linea elastica

Lequazione differenziale della linea elastica

Pagina 1 di 13

LEQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA1. BREVI RICHIAMI SULLA TEORIA DELLE TRAVI INFLESSE Si consideri un tratto di trave di lunghezza dx soggetto ad un carico ripartito di valore q e si indichino con T ed M, lo sforzo di taglio ed il momento flettente nella generica sezione A e T1 ed M1 le analoghe caratteristiche della sollecitazione nella sezione B posta a distanza dx dalla sezione A..

Figura 1 I valori di T1 ed M1 sono rispettivamente: T1 = T + dT M1 = M + dM ovvero T1 = T + q dx ovvero M1 = M + T dx q dx dx/2 dT = - q dx e dM = T dx

Essendo "q dx il carico agente nel tratto AB. Se si trascura linfinitesimo del 2 ordine si ottiene: Da cui si ricavano le note e fondamentali relazioni tra il carico q, lo sforzo di taglio T ed il momento flettente M:

dT = q (1) dx

dM =T (2) dx

d2M =-q ovvero dx 2 (3)

La derivata dello sforzo di taglio cambiata di segno uguale al carico agente. La derivata del momento flettente uguale allo sforzo di taglio. La derivata seconda del momento flettente cambiata di segno uguale al carico agente. Dalle relazioni (1) e (2) derivano le seguenti considerazioni: 1) nei tratti di trave scarichi cio per q=0 lo sforzo di taglio costante (T = cost) ed il momento flettente variabile con legge lineare; 2) nei tratti di trave caricati con carico ripartito cio per q0 lo sforzo di taglio T ed il momento flettente M sono variabili con continuit. In particolare, se il carico q ripartito con legge uniforme, lo sforzo di taglio variabile con legge lineare ed il momento flettente variabile con legge parabolica del 2 grado; se il carico q linearmente variabile (carichi triangolari o trapezoidali), lo sforzo di taglio variabile con legge parabolica del 2 grado ed il momento flettente variabile con legge parabolica del 3 grado; 3) . dalla relazione (2) si deduce che nei tratti di trave dove T = 0, il momento flettente costante; nei tratti di trave dove M = cost, lo sforzo di taglio nullo; nei tratti di trave dove T 0, il momento flettente variabile. Ci significa che la sollecitazione tagliante sempre compresente con la sollecitazione flettente e che la sollecitazione di solo taglio si verifica solo in alcune sezioni isolate (ad esempio in corrispondenza degli appoggi nelle travi appoggiate-appoggiate); nelle sezioni in cui si annulla lo sforzo di taglio, il momento flettente massimo. Si evidenzia che lestremo relativo della funzione M(x) massimo e non minimo in quanto la derivata seconda del momento flettente negativa (cfr. la relazione (3)).

http://www.itimarconi.ct.it/Sezioni/didatticaonline/edile/Costruzioni/Linea%20elastic... 06/02/2006


Pagina 2 di 13

4)

nei tratti di trave compresi tra due carichi concentrati, lo sforzo di taglio T ed il momento flettente M si determinano con le relazioni

T = - q dx + C1

M = T dx + C 2

essendo C1 e C2 le costanti di integrazione che si determinano imponendo le condizioni al contorno. 2. LA DEFORMAZIONE DELLE TRAVI SOGGETTE A FLESSIONE Si consideri una trave ad asse rettilineo ed a sezione costante soggetta alle estremit a due coppie uguali e contrarie di intensit M agenti lungo il piano di sollecitazione contenente lasse geometrico della trave.

Figura 2 Si supponga che la sezione trasversale della trave sia simmetrica rispetto allasse di sollecitazione s-s (si ricorda che lasse di sollecitazione dato dallintersezione del piano di sollecitazione con il piano della sezione trasversale). Considerato lo schema di carico, ogni sezione della trave sollecitata soltanto da momento flettente di valore costante M. In queste condizioni la trave si inflette e la deformazione di ciascun tratto di trave costante essendo costante M; lasse geometrico della trave si trasforma in arco circolare di centro O contenuto in un piano detto piano di flessione coincidente con il piano di sollecitazione; le fibre che stanno nella parte superiore si accorciano (fibre compresse), mentre quelle che stanno nella parte inferiore si allungano (fibre tese); altre fibre conservano la lunghezza originaria. Esse giacciono su un piano cosiddetto piano neutro. Esso si definisce come il luogo delle fibre che non sono n tese n compresse e sono caratterizzate da una stato tensionale nullo. Lintersezione del piano neutro con il piano della sezione trasversale determina lasse neutro. Consideriamo una generica sezione trasversale retta. Indichiamo con x la tensione relativa allelemento di area dA distante y dallasse neutro.



Pagina 3 di 13

Figura 3 Linsieme degli sforzi x dA che una parte della trave (per esempio la parte destra) trasmette allaltra parte attraverso la sezione considerata deve essere in equilibrio con le forze esterne che agiscono sulla parte sinistra, cio la coppia M. Ci significa che la somma degli sforzi x dA deve risultare uguale a zero e la somma dei momenti x dA *y rispetto allasse neutro deve risultare uguale a M:

x dA = 0

(4)

y * x dA = M

(5)

Come noto, la teoria della flessione si regge su un insieme di ipotesi, fra cui: la legge di conservazione delle sezioni piane di Bernoulli-Navier; validit della legge di Hooke: x = E x La tensione x direttamente proporzionale alla distanza y dallasse neutro e risulta uguale a: x = * y essendo la tensione a distanza y = 1. Sostituendo la (6) nella (4) si ottiene: La quantit (6)

A y dA = 0

da cui

A y dA = 0

A y dA rappresenta il momento statico dellarea rispetto allasse neutro. Pertanto, resta

dimostrato che lasse neutro baricentrico. Sostituendo la (6) nella (5) si ottiene: Essendo2

A y 2 dA = M

da cui

=

M J

(7)

A y dA il momento dinerzia della sezione rispetto allasse neutro.

Sostituendo la (7) nella (6) si ottiene la relazione di Navier che regge il problema della flessione retta

x =Dalla figura 3, si ricava:

M*y J

(8)

1+ x r + y = 1 r

e sviluppando e semplificando

x =

y r

e sostituendo nella relazione che esprime la legge di Hooke (x = E x) si ottiene

y r (9) 1 Confrontando la (9) con la (8) si ottiene la curvatura r (che rappresenta la rotazione di due sezioni

x =E

consecutive poste a distanza unitaria):

1 M = = r EJ

(10)



Pagina 4 di 13

La quantit EJ che figura al denominatore della frazione si chiama modulo di rigidezza a flessione. Moltiplicando la rotazione per la luce della trave si ottiene la rotazione totale della sezione iniziale (x=0) della trave rispetto alla sezione finale (x = l):

= *l = M dx EJ

M*l EJ

Se il momento flettente M variabile lungo la trave, langolo d di un tratto di trave di lunghezza dx pari a:

d =

Pertanto la rotazione totale sar uguale a

0

l

M dx EJ

3. LEQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA La linea elastica una curva che rappresenta la forma assunta dallasse della trave a deformazione avvenuta.

Consideriamo due punti A e B situati sulla linea elastica posti a distanza ds. Indicando con langolo formato dalla tangente in A alla curva con lasse delle X. d langolo al centro dellarco AB O il centro di curvatura ed r il raggio di curvatura

Si ha: ds = r d

e quindi

1 d = r ds

Il secondo membro riportato in valore assoluto perch il segno dipende dal sistema di riferimento assunto. Nel caso in cui il sistema di riferimento viene assunto facendo coincidere lorogine con linizio della trave, lasse delle ascisse coincidente con lasse geometrico nella configurazione indeformata e lasse delle ordinate positivo verso il basso, lequazione che esprime la curvatura della trave si scriver:

d 1 =r dsPertanto, posto ds dx;

(11) (12)

Considerate le dimensioni piccolissime lecito confondere ds con dx. tg = dy/dx



Pagina 5 di 13

E sostituendo questi valori nella (11) si ottiene Confrontando la (13) con la (10) si ottiene:

d2y 1 =- 2 r dx d2y = -M dx 2

(13)

EJ

(14)

La (14) rappresenta lequazione differenziale della linea elastica. Nel caso di travi molto snelle, linflessione pu essere molto grande e le semplificazioni (12) non sono ammissibili. In tal caso necessario ricorrere allespressione esatta

dy = arctg dx Pertanto si ha:

dy d arctg 1 d dx dx == r ds dx dsSviluppando si ottiene:

1 =r

d2y dx 2 dy 2 2 1 + dx 3

dy Essendo la quantit dx molto piccola rispetto allunit, il suo quadrato risulta trascurabile e, pertanto, siricade nella (13) e, di conseguenza, nella (14). Deivando la (14) rispetto ad x, e tenuto conto della (2) e della (3), si ottiene:

EJ EJ

d3y = -T dx 3 d y =q dx 44

(15)

(16)

3.1 LA TRAVE APPOGGIATA APPOGGIATA CON CARICO UNIFORMEMENTE RIPARTITO

Il momento flettente nella generica sezione x uguale a:



Pagina 6 di 13

M=

q l x q x2 2 2ql qx 2

(A)

(legge di variazione: parabola del 2 ordine)

mentre lo sforzo di taglio, nella stessa sezione, uguale a:

T=

(A)

(legge di variazione: lineare)

Sostituendo nella (14) si ottiene:

EJ

d2y q l x q x2 =+ 2 2 dx 2

(B)

Moltiplicando ambo i membri per dx ed integrando, si ottiene:

dy q l x2 q x3 EJ =+ + C1 dx 4 6Integrando una seconda volta, si ottiene

(C)

EJ y = -

q l x3 q x4 + + C1 x + C 2 12 24

(D)

Per determinare le costanti di integrazione imponiamo le condizioni al contorno. Considerata la simmetria di carico e di geometria, la rotazione in mezzeria (x=l/2) nulla in quanto la tangente orizzontale. Pertanto dalla (C), essendo la rotazione dy/dx = 0, si ottiene:

ql l q l 0= + + C1 4 2 6 2

2

3

da cui

C1 =

q l3 24

Dalla (D), osservando che in corrispondenza dellappoggio A (x=0) labbassamento uguale a zero, si ottiene C2 = 0 Sostituendo nellequazione (C) il valore di C1 si ottiene la legge di variazione delle rotazioni lungo la trave:

(x) =

q (4 x 3 6 l x 2 + l 3 ) 24 EJ q (l 3 x - 2 l x 3 + x 4 ) 24 EJ

(E)

Dallequazione (D), si ricava lequazione della linea elastica della trave analizzata:

y(x) =

(F)

Labbassamento massimo si verifica in mezzeria (x = l/2). Sostituendo nella (F) il valore x = l/2, si ottiene:

y=

5 q l4 384 EJ

La rotazione massima si verifica in corrispondenza degli appoggi A (; x=0) e B (; x=l). Sostituendo nella (E), si ottiene

q l3 = = 24 EJ3.2 LA TRAVE A SBALZO CON CARICO UNIFORMEMENTE RIPARTITO



Pagina 7 di 13

Il momento flettente nella generica sezione x uguale a:

M=-

q x2 2

(A)

(legge di variazione: parabola del 2 ordine)

Sostituendo nella (14) si ottiene:

EJ

d2y q x2 = 2 dx 2 dy q x 3 = + C1 dx 6 q x4 + C1 x + C 2 24

(B)


EJIntegrando una seconda volta, si ottiene

(C)

EJ y =

(D)

Per determinare le costanti di integrazione imponiamo le condizioni al contorno. Osserviamo che in corrispondenza dellincastro B (x=l) devono essere nulli tanto labbassamento quanto la rotazione.

Dalla (C), per x= l si ottiene:

0= 0=

q l3 + C1 da cui segue 6

C1 =

q l3 6 C2 = q l4 8

Dalla (D), per x= l si ottiene: Sostituendo nellequazione (C) il valore di C1 si ottiene la legge di variazione delle rotazioni lungo la trave:

q l4 q l3 l + C2 da cui segue 24 6q ( x 3 l3 ) 6 EJ

(x) =

(E)


y(x) =

q (3 l 4 - 4 l 3 x + x 4 ) 24 EJ

(F)

Labbassamento massimo si verifica allestremo libero (x = 0). Sostituendo nella (F) il valore x = 0, si ottiene:

q l4 y= 8 EJLa rotazione massima si verifica allestremo libero (x = 0). Sostituendo nella (E), si ottiene



Pagina 8 di 13

=

q l3 6 EJ

3.3 LA TRAVE A SBALZO CON CARICO CONCENTRATO NELLESTREMO LIBERO

Il momento flettente nella generica sezione x uguale a: (A) (legge di variazione: lineare) M=-Px Sostituendo nella (14) si ottiene:

d2y EJ 2 = P x dxMoltiplicando ambo i membri per dx ed integrando, si ottiene:

(B)


dy P x 2 = + C1 dx 2

(C)

P x3 EJ y = + C1 x + C 2 6

(D)

Per determinare le costanti di integrazione imponiamo le condizioni al contorno. Osserviamo che in corrispondenza dellincastro B (x=l) devono essere nulli tanto labbassamento quanto la rotazione.

Dalla (C), per x= l si ottiene:

0=

P l2 + C1 da cui segue 2

C1 =

P l2 2

Dalla (D), per x= l si ottiene: Sostituendo nellequazione (C) il valore di C1 si ottiene la legge di variazione delle rotazioni lungo la trave:

P l3 P l 2 0= l + C2 da cui segue 6 2

P l3 C2 = 3

(x) =

P ( x 2 l2 ) 2 EJ P (x 3 3 l 2 x + 2 l 3 ) 6 EJ

(E)


y(x) =

(F)




Pagina 9 di 13

y=

P l3 3 EJ P l2 2 EJ

La rotazione massima si verifica allestremo libero (x = 0). Sostituendo nella (E), si ottiene

=

3.4 LA TRAVE A SBALZO CON COPPIA APPLICATA NELLESTREMO LIBERO

Il momento flettente costante in tutte le sezioni della trave: M=-M (A) (legge di variazione: costante) Sostituendo nella (14) si ottiene:

EJ

d2y =M dx 2dy = M x + C1 dx

(B)



(C)

M x2 EJ y = + C1 x + C 2 2

(D)

Per determinare le costanti di integrazione imponiamo le condizioni al contorno. Osserviamo che in corrispondenza dellincastro B (x=l) devono essere nulli tanto labbassamento quanto la rotazione. Dalla (C), per x= l si ottiene:

0 = M l + C1 da cui segueMl 0= M l2 + C2 22

C1 = M lM l2 C2 = 2

Dalla (D), per x= l si ottiene: da cui segue Sostituendo nellequazione (C) il valore di C1 si ottiene la legge di variazione delle rotazioni lungo la trave:

(x) =

M ( x l) EJ M (x 2 2 l x + l 2 ) 2 EJ

(E)


y(x) =

(F)



Pagina 10 di 13


y=

M l2 2 EJMl EJ

La rotazione massima si verifica allestremo libero (x = 0). Sostituendo nella (E), si ottiene

=

3.5 LA TRAVE APPOGGIATA APPOGGIATA CON CARICO CONCENTRATO

In questo caso lespressione del momento flettente diversa nei due tratti di trave AC e CB. Reazioni vincolari: Tratto AC:2

Va =

Pb la

x

Pa l Pb M= x l Vb =(A)

sostituendo

nella

(14)

si

ha:

EJ

d y Pb =x 2 l dxCB:2

Tratto

x

a

M=

Pb x - P(x - a) l

sostituendo

nella

(14)

si

ha:

EJ

d y Pb =x + P(x - a) 2 l dxEJ

(B)

Integrando le (A) e (B), si ottiene: Tratto AC: x a

dy Pb 2 =x +C dx 2l

(A1)2

Tratto CB: x a

EJ

dy P b 2 P(x - a) =x + + C1 dx 2l 2

(B1)

Considerato che i due tratti della linea elastica devono avere la tangente in comune nel punto di applicazione del carico P, le costanti di integrazione C e C1 devono essere uguali. Posto C = C1 ed integrando una seconda volta, si ottiene: Tratto AC: x a

EJ y = -

Pb 3 x + C x + C2 6l

(A2)



Pagina 11 di 13

Tratto CB: x a

EJ y = -

P b 3 P(x - a) 3 x + + C x + C3 6l 6

(B2)

Considerato che i due tratti della linea elastica devono avere lo stesso abbassamento nel punto di applicazione del carico P, le espressioni (A2) e (B2) devono essere uguali per x = a. Ci comporta che le costanti di integrazione C2 e C3 risultino uguali. Pertanto, il problema si riduce a determinare solo due costanti di integrazione: C e C2. Esse si calcolano imponendo le condizioni al contorno che, nel caso specifico, consistono nellimporre la nullit degli abbassamenti in corrispondenza degli appoggi, cio per x = 0 e per x = l. Dalla equazione (A2), imponendo y = 0 in corrispondenza dellascissa x=0, si ha: anche C3 = 0 Dalla equazione (B2), imponendo y = 0 in corrispondenza dellascissa x=l, si ha: C2 = 0 e quindi

0=-

P b 3 P(l - a) 3 l + +Cl 6l 6 P b l P b 3 P b(l 2 b 2 ) = 6 6l 6l

0=-

P b 2 P b3 l + +Cl 6 6

da

cui

segue

C=

Sostituendo i valori trovati nelle (A2) e (B2) si ottengono le leggi di variazione della linea elastica nei due tratti di trave: Tratto AC: x a

y=y=-

P b 3 P b(l 2 b 2 ) x + x 6 l EJ 6 l EJ P b 3 P(x - a) 3 P b(l 2 b 2 ) + x + x 6 l EJ 6 EJ 6 l EJ

(A3)

Tratto CB: x a

(B3)

Lequazione (A3) consente di calcolare gli abbassamenti nel tratto AC, mentre la (B3) consente di calcolare gli abbassamenti nel tratto CB. Sostituendo i valori trovati nelle (A1) e (B1) si ottengono le leggi di variazione delle rotazioni nei due tratti di trave: Tratto AC: x a

dy P b 2 P b(l 2 b 2 ) x + =dx 2 l EJ 6 l EJ dy P b 2 P(x - a) P b(l b ) =+ x + dx 2 l EJ 2 EJ 6 l EJ2 2 2

(A4)

Tratto CB: x a

(B4)

Lequazione (A4) consente di calcolare le rotazioni nel tratto AC, mentre la (B4) consente di calcolare le rotazioni nel tratto CB. Le rotazioni nelle sezioni di estremit A e B valgono rispettivamente:

=

P b(l 2 b 2 ) dy = 6 l EJ dx x =0 P b 2 P(l - a) 2 P b(l 2 b 2 ) dy l + =+ 2 l EJ 2 EJ 6 l EJ dx x =l da cui, sviluppando e mettendo a fattor comune,

=

=si ha:

Pab dy (l + a ) =6 l EJ dx x =l

Labbassamento massimo si ha nel punto in cui la tangente alla linea elastica orizzontale. Se a > b come nel caso in figura labbassamento massimo si ha nel tratto di sinistra AC sufficiente porre uguale a zero lequazione (A4) che rappresenta la derivata prima della (A3):

P b 2 P b(l 2 b 2 ) x + =0 2 l EJ 6 l EJ

Pb (- 3 x 2 + l 2 b 2 ) = 0risolvendo l e 6 l EJ



Pagina 12 di 13

lequazione

3 x 2 l2 + b2 = 0

x=si ottiene

l2 - b2 3

Pertanto, labbassamento massimo si ottiene sostituendo nellequazione (A3) alla x il valore trovato:

y max = (y )x =

l b2

2

=

P b l2 b2 9 3 l EJ

(

)

3

3

Se il carico applicato in mezzeria, labbassamento massimo si avr in mezzeria. Per determinare il valore basta porre b = l/2 nella relazione che esprime ymax

y max = ( y )x =l/2; a = b =

P l3 48 EJ

3.6 LA TRAVE A SBALZO CON CARICO CONCENTRATO IN UN PUNTO GENERICO

Quando il carico applicato in un punto generico C distante b dallincastro, il tratto CB si inflette, mentre il tratto AC non si deforma e rimane rettilineo. Per risolvere il problema possiamo applicare i risultati ottenuti al punto 3.3.

P b 2 P (l - a) 2 = = 2 EJ 2 EJLabbassamento massimo si ottiene facilmente mediante la relazione Utilizzando i risultati di cui al punto 3.3, si ottiene:

y max = y C + * a

y max =ha:

P b3 P b2 + a da cui, 3 EJ 2 EJ P y max = (2 l 3 3 l 2 a + a 3 ) 6 EJ

sviluppando

e

mettendo

a

fattor

comune

si

4. CONCLUSIONI Il metodo di calcolo presentato estensibile ad altre situazioni di vincolo e di carico. Casi pi complessi possono essere facilmente risolti applicando il principio di sovrapposizione degli effetti.


linea elastica

Documents

Transcript of linea elastica