazec
� = D'E'L(
� = y�(� − �)(� − �)(� − 1) S Heronovim obrazcem izračunamo ploščino trikotnika s pomočjo dolžine njegovih stranic.
2.7.4 Razreševanje trikotnika – VAJE
1. Izračunaj neznane stranice in kote trikotnika
a. � = 7 cm, � = 5 cm, � = 75° b. � = 2 cm, � = 3 cm, 1 = 4 cm
c. � = 4 cm, 1 = 5 cm, � = 35°
2. Izračunaj ploščino trikotnika s stranicami � = 8 cm, � = 29�cm, 1 = 35 cm.
3. Izračunaj dolžini diagonal paralelograma s podatki:
� = 10�m, � = 8 m, � = 55° 4. Izračunaj kota � in � v trapezu s stranicami � = 16 m, b= 14 m, 1 = 6 m in O = 12 m.
5. Natančno izračunaj polmer kroga včrtanega trikotniku s ploščino � = 16 cm2 in obsegom
_ = 16 cm.
MATEMATIKA 1 GEOMETRIJA V RAVNINI
49
2.7.5 Krog
Obseg kroga
_ = 2o>
Dolžina krožnega loka
± = ²r°)QZ°
Ploščina kroga
� = o>(
Ploščina krožnega izseka
Krožni izsek je del kroga, ki ga določa izbrani središčni kot.
�³ = ²rT°*<Z°
2.7.6 Krog – VAJE
1. Izračunaj obseg kora s polmerom
a. 12 cm
b. 0,4 m
c. 11 mm
d. 82,5 m
2. Izračunaj premer kroga z danim obsegom
a. 13 cm b. 24 dm
3. Kolo na gorskem kolesu s polmerom 34 cm se na poti zavrto 820-krat. Kako dolgo pot
naredi kolesar?
4. Izračunaj dolžino krožnega loka, ki pripada središčnemu kotu � v krogu s polmerom 12cm
a. � = 95° b. � = 107° 5. Izračunaj ploščino kroga s polmerom
a. 16 cm b. 25,2 mm
6. Kolikšen je obseg kroga s ploščino
a. 80 cm2 b. 104 mm2
7. Kolikšna je natančna ploščina kroga, ki je očrtan pravokotniku s stranicama � = 4 cm in
� = 6 cm?
8. Izračunaj ploščino krožnega izseka, ki pripada v krogu s polmerom 1,2 dm središčnemu
kotu
a. 45° b. 70°
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
50
3 FUNKCIJE IN ENAČBE
3.1 PRAVOKOTNI KOORDINATNI SISTEM
3.1.1 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini
Pravokotni koordinatni sistem v ravnini sestavljajo ravnina in dve številski premici na njej, ki
se sekata pod pravim kotom. Presečišče imenujemo koordinatno izhodišče, tam je
postavljeno število 0 oziroma točka s koordinatama (0,0). Ena premica se imenuje abscisna
os (os x), druga pa ordinatna os (os y). Koordinatni sistem uporabljamo za opis položaja točk
na ravnini.
Položaj točke T v ravnini opišemo z dvema realnima številoma, ki skupaj tvorita urejeni par.
Prvo število imenujemo abscisa točke T in je enaka pravokotni projekciji točke T na abscisno
os. Drugo število je ordinata točke T in je enaka pravokotni projekciji točke T na ordinatno
os. Lego točke potem označimo tako: �(�, �).
Vsaka premica v ravnini razdeli ravnino na dve polravnini.
Premici, ki tvorita koordinatni sistem, ravnino razdelita na štiri dele. Imenovali jih bomo
kvadrante in jih oštevilčili is I do IV.
V prvem kvadrantu ležijo točke, ki imajo obe koordinati pozitivni
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
51
�(,, .), za katere je , > 0 in . > 0
V drugem kvadrantu ležijo točke, ki imajo absciso negativno, ordinato pa pozitivno
�(,, .), za katere je , < 0 in . > 0
V tretjem kvadrantu ležijo točke, ki imajo obe koordinati negativni
�(,, .), za katere je , < 0 in . < 0
V četrtem kvadrantu ležijo točke, ki imajo absciso pozitivno, ordinato pa negativno
�(,, .), za katere je , > 0 in . < 0
Točke, ki ležijo na abscisni osi, imajo ordinato enako nič (. = 0).
Točke, ki ležijo na ordinatni osi, imajo absciso enako nič (, = 0).
3.1.2 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini – VAJE
1. V pravokotnem koordinatnem sistemu nariši točke
l(−2,−4), z �)( , 3� , { �−3, +(� , A �0, /-�
2. Točke l(4, 3), z(−1, 5), {(0, −3), A(−2,−1)�prezrcali čez abscisno os. Zapiši koordinate
dobljenih točk l�, z�, {�, A′. 3. Točke l(2, 5), z(3, 4), {(−3,−2), A(2, 0), �(0, −1)�prezrcali čez ordinatno os. Zapiši
koordinate dobljenih točk l�, z�, {�, A�, �′. 4. Nariši premice, ki gredo skozi pare točk
a. (4, 3), (−2, 1) b. (−3,−2), (0, 1) 5. Nariši množico vseh točk (,, .) v ravnini, za katere je:
a. , = 3
b. . = 1
c. . = ,
6. Nariši množico vseh točk (,, .) v ravnini, za katere je:
a. , > 0
b. . ≥ 0
c. , ≤ 0
d. . < 3
7. Nariši množico vseh točk (,, .) v ravnini, za katere je:
a. 1 < , ≤ 4 b. −2 ≤ . < 1
3.1.3 Razdalja med dvema točkama v ravnini
Razdaljo med točkama l(,), .)) in z(,(, .() izračunamo po formuli
´(|,}) = y(,( − ,))( + (.( − .))(
Koordinate točke S, ki je razpolovišče daljice AB
� [,) + ,(2 , .) + .(2 \
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
52
3.1.4 Razdalja med točkama – VAJE
1. Natančno izračunaj razdaljo med točkama
a. l(4, 9), z(1, 5) b. µ(−3, 2), ¶(−5,−7) 2. Zapiši koordinate razpolovišča daljice AB
l(4,−1), z(6, 3) 3. Dan je trikotnik ABC z oglišči l(−6, 1), z(4, −9), {(11, 8)
a. Ali je trikotnik ABC enakokrak? Izračunaj njegov obseg.
b. Poišči koordinate nožišča višine na stranico AB.
c. Izračunaj dolžino višine na stranico AB.
3.1.5 Obseg in ploščina trikotnika v koordinatnem sistemu
Tri točke A, B in C, ki ne ležijo na isti premici, določajo trikotnik ABC.
Naj bodo točke l(,), .)), z(,(, .() in {(,*, .*) oglišča trikotnika ABC. Če si oglišča
trikotnika A, B in C sledijo v nasprotni smeri gibanja urinega kazalca, je trikotnik ABC
pozitivno orientiran. Če pa si oglišča trikotnika A, B in C sledijo v smeri gibanja urinega
kazalca, je trikotnik ABC negativno orientiran.
Obseg trikotnika ABC
_ = O(l, z) + O(z, {) + O({, l)
Ploščina trikotnika ABC
� = 12 _>97:�. ¸,( − ,) .( − .),* − ,) .* − .)¸
� = 12 _>97:�. �(,( − ,))(.* − .)) − (.( − .))(,* − ,))�
orient. Pomeni orientacijo trikotnika in velja:
_>97:�. = 1, če je trikotnik pozitivno orientiran
_>97:�. = −1, če je trikotnik negativno orientiran
3.1.6 Obseg in ploščina trikotnika – VAJE
1. Izračunaj ploščino in orientacijo trikotnika
l(3, 5), z(7, 1), {(−3, 6) 2. Dan je trikotnik z oglišči l(−8, 0), z(−6,−3), {(2, −4)
a. Izračunaj ploščino in orientacijo trikotnika.
b. Izračunaj obseg trikotnika in rezultat zaokroži na tri mesta.
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
53
3.2 REALNA FUNKCIJA
Vse, kar štejemo ali merimo, je količina (npr. dolžina, čas,…). Vsaki količini pripada množica
vrednosti, ki jih izrazimo z realnimi števili. Zato pravimo, da so količine spremenljivke.
Količine so med seboj lahko povezane tako, da se s spremembo ene količine spremeni tudi
vrednost druge. V teh primerih govorimo o odvisnih količinah, torej odvisnih
spremenljivkah.
Količino, katere sprememba vpliva na spremembo druge količine, imenujemo neodvisna
spremenljivka, drugo pa odvisna spremenljivka. Prvo označimo z x, drugo pa z y. Ker je
spremenljivka y odvisna od spremenljivke x, pravimo, da je y funkcija x, kar zapišemo
. = �(,).
Funkcija je predpis, ki vsaki možni vrednosti neodvisne spremenljivke priredi natanko eno
vrednost odvisne spremenljivke.
Množico vseh vrednosti, ki jih lahko zavzame neodvisna spremenljivka, imenujemo
definicijsko območje funkcije (A¹), množico vseh vrednosti, ki jih pri tem zavzame odvisna
spremenljivka, pa zaloga vrednosti funkcije (º¹).
Odvisnosti lahko pokažemo na različne načine (npr. znesek na bencinski črpalki v odvisnosti
od natočenega goriva):
1. s tabelo
gorivo f±g , 1 2 3,5 20
znesek f»g �(,) 1,2 2,4 4,2 24
2. z zapisom vrednosti funkcije pri posameznih vrednostih neodvisne spremenljivke ,
�(1) = 1,2 ∙ 1 = 1,2
�(2) = 1,2 ∙ 2 = 2,4
�(3,5) = 1,2 ∙ 3,5 = 4,2
3. s splošnim predpisom
�(,) = 1,2 ∙ ,
4. z grafom
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
54
3.2.1 Graf funkcije
Graf funkcije je množica vseh urejenih parov (,, .), kjer prvi element , preteče celotno
definicijsko območje funkcije, drugi element . pa je slika pripadajočega ,, torej . = �(,).
µ¹ = ¼(,, .); , ∈ A¹�9:�. = �(,)½
3.2.2 Lastnosti funkcij
Ničla funkcije
Ničla funkcije je tako število ,, pri katerem je vrednost funkcije enaka 0.
Funkcija ima lahko več ničel. Poiščemo jih tako, da rešimo enačbo:
�(,) = 0
Graf funkcije v ničli ¾(,Z, 0) seka abscisno os ali pa se je samo dotakne.
Začetna vrednost funkcije
Začetna vrednost funkcije je točka v kateri graf funkcije seka ordinatno os. V tisti točki je
, = 0 in . = �(0). Graf funkcije seka ordinatno os le v točki ¿(0, �(0)).
Naraščanje, padanje, omejenost
Funkcija je na intervalu f�, �g naraščajoča, če za poljubna ,) in ,( s tega intervala velja:
če je ,) < ,(, je �(,)) ≤ �(,() Če velja �(,)) < �(,(), je funkcija strogo naraščajoča.
Funkcija je na intervalu f�, 1g padajoča, če za poljubna ,* in ,- s tega intervala velja:
če je ,* < ,-, je �(,*) ≥ �(,-) Če velja �(,*) > �(,-), je funkcija strogo padajoča.
Funkcija je navzdol omejena, če obstaja tako realno število À, da je �(,) ≥ À za vsak
, ∈ A¹.
Funkcija je navzgor omejena, če obstaja tako realno število ¿, da je �(,) ≤ ¿ za vsak
, ∈ A¹.
Funkcije je omejena, če je omejena navzgor in navzdol.
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
55
Sodost in lihost funkcij
Funkcija � je soda, če za vsak , z
definicijskega območja velja:
�(−,) = �(,)
Graf sode funkcije je simetričen glede
na ordinatno os.
Funkcija � je liha, če za vsak , z definicijskega
območja velja:
�(−,) = −�(,)
Graf lihe funkcije je simetričen glede na
koordinatno izhodišče.
Predznak funkcije
Funkcija � je pozitivna na intervalu (�, �), če je �(,) > 0 za vsak , iz tega intervala. Za
takšne , torej graf leži nad osjo ,.
Funkcija � je negativna na intervalu (�, �), če je �(,) < 0 za vsak , iz tega intervala. Za
takšne , torej graf leži pod osjo ,.
Asimptota
Asimptote so tiste premice, ki se jim grafi ali njihove veje čedalje bolj približujejo. Asimptota
je lahko vodoravna, navpična ali poševna. Graf ima lahko več različnih asimptot.
Funkcija ima pol pri , = � , če se njen graf približuje k navpičnici skozi � , ko se s
spremenljivko , bližamo k � iz leve ali desne smeri.
Asimptoto in pole rišemo črtkano, saj so to le pomožni (vendar pomembni) objekti pri grafu
funkcije.
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
56
Injektivne in surjektivne funkcije
Funkcija, ki preslikuje iz množice Α v množico Β, je surjektivna, če je njena zaloga vrednosti,
to je množica vseh slik funkcije, enaka množici Β (º¹ = Β) oz. če je vsak element iz Β slika
vsaj enega elementa iz Α.
Funkcija, ki preslikuje iz množice Α v množico Β, je injektivna, če se dva poljubna različna
originala iz množice Α preslikata v različni sliki v množici Β oz. je vsak element iz množice Β
slika kvečjemu enega elementa iz množice Α.
Funkcija je bijektivna, če je surjektivna in injektivna hkrati, to pomeni, da je vsak element iz
Β slika natanko enega elementa iz Α.
Inverzna funkcija
Če je � bijektivna funkcija iz množice Α v množico Β, ki vsakemu elementu , iz množice Α
priredi določen element . iz množice Β, je njena inverzna funkcija �J) taka funkcija, ki vsaki
sliki iz Β priredi »njen« original v Α.
Če je na grafu funkcije � točka �(�, �), je na grafu inverzne funkcije �J) točka �(�, �). Zamenjata se abscisa in ordinata točke.
Grafa funkcije � in njene inverzne funkcije �J) sta simetrična glede na simetralo lihih
kvadrantov.
Če poznamo predpis za funkcijo �, poiščemo predpis za inverzno funkcijo �J) tako, da v
predpisu za �
. = �(,) Zamenjamo , in .
, = �(.) Nato izrazimo . v odvisnosti od , in dobljena funkcija je inverzna funkcija
. = �J)(,)
3.2.3 Lastnosti funkcij – VAJE
1. Dani sta množici Α, Β in funkcija �:Α → Β. Predstavi funkcijo � s puščičnim diagramom
a. Α = h1, 2, 3, 4i,Β = h4, 5, 6, 7, 8i, �(,) = , + 3
b. Α = h0, 1, 2i,Β = h0, 1i, �(,) = (, − 1)(
2. Dane je množica Α = h−1, 0, 1i. Zapiši zalogo vrednosti º¹ funkcije �:Α → ∇
a. �(,) = 2, − 1
b. �(,) = 2R
c. �(,) = ,* − ,
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
57
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
58
3. Ali leži točka �(1,−1) na grafu funkcije
a. �(,) = 3, − 4 b. �(,) = 1 − ,(
4. Nariši graf funkcije �:�∧ → ∧
a. �(,) = , − 2 b. �(,) = −2, + 1
5. Nariši graf dane funkcije in ugotovi, ali je naraščajoča oziroma padajoča:
a. �(,) = ,
b. �(,) = −3, + 3 c. �(,) = R')
(
6. Ali je dana funkcija soda oziroma liha
a. �(,) = 2,-
b. �(,) = 2,* − 13,
c. �(,) = 5,
d. �(,) = ,( − 5
7. Zapiši inverzno funkcijo �J) k funkciji
a. �(,) = , + 1
b. �(,) = 2, − 3
c. �(,) = 3 − ,
3.3 LINEARNA FUNKCIJA IN LINEARNA ENAČBA
3.3.1 Linearna funkcija
Linearna funkcija je funkcija, ki slika realna števila v realna, njen predpis je enak ��(,) = � ∙ , + :
Števili � in : sta realni, � imenujemo smerni koeficient, : pa začetna vrednost.
Graf linearne funkcije je premica. Število � določa njeno strmino, : pa nam pove pri kateri
vrednosti premica seka ordinatno os (v točki (0, :)).
k je smerni koeficient premice in določa smer grafa. Imenujemo ga tudi diferenčni količnik,
ker k pomeni razmerje med prirastkom odvisne spremenljivke in prirastkom neodvisne
spremenljivke.
� = .( − .),( − ,)
Linearna funkcija narašča, če je smerni koeficient � pozitiven, in pada, če je � negativen. Če
je � = 0, je linearna funkcija konstantna.
Ničla funkcije je število ,Z, pri katerem funkcija �(,) = � ∙ , + : zavzame vrednost 0. Graf
funkcije v ničli seka abscisno os.
Ko iščemo ničlo funkcije moramo rešiti enačbo:
�(,Z) = 0
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
59
3.3.2 Enačba premice v ravnini
Eksplicitna enačba premice
Enačba premice je eksplicitna, če je . neposredno izražen
. = � ∙ , + :; ����, : ∈ ∇
Zapis linearne funkcije:
• linearna funkcija z znanim smernim koeficientom �, katere graf gre skozi točko �)(,), .)) je določena z enačbo
. − .) = � ∙ (, − ,))
• linearno funkcijo skozi dve točki �)(,), .)) in �((,(, .() zapišemo tako, da najprej
izračunamo smerni koeficient
� = .( − .),( − ,)
in nato uporabimo enačbo
. − .) = � ∙ (, − ,))
Vzporedni premici imata enak smerni koeficient �.
Za pravokotni premici velja: �( = − )#w
Implicitna enačba premice
Implicitna enačba premice:
�, + �. + 1 = 0; ����, �, 1 ∈ ∇
Vsako eksplicitno enačbo premice lahko prevedemo v implicitno.
Odsekovna enačba premice
Za premice, ki niso vzporedne nobeni koordinatni osi niti ne gredo skozi koordinatno
izhodišče, obstaja tudi odsekovna enačba premice ,À +
.: = 1; ���À, : ∈ ∇�9:�À ≠ 0, : ≠ 0
Število À nam pove, kje premica seka abscisno os, število :, kje premica seka ordinatno os.
3.3.3 Linearna funkcija – VAJE
1. Izračunaj vrednost linearne funkcije �(,) = 3, + 2 pri
a. , = 4 b. , = −2
2. Nariši grafe funkcij
a. �(,) = 4,
b. �(,) = , + 4
c. �(,) = 2, − 3
d. �(,) = − )( , − 2
3. Nariši graf funkcije �(,) = −3, + 2. Ali točke l(1,−1), z(−1, 5) in {(3, 4) ležijo na
grafu funkcije �.
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
60
4. Zapiši ničle funkcij
a. �(,) = 3, − 9 b. �(,) = −3, + 4
5. Zapiši eksplicitno obliko enačbe premice, ki ima smerni koeficient � in gre skozi točko �
a. � = 3, �(−1,−2) b. � = )* , �(3, −1)
6. Zapiši eksplicitno obliko enačbe premice, ki gre skozi točki
a. (−1, 1), (2, 7) b. (−2, 1), (-4, 0)
7. Zapiši eksplicitno obliko enačbe premice, ki gre skozi točko �(−6, 7) in je vzporedna
premici z enačbo . = − (* , − -
P. 8. Zapiši vse tri oblike enačbe premice, ki gre skozi točki l(1, 5) in z(−3,−2). 9. Zapiši vse tri oblike enačbe premice, ki gre skozi točko l(−3,−4) in je vzporedna premici
z enačbo 10, − 18. − 21 = 0.
3.3.4 Linearna enačba
Enačba z eno neznanko je zapis oblike �(,) = 0 . Enačbi sta ekvivalentni, če lahko eno
enačbo preoblikujemo v drugo s pomočjo pravil za tvorbo ekvivalentnih enačb. Pri tem
smemo:
• na obeh straneh prišteti (odšteti) isto število ali izraz,
• obe strani enačbe množiti (deliti) s številom ali izrazom, različnim od 0.
Linearna enačba z eno neznanko je enačba, ki jo lahko preoblikujemo v obliko �, + : = 0.
Rešitve linearne enačbe so odvisne od � in ::
• če je � ≠ 0 ima enačba natanko eno rešitev
, = − %#
• če je � = 0 in : ≠ 0, enačba nima rešitve
• če je � = : = 0, je rešitev enačbe katerokoli realno število.
Geometrijski pomen:
Rešitev linearne enačbe nam pove presečišče grafa linearne funkcije z abscisno osjo (ničla
funkcije).
Uporaba enačb
Reševanje problemov iz vsakdanjega življenja pogosto pripelje do reševanja enačb. Problem
moramo najprej prevesti v matematični jezik. Pri tem sledimo naslednjim korakom:
1. najprej moramo problem razumeti (kaj je neznanka, kateri podatki so na voljo)
2. poiščemo zvezo med podatki in neznanko – zapišemo enačbo
3. rešimo enačbo
4. preverimo dobljeno rešitev.
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
61
3.3.5 Linearna enačba – VAJE
1. Reši enačbe
a. 4(, − 1) = 8
b. (−2)(5 − ,) = 3(4 + ,) c. 4(2 − �) = 5(2� − 3) − 5
d. 11 − 2(� − 5) = (−3)(3 − �)
e. R* + (RJ)
( = )<
f. R- + RJ+
( + )Q = 1
g. R'-RJ( = 2
2. Iz danih enakosti izrazite količino, ki je ob njej zapisana
a. À = Â ∙ �; �
b. � = ð ; �
c. Ãw¨w =
ÃT¨T ; ��(
d. C = CZ + (� − �Z)�;��Z
3. Če neko število pomnožimo z 12 in produktu prištejemo 44, dobimo 200. Poišči to število.
4. Imenovalec ulomka je štirikrat večji od števca. Če ulomku imenovalec zmanjšamo za 2,
števec pa za 2 povečamo, dobimo dvakratnik prvotnega ulomka. Zapiši iskani ulomek.
3.3.6 Linearna neenačba
Linearno neenačbo dobimo, če dva linearna izraza povežemo z enim od enačajev: <,>,≤,≥.
V splošnem je linearna neenačba oblike:
�, + � > 1, + O
Dve neenačbi sta enakovredni (ekvivalentni), če določata isto množico rešitev.
Neenačbo spremenimo v enakovredno, če na obeh straneh neenačbe:
• prištejemo ali odštejemo isto število ali izraz;
• pomnožimo ali delimo z istim pozitivnim številom ali izrazom;
• pomnožimo ali delimo z istim negativnim številom ali izrazom (v tem primeru se znak
neenakosti spremeni: iz > nastane < in obratno).
Množice rešitev linearne neenačbe je interval, ki na eno stran ni omejen.
3.3.7 Linearna neenačba – VAJE
1. Reši neenačbe in rešitev predstavi s točkami na številski premici
a. , − 3 < 4
b. 2, + 5 > −1
c. 2, + 5 ≥ 6 + 5,
d. R- + *RJ(
+ > 1 + R(
e. 1 − R')( − R'(
* ≥ 5,
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
62
3.3.8 Sistem linearnih enačb
Rešiti sistem dveh linearnih enačb z dvema neznankama pomeni poiskati tisto točko v
ravnini, v kateri se sekata premici z danima enačbama.
�), + �). − 1) = 0
�(, + �(. − 1( = 0
Možne rešitve:
• če se premici z danima enačbama sekata, ima sistem natanko eno rešitev,
• če sta premici vzporedni, sistem nima nobene rešitve,
• če sta premici identični, ima sistem neskončno mnogo rešitev.
Metode reševanja sistemov dveh linearnih enačb
1. Način nasprotnih koeficientov
Eno enačbo ali obe enačbi pomnožimo s takim številom, da dobimo pred isto neznanko v
obeh enačbah nasprotna koeficienta. Potem enačbi seštejemo in izločimo eno neznanko.
Tako sistem enačb z dvema neznankama prevedemo v eno enačbo z eno neznanko.
Rešitev te enačbe določa vrednost prve neznanke. Vstavimo jo v eno izmed obeh enačb
sistema in dobimo spet enačbo z eno neznanko. Njena rešitev določa vrednost druge
neznanke.
Primer:
2, + 3. = 4� 2, + 3 ∙ 2 = 4
, − 2. = −5�/∙ (−2) 2, = −2
2, + 3. = 4� , = −1
−2, + 4. = 10
�7. = 14���� → �����. = 2
2. Zamenjalni način
Izrazimo eno neznanko iz ene enačbe in jo v drugi enačbi zamenjamo s tem izrazom.
Primer:
2, − . = 10��� → ����. = 2, − 10
5, + 2. = 16
5, + 2(2, − 10) = 16 . = 2 ∙ 4 − 10 = −2
9, = 36� , = 4
3. Grafični način
Narišemo obe premici v isti koordinatni sistem in odčitamo koordinati presečišča. To je
rešitev danega sistema enačb.
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
63
Če imamo sistem treh enačb s tremi neznankami, se najprej znebimo ene enačbe in ene
neznanke. Tako dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama. Nato se spet znebimo ene
enačbe in ene neznanke. Tako nam ostane le še ena enačba z eno neznanko, ki pa je ni težko
rešiti.
Primer:
, + . + 0 = 20��� → ���0 = 20 − , − .
3, + . + 20 = 43
, + 4. + 20 = 42
3, + . + 2(20 − , − .) = 43 , − 5 = 3
, + 4. + 2(20 − , − .) = 42 , = 8
, − . = 3
−, + 2. = 2 0 = 20 − 8 − 5 = 7
. = 5
3.3.9 Sistem linearnih enačb - VAJE
1. Reši sisteme enačb
a. , + . + 1 = 0,−2, + . + 4 = 0
b. , − . + 2 = 0, 2, + . + 1 = 0
c. 2, + 3. = 8, 3, + 4. = 10
d. −2, − 3. + 10 = 0,−3, − 5. + 17 = 0
2. Reši sisteme enačb
a. , + . + 0 = 5, , − . + 0 = 9, , + . − 0 = 1
b. 3, + 2. − 40 = 2, , + 5. + 30 = 18, 5, − 7. − 50 = −2
3.4 POTENČNA FUNKCIJA
Potenčna funkcija z naravnim eksponentom : je realna funkcija realne spremenljivke
(�:∇ → ∇), s predpisom
�(,) = ,%; : ∈ ⊆
Potenčna funkcija z naravnim sodim eksponentom
�(,) = ,(%
Lastnosti:
• Funkcija � je definirana na vsej realni osi
(A¹ = ∇).
• Zaloga vrednosti je množica nenegativnih
realnih števil (º¹ = ∇Z').
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
64
• Graf poteka skozi točke ¿(1,1), ¾(−1, 1) in Å(0, 0). • Za , < 0 je padajoča funkcija; za , > 0 je naraščajoča funkcija.
• Je soda funkcija, graf je simetričen glede na ordinatno os.
• Navzgor je neomejena, navzdol je omejena z vrednostjo À = 0.
• Funkcija ima eno samo ničlo pri , = 0.
Potenčna funkcija z naravnim lihim eksponentom
�(,) = ,(%J)
Lastnosti:
• Funkcija � je definirana na vsej realni osi
(A¹ = ∇).
• Zaloga vrednosti je množica ∇ (º¹ = ∇).
• Graf poteka skozi točke
¿(1,1), ¾(−1,−1) in Å(0, 0). • Je naraščajoča na vsem definicijskem
območju.
• Je liha funkcija, graf je simetričen glede na koordinatno izhodišče.
• Je neomejena.
• Funkcija ima eno samo ničlo pri , = 0.
Pri potenčnih funkcijah je eksponent lahko tudi negativno celo število
�(,) = ,J%; : ∈ ⊆�(−: ∈ ∧)
Potenčna funkcija z negativnim sodim eksponentom
�(,) = ,J(%
Lastnosti:
• A¹ = ∇ − h0i • º¹ = ∇
'
• Graf poteka skozi točki ¿(1,1) in
¾(−1, 1). • Za , < 0 je naraščajoča funkcija; za
, > 0 je padajoča funkcija.
• Je soda funkcija, graf je simetričen
glede na ordinatno os.
• Navzgor je neomejena, navzdol je
omejena z vrednostjo À = 0.
• Funkcija nima ničel.
• Graf ima vodoravno asimptoto (os ,) in navpično asimptoto (os .).
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
65
Potenčna funkcija z negativnim lihim eksponentom
�(,) = ,J((%'))
Lastnosti:
• A¹ = ∇ − h0i • º¹ = ∇ − h0i • Graf poteka skozi točki ¿(1,1) in
¾(−1, 1). • Za , < 0 je padajoča funkcija; za , > 0 je
tudi padajoča funkcija.
• Je liha funkcija, graf je simetričen glede na
koordinatno izhodišče.
• Je neomejena.
• Funkcija nima ničel.
• Graf ima vodoravno asimptoto (os ,) in navpično asimptoto (os .).
3.4.1 Premiki in raztegi funkcij
Vzporedni premik v smeri osi Æ grafa funkcije �(,) nam preslika graf v . = �(, − 3): • če je 3 > 0, je to premik v desno
• če je 3 < 0, je to premik v levo.
Vzporedni premik v smeri osi Ç grafa funkcije �(,) nam preslika graf v . = �(,) + 4:
• če je 4 > 0, je to premik navzgor
• če je 4 < 0, je to premik navzdol.
Razteg funkcije �(,) v smeri ordinatne osi za poljubno konstanto � nam vsako funkcijsko
vrednost pomnoži s faktorjem raztega; torej je predpis raztegnjene funkcije È(,) = � ∙ �(,): • za ��� > 1, se graf raztegne v smeri osi ., strmina se poveča
• za 0 < ��� < 1 se strmina grafa zmanjša, graf se skrči vzdolž osi .
• za � = −1 se graf prezrcali preko abscisne osi
Če ima funkcija � ničle, ima iste ničle tudi funkcija È.
Razteg funkcije �(,) v smeri abscisne osi za poljubni faktor � nam vsako absciso točke na
grafu pomnoži s � (ordinata ostane nespremenjena); predpis raztegnjene funkcije È(,) = R#:
• za ��� > 1, se graf raztegne v smeri osi ,
• za 0 < ��� < 1 se graf skrči v smeri osi , (strmina grafa se poveča)
• za � = −1 se graf prezrcali preko ordinatne osi
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
66
Grafi z absolutno vrednostjo
Graf funkcije ��(,)� dobimo tako, da ohranimo nespremenjene vse tiste dele grafa, za katere
je �(,) ≥ 0, in prezrcalimo preko abscisne osi tiste dele, kjer je �(,) < 0.
3.4.2 Potenčna funkcija – VAJE
1. Dana je funkcija �(,) = ,(
a. Nariši njen graf
b. Nariši graf funkcije È(,) = ,( − 4. Katere od točk (3, 5), (−4, 12) in (−1,−5) ležijo
na njenem grafu?
2. Dana je funkcija �(,) = ,*
a. Nariši njen graf
b. Nariši graf funkcije È(,) = ,* − 1. Katere od točk (2, 7), (−4,−65) in (−1, 0) ležijo
na njenem grafu?
3. Dana je funkcija �(,) = ,J)
a. Nariši njen graf
b. Nariši graf funkcije È(,) = ,J) + 1.
c. Zapiši presečišče grafa funkcije È in premice . = )( , + *
(. 4. Nariši grafe funkcij
a. �(,) = −,J) b. �(,) = ,J( + 2
3.5 KVADRATNA FUNKCIJA
Kvadratna funkcija je realna funkcija s predpisom �(,) = �,( + �, + 1, pri čemer so
konstante �, �, 1 ∈ ∇ in � ≠ 0.
Število � imenujemo vodilni koeficient kvadratne funkcije, 1 pa prosti člen.
Krivuljo, ki je graf kvadratne funkcije, imenujemo parabola.
Število c je začetna vrednost kvadratne funkcije. V točki (0, 1) seka graf kvadratne funkcije
os ..
Vsako kvadratno funkcijo lahko zapišemo tudi v temenski obliki:
�(,) = �(, − 3)( + 4
Števili 3 in 4 sta koordinati temena kvadratne funkcije. Teme je točka �(3, 4), v kateri
kvadratna funkcija doseže ekstrem (najmanjšo oz. največjo vrednost):
• � > 0: v temenski točki ima kvadratna funkcija minimum
• � < 0: v temenski točki ima kvadratna funkcija maksimum
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
67
Koordinati temena lahko izračunamo po naslednjih formulah:
3 = − �2�
4 = − A4�
A je diskriminanta kvadratne funkcije, izračuna se jo po formuli:
A = �( − 4�1
3.5.1 Ničle kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija ima največ dve realni ničli. To sta vrednosti, pri katerih graf kvadratne
funkcije seka abscisno os.
Ničla funkcije je tisti ,, kjer je �(,) = 0.
�,( + �, + 1 = 0; � ≠ 0
Enačbo �,( + �, + 1 = 0 imenujemo kvadratna enačba.
Kvadratno funkcijo lahko zapišemo tudi v ničelni obliki:
�(,) = �(, − ,))(, − ,() Ničelno obliko lahko dobimo iz splošne oblike z razstavljanjem, lahko pa ,) in ,( izračunamo
po naslednji formuli:
,),( = −� ± bA2�
Diskriminanta nam pove, koliko realnih ničel ima kvadratna funkcija:
• če je A > 0, ima kvadratna funkcija dve različni ničli;
• če je A = 0, ima kvadratna funkcija samo eno dvojno ničlo (ki je tudi teme te
funkcije);
• če je A < 0, kvadratna funkcija nima nobene realne ničle.
3.5.2 Graf kvadratne funkcije
Vpliv diskriminante in vodilnega koeficienta na graf kvadratne funkcije:
D > 0 in a > 0
D > 0 in a < 0
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
68
D = 0 in a > 0
D = 0 in a < 0
D < 0 in a > 0
D < 0 in a < 0
Postopek risanja grafa kvadratne funkcije:
1. Izračunamo koordinati temena, ničel in začetne vrednosti.
2. Narišemo graf.
3.5.3 Kvadratna funkcija – VAJE
1. Nariši graf funkcije
a. �(,) = 4,(
b. �(,) = ,( − 1
c. �(,) = 2,( − 2
d. �(,) = − )- ,( + 1
2. Določi ničli kvadratne funkcije
a. �(,) = ,( − 4
b. �(,) = 2,( + 2, − 4
c. �(,) = 2,( − , − 1
d. �(,) = 3,( − 5, + 2
3. Zapiši dano funkcijo v temenski obliki, določi ničli in teme ter nariši njen graf
a. �(,) = ,( + 2, − 3 b. �(,) = −,( + 6, − 5
4. Zapiši kvadratno funkcijo, katere graf ima teme v točki � in poteka skozi točko l.
a. �(3, 4), l(2, 3) b. �(3, 0), l(−1,−8) 5. Zapiši kvadratno funkcijo, ki ima ničli 2 in 4, njen graf pa poteka skozi točko l(6, 4). 6. Zapiši kvadratno funkcijo katere graf poteka skozi točke
a. l(0, 0), z(1, 3), {(−1, 1) b. l(0, 1), z(1, 4), {(−2, 13)
MATEMATIKA 1 FUNKCIJE IN ENAČBE
69
3.5.4 Kvadratna enačba
Rešiti kvadratno enačbo �,( + �, + 1 = 0 pomeni poiskati ničle kvadratne funkcije
. = �,( + �, + 1.
3.5.5 Kvadratna enačba – VAJE
1. Reši enačbo:
a. ,( − 5, = 0
b. ,( + 4, = 0
c. ,( + 5, + 6 = 0
d. ,( − , − 2 = 0
e. 2,( − 5, + 3 = 0
f. 4,( + 9, + 2 = 0
2. Reši enačbo:
a. (4, − 11)(, − 2) = (, − 2)(, − 4) + 4
b. (8, + 1)(2, + 1) = 4(, − 1)(, + 1) + 7
3. Računsko in grafično določi presečišča parabole in premice
a. . = −,(, . = −, b. . = ,( − 3, + 5, . = , + 1
4. Računsko in grafično določi presečišča parabol
a. . = ,( + 2, . = − )( ,( + 2
b. . = ,( + 2, − 3, . = −2,( + 8, − 6
3.5.6 Kvadratna neenačba
Rešiti kvadratno neenačbo �,( + �, + 1 > 0 pomeni poiskati tista intervala ali tisti
interval na x osi na katerem je graf funkcije . = �,( + �, + 1 nad osjo ,.
Rešiti kvadratno neenačbo �,( + �, + 1 < 0 pomeni poiskati tista intervala ali tisti
interval na x osi na katerem je graf funkcije . = �,( + �, + 1 pod osjo ,.
3.5.7 Kvadratna neenačba – VAJE
1. Določi območje, na katerem je dana funkcija pozitivna oz. negativna
a. �(,) = ,( − 16 b. �(,) = 4,( − 20, + 25
2. Reši neenačbo in rešitev prikaži na številski premici
a. −,( + 5, ≤ 0
b. −,( + 2, − 2 > 0
c. ,( + 4 > 3,
d. , > ,( + 2