Lingkaran_ Mhor
-
Upload
oksi-alfarisy -
Category
Documents
-
view
221 -
download
0
Transcript of Lingkaran_ Mhor
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
1/18
(1.13a)
(1.13b)
θmax
= sudut regangan geser maksimum
γ xy = 2ε
xy= regangan geser
sin
costan
max
max
max
2
22
θθ
θ ε ε
γ = = −
−xx yy
xy
}{max
.( )γ ε ε γ 2
1
22
2
= ± − +xx yy xy
1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang
Lingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman !tto
Mohr (1"3#$1%13). Lingkaran ini digunakan untuk melukis trans&ormasi
tegangan maupun regangan baik untuk persoalan$persoalan tiga dimensi
maupun dua dimensi. 'ang perlu diatat adalah baha perputaransumbu elemen sebesar q ditunjukkan oleh perputaran sumbu pada
lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu tegangan geser positif adalah
menunjuk ke arah bawah. *engukuran dimulai dari titik + positif bila
berlawanan arah jarum jam, dan negatif bila sebaliknya. *ada bagian
ini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan dan
regangan dua dimensi.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
2/18
Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang
*ada persamaan (1.#a) bila suku dipindahkan ke ruas
kiri dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan maka akan didapat
,,,(1.1-a)
edangkan pada persamaan (1.#) bila dikuadratkan akan didapat
,,,(1.1-b)
*en/umlahan persamaan$persamaan (1.1-a) dan (1.1-b) menghasilkan
(1.1#)
*ersamaan (1.1#) merupakan persamaan lingkaran pada bidang st yang
pusatnya di dengan /ari$/ari . Lingkaran tersebut ditun/ukkan pada
0ambar 1." di baah ini yang dilukis dengan prosedur sebagai berikut
x yσ σ+2
( )2 2
2 2 2
2 22 2 2 2
x
x y x yxy x y xyco s si n' sin cosσ
σ σ σ σ θ τ θ σ σ τ θ θ− +
= −
+ + −
( )2 2 2
222
22 2 2x y xy
x y
x y xyco s sin' ' sin cosτ τ θ σ σ θ σ σ τ θ θ= + −
− −
2
2
2
2
2 2x
x yx y
x yxy' ' 'σ σ σ τ σ σ τ− +
+ = −
+
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
3/18
1. uatlah sumbu σi/ horisontal.
2. *eriksa harga tegangan normal σxx atau σ
yy yang seara
matematis lebih keil. ila bernilai negati& /adikanlah tegangan
tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kiri batas melukissedangkan bila positi& maka titik yang mendekati batas
kiri adalah titik σi/ = .
3. *eriksa harga tegangan normal σxx atau σ
yy yang seara
matematis lebih besar. ila bernilai positi& /adikanlah tegangan
tersebut sebagai titik yang mendekati tepi kanan batas melukis
sedangkan bila negati& maka titik yang mendekati batas kanan adalah
titik σi/ = .
-. 4entukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa
memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah kiridan kanannya. 4entukan titik$titik batas tersebut sesuai dengan
skala yang telah ditentukan.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
4/18
#. 4entukan letak titik$titik σi/ = dan sumbu τ serta σ
i/ terkeil
dan σi/ terbesar bila belum terlukis pada sumbu σ
i/ .
5. agi dua /arak antara tegangan terkeil dan tegangan terbesar
sehingga diperoleh pusat lingkaran *.
6. 4entukan letak titik + pada koordinat (σi/ terbesar τ
xy ).
". Lukis lingkaran Mohr dengan pusat * dan /ari$/ari *+.
%. 4arik garis dari + melalui * sehingga memotong lingkaran Mohr di
. Maka titik akan terletak pada koordinat (σi/ terkeil τxy ).0aris + menun/ukkan sumbu asli θ = elemen tersebut.
Contoh 1.1 ebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani
menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 2" M*a
tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar - M*a serta tegangangeser pada bidang tersebut sebesar 12 M*a.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
5/18
7iminta a. Lukisan lingkaran Mohr.
b. esar rotasi mengelilingi sumbu 8 untuk mendapatkan
tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr.
*eriksa hasil tersebut dari persamaan (1.1).. esar tegangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr. *eriksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil
yang didapat pada b. di atas.
d. esar perputaran mengelilingi sumbu 8 untuk
mendapatkan tegangan geser bernilai nol menurutlingkaran Mohr. *eriksa hasil ini dengan persamaan
(1.").
e. esar tegangan$tegangan utama menurut lingkaran
Mohr. *eriksa hasil tersebut dengan persamaan$persamaan
(1.%) dan dari hasil pada pada d. di atas.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
6/18
*enyelesaian
a. Lingkaran Mohr
1) uat sumbu si/ horisontal.
2) 4egangan normal terkeil syy = $- M*a negati& sehinggadigunakan sebagai titik di dekat batas kiri.
3) 4egangan normal terbesar sxx = 2" M*a positi& sehingga
digunakan sebagai titik di dekat batas kanan.
-) 7iambil skala 1m = - M*a. 9emudian ditentukan titik syy
= $ - M*a di sebelah kiri dan sxx = 2" M*a di sebelah kanan
yang ber/arak (sxx : s
yy) dari titik s
yy di sebelah kiri.
#) Lukis sumbu t yang ber/arak - M*a di sebelah kanan titik
syy .
5) 7engan membagi dua sama pan/ang /arak syy
ke sxx akan
didapat titik *.
6) Menentukan letak titik + pada koordinat (sxx
txy
) =
(2"12).
") 7engan mengambil titik pusat di * dan /ari$/ari sepan/ang*+ lingkaran Mohr dapat dilukis.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
7/18
0ambar 1.". Lingkaran Mohr untuk 4egangan idang
b. esar rotasi mengellilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr dengan
mengukur didapat
θmax
= # x 2 θmax
= # x ($#3o) = 25o 3;.
edangkan menurut persamaan (1.1) didapat
tan 2θmax
= − (2" : -) < (2 x 12) = − 4/3
2θmax
= − #3o "; atau θmax
= − 25o 3-;
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
8/18
. esar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr
τmax
= # x - M*a = 2 M*a.
edangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
d. esar rotasi mengellilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr dengan
mengukur didapat
θp = # x 2θ
p= # x 36o = 1"o 3;.
edangkan menurut persamaan (1.1) didapat
tan 2θp = (2 x 12) < (2" : -) = 3/4
2θp = − 35o #2; atau θ
max = − 1"o 25;
e. esar tegangan$tegangan utama menurut lingkaran Mohr
σ1 = " x - M*a = 32 M*a.
σ2= $2 x - M*a = $" M*a.
edangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
( )
( )
12 2
2 2 2
280 40
2
1
2280 40 120 320
280 40
2
1
2280 40 120 80
σ
σ
= −
+ + + =
= − − + + = −
MPa
MPa
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
9/18
Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang
*ada persamaan (1.6a) bila suku dipindahkan ke ruas kiri
dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan maka akan didapat
,,,(1.15a)
edangkan pada persamaan (1.6) bila dikuadratkan akan didapat
,,,(1.15b)
*en/umlahan persamaan$persamaan (1.15a) dan (1.15b) menghasilkan
xx yyε ε+
2
( )2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2x x
xx yy xx yy xyxx yy
xy
' ' cos sin sin cosε ε ε ε ε
θ γ
θ ε εγ
θ θ− +
= −
+
+ −
( )
2 2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
x y xy xx yy
xx yy
x y' ' ' '
cos sin sin cos
γ γ
θ ε ε
θ ε ε
γ
θ θ
=
+
−
− −
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
10/18
(1.16)
*ersamaan (1.16) merupakan persamaan lingkaran pada bidang
yang pusatnya di dengan /ari$/ari
Lingkaran tersebut ditun/ukkan pada 0ambar 1.% di baah ini yang
dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuktegangan dengan mengganti σxx σ
yy dan τ
xy berturut$turut men/adi
εxx ε
yy dan γ
xy < 2. *enerapannya lihat ontoh 1.2 pada halaman 21.
2 2 2 2
2 2 2 2x xxx yy x y xx yy x y
' '
' ' ' 'ε
ε ε ε ε ε ε−
+
+
=
−
+
ε γ
2xx yyε ε−
20,
2 2
2 2
xx yy xyε ε γ −
+
1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan
>ntuk de&ormasi normal geser maupun gabungan keduanya hubungan
antara tegangan dan regangan untuk bahan$bahan isotropis pada
pembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke.
Jadi hukum ?ooke tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas
proporsional. ?ukum ?ooke diturunkan dengan berdasarkan pada
analisis tentang energi regangan spesifik.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
11/18
+pabila besar tegangan$tegangannya yang diketahui maka hukum
?ooke untuk persoalan$persoalan tiga dimensi hubungan antara
tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan seara
matematis sebagai berikut
(1.1")
7engan E dan berturut$turut adalah modulus alastis atau modulus
'oung dan angka perbandingan *oisson. edangkan pada de&ormasi
geser untuk ! adalah modulus geser hubungannya adalah
(1.1%)
( )
( )
( )
xx xx yy zz
yy yy xx zz
zz zz xx yy
E
E
E
ε σ νσ νσ
ε σ νσ νσ
ε σ νσ νσ
= − −
= − −
= − −
1
1
1
( )
( )
( )
xy
xy xy xy
xzxz xz xz
yz
yz yz yz
G E
G E
G E
ε γ τ ν τ
ε γ τ ν τ
ε
γ τ ν τ
= = = +
= = = +
= = =
+
2 21
2 2
1
2 2
1
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
12/18
edangkan untuk menari tegangan normal yang ter/adi bila regangan
normal dan si&at$si&at mekanis bahannya diketahui digunakan
persamaan$persamaan
(1.2)
elan/utnya untuk de&ormasi geser bentuk hukum ?ooke adalah
(1.21)
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ) ( ){ }
xx xx yy zz
yy yy xx zz
zz zz xx yy
E
E
E
σ ν ν
ν ε ν ε ε
σ ν ν
ν ε ν ε ε
σ ν ν
ν ε ν ε ε
=+ −
− + +
=+ −
− + +
=+ −
− + +
1 1 21
1 1 21
1 1 21
( )
( )
( )
xy xy xy xy
xz xz xz xz
yz yz yz yz
E EG
E EG
E EG
τ ν
ε ν
γ γ
τ ν
ε ν
γ γ
τ ν
ε ν
γ γ
=+
=+
=
=+
=+
=
=+
=+
=
1 2 1
1 2 1
1 2 1
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
13/18
*ersamaan$persamaan (1.1") sampai dengan (1.21) dapat /uga
diberlakukan untuk persoalan$persoalan dua dan satu dimensi yakni
dengan memasukkan harga nol untuk besaran$besaran di luar dimensi
yang dimaksud.
Contoh 2 *embebanan seperti pada ontoh 1 untuk bahan dengan
si&at$si&at mekanis modulus 'oung @ = 2 0*a dan angka
perbanding$an *oisson n = 2%. Modulus geser ditentukan dengan
0 = @ < 2(1 : n).
7iminta a. ?itunglah regangan$regangan yang ter/adi.
b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang ter/adi.
. esar rotasi mengelilingi sumbu 8 untuk
mendapatkan regangan geser maksimum menurut
lingkaran Mohr. *eriksa hasil tersebut dari
persamaan (1.1).
d. esar regangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr. *eriksa hasil tersebut dengan rumus
(1.11) dan hasil yang didapat pada b. di atas.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
14/18
e. esar perputaran mengelilingi sumbu 8 untuk
mendapatkan regangan geser bernilai nol
menurut lingkaran Mohr. *eriksa hasil ini dengan
persamaan (1.").
&. esar regangan$regangan utama menurut lingkaranMohr. *eriksa hasil tersebut dengan persamaan$
persamaan (1.%) dan dari hasil pada pada d. di atas.
*enyelesaian
a) 7ari persamaan (1.1") dan (1.1%) akan didapat
b. Lingkaran Mohr
1) uat sumbu ei/ horisontal.
2) Aegangan normal terkeil eyy = $55me sehingga
merupakan titik di dekat batas kiri.
( )
( )
xx
yy
ε µε
ε µε
=
=
+ − = =
− − − = − = −
1
200000280 0,29.40 0,29.0 0,001458 1458
1
20000040 0,29.280 0,29.0 0,000606 606
( )xy atauxy
xyε γ µε γ µε= = + = = =2
1 0,29 120200000
0,000774 774 1548.
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
15/18
3) Aegangan normal terbesar exx = 1-#"me sehingga
merupakan titik di dekat batas kanan.
-) 7iambil skala 1m = 2#me. 9emudian ditentukan
titik eyy = $55me di sebelah kiri exx = 1-#"me disebelah kanan dan ber/arak (e
xx : e
yy) dari
titik eyy di sebelah kiri.
#) Lukis sumbu t yang ber/arak 55me di sebelah
kanan titik eyy .
5) 7engan membagi dua sama pan/ang /arak eyy
ke exx
akan didapat titik *.
6) Menentukan letak titik + pada koordinat (exx
exy
) =
(1-#"66-).
") 7engan mengambil titik pusat di * dan /ari$/arisepan/ang *+ lingkaran Mohr dapat di$lukis.
%) 7engan menarik garis dari + leat * yang memotong
lingkaran Mohr di akan di dapat kedudukan
titik (eyy
exy
) = ($55$66-).
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
16/18
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
17/18
. esar rotasi mengelilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr
dengan mengukur didapat
θmax
= # x 2 θmax
= # x ($#3o) = 25o 3;.
edangkan menurut persamaan (1.1) didapattan 2θ
max = − (1-#" : 55) < (2 x 66-) = − 4/3
2θmax
= − #3o "; atau θmax
= − 25o 3-;
d. esar regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr
εxy$max = #2 x 2#µε = 13µε.edangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
e. esar rotasi mengellilingi sumbu 8 menurut lingkaran Mohr
dengan mengukur didapat
θp = # x 2θ
p= # x 36o = 1"o 3;.
edangkan menurut persamaan (1.1) didapat
tan 2θp = (2 x 12) < (2" : -) = 3/4
2θp = − 35o #2; atau θmax = − 1"
o 25;
maxmax (
γ ε µε
2
1
221458 606) 21548 1290= =− ± + + = ±xy
-
8/19/2019 Lingkaran_ Mhor
18/18
&. esar regangan$regangan dasar menurut lingkaran Mohr
ε1 = 5% x 2#µε = 162#µε.
ε2 = $3# x 2#µε = $"6#µε
edangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
( )
( )
1
2
1458 606
2
1
2
21458 606 21548 1716
1458 606
2
1
2
21458 606 21548 864
ε µε
ε µε
=
=
−+ + + =
−− + + = −