L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di...
Transcript of L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di...
![Page 1: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/1.jpg)
1
L’INTEGRALE DEFINITO
( ) dx xfb
a∫
![Page 2: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/2.jpg)
2
1. Il Trapezoide – area del Trapezoide
2. L’integrale definito – def. Di Riemann
3. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media
4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario
5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”
6. Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede
7. Volumi di figure di rotazione
8. Volumi: Metodo delle “Fette”
9. Integrali impropri o generalizzati
10. Applicazioni del calcolo integrale alla fisica
ARGOMENTI
![Page 3: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/3.jpg)
3
IL TRAPEZOIDE
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi
sia non negativa.
Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di
equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.
![Page 4: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/4.jpg)
4
L’AREA DEL TRAPEZOIDE
Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva
assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il
minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di
Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:
hMS hmsn
iin
n
iin
11∑=∑===
![Page 5: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/5.jpg)
5
hMS hmsn
iin
n
iin
11∑=∑===
sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n
rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate
minime mi della curva in tali intervallini;
Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è …
Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n.
Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]:
sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni.
Teorema.
Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e
convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n → + ∞ e risulta:
hM hmlimn
ii
n
ii
11∑=∑== +∞→+∞→ nn
lim
Definizione:
Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0,
dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune
per n→→→→ + ∞∞∞∞ delle somme sn e Sn .
![Page 6: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/6.jpg)
6
L’INTEGRALE DEFINITO
Definizione di integrale definito secondo Riemann:
Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed
Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con
la scrittura:
( )nnnn
b
a
Slim slim dx xf∞→∞→
==∫
Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx .
I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale: a - estremo inferiore, b - estremo superiore.
La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione.
N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].
![Page 7: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Se per ogni x ∈ [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile,
allora
rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.
∫=
∫
=
==
−
π
π
π
0
4dxsinx 2Area infatti
4Area 0dxsinx
, mentre,
![Page 8: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/8.jpg)
8
FUNZIONI INTEGRABILI
Teorema
Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] .
Classi di funzioni integrabili:
• Ogni funzione f : [a, b] → R continua è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b] → R limitata e monotona è integrabile;
• Ogni funzione f : [a, b] → R limitata con un numero finito o numerabile di
punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.
![Page 9: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/9.jpg)
9
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO
Definizioni:
1. se a < b si pone:
2. se a = b
Teoremi: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
proprietà additiva
( ) ( )∫∫ ≤b
a
b
a
dxxf dx xf
![Page 10: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/10.jpg)
10
7. Teorema della media
Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c ∈ [a, b] tale che
(*)
Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b].
Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha:
( ) ( ) ( )( )
Mab
dxxf
m abMdxxfabm
b
ab
a
≤−
≤→−≤≤−∫
∫
L’espressione
( )
ab
dxxfb
a
−
∫
è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori
intermedi, esiste almeno un punto c ∈ [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).
![Page 11: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Interpretazione geometrica del teorema della media.
Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato.
Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata.
In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il
valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente
come area al trapezoide.
![Page 12: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/12.jpg)
12
FUNZIONE INTEGRALE
Fissato x0 ∈ [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]:
Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.
![Page 13: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/13.jpg)
13
TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
(Torricelli-Barrow)
Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale
è derivabile ∀ x ∈ [a, b], e si ha: F'(x) = f (x) e F(a) = 0 .
Dimostrazione:
prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):
( ) ( )dt tfxFx
a∫=
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) [ ]. hxx;c con cf mediadella teorema il per h
dttf
h
dttfdttfdttf
additiva proprietà la per h
dttfdttf
h
xFhxF
hx
x
x
a
hx
x
x
a
x
a
hx
a
+∈===
=
−+
=
−
=−+
∫
∫∫∫∫∫
+
++
![Page 14: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Calcolo il limite del rapporto incrementale per h →→→→ 0:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) . xfdella continuità di ipotesil' per xf cf h
xFhxF==
−+
→→→
xc
hh 00limlim
Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) .
La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:
( ) ( ) . 2Ne definizionla per 0dxxfaF
a
a
°== ∫
( ) ( )dxxfb F:neOsservazio
b
a
∫=
![Page 15: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale
Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ba
b
a
x ab dxxf ϕϕϕ =−=∫
Dimostrazione:
Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè
φ(x) = F(x) + k → φ(x) = + k , quindi, poiché , si ha:( )∫x
a
dttf ( )∫ =a
a
0dttf
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) . abdttf
kdttfb
kab
a
b
a
ϕϕϕ
ϕ
−=⇒
+=
=
∫∫
Regola:
L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori
assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore
a dell’integrale stesso.
![Page 16: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/16.jpg)
16
( ) [ ]
[ ]
( ) [ ] ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
6
49x
2
3x
3
1x
2
3x
3
1x
2
3x
3
1
dx 3xxdx3xxdx3xx ...3x 0per x 03xx ...dx3xx 6.
2
ln2
4
π x1ln
2
1xarctgx ... parti)(per ... dxarctgx 5.
951110485xxxdx52x3x 4.
2
ln2 ln1
2
2ln lncos0
4
πlncos lncosx tgxdx 3.
1e e dxe 2. 2
314
2
1x
2
1xdx 1.
:Esempi
4
3
23
3
0
23
0
1
23
4
3
23
0
24
1
0
1
222
1
0
21
0
2
123
2
1
2
4π0
4π
0
1
0x
1
0
x
2
1
22
1
=
−+
+−+
−=
=−+−−+−≥∪≤≥−=−
−=
+−=
=+−−+−=+−=+−
=+−=+−=−=
−===−=
=
−
− −
∫∫∫ ∫
∫
∫
∫
∫∫
![Page 17: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/17.jpg)
17
( ) . 2
1x
2
1y ;1x
2
10-y
(1)' Fm
1)-m(xF(1)-y
:ha si , x1
x(x)' F e 0
t1
tF(1) poichè :Risposta
1. xascissa di punto neldt t1
tF(x) funzione della grafico al tangenteretta della equazionel' Determina 8.
.altol' versoè F(x) della concavità la , x di valoriper tali e
k2
xkper 0sin2x ; 02sinxcosx ; 0(x)'' F
;2sinxcosx (x)'' F (x),sin (x)' F
0.(x)'' F che è altol' versoconcavità laper esufficient e necessaria condizione la quindi
,derivabile è F(x) :Risposta
.altol' versoconcavità la volgeessa cuiin intervalli gli Barrow,Torricelli di teoremadel servendoti determina,
,(t)dt sinF(x) funzione la Data 7.
4
1
1
4
x
1
4
2
x
0
2
−=−=→
=
=
+==
+=
=+
=
π+π
≤≤π≥≥≥
==
≥
−
=
∫
∫
∫
![Page 18: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/18.jpg)
18
REGOLE DI INTEGRAZIONE
1. Integrazione per parti
Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale:
g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
![Page 19: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/19.jpg)
19
2. Integrazione per sostituzione
Sia f : [a, b] → R una funzione continua, sia φ : [α, β] → [a, b] una funzione continua e derivabile
con continuità.
Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d] ⊆ [a, b], esistono due
valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula:
Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.
Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal
caso si può scrivere:
Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:
![Page 20: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Altro esempio (integrazione per sostituzione)
Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:
Di ciascuno dei seguenti integrali:
dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è
questo.
Risoluzione.
Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti:
per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano
x = 0 → t = 0; x = 1 → t = 1/2; x = 2 → t =1, quindi
( ) ( ) . 5dx xf (b) e 2dx xf (a)
2
0
1
0
∫∫ −==
( )∫∫∫∫
1
0
4
2
2
0
1
0
,dx 2xf 4. ;dx 2
xf 3. ;dx
2
xf 2. ;dx
2
xf 1.
![Page 21: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/21.jpg)
21
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )∫
∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
==
=→==→=
====
==
+==
==
==
2
0
1
0
2
0
0
1
2
1
4
2
1
0
2
0
21
0
1
0
(b). integralel'per 2
5- dt tf
2
1
) 2t1 x0,t0 xneintegraziod' estremicon
dt/2,dx t/2, xcioè t,2x poniamo dx 2xf 4.
(b). e (a) integrali gliper e additiva proprietà laper
-14 5-2-2 dttfdttf2 dttf2 dx 2
xf 3.
(a). integralel'per 4dttf2 dx 2
xf 2.
! valoreil calcolarneper isufficient sononon condizioni le
? dttf2 dx 2
xf 1.
![Page 22: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/22.jpg)
22
CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI
Definizione di dominio piano normale: date due funzioni f(x) e g(x) continue in [a ; b], tali che
g(x) ≤ f(x) ∀x∈ [a ; b], si chiama dominio piano normale rispetto all’asse x l’insieme T dei punti P(x;y)
del piano così definito: T = {(x ; y) | a ≤ x ≤ b e g(x) ≤ y ≤ f(x)}.
Area: l’area del dominio T è data da:
[ ]dx g(x)f(x) dx g(x)dx f(x) Area(DCKH)-Area(ABKH) Area(T) :ha si infatti
b
a
b
a
b
a∫∫∫ −=−==
[ ] , dx )x(g)x(f)T(Area
b
a∫ −=
La formula per l’area vale comunque siano disposti i
grafici delle funzioni f(x) e g(x), purché sia g(x) ≤ f(x).
![Page 23: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Esempi
1. Area del segmento parabolico e teorema di Archimede.
Data la funzione f(x) = kx2 , con k > 0, calcoliamo l’area del segmento parabolico AA’VA, come in figura:
:quindi , 3
2
ka2
ka3
4
H)H'AA' ngoloArea(retta
VA)AA' parab.Area(segm. che Osserva
. ka3
4ka
3
22kax
3
12kka2adxkx2H)H'AA' ngoloArea(rettaVA)Area(AA'
3
3
333
0
32
0
2
aa
==
=−=
−⋅=−= ∫
Teorema di Archimede.
L’area del segmento parabolico AA’VA è 2/3
dell’area del rettangolo AA’H’H.
![Page 24: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Osservazione sul teorema di Archimede.
Il teorema di Archimede vale anche nel caso in cui la corda AA’ non sia perpendicolare all’asse della
parabola.
In tale caso, tracciata la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta AA’, l’area del segmento
parabolico AA’VA è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo avente base AA’ e altezza uguale alla distanza
tra la retta t e la retta AA’.AH
Esempio: Determina l’area del segmento parabolico T,
limitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta
t : y = -2x + 4 .
[ ]
∫
∫
− −
=−+−=
−=−
=−−+−=
=⋅⋅=⋅⋅=
==
=
==⇒
−=
−=
2
2
2
2
32
2
2-
2
'
'
. 3
32
3
88
3
88x
3
1x4dx)x4(
dx)x2x()4x2(Area :Oppure
. 3
3254
5
4
3
2 'AA AH
3
2 par.) ntoArea(segme
allora , 5
4AH e 54 'AA Poichè
.2x - y : t quindi O(0;0), è tang.di punto il cioè
, 0 x , -22-2x 2)x(f
2x2)x(f
: t tangentedella equazionel' Determino
![Page 25: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/25.jpg)
25
2. Calcolare l’area della regione piana compresa tra le due parabole di equazioni: y2 = 4x e x2 = 4y.
. 3
16
12
xx
3
4 dx
4
xx2 )T(Area
quindi , 4
xy : e x2y :
:sono parabola di archi degli esplicite quazionie Le
4
0
3
2
34
0
2
2
=
−=
−=
=δ=λ
∫
3. Calcolare l’area della regione piana limitata dall’ellisse di equazione di equazione: . 1b
y
a
x2
2
2
2
=+
. abxaa
x
a
xarcsenab2
costdt)adx ; a
xarcsen t;sent a(x
dxxaa
b4)T(A
a
a
0
22
2
0
22
π=
−⋅+=
⋅==⋅=
=−= ∫
![Page 26: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/26.jpg)
26
VOLUMI DI FIGURE DI ROTAZIONE
Consideriamo la funzione y = f(x) di grafico γ,
continua nell’intervallo [a; b] e non negativa,
e il trapezoide esteso all’intervallo [a; b].
Se facciamo ruotare il trapezoide attorno
all’asse x di un giro completo, ossia di 360°,
otteniamo la figura di rotazione (solido di
rotazione) F.
Calcoliamo il volume di tale figura.
Dividiamo l’intervallo [a; b] in n parti uguali di lunghezza h = (b-a) / n e consideriamo i plurirettangoli
h ms h MS n
iin
n
iin
11∑=∑===
che approssimano il trapezoide per eccesso e per difetto. Da una rotazione completa dei plurirettangoli
attorno all’asse x, si ottengono due pluricilindri, che approssimano per eccesso e per difetto la figura di
rotazione F.
![Page 27: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Ogni cilindro ha per base il cerchio di raggio Mi (appross. per eccesso) o mi (appross. per difetto) e per
altezza h, quindi i pluricilindri hanno volume:
. hmv hMn
i
2in
n
i
2in
11
V ∑=∑===
ππ
![Page 28: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/28.jpg)
28
. dx)x(f h m lim h Mlim Vb
a
2
1
2
in1
2
in
F
n
i
n
i∫π=∑π=∑π=
== +∞→+∞→
Si può dimostrare che quando n →→→→ + ∞∞∞∞ le due successioni tendono allo stesso limite e tale limite è il
volume della figura di rotazione F :
Esempi
1. Volume del cono, data la funzione y = mx:
) nota formula la ecco ed ... b, altezza mb, base di raggio (
bm3
x3
1mdx)mx(V 32
0
3
0
22
bb
==
π=
π=π= ∫
2. Volume dell’ellissoide generato dalla rotazione dell’ellisse di equazione
a) attorno all’asse x :
1b
y
a
x2
2
2
2
=+
. πab3
4 a
3
2
a
b2π x
3
1xa
a
b2π )dxx(a
a
b2πV , )x(a
a
by 23
2
2
0
32
2
2
0
22
2
222
2
22
aa=⋅=
−=−=−= ∫
![Page 29: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/29.jpg)
29
b) attorno all’asse y :
. bπa3
4 b
3
2
b
a2π y
3
1yb
b
a2π )dyy(b
b
a2πV , )y(b
b
ax 23
2
2
0
32
2
2
0
22
2
222
2
22
bb=⋅=
−=−=−= ∫
. a3
4V 3π=In particolare, se a = b, l’ellissoide si riduce ad una sfera di raggio a e volume :
3. Determinare il volume del solido generato dal dominio piano T delimitato dalla parabola P: y = -x2 + 6x
e dalla retta r : y = 5 in una rotazione completa attorno ad r.
0y : r
5x6-xy :P : diventano oriferiment nuovo nelr retta della e P parabola della equazioni le
qundi , 5yy
xx :5) ; (0Oin 0) ; O(0 porta che oriferiment del one traslazila Operiamo
2
n
n
n
=
−+=
+=
=
![Page 30: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/30.jpg)
30
( )
[ ]
. π15
512 25x30xx
3
463xx
5
1 π
dx 60x10x12x2536xx π
dx 56xxπV
: volumedel Calcolo
. B(5;0) , A(1;0) : oriferiment nuovo nel
parabola-retta neinterseziod' Punti
5
1
2345
5
1
2324
5
1
22
=
+−+−=
=−+−++=
=−+−=
∫
∫
4. Dato il dominio piano T, delimitato dagli assi cartesiani, dalla retta y = 1 e dal grafico di y = lnx ,
determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di T attorno: a) all’asse x , b) all’asse y .
( )
[ ]
[ ] . 2-e 2-2e 2e- e x2xlnx2xlnxxdxln
quindi , cxxlnx2xlnx xdxln2xlnxxdxln :partiper calcoliamo (*)
(*) . 22-e-exdxln-e B)V(AB'-BC)B'C' V(cilindroV )a
ee
e
12
1
2
222
1
2
=+=+−=
+−−=−=
π=ππ=ππ==
∫
∫∫
∫
![Page 31: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/31.jpg)
31
( ) . 1e2
e2
1dyeV quindi , e xlnx y )b 2
1
0
y2
0
2yy1
−π
=
π=π==→= ∫
![Page 32: L’INTEGRALE DEFINITO - liceofermigaeta.it · 4. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario 5. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022114/5c68f5aa09d3f25c6a8c50a6/html5/thumbnails/32.jpg)
ERROR: stackunderflow
OFFENDING COMMAND: ~
STACK: