Lineáris algebra
description
Transcript of Lineáris algebra
Lineáris algebraLineáris algebraLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek általános alakja
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
........
........
........
2211
22222121
11212111
Lineáris egyenletrendszerek típusai
Inhomogén lineáris egyenletrends z er Homogén lineáris egyenletrends z er
L ineáris egyenletrends z erek
Lineáris egyenletrendszerek típusai
• Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok mindegyike zérus, akkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.
• Nyilván egy ilyen egyenletrendszernek mindig van triviális megoldása, ami azt jelenti, hogy x1= x2= ……..=xn =0
• Az ilyen egyenletrendszerek megoldásának lényege a triviálistól különböző megoldások megkeresése.
Lineáris egyenletrendszerek típusai
Ha a jobb oldalon lévő b1, b2, ……..bm számok nem mindegyike zérus, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.
Lehetséges esetek:• Nincs megoldás• Pontosan egy megoldás van• Végtelen sok megoldás van
Lineáris egyenletrendszerek típusai II.
Nincs megoldás ainkompatibilis vagy inkonz is z tens
P ontos an egy megoldás a van Végtelen s ok megoldás a van
Van megoldás akompatibilis vagy konz is z tens
L ineáris egyenletrends z erek
Lineáris egyenletrendszerek megoldása
• A lineáris egyenletrendszer megoldása az olyan x1, x2, ……xn , számok meghatározását jelentik, amelyek az összes egyenletet kielégítik.
• Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha pontosan ugyanazok az egyenletrendszerek megoldásai.
Ekvivalens átalakítások:
Az egyenletrendszer megoldáshalmaza nem változik, ha az alábbi átalakításokat hajtjuk végre:
• Két egyenlet felcseréljük• Az egyik egyenletet zérustól különböző valós
számmal szorozzuk• Az egyik egyenletet, vagy valós számmal való
szorzatát hozzáadjuk a másik egyenlethez
Lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
........
........
........
2211
22222121
11212111
mmnm
n
n
baa
baa
baa
1
2221
1111
Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval
A megoldás az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölésével történik.
Mátrixalgebra
Az mxn db aij elemből álló téglalap alakban elrendezett számtáblázatot (mxn) típusú mátrixnak nevezzük.
aij szimbólum a mátrix i-edik sorának a j-edik elemét jelöli.
Mátrixok
• Az elem első indexe mindig a sorindex
• Az elem második indexe mindig az oszlopindex
• Jelölése: A mátrixokat általában vastagított nagybetűkkel jelöljük, illetve szögletes zárójelbe tesszük.
• Két mátrixot azonos típusúnak nevezzük, ha soraik és oszlopaik száma megegyezik
Mátrixok
Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha azonos típusúak és a megfelelő helyen álló elemeik rendre egyenlők egymással.
Speciális mátrixok
Négyzetes vagy kvadratikus mátrix:
Olyan mátrix, ahol m=n azaz a sorok száma megegyezik az oszlopok számával.
Mátrix rendje:
A négyzetes mátrix sorainak vagy oszlopainak a száma
Speciális mátrixok
• Oszlopmátrix vagy oszlopvektor: csupán egy oszlopból áll
• Sormátrix vagy sorvektor: Olyan mátrix, amelynek egyetlen sora van
• Nullmátrix: Olyan mátrix, amelynek minden eleme nulla.
Jelölése : 0
Speciális mátrixok
• Diagonalmátrix: Olyan négyzetes mátrix, amelynek csak a főátlójában vannak elemei. Főátló alatt értjük a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba húzott átlót.
Speciális mátrixok
Egységmátrix: olyan diagonális mátrix, amelynek minden főátlóbeli eleme 1.
Jele : E
Speciálisan: En ahol n jelöli a mátrix rendszámát.
Minden egységmátrix n olyan sorra vagy oszlopra bontható particionálható, amelynek mindegyike egységvektor.
Példa egységmátrixra
10000
01000
00100
00010
00001
Mátrixok típusai
• Az egységvektor indexe azt mutatja meg, hogy az egységvektor hányadik eleme 1.
• Összegzővektor: az az oszlop vagy sorvektor, amelynek minden eleme 1.
Jele:1
• Felső háromszögmátrix
• Alsó háromszögmátrix
Speciális mátrixok
Alsó háromszögmátrix
3441
0353
0021
0001
Mátrixok típusai
• Szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=aki
• Ferdén szimmetrikus mátrix: olyan négyzetes mátrix, ahol aik=-aki
• Permutáló mátrix: Olyan négyzetes mátrix, amely a sorainak illetve az oszlopainak az átrendezésével egységmátrixszá alakítható.
Mátrix transzponáltja
• Mátrix transzponáltján azt az AT jelölt mátrixot értjük, amelyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy sorait rendre felcseréljük az oszlopaival.
Minormátrix
• Ha az A mátrixból tetszés szerinti sort, vagy oszlopot elhagyunk, akkor az eredeti mátrix minormátrixát kapjuk.