List a 2
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2.1 Dê exemplo de uma seqüência {an} , não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e estritamente crescente;
(b) limitada e estritamente decrescente;
(c) limitada e não monótona;
(d) não limitada e não crescente;
(e) não limitada e não monótona.
2.2 Esboce o gráfico da seqüência de termo geral an =n
n+ 1e verifique quantos pontos da forma
(n, an) estão fora da faixa horizontal determinada pelas retas y = 4/5 e y = 6/5.
2.3 Dê exemplo de uma seqüência limitada e não monótona que possui uma subseqüência estritamente
crescente.
2.4 Expresse pelo seu termo geral cada seqüência dada abaixo.
(a) 1, 1/2, 1/3, 1/4, · · · (b) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · ·(c) 1, 0, 1, 0, 1, · · · (d) 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, · · ·
(e) 1, 9, 25, 49, 81, · · · (f) 1, 3/2, 2, 5/2, 3, · · ·
(g) 2, 1, 3/2, 1, 4/3, 1, · · · (h) 0, 3/2,−2/3, 5/4,−4/5, · · ·
(i) 0, 3, 2, 5, 4, · · · (j) 1, 10, 2, 102, 3, 103, · · ·
2.5 Classifique as seqüências do Exercício 2.4 quanto a limitação e monotonia e selecione de cada uma
delas uma subseqüência monótona. Qual daquelas seqüências possui um subseqüência constante?
2.6 Determine o sup e o inf das seguintes seqüências:
©−n2 + nª,
½2n
n!
¾,
½2
3n− 4¾,
½1− 1
n
¾, {lnn} ,
½3n2
3n2 − n
¾, {(−2)n} .
2.7 Para que uma seqüência possua uma subseqüência constante é necessário e suficiente que algum
termo da seqüência se repita uma infinidade de vezes.
Nos Exercícios 2.8 a 2.13 use o Método de Indução Finita para demonstrar as sentenças.
2.8 Se n1 < n2 < n3 < · · · são números naturais, mostre que nj ≥ j, ∀j ∈ N.
2.9 Mostre que1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)2 · 4 · 6 · . . . · (2n) ≥ 1
2n, ∀n ∈ N.
2.10 Uma seqüência {bn} é definida por: b1 = −1 e bn = −n− 1n2
bn−1, n ≥ 2. Mostre que bn = (−1)nn!n
.
2.11 Considere a seqüência de Fibonacci : a1 = 1, a2 = 1 e an = an−1 + an−2, para n ≥ 2. Mostre que
an =1
2n√5
h³1 +√5´n − ³1−√5´ni .
2.12 Mostre que (1 + x)n ≥ 1 + nx+n (n− 1)x2
2, x ≥ 0, ∀n ∈ N.
2.13 Se a1, a2, a3, . . . , an são números reais, demonstre que as seguintes relações são válidas:
|a1 + a2 + a3 + · · ·+ an| ≤ |a1|+ |a2|+ |a3|+ · · ·+ |an||a1 + a2 + a3 + · · ·+ an| ≥ |a1|− |a2|− |a3|− · · ·− |an|
2.14 Colque V ou F e justifique. Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
( ) toda seqüência convergente é limitada;
( ) toda seqüência limitada é convergente;
( ) toda seqüência limitada é monótona;
( ) toda seqüência monótona é convergente;
( ) a soma de duas seqüências divergentes é divergente;
( ) toda seqüência divergente é não monótona;
( ) se uma seqüência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
( ) toda seqüência divergente é não limitada;
( ) se uma seqüência possui uma subseqüência convergente, ela própria converge;
( ) toda seqüência alternada é divergente;
( ) toda seqüência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero;
( ) se uma seqüência {an} diverge, então {|an|} também diverge;
( ) se a seqüência {|an|} converge então {an} também converge;
( ) se a seqüência {|an|} converge para zero, então {an} também converge para zero;
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( ) se an ≤ bn, ∀n, {an} crescente e {bn} convergente, então {an} converge;
( ) se {an} é convergente, então {(−1)n an} também converge;
( ) a seqüência {an} definida por a1 = 1 e an+1 = nann+ 1
é convergente;
( ) a seqüência {an} definida por a1 = 1 e an+1 = 1− an é convergente;
( ) se an 6= 0, ∀n, e limn→∞
¯̄̄̄an+1an
¯̄̄̄= l < 1, então lim
n→∞an = 0;
( ) a seqüência an = (−1)n + 12 cos
¡n2 + n
¢possui uma subseqüência convergente;
( ) se a sérieP
an é convergente, então as sériesP
a2n eP
a2n−1 também convergem;
( ) se as sériesP
a2n eP
b2n são convergentes, entãoP
anbn também converge;
( ) se a sérieP
a2n é convergente, entãoP
an/n também converge;
( ) se a sérieP
an é convergente e an > 0, ∀n, então Pa2n eP
an/ (1 + an) convergem;
( ) se {xn} e {yn} são convergentes e xn ≤ yn, a partir de um certo índice, então limxn ≤ lim yn.
2.15 Em cada caso, e quando possível, construa seqüências {an} , {bn} e {cn} em R tais que an →∞, bn → −∞, cn → 0 e que verifiquem:
(a) an + bn → 1 (b) an + bn → −∞ (c) an + cn → 1 (c) ancn → 0 (d)ancn→ 1.
2.16 Usando a definição de limite, prove que:
(a) limn→∞
n
2n− 1 =1
2(b) lim
n→∞sen
¡n5 + n
¢n
= 0 (c) limn→∞
3n2 + 1
n2= 3
(d) limn→∞
5 + n
2 + 3n=1
3(e) lim
n→∞5
2 + 3n= 0 (f) lim
n→∞
µ2 +
1
n
¶= 2.
2.17 Calcule o limite de cada seqüência dada abaixo pelo seu termo geral.
(a)n− 1n+ 1
(b) n sen³πn
´(c)
lnn
en(d)
4n2 − 3nn2 + 5n− 6
(e)n2
n+ 1− n2
n+ 2(f)µ1 +
1
3n
¶n
(g)n
en(h)
√n! + e2n
5√n!− en
(i)3n√n+ 1
7− 2n√n (j)µ1 +
2
n
¶n
(k) n1n (l)
1
3n+1+
µ3
4
¶n−3
(m)√n+ 1−√n (n) n
√n2 + n (o)
2n
en(p) n√a, a > 0
(q)3n + (−2)n
3n+1 + (−2)n+1 (r)(n+ 1)n
nn+1(s)
n!
3n+1(t)
3√n2 sen
¡n2¢
n+ 2
2.18 Em cada caso abaixo verifique se a seqüência dada pelo seu termo geral é convergente ou divergente.
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(a)√n2 + 1−√n (b)
1√n2 + 1−√n (c)
2n
n!
(d)2n
1 + 2n(e)
n2
2n− 1 −n2
2n+ 1(f)
(−1)nn
(g)n
2n+(−1)nn
(h)1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)
n!2n(i)
nn
n!
(j)n
2n(k)
n!
1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1) (l)n2
ln (n+ 1)
(m) sen (nπ) (n) 8√n2 + 1− 4
√n+ 1 (o) 1 + (−1)n
2.19 Prove que limn→∞ (3n + 4n)1/n = 4. Generalização: lim
n→∞ (an + bn)1/n = max {a, b} .
2.20 Se |r| < 1, mostre que limn→∞nrn = 0. Se r > 1, mostre que lim
n→∞ rn =∞. E se r < −1?
2.21 Se 0 < a < 2, mostre que a <√2a < 2. Usando este fato prove que a seqüência
√2,
q2√2,
r2
q2√2, ...
é monótona limitada e portanto convergente. Calcule seu limite.
2.22 Seja {bn} é uma seqüência convergente, com bn 6= 0, ∀n, e limn→∞ bn 6= 0. A partir da definição de
limite, mostre que a seqüência {1/bn} é limitada.
2.23 Mostre que limn→∞
hsen(
π
22) · sen( π
32) · sen( π
42) · . . . · sen( π
n2)i= 0.
2.24 Considere a seqüência cujos termos são definidos pela recorrência: a1 = 5 e an+1 =√an. Estes
termos podem ser gerados em uma calculadora, introduzindo-se o número 5 e pressionando-se a tecla√x .
(a) descreva o comportamento de {an} quando n aumenta;
(b) se convença que an = 51/2ne calcule lim
n→∞ an.
2.25 Em uma calculadora uma seqüência é gerada introduzindo-se um número e pressionando-se a tecla
1/x . Em que condições a seqüência tem limite?
2.26 Seja {xn} uma seqüência com a seguinte propriedade: existe um número natural p tal que xn+p =xn, ∀n. Mostre que a única seqüência convergente com esta propriedade é a seqüência constante.
2.27 Lembrando que um número real x é valor de aderência de uma seqüência (xn) quando alguma
subseqüência de (xn) convergir para x, determine uma seqüência cujo conjunto de valores de aderência é:
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(a) A = {1, 2, 3, 4} (b) A = N (c) A = [0, 1] .
2.28 Sejam an : 1,−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . e bn : 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . .. Determine:(a) Todas as subsequências de (an) e (bn) convergentes;
(b) Todos os valores de aderência de (an) e (bn) .
2.29 Se limxn = a e lim yn = b, com a < b, prove que existe um n0 ∈ N a partir do qual xn < yn.
2.30 Suponha que um número real a não é limite de uma seqüência limitada {xn}. Mostre que aseqüência {xn} possui uma subseqüência convergente com limite 6= a.
2.30 Defina a seqüência {xn} por: x2n = 1/n e x2n−1 =√n. Quantos valores de aderência a seqüência
{xn} possui? Ela é convergente?
2.32 Se limxn = a, prove que:
limn→∞
x1 + x2 + · · ·+ xnn
= a.
2.33 Se X ⊂ R é um subconjunto não vazio, mostre que a ∈ X 0 se, e somente se, existe em X\ {a}uma seqüência com limite a.
2.34 Considere duas seqüências {xn} e {yn}, sendo {xn} convergente. Se para cada ε > 0 existir umanúmero N tal que |xn − yn| < ε, ∀n ≥ N, o que se pode dizer sobre a convergência da seqüência {yn}?
2.35 Defina por recorrência uma seqüência {xn} da seguinte maneira: fixe x1 > 1 e para n ≥ 1 definaxn+1 = 2− 1/xn. Mostre que a seqüência {xn} é convergente e calcule o seu limite.
2.36 Mesmo exercício precedente com a seqüência {yn} dada por: y1 = 1 e yn+1 =√2 + yn, para
n ≥ 1.
2.37 Limite Superior & Limite Inferior. Seja {xn} uma seqüência li-mitada e para cada n ∈ N se-jam Sn = sup {xk; k ≥ n} e sn = inf {xk; k ≥ n} . Verifique que as seqüências {Sn} e {sn} são convergentese que {xn} converge se, e somente se, limSn = lim sn. O número real limSn é denominado limite superior
da seqüência {xn} e anota-se lim supxn ou limxn. O número real lim sn é denominado limite inferior da
seqüência {xn} e anota-se lim inf xn ou limxn. Da definição segue diretamente que:
lim supxn = infnsupk≥n
{xk} e lim inf xn = supninfk≥n
{xk} .
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2.38 Estabeleça as seguintes propriedades para o lim sup e lim inf.
(a) lim inf xn ≤ lim supxn;(b) se c ≥ 0, então lim sup (c · xn) = c · lim supxn e lim inf (c · xn) = c · lim inf xn;(c) se c ≤ 0, então lim inf (c · xn) = c · lim supxn e lim sup (c · xn) = c · lim inf xn;(d) lim inf xn + lim inf yn ≤ lim inf (xn + yn) ;
(e) lim sup (xn + yn) ≤ lim supxn + lim sup yn;(f) se xn ≤ yn, ∀n, então lim inf xn ≤ lim inf yn e lim supxn ≤ lim sup yn.
2.39 Com relação a uma seqüência limitada {xn} , mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) x = lim supxn;
(b) se ε > 0, existe apenas uma quantidade finita de números naturais n tais que x+ε < xn, mas existe
uma quantidade infinita de índices n tais que x− ε < xn;
(c) x = infX, ondeX é o conjunto dos números reais ξ tais que ξ < xn, para no máximo uma quantidade
finita de termos xn.
2.40 Estabeleça um resultado análogo ao exercício precedente para o lim inf .
2.41 As seqüências abaixo são divergentes. Por quê? Em cada caso, calcule o lim sup e o lim inf .
(a) an = (−1)n (b) bn = 1 + (−1)n (c) cn = (−1)n + 1/n.
2.42 Se {xn} é uma seqüência limitada, prove que alguma subseqüência de {xn} converge paralim supxn. Idem para lim inf xn. Isso estabelece o seguinte resultado devido a Bolzano-Weierstrass: Toda
seqüência limitada de números reais possui uma subseqüência convergente.
2.43 Mostre que toda seqüência de Cauchy em Z permanece constante a partir de um índice n0.
2.44 Se 0 < r < 1 e uma seqüência {xn} satisfaz à relação |xn+1 − xn| < rn, ∀n ∈ N, mostre que {xn}é de Cauchy.
2.45 Usando a definição, mostre que as seqüências xn = (n+ 1) /n e yn = 1+1/2!+1/3! · · ·+1/n! sãode Cauchy.
2.46 Dizemos que {xn} tende para +∞, e escrevemos xn → +∞ ou limxn = +∞, se para cada α ∈ Rexistir um número natural N (α) tal que xn ≥ α, para qualquer índice n ≥ N (α). Dizemos que {yn}tende para −∞, e escrevemos yn → −∞ ou lim yn = −∞, se para cada β ∈ R existir um número natural
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N (β) tal que yn ≤ β, para qualquer índice n ≥ N (β). Sejam {xn} e {yn} seqüências em R+ tais que
lim (xn/yn) = L > 0. Mostre que:
limxn = +∞⇔ lim yn = +∞.
2.47 Sejam {xn} e {yn} seqüências em R+ tais que lim (xn/yn) = 0. Mostre que:
(a) se xn → +∞, então yn → +∞ (b) se {yn} é limitada, então limxn = 0.
2.48 Sejam t0, t1, . . . , tp números reais tais que t0 + t1 + . . . + tp = 0. Mostre que a seqüência (an)
definida por:
an =
pXk=0
tk√n+ k
converge para zero.
2.49 Se uma seqüência monótona possui uma subseqüência convergente, prove que a seqüência é, ela
própria, convergente. O mesmo ocorre com uma seqüência de Cauchy.
2.50 Mostre que a seqüência an =1
n+
1
n+ 1+
1
n+ 2+ · · ·+ 1
2né convergente.
2.51 Se an > 0, ∀n, mostre que a série∞Pn=1
an é convergente se, e somente se, a sérieP an1 + an
o for.
2.52 Seqüências de quadrado somável. Represente por l2 o conjunto:
l2 = {x = (xn) ;∞Xn=1
x2n <∞}.
(a) Dados x, y ∈ l2 e λ ∈ R, mostre que λx+ y ∈ l2;
Considere a função ϕ : l2 −→ R+, definida por:
ϕ (x) =
à ∞Xn=1
x2n
!1/2, x = (xn) ∈ l2.
(b) Mostre que a função ϕ goza das seguintes propriedades:
• ϕ (x) ≥ 0, ∀x e que ϕ (x) = 0⇔ x = 0;
• ϕ (λx) = |λ|ϕ (x) , ∀ (λ, x) ∈ R× l2;
• ϕ (x+ y) ≤ ϕ (x) + ϕ (y) , ∀x, y ∈ l2.
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