Lista - Cálculo II
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Plano de Estudo de Cálculo 2 – 1º Bimestre
Profª Luciana Castellano de Vasconcellos
Para uso da Professora
Composição do Plano de Estudo Trabalho Completo
Pesquisa sobre limite/derivada
3ª Série de Exercícios
Total
Antes de realizar o plano de estudo, leia as orientações abaixo.
Essas orientações contém as respostas das dúvidas mais frequentes
com relação a todas atividades de avaliação.
Resumo (é uma previsão) sobre o sistema de notas* e cronograma de atividade** (para saber o modo de avaliação leia as orientações completas)***
Pesquisa => até 0,5 ponto
Série de Exercícios => até 1,0 ponto
Apresentar/entregar na 13ª aula
ATPs (manuscrita e em grupo) => até 2 pontos
Apresentar/entregar na 13ª aula
Exercícios do “Simulado” => até 0,5 ponto
Atividade em sala ( na 13ª aula)**
Total = ATÉ 4,0 pontos na média do 2º bimestre
Nota máxima na prova => Até 6,0 na média do 2º bim
Média do 1º bim => Nota das atividades + Nota da prova l
* A professora pode modificar o peso das atividades durante o decorrer das aulas (se isso
ocorrer, será avisado). **As datas podem ser modificadas de acordo com orientações da
coordenação. *** Informações completas abaixo.
Dados de identificação
Nome completo:
RA: Curso: Engenharia.........................................................................................................
Semestre: Turno (manhã ou noite):
Turma:
Dia da aula: -feira
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Plano de Estudo de Cálculo 2 – 1º Bimestre
Pesquisa sobre aplicações das derivadas e integrais na engenharia
(ESSA PESQUISA É MANUSCRITA e INDIVIDUAL. NÃO COPIE DO COLEGA!!!)
1. Qual o significado prático de um ponto de máximo ou de mínimo? (0,09)
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2. Qual o significado prático de um ponto de inflexão? (0,08)
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3. O que são derivadas parciais?
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Plano de Estudo de Cálculo 2 – 1º Bimestre
4. Quando usamos derivada total e a quando usamos a derivada parcial?
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5. Dê pelo menos 3 exemplos de relações de grandezas físicas que podem ser
alternadas através das derivadas e das integrais. Mostre-as relacionando a
derivada e a integral nessas grandezas (sem ser aceleração, velocidade e espaço).
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6. Escreva com suas próprias palavras, o que você aprendeu
sobre esse assunto através da leitura e da pesquisa (mínimo de 5 linhas).
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7. Referências (0,05)
(Inclua os locais de pesquisa que foram utilizados. DICA: Sempre EVITE sites não confiáveis)
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2ª Lista de Exercícios de Cálculo 2
IMPORTANTE
A cópia é algo que fará mal à você mesmo. Conscientize-se disso!
Se o aluno simplesmente copia do colega, o aluno deve estar ciente de que isso
pode gerar problemas de nota e isso será de responsabilidade do aluno.
Está com dificuldades? Estude, pesquise, pergunte.
Peça orientações à professora. Fuja da cópia, ela é inimiga do aprendizado!
1ª parte – Exercícios básicos para treinar o conceito
1.1) Esboce um gráfico (no espaço disponível ao lado) que satisfaça as seguintes condições:
a) (Exercício 1 do PLT) Esboce o
gráfico de uma função com,
exatamente, dois pontos críticos,
um dos quais é um mínimo local
e o outro não é nem máximo
nem mínimo local.
b) (Exercício 2 do PLT) Esboce o
gráfico de uma função que tem,
exatamente, um ponto crítico em
x = 2, e tem, exatamente, um
ponto de inflexão em x = 4.
c) (Exercício 32 do PLT)
Esboce o gráfico de f sabendo que:
f´(x) = 0 em x = 2
f´(x) < 0 para x < 2 e f´(x) > 0 para x > 2
f´´(x) = 0 em x = 4
f´´(x) > 0 para x < 4 e f´´(x) < 0 para x > 4
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1.2) Esboce um gráfico que satisfaça as seguintes condições:
a) (Exercício 40 do PLT)
b) (Exercício 41 do PLT)
c) (Exercício modificado a partir do PLT)
d) (Exercício modificado a partir do PLT)
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1.3) Através da aplicação da derivada a primeira e a segunda responda o que se solicita. Depois esboce
o gráfico das seguintes mostrando em qual instante ocorre o(s) pico(s) máximo(s) e mínimo(s).
Deverás utilizar derivadas para saber esses momentos de pico máximo e mínimo.
Dica 1: Pode ser útil multiplicar os fatores antes de derivar.
Dica 2: Pode ser útil os métodos passados em cálculo 1 para esboçar o gráfico:
Elevado a 1 => “Passa” Elevado a 2 => “Bate e rebate” Elevado a 3 => “Amortece”
a) Na função y = (x + 2)(x – 3), qual valor de x ocorre o mínimo? De quanto é esse mínimo?
R: Mínimo de - 6,25 em x = 1/2.
b) Onde ocorre o máximo e o mínimo da função y = (x – 2)(x – 5)(x – 7)
R: dy/dx = 3x2 – 28x + 59
Máximo em x = 3,21 e mínimo em x = 6,12
c) Encontre os pontos de inflexão da função y = (x2 – 9)(x – 4)
2
R: d2y/dx
2 = 12x
2 – 48x +14
Ponto de inflexão em x = 3,68 e em x = 0,317 (aproximadamente)
d) Encontre os pontos de inflexão da função y = - (x – 1)(x2 – 16)(2x + 7)
R: d2y/dx
2 = – 24x
2 – 30x + 78
Ponto de inflexão em x = -2,5 e em x = 1,28 (aproximadamente)
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1.4) Sabendo que a derivada a primeira aplicada à um ponto nos fornece a taxa de crescimento (ou
decrescimento), encontre essa taxa para cada caso (derive e depois substitua para obter o valor).
a) y(x) = 3x4 – 2x
3 + 5e
x quando x = 3
b) L(x) = – 4x5 + 3e
6x quando x = 2
c) V(t) = 4.ln (t) – 3e quando x = 4
d) L(t) = 7.ln (4t) + 6.log 5 (t) quando t = 2
e) A(x) = 3.log 4 (x) – 5.ln (x) quando x = 1
f) y(θ) = 3.cos(2.θ) – 7.sen(3.θ) quando θ = 30º
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2ª parte – Problemas básicos aplicados às engenharias
2.1)*Suponha que o lucro de uma empresa seja dado por L(t) = t4 + t
3 – 3t
2 + 1. Esboce o gráfico,
determine em qual momento (em qual tempo ocorre) o lucro tem o menor valor. Determine também
em qual instante ocorre o ponto de inflexão. Considere t ≥ 0.
R: O lucro terá o menor valor em t ≈ 7/8
e o ponto de inflexão ocorre em t = 1/2 s.
2.2)*Uma fábrica de pequeno porte tem condições para produzir até 50 unidades (unidades q) de seu
produto por hora de produção. Sua função lucro (dada em reais) é dada por L(q) = – q3 + 44q
2 – 164q
+ 160. Determine o número de unidades que devem ser produzidas por hora de produção para
maximizar o lucro dessa fábrica. Determine também qual é o lucro máximo dentro do limite
estabelecido. Considere q ≥ 0.
R: Lucro máximo de R$ 8125,00 quando são produzidas 27 unidades.
2.3)*Uma empresa consegue, com os equipamentos atuais, a produção de um máximo de 10 mil
unidades “u” de produto por hora de produção. Através dessa produção, gera-se uma função receita
(em milhares de reais) dada por R(u) = u4 – 18u
3 + 80u
2. Determine o número de unidades que devem
ser produzidas por unidade de tempo de forma a maximizar a receita que essa empresa pode obter.
Determine também qual é a receita máxima dentro do limite estabelecido. Considere u ≥ 0.
R: Receita máxima de R$ 384.000,00 quando são produzidas 4 mil unidades.
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2.4)*Uma empresa determinou que a receita total em dólares para um produto pode ser modelada por
R = -x3 + 450x
2 + 52500x, em que x é o número de unidades produzidas e vendidas. Qual o nível de
produção que gera receita máxima? Considere o seguinte domínio: 0 ≤ x ≤ 546.
R: A produção de 350 unidades gera a receita máxima.
2.5)**Uma página retangular terá 24 polegadas quadradas de área impressa. As margens no início de
no fim da página e no fim da página tem 1,5 polegada. As margens de cada lado têm 1 polegada. Quais
deveriam ser as dimensões da página para minimizar a quantidade de papel utilizada? Dado extra:
Suponha que a área a ser minimizada seja dada pela função A = (x+3)(y+2).
R: 9 polegadas por 6 polegadas.
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3ª parte – Problemas melhorados
[Essa parte (3ª parte) da lista NÃO será obrigatória]
3.1)***Encontre as dimensões de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser
inscrito em um cone circular reto com raio de 5 cm e altura de 12 cm.
R: As dimensões do cilindro de maior volume são raio de 10/3 cm e altura de 4 cm.
3.2)****Determine as dimensões do cone de máximo volume, que pode ser inscrito numa esfera de
raio igual a r. R: O raio é 2√2r/3 e altura é de 4r/3.
3.3)****Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior volume possível, que pode ser
inscrito num cone cuja base tem raio e altura iguais a r e h, respectivamente.
R: O raio é de 2r/3 e altura é de h/3.
3.4)****Se numa indústria forem produzidas de 200 a 230 unidades de uma peça, haverá um
rendimento semanal de $540,00 por cada unidade. Entretanto se forem produzidas mais de 230
peças, o rendimento semanal em cada peça será reduzido em $2,00 por cada peça a mais. Determinar
o maior rendimento semanal da indústria.
R: O maior rendimento semanal para a indústria é de R$ 125.000,00
e é atingido quando são produzidas 250 peças.
3.5)*****Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a
velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 13 e
18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por v(t) = t3– 10,5 t2+30 t+
20 km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o instante, entre 13 e 18 horas, em que o
trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?
R: Concluímos que t = 2 é ponto de máximo global e t = 5 é ponto de mínimo global de v no intervalo de
interesse [1,6]. Isso significa que o trânsito é mais rápido às 14h, quando os carros passam pelo cruzamento
a uma velocidade média de 46 km/h e o trânsito é mais lento as 17h, quando os carros passam pelo
cruzamento a uma velocidade média de 32,5 km/h.
3.6)****Um edifício de 2000 m2 de piso deve ser construído, sendo exigido recuos de 5 m na
frente e nos fundos e de 4 m nas laterais. Ache as dimensões do lote com menor área onde
esse edifício possa ser construído.
R: O lote de menor área para construir esse edifício
deve ter frente e fundo de 48m e laterais de 60m.
3.7)****Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3. O material
da tampa e da base vai custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para os lados
R$ 1,50 por centímetro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja
mínimo. R: As dimensões da caixa de menor custo são
10cm X 10cm X 20cm (base 10 X 10 e altura de 20)
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4ª parte – Achando tudo muito fácil, simples e/ou trivial?
Problemas desafiadores para os alunos perspicazes!
[Essa parte (4ª parte) da lista NÃO será obrigatória]
4.1) Cinqüenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva. Decorridos A anos, a
população P desses animais é estimada por: P(A) = 3.ln(A) + 4A3 – 6e
A. Em que instante essa população
animal atinge seu máximo? Quanto ele vale?
4.2) O peso específico da água a uma temperatura de T°C é dado por
Qual é a temperatura na qual a água apresentará o maior peso específico?
4.3) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter a capacidade de 375π cm3. O custo do material
usado para a base do recipiente é de R$ 0,15 por cm2 e o custo do material usado na lateral é de R$ 0,05 por
cm2. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo do material para
construí-lo.
4.4) Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. A pesquisa
mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação x horas após as 17h é
a) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem mais ouvintes sintonizados na estação?
b) Em que instante, entre 17h e meia-noite, existem menos ouvintes sintonizados na estação?
4.5) Um departamento de estradas de rodagem está planejando fazer uma área de descanso para motoristas,
à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 m2 e deve ser
cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a
obra?
4.6) De acordo com a lei de Poiseuille, a velocidade do sangue a r cm de distância do eixo central de uma
artéria de raio R é dada por S(r) = c.(R2 – r
2) onde c é uma constante positiva. A que distância do eixo
central da artéria a velocidade do sangue é máxima?
4.7) Quando um resistor de R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma
força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampères atravessa o
circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo
Supondo que r seja constante,
qual o valor de R para o qual
a potência dissipada é máxima?
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5ª parte – Integrais
5.1) Encontre a integral das funções abaixo (integral indefinida).
Exemplo: f(x) = 7x 5/2
+ 4 => ∫ f(x) dx = ∫ (7x 5/2
+ 4) dx = [7/(7/2)].x 5/2+1
+ 4/1.x0+1
+ C = 2x7/2
+ 4x + C
a) F(t) = 2t2 + 5t + 3
b) F(x) = 3x + 7 – 4ex
c) F(x) = 4x3 – 6/x
2 + 3e
x
d) F(t) = 4/3.t 2/5
+ 3.t 7/8
5.2) Encontre a área (em m2) formada a partir da integral das seguintes funções (integral definida).
Exemplo: f(x) = x2 – 6x + 11 => (x
2 – 6x + 11) dx = [7/(7/2)].x
5/2+1 + 4/1.x
0+1 + C = 2x
7/2 + 4x + C
Por enquanto, o esboço do gráfico não será obrigatório.
O esboço foi feito nesse exemplo somente para fim de um melhor
entendimento.
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a) F(t) = t2 – 5t + 6 com tf = 7 e ti = 4
b) F(x) = x3 + 4 com xf = 3 e xi = 1
c) F(x) = x2 – 1 com xf = 2 e xi = 1
R: 4/3
d) F(t) = (4t + 1)2 com tf = 1 e ti = 0
R: 31/3
Atenção, disciplina e serenidade Bons estudos!
Profª. Esp. Luciana Castellano de Vasconcellos
Engenheira de Produção Mecânica, Física e Bióloga
Novo site: https://sites.google.com/site/profalucianavasconcellos/
Contato: [email protected]