Liliana Hernández Ing. Qca. Ph.D.. DEFINICIÓN Ecuación diferencial: Ecuación que contiene...
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Liliana HernándezIng. Qca. Ph.D.
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
DEFINICIÓN
Ecuación diferenci
al:
Ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
Ordinaria Parcial
Derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una variable independiente.
Derivadas de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.
05 ydxdy
03
3
xv
xv
vtv
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Cuando se desea resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones predefinidas
(iniciales)
Ejemplo: Resolv
er
Sujeta a
ydxdy
1)0( y
Condición inicial
MODELAMIENTO MATEMÁTICO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOs)
Dinámica de poblaciones
Modelo de Malthus:Cuando una población no está sujeta a factores externos (falta de alimentos, competencia por el hábitat, presencia de un depredador…) la velocidad de crecimiento es proporcional al número de individuos que la componen.
)()(
trNdttdN
Constante que caracteriza la tasa de crecimiento de la población (experimental).
Puede ser:
r < 0; r > 0
Dinámica de poblaciones
Ecuación logística:Cuando el crecimiento exponencial de la población se ve limitado por la escasez de recursos (alimentos) y los individuos “compiten” por ellos.
)()()( 2 tmptrp
dttdp
Crecimiento natural de la población
Competencia de los individuos por el alimento
Dinámica de poblaciones
Modelo presa-depredador (sistema Lotka-Volterra):En un ecosistema con dos poblaciones de especies
distintas, donde una de ellas es el alimento de la otra.
)()()()(
211111 tptpbtprdttdp
Crecimiento natural de la presa
)()()()(
212222 tptpbtprdttdp
Crecimiento natural del depredador (sin
presa)
Interacción de ambas especies
Dinámica de crecimiento de un individuo
Modelo de Bertalanffy:La velocidad de crecimiento es proporcional a la diferencia entre la longitud actual y la máxima permisible.
)()(tLAk
dt
tdL
es > 0constante propia de
cada especie
Talla máxima de la especie
Ley de enfriamiento de Newton
La velocidad a la que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio donde se encuentra.
MtTkdt
tdT )()(
Constante de tiempo del
edificio
Temperatura del medio
Calentamiento de edificios:
+ Calentamiento
- Enfriamiento
Decaimiento exponencial
La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva es proporcional al número de átomos existentes de dicha sustancia.
Desintegración radiactiva (datación por radiocarbono)
)()(
tAdttdA
Constante de descomposición y/o
decaimiento
Movimiento de cuerpos
Sí:
Movimiento en caída libre
gdttxd 2
2 )(
Gravedad
Fam
.
Movimiento de cuerpos
Sí:
Fricción el fluidos (paracaidista):
2)(cvmg
dt
tdvm
Gravedad
Fam
.
Constante de proporcionalid
ad
2A
c
Densidad del aire
Área paracaidis
ta
Factor de forma
paracaidista
Movimiento de cuerpos
Sí:
Vibraciones mecánicas (oscilación de un mástil):
0)(
2
2
kxdtdxc
dttxd
m
Constante de amortiguamien
to
Fam
.
Constante de
recuperación
Flujo de fluidos
Mezclado (Concentración de la mezcla CA):
AAA qCqC
dtdC
V 0
Flujo del
fluido
Concentración flujo de entrada
AAA CCq
dt
dCV 0
Volumen del
tanque
Flujo de fluidos
Vaciado de un tanque:
ghAdt
dV20
Área del
tanque
Gravedad
ghA
A
dt
dh
w
20
Área del
agujero
dtdh
AdtdV
w
Aw
A0
MÉTODOS NUMÉRICOSPara resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Euler
𝑦 1=𝑦 0+h𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑑𝑦𝑑𝑥
= 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )
𝑦 (0 )=𝑦0
Ecuación:
Sujeta a:
Recurrencia:
Runge-Kutta (orden 4)
𝑘1=h𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑑𝑦𝑑𝑥
= 𝑓 (𝑥 , 𝑦 )
𝑦 (0 )=𝑦0
Ecuación:
Sujeta a:
Recurrencia:
𝑘2=h𝑓 (𝑥0+ 12 h , 𝑦 0+12
𝑘1)𝑘2=h𝑓 (𝑥0+ 12 h , 𝑦 0+
12
𝑘2)𝑘4=h𝑓 (𝑥0+h , 𝑦0+𝑘3 )
𝑦 1=𝑦 0+16
(𝑘1+2𝑘2+2𝑘3+𝑘4 )