LIMIT Aljabar Tak Hingga
-
Upload
fachroelz-nack-chackep -
Category
Documents
-
view
709 -
download
119
description
Transcript of LIMIT Aljabar Tak Hingga
LIMITLIMITLIMITLIMIT
Standar Kompetensi
• A.11 Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar :
• Menjelaskan secara intuitis arti limit fungsi disuatu titik dan tak hingga
Indikator :
• Menghitung limit fungsi aljabar di suatu titik dan di tak hingga.
Definisi Definisi Definisi Definisi
Definisi Limit :
Definisi Limit kanan :
Definisi Limit kiri :Definisi Limit kiri :
Teorema Limit
Jika n bilangan bulat positif, k konstanta :
1. Jika f(x) = k maka :Nilai limit fungsi konstanta adalah konstanta itu .
2. Jika f(x) = x maka :Nilai limit fungsi identitas adalah nilai pendekatan
peubahnya.
lim ( ) limx c x c
f x k k
lim ( ) limx c x c
f x x c c R
3. a. Penjumlahan :
Limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah
masing – masing limit fungsi .
b. Pengurangan
Limit selisih fungsi-fungsi sama dengan selisih
masing – masing limit fungsi .
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
4. Jika k suatu konstanta maka :
Limithasil kali konstanta dengan fungsi adalah hasil kali konstanta dengan limit itu.
lim . ( ) . lim ( )x c x c
k f x k f x
5. a. Perkalian:
Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali
masing – masing limit fungsi .
b. Pembagian
Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil
bagi masing – masing limit fungsi , dengan catatan pembagi tidak bolah sama dengan 0.
lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
lim ( )( )lim
( ) lim ( )x c
x cx c
f xf x
g x g x
6. a. Pangkat:
Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari
limit fungsi tersebut.
b. Akar
Limit akar pangkat n dari limit fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu, dengan catatan limit fungsi tidak negatif untuk n genap.
lim ( ) lim ( )n n
x c x cf x f x
lim ( ) lim ( )n nx c x c
f x f x
Penyelesaian :
Kompetensi Dasar :• A12.2 Menggunakan sifat limit
fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
Indikator :• Menggunakan sifat limit fungsi
untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar.
• Karakter : Ketekunan dan mandiri
Penyelesaian :1. Metode Substitusi2. Metode Pemfaktoran3. Metode Mengalikan dengan
sekawan
1.METODE SUBSTITUSI
43
123
268
12
22.32.2
1
232 22
2lim
x
xx
x
2. METODE PEMFAKTORAN
2
5 5
5
2
:
5 23 10
5 5
2
5 2 7
1:
3 10 0lim
5 0
lim lim
limx x
x
Dengan Metode Pemfaktoran
x xx x
x x
x
Contoh
x xBentuk TakTentu
x
2 4 2 4 2
2 2 20 0
6 4 3
4 20
:
3 2 3 2
5 5
0
50
2:
3 2 0lim
05
lim limx x
x
Dengan Metode Pemfaktoran
x x x x x x x
x x x
Contoh
x x xBentukTakTentu
x x
2
2
2
3
22
:
2 2 43
22 2
4 4 4
12
3:
8 0lim
03 2
lim2 2 48lim lim
( 2)( 1)3 2x
x
x
Dengan Metode Pemfaktoran
x x
x x
Contoh
xBentukTakTentu
x x
x x xxx xx x
3 3 3 23 33
3 38 8
2
23 3
38
:
2 2 42
3 2 28
( 8) 2 ( 8) 4
4 4 4
12
4:
8 0lim
02
8lim lim lim
2 x x
x
x
Dengan Metode Pemfaktoran
x x xx
x xx
Contoh
xBentuk TakTentu
x
x
x
3. METODE MENGALIKAN DENGAN SEKAWAN
3
3 3
2 23
3
3
1:
3 0
03
:
3 3 3.
3 3 3
3 3
3
3 3
3
3
3 3 2 3
lim
lim lim
lim
lim
lim
x
x x
x
x
x
Contoh
xBentuk Tak Tentu
x
Dengan Metode Mengalikan dengan Sekawan
x x x
x x x
x x
x
x x
x
x
2
23
2 2 2
2 2 23 3
2 2
22 23
2 2
23
2 2
23
3
2 :
9 0
07 4:
9 9 7 4.
7 4 7 4 7 4
9 7 4
7 4
9 7 4
7 16
9 7 4
9
lim
lim lim
lim
lim
lim
lim
x
x x
x
x
x
x
Contoh
xBentuk Tak Tentu
xDengan Metode Mengalikan dengan Sekawan
x x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x
2
2
7 4
3 7 4 4 4 8
x
Limit Fungsi yang tidak mempunyai limit
3
:
1...
3limx
Contoh
x
Jawab :
Dari Kiri Dari kanan
x f(x) x f(x)
2 -1 3,001 1.001
2,5 -2 3,1 10
2,9 -10 3,5 2
2,999 -1001 4 1
Kesimpulan :
• Jadi fungsi
tidak mempunyai limit
3
1...
3limx x
Indikator :• Menghitung limit fungsi aljabar di
suatu titik dan di tak hingga.
Teorema Limit di Tak Hingga
Jika n bilangan bulat positif, k konstanta :1. a.
b. 2. a.
b.
3.
1lim 0
nx x
lim n
xx
1lim 0
nx x
,lim
,n
x
n genapx
n ganjil
limxk k
Jika ada dan ada maka :1.
2. a. Penjumlahan :
b. Pengurangan
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x
f x g x f x g x
lim ( )x
f x
lim ( )x
g x
lim ( ) lim ( )x xk f x k f x
3. a. Perkalian:
b. Pembagian
dengan
lim ( ). ( ) lim ( ). lim ( )x x x
f x g x f x g x
lim ( )( )lim
( ) lim ( )x
xx
f xf x
g x g x
lim ( ) 0x
g x
4. a. Pangkat:
b. Akar
dengan catatan limit fungsi tidak negatif untuk n genap.
lim ( ) lim ( )n n
x xf x f x
lim ( ) lim ( )n nx x
f x f x
Penyelesaian :1. Metode Substitusi2. Metode Membagi dengan Pangkat
Tertinggi3. Metode Mengalikan dengan
sekawan
1. Metode Substitusi
~
2~
1...
11 ...
1. lim
2. lim
x
x
x
x
Tentukan nilai dari limit :
Jawb:
~
2 2~ ~ ~
10
1 11 1 1 0 1
1. lim
2. lim lim lim
x
x x x
x
x x
2.Metode membagi dengan Pangkat Tertinggi
Jika dengan metode substitusi mendapatkan hasil:( Bentuk tak tentu)
2
2
2
2
2 6 1...
2 3
8 5...
2 3
3 23. ...
5 1
1. lim
2. lim
. lim
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
Contoh :
2
2 2
22
2
2
2
2 6 12 6 1
2 32 3
6 12 2 0 0
22 3 1 0 01
lim lim
lim
x x
x
x xx x x
x xx xx
x x
x x
Contoh 1 :
2
22
2
2
2
8 58 5
2 32 3
8 50 0
03 2 02
lim lim
lim
x x
x
xx x
xxx
x x
x
Contoh 2:
2
2 2
2
2
2
3 23 2
5 15 1
1 23 3 0 05 1 0 0
lim lim
lim
x x
x
x xx x x
xxx
x x
x x
Contoh 3 :
KESIMPULAN:Misal m dan n adalah bilangan bulat positif maka :
Jika m > n maka L = ~atau L = -~ m = n maka L = a/p
m < n maka L = 0
1
1~
...lim
...
m m
n nx
ax bx cL
px qx r
Contoh :
Tentukan nilai dari Jawab :
2
2
2
3
2 4 1
3
1 1
3lim lim
4 1
1lim
4
1 0 1
24 0 0
xx
x x x xx
x
xx x
x
x x
2
3lim
4 1x
x
x x
3.Metode Mengalikan dengan Sekawan
Jika dengan metode substitusi mendapat hasil:
( Bentuk tak tentu)
Contoh 1: Tentukan nilai dari
lim 2 1 5 3x
x x
Jawab :
~0
3
00
03
3lim
lim
3512
43lim
3512
3512lim
3512
3512.3512lim3512lim
22
22
3512
4
~
3512
43
~
~~
~~
xxxx
x
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
xx
xxxx
xxxxxx
KESIMPULAN:Misal a dan p adalah bilangan positif maka
Jika a > p maka L = ~ a = p maka L = 0
a < p maka L = - ~
~
limx
ax b px q L
Contoh 1: Tentukan nilai dari
2 2
~lim 2 1 5 3x
x x x x
Contoh 1: Tentukan nilai dari
2 22 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 1 5 3lim 2 1 5 3.
2 1 5 3
2 1 5 3 7 4lim lim
2 1 5 3 2 1 5 37 4
7 7lim
1 1 22 1 5 3
x
x x
x
x x x xx x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x xxx
x x x xx x
KESIMPULAN:Misal a dan p adalah bilangan positif maka
Jika a > p maka L = ~ a = p maka L =
a < p maka L = - ~
2 2
~limx
ax bx c px qx r L
2
b q
a
Contoh 1: Tentukan nilai dari
2lim 4 2 1 2 3x
x x x
Contoh 1: Tentukan nilai dari
22
2
2 2
2 2
2
2
4 2 1 2 3lim 4 2 1 2 3 .
4 2 1 2 3
4 2 1 4 12 9 10 8lim lim
4 2 1 2 3 4 2 1 2 3
10 810 5
lim24 24 2 1 2 3
x
x x
x
x x xx x x
x x x
x x x x x
x x x x x x
xx
x x xx x