Libro Tomo i
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Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 17
Es bueno saber que…..
HIPARCO DE NICEA fue el observador más grande de la antigüedad, tanto que su catálogo estelar, que contenía posiciones y brillos de unas 850 estrellas, fue superado en precisión solamente en el siglo XVI.
Por otro lado, inventó la trigonometría esférica que incrementó el potencial del cálculo; renovó las matemáticas, herramienta esencial de la cosmología, astrofísica y astronomía, a la que perfeccionó con nuevos instrumentos. Conocedor de la distancia y de los movimientos de la Luna y en posesión de una teoría mejor que la de sus predecesores acerca de la órbita solar, Hiparco pudo conseguir satisfacer una de las principales exigencias de la astronomía antigua: la predicción de eclipses, cuestión que para los griegos, antes de Hiparco, constituía un serio problema, ya que tan sólo contaban para desarrollar sus predicciones sobre eclipses con el método del saros de los babilonios.
Los sucesores de Hiparco trataron de representar los movimientos planetarios mediante complejos movimientos circulares, y fue mucho más tarde, en tiempo de Claudio Ptolomeo (alrededor del año 150 d.c) cuando la teoría planetaria de la antigüedad adquirió su forma definitiva. Según ella, la Tierra descansa en el centro del universo; los movimientos del Sol y la Luna en el cielo se pueden representar bastante bien por trayectorias circulares. Hacia fines del siglo XV Cristóbal Colón descubrió América, y pocos años más tarde Copérnico planteó el punto de vista heliocéntrico del movimiento de la Tierra.
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Trigonometría Plana
ANGULO TRIGONOMÉTRICO
a visión que se tiene en geometría acerca del ángulo, es de a aquélla que se forma por la
unión de dos rayos fijos, que comparten un punto en común llamado vértice.LEn trigonometría plana un ángulo trigonométrico es aquel que se genera por un rayo móvil,
cuando este realiza una rotación sobre un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial
(lado inicial), hasta una posición final (lado final). La amplitud de la rotación es la medida del
ángulo trigonométrico.
Recordemos que en trigonometría plana si el giro de realiza en sentido horario , el ángulo
generado es considerado negativo, en cambio si el giro es en sentido anti horario el
ángulo generado es considerado positivo; además un ángulo trigonométrico puede
tomar cualquier valor
Creaciones Neper 18
ricotrigonométángulo
O
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Observaciones:
Si a un ángulo trigonométrico se
le invierte su sentido, su signo
cambia.
Para sumar ángulos trigonométricos en un
gráfico, estos deben tener el mismo signo.
La magnitud de un ángulo trigonométrico es
ilimitada
EJERCICIOS RESUELTOS
1. De la figura mostrada, evaluar el ángulo
“x”.
a) 40° b) 20° c) -20°
d) -50° e) -10°
Resolución:
Observamos que los ángulos no tienen el
mismo sentido de giro. Entonces
cambiamos a todos los ángulos en
sentido horario al sentido anti horario(+)
Luego se cumple:
10º
-5x-1040º
2. Según la figura, expresar x en términos
de
x
A
B C
Da) 180º-+ b) --180°
c) 180º-- d) 180º+-
e) --180º
Resolución:
Del grafico observamos que:
Cambiados el sentido al ángulo
Xº
-
A
BC
DVemos que:
Creaciones Neper 19
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Se cumple que:
Reemplazando:
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1. Del gráfico, calcule “X”
a) 10º b) 20º c) 30º
d) 40º e) 50º
2. Del gráfico, hallar X
9º-3x36º
a) 15º b) 20º c)25º
d) 130º e) 35º
3. De la figura determina “x”.
a) 90º - b) - 90º c) 90 + d) -90º - e) 180º-
4. Del gráfico mostrado, calcular “x”
a) 25 b) -25 c) 27
d) -27 e) -36
5. Del gráfico mostrado, calcula “ + ”
a) 270º b) -270º c) 180º
d) –180º e) 90º
6. Del gráfico, hallar “X”.
(11-13X)º (17X-19)º
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
7. De la figura que se muestra, determinar
el valor del ángulo x.
Creaciones Neper 20
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) 15º b) 20º c) 25º
d) -30º e) 30º
8. A partir del gráfico mostrado, calcular el
valor de “x”.
a) 150º b) 290º c) -290º
d) -300º e) 30º
9. A partir del gráfico, calcular el valor de
“x”
a) 18 b) 15 c) 12
d) 10 e) 19,2
10. Del gráfico, hallar :
a) 630º b) 700º c) 660º
d) 600º e) -420º
11. Indicar si los ángulos dados son o no
coterminales
c)
d)
e)
f)
g)
h)
I)
12. Averiguar si los ángulos indicados son o
no coterminales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Creaciones Neper 21
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
NIVEL II
1. Del gráfico mostrado, calcula “x”
a) 180º-+ b) 180º++c) 180º-- d) 180º+-
e) --180º
2. Determina el valor de x, en términos de
“”
a) - 480º- b) 480º+ c) 480º-d) -480º e) -240º+
3. En la figura mostrada, calcula “x” en
términos de “” y “”
a) 130º+- b) 130º--
c) 230º-+ d) 230º--
e) 230º+-
4. En la figura se cumple que:
. Hallar
a) -9º b) 0º c) 9º
d) 18º e) 36º
5. De la figura mostrada determine: “x+y”
en radianes
a) b) c)
d) e)
6. De la figura, calcular el valor positivo
que toma “x”.
a) 5º b) 7º c) 9º
d) 18º e) 36º
7. De la figura, indicar qué relación existe
entre
a)
Creaciones Neper 22
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
b)
c)
d)
e)
8. De la figura, hallar: “x” en término de
X
a)
b)
c)
d)
e)
9. En la figura, calcular el valor que toma
“x”.
O
11x+50º
560º
a) 5º b) 7º c) 10º
d) 18º e) 36º
10. A partir del gráfico, hallar el suplemento
de “x”.
a) b)
c)
d)
e)
10. Señalar si los ángulos indicados son o
no coterminales
a)
b)
c)
d)
e)
f)
NIVEL III
1. De la figura, hallar el máximo valor que
puede tomar
a) 180° b) 160° c) 150°
d) 135° e) 120°
2. De la figura mostrada, calcular “x”
Creaciones Neper 23
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) -2 b) -1 c) 5
d) 4 e) 3
3. Del gráfico mostrado a qué es igual:
10x-9y
a) 1 100 b) 360 c) 280
d) 2 400 e) 1 800
4. En la figura, expresar en términos
de .
a) b)
c) d)
e)
5. Del gráfico mostrado, ¿a cuántas
vueltas equivalen: + 2 - ?
a) 1 vuelta b) 2 vueltas
c) 3 vueltas d) 4 vueltas
e) 5 vueltas
6. En la figura mostrada, calcular (en rad)
el valor de ángulo para que el
ángulo sea máximo.
a) 3,34 b) 2,6 c) 4,2832
d) 1,7431 e) 2,1406
7. En la figura mostrada, si OB y OC
trisecan al ángulo AOD entonces la
expresión correcta es:
a) b)
c) d)
e)
8. Dos ángulos coterminales son entre sí
como 1 es a 5. Hallar la medida del
mayor de ellos, si el menor está
comprendido entre 100º y 200º
a) 180º b) 360º c) 540º
d) 720º e) 900º
Creaciones Neper 24
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
9. Sean ángulos
coterminales, tal que . Hallar el
mínimo valor que puede tomar
a) 1009º b) 757º c) 505º
d) 253º e) 107º
10. La suma de dos ángulos coterminales
es 600º. Hallar la medida del menor de
ellos, si el mayor está comprendido
entre 400º y 600º.
a) 80º b) 100º c) 120º
d) 140º e) 160º
TAREA DOMICILIARIA
1. De la figura mostrada, hallar “x”
a) 9º b) 10º c) 12º
d) 11º e) 16º
2. De la figura mostrada, determinar “x”
a) 15º b) 20º c) 25º
d) 30º e) 45º
3. Del gráfico, calcular x.
a) 5º b) 8º c) 10º
d) 12º e) 15º
4. Del gráfico mostrado, calcular los
valores de ”x”
a) 8 y -5 b) 6 y -5 c)5 y -6
d) 2 y -2 e) 5 y -5
5. De la figura mostrada, expresar x en
términos de
x
a) b) c)
d) e)
6. De la figura, determina la mAOC, si es
obtuso.
a) 130º b) 135º c) 140º
d) 145º e) 150º
7. Del gráfico mostrado, calcular “x”
Creaciones Neper 25
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) + b) -- c) -d) - e) 2-
8. Indica en orden creciente la medida de
los ángulos mostrados.
a) ; ; b) ; ; c) ;; d) ; ; e) ; ;
9. De la figura mostrada, indicar qué
relación cumplen los ángulos
a)
b)
c)
d)
e)
10. De los siguientes ángulos, indicar
cuáles son coterminales:
a) b)
c) d) todos
e) ninguno
Creaciones Neper 26
SOLUCIONARIO
NIVEL I1.d 2.a 3.c
4.d 5.a6.c
7.d 8.c 9.e10.a
NIVEL II1.d 2.a 3.d
4.b 5.a6.a
7.a 8.d 9.c10.b
NIVEL III1.b 2.c 3.d
4.c 5.b6.c
7.c 8.e 9.d10.c
TAREA DOMICILIARIA1.a 2.a 3.c
4.b 5.a6.d
7.c 8.e 9.a10.a
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Creaciones Neper 27
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Sistemas De
Medición Angular
ara medir un ángulo trigonométrico existen
infinidad de sistemas, ya que la unidad
angular de medida se puede considerar de
manera arbitraria. Los sistemas de medición más
usados son tres: sexagesimal, centesimal y radial.
P1. SISTEMA SEXAGESIMAL O
INGLES ( S )
En este sistema, la unidad de
medida es
el “GRADO SEXAGESIMAL”
( 1º ) , el
cual se define como la
parte de la medida del ángulo de
una
vuelta ( 360º ).
SUB UNIDADES:
Minuto sexagesimal : 1’
Segundo sexagesimal: 1”
EQUIVALENCIAS
Creaciones Neper 28
Es bueno saber que……
El Origen del término Seno inicia por el año 500, después de N.E., los matemáticos de la India empezaron a considerar el movimiento de una recta que gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de un punto fijo, y a medir las longitudes de las semicuerdas o perpendiculares trazadas desde el extremo de la recta (en diversas posiciones de su movimiento) a la posición inicial de ella. Esa recta se conoce hoy en día como radio vector o “radio movimiento” (del latín: vector, “portador”, de vehor, “muevo”; compárese con “vehículo”.Por esta razón la longitud de la semicuerda se asoció a un ángulo, el ángulo determinado por el giro de la recta.
Los indios dieron el nombre de jva a dicha semicuerda, nombre que en hindú significa cuerda. La palabra pasó al árabe como jiba y más tarde se confundió con la palabra árabe jaib debido probablemente a que las palabras en árabe se escribían frecuentemente sin vocales y por ser iguales las consonantes de ambas jiba y jaib, es decir jb. Sin embargo, la palabra jaib no tiene relación alguna con la longitud de la semicuerda ya que significa la abertura en el cuello de una prenda de vestir. Pese a ello, los árabes tomaron la costumbre de designar a la semicuerda por medio de dicha palabra jaib sin sentido, que hacía referencia a un “doblez” o “curva”. Por este tiempo, los maemáticos europeos se familiarizaron con la palabra árabe referente a semicuerda y tradujeron jaib por la palabra sinus que significa “doblez” o “curva”. Dicho error se ha perpetuado en nuestra palabra seno. Así pues, originalmente el seno de un ángulo representaba la longitud de la semicuerda de una circunferencia de un radio uno. En nuestros días, como pronto veremos, cuando hablamos del seno de un ángulo, no hablamos de una longitud.
S em icuerda
S em icuerda
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
1 circunferencia 360º < > 1 vuelta
1 circunferencia < > 4 cuadrantes
1 cuadrante < > 90º
1º < > 60’
1’ < > 60”
1º < > 3600”
Observaciones:
aº b’ c” = aº + b’ + c”
2. SISTEMA CENTESIMAL O FRANCES ( C )
En este sistema, la unidad de medida es el “GRADO
CENTESIMAL” ( ), el cual se define como la parte de la medida del Angulo de una
vuelta ( )
SUB UNIDADES:
Minuto sexagesimal:
Segundo sexagesimal:
EQUIVALENCIAS
1 circunferencia < > 1 vuelta
1 circunferencia < > 4 cuadrantes
1 cuadrante < >
< >
< >
< >
Observaciones:
Creaciones Neper 29
NotaEn el Sistema Internacional (S.I), los ángulos se miden en radianes ( rad)
1 rad < > 57º 17’ 44”1 rad > 1º >
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
3. SISTEMA RADIAL, CIRCULAR O INTERNACIONAL ( R )
En este sistema, la unidad de medida es el “UN RADIAN” (1 rad). Un radián es la
medida del Angulo central en una circunferencia que genera un arco cuya longitud es igual
que la medida del radio de dicha circunferencia.
Este sistema es el más utilizado en la matemática, física, ingeniería, astronomía, etc.
EQUIVALENCIAS
1 Vuelta <>
1 circunferencia <> 4 cuadrantes
1 cuadrante <>
Para los cálculos se puede considerar como valor aproximado de
= 3,14159265....= 3,1416
o también:
; ;
EQUIVALENCIAS ENTRE LOS TRES SISTEMAS
1 VUELTA < > 360º < > < >
180º < > < >
De esta relación se deduce:
< > 180º
< >
9º < >
Creaciones Neper 30
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
RELACION NUMÉRICA ENTRE LOS TRES SISTEMAS
FORMULA DE CONVERSIÓN
Se utiliza solo cuando las medidas del ángulo estén expresadas en las unidades principales de
medición angular, es decir grados y radianes.
En la figura se muestra un ángulo trigonométrico positivo “ ” m, tal que sus medidas en los
tres sistemas estudiados son Sº , y R rad , los cuales al representar la medida de un
mismo ángulo, resultan ser equivalentes.
Estos tres valores numéricos verifican la siguiente relación:
.... simplificando:
Para “S” y “C:
RELACION SIMPLIFICADA :
1 ) = k
.... o también
Creaciones Neper 31
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
2) = k Dividiendo entre 20, obtendremos:
Creaciones Neper 32
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
RELACION DE ORDEN:
FACTOR DE CONVERSION
Muy usualmente para convertir un ángulo de un sistema a otro se utilizan Factores de
Conversión (F.D.C), que no son valores que al ser multiplicados por el ángulo dado dan como
resultado el nuevo valor en el sistema deseado.
A continuación detallamos los factores de conversión:SISTEMA
INICIAL
SISTEMA
FINALF.D.C
SEXAGESIMAL CENTESIMAL
CENTESIMAL SEXAGESIMAL
SEXAGESIMAL RADIAL
CENTESIMAL RADIAL
RADIAL SEXAGESIMAL
RADIAL CENTESIMAL
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Convertir: 36° al sistema centesimal.
Resolución:
Creaciones Neper 33
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Observamos que deseamos convertir un ángulo del Sistema Sexagesimal al Sistema
Centesimal.
Entonces nuestro F.D.C será:
Aplicamos:
2. Convertir:
Resolución:
Observamos que deseamos convertir un ángulo del Sistema Radial al Sistema
Centesimal.
Entonces nuestro F.D.C será:
Aplicamos:
3. Sabiendo que:
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Resolución:
Convertimos:
Reemplazando:
Creaciones Neper 34
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Entonces:
Reemplazando en:
4. Hallar “n”:
S = 3n + 3
C =4n – 2 , si S y C son lo convencional.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
Resolución:
Recordemos:
Reemplazando:
5. Simplificar:
Creaciones Neper 35
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
Resolución:
De la relación simplificada:
Reemplazando:
6. Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, tal que se cumpla la siguiente
condición:
Siendo S,C y R lo convencional.
a) b) c)
d) e)
Resolución:
De la relación simplificada:
Reemplazando en la condición:
Creaciones Neper 36
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Reemplazamos en R:
7. Hallar el ángulo que verifique:
a) 60º b) 135º c) 72º
d) 18º e) 30º
Resolución:
De la relación simplificada:
Reemplazando:
Creaciones Neper 37
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
Como las alternativas están en el Sistema Sexagesimal, reemplazamos en “S”
APLICACIONES
1. Expresar cada medida en los
sistemas señalados que faltan:
2. Convertir 30º18´ a grados sexagesimales
3. Convertir 84º45´36´´ a grados
sexagesimales.
Creaciones Neper 38
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
4. Convertir 32º18´27´´ a grados
sexagesimales
5. Convertir 143º36´45´´ a grados
sexagesimales
6. Convertir 10,5125º a grados, minutos y
segundos sexagesimales.
7. Convertir 11,51º a grados, minutos y
segundos sexagesimales.
Creaciones Neper 39
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
8. Convertir 67,9095º a grados, minutos y
segundos sexagesimales.
9. Convertir 38,26º a grados, minutos y
segundos sexagesimales.
10. Expresar en grados centesimales cada
uno de los ángulos indicados:
Creaciones Neper 40
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
11. Expresar en grados, minutos y
segundos centesimales lo siguiente
ángulos:
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
Creaciones Neper 41
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
1. Reducir:
a) 4 b) 2 c) 3
d) 7 e) 1
2. Hallar:
a) 4 b) 2 c) 3
d) 7 e) 1
3. Hallar el valor de la expresión:
a) 4 b) 12 c) 3
d) 7 e) 11
4. Determine X en :
a) 7 b) 9 c) 14 d)16 e) 21
5. Del gráfico, hallar x
a) 80 b) 100 c) 50 d) 20 e) 6
Creaciones Neper 42
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
6. Hallar la medida de un ángulo tal que
se cumpla:
S = 2(n+1)
C = 3n-4
a) 36° b) 30° c) 18°
d) 15° e) 60°
7. Si calcular el valor de X.
a) 400 b) 200 c) 300
d) 700 e) 100
8. Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, si:
2S - C=16
a) b) c) d) e)
9. Hallar la medida del ángulo en el sistema radial, si cumple:
a) b) c) d) e)
10. Simplificar
a) -5 b) +5 y -5 c) 3
d) 1 e) 5
NIVEL II
1. Simplificar la expresión:
a) 4 b) 5 c) 3
d) 7 e) 1
2. Siendo S y C lo conocido, simplificar:
Creaciones Neper 43
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) 4 b) 5 c) 3
d) 7 e) 1
3. Simplificar:
a) 1 b) 5 c) 3 d) 2 e) 4
4. Dada la siguiente equivalencia:
Calcular: “ b – a “
a) 45 b) 56 c) 49 d) 47 e) 46
5. Si: .
Hallar: b-a-c
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 12
6. Calcular el valor de:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 5
7. Los ángulos internos de un cuadrilátero convexo miden:
Calcular el mayor valor de X de modo que sea obtuso.
a) 10 b) 12 c) 50 d) 20 e) 6
8. Si: S y C son lo convencional y:
Hallar la medida circular del ángulo, si es menor que una vuelta.
Creaciones Neper 44
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) b) c)
d) e)
9. Determinada la medida de un ángulo en radianes, tal que verifique la siguiente condición:
a) b) c)
d) e)
10. Halle el ángulo en radianes que cumpla:
a) b) c) d) e)
NIVEL III
1. Halle
Siendo S, C y R lo convencional para un mismo ángulo:
a) 3 b) -3 c) 5
d) -5 e) 2
2. Simplificar:
a) 1/3 b) 5/3 c) 3/5 d) 1/6 e) 21
3. Reducir la expresión:
Creaciones Neper 45
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) 245 b) 242 c) 425 d) 524 e) NA
4. Siendo S y C lo conocido para un mismo ángulo y además se cumple que:
Hallar la medida de dicho ángulo en radianes.
a) b) c)
d) e)
5. Siendo S , C y R lo conocido y se cumple que :
Determinar “R”
a) b) c)
d) e)
6. Se tiene que:
Calcular el valor de :
a) 10/9 b) 9/10 c) 3/10 d) 2 e) 1
7. Siendo S y C lo conocido, tal que:
Calcular:
a) 20/9 b) 9/10 c) 3/10 d) 2 e) 1
8. Determine la medida radial del ángulo que verifique la igualdad siguiente.
Creaciones Neper 46
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) b) c)
d) e)
9. Siendo S y C lo conocido, se cumple:
Calcule el valor de la expresión:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 20
10. Si S y C son lo conocido para un mismo ángulo, hallar su medida en sexagesimales.
a) 30º b) 45º c) 60º d) 53º e) 27º
TAREA DOMICILIARIA
1. Expresa cada ángulo en los sistemas señalados
SEXAGESIMAL CENTESIMAL RADIAL
310º
130º
81
Creaciones Neper 47
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
2. Calcular :
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
2. Cual de los siguientes ángulos es el mayor:
a) b) rad c) 45º
d) 180º/4 e) Todos iguales.
3. En un triangulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide rad. Hallar el otro ángulo
en el sistema sexagesimal.
a) 18º b) 36º c) 54º
d) 72º e) 63º
4. Si se verifica que :
Calcular el complemento de ( x + y - z)º
a) 15º b) 20º c) 25º
d) 130º e) 85º
5. En un triángulo las medidas de los ángulos internos son : x/2 rad , x/6 rad y x/3 rad .
Calcular la medida del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos menores.
a) 150º b) 115º c) 135º
d) 120º e) 105º
6. Hallar x si se cumple:
a) 7 b) 9 c) 3
d) 11 e) 5
7. Calcular la medida radial del ángulo que verifique la siguiente relación.
Creaciones Neper 48
Manual de Trigonometría - Quinto Año de Educación Secundaria
a) b) c)
d) e)
8. Simplificar:
a) 19/9 b) 19/20 c) 20/19
d) 1/10 e) 199/90
9. Hallar R si:
a) b) c)
d) e)
10. Halle la medida radial del ángulo que cumple con la igualdad:
a) b) c)
d) e)
Creaciones Neper 49
SOLUCIONARIO
NIVEL I1.e 2.a 3.b
4.c 5.a6.c
7.c 8.a 9.b10.b
NIVEL II1.b 2.c 3.c
4.a 5.b6.e
7.b 8.c 9.e10.b
NIVEL III1.a 2.b 3.c
4.d 5.a6.b
7.a 8.d 9.e10.e
TAREA DOMICILIARIA1.c 2.e 3.b
4.e 5.c6.a
7.e 8.e 9.a10.b
Longitud de Arco
Es bueno saber que ……
GALILEO GALILEI nació en Pisa en 1564, hijo de Vincezo Galilei, con grandes estudios en música, y Giulia Ammannati.
Estudió en Pisa, donde más tarde, ostentaría la cátedra de matemáticas desde 1589 hasta 1592.
Diseñó y fabricó un compás para uso geométrico y militar, con su propio manual de instrucciones. En 1594 obtuvo la patente para máquinas elevadoras de agua. Inventó el microscopio y construyó un telescopio, con el que hizo observaciones celestes, siendo la más destacada, el descubrimiento de los satélites de Júpiter. En 1612 empezó a encontrar seria oposición a su teoría sobre el movimiento de la Tierra desde el púlpito de Santa María Novella, juzgándolas de erróneas. Galileo se defendió en Roma de los cargos que habían hecho contra él, pero en 1616, fue amonestado por el Cardenal Bellarmino quien dijo que no debería defender la astronomía Copernicana porque iba en contra de la doctrina de la Iglesia. En 1622, Galileo escribió Saggiatore (El Ensayador), que fue aprobado y publicado el año siguiente. En Octubre del año 1630 fue llamado por el Santo Oficio a Roma. El tribunal aprobó una sentencia condenatoria y lo condenó a retractarse solemnemente de su teoría. Lo mandaron al exilio a Siena y finalmente, en diciembre de 1633, se le permitió retirarse a su casa de Acetri (el Gioiello). Su salud fue decayendo: en 1638 estaba completamente ciego, y se vio privado de su hija, la hermana Maria Celeleste, quien murió en 1634.
Galileo Galilei murió en Arcetri el 8 de Enero de 1642, a la edad de 77 años
de una Circunferencia
SECTOR Y TRAPECIO CIRCULAR
n sector circular viene a ser una porción de circulo limitada por los radios OA y OB y el
arco AB. U
LONGITUD DE ARCO DE LA CIRCUNFERENCIA ( L )
Del sector circular mostrado, la longitud del arco
“L” se calcula usando la formula:
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
( S )
Es la medida de la superficie de un sector
del circulo, expresado en unidades
cuadradas ( )
RECUERDA ESTA PROPIEDAD
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR ( )
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar la longitud de un arco en un
sector circular cuyo ángulo central mide
60º y el radio 12m.
a) 2 m b) 4 m c) 6 m
d) 8 m e) 12 m
Resolución:
60º
12m
12m
L
2. Si el área del sector circular POQ es
20m2, hallar P
x+ 2
2x+ 2O
Q
rad S
a) 8/5 b) 4/3 c) 5/3
d) 3/5 e) 2/3
Resolución:
Aplicamos:
Reemplazando en el grafico:
S
58
5
Para calcular , usamos:
3. Hallar el área S
S
85
4
A
B
C
D
E
a) 78 b) 78/5 c) 78/7
d) 78/9 e) 78/11
Resolución:
Sabemos que:
Primero calculamos el valor de
Luego utilizamos:
Reemplazamos en la ecuación (1)
4. Del gráfico, halle la longitud , si la
longitud = 4 m
a) 2 m b) 4 m c) /3 m
d) 1 m /e) 3 m
Resolución:
Del grafico observamos que:
OB=AB=OA
Entonces en el sector circular OCD
usamos:
En el sector circular AOB:
5. Del gráfico, halle el perímetro de la
región sombreada.
O1O2 O3
R
A
BC
a) b)
c) r d) 2r
e)
Resolución
Nos piden:
LAB AO1 BO1+L L+2p=
Realizando unos trazos auxiliares en la
figura.
O1O2 O3
R
rad3
A
BC
rad3
2
RR
Del nuevo grafico tenemos:
Reemplazando en “2p”
LAB AO1 BO1+L L+2p=
APLICACIONES
1.
4. Se tiene un sector circular donde el
ángulo central mide 60º; además la
longitud del arco.
Resolución:
5. Calcule “x” del gráfico mostrado.
Resolución:
8.
9.
12. Calcular el área de la región sombreada
Resolución:
13. Si el área del sector circular es
calcular la longitud del radio.
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1. Hallar la longitud de un arco en un
sector circular cuyo ángulo central mide
60º y el radio 12m.
a) 2 m b) 4 m c) 6 m
d) 8 m e) 12 m
2. Una circunferencia tiene un radio de
30m. ¿Cuántos radianes mide un
ángulo central subtendido por un arco
de 20 m?.
a) 1 rad b) 2/3 rad c) 7/4 rad
d) 5 rad e) N.A.
3. Calcular a partir de los
sectores circulares mostrados
a) b) c)
d) e)
4. Calcular:
a) b) 6 c)
d) e)
5. Si la longitud del arco de un sector
circular es 15 m y la del radio es 6m.
Calcular el área del sector.
a) 40 m2 b) 45 m2 c) 90 m2
d) 50 m2 e) 55 m2
6. Calcular el área de la región sombreada
a) b) c)
d) e)
7. Calcular:
a) 3/4 b) 4/3 c) 2/3
d) 3/2 e) 3/5
8. Calcule el área de la región sombreada
a) b) c)
d) e)
9. De la figura calcular el perímetro del
sector circular AOB
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
10. Calcular el área del sector circular
sombreado
a) 36 b) 39 c) 42
d) 44 e) 49
NIVEL II
1. Determine el valor de “L” en el esquema
mostrado:
a) 5 b) 7 c) 9
d) 10 e) 12
2. A partir del gráfico, halle la longitud
recorrida por la esferita, hasta impactar
en . Si AB = BC = 4 m y la longitud
de la cuerda = 10 m
a) 5m b) 5/2 c) 2m
d) 3/2 e) 8m
3. Del gráfico, calcular: x-y
a) 3 b) 1 c) 2
d) 5 e) 6
4. Del gráfico, halle el área de la región
sombreada, si la longitud de la
circunferencia es 8cm.
a) b)
c) d)
e) N.A
5. Calcular si y
a) 1/2 b) 4/9 c) 4/5
d) 2/3 e) 3/5
6. En la figura mostrada determine el valor
de “L”; sabiendo que el trapecio circular
ABCD tiene 72 m2 de área.
a) 1 m b) 2 m c) 3 m
d) 4 m e) 5 m
7. Del esquema mostrado determine el
valor de “”, si se tiene que la suma de
las áreas de los sectores sombreados
es /2 m2
a) (/3) rad b) (/4) rad
c) (/6) rad d) (/8) rad
e) (/12) rad
8. Del esquema mostrado, calcular el valor
de:
S: Área
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
9. Halle el perímetro de la región
sombreada a partir del gráfico, siendo
O, O1, O2, centros.
a) b) c)
d) e)
10. Calcular la relación entre las longitudes
de los arcos y (S: área)
a) b) c)
d) e)
NIVEL III
1. Determinar el área del sector
sombreado, si el trapecio circular ABCD
tiene un área de 48m2
a) 2 m2 b) 4 m2 c) 6 m2
d) 8 m2 e) 10 m2
2. Siendo O, O1 centros del sectores
circulares, halle el perímetro de la
región sombreada
a) b)
c) d)
e)
3. Del gráfico, halle el perímetro de la
región sombreada
a) b)
c) d)
e)
4. Del gráfico, hallar el perímetro de la
región sombreada
a) b) c)
d) e)
5. Del gráfico, halle el área de la región
sombreada. ( )
a) b)
c) d)
e)
6. Del gráfico, halle el área de la región
sombreada si OM = MB = 2 cm
a) b)
c)
d) e)
7. En la siguiente figura, determine el valor
de A/B
a) 54/37 b) 54/35 c) 54/31
d) 54/23 e) 54/43
8. Calcular en términos de “R”
(O: Centro)
a) b)
c) d)
e)
9. Se tiene un sector circular de radio “r” y
ángulo central rad. ¿Cuánto hay que
aumentar al ángulo central de dicho
sector para que su área no varíe, si su
radio disminuye en un cuarto del
anterior?.
a) b) c)
d) e)
10. Dado un sector cuyo ángulo central es
120° y su área es m2, dado también
otro sector de área igual a la mitad y
radio igual al doble del sector anterior,
se pide calcular la diferencia de las
longitudes de arcos que los subtienden.
a) b) 1, 2 m c) 2, 5 m
d) 0, 5 m e) m
TAREA DOMICILIARIA
1. Calcular el área del sector circular.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
2. Calcular el área de la región sombreada
a) 9 b) 3 c) 9
d) 18 e) 21
3. Del gráfico, calcule la longitud del arco
AB.
a) b) c)
d) e)
4. Encontrar el radio de una circunferencia
tal que un arco de 15m de longitud,
subtiende un ángulo central de 3 rad.
a) 8 m b) 7 m c) 6 m
d) 5 m e) N.A.
5. Calcular la longitud del arco, si el área
del sector circular mostrado es
a) m b) 2 m c) 3 m
d) 4 m e) 5 m
6. Calcule
a) 9/7 b) 7/9 c) 3/4
d) 9/16 e) 7/16
7. De la figura, calcular: ,
SI : OE=EC=CA
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 2,5
8. En la figura mostrada determine el valor
de “L”, si el trapecio circular ABCD tiene
20 m2 de área.
a) 1 m b) 3 m c) 5 m
d) 7 m e) 9 m
9. Calcule en el gráfico, S =3/2 2
a) 0,5 b) 0,8 c) 1
d) 1,5 e) 1,8
10. Hallar la longitud de una circunferencia
sabiendo que a un arco de 1m le
corresponde un ángulo central de 30º
a) 20m b) 24m c) 12m
d) 40m e) 36m
SOLUCIONARIO
NIVEL I1.b 2.b 3.a
4.b 5.b6.d
7.e 8.e 9.c10.e
NIVEL II1.d 2.a 3.a
4.c 5.d6.c
7.d 8.b 9.b10.c
NIVEL III1.c 2.b 3.c
4.a 5.a6.b
7.b 8.e 9.a10.a
TAREA DOMICILIARIA1.d 2.c 3.b
4.d 5.b6.a
7.b 8.d 9.c10.c
Aplicaciones de Longitud
de ArcoNUMERO DE VUELTAS (Nv) QUE DA UNA
RUEDA SIN RESBALAR.
uando una rueda rota, barre arcos cuya
longitud están en función de su radio y del
número de vueltas que da la rueda.C
ROTACION DE UNA RUEDA SOBRE UN PLANO
Donde:
Nv: Numero de vueltas que da la rueda al recorrer L
: Numero de radianes del ángulo que gira la rueda
L: Longitud que recorre la rueda ( o que se
desplaza el centro de la rueda)
ROTACION DE UNA RUEDA SOBRE UNA
SUPERFICIE CIRCULAR
Es bueno saber que……
TALES DE MILETONació en la ciudad jonica de Mileto a orillas del mar Egeo, hijo de Examio y de Cleobulina. Sus principales pasiones eran las matemáticas, la astronomía y la política.
Antes de Tales, los griegos explicaban el origen y naturaleza del cosmos con mitos de héroes y dioses antropomórficos. En contraste, Tales argumentaba que el agua es el origen y esencia de todas las cosas en, quizás, la primera explicación significativa del mundo físico sin hacer referencia explícita a lo sobrenatural. Sabía que la Tierra es una esfera y la Luna refleja la luz del Sol.
Herodoto lo menciona cuando predijo un eclipse solar en 585 a.C que pone fin a la lucha entre Lidios y Medos. Este eclipse marca el momento exacto en el que comienza la filosofía, según Aristóteles, y que astrónomos modernos calculan que fue el 28 de Mayo del año mencionado por Heródoto.
Tales vivió en la ciudad de Mileto en Jonia. Los jonios poseían un tráfico de comercio entre Egipto y Babilonia, y por esta razón es probable que visitara Egipto cuando era joven. Fue educado en mitología egipcia, astronomía y matemática y sobre otras culturas exentas de las tradiciones homéricas de Grecia. Por este motivo, su pensamiento no se derivó exclusivamente de la mitología griega sino que tiene ciertas reminiscencias de Egipto. La idea de que la tierra flota sobre el agua podría haberse desprendido de ciertas ideas cosmogónicas del Oriente próximo, lo mismo que la idea del agua como principio de todas las cosas.
Cuando la rueda (aro, disco,...) gira o va rodando sobre una superficie circular, se presentan
dos casos:
CASO I
CASO II
POLEAS Y ENGRANAJES
A) Unidos mediante una faja tangencial o cuando están en contacto
Entonces se cumple:
B) Unidos por sus centros.
Entonces se cumple:
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Determine el número de vueltas que da una rueda de radio 10cm al recorrer una distancia
de longitud 20m
a) 35 b) 45 c) 100
d) 1 e) 17
Resolución:
Tenemos que tener cuidado, las unidades deben ser las mismas:
Aplicando:
2. En el sistema mostrado, la rueda de radio r1 da 100 vueltas, ¿cuántas vueltas da la rueda
de radio r3=?
r2 3r1r
a) 50 b) 45 c) 100
d) 1 e) 17
Resolución:
Entre las ruedas que están en contacto se cumple que:
Luego entre las ruedas conectadas por la faja se cumple:
3. Calcular el número de vueltas que realiza la rueda de radio r=1cm para ir desde A hasta C
pasando por B.
B
C
9cm
7cm
r
a) 6 b) 45 c) 12
d) 8 e) 17
Resolución:
Para el tramo desde A hasta B, usamos:
Para el tramo desde B hasta C, usamos.
Por lo tanto el numero de vueltas que da para llegar desde A hasta C es:
Rpta: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
NIVEL I
1. Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “R”, al trasladarse desde “P” hasta
chocar con la pared.
a) D/2R b) D/R
c) D-R/2R d) D-R/R
e) D-2R/2R
2. ¿Cuántas vueltas da la rueda, si el bloque desciende hasta llegar al piso?, siendo h =
120cm
a) 5 b) 10 c) 12
d) 18 e) 24
3. De la figura mostrada determinar cuántas vueltas da la rueda de radio “r” sobre la pista
circular de centro “O”, al recorrer el tramo AB (R = 9r)
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) 3
4. Se tiene dos ruedas en contacto, cuyos radios se encuentran en la relación de 5 a 2.
Determine cuantas vueltas dará la rueda menor, cuando la mayor de 4/5 dé vuelta.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Se tiene dos ruedas que están en contacto en un punto, si la primera tiene radio 3 cm y
gira ° entonces, la segunda de radio 5 cm, gira °. Hallar la relación entre “” y “”.
a) 5/3 b) 2/3 c) 1/3
d) 3/2 e) 2
6. Una rueda de radio “r” gira sin resbalar por un camino circular de radio “R”, como se
muestra en la figura. Calcular cuántas vueltas dará hasta que llegue a su posición inicial (R
= 5r)
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
7. Calcular el número de vueltas que da la rueda de radio “r” al recorrer el circuito desde A
hasta B
a) 2r/R b) r/4R c) R/2r
d) 2R/r e) R/r
8. En el siguiente engranaje el engranaje de radio 2 gira 120°. ¿Qué ángulo gira en el
engranaje de radio 4?.
2
4
a) /6 rad b) / 3 rad c) / 4 rad
d) / 8 rad e) N.A.
9. Los radios de las ruedas de una bicicleta miden 5cm y 4 cm ; si la rueda menor da 50
vueltas más que la rueda mayor, ¿Cuántas vuelta ha dado la rueda mayor?
a) 85 b) 170 c) 160
d) 50 e) 200
10. La rueda mostrada da 20 vueltas para recorrer la distancia L , si el radio de la rueda mide
3,5cm ,hallar L (=22/7)
a) 6,28m b) 400m c) 400cm
d) 12m e) 4,4m
NIVEL II
1. Del sistema mostrado determinar el número de vueltas que da la rueda A, si la rueda B da
30 vueltas.
a) 25 b) 32 c) 36
d) 40 e) 45
2. En el siguiente sistema si la rueda de radio igual a 4 , gira un ángulo de 30°, ¿Qué ángulo
gira la rueda de radio 1?.
a) 4 /9 rad b) / 3 rad
c) / 4 rad d) / 8 rad
e) N.A.
3. Calcular la altura del punto “P”, luego que la rueda da 2/3 de vuelta.
a) 8 b) 7 c) 6
d) 5 e) 4
4. Calcular el espacio que recorre una bicicleta, si la suma del número de vueltas que dan
sus ruedas es 80. Se sabe que los radios de las mismas miden 3u y 5u.
a) 100 b) 200 c) 250d) 300 e) 500
5. La rueda de radio 1m se desplaza desde A hacia B, dando 12 vueltas. Determinar el valor
de “d”.
a) 46 b) 47 c) 48
d) 49 e) 50
6. Se tiene dos ruedas conectadas por una faja. Si hacemos girar la faja, se observa que las
ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas
que dan estas ruedas, si sus radios miden 3m y 5m.
a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7
d) 1/6 e) 1/10
7. De la figura mostrada calcular la distancia AB
a) 4+52 b) 6+52
c) 8+52 d) 4+26e) 2+26
8. En el sistema de poleas calcular el ángulo que gira la rueda D, si a la rueda A le damos
una vuelta completa (RB= 8RA; y RD =5RC)
a) 9º b) 10º c) 18º
d) 20º e) 90º
9. Al recorrer el espacio que mide 2R una rueda de radio r gira 500º. Calcular el ángulo que
gira una rueda de radio R al recorrer un espacio que mide 2r
a) 259º12´ b) 236º20´
c) 225º45´ d) 335º16´
e) 148º40´
10. Si el número de vueltas que gira la rueda de radio “r” al ir de A a B es 3. Hallar el ángulo
generado en la pista circular.
a) 4 /9 rad b) / 3 rad
c) / 4 rad d) 6/ 7 rad
e) N.A.
NIVEL III
1. ¿Cuántas vueltas da la ruedita en ir desde “A” hasta “C”?, sabiendo que AB = 13m
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5
d) 4,5 e) 4,25
2. Dadas tres ruedas de radios 3m; 4m y 5m las cuales recorren un mismo espacio;
determine el radio de una cuarta rueda, tal que para recorrer un espacio igual a 47 veces el
espacio que recorren las tres ruedas iniciales juntas, da un número de vueltas que es la
suma de los números de vueltas dadas por las tres ruedas iniciales.
a) 100 m b) 120 m
c) 140 m d) 160 m
e) 180 m
3. En el sistema adjunto cuando el engranaje de menor radio gira 1,25 vueltas, ¿cuál será la
distancia entre los puntos “A” y “B”, si inicialmente están diametralmente opuestos? (No
existe traslación)
a) 4 b) 6 c) 2
d) 2 e) 2
4. En la figura, las ruedas pequeñas giran alrededor de la rueda grande (fija) en sentidos
opuestos y con la misma velocidad. Calcule la relación entre el número de vueltas de las
ruedas pequeñas hasta el momento que chocan por primera vez.
(Las ruedas pequeñas no resbalan)
2
3
1
a) 2 b) 5 /c) 3
d) 8 e) 9
5. Si las ruedas están en movimiento de rototraslación, determinar el número de vueltas que
dará la rueda de centro “A” hasta encontrar a la rueda de centro “B”, si hasta dicho instante
ésta última dio dos vueltas.
rr
2
3
AB
621
a) 4 b) 6
c) d)
e)
6. Calcular la distancia entre los puntos “M” y “N” cuando la rueda de radio “r” gire una vuelta
alrededor de la rueda de radio “R” desde la posición inicial mostrada.
R= 4u ; r=2u
Rr
M N
a) 2 b) 5 c) 3
d) 8 e) 6
7. De la figura mostrada determinar el valor del ángulo , si estando la rueda mayor fija, la
rueda menor gira de manera que P y Q coinciden.
a) 45º b) 80º c) 60º
d) 72º e) 74º
8. Determine el número de vueltas que da la rueda en ir de A hacia B. Si AC = CE = , R
= 9r.
a) 6 b) 5 c) 3
d) 8 e) 9
9. Del esquema mostrado si el bloque “A” desciende hasta el suelo y el bloque “B” sube el
triple de lo que recorre “A”, calcule:
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
10. Un automóvil se desplaza en una pista circular con una velocidad de 20 al cabo de un
tiempo “t” el auto ha recorrido un ángulo de 0,3 radianes, y sus ruedas barren un ángulo
de 600 radianes. Si la media armónica de los radios de la pista y la rueda es: . Hallar
“t” en segundos.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) N.A.
TAREA DOMICILIARIA
1. La rueda mostrada da 5 vueltas para recorrer la distancia L, si el radio de la rueda mide
10cm ,hallar L (=3,14)
a) 6,28m b) 3,14m c) 314m
d) 12m e) 100cm
2. Determine el número de vueltas que da una rueda de radio 20cm al recorrer una distancia
de longitud 18m
a) 35 b) 45 c) 10
d) 12 e) 17
3. En la figura, se muestran dos ruedas fijas A y B; cuando A gira (2n-4) vueltas, B gira
(3n+4) vueltas. Calcular “n”.
a) 5 b) 7 c) 10
d) 12 e) 17
4. Se tiene dos poleas concéntricas de radio 1m y 2m ¿Cuánto deben girar para que la
esferitas estén al mismo nivel?
a) 6 rad b) 2 rad c)
d) e)
5. Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número
de vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda menor gire 8 radianes.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
6. Los engranajes están unidos mediante una faja tangencial, tal como se muestra en la
figura. Si el engranaje menor da “n” vueltas cuando el mayor da “n – 4” vueltas, calcular el
valor de “n”.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 8
7. Calcular la longitud de arco recorrido por “A”, si la longitud de arco recorrido por “C” es
12. (RA = 1; RB = 4; RC = 3)
a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) 16
8. Calcular el número total de vueltas que da la
rueda en ir desde A hasta C, sin resbalar
sobre la pista sabiendo que mide 13m
a) 2,5 b) 3,5 c) 4,25
d) 4,5 e) 5,25
9. Del sistema determinar cuántas vueltas gira
la rueda C, cuando la rueda A da 12 vueltas.
a) 15 b) 25 c) 30
d) 42 e) 45
10. Los radios de la rueda de un bicicleta son (x+1)m y (x-1)m. Si la rueda mayor da (x-2)
vueltas y la menor (x-1) vueltas, ¿cuántas vueltas en total darán las dos ruedas?
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
SOLUCIONARIO
NIVEL I1.c 2.c 3.a
4.b 5.a6.b
7.c 8.b 9.e10.e
NIVEL II1.c 2.a 3.c
4.d 5.b6.e
7.a 8.a 9.a10.d
NIVEL III1.d 2e 3.d
4.a 5.c6.e
7.b 8.a 9.a10.e
TAREA DOMICILIARIA1.b 2.b 3.b
4.a 5.b6.d
7.e 8.d 9.c10.c