Conceptualización intuitiva de límite

Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número A por ambos lados, entonces decimos que "el límite de f(x) es L cuando x tiende a A"

Lim f(x)=L

x— A Conceptualización básica de límite

Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo. Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite). Otras ocasiones, la función está definida en un punto, pero puede aproximarse a un límite diferente. Hay muchas, muchas veces donde el valor de la función es el mismo que el del límite en el punto. De cualquier manera, esto es una poderosa herramienta cuando comenzamos a pensar en la pendiente de una recta tangente a una curva.

Formas indeterminadas

Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la

función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de .

Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.

Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que

El cálculo de este límite surge por simple sustitución, esto se debe a que la función afín es continua.

Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Ejercicio

lim𝑥−2

𝑥2 + 2𝑥 − 8

𝑥2 − 4=

(𝑥 + 4)(𝑥 − 2)

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) =

𝑥 + 4

𝑥 − 2=

2 + 4

−2 − 2=

6

0= 6

LÍMITE DE FUNCIONES Y ASINTOTAS

Límites al infinito.

Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes. Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Limites finitos

Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b]. [a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b }

Forma indeterminada

En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual

x f(x)

100 1,0x10-4

1.000 1,0x10-6

10.000 1,0x10-8

100.000 1,0x10-10

1.000.000 1,0x10-12

tiende se generan indeterminaciones del tipo . El resultado de estos límites no puede antici finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.

La indeterminación

La indeterminación

La indeterminación

La indeterminación

Límites de las funciones trigonométricas

¿Qué es un límite? Son los valores que toma una función dentro de un intervalo que se van aproximando a un punto fijo c. Se dice que el límite de la función f (x) es L cuando x

tiende a c y se escribe:

Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen los siguientes límites de funciones trigonométricas:

Cuando calculamos límites de funciones trigonométricas es necesario recordar las siguientes identidades básicas:

1. Sen 2 x + Cos 2 x = 1 2. Tan x = Sen x/Cos x 3. Cot x = 1/tan x = Cos x/Sen x 4. Sec x = 1/Cos x 5. Csc x = 1/Sen x 6. Sen (α + β) = Sen α Cos β + Cos α Sen β 7. Sen (α – β) = Sen α Cos β – Cos α Sen β

8. Tan (α + β) = (Tan α + Tan β)/ 1 – Tan α Tan β 9. Tan (α – β) = (Tan α – Tan β)/ 1 + Tan α Tan β 10. Sen 2α = 2 Sen α Cos α 11. Cos 2α = Cos 2 α – Sen 2 α = 2Cos 2 α – 1 = 1 – Sen 2 α 12. Tan 2α = 2 Tan α / 1 – Tan 2 α

Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que son de gran utilidad al evaluar límites de funciones trigonométricas:

1. Límite especial 1

Si medimos el ángulo θ en radianes y sabiendo que nuestro denominador no puede ser cero, realizamos una tabla de valores con valores próximos a cero:

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -0.01 0 .01 0.1 0.2 0.2 0.4

0.973 0.985 0.993 0.998 0.999 f (x) 0.999 0.998 0.993 0.985 0.973

Podemos deducir entonces que:

2. Segundo límite especial

Recordando que el coseno de cero grados vale 1, obtendríamos una indeterminación 0/0, entonces para eliminar la determinación multiplicamos por su conjugada y aplicamos las identidades:

EJEMPLO

Limites unilaterales

Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.

Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 4, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe, dé la razón:

S o l u c i o n e s

Límite de una función

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

El límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x f(x)

1,9 3,61

1,99 3,9601

1,999 3,996001

... ...

↓ ↓

2 4

x f(x)

2,1 4.41

2,01 4,0401

2,001 4,004001

... ...

↓ ↓

2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición − x0| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:

1. Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

2. Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales). Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Para que haya asíntota oblicua se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador.

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Continuidad

Una función es discontinua en un punto, x = a, si:

1. El punto, x = a, no tiene imagen.

La función es discontinua en x = 2 porque no existe imagen.

2. Que no exista el límite de la función en el punto x = a.

La función es discontinua en x = 2 porque no tiene límite.

3. Que la imagen del punto no coincida con el límite de la función en el punto.

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.

Continuidad en un intervalo

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.

Ejemplo. en el intervalo (–1, 1).

Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto

al intervalo, la función es continua en el intervalo (–1,1).

Ejemplo. en el intervalo (–2, 2).

A continuación se analiza lo que sucede para cada valor:

En

(indeterminado)

La función no está definida en este punto.

Como f(x) no está definida 1 pero existe el límite para x 1, la función presenta una discontinuidad evitable en 1.

En

no existe

Como no existe el la

función presenta una discontinuidad

Continuidad de una función en un intervalo cerrado La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un punto.

Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si

y es continua a la izquierda de a si .

Definición. Se dice que f(x) es continua en [a, b] sí y sólo sí

a) f(x) es continua en (a, b)

b) (continua a la derecha de a)

c) (continua a la izquierda de b)

Ejemplo. es continua en el intervalo [–3, 3].

– x2 e

. La primera es una función polinomial, definida para todo número real y la segunda es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales no negativos. Por lo tanto, el dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales tales que 9 – x2 intervalo cerrado [–3, 3].

La gráfica de la función f(x) es la siguiente:

En la gráfica puede observarse que la función f(x) es continua en cada número

Además:

y

Esto implica que la función es continua a la derecha de –3 y es continua a la

es continua en [–3, 3] Discontinuidad

Si alguna de las tres condiciones continuidad de no se cumple, la función es discontinua en un punto.

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.

La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden los límites laterales..

La función es discontinua porque en x = 2 no coincide la imagen con el límite.