Linhas de transmissão. As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos. Cada...
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Linhas de transmissão
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• As LT podem ser descritas em termos de parâmetros distribuídos. Cada troço elementar de
linha Δz é modelado por parâmetros R, L, G e C definidos por unidade de comprimento:
R – resistência em série dos condutores [Ω/m]
L – indutância em série dos condutores [H/m]
G – condutância em paralelo [S/m]
C – capacidade em paralelo [F/m]
L – A indutância em série representa a indutância própria dos 2 condutores.
C – A capacidade em paralelo é devida à proximidade dos dois condutores.
R – A resistência em série representa a resistência devida á condutividade finita dos condutores.
G – Contabiliza as perdas dieléctricas no material entre condutores.
R e G – Traduzem perdas
Linhas de transmissão
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a) Dieléctrico com perdas
G – dieléctrico com perdas σd ≠ 0
b) Condutor com perdas => aparecimento de uma componente , deixa de ser um modo TEM.
c) R = Ri – resistência interna dos condutores
Li, Ci ≈ 0 normalmente desprezam-se
• A teoria das linhas de transmissão estabelece a ponte entre a análise dos campos electromagnéticos e a teoria dos circuitos.
• Os fenómenos de propagação de ondas em linhas de transmissão podem ser abordados como uma extensão da teoria dos circuitos ou como uma especialização das equações de Maxwell.
• A diferença fundamental entre a teoria dos circuitos e a teoria da linha de transmissão é o comprimento eléctrico. Nos circuitos as dimensões físicas são muito menores que o comprimento de onda, enquanto que nas linhas de transmissão são uma fracção considerável do comprimento de onda.
• A linha de transmissão é vista como um circuito de parâmetros distribuídos, em que a tensão e a corrente variam em amplitude e fase ao longo da linha
zE
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iCeCCiLeLL
eGGeCC
eCeL
2IeL21
mW
2VeC21
eW
21
HdeL
VQ
eC
iCeCC
I
l
Exterior ao condutor perfeito
Auto indução exterior ao condutor perfeito
Energia eléctrica
Energia magnética
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Equações canónicas das linhas de transmissão:
VcjGVcjVRdz
Id
ILjRILjIRdzVd
)z(VCj)z(VGdz
)z(Id
)z(ILj)z(IRdz
)z(Vd
t)t,z(VC)t,z(VG
z)t,z(I
)t,z(tIL)t,z(IR
z)t,z(V
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As eqs. resolvem-se em ordem a :
zjkjcjGLjRqueem
0I22dz
I2d
0V22dz
V2d
)I(
IeV
a) Condutores perfeitos (σ = ∞)
R = 0 Modos TEM → kz= k0
b) Materiais de boa qualidade (situação real)
Bons dieléctricos e bons condutores e/ou alta frequência
ω L >> R
ω c >> G
Solução geral das eqs (I):
ze0Z2aze
0Z1a)z(I
ze2aze1a)z(V
Onda incidente Onda reflectida
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Gera-se uma onda incidente de tensão a partir da fonte que dá origem a uma onda incidente
de corrente, que está relacionada com V através da impedância característica. Mas quando
a linha está terminada por Zs ≠ Z0, a razão em V e I é Zs. Por isso surge uma onda reflectida
de modo a satisfazer esta condição.
ll
ll1
11l
e2rV2ae2iV1a
2rV2iV
e2a1a2V)z(V
2I)z(Ie2V)z(Vzem
ze0Z2aze
0Z1a)z(I
ze2aze1a)z(V
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0ZsZsZsZ
2I0Z2V2I0Z2Vjeksk
2iV2rV
sZ2I2V
22I0Z2V
22I0Z2V
2V2rV
22I0Z2V
2iV
2I0Z2rV
0Z2iV
0Z2V
0Z2rV
0Z2iV
2V2rV2iV
2V2rV2iV
)z(e
0Z2rV)z(
e0Z2iV)z(I
)z(e2rV)z(e2iV)z(V
ll
ll
ks - factor de reflexão na carga
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y2cosk2y2e2ky2e2iI)y(I
y2cosk2y2e2ky2e2iV)y(V
yjeyejekyjeyeyjeyejekyjeye2iV)y(V
yeskye0Z2iV
)y(I
yeskye2iV)y(V
• A tensão e a corrente na linha consistem na sobreposição da onda incidente e da onda reflectida. Tais ondas designam-se por ondas estacionárias. Apenas quando Z s = Z0 não há onda reflectida (ks = 0).
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4y
k12iV)y(V
2m
4máxy
k12iV)y(V
m2máxy2
Primeiro máximo de tensão:
2ky2cosk212iI)y(I
2ky2cosk212iV)y(V
a) A tensão é máxima quando:
Linha sem perdas
• Nos planos em que a tensão é máxima a corrente é mínima.
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a) Plano de máximo ymáx de tensão
b) Plano de mínimo ymin de tensão
Nos planos de Vmáx ou Vmin (Imin ou Imáx) a impedância da linha é óhmica pura.
Quando a linha está adaptada p = 1. Quando a linha está terminada por uma reactância pura: um curto circuito ou um vazio: k = 1 e p = ∞
pk1k1
minImáxI
minVmáxV
2m
44miny
1m2miny2
b) A tensão é mínima quando:
c) Factor de onda estacionária
Impedância nos planos de máximo e de mínimo
mRp0Z
k1k1
0ZmáxIminV
minyZ
mRp0Z
k1k1
0ZminImáxV
ymáxZ
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Linha com perdas
y2cosk2y2e2ky2e2
2iI)y(I
y2cosk2y2e2ky2e2
2iV)y(V
yekye2iV
Vy
yekye2iV)y(V
k2y2e2ky2e2
2iV)y(V
Quando cos (2βy - Ө) ═ 1 tem-se:
Quando cos (2βy - Ө) ═ -1
Quando há perdas os pontos de estacionaridade das
funções deixam de coincidir com os de
cos (2βy - Ө).
Quando há fracas perdas α << 1 os pontos estão
próximos.
2iIyI
e2iV)y(V
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Impedância da linha
A impedância da linha (cociente entre a tensão e a corrente) varia ao longo da linha.
À distância y = l da carga tem-se:
ll
l
l
ll
l
ll
tgSZj0Ztg0ZjsZ
0Z)y(Z
0ZsZ0ZsZ
sk
2jesk1
2jesk10Z)y(Z
yjeskyje0Z2iV
)y(I
yjeskyje2iV)y(V
)y(I)y(V
)y(Z
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I) Linha sem perdas
R =0, G = 0 CjGLjRZCjGLjR
00Xe)(constanteCL
0Xj0R0Z
LC1vf
LC0LCjj
b) Velocidade de fase
c) Impedância característica
a) Constante de propagação:
(função linear de ω)
(constante)
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II) Linha com fracas perdas
R << ωL (relações facilmente verificadas em altas frequências)
G << ωC
a) Constante de propagação
LCeCLG
LCR
21
CLG
LRR
21LCj
CG
LR
j211LCj
Cj2G1
Lj2R1LCj
CjG1
jLR1LCjj
(função aproximada linear com ω)
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a) Velocidade de fase
CjGLjRZ
0CG
LR
21
CL
0XeCLR
CG
LR
j211
CL
Cj2G1
Lj2R1
CL
CjG1
1Lj
R1CL
0Xj0R0Z
LC1vf
(Aproximadamente constante)
c) Impedância característica
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