Lineare Algebra II 1. Ubungsblatt¨ - blu7.comKl… · Lineare Algebra 2 2. ... 3(IR): M 1 = 1 9...

INSTITUT FUR MATHEMATIK

Prof. Dr. BessenrodtDr. Merziger

30. Januar 2003

Lineare Algebra II1. Ubungsblatt

Abgabe: 7/8. 4.2003 vor der Ubung

Aufgabe 1 ( 8 Punkte )

Sei p(X) = Xn + an−1Xn−1 + . . . + a0 ∈ K[X] mit n ≥ 1 und

A :=

0 1 0 . . . 0...

. . . . . . . . ....

.... . . . . . 0

0 . . . . . . 0 1−a0 −a1 . . . −an−2 −an−1

∈ Mn(K). Zeigen Sie: p(X) = χA(X).


Seien u, v, w ∈ IR3. Beweisen Sie:

(a) <u× v, w> = det (u v w),(b) ||u× v||2 = ||u||2||v||2 − <u, v>2,(c) ||u× v|| = ||u|| · ||v|| · sin <) (u, v).


(a) Zeigen Sie: Jede Matrix A ∈ Mn(C) laßt sich eindeutig als A = B + iC mithermiteschen Matrizen B,C ∈ Mn(C) schreiben.

(b) Wie lautet die in (a) gefundene Zerlegung fur das Beispiel

A =

1 + i 2− i 4 + 2i3i 1− i 3 + 5i0 1− i 0

?


Sei V = C[−1, 1] der Vektorraum der auf dem Intervall [−1, 1] stetigen Funktionen mit

dem Skalarprodukt < f, g > =∫ 1

−1f(t)g(t) dt.

(a) Seien f1, f2 ∈ V definiert durch f1(t) = |t| − 1 und f2(t) =

{0 fur t ≤ 0t fur t > 0

.

Berechnen Sie den Abstand von f1 und f2.

(b) Es sei U := {f ∈ V | f(x) = f(−x) fur alle x ∈ [−1, 1] }.(U ist ein Teilraum von V , der Raum der geraden Funktionen; kein Beweis notig.)Bestimmen Sie das orthogonale Komplement U⊥ zu U in V .

Aufgabe 5∗ ( 10 Punkte )

Sei V = {f ∈ IR[X] | Grad f ≤ 3} mit dem Skalarprodukt < f, g > =∫ 1

0f(t)g(t) dt.

(a) Bestimmen Sie die < , > darstellende Matrix bezuglich der Basis B = {1, X,X2, X3}.(b) Berechnen Sie <2X2 + X , X3 −X2 + X + 1> mittels Matrizenrechnung.(c) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis C des Unterraums < 1, X,X2 >.(d) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor ϕC(X + 1).(e) Berechnen Sie den Abstand von f = X2 und g = X3.



7./8. April 2003

Lineare Algebra 22. Ubungsblatt

Abgabe: 14/15.4.2003 vor der Ubung


Gegeben seienfolgende Matrizenaus M3(IR):

M1 =19

−7 −4 −4−4 8 −1−4 −1 8

, M2 =111

−9 6 −26 7 −6

−2 −6 −9

,

M3 =13

2 −1 22 2 −1

−1 2 2

, M4 =13

−2 −2 11 −2 −2

−2 1 −2

.

(a) Zeigen Sie: Mi ∈ O(3) fur i = 1, 2, 3, 4. Welche Mi sind in SO(3) ?

(b) Seien Fi die zu den Mi gehorenden orthogonalen Endomorphismen des IR3.Bestimmen Sie geeignete Basen Bi des IR3 und αi ∈ [0, 2π), so dassMBi

(Fi) Normalform hat fur i = 1, 2, 3, 4:

MBi(Fi) =

±1 0 00 cos α − sin α0 sin α cos α

, α ∈ (0, 2π].

Hinweis : χM1 = (X − 1)2(X + 1) und χM2 = (X − 1)(X + 1)2 ,χM3 = (X − 1)(X2 −X + 1) und χM4 = (X + 1)(X2 + X + 1) .


Gegeben sei die Matrix M =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

. Zeigen Sie

(a) χM(X) = X4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X − i)(X + i) = (X − 1)(X + 1)(X2 + 1) undbestimmen Sie Spek C(M) und Spek IR(M).

(b) Zeigen Sie: FC := FM ∈ EndC(C4) ist unitar (also unitar diagonalisierbar) undbestimmen Sie eine ON–Basis B des C4 aus Eigenvektoren von FC, so dassMB(FC) = diag (1,−1, i,−i) ist.

(c) Zeigen Sie FIR := FM ∈ EndIR(IR4) ist orthogonal, hat diereellen Eigenwerte ±1 mit dimIR Eig (M, 1) = dimIR Eig (M,−1) = 1und bestimmen Sie eine ON–Basis C des IR4 und ein α ∈ [0, 2π), so dass

MC(FIR) =

1 0 0 00 −1 0 00 0 cos α − sin α0 0 sin α cos α

ist.


Fuhren Sie eine Hauptachsentransformation durch und skizzieren Sie die Hyperflachen:

(a) 9x21 + 24x1x2 + 16x2

2 = 36,

(b) 5x21 + 8x2

2 + 5x23 + 4x1x2 − 8x1x3 + 4x2x3 = 36.


Sei A :=

0 0 i0 0 0−i 0 0

. A ist unitar diagonalisierbar (warum?). Bestimmen Sie

eine unitare Matrix S mit S>AS = diag (λ1, λ2, λ3) mit λ1, λ2, λ3 ∈ IR.


Sei A ∈ Mn(C). Zeigen Sie:

(a) B := AA>

ist hermitesch.

(b) Ist A invertierbar,so ist die zugehorige Sesquilinearform sB mit sB(v, w) = v>Bw positiv definit.

Nachschreibklausur zur Linearen Algebra 1

Freitag, 11. April 2003 von 14.00–16.00 Uhr im Audi Max(keine Taschenrechner)



14./15. April 2003


Abgabe: 22.4.2003 vor der Ubung


Klassifizieren und skizzieren Sie folgende Kegelschnitte:

(a) x2 + 4y2 = 4 (b) x2 + 4x + y2 − 2y − 4 = 0(c) 9x2 − 54x + 4y2 + 16y + 61 = 0 (d) 9y2 − 4x2 + 16x + 54y + 29 = 0(e) 4x2 − 9y2 − 16x− 54y − 101 = 0 (f) x2 = 4(x + y)(g) y2 − 2x2 − xy = 0 (h) y2 + 9x2 − 6xy + y − 3x = 0(i) x2 + y2 = 2(x + y − 1)


Sei s : IR3 × IR3 → IR die symmetrische Bilinearform mit ME(s) :=

−1 0 00 1 −10 −1 1

.

Bestimmen Sie

(a) den Positivitatsindex k, den Negativitatsindex l, sowie das Radikal W0 von s,

(b) eine Orthonormalbasis B von IR3, so dass MB(s) Diagonalmatrix ist,(c) eine Orthogonalbasis B von IR3, so dass MB(s) Diagonalmatrix ist, deren

Diagonalelemente aus {1,−1, 0} sind,

(d) zwei verschiedene bzgl. s orthogonale Zerlegungen IR3 = W(i)+ ⊕W0 ⊕W

(i)− , i = 1, 2,

wobei W0 = rad s und s auf W(i)+ positiv und auf W

(i)− negativ definit ist fur i = 1, 2.


Es sei A ∈ O(n) (orthogonale Gruppe). Zeigen Sie:

| SpurA| ≤ n. Wann gilt das Gleichheitszeichen?


Sei s : C3 × C3 → C die hermitesche Sesquilinearform mit ME(s) :=

2 0 −2i0 0 0

2i 0 0

.

Bestimmen Sie(a) die Eigenwerte λ1, λ2, λ3, sowie das Radikal W0 von s,

(b) eine unitare Matrix S ∈ M3(C) mit S>AS = S−1AS = diag (λ1, λ2, λ3),

(c) eine (bzgl. s und Standardskalarprodukt) orthogonale Zerlegung (Begrundung!)C3 = W+ ⊕W0 ⊕W−, wobei s auf W+ positiv und auf W− negativ definit ist.



22. April 2003


Abgabe: 28./29.4.2003 vor der Ubung


Untersuchen Sie folgende Matrizen auf Definitheitseigenschaften:

(a) Dα :=

(cos α − sin αsin α cos α

), (b) Sα :=

(cos α sin αsin α − cos α

)∈ M2(IR), α ∈ [0, π],

(c) A =

2 0 i0 2 0−i 0 2

∈ M3(C), (d) An :=

2 −1 0

−1 2. . .

. . . . . . . . .. . . 2 −1

0 −1 2

∈ Mn(IR).


Sei K = IR, C und A ∈ Mn(K) symmetrisch bzw. hermitesch.

(a) Zeigen Sie: Ist A positiv semidefinit, so gibt es ein M ∈ Mn(K) mit M2 = A.

(b) Bestimmen Sie ein M ∈ M3(C) mit M2 = A :=

2 0 i0 2 0−i 0 2

.


Sei V = Mn(IR) und s : V × V → IR mit s(A,B) := Spur (AtB).

(a) Zeigen Sie: V ist mit s ein euklidischer Vektorraum.(b) Zeigen Sie: Die Standardbasis {Eij | i, j = 1, . . . , n} ist eine ON–Basis von V .(c) Sei n = 2 und U := {A ∈ V | At = A} der Unterraum der symmetrischen Matrizen.

Bestimmen Sie (1) eine Basis fur U ,(2) das orthogonale Komplement U⊥,(3) jeweils eine ON–Basis fur U bzw. U⊥.


(a) Zeigen Sie: Ist K = IR (C) und haben A,B ∈ Mn(K), A, B symmetrisch (hermitesch)dieselben Anzahlen positiver und negativer Eigenwerte, so existiert ein S ∈ GLn(K)

mit StAS = B.

(b) Zeigen Sie: A =

1 −1 1−1 2 3

1 3 13

und B =

1 2 −32 5 −4

−3 −4 8

haben dieselben Anzahlen

positiver und negativer Eigenwerte und bestimmen Sie ein S ∈ GL3(IR) mit StAS = B.


Sei (V,<,>) ein unitarer Raum und seien a1, . . . , al paarweise orthogonale Einheitsvektoren.

Zeigen Sie: Ist v ∈ V , so gilt:l∑

k=1

|< ak, v > |2 ≤ || v ||2.



28./29. April 2003




Bestimmen Sie im euklidischen Ring ZZ bzw. Q[X] den ggT (a, b) und stellen Sie ihn als Line-arkombination von a und b dar (Bezout–Koeffizienten):

(a) ggT (372 , 237),

(b) ggT (2X5 + X4 − 3X3 + 2X2 + X − 1 , X4 + X3 + X − 1).


(a) Zerlegen Sie das Polynom X6 − 2X4 − X2 + 2 ∈ K[X] in irreduzible Faktorenfur K = Q, IR, C, ZZ5 = ({0, 1, 2, 3, 4}, +, ·).

(b) Bestimmen Sie die irreduziblen Polynome hochstens vierten Grades in ZZ2[X].

(c) Bestimmen Sie in ZZ2[X] den ggT (X5 + X4 + 1 , X5 + X + 1)

(1) durch Faktorisierung,

(2) mit dem euklidischen Algorithmus und berechnen Sie Bezout–Koeffizienten.


Sei R ein euklidischer Ring mit Norm ρ und Einheitenring R× = {r ∈ R | ∃s ∈ R, rs = 1}.Zeigen Sie:

(a) ρ(1) = min {ρ(s) | s ∈ R \ {0}},(b) R× = {r ∈ R \ {0} | ρ(r) = ρ(1)}.


(a) Zeigen Sie: Im euklidischen Ring K[X] sind bei der Division mit Rest f = qg + rdie Polynome q und r eindeutig bestimmt.

(b) Seien f, g, h ∈ K[X]. Zeigen Sie, dass es genau dann Polynome p, q ∈ K[X] gibtmit pf + qg = h, wenn der ggT (f, g) ein Teiler von h ist.

(c) Untersuchen Sie, ob es fur f = X4 − X3 + 2X2 − X + 1, g = X3 − 2X2 + 2X − 1und h = 2X4 − 3X3 + 6X2 − 4X + 3 Polynome p, q ∈ Q[X] gibt mit pf + qg = h,und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.


Zeigen Sie: Xn − 2 ∈ ZZ[X] ist irreduzibel fur alle n ∈ IN.



5./6. Mai 2003




Gegeben sei der Ring ZZ[X]. Zeigen Sie:

Das von 2 und X erzeugte Ideal (2, X) = 2 · ZZ[X] + X · ZZ[X] ⊂ ZZ[X] ist kein Hauptideal.


Im Integritatsbereich ZZ[√−5 ] = {a + b

√−5 | a, b ∈ ZZ} sei definiert ρ(a + b

√−5 ) := a2 + 5b2.

Zeigen Sie:

(a) Fur z, w ∈ ZZ[√−5 ] gilt ρ(zw) = ρ(z)ρ(w),

(b) ZZ[√−5 ] ist kein faktorieller Ring, also insbesondere kein euklidischer Ring.


Sei K ein Korper und I ⊂ K[X] ein Ideal. Zeigen Sie:

(a) Der Faktorring K[X]/I ist genau dann ein Korper, wenn esein irreduzibles f ∈ K[X] gibt mit I = f ·K[X].

(b) Ist I := (X4 + X3 + 1) · ZZ2[X], dann ist ZZ2[X]/I ein Korper.

(c) Bestimmen Sie das multiplikativ Inverse [(X2 + X + 1) + I]−1 in ZZ2[X]/I.

Hinweis : Bezout–Koeffizienten


Sei R ein euklidischer Ring mit Norm ρ und a, b ∈ R. Zeigen Sie:

(a) Das von a erzeugte Ideal a ·R ist gleich dem Ring R genau dann, wenn a ∈ R×,also a eine Einheit ist.

(b) Ist a ∼ b, dann gilt ρ(a) = ρ(b). Gilt die Umkehrung?

(c) Ist b ein echter Teiler von a, also a ∼/ b, dann gilt ρ(b) < ρ(a).


Seien f, g ∈ ZZ[X]. Zeigen Sie:

(a) Sind sowohl die Koeffizienten von f als auch die Koeffizienten von g teilerfremd,so sind auch die Koeffizienten von f · g teilerfremd.

(b) Ist das Polynom f ∈ ZZ[X] \ ZZ in ZZ[X] irreduzibel, so ist f auch in Q[X] irreduzibel.

(c) Xn − 2 ist in Q[X] irreduzibel.



12./13. Mai 2003




Beweisen Sie (ohne den Satz von Cayley–Hamilton zu benutzen):

(a) Ist A ∈ M2(K), so gilt µA|χA.

(b) Ist V ein n–dimensionaler K–Vektorraum und F ∈ End K(V ) diagonalisierbarmit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1, . . . , λn, so gilt µF = χF .


Sei A ∈ Mn(K). Zeigen Sie:

(a) Ist v ∈ Kn, dann ist K[A]v ein A–invarianter Unterraum von Kn.

(b) Ist 0 6= v ∈ Kn und dim K[A] · v = d, dann ist {v, Av, . . . , Ad−1v} eine Basis von K[A]v.


Bestimmen Sie Minimalpolynom, charakteristisches Polynom und alle (Begrundung!) zweidi-mensionalen A–invarianten Unterraume von IR3 fur

A :=

2 1 −21 2 2

−2 2 −1

.


Sei K ein Korper und A ∈ Mn(K). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen aquivalent sind:

(a) RangA = n.

(b) 0 /∈ SpekA.

(c) Ist µA =d∑

i=0

ciXi ∈ K[X], so ist c0 6= 0.


Sei K ein Korper und A ∈ Mn(K) diagonalisierbar. Zeigen Sie:

Gilt fur alle Eigenvektoren v, w ∈ Kn von A, dass v + w ebenfalls Eigenvektor von A oderv + w = 0 ist, dann gibt es ein λ ∈ K mit µA = X − λ.


Seien A,B ∈ M3(IR) mit χA = X3 − 2X2 + X und χB = X3 − X2 + 2X − 3.

Zeigen Sie: dim KernAB = 1.



19./20. Mai 2003




Seien A ∈ Mn(K) und g, h ∈ K[X] mit (g · h)(A) = 0 und d := ggT (g, h).

Zeigen Sie

Kern g(A) ∩ Kernh(A) = Kern d(A).


Seien A =

−8 16 −6−5 13 −6−5 14 −7

∈ M3(IR) und g, h ∈ IR[X]

mit g = X2 −X − 2 und h = X2 + X − 6. Zeigen Sie:

(a) χA = µA = X3 + 2X2 − 5X − 6,

(b) B := {(2, 2, 3)t, (1, 1, 1)t, (2, 1, 1)t} ist eine Basis von IR3 aus Eigenvektoren,

(c) (g · h)(A) = 0.

(d) Bestimmen Sie ggT (g, h) und verifizieren Sie die Aufgabe 36 an diesem Beispiel.


Seien A,B ∈ Mn(K). Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

(a) Sind A,B diagonalisierbar und ist χA = χB, dann gilt A ∼ B, d.h. A,B ahnlich.

(b) Sind A,B diagonalisierbar und ist µA = µB, dann gilt A ∼ B.

(b) Sind A,B trigonalisierbar und ist χA = χB und µA = µB, dann gilt A ∼ B.


Zeigen Sie, dass folgende Matrizen simultan diagonalisierbar sind und fuhren Sie diese gemein-same Diagonalisierung durch.

A =

5 2 −22 2 41 −2 8

B =

11 −10 22−7 14 −17−8 10 −19

.

Hinweis : χA = X3 − 15X2 + 72X − 108 und χB = X3 − 6X2 − 45X + 162.


Seien A,B ∈ Mn(K) diagonalisierbar und AB = BA.Beweisen Sie, ohne den Satz uber die simultane Diagonalisierung von Matrizen zu benutzen:

(a) Ist v ∈ Kn Eigenvektor von A, so ist Bv = 0 oder Bv Eigenvektor von A.

(b) Ist v ∈ Kn Eigenvektor von B, so laßt sich v als Summe gemeinsamer Eigenvektorenvon A und B darstellen.Hinweis : Kn ist direkte Summe der Eigenraume von A.

(c) Es gibt eine Basis von Kn aus gemeinsamen Eigenvektoren von A und B, d.h.A und B lassen sich simultan diagonalisieren.



26./27. Mai 2003




Sei A ∈ GL n(K). Zeigen Sie:

(a) Es gibt ein f ∈ K[X] mit f(0) = 0 und f(A) = E.(b) Es gilt A−1 ∈ K[A].


Seien A,B ∈ Mn(K). Zeigen Sie:

(a) Ist A nilpotent, so ist A genau dann diagonalisierbar, wenn A = 0 ist.

(b) Ist A nilpotent und AB = BA, so ist auch AB nilpotent.

(c) Sind A,B nilpotent und ist AB = BA, so ist auch A + B nilpotent.

Hinweis : Ist AB = BA, so gilt fur alle l ∈ IN: (A + B)l =l∑

k=0

(lk

)AkBl−k.


Sei V Vektorraum uber K mit dimK(V ) = n und f ∈ End K(V ).Weiter sei U ≤ V ein f–invarianter Unterraum und π : V → V/U der kanonische Epimorphis-mus. Zeigen Sie:

(a) f induziert einen Endomorphismus f : V/U → V/U mit f(v + U) = f(v) + U .

(b) Ist BU eine Basis von U erganzt zu einer Basis B von V mit MB(f) =

(C1 ?0 C2

),

wobei C1 = MBU(f |U) ist, dann ist C2 = MB(f), fur B := π(B \BU).

(c) Ist f trigonalisierbar, so ist f trigonalisierbar. Gilt auch die Umkehrung?


Es sei f = fA ∈ End IR(IR6) mit A =

0 1 −2 −1 1 10 −1 2 1 −1 −11 0 2 1 −1 −10 0 −1 −1 1 10 0 0 0 −1 −10 0 0 0 1 1

∈ M6(IR).

(a) Zeigen Sie, dass f nilpotent ist und bestimmen Sie Nilpotenzindex und µf ∈ IR[X].

(b) Bestimmen Sie KernAi und dim KernAi fur i = 0, . . . , 6.

(c) Bestimmen Sie eine Partition λ von 6 mit A ∼ Jλ und das zugehorige Young–Diagramm.

(d) Bestimmen Sie eine Jordanbasis B von IR6 mit MB(f) = Jλ,bzw. ein S ∈ GL 6(IR) mit S−1AS = Jλ.


Seien A ∈ Mn(C) und S ∈ GL n(C). Zeigen Sie:

Gibt es ein λ ∈ C mit S−1AS = λA, dann ist |λ| = 1 oder A nilpotent.



2./3. Juni 2003


Abgabe: 16./17. Juni 2003 vor der Ubung


Gegeben seien folgende Matrizen aus M4(C):

M1 =

i 1 0 00 i 0 00 0 −i 10 0 0 −i

, M2 =

0 −1 1 01 0 0 10 0 0 −10 0 1 0

, M3 =

0 0 0 −11 0 0 00 1 0 −20 0 1 0

.

(a) Begrunden Sie die Ahnlichkeit obiger Matrizen uber C, sowiedie Ahnlichkeit von M2 und M3 uber IR.

(b) Sei A := {a1, a2, a1, a2} Basis von C4 und f ∈ End C(C4) mit MA(f) = M1.

Bestimmen Sie Basen B, C von C4 mit MB(f) = M2 und MC(f) = M3.


Bestimmen Sie Jordansche Normalform und Jordan–Chevalley–Zerlegung folgender Matrizen,geben Sie auch die multiplikative Jordan–Chevalley–Zerlegung von B an:

A =

−2 0 −1 0

0 −1 0 02 0 1 00 1 0 −1

∈ M4(IR), B =

14 −5 32 7 32 1 9

∈ M3(IR).


Sei 0 6= A ∈ Mn(K) und r =RangA. Zeigen Sie:

A2 = A (d.h. A ist eine Projektion) ⇐⇒ A ∼ Er ⊕On−r.

In diesem Fall gilt χA = (X − 1)rXn−r, µA = (X − 1)X und SpurA = r.


Seien |K| = ∞ und A, B ∈ Mn(K). Zeigen Sie:

Ist B nilpotent, dann ist χA = χA+B.

Hinweise : Sei λ ∈ K mit χA(λ) 6= 0. Zeigen Sie

(1) (λE − A)−1B =: B ist nilpotent, (2) det(E − B) = 1, (3) χA+B(λ) = χA(λ).


Sei A ∼ Jn(a) =

a 1 0. . . . . .. . . 10 a

∈ Mn(K).

Bestimmen Sie die Jordan sche Normalform von

(A A0 A

)∈ M2n(K).

Hinweis : Setzen Sie zunachst K = IR und uberlegen Sie dann, welche Fallunterscheidungbei endlicher Charakteristik von K zu beachten ist.



16./17. Juni 2003


Abgabe: 23./24. Juni 2003 vor der Ubung


Gegeben seien der affine Raum A = IR3 mit Koordinatensystem K = (P0, P1, P2, P3) und denaffinen Unterraumen

Ui = {P ∈ A | Koordinatenvektor p bzgl. K von P erfullt Aip = bi}, i = 1, 2, 3 mit

A1 = (2,−2, 1) ∈ M1,3(IR) , b1 = 5 ∈ IR1,A2 = (1,−1, 1) ∈ M1,3(IR) , b2 = 3 ∈ IR1,

A3 =(

2 0 12 1 1

)∈ M2,3(IR) , b3 =

(55

)∈ IR2.

Bestimmen Sie fur 1 ≤ i 6= j ≤ 3

(a) die zugehorigen Unterraume Ui von IR3,

(b) die affinen Unterraume Ui ∩ Uj und Ui ∨ Uj , ihre Dimensionen und zugehorigenUnterraume von IR3 und bestatigen Sie den Dimensionssatz fur affine Unterraume.

(c) Bestimmen Sie dim((U1 ∩ U2) ∨ U3) mittels Dimensionssatz.


Seien A, B affine Raume uber demselben Vektorraum V und α : A → B affin. Zeigen Sie

(a) Ist U affiner Unterraum von A, dann ist α(U) affiner Unterraum von B.

Ist U 6= ∅, so ist Vα(U) =∧α VU .

(b) Ist W affiner Unterraum von B, dann ist−1α (W) = {P ∈ A | α(P ) ∈ W} affiner

Unterraum von A. Ist−1α (W) 6= ∅, so ist V−1

α (W)=

∧α−1

(VW).

(c) Sind U , U ′ parallele Unterraume von A, so sind α(U), α(U ′) parallel.

(d) Sind W , W ′ parallele Unterraume von B, so sind−1α (W),

−1α (W ′) parallel.


Gegeben seien die affine Ebene A = IR2 mit Koordinatensystem K = ((0, 0), (1, 0), (0, 1)) undfolgende Affinitaten von A:

ρ : Drehstreckung um den Winkel ω, Drehzentrum (0, 0), Streckfaktor a > 0,τ : Translation um t,δ : Drehung um den Winkel ω, Drehzentrum Z,σ : Streckung um den Faktor a > 0, Streckzentrum S.

Zeigen Sie:

Zu gegebenen ρ 6= id und τ existieren δ, σ mit τ · ρ = σ · δ und zu gegebenen δ, σ existieren ρ, τmit σ · δ = τ · ρ.


Sei A die affine Ebene uber K, sei P ∈ A und seien g1, g2, g3 drei verschiedene Geraden in Adurch P . Ferner seien Pi, Qi ∈ gi, Pi 6= P 6= Qi fur i = 1, 2, 3 sechs verschiedene Punkte von A.Zeigen Sie:

Sind sowohl P1 ∨ P2 und Q1 ∨Q2 als auch P1 ∨ P3 und Q1 ∨Q3 parallel, so sind auch P2 ∨ P3

und Q2 ∨Q3 parallel.


P, Q, R seien drei nicht kollineare Punkte des affinen Raumes A = IR2.

Zeigen Sie:

Ist P ′ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden von <) (R, P,Q) mit der gegenuberliegendenDreiecksseite, so gilt

TV (QRP ′)

TV (RQP ′)=

TV (RP ′Q)

TV (QP ′R)=||−→PQ ||

||−→PR ||

.



23./24. Juni 2003


Abgabe: 30. Juni / 1. Juli vor der Ubung


Sei A = IR3 der affine Raum und seien A,B, C ∈ A nicht kollinear und P ∈ A.

Zeigen Sie:

(a) Sind A′, B′, C ′ ∈ A mit TV (AC ′B) = TV (BA′C) = TV (CB′A) = 2, dann schneiden sich(A ∨ A′), (B ∨B′), (C ∨ C ′) in einem Punkt S (geometr. Schwerpunkt des Dreiecks ABC)

und es gilt−→PS= 1

3(−→PA +

−→PB +

−→PC).

(b) TV (ASA′) = 32 .


Seien A = IR3 der euklidisch–affine Raum, A,B, C ∈ A nicht kollinear und

M ∈ A : Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ABC, [siehe Stundenubung],H ∈ A : Schnittpunkt der Hohen des Dreiecks ABC, [siehe Stundenubung],S ∈ A : Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC, [siehe Aufgabe 56].

Zeigen Sie:

(a) M, S,H sind kollinear (Euler sche Gerade),

(b) TV (MSH) = 3.

Hinweis : Zeige M ist Umkreismittelpunkt und

setze a :=−→MA, b :=

−→MB, c :=

−→MC, also ||a|| = ||b|| = ||c||.


Zeigen Sie: Jede Kongruenz des affinen Raumes A = IR2 ist Produkt von hochstens drei Gera-denspiegelungen.

Hinweis : LA 1, Aufgabe 39


Die Quadrik Fc = {P ∈ A = IR3 | Qc(x) = 0} sei durch die quadratische Form

Qc = −x21 − x2

2 + 2x23 + 6x1x2 + c gegeben.

(a) Bestimmen Sie die Normalform ihrer Kongruenzklasse, bzw. ihrer Ahnlichkeitsklasse.

(b) Bestimmen Sie die Hauptachsen (Drehmatrix aus Eigenvektoren).

(c) Was ergibt sich speziell fur c ∈ {−2, 0, 2}?(c) Skizzieren Sie F−2,F0,F2.


Gegeben sei der affine Raum A = ZZn2 . Bestimmen Sie die Ordnung der affinen Gruppe Aff (A).



30. Juni / 1. Juli 2003


Aufgabe 61

Zeigen Sie: Das einschalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid haben folgende Ei-genschaft: Durch jeden Punkt der Quadrik gehen zwei verschiedene Geraden, die ganz in derQuadrik liegen.

Aufgabe 62

Seien G1 : x = a1 + rb1, r ∈ IR und G2 : x = a2 + sb2, s ∈ IR zwei winschiefe Geraden im IR3

und fur festes t ∈ IR sei Gt die Gerade durch die beiden Punkte a1 + tb1 und a2 + tb2.

Zeigen Sie:⋃

t∈IR

Gt ist ein hyperbolisches Paraboloid.

Modell zur Ubertragung von Drehungen mittelszweier einschaliger Hyperboloide

Das einschalige Hyperboloid ist eine Regelflache .

Dank dieser Eigenschaft konnen zwei einschalige Hyperboloide ahnlich wie zwei Kegel (Ke-gelrader ) in der Technik zur Ubertragung von Drehungen einer Welle auf eine beliebige andersgerichtete Welle verwendet werden (hyperbolische Zahnrader ).

Aufgabe 63

Sei dim V < ∞. Zeigen Sie:

(a) Sind X1, X2 projektive Unterraume von IP(V ) mit dim X1 + dim X2 ≥ dim IP(V ),dann gilt X1 ∩X2 6= ∅.

(b) Ist L eine projektive Gerade und H eine projektive Hyperebene in IP(V ) mit L ⊆/ H,dann schneiden sich L und H in genau einem Punkt P ∈ IP(V ).

(c) Zwei projektive Geraden in IP2(K) schneiden sich stets.

Klausur: Samstag, den 19. Juli 2003 von 8.15 bis 10.45 Uhr im Audi Max

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