Bloque TemáticoLímites y Continuidad

Concepto Límite y NotaciónLímites LateralesExistencia del Límite

Facilitador: Saúl Olaf Loaiza Meléndez

Apertura: Evaluación DiagnósticaEsta evaluación te servirá a ti y a tu profesor para identificar los aprendizajes adquiridos hasta el momento, así como los necesarios para el estudio de los contenidos de este bloque temático.

APERTURA: Evaluación DiagnósticaSi , hallar:Ejercicio #1 Ejercicio #2 Ejercicio #3 Ejercicio #4 En la siguiente función, realice la gráfica cuando x=-4,-3,-2,1,6: 5 Trace la gráfica de la función, donde se observen las intersecciones de x, es decir cuando

Competencia Específica

Utilizar la definición de límite de funciones para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y muestra gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

Introducción

Las dos grandes áreas del Cálculo, denominadas Cálculo Diferencial y Cálculo Integral, se basan en el concepto fundamental de límite. En este bloque, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo, centrado en la compresión de ¿qué es un límite?, mediante el uso de ejemplos utilizando un proceso numérico, gráfico y analítico.

Idea intuitiva del límiteSea la función definida por la ecuación para toda Verificar el comportamiento de la función cuando x tiende a 2

X f(x)1.25

1.5

1.75

1.9

1.99

1.999

1.9999

X f(x)2.75

2.5

2.25

2.1

2.01

2.001

2.0001

Proceso Analítico Notas

Factorizando el trinomio de la forma Por agrupaciónRealizando la División entera

Aplicando las propiedades y teoremas de los límites

Propiedades de Linealidad

Teoremas Límites Básicos

Idea intuitiva del límiteDe la gráfica puede observarse que, aunque la función no esta definida para, cuando x toma valores muy cercano a 2 la función se aproxima a 5, lo que escribimos como:

Definición 1 Escriba

Que se expresa como: “el límite de cuando tiende , es igual a ”

Si podemos acercar arbitrariamente los valores de a (tanto como desee) escogiendo una lo bastante cerca de , pero no igual a

Definición 2 Definición informal

Si puede hacerse arbitrariamente próximo al número al tomar suficientemente cerca de, pero diferente de un número , por la izquierda y por la derecha de , entonces el límite de cuando tiende a a es .

Notación El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha representa la palabra tiende, entonces el simbolismo

Indica que x tiende al número a por la izquierda

Significa que x tiende a a por la derecha

Límites por dos ladosSi tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha existen y tienen un valor común.

Entonces:

Existencia o no existenciaLa existencia de un límite de una función f cuando x tiende a a, no depende de si f está definida en a, sino sólo de si está definida para x cerca del número a.

Por ejemplo:

Se observa aunque

Límite no existeEn general, el límite por los lados no existe cuando:Caso 1:Si alguno de los dos límites laterales o no existe.Caso 2:Si y , pero

ActividadDeterminar los siguientes límites, utilizando para ello la representación gráfica de la función g, que se da a continuación:

ActividadLa gráfica de la función definida por partes

1.9 1.99 1.999

2.1 2.01 2.001

ActividadLa gráfica de la función definida por partes

4.9 4.99 4.999

5.1 5.01 5.001

ActividadUna forma indeterminada

Se concluye:

ActividadUn límite trigonométrico importante

Se concluye:

‒0.1 ‒0.01 ‒0.001

0 0 0

0.1 0.01 0.001

0 0 0

ActividadUn límite por la derecha

Se concluye:

‒0.1 ‒0.01 ‒0.001

0.1 0.01 0.001

ActividadLímite trigonométrico

Se concluye:

‒0.1 ‒0.01 ‒0.001

0.1 0.01 0.001