Lineare Algebra - TUM...– Lineare Algebra ... (4) 0 ist kein Nachfolger (5) Vollständigkeit 1....
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Erganzendes Material
zur Vorlesung
Hohere Mathematik 1 (EI/IT)
Folien zum Buch
Hohere Mathematik 1
(Meyberg/Vachenauer)
– Lineare Algebra –
von Dr. Peter Vachenauer
Download unter
http://www-hm.ma.tum.de/ws0506/ei1/
oder auf den CLIX-Seiten zur Vorlesung
Die natürlichen Zahlen
Peano-Axiome (R. Dedekind 1888, G. Peano 1891)
Das Induktionsprinzip
Dann folgt mit (5), dass die Aussage A(n) für alle richtig ist.
Rekursive Definition
Bezeichnungen. Fakultät (Faktorielle) von n 0! := 1 , (n+1)! := (n+1) n! .
Fallende Faktorielle : für .
Binomialkoeffizient „n über k“ : oben und unten gleich viele Faktoren
k-Permutationen aus n : = Anzahl von verschiedenen (geordneten) k-Tupeln aus einer n-elementigen Menge
k-Kombinationen aus n : = Anzahl von verschiedenen (ungeordneten) k-elementigen Teilmengen aus einer n-elementigen Menge
Drei wichtige Formeln. a) Arithmetische Summe
b) Geometrische Summe
c) Binomische Formel
(1) Erstes Element
(2) Jede Zahl hat Nachfol-ger
(3) Nachfolge ist injektiv
(4) 0 ist kein Nachfolger
(5) Vollständigkeit
1. Schritt Zeige: Die Ausage A(0) ist richtig.
2. Schritt Zeige für beliebiges : A(n) ist richtig A(n+1) ist richtig.
1. Schritt Objekt (Element, Abbildung) vorgeben.
2. Schritt Vorschrift angeben, die Objekt durch ausdrückt.
N0 := {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
0 N0∈
n N0 n 1+ N0 ∈∈∀
n m, N0 n m≠( ) n 1 m 1+≠+⇒∈∀
n N0 n 1+( ) 0≠∈∀
M N0⊂∀ ( 0 M∈( ) n M∈( ) n 1+( ) M) M N0=⇒∈⇒∀∧
n 0≥ ⇒
n N0∈
A0
An 1+ A0 … An, ,
nk := n n 1–( )… n k– 1+( )⋅ k n≤
n
k
k!----- n n 1–( ) … n k– 1+( )⋅ ⋅ ⋅
k k 1–( )…2 1⋅⋅----------------------------------------------------------------- n!
k! n k–( )!-----------------------= =
nk
nk
kk 1=
n
∑ 1 2 … n+ + +n n 1+( )
2--------------------= =
mk
k 1=
n
∑ 1 m m2 … mn+ + + +n 1 , falls m=1+
mn 1+ 1–m 1–
------------------------ , falls m 1≠
= =
a b+( )n
k 0=
n
∑ nk
an k– bk=
14.10.04 P.Vachenauer
Guiseppe Peano 1858 - 1932 Turin
Der reelle Zahlkörper Modell Zahlengerade ohne Lücken (Anwendung: Messlatte, Zeitskala)
Die 3 Verknüpfungen Addition + : R R R , Multiplikation : R R R Anordnung : R R {T, F}
Die 13 Axiome der reellen Zahlen Addition (Axiome für eine kommutative additive Gruppe)
Multiplikation (Axiome für eine kommutative multiplikative Gruppe)
Anordnung Es gibt genau eine Teilmenge der positiven Zahlen
Abgeleitete Beziehungen. und
Vollständigkeit (nach R. Dedekind 1872) „R hat keine Lücken“
(13) Für jede Zerlegung gibt es eine Schnittzahl s :
Nach oben beschränkte Menge . Jedes solche b heißt obere Schranke von . Das Supremum von S ist die kleinste obere Schranke von S . Damit ist die Vollständigkeit äquivalent mit der Forderung(13‘) Jede nach oben beschränkte Menge in R hat ein Supremum
(1) Assoziativität der Addition
(2) Existenz der Null
(3) Existenz des Negativen
(4) Kommutativität der Addition
(5) Assoziativität der Multiplikation
(6) Existenz der Eins
(7) Existenz des Inversen
(8) Kommutativität der Multiplikation
(9) Distributivgesetz
(10) Trichotomie Exklusiv
(11) Monotonie von Plus
(12) Monotonie von Mal
× → ⋅ × →≤ × →
x y z+( )+ x y+( ) z+=
0 R a R a 0+∈∀∈∃ a=
a R ∈∀ a–( ) R ∈∃ a a–( )+ 0=
x y+ y x+=
x y z⋅( )⋅ x y⋅( ) z⋅=
1 R a R a 1⋅∈∀∈∃ a=
a R\{0} ∈∀ a 1– R ∈∃ a a 1–⋅ 1=
x y⋅ y x⋅=
x y z+( )⋅ x y x z⋅+⋅=
P := a R ; 0∈ a<{ }
a R ∈∀ 0 a<( ) 0 a–<( ) a = 0( )∨ ∨
a b, R 0 a<( ) 0 b<( ) 0 a b +<⇒∧∈∀
a b, R 0 a<( ) 0 b<( ) 0 a b ⋅<⇒∧∈∀
a b := 0 b a–<< a b : a b<( ) (a=b )∨⇔≤
R L R L ∅ R ∅ l r l, L∈ r R∈ l r<⇒∧∀,≠,≠,∪= l L∈( ) r R∈( ) l s r≤ ≤∀∀
S R ⊂ : b R∈( ) s S∈( ) s b≤∀∃⇔S
supS
14.10.04 P.Vachenauer
Intervalle und der Betrag in IR Intervalle sind für die Analysis die wichtigsten Teilmengen von R ( )
Das Symbol vermeidet Fallunterscheidungen:
Die εε-Umgebung von a ist das offene Intervall mit
Der Betrag ist für jede reelle Zahl x erklärt als Der Graph
Rechenregeln für den Betrag
abgeschlossenes Intervall
offenes Intervall
(rechts) halboffenes Intervall
(links) halboffenes Intervall
Multiplikativität ,
, falls
Dreiecksungleichung
Geometrische Deutung
ist der Abstand der Punkte a und b auf der reellen Zahlengeraden
a b R a b<,∈,
a b,[ ] := x R ; a x b≤ ≤∈{ }
a b,( ) := x R ; a x b< <∈{ }
[a b, ) := x R ; a x b<≤∈{ }
(a b] := x R ; a x< b≤∈{ },
∞∞∞– ∞,( ) := R
( ∞– b, ] := x R ; x b≤∈{ } [a ∞, ) := x R ; a x≤∈{ }
( ∞– b, ) := x R ; x b<∈{ } (a ∞, ) := x R ; a x<∈{ }
a ε a ε+,–( ) ε 0>
y x=
x := x2 x , x 0≥x , x 0<–
=
a b⋅ a b⋅=
ab---
ab
-----= b 0≠
a b+ a b+≤
a b–
14.10.04 P.Vachenauer
a - ε a a + ε
x
y
a b
a b–
Darstellung reeller Zahlen
Das Positionssystem. Jede reelle Zahl x kann geschrieben werden in der Form
x = x mBm + xm – 1Bm– 1 +…+ x0B0+ x –1 B–1+…=(xm xm – 1 … x0 , x –1 …)B
Die natürliche Zahl B > 1 ist die Basis und jede Ziffer xi eine der Zahlen 0, 1, …, B – 1. Beispiel. x = „sechsunddreißig plus drei Achtel“ im Dezimal- und Binärsystem:
x = 3 · 101 + 6 · 100 + 3 · 10 –1+ 7 · 10 –2 + 5 · 10–3 = (36,375)10
x = 1 · 25+ 0 · 24+ 0 · 23+ 1 · 22+ 0 · 21+ 0 · 20+ 0 · 2– 1+ 1 · 2– 2+ 1 · 2–3 = (100100,011)2
(B → 10). Hat X im System mit der Basis B die Darstellung (XmXm – 1 … X0 , X–1 …)B , soergibt sich die Dezimaldarstellung von X durch dezimale Berechnung der Summe
X = Xm Bm + Xm – 1 Bm – 1 + … + X0 + X –1 B – 1 + … (Horner-Schema anwenden!)
(10 → B). Um die positive Dezimalzahl X im System mit der Basis B darzustellen, ist zu-nächst der ganze Anteil Y von X und dann der gebrochene Anteil Z von X zu berechnen.
Der ganze Anteil Y
(i) Dividiere Y durch B: Q1 sei Quotient und R1 der Rest (R1 = 0, 1, …oder B – 1), dann ist R1 die erste Ziffer von rechts von Y in der Basis B
(ii) Dividiere Q1 durch B: Quotient sei Q2 , Rest sei R2 R2 ist die zweite Ziffer von rechts
(iii) Analog fortfahren bis der Quotient Null wird
Der gebrochene Anteil Z
(i) Multipliziere Z mit B. Sei I1 der ganze Anteil des Produkts (I1 = 0, 1, … oder B – 1) und F1 der neue gebrochene Anteil, dann ist I1 die erste Ziffer von links des gebrochenen Anteils Z in der Basis B
(ii) Multipliziere F1 mit B. Sei I2 der ganze und F2 der gebrochene Anteil des Produkts, dann ist I2 die zweite Ziffer des gebrochenen Anteils in der Basis B
(iii)Analog fortfahren bis das Produkt eine ganze Zahl ist oder bis die gewünschte Zahlvon Stellen berechnet ist
Beispiel. X = (12345,6789)10 und B = 8
⇒
14.10.04 P.Vachenauer
(Aus Springers Mathematische Formeln S.57)
Y = 12345, B = 8Y/8 = 1543 + 1/8, d.h.Q1 = 1543R1 = 1
Q1/8 = 192 + 7/8, d.h.Q2 = 192 R2 = 7Q3 = 24 R3 = 0Q4 = 3 R4 = 0Q5 = 0 R5 = 3
Y = (30071)8 .⇒
Z = 0,6789, B = 8Z · 8 = 5,4312 , d.h.I1 = 5 F1 = 0,4312
F1 · 8 = 3,4496 , d.h.I2 = 3 F2 = 0,4496I3 = 3 F3 = 0,5968I4 = 4 F4 = 0,7744I5 = 6 F5 = 0,1952 etc.
Z ≈ (0,5335)8 und X ≈ (30071,5335)8 ⇒
Umwandlungsalgorithmen.
Zeilen, Spalten, MatrizenK bezeichnet einen Zahlkörper, z.B. Q, R, C . m, n ist aus N .
Raum der Spalten (Spaltenvektoren) Kn :=
xk ist k. Komponente der Spalte. Nullspalte (Nullvektor) 0 : jede Komponente = 0.
Raum der Zeilen (Zeilenvektoren) Kn :=
Raum der Matrizen :=
Spaltenform einer Matrix mit
Zeilenform einer Matrix mit
Summe von Spalten (Zeilen) Komponentenweise Addition in K
x-faches einer Spalte (Zeile)Komponentenweise mal x
Zeile mal Spalte (Skalarprodukt)
Matrix mal Spalte mit Matrix in Zeilenform m Skalarprodukte: Jede Zeile von A mit der Spalte x
Matrix mal Matrix
m mal p Skalarprodukte: Jede Zeile von A mit jeder Spalte von B
Transposition macht aus Zeilen Spalten mit gleichen Komponenten und umgekehrt. ,
x1
xn
alle xk K ∈;{ } K … K××=... n mal
x1 … xn, ,( ) alle xk K ∈;{ }
m n –× Km n× a11 … a1n
am1 … amn
alle aik K ∈; ... ...
s1 s2 … sn, , ,( ) Km Km … Km×××∈ sk
a1k
amk
= ...
z1
zm
Kn Kn … Kn×××∈... zk ak1 ak2 … akn, , ,( )=
a b := a1 b1+
an bn++ ...
xa := xa1
xan
...
z Kn s Kn dann z s := z1s1 z2s2 … znsn+ + +∈,∈
x Kn A Km n× dann ∈,∈ Ax := z1x
zmxKm∈...
A Km n× , B b1 … bp, ,( )= Kn p× dann ∈∈ AB := Ab1 … Abp, ,( ) Km p×∈
x1
xn
Tx1 … xn, ,( )=... x1 … xn, ,( )T
x1
xn
= ...
25.10.04 P.Vachenauer
Zeilenstufenform, Rang, Elementare Umformungen Matrix mit m Zeilen in Zeilenstufenform
Charakterisierung 1) Nur in den ersten r Zeilen ( ) steht ein Element ■ (Pivot-Element),
die restlichen Zeilen sind Nullzeilen (falls r = 0, liegt eine Nullmatrix vor) 2) Steht ■� nicht in der 1. Spalte, so stehen in der Zeile vor ■ nur Nullen 3) Von oben nach unten rückt ■ pro Zeile um mindestens eine Spalte nach rechts
Elementare Zeilenumformungen 1 Vertauschung zweier Zeilen2 Multiplikation einer Zeile mit einer konstanten Zahl x ≠ 03 Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile
Durch elementare Zeilenumformungen unverändert bleiben a) die Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystemsb) die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen einer Matrixc) die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix
Satz a) Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen
b) Die Anzahl r der Pivotelemente ist eindeutig bestimmt, es gilt r = max. Anzahl linear unabhängiger Zeilen in A r = max. Anzahl linear unabhängiger Spalten in A
Rang A := r heißt der Rang von A c) Rang A = dim Spaltenraum = dim Zeilenraum
0 0 ■ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Zeile 1
0 0 0 0 ■ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Zeile 2
0 0 0 0 0 ■ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .
0 0 0 0 0 0 0 ■ ∗ ∗ ∗ .
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 ■ ∗ ∗ Zeile r
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zeile r + 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zeile m
… … …
… … …
… … …
… … …
::
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..
.::
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… …
… … …
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… … …
0 r m≤ ≤ 0≠m r–
25.10.04 P.Vachenauer
Gauß-EliminationsverfahrenLineares Gleichungssystem (LGS) m Gleichungen, n Unbekannte, Zahlkörper K
Der Gauss-Algorithmus zur expliziten Lösung des LGS
Schritt 1. Vorwärtselimination Bringe [A | b] mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform [M | d]:
wobei mit . Im Falle ist .
Schritt 2. LösbarkeitstestFall 1: LGS hat keine Lösung, fertig.
Fall 2: r = m oder LGS lösbar, weiter mit Schritt 3.
0 0 n ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 n ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 n ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 0 n ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
explizit
Summenform = Zeilenform
, i = 1,... , m
Spaltenform
Matrixform
a11x1 … a1nxn+ + b1a21x1 … a2n xn+ + b2…am1x1 … amnxn+ + bm=
==
zix = aikk 1=
n
∑ xk bi=
x1s1 x2s2 … xnsn+ + + b=
Ax b=
… … … d1
… … … d2
… … … d3
::
::
::
::
::
::
::
::
..
.::
::
::
… … dr
… … … dr 1+
… … …
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
… … …
r Rang A= 0 r m≤ ≤ r 0= A M 0= =
dr 1+ 0≠ ⇒
dr 1+ 0= ⇒
25.10.04 P.Vachenauer
Schritt 3. Rückwärtselimination Fall 1: Lösungsmenge ist der ganze Kn
Fall 2: , dann die ersten r Zeilen weiter elementar umformen:a) durch Division an die Stelle von n eine 1 bringen,b) über der 1 Nullen herstellen
Schritt 4. Auflösung
Fall 1: eindeutige Lösung ist x = , fertig.
Fall 2: die Unbekannten, die zu Spalten ohne 1 gehören,sind frei wählbar (freie Variable) Daher zu den r Gleichungen mit 1 die Gleichungen
, ,
hinzufügen mit den freien Parametern . Die r Gleichungen mit 1 in der Zeilenstufenform von Schritt 3liefern die restlichen (abhängigen) Unbekannten (abhängige Variable)
Beispiel ( ) nach Schritt 3:
r 0= ⇒r 0>
r n= ⇒ h1 h2 … hr, , ,( )T
r n< ⇒ n r–
n r–
xkiti= i 1 2 … n, r–, ,=
n r– ti K∈
m 5 , n 6 r, 3= = =1 m12 0 m14 m15 0 h1
0 0 1 m24 m25 0 h2
0 0 0 0 0 1 h3
⇒
1 m12 0 m14 m15 0 h1
0 0 1 m24 m25 0 h2
0 0 0 0 0 1 h3
0 1 0 0 0 0 t1
0 0 0 1 0 0 t2
0 0 0 0 1 0 t3
⇒ x
h1
0
h2
0
0
h3
t1
m– 12
1
0
0
0
0
t2
m– 14
0
m– 24
1
0
0
t3
m– 15
0
m– 25
0
1
0
+ + +=
0 0 1 * 00 * * 00 * 00 * *
0 0 0 0 1 * * 00 * 00 * *
0 0 0 0 0 0 0 1 * 00 * *
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * *
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
… … … h1
… … … h2
… … … h3
::
::
::
::
::
::
::
::
..
.::
::
::
… … hr
… … …
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
::
… … …
Linearer Raum, Unterraum, Basis, Dimension
Vektorraum (= Linearer Raum ) V über dem Zahlkörper K : V ist eine Mengevon Elementen (= Vektoren ), für die eine Summe und ein Vielfaches erklärt ist mit denRechenregeln 1. V ist eine kommutative additive Gruppe bezüglich + ,2. für alle und alle
Unterraum U von V : U ist eine nichtleere Teilmenge von V und für alle und
Lineare Hülle
das ist die Menge der Linearkombinationen der Vektoren
V endlichdimensional : es gibt , sodass
Modelle Menge der Verschiebungen des Raumes, repräsentiert durch Pfeile Menge aller Spalten (Zeilen) mit n Komponenten aus dem Körper KMenge der Polynome mit reellen Koeffizienten
linear abhängig : hat eine Lösung
linear unabhängig : hat nur d.Lösung
Basis von V :
Dimenison von V := dim V
Satza) Die Darstellung als Linearkombination mit einer Basis ist stets eindeutigb) Jede Basis hat gleich viele Elemente. c) Ist U ein echter Unterraum von V, dann gilt dim U < dim V
Spaltenraum von ist mit den Spalten von A
Zeilenraum von ist mit den Zeilen von A
Satz dim (Zeilenraum von A) = dim (Spaltenraum von A) = Rang A = Anzahl der Pivotelemente in einer Zeilenstufenform von A
⇔
xy( )a x ya( ) , x y+( )a xa ya, x a b+( )+ xa xb , 1b+ b , 0b 0= = = = =a,b,c V∈ x y K∈,
⇔ a b U∈+ und xa U∈ a,b V∈ x K∈
Lin(a1 …an ) := { x1a1 … xnan ; 1 i n , xi K }∈≤ ≤+ +,
a1 …an,
⇔ a1…an V∈ Lin a1…an( ) V=
a1 …an, x1⇔ a1 … xnan+ + 0 = x1 …xn,( ) 0≠
a1 …an, x1⇔ a1 … xnan+ + 0 = x1 …xn,( )=0
b1 …bn, Lin(b1 …bn ),⇔ V und b1 …bn linear unabhängig,=
:= n , falls b1 …bn eine Basis vonV,
∞ , falls V nicht endlichdimensional
V endlichdimensional ⇒
A Kmxn∈ Lin(s1 …sn ) Km⊂, s1 …sn,
A Kmxn∈ Lin(z1 …zm ) Kn⊂, z1 …zm,
27.10.04 P.Vachenauer
Der endliche Körper Zp, p prim
Modell Äquidistant verteilt p Punkte auf einer Kreislinie
Anwendungen Kalenderrechnung, Kodierungstheorie, Graphentheorie
Realisierung Restklassenrechnung in Z modulo p :
d.h. „m ist kongruent n modulo p“
m und n lassen bei der Division durch p denselben Rest
ist eine Restklasse
ist die Menge der Restklassen
salopp: ist die „Menge der Reste bei der ganzzahligen Division durch p“
Arithmetik
Hierfür sind die 9 Axiome für einen Körper erfüllt:
Der Körper Zp kann nicht angeordnet werden, da und (p mal die 1)
Beispiel p = 5
(1) Assoziativität der Addition
(2) Existenz der Null 0 für alle
(3) Existenz des Negativen - a für alle
(4) Kommutativität der Addition
(5) Assoziativität der Multiplikation
(6) Existenz der Eins für alle
(7) Existenz des Inversen zu
(8) Kommutativität der Multiplikation
(9) Distributivgesetz
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
m n mod p( )≡
: ⇔
n[ ]p := {m Zp ; m n ist in Z durch p teilbar }–∈
Zp := 0[ ]p 1[ ]p 2[ ]p … p 1–[ ]p, , , ,{ }
Zp
n[ ]p m[ ]p := n m+[ ]p ; n[ ]p m[ ]p := n m⋅[ ]p ⋅+
x y z+( )+ x y+( ) z+=
a 0+ a= a Zp∈
a a–( )+ 0= a Zp∈
x y+ y x+=
x y z⋅( )⋅ x y⋅( ) z⋅=
a 1⋅ a= a Zp∈
a 0≠ a a 1–⋅ 1=
x y⋅ y x⋅=
x y z+( )⋅ x y x z⋅+⋅=
1 0≠ 1 1 … 1+ + + 0=
Z5 0 1 2 3 4, , , ,{ }=
02.11.04 P.Vachenauer
. 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Wir haben hier zur Abkürzungeinfach gesetzt.n n[ ]p=
p = 5
1
0
23
4
Struktur der Lösung von linearenGleichungssystemen
Homogenes LGS
mit , Rang A = r , ,
a) Lösbarkeit. ist stets eine (die triviale) Lösung
b) Lösungsmenge L ist ein Unterraum vom Vektorraum .
Bezeichnung: Der Kern von A .Dimensionsformel allgemeine Lösung mit beliebig
und lin. unabh. Lösungen von
c) Spezialfall Rang A = n ist einzige, eindeutige Lösung
Inhomogenes LGS
mit , Rang A = r ,
a) Lösbarkeit
lösbar b Spaltenraum von A
Rang A = Rang (A , b )
jede Zeilenstufenform von (A , b) hat in der Spalte für die rechte Seite kein Pivotelement
b) Lösungsmenge L ist kein linearer Unterraum von .
allgemeine Lösung , dabei ist
eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS
die allgemeine Lösung des homogenen LGS
c) Spezialfall Rang A = n . Ist lösbar, dann ist die Lösung eindeutig
Ax 0= A Km n×∈ x Kn ∈ 0 Km ∈
x 0 Kn∈=
A 0( ) Kn
dim KernA n r–=
xh t1x1 … tn r– xn r–+ += t1 …tn r– K∈,n r– x1 …xn r–, Ax 0=
⇔ x 0 Kn∈=
Ax b= A Km n×∈ x Kn , b Km , b 0≠∈∈
Ax b= ⇔ ∈
⇔
⇔
A b,( ) Kn
x x0 xh+=
x0
xh
Ax b=
03.11.04 P.Vachenauer
Die transponierte Matrix
Definitionen
Merke A spaltenweise lesen und für zeilenweise anschreiben
Die Matrix A heißt symmetrisch :
Die Matrix A heißt schiefsymmetrisch :
Rechenregeln
Spezialfall
Matrix A ist in Zeilenstufenform ist in Spaltenstufenform
Rang Rang
Zeilenraum Spaltenraum
A
a11 a12 … … a1n
…am1 am2 … … amn
Km n×∈ AT :=
a11 … am1
a12 am2
a1n … amn
Kn m×∈⇒=...
.
.
.
.
.
. ...
.
.
.
AT
n n –× A⇔ T A=
n n –× A⇔ T A–=
A B+( )T = AT BT+
xA( )T = xAT
AT( )T = A
AT = A
AT = A
AB( )T = BTAT
m n –× ⇔ AT
A AT⇒= =
08.11.04 P.Vachenauer
00
b) Die inverse Matrix Definition
Die Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine Matrix gibt,
sodass (Einheitsmatrix) , heißt die Inverse von .
Rechenregeln
Spezialfall Matrix A in oberer Dreiecksform (obere Dreiecksmatrix)
und alle Diagonalelemente :
d.h. hat ebenfalls obere Dreiecksform und Diagonalelemente .
1. Invertierbarkeitstest
2. Invertierbarkeitstest
3. Invertierbarkeitstest
Inversion ist involutorisch
Inverse eines Produkts
Inverse der Transponierten = Transponierte der Inversen
es gibt ein , sodass
es gibt ein , sodass
n n –× n n –× A 1–
A 1– A AA 1– En= = A 1– A
A 1–( ) 1– A=
AB( ) 1– B 1– A 1–=
AT( ) 1– A 1–( )T=
n n –×
aii 0≠
A
a11 * * *
0 a22 * *
0 0 … *
0 0 … 0 ann
Kn n× ∈ A 1– =
1a11--------- * * *
01
a22--------- * *
0 0 … *
0 0 … 01
ann---------
⇔=
A 1– 0≠
A invertierbar ⇔ C Kn n×∈ CA En=
⇔ Rang A n=
⇔ B Kn n×∈ AB En=
A invertierbar A entsteht aus der Einheitsmatrix En durch elementare Umformungen
⇔
A invertierbar det A 0≠⇔
Elementarmatrizen
Definition
Eine Matrix heißt Elementarmatrix vom Typ i (i = 1, 2, 3), wenn sie durch genau eine elementare Zeilen- (Spaltenumformung) vom Typ i aus derEinheitsmatrix hervorgeht
Beispiel ( n = 4 )
Für eine beliebige Matrix A ist
die entsprechende Zeilenumformung von A
die entsprechende Spaltenumformung von A
Merke 1. Elementarmatrizen sind stets invertierbar2. Jede invertierbare Matrix ist ein Produkt von Elementarmatrizen
Typ Matrix zugehörige ZeilenumformungSpaltenumformung
1
2 ,
3
n n –× En˜
En
E4˜
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
z2 z4 z2→ →
s2 s4 s2→ →
1 0 0 0
0 x 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
x 0≠z2 xz2→
s2 xs2→
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
z2 z2 z4+→
s4 s4 s2+→
m n –×
Em˜ A
AEn˜
08.11.04 P.Vachenauer
Matrix-Rechenverfahren
A Gauß-Jordan-Verfahren für inverse Matrix ,
Schritt 0 A mit Einheitsmatrix nach rechts erweitern
Schritt 1 Vorwärtselimination mit elementaren Zeilenumformungenbis zur Zeilenstufenform links von
Schritt 2 InvertierbarkeitstestFall 1. Links von steht eine 0 in der Diagonale A ist nicht invertierbar, fertig.Fall 2. Links von steht keine 0 in der Diagonale, dann
Schritt 3 Rückwärtselimination mit elementaren Zeilenumformungen bis links dieEinheitsmatrix steht. Rechts von steht dann .
B Lösung von AX = B , Schritt 0 A mit Matrix B nach rechts erweitern
Schritt 1 Vorwärtselimination bis zur Zeilenstufenform links von
Schritt 2 Invertierbarkeitstest Fall 1. Links von steht eine 0 in der Diagonale A ist nicht invertierbar, fertig.Fall 2. Links von steht keine 0 in der Diagonale, dann
Schritt 3 Rückwärtselimination bis links die Einheitsmatrix steht.Rechts von steht dann
C Lösungsbasis von Ax = 0 (Spaltenverfahren)
Schritt 0 A mit Einheitsmatrix nach unten erweitern
Schritt 1 Vorwärtselimination mit elementaren Spaltenumformungen bis zur Spaltenstufenform im oberen Teil
Schritt 2 Ablesen im unteren Teil: Die letzten Spalten ,... bilden eine Basis von Kern A, das ist eine Lösungsbasis von Ax = 0Ablesen im oberen Teil: Die r Spalten mit n bilden eine Basis desSpaltenraumes von A
elementare Spaltenum-formungen bis zur
Spaltenstufenform im oberen Teil
A Kn n×∈
En
⇒
En A 1–
A Kn n× B Kn m× X Kn m×∈,∈,∈
⇒
EnX A 1– B=
A Km n× Rang A,∈ r=
En
n r– qr 1+ qn
A
n 0 … 0 0 0 … … 0
* n 0 … 0 0 0 … … 0
* n 0 … … 0
* * … * * * 0 … … 0
En q1 q2 … qr qr 1+ … qn
08.11.04 P.Vachenauer
A En
En A 1–
Elementare Zeilen- umformungen
A B
En A 1– B
Elementare Zeilen- umformungen
Matrizenalgebra
Definitionen
1 In der Menge := der Matrizen
ist die Addition und das Vielfaches komponentenweise erklärt.Damit ist ein Vektorraum über dem Körper K mit der Dimension nm .
Beachte Gleichheit, Addition und Vielfaches sind nur bei gleicher Zeilenzahl und gleicher Spaltenzahl der Matrizen sinnvoll !
2 Die Nullmatrix 0 hat in jeder Komponente eine Null
3 Das Matrixprodukt wird durch „ Jede Zeile mal jede Spalte “ erklärt:
,
,
Anschaulich
Rechenregeln
Distributivgesetze ,
Homogenität
Assoziativgesetz
i.a. nicht kommutativ
Einheitsmatrix
Rangformel
Km n× A := a11 … a1n
… … …am1 … amn
i k aik, K ∈∀;
m n –×
Km n×
Az1…zm
Km n×∈= B s1 s2 … sr, , ,( ) Kn r×∈= ⇒
AB := As1 As2 … Asr, , ,( )z1s1 … z1sr
… … …zms1 … zmsr
Km r×∈= zs := z1s1 z2s2 … znsn+ + +
A A1 A2 Km n× B B1 B2 Kn r× C K∈ r s× x K∈, ,∈, , ,∈, ,
A1 A2+( )B A1B A2B+= A B1 B2+( ) AB1 AB2+=
x AB( ) xA( )B A xB( )= =
A BC( ) AB( )C=
AB BA≠
En :=
1 0 … 0
0 1 … 0
… … … …0 … 0 1
Kn n×∈ EmA A AEn∧ A= =⇒
Rang ( AB ) Rang A , Rang ( AB ) Rang B ≤≤
10.11.04 P.Vachenauer
n r r
m = m nzi
sk
i
k
Determinanten
Definition rekursiv. :
:
(Entwicklung nach der 1. Spalte)
Die 8 Rechenregeln
((1) In jeder Zeile linear ,speziell
(2) , speziell
(3) Obere Dreiecksform , speziell
(4) Elementare Zeilenumformungen
(5) 3. Invertierbarkeitstest
(6) Multiplikationssatz
(7) Symmetrie
(8) Block-Kästchensatz
A K n n×∈
n 1= det A := a11
n 1> det A := a11det A11 a21det A21– … 1–( )n 1+an1det An1+±
det
:·
αa βb+:·
α det :·
a:·
β det :·
b:·
+= det :·
0:·
0=
det
.a.b.
det –
.b.a.
= det
.a.a.
0=
det
a1 * … *
0 a2 *… *
… …0 … 0 an
a1 a2 an⋅ ⋅ ⋅= det En 1=
A invertierbar det A 0≠⇔
det AB det A det B⋅=
det AT
det A=
det A B
0 C det A det C⋅=
} }
} m
} n− m
m n− m
a11a21
an1
A21
Die Matrizen
entstehen aus A durch Streichen der k. Zeile und 1. Spalte
Ak1
10.11.04 P.Vachenauer
Alternierend bei Zeilenvertauschung
Typ 1 Typ 2 Typ 3
Zeilen-vertauschung
x-faches einer Zeile
Addition einer Zeile zu e. andern
det A det – A= det A x det A= det A det A=
. . .A11
An1
Eigenwerte, Eigenvektoren
Motivation Für welche Vektoren b hat Ab dieselbe Richtung wie b ? Definition ist Eigenwert (EW) der Matrix
es gibt einen Eigenvektor (EV) mit und
Charakteristische Gleichung von A ist
Satz EW von A
Rechenregeln und Rechenschemata
(0) Rechenschema für die Handrechnung
Schritt 1. Charakteristische Gleichung aufstellen und alle ihre Wurzeln λ berechnen
Schritt 2. Zu jedem λ alle Lösungen des homogenen LGS bestimmen
(1) Koeffizienten der charakteristischen Gleichung
wobei die Spur von A darstellt
(2) Transformationsregeln
B invertierbare Matrix
(3) Bedeutung für lineare Abbildungen
Die lineare Abbildung f : des Kn hat in Bezug auf die Basis B = die Abbildungsmatrix . Das bedeutet mit (2):
a) Die EW der Abbildungsmatrix sind in jeder Basis dieselben (der Abbildung zu eigen)
b) Die Lage der EV im Kn ist in jeder Basis dieselbe (aber nicht ihre Koordinaten!)
c) Die charakteristische Gleichung der Abbildungsmatrix ist in jeder Basis dieselbe. Das bedeutet mit (1): Sind die EW von A , so gilt
λ K∈ A Kn n×
: ⇔ ∈b K
n∈ Ab λb= b 0≠
det A λEn–( ) 0=
λ det A λEn–( )⇔ 0=
Ab λb=
det A λEn–( ) λ–( )n Spur A λ–( )n 1– … det A+ + +=
Spur A := a11 a22 … ann+ + +
α β K∈,
x Ax→ b1 b2 … bn, , ,( )
B 1– AB
λ1 λ2 …, , λn,
Spur A Spur B 1– AB( ) λ1 λ2 … λn+ + += =Spur A Spur B 1– AB( ) λ1 λ2 … λn+ + += =
det A det B 1– AB( ) λ1 λ2 … λn⋅ ⋅ ⋅= =
15.11.04 P.Vachenauer
Diese beiden Gleichungengelten im Zerfällungskörperdes charakteristischen Poly-noms von A über K
Matrix A
EW
EV ?
αA Am A βEn+ AT A 1– B 1– AB
λ αλ λm λ β+ λ λ 1– λ
b b b b b B 1– b
(4) Diagonalisierung Besitzt A n linear unabhängige EV , so gilt mit
(5) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear unabhängig
(6) Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen
Anwendung. Hauptachsentransformation
Quadratische Form im Rn : mit symmetrischer Matrix A .
Mit (6) gibt es als Basis B von Rn ein ONS, das aus EV von A gebildet wird.
Sind die EW von A , so gilt mit der Substitution
Beispiel. Im Falle n = 2 und lauter positiven EWs stellt eine Ellipse dar.
k. Spalte von A ist ist EV zum EW
A idempotent , alle EW sind 0 oder 1
A involutorisch , alle EW sind 1 oder −1
A nilpotent , alle EW sind 0
, K = R A symmetrisch1) alle EW sind reell2) es gibt ein ONS von
EV als Basis des Rn
b1 b2 … bn, , , B b1 b2 … bn, , ,( )=
αek ⇒ ek α
A2 A= ⇒ λ2 λ=
A2 En= ⇒ λ2 1=
k N : Ak∈∃ 0= ⇒ λk 0=
AT
A= ⇒
xT
Ax
λ1 λ2 …, , λn, x By=
xT
Ax By( )TA By( ) = yT
λ1 0 … 0
0 λ2 … 0
… … … …0 … 0 λn
y λ1y12 … λnyn
2+ += =
xT
Ax 1=
B 1– AB
λ1 0 … 0
0 λ2 … 0
… … … …0 … 0 λn
=
Metrik, Norm, Orthogonalität Definition Ein Skalarprodukt (inneres Produkt) in einem Vektorraum V über R ist eine Funktion
und die zugehörige
Norm (der Betrag) von x , wenn Folgendes erfüllt ist:
Rechenregeln
Im Rn ist das kanonische Skalarprodukt
Weitere Definitionen
Winkel zwischen Vektoren
Vektoren x und y sind orthogonal
orthogonales System (OS)
orthonormales System (ONS)
ist eine orthogonale Matrix
Orthogonale Projektion und Zerlegung von x bezüglich ONS
bezeichnet den von aufgespannten Unterraum:
Kommutativität
linear pro Faktor
positiv definit
betragsmäßig homogen
Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU)
Dreiecksungleichung
Orthogonale Zerlegungvon x bezüglich U
Orthogonale Projektion von x auf U = Kompo-nente von x in Richtung U
Lot von x auf U = zu U orthogonale Komponente von x
V V× R : x y,( ) x y := x y⟨ | ⟩ := x y,( )⋅→ → x := x := x x⋅
x y,( ) y x,( )=
αx βy+ z,( ) α x z,( ) β y z,( )+=
x x,( ) 0 (Gleichheit x=0 )⇔≥
αx α x=
x y,( ) x y≤
x y+ x y+≤
x y := xTy⋅ x1y1 … xnyn+ +=
ϕ := x y,( )x y
-------------cos mit 0 ϕ 1800≤ ≤ für alle x 0≠ y 0≠,
: x y,( )⇔ 0=
b1 b2 …bm, , : bi bk,( )⇔ 0 falls i k≠,=
b1 b2 …bm, , : bi bk,( )⇔ δik := { 0 falls i k≠, 1 falls i = k,
=
A Rn n×∈ : ATA⇔ En=
b1 b2 …bm, ,
U b1 b2 …bm, ,
x xU xU⊥
+=
xU := x b1,( )b1 +… x bm,( )bm+
xU⊥
:= x xU–
x
x⊥U
xU
U
0
15.11.04 P.Vachenauer
Vektorrechnung im Raum
(1) Kartesisches Koordinatensystem Bestimmt durch Ursprung und drei Koordi-natenachsen, die aufeinander senkrechtstehen und ein Rechtssystem bilden.
(2) Vektor = Translation = Parallelverschiebung Darstellung durch einen repräsentierenden Pfeil
In kartesischen Koordinaten
Negativer Vektor
(3) Nullvektor = identische Verschiebung Ortsvektor von P = Verschiebung
(4) Vektoraddition = Hintereinanderausführen von Verschiebungen In kartesischen Koordinaten
(5) Skalares Vielfaches eines Vektors = verkürzte bzw. gestreckte Verschiebung. In kartesischen Koordinaten:
(6) Länge eines Vektors = Länge eines repräsentierenden Pfeils der Verschiebung
In kartesischen Koordinaten:
Einheitsvektor = Vektor der Länge 1
Standardbasis = Richtungen der Koordinatenachsen:
(7) Skalarprodukt , falls a = 0 oder b = 0, sonst
In kartesischen Koordinaten:
, speziell
Rechenregeln
(symmetrisch) , (distributiv)
PQ := q1 p1–q2 p2–
q3 p3– : P Q→
P– Q : Q P→
P P→O P→
a b+
a1 b1+
a2 b2+
a3 b3+
=
αaαa1
αa2
αa3
=
a a12
a22
a33
+ +=
e11
0
0
e2,0
1
0
e3,0
0
1
= = =
a b⋅ 0= a b := a b a b,( )cos⋅
a b⋅ a1b1 a2b2 a3b3+ +=
xk = x ek := x ϕk , kcos⋅ 1 2 3, ,=
a b⋅ b a⋅= αa βb+( ) c⋅ α a c⋅( ) β b c⋅( )+=
22.11.04 P.Vachenauer
z
yx
Q
P
PQ −PQ
QP a
a+b
b b
(8) Vektorprodukt der Vektoren a und b
Geometrische Charakterisierung
Berechnung in kartesischen Koordinaten
mit Strickmuster
Rechenregeln
(9) Spatprodukt
steht senkrecht auf beiden Faktoren
bilden ein Rechtssystem
Parallelogrammfläche
alternierend
linear in jedem Faktor
Test auf lineare Abhängigkeit
Pythagoras
a b×
a b×( )⊥a a b×( )⊥b,
a b a b×, ,
a b× a b ϕsin=
a b×
deta2 b2
a3 b3
deta3 b3
a1 b1
deta1 b1
a2 b2
=
deta b
c d := ad bc–
a a× 0 a b×, b a×–= =
αa βb+( ) c× α a c×( ) β b c×( )+=
a b× 0 a b linear abhängig,⇔=
a b× 2 a b⋅ 2+ a 2 b 2=
a b c, ,[ ] := det a b c, ,( ) := (a b )× c⋅
Volumen des von a b c, , aufgespannten Spates, wenn a b c, ,( ) Rechtssystem
1–( ) Volumen des aufgespannten Spates( ) wenn a b c, ,( ) ein Linkssystem,
=
Die Rechte-Hand-Regel
a b
c d
−
+
Ebenen und Geraden im Raum
22.11.04 P.Vachenauer
(Aus Meyberg, Vachenauer: Hohere Mathematik 1, Seite 44 und 45)
Darstellungen und Umrechnungen fur Ebenen im Raum
Darstellungen ( X = (x, y, z) Punkt auf der Ebene, ~x := −−→OX )i1 Parameterdarstellung
~x = ~a + t~b + s~c , t, s ∈ R ; ~b× ~c 6= ~0~a = −→
OA , A Aufpunkt;~b,~c Richtungsvektoreni2 Koordinatengleichung :ia ax + by + cz + d = 0; (a, b, c) 6= (0, 0, 0)ib ~n · (~x− ~x0) = 0; ~n 6= ~0ic ~n0 · ~x = d0 ; |~n0| = 1 , d0 ≥ 0 (HESSE−Normalform)
Umrechnung
i1 → i2 :
abc
= ~n = ~b× ~c ; ~x0 = ~a ; d = −~n · ~x0 ; .
(2a) → i1 : Nach x auflosen, falls a 6= 0 (nach y fur b 6= 0 bzw. nach z furc 6= 0 ) und y, z ( x, z bzw. x, y ) als Parameter s, t nehmen. Fur dieEbene x− y = 5 z.B.:
x− y = 5 x = 5 + ty = t ⇒ y = tz = s z = s
⇒ ~x =
500
+ t
110
+ s
001
(2a) → (2b) : ~n =
abc
; ~x0 =
−d/a00
, ~x0 =
0−d/b
0
, ~x0 =
00
−d/c
,
(jeweils fur den Fall a 6= 0, b 6= 0, ˜c 6= 0 )
(2b) → (2a) : d = −~n · ~x0 ;
abc
= ~n .
(2b) → (2c) : d0 = |~n · ~x0|/|~n| ; ~n0 = (sgn(~n · ~x0)/|~n|) · ~n .
(2a) → (2c) : d0 = |d|/√
a2 + b2 + c2 ; ~n0 = (−(sgn(d))/√
a2 + b2 + c2)
abc
.
(2c) → (2a) : Skalarprodukt explizit ausrechnen — (nicht relevant).(2c) → (2b) : ~n = ~n0 , ~x0 wie in (2a) → (2b) bestimmen — (nicht relevant).
Darstellungen und Umrechnungen fur Geraden im Raum
Darstellungen ( X = (x, y, z) Punkt auf der Geraden g , ~x := −−→OX )i1 Parameterdarstellung
~x = ~a + t~b , t ∈ R ; ~b 6= ~0~a = −→
OA , A = (a1, a2, a3) Aufpunkt ; ~b Richtungsvektori2 Koordinatengleichungen
g :{
~n1 · ~x = d1 ; ~n1 6= ~0~n2 · ~x = d2 ; ~n2 6= ~0 , ~n1 × ~n2 6= ~0
(Darstellung als Schnitt zweier Ebenen)i3 Momentengleichung
~x× ~k = ~m ; ~k 6= ~0 mit ~k · ~m = 0( g ist Wirkungslinie der Kraft ~k mit Moment ~m bzgl. O )oder−−→PX × ~k = ~mP mit Moment ~mP = ~m−−−→OP × ~k bzgl. P
Umrechnungi1 → i2 : b1 6= 0 , b2 6= 0 und b3 6= 0 ⇒ g : x−a1b1
= y−a2b2
= z−a3b3
(= t) .
b1 = 0 , b2 6= 0 und b3 6= 0 ⇒ g : y−a2b2
= z−a3b3
, x = a1 .b1 = 0 , b2 = 0 und b3 6= 0 ⇒ g : x = a1 , y = a2 .
(Analog die anderen Moglichkeiten)i2 → i1 : ~b = ~n1 × ~n2 . Fur ~a setze man in i2x = 0 , falls b1 6= 0 ; y = 0 , falls b2 6= 0 ; z = 0 , falls b3 6= 0und lose i2 auf nach y, z ( x, z bzw. x, y )
g :{
3x + 7y + 9z − 5 = 02x + 4y + 8z − 6 = 0 ⇒
~b =
379
×
248
=
20−6−2
.
b3 6= 0 ⇒ z = 0 ⇒{
3x + 7y = 52x + 4y = 6 ⇒ ~a =
11−40
.
i1 → i3 : ~k = ~b ; ~m = ~a×~b .i3 → i1 : ~b = ~k ; ~a = ~lO , wobei allg. ~lP = 1
|~k|2(~k × ~mP ) das Lot von P auf g.i2 → i3 : ~k = ~n1 × ~n2 ; ~m = d2~n1 − d1~n2 .
( Beachte: ~m = ~x× (~n1 × ~n2) = (~x · ~n2)~n1 − (~x · ~n1)~n2 )i3 → i2 : Produkt ausschreiben, 2 der 3 skalaren Gleichungen sind nicht vom Typ0 = 0 , sie bestimmen eine Darstellung i2 .
~x×
(123
)=
(−1−1
1
)⇒
(3y − 2zz − 3x2x− y
)=
(−1−1
1
)⇒ g :
{3y − 2z + 1 = 0z − 3x + 1 = 0
.
Lineare Abbildungen Definitionen (V, W Vektorräume über dem Zahlkörper K )
heißt lineare Abbildung
Bild der Abbildung Bild , das ist ein Unterraum von W
Kern der Abbildung Kern , das ist ein Unterraum von V
f (VR-) Homomorphismus f linear f (VR-) Endomorphismus f linear und V = W f (VR-) Epimorphismus f linear und Bild f = W ( f surjektiv ) f (VR-) Monomorphismus f linear und Kern f = {0} ( f injektiv ) f (VR-) Isomorphismus f linear und f bijektiv f (VR-) Automorphismus f linear und f bijektiv und V = W
Dimensionsformel dim Bild f + dim Kern f = dim V
Koordinatendarstellung dim V = n, Basis von V , dim W = m, Basis von W
A ist die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Basen B und C .
Eigenschaften (a) Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen (b) Die Spalten von A sind genau die Koordinatenspalten der Bilder der Basis B
(bezüglich der Basis C ) (c) dim Bild f = Rang A , dim Kern f = dim Kern A = n − Rang A
Äquivalenzsatz (genauso wie bei endlichen Mengen)
dim V = dim W = ( f injektiv f surjektiv f bijektiv )
f : V W→ : ⇔α β K v w V∈,∀∈, f αv βw+( )∀ α f v( ) β f w( )+=
f := {f v( ) v V }∈;
f := {v V ; f v( )∈ 0 }=
⇔⇔⇔⇔⇔⇔
B = (b1,…bn ) C = c1,…cm( )
V W
Kn Km
x Ax
f κB κC
n ∞< ⇒ ⇔ ⇔
24.11.04 P.Vachenauer
VW
0
0 fKern f
Bild f
: Koordinatenabbildung in V :
: Koordinatenabbildung in W :
κB v x1b1 … xnbn x→+ +x1…xn
= =
κCw y1c1 … ymcm y→+ +
y1…ym
= =
Die Singulärwertzerlegung
Für jede reelle Matrix A ist f: eine lineare Abbildung vom in den .
Man kann im ein ONS und im ein ONS finden,
sodass
für , p = min(m,n).
Die Faktoren heißen Singulärwerte von A, sie drücken die extremalen Längenver-
zerrungen der Abbildung aus. Man kann stets erreichen, dass gilt.
In Matrizenschreibweise bedeutet dies:
ist orthogonale Matrix,
ist orthogonale Matrix und es gilt
mit , falls , bzw. , falls .
Für die transponierte Matrix gilt , d.h. man hat
, .
Charakterisierung
Aus , und folgt , damit sind
die Eigenwerte von und
die zugehörigen Eigenvektoren von , .
Rechenschema für den Fall :
1. samt allen Eigenwerten und einem ONS V von Eigenvektoren berechnen.
2. Die Singulärwerte von A sind dann .
3. Das ONS U ist durch für und - falls nötig - über eine
orthogonale Ergänzung (Gram-Schmidt) bestimmt.
Für den Fall wendet man dieses Rechenschema auf die Matrix an.
m n –× x Ax→ Rn Rm
Rn v1 v2 … vn, , ,( ) Rm u1 u2 … um, , ,( )
Avk σk uk= k 1 …p,=
σk
σ1 σ2 … σp 0≥ ≥ ≥ ≥
V v1 v2 … vn, , ,( )= n n –×
U u1 u2 … um, , ,( )= m m –× A UΣVT=
Σσ1 0 … … … 0
0 σ2 0 … … 0
0 0 … σp
… 0
= m n≤ Σ
σ1 0 … 0
0 σ2 0 0
0 … … σp
0 0 0 0
0 0 0 0
= n m≤
AT VΣTUT=
ATuk σk vk= k 1 2 … p, , ,=
A UΣVT= AT VΣTUT= UTU Em= ATA V ΣTΣ( )VT=
σk2 ATA
vk ATA k 1 2 … n, , ,=
m n≤
ATA λk
σk λk=
uk σk1– Avk= σk 0≠
n m≤ AT
24.11.04 P.Vachenauer
Orthogonale Abbildungen des R2
Da das Bild von stets ein Einheitsvektor sein muss mit , gibt es
für das Bild von nur zwei Möglichkeiten: oder . Das bedeutet:
(A) Drehungen
Charakterisierung und det A = 1
Aus der Figur liest man zweierlei ab: 1. und werden um denselben Winkel gedreht,
wobei und . 2. Zwei Drehungen nacheinander ausgeführt stellen wieder eine Drehung mit der Summe der Drehwinkel als Drehwinkel dar. Die inverse Drehung hat als Drehwinkel .
3. Die Drehungen der Ebene um den Ursprung bilden daher eine Gruppe:
Die Spezielle Orthogonale Gruppe .
Eigenwerte und Eigenvektoren von A sind i.a. komplex: , .
Die Umlegung (Spiegelung am Ursprung) ist in der Ebene eine Drehung um .
(B) Spiegelungen
Charakterisierung und det A = −1
Es gilt , d.h. zuerst wird an der
-Achse gespiegelt und dann um Winkel gedreht, wobei wieder und .
Im Falle (B) ist A stets symmetrisch: . Wegen ist also .
Die Eigenwerte von A sind 1 und -1.
Eigenvektoren von A sind zum EW 1 und zum EW -1.
f ist daher die Spiegelung an der Geraden durch O in Richtung
Beachte. Die Komposition zweier Spiegelungen ist stets eine Drehung
e1cs
s2 c2+ 1=
e2s–
csc–
f x( ) Ax = c s–
s cx=
ATA E2=
e1 e2 ϕ
ϕcos c= ϕsin s=
2π ϕ–
SO 2( )c s–
s c ; s2 c2+ 1=
=
λ1 c is+= λ2 c is–=
f x( ) = x– π
f x( ) Ax = c s
s c–x=
ATA E2=
Ac s–
s c
1 0
0 1–=
x1 ϕϕcos c= ϕsin s=
AT A= ATA E2= A2 E2=
1 c+
s
s–
1 c+1 c+
s
06.12.04 P.Vachenauer
Orthogonale Abbildungen des R3
1. Satz Eine orthogonale Abbildung des R3 ist entweder eine Drehung oder eine Drehspiegelung.
In Bezug auf eine kartesische Basis des R3 gilt für die Abbildungsmatrix A :
(A) A beschreibt eine Drehung und det A = 1 . Der Drehwinkel ist bestimmt durch : ,
die Richtung a der Drehachse ist Lösung des LGS Aa = a (EV zum EW +1).
(B) A beschreibt eine Drehungspiegelung und det A = −1.Der Drehwinkel ist bestimmt durch : ,die Richtung a der Drehachse ist Lösung des LGS Aa = −a (EV zum EW −1). Gespiegelt wird in Richtung von a.
2. Die 3 Drehungen um die Achsen mit und
Beachte 1. Zyklische Vertauschung von Zeilen- und Spalten der Abbildungsmatrix
2. Zyklische Vertauschung der Achsen in den Bildern
3. Jede Drehung im Raum kann als ein Produkt dargestellt werden. Diese Winkel heißen Cardanische Winkel
3. Bestimmung einer Drehung aus Drehachse und Drehwinkel Gegeben: Richtung der Drehachse: a mit und Drehwinkel:
⇔ ATA E3=ϕcos 1
2--- a11 a22 a33 1–+ +( )=
⇔ ATA E3=ϕcos 1
2--- a11 a22 a33 1+ + +( )=
c ϕcos= s ϕsin=
D1 = 1 0 0
0 c s–
0 s c
D2 = c 0 s
0 1 0
s– 0 c
D3 = c s– 0
s c 0
0 0 1
D3 ϕ3( )D2
ϕ2( )D1 ϕ1( )
a 1=ϕ
f x( ) Ax xa ϕ xa⊥ ϕ a x×sin+cos+= =
ϕ x 1 ϕcos–( ) x a⋅( ) a ϕ a x×sin+ +cos=
06.12.04 P.Vachenauer
4. Spiegelungen im R3
,
Charakterisierung von A:
(1) Abbildung ist längentreu
(2) Abbildung ist involutorisch
(3) Abbildung dreht Orientierung um
Folgerung , A ist symmetrisch
Es gibt für f nur zwei Möglichkeiten:
(A) f ist Punktspiegelung: , d.h. (Drehspiegelung mit Winkel π)
(B) f ist Spiegelung an der Ebene durch O senkrecht zum Vektor a
mit , d.h.
5. Drehspiegelungen im Raum entstehen durch Hintereinanderschalten einer Spiegelung und einer Drehung.
Beispiel. Ist a , , die Richtung der Drehachse gleich e3 , so hat die
Abbildungsmatrix die Gestalt
.
D.h. die Ebene, an der gespiegelt wird, ist stets
senkrecht zur Achse der Drehung !
Beachte. Man liest hier leicht ab:
Spur A = .
f x( ) Ax = x R3∈
ATA E3=
A2 E3=
det A 1–=
1( ) 2( ) AT⇒∧ A=
A E3–= f x( ) x– =
f x( ) x 2 a x⋅( )a –= a 1= A E3 2 aaT( )–=
a 1=
Aϕcos ϕsin– 0
ϕsin ϕcos 0
0 0 1–
=
2 ϕ 1–cos
Spezielle lineare Abbildungen im R3
Der Vektor ist ein beliebiger Vektor der Länge 1.
Die Drehmatrix lautet , wenn .
Name Abbildungsmatrix Rang A Kern A det A Eigenwerte Eigenschaften
Orthogonale Projektion in Richtung a
1alle
0 1, 0, 0
Orthogonale Projektionauf Ebene senkrecht zu a
2alle
0 0, 1, 1
Scherung mit 3 {0} 1 1, 1, 1
det A = 1 (volumentreu).Höchstens zwei linear
unabhäng. EV, falls
Spiegelung an Ebene 3 {0} -1 1, 1, -1
orthogonal (längentreu)
und
Drehung Drehachsen-richtung aDrehwinkel
siehe unten3 {0} 1 1,
mit
orthogonal (längentreu)
a R3∈
A aaT= x⊥a A2 A AT, A= =
A E3 aaT–= x a A2 A AT, A= =
b⊥a A E3 baT+=A E3≠
a x⋅ 0=A E3 2aaT–= ATA E3=
A2 E3 AT, A= =
ϕ
A D=
ϕcos i ϕsin±
i2 1–=
ATA E3=
D ϕ E3 1 ϕcos–( ) aaT ϕ
0 a3– a2
a3 0 a1–
a2– a1 0
sin+ +cos= aa1
a2
a3
=
06.12.04 P.Vachenauer
Zylinder- und Kugelkoordinaten
(1) Zylinderkoordinaten In der (x,y)-Ebene werden Polarkoordinaten verwendet.
Beachte: ist die Länge der Projektion
des Ortsvektors x in die (x,y)-Ebene.
Umrechnung
Wertebereich , , .
Für die Punkte der z-Achse ist kein Winkel erklärt.
(2) Kugelkoordinaten Vorgabe Ursprung O, Nordpol N , , Punkt M
auf dem Äquator , . Dann ist
, Radius, Abstand von O , .
, Poldistanzwinkel , ,
, Azimut , ,
wobei , falls det und , falls det .( Für die Punkte der z-Achse, d.h. bzw. , ist kein Azimut erklärt. )
Umrechnung In der Regel nimmt man N = (0,0,1) und M = (1,0,0), dann bringen
zwei Drehungen (zunächst um die y-Achse mit Winkel , dann um die z-Achse mit
Winkel ) und eine Streckung mit dem Faktor r den Nordpol N in den Punkt X :
.
Bilder aus der Animation
zum Volumenintegral im
Multimediamodul
www-hm.ma.tum.de/integration
Animationen dazu sind sehenswert!
ρ ϕ z, ,, ,( )ρ, ϕ
ρ x2 y2+=
x ρ ϕ , ycos ρ ϕ , zsin z= = =
ρ 0≥ π ϕ π≤<– ∞ z ∞< <–
ρ 0= ϕ
r ϑ ϕ, ,( )ON 1=
OM 1= ON⊥OM
r OX= r 0≥
ϑ OX ON,( )∠= 0 ϑ π≤ ≤
ϕ OXON
⊥ OM, ∠= π ϕ π≤<–
ϕ 0> ON OM OX, ,( ) 0> ϕ 0< ON OM OX, ,( ) 0<ϑ 0= ϑ π=
ϑϕ
0
0
1
ϑsin
0
ϑcos
ϑ ϕcossin
ϑ ϕsinsin
ϑcos
r ϑ ϕcossin
r ϑ ϕsinsin
r ϑcos
→ → → ⇒x
y
z
r ϑ ϕcossin
r ϑ ϕsinsin
r ϑcos
=
06.12.04 P.Vachenauer
Eine Reise nach Huahine (1) Abstand zweier Punkte A, B auf einer Kugel = Länge des Großkreisbogens durch die Punkte A, B
= Länge des Kreisbogens, den die Ebene durch O, A, B auf der Kugel ausschneidet = (R Kugelradius, Winkel im Bogenmaß )
Das Skalarprodukt der Ortsvektoren liefert
(1)
(2) Cosinussatz auf der Einheitskugel Folgt aus (1) durch Darstellung in Kugelkoordinaten:R = 1 und die Winkel wie in obiger Skizze ergibt
und , d.h. mit (1):
(2)
(3) Wie weit ist es nach Huahine? (Lieblingsinsel von James Cook)
Geographische Koordinaten: Erdradius R = 6367km
München: ö.L., n.B. Huahine: w.L., s.B.
Wir wählen Huahine als Punkt A, damit ergebensich die Poldistanzwinkel , .
Die Azimutdifferenz der Punkte ist .
Aus (2) folgt , d.h. im Bogenmaß. Damit ist die Distanz auf der Erde: km.
Ziemlich weit,
aber es rentiert sich!
Für James Cook dauerte
die Reise 8 Monate,
trotzdem kam er gleich
dreimal vorbei, zum
ersten Male im April 1769
mit seiner Endeavour!
R OA OB( , )∠⋅
OA OB( , )∠cos1
R2------OA OB⋅=
OAbsin
0
bcos
= OBasin γcos
asin γsin
acos
=
ccos a b a bsin γcossin+coscos=
11 6°, 48 2°,149 1°, 17 5°,
a 41 8°,= b 107 5°,=
γ 160 7°,=
ccos 0 8241…,–=c 2 53946…,= s R 2 53946…,⋅ 16169= =
06.12.04 P.Vachenauer
James Cook 1728 - 1780
z N
b R a
c B A O
γ
x
Regiomontanus 1436 - 1476
Rechnen mit Polynomen
(A) Funktionsauswertung mit dem Horner-Schema
Horner-Schema Algorithmus (HS)
dann gilt Beachte (HS) führt die Division mit Rest von und durch. Der Rest ist .
(B) Linearfaktoren abspalten b ist Nullstelle von p(x)
b ist k-fache Nullstelle von p(x)
(C) Anzahl der Nullstellen. p hat höchstens n = Grad p verschiedene Nullstellen
(D) Koeffizientenvergleich. Über R und C gilt für alle Polynome p und q
für alle Zahlen a .
Beachte Über , dem Körper mit nur zwei Elementen 0, 1, haben und stets gleichen Wert 0 und sind aber als Polynome nicht gleich.
(E) Fundamentalsatz der Algebra (C.F.Gauß 1799) Jedes reelle oder komplexe Polynom mit und n > 0
hat stets n nicht notwendig verschiedene (komplexe) Nullstellen .
p(x) besitzt damit stets eine Produktdarstellung .
Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Nullstellen liefert der Satz von Viëta
,
,
(F) Nullstellenberechnung
(a) Explizite Formeln für n = 2 , 3 und 4
Auflösungsformel für quadratische Gleichung und Formeln von Cardano (Formelsammlung)
(b) Für n > 4 Numerische Näherungsverfahren (Newton-Verfahren, Bisektionsverfahren etc.)
(c) Suche nach rationalen Nullstellen, falls alle Koeffizienten ganzzahlig sind
Satz von Gauß: Ist für die teilerfremden ganzen Zahlen a, b , dann muss notwendig
gelten: a ist ein ganzzahliger Teiler von und b ist ein ganzzahliger Teiler von .
p b( ) := a0 a1b … anbn+ + + [… anb an 1–+( )b an 2–+( )b … ]b a0+ +=
cn := an ; cn 1– := cnb a+ n 1– ; … ; c0 := c1b a0 ;+
p b( ) c0 und p x( ) x b–( ) cnxn 1– … c2x c1+ + +( ) c0+= =
p x( ) x b– p b( )
p b( )⇔ 0= Es gibt ein Polynom q , sodass p x( )⇔ x b–( ) q x( )⋅=
p x( )⇔ x b–( )kq x( ) q b( ) 0≠∧⋅=
p q p a( )⇔ q a( )= =
Z2 p x x2
+= q x2
x4
+=
p x( ) := a0 a1x … an 1– xn 1– anxn+ + + + an 0≠b1 b2 … bn, , , C∈
p x( ) an x b1–( ) x b2–( )… x bn–( )=
b1 b2 … bn+ + +an 1––
an---------------=
b1 b2 … bn+ +( ) b2 b3 … bn+ +( ) … bn 1– bn+ + +an 2–
an------------= … b1b2…bn 1–( )na0
an-----=
ak
pab---
0=
a0 an
13.12.04 P.Vachenauer
2n-1 Multiplikationen + n Additionen n Multiplikationen + n Additionen
Der Körper C der komplexen Zahlen
Bezeichnungen und Definitionen
Modell. Die Gauss-Zahlenebene Die Zahl entspricht dem Punkt
in der Ebene. Multiplikation mit i bedeutet eine Drehung um : .
Weitere Rechenregeln
imaginäre Einheit
komplexe Zahl mit
Realteil von z Re (z) = x
Imaginärteil von z Im (z) = y
konjugiert komplexe Zahl zu z
Betrag von z
Argument von zfür
arg z := , sodass und
Polardarstellung von z
Formel von Euler , d.h.
Addition
Multiplikation
Division
für
für
C {x iy ; x y R i2∧∈,+ 1}–= =
i mit i2 1–=
z x iy+= x y R∈,
z x iy–=
z x iy+ x2 y2+ z z⋅= = =
z 0≠ϕ ϕcos
Re z( )z
--------------= ϕsinIm z( )
z--------------=
z z ϕ i ϕsin+cos( )=
eiϕ ϕ i ϕsin+cos= z z ei zarg=
a ib+( ) c id+( )+ a c+( ) i b d+( )+=
a ib+( ) c id+( ) ac bd–( ) i ad bc+( )+=
ϕ i ϕsin+cos( ) ψ i ψsin+cos( )= ϕ ψ+( ) i ϕ ψ+( )sin+cos
reiϕ( ) Reiψ( )⋅ rRei ϕ ψ+( )=
a ib+c id+-------------- a ib+( ) c id–( )
c id+( ) c id–( )-------------------------------------- ac bd+
c2 d2+------------------ i
bc ad–
c2 d2+------------------+= = c id 0≠+
ϕ i ϕsin+cosψ i ψsin+cos
----------------------------= ϕ ψ–( ) i ϕ ψ–( )sin+cos
reiϕ
Reiψ----------- r
R---ei ϕ ψ–( )= R 0≠
z x iy+= x y,( )
90° i x iy+( ) y– ix+=
z w⋅ z w⋅= zn z n=
arg z w⋅( ) arg z( ) arg w( )+= arg zn( ) n arg z( )⋅=
z w⋅ z w⋅= zn z( )n=
13.12.04 P.Vachenauer
i
1
x
y x + iy
x - iy
x
|z| ϕ
Normal Normalformen von MatrizenDefinitionen
Rechenregeln für (definit), , .
(A) Schur-Normalform. Zu jeder Matrix gibt es eine unitäre Matrix B, sodass hierbei sind die Eigenwerte von A.
(B) Jordan-Normalform. Zu jeder Matrix gibt es eine invertierbare Matrix C, sodass
hierbei sind die Eigenwerte von A und nur Zahlen 0 oder 1.
(C) Die Jordan-Normalform ist eine Diagonalmatrix die Matrix A ist diagonalisierbar die sind alle 0 die Matrix A hat n linear unabhängige Eigenvektoren die Spalten von C sind alle Eigenvektoren von A .
(D) Spektralsatz. Die Schur-Normalform ist eine Diagonalmatrix die Matrix A ist unitär diagonalisierbar die Matrix A ist normal.
Spezialfälle
Skalarprodukt im
Adjungierte Matrix
Hermitesche Matrix
Schiefhermitesche Matrix
Unitäre Matrix
Normale Matrix
A unitär Eigenwerte: Es gibt eine unitäre Basis aus Eigenvektoren
A hermitesch Eigenwerte: Im = 0 Es gibt eine unitäre Basis aus Eigenvektoren
A schiefhermitesch Eigenwerte: Re = 0 Es gibt eine unitäre Basis aus Eigenvektoren
Cn zHw:=z1w1 … znwn+ + z w Cn∈,( )
AH := AT A Cn n×∈( )
AH =A A Cn n×∈( )
AH = A– A Cn n×∈( )
AH =A 1– A Cn n×∈( )
AHA =AAH A Cn n×∈( )
zHz 0> z 0≠ zHw wHz= z zHz=
A Cn n×∈
AB BHABλ1 * *
0 … *
0 0 λn
= = λ1 …λn,
A Cn n×∈
AB C 1– AC
λ1 µ1 0
0 … µn 1–
0 0 λn
= = λ1 …λn,µ1 …µn 1–,
⇔ ⇔ µ1 …µn 1–,⇔⇔
⇔⇔
λk 1=
λ
λ
13.12.04 P.Vachenauer