Libro Del Profesor Geometría PUCV

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Material de propiedad del Ministerio de Educación de ChileRegistro de Propiedad Intelectual Inscripción Nº

Autores:Ismenia Guzmán RetamalAndrea Pizarro CanalesHernán Fibla Acevedo

Leonardo Cárdenas Calderón

Ediciones IMA – PUCVBlanco Viel 596, Cerro Barón, Valparaíso

Fono: (32) 274001 – Fax: (32) [email protected]

http://ima.ucv.cl

Lectura del manuscrito:María Soledad Montoya González

Diseño, ilustraciones y diagramación:Paola Galbiati ValverdeFono / Fax: (32) 478004

http://www.talleronce.cl

2ª EdiciónTiraje:

Impresión:

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GUÍA PARA EL PROFESOR (A).

GeneralidadesSe invita al profesor(a) a participar en este proyecto en calidad de

investigador, de modo que aporte con su experiencia docente y sus conocimientosadquiridos, a través de su vida, a esta investigación.

Se trata de una investigación cualitativa que se enmarca en el modelo de laingeniería didáctica cuya finalidad es renovar una enseñanza. En nuestro caso es laenseñanza de la geometría.

Diseño de la IngenieríaHemos diseñado una Ingeniería para el proceso de enseñanza y aprendizaje

en séptimo año básico con el fin de nivelar el conocimiento geométrico de losalumnos de este nivel. Para ello hemos concebido una ingeniería que consta de dosproductos. El cuaderno del alumno(a) y la guía del profesor(a), ella se desarrollaen 28 guías entre las cuales se distinguen las de descubrimiento de conocimientonuevo, las de funcionamiento de los conocimientos matemáticos y las de saberhacer, cuyo objetivo es reforzar los conceptos y propiedades. En estas guíastambién se proponen ejercicios y problemas de aplicación. Las guías defuncionamiento son las más numerosas, debido a que se trata de nivelar elconocimiento de los alumnos, lo que significa que se ha tomado en cuenta que losalumnos algún conocimiento tenían de los objetos matemáticos involucrados, peroque la apropiación no se ha alcanzado, es decir los aprendizajes han sido débiles yno suficientes para este nivel.

Marco teórico que fundamenta la Ingeniería DidácticaEsta ingeniería se basa en la teoría de Situaciones de Guy Brousseau1,

adaptada a nuestra realidad y en particular al aula de 7 º Año.Para la enseñanza de la matemática, esta teoría señala que es importante

proponer situaciones didácticas que planteen tareas al alumno de tres tipos:

ACCION, FORMULACION, VALIDACION.

La situación (para aprendizaje) tiene que desafiar a los alumnos(as) yhacerlos ACTUAR, es decir, que aborden la tarea con sus experiencias y losconocimientos que tienen, que ensayen estrategias y respondan, no importa sillegan o no a la respuesta correcta.

La fase de ACCIÓN tiene su dialéctica, que se desarrolla en el momento delas interacciones entre los alumnos y que el profesor acompaña, pero se mantieneal margen, interviene solamente para que el trabajo de los alumnos continúe, él no 1 La que se tratará en los seminarios preparatorios a la aplicación en terreno.

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dirige, contesta las preguntas de los alumnos con otra pregunta (esto es el procesode Devolución) de modo de no interrumpir el trabajo de búsqueda de los alumnos.Sigue la fase de FORMULACIÓN, en la que se pide a los alumnos comunicar sushallazgos, ya sea en forma oral o escrita. Esta fase también tiene su dialéctica, quefavorece la puesta a punto de un Vocabulario, tanto en lenguaje natural como enlenguaje matemático pertinente.

La tercera fase es de VALIDACIÓN, la tarea que deben hacer los alumnos esexplicar los por qués, tienen que argumentar o justificar o demostrar lo queafirman, dependiendo de las exigencia que se puedan hacer según el nivel de losalumnos. También esta fase tiene su dialéctica.

La cuarta y última fase es de INSTITUCIONALIZACIÓN, que es tarea delprofesor, el debe exponer la matemática que han trabajado los alumnos en las fasesanteriores y escribir el saber oficial, sobre el que versarán las evaluacionesposteriores.

Esta teoría supone una organización de los saberes a enseñar, es decir, delsaber matemático escolar del nivel elegido. Es necesaria una estructura coherentede los saberes o contenidos específicos que los alumnos(as) van a aprender. Ellopermite buscar las situaciones que respondan al aprendizaje de objetosmatemáticos importantes: conceptos, definiciones, propiedades, teoremas quedeben aprenderse en el nivel considerado.

Una vez diseñada la o las situaciones, hay que prever las diferentesmetodologías para la gestión de las clases.

Con todos los aspectos que contempla esta teoría se puede observar clases yanalizarlas. Como también se puede estudiar el discurso del profesor, el espacioque deja a sus alumnos(as), la calidad de sus preguntas cuando se pone en marchael proceso de Devolución.

El Paradigma geométrico utilizado, distingue dos modelos de Geometría, laGeometría I y la Geometría II y está basado en las investigaciones de Houdement-Kuzniak2. En la Geometría I, los objetos son representaciones de cosas o entes delmundo físico, razón por la cual esta geometría se puede tratar con materialesconcretos y con instrumentos. Así los conocimientos generados se pueden validaren forma experimental con instrumentos o con material concreto. Pero no siempre,el modelo de la Geometría I es recomendable en el segundo ciclo básico,especialmente en 7º y 8º. En estos niveles aparece la Geometría II en que lavalidación debe comenzar a utilizar además, instrumentos matemáticos(definiciones y teoremas).

2 Investigadores participantes en el proyecto ECOS Chile-Francia.

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Contrato Didáctico

Este es un concepto clave de la Didáctica de la Matemática y estárelacionada con el funcionamiento del proceso de enseñanza y aprendizaje ya seaen clases o en la Institución Curso, Escuela, Liceo u otro.

El contrato didáctico se puede mirar desde varios puntos de vista. Nosotroslo miraremos en la sala de clases, y en clases de matemáticas. Esto es, cuando elprofesor propone una tarea a los alumnos, negocia con ellos las condiciones en quese jugará el juego didáctico. Se fijan las responsabilidades de uno y de otros.

Por ejemplo, cuando los alumnos en una clase trabajan en la fase de laAcción, el profesor puede proponer que se desarrolle en varios momentos: trabajoindividual, trabajo grupal, y un debate. Para cada uno de estos momentos se fijanlas reglas que los alumnos (as) comprenden y aceptan o proponen modificaciones.Se negocia el modo de trabajo.

Este contrato se rompe cuando se cambian las condiciones, el profesorpuede cambiar la tarea en vista de las circunstancias, en que se está desarrollandoel proceso de estudio, pero si hay conflicto con los alumnos(as), es suresponsabilidad reestablecerlo, pues el juego didáctico tiene que continuar.Muchas veces el contrato se rompe en forma positiva, sin conflicto, pero de todosmodos hay que adecuar las reglas.

El Proceso de Devolución

Este proceso se pone en práctica durante la gestión de la clase. Y consiste enel juego de preguntas, que se pone en funcionamiento en general a partir depreguntas o tareas que el profesor propone al curso, que trabaja con algunametodología, sea individual, en parejas, en equipo u otra.

Los alumnos tratan de responder, buscan estrategias, no se trata de denrespuestas correctas, si las encuentran mejor, pero lo importante es que secuestionen, le planteen al profesor preguntas, a las cuales el profesor responde conotras preguntas, que relanza la búsqueda de los alumnos(a). El proceso dedevolución en entonces un juego de preguntas entre los alumnos y el profesor. Elprofesor devuelve la pregunta, de ahí su nombre, proceso de devolución.

No es un juego de preguntas y respuestas, de modo que, no se interrumpa labúsqueda del alumno(a), se le deja construir estrategias que le lleven a descubrirconocimiento nuevo. Este proceso de devolución requiere una pedagogíaheurística. Con un profesor con una buena relación al saber, para que no malogrela búsqueda de los alumnos, les de luces pero no dirija, ni apure las respuestas.Tiene que tener cuidado de no caer en el efecto Topaze.

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Experimentación en aulaPara enfrentar la etapa experimental del proyecto es necesario que el

profesor(a) de aula investigador, se apropie de la filosofía de la propuesta, la queplantea un rol nuevo para el profesor(a) y que le permitirá:

1. Mejorar su relación al saber.2. Actualizar conocimientos.3. Familiarizarse con variadas metodologías que incidirán en una mejor

gestión de sus clases.

De este modo el alumno(a):1. Adquirirá confianza en sí mismo y elevará su autoestima.2. Nivelará y Reforzará sus conocimientos anteriores.3. Se familiarizará con actividades de búsqueda y descubrimiento.4. Aprenderá a dialogar y discutir con sus pares en un clima de respeto.5. Desarrollará habilidades para deducir, argumentar, validar, justificar,

demostrar.

Estructura de la IngenieríaComo ya señalamos la ingeniería se compone de dos productos de

enseñanza: el Cuaderno del alumno y la Guía del profesor, ambos sonabsolutamente complementarios y el Cuaderno del alumno no es autocontenido, esdecir no tiene vida propia, en cambio la Guía del profesor es de autocontenido ypodría funcionar incluso sin el cuaderno del alumno(a).

Cuaderno del AlumnoEl Cuaderno del alumno como se mencionó antes comprende tres tipos de

Guías.

Tipo 1: Heurísticas o de descubrimiento

Nº de Guía TítuloGuía 4 Condiciones para construir una circunferencia.

Guía 13 Condiciones para construir un triángulo.Guía 14 Teorema de los ángulos interiores de un triángulo.Guía 24 Paralelógramos

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Tipo 2: De Funcionamiento

Tipo 2a) Lectura de Informaciones para recuperar conocimientos yaadquiridos o reforzarlos.

Nº de Guía TítuloGuía 2 Rayos, segmentos y ángulos en el planoGuía 5 Ángulos y circunferencia en el planoGuía 6 Rectas perpendiculares y tangentes a una circunferenciaGuía 8 Figuras simétricas

Guía 17 Las alturas y ortocentro en un trianguloGuía 18 Bisectrices y simetrales en un triánguloGuía 19 Las transversales de gravedad y medianas de un triánguloGuía 22 Los cuadriláterosGuía 26 PerímetrosGuía 27 Áreas de figuras geométricasGuía 28 Teorema de Pitágoras

Tipo 2b) Funcionamiento de objetos matemáticos (conceptos o propiedades)para favorecer la comprensión.

Nº de Guía TítuloGuía 1 Rectas en el planoGuía 9 El triángulo

Guía 10 Clasificar triángulosGuía 15 Ángulos exteriores en un triánguloGuía 16 Construir triángulosGuía 20 Congruencia de triángulosGuía 23 Clasificar cuadriláteros

Tipo 3: de Saber HacerLas guías de Tipo 3: de Saber Hacer están destinadas en general para el trabajopersonal (en casa o en el establecimiento con JEC3), ellas integran los contenidos delas Guías tipo 1 y tipo 2, además orientan sobre los contenidos esenciales del cursoy lo que se evaluará posteriormente en las pruebas.

3 JEC significa Jornada Escolar Completa.

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Nº de Guía TítuloGuía 3 Reconocer y dibujar segmentos, rectas en distintas posiciones y

ángulosGuía 7 Dibujar circunferencias, rectas perpendiculares, puntos medios, puntos

simétricosGuía 11 Reconocer y dibujar triángulosGuía 12 Ángulos exteriores en un triánguloGuía 21 ¿Qué relación hay entre la medida de lados y ángulos en un triángulo?Guía 25 Ejes de simetría en triángulos y cuadriláteros

Descripción de las Guías

Guías Tipo 1

La Guía tipo 1 contienen en general tres aspectos:1) Actividades de Familiarización en base a objetos matemáticos conocidos;2) Actividades de Ruptura para dar paso al conocimiento nuevo;3) La Institucionalización del conocimiento nuevo: definición, descripción,

vocabulario o notación.

En el cuaderno del alumno están estructuradas en tres fases: La Individual,la Grupal y la Puesta en Común.

1. La Fase Individual es importante ya que, el trabajo matemático exige laaceptación del problema y la comprensión del mismo y estas actividadesson de carácter individual

2. La Fase Grupal pone en juego el trabajo en equipo y la comunicación oral yescrita con la producción colectiva de un escrito en un Papelógrafo.

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3. La Fase Puesta en Común, animada por el profesor(a) corresponde alintercambio de los hallazgos y producciones de los equipos que se hanregistrado en los papelógrafos (colgados en la pizarra o muralla). Elprofesor(a), según el caso, da la palabra a cada relator y al final o cada vezque un equipo expone ofrece la palabra para los intercambios. Así se vanprecisando los objetos matemáticos en juego (definiciones, propiedades,teoremas) y se afina el vocabulario. Esta Fase no debe confundirse con lafase de Institucionalización, pues la puesta en común es el cierre de loshallazgos de los alumnos.

Institucionalización

La Fase de Institucionalización se encuentra en la guía del profesor(a) yconsiste en la exposición del profesor(a) sobre la matemática que se hadesarrollado en las tres fases de trabajo de los alumnos; es la formalización delconocimiento estudiado. Además el profesor(a) puntualiza lo esencial y lo quedeberá retenerse, puesto que ello será motivo de evaluaciones. A continuaciónpropone ejercicios y problemas tipo prueba según los objetivos perseguidos porlas actividades desarrolladas en las Guías.

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Guías Tipo 2

Las Guías Tipo 2 se refieren al funcionamiento de los objetos matemáticosinvolucrados. Se distinguen las de Tipo 2a) que consideran la Lectura deInformaciones para recuperar conocimientos ya adquiridos o reforzarlos. Lasactividades iniciales exigen la comprensión de las informaciones y la deducciónque se puede obtener a partir de ellas, con preguntas pertinentes. Las Guías de Tipo2b) exigen la puesta en juego de los objetos matemáticos involucrados (definicioneso propiedades) para aprenderlos o reforzarlos.

La gestión de la clase, con las Guías de Tipo 2, puede emplear variadasmetodologías, por ejemplo, fase de trabajo individual del alumno y luego una defase diálogo con el profesor(a). También puede comenzar por una fase de trabajoen equipo y luego una puesta en común.

Guías Tipo 3

Las Guías tipo 3 de Saber Hacer, son de aplicación, contienen ejercicios yproblemas de reforzamiento, que pretenden la apropiación de los conocimientos, alponer en juego los objetos matemáticos encontrados y trabajados anteriormente.Estos pueden darse de tarea (fuera de clases) o para evaluación formativa. Losproblemas para buscar, se sugiere que se realicen en equipo en clases, o al menosse revisen y discutan en clase.

Desarrollo Secuencial de las GuíasSe sugiere al profesor(a) leer cuidadosamente todas las indicaciones de este

párrafo con el fin de apropiarse completamente de sus objetivos, metas ycondiciones para la gestión de cada guía en clase. No olvidar que el cuaderno delalumno no es de autocontenido, por lo que necesita la presencia del profesor comodirector del estudio.

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Aspectos a considerar en la gestión de las clases para optimizar la marcha de lapropuesta, el aprendizaje de los alumnos y el funcionamiento del material.

Gestión de la clasesSugerencias para el Profesor(a)

1. Hacer una introducción: recordar brevemente lo trabajado en la claseanterior.

2. Explicar a los alumnos las reglas del juego. Es decir los momentos quetendrá la clase.

3. Leer con los alumnos las instrucciones y asegurarse que las hancomprendido.

4. Una buena comprensión de las instrucciones por parte de los alumnosfavorece el trabajo autónomo de ellos, diminuye su distracción.

5. Respetar los momentos: trabajo individual, grupal y puesta en común.6. Preparar materiales para la implementación de su clase.7. Tener en cuenta un tiempo prudente para la realización de cada Guía.8. Hacer una devolución pertinente cuando los alumnos cometen algún error

conceptual.9. Supervisar el trabajo que realizan los alumnos en sus cuadernillos.10. Preocuparse de que todos los alumnos(as) tengan útiles de geometría en

buen estado.

Respecto al Contenido

1. Leer la Guía del alumno y la Guía del Profesor previo a la clase2. Asegurarse de la comprensión del sentido de las actividades3. Intercambiar opiniones y analizar las actividades con colegas.4. Poner atención al vocabulario matemático que se emplea en clases, de

acuerdo con el presentado en las institucionalizaciones.5. Cuidar la organización y secuencia en el tratamiento de la Guía del alumno6. Si se variara la organización de la Guía, considerar una secuencia

matemáticamente pertinente.7. Realizar las institucionalizaciones propuestas.

A continuación el detalle de cada guía.

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GUÍA 1 Rectas en el Plano

Esta Guía es de Tipo 2. El objetivo es de diagnóstico, se trata de rescatar loque los alumnos saben respecto a las rectas y a sus direcciones. Si reconocen rectassecantes y rectas paralelas en el plano.

Después del trabajo de los alumnos (o durante la devolución, si espertinente) es necesario poner énfasis que por Convención se acepta que:1. Un recuadro es una representación del plano.2. Las rectas tienen una dirección (se dibujan con regla) y contienen infinitos

puntos, por ello llegan al borde del plano.3. Las rectas son secantes o paralelas.

Para la Gestión en Clases se consideran dos momentos, el primero de trabajoindividual y luego el profesor(a) dialoga con los alumnos. O también, elprofesor(a) los puede hacer trabajar en parejas y luego hace una puesta en común.

Después que los alumnos agrandan el plano, se espera que ellos suponganque el recuadro se puede agrandar indefinidamente. Si este hecho no surgeespontáneamente, el profesor(a) puede preguntar hasta cuánto se puede agrandarel recuadro y qué ocurre con las rectas.

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Luego de esta discusión el profesor enfatizará oralmente que:

El plano es infinito, tiene infinitos puntos y las rectas también son infinitas ytienen infinitos puntos. El borde del recuadro representará al infinito.

En la Actividad 1 c) de la pregunta ¿qué puedes constatar? Se esperarespuestas como las siguientes:1. La recta r es más corta que la recta d2. La recta m y n se cruzan (o no se cruzan) en el plano3. La recta r llega (o no llega ) al borde del plano4. Hay rectas que llegan a los dos bordes del plano.

Nota:r , d, m, n indican nombres de rectas, pero los alumnos pueden utilizar otros

A partir de las respuestas que den los alumnos, para fijar ideas y paraunificar el vocabulario, el profesor (a) propone un cuadro como el siguiente:

Rectas con un punto en común (secortan)

Rectas que no se cortan (sin puntocomún)

Algunos alumnos van a la pizarra a llenarlo.

En la Guía del alumno no hemos explicitado el nombre de rectas secantes nirectas paralelas, esperando que surjan del trabajo de los alumnos.

Después de que los alumnos hayan respondido la actividad 2, el profesor(a)pregunta si saben como se llaman tales rectas. Tanto si lo saben o no, el profesor(a)enfatiza oralmente la propiedad de las rectas paralelas:

Aquellas que no tienen puntos en común, tienen igual dirección.

Además, con los ejercicios propuestos se espera que los alumnos reconozcanrepresentaciones de rectas paralelas y secantes en el entorno de la sala, escuela, enla casa y barrio, ciudad.

Como ya mencionamos, la metodología que se sugiere para la gestión de laGuía 1, en clases, es el diálogo. El profesor(a) les hace preguntas, aprovecha susrespuestas, les hace compartir.

Se cierra esta Guía con la Institucionalización, que el profesor(a) puedehacer en la misma clase o en la siguiente.

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INSTITUCIONALIZACION

(El Profesor (a) escribe en la Pizarra, en transparencia u otro)

Convenciones

El plano es infinito, tiene infinitos puntos y las rectas también son infinitas ytienen infinitos puntos. El borde del recuadro representará al infinito.

También en el plano hay línea curvas y otras compuestas por segmentos de rectasy curvas. El profesor(a) dibuja algunos ejemplos de curvas, poligonales y líneasmixtas. Enfatiza que en este curso trabajaremos las líneas rectas.

El profesor(a) ilustrará las definiciones siguientes con dibujos apropiados.

Definiciones

Dos rectas se llaman secantes cuando tienen un punto en común.

Dos rectas del plano se llaman Paralelas si no tienen punto en común o también sitienen igual dirección.

Axiomas de Euclides

I. Dos puntos distintos determina una recta. Ellos fijan la dirección de la recta

II. Por un punto P fuera de una Recta r existe una sola recta r’ paralela a r.

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Técnica para dibujar paralelas

3 modalidades

Técnica I) Con dos reglas

1. Formar una L con la regla 1 y la recta r.2. Formar otra L con la regla 2 sobre la regla1, de modo que la regla 2 pase por

el punto P.3. Trazar la recta r’.

Técnica II) Con la escuadra y regla.

1. Formar una L con la escuadra sobre la recta r.2. Formar otra L con la regla sobre el otro lado de la escuadra, de modo que la

regla pase por el punto P.3. Dibujar la recta r’.

Técnica III) Con regla y compás

1. Se marcan dos puntos A y B en la recta r2. Se traza un rayo de origen A que pase por el punto P3. Se clava el compás en P y con la medida AP, se hace un arco4. Se clava el compás en B y con la medida AP, se dibuja un arco que corta al

primero, determinándose el punto Q5. La recta PQ es la recta paralela a la recta r.

Esta técnica en fundamental encierra una construcción clásica y hay que tratarloen clases.

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GUÍA 2 Rayos, segmentos y ángulos en el plano

Esta Guía es de Tipo 2a) y sus objetivos son:1. Poner en juego los subconjuntos de la recta.2. Poner énfasis en el axioma de Euclides: dos puntos distintos determinan la

dirección de la recta y la recta misma.3. Concebir el ángulo como una rotación o un giro de un rayo móvil en torno a

un rayo fijo, ambos con el mismo origen.4. Representar un ángulo como figura geométrica cuando se detiene el rayo

móvil.

En los objetivos 1 y 2 se plantea reconocer rayos y segmentos en una rectay aplicar el Axioma de Euclides, respecto a que dos puntos determinan ladirección de una recta.

El objetivo 3 fundamenta la forma de medición de los ángulos y el uso delcompás.

El objetivo 4 permite poner en juego los ángulos como figuras, copiarlos,compararlos, en cuanto a la relación de congruencia de figuras, operarlos,posteriormente reconocerlos en los triángulos y en otras figuras geométricas.

Esta guía puede ser una tarea para la casa con revisión posterior en clases.O el profesor(a) puede gestionarla en dos momentos. Uno, individual o en parejasy el otro de puesta en común.

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Las tareas pedidas en la Actividad 1 obliga al alumno(a) a reconocer lossubconjuntos o partes de la recta, distinguirá rayos y segmentos como sus partes,los marcará, los contará y tendrá necesidad de anotarlos. En la figura 1 las letras xe y indican orientaciones, x indica el lado izquierdo de P en el plano.


a) Los subconjuntos de la recta o partes de la recta.

Rayos o Semi rectasEn una recta al marcar un punto cualquiera de ella, se determinan dos rayos osemi rectas a uno y otro lado del punto, al cual se le llama origen.(El profesor(a) los dibuja).Dos puntos cualesquiera de la recta determinan un segmento o trazo.En una recta se pueden dibujar infinitos segmentos (El profesor(a) dibujaalgunos).

b) Los ángulos

Un ángulo es un objeto matemático que se describe a partir de dos rayos de origencomún, uno de los cuales es fijo y el otro es móvil. Cuándo el rayo móvil gira conrespecto al rayo fijo, (en sentido reloj o anti reloj) describe el ángulo. Cuando sedetiene el rayo móvil, resultan distintos tipos de ángulos. En este caso el ángulorepresenta una figura geométrica que tiene un vértice y lados.(Dibujar la situación).Un ángulo se denota por tres letras, la del vértice y las otras dos que indicanpuntos en cada lado. Un ángulo se lee mencionando la letra del vértice al medio.(Dar ejemplos)

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GUÍA 3 Reconocer y dibujar rectas, segmentos y ángulos

Esta Guía es de tipo 3, cuyo objetivo es poner en juego los conocimientosque se han tratado en las guías anteriores, por ello lo que se propone son ejerciciosde aplicación, con el fin de que los alumnos se apropien de los conocimientosinvolucrados.

El profesor(a) puede seleccionar algunos de estos ejercicios y tratarlos enclases o darlos de tarea. Ellos son fundamentales para las evaluaciones tantoformativas como acumulativas.

En el Ejercicio 1 se ponen en juego los conceptos de rectas secantes,paralelas, segmentos, rayos y sus notaciones. El alumno(a) debe reconocerlos yanotarlos. Para las notaciones usar el castellano y las notaciones habituales.

Por ejemplo:

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Nota

En el Ejercicio 1 se tiene segmento JD y rayo JD y solamente segmento DJ

En el Ejercicio 2 se pone en juego el concepto de ángulo y se debe reconocerlos ángulos formados por dos rectas secantes, además se le pide anotarlos. Esteejercicio se podría retomar y completar en la Guía 5 cuando se estudie el ánguloextendido, al pedir encontrar relaciones entre los cuatro ángulos encontrados. Porello en este momento no conviene forzar el encuentro con el ángulo extendido.

En el Ejercicio 3 se refuerzan los conceptos de rayos, segmentos. Se sugiereuna actividad colectiva para ayudar al aprendizaje de los alumnos más débiles.

El Ejercicio 4 permite al profesor tratar las técnicas para construir paralelassegún las condiciones pedidas.

En el Ejercicio 5 se presenta un conocimiento nuevo, la noción de ánguloscongruentes y pide encontrarlos en la configuración propuesta. Relacionando asílos conceptos de ángulos y rectas paralelas.

El Ejercicio 6 también presenta algo nuevo y es la técnica para copiarángulos. Ya sea trazando paralelas o bien con regla y compás.

En los Ejercicios 7, 8 y 9 se presentan nociones nuevas, la “suma” y la“resta” de ángulos concebidos como figuras geométricas, ellas están entre comillasporque no se trata de la suma y la resta común entre números. Tener en cuentaque aquí estamos trabajando en el conjunto de los ángulos, concebidos comofiguras. Ya tenemos la relación de congruencia entre ellos, sabemos copiarlos yahora tendremos la operación “suma” entre ellos en los ejercicios 7 y 8. En elejercicio 9 aparece la “resta”.

El Ejercicio 10 pide la construcción de un ángulo que sea el doble, triple deun ángulo dado. Es decir, se pide aumentar (agrandar) un ángulo un cierto númerode veces, relacionándose así las nociones de congruencia, de “suma” y de copiarun ángulo.

Aparece natural que los ejercicios 4, 5, 7 y 9 sean tratados en clases por tenerconocimientos nuevos involucrados.

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GUÍA 4 Condiciones para construir una Circunferencia

Esta Guía es de Tipo 1. Sus objetivos son:1. Recoger los conocimientos de los alumnos2. Describir una circunferencia y sus propiedades.Esta Guía está estructurada en base a una actividad y tres tareas.

En la fase individual, a) y b) se pretende recoger los conocimientos que losalumnos poseen, sean estos débiles o firmes. La experiencia muestra, que lamayoría de los alumnos no se percata de la necesidad de tener un centro y un radiopara construir una circunferencia. Para ellos la circunferencia es una redondela,cuando la dibujan con una moneda no saben encontrar el centro.En la parte c) de la fase individual se pretende que los alumnos se den cuenta de lapropiedad de los puntos de una circunferencia y las condiciones para construirla.

En la fase grupal, se espera que los alumnos más débiles refuercen susconocimientos en el intercambio con sus compañeros. La tarea de redactar unescrito para exponerlo a la sala, obliga a los alumnos a un trabajo conresponsabilidad.

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En esta parte el profesor(a) debe percatarse si los alumnos se organizanespontáneamente y eligen un compañero(a) para que escriba, si no, debe sugerir elnombramiento de un representante que escriba y otro que lea y exponga loscomentarios al curso.

En la fase Puesta en común, que anima el profesor(a), el verbo es animar yno conducir o dirigir, pues se trata de que él propicie que cada equipo exponga yexplique sus hallazgos, que se respeten y se escuchen. Animar el debate significa ircentrándolo cada vez, haciendo preguntas pertinentes para que los alumnoslleguen a acuerdos tanto en el contenido, como en el vocabulario.

Esta fase no es todavía la Institucionalización o formalización delconocimiento oficial, sino es el momento de la recogida de los hallazgos de losalumnos.

Después de esta fase viene la Institucionalización, la que está a cargo delprofesor(a), las tres anteriores estaban centradas en el alumno, en las cuales elprofesor(a) debe cuidar de no intervenir directamente, sólo si es necesario, lo harácon preguntas para poner en marcha el proceso de devolución.

INSTITUCIONALIZACIÓN

Definición de Circunferencia

La circunferencia es una línea curva plana y cerrada que tiene infinitos puntos, loscuales están a igual distancia de un punto fijo llamado centro.

(Dibujar la situación)

Para dibujar una circunferencia es necesario conocer el punto centro y el radio; senecesita un compás, el cual se abre y se toma la medida del radio, luego se clava enel punto centro y se hace girar el compás.

Por convención

Una circunferencia se anota C (O, r) donde C significa circunferencia, la letra Odenota el centro y r denota el radio.

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Algunos de los elementos secundarios como el diámetro y la cuerda surgirán enforma natural, durante o después del trabajo de los alumnos(as).

Elementos secundarios de la circunferencia

Cuerda: es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene lapropiedad de ser igual al doble del radio.

(Dibujar la situación)

Los ejercicios y problemas siguientes hacen funcionar los conceptos deradio y diámetro y su relación.

Ejercicios y Problemas

1. Dado un punto P y un segmento r, dibujar la circunferencia de centro P yradio r.

2. Dado un segmento AB de medida 6 cm, encontrar el centro de lacircunferencia a la que pertenecen los puntos A y B.

a) ¿Qué representa el segmento para la circunferencia?b) ¿Cuánto mide el radio de esta circunferencia?

3. Dibujar un segmento que sea el diámetro de una circunferencia. Construiresa circunferencia.

4. Dibuja una C con centro O y con un radio r cualquiera. Construir unacircunferencia C’ con centro en un punto A y congruente con C.

5. Dada una circunferencia de diámetro PQ de 8 cm, construir unacircunferencia que sea la mitad de ella.

6. Construir una circunferencia que sea el doble de la circunferencia delejercicio 1.

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GUÍA 5 Ángulos y Circunferencia

Esta Guía es de Tipo 2, cuyo objetivo es representar las medidas de algunosángulos apoyados en la circunferencia.

Presenta la circunferencia como la representación del ángulo completo, loque resulta natural después de la definición que se trabajó en la Guía 2.

Esta Guía se sugiere trabajarla en dos momentos, el individual o en parejas yla puesta en común que correspondería a la revisión del trabajo de los alumnos.

En la fase individual se espera que los alumnos lean comprensivamente lasinformaciones proporcionadas, para que luego puedan responder las preguntasplanteadas.


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Ángulos como figuras geométricas

Matemáticamente un ángulo es un giro que realiza un rayo móvil a partir deun rayo fijo (los dos rayos tienen el mismo origen).

Un ángulo como figura geométrica se obtiene cuando el rayo móvil sedetiene.

Un ángulo completo como figura geométrica está representado por unavuelta completa del rayo móvil en torno del rayo fijo. Por ello el ángulo completose representa por una circunferencia.

Un ángulo extendido se representa por una semi circunferencia.Un ángulo recto se representa cuarta parte de una circunferencia.

El profesor(a) pide construir en cartulina un ángulo recto o visualizarlo en laescuadra.

El profesor(a) dibuja en la pizarra distintas figuras de ángulos y los comparacon el ángulo recto.

Ángulo Agudo: aquél que es más chico que el ángulo recto.

Ángulo Obtuso: aquél que es más grande que el ángulo recto.

Medidas de ángulos

Por convención un ángulo completo mide 360 grados. Entonces un ÁnguloExtendido mide 180 grados y un Ángulo Recto mide 90 grados.Un ángulo agudo mide menos de 90 grados y un ángulo obtuso mide más de 90grados.

En la parte b) la primera tarea cuando pregunta ¿Qué tipo de ángulo esAHB?

La respuesta es un ángulo recto, lo que los alumnos pueden verificar con elángulo recto como instrumento, hecho en cartulina o con la escuadra.

Este es un momento en que el profesor(a) puede aprovechar para enseñar eluso del transportador, si surge de los alumnos(as). En la guía 11 es necesario eluso del transportador.

Entre los objetos de la realidad que pueden representar una circunferencia,se esperan respuestas como las siguientes: una rueda de auto, una de bicicleta,tapas de botellas, tapa de tarro de café, de leche, los tazos …El centro y el radio pueden verse en las ruedas de las bicicletas.No se ven en las tapas ni en las monedas ni en los platos.En las ruedas de auto es posible ver el centro ¿Cuándo?

Entre los objetos de la sala que pueden representar un ángulo recto: seesperan respuestas como las esquinas de la sala, las esquinas del cuaderno, de lapizarra, de una mesa …

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Problema: Copiar un ángulo cualquiera

Por Convención

- Un ángulo como figura se anota con tres letras mayúsculas colocando la delvértice al centro.

Dibujar un ángulo agudo ABC, construir un ángulo D B’ E congruente con él.

Construcción 1

1. Se dibuja el ángulo ABC2. Se dibuja una recta y se marca los puntos B’ y D.3. Con el compás se marca un arco del ángulo ABC4. Con el compás se dibuja un arco con centro en B’ y que pase por D,5. Se toma la medida con el compás del arco A C6. Con esa medida a partir de D se corta el arco y se determina el punto E7. Unir B’ con E8. El ángulo D B’ E es congruente con A B C.

El profesor(a) dibuja paso a paso la construcción

Construcción 2

1. Se dibuja el ángulo ABC2. Se dibuja una recta y se marca los puntos B’ y D.3. Dibujar un punto B’4. Por B’ trazar la paralela a BA5. Por B’ trazar la paralela B’C

El profesor(a) dibuja paso a paso la construcción.

Ejercicios

1. Construya un ángulo que sea igual al doble de un ángulo recto.Nómbralos.

2. Construya un ángulo que sea igual al triple de un ángulo recto.Nómbralos.

3. Dado un ángulo agudo MNO construir un ángulo equivalente al doble delángulo MNO.

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GUÍA 6 Rectas Perpendiculares y Tangentes a una circunferencia

Esta Guía es de Tipo 2 a) sus objetivos son reconocer y construir rectasperpendiculares y presentar la recta tangente. Se espera que la lecturacomprensiva de las informaciones les permita realizar con éxito las tareas dereconocimiento y de construcción propuestas.

Las Actividades 1 y 2 ponen en funcionamiento la definición de rectasperpendiculares. Esta parte puede darse de tarea para la casa. Posteriormente enclases hacer la puesta en común o una evaluación formativa del estudio personal.

La Actividad 3 plantea un problema de construcción que permite obtenerconocimientos nuevos: recta tangente, radio de contacto, punto de tangencia. En lapuesta el común el profesor(a) da los nombres de radio de contacto al radio que esperpendicular a la tangente. Y el punto de intersección entre el radio de contacto yla tangente es el punto de tangencia. Esta parte es para trabajarla en clases.

En la tercera parte se plantean problemas para buscar y ejercicios para saberhacer, por eso dice “para resolver con éxito”. Esto se puede dar de tarea y revisaren clases, pues es importante recoger las estrategias utilizadas por losalumnos(as). Se espera aquí modos de validación con instrumentos o conprocedimientos materiales de calcado y dobleces.

El conocimiento nuevo que aparece, en forma espontánea, es el de eje desimetría, que el profesor(a) puede adelantar a modo de constataciónrelacionándolo con la experiencia en la asignatura de arte, de los alumnos(as).Estos ejercicios también podrían servir para evaluaciones si el profesor(a) lo estimaconveniente.

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GUÍA 7 Dibujar circunferencias, rectas perpendiculares, puntos medios, puntossimétricos.

Esta Guía es de Tipo 3, pues hace funcionar los conocimientos estudiadosen las guías anteriores.

El objetivo es desprender, a partir de una actividad de construcción, elconcepto de eje de simetría de un segmento y el de puntos simétricos con respectoa un eje.

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Las Actividades 1 y 2 se pueden dar de tarea para la casa, con revisiónposterior en clases.

La Actividad 3 se sugiere realizarla en clases y en equipo, porque serequiere una transferencia del concepto de puntos simétricos. El intercambio entrelos pares puede ayudar a los alumnos(as) más débiles y por ello es necesaria lapuesta en común.

La Actividad 4 es de reforzamiento, pues es una tarea de construcción ypuede darse para la casa o ser motivo de una evaluación.

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Definición de Eje Simetría de un segmento

Dado un segmento de extremos A y B, la recta perpendicular en el punto medio deAB es el eje de simetría del segmento.

Propiedad del Eje de Simetría

Si M es un punto cualquiera del eje de simetría entonces los segmentos MA y MBson congruentes.

El profesor(a) dibuja la situación y verifica la propiedad con el compás. Porello se dice que los segmentos son congruentes y no se habla de medidas. En estemomento no conviene, porque hasta ahora se trabaja en el conjunto de las figurasgeométricas. No es apropiado utilizar nociones que no tendrán aplicacionesinmediatas.

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GUÍA 8 Figuras Simétricas

Esta Guía es de Tipo 2a) y sus objetivos son:

1. Aprender a dibujar figuras simétricas con respecto a un eje.

2. Dibujar las configuraciones simétricas de configuraciones dadas.

3. Reconocer ejes de simetría en configuraciones determinadas.

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Esta Guía está estructurada en base a 3 Actividades y Preguntas pararesolver con éxito. En la Actividad 1, se espera que la lectura comprensiva de lasinformaciones les permita realizar con éxito las tareas de dibujo propuestas. Por loque esta primera parte puede darse de tarea para la casa. Posteriormente en claseshacer la puesta en común o una evaluación formativa del estudio personal. Frentea la tarea de calcar y doblar por la recta d el dibujo, se espera que el alumno puedavisualizar que el segmento EE’ es perpendicular a la recta d y que además el puntodonde se intersecan la recta d con el segmento EE’ es el punto medio de dichosegmento. Esto se complementa con los pasos de la construcción entregados.Según programas de cursos anteriores hay un acercamiento a las figurassimétricas con dobleces ( 3º y 4º básico).

La Actividad 2 es de reforzamiento, se pide al alumno(a) encontrar lasfiguras simétricas, en la tareas a) y b), como estas están dadas en un cuadriculado,el alumno(a) puede utilizarlo o también construir. Pero la tarea c) no está dada encuadriculado, por lo que se espera que el alumno(a) construya, aunque tambiénpodría doblar el dibujo por la recta d.

En la Actividad 3 es necesario poner en juego los conocimientos nuevos,ahora se pide la construcción de las figuras.

Los Problemas para responder con éxito son para saber hacer, se puede darde tarea y luego hacer una puesta en común.

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GUÍA 9 El triángulo

Esta Guía es de Tipo 2 b), sus objetivos son reconocer figuras geométricas

en el mundo real, e identificar los elementos principales del triángulo, dibujarlos yanotarlos utilizando notaciones convencionales.

La estructura de la Guía contiene dos Actividades. El propósito de laActividad 1 es testear si los alumnos reconocen vértices lados y ángulos. En eldesarrollo de las tareas, los alumnos identificarán y los nominarán, utilizandonotaciones convencionales. En la Actividad 2, el propósito es reforzar los elementos principales deltriángulo.

Recordamos que en el Programa de NB1 aparece:“Identificación de lados, vértices, ángulos, en una figura plana y descripción decuadrados, rectángulos y triángulos considerando número y longitud de los ladosy presencia de ángulos rectos”.

Por lo que algunos alumnos podrían avanzar rápidamente con esta Guía.La puesta en común es un buen momento para que los alumnos(as) sin estaexperiencia puedan adquirirla.

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Sugerencias para la gestión de la Guía en clases

En la Actividad 1, el entorno natural y social juega un importante papel productode la relación que se establece entre los objetos del mundo real y la geometría.

Posteriormente la tarea: Marca 3 puntos no colineales en el Plano y dibuja un triángulocualquiera, permite verificar el conocimiento de los alumnos con respecto a loselementos del triángulo: vértices, lados y ángulos.

La Actividad 2: Dibujar un triángulo y designar sus elementos tiene el propósito deejercitar lo anterior.

Lo mencionado anteriormente involucra una gestión de clase que favorezcael diálogo entre pares y en la puesta en común, el rol del profesor(a) es deanimación.


Definición de triángulo

Tres puntos no colineales determinan un triángulo.Cada punto se llama VERTICE del triángulo y los segmentos que se forman al unirlos puntos dos a dos, se llaman LADOS del triángulo.

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También en el triángulo podemos detectar 3 ángulos. Cada vértice del ángulo es elvértice también del triángulo, se tienen: ángulo BAC (de vértice A), ángulo CBA(de vértice B) y ángulo ACB (de vértice C).

Convenciones

- Los ángulos interiores de un triángulo se anotan con tres letras mayúsculas y ladel vértice se coloca al centro.

- Las medidas del ángulo se designan en general con letras griegas α , β ,γ .

- Habitualmente por abuso de lenguaje se confunde el ángulo, como figura con sumedida al utilizar las letras griegas.La letra α indica la medida del ángulo de vértice A o la figura del ángulo devértice A. Lo mismo β y γ para los ángulos respectivos.

B

C

A

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GUÍA 10 Clasificar triángulos

Esta Guía es de Tipo 2 b) y tiene como objetivos:

1) Identificar las características de los triángulos2) Clasificar triángulos según los lados y según los ángulos.3) Construir triángulos dada esa clasificación

Según el programa de 5º y 6º Básico los alumnos habrían estudiado:

En 5º básico:- Triángulos equiláteros para construir otras figuras poligonales- Triángulos rectángulos para construir cuadrados y rectángulos- Las diagonales en cuadrados y rectángulos para formar triángulos

rectángulos

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En 6º básico:- Configuraciones con triángulos rectángulos- Características de los triángulos en relación a sus lados y a sus ángulos ( isósceles, equiláteros, rectángulos )

Por este motivo esta Guía es de información y reforzamientos de esosconocimientos anteriores.

En la Actividad 1 el propósito es que los alumnos(as) reconozcan diferentestipos de triángulos: acutángulos, rectángulos, obtusángulos, equiláteros, isósceles yescalenos.

Si algunos alumnos no encontraran todos estos triángulos, deberíancompletar la lista en el trabajo grupal.

De persistir la no identificación de algún triángulo, le corresponderá alprofesor(a) plantear preguntas pertinentes (Hacer Devolución). Por ejemplopreguntar: ¿Existen triángulos con tres lados desiguales?, ¿con tres ángulosagudos?

INSTITUCIONALIZACIÓN.

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Los triángulos, según sus lados, se clasifican en:

Equilátero Isósceles Escaleno

Definiciones

Un triángulo es equilátero si tiene tres lados congruentes o de igual medida.

Un triángulo es isósceles si tiene dos lados congruentes o de igual medida.

Un triángulo es escaleno si tiene tres lados de distinta medida.

Los triángulos, según sus ángulos, se clasifican en:

Acutángulo Rectángulo Obtusángulo

Definiciones

Un triángulo es acutángulo si tiene sus tres ángulos agudos ,o sea cada uno deellos es menor que el ángulo recto.

Un triángulo es rectángulo si tiene un ángulo recto (su medida es de 90º).

Un triángulo es obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, o sea mayor que el ángulorecto .

Ejercicios para resolver con éxito

1. Dibujar un triángulo rectángulo isósceles.2. Dibujar un triángulo obtusángulo isósceles.3. Dibujar un triángulo equilátero.4. Cómo se clasifica según sus ángulos un triángulo equilátero.

Estos ejercicios se pueden dar para la casa o para una evaluación. Cabeseñalar que las estrategias de los alumnos son libres, en cambio en la Guía 11, losdibujos que se pedirán deben cumplir ciertas condiciones, por esta razón es que sesugiere realizar la Puesta es Común.

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GUÍA11 Reconocer y Dibujar triángulos

Esta Guía es de Tipo 3. Los objetivos son1. Reconocer los diferentes tipos de triángulos a partir de dibujos dados.2. Dibujar triángulos pedidos bajo ciertas condiciones y nombrarlos de

acuerdo a la clasificación dada.

Esta Guía está estructurada en base a tres actividades.

La Actividad 1 propone identificar tipos de triángulos, se espera que se hagasegún lados y ángulos. La Actividad 2 propone dibujar triángulos bajo lascondiciones especificadas en la tabla. En la Actividad 2 b) algunos alumnos(as)pueden tener dificultades con respecto a la medida arbitraria, µ, y consulten ¿ quées µ ?

El profesor(a) debe señalar que es medida o longitud del segmentodibujado.

En la tarea c) se les pide dibujar un triángulo que tenga como uno de suángulos el ángulo α dibujado, entonces los alumnos(as) podrán construir diversostriángulos, ya que nada se dice de los otros ángulos, ni de sus lados.

Los alumnos podrán constatar que algunos triángulos se pueden nombrarde dos maneras, según los lados y también, según los ángulos. Un triángulocompletamente descrito debe contener los dos aspectos.

La Actividad 3, combina las clasificaciones según los lados y los ángulos, deun triángulo. En algunos casos se pueden construir, en otros no es posible a) y c),por lo tanto será necesario explicar el por qué.

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GUÍA 12 ¿Que relación hay entre la medida de lados y ángulos en un triangulo?

La presente Guía es de Tipo 3, su objetivo es poner en juego losconocimientos tratados en las guías anteriores, por ello se proponen ejercicios deaplicación.

El profesor(a) decidirá el momento de proponerla, por ejemplo: puedeseleccionar algunos de los ejercicios y tratarlos en clases o bien darlos de tarea.

Esta Guía está estructurada en base a una Actividad con cinco tareas.

Las tareas a), b) y c) tienen como propósito común que alumnos y alumnas,mediante la realización de un trabajo experimental, pongan en funcionamiento losconocimientos sobre triángulos con el propósito de constatar la relación que existeentre la medida de lados y ángulos en un triángulo.

En la Puesta en común o revisión de las tareas, se podría compartirpreguntas como: ¿qué constataron al realizar las tareas a), b) y c)? ¿Cuántosángulos de igual medida tiene un triángulo que posee tres lados congruentes? ¿Y sitiene dos lados congruentes? ¿Y sin lados congruentes? ¿Qué explicación puedendar?

La tarea d) viene a consolidar las constataciones anteriores, pues serán losalumnos quienes dibujando triángulos: equiláteros, isósceles y escalenos de

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distinto tamaño, confirmen la relación.

La tarea e) plantea un desafío a los alumnos. Ella puede ser planteada por elprofesor(a) como un desafío individual para luego ser trabajada con propósitoheurístico. El profesor(a) puede animar la reflexión planteando preguntas talescomo: ¿Es posible construir un triángulo teniendo dos ángulos rectos? ¿Por qué?¿Es posible construirlo teniendo 2 ángulos obtusos? ¿Por qué? ¿Y dos ángulosagudos? ¿Por qué?


Considerando la clasificación de triángulos según la medida de los lados trabajadaen la Guía 10 y realizada las actividades experimentales de la presente Guía, hemosconstatado lo siguiente:

EL TRIÁNGULO EQUILÁTEROTiene sus tres lados congruentes o deigual medida. Los tres ángulos tambiénson congruentes o de igual medida.

EL TRIÁNGULO ISÓSCELESTiene dos lados congruentes o de igualmedida. Tiene dos ángulos congruentes.

EL TRIÁNGULO ESCALENOTiene tres lados de distinta medida. Susángulos son también desiguales.

Teoremas

1. Si un triángulo es isósceles entonces tiene dos ángulos congruentes o deigual medida.

2. Si un triángulo tiene dos ángulos de igual medida entonces es isósceles.

De estos dos teoremas se obtienen las siguientes consecuencias:

1. En un triángulo a lados iguales se oponen ángulos iguales y, recíprocamente, “alos ángulos iguales se oponen lados iguales”

2. En un triángulo rectángulo isósceles cada ángulo agudo mide 45º

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GUÍA 13 Condiciones para construir un triángulo

Esta Guía es de Tipo 1. Sus objetivos son:1. Descubrir condiciones necesarias para construir un triángulo.2. Explicar las condiciones necesarias para su construcción.

Esta Guía está estructurada en base a una actividad con tres tareas, lascuales demandan en un primer momento trabajo individual.

En la tarea a) se pide al alumno(a) que utilice palos de fósforos paraestudiar si se puede construir un triángulo cuyos largos sean 2u, 3u y 6u. Cuidarque los palos de fósforos u otro material sean todos del mismo largo. Es necesarioque el alumno(a) realice diferentes configuraciones. Al pedirles que dibujen loencontrado ellos constatarán que no pueden construir un triángulo con lasmedidas señaladas, por ejemplo las siguientes configuraciones entre otras:

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El alumno(a) podrá explicar utilizando su propio lenguaje lo que estáconstatando, aquí se produce la primera ruptura, cuando se da cuenta que nopuede construir el triángulo pedido. Esto dará paso a un conocimiento nuevo.

En la tarea b) frente a la pregunta si se puede construir un triángulo cuyoslargos sean 2u, 4u y 2u, el alumno constatará que no puede construirgeométricamente el triángulo pedido, por ejemplo se encontrará:

En la comprobación el profesor(a) debe esperar que los alumnos concluyanque deben existir ciertas condiciones para poder construir un triángulo. Luegodebe preguntar si siempre se cumplen y que escriban una explicación.

En la tarea c) se pide que de acuerdo a las constataciones de las tareas a) y b)llegue a una conclusión de cuales son las condiciones para construir un triángulo.


Por los resultados obtenidos en las experimentaciones anteriores se admite comoverdadero el siguiente teorema:Teorema

Si a, b y c son las medidas de los lados de un triángulo cualquiera entonces sepuede construir este triángulo, siempre que la suma de las medidas de dos ladossea mayor que la medida del tercero. Es decir se tiene

a + b > c, a + c > b, b + c > a

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GUÍA 14 Teorema de los ángulos interiores de un triángulo

Esta Guía es de Tipo 1. Su objetivo es descubrir la relación que hay entre losángulos interiores de un triángulo cualquiera y el ángulo extendido.Ella está estructurada en base a una Actividad que contiene 3 tareas a) b) y c).

En la tarea a) se pide al alumno(a) que recorte loa ángulos α, β, γ deltriángulo MAR para luego pegarlos en el cuaderno. Aquí ellos explorandodescubrirán que cuando pegan los ángulos uno al lado del otro se formará unángulo extendido. Si es necesario el profesor hará devoluciones pertinentes.

En la tarea b) se pide utilizar el compás para copiar los ángulos α, β, γ y“sumarlos” actividad ya realizada en ejercicio 6 y 7 de la Guía 3. Revisar Guía delprofesor página 25.

En la tarea c) se le pide al alumno que construya un triángulo cualquieraobtusángulo para estudiar si se puede formar un ángulo extendido al “sumar”como figuras los ángulos interiores de éste.

En la puesta en común se espera que los alumnos constaten que en untriángulo cualquiera al “sumar” los ángulos interiores se forma un ánguloextendido.

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Por los resultados obtenidos en las experimentaciones anteriores se admite comoverdadero el siguiente teorema:

TeoremaEn un triángulo ABC cualquieraSi ABC, CAB, BAC son los ángulos interiores del triángulo entonces al “sumar”estos ángulos como figuras se forma un ángulo extendido.

Como se sabe que la medida de un ángulo extendido es 180º (Guía 5),utilizando las medidas de los ángulos interiores del triángulo se tiene:

Otra forma de enunciar este Teorema

En un triángulo cualquieraSi α, β, γ representan las medidas de los ángulos interiores de un triánguloentonces la suma de las medidas de ellos es 180º, es decir α+ β+ γ = 180º.

Conviene distinguir el ángulo como figura (objeto geométrico) y su medida (objetonumérico).Sugerimos al profesor(a) cuidar estos aspectos en su discurso, para evitarconfusiones en los alumnos(as) y favorecer los aprendizajes.

Por convención

- El ángulo como figura se anota con tres letras mayúsculas colocando la delvértice al centro.

- La medida del ángulo se anota con letras griegas.

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GUÍA 15 Ángulos exteriores en un triángulo

Esta Guía es de Tipo 2 b), su propósito es descubrir en un triángulo lapresencia de ángulos exteriores. Ella está estructurada en base a cuatro Tareas.

La Tarea a) pide a los alumnos prolongar los lados del triángulo ABC,acción que permitirá formar varios ángulos.

La Tarea b) pide encontrar entre los ángulos nuevos y los ángulos interioresrelaciones de congruencia.

La Tarea c) pide determinar los ángulos cuya “suma” origina un ánguloextendido.

La Tarea d) busca sistematizar parte del trabajo realizado y requiere quelos alumnos(as) precisen a partir de una descripción literaria el objeto ánguloexterior de un triángulo y su relación con los ángulos interiores.

Recordaremos que cuando nos referimos “a la figura de un ánguloextendido” ponemos el énfasis en la figura y no en la medida.

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Definición

Se llama Ángulo exterior de un triángulo al ángulo formado por un lado deltriángulo y la prolongación del otro.

Convención

Los ángulos exteriores de un triángulo ABC se denotan con letras griegas.Por ejemplo el ángulo exterior de vértice A , se anota α’, el de vértice B, β’ y el devértice C, γ’ .

Se sugiere dibujar la situación y usar línea punteada para lasprolongaciones.

Por los resultados obtenidos en las experimentaciones anteriores se admite comoverdadero el teorema 1.

Teorema 1

En un triángulo ABC en que los ángulos interiores son α, β, γ, y los ángulosexteriores son α’, β’, γ’ se tiene:α y α’ son suplementarios, al igual que β y β’ ; γ y γ’.

Otra manera de enunciar este teorema es la siguiente:

En un triángulo ABC en que las medidas de los ángulos interiores se anotan porα, β, γ, y las medidas de los ángulos exteriores se anotan por α’, β’, γ’ se tiene α + α’ = 180º ; β + β’ = 180º ; γ + γ’ = 180º

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El teorema siguiente es una prolongación de la tarea d). Se puede realizaren forma experimental y formal. Se sugiere que el profesor(a) demuestre elteorema 2 con los alumnos(as) debido a que tiene un razonamiento deductivosencillo en el que se combinan dos proposiciones para obtener una tercera comoresultado.

Teorema 2

Si en un triángulo ABC las medidas de los ángulos interiores se anotan porα, β, γ, y las medidas de los ángulos exteriores se anotan por α’, β’, γ’ entonces

α’ = β + γ.β’= α + γ. γ’ = α + β.

Demostración:

1. Por el teorema de los ángulos interiores de un triángulo, γ es el suplemento de α + β 2. Por Teorema 1, α es suplemento de α’3. Por lo tanto γ’ = α + β.

Otra forma es:

1. Por el teorema de los ángulos interiores de un triángulo : α + β + γ = 180º2. Por Teorema 1, γ + γ’ = 180º3. Igualando y simplificando se obtiene γ’ = α + β

Análogamente se demuestran los otros casos.

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GUÍA 16 Construir triángulos

Esta Guía es de tipo 2 b). Su objetivo es la construcción de triángulos. Ellaestá estructurada en base a tres actividades. En ellas se abordan los 3 teoremas deconstrucción de triángulos. Por ello es indispensable que se respeten las hipótesis,es decir por ejemplo en la Actividad 1 se dibujan los tres segmentos antes deconstruir. Análogamente en la Actividad 2. En la Actividad 3 es necesario que serespete el teorema de los ángulos interiores (Guía 14).

Seguramente el proceso de devolución se pondrá en marcha.

En la Actividad 1 se pide al alumno (a) que dibuje tres segmentos cualquierade distinto largo y que con ellos construya un triángulo.

Es necesario que la construcción sea geométrica (con regla y compás). Sesugiere al profesor(a) repasar la Guía 13: Condiciones para construir un tirángulo.

Ejemplo de Solución Esperada:

Se dibuja uno de los segmentos, este será un lado del triángulo, sus extremos serándos vértices, por ejemplo A y B. Falta el tercer vértice, C. Es un punto y paraconstruirlo, se necesitan dos condiciones:

1. Trazamos un arco de circunferencia con centro en A y con radio igual a lamedida de uno de los segmentos que quedan.

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2. Trazamos otro arco con centro en B y radio igual al segmento restante.Luego, el vértice C queda determinado por la intersección de los dos arcos.Si no se cortaran , el problema no tiene solución.

Las medidas de los segmentos tienen que satisfacer las condicionesestudiadas en la Guía 13, (Condiciones para construir un triángulo).

Para los alumnos que no encontraron solución proponerles dibujar otrossegmentos tomando en cuenta las condiciones de la Guía 13.

En la Actividad 2 se pide al alumno(a) que dibuje dos segmentos de distintamedida y un ángulo cualquiera y con ellos construya un triángulo.

Ejemplos de Solución Esperada:

Llamaremos a y b a las longitudes de los segmentos dibujados.

Solución 1:

Colocamos letras al ángulo dado. Por ejemplo, A al vértice y marcamos puntoscualesquieras M y N en cada lado del ángulo. (Hacer el dibujo) Copiar el ángulo dado :1º Se dibuja un rayo cuyo origen llamamos A’.2º Con el compás copiamos el segmento AM sobre el rayo (de origen A’). Sedetermina M’.3º Con el compás hacemos un arco AM sobre el ángulo dado, la intersección deeste arco con el rayo AN determina el punto P4º Dibujar un arco de radio A’M’ con centro A’5º Con el compás tomar la medida del arco MP6º Copiar el arco MP a partir de M’. Se determina el punto Q7º Unimos A’ con Q.8º El ángulo M’A’Q es congruente con el ángulo dado MAP.Tenemos así el vértice A’ del triángulo pedido. Faltan los vértices B’ y C’.9º Con el compás tomamos la medida de uno de los segmentos dados, por ejemploel de longitud a y se hace un arco con centro en A’y radio a que corta al lado A’M’determinando el vértice B’.10º Con el compás tomamos la medida del segmento de longitud b y se hace unarco con centro en A’ y radio b . Determinándose el vértice C’.Se obtiene el triángulo pedido de vértices A’ B’C’.

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Solución 2 :

1º Se dibuja el segmento de longitud a, sus extremos determinan dos vértices deltriángulo pedido, por ejemplo A y B, falta el vértice C.2º Para determinar C se necesitan dos condiciones:1) Llamar α al ángulo dado y copiarlo de A o B de modo que el segmento AB seauno de sus lados.2) Hacer un arco con centro A o B y radio b (la longitud del otro segmento).

Solución 3:

1º Se dibuja uno de los segmentos (de longitud a o b) con ellos se dos vértices deltriángulo pedido.2º Falta el tercer vértice C. Para construirlo se necesitan dos condiciones:1) Copiar el ángulo dado a partir de uno de los extremos A o B.2) Dibujamos una circunferencia con centro en el otro extremo y radio de longitudigual al segmento restante. Y ahora hay tres posibilidades:

Primera Posibilidad

Que la circunferencia corte al lado libre del ángulo en dos puntos y entoncestenemos dos soluciones para el triángulo pedido.

Segunda Posibilidad

Que la circunferencia sea tangente al lado libre del ángulo y entonces hay unaúnica solución porque C sería el punto de tangencia.

Tercera Posibilidad

Que la circunferencia no corte al lado libre del ángulo y entonces no hay solución,es decir, no hay ningún triángulo que cumpla con las condiciones pedidas.

En la Actividad 3 se pide al alumno(a) que dibuje dos ángulos de distintamedida y un lado de medida cualquiera y con ellos construya un triángulo.

Se sugiere dejar a los alumnos trabajar con libertad y el profesor(a) medianteel proceso de devolución hará confrontar las hipótesis del teorema de los ángulosinteriores, cuando por ejemplo un alumno(a) dibuje un ángulo recto y un obstuso.

Ejemplos de Solución Esperada:

Solución 1:

Copiar el lado dado. Tenemos entonces dos vértices, por ejemplo A, B.Para el vértice C se necesitan dos condiciones:

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1) Copiar a partir de un extremo, uno de los ángulos dados.2) Copiar a partir del otro extremo, el ángulo restante.Los lados libres de los ángulos se cortan en C, siempre que la suma de las medidasde los ángulos dibujados sea menor que 180º (Guía 14).

Solución 2:

Pongamos nombres a los datos a α un ángulo y β al otro. Llamaremos A y B a losextremos del segmento dibujado.1º Copiar el ángulo α.2º A partir del vértice del ángulo α y sobre uno de sus lados copiar el segmentoAB.Tenemos así dos vértices del triángulo A,B.Para el tercer vértice C se necesitan dos condiciones:1) A partir del extremo libre del segmento copiar el ángulo β.2) Que el lado libre de β corte al lado libre de α. Esto sucederá siempre y cuandola suma de ellos no sobrepase los 180º (Guía 14). En caso contrario no haysolución.

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GUIA 17 Las alturas y ortocentro en un triángulo

Esta Guía es de tipo 2 a) y tiene los siguientes objetivos:

1. Identificar las alturas de un triángulo.2. Conocer y aplicar procedimientos para trazar alturas en un triángulo.3. Identificar el ortocentro como punto de concurrencia de las alturas.

La estructura de esta guía consta de cuatro tareas y para la gestión de la clase sesugieren dos momentos: el trabajo individual y la puesta en común.

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La Tarea a) se refiere a la lectura comprensiva de la definición de altura deun triángulo y las informaciones para dibujarla.

En la gestión de la clase se sugiere que la devolución se centre en lacomprensión de la definición.

En la Tarea b), si es necesario, el profesor describirá, con regla y escuadra, latécnica de trazado de las alturas de un triángulo.Los alumnos deberían responder que es posible trazar 3 alturas, las nominarán conla simbología pertinente y constatarán que estas se cortan en un mismo punto. Enla Puesta en Común el profesor enfatizará este hecho.

La Actividad c) permitirá verificar en otros triángulos, la posibilidad detrazar 3 alturas y determinar el punto de concurrencia.

Especial atención sugerimos al profesor(a) poner en las respuestas a laTarea d) puesto que en ella se intenciona una ruptura con los conocimientosadquiridos de los alumnos(as): Dos de las alturas del triángulo escalenoobtusángulo quedarán en el exterior, a diferencia de los casos anteriores. Laprolongación de estas permitirá descubrir que el punto de concurrencia seencuentra al exterior del triángulo.

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Por convención las alturas de un triángulo se designan generalmente de lasiguiente forma:

La altura desde el vértice A al lado opuesto a se designa haLa altura desde el vértice B al lado opuesto b se designa hbLa altura desde el vértice C al lado opuesto c se designa hc

(En Guía 9 estudiamos notaciones de vértices y los lados opuestos, que aquí semantienen)

Otra forma de designarlas es la siguiente :

Alturas CP, BM y AN donde los puntos P, M y N respectivamente son el pié decada altura.

TeoremaLas tres alturas trazadas a los lados de un triángulo concurren en un mismo punto.A este punto se le llama ortocentro

Este teorema será aceptado sin una demostración matemática, pero será verificadoexperimentalmente en el desarrollo de las tareas propuestas.


1. Construir una altura de un triángulo. Describir el procedimiento utilizado.2. En un triángulo AMO cualquiera, trazar sus alturas y llamar H al

ortocentro.3. ¿Qué propiedad tiene el punto que corresponde al pié de cada altura de un

triángulo equilátero?4. ¿Qué ocurre con las alturas de un triángulo rectángulo?

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GUIA 18 Bisectrices y simetrales en un triángulo

Esta Guía es de tipo 2 a) y tiene los siguientes objetivos:

1. Definir bisectriz de un ángulo interior de un triángulo cualquiera.

2. Aplicar procedimientos experimentales y geométricos para trazar lasbisectrices de un triángulo.

3. Definir simetral de un lado de un triángulo.

4. Aplicar procedimientos experimentales y geométricos para trazar lassimetrales de un triángulo.

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Ella está estructurada en base a dos Actividades. La Actividad 1 propone lalectura comprensiva de la definición de bisectriz de un ángulo interior de untriángulo y cuatro tareas.

La Actividad 2 propone la lectura comprensiva de la definición de simetralde un lado de un triángulo y tres tareas.

Para las tareas a), b), c) de la Actividad 1, el alumno(a) realizará unprocedimiento experimental para trazar las bisectrices y la constatación de queellas se cortan en un punto.

Para la tarea d) se pide al alumno(a) : una lectura comprensiva, el respeto alas instrucciones y secuencia planteada para el trazado de la circunferencia inscritaal triángulo.

La Actividad 2, plantea la lectura comprensiva de la definición de simetralde un lado de un triángulo.

En la tarea a) y b) se pide construir la simetral. Como ellos saben construirel punto medio ( tarea realizada en la Guía 7) y saben trazar perpendiculares ( Guía6) entonces los alumnos(as) no deberían tener dificultades para enfrentar estatarea.

En la tarea c) el propósito principal es constatar que el punto deconcurrencia de las simetrales del triángulo es el punto centro de la circunferenciacircunscrita al triángulo y que esta, a su vez pasa por los tres vértices del triángulo.

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I. Bisectrices

Por los resultados obtenidos en las experimentaciones anteriores se admitecomo verdadero el teorema.

Teorema

Las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo concurren en unmismo punto. Además este punto equidista de los tres lados del triángulo.

Construcción geométrica de la bisectriz

1. Dibujar un ángulo CAR2. Con el compás hacer un arco con centro en A. Este determina los puntos C’ y R’sobre los lados del ángulo.

3. Manteniendo la abertura del compás, hacer centro en C’ y con una abertura ytrazar un arco al interior del ángulo.

4. Con la misma abertura hacer centro en R’ y cortar el arco anterior. Laintersección de los dos arcos determina el punto Q.

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5. A continuación trace el rayo AQ.

De esta forma el rayo AQ obtenido es la BISECTRIZ del CARDe lo anterior se desprende que el CAQ es congruente con el QAR.De otro modo, la medida del ángulo CAQ es igual a la medida del ángulo QAR.Si la medida del CAR es α entonces la medida del CAQ es igual a

2

α y la medida del QAR es 2

α . (Convención Guía 14).

Circunferencia Inscrita

La circunferencia que resulta al realizar la tarea d) de la Actividad 1 se llamacircunferencia inscrita al triángulo. Su centro es el punto de concurrencia de lasbisectrices y su radio es el segmento que une el centro I con el pié de laperpendicular trazada desde I a cualquiera de los lados del triángulo.

Problemas

En una hoja blanca:

1. Dibujar un ángulo RPQ obtuso y construir geométricamente su bisectriz.

2. Dibujar un triángulo ABC cualquiera (tamaño grande) y realizar los pasosde construcción para cada una de las bisectrices de los ángulos interioresrespectivos. Trazar luego la circunferencia inscrita al triángulo ABC

3. Dibujar las bisectrices y las altura de un triángulo isósceles ¿ qué se puedeconstatar?

4. Dibujar las bisectrices y las altura de un triángulo equilátero ¿ qué sepuede constatar?

60

II. Simetrales

Por los resultados obtenidos en las actividades anteriores se admite comoverdadero el siguiente teorema.

Teorema

Las tres simetrales de un triángulo se cortan en un punto.Este punto se llama circunscentro.

Otra forma de enunciar este teorema es:

Las simetrales de un triángulo son concurrentes.

Circunferencia circunscrita

Es la circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo. Su centro es elpunto de concurrencia de las tres simetrales y el radio es el segmento que une elcentro con un vértice.

Para la construcción de la simetral se sugiere revisar la Guía 7 y relacionar el eje desimetría con la simetral.

Problemas

1. Dibujar en una hoja blanca dos segmentos: AB y PQ en distintas direccionesy construir luego la simetral correspondiente a cada uno.

2. Dibujar un triángulo ABC cualquiera y construir geométricamente lasimetral correspondiente a cada lado. Trazar luego, la circunferenciacircunscrita al triángulo ABC.

3. Dibujar las simetrales, las alturas y bisectrices de un triángulo isósceles?¿Qué se constata?

4. Dibujar las simetrales, las alturas y bisectrices de triángulo equilátero ¿Quése puede constatar?

5. Dibujar las simetrales, las alturas y bisectrices de un triángulo rectángulo.

61

GUIA 19 Las transversales de gravedad y medianas de un triángulo

Esta Guía es de Tipo 2 a) y tiene los siguientes objetivos:

1. Definir la transversal de gravedad.2. Definir el punto de concurrencia de las transversales de gravedad como el

centro de gravedad.3. Aplicar procedimientos experimentales y geométricos para trazar las

transversales de gravedad de los lados de un triángulo.4. Determinar la relación que existe entre las medidas de los segmentos que

componen la transversal de gravedad.5. Definir mediana.6. Verificar la relación de paralelismo entre las medianas y sus respectivos

lados opuestos.7. Determinar la relación que existe entre la longitud de la mediana y la de su

correspondiente lado opuesto.8. Aplicar procedimientos geométricos ( experimentales) para trazar las

medianas un triángulo.

Esta Guía está estructurada en base a dos Actividades.

62

La Actividad 1 es de lectura comprensiva de la definición de transversal degravedad de un lado de un triángulo y de su trazado geométrico para el encuentrodel punto de concurrencia en distintos tipos de triángulos.

La tarea es constatar la relación entre los segmentos que se determinan sobreuna transversal, por el punto de concurrencia.

La Actividad 2, se inicia con la lectura comprensiva de la definición demediana y su trazado geométrico. Luego se pide verificar las relaciones deparalelismo entre la mediana y el lado opuesto y también sus medidas.

Concluye la Actividad 2 con una tarea específica para el triánguloequilátero, con el fin de constatar la coincidencia entre las transversales degravedad, alturas y bisectrices en este tipo triángulo.

Las Tareas contempladas en la Guía están organizada inicialmente para untrabajo individual como lo indica el Cuaderno del alumno, luego ellos socializansu producción personal en el trabajo grupal. Es el momento para que los gruposde trabajo elaboren y produzcan un escrito con las conclusiones finales. La puestaen común contempla el debate de los alumnos, animado por el profesor(a).

63


En el triángulo ABC, el segmento AD es la transversal de gravedad del ladoBC, BE transversal de gravedad del lado AC y CP transversal de gravedad dellado AB

La demostración del teorema siguiente, se sitúa en la Geometría 1, por lotanto es aceptada por verificación experimental. ( por visualización en distintostipos de triángulos).

Teorema

Las tres transversales de gravedad de un triángulo concurren en un mismo punto,llamado centro de gravedad (baricentro).

Propiedad de las medianas

Una mediana de un triángulo es paralela al lado opuesto y su medida es igual a lamitad de la longitud del lado opuesto.

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La demostración de esta propiedad también se sitúa en la Geometría 1, porlo que se demuestra experimentalmente.

Se sugiere que el profesor(a) dibuje en la pizarra un triángulo ABC y sumediana MN:

Verificar con las medida de los ángulos que el ángulo BAC tiene igualmedida que el ángulo NMC . Lo mismo sucede con los ángulos ABC y MNC. Porlo tanto los segmentos MN y AB son paralelos.

Designar por O al punto medio del lado AB. Verificar con el compás laigualdad de las medidas de AO con MN. Entonces se deduce que la mediana MNes la mitad del lado AB.

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GUÍA 20 Congruencia de triángulos

Esta Guía es de Tipo 2b). Su objetivo es identificar triángulos congruentes apartir de configuraciones dadas.

Está guía está estructurada en base a una Actividad que contiene tres tareasa), b) y c) .

En la Tarea a) se pide recortar la figura para identificar triánguloscongruentes. (En la Guía 3 se definieron las figuras congruentes como aquellas queal superponerlas coinciden).

Por lo tanto se espera que los alumnos(as) por superposición busquenparejas de triángulos congruentes y además elijan la manera de anotarlas.

En la Tarea b) se pide encontrar pares de triángulos congruentes pero ahoraen la figura se señalan medidas de lados y de ángulos. Se supone que el alumno(a)va a utilizar instrumentos, regla, compás, transportador para señalar lacongruencia de lados y ángulos. Si esto no ocurre, el proceso de devolución tienelugar. El profesor(a) pedirá explicaciones que utilicen propiedades matemáticas yaestudiadas. Ahora bien , si solamente algunos alumnos utilizan propiedades, elprofesor extenderá la devolución al resto del curso.

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En la tarea c) se pide señalar por qué son congruentes las parejas detriángulos encontrados. Se espera que los alumnos señalen por ejemplo:

- El segmento AR es congruente con el segmento RI- El segmento AS es congruente con el segmento SI- SR es un lado común

Como existen 3 lados congruentes se tiene que los triángulos ARS y RSI alsuperponerlos coinciden.

Esta misma pareja de triángulos congruentes la podría explicar de la manerasiguiente :

- El lado SR es lado común- Los ángulos RSI e RSA son congruentes por ser ángulos rectos- Los segmentos AS y SI son congruentes ( porque S es punto medio, RSes simetral )

Como existen en los triángulos ARS y RSI , 2 lados y el ángulo comprendidoentre ellos respectivamente congruentes entonces ellos son congruentes.

Una tercera manera de explicar esta congruencia sería:- El ángulo RAS es congruente con el ángulo RIS- El segmento AS es congruente con el segmento SI- Los ángulos RSI y RSA son congruentes por ser ángulos rectos

Como existen en los triángulos ARS y RSI , respectivamente congruentesdos ángulos y el lado adyacente a ellos, entonces ellos son congruentes.

Así los alumnos(as) determinarán que se necesitan tres condiciones paraverificar la congruencia de dos triángulos.

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Por los resultados obtenidos en las actividades experimentales anteriores, seadmiten como verdaderos los siguientes teoremas.

Teoremas de Congruencia ( Criterios de Congruencia) :

En la práctica se usa el símbolo ≅ para representar la relación de congruencia.

Ejercicio:

Demostrar que los triángulos ARS ≅ RSI

En efecto,

1. El lado SR es lado común2. ángulo RSI ≅ ángulo RSA (ángulos rectos)3. lado AS ≅ lado SI (RS es simetral segmento AI )

Enfatizar que para demostrar la congruencia de dos triángulos se necesitan trescondiciones. Ellas están dadas por los teoremas enunciados anteriormente.

Ejercicios:

1. Encontrar en la configuración de la Guía 8 (pág. 25) los triánguloscongruentes.

2. Encontrar los triángulos congruentes de las siguientes configuraciones yenunciar el teorema de congruencia utilizado.

Estos ejercicios son fundamentales para favorecer el pasaje del alumno(a) desde laGI (que es experimental) a la Geometría II (con uso de propiedades).

1. Si los triángulos ABC y DEF son congruentes entonces tienen sus ladosrespectivamente congruentes.

2. Si los triángulos ABC y DEF son congruentes entonces tienen respectivamentecongruentes dos lados y el ángulo comprendido por ellos.

3. Si los triángulos ABC y DEF son congruentes entonces tienen respectivamentecongruentes dos ángulos y un lado

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a)

b)

c)

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GUÍA 21 Identificar triángulos congruentes

Esta Guía es de Tipo 3. Su objetivo es hacer funcionar los conocimientosestudiados en las guías anteriores. Por ello, los Problemas 1 y 2 se pueden dar detarea para la casa, con revisión posterior en clases.

Está estructurada en base a dos Problemas, los cuales se pide a losalumnos que los trabajen en forma individual.

El Problema 1 pide justificar la congruencia en los triángulos que se formanen la figura dada. Utilizar teoremas de congruencia institucionalizados en la Guía20.

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En el Problema 2 se ponen en juego propiedades estudiadas, el alumnopodrá usar instrumentos para señalar las medidas de los ángulos y lados, perotambién es necesario que ocupe propiedades pertinentes (proceso de devolución).

Por ejemplo, los alumnos podrían encontrar lo siguiente:

Por demostrar que Δ GFJ ≅ Δ EDH

∠ JGF≅ ∠HED (ángulos correspondientes) GF ≅ ED (por construcción)

∠ JFG≅ ∠HDE (ángulos correspondientes)

Por lo tanto por teorema 3 de congruencia,Δ GFJ ≅ Δ EDH

Si los alumnos por medición llegan a la misma conclusión significa que el alumnosabe reconocer triángulos congruentes, pero en esta Guía lo que interesa es queutilicen los teoremas de Congruencia.

Esta Guía 21 contribuye a que el alumno(a) pase de GI (con verificaciónexperimental) a la Geometría II (con pruebas o demostraciones utilizandopropiedades matemáticas). Este pasaje se inicia en los ejercicios finales de la Guía20 del profersor(a)

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GUIA 22 Los Cuadriláteros

Esta es una Guía Tipo 2a) sus objetivos son la lectura comprensiva de ladefinición de cuadriláteros y su funcionamiento, primero sola y más adelante enrelación con otros conceptos.

Está estructurada en base a una Actividad con varias Tareas.

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En la parte a) de la Actividad se pide identificar cuadriláteros, para ello losalumnos(as) deberán utilizar letras para nominarlos.

En la parte b) se pide contarlos, como reforzamiento.

La parte c) propone reproducir dos de los cuadriláteros seleccionados.Aquí se espera que los alumnos respeten las direcciones de los segmentos y sucongruencia. No se espera que los alumnos midan, pues las figuras no estánpreparadas para ello. Si se mide con regla, las medidas de los alumnos no serán lasmismas, y ello obligará a los alumnos a considerar aproximaciones.Por ello, utilizar la relación de congruencia que se obtiene con la ayuda del compáses más adecuada. En caso de que los alumnos utilicen espontáneamente mediciones, debenaceptarse, pero entonces será necesario llamar la atención en el momento de lapuesta en común sobre las diferencias en las respuestas. Y entonces preguntar¿cómo se podrían evitar las aproximaciones?

En la parte d) se enfatiza el concepto de diagonales de un cuadrilátero.

La parte e) está dedicada a tareas de construcción de cuadriláteros bajociertas condiciones y hacen funcionar conocimientos ya estudiados: ladosparalelos, lados congruentes, ángulo recto, en cuanto conceptos y en cuanto figurasque se construyen.Puede que como consecuencia, de las actividades de la parte e) surjan algunoscuadriláteros especiales : paralelogramos, cuadrado, trapecios.

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GUIA 23 Clasificar Cuadriláteros

Esta Guía es de Tipo 2b) hace funcionar conceptos y propiedades. Su objetivo esreconocer tipos de cuadriláteros según las condiciones que ellos deben satisfacerpara ser clasificados entre paralelógramos y trapecios.

Para desarrollar la actividad, el alumno(a) deberá utilizar, en primer lugarletras, para identificar los cuadriláteros y luego lenguaje verbal para describirlos.

Por ejemplo se esperan descripciones como las siguientes:

El cuadrilátero ABCD tiene un par de lados paralelos, A’ B‘ C’ D’ tiene dos paresde lados paralelos, EFGH tiene un par de lados paralelos y un ángulo recto. Etc.Es posible que los alumnos les pongan su nombre, seguramente reconocerán losrectángulos.

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Los cuadriláteros especiales son los paralelogramos y los trapecios.

Definición de paralelógramo

Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos se llama paralelogramo.

Entre los paralelogramos se distinguen aquellos que tienen todos los ladoscongruentes y aquellos que tienen ángulos rectos.

Definición de trapecio

Un cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos se llama trapecio.

Se distinguen entre ellos los trapecios isósceles y los trapecios rectángulos.

Un trapecio se llama isósceles cuando sus lados no paralelos son congruentes.Un trapecio es rectángulo cuando tiene dos ángulos rectos.

El profesor dibuja los trapecios mencionados.

Por convención

Los lados paralelos del trapecio se llaman bases.

Problemas

1. Un trapecio ¿puede tener un solo ángulo recto? ¿Tres ángulos rectos?Explicar.

2. Los lados paralelos de un trapecio podrían ser congruentes? Explicar3. ¿Existe un trapecio isósceles y rectángulo?

Estos problemas podrían utilizarse para evaluaciones formativas, pues ellos ponenen juego las definiciones.

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GUIA 24 Paralelógramos

Esta Guía es de tipo 1, su objetivo es descubrir las propiedades de losparalelogramos. Ella contiene una actividad con tres tareas.

En la tarea a) se le pide construir un paralelogramo cualquiera con regla y compás.

Los alumnos ya saben que un paralelógramo es un cuadrilátero con dos pares delados paralelos. Se le pide que trace sus diagonales.

RecordarUna diagonal es un segmento que une dos puntos no consecutivos de una figura geométricao d e un polígono.

Si es pertinente el profesor puede proponer ejercicios posteriores donde pida trazarlas diagonales de un pentágono, exágono etc. y puede pedir también identificarlasy contarlas. Pero en la tarea a) solo se pide identificarlas.

En la tarea b) se pide ver lo que ocurre con ellas, los alumnos(as) habrán dibujadodistintos tipos de paralelogramos, entonces encontrarán: rectángulos, rombos,cuadrados, romboides, etc. En consecuencia, ellos podrán descubrir laspropiedades que tiene su paralelogramo.

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Si el alumno(a) dibujó un cuadrado encontrará que tiene los 4 lados de iguallongitud, los ángulos rectos, las diagonales de igual longitud y que forman ángulosrectos.

Si dibujó un romboide, encontrará que sus lados opuestos son iguales, susdiagonales también y que los ángulos opuestos son congruentes, etc…

Seguramente el profesor deberá poner en práctica el proceso de devolución, porejemplo ante una pregunta ¿Cómo busco las propiedades de los lados?, ¿de losángulos?

Podrías averiguar si sus lados son de igual medida o de distinta, lo mismo para lasdiagonales, también averiguar los ángulos que forman, averiguar si el punto deintersección de las diagonales tiene alguna propiedad.Según el tipo de paralelógramo que tenga el alumno(a) se encontrarán distintaspropiedades.

La tarea c), d) y e) es en equipo y ayuda a los alumnos a encontrar los diferentestipos y propiedades de los paralelogramos.

Por ello en esta Guía la puesta en común es muy importante. Se espera que losalumnos(as) encuentren que todos los paralelogramos tienen sus lados opuestoscongruentes o de igual longitud o medida.

Que los paralelógramos que tienen los ángulos opuestos rectos son rectángulos, esdecir pueden tener sus cuatro lados iguales, y entonces se tiene un cuadrado o loslados contiguos desiguales y entonces se trata del rectángulo.También encontrarán que hay paralelógramos con lados iguales pero sin ángulosrectos, estos, se llamarán rombos, el profesor lo dirá si no surge de la sala.

Si nadie construyera un rombo, el profesor(a) pedirá construir un paralelogramocon 4 lados iguales y sin otra condición. Si construyen un cuadrado, entonces elprofesor (a) preguntará ¿existe un paralelógramo con 4 lados de igual medida perosin ángulos rectos? Así aparecerá la relación de inclusión: todos los cuadrados sonrombos. Pero hay rombos que no son cuadrados.También es importante relacionar los cuadrados y los rectángulos. Todos loscuadrados son rectángulos pero hay rectángulos que no son cuadrados.

Respecto a las diagonales se espera que los alumnos(as) descubran que lasdiagonales de un rectángulo son iguales y que las diagonales de un rombo sonperpendiculares.Todas estas propiedades en un primer momento se encontraránexperimentalmente, con el compás, la escuadra, el transportador o con papeltransparente.Entonces el profesor pedirá enunciar las propiedades encontradas y luego pedirádemostrarlas haciendo uso de definiciones y teoremas de congruencia estudiados.

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Definiciones

Cuadrado : paralelógramos con los 4 lados y 4 ángulos congruentesRectángulo : paralelógramo con lados opuestos congruentes y los 4 ángulos rectosRombo : paralelógramo con los 4 lados congruentesRomboide : paralelógramo cualquiera ( dos pares de lados paralelos)

Propiedades

- Los lados opuestos de un paralelógramo son congruentes- Los ángulos opuestos de un paralelógramo son congruentes

Estas propiedades se deben verificar. Los modos de validación pueden ser coninstrumentos: compás, escuadra o por dobleces (geometría I) o tambiénmatemáticamente utilizando congruencia de triángulos, Guía 20 ( Geometría II).Por ejemplo, dado el problema siguiente :

ABCD es un paralelógramo tal que AB // CD y AB congruente con CD.Demostrar que AD congruente BC.

Haremos una demostración matemática ( En Geometría II)

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AB

CD

E

F

Se une A con C. Se forman dos triángulos ABC y ACD, que son congruentes.Angulo BAC congruente Angulo ACD ( alternos internos entre paralelas)AC lado común.AB congruente DC ( hipótesis). Entonces los triángulos se pueden superponer y se tiene AD congruente con BC.Angulo ABC es congruente con ángulo ADC (teorema 2 Guía 20).

De la misma manera se demuestra que los ángulos opuestos en un paralelógramosson congruentes.

Problemas

1. Explicar por qué un cuadrado es un rombo2. Explicar por qué un cuadrado es un rectángulo.3. Demostrar que si en un paralelogramo ABCD con AB// CD y AB

congruente con CD entonces AD // BC.

Los problemas 1 y 2 son para evaluación formativa, pues para resolverlos senecesita la comprensión de las definiciones. Para el 3, se necesita la congruencia detriángulos y reconocer ángulos congruentes entre paralelas.

4. Demostrar que las diagonales de un paralelógramos se intersectan en su puntomedio. 5. Demostrar que las diagonales de un rectángulo son de igual medida. 6. Demostrar que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Para los problemas 4, 5 y 6, si el alumno(a) trabaja en Geometría I se sugiereaceptar tales verificaciones o comprobaciones, pero es necesario que el profesor(a)haga la devolución de modo de llevar a los alumnos a la demostraciónmatemática, es decir, que utilice propiedades.

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GUÍA 25 Ejes de simetría en triángulos y cuadriláteros

Esta Guía es de Tipo 3. Su objetivo es hacer funcionar los conocimientosestudiados en las Guía 8. Pero ahora nos interesa estudiar la existencia de ejes desimetría en triángulos y cuadriláteros.

Ella está estructurada en base a dos problemas y tres ejercicios pararesolver con éxito.

El Problema 1 pone en juego el concepto de eje de simetría. Estudiado enGuía 7 ( actividad 3 y actividad 4) y Guía 8.

El Problema 2 se debe trabajar en clases, se produce una ruptura para losalumnos(as), se espera que los alumnos concluyan que este triángulo no tiene ejesde simetría.

En los ejercicios para resolver con éxito, la pregunta del Ejercicio 1 hay quetrabajarla en clases, se espera que el alumno(a) deduzca que el paralelógramoSOPA no tiene ejes de simetría y que explique el por qué.

El segundo consta de cuatro Tareas a), b), c) y d) las cuales se pueden darde tarea para la casa con revisión posterior en clases

En el ejercicio 3 como ya buscó los ejes de simetría en rombos, rectángulos,cuadrados y en un triángulo equilátero, el alumno estaría en condiciones deseñalar cuáles son las características que debe tener el cuadrilátero para tener almenos un eje de simetría.

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GUIA 26 Perímetros

Esta Guía es de Tipo 2a) Sus objetivos son tres:

1. La comprensión de la definición de perímetro de una figura geométrica a partirde un enunciado y también de una fórmula.

2. El cálculo de perímetros de figuras a partir de configuraciones dadas.

3. El cálculo de perímetros de objetos del entorno.

Está estructurada en base a tres Actividades, cada una corresponde a los objetivosmencionados.

La Actividad 1 hace funcionar la definición con figuras geométricas básicas,cuyas definiciones y propiedades ya se han estudiado en Guías anteriores.

La Actividad 2 propone calcular perímetros de polígonos en unaconfiguración. Como no se dan medidas, se espera que los alumnos(a) utilicen lossegmentos que forman cada polígono.Por ejemplo se esperan respuestas como:Perímetro de GAGFBFABABFG +++=

¿Porqué no hay medidas? Porque ellas distraen del concepto mismo del objetomatemático perímetro.

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Si los alumnos(as) miden, se acepta, pero las respuestas serán diferentes, pues ellosaproximarán.

En el momento de la puesta en común el profesor pide buscar una respuesta sinaproximación. Ellas surgirán de los alumnos(as) que no miden y aplicandirectamente la definición. Si los alumnos insistieran en medir, entonces elprofesor directamente les plantea buscar una respuesta sin aproximaciones (sinmedir).

En la Actividad 3 se plantean problemas y ejercicios con medidas, y conmedidas reales.

El problema de la página 73, último de esta guía es una actividad deevaluación. El profesor(a) puede darla para prepararla en casa para unainterrogación o bien realizarla en clases, según lo estime conveniente.Es importante que el profesor precise que el perímetro es el número que expresa lalongitud del contorno de la figura. Por ello el perímetro se expresa en unidades delongitud.

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GUÍA 27 Áreas de Figuras Geométricas

Esta es una Guía de tipo 2a) sus objetivos son la compresión del concepto deárea como medida de superficie y calcular el área de figuras geométricas.

La Guía está estructurada en base a una actividad en la que se explica lo quesignifica el área.

Área es el número que mide la superficie de una figura plana.Se explicita que una figura plana tiene dos dimensiones, largo y ancho.

El profesor(a) cuidará de que los alumnos distingan los objetos que tienenuna dimensión, sólo longitud, por ejemplo los segmentos, de los objetos de dosdimensiones como los polígonos, que tienen superficie.

Al número que da la medida de la superficie se le llama área.

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La parte inicial de las informaciones, se da en forma verbal, que la superficiede un rectángulo se calcula multiplicando el largo por el ancho. De modo que seespera que los alumnos(as) respondan las preguntas.

En el Ejercicio 2, surgirá el área de un triángulo, utilizando la congruenciade triángulos.

En el Ejercicio 3 los alumnos(as) van a descubrir que para calcularsuperficies de trapecios tendrán que descomponer la figura dada en subfiguras delas cuales se sabe calcular su superficie, en este caso, dos triángulos y unrectángulo.

En el Ejercicio 4, se trata de calcular el área de distintas subfiguras de laconfiguración dada.

Es importante que el profesor precise que el área es el número en que semide la superficie.

Un abuso de lenguaje, muy común, es confundir la superficie con el área, y en estaGuía también se comete, pues se pide calcular el área y no la superficie. No seinsistió en la diferencia para no ir en contra de la cultura popular, pero de a pococonviene ir evitando esta confusión. Hacemos esta observación al profesor(a) paraque cuide su discurso y no es necesario que lo indique a los alumnos(as).

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GUIA 28 Teorema de Pitágoras

Esta es una Guía tipo 2a) su objetivo es la comprensión de las informacionesy la comprensión del enunciado del Teorema de Pitágoras. En ella se enfatiza elaspecto geométrico del enunciado.

Está estructurada en base a 2 Actividades.

El Ejercicio 1 de la Actividad 1 propone una verificación en papelcuadriculado o dibujando los catetos de un triángulo con medidas dadas.

El Ejercicio 2 propone la visualización de la situación, ver los cuadradosreconocer sus lados y medidas, para calcular sus áreas. Y a partir de ello,interpretar el enunciado del Teorema, para luego explicitar numéricamente larelación pitagórica.

En la Actividad 2 se demuestra el teorema con la proposición de tareas parael alumno(a), las que le permitirán comprender el desarrollo de la demostración.

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Luego se enuncia el Teorema Recíproco de Pitágoras, que es el másconocido, debido a su aspecto algebraico y a su relación con las ecuaciones.


1. ¿Qué objetos matemáticos relaciona el Teorema de Pitágoras?

2. Dibujar un triángulo rectángulo isósceles de cateto de medida 1u. Cuál es elvalor de la hipotenusa ?¿Qué se constata?

3. Un cuadrado de lado 1u tiene área 1u2. Dibujar un cuadrado que tenga área2 u2.

4. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de medida 3u y 4u es conocido quesu hipotenusa es 5u. (si no lo sabías verifícalo). ¿Qué valor tendrá lahipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 9 cm y 12 cm?

5. Los 3 números cuyos cuadrados satisfacen la relación pitagórica, delteorema recíproco, se llaman números pitagóricos. Encuentra algunos tríos.

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AGRADECIMIENTOS

Expresamos nuestra gratitud a directivos, profesoras, profesores, alumnas yalumnos que aceptaron el desafío de participar en este proyecto. En especial a los docentes que se involucraron como un investigador mas yaportaron toda su valiosa experiencia, para que las alumnas y los alumnos fueranconstruyendo sus propios aprendizajes. Quedó en evidencia que el trabajo en equipo, el intercambio de experiencias, lacrítica y autocrítica pedagógica, el análisis de las preguntas que formulan losjóvenes, la preparación de la clase y la apertura para cambiar nuestras prácticas,son un buen comienzo para enfrentar con éxito una innovación y crecerprofesionalmente.

PROFESORES ESCUELA O COLEGIO COMUNA

Daisy López González Ana Jesús Ibacache Hijuelas

Cristina Peña GaticaMariza Gallardo RojoCatherine Zamora FigueroaAlonso Zamora AguileraClaudio Tapia Salazar

Parroquial San Nicolás Hijuelas

Claudia Astudillo MenaMarta Gahona TapiaPatricia Gallardo FrezRicardo Leiva SantanaJennifer Tapia JiménezGeorgina Zamora Vergara

Becarb La Calera

B l a n c a R e c a b a r r e nFernándezM a r i e l a Z a m b r a n oVillarroel

Leonardo Da Vinci La Cruz

Cecilia Fernández AguileraJosé Ponce Ponce

Juan Bautista Alberdi Villa Alemana

Claudia Flores ZamoranoPatricio Figueroa Acevedo

Inglés Quintero

Rosa López GuerreroRosa Seguel Saavedra

República del Perú Viña del Mar

María I. Solari CortésClorindo Valencia Espinoza

Cirujano Videla Valparaíso

Libro Del Profesor Geometría PUCV

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