LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY

LUYỆN THI

GV: PHAN NHẬT NAM

ÔN TẬP BPT & TỌA ĐỘ PHẲNG

(phần 1)

A I(-1; 0)

O

D(1; 0)

ÔN TẬP BPT & TỌA ĐỘ PHẲNG (phần 1)

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

ÔN TẬP LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU VÀ TỶ SỐ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Bài 1. (Đề thi thử Lê Quý Đôn – Đà Nẵng) Giải Bất phương trình:

2

3 2

5 14 2

2 3 1

x x

xx x

HD: ta có: 2 2

2 3 2

5 14 0 , 5 140 ;

1 0 , 2 3 1

x x x R x xx R

x x x R x x

Do đó BPT có nghiệm khi 2

0 0xx

33 2 2( ) 5 14 4 6 1 0BPT f x x x x x x

Bình luận: Sử dụng máy tính ta thấy phương trình ( ) 0f x có nghiệm đơn duy nhất 1x

đến đay thông thường ta sẽ phân tích nhân liên hợp:

Hướng 1: 33 2 25 14 10 6 1 1 0BPT x x x x x

2

23 32 2

61 4 10 0

1 1 1

xx x x

x x x x

Đến đây ta sẽ gặp khó khi đánh giá dấu của biểu thức trong ngoặc

Hướng 2: 33 2 2 211 20 10 6 1 1 0BPT x x x x x x x

3 32 2

2

23 32 2

6 1 1 11 10 10 0

1 1 1

x x x x xx x x

x x x x

Đến đây tương tự hướng 1,ta cũng gặp khó khi xét dấu biểu thức trong ngoặc

Hướng 3: phương trình ( ) 0f x có nghiệm x = 1 và khi đó 3 2 1 1x x x dó đó ta

thử hướng liên hợp khác

33 2 25 8 4 6 1 0BPT x x x x x x

2

2

23 32 2 2

6 11 4 4 0

1 1

xx x x

x x x x x x

2 2

22

2 2 23 32 2 23 2

6 1 6 14 4 4 0,

31 1 12 4

x xx x x x R

x xx x x x x x x x

0 1BPT x

Hướng 4: phương trình ( ) 0f x có nghiệm x = 1 và khi đó 3 22 1 2 1x x x

dó đó ta thử hướng liên hợp khác

http://www.toanhocdanang.com/



33 2 25 11 7 3 1 2 1 0BPT x x x x x x

3

3 3 32 21 2 1 3 1 2 1 0x x x x x x

đến đây ta có hai hướng tư duy :

Ép tích : 2 2

3 3 3 32 2 2 21 2 1 1 1 3 1 3 0 1 2 1 0x x x x x x x x x x x

Hàm đặc trưng: 3

3 3 32 21 3( 1) 2 1 3 2 1x x x x x x với 3( ) 3f t t t liên tục

và đơn điệu tăng trên R. Do đó 3 21 2 1BPT x x x

Bài 2. (D – 2014) Giải bất phương trình: 21 2 6 7 7 12x x x x x x

Điều kiện: 2x . Sử dụng máy tính ta dễ dàng tìm ra được nghiệm 2x

HD:

Hướng 1(cách sử lý thông thường)

21 2 2 6 7 3 2 8x x x x x x 1 6

2 4 02 2 7 3

x xx x

x x

Ta có:

1 1 2 2

2 22 2 2 22

1 1 1 6 6

5 57 3 5 3 7 3

x x

x xx

x x

x x

1 64

2 2 7 3

x xx

x x

1 1 1 1 3( 2) 12 1

2 6 0 , 22 5 102 2 7 3 2 2

xx x x

x x x

Hướng 2(cách sử lý liên hợp ngược dấu)

Nhận thấy 1x có thể đổi dấu trên điều kiện còn 6x thì không đổi dấu

do đó ta sẽ nhân liên hợp để làm xuất hiện 2

1x cụ thể ta sẽ tìm nhóm liên hợp

cho 2x để xuất hiện 1 2x x {vì 2x là một nghiệm của phương trình}

1

1 1 32

2 2 2 4

3

ax a b

x ax bx a b

b

3 6 7 6 7 3 7 6 7 6 7 7 3 6 7x x x x x x x x x x x x

ở trên ta đã sử dụng phép ngược dấu:

Nếu ( )f x a thì ( ) ( ) ( ) ( )a f x f x f x a f x

Nếu 3 ( )f x a thì 2 3 3 3 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a f x f x f x a f x a f x




23 1 2 3 6 7 3 21 36bpt x x x x x x

21 4 3 2 6 7 7 3 3 10 0x x x x x x x x

21 6 7

2 5 0 24 3 2 7 3

x x xx x x

x x x

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có D(10; 5) là trung điểm AB. Trên tia

CD lấy 22 1

;3 3

I

sao cho 2ID IC . Gọi M(7; -2) là giao điểm của AI và BC. Tìm tọa độ các đỉnh của

tam giác ABC.

Bình luận: Ta thấy trọng tâm của giả thuyết là 2 thông tin liên quan đến tỷ số:

D(10; 5) là trung điểm AB và 22 1

; : 23 3

I DC ID IC

.

Lại thấy , ,M I A thẳng hàng và biết được tọa độ M(7; -2) và 22 1

;3 3

I

.

Do đó ta sẽ nghĩ đến việc tính MA

MI để xác định được tọa độ điểm A . Để thực hiên được ý tưởng

này ta cần dựng các đường thẳng song song (thông thường dụng từ các điểm nằm phía trong đoạn),

cụ thể như sau:

HD: Dựng IE // AB {với E BC }

Theo talet cho BCD ta có1

3

IE CI

BD CD

Theo talet cho MAB ta có 1

6 9;82 6

MI IE IEMA MI A

MA AB BD

Đến đây bài toán trở thành rất căn bản các bạn có thể tự giải quyết.

Bài 4. (A - 2014). Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là

trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương

trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; -1).

Bình luận: Trọng tâm giả thuyết là: M(1; 2) là trung điểm AB và (2; 1) : 3N AC AN NC

Do đó ta liên tưởng đến hướng phân tích tỷ sô mặt khác ycbt là viết phương trình CD, ta nghĩ

ngay đến việc tìm tọa độ điểm thuộc đường CD liên kết đến M, N ta nghĩ đến điểm

E MN CD . Đến đây để tìm được E ta chỉ cần tính được tỷ số MN

NE. Do bài toán cho

ở dạng hình vuông và có tỷ số nên ngoài yếu tố điểm ta còn sử dụng yếu tố góc để

viết phương trình CD tức là cần xác định góc tạo bởi MN và CD

{vì giả thuyết thỉ cho tọa độ M và N}




HD: Gọi E MN DC và F là trung điểm DC. 1; 3MN

Theo talet cho ANM ta có: 1

3

EC NE NC

AM NM NA

7

3 ; 23

MN NE E

2 2

2 1cos

106 2

EF MCMEF

MF MC MC

Gọi ( ; )DCu a b là vecto chỉ phương DC ta có:

2

2 3 2 2

03 1

cos cos , cos , 8 6 0 3101 3

4

CD

ba b

MEF MN CD MN u b ab aba b

Do đó: 1 1;0u là một VTCP của CD 1 0;1n là một VTPT của CD

2 4;3u là một VTCP của CD 2 3; 4n là một VTPT của CD

Vậy có hai đường CD cần tìm: : 2 0CD y và :3 4 15 0CD x y

Bài 5.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có AC = 2AB. Điểm M(1; 1) là trung

điểm của BC, điểm N thuộc cạnh AC sao cho 1

3AN AC , D thuộc cạnh BC sao cho AD đối xứng AM

qua phân giác góc BAC . Đường thẳng DN có phương trình 3 2 8 0x y . Xác định tọa độ các đỉnh của

ABC , biết C thuộc đường thẳng : 7 0d x y .

Bình luận: Bài này cho khá nhiều giả thuyết rất dễ bị phân tán . Nhưng hãy tập trung vào

các giả thuyết có 3 điểm thẳng hàng cụ thể : 1

3AN AC và B, D, M, C thẳng hàng

Với giả thuyết: 1

3AN AC ta chỉ có DN :3 2 8 0x y và : 7 0C d x y ta cần biết được

tọa độ điểm A hoặc ít nhất 2 giả thuyết nữa thì mới khai thác được

Với giả thuyết: D, M, C thẳng hàng ta có:

: 3 2 8 0

: 7 0

(1;1)

D DN x y

C d x y

M

do đó chỉ cần tính dược tỷ số

DM

DC thì ta có thể xác định được tọa độ hai điểm C và D.

(đây là công việc tương đối khò khăn)

A

D

B

C

M

N

E F




HD:

Hướng 1: AD đối xứng AM qua phân giác AE của ABC BAD MAC . Theo định lý sin

sin

sin

BAD BD

ADABD và

sin

sin

MAC MC

AMACM

sin .

.sin

AMC BD AM

AD MCABD (1)

Lại có: AE là phân giác của DAM AM EM

MC ED (2)

Định lý sin ABC ta có: sin 1

2sin

ACM AB

ACABD kết hớp với (1),(2) ta có:

. 1

. 2

BD EM

ED MC (*)

AE là phân giác của 1

2

BE ABBAC

EC AC

Đặt , 0BC a BD x a x 2

;3 3

a aBE EC ;

3

aED x ,

6

aEM EC MC

.

1 5 3 56* 5 52 2 2 3

3 2

ax

a x BC CD BM BD DM BD CM MDa a

x

Hướng 2: Gọi các điểm như hình vẽ. Khi đó dễ dàng chứng minh được BI IG GE

Dựng GP // AD (với P BC ). Khi đó theo talet ta có: 3DM PM

DB DP

3 2 2DM DB DP PM DM DB DM PM DB PM

Do đó: 2 5 5

3 3 3

DB BMBM DM

DM DM

A

B

C

I K

G

F

D E

M P


LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY

Education

Transcript of LIÊN HỢP NGƯỢC DẤU & TỶ SỐ TRONG OXY