Lista01 hiperestatica-metodo carga-unitaria_gab
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Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
www.profwillian.com 1 Anhanguera-Uniderp
1) Calcule o deslocamento vertical do nó 4 da treliça vista na figura abaixo.
Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia EA = 16000 kN.
Solução:
1
3 4
2
2 m 2 m 2 m
1,5 m
1 kN
V1 V2
HA
Utilizando as equações de equilíbrio, calculam-se as
reações de apoio.
0H0F Ax
Em seguida pode-se resolver a equação: 0Mz ,
assim, tomando um eixo z que passa pelo ponto 2 temos:
kN5,0V
0214V0M
1
1z
usando a equação: 0Fy , temos:
kN5,1V
01VV0F
2
21y
Equações de esforços normais para cada uma das barras: (sen = 0,6 e cos = 0,8)
4 N2-4
N3-4
1 kN
1 N1-2
N1-3
0,5 kN
2
N2-3
N1-2
N2-4
1,5 kN
kN33333,1N
0cosNN
kN66667,1N
0senN1
43
4243
42
42
kN66667,0N
0cosNN
kN83333,0N
05,0senN
21
3121
31
31
kN83333,0N
05,1senNsenN
32
4232
Barra Nó i Nó f N N L L.N.N
1 1 2 -0,66667 -0,66667 4 1,7777956
2 3 4 1,33333 1,33333 4 7,1110756
3 1 3 0,83333 0,83333 2,5 1,7360972
4 2 3 -0,83333 -0,83333 2,5 1,7360972
5 2 4 -1,66667 -1,66667 2,5 6,9444722
= 19,305538
m0012066,016000
19,305538
EA
LNN
mm21,1
Resposta: Deslocamento vertical do nó 4 é =1,21 mm (para baixo)
2,0 m 2,0 m 2,0 m
1,5
m
1,0 kN
1
3
2
4
1
4 3
2
5
Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
www.profwillian.com 2 Anhanguera-Uniderp
2) Calcule o deslocamento horizontal do nó 4 da treliça vista na figura abaixo.
Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia constante EA =
533,33 kN. Note que, na tabela abaixo, os esforços para o carregamento original já
foram fornecidos.
Barra N N L L.N.N
1 –2,000 0,500 4,0 -4,0
2 +4,000 1,000 4,0 16,0
3 +2,500 0,625 2,5 3,90625
4 –2,500 -0,625 2,5 3,90625
5 –5,000 0,000 2,5 0,0
= 19,8125 Solução:
1
3 4
2
2 m 2 m 2 m
1,5m
1 kN
V1 V2
HA
Utilizando as equações de equilíbrio, calculam-se as reações de
apoio.
1H0F Ax
Em seguida pode-se resolver a equação: 0Mz , assim,
tomando um eixo z que passa pelo ponto 2 temos:
kN375,0V05,114V0M 11z
usando a equação: 0Fy , temos:
kN375,0V0VV0F 221y
Equações de esforços normais para cada uma das barras: (sen = 0,6 e cos = 0,8)
1 N1-2
N1-3
0,375
1,0
4
N2-4
N3-4
1,0
2
N2-3
N1-2
N2-4
0,375
kN5,0N
01cosNN
kN625,0N
0375,0senN
21
3121
31
31
kN1N
01cosNN
kN0N
0senN
43
4243
42
42
kN625,0N
0375,0senNsenN
32
3242
m0,0371487533,33
18,8125
EA
LNN3
Resposta: O deslocamento horizontal do nó 4 é de 3,71 cm (para direita)
2,0 m 2,0 m 2,0 m
1,5
m
3,0 kN
1
3
2
4
1
4 3
2
5
Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
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3) Calcule o deslocamento vertical do nó 4 da treliça vista na figura abaixo.
Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia EA = 31700 kN.
Solução:
Barra N N L L.N.N
1 12 1 4 48,000
2 12 0,33333 4 16,000
3 -12 -0,66667 4 32,000
4 -15 -1,25 2,5 46,875
5 0 -0,41667 2,5 0,000
6 0 0,41667 2,5 0,000
7 -15 -0,41667 2,5 15,625
= 158,500
m005,031700
158,5
EA
LNN
mm5
Resposta: O deslocamento horizontal do nó 4 é de 5,00 mm (para baixo)
1 3
2
4 5
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m
1,5
m
9,0 kN
1
2
3
4 5
6
7
9,0 kN
Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
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4) Calcule o deslocamento vertical do nó 4 da treliça vista na figura abaixo.
Considere os nós como rótulas perfeitas e as barras com inércia constante EA = 3200
kN. Note que, na tabela abaixo, os esforços para o carregamento original já foram
fornecidos (menos a barra 3!).
Solução:
Barra N N L L.N.N
1 +2,00 +1,0000 4,0 8,0000
2 +6,00 +0,3333 4,0 8,0000
3 -4,00 -0,6667 4,0 10,6667
4 -2,50 -1,2500 2,5 7,8125
5 +2,50 -0,4167 2,5 -2,6042
6 -2,50 +0,4167 2,5 -2,6042
7 -7,50 -0,4167 2,5 7,8125
= 37,08396
m0116,03200
08396,37
EA
LNN4V
Resposta: Deslocamento vertical do nó 4 é V4=11,6 mm (para baixo)
1 3
2
4 5
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m
1,5
m
6,0 kN
1
2
3
4 5 6
7
Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
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5) Calcule o deslocamento horizontal do nó 3 da treliça vista ao lado. Todas as nove
barras são tubos de aço (E=210 GPa) com diâmetro externo de 10 cm e diâmetro
interno 9,2 cm.
2 m
2 m
4 m
4 m 4 m 3 m 3 m
1 2
3 6
5 4
7
8
9
1
2
3
4
5
6
20 kN
65
4sen ;
65
7cos
13
3
52
6sen ;
13
2
52
4cos
13
2sen ;
13
3cos
Solução:
Para o carregamento original, os esforços normais N são calculados abaixo:
Reações de Apoio
020H0F 1x
kN20H1
014V0M 3)1(z
kN0V3
0VV0F 31y
kN0V1
Nó 1
1
H1
N1
N3
kN22,18801N
kN37,21042N
0senNsenN0F
0HcosNcosN0F
3
1
31y
131x
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Nó 4
4
N7
N4
22,18801
kN245,9N
kN03701,24N
0sen18801,22senNsenN0F
0cos18801,22cosNcosN0F
7
4
74y
74x
Nó 5
5
N8
24,03701 24,03701
kN66667,26N
0Nsen03701,24sen03701,240F
8
8y
Observações
1) Os esforços normais nas barras 2, 6, 5 e 9 são iguais aos esforços nas barras 1, 3, 4 e 7, respectivamente;
2) Os esforços normais para a carga unitária foram calculados dividindo-se por vinte os esforços normais para o
carregamento original.
Barra N N L L.N.N
1 37,21042 1,86052 8,06226 558,15629
2 37,21042 1,86052 8,06226 558,15629
3 -22,18801 -1,10940 7,21110 177,50410
4 -24,03701 -1,20185 3,60555 104,16038
5 -24,03701 -1,20185 3,60555 104,16038
6 -22,18801 -1,10940 7,21110 177,50410
7 9,24500 0,46225 3,60555 15,40833
8 26,66667 1,33333 4,00000 142,22226
9 9,24500 0,46225 3,60555 15,40833
= 1852,6805
m0,007313103,253338
1852,6805
EA
LNN
kN03,253338m1012,063716m
kN10210cm2,9cm10
4GPa210EA
11
1i
iii
22
2
622
Resposta: Deslocamento horizontal do nó 3 é =0,0073131 m ou =7,31 mm
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6) Calcule o deslocamento vertical no meio do vão AB da viga biapoiada vista na
figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia
EI = 8000 kN.m2.
B A
8,9 kN
4,3m 1,1m
C
1,2m
D
9,8 kN
Solução:
B A
8,9 kN
4,3m 1,1m
C
1,2m
D
9,8 kN
VA VB
B A
4,3m 1,1m
C
1,2m
D
VA VB
1
Reações de apoio para o carregamento original
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos:
kN87674,8V01,18,95,59,83,4V AA
0Fy , temos:
kN82326,9V08,99,8VV BBA
Tomando a origem de x em A, a equação de esforços no trecho AB é:
m3,4x0)2,1x(9,8x87674,8)x(M)2,1x(9,8xV)x(M ABAAB
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços:
m3,4x15,2)15,2x(1x5,0)x(M
m15,2x0x5,0)x(M
AB
AB
Assim o deslocamento no meio do vão é:
m00310,08000
524,7997
EI
524,7997
524,7997dx15,2x5,0)2,1x(9,8x87674,8dxx5,0)2,1x(9,8x87674,8EI
C
3,4
15,2
15,2
0
C
Resposta: Deslocamento vertical no meio do vão é =3,10 mm (para cima)
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7) Calcule o deslocamento vertical do ponto C da viga biapoiada com balanço vista
na figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão. Adote
uma rigidez da seção transversal constante para todo o comprimento da viga
E.I = 609,44 kN.m2.
B A
4,5 m
1,5 kN/m
2,0 m
C
Solução:
B A
1,5 kN/m
4,5 m 2 m
C
VA VB
HA
B A
4,5 m 2 m
C
VA VB
HA
1
Reações de apoio para o carregamento original
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos:
kN70833,2V025,1)5,65,1(5,4V AA
0Fy , temos:
kN04167,7V0)5,65,1(VV BBA
Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão:
2
BCBABC
2
ABAAB
x75,0x75,96875,31)x(M)5,4x(V2
xx5,1xV)x(M
x75,0x70833,2)x(M2
xx5,1xV)x(M
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços:
5,6x)x(M)5,4x(VxV)x(M
x444,0)x(MxV)x(M
BCBABC
ABAAB
Assim o deslocamento em C:
m001,044,609
6094,0
EI
6094,0
6094,0dx5,6xx75,0x75,96875,31dxx444,0x75,0x70833,2EI
C
5,6
5,4
2
5,4
0
2
C
Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para baixo)
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8) Calcule o deslocamento vertical da extremidade C da viga biapoiada vista na
figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia
EI = 1000 kN.m2.
B A
10 kN
4 m
C
1 m
Solução:
B A
10 kN
4 m
C
1 m
VA=12,5 kN VB
B A
4 m
C
1 m
VA=1,25 VB
1
Reações de apoio para o carregamento original
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos:
kN5,12V00,5100,4V AA
0Fy , temos:
kN5,2V010VV BBA
Tomando a origem de x em C, a equação de esforços nos trechos CA e AB são:
m0,5x0,1x5,25,12)x(M)1x(Vx10)x(M
m0,1x0,0x10)x(M
ABAAB
AC
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços:
m0,5x0,1x25,025,1)x(M
m0,1x0,0x)x(M
AB
AC
Assim o deslocamento no meio do vão é:
m0167,01000
3/50
EI
3/110
3/50dxx25,025,1x5,25,12dxxx10EI
m
0,5
0,1
0,1
0,0
m
Resposta: Deslocamento vertical da extremidade C da viga é C = 1,67 cm (para baixo)
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9) Calcule o deslocamento vertical da extremidade (nó C) da viga biapoiada vista na
figura abaixo. Considere a viga trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia
EI = 11250 kN.m2.
B A
6 kN/m
4m 1m
C
Solução:
B A
6 kN/m
4m 1m
C
VA VB
HA
B A
4m 1m
C
VA VB
HA
1
Reações de apoio para o carregamento original
0Mz , ou seja, tomando um eixo z que passa pelo ponto B temos:
kN25,11V05,1)56(4V AA
0Fy , temos:
kN75,18V0)56(VV BBA
Tomando a origem de x em A, as equações de esforços nos trechos AB e BC serão:
2
BCBABC
2
ABAAB
x3x3075)x(M)4x(V2
xx6xV)x(M
x3x25,11)x(M2
xx6xV)x(M
Procedendo de maneira análoga para a carga unitária, temos as seguintes equações de esforços:
5x)x(M)4x(VxV)x(M
x4
1)x(MxV)x(M
BCBABC
ABAAB
Assim o deslocamento em C:
m001,011250
25,11
EI
25,11
25,1175,012dx5xx3x3075dxx4
1x3x25,11EI
C
5
4
2
4
0
2
C
Resposta: Deslocamento vertical do nó C é =1,00 mm (para cima)
Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
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10) Calcule o deslocamento vertical do nó B do quadro isostático visto na figura
abaixo. Considere o quadro trabalhando fundamentalmente à flexão com inércia
constante nas duas barras EI = 135500 kN.m2.
B
A
C
6 m
8 kN
4 m
1 kN
Solução:
B
A
C
6 m
8 kN
4 m
1 kN
B
A
C
6 m
1
4 m
Equações de momentos para o carregamento original
Barra BC – origem do eixo x em B
m6x0x8)x(MBC
Barra AC – origem do eixo x em C
m4x0x148)x(MBD
Equações de momentos para a carga unitária
Barra BC – origem do eixo x em B
m6x0x)x(MBD
Barra AC – origem do eixo x em C
m4x06)x(MBD
m0124,0135500
1680
EI
1680
1680dx6x48dxxx8MMEI
VB
4
0
6
0
VB
Resposta: Deslocamento vertical do nó B é VB=1,24 cm (para baixo)
Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
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11) Calcule os deslocamentos horizontal e vertical do nó B do quadro isostático
representado pela figura abaixo. Considere o quadro trabalhando basicamente à
flexão com inércia EI = 80000 kN.m2.
B
A
C D
12 kN/m
5 m
2 m
20 kN
2 m
Solução:
B
A
C D
12 kN/m
5 m
2 m
20 kN
2 m
B
A
C D
5 m
2 m
2 m 1
Equações de momentos para o carregamento original
Barra BD – origem do eixo x em B
m2x0x20)x(MBD
Barra CD – origem do eixo x em D
m5x040x6)x(M 2
BD
Barra AC – origem do eixo x em C
m4x0x20190)x(MBD
Equações de momentos para a carga unitária
Barra BD – origem do eixo x em B
m2x0x)x(MBD
Barra CD – origem do eixo x em D
m5x02)x(MBD
Barra AC – origem do eixo x em C
m4x02x)x(MBD
m01325,080000
1060
EI
1060
1060dx2xx20190dx240x6dxxx20MMEI
HB
4
0
5
0
2
2
0
HB
Deslocamento horizontal do nó B = 0,01325 m.
Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =13,3 mm (para esquerda)
Engenharia Civil Hiperestática – Lista 1 Método da Carga Unitária
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12) Calcule o deslocamento horizontal do apoio B do pórtico hiperestático
representado pela figura abaixo. Considere as barras 1 e 3 de inércia EI=20000 kN.m2
e a barra 2 de inércia 4EI, todas trabalhando fundamentalmente à flexão.
1
2
B
A
C D
5 m
4 m
3
3 m
8 kN
Solução:
B
A
C D
8 kN
1,6 kN
1,6 kN
8 kN
B
A
C D
1
0,2
0,2
1
Equações de momentos para o carregamento original
Barra BD – origem do eixo x em B
m3x0x8)x(MBD
Barra CD – origem do eixo x em D
m5x0x6,124)x(MCD
Barra AC – origem do eixo x em A
m4x0x8)x(MAC
Equações de momentos para a carga unitária
Barra BD – origem do eixo x em B
m3x0x)x(MBD
Barra CD – origem do eixo x em D
m5x0x2,03)x(MCD
Barra AC – origem do eixo x em A
m4x0x)x(MAC
m0183,020000
366
EI
366dx
EI
)x(8dx
EI4
x2,038dx
EI
)x(8
dxEI
xx8dx
EI4
x2,036,124dx
EI
xx8
EI
MM
HB
4
0
25
0
23
0
2
HB
4
0
5
0
3
0
HB
Resposta: Deslocamento horizontal do nó B é =18,3 mm (para esquerda)