lib.unnes.ac.idlib.unnes.ac.id/19100/1/4111409008.pdflib.unnes.ac.id
-
Upload
nguyencong -
Category
Documents
-
view
229 -
download
0
Transcript of lib.unnes.ac.idlib.unnes.ac.id/19100/1/4111409008.pdflib.unnes.ac.id
i
MENENTUKAN ALIRAN MAKSIMUM DENGAN
ALGORITMA FORD-FULKERSON DAN PREFLOW-PUSH
skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat
untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh
Rifโah Ulya
4111409008
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2013
iii
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian
hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya bersedia menerima
sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan.
Semarang, 01 Agustus 2013
Rifโah Ulya
4111409008
iv
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul
Menentukan Aliran Maksimum dengan Algoritma Ford-Fulkerson dan
Preflow-Push
disusun oleh
Rifโah Ulya
4111409008
telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES pada
tanggal 01 Agustus 2013.
Panitia:
Ketua Sekretaris
Prof. Dr. Wiyanto, M.Si. Drs. Arief Agoestanto, M.Si.
196310121988031001 196807221993031005
Ketua Penguji
Dr. Rochmad, M.Si.
195711161987011001
Anggota Penguji/ Anggota Penguji/
Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping
Dr. Mulyono, M.Si. Drs. Amin Suyitno, M.Pd.
197009021997021001 195206041976121001
v
PERSEMBAHAN
Untuk keluargaku tersayang,
Ayahanda H. Sidqon, sebagai sumber kekuatan hati di setiap
harapan dan cita-citaku,
Ibunda Hj. Nur Hikmah, sebagai sumber kehangatan yang
selalu mendukungku,
Kakekku H.M. Syarif, sebagai sumber kekuatan doa di setiap
langkahku,
Nenekku Suwaibah dan Hj. Tarwiyah, sebagai sumber nasehat
di setiap langkahku,
Kakakku Luluโ Ainaโul Mardhiyyah, S.Pd, dengan semua
kedewasaan yang selalu menginspirasiku, dan
Adikku Nurul Lathifah dan Fika Nur Aini yang mengisi
keceriaan dalam hidupku.
vi
MOTTO
โ... niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu
dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. Dan Allah
Maha Mengetahui apa yang kamu kerjakan.โ
(Q.S. Al Mujaadalah: 11).
vii
PRAKATA
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi dengan judul โMenentukan Aliran Maksimum dengan
Algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Pushโ sebagai salah satu syarat untuk
mencapai gelar kesarjanaan pada Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang.
Penulisan skripsi ini tidak lepas dari dukungan, bantuan, dan bimbingan
berbagai pihak. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan
penghargaan sebesar-besarnya kepada:
1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang.
2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si., Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.
3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Negeri Semarang.
4. Dr. Rochmad, M.Si., Dosen Penguji Utama yang telah memberikan arahan
dan saran kepada penulis selama penyusunan skripsi ini.
5. Dr. Mulyono, M.Si., dan Drs. Amin Suyitno, M.Pd., selaku Dosen
Pembimbing Utama dan Dosen Pembimbing Pendamping yang telah sabar
memberikan bimbingan selama penyusunan skripsi ini.
6. Seluruh Dosen Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Unnes serta staf TU
Jurusan Matematika dan FMIPA Universitas Negeri Semarang.
viii
7. Bapak H. Sidqon dan Ibu Hj. Nur Hikmah, kedua orang tuaku yang telah
dengan sabar dan ikhlas mencurahkan waktu untuk mendidik, memberi kasih
sayang, menasihati, dan membimbing penulis.
8. Mbak Luluโ, Dek Lathifah, dan Dek Fika, yang selalu mendukung dan
membantu dalam penulisan skripsi ini.
9. Teman-temanku PP. Assabiila, Khoir, Imus, Zumi, Rina, Umi, Aini, Tami,
dkk., yang telah menemaniku selama empat tahun dalam suka maupun duka.
10. Teman seperjuanganku dalam menyelesaikan skripsi, Meely dan Mas Akbar.
11. Teman-temanku Prodi Matematika angkatan 2009, Meely, Firdha, Neni,
Zumi, Rista, Anggi, Sabrina, Indah, Julia, Noni, Tya, Bram, Putri, Arum,
Fresti, Tyas, Putut, Karisa, Devi, Fera, Rosita, Dian, Hanif, Maya, Bagus,
Ichsan, Chakim, Dinar, Aziz, St, Azizah dan Didik, yang telah memberikan
dukungannya hingga terselesaikannya skripsi ini.
12. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu
sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik.
Akhir kata penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi para
pembaca dan dapat dipergunakan sebagai bahan referensi untuk penelitian-
penelitian lain di kemudian hari.
Semarang, Agustus 2013
Penulis
ix
ABSTRAK
Ulya, Rifโah. 2013. Menentukan Aliran Maksimum dengan Algoritma Ford-
Fulkerson dan Preflow-Push. Skripsi, Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama
Dr. Mulyono, M.Si dan Pembimbing Pendamping Drs. Amin Suyitno, M.Pd.
Kata Kunci: Algoritma Ford-Fulkerson, Algoritma Preflow-Push, dan Aliran
Maksimum.
Pada sebuah jaringan dalam masalah aliran maksimum, selalu terdapat
sebuah aliran yang nilainya sama dengan kapasitas pemutus minimum (minimal
cut), yang dikenal dengan sebutan โTeorema Maximal FlowโMinimal Cut.โ
Dalam pencarian aliran maksimum, terdapat beberapa algoritma, algoritma yang
digunakan dalam menyelesaikan masalah aliran maksimum secara umum
menggunakan dua pendekatan dasar, yaitu pendekatan algoritma Aughmenting
Path dan pendekatan algoritma Preflow-Push.
Permasalahan pada skripsi ini adalah bagaimana konsep aliran maksimum
berdasarkan teorema Maximal FlowโMinimal Cut, bagaimana menentukan aliran
maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson, dan bagaimana menentukan aliran
maksimum dengan algoritma Preflow-Push dengan alat bantu software GIDEN.
Metode penelitian yang digunakan adalah metode studi pustaka.
Pada skripsi ini dibahas tentang pembuktian teorema Maximal Flowโ
Minimal Cut, Algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Push. Konsep aliran
maksimum berdasarkan teorema Maximal FlowโMinimal Cut menjelaskan bahwa
nilai aliran ๐โ = ๐(๐, ๐1) dengan ๐ต(๐, ๐1) merupakan sebuah pemutus-(๐ , ๐ก)
minimum di ๐, maka ๐โ adalah aliran maksimum di ๐ yang nilainya sama dengan
kapasitas pemutus-(๐ , ๐ก) minimum di ๐. Algoritma Ford-Fulkerson bekerja
dengan mengkonstruksi aliran baru dengan nilai yang lebih besar dari aliran yang
lama, dan menggunakan teknik pelabelan Routin, pencarian aliran baru akan
berhenti ketika semua titik ๐ yang terlabel telah teramati dan titik ๐ก tidak terlabel.
Sedangkan algoritma Preflow-Push bekerja dengan operasi dasar push dan
relabel, algoritma ini berhenti ketika tidak ada lagi titik yang aktif. Pada skripsi
ini, Algoritma Ford-Fulkerson dihitung secara manual, sedangkan algoritma
Preflow-Push menggunakan alat bantu yaitu software GIDEN. Dari contoh
penggunaan aliran maksimum diperoleh aliran maksimum = pemutus-(๐ , ๐ก)
minimum = 600. Hal ini menunjukkan bahwa hasil pencarian aliran maksimum
dengan algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Push adalah sama.
x
DAFTAR ISI
Halaman
PRAKATA ........................................................................................................... vii
ABSTRAK ........................................................................................................... ix
DAFTAR ISI ........................................................................................................ x
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xiii
DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................... xv
BAB
1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................................................... 3
1.3 Pembatasan Masalah ....................................................................................... 3
1.4 Tujuan Penelitian ............................................................................................ 4
1.5 Manfaat Penelitian .......................................................................................... 4
1.6 Sistematika Penulisan Skripsi ........................................................................ 5
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Graf .............................................................................................. 7
2.1.1 Incident dan Adjacent ........................................................................... 8
2.1.2 Loop ...................................................................................................... 9
2.2 Graf Bagian (Subgraf) .................................................................................... 9
2.3 Jalan, Jejak, Lintasan, Sirkuit dan Siklus ....................................................... 10
2.4 Graf Terhubung dan Graf Berbobot ............................................................... 11
2.4.1 Graf Terhubung (Connected) ................................................................ 11
2.4.2 Graf Berbobot ....................................................................................... 12
2.5 Graf Berarah dan Derajat Titik pada Graf Berarah ........................................ 12
2.5.1 Graf Berarah (Directed Graph) ............................................................ 12
2.5.2 Derajat Titik pada Graf Berarah ........................................................... 14
2.6 Jaringan (Network) ......................................................................................... 14
2.7 Pemutus pada Jaringan ................................................................................... 15
xi
2.8 Busur Maju dan Busur Balik .......................................................................... 17
2.9 Inkremen dan Lintasan Peningkatan .............................................................. 18
2.10 Aliran Maksimum ......................................................................................... 19
2.11 Preflow .......................................................................................................... 20
2.12 Excess, Kapasitas Sisa, Jaringan Sisa, dan Titik Aktif .................................. 20
2.12.1 Excess .................................................................................................. 20
2.12.2 Kapasitas Sisa dan Jaringan Sisa ........................................................ 21
2.12.3 Titik Aktif ........................................................................................... 21
2.13 Pelabelan Jarak (Distance Label) ................................................................. 22
2.14 Aliran Jenuh dan Tak Jenuh .......................................................................... 22
2.15 Software GIDEN ........................................................................................... 23
3. METODE PENELITIAN
3.1 Menemukan Masalah ..................................................................................... 26
3.2 Merumuskan Masalah .................................................................................... 26
3.3 Studi Pustaka .................................................................................................. 27
3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah .................................................................. 27
3.5 Penarikan Kesimpulan .................................................................................... 28
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konsep Aliran pada Jaringan ......................................................................... 29
4.2 Konsep Aliran Maksimum pada Jaringan ...................................................... 34
4.3 Algoritma Ford-Fulkerson .............................................................................. 40
4.4 Algoritma Preflow-Push ................................................................................ 42
4.5 Algoritma Preflow-Push dengan Software GIDEN ....................................... 44
4.6 Contoh Penggunaan Aliran Maksimum ......................................................... 47
4.6.1 Penyelesaian dengan Algoritma Ford-Fulkerson ................................. 48
4.6.2 Penyelesaian dengan Algoritma Preflow-Push pada Software
GIDEN .................................................................................................. 66
5 PENUTUP
5.1 Simpulan ......................................................................................................... 68
5.2 Saran ............................................................................................................... 70
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................ 71
xii
LAMPIRAN ............................................................................................................... 72
xiii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
2.1 Graf ๐บ dengan lima titik dan enam sisi ........................................................ 8
2.2 Graf ๐ป graf bagian dari Graf ๐บ .................................................................... 10
2.3 Graf ๐บ ........................................................................................................... 11
2.4 ๐บ graf terhubung .......................................................................................... 11
2.5 ๐บ graf berbobot ............................................................................................ 12
2.6 (a) Graf berarah ๐ท terhubung lemah ............................................................ 13
(b) Graf berarah ๐ป terhubung kuat ............................................................... 13
(b) Graf dasar ๐บ ............................................................................................ 13
2.7 Jaringan ๐ dengan titik sumber ๐ฃ๐ dan titik tujuan ๐ฃ๐ก โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ 14
2.8 Jaringan ๐ dengan dua titik antara ๐ฃ1 dan ๐ฃ2 .............................................. 16
2.9 Jaringan ๐ dengan titik sumber ๐ฃ๐ dan titik tujuan ๐ฃ๐ก ................................ 17
2.10 Lintasan peningkatan terhadap aliran ๐ ....................................................... 18
2.11 Software GIDEN .......................................................................................... 23
2.12 Tampilan menu utama pada software GIDEN ............................................. 23
2.13 Tampilan untuk menggambar titik .............................................................. 24
2.14 Tampilan untuk menggambar garis ............................................................. 24
2.15 Tampilan graf yang sudah diberi nama pada titik dan bobot pada sisi ........ 25
2.16 Tampilan menu dalam solvers ..................................................................... 25
4.1 Jaringan ๐ dengan aliran ๐ bernilai 5 .......................................................... 30
4.2 Jaringan ๐ dengan aliran ๐1 bernilai 6โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.31
4.3 Jaringan ๐ dengan aliran ๐ bernilai 5 .......................................................... 33
4.4 Ilustrasi aliran pada busur maju dan busur balik .......................................... 36
4.5 Jaringan ๐ dengan aliran ๐ bernilai 9 .......................................................... 39
4.6 Tampilan cara menggunakan algoritma Preflow-Push ................................ 45
4.7 Tampilan input data algoritma Preflow-Push .............................................. 45
4.8 Tampilan untuk proses iterasi algoritma Preflow-Push ............................... 46
4.9 Tampilan untuk hasil aliran maksimum dengan algoritma Preflow-Push ... 46
xiv
4.10 Kapasitas aliran air (liter per menit) ............................................................ 47
4.11 Jaringan ๐ dengan titik sumber ๐ dan titik tujuan ๐ก โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ48
4.12 Jaringan ๐ dengan ๐0 = 0 โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. 48
4.13 Pelabelan titik pada jaringan ๐ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ50
4.14 Jaringan ๐ dengan ๐1 = 150 ....................................................................... 51
4.15 Pelabelan titik pada jaringan ๐ .................................................................... 53
4.16 Jaringan ๐ dengan ๐2 = 350 ....................................................................... 54
4.17 Pelabelan titik pada jaringan ๐ .................................................................... 56
4.18 Jaringan ๐ dengan ๐3 = 450 ...................................................................... 57
4.19 Pelabelan titik pada jaringan ๐ .................................................................... 59
4.20 Jaringan ๐ dengan ๐4 = 550 ...................................................................... 60
4.21 Pelabelan titik pada jaringan ๐ .................................................................... 62
4.22 Jaringan ๐ dengan ๐5 = 600 ...................................................................... 63
4.23 Jaringan ๐ dengan aliran maksimum = pemutus-(๐ , ๐ก) minimum .............. 65
4.24 Tampilan hasil aliran maksimum dengan algoritma Preflow-Push pada
software GIDEN โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.66
xv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
1. Pencarian himpunan pemutus-(๐ , ๐ก) pada contoh penggunaan aliran
maksimum ...................................................................................................... 73
2. Iterasi algoritma Preflow-Push pada Software GIDEN ................................. 97
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan topik yang banyak mendapat perhatian, karena
model-modelnya sangat berguna untuk aplikasi yang luas, seperti masalah dalam
jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, dan lain sebagainya. Secara
umum, graf merupakan suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika
diinterpretasikan secara tepat. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk
menggambarkan berbagai macam struktur yang ada. Tujuannya adalah sebagai
visualisasi objek-objek agar lebih mudah dimengerti. Beberapa contoh graf yang
sering dijumpai dalam kehidupan sehari-hari antara lain: struktur organisasi,
bagan alir pengambilan mata kuliah, peta, rangkaian listrik, dan lain-lain (Siang,
2004: 185).
Jaringan merupakan salah satu kajian dalam teori graf. Jaringan adalah
kumpulan titik dan sisi yang saling terhubung dengan arah tertentu. Di dalam
jaringan terdapat beberapa model yang bisa digunakan untuk membantu
memecahkan masalah-masalah, diantaranya adalah model rentang jaringan
minimum, model rute terpendek, dan model aliran maksimum.
Model aliran maksimum mempunyai tujuan untuk memaksimalkan jumlah
aliran yang melewati jaringan dalam sebuah sistem jaringan. Pada model masalah
rute terpendek, aliran yang membangkitkan biaya tidak dibatasi oleh kapasitas apa
2
pun. Sebaliknya, pada model masalah aliran maksimum, aliran tersebut tidak
membangkitkan biaya tetapi mempunyai batas kapasitas tertentu.
Pada sebuah jaringan dalam masalah aliran maksimum, selalu terdapat
sebuah aliran yang nilainya sama dengan kapasitas pemutus minimum (minimal
cut), yang dikenal dengan sebutan โTeorema Maximal FlowโMinimal Cutโ
(Budayasa, 2007: 235). Teorema Maximal Flow-Minimal Cut menjamin bahwa
aliran maksimum pada sebuah jaringan tidak akan melebihi kapasitas pemutus
minimum dalam jaringan tersebut. Dalam pencarian aliran maksimum, terdapat
beberapa algoritma, menurut Ahuja et al. (1993: 166-167), algoritma yang
digunakan dalam menyelesaikan masalah aliran maksimum secara umum
menggunakan dua pendekatan dasar, yaitu pendekatan algoritma Aughmenting
Path dan pendekatan algoritma Preflow-Push.
Algoritma yang menggunakan pendekatan Aughmenting Path diantaranya
adalah algoritma Ford-Fulkerson. Algoritma Ford-Fulkerson ditemukan oleh Ford
dan Fulkerson pada tahun 1956. Algoritma ini akan efektif bagi penggunanya
untuk melakukan suatu proses, tindakan atau pengambilan keputusan untuk tujuan
tertentu dengan mengetahui aliran maksimum yang terdapat dalam suatu jaringan.
Hal yang paling rapi dari algoritma Ford-Fulkerson adalah bahwa algoritma ini
selalu memberikan hasil yang benar dalam menyelesaikan sub-masalah dalam
mencari Augmenting Path dalam setiap iterasinya. Pada skripsi ini, algoritma
Preflow-Push digunakan hanya sebatas untuk mencocokkan hasil perhitungan
manual dari algoritma Ford-Fulkerson. Dalam hal ini, algoritma Preflow-Push
akan dijalankan dengan alat bantu yaitu software GIDEN. Berdasarkan alasan di
3
atas penulis tertarik untuk membahas skripsi dengan judul โMenentukan Aliran
Maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Push.โ
1.2 Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas, diperoleh rumusan masalah yang timbul dalam
penyusunan skripsi ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana konsep aliran maksimum berdasarkan teorema Maximal Flow-
Minimal Cut?
2. Bagaimana menentukan aliran maksimum dengan algoritma Ford-
Fulkerson?
3. Bagaimana menentukan aliran maksimum dengan algoritma Preflow-Push
dengan bantuan software GIDEN?
1.3 Pembatasan Masalah
Dalam penyusunan skripsi ini, pembatasan permasalahan yang akan
dibahas adalah sebagai berikut.
1. Konsep aliran maksimum berdasarkan teorema Maximal Flow-Minimal
Cut meliputi definisi-definisi teorema, serta bukti-bukti yang terkait
dengan materi tersebut.
2. Algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Push digunakan dalam skripsi ini
hanya untuk menentukan aliran maksimum, tidak membahas kompleksitas
kedua algoritma tersebut.
3. Algoritma Ford-Fulkerson akan dihitung secara manual dengan teknik
pelabelan.
4
4. Algoritma Preflow-Push digunakan hanya sebatas untuk mencocokkan
hasil perhitungan manual dari algoritma Ford-Fulkerson. Dalam hal ini,
algoritma Preflow-Push akan dijalankan dengan alat bantu yaitu software
GIDEN.
5. Contoh penggunaan aliran maksimum yang digunakan adalah simulasi.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut.
(1) Mengetahui konsep aliran maksimum berdasarkan teorema Maximal Flow-
Minimal Cut.
(2) Mengetahui cara menentukan aliran maksimum dengan algoritma Ford-
Fulkerson.
(3) Mengetahui cara menentukan aliran maksimum dengan menggunakan
algoritma Preflow-Push dengan alat bantu software GIDEN.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penyusunan skripsi ini adalah sebagai
berikut.
1. Bagi peneliti
Dapat mengetahui tentang konsep teorema Maximal Flow-Minimal Cut,
mengetahui cara menentukan aliran maksimum dengan algoritma Ford-
Fulkerson dan algoritma Preflow-Push.
2. Bagi mahasiswa
Membantu mahasiswa mempelajari konsep teorema Maximal Flow-Minimal
Cut serta algoritma-algoritma dalam menentukan aliran maksimum, dan
5
memotivasi mahasiswa untuk melanjutkan penelitian lebih mendalam
sehingga dapat menerapkannya dalam kehidupan nyata.
1.6 Sistematika Penulisan Skripsi
Dalam penulisan skripsi ini secara garis besar dibagi menjadi tiga bagian
pokok, yaitu bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir.
1.6.1 Bagian Awal
Bagian awal skripsi memuat halaman sampul, halaman judul, pernyataan
keaslian tulisan, halaman pengesahan, motto, prakata, abstrak, daftar isi, dan
daftar gambar.
1.6.2 Bagian Isi
Bagian isi terdiri dari lima bab yaitu sebagai berikut.
(1) Bab I: Pendahuluan
Dikemukakan tentang latar belakang, rumusan masalah, pembatasan
masalah, tujuan, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
(2) Bab II: Tinjauan Pustaka
Berisi uraian teoritis atau teori-teori yang mendasari pemecahan tentang
masalah-masalah yang berhubungan dengan judul skripsi.
(3) Bab III: Metode Penelitian
Berisi metode-metode yang digunakan dalam penelitian, meliputi studi
pustaka, analisis dan pemecahan masalah, dan penarikan kesimpulan.
(4) Bab IV: Hasil dan Pembahasan
Berisi hasil dan pembahasan dari rumusan masalah yang dikaji.
6
(5) Bab V: Penutup
Berisi simpulan dan saran.
1.6.3 Bagian Akhir
Bagian akhir skripsi berisi tentang daftar pustaka dan lampiran-lampiran
yang mendukung skripsi.
7
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Graf
Definisi 2.1
Sebuah graf ๐บ = (๐ ๐บ , ๐ธ ๐บ ) berisikan dua himpunan yaitu himpunan
berhingga tak kosong ๐(๐บ) dari obyek-obyek yang disebut titik, dan himpunan
berhingga (mungkin kosong) ๐ธ(๐บ) yang elemen-elemennya disebut sisi,
sedemikian hingga setiap elemen ๐ dalam ๐ธ(๐บ) merupakan pasangan tak
berurutan dari titik-titik di ๐(๐บ). Himpunan ๐(๐บ) disebut himpunan titik-titik ๐บ,
dan himpunan ๐ธ(๐บ) disebut himpunan sisi-sisi ๐บ (Budayasa, 2007: 1-2).
Cara mempresentasikan sebuah graf yang paling umum adalah dengan
diagram. Dalam diagram tersebut, titik-titik dinyatakan sebagai noktah dan tiap
sisi dinyatakan sebagai kurva sederhana yang menghubungkan tiap dua titik.
Misalnya, graf ๐บ dengan ๐ ๐บ = {๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ3, ๐ฃ4, ๐ฃ5} dan
๐ธ ๐บ = {๐1, ๐2, ๐3, ๐4, ๐5, ๐6} dimana ๐1 = (๐ฃ1, ๐ฃ2), ๐2 = (๐ฃ2, ๐ฃ3), ๐3 = (๐ฃ3, ๐ฃ5),
๐4 = (๐ฃ1, ๐ฃ4), ๐5 = (๐ฃ1, ๐ฃ4), ๐6 = (๐ฃ5, ๐ฃ5), dapat dipresentasikan dalam bentuk
diagram seperti pada Gambar 2.1.
8
๐1
๐2
๐3
๐4
๐ฃ1
๐ฃ2
๐ฃ4 ๐ฃ3 ๐ฃ5
Gambar 2.1. Graf G dengan lima titik dan enam sisi.
๐6 ๐5
Contoh 2.1:
2.1.1 Incident dan Adjacent
Definisi 2.2
Jika sebuah titik ๐ฃ๐ merupakan titik ujung dari suatu sisi ๐๐, maka ๐ฃ๐ dan
๐๐ disebut saling berinsidensi atau titik ๐ฃ๐ terkait (incident) dengan sisi ๐๐.
Sebagai contoh, pada Contoh 2.1 di atas, sisi ๐1, ๐4, dan ๐5 adalah sisi-sisi yang
terkait dengan titik ๐ฃ1. Dua sisi yang tidak paralel disebut bertetangga (adjacent),
bila kedua sisi tersebut terkait dengan titik yang sama. Sebagai contoh, ๐1 dan ๐2
dalam Contoh 2.1 merupakan dua sisi yang bertetangga. Selain itu, dua buah titik
disebut bertetangga jika kedua titik tersebut merupakan titik-titik ujung dari sisi
yang sama. Dalam Contoh 2.1 ๐ฃ3 dan ๐ฃ5 adalah dua titik yang saling bertetangga,
sedangkan titik ๐ฃ2 dan ๐ฃ4 merupakan dua titik yang tidak saling bertetangga
(Sutarno et al., 2003: 60 โ 61).
9
2.1.2 Loop
Definisi 2.3
Dalam sebuah graf, seperti terlihat pada Contoh 2.1, dimungkinkan adanya
suatu sisi yang dikaitkan dengan pasangan ๐ฃ5, ๐ฃ5 . Sisi yang dua titik ujungnya
sama disebut loop (gelang). Pada Contoh 2.1, sisi ๐6 merupakan sebuah loop.
Dalam sebuah graf dimungkinkan adanya lebih dari satu sisi yang dikaitkan
dengan sepasang titik. Pada contoh 2.1, sisi ๐4 dan sisi ๐5 dikaitkan dengan
pasangan titik ๐ฃ1, ๐ฃ4 . Pasangan sisi semacam ini disebut sisi-sisi paralel/sejajar
atau sisi rangkap. Sebuah graf yang tidak memiliki loop dan tidak memiliki sisi
rangkap disebut graf sederhana (Sutarno et al., 2003: 59).
2.2 Graf Bagian (Subgraf)
Definisi 2.4
๐บ graf dengan himpunan titik ๐ ๐บ dan himpunan sisi ๐ธ ๐บ . Sebuah graf
๐ป dengan himpunan titik ๐ ๐ป dan himpunan sisi ๐ธ ๐ป , disebut graf bagian
(subgraf) dari graf ๐บ, dinotasikan ๐ป โ ๐บ, jika ๐ ๐ป โ ๐ ๐บ dan ๐ธ ๐ป โ ๐ธ ๐บ .
Karena konsep graf bagian dapat dianalogikan dengan konsep himpunan bagian
dalam teori himpunan, maka sebuah graf bagian dapat dipandang sebagai bagian
dari graf yang lain.
Sifat-sifat dari graf bagian adalah sebagai berikut.
1. Setiap graf merupakan graf bagian dari dirinya sendiri.
2. Graf bagian dari suatu graf bagian ๐บ merupakan graf bagian dari ๐บ.
3. Sebuah titik dalam graf ๐บ merupakan graf bagian dari ๐บ.
10
Sebuah sisi dari ๐บ bersamaan dengan kedua titik ujungnya juga merupakan
graf bagian dari ๐บ (Sutarno et al., 2003: 87).
Contoh 2.2:
G H
Gambar 2.2. Graf H graf bagian dari Graf G.
2.3 Jalan, Jejak, Lintasan, Sirkuit, dan Siklus
Definisi 2.4
Misalkan G adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk) di G adalah sebuah
barisan berhingga (tak kosong) ๐ = ๐ฃ0 , ๐1 , ๐ฃ1 , ๐2, ๐ฃ2 , โฆ , ๐๐ ,๐ฃ๐ yang suku-sukunya
bergantian titik dan sisi, sedemikian hingga ๐ฃ๐โ1 dan ๐ฃ๐ adalah titik-titik akhir sisi
๐๐, untuk 1 โค ๐ โค ๐ (Budayasa, 2007: 6). Misalkan ๐ adalah sebuah jalan dari ๐ฃ0
ke ๐ฃ๐, atau jalan ๐ฃ0, ๐ฃ๐ . Titik ๐ฃ0 dan ๐ฃ๐ berturut-turut disebut titik awal dan titik
akhir ๐. Sedangkan titik-titik ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐โ1 disebut titik-titik internal dari ๐,
dan ๐ disebut panjang dari ๐. Perhatikan bahwa panjang dari jalan ๐ adalah
banyaknya sisi dalam ๐. Jika semua sisi ๐1, ๐2, ๐3 โฆ , ๐๐ dalam jalan ๐ berbeda,
maka ๐ disebut jejak (trail). Jika semua titik ๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐ dalam jalan ๐ juga
berbeda, maka ๐ disebut sebuah lintasan (path). Sebuah jalan ๐ disebut tertutup,
jika titik awal dan titik akhir dari ๐ identik (sama). Jejak tertutup disebut sirkuit.
Sirkuit yang titik awal dan titik internalnya berlainan disebut siklus. Siklus dengan
๐ titik dinotasikan dengan ๐ถ๐ (Sutarno et al., 2003: 65).
๐ฃ2 ๐ฃ1 ๐1
๐ฃ3
๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฃ4
๐1
๐2
๐3
11
Contoh 2.3:
Jalan : a ๐6 f ๐7 b ๐2 c ๐3 d ๐3 c
Jalan tertutup : a ๐1 b ๐2 c ๐10 g ๐12 d ๐12 g ๐9 f ๐6 a
Jejak : a ๐1 b ๐2 c ๐10 g ๐11 e ๐4 d ๐3 c
Jejak tertutup (sirkuit) : a ๐6 f ๐5 e ๐4 d ๐12 g ๐8 b ๐1 a
Lintasan : a ๐1 b ๐2 c ๐10 g ๐9 f ๐5 e ๐4 d
Siklus : a ๐6 f ๐5 e ๐4 d ๐12 g ๐8 b ๐1 a.
2.4 Graf Terhubung dan Graf Berbobot
2.4.1 Graf Terhubung (Connected)
Definisi 2.5
Sebuah graf G dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap dua titik
G yang berbeda terdapat sebuah lintasan yang menghubungkan kedua titik
tersebut (Budayasa, 2007: 8).
Contoh 2.4:
Gambar 2.4. G graf terhubung.
๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฃ3
๐ฃ4 ๐ฃ5
a
b
g
c
d
e f
๐1 ๐3
๐2
๐4
๐5
๐6
๐7
๐8
๐9
๐10
๐11
๐12
Gambar 2.3 Graf G
12
2.4.2 Graf Berbobot
Definisi 2.6
Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot).
Bobot pada tiap sisi dapat menyatakan jarak antara dua buah kota, waktu tempuh
antara dua buah kota, biaya perjalanan yang ditempuh, dan sebagainya (Sutarno et
al., 2003: 107).
Contoh 2.5:
2.5 Graf Berarah dan Derajat Titik pada Graf Berarah
2.5.1 Graf Berarah (Directed Graph)
Definisi 2.7
Sebuah graf berarah ๐ท = (๐ ๐ท , ฮ ๐ท ) adalah suatu pasangan berurutan
dari dua himpunan ๐ ๐ท yaitu himpunan berhingga tak kosong yang anggota-
anggotanya disebut titik, dan ฮ(๐ท) yaitu himpunan berhingga (boleh kosong)
yang anggota-anggotanya disebut busur sedemikian hingga setiap busur
merupakan pasangan berurutan dari dua titik di ๐ ๐ท . Jika ๐ฃ1 dan ๐ฃ2 adalah dua
titik pada graf berarah ๐ท dan ๐ = (๐ฃ1, ๐ฃ2) sebuah busur ๐ท, maka e disebut busur
keluar dari titik ๐ฃ1 dan e busur menuju ๐ฃ2 (Budayasa, 2007: 214). ๐ท dikatakan
graf berarah sederhana jika semua busur dari ๐ท berbeda dan tidak terdapat loop
(Setiawati, 1993).
B
A
12
15
10
8
14
9 11
Gambar 2.5. G graf berbobot.
C
D F
13
๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฃ3 ๐ฃ4
๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ฃ3
๐ฃ4
๐ฃ1
๐ฃ3
๐ฃ2
๐ฃ4
Definisi 2.8
Misalkan ๐ท sebuah graf berarah. Graf dasar dari graf ๐ท adalah graf tak
berarah ๐บ, sedemikian hingga ๐ ๐บ = ๐(๐ท) dan setiap busur (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) di ๐ท
menjadi sisi(๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) pada ๐บ (Budayasa, 2007: 215). Konsep jalan, jejak, lintasan,
sirkuit, dan siklus pada graf berarah serupa dengan konsep jalan, jejak, lintasan,
sirkuit, dan siklus pada graf tak berarah, hanya saja istilah sisi pada graf tak
berarah diganti dengan istilah busur pada graf berarah.
Ada dua macam keterhubungan pada graf berarah ๐ท, yaitu terhubung
lemah dan terhubung kuat. Graf berarah ๐ท dikatakan terhubung lemah jika graf
dasarnya terhubung, sedangkan dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap dua
titik ๐ฃ๐ dan ๐ฃ๐ di D terdapat lintasan berarah dari ๐ฃ๐ ke ๐ฃ๐ dan sebaliknya
(Budayasa, 2007: 216).
Contoh 2.6:
D H G
Gambar 2.6 (a) Gambar 2.6 (b) Gambar 2.6 (c)
Pada Gambar 2.6 (a) adalah graf berarah ๐ท terhubung lemah. Sebaliknya,
pada Gambar 2.6 (b) adalah graf berarah ๐ป terhubung kuat. Pada Gambar 2.6 (c)
adalah graf dasar ๐บ dari graf berarah ๐ท maupun ๐ป.
14
๐ฃ๐
๐ฃ1
๐ฃ2
๐ฃ๐ก
3
4
2
5
6
2.5.2 Derajat Titik pada Graf Berarah
Definisi 2.9
Misalkan ๐ท sebuah graf berarah, dan ๐ฃ โ ๐(๐ท). Derajat keluar titik ๐ฃ (out
degree ๐ฃ) dilambangkan ๐๐(๐ฃ) adalah banyaknya busur pada graf berarah ๐ท yang
keluar dati titik ๐ฃ. Sedangkan derajat masuk titik ๐ฃ (in degree ๐ฃ) dilambangkan
๐๐(๐ฃ) adalah banyaknya busur ๐ท yang menuju ke titik ๐ฃ (Budayasa, 2007: 216).
2.6 Jaringan (Network)
Definisi 2.10
Sebuah jaringan ๐ = (๐ ๐ , ฮ ๐ ) adalah sebuah graf berarah sederhana
terhubung lemah yang setiap busurnya dikaitkan dengan bilangan real non negatif.
Selanjutnya bilangan real non negatif yang dikaitkan pada busur (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ), atau
disingkat (๐, ๐), pada jaringan ๐ disebut kapasitas busur (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ), dan
dilambangkan dengan ๐(๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ ) atau disingkat ๐(๐, ๐). Sebuah titik ๐ di jaringan ๐
disebut titik sumber jika ๐๐ ๐ = 0 dan sebuah titik ๐ก di jaringan ๐ disebut titik
tujuan jika ๐๐ ๐ก = 0, sedangkan titik yang lain di jaringan N disebut titik-titik
antara (Budayasa, 2007: 227-228).
Contoh 2.7:
Gambar 2.7. Jaringan ๐ dengan titik sumber ๐ฃ๐ dan titik tujuan ๐ฃ๐ก.
15
Definisi 2.11
Misalkan ๐ sebuah jaringan dengan titik sumber ๐ dan titik tujuan ๐ก. Jika ๐ฃ
adalah sebuah titik di ๐, maka himpunan semua busur ๐ yang keluar dari titik ๐ฃ
(meninggalkan titik ๐ฃ) dilambangkan dengan ๐(๐ฃ) dan himpunan semua busur ๐
yang menuju ke titik ๐ฃ, dilambangkan ๐ผ(๐ฃ) (Budayasa, 2007: 229-230).
Perhatikan Gambar 2.7, terdapat dua busur di ๐ yang keluar dari titik ๐ฃ๐ ,
diperoleh ๐ ๐ฃ๐ = { ๐ฃ๐ , ๐ฃ1 , ๐ฃ๐ , ๐ฃ2 } dan ๐ผ ๐ฃ๐ = . Perhatikan titik ๐ฃ1,
diperoleh ๐ ๐ฃ1 = { ๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ1, ๐ฃ๐ก } dan ๐ผ ๐ฃ1 = (๐ฃ๐ , ๐ฃ1) dan seterusnya.
2.7 Pemutus pada Jaringan
Definisi 2.12
Misalkan ๐ sebuah jaringan dengan titik sumber ๐ dan titik tujuan ๐ก.
Misalkan ๐ adalah himpunan bagian tak kosong dari ๐(๐) dan ๐1 = ๐ ๐ โ ๐.
Jika ๐ โ ๐ dan ๐ก โ ๐1, maka himpunan busur ๐ต(๐, ๐1) disebut sebuah pemutus-
(๐ , ๐ก) dari jaringan ๐. Disebut demikian, karena penghapusan semua busur
๐ต(๐, ๐1) dari ๐, memutus semua lintasan berarah dari titik ๐ ke titik ๐ก pada
jaringan ๐. Misalkan ๐ด adalah himpunan titik antara pada jaringan ๐, dan ๐ดโ
adalah sebuah himpunan bagian ๐ด. Jika ๐ = {๐ก} โช ๐ดโฒ, maka ๐ต(๐, ๐1) sebuah
pemutus-(๐ , ๐ก) pada ๐. Jadi banyaknya pemutus-(๐ , ๐ก) pada jaringan ๐ sama
dengan banyaknya himpunan bagian dari himpunan ๐ด, yaitu 2๐ dengan ๐ = ๐ด
(Budayasa, 2007: 229).
16
๐ฃ1
๐ฃ2
๐ฃ๐
๐ฃ๐ก
3
4
5
6
2
Contoh 2.8:
Gambar 2.8. Jaringan ๐ dengan dua titik antara ๐ฃ1 dan ๐ฃ2.
Pada Gambar 2.8 di atas, mempunyai dua titik antara ๐ฃ1 dan ๐ฃ2, sehingga
terdapat 22 = 4 pemutus-(๐ , ๐ก) pada ๐, yaitu:
๐ต ๐ฃ๐ , ๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ๐ก = ๐ฃ๐ , ๐ฃ1 , ๐ฃ๐ ,๐ฃ2
๐ต ๐ฃ๐ , ๐ฃ2 , ๐ฃ1, ๐ฃ๐ก = ๐ฃ๐ , ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ๐ก
๐ต ๐ฃ๐ , ๐ฃ1 , ๐ฃ2, ๐ฃ๐ก = ๐ฃ๐ , ๐ฃ2 , ๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ1, ๐ฃ๐ก
๐ต ๐ฃ๐ , ๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ๐ก = ๐ฃ1, ๐ฃ๐ก , ๐ฃ2, ๐ฃ๐ก .
Setiap pemutus-(๐ , ๐ก) pada jaringan ๐ mempunyai kapasitas. Pemutus-
(๐ , ๐ก) yang mempunyai kapasitas terkecil disebut pemutus-(๐ , ๐ก) minimum.
Masing-masing kapasitas dari keempat pemutus tersebut adalah:
๐ ๐ฃ๐ , ๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ๐ก = ๐( ๐ฃ๐ , ,1 + ๐ ๐ฃ๐ ,๐ฃ2 = 3 + 4 = 7
๐ ๐ฃ๐ , ๐ฃ2 , ๐ฃ1, ๐ฃ๐ก = ๐ ๐ฃ๐ , ๐ฃ1 + ๐ ๐ฃ2, ๐ฃ๐ก = 3 + 6 = 9
๐ ๐ฃ๐ , ๐ฃ1 , ๐ฃ2 , ๐ฃ๐ก = ๐( ๐ฃ๐ , ๐ฃ2 + ๐ ๐ฃ1, ๐ฃ2 + ๐ ๐ฃ1, ๐ฃ๐ก = 4 + 2 + 5 = 11
๐ ๐ฃ๐ , ๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ๐ก = ๐ ๐ฃ1, ๐ฃ๐ก + ๐ ๐ฃ2, ๐ฃ๐ก = 5 + 6 = 11
Tampak bahwa ๐ต ๐ฃ๐ , ๐ฃ1, ๐ฃ2, ๐ฃ๐ก = { ๐ฃ๐ , ๐ฃ1 , ๐ฃ๐ , ๐ฃ2 } dengan kapasitas
7 merupakan sebuah pemutus minimum pada jaringan ๐.
17
2.8 Busur Maju dan Busur Balik
Definisi 2.13
Misalkan ๐ sebuah jaringan dan ๐บ adalah graf dasar ๐. Misalkan pada
graf ๐บ terdapat lintasan ๐ = (๐ฃ1, ๐ฃ2 , ๐ฃ3, โฆ , ๐ฃ๐ , ๐ฃ๐+1, โฆ , ๐ฃ๐). Jika (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐+1) sebuah
busur pada ๐, maka busur tersebut dinamakan busur maju terhadap ๐, sebaliknya
jika (๐ฃ๐+1,๐ฃ๐) sebuah busur pada ๐, maka busur tersebut dinamakan busur balik
terhadap ๐. Jadi, suatu busur pada ๐ termasuk busur maju atau busur balik, sangat
tergantung pada lintasan ๐ pada graf dasarnya.
Contoh 2.9:
Gambar 2.9. Jaringan ๐ dengan titik sumber ๐ฃ๐ dan titik tujuan ๐ฃ๐ก.
Misalkan ๐บ graf dasar dari jaringan ๐ pada Gambar 2.9, maka ๐ =
(๐ฃ๐ , ๐ฃ2 , ๐ฃ1, ๐ฃ3 , ๐ฃ4, ๐ฃ๐ก) adalah sebuah lintasan (๐ฃ๐ , ๐ฃ๐ก) pada ๐บ dan ๐ bukan lintasan
berarah pada ๐. Sehingga, terhadap ๐, busur-busur (๐ฃ๐ , ๐ฃ2), (๐ฃ1, ๐ฃ3), dan (๐ฃ4, ๐ฃ๐ก)
merupakan busur-busur maju, sedangkan busur-busur (๐ฃ1, ๐ฃ2) dan (๐ฃ4, ๐ฃ3) adalah
busur-busur balik. Jika diperhatikan lintasan ๐1 = ๐ฃ๐ , ๐ฃ1, ๐ฃ2, ๐ฃ4, ๐ฃ๐ก pada ๐บ, maka
semua busur ๐ yang berkorespondensi dengan sisi lintasan ๐1 merupakan busur
maju terhadap ๐1. Perhatikan bahwa busur (๐ฃ1, ๐ฃ2) pada ๐ merupakan busur balik
terhadap lintasan ๐, tetapi busur tersebut merupakan busur maju terhadap lintasan
๐1.
๐ฃ_
๐ฃ1
๐ฃ2
๐ฃ3
๐ฃ4
๐ฃ๐ก
8
3
4
5
2
3
3
4
6
18
๐ฃ2
๐ฃ4
2.9 Inkremen dan Lintasan Peningkatan
Definisi 2.14
Misalkan ๐ adalah sebuah aliran dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก pada
jaringan ๐, dan misalkan ๐บ adalah graf dasar ๐, maka terdapat lintasan ๐ pada ๐บ.
๐(๐) adalah inkremen lintasan ๐, didefinisikan sebagai berikut. ๐(๐) =
min ๐ ๐ ๐ adalah busur ๐ yang bersesuaian dengan sisi ๐ .
Dengan ๐ ๐ adalah inkremen pada busur ๐, didefinisikan sebagai berikut:
๐ ๐ = ๐ ๐ โ ๐ ๐ , jika ๐ busur maju
๐ ๐ , jika ๐ busur balik
Sebuah lintasan ๐ dengan ๐ ๐ > 0 disebut lintasan augmentasi.
Selanjutnya, lintasan augmentasi ๐ dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก dinamakan
sebuah lintasan peningkatan (Budayasa, 2007: 235-236).
Contoh 2.10:
Gambar 2.10. Lintasan peningkatan terhadap aliran ๐.
Pada Gambar 2.10 di atas, dipunyai lintasan ๐ = (๐ฃ๐ , ๐ฃ2, ๐ฃ1, ๐ฃ3 , ๐ฃ4, ๐ฃ๐ก).
Karena (๐ฃ๐ , ๐ฃ2), ๐ฃ1, ๐ฃ3 , (๐ฃ4, ๐ฃ๐ก) busur-busur maju dan ๐ฃ1, ๐ฃ2 , (๐ฃ4, ๐ฃ3) busur-
busur balik, maka:
๐(๐ฃ๐ , ๐ฃ2) = ๐(๐ฃ
๐ , ๐ฃ2) โ ๐(๐ฃ
๐ , ๐ฃ2) = 6 โ 2 = 4,
๐ ๐ฃ1, ๐ฃ3 = ๐ ๐ฃ1, ๐ฃ3 โ ๐ ๐ฃ1, ๐ฃ3 = 5 โ 2 = 3,
๐ฃ๐
๐ฃ1 ๐ฃ3
๐ฃ๐ก
8;4
3;1
4;1
5;2
2;1
3;2
3;1
4;3
6;2
19
๐ ๐ฃ4, ๐ฃ๐ก = ๐ ๐ฃ4, ๐ฃ๐ก โ ๐ ๐ฃ4, ๐ฃ๐ก = 3 โ 1 = 2,
๐ ๐ฃ1, ๐ฃ2 = ๐ ๐ฃ1, ๐ฃ2 = 1, dan ๐ ๐ฃ4, ๐ฃ3 = ๐ ๐ฃ4, ๐ฃ3 = 1.
Sehingga ๐ ๐ = min 4,3,2,1,1 = 1. Karena ๐ ๐ > 0, maka ๐ =
(๐ฃ๐ , ๐ฃ2 , ๐ฃ1, ๐ฃ3 , ๐ฃ4, ๐ฃ๐ก) adalah sebuah lintasan peningkatan.
2.10 Aliran Maksimum
Definisi 2.15
Sebuah aliran di jaringan ๐ dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก adalah
suatu fungsi ๐ yang memetakan setiap busur (๐, ๐) di ๐ dengan sebuah bilangan
bulat non negatif yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.
A flow in a network ๐ from the source s to sink t is a function f which
assigns a non-negative integer to each of the arcs a in N such that
(1) (capacity constraint) ๐(๐) โค ๐(๐) for each arc ๐,
(2) the total flow into the sink t equals the total flow out of thr source s, and
(3) (flow conservation) for any intermediate vertex x, the total flow into x
equals the total flow out of x (Clark & Holton, 1995: 262) .
Misalkan ๐(๐, ๐) adalah kapasitas busur (๐, ๐). Aliran dalam jaringan pada
setiap busur (๐, ๐) adalah bilangan bulat non negatif ๐(๐, ๐) sedemikian sehingga
(1) 0 โค ๐ ๐, ๐ โค ๐ ๐, ๐ , โ ๐, ๐ ๐ ฮ ๐ , disebut kapasitas pembatas,
(2) ๐ ๐, ๐ =(๐,๐)๐๐(๐ ) ๐(๐, ๐)(๐,๐)๐๐ผ(๐ก) , disebut nilai aliran ๐,
(3) ๐ ๐, ๐ =(๐,๐)๐๐(๐ฅ) ๐ ๐, ๐ ,(๐,๐)๐๐ผ(๐ฅ) โ ๐ฅ๐ ๐ ๐ โ ๐ , ๐ก , disebut
konservasi aliran.
Definisi 2.16
Jika terdapat sebuah aliran ๐ di ๐ yang nilainya sama dengan kapasitas
suatu pemutus-(๐ , ๐ก), maka aliran ๐ tersebut adalah aliran maksimum dan
pemutus-(๐ , ๐ก) tersebut adalah sebuah pemutus-(๐ , ๐ก) minimum. Jadi aliran ๐
20
bernilai ๐๐ ,๐ก dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก pada jaringan ๐ dikatakan aliran
maksimum jika,
๐๐ ,๐ก = min ๐ ๐, ๐1 ๐ต ๐, ๐1 suatu pemutus โ ๐ , ๐ก pada jaringan ๐
(Budayasa, 2007: 234).
2.11 Preflow
Definisi 2.17
Given a transport network ๐ = (๐, ๐ธ) with ๐ vertices and ๐ edges, a
pseudo-flow ๐ is an assignment of nonnegative real numbers to the edges
of ๐ such that ๐(๐, ๐) โค ๐(๐, ๐) for (๐, ๐) โ ๐ธ. A pseudo-flow ๐ is a preflow
if ๐ ๐ข, ๐ฃ โ ๐(๐ฃ, ๐ข) โฅ 0๐ข๐ข for every ๐ฃ โ ๐ , ๐ก (Thulasiraman & Swamy,
1992: 411).
Definisi di atas mengatakan bahwa jaringan transportasi ๐ = (๐, ๐ธ)
dengan ๐ titik dan ๐ busur, sebuah aliran-semu (pseudo-flow) ๐ merupakan
sebuah pengaitan bilangan real non negatif pada busur-busur di ๐ yang memenuhi
๐(๐, ๐) โค ๐ ๐, ๐ dengan (๐, ๐) โ ๐ธ. Sebuah aliran-semu ๐ dikatakan preflow jika
memenuhi ๐ ๐ข, ๐ฃ โ ๐(๐ฃ, ๐ข) โฅ 0๐ข๐ข untuk setiap ๐ฃ โ ๐ , ๐ก, dengan ๐ ๐ข, ๐ฃ ๐ข
adalah ๐ ๐, ๐ ๐,๐ โ๐ผ(๐ฅ) , dan ๐ ๐ฃ, ๐ข ๐ข adalah ๐ ๐, ๐ ๐,๐ โ๐(๐ฅ) , untuk setiap
๐ฅ โ ๐(๐) โ {๐ , ๐ก}.
2.12 Excess, Kapasitas Sisa, Jaringan Sisa, dan Titik Aktif
2.12.1 Excess
Definisi 2.18
Let ๐ ๐ฃ = ๐ ๐ข, ๐ฃ โ ๐(๐ฃ, ๐ข)๐ข๐ข for every ๐ฃ โ ๐ , ๐ก. ๐(๐ฃ) is refined to
as excess at vertex v (Thulasiraman & Swamy, 1992: 411).
21
Dari definisi di atas, misalkan ๐ aliran pada jaringan ๐ = (๐, ๐ธ) dan
๐ฃ โ ๐. Excess pada titik ๐ฃ didefinisikan sebagai ๐ ๐ฃ = ๐ ๐ข, ๐ฃ โ๐ข ๐ ๐ฃ, ๐ข ,๐ข
โ ๐ฃโ ๐ ,๐ก .
2.12.2 Kapasitas Sisa dan Jaringan Sisa
Definisi 2.19
Given a preflow f, let ๐๐ = (๐, ๐ธ๐) denote the residual network with
respect to ๐. Recall that each edge (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ induces an edge (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ๐ ,
if ๐(๐ข, ๐ฃ) < ๐(๐ข, ๐ฃ), and edge (๐ฃ, ๐ข) โ ๐ธ๐ if ๐ ๐ข, ๐ฃ > 0. Edges of ๐๐ are
all called residual edges. In the former case (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ๐ is called a
forward edge and in the latter case (๐ฃ, ๐ข) โ ๐ธ๐ is a backward edge.๐๐(๐)
will denote the capacity of the residual edge e:
๐๐(๐) = ๐ ๐ โ ๐ ๐ , ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ค๐๐๐ ๐๐๐๐
๐(๐), ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ค๐๐๐ ๐๐๐๐
(Thulasiraman & Swamy, 1992: 411-412).
Dari definisi di atas, diberikan suatu preflow ๐, maka jaringan ๐๐ =
(๐, ๐ธ๐) merupakan jaringan sisa terhadap preflow ๐. Setiap busur (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ
membangun sebuah busur (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ๐ jika ๐(๐ข, ๐ฃ) < ๐(๐ข, ๐ฃ), dan membangun
sebuah busur (๐ฃ, ๐ข) โ ๐ธ๐ jika ๐ ๐ข, ๐ฃ > 0. Busur-busur pada jaringan ๐๐ disebut
busur sisa. Pada kasus ini (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ๐ dinamakan busur maju, dan sebaliknya
(๐ฃ, ๐ข) โ ๐ธ๐ dinamakan busur balik. ๐๐(๐) dikatakan kapasitas busur sisa ๐ dengan
nilai ๐๐(๐) = ๐ ๐ โ ๐ ๐ , jika ๐ busur maju๐(๐), jika ๐ busur balik.
Untuk selanjutnya dalam tulisan ini, kapasitas dari busur sisa ๐ disebut kapasitas
sisa busur ๐.
2.12.3 Titik Aktif
Definisi 2.20
A vertex ๐ฃ is active if ๐ฃ โ ๐ , ๐ก, and ๐ ๐ฃ > 0 (Thulasiraman & Swamy,
1992: 412).
22
Dari definisi di atas, misalkan ๐ aliran pada jaringan ๐ = (๐, ๐ธ) dan
๐ฃ โ ๐. Suatu titik ๐ฃ dikatakan titik aktif jika ๐ ๐ฃ > 0 dimana ๐ฃ โ ๐ , ๐ก.
2.13 Pelabelan Jarak (Distance Label)
Definisi 2.21
A valid labeling ๐ of ๐ is an assignment of nonnegative integers to the
vertices of ๐ such that ๐ ๐ = ๐, ๐ ๐ก = 0 and for every residual edge
(๐ฃ, ๐ค), ๐ ๐ฃ โค ๐ ๐ค + 1. It can be shown that if ๐ ๐ฃ < ๐, then ๐(๐ฃ) is a
lower bound on the distance from ๐ฃ to ๐ก in ๐๐, and if ๐(๐ฃ) โฅ ๐, then
๐ ๐ฃ โ ๐ is a lower bound on the distance from ๐ฃ to ๐ in ๐๐
(Thulasiraman & Swamy, 1992: 412).
Definisi di atas mengatakan bahwa suatu pelabelan valid pada titik ๐ฃ
(dilambangkan ๐(๐ฃ)) pada jaringan ๐ = (๐, ๐ธ), dengan ๐ titik dan ๐ busur,
adalah pemetaan bilangan bulat non negatif ke suatu titik di ๐ sedemikian
sehingga label pada titik sumber ๐ adalah ๐ ๐ = ๐, label pada titik tujuan ๐ก
adalah ๐ ๐ก = 0, dan ๐ ๐ฃ โค ๐ ๐ค + 1 untuk setiap busur sisa (๐ฃ, ๐ค). Dapat
ditunjukkan bahwa jika ๐ ๐ฃ < ๐, maka ๐(๐ฃ) batas bawah pada jarak dari titik ๐ฃ
ke titik tujuan ๐ก pada jaringan sisa ๐๐. Sebaliknya jika ๐(๐ฃ) โฅ ๐, maka ๐ ๐ฃ โ ๐
batas bawah jarak dari titik ๐ฃ ke titik sumber ๐ pada jaringan sisa ๐๐.
2.14 Aliran Jenuh dan Tak Jenuh
Definisi 2.22
A push from ๐ฃ to ๐ค is a saturating push if ๐๐ ๐ฃ, ๐ค = 0 after the push,
otherwise it is a nonsaturating push (Thulasiraman & Swamy, 1992: 412).
Dari definisi di atas, misalkan ๐ adalah aliran pada jaringan ๐. Sebuah
busur (๐ฃ, ๐ค) dikatakan jenuh (๐ ๐ ๐๐ก๐ข๐๐๐ก๐๐) jika ๐๐ ๐ฃ, ๐ค = 0, dan tak jenuh jika
23
selainnya. Artinya, dikatakan jenuh jika ๐ ๐ฃ, ๐ค = ๐(๐ฃ, ๐ค), dan tak jenuh jika
๐ ๐ฃ, ๐ค < ๐(๐ฃ, ๐ค).
2.15 Software GIDEN
Software GIDEN merupakan suatu software yang terorientasi untuk
menyelesaikan masalah-masalah optimasi jaringan. Software GIDEN digunakan
untuk memudahkan menemukan solusi yang tepat dalam menyelesaikan masalah-
masalah dalam jaringan yang melibatkan titik dan sisi dengan jumlah yang sangat
banyak. Masalah-masalah yang dapat diselesaikan dengan software GIDEN antara
lain: minimum spanning tree, shortest path, maximum flow, dan minimum-cost
flow. Langkah-langkah penggunaan software GIDEN adalah sebagai berikut.
Gambar 2.11. Software GIDEN.
Klik file, kemudian pilih new, diperoleh gambar sebagai berikut.
Gambar 2.12. Tampilan menu utama pada software GIDEN.
24
Pilih new node untuk menggambar titik.
Gambar 2.13. Tampilan untuk menggambar titik.
Pilih new edge untuk menggambar sisi.
Gambar 2.14. Tampilan untuk menggambar garis.
Untuk memberi nama pada titik, klik node data, pilih add data field.
Misalkan beri nama โtitikโ, beri nilai awal โ0โ, kemudian ganti tipe data field
dengan text, kemudian klik OK. Sedangkan untuk memberi nilai pada sisi (bobot),
klik edge data, pilih add data field. Beri nama field โbobotโ, beri nilai awal โ0โ,
ganti tipe data field dengan integer, kemudian klik OK. Pilih edit value dan beri
nama pada masing-masing titik, kemudian beri nilai pada masing-masing sisi,
seperti pada gambar berikut.
25
Gambar 2.15. Tampilan graf yang sudah diberi nama pada titik dan bobot pada
sisi.
Klik solvers. Terlihat ada beberapa masalah yang dapat diselesaikan
dengan software GIDEN, diantaranya minimum spanning tree, shortest path,
maximum flow, dan minimum cost flow.
Gambar 2.16. Tampilan menu dalam solvers.
Pilih menu dalam solvers sesuai dengan permasalahan yang diinginkan.
Dalam waktu yang singkat software ini akan menghasilkan solusi yang tepat
untuk menyelesaikan masalah-masalah tersebut.
26
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini metode atau langkah-langkah yang digunakan adalah
sebagai berikut.
3.1 Menemukan Masalah
Dalam tahap ini dicari sumber pustaka dan dipilih bagian dari sumber
pustaka sebagai suatu masalah. Penulis mencari berbagai macam sumber pustaka
yang berhubungan dengan aliran maksimum serta algoritma-algoritma untuk
menyelesaikan masalah aliran maksimum, kemudian menyeleksi untuk ditetapkan
sebagai suatu masalah yang harus diselesaikan.
3.2 Merumuskan Masalah
Masalah yang ditemukan kemudian dirumuskan kedalam pertanyaan
yang harus diselesaikan yaitu:
(1) Bagaimana konsep aliran maksimum berdasarkan teorema Maximal Flow-
Minimal Cut?
(2) Bagaimana menentukan aliran maksimum dengan algoritma Ford-
Fulkerson?
(3) Bagaimana menentukan aliran maksimum dengan algoritma Preflow-Push
dengan bantuan software GIDEN?
27
3.3 Studi Pustaka
Mengenai studi pustaka dilakukan untuk mengumpulkan informasi yang
diperlukan dalam penelitian ini terutama yang mengkaji jaringan, aliran
maksimum, algoritma Ford-Fulkerson, algoritma Preflow-Push, dan software
GIDEN. Mengumpulkan konsep pendukung yang diperlukan dalam
menyelesaikan masalah sehingga didapatkan suatu ide mengenai bahan dasar
pengembangan upaya pemecahan masalah. Studi pustaka diawali dengan
mengumpulkan sumber pustaka yang berupa buku-buku referensi yang mengkaji
teori graf dan software GIDEN. Selain itu sumber pustaka juga dapat diperoleh
secara online misalnya dengan cara mencarinya di situs www.google.com dengan
menggunakan kata kunci jaringan, aliran maksimum, algoritma Ford-Fulkerson,
algoritma Preflow-Push, dan software GIDEN.
3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah
Dari berbagai sumber pustaka yang sudah menjadi bahan kajian, diperoleh
suatu pemecahan masalah di atas. Selanjutnya dilakukan langkah-langkah
pemecahan masalah sebagai berikut.
1. Mendeskripsikan konsep aliran pada jaringan.
2. Mendeskripsikan konsep aliran maksimum pada jaringan berdasarkan
teorema Maximal Flow-Minimal Cut.
3. Mendeskripsikan cara menentukan aliran maksimum dengan algoritma Ford-
Fulkerson yang didasari dengan pembuktian lemma dan teorema Maximal
Flow-Minimal Cut.
28
4. Mendeskripsikan cara menentukan aliran maksimum dengan algoritma
Preflow-Push yang didasari operasi dasar push dan relabel.
5. Mendeskripsikan langkah-langkah menentukan aliran maksimum dengan
algoritma Preflow-Push menggunakan software GIDEN.
6. Menerapkan algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Push dalam menentukan
aliran maksimum pada contoh simulasi tentang aliran air dalam suatu motel
dengan asumsi-asumsi tertentu.
7. Mencocokkan hasil perhitungan aliran maksimum dari algoritma Ford-
Fulkerson dan Preflow-Push dengan bantuan software GIDEN.
3.5 Penarikan Kesimpulan
Tahap ini merupakan tahap terakhir dalam metode penelitian. Penarikan
kesimpulan dari permasalahan diperoleh dari hasil langkah pemecahan masalah
yang dirumuskan berdasarkan studi pustaka dan pembahasannya.
29
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konsep Aliran pada Jaringan
Sebuah aliran di jaringan ๐ = (๐ ๐ , ฮ ๐ ) dari titik sumber ๐ ke titik
tujuan ๐ก adalah suatu fungsi ๐ yang memetakan setiap busur (๐, ๐) di N dengan
sebuah bilangan bulat non negatif yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut.
(1) 0 โค ๐ ๐, ๐ โค ๐ ๐, ๐ โ ๐, ๐ ๐ ฮ(๐) (disebut โkapasitas pembatasโ).
Menyatakan bahwa nilai aliran pada setiap busur ๐ tidak pernah melebihi
kapasitas busur tersebut.
(2) ๐ ๐, ๐ =(๐,๐)๐๐(๐ ) ๐(๐, ๐)(๐,๐)๐๐ผ(๐ก) (disebut โnilai aliran fโ).
Menyatakan bahwa total nilai aliran yang keluar dari titik sumber ๐ sama
dengan total nilai aliran yang sampai di titik tujuan. Nilai ini yang selanjutnya
disebut โnilai aliran ๐โ dari s ke t pada jaringan ๐.
(3) ๐ ๐, ๐ =(๐,๐)๐๐(๐ฅ) ๐ ๐, ๐ ,(๐,๐)๐๐ผ(๐ฅ) โ ๐ฅ๐ ๐ ๐ โ ๐ , ๐ก (disebut โkonservasi
aliranโ).
Menyatakan bahwa untuk setiap titik antara pada ๐ berlaku total aliran yang
meninggalkan titik x sama dengan total aliran yang menuju titik ๐ฅ.
Jika nilai aliran ๐ dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก pada jaringan ๐
dimisalkan ๐๐ ,๐ก, maka syarat (2) dan (3) di atas dapat ditulis sebagai berikut.
30
๐๐ ,๐ก, jika ๐ = ๐ ..............................(4)
f(i,V) - f(V,i) = 0, jika ๐ โ ๐ , ๐ก ..............................(5)
โ๐๐ ,๐ก , jika ๐ = ๐ก ..............................(6)
Keterangan persamaan di atas adalah sebagai berikut.
Persamaan (4): aliran yang keluar dari ๐ adalah ๐๐ ,๐ก, aliran yang masuk ke titik
tujuan ๐ก adalah ๐๐ ,๐ก.
Persamaan (5): aliran yang keluar dari titik antara (selain ๐ dan ๐ก) adalah nol.
Persamaan (6): aliran yang keluar dari titik ๐ก adalah โ๐๐ ,๐ก .
Contoh 4.1:
Diberikan aliran dengan ๐ dari ๐ ke ๐ก dengan nilai 5 pada graf di bawah ini.
Gambar 4.1. Jaringan ๐ dengan aliran ๐ bernilai 5.
Keterangan:
๐ ๐ , ๐ = 4; ๐ ๐ , ๐ = 3 ๐ ๐, ๐ = 3; ๐ ๐, ๐ = 2
๐ ๐ , ๐ = 6; ๐ ๐ , ๐ = 2 ๐ ๐, ๐ = 4; ๐ ๐, ๐ = 1
๐ ๐, ๐ = 3; ๐ ๐, ๐ = 1 ๐ ๐, ๐ก = 8; ๐ ๐, ๐ก = 4
๐(๐, ๐) = 5; ๐ ๐, ๐ = 2 ๐ ๐, ๐ก = 3; ๐ ๐, ๐ก = 1
๐ ๐, ๐ = 2; ๐ ๐, ๐ = 1
s
a
b
c
d
t
8;4
3;1
4;1
5;2
2;1
3;2
3;1
4;3
6;2
31
Perhatikan Gambar 4.1 dengan aliran ๐ bernilai 5.
Jika ๐ = {๐ , ๐} dan ๐1 = {๐, ๐, ๐, ๐ก},
๐ต ๐, ๐1 = ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ } adalah pemutus-(๐ , ๐ก) pada
๐ dengan kapasitas ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 6 + 3 + 5 = 14,
maka ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 2 + 1 + 2 = 5.
Terlihat bahwa ๐ ๐, ๐1 โค ๐ ๐, ๐1 .
Contoh 4.2:
Tingkatkan aliran f menjadi ๐1 dari s ke t dengan nilai 6, sehingga:
Gambar 4.2. Jaringan ๐ dengan aliran ๐1 bernilai 6.
Keterangan:
๐ ๐ , ๐ = 4; ๐ ๐ , ๐ = 4 ๐ ๐, ๐ = 3; ๐ ๐, ๐ = 2
๐ ๐ , ๐ = 6; ๐ ๐ , ๐ = 2 ๐ ๐, ๐ = 4; ๐ ๐, ๐ = 1
๐ ๐, ๐ = 3; ๐ ๐, ๐ = 1 ๐ ๐, ๐ก = 8; ๐ ๐, ๐ก = 5
๐ ๐, ๐ = 5; ๐ ๐, ๐ = 3 ๐ ๐, ๐ก = 3; ๐ ๐, ๐ก = 1
๐ ๐, ๐ = 2; ๐ ๐, ๐ = 1
Perhatikan Gambar 4.1 dengan aliran ๐1 bernilai 6.
Jika ๐ = {๐ , ๐} dan ๐1 = {๐, ๐, ๐, ๐ก},
๐ต ๐, ๐1 = ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ } adalah pemutus-(๐ , ๐ก) pada
๐ dengan kapasitas ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 6 + 3 + 5 = 14,
4;4
a
b
c
d
t s
6;2
3;1
5;3
2;1
3;2
4;1
8;5
3;1
32
maka ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 2 + 1 + 3 = 6.
Terlihat bahwa ๐ ๐, ๐1 โค ๐ ๐, ๐1 .
Dari Contoh 4.1 dan 4.2 terlihat bahwa nilai aliran tidak melebihi kapasitas
pemutus-(๐ , ๐ก), yaitu ๐ต ๐, ๐1 . Ternyata ini berlaku untuk sebarang aliran dan
sebarang pemutus di ๐.
Teorema 4.1
Misalkan ๐ sebuah jaringan dengan titik sumber ๐ dan titik tujuan ๐ก. Jika f adalah
sebuah aliran dari ๐ ke ๐ก pada ๐ dengan nilai ๐๐ ,๐ก dan ๐ต(๐, ๐1) sebuah pemutus-
(๐ , ๐ก) pada ๐, maka ๐๐ ,๐ก = ๐ ๐, ๐1 โ ๐(๐1, ๐) โค ๐(๐, ๐1) (Budayasa, 2007: 233).
Bukti:
Dari definisi aliran, untuk titik sumber ๐ diperoleh ๐ ๐ , ๐ โ ๐ ๐, ๐ = ๐๐ ,๐ก ,
dan untuk setiap titik ๐ฅ๐๐ โ ๐ , ๐ก diperoleh
๐ ๐ฅ , ๐ = ๐ ๐, ๐ =(๐ ,๐ )๐๐(๐ฅ) ๐ ๐, ๐ = ๐(๐, ๐ฅ ) (๐ ,๐ )๐๐ผ(๐ฅ)
atau ๐ ๐ฅ , ๐ โ ๐ ๐, ๐ฅ = 0.
Sehingga untuk suatu pemutus- ๐ , ๐ก , ๐ต ๐, ๐1 diperoleh
๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐, ๐ = ๐( ๐ฅ , ๐ ๐ตโ๐ โ ๐(๐, ๐ฅ
= ๐ ๐ , ๐ โ ๐ ๐, ๐ + 0 = ๐๐ ,๐ก ....................................(1)
sementara itu, ๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐, ๐ = ๐ ๐, ๐ โช ๐1 โ ๐ ๐ โช ๐1, ๐
= ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐1, ๐
= ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ ........................................(2)
karena nilai aliran pada setiap busur tidak negatif, maka ๐ ๐1, ๐ โฅ 0, sehingga
๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ โค ๐ ๐, ๐1 ..................................................................................(3)
33
Selanjutnya, karena nilai aliran pada setiap busur N tidak melebihi kapasitas
busur, maka ๐ ๐, ๐1 โค ๐ ๐, ๐1 .................................................................................(4)
dari (1), (2), (3), (4) disimpulkan,
๐๐ ,๐ก = ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ โค ๐ ๐, ๐1 โค ๐ ๐, ๐1
Dengan demikian bukti teorema lengkap.
Contoh 4.3:
Diberikan graf ๐ sebagai berikut
Gambar 4.3. Jaringan ๐ dengan aliran ๐ bernilai 5.
(a) Jika ๐ = {๐ , ๐} dan ๐1 = {๐, ๐, ๐, ๐ก}, ๐ต ๐, ๐1 adalah pemutus (๐ , ๐ก) sehingga
๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 2 + 2 + 2 = 6
๐ ๐1, ๐ = ๐ ๐, ๐ = 1
๐๐ ,๐ก = ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ = 6 โ 1 = 5
dengan kapasitas ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 6 + 3 + 5 = 14
terlihat bahwa ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ โค ๐ ๐, ๐1 โค ๐ ๐, ๐1 .
s
a
b
c
d
t
4;3
6;2
3;2
5;2
2;1
2;1
4;3
4;1
8;4
3;1
34
(b) Jika ๐ = {๐ , ๐, ๐} dan ๐1 = {๐, ๐, ๐ก}, ๐ต ๐, ๐1 adalah pemutus (๐ , ๐ก) sehingga
๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 2 + 1 + 3 = 6
๐ ๐1, ๐ = ๐ ๐, ๐ = 1
๐๐ ,๐ก = ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ = 6 โ 1 = 5
dengan kapasitas ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ = 5 + 2 + 4 = 11
terlihat bahwa ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ โค ๐ ๐, ๐1 โค ๐ ๐, ๐1 .
Dari Contoh 4.3, menunjukkan bahwa aliran ๐๐ ,๐ก dari ๐ ke ๐ก akan sama
meskipun melalui pemutus-(๐ , ๐ก) yang berbeda. Dalam hal ini, nilai aliran ๐๐ ,๐ก dari
๐ ke ๐ก sama dengan 5 melalui dua pemutus- ๐ , ๐ก , yaitu ๐ต ๐ , ๐ , {๐, ๐, ๐, ๐ก} dan
๐ต ๐ , ๐, ๐ , {๐, ๐, ๐ก} . Terlihat bahwa ๐๐ ,๐ก = ๐ ๐, ๐1 โ ๐ ๐1, ๐ โค ๐ ๐, ๐1 โค
๐ ๐, ๐1 .
4.2 Konsep Aliran Maksimum pada Jaringan
Definisi 4.1
Misalkan ๐ adalah sebuah aliran dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก pada
jaringan ๐, dan misalkan ๐บ adalah graf dasar ๐, maka terdapat lintasan ๐ pada ๐บ.
๐(๐) adalah inkremen lintasan peningkatan ๐, menurut Clark & Holton (1995:
268), didefinisikan sebagai berikut,
๐ ๐ = min ๐ ๐ ๐ adalah busur ๐ yang bersesuaian dengan sisi ๐
di mana ๐ ๐ adalah inkremen pada busur ๐, didefinisikan sebagai berikut,
๐ ๐ = ๐ ๐ โ ๐ ๐ , jika ๐ busur maju
๐ ๐ , jika ๐ busur balik
35
sebuah lintasan ๐ dengan ๐ ๐ = 0 dikatakan jenuh (f saturated), sedangkan
lintasan ๐ dengan ๐ ๐ > 0 dikatakan tak jenuh (f unsaturated) disebut lintasan
augmentasi. Selanjutnya, lintasan augmentasi ๐ dari titik sumber ๐ ke titik tujuan
๐ก dinamakan sebuah lintasan peningkatan.
Lemma 4.2
Misalkan ๐ sebuah aliran bernilai ๐๐ ,๐ก dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก pada
jaringan ๐. Jika terdapat lintasan ๐ dari titik ๐ ke titik ๐ก dengan ๐ ๐ = ๐ฟ > 0,
definisikan fungsi ๐1 pada himpunan ฮ(๐) sebagai berikut:
๐1 ๐ = ๐ ๐ + ๐ฟ, jika ๐ busur maju terhadap ๐,
๐1 ๐ = ๐ ๐ โ ๐ฟ jika ๐ busur balik terhadap ๐,
๐1 ๐ = ๐ ๐ , jika busur ๐ yang lainnya. Maka ๐1 adalah aliran dari titik ๐ ke titik
๐ก pada N dengan nilai ๐๐ ,๐ก + ๐ฟ (Budayasa, 2007: 236).
Bukti:
Berdasarkan definisi ๐ ๐ = ๐ฟ > 0, dan ๐ ๐ = min{๐ ๐ }, maka ๐(๐) positif.
Oleh sebab ๐ ๐ = ๐ ๐ โ ๐ ๐ jika ๐ busur maju , dan ๐ ๐ = ๐ ๐ jika ๐ busur
balik terhadap ๐, berakibat:
๐1 ๐ =
๐ ๐ + ๐ ๐ = ๐(๐)๐ ๐ โ ๐ ๐ = 0
Jelas 0 โค ๐1 ๐ โค ๐(๐).
Karena ๐ ๐ positif, maka ๐ adalah lintasan augmentasi. Selanjutnya, lintasan
augmentasi ๐ dari titik sumber ๐ ke titik tujuan ๐ก dinamakan sebuah lintasan
peningkatan dimana aliran pada busur yang melewati titik-titik pada lintasan
peningkatan ๐ boleh berubah. Untuk memeriksa bahwa aliran ๐1 memenuhi sifat
36
+๐ฟ
โ๐ฟ
+๐ฟ +๐ฟ
+๐ฟ โ๐ฟ โ๐ฟ
โ๐ฟ
konservasi aliran, maka aliran pada busur yang terkait dengan titik-titik antara
(titik selain ๐ dan ๐ก) perlu dicek.
Misalkan, dipunyai titik ๐ฅ (titik antara) pada lintasan peningkatan ๐, maka dua
busur yang terkait dengan titik ๐ฅ diilustrasikan sebagai berikut.
Gambar 4.4. Ilustrasi aliran pada busur maju dan busur balik.
Dari ilustrasi di atas, aliran yang masuk ataupun keluar dari titik ๐ฅ tidak berubah,
dengan demikian memenuhi sifat konservasi aliran sebagai berikut:
๐ ๐ =(๐)๐๐(๐ฅ) ๐ ๐ ,(๐)๐๐ผ(๐ฅ) โ ๐ฅ๐ ๐ ๐ โ ๐ , ๐ก .
Akan ditunjukkan lintasan peningkatan ๐ yang alirannya ditingkatkan oleh ๐ฟ.
Lintasan peningkatan ini dimulai dari titik sumber ๐ , misalkan busur ๐1 adalah
busur yang terkait dengan titik sumber ๐ pada lintasan peningkatan ๐. Sehingga,
๐1 ๐1 = ๐ ๐1 + ๐ฟ, jika ๐1 busur maju terhadap ๐,
๐1 ๐1 = ๐ ๐1 โ ๐ฟ, jika ๐1 busur balik terhadap ๐,
๐1 ๐1 = ๐ ๐1 , jika busur ๐1 bukan busur yang terdapat pada lintasan ๐.
Dari definisi aliran untuk titik sumber ๐ , pada persamaan (4) sebagai berikut
๐ ๐ , ๐ โ ๐ ๐, ๐ = ๐๐ ,๐ก , diperoleh ๐ ๐1 โ 0 = ๐๐ ,๐ก artinya ๐ ๐1 = ๐๐ ,๐ก .
Sehingga diperoleh nilai ๐1 = ๐1 ๐ โ๐โ๐(๐ ) ๐1
๐ ๐โ๐ผ(๐ )
= ๐1 ๐1 โ 0
= ๐ ๐1 + ๐ฟ (syarat ๐ฟ positif)
= ๐๐ ,๐ก + ๐ฟ.
x
x x
x
37
Teorema 4.3 (Teorema Maximal Flow-Minimal Cut)
Misalkan ๐ sebuah jaringan dengan titik sumber ๐ dan titik tujuan ๐ก. Maka
terdapat sebuah aliran maksimum pada ๐ (Budayasa, 2007: 238-239).
Bukti:
Misalkan ๐ sebuah aliran dengan nilai ๐ dari ๐ ke ๐ก pada jaringan ๐.
Definisikan himpunan ๐ sebagai berikut:
๐ค โ ๐ sedemikian hingga ๐ค = ๐ atau ada lintasan (๐ , ๐ค) pada graf dasar ๐ yang
inkremennya positif. Maka ada dua kemungkinan letak titik ๐ก, yaitu ๐ก๐๐ atau
๐ก๐๐1 = ๐ ๐ โ ๐.
Jika ๐ก๐๐, berdasarkan definisi ๐, terdapat lintasan ๐ dari titik ๐ ke titik ๐ก dengan
๐ ๐ = ๐ฟ > 0. Sehingga berdasarkan lemma 4.2, aliran ๐ dapat direvisi menjadi
aliran ๐1, sedemikian hingga ๐1 ๐ = ๐ ๐ + ๐ฟ jika ๐ busur maju pada ๐,
๐1 ๐ = ๐ ๐ โ ๐ฟ jika ๐ busur balik pada ๐, ๐1
๐ = ๐ ๐ jika ๐ busur ๐ yang
tidak terletak pada ๐. Aliran ๐1 bernilai ๐ + ๐ฟ > ๐ (karena ๐ฟ > 0). Jadi ๐1 adalah
aliran dari ๐ ke ๐ก di ๐ yang nilainya lebih besar dari nilai aliran ๐. Dikatakan,
aliran ๐1 adalah revisi aliran ๐. Selanjutnya menggunakan aliran ๐1 pada ๐, cari
himpunan ๐ seperti sebelumnya. Jika titik tujuan ๐ก menjadi anggota ๐, maka
berdasarkan definisi ๐, terdapat lintasan ๐1 dari ๐ ke ๐ก dengan ๐ ๐1 = ๐ฟ1 > 0.
Berdasarkan lemma 4.2, bentuk aliran ๐2 dari ๐1 sedemikian hingga: ๐2 ๐ =
๐1 ๐ + ๐ฟ1 jika ๐ busur maju pada ๐1, ๐2
๐ = ๐1 ๐ โ ๐ฟ1 jika a busur balik pada
๐1, dan ๐2 ๐ = ๐1
๐ untuk busur ๐ yang lainnya. Aliran ๐2 bernilai ๐ + ๐ฟ + ๐ฟ1,
lebih besar dari nilai aliran ๐1 karena ๐ฟ1 > 0. Jadi aliran ๐2 merupakan revisi dari
38
aliran ๐1 didasarkan atas lintasan peningkatan ๐1. Proses merevisi aliran seperti
itu dapat dilanjutkan sampai diperoleh suatu aliran, katakan aliran ๐โ, sedemikian
hingga terhadap aliran ๐โ pada ๐, himpunan ๐ tidak memuat titik ๐ก, atau ๐ก โ ๐.
Ini berarti, tidak ada lagi lintasan pada graf ๐ dari ๐ ke ๐ก yang inkremennya
positif. Selanjutnya, akan ditunjukkan ๐โ adalah aliran maksimum pada ๐. Untuk
itu cukup ditunjukkan bahwa nilai aliran ๐โ sama dengan kapasitas sebuah
pemutus-(๐ , ๐ก) pada ๐.
Klaim 1. Jika ๐ฃ๐๐, ๐ข๐๐1 = ๐ ๐ โ ๐, dan ๐ฃ, ๐ข ๐ ฮ(๐), maka ๐โ ๐ฃ, ๐ข = ๐(๐ฃ, ๐ข).
Andaikan ๐โ ๐ฃ, ๐ข < ๐(๐ฃ, ๐ข). Karena ๐ฃ, ๐ข busur maju, maka ๐ ๐ฃ, ๐ข > 0.
Selanjutnya, karena ๐ฃ๐๐, maka ada lintasan ๐โฒ dari ๐ ke ๐ฃ dengan ๐ ๐โฒ > 0 dan
karena ๐ ๐ฃ, ๐ข > 0, maka ada lintasan dari ๐ ke ๐ข lewat ๐ฃ yang inkremennya
positif. Berdasarkan definisi ๐, maka ๐ข ๐ ๐ kontradiksi dengan ๐ข โ ๐.
Klaim 2. Jika ๐ฃ ๐ ๐, ๐ข ๐ ๐1 = ๐ ๐ โ ๐, dan ๐ฃ, ๐ข ๐ ฮ(๐), maka ๐โ ๐ข, ๐ฃ = 0.
Andaikan ๐โ ๐ข, ๐ฃ > 0. Karena ๐ข, ๐ฃ busur balik maka ๐ ๐ข, ๐ฃ = ๐โ ๐ข, ๐ฃ > 0.
Seperti sebelumnya, karena ๐ฃ๐๐, maka ada lintasan ๐โฒ dari ๐ ke ๐ฃ dengan ๐ ๐โฒ >
0 dan karena ๐ ๐ข, ๐ฃ > 0, maka pada graf dasar ๐ ada lintasan dari ๐ ke ๐ข lewat ๐ฃ
yang inkremennya positif. Berdasarkan definisi ๐, maka ๐ข๐๐ kontradiksi bahwa
titik ๐ข terletak di dalam ๐1 = ๐ ๐ โ ๐.
Berdasarkan klaim 1 dan klaim 2, secara berturut-turut diperoleh
๐โ ๐, ๐1 = ๐(๐,๐1) dan ๐โ ๐1, ๐ = 0.
Berdasarkan teorema 4.1
Nilai aliran ๐โ = ๐โ ๐, ๐1 โ ๐โ ๐1, ๐
= ๐ ๐, ๐1 โ 0 = ๐ ๐, ๐1 .
39
Karena ๐ต(๐, ๐1) sebuah pemutus-(๐ , ๐ก) pada ๐ dan nilai ๐โ = ๐ ๐, ๐1 , maka ๐โ
adalah aliran maksimum di ๐ dan ๐ต(๐, ๐1) adalah sebuah pemutus-(๐ , ๐ก)
minimum pada jaringan ๐.
Contoh 4.4:
Diberikan graf N sebagai berikut.
Gambar 4.5. Jaringan ๐ dengan aliran ๐ bernilai 9.
Graf ๐ adalah jaringan dengan aliran ๐ bernilai 9 dengan pemutus-(๐ , ๐ก)
minimum, yaitu ๐ต ๐, ๐1 = ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 4 + 2 + 3 = 9
๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) = 4 + 2 + 3 = 9.
Menurut teorema Maximal Flow-Minimal Cut aliran maksimum dari ๐ ke ๐ก
dalam ๐ sama dengan kapasitas pemutus-(๐ , ๐ก) minimum. Dari contoh 4.4,
diperoleh ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐, ๐1 atau ๐๐๐๐ฅ = ๐ ๐, ๐1 = 9, terlihat bahwa semua
busur dalam himpunan ๐ต ๐, ๐1 adalah jenuh karena ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐, ๐1 .
4;4
a
b
c
d
t s
6;5
3;0
5;4
2;2
3;3
4;0
8;6
3;3
40
4.3 Algoritma Ford-Fulkerson
Secara garis besar, prosedur algoritma Ford-Fulkerson sudah tersirat dalam
bukti teorema 4.3 dan prosedur untuk mengkonstruksi aliran ๐ baru yang nilainya
lebih besar dari nilai aliran ๐ lama sudah tersirat dalam lemma 4.2. Namun
prosedur untuk mendapatkan lintasan peningkatan ๐ tidak tersirat dalam lemma
maupun bukti teorema sebelumnya. Untuk mendapatkan lintasan ๐ yang
demikian, akan digunakan teknik pelabelan titik, yang pada prinsipnya melabel
titik-titik ๐ dengan teknik tertentu dimulai dari titik ๐ , kemudian dilanjutkan
melabel titik yang lain. Jika dengan teknik tersebut bisa melabel titik ๐ก, maka
dengan teknik โprosedur balikโ lintasan ๐ ditemukan. Tetapi sebaliknya, jika titik
๐ก tidak bisa dilabel, maka tidak ada lintasan ๐ seperti itu pada ๐. Secara sistematis
algoritmanya adalah sebagai berikut.
Langkah 1: misalkan ๐ sebuah aliran dari ๐ ke ๐ก pada ๐. (Boleh dimulai dengan
aliran bernilai nol, yaitu ๐ ๐, ๐ = 0, โ (๐, ๐)๐ฮ(N). Dilanjutkan ke
Routin-Pelabelan.
Langkah 2: Routin-Pelabelan
2.1 Label ๐ฃ๐ = (๐ , +, ํ ๐ = ~). Titik ๐ฃ๐ telah terlabel dan belum
teramati. Sebuah titik ๐ฃ dikatakan telah teramati jika semua titik
yang dapat dilabel dari titik ๐ฃ sudah terlabel.
2.2 Pilih sebarang titik yang terlabel tetapi belum teramati, misalkan
titik tersebut ๐ฃ๐ฅ. Untuk โ ๐ฃ๐ฆ โ(๐ฆ, ๐ฅ) โ ฮ(N), ๐ฃ๐ฆ belum berlabel dan
๐ ๐ฆ, ๐ฅ > 0, maka label ๐ฃ๐ฆ = (๐ฅ, โ, ํ ๐ฆ ) dengan ํ ๐ฆ =
๐๐๐ ํ ๐ฅ , ๐(๐ฆ, ๐ฅ) . Sekarang titik ๐ฃ๐ฆ telah terlabel, tetapi belum
41
teramati. Untuk โ ๐ฃ๐ฆ โ(๐ฅ, ๐ฆ) โ ฮ(N), ๐ฃ๐ฆ belum berlabel dan
๐ ๐ฅ, ๐ฆ > ๐(๐ฅ, ๐ฆ), maka label ๐ฃ๐ฆ = (๐ฅ, +, ํ ๐ฆ ) dengan ํ ๐ฆ =
min ํ ๐ฅ , ๐ ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ) . Sekarang titik ๐ฃ๐ฆ terlabel tetapi
belum teramati, sedangkan titik ๐ฃ๐ฅ telah terlabel dan teramati.
2.3 Ulangi langkah 2.2 sampai:
(1) titik ๐ฃ๐ก terlabel, atau;
(2) semua titik terlabel telah teramati tetapi titik ๐ฃ๐ก tak terlabel;
(3) jika titik ๐ฃ๐ก terlabel, lanjut ke langkah 3;
(4) jika semua titik terlabel telah teramati tetapi titik ๐ฃ๐ก tak
terlabel, maka BERHENTI. Aliran ๐ adalah aliran maksimum
pada jaringan ๐.
Langkah 3: dengan prosedur โbalikโ, temukan lintasan peningkatan ๐ dengan
i(P) adalah label ๐ฃ๐ก.
Langkah 4: tingkatkan nilai aliran ๐ sebesar label ๐ฃ๐ก, berdasarkan lintasan
peningkatan ๐ dengan menggunakan โRoutine-Peningkatanโ:
4.1 Misal: ๐ง = ๐ก lanjutkan ke langkah 4.2.
4.2 Jika label ๐ฃ๐ง = (๐, +, ํ ๐ก ) tingkatkan nilai ๐(๐, ๐ง) dengan
ํ ๐ก = ๐(๐). Jika label ๐ฃ๐ง = (๐, โ, ํ ๐ก ) turunkan nilai ๐(๐ง, ๐)
dengan ํ ๐ก = ๐(๐).
4.3 Jika ๐ = ๐ , hapus semua label. Pada tahap ini diperoleh aliran ๐
baru dengan nilai = i(P) + nilai aliran ๐ lama. Ganti aliran ๐ dengan
aliran ๐ yang baru, dan kembali ke langkah 1 (Budayasa, 2007:
240-242).
42
4.4 Algoritma Preflow-Push
Algoritma Preflow-Push dapat mencari nilai aliran maksimum dengan
aliran-semu (pseudo-flow) f pada jaringan. Misalkan, jaringan ๐ = (๐, ๐ธ) dengan
๐ titik dan ๐ busur, sebuah aliran-semu (pseudo-flow) f merupakan sebuah
pengaitan bilangan real non negatif pada busur-busur di ๐ yang memenuhi
๐ ๐, ๐ โค ๐ ๐, ๐ โ ๐, ๐ โ ๐ธ.
Sebuah aliran-semu (pseudo-flow) f dikatakan sebuah preflow, jika
memenuhi ๐ ๐ข, ๐ฃ โ ๐ ๐ฃ, ๐ข โฅ 0 โ ๐ฃ โ ๐ , ๐ก๐ข๐ข , dengan ๐ ๐ข, ๐ฃ ๐ข adalah
๐ ๐, ๐ ๐,๐ โ๐ผ(๐ฅ) , dan ๐ ๐ฃ, ๐ข ๐ข adalah ๐ ๐, ๐ ๐,๐ โ๐(๐ฅ) . Dengan ๐ ๐ฃ =
๐ ๐ข, ๐ฃ โ ๐ ๐ฃ, ๐ข ๐ข๐ข merupakan excess pada titik ๐ฃ. Jelas sebuah preflow f
adalah aliran jika ๐ ๐ฃ = 0 untuk setiap ๐ฃ โ ๐ , ๐ก (Thulasiraman & Swamy, 1992:
411).
Misalkan ๐ = (๐, ๐ธ) dengan preflow f. Maka ๐๐ = (๐, ๐ธ๐) dikatakan
jaringan sisa terhadap preflow ๐ jika setiap busur (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ membangun sebuah
busur (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ๐ jika ๐(๐ข, ๐ฃ) < ๐(๐ข, ๐ฃ), dan membangun sebuah busur (๐ฃ, ๐ข) โ
๐ธ๐ jika ๐ ๐ข, ๐ฃ > 0. Busur-busur pada jaringan sisa ๐๐ disebut busur sisa. Pada
kasus ini (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ๐ dinamakan busur maju, dan sebaliknya (๐ฃ, ๐ข) โ ๐ธ๐
dinamakan busur balik. ๐๐(๐) dikatakan kapasitas busur sisa ๐ jika,
๐๐ ๐ = ๐ ๐ โ ๐ ๐ , jika ๐ busur maju๐ ๐ , jika ๐ busur balik.
Suatu pelabelan valid ๐ pada ๐ = (๐, ๐ธ) adalah pemetaan bilangan bulat
non negatif ke suatu titik di ๐ sedemikian sehingga ๐ ๐ = ๐, ๐ ๐ก = 0 dan
43
๐ ๐ฃ โค ๐ ๐ค + 1 untuk setiap busur sisa (๐ฃ, ๐ค). Sebuah titik ๐ฃ disebut titik aktif
jika ๐ฃ โ ๐ , ๐ก, dan ๐ ๐ฃ > 0 (Thulasiraman, 1992: 412).
Algoritma Preflow-Push dimulai dengan preflow f yang nilainya sama
dengan kapasitas busur untuk setiap busur yang meninggalkan titik sumber ๐ dan
bernilai nol untuk yang lainnya. Selanjutnya inisialisasi label dengan pelabelan
valid ๐ ๐ = ๐, ๐ ๐ก = 0, dan ๐ ๐ฃ โค ๐ ๐ค + 1 untuk setiap busur sisa (๐ฃ, ๐ค).
Algoritma Preflow-Push secara berulang-ulang menggunakan dua operasi dasar,
yaitu Push dan Relabel yang bekerja sebagai berikut.
Push (๐, ๐)
Applicability. ๐ฃ is active, (๐ฃ, ๐ค) โ ๐ธ๐ and ๐ ๐ฃ = ๐ ๐ค + 1.
Action. Set ๐ฟ = ๐๐๐{๐ ๐ฃ , ๐๐ ๐ฃ, ๐ค } and do the following.
1. Increase ๐(๐ฃ, ๐ค) by ๐ฟ if ๐ฃ, ๐ค is a forward edge, otherwise decrease
๐(๐ค, ๐ฃ) by ๐ฟ.
2. Decrease ๐(๐ฃ) by ๐ฟ and increase ๐(๐ค) by ๐ฟ.
(Note: ๐ฟ > 0 because both ๐(๐ฃ) and ๐๐(๐ฃ, ๐ค) are positive).
Relabel (๐)
Applicability. ๐ฃ is active, and for every ๐ฃ, ๐ค โ ๐ธ๐, ๐(๐ฃ) โค ๐(๐ค).
Action. Set ๐ ๐ฃ = ๐๐๐(๐ฃ,๐ค)โ๐ธ๐{๐ ๐ค + 1} (Thulasiraman, 1992: 412).
Misalkan titik ๐ฃ (bukan titik sumber maupun titik tujuan) yang aktif
(๐ ๐ฃ > 0), maka pilih titik tersebut dan lakukan push dan relabel secara berulang
sebagai berikut.
Langkah 1: jika ada busur (๐ฃ, ๐ค) yang admissible ๐ ๐ฃ = ๐ ๐ค + 1 , maka
lakukan push ๐ฟ = min{๐ ๐ฃ , ๐๐ ๐ฃ, ๐ค }
(1) tingkatkan aliran ๐(๐ฃ, ๐ค) sebesar ๐ฟ jika (๐ฃ, ๐ค) busur maju, dan
penurunan aliran ๐(๐ค, ๐ฃ) sebesar ๐ฟ jika (๐ค, ๐ฃ) busur balik,
(2) turunkan ๐(๐ฃ) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐ค) sebesar ๐ฟ, dengan
๐ฟ > 0.
44
Langkah 2: jika tidak ada busur (๐ฃ, ๐ค) yang admissible ๐(๐ฃ) โค ๐(๐ค), maka
lakukan relabel, dengan mengganti ๐(๐ฃ) dengan label jarak sebesar
๐ ๐ฃ = min{๐ ๐ค + 1}.
Lakukan push dan relabel secara berulang sehingga tidak ada lagi titik yang aktif.
Pendorongan preflow f dari ๐ฃ ke ๐ค meningkatkan aliran ๐(๐ฃ, ๐ค) dan ๐(๐ค)
dengan peningkatan sebesar ๐ฟ = min{๐ ๐ฃ , ๐๐ ๐ฃ, ๐ค }, dan penurunan ๐(๐ค, ๐ฃ) dan
๐(๐ฃ) dengan nilai ๐ฟ yang sama. Setelah dilakukan pendorongan preflow f dari ๐ฃ
ke ๐ค, jika ๐๐ ๐ฃ, ๐ค = 0 dikatakan ๐ jenuh (f saturated), selainnya dikatakan ๐ tak
jenuh (f unsaturated). Algoritma Preflow-Push akan berhenti ketika tidak ada lagi
titik aktif.
4.5 Algoritma Preflow-Push dengan Software GIDEN
Untuk mempermudah menyelesaikan masalah aliran maksimum dengan
algoritma Preflow-Push, maka akan digunakan alat bantu yaitu software GIDEN.
Menurut Coullard et al. (2003: 48-49), pelabelan busur pada software GIDEN
yaitu (๐ฅ๐ , ๐ข๐ โ ๐ฅ๐), di mana ๐ฅ๐ adalah preflow f dengan nilai awal nol (๐ฅ = 0)
dan (๐ข๐โ ๐ฅ๐) merupakan kapasitas sisa busur ๐ yang biasa dilambangkan ๐๐.
Software GIDEN ini mengimplementasikan aturan โhighest labelโ pada
pemilihan titik aktif. Menurut Ahuja et al. (1993: 230), cara bekerja algoritma
Preflow-Push dengan aturan โhighest labelโ yaitu โthis algorithm always pushes
from an active node with the highest value of the distance labelโ, menjelaskan
bahwa algoritma ini bekerja dengan mendorong preflow dengan nilai label
tertinggi dalam mengoperasikan algoritma Preflow-Push.
45
Langkah-langkah penggunaan software GIDEN seperti yang telah
dijelaskan pada bab sebelumnya. Untuk menyelesaikan masalah aliran maksimum
dengan algoritma Preflow-Push, klik solvers, pilih maximum flow, kemudian pilih
Preflow-Push. Seperti pada gambar berikut.
Gambar 4.6. Tampilan cara menggunakan algoritma Preflow-Push.
Kemudian akan muncul kotak pertanyaan, pilih โbobotโ, klik accept.
Gambar 4.7. Tampilan input data algoritma Preflow-Push.
46
Kemudian klik trace, klik sink, klik source, kemudian enter โYESโ. Klik
trace berulang kali sampai iterasi berhenti dengan berubahnya trace menjadi
reset.
Gambar 4.8. Tampilan untuk proses iterasi algoritma Preflow-Push.
Nilai akhir aliran maksimum dapat dilihat pada bagian atas seperti pada
gambar berikut.
Gambar 4.9. Tampilan untuk hasil aliran maksimum dengan algoritma Preflow-
Push.
47
4.6 Contoh Penggunaan Aliran Maksimum
Pada pembangunan motel, akan dibangun sistem aliran air yang tandon
airnya terletak di kamar 6 dan berakhir di kamar 1. Besarnya ukuran pipa berbeda-
beda dan kapasitas aliran air (liter per menit) terlihat pada gambar berikut.
Gambar 4.10. Kapasitas aliran air (liter per menit).
Contoh penggunaan aliran maksimum pada Gambar 4.10 diambil dari soal
dalam buku โProgram Linearโ karangan Dwijanto (2008: 148), sebelumnya soal
ini belum ada penyelesaiannya. Penulis menambahkan asumsi bahwa kantor
maupun kamar selain kamar 1 sedang dalam keadaan tidak menggunakan air,
antar kamar letaknya datar, kekuatan gaya yang diberikan dalam pipa sama.
Bagaimana menentukan aliran air maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson
dan Preflow-Push serta tentukan besar kapasitas pemutus minimumnya dengan
titik tujuan kamar 1 dalam sistem jaringan aliran air pada motel ini.
Misalkan, kamar 6 beri nama titik ๐ , kamar 3 beri nama titik ๐, kantor beri
nama titk ๐, kamar 8 beri nama titik ๐, kamar 2 beri nama titik ๐, kamar 5 beri
nama titik ๐, kamar 7 beri nama titik ๐, kamar 9 beri nama titik ๐, kamar 4 beri
48
Gambar 4.12. Jaringan ๐ dengan ๐0 = 0.
nama titik ๐, dan kamar 1 adalah titik tujuan beri nama titik ๐ก. Sehingga diperoleh
jaringan ๐ sebagai berikut.
Gambar 4.11. Jaringan ๐ dengan titik sumber ๐ dan titik tujuan ๐ก.
Jaringan ๐ pada Gambar 4.11 merupakan bentuk jaringan dari sistem
aliran air pada motel. Selanjutnya, akan dicari aliran maksimumnya dengan
algoritma Ford-Fulkerson secara manual, dan algoritma Preflow-Push akan
diselesaikan dengan software GIDEN, dengan penyelesaian sebagai berikut.
4.6.1 Penyelesaian dengan Algoritma Ford-Fulkerson
Iterasi ke 1
Langkah 1: dimulai dengan ๐0 = 0, sehingga diperoleh gambar berikut.
150
150 200 100
100 100
150
200
100 200
100
250
200
300
500 s
a
b
c
d
e
f
g
h
t
300;0
150;0
150;0 200;0 100;0
100;0 100;0
150;0
200;0
100;0 200;0
100;0
250;0
200;0
500;0 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
49
Langkah 2: Routin pelabelan.
2.1 Label ๐ = (๐ , +, ~)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ }, himpunan titik teramati ๐ = { }
2.2 Pilih titik ๐ ,
labeli ๐ = (๐ , +, min ~, 300 โ 0 ) = (๐ , +, 300)
labeli ๐ = ๐ , +, min ~, 500 โ 0 = (๐ , +, 500)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ }.
2.3 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 300, 200 โ 0 = ๐, +, 200
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐}.
2.4 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 500, 200 โ 0 = (๐, +, 200)
labeli ๐ = ๐, +, min 500, 100 โ 0 = (๐, +, 100)
labeli ๐ = ๐, +, min 500, 100 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐}.
2.5 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 200, 200 โ 0 = ๐, +, 200
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐}.
50
2.6 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 150 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐}.
2.7 Pilih titik ๐,
labeli ๐ก = ๐, +, min 200, 150 โ 0 = ๐, +, 150
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐}. Diperoleh pelabelan titik
seperti gambar berikut
Gambar 4.13. Pelabelan titik pada jaringan ๐.
Karena titik ๐ก terlabel dengan nilai ํ(๐ก) = 150, maka lanjut ke langkah 3.
Langkah 3: prosedur balik.
Titik ๐ก dilabel dari titik ๐, titik ๐ dilabel dari titik ๐, dan titik ๐ dilabel dari
titik ๐ . Sehingga lintasan peningkatan ๐ = (๐ , ๐, ๐, ๐ก) dengan ๐ ๐ = ํ(๐ก) = 150.
(๐, +,200)
(๐ , +, ~)
(๐ , +,300)
(๐, +,200)
(๐, +,200)
(๐ , +,500)
(๐, +,100)
(๐, +,100)
(๐, +,100)
(๐, +,150)
300;0
150;0
150;0 200;0 100;0
100;0 100;0
150;0
200;0
100;0 200;0
100;0
250;0
200;0
500;0 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
51
200;0
Langkah 4: terapkan Routin peningkatan.
Karena label ๐ก = (๐, +,150), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐ก) ditambah 150,
karena label ๐ = (๐, +,200), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐) ditambah 150,
karena label ๐ = (๐ , +,300), maka nilai aliran pada busur (๐ , ๐) ditambah 150,
sedangkan nilai aliran pada busur-busur yang lain tetap. Diperoleh aliran baru
dengan ๐1 = ๐0 + ๐ ๐ = 0 + 150 = 150, seperti pada gambar berikut.
Gambar 4.14. Jaringan ๐ dengan ๐1 = 150.
Iterasi ke 2
Langkah 1: dimulai dengan ๐1 = 150, seperti gambar di atas.
Langkah 2: Routin pelabelan.
2.1 Label ๐ = (๐ , +, ~)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ }, himpunan titik teramati ๐ = { }
2.2 Pilih titik ๐ ,
labeli ๐ = (๐ , +, min ~, 300 โ 150 ) = (๐ , +, 150)
labeli ๐ = ๐ , +, min ~, 500 โ 0 = (๐ , +, 500)
300;150
150;150
150;0 200;0 100;0
100;0 100;0
150;0
100;0 200;0
100;0
250;0
200;150
500;0 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
52
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ }.
2.3 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = , +, min 150, 200 โ 150 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐}.
2.4 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 500, 200 โ 0 = (๐, +, 200)
labeli ๐ = ๐, +, min 500, 100 โ 0 = (๐, +, 100)
labeli ๐ = ๐, +, min 500, 100 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐}.
2.5 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 200, 200 โ 0 = ๐, +, 200
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐}.
2.6 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 150 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐}.
2.7 Pilih titik ๐,
labeli ๐ก = ๐, +, min 500, 200 โ 0 = ๐, +, 200
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก}
53
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐}.
Diperoleh pelabelan titik seperti gambar berikut.
Gambar 4.15. Pelabelan titik pada jaringan ๐.
Karena titik t terlabel dengan nilai ํ(๐ก) = 200, maka lanjut ke langkah 3.
Langkah 3: prosedur balik.
Titik ๐ก dilabel dari titik ๐, dan titik ๐ dilabel dari titik ๐ . Sehingga lintasan
peningkatan ๐ = (๐ , ๐, ๐ก) dengan ๐ ๐ = ํ(๐ก) = 200.
Langkah 4: terapkan Routin peningkatan.
Karena label ๐ก = (๐, +,200), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐ก) ditambah 200,
karena label ๐ = (๐ , +,500), maka nilai aliran pada busur (๐ , ๐) ditambah 200,
sedangkan nilai aliran pada busur-busur yang lain tetap. Diperoleh aliran baru
dengan ๐2 = ๐1 + ๐ ๐ = 150 + 200 = 350, seperti pada gambar berikut.
(๐, +,100)
(๐ , +, ~)
(๐ , +,150)
300;150
(๐, +,50)
(๐ , +,500)
(๐, +,100)
(๐, +,200) (๐, +,200) (๐, +,100)
(๐, +,200)
150;150
150;0 200;0 100;0
100;0 100;0
150;0
200;0
100;0 200;0
100;0
250;0
200;150
500;0 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
54
Gambar 4.16. Jaringan ๐ dengan ๐2 = 350.
Iterasi ke 3
Langkah 1: dimulai dengan ๐2 = 350, seperti gambar di atas.
Langkah 2: Routin pelabelan.
2.1 Label ๐ = (๐ , +, ~)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ }, himpunan titik teramati ๐ = { }
2.2 Pilih titik ๐ ,
labeli ๐ = (๐ , +, min ~, 300 โ 150 ) = (๐ , +, 150)
labeli ๐ = ๐ , +, min ~, 500 โ 200 = (๐ , +, 300)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ }.
2.3 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 150, 200 โ 150 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐}.
300;150
150;150
150;0 200;200 100;0
100;0 100;0
150;0
200;0
100;0 200;0
100;0
250;0
200;150
500;200 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
55
2.4 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 300, 200 โ 0 = (๐, +, 200)
labeli ๐ = ๐, +, min 300, 100 โ 0 = (๐, +, 100)
labeli ๐ = ๐, +, min 300, 100 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐}.
2.5 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 200, 200 โ 0 = ๐, +, 200
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐}.
2.6 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 150 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐}.
2.7 Pilih titik ๐,
labeli ๐ก = ๐, +, min 200, 100 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}.
Diperoleh pelabelan titik seperti gambar berikut.
56
Gambar 4.17. Pelabelan titik pada jaringan ๐.
Karena titik ๐ก terlabel dengan nilai ํ(๐ก) = 100, maka lanjut ke langkah 3.
Langkah 3: prosedur balik.
Titik ๐ก dilabel dari titik ๐, titik ๐ dilabel dari titik ๐, titik ๐ dilabel dari
titik ๐, dan titik ๐ dilabel dari titik ๐ . Sehingga lintasan peningkatan ๐ =
(๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก) dengan ๐ ๐ = ํ(๐ก) = 100.
Langkah 4: terapkan Routin peningkatan.
Karena label ๐ก = (๐, +, 100), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐ก) ditambah 100,
karena label ๐ = (๐, +,200), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐) ditambah 100,
karena label ๐ = (๐, +,200), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐) ditambah 100,
karena label ๐ = (๐ , +,200), maka nilai aliran pada busur (๐ , ๐) ditambah 100,
sedangkan nilai aliran pada busur-busur yang lain tetap. Diperoleh aliran baru
dengan ๐3 = ๐2 + ๐ ๐ = 350 + 100 = 450, seperti gambar berikut.
(๐ , +, ~)
(๐ , +,150)
(๐ , +,300)
(๐, +,50)
(๐, +,100)
(๐, +,200) (๐, +,200)
(๐, +,100)
(๐, +,100)
(๐, +,100)
300;150
150;150
150;0 200;200 100;0
100;0 100;0
150;0
200;0
100;0 200;0
100;0
250;0
200;150
500;200 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
57
Gambar 4.18. Jaringan ๐ dengan ๐3 = 450.
Iterasi ke 4
Langkah 1: dimulai dengan ๐3 = 450, seperti gambar di atas.
Langkah 2: Routin pelabelan.
2.1 Label ๐ = (๐ , +, ~)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ }, himpunan titik teramati ๐ = { }
2.2 Pilih titik ๐ ,
labeli ๐ = (๐ , +, min ~, 300 โ 150 ) = (๐ , +, 150)
labeli ๐ = ๐ , +, min ~, 500 โ 300 = (๐ , +, 200)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ }.
2.3 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 150, 200 โ 150 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐}.
300;150
150;150
150;0 200;200 100;100
100;0 100;0
150;0
200;100
100;0 200;100
100;0
250;0
200;150
500;300 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
58
2.4 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 200, 200 โ 100 = (๐, +, 100)
labeli ๐ = ๐, +, min 200, 100 โ 0 = (๐, +, 100)
labeli ๐ = ๐, +, min 200, 100 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐}.
2.5 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 200 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐}.
2.6 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 150 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐}.
2.7 Pilih titik ๐,
labeli ๐ก = ๐, +, min 100, 150 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}.
Diperoleh pelabelan titik seperti gambar berikut.
59
Gambar 4.19. Pelabelan titik pada jaringan ๐.
Karena titik ๐ก terlabel dengan nilai ํ(๐ก) = 100, maka lanjut ke langkah 3.
Langkah 3: prosedur balik.
Titik ๐ก dilabel dari titik ๐, titik ๐ dilabel dari titik ๐, titik ๐ dilabel dari titik
๐, dan titik ๐ dilabel dari titik ๐ . Sehingga lintasan peningkatan ๐ = (๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก)
dengan ๐ ๐ = ํ(๐ก) = 100.
Langkah 4: terapkan Routin peningkatan.
Karena label ๐ก = (๐, +, 100), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐ก) ditambah 100,
karena label ๐ = (๐, +, 100), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐) ditambah 100,
karena label ๐ = (๐, +, 100), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐) ditambah 100,
karena label ๐ = (๐ , +,200), maka nilai aliran pada busur (๐ , ๐) ditambah 100,
sedangkan nilai aliran pada busur-busur yang lain tetap. Diperoleh aliran baru
dengan ๐4 = ๐3 + ๐ ๐ = 450 + 100 = 550, seperti gambar berikut.
(๐, +,100)
(๐ , +, ~)
(๐ , +,200)
(๐ , +,150)
(๐, +,100)
(๐, +,100)
(๐, +,50)
(๐, +,100)
(๐, +,100)
(๐, +,100) 300;150
150;150
150;0 200;200 100;100
100;0 100;0
150;0
200;100
100;0 200;100
100;0
250;0
200;150
500;300 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
60
Gambar 4.20. Jaringan ๐ dengan ๐4 = 550.
Iterasi ke 5
Langkah 1: dimulai dengan ๐4 = 550, seperti gambar di atas.
Langkah 2: Routin pelabelan.
2.1 Label ๐ = (๐ , +, ~)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ }, himpunan titik teramati ๐ = { }
2.2 Pilih titik ๐ ,
labeli ๐ = (๐ , +, min ~, 300 โ 150 ) = (๐ , +, 150)
labeli ๐ = ๐ , +, min ~, 500 โ 400 = (๐ , +, 100)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ }.
2.3 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 150, 200 โ 150 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐}.
300;150
150;150
150;100 200;200 100;100
100;0 100;0
150;100
200;100
100;0 200;100
100;100
250;0
200;150
500;400 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
61
2.4 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 200 โ 100 = (๐, +, 100)
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 100 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐}.
2.5 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 100 โ 0 = ๐, +, 100
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 200 โ 100 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐}.
2.6 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 100, 100 โ 0 = ๐, +, 100
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐}.
2.7 Pilih titik ๐,
labeli ๐ก = ๐, +, min 100, 150 โ 100 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
Diperoleh pelabelan titik seperti gambar berikut.
62
Gambar 4.21. Pelabelan titik pada jaringan ๐.
Karena titik ๐ก terlabel dengan nilai ํ(๐ก) = 50, maka lanjut ke langkah 3.
Langkah 3: prosedur balik.
Titik ๐ก dilabel dari titik ๐, titik ๐ dilabel dari titik ๐, titik ๐ dilabel dari
titik ๐, dan titik ๐ dilabel dari titik ๐ . Sehingga lintasan peningkatan ๐ =
(๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก) dengan ๐ ๐ = ํ(๐ก) = 50.
Langkah 4: terapkan Routin peningkatan.
Karena label ๐ก = (๐, +, 50), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐ก) ditambah 50,
karena label ๐ = (๐, +, 100), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐) ditambah 50,
karena label ๐ = (๐, +, 100), maka nilai aliran pada busur (๐, ๐) ditambah 50,
karena label ๐ = (๐ , +, 100), maka nilai aliran pada busur (๐ , ๐) ditambah 50,
sedangkan nilai aliran pada busur-busur yang lain tetap. Diperoleh aliran baru
dengan ๐5 = ๐4 + ๐ ๐ = 550 + 50 = 600, seperti gambar berikut.
(๐ , +, ~)
(๐ , +,100)
(๐ , +,150)
(๐, +,100) (๐, +,100)
(๐, +,100)
(๐, +,100)
(๐, +,50)
(๐, +,50)
(๐, +,100)
300;150
150;150
150;100 200;200 100;100
100;0 100;0
150;100
200;100
100;0 200;100
100;100
250;0
200;150
500;400 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
63
Gambar 4.22. Jaringan ๐ dengan ๐5 = 600.
Iterasi ke 6
Langkah 1: dimulai dengan ๐5 = 600, seperti gambar di atas.
Langkah 2: Routin pelabelan.
2.1 Label ๐ = (๐ , +, ~)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ }, himpunan titik teramati ๐ = { }
2.2 Pilih titik ๐ ,
labeli ๐ = (๐ , +, min ~, 300 โ 150 ) = (๐ , +, 150)
labeli ๐ = ๐ , +, min ~, 500 โ 450 = (๐ , +, 50)
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ }.
2.3 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 150, 200 โ 150 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐}.
300;150
150;150
150;150 200;200 100;100
100;50 100;50
150;100
200;100
100;0 200;100
100;100
250;0
200;150
500;450 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
64
2.4 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 50, 200 โ 100 = (๐, +, 50)
labeli ๐ = ๐, +, min 50, 100 โ 50 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐}.
2.5 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 50, 100 โ 0 = ๐, +, 50
labeli ๐ = ๐, +, min 50, 200 โ 100 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐}.
2.6 Pilih titik ๐,
labeli ๐ = ๐, +, min 50, 100 โ 50 = ๐, +, 50
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐}.
2.7 Pilih titik ๐, ๐, ๐, dan ๐ untuk melabeli titik ๐ก,
labeli ๐ก = ๐, +, min 50, 200 โ 200 = ๐, +, 0 , tidak berlabel,
labeli ๐ก = ๐, +, min 50, 150 โ 150 = ๐, +, 0 , tidak berlabel,
labeli ๐ก = ๐, +, min 50, 100 โ 100 = ๐, +, 0 , tidak berlabel,
labeli ๐ก = ๐, +, min 50, 150 โ 150 = ๐, +, 0 , tidak berlabel,
himpunan titik terlabel ๐ฟ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, }
himpunan titik teramati ๐ = {๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐}.
Karena semua titik yang terlabel telah teramati dan titik ๐ก tidak terlabel, maka
BERHENTI.
65
Dengan algoritma Ford-Fulkerson diperoleh aliran maksimum pada iterasi ke 5
dengan aliran ๐5 sebesar 600 liter per menit.
Gambar 4.23. Jaringan ๐ dengan aliran maksimum = pemutus-(๐ , ๐ก) minimum.
Pada jaringan ๐ diatas mempunyai 8 titik antara, yaitu titik
๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, dan ๐, dalam hal ini titik-titik tersebut meliputi kamar 3, kantor,
kamar 8, kamar 2, kamar 5, kamar 7, kamar 9, dan kamar 4. Banyaknya himpunan
pemutus-(๐ , ๐ก) yaitu 2๐ = 28 = 256 himpunan, yang diuraikan pada Lampiran 1.
Sehingga diperoleh himpunan pemutus-(๐ , ๐ก) minimum ๐ต ๐, ๐1 =
๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐ก = { ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก } dengan kapasitas,
๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 150 + 100 + 150 = 600.
Terlihat bahwa nilai aliran maksimum sama dengan nilai pemutus-(๐ , ๐ก)
minimum. Hal ini memenuhi teorema Maximal Flow-Minimal Cut dengan
๐5 = ๐ ๐, ๐1 = 600, maka ๐5 adalah aliran maksimum dari titik sumber ๐ (kamar
6) ke titik tujuan ๐ก (kamar 1), dengan nilai aliran sebesar 600 liter per menit,
dengan asumsi bahwa kantor maupun kamar selain kamar 1 sedang dalam
200;100
300;150
150;150
150;150 200;200 100;100
100;50 100;50
150;100
100;0 200;100
100;100
250;0
200;150
500;450 s
a
b
c
d
e
f
h
t
g
66
keadaan tidak menggunakan air, antar kamar letaknya datar, kekuatan gaya yang
diberikan dalam pipa sama.
4.6.2 Penyelesaian dengan Algorima Preflow-Push pada Software GIDEN
Untuk menyelesaikan masalah aliran maksimum dengan algoritma
Preflow-Push, akan digunakan alat bantu yaitu software GIDEN, maka dilakukan
langkah-langkah yang telah dijelaskan sebelumnya. Dari langkah tersebut
diperoleh hasil akhir atau solusi dari pencarian aliran maksimum pada sistem
jaringan aliran air pada motel dari titik sumber ๐ (kamar 6) ke titik tujuan ๐ก
(kamar 1). Berikut hasil output pencarian aliran maksimum dengan software
GIDEN.
Gambar 4.24. Tampilan hasil aliran maksimum dengan algoritma Preflow-Push
pada software GIDEN.
67
Pencarian aliran maksimum pada sistem jaringan aliran air pada motel dari
titik sumber ๐ (kamar 6) ke titik tujuan ๐ก (kamar 1) dengan algoritma Preflow-
Push menggunakan alat bantu software GIDEN, diperoleh aliran maksimum =
pemutus-(๐ , ๐ก) minimum = 600 liter per menit. Dalam hal ini diasumsikan bahwa
kantor maupun kamar selain kamar 1 sedang dalam keadaan tidak menggunakan
air, antar kamar letaknya datar, kekuatan gaya yang diberikan dalam pipa sama.
Software ini juga menemukan pemutus-(๐ , ๐ก) minimumnya, yaitu
๐ต ๐, ๐1 = ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐ก = { ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }. Hasil yang
diperoleh dalam pencarian himpunan pemutus-(๐ , ๐ก) minimum sama dengan
himpunan pemutus-(๐ , ๐ก) minimum dari perhitungan manual. Hal ini
menunjukkan bahwa software GIDEN merupakan aplikasi yang tepat dalam
menyelesaikan masalah aliran maksimum serta pencarian himpunan pemutus-
(๐ , ๐ก) minimumnya. Langkah-langkah serta iterasi algoritma Preflow-Push dalam
pencarian aliran maksimum dalam software GIDEN diuraikan pada Lampiran 2.
Algoritma Preflow-Push digunakan untuk mencocokkan perhitungan
manual dari algoritma Ford-Fulkerson, dan ternyata hasil yang didapatkan sama
walaupun dengan langkah yang berbeda. Hal ini menunjukkan bahwa hasil
pencarian aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Push
adalah sama.
BAB V
PENUTUP
5.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang terdapat dalam skripsi ini, diperoleh
simpulan sebagai berikut.
1. Konsep aliran maksimum selalu memenuhi teorema Maximal Flow-Minimal
Cut yang menjelaskan bahwa nilai aliran ๐โ = ๐(๐, ๐1) dengan ๐ต(๐, ๐1)
merupakan sebuah pemutus-(๐ , ๐ก) minimum di ๐, maka ๐โ adalah aliran
maksimum di ๐ yang nilainya sama dengan kapasitas pemutus-(๐ , ๐ก)
minimum di ๐. Kapasitas semua busur pada himpunan pemutus-(๐ , ๐ก)
minimum ๐ต(๐, ๐1) adalah jenuh karena berdasarkan definisi busur jenuh jika
๐โ ๐ฃ, ๐ข = ๐(๐ฃ, ๐ข). Pada pembuktian teorema, berdasarkan klaim 1, jika
๐ฃ๐๐, ๐ข๐๐1 = ๐ ๐ โ ๐, dan ๐ฃ, ๐ข ๐ ฮ(๐), maka ๐โ ๐ฃ, ๐ข = ๐(๐ฃ, ๐ข), dan klaim
2, jika ๐ฃ ๐ ๐, ๐ข ๐ ๐1 = ๐ ๐ โ ๐, dan ๐ฃ, ๐ข ๐ ฮ(๐), maka ๐โ ๐ข, ๐ฃ = 0,
diperoleh ๐โ ๐, ๐1 = ๐(๐,๐1) dan ๐โ ๐, ๐1 = 0. Sehingga nilai aliran
maksimum ๐โ= ๐โ ๐, ๐1 โ ๐โ ๐1, ๐ = ๐ ๐, ๐1 โ 0 = ๐ ๐, ๐1 .
2. Algoritma Ford-Fulkerson bekerja dengan mengkonstruksi aliran baru dengan
nilai yang lebih besar dari aliran yang lama, dan menggunakan teknik
pelabelan titik yang pada prinsipnya melabel titik-titik ๐ dengan teknik
tertentu dimulai dengan titik ๐ , dengan (๐ , +, ~), kemudian dilanjutkan
melabeli titik yang lain. Dengan teknik tersebut bisa melabeli titik ๐ก, maka
69
dengan teknik prosedur balik lintasan ๐ ditemukan, kemudian tingkatkan
lintasan pemingkatan ๐ tersebut sebesar ๐ ๐ = ํ(๐ก). Pencarian aliran baru
akan berhenti ketika semua titik ๐ yang terlabel telah teramati dan titik ๐ก tidak
terlabel. Pencarian aliran maksimum pada contoh simulasi dengan
menggunakan algoritma Ford-Fulkerson secara manual menghasilkan nilai
aliran maksimum sebesar 600 liter per menit. Nilai aliran maksimum yang
dihasilkan sama dengan nilai kapasitas pemutus-(๐ , ๐ก) minimum, ๐ต ๐, ๐1 =
๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐ก dengan kapasitas ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก +
๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก = 200 + 150 + 100 + 150 = 600 yang dihitung secara
manual dengan dilampirkan pada lampiran 1.
3. Algoritma Preflow-Push digunakan untuk mencocokkan hasil perhitungan
manual dari algoritma Ford-Fulkerson. Algoritma Preflow-Push bekerja
dengan operasi dasar push dan relabel. Prosesnya diawali dengan pelabelan
semua titik dengan distance label banyaknya busur berarah pada lintasan
terpendek yang menghubungkan titik ke titik tujuan, dengan ๐ ๐ = ๐,
๐ ๐ก = 0, dan ๐ ๐ฃ โค ๐ ๐ค + 1. Algoritma ini menggunakan operasi push
dan relabel berulang-ulang. Perulangan pencarian aliran maksimum itu
berhenti ketika tidak ada titik yang aktif lagi. Pencarian aliran maksimum pada
contoh simulasi menggunakan algoritma Preflow-Push dibantu dengan
software GIDEN menghasilkan nilai aliran maksimum yang sama dengan nilai
pemutus-(๐ , ๐ก) minimum sebesar 600, dengan pemutus-(๐ , ๐ก) minimum adalah
๐ต ๐, ๐1 = ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐ก dengan kapasitas ๐ ๐, ๐1 = ๐ ๐, ๐ก +
๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก) + ๐ ๐, ๐ก = 200 + 150 + 100 + 150 = 600. Pencarian
70
aliran maksimum secara manual (algoritma Ford-Fulkerson) maupun dengan
software GIDEN (algoritma Preflow-Push) semuanya menghasilkan aliran
maksimum yang sama dengan pemutus-(๐ , ๐ก) minimum sebesar 600. Hal ini
menunjukkan bahwa hasil pencarian aliran maksimum dengan algoritma Ford-
Fulkerson dan Preflow-Push adalah sama.
5.2 Saran
Pada penelitian ini penulis telah mengkaji tentang bagaimana menentukan
aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson dan Preflow-Push. Hasil yang
diperoleh dari pencarian aliran maksimum dengan algoritma Ford-Fulkerson
secara manual, sama dengan hasil yang diperoleh dari pencarian aliran maksimum
menggunakan algoritma Preflow-Push dengan alat bantu software GIDEN. Hal ini
menunjukkan bahwa software GIDEN mempunyai solusi yang tepat dalam
menyelesaikan masalah aliran maksimum. Dengan demikian, penulis
menyarankan kepada pembaca yang ingin mengembangkan penelitian ini dengan
algoritma lain, untuk pengecekannya dianjurkan untuk menggunakan software
GIDEN.
DAFTAR PUSTAKA
Ahuja, R.K., T.L. Magnanti & J.B. Orlin. 1993. Network Flows. America:
Prentice-Hall.
Budayasa, I.K. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa University
Press.
Clark, J. & D.A. Holton. 1995. A First Look at Graph Theory. Singapore: World
Scientific.
Coullard, C.R., D.S. Dilworth, & J.H. Owen. 2003. A Graphical Environment for
Network Optimization. Tersedia di http://giden.nwu.edu/ [diakses 7
maret 2013].
Dwijanto. 2008. Program Linear. Semarang: UNNES Press.
Setiawati, Y. 1993. Hand Out Teori Graf. Tersedia di
http://eprints.undip.ac.id/31324/6/312m93_chapter_II.pdf [diakses 8
juni 2013].
Siang, JJ. 2004. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Andi Offset.
Sutarno, H., N. Priatna, & Nurjanah. 2003. Matematika Diskrit. Jakarta: JICA.
Thulasiraman, K. & M.N.S. Swamy. 1992. Graphs Theory and Algorithms.
Canada: Concordia University Montreal.
Lampiran 1
Pencarian himpunan pemutus-(๐, ๐) pada contoh
Graf ๐ diatas mempunyai 8 titik antara, yaitu titik ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ dan ๐.
Jadi banyaknya himpunan pemutus-(๐ , ๐ก) = 28 = 256 himpunan pemutus (๐ , ๐ก) pada jaringan ๐, serta
besarnya kapasitas pada pemutus-(๐ , ๐ก) adalah sebagai berikut.
1. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐
= 300 + 500 = 800
2. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 = 950
3. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 = 900
4. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 100 + 200 = 1100
5. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 = 950
150
150 200
100
100 100
150
200
100 200
100
250
200
300
500 s
a
b
c
d
e
f
g
h
t
74
6. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 150 = 950
7. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 = 900
8. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 100 = 900
9. ๐ต ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 = 950
10. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 100 + 200 = 800
11. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 100 + 200 = 1250
12. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 = 900
13. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 150 = 1100
14. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 = 1050
15. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 100 = 1050
16. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 150 = 1100
75
17. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 200 = 1000
18. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 + 150 = 1050
19. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 = 950
20. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 + 100 = 1000
21. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 100 + 200 + 100 = 900
22. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 + 150 = 1050
23. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 100 + 200 + 150 = 1250
24. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 300 + 500 + 200 + 150 = 1150
25. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 100 + 100 = 1000
26. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 300 + 500 + 100 + 200 + 100 = 1200
27. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 100 + 200 + 150 = 1250
76
28. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 300 + 500 + 150 + 150 = 1100
29. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 150 + 100 = 1050
30. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 300 + 500 + 150 + 100 = 1050
31. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 150 + 150 = 1100
32. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 150 + 100 = 1050
33. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 300 + 500 + 150 + 100 = 1050
34. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 150 = 950
35. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 300 + 500 + 100 + 100 = 1000
36. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 100 + 150 = 1050
37. ๐ต ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 = 950
38. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 200 + 100 + 100 + 200 + 100 + 200 = 900
77
39. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 200 + 100 + 100 + 200 + 150 = 750
40. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 200 + 200 + 100 + 200 + 150 = 850
41. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 200 + 200 + 100 + 100 + 200 + 100 = 900
42. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 200 + 200 + 100 + 200 + 100 = 800
43. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 200 + 200 + 100 + 100 + 200 + 150 = 950
44. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐), (๐, ๐ก)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐(๐, ๐ก)
= 250 + 100 + 200 + 150 = 700
45. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐), (๐, ๐)
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐(๐, ๐)
= 500 + 250 + 200 + 200 + 150 = 1300
46. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 100 = 1150
47. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ , +๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 100 + 200 + 100 = 1350
48. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ , +๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 200 + 150 = 1400
49. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 150 + 150 = 1050
78
50. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 100 = 1000
51. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 150 + 100 = 1000
52. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 150 = 1050
53. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 150 + 100 = 1200
54. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 500 + 250 + 200 + 150 + 100 = 1200
55. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 500 + 250 + 200 + 150 = 1100
56. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 500 + 250 + 200 + 100 + 100 = 1150
57. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 500 + 250 + 200 + 100 + 150 = 1200
58. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 500 + 250 + 200 + 150 = 1100
59. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 = 1150
60. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 100 + 200 + 200 + 150 = 950
79
61. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 100 = 900
62. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 100 + 200 + 100 + 200 + 100 = 1000
63. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 = 1150
64. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1100
65. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 + 150 + 100 = 1150
66. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 = 1050
67. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐), ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1200
68. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 = 1050
69. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐)
= 300 + 200 + 200 + 150 + 100 = 950
70. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 = 950
71. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 100 + 200 + 100 + 100 = 1000
80
72. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 + 100 + 150 = 1150
73. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 = 950
74. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 200 + 150 + 150 = 1300
75. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 + 100 = 1150
76. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 100 + 200 + 150 + 100 = 1350
77. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1400
78. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 100 = 1050
79. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 200 + 150 + 100 = 1250
80. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 200 + 150 = 1150
81. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 100 + 100 + 100 = 1100
82. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐ก)
= 300 + 500 + 100 + 100 + 150 = 1150
81
83. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 200 + 150 = 1250
84. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 150 + 100 = 1200
85. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 150 + 150 + 100 = 1200
86. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 150 = 1100
87. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐, ๐
= 300 + 500 + 150 + 100 + 100 = 1150
88. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 100 + 150 = 1200
89. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 150 = 1100
90. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 150 + 100 + 100 = 1150
91. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 = 1050
92. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 = 950
93. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 = 1050
82
94. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 = 850
95. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 200 + 100 + 200 + 200 + 150 = 850
96. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 100 + 200 + 100 + 100 = 800
97. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 200 + 100 + 200 + 100 + 200 + 100 = 900
98. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 = 1050
99. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 800
100. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 100 + 200 + 150 + 100 = 850
101. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 200 + 100 + 200 + 150 + 100 = 750
102. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 100 + 200 + 150 + 150 = 900
103. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 = 950
104. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 200 + 200 + 200 + 150 + 100 = 850
83
105. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 200 + 150 = 850
106. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , {๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก}) = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , (๐, ๐)}
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , {๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก}) = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐(๐, ๐)
= 200 + 200 + 100 + 200 + 100 + 100 = 900
107. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 100 + 200 + 100 + 150 = 1050
108. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 200 + 150 = 850
109. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 150 + 150 = 1250
110. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 100 + 150 + 100 = 1100
111. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 100 + 200 + 150 + 100 = 1300
112. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1350
113. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ ,ู ุฌู + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 150 + 100 = 1200
114. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 200 + 150 + 100 = 1400
115. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 200 + 150 = 1300
84
116. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 100 + 100 + 100 = 1250
117. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก }
= 500 + 250 + 200 + 100 + 100 + 150 = 1300
118. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 200 + 150 = 1400
119. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 150 + 100 = 1150
120. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 150 + 150 + 100 = 1150
121. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 150 = 1050
122. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 150 + 100 + 100 = 1100
123. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 100 + 150 = 1150
124. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 150 = 1050
125. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 150 + 100 + 100 = 1300
126. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 150 = 1200
85
127. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 150 = 1100
128. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 150 = 1200
129. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 100 + 200 + 200 + 150 + 150 = 1100
130. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 150 + 100 = 1050
131. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 = 1150
132. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1300
133. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 150 + 100 = 850
134. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 200 + 150 + 100 = 950
135. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 200 + 150 = 950
136. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 100 + 200 + 100 + 100 + 100 = 900
137. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐), ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 100 + 150 = 1050
86
138. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 = 1050
139. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 + 100 = 1200
140. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 200 + 150 + 150 + 100 = 1100
141. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1100
142. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 + 100 = 1150
143. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 1300
144. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1100
145. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 200 + 150 + 100 + 100 = 1050
146. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐), ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 100 + 150 = 1050
147. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 200 + 150 = 850
148. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 100 + 150 = 1050
87
149. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 150 + 100 = 1200
150. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 200 + 150 + 150 + 100 = 1400
151. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 200 + 150 + 150 = 1300
152. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 100 + 150 + 100 + 100 = 1250
153. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 + 100 + 150 = 1300
154. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1400
155. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 150 + 100 + 100 = 1150
156. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 = 1050
157. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 200 + 150 = 1150
158. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 100 + 150 = 1150
159. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 150 + 150 + 100 + 100 = 1300
88
160. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 100 + 150 = 1200
161. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 150 = 1100
162. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 100 + 150 = 1200
163. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 = 1050
164. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 100 + 200 + 200 + 150 + 150 = 800
165. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 100 + 200 + 100 + 150 + 100 = 750
166. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 100 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 = 850
167. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1000
168. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 150 + 100 = 750
169. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 200 + 200 + 200 + 150 + 100 = 850
170. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 200 + 150 = 850
89
171. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 200 + 100 + 200 + 100 + 100 + 100 = 800
172. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 100 + 200 + 100 + 100 + 150 = 950
173. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 = 950
174. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 150 + 150 + 100 = 900
175. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 200 + 200 + 150 + 150 + 100 = 800
176. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 800
177. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 200 + 100 + 200 + 150 + 100 + 100 = 850
178. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 1000
179. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 800
180. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 200 + 200 + 200 + 150 + 100 + 100 = 950
181. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 200 + 100 + 150 = 950
90
182. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 200 + 150 = 750
183. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 200 + 100 + 150 = 950
184. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 150 + 100 = 1150
185. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 150 + 150 + 100 = 1350
186. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 150 + 150 = 1250
187. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 100 + 150 + 100 + 100 = 1200
188. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 100 + 150 + 100 + 150 = 1250
189. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1350
190. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 200 + 150 + 100 + 100 = 1300
191. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 150 = 1200
192. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 200 + 150 = 1300
91
193. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 100 + 150 = 1300
194. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 150 + 150 + 100 + 100 = 1250
195. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 100 + 150 = 1150
196. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 150 = 1050
197. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 100 + 150 = 1150
198. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 150 = 1200
199. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 150 + 150 + 100 = 1000
200. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 200 + 150 + 150 + 100 = 1100
201. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 200 + 150 + 150 = 1100
202. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 100 + 200 + 100 + 150 + 100 + 100 = 1050
203. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , _ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 100 + 200 + 100 + 150 + 100 + 150 = 1200
92
204. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 1200
205. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 150 + 100 + 100 = 850
206. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 100 + 150 = 850
207. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 200 + 150 = 850
208. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 100 + 100 + 150 = 950
209. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 200 + 150 + 150 + 100 + 100 = 1200
210. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 1200
211. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 200 + 150 + 150 = 1000
212. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 1200
213. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 200 + 100 + 150 = 950
214. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 500 + 150 + 150 + 100 + 100 = 1300
93
215. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 100 + 150 = 1200
216. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 200 + 150 + 150 = 1300
217. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 + 100 + 150 = 1300
218. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 100 + 150 = 1050
219. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 100 + 150 = 1200
220. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 200 + 150 + 150 + 100 = 700
221. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 200 + 200 + 150 + 150 + 100 = 800
222. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 200 + 200 + 150 + 150 = 800
223. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 100 + 200 + 100 + 150 + 100 + 100 = 750
224. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 100 + 200 + 100 + 150 + 100 + 150 = 900
225. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 200 + 100 + 200 + 150 + 150 = 900
94
226. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 200 + 200 + 150 + 100 + 100 = 750
227. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 100 + 150 = 750
228. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 200 + 150 = 750
229. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 100 + 100 + 150 = 850
230. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 200 + 200 + 150 + 150 + 100 + 100 = 900
231. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐(๐, ๐) + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 900
232. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 150 + 150 = 700
233. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 900
234. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 200 + 100 + 150 = 850
235. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 500 + 250 + 150 + 150 + 100 + 100 = 1250
236. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 100 + 150 = 1150
95
237. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 150 + 150 = 1250
238. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 100 + 150 + 100 + 150 = 1250
239. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 200 + 100 + 150 = 1200
240. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 100 + 150 = 1150
241. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐
= 300 + 200 + 150 + 150 + 100 + 100 = 1000
242. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 1000
243. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 200 + 150 + 150 = 1000
244. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 100 + 200 + 100 + 150 + 100 + 150 = 1100
245. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 100 + 150 = 750
246. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 200 + 150 + 100 + 150 = 1100
247. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 500 + 150 + 100 + 150 = 1200
96
248. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐
= 200 + 150 + 100 + 150 + 100 = 700
249. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 200 + 150 + 100 + 150 = 700
250. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 150 + 150 = 700
251. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 100 + 200 + 100 + 150 + 100 + 150 = 800
252. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 100 + 150 = 650
253. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 200 + 150 + 100 + 150 = 800
254. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 500 + 250 + 150 + 100 + 150 = 1150
255. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = { ๐ , ๐ , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐, ๐ก = ๐ ๐ , ๐ + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 300 + 200 + 150 + 100 + 150 = 900
256. ๐ต ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐ก = { ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก , ๐, ๐ก }
๐ ๐ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐ , ๐ก = ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก + ๐ ๐, ๐ก
= 200 + 150 + 100 + 150 = 600
97
Lampiran 2
Iterasi algoritma Preflow-Push dengan software GIDEN
Jalankan algoritma Preflow-Push dengan alat bantu software Giden seperti yang telah
dijelaskan sebelumnya.
Gambar graf di bawah ini merupakan jaringan sisa. Dengan label sisi (๐ฅ๐ , ๐ข๐ โ ๐ฅ๐), di
mana ๐ฅ๐ adalah preflow dan ๐ข๐ โ ๐ฅ๐ merupakan kapasitas sisa yang dilambangkan ๐๐ .
98
Persiapan
Dimulai dengan menentukan preflow awal tiap sisi adalah nol. Pelabelan titik dibawah ini
mula-mula menunjukkan banyaknya sisi berarah pada lintasan terpendek yang
menghubungkan suatu titik ke titik tujuan.
Kemudian dimulai dengan preflow f yang nilainya sama dengan kapasitas busur untuk
setiap busur yang meninggalkan titik sumber ๐ dan bernilai nol untuk yang lainnya.
99
Software ini mengimplementasikan aturan โhigh labelโ. Dimulai dari titik sumber ๐
dengan label ๐ ๐ = ๐ = 10, busur yang terkait dengan titik ๐ yaitu (๐ , ๐) dan (๐ , ๐)
sudah dialiri dengan aliran sebesar kapasitasnya, maka titik ๐ ganti label dengan
pelabelan tertinggi ๐ ๐ = ๐ + 1 menjadi ๐ ๐ โ ๐ ๐ + 1 = 10 + 1 = 11.
Iterasi 1
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 300, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 300, 250 = 250
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 250 = 250
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 300 โ 250 = 50
๐ ๐ = 500 + 250 = 750.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 50, 200 = 50
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 50 = 50
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 500 โ 50 = 0
๐ ๐ = 0 + 50 = 50.
100
Iterasi 2
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 750, dan ๐ ๐ = 1.
Busur (๐, ๐ก) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ก + 1, maka busur maju (๐, ๐ก) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ก = min 750, 200 = 200
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐ก) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐ก) busur maju:
๐ ๐, ๐ก = 0 + 200 = 200
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐ก) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 750 โ 200 = 550
๐ ๐ก = 0 + 200 = 200.
101
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 550, ๐ ๐ = 1 tetapi ๐ ๐ โค ๐ ๐ , ๐ ๐ โค
๐ ๐ , ๐ ๐ โค ๐ ๐ , ๐(๐) โค ๐(๐ ), maka tidak ada busur yang admissible, lakukan relabel:
๐ ๐ = min{๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1}
= min 11 + 1, 2 + 1, 2 + 1, 2 + 1
= min 12, 3,3,3 = 3.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 550, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 550,250 = 250
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 250 โ 250 = 0
102
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 550 โ 250 = 300
๐ ๐ = 0 + 250 = 250.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 300, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 300,200 = 200
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 200 = 200
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 300 โ 200 = 100
๐ ๐ = 0 + 200 = 200.
103
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,100 = 100
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 100 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 0 + 100 = 100.
104
Iterasi 3
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 250, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 250,150 = 150
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 50 + 100 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 250 โ 150 = 100
๐ ๐ = 50 + 150 = 200.
105
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, ๐ ๐ = 2 tetapi ๐ ๐ โค ๐ ๐ dan ๐(๐) โค ๐(๐ ),
maka tidak ada busur yang admissible, lakukan relabel:
๐ ๐ = min{๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1}
= min 11 + 1, 3 + 1
= min 12, 4 = 4.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 4.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,250 = 100
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 100 = 100
106
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 0 + 100 = 100.
Iterasi 4
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur (๐, ๐) admissible, maka
lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,100 = 100
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 100 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 0 + 100 = 100.
107
Iterasi 5
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 200, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 200,200 = 200
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 200 = 200
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 200 โ 200 = 0
๐ ๐ = 0 + 200 = 200.
108
Iterasi 6
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,100 = 100
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 100 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 0 + 100 = 100.
109
Iterasi 7
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100,dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,150 = 100
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 100 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 100 + 100 = 200.
110
Iterasi 8
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 200, dan ๐ ๐ = 1.
Busur (๐, ๐ก) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ก + 1, maka busur maju (๐, ๐ก) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ก = min 200,150 = 150
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐ก) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐ก) busur maju:
๐ ๐, ๐ก = 0 + 150 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐ก) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 200 โ 150 = 50
๐ ๐ก = 200 + 150 = 350.
111
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, ๐ ๐ = 1 tetapi ๐ ๐ โค ๐ ๐ , maka tidak ada busur
yang admissible, lakukan relabel:
๐ ๐ = min ๐ ๐ + 1 = min 4 + 1 = min 5 = 5.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, dan ๐ ๐ = 5.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 50,200 = 50
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 200 โ 50 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 50 โ 50 = 0
๐ ๐ = 0 + 50 = 50.
112
iterasi 9
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, dan ๐ ๐ = 4.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 50,150 = 50
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 100 + 50 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 50 โ 50 = 0
๐ ๐ = 0 + 50 = 50.
113
Iterasi 10
Pilih titik ๐, dengan label ๐ ๐ = 3. Karena busur searah ๐, ๐ , ๐, ๐ , (๐, ๐ก) sudah jenuh,
maka pilih busur balik yang terkait dengan titik ๐ yaitu busur (๐, ๐) yang tak jenuh dan
ganti label dengan label tertinggi ๐ ๐ = 11 serta ๐ ๐ = 11.
114
Pilih titik ๐, dengan label ๐ ๐ = 5. Karena busur searah (๐, ๐ก) sudah jenuh, maka ganti
label dengan label tertinggi ๐ ๐ = 11.
Iterasi 11
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 200, dan ๐ ๐ = 1.
Busur (๐, ๐ก) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ก + 1, maka busur maju (๐, ๐ก) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ก = min 200,100 = 100
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐ก) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐ก) busur maju:
๐ ๐, ๐ก = 0 + 100 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐ก) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 200 โ 100 = 100
๐ ๐ก = 350 + 100 = 450.
115
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, ๐ ๐ = 1 tetapi ๐ ๐ โค ๐ ๐ , maka tidak ada
busur yang admissible, lakukan relabel:
๐ ๐ = min{ ๐ ๐ + 1 = min 2 + 1 = min 3 = 3.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,200 = 100
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 200 โ 100 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 0 + 100 = 100.
116
Iterasi 12
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, ๐ ๐ = 2 tetapi ๐ ๐ โค ๐ ๐ , ๐ ๐ โค ๐ ๐ , ๐(๐) โค
๐(๐), maka tidak ada busur yang admissible, lakukan relabel:
๐ ๐ = min{๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1}
= min{11 + 1, 2 + 1, 3 + 1}
= min 12, 3, 4 = 3.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,100 = 100
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 0 + 100 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 0 + 100 = 100.
117
Iterasi 13
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐ ๐, ๐ = min 100,50 = 50
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 100 + 50 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 50 = 50
๐ ๐ = 200 + 50 = 250.
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, ๐ ๐ = 2 tetapi ๐ ๐ โค ๐ ๐ , ๐ ๐ โค ๐ ๐ , maka
tidak ada busur yang admissible, lakukan relabel:
๐ ๐ = min{๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1}
= min{11 + 1, 3 + 1}
= min 12, 4 = 4.
118
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, dan ๐ ๐ = 4.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐) = min 50,100 = 50
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 100 โ 50 = 50
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 50 โ 50 = 0
๐ ๐ = 0 + 50 = 50.
Iterasi 14
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, ๐ ๐ = 3 tetapi ๐ ๐ โค ๐ ๐ , ๐ ๐ โค ๐ ๐ , ๐(๐) โค
๐(๐), maka tidak ada busur yang admissible, lakukan relabel:
๐ ๐ = min{๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1, ๐ ๐ + 1}
= min{11 + 1, 4 + 1, 3 + 1}
= min 12, 5, 4 = 4.
119
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, dan ๐ ๐ = 4.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur maju (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐) = min 50,100 = 50
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur maju:
๐ ๐, ๐ = 100 + 50 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 50 โ 50 = 0
๐ ๐ = 0 + 50 = 50.
120
Pilih titik ๐, dengan label ๐ ๐ = 3. Karena busur searah (๐, ๐ก) sudah jenuh, maka pilih
busur balik yang terkait dengan titik ๐ yaitu busur (๐, ๐) yang tak jenuh dan ganti label
dengan label tertinggi ๐ ๐ = 11 serta ๐ ๐ = 11.
Pilih titik ๐, dengan label ๐ ๐ = 4. Karena busur searah (๐, ๐) sudah jenuh, maka ganti
label dengan label tertinggi ๐ ๐ = 11.
121
Iterasi 15
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 250, dan ๐ ๐ = 1.
Busur (๐, ๐ก) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ก + 1, maka busur maju (๐, ๐ก) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐ก) = min 250,150 = 150
(1) tingkatkan aliran ๐(๐, ๐ก) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐ก) busur maju:
๐ ๐, ๐ก = 0 + 150 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐ก) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 250 โ 150 = 100
๐ ๐ก = 450 + 150 = 600.
Pilih titik ๐, dengan label ๐ ๐ = 1. Karena busur searah (๐, ๐ก) sudah jenuh, maka pilih
busur balik yang terkait dengan titik ๐ yaitu busur (๐, ๐) yang tak jenuh dan ganti label
dengan label tertinggi ๐ ๐ = 11 serta ๐ ๐ = 11.
122
Ketika semua titik sudah terlabel dengan label tertinggi, lakukan operasi push dan
relabel balik, dari titik ๐ก ke titik ๐ , dengan pelabelan jarak sebagai berikut.
Iterasi 16
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐) = min 50,150 = 50
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 150 โ 50 = 100
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 50 โ 50 = 0
๐ ๐ = 0 + 50 = 50.
123
Iterasi 17
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 3.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐) = min 100,100 = 100
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 100 โ 100 = 0
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar รค:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 0 + 100 = 100.
124
Iterasi 18
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 50, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐) = min 50,200 = 50
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 200 โ 50 = 150
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 50 โ 50 = 0
๐ ๐ = 50 + 50 = 100.
125
Iterasi 19
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 100, dan ๐ ๐ = 2.
Busur (๐, ๐) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐) = min 100,100 = 100
(1) turunkan aliran ๐(๐, ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐) busur balik:
๐ ๐, ๐ = 100 โ 100 = 0
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 100 โ 100 = 0
๐ ๐ = 100 + 100 = 200.
126
Iterasi 20
Pilih titik aktif ๐, karena ๐ ๐ = 200, dan ๐ ๐ = 1.
Busur (๐, ๐ ) memenuhi syarat ๐ ๐ = ๐ ๐ + 1, maka busur balik (๐, ๐ ) admissible,
maka lakukan push: ๐ฟ = min ๐ ๐ , ๐๐(๐, ๐ ) = min 200,500 = 200
(1) turunkan aliran ๐(๐ , ๐) sebesar ๐ฟ jika (๐, ๐ ) busur balik:
๐ ๐ , ๐ = 500 โ 200 = 300
(2) turunkan ๐(๐) sebesar ๐ฟ dan tingkatkan ๐(๐ ) sebesar ๐ฟ:
๐ ๐ = 200 โ 200 = 0
๐ ๐ = 0 + 200 = 200.