UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE

FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS

MAGISTER EN DIDACTICA DE LA MATEMATICA

Didáctica del

Cálculo

Víctor Córdova Cornejo

Profesor: Fernando Córdova Lepe

08 de Enero de 2015, Talca

Introducción

El siguiente trabajo se enmarca en la síntesis de lo visto y trabajado en el curso de

didáctica del cálculo del programa de Magíster en Didáctica de la Matemática impartido en la

Universidad Católica del Maule, orientado al trabajo de los estudiantes de secundaria

principalmente.

El presente libro expone un análisis acabado de las funciones principales, tales como la

función lineal y afín, la función cuadrática, función potencia, función exponencial y función

logarítmica. Para el estudio de éstas se trabajó con su gráfica, además de relacionar las

imágenes o pre-imágenes con temas tales como progresión aritmética, progresión geométrica,

media aritmética y media geométrica.

Para comprender de mejor manera el presente texto, se debe tener conocimientos

básicos de la disciplina de matemática, específicamente acerca de funciones, tales como

entendimiento acerca de conceptos como; intercepto, pendiente, parámetros, ejes, dominio,

dependencia, etc., manejo en lo procedimental acerca ciertos contenidos como potencias,

logaritmos, ecuaciones, etc.

Los problemas trabajados no necesariamente entregan datos de la realidad, sino que

por necesidad de análisis son acordes a lo que se pretende explicar y son datos que se podrían

sacar más información si así el lector lo estimase.

Problema 1.a

La señora Ericka poseedora de un negocio dedicado a la crianza y posterior venta de polli-tos se da cuenta que: A partir de la densidad de pollitos que tenía, cada mes vende la mitad delos pollitos que tenía el mes anterior. Sin embargo, por diversos motivos, cada mes ingresan orecibe 3 de éstos animales. En base a ésto:

1. ¿Cuál es el modelo que relaciona la cantidad de pollitos de dos meses consecutivos y queexplica dicha situación?

2. ¿En algún momento la señora Ericka se queda sin pollitos?

Desarrollo

Para llegar al modelo que nos permita responder las preguntas debemos introducir las sigu-ientes variables:Pk: Densidad de pollitos en el mes kPk+1: Densidad de pollitos en el mes k + 1

Luego, se cumple la siguiente relación: "Lo que tendrá en el mes k + 1 será igual a lo quetenía en el mes k, menos la mitad y todo aquello aumentado en tres". Algebraicamente sería:

Pk+1 = Pk −1

2· Pk + 3

=1

2· Pk + 3

Dicha expresión obviamente nos entregará valores reales positivos. Para saber si la densidadde pollitos llega a cero, analizaremos la situación geométricamente. Para esto entenderemosaquella expresión, como una función donde Pk+1 = y(Pk), con

y(x) =1

2x+ 3

1

Como Pk+1 depende de Pk, podemos observar que en cada eje encontramos densidad de polli-tos, por lo que resulta natural analizar dicha situación con la recta identidad, somo se observaen la siguiente imagen:

De acuerdo a lo anterior se puede observar que:

P1 = y(P0)

P2 = y(P1)

P3 = y(P2)

... =...

Pk+1 = y(Pk)

Siendo P0 la cantidad de pollitos inicialmente.Visto lo anterior, se piensa entonces que llegará un momento donde Pk+1 = Pk, es decir, gráfi-camente sería:

2

Como se ve en la gráfica la densidad de pollitos en el mes k + 1 disminuirá hasta el punto deque la densidad del mes anterior sea igual al mes actual, es decir:

Pk+1 = Pk

luego reemplazando Pk+1 =12 · Pk + 3 tenemos que:

1

2· Pk + 3 = Pk

Pk −1

2· Pk = 3

1

2· Pk = 3

Pk = 6

Por lo tanto, dicho valor significa que sea la densidad que sea de pollitos, para este modelo,siempre tenderá a 6 pollitos.Por lo que la señora Ericka nunca se quedará sin de éstos animales.

3

Dicha situación provoca la siguiente problemática, ¿Qué condición(es) se debe(n) cumplirpara que suceda aquello, es decir, para que nunca se quede sin pollitos?

Para esto se requiere un análisis de los elementos de la recta, es decir, del coeficiente deposición y la pendiente que modela el problema. Sin embargo sabemos que el coeficiente deposición indica la cantidad inicial de pollitos que tenía la señora Ericka, por lo que se puededecir que es la pendiente la que determina la convergencia anterior, debido a la inclinación ocontextualizando depende de la venta producida por la señora Ericka.

Podemos notar que la convergencia de la densidad de pollitos, no tiene sentido cuandola densidad de pollitos del mes es igual a la densidad de pollitos del mes anterior mas tres, esdecir, Pk+1 = Pk + 3, yaque el modelo siempre crecerá indefinidamente y no habrá venta.

Ahora, ¿qué sucede si la señora Ericka vende el triple de lo que tenía el mes anterior (ob-viamente esto no tiene sentido para el problema)?.

Texto

¡Demuestralo algebraicamente!

4

Problema 1.b

Si la señora Ericka necesita saber cuál es la densidad de pollitos que tendrá para el próximomes, sabiendo que actualmente tiene 250. Además de ésto la vendedora sabe que si en un mestiene 200, luego tendrá 103. Y otro mes que tenga 300, después tendrá 153.

Desarrollo

Notemos que 250 = 150 + 100 y relacionandolo con 300, tenemos que 150 =300

2y relacionan-

dolo con 200, tenemos que 150 =200

2, por lo tanto:

f(250) = f(150 + 100)

= f

(1

2· 300 + 1

2· 200

)

Para calcular aquello, debemos tomar en cuenta que f(300) = 153 y f(200) = 103. Por lo tanto

f

(1

2· 300 + 1

2· 200

)depende de f(300) y f(200) Mas generalmente:

f(λx1 + (1− λ)x2) =1

2(λx1 + (1− λ)x2) + 3

=1

2λx1 +

1

2(1− λ)x2 + 3

=1

2λx1 + 3λ+

1

2(1− λ)x2 + 3− 3λ

=1

2λx1 + 3λ+

1

2(1− λ)x2 + 3(1− λ)

= λ

(1

2x1 + 3

)+ (1− λ)

(1

2x2 + 3

)= λf(x1) + (1− λ)f(x2)

Por lo tanto

f

(1

2· 300 + 1

2· 200

)=

1

2f(300) +

1

2f(200)

=1

2· 153 + 1

2· 103

= 78

∴ La señora Ericka al próximo mes tendrá una densidad de 78 pollitos.

5

Problema 2

La señora Ericka, con el objetivo de conseguir más clientes en la venta de pollitos, decide re-alizar la siguiente oferta: Antes, por una cierta cantidad de pollitos el valor era $80.000 y ahorapor 25 pollitos más y $50 menos por cada pollito, el precio es $63750. Si una persona toma laoferta, ¿cuánto dinero cuesta cada pollito con la oferta?

Desarrollo

Para responder la pregunta, denotaremos las siguientes variables:

1. x: Cantidad de pollitos

2. y: Precio por cada pollito

Antes de la oferta, una cierta cantidad de pollitos valía $80.000, es decir;

x · y = 80000 (1)

Ahora la oferta, algebraicamente se representaría de la siguiente manera:

(x+ 25)(y − 50) = 63750 (2)

De la ecuación (1) podemos deducir que y =80000

xLuego reemplazamos dicha expresión en la ecuación (2) y obtenemos:

(x+ 25)

(8000

x− 50

)= 63750

�x ·8000

�x− 50x+ 25 · 8000

x− 25 · 50 = 63750

80000− 50x+ 25 · 8000x− 25 · 50 = 63750 / · x

80000x− 50x2 + 25 · 80000− 25 · 50x = 63750x

−50x2 + 15000x+ 2000000 = 0

50(−x2 + 300x+ 40000) = 0 (∗)50(−x− 100)(x− 400) = 0

−x− 100 = 0 ∨ x− 400 = 0

x = −100 ∨ x = 400

Como se busca la cantidad de pollitos, x = −100 no tiene sentido, por lo que la solución x = 400,indica que son en total 400 pollitos los que se vendía sin considerar la oferta en $80000. Estoimplica que el valor de cada pollito es de $200 y con la oferta, el valor sería de $150.Al analizar la situación como función del tipo cuadrática, dónde:

f(x) = −50(x− 150)2 + 3125000

6

Al analizar dicha función, en general, estaremos estudiando la familia de funciones, de la forma

f(x) = a(x− x0)2 + b

donde a es la cantidad de metros cuadrados vendidos y b es el valor fijo que se cobra portraslado.

Si se quisiera graficar dicha función sin apuro evidente debemos considerar el rol geométricode los elementos de la función, como lo son x0, b y a.

Si a < 0 indica que la parábola será cóncava hacia abajo y además la variación de x0 y bprovoca un desplazamiento del vértice, como vemos a continuación.

7

Problema 3

La señora Ericka decidió que el precio de los pollitos iba a tener un crecimiento potencial, de talmanera que por 4 pollitos se pague $400 y por 9 pollitos, se cancele $1350.

1. Analiza la situación y encuentra un modelo que relaciona la cantidad de pollitos y elprecio por éstos.

Desarrollo

Que tenga un crecimiento potencial significa que los puntos que pertenecen a dicha funcióncumplen con f(x) = b · xa, a, b > 0. (f(x) en cientos)Ahora, como con 4 pollitos se cancela 400, entonces f(4) = 4 y como con 9 pollitos se cancela$1350, entonces f(9) = 13, 5Luego

f(4) = b · 4a

4 = b · 4a / loga

loga(4) = loga(b · 4a)loga(4) = loga b+ a · loga 4 (1)

Además

f(9) = b · 9a27

2= b · 9a / loga

loga

(27

2

)= loga(b · 9a)

loga

(27

2

)= loga b+ a · loga 9 (2)

8

A partir de (1) y (2) se deduce que:

loga(4)− a · loga 4 = loga

(27

2

)− a · loga 9

a · loga 4− a · loga 9 = loga(4)− loga

(27

2

)a(loga 4− loga 9) = loga(4)− loga

(27

2

)a =

loga(4)− loga(272

)loga 4− loga 9

a =loga

(4272

)loga

49

a =loga

(827

)loga

49

a =3 loga

(23

)2loga

23

a =3

2

Por lo tanto4 = b · 4

32 ⇒ 4 = b · 8⇒ b =

1

2

El modelo matemático que relaciona la cantidad de pollitos y el precio por ellos, es:

f(x) =1

2x

32

9

Para analizar el rol geométrico de a y b de la función f(x) = bxa, dejamos constante unparámetro y acemos variar el otro.

1. Si a = 1, 8, haciendo variar a b, los gráficos serían de la siguiente manera:

Claramente se puede observar que a medida que "b" crece, la gráfica tiende a cerrarse y laimagen empieza a crecer con pre-imagen constante. Es decir, se cumple que

∀ai ∈ R ∧ b1 < 0 ∧ b1 < b2 ⇒ b1xa1 < b2x

a2

Texto

¡Demuestralo algebraicamente!

10

2. Si 0 < a < 1 y b = 0, 5 tenemos que:

La pendiente de la gráfica aumenta a medida que "a" crece.

En general se cumple:

(a) 0 < x < 1⇒ xa2 < xa1 con a1 < a2

(b) 1 < x <∞⇒ xa2 > xa1 con a1 < a2

Texto

¡Demuestralo algebraicamente!

11

3. Si a > 1 y b = 0, 5, tenemos gráficos como:

Por lo que se observa, a medida que "a" crece, las imágenes crecen (para pre-imagen constante)Por lo tanto como hemos visto y analizado, el rol del parámetro "a" es la pendiente de la gráfica.Como en la situación anterior se pudo observar que por dos puntos se puede trazar la gráfica dela función potencia, ahora surge el siguiente cuestionamiento, por dos puntos, ¿pasa una únicafunción potencia?

Texto

¡Demuestralo algebraicamente!

12

Problema 4

El ébola ha sido uno de los temas más mencionados en el último tiempo. Estudios indicanque la expansión a mostrado un crecimiento exponencial cada tres semanas aproximadamente,duplicándose la cantidad de infectados.

1. ¿Cuál es el modelo que relaciona la cantidad de infectados por tiempo en semanas?

2. A medida que avanza el tiempo, ¿qué comportamiento caracteriza la cantidad deinfectados?

3. Determina la cantidad de infectados al pasar la tercera parte de 6 semanas y dos terciosde 9 semanas.

4. Si la cantidad de infectados se triplica, cada 3 semanas;

(a) La gráfica, ¿es paralela a la gráfica de la situación anterior?

(b) ¿En qué caso general son paralelas las gráficas de las funciones exponenciales?

Desarrollo 1.

Sea

t: Tiempo (en semanas)y: Cantidad de infectados

Obviamente analizando la dependencia de las variables vemos que la cantidad de infectadosdepende del tiempo transcurrido, es decir, y(t).Como en el enunciado se dice que cada vez que pasan 3 semanas se duplica la infección, sepuede representar mediante

ti t0 t1 t2 t3 t4 . . . tnyi y0 2y0 = y1 2 · 2y0 = y2 2 · 2 · 2y0 = y3 2 · 2 · 2 · 2y0 = y4 . . . 2ny0 = yn

Ahora como n =tn − t0

3, entonces nos quedaría una función dependiendo del tiempo ti,

de la formay(t) = y0 · 2

t3

con y0 la cantidad inicial de infectados (t = 0)

Desarrollo 2.

Que el tiempo avance signifca que:

t2 = t1 + d

t3 = t2 + d = t1 + 2d

t4 = t3 + d = t1 + 3d... =

...tn = tn−1 + d = t1 + (n− 1)d

13

Es decir. {tn} es una progresión geométrica. Ahora analizaremos la cantidad de infectados apartir de lo anterior:

tn = t1 + (n− 1)d

y(tn) = y(t1 + (n− 1)d)

y0 · 2tn3 = y0 · 2

t1+(n−1)d3

y0 · 2tn3 = y0 · 2

t13 · 2

(n−1)d3

y(tn) = y(t1) · 2(n−1)d

3

y(tn)

y(t1)= 2

(n−1)d3

⇒ {y(tn)}(Cantidad de infectados) están en una progresión geométrica.

Desarrollo 3.

Debemos considerar que están preguntando por la imagen de la tercera parte de 6 semanas

aumantado en dos tercios de 9 semanas de la función, es decir, y(1

3· 6 + 2

3· 9) depende de y(6)

y y(9). Para determinar aquello, podemos observar que1

3+

2

3= 1

Para resolver aquello, más generalmente se necesita saber la equivalencia de:

y(α1x1 + α2x2 + α3x3 + ...+ αnxn)

con y(x) = b · ax y α1 + α2 + α3 + ...+ αn = 1.

Luego:

y(α1x1 + α2x2 + α3x3 + ...+ αnxn) = b · aα1x1+α2x2+α3x3+...+αnxn

= bα1x1+α2x2+α3x3+...+αnxn · aα1x1 · aα2x2 · ... · aαnxn

= [bα1x1 · aα1x1 ] · [bα2x2 · aα2x2 ] · ... · [bαnxn · aαnxn ]

= [bx1 · ax1 ]α1 · [bx2 · ax2 ]α2 · ... · [bxn · axn ]αn

= [y(x1)]α1 · [y(x2)]α2 · ... · [y(xn)]αn

Por lo tanto calcular y(1

3· 6 + 2

3· 9) es equivalente a calcular [y(6)]

13 + [y(9)]

23

y(1

3· 6 + 2

3· 9) = [y(6)]

13 + [y(9)]

23

= [y0 · 263 ]

13 + [y0 · 2

93 ]

23

= [y0 · 22]13 + [y0 · 23]

23

= (4y0)13 + (8y0)

23

Cuyo valor solo depende de la cantidad inicial de infectados.

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Desarrollo 4.a

La función asociada a la situación es g(t) = g0 · 3t3 . Al graficar ambas funciones obtenemos:

Y se puede observar que hay un punto en común. Algebraicamente existe un punto en comúnsi y solo sí:

y(t1) = g(t1)

Es decir

y(t1) = g(t1) ⇒ y0 · 2x3 = g0 · 3

x3 / log2

⇒ log2 (y0 · 2x3 ) = log2 (g0 · 3

x3 )

⇒ log2 y0 + log2 2x3 = log2 g0 + log2 3

x3

⇒ log2 y0 +x

3log2 2 = log2 g0 +

x

3log2 3

⇒ x

3(1− log2 3) = log2 g0 − log2 y0

⇒ x

3=

log2 g0 − log2 y01− log2 3

⇒ x =3 · log2

g0y0

log223

Por lo tanto sig0 = y0 ⇒ x = 0

⇒El punto de intersección es el (0, 1). Esto implica que y(t) y g(t) no son paralelas.

15

Desarrollo 4.b

Sea y1(t) = b ·at y y2(t) = c ·dt, diremos que son paralelas si no existe un ti, talque y1(ti) = y2(ti)

y1(t) = y2(t) ⇒ b · at = c · dt / loga

⇒ loga b+ x = loga c+ x loga d

⇒ x(1− loga d) = loga c− loga b

⇒ x =loga c− loga b

1− loga d

Luego x no existe cuando 1− loga d = 0⇒ loga d = 1, y esto sucede cuando a = d.Por lo tanto las funciones y1 y y2 son paralelas si y solo si a = d ∧ b 6= c

Problema 5

De acuerdo al problema anterior las autoridades creen que en poco tiempo más la propagaciónde la epidemia tenderá a tener un creciemiento logarítimico del tipo f(t) = log2(t). De acuerdoa esto:

1. Esboze una gráfica del comportamiento de ésta situación.

2. Dada una función general del tipo f(t) = loga(bt), determina el rol geométrico de losparámetros a y b e interpretalo según el contexto.

3. Si la razón entre el mes i+ 1 y el mes i es r, ¿cuál es el comportamiento de la cantidad deinfectados?

4. En el problema anterior se ha notado que las imagenes de la media aritmetica es la mediageometrica de las imágenes. En esta caso, ¿sucede lo mismo?

Desarrollo 1.

Para graficar dicha función, debemos analizar primeramente el comportamiento desde unpunto de vista algebraico.

1. Las pre-imágenes de dicha función serán todas positivas, yaque no existe un númerotalque dos elevado a ese número sea igual a un número negativo. Es decir;

6 ∃y/2y = t, t < 0

2. Como todos las pre-imágenes son positivas, las imágenes también lo serán, por propiedadde potencias.

3. El punto (1, 0) ∈ f , yaque 20 = 1.

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La gráfica sería de la siguiente manera:

Desarrollo 2.

Escribiremos f(t) = loga(bt) de diferente manera, utilizando las propiedades de logaritmo

f(t) = loga(bt)

f(t) = loga b+ logat

Como vemos, la función logarítmo se ha linealizado, donde logab determina el intercepto de lafunción con la recta t = 1.Ahora para analizar la pendiente de la función logarítmica, consideraremos dos puntos quepertenezcan a la función (t0, f0) ∧ (t1, f1) y b = 1,

(t0, f0) ∈ f ⇒ f0 = loga t0

(t1, f1) ∈ f ⇒ f1 = loga t1

Luego

f1 − f0 = loga t1 − loga t0

f1 − f0 = loga

(t1t0

)af1−f0 =

t1t0

a = f1−f0

√t1t0

a =

(t1t0

) 1f(t1)−f(t0)

Esto implica que a es la curva tangente a la función logarítmica, cuyo análisis corresponde a unnivel de enseñanza superior.

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Desarrollo 3.

A partir de la información entregada, se deduce que tn = t1 · rn−1(¡Demuestralo!). Entonces

tn = t1 · rn−1 /f()

f(tn) = f(t1 · rn−1)

loga tn = loga(t1 · rn−1)

loga tn = loga t1 + loga rn−1

loga tn = loga t1 + (n− 1) · loga r /k = loga r

f(tn) = f(t1) + (n− 1) · k

Por lo tanto, la cantidad de infectados {fα(tn)} están en una progresión aritmética.

Desarrollo 4.

Veamos si se cumple lo mismo que el problema anterior, es decir, la imagen de la media ar-itmética de las preimagenes es la media geométrica de las imágenes , es decir:

f(α1t1 + α2t2 + ...+ αntn) = (f(t1))α1 · (f(t2))α2 · ... · (f(tn))αn

Sea la función f(t) = loga bt y α1 + α2 + ...+ αn = 1

f(α1t1 + α2t2 + ...+ αntn) = loga (b · (α1t1 + α2t2 + ...+ αntn))

Sin embargo, no existe una propiedad de los logaritmos que me permita desarrollar aquellaexpresión. Por lo tanto, debemos probar si sucede este caso pero de manera inversa, es decir,la imagen de la media geométrica de las preimagenes es la media aritmética de las imágenes,simbólicamente sería de la siguiente manera:

f(tα11 · t

α22 · ... · t

αnn ) = α1f(t1) + α2f(t2) + ...+ αnf(tn)

Veamos,

f(tα11 · t

α22 · ... · t

αnn ) = loga (b(t

α11 · t

α22 · ... · t

αnn ))

= loga (bα1+α2+...+αn(tα1

1 · tα22 · ... · t

αnn ))

= loga (bα1tα1

1 · bα2tα2

2 · ... · bαntαn

n )

= loga (bα1tα1

1 ) + loga (bα2tα2

2 ) + ...+ loga (bαntαn

n )

= loga(bt1)α1 + loga(bt2)

α2 + ...+ loga(btn)αn

= α1 loga(bt1) + α2 loga(bt2) + ...+ αn loga(btn)

= α1f(t1) + α2f(t2) + ...+ αnf(tn)

Por lo tanto en una función logarítmica, la imagen de la media geometrica de las preimágeneses la media aritmética de las imágenes.

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Conclusión

Llama la atención que la mayoría de las funciones que se han analizado puedan

ser modeladas por un comportamiento lineal, he aquí una principal duda que no ha

sido muy analizada en las presentes investigaciones, el porqué de la ocurrencia de

aquello.

El objetivo de este trabajo es principalmente dar a conocer el diferente trato

que pueden tener las funciones, relacionándolas con otros elementos de la

matemática, que no se propone en el currículum nacional. Sin embargo es el profesor

el que tiene la libertad y la responsabilidad de buscar otras aplicaciones de las

funciones, más allá de determinar dominio y recorrido, análisis de gráfico, solución de

ecuaciones, etc. lo principal es tener un abanico de opciones didácticas que le permitan

al docente fomentar el encantamiento del área en cuestión a través de la

contextualización.

Respecto al curso, creo que se valora el hecho de haber realizado, más que un

estudio de las funciones principales, un análisis acabado de por qué se forma dicha

función o cuáles son las características de los datos que indican el mejor modelamiento

a través de estas funciones.