Libri i Mesuesit Matematika 11

LIBËR PËR MËSUESINMATEMATIKA 11

Edmond Lulja Neritan Babamusta Prof.dr. Shpëtim Bozdo

Për klasën e 11-të të arsimit të mesëm të përgjithshëm

Përmbajtja

Udhëzime të përgjithshme 5

Kreu 1 431.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan 43

1.2 Drejtëza paralele me një vektor. Kushtet e paralelizmit e të pingultisë së dy drejtëzave 44

1.3 Këndi midis dy drejtëzave 45

1.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë, paralel a pingul me një drejtëz të dhënë 46

1.5 Largesa e pikës nga drejtëza 47

1.6 Ushtrime 48

Kreu 2 502.1 Funksioni numerik (Përsëritje) 50

2.2 Grafiku i funksionit numerik. Monotonia e funksionit (Përsëritje). 51

2.3 Grafikët e funksioneve të dhënë me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme të bashkësisë së përcaktimit. Elemente të tjera të monotonisë së funksionit 53

2.4 Vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni numerik. Ekstremumet 54

2.5 Krahasimi i funksioneve numerike 56

2.6 Veprime me funksione numerike. Kufizueshmëria e funksionit 57

2.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodike 59

2.8 Studimi i variacionit të funksioneve të thjeshta 60

2.9 Ndërtimi i grafikëve të funksioneve të tjerë, duke u nisur nga grafiku i funksionit f 61

2.10 Përbërja e funksioneve numerike 62

2.11 Ushtrime për përsëritje 64

Kreu 3 663.1 Përsëritje 66

3.2 Radiani. Rrethi trigonometrik. Harqe trigonometrike 67

3.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrike. Vetitë e sinusit e të kosinusit 68

3.4 Variacioni i sinusit dhe i kosinusit 70

3.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgx 71

3.6 Identitete trigonometrike 73

3.7 Ushtrime 743.8 Formulat e reduktimit 75

3.9 Zbatime 76

3.10 Ekuacione trigonometrike elementare 78

3.11 Ushtrime 79

3.12 Formulat për sinusin (kosinusin) e shumës dhe diferencës së dy këndeve 80

3.13 Zbatime 81

3.14 Funksionet trigonometrike të dyfishit të këndit 82

3.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesës së dy sinuseve apo dy kosinuseve 84

3.16 Përsëritje 85

3.17 Ushtrime për përsëritje 86

Kreu 4 904.1 Drejtëzat dhe planet 90

4.2 Rrjedhime nga aksiomat 92

4.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzave në hapësirë 94

4.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planin 96

4.5 Teorema e tri pinguleve 98

4.6 Ushtrime 99

4.7 Drejtëza paralele me planin 101

4.8 Plane paralelë 102

4.9 Ushtrime 104

4.10 Këndi dyfaqësh 105

4.11 Plane pingule 107

4.12 Ushtrime 108

4.13 Ushtrime për kreun 4 109

Kreu 5 111

5.1 Shumëfaqëshat. Prizmi 111

5.2 Piramida. Sipërfaqja anësore e piramidës së rregullt 112

5.3 Ushtrime 113

5.4 Vëllimet e trupave 114

5.5 Ushtrime 115

5.6 Vëllimi i piramidës 116

5.7 Ushtrime 117

5.8 Cilindri 118

5.9 Koni 119

5.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konit 120

5.11 Ushtrime 121

5.12 Sipërfaqja sferike. Sfera 122

5.13 Vëllimi i rruzullit dhe sipërfaqja e sferës 123

5.14 Ushtrime 124

5.15 Ushtrime për kreun 124

Kreu 6 126

6.1 Funksione që kanë limit +∞ kur x→+∞ 126

6.2 Disa teorema. Funksione që kanë limit -∞ kur x→ +∞ 127

6.3 Funksione që kanë limit 0 kur x→+∞ 129

6.4 Limiti i polinomit kur x→∞ 131

6.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞ 132

6.6 Limite të funksionit kur x→∞ 133

6.7 Ushtrime 135

6.8 Asimptota horizontale. Disa teorema mbi limitet 136

6.9 Limiti i funksionit racional thyesor, kur x→+∞ (x→-∞) 137

6.10 Ushtrime për përpunim të njohurive 139

6.11 Funksione që kanë limit zero në zero 140

6.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. P.m.v. 142

6.13 Limiti i funksionit kur x→a 143

6.14 Teoremat themelore mbi limitin 145

6.15 Teoremat themelore mbi limitin 146

6.16 Funksione pambarimisht të mëdhenj (p.m.m.) kur x→a 147

6.17 Asimptotat vertikale 149

6.18 Format e pacaktuara. Forma 150

6.19 Format e pacaktuara (vazhdim) 152

6.20 Format e pacaktuara (vazhdim) 154

6.21 Ushtrime për përpunimin e njohurive 155

6.22 Përsëritje 156

Përmbledhje për kreun “Limitet” 157

Kreu 7 160

7.1 Parimi i mbledhjes. Parimi i shumëzimit 160

7.2 Përkëmbimet 161

7.3 Dispozicionet 162

7.4 Kombinacionet 163

7.5 Ushtrime 164

7.6 Probabiliteti 164

7.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve 166

7.8 Ushtrime 167

7.9 Informacioni statistikor 167

7.10 Analiza e të dhënave 169

7.11 Ushtrime për kreun 170 171

Kreu 8 171MATEMATIKA DHE FINANCA NË JETËN E PËRDITSHME 1718.1 Depozitat dhe normat e interesit. Interesi i thjeshtë 171

8.2 Huaja 172

8.3 Interesi i përbërë 174

8.4 Ushtrime 175

8.5 Interesi dhe progresionet 176

8.6 Kredia bankare 177

5

LIBËR PËR MËSUESIT

DISA ORIENTIME PËR ZBATIMIN NË PRAKTIKË TË PROGRAMIT DHE TEKSTIT” MATEMATIKA 11”Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 11 (pjesa e kurrikulës bërthamë), është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse (e në mënyrë të veçantë atë të klasës së dhjetë). Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime.Së pari, programet e matematikës, duke filluar nga klasa e parë fillore, janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur, i autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta dhe Prof. Dr. Shpëtim Bozdo është i ndarë në 8 kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre, është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës, duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës.

Programi mësimor për lëndën e matematikës në klasën 11 (kurrikula bërthamë) përmban këtë detajim për linjat e përmbajtjes:

1. Linja 1 (Numri dhe veprimet me numra) 7 orë2. Linja 2 (Matja) 24 orë3. Linja 3 (Gjeometria) 28 orë4. Linja 4 (Algjebra, funksioni dhe njehsimi diferencial dhe integral) 38 orë5. Linja 5 (Statistikë, kombinatorikë, probabilitet) 11 orë6. Proceset matematike (integruar në linjat e mësipërme)

Shpërndarja e orëve në tekst, sipas kapitujve dhe linjave, jepet në tabelën e mëposhtme:

KREU ORËT SIPAS KREUT LINJA PËRKATËSE ORËT SIPAS

LINJAVE

1. Drejtëza në planin kartezian 7 Linja 3 7

2. Funksioni 12 Linja 4 12

3. Funksione trigonometrike 18 Linja 4Linja 2

414

4. Plani dhe drejtëza në hapësirë 14 Linja 3 14

5. Shumëfaqëshat dhe trupat e rrumbullakët 16 Linja 2

Linja 397

6. Limitet e funksioneve 23 Linja 4Linja 2

221

7. Statistikë, kombinatorikë, probabilitet 11 Linja 5 11

8. Matematika në jetën e përditshme dhe në financë 7 Linja 1 7

SHUMA E ORËVE SIPAS KRERËVE 108 SHUMA E ORËVE SIPAS LINJAVE 108

6 / Matematika 11

Udhëzime të përgjithshme

Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave apo pohimeve.Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema ose fjali, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës, vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet!

• Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend ose përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt.

• Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi “zbulon” në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar, mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë.Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim.Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime. Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste,

përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhura, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur: “më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri probleme të ndryshme” tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla.

• Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim.

• Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, teksti është i ndarë pikërisht në 108 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët në dispozicion).Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për “Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor”, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi përcakton për lëndën, pra 108 orë.

• Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë ose realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund të zgjatet.

Objektivat e linjave i përmban programi.

7


Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. • Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin.• Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë ose imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe

shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit.• Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit ose riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijuese, në situata të reja, të panjohura më parë për ta.Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme.

Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve

Komponenti Përshkrimi i komponentit Niveli I-rë i arritjeve

Niveli i II-të i arritjeve

Niveli i III-të i arritjeve

Njohuritë matematike

Terminologjia dhe simbolika.Përkufizimet e koncepteve.Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla).Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit).

Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj

Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë.

Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme.

Aftësitë matematike

Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim.

Shfaqje e kufizuar e aftësive.

Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura.

Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur.

8 / Matematika 11


Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike

Për të kryer:Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerike dhe hapësinore

Shfaqje të kufizuara. Shfaqje solide. Shfaqje të

avancuara.

Qëndrimet dhe vlerat

Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave.

Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave.

Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore.

Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave.

Tri nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tri kategorive kryesore (zgjidhja problemore, arsyetimi matematik, komunikimi matematik)

Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit;

- me anën e një numri të kufizuar metodash;- me gabime ose me mangësi të shumta.

Nxënësi përdor arsyetime matematike:- me ndihmën e mësuesit;- që janë nga më të thjeshtat;- me gabime ose mangësi.

Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- me ndihmën e mësuesit;- me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë;- duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike.

Niveli IINxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit;

- me anën e një numri jo të madh strategjish bazale;- me gabime ose me mangësi të pjesshme.

Nxënësi përdor arsyetime matematike:- me një ndihmë të kufizuar të mësuesit;- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve;- me disa gabime ose mangësi të vogla.

Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- me një farë qartësie e saktësie në terminologji;- duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike.

9


Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur;

- duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të;- zakonisht me saktësi.

Nxënësi përdor arsyetime matematike:- në mënyrë të pavarur;- të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë.

Nxënësi i komunikon njohuritë matematike:- në mënyrë të pavarur;- qartë dhe saktë;- duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike.

Ndarja e krerëve në njësi mësimore

Ndarja e krerëve në njësi mësimore

KREU 1 Drejtëza në planin kartezian

1.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan 1.2 Drejtëza paralele me një vektor 1.3 Këndi ndërmjet dy drejtëzave 1.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë paralel ose pingul me një drejtëz të dhënë 1.5 Largesa e pikës nga drejtëza 1.6 Ushtrime 1.7 Test për kreun 1 KREU 2 Funksioni numerik

2.1 Përsëritje. Funksioni numerik 2.2 Përsëritje. Grafiku i funksionit numerik 2.3 Grafikët e funksioneve të dhënë me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme

të bashkësisë së përcaktimit. Monotonia e funksionit. 2.4 Vlera më e madhe (më e vogël) e funksionit numerik. Ekstremumet 2.5 Krahasimi i funksioneve numerike 2.6 Veprime me funksione numerike. Kufizueshmëria e funksionit 2.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodike 2.8 Studimi i variacionit të funksioneve të thjeshta 2.9 Ndërtimi i grafikut të funksioneve të tjera, duke u nisur nga grafiku i

funksionit f 2.10 Përbërja e funksioneve numerike 2.11 Ushtrime për përsëritje 2.12 Test për kreun 2

10 / Matematika 11


Kreu 3 Funksionet trigonometrike

3.1 Përsëritje 3.2 Radiani. Rrethi trigonometrik. Harqe dhe kënde trigonometrike 3.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrikë 3.4 Variacioni i sinusit dhe kosinusit 3.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgx 3.6 Identitete trigonometrike 3.7 Ushtrime për përpunim të njohurive 3.8 Formulat e reduktimit 3.9 Zbatime për përpunimin e njohurive 3.10 Ekuacione trigonometrike elementarë 3.11 Ushtrime për përpunimin e njohurive 3.12 Formulat për sinusin dhe kosinusin e shumës dhe diferencës së dy këndeve 3.13 Zbatime 3.14 Funksionet trigonometrike të dyfishit të këndit. 3.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesës së dy sinuseve ose dy kosinuseve 3.16 Përsëritje për kreun 3.17 Ushtrime për përsëritje 3.18 Test për kreun 3

KREU 4 Plani dhe drejtëza në hapësirë

4.1 Drejtëzat dhe planet 4.2 Rrjedhime nga aksiomat 4.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzave në hapësirë 4.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planin 4.5 Teorema e tri pinguleve 4.6 Ushtrime 4.7 Drejtëza paralele me planin 4.8 Plane paralele 4.9 Ushtrime 4.10 Këndi dyfaqësh 4.11 Plane pingulë 4.12 Ushtrime 4.13 Ushtrime për kreun 4.14 Test për kreun 4

KREU 5 Shumëfaqëshat dhe trupat e rrumbullakët

5.1 Shumëfaqëshat. Prizmi 5.2 Piramida 5.3 Ushtrime 5.4 Vëllimi i trupave 5.5 Ushtrime 5.6 Vëllimi i piramidës 5.7 Ushtrime

11


5.8 Cilindri 5.9 Koni 5.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konit 5.11 Ushtrime 5.12 Sipërfaqja sferike. Sfera 5.13 Vëllimi dhe sipërfaqja e sferës 5.14 Ushtrime 5.15 Ushtrime për kreun 5.16 Test për kreun 5

Kreu 6 Limitet e funksioneve

6.1 Funksione që kanë limit + ∞ kur x→+∞ 6.2 Disa teorema 6.3 Funksione që kanë limit 0, kur x→+∞ 6.4 Limiti i polinomit kur x→+∞ 6.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞ 6.6 Limite të funksionit kur x→-∞ 6.7 Ushtrime për përpunimin e njohurive 6.8 Asimptota horizontale 6.9 Limiti i funksionit racional thyesor kur x→+∞ (x→-∞) 6.10 Ushtrime për përpunimin e njohurive 6.11 Funksione që kanë limit zero në zero 6.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. (Funksionet p.m.v.) 6.13 Limiti i funksionit kur x→a 6.14 Teoremat themelore për limitin e funksionit 6.15 Teoremat themelore mbi limitin (vazhdim) 6.16 Funksione pambarimisht të mëdha (p.m.m.) kur ax → 6.17 Zbatime. Asimptotat vertikale 6.18 Format e pacaktuara 6.19 Ushtrime për format e pacaktuara 6.20 Format e pacaktuara (vazhdim) 6.21 Ushtrime për përpunimin e njohurive 6.22 Përsëritje për kreun 6.23 Test për kreun 6

KREU 7 Statistikë, kombinatorikë, probabilitet

7.1 Parimi i mbledhjes dhe shumëzimit 7.2 Përkëmbimet 7.3 Dispozicionet 7.4 Kombinacionet 7.5 Ushtrime 7.6 Probabiliteti 7.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve 7.8 Ushtrime 7.9 Informacioni statistikor

12 / Matematika 11


7.10 Analiza e të dhënave 7.11 Ushtrime për kreun

KREU 8 Matematika dhe financa në jetën e përditshme

8.1 Depozitat dhe normat e interesit. Interesi i thjeshtë 8.2 Huaja 8.3 Interesi i përbërë 8.4 Ushtrime 8.5 Interesi dhe progresionet 8.6 Kredia bankare 8.7 Ushtrime

OBJEKTIVAT SIPAS KRERËVE

KREU 1

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përshkruajnë me fjalë kuptimet e koordinatave të pikës e të vektorit në planin kartezian. • Të përshkruajnë kuptimin e ekuacionit të vijës në planin kartezian. • Të përcaktojnë nëse një pikë me koordinata të njohura ndodhet në një vijë me ekuacion të njohur të fuqisë I ose II. • Të dallojnë drejtëzën si vijë që paraqitet me ekuacion të fuqisë së parë me dy ndryshore. • Të gjejnë largesën midis dy pikave me koordinata të njohura në plan. • Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës në planin xoy, kur jepen:

a) Një pikë dhe koeficienti këndor i saj. b) Dy pika. c) Një pikë dhe ekuacioni i drejtëzës paralele me të. ç) Një pikë dhe ekuacioni i drejtëzës pingule me të.

• Të paraqesin drejtëzën në planin koordinativ kur njihet ekuacioni i saj. • Të gjejnë pikën e prerjes së dy drejtëzave me ekuacione të dhëna. • Të gjejnë koeficientin këndor të drejtëzës kur jepet ekuacioni i saj. • Të përcaktojnë nëse dy drejtëza me ekuacione të dhëna janë paralele apo pingule. • Të gjejnë largesën e një pike nga një drejtëz, duke përdorur formulën përkatëse.

Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të japin përkufizime të sakta të koordinatave të pikës e të vektorit në plan, duke përdorur drejt simbolikën. • Të vërtetojnë formulën për largesën midis pikave me koordinata të njohura në plan. • Të identifikojnë grafikun e funksionit numerik f me bashkësi përcaktimi A si vijë me ekuacion y=f(x). • Të identifikojnë gjysmëplanin kartezian nëpërmjet inekuacionit përkatës .

13


• Të argumentojnë mënyrën për të gjetur pikën e prerjes së dy vijave me ekuacione të dhëna. • Të gjejnë pikat e prerjes së drejtëzës me ekuacion të dhënë me boshtet koordinative. • Të vërtetojnë fjalitë për trajtat e ekuacionit të drejtëzës, kur jepen elemente gjeometrike përcaktues të saj. • Të gjejnë largesën midis dy drejtëzave paralele. • Të nxjerrin me vërtetim formulën për këndin midis dy drejtëzave me ekuacione të dhëna. • Të gjejnë në trekëndësh ekuacionet e lartësive, mesoreve, përmesoreve. • Të gjejnë, duke njohur ekuacionin e drejtëzës, vektorë paralelë apo pingulë me të. • Të gjejnë projeksionin e një pike mbi një drejtëz. • Të përdorin rregullat dhe vetitë për zgjidhjen e problemeve të thjeshta në situata matematikore e nga shkencat e përafërta.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të shkruajnë në trajtë vektoriale kushtin që pika M(x, y) të ndodhet në drejtëzën (M1M2). • Të përcaktojnë nëse katërkëndëshi ABCD, ku kulmet kanë koordinata të njohura është trapez, paralelogram, drejtkëndësh, romb, katror. • Të nxjerrin formulën për këndin midis dy drejtëzave të dhëna me ekuacione të përgjithshme. • Të nxjerrin formulën për largesën e një pike nga një drejtëz. • Të gjejnë ekuacionin e shëmbëllimit të një drejtëze gjatë zhvendosjes paralele, simetrisë qendrore a boshtore. • Të nxjerrin ekuacione drejtëzash të dhëna me veti të tjera gjeometrike (ekuidistantja, përgjysmorja e këndit). • Të zgjidhin problema matematikore a reale, në situata të reja për ta, duke përdorur njohuritë për ekuacionin e drejtëzës në plan.

KREU 2


• Të paraqesin relacionet midis bashkësive të fundme me tabelë, diagram shigjetor, graf, grafik, duke kaluar edhe nga një mënyrë e dhënies në një tjetër. • Të dallojnë nëse një relacion midis dy bashkësive të fundme është funksion. • Të gjejnë vlerën e y kur njihet vlera e x, për funksionet e studiuar teorikisht, direkt ose me makinë llogaritëse të thjeshtë. • Të dallojnë nëse një pikë e dhënë ndodhet në grafikun e ndonjërit nga funksionet e studiuara të dhënë me formulë. • Të dallojnë nëse një vijë e dhënë në planin xOy shërben si grafik funksioni numerik. • Të skicojnë grafikët e funksioneve të studiuar në R ose në segmente të R. • Të gjejnë, kur është dhënë grafiku i funksionit numerik në A:

a) bashkësinë e përcaktimit; b) bashkësinë e vlerave; c) vlerën më të madhe (më të vogël); ç) kufizueshmërinë; d) intervalet e monotonisë;e) ekstremumet.

14 / Matematika 11


• Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit për funksionet e dhëna me formula të trajtave:

( )( )

f xyg x

= ; ( )y f x= , [ ( )]ay og f x= l ,

ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë a trinome të fuqisë së dytë me koeficientë të plotë.

• Të skicojnë grafikë funksionesh të trajtave ( )( )

f x për x Ay

g x për x B∈

= ∈,

ku f(x), g(x) janë të trajtave ax+b, ax2, ax

.

• Të gjejnë vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2+bx+c. • Të krahasojnë me rrugë algjebrike a grafike dy funksione të dhënë me formulat:

y=ax+b, y=ax2, ayx

= .

• Të krahasojnë dy funksione të dhënë grafikisht. • Të shkruajnë formulën që jep shumën, prodhimin, raportin e dy funksioneve elementare të dhënë me formula. • Të dallojnë nëse një funksion i dhënë grafikisht është çift (tek) apo periodik në R. • Të gjykojnë për çiftësinë e funksioneve të studiuar teorikisht.

• Të skicojnë grafikun e funksionit Rxxy ∈= ,3 dhe të nxjerrin nga grafiku vetitë kryesore të tij. • Të skicojnë grafikët e funksioneve –f, |f|, y=f(x)+b, y=f(x-m), kur njihet grafiku i funksionit

y=f(x), ],[ bax ∈• Të gjejnë përbërjen fog , kur funksionet f, g jepen me tabela.

• Të gjejnë përbërjen fog kur f, g janë funksione të studiuar teorikisht, dhënë me formula.


• Të paraqesin në planin xOy grafin e një relacioni të dhënë me fjali, ekuacion a inekuacion me dy ndryshore • Të dallojnë varësinë e çfarëdoshme nga ajo funksionale në situata të thjeshta konkrete. • Të gjejnë vlerën e njërës nga ndryshoret x, y kur jepet tjetra, (duke diskutuar sipas vlerës së parametrit) në formulat:

, , y , , . • Të zgjidhin grafikisht inekuacionin , ku f është funksion i studiuar teorikisht, i dhënë me formulë. • Të riprodhojnë tabelat e variacionit për funksionet e studiuara teorikisht, të dhëna me formula. • Të gjejnë bashkësitë e përcaktimit të funksioneve të dhëna me formula, kur kjo çon në zgjidhjen e inekuacioneve të fuqisë së parë a të dytë apo të sistemeve të tyre. • Të nxjerrin formulën për funksionin kur njihet tipi i saj dhe elemente të mjaftueshme për përcaktimin e koeficientëve. • Të shpjegojnë me mjete algjebrike veti të funksioneve:

15


, , . • Të gjejnë pikëprerjen e grafikëve të funksioneve të njohur algjebrikë, të dhënë me formula. • Të studiojnë monotoninë e një funksioni të thjeshtë me anë të raportit

2 1

2 1

( ) ( )f x f xx x

−−

.

• Të ndërtojnë grafikët e funksioneve të thjeshtë të dhënë në trajtën y=( )( )

f x për x Ag x për x B

∈ ∈

, ku y=f(x), y=g(x) janë funksione të studiuar teorikisht. • Të studiojnë monotoninë e funksioneve të thjeshtë, duke i shkruar ata si shumë a prodhim dy funksionesh me monotoni të njëjtë. • Të tregojnë nëse një funksion është i kufizuar, duke e shkruar si shumë a prodhim dy funksionesh të kufizuar. • Të zbatojnë rregullin për gjetjen e vlerës më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2+bx+c në situata të thjeshta praktike. • Të zbatojnë njohuritë për krahasimin e funksioneve numerike në situata të thjeshta praktike. • Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të shumës, prodhimit, herësit të dy funksioneve të njohura, të dhënë me formula. • Të skicojnë grafikun e një funksioni çift (tek) kur është dhënë pjesa e tij për x>0. • Të skicojnë grafikun e një funksioni periodik kur është dhënë pjesa e tij në [0, T]. • Të vërtetojnë vetitë e funksionit y=x3. • Të vërtetojnë rregullat për marrjen e grafikëve të funksioneve –f, |f|, y=f(x)+b, y=f(x-m) prej grafikut të f. • Të kontrollojnë nëse ekziston fog, kur f, g janë funksione të studiuar teorikisht, të dhënë me formula. • Të modelojnë me anë të klasave të shqyrtuara të funksioneve përvoja të jetës së përditshme dhe situata të thjeshta nga lëndët e përafërta, duke dhënë zgjidhje të argumentuara.


• Të dallojnë varësinë e çfarëdoshme nga ajo funksionale në situata të reja për ta. • Të gjejnë vlerën e njërës ndryshore në një formulë, duke e thjeshtuar formulën me futjen e një ndryshoreje të re. • Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të një funksioni të dhënë me formulë, kur kjo çon në zgjidhje inekuacionesh të thjeshtë eksponencialë a logaritmikë.

• Të ndërtojnë grafikë funksionesh të dhënë në trajtën y=( )( )( )

f x për x Ag x për x Bh x për x C

∈ ∈ ∈

, ku f, g, h janë funksione të studiuar teorikisht.

• Të vërtetojnë nëse një funksion i dhënë me formulë të thjeshtë është i pakufizuar në A. • Të shqyrtojnë me argumentim periodicitetin e funksioneve të studiuar teorikisht. • Të gjejnë bashkësinë e vlerave për një funksion të thjeshtë të dhënë me formulë. • Të nxjerrin rregullin për të marrë nga grafiku i f, grafikun e funksionit y=f(|x|). • Të shqyrtojnë nëse grafiku i funksionit të dhënë me formulë të thjeshtë ka një qendër simetrie (bosht simetrie) të caktuar. • Të diskutojnë, sipas vlerave të parametrit m, sasinë dhe shenjën e rrënjëve të ekuacionit

16 / Matematika 11


f(x)=m, duke pasur të njohur grafikun e funksionit f. • Të zbatojnë përfundimet për vlerën më të madhe (më të vogël) të funksionit y=ax2+bx+c në situata praktike të reja, jo standarde. • Të shqyrtojnë ekzistencën e fog dhe ta japin atë, kur f, g jepen me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme të bashkësisë së përcaktimit. • Të modelojnë situata të reja dhe rezultate eksperimentesh për të bërë deduksione e parashikime.

Vërejtje Janë funksione teorikisht të studiuar:

y=ax+b, y=ax2+bx+c, ayx

= , y=ax,y=logax, y=sinx dhe y=cosx (për 02

x< < π ).

KREU 3

Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje:

• Të zbatojnë formulat për gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrikë të një këndi në [0o, 180o], kur jepen funksionet trigonometrikë të këndit shtues (plotësues) të tij. • Të përdorin tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrikë të këndit a për . • Të përdorin teoremën e kosinusit për gjetjen e brinjës së tretë të trekëndëshit, kur njihen dy brinjët e tjera dhe këndi ndërmjet tyre. • Të përdorin teoremën e sinusit për të gjetur R, kur jepen a,a. • Të gjejnë sipërfaqen e trekëndëshit, kur jepen dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre. • Të njehsojnë masën në gradë të këndit, kur jepet masa në radian e tij dhe anasjellas. • Të tregojnë kuadrantin ku mbaron harku trigonometrik , kur njihet vlera e tij x.

• Të japin formulën për kur njihet vlera a e njërit nga harqet me fillim A e me mbarim M. • Të përcaktojnë shenjën e sinx, cosx, tgx, kur njihet kuadranti ku mbaron x. • Të riprodhojnë tabelat e variacionit të sinx, cosx për x∈[0,2π]. • Të skicojnë grafikët e funksioneve y=sinx, y=cosx për x∈[0,2π]. • Të përdorin formulën themelore sin2x+cos2x=1, për të gjetur vlerat e funksioneve trigonometrikë të x kur njihet sinx (cosx). • Të vërtetojnë identitete shumë të thjeshta trigonometrike, duke kryer shndërrime në njërën anë. • Të gjejnë periodën e funksioneve y=sinkx, y=coskx. • Të fiksojnë në kujtesë rregullin mnemonik për , . • Të kryejnë reduktimin e një këndi në [0o, 90o]. • Të zgjidhin ekuacione trigonometrike elementare: sinx=a, cosx=b, tgx=c në R. • Të zgjidhin në R ekuacione trigonometrike shumë të thjeshta, që sillen në elementarë me shndërrime identike a të njëvlershme. • Të fiksojnë në kujtesë formulat për , e t’i përdorin ato për njehsime, vërtetime identitetesh e zgjidhje inekuacionesh në raste shumë të thjeshta. • Të nxjerrin formulat për sin2x, cos2x e t’i përdorin ato në raste shumë të thjeshta.

17


Niveli II Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë këndet e një trekëndëshi kur jepen brinjët e tij. • Të zbatojnë teoremën e sinusit (teoremën e kosinusit) për gjetjen e elementeve të panjohura të trekëndëshit, kur njihen disa prej tyre, në situata të thjeshta problemore. • Të gjejnë, duke zbatuar përkufizimin, me rrugë gjeometrike vlerat e sinx, cosx për disa kënde të veçantë (p.sh. 120o, 225o, 330o). • Të përdorin në raste të thjeshta veti të funksioneve y=sinx, y=cosx, y=tgx (periodicitetin, çiftësinë, kufizueshmërinë). • Të kryejnë studimin e variacionit të y=sinx, y=cosx, y=tgx për secilin kuadrant. • Të nxjerrin tabelën e variacionit për funksionin y=tgx dhe të skicojnë grafikun e tij për

,2 2

x ∈ − π π .

• Të nxjerrin me vërtetim formulat:

sin2x+cos2x=1, cos2x= 21

1 tg x+, sin2x=

2

21tg x

tg x+

=dhe t’i përdorin ato për gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrike të x, kur njihet njëra prej tyre. • Të vërtetojnë identitete të thjeshta trigonometrike, duke kryer shndërrime në të dyja anët. • Të përcaktojnë periodën dhe të skicojnë grafikun e një funksioni trigonometrik të trajtës

)( α+= kxfy . • Të përcaktojnë, për një lëvizje lëkundëse harmonike me ekuacion të njohur, amplitudën, periodën, frekuencën, pozicionin fillestar. • Në bazë të rregullit mnemonik për të kryejnë shndërrime identike shprehjesh trigonometrike. • Të zgjidhin në R, a në pjesë të saj ekuacione të thjeshta trigonometrike (përfshirë edhe ekuacione me ndryshore në emërues).

• Të vërtetojnë formulat për )sin( 21 xx ± , )cos( 21 xx ± e t’i përdorin për vërtetime identitetesh a zgjidhje ekuacionesh. • Të vërtetojnë formulat për .

• Të kryejnë shndërrime të trajtës xbxa cossin + = sin( )cos

a x + αα .

• Të vërtetojnë formulat për sin2x, cos2x, tg2x e t’i përdorin për shndërrime të thjeshta, vërtetime identitetesh e zgjidhje ekuacionesh. • Të nxjerrin formulat për ba sinsin ± , ba coscos ± e t’i përdorin për shndërrime të thjeshta, vërtetime identitetesh e zgjidhje ekuacionesh. • Të mbledhin dy lëvizje lëkundëse harmonike me të njëjtën periodë. • Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta në lëndët e përafërta dhe në jetën e përditshme.


• Të përdorin teoremën e sinusit, teoremën e kosinusit dhe shprehjet për sipërfaqen e trekëndëshit në situata të reja jo standarde. • Të nxjerrin nga teorema e sinusit dhe nga teorema e kosinusit teorema të reja (p.sh. teoremën

18 / Matematika 11


e anasjellë të Pitagorës). • Të vërtetojnë që perioda e funksioneve y=sinx, y=cosx është tamam 2π. • Të gjejnë bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshoreve në shprehje trigonometrike të thjeshta.

• Të zgjidhin inekuacione të thjeshta trigonometrike (si 1sin2

x > − ). • Të zgjidhin ekuacione trigonometrike jo standarde. • Të vërtetojnë identitete të kushtëzuara në trekëndësh (p.sh. atë për cosA+cosB+cosC, kur A+B+C=π). • Të japin, në raste të thjeshta bashkësinë e zgjidhjeve të ekuacioneve trigonometrike me një formulë të vetme. • Të gjejnë vlerën më të madhe dhe më të vogël të shprehjeve të trajtës asinx+bcosx; asin2x+bsinx+c. • Të tregojnë ndryshimet që pësojnë grafikët e funksioneve y=Asin(Bx+C), y=Acos(Bx+C) me ndryshimin e vlerave të parametrave A B, C. • Të përdorin njohuritë për modelimin e situatave të reja problemore me karakter periodik në jetën e përditshme dhe në lëndët e përafërta.

KREU 4

Niveli I Në mbarim të kreut nxënësit të jenë në gjendje:

• Të tregojnë aksiomat kryesore të gjeometrisë euklidiane në hapësirë. • Të përshkruajnë kuptimin e teoremës si implikim logjik i vërtetë për çdo element të mjedisit. • Të dallojnë në çdo teoremë mjedisin, kushtin, përfundimin. • Të japin formulimet e teoremave të thjeshta që shprehin vetitë kryesore të planit e drejtëzës në hapësirë. • Të përdorin në raste të thjeshta kundërshembullin. • Të japin saktë përkufizimin e dy drejtëzave paralele në hapësirë. • Të dallojnë në situata të thjeshta praktike segmente që ndodhen në drejtëza prerëse, paralele a të kithëta. • Të dallojnë tri rastet për pozitën reciproke të një drejtëze dhe të një plani në hapësirë. • Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta vetitë e drejtëzës paralele me planin. • Të dallojnë rastet për pozicionin reciprok të dy planeve në hapësirë. • Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta vetitë e planeve paralele. • Të dallojnë drejtëza pingule e të pjerrëta ndaj një plani. • Të përdorin në raste shumë të thjeshta teoremën mbi drejtëzën pingule me dy drejtëza prerëse të një plani. • Të zbatojnë në raste shumë të thjeshta teoremën e tri pinguleve e të anasjellën e saj. • Të ndërtojnë prerjen e drejtë të një dyfaqëshi nga një pikë e brinjës. • Të ndërtojnë këndin me kulm të caktuar, të barabartë me një kënd të dhënë. • Të gjejnë projeksionin e një drejtëze në një plan, duke projektuar dy pika të saj. • Të ndërtojnë planin pingul me një plan të dhënë, që kalon nga një pikë e dhënë. • Të gjejnë, në raste të thjeshta, largesën e një pike nga një plan, largesën e një drejtëze nga një plan paralel me të, largesën midis dy planeve paralele. • Të shfaqin në figurë këndin e një drejtëze nga një plan.

19



• Të japin saktë përkufizimet kryesore. • Të vërtetojnë teorema të thjeshta, duke kombinuar analizën me sintezën apo me metodën e vërtetimit nga e kundërta. • Të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella të teoremave kryesore të njohura. • Të bazojnë (argumentojnë) zgjidhjen e problemave me njehsim, duke përdorur teoremat kryesore të njohura. • Të zgjidhin problema të thjeshta me vërtetim, me ndihmë të paktë të shokëve a të mësuesit. • Të përcaktojnë sa plane mund të kalojnë nëpër dy drejtëza të dhëna. • Të zbatojnë teoremën mbi pingulen e të pjerrëtat ndaj planit në situata praktike komplekse. • E njëjta gjë, për teoremën e drejtë dhe të anasjellë të tri pinguleve. • Të ndërtojnë drejtëzën që kalon nga një pikë e dhënë, paralele me një plan të dhënë. • Të gjejnë këndin e një drejtëze me një plan në situata praktike komplekse. • Të gjejnë këndin midis dy planeve në situata praktike komplekse. • Të zbatojnë vetitë e planeve pingulë në situata praktike komplekse.


• Të zbatojnë teoremat në situata praktike jo standarde. • Të formulojnë në trajtë të njëvlershme disa nga teoremat kryesore, duke bërë vërtetimet përkatëse. • Të vërtetojnë me rrugë të reja disa nga teoremat e njohura. • Të formulojnë mohimin e një teoreme edhe kur në të ka një sasor. • Të zgjidhin problema gjeometrike me vërtetim në situata të reja për ta. • Të përcaktojnë sa plane kalojnë nëpër katër pika të dhëna. • Të përcaktojnë sa plane kalojnë nëpër tri drejtëza, ku dy janë paralele. • Të gjejnë bashkësinë e pikave që kanë largesë të njëjtë nga një plan i dhënë. • Të vërtetojnë që:

a) Largesa e pikës A nga plani P është min (AM) ku PM ∈ .

b) Largesa midis dy planeve paralele P1, P2 është min (M1M2), ku 11 PM ∈ ; 22 PM ∈ . • Të zbatojnë teoremën e drejtë e të anasjellë të tri pinguleve në situata praktike të reja, jo standarde. • Të gjejnë këndin e një drejtëze me një plan, këndin midis dy planeve në situata të reja, jo standarde.

KREU 5


• Të dallojnë në ambientin rrethues shumëfaqëshat; brinjët dhe faqet e tyre. • Të dallojnë midis shumëfaqëshave prizmin dhe piramidën. • Të dallojnë midis prizmave kuboidin. • Të përdorin vetitë e thjeshta të kuboidit, prizmit, piramidës, në zbatime direkte.

20 / Matematika 11


• Të njehsojnë sipërfaqen anësore të prizmit të drejtë, kur njohin veti të thjeshta të bazës dhe të lartësisë. • Të përdorin formulën për sipërfaqen anësore të piramidës së rregullt, kur njihen veti të thjeshta të bazës dhe apotema. • Të vërtetojnë formulën për vëllimin e kuboidit V=abc, ku a, b, c, janë numra të plotë. • Të njehsojnë vëllimin:

a) e kuboidit, kur njohin brinjët. b) e prizmit të drejtë, kur njohin veti të thjeshta të bazës dhe të lartësisë. c) e piramidës së rregullt trekëndore, katërkëndore, kur njihet brinja e bazës dhe lartësia.

• Të përshkruajnë në prizëm a në piramidë pozitën reciproke të dy brinjëve, të një brinje dhe të një faqeje, të dy faqeve. • Të dallojnë në ambientin rrethues trupa cilindrikë, konikë, sferikë dhe elementet përcaktuese të tyre. • Të zbatojnë, në raste direkte formulat për sipërfaqet anësore të cilindrit të drejtë rrethor, të konit të drejtë rrethor, të sferës. • Të shkruajnë e të përdorin lidhjen midis R, h, l në konin e drejtë rrethor. • Të njehsojnë në raste të thjeshta, duke përdorur formulat vëllimet e cilindrit të drejtë rrethor, konit të drejtë rrethor, rruzullit. • Të dallojnë pozitën reciproke të një plani dhe të një sfere; planin tangjent me sipërfaqen sferike. • Të njehsojnë madhësi në trupa që mund të ndahen dukshëm në trupa më të thjeshtë referencialë (prizëm, rruzulli). • Të zgjidhin problema të thjeshta me njehsim në situata praktike.


• Të bëjnë paraqitje tridimensionale të një objekti të thjeshtë hapësinor (prizëm, piramidë, cilindër, kon, sferë). • Të njohin vetitë e prerjeve kryesore referenciale në prizëm, piramidë, cilindër, kon, rruzull dhe t’i përdorin ato në zgjidhjen e problemave të thjeshta. • Të përdorin vetitë e pozitës reciproke të dy drejtëzave, të një drejtëze a një plani, të dy planeve për argumentime, gjatë zgjidhjes së problemave me njehsim sipërfaqesh a vëllimesh. • Të njehsojnë sipërfaqet e anshme dhe vëllimet e shumëfaqëshave dhe trupave të rrotullimit, në bazë të formulave, duke gjetur më parë elementet që figurojnë në to, në bazë të teoremave mbi marrëdhëniet metrike. • Të vërtetojnë vetitë e thjeshta të shumëfaqëshave dhe trupave të rrumbullakët. • Të vërtetojnë disa nga formulat që japin sipërfaqet anësore dhe vëllimet e shumëfaqëshave. • Të përdorin formulat për sipërfaqet anësore dhe vëllimet e shumëfaqëshave e trupave të rrumbullakët në situata praktike komplekse. • Të gjejnë vëllimet e trupave të kombinuar, duke i ndarë në pjesë më të thjeshta. • Të përcaktojnë nëse janë të mjaftueshme të dhënat për zgjidhjen e problemave për njehsim sipërfaqesh a vëllimesh. • Të zgjidhin problema të thjeshta njehsimi, duke përdorur simetrinë boshtore a qendrore të prizmit të rregullt, piramidës së rregullt, cilindrit a konit të drejtë rrethor, rruzullit. • Të përdorin gjatë arsyetimeve e njehsimeve prerjet boshtore a qendrore të trupave.

21



• Të paraqesin situata të thjeshta, por jo standarde, problemore me modele gjeometrike (duke bërë përllogaritjet dhe argumentimet gjatë modelimit) e t’i zgjidhin ato. • Të nxjerrin formula të reja për matjet indirekte (p.sh. kur njihen prerjet). • Të gjejnë vëllimin dhe sipërfaqen e prizmit të pjerrët trekëndor e të piramidës trekëndore çfarëdo (kur janë dhënë elemente kryesore të mjaftueshme). • Të njehsojnë madhësi në trupa, që mund të ndahen në trupa më të thjeshtë, me mënyra jo standarde. • Të zbulojnë veti të tilla si simetria në trupa kompleksë, që shqyrtohen për herë të parë. • Të nxjerrin me vërtetim veti të posaçme të tetraedrit të rregullt. • Të përdorin njohuritë trigonometrike për njehsimet e sipërfaqeve dhe vëllimeve të trupave. • Të shqyrtojnë cilindrin e drejtë rrethor, konin e drejtë rrethor dhe rruzullin, si trupa rrotullimi. • Të shqyrtojnë trungun e piramidës së rregullt dhe trungun e konit të drejtë rrethor, e të nxjerrin formulat për sipërfaqet dhe vëllimet e tyre. • Të shqyrtojnë cilindra të drejtë rrethorë e kone të drejtë rrethorë, të brendashkruar në rruzull.

KREU 6


• Të dallojnë qartë midis tyre shprehjet: “shumë afër”, “sa të duam afër”. • Të përdorin saktë shprehjet: “vlerat e f(x) bëhen sa të duam …, mjafton të merren vlera të x …”. •Të dallojnë nga grafiku nëse kemi lim ( )

xf x

→=

αβ ,

(ku a është +∞,-∞, 0,a, kurse b është + ∞,-∞0, l≠0). • Të skicojnë grafikë funksionesh që gëzojnë vetinë e mësipërme. • Të përdorin në zbatime direkte faktet e mëposhtme:

xn=+∞, n x = +∞ ,

1nx

=0, 1n x

=0,

xn=0; n x =0;

(x-a)n=0;

c=c; x=a (n∈N).

• Të përdorin në raste të thjeshta përkufizimet:

lim ( )x

f x→+∞

= −∞ ⇔ lim [ ( )]x

f x→+∞

− = +∞ dhe

f(x)= f(-x).

• Të gjejnë limitin kur x→+∞ (x→+∞ ) të një polinomi a funksioni racional thyesor konkret.

22 / Matematika 11


• Të dallojnë nga grafiku nëse një drejtëz është asimptotë horizontale (vertikale) e funksionit. • Të gjejnë asimptotat horizontale (vertikale) të funksionit homografik. • Të përdorin në raste të thjeshta (p.sh. për funksionet e trajtës y=c+(x-a)n) njëvlershmërinë

[ ]l=→

)(lim xfax

⇔ [ )( l−f është p.m.v. kur x→a].

• Të gjejnë limitin e një polinomi kur x→a. • Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të funksionit racional thyesor dhe limitin e tij në një pikë të bashkësisë së përcaktimit. • Të përdorin në raste të thjeshta teoremat themelore mbi limitin. • Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë të bashkësisë së përcaktimit. • Të kontrollojnë plotësimin e kushteve për teoremën mbi limitin e raportit. • Të përdorin në raste të thjeshta faktin që:

lim ( )x

f x→

= ∞ α⇒ 1lim 0

( )x f x→

= α .

• Të përcaktojnë në raste të thjeshta të dhëna, nëse kemi të bëjmë me formë të pacaktuar. • Të gjejnë limitin e raportit të dy trinomeve të fuqisë II, kur x→a, edhe kur kemi formë të

pacaktuar 00 .

• Të gjejnë limite të trajtës ax→

lim sin axtgbx

.

• Të gjejnë limite të trajtës 2

ax b

cx dx ex f

+

+ + +.


• Të formulojnë saktë përkufizimet. • Të vërtetojnë sipas përkufizimeve që:

nx = n x = +∞;

nx1

= 1

n x=0;

0lim→x

nx =0

lim→x

n x =0;

ax→lim (x-a)n=0;

ax→lim c=c;

ax→lim x=a.

• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit (+∞,-∞, 0,l) kur x shkon në +∞,-∞, 0, a. • Të gjejnë, në raste të thjeshta, f(x) duke bërë zëvendësim t=-x.

• Të vërtetojnë, në raste të thjeshta, që: f(x)= -∞, duke shqyrtuar [-f(x)].

23


• Të gjejnë me argumentim limitin e një polinomi (funksioni racional thyesor) kur x→+∞ dhe kur x→a. • Të formulojnë saktë teoremat kryesore. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës mbi limitin e shumës dhe të rrjedhimeve të teoremës mbi limitin e prodhimit. • Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë, pasi të kenë gjetur bashkësinë e tij të përcaktimit. • Të gjejnë asimptotat horizontale e vertikale për funksionet racionale thyesore. • Të gjejnë asimptotat horizontale e vertikale për funksionet kryesore të studiuara teorikisht. • Të kontrollojnë, në raste të thjeshta, nëse një funksion është p.m.m. me shenjë (+) (-) kur x→a. • Të vërtetojnë teoremat mbi vetitë e p.m.m. • Të përdorin, në raste të thjeshta mënyrat e njohura (pjesëtimi me x-a, zëvendësimi i ndryshores, shumëzimi me të konjuguarën) për gjetje limitesh funksionesh të thjeshta

racionale apo irracionale, kur kemi formën 00

. • Të vërtetojnë që:

0lim→x

sin kxx

=k; 0

lim→x 2

1 cos xx

− =21

e t’i përdorin ato për gjetje limitesh funksionesh trigonometrike të thjeshta kur x→0.

• Të gjejnë limite të formës ( 2ax bx c+ + - )2ex fx g+ + .


• Të vërtetojnë që (a>1); 1a

og x = −∞l .

• Të japin me vërtetim shembuj funksionesh për të cilët nuk ekziston f(x)=b (ku a është +∞, -∞, 0, a dhe b është +∞, -∞, 0, l≠0). • Të vërtetojnë teoremat që janë dhënë në tekst pa vërtetim. • Të zbatojnë teoremat mbi rregullat e kalimit në limit në situata komplekse të reja. • Të gjejnë asimptotat vertikale e horizontale të funksioneve të zakonshme të thjeshta.

• Të vërtetojnë që 0

lim→x

sin xx

=1.

• Të gjejnë limite funksionesh trigonometrikë me zëvendësimin x-a=t. • Për një funksion f me parametra, të diskutohet sipas vlerave të parametrave ekzistenca e

f(x) (a është gjithashtu parametër).

KREU 7


• Të gjejnë AXB kur A, B, janë bashkësi të mundme. • Të zbatojnë parimin e mbledhjes për situata të thjeshta. • Të zbatojnë parimin e shumëzimit për situata të thjeshta.

24 / Matematika 11


• Të njehsojnë n! për vlera konkrete të n. • Të japin përkufizimin e përkëmbimit, dispozicionit, kombinacionit. • Në situata të thjeshta konkrete, të kuptojnë kur kërkohet numri i sistemeve të radhitura të elementeve, që janë përkëmbime e ta njehsojnë atë, sipas formulës Pk=k!• E njëjta gjë për dispozicionet, duke përdorur formulën për Dn,k. • Në situata të thjeshta konkrete, të kuptojnë kur bëhet fjalë për grupe elementesh ku s’ka rëndësi radhitja (kombinacioni) e ta njehsojnë këtë numër duke përdorur formulën për Cn,k. • Të dallojnë ngjarjen e sigurt dhe ngjarjen e pamundur. • Të dallojnë dy ngjarje të papajtueshme në situata konkrete të thjeshta. • Në raste shumë të thjeshta (p.sh. një hedhje zari) të dallojnë numrin e rezultateve të barasmundshme të provës.

• Të gjejnë në raste të tilla probabilitetin e ngjarjes A, sipas formulës ( )( )( )

n AP An H

= . • Në situata shumë të thjeshta të përdorin metodën e pemës. • Të dallojnë, për ngjarje të thjeshta, prerjen e tyre dhe bashkimin e tyre. • Të gjejnë për dy ngjarje të papajtueshme P(A∪B). • T’u japin përgjigje pyetjeve të thjeshta për një informacion statistikor të dhënë. • Të gjejnë për ndryshoren e rastit diskrete mesataren aritmetike, shmangien mesatare katrore, dispersionin.


• Të formulojnë parimin e mbledhjes dhe të japin bazimin e tij nëpërmjet formulës n(A∪B)=n(A)+n(B) kur A∩B=Φ. • Të formulojnë parimin e shumëzimit, duke e bazuar atë nëpërmjet formulës n(AXB)=n(A)Xn(B). • Të zbatojnë parimin e shumëzimit në situata praktike komplekse. • Të zbatojnë vetinë n!=(n-1)!n. • Të gjejnë numrin e sistemeve të radhitur të elementeve, kur ato janë përkëmbime që gëzojnë një veti plotësuese apo dispozicione që gëzojnë një veti plotësuese. • Të gjejnë numrin e grupimeve të paradhitura të elementeve që gëzojnë një veti plotësuese. • Të vërtetojnë formulën për Dn,k. • Të nxjerrin me vërtetim formulën për Cn,k në një rast konkret (p.sh. të vërtetojnë formulën për C5,2). • Të gjejnë numrin e kombinacioneve në situata të thjeshta. • Të dallojnë ngjarjet e kundërta e të zbatojnë formulën .

• Të gjejnë P(A)= ( )( )

n An H

në situata të thjeshta, kur për gjetjen e n(A), n(H) duhen përdorur

arsyetime kombinatorike. • Të gjejnë P(A∪B) në raste të thjeshta ngjarjesh që nuk janë të papajtueshme, duke gjetur më parë P(A∩B). • T’u japin përgjigje pyetjeve që kërkojnë sistemim e përpunim paraprak të informacionit statistikor. • Të përdorin mënyra të shpejta për njehsimin e σ2 dhe të dispersionit.

25



• Të vërtetojnë barazimin n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B). • Të zbatojnë parimin e shumëzimit në situata të reja jo standarde. • Të vërtetojnë formulën Pn=n!. • Të gjejnë, në situata praktike, numrin e përkëmbimeve të një bashkësie, që gëzojnë disa kushte plotësuese. • Të gjejnë, në situata praktike, numrin e dispozicioneve që gëzojnë disa kushte të tjera plotësuese. • Të gjejnë, në situata praktike, numrin e kombinacioneve që gëzojnë disa kushte plotësuese. • Të nxjerrin formula të tjera nga formula për Dn,k. • Të vërtetojnë formulën për Cn,k në rastin e përgjithshëm. • Të nxjerrin formula të tjera nga formula për Cn,k.

• Të zbatojnë formulën P(A)=)()(

HnAn

në situata jo standarde.

• Të vërtetojnë formulën P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). • Të vërtetojnë formulën për P(A∪B∪C), kur ngjarjet janë dy nga dy të papajtueshme. • Të gjejnë P(A∪B) në situata reale jo standarde. • T’u japin përgjigje pyetjeve jo standarde për një informacion statistikor. • Të nxjerrin konkluzione për shpërhapjen e ndryshores së rastit diskrete, në bazë të studimit të dispersionit.

KREU 8


• Të dallojnë qartë kuptimet kapital, periodë, interes, normë interesi.

• Të njehsojnë, në raste të thjeshta praktike interesin e thjeshtë, sipas formulës I=100

k t r⋅ ⋅ .

• Të njehsojnë, në raste të thjeshta praktike, shumën e huasë, sipas formulës M= 1100t r⋅ −

.

• Të zbatojnë, në raste të thjeshta praktike, formulën për interesin e përzier In= 1 1100

nrk + − .

• Të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për interesin e kredisë bankare I=100 360

k r n⋅ ⋅⋅

, duke pasur një kuptim të saktë të ndryshoreve. • Të nxjerrin nga kjo formulë, sipas rastit, njërën nga ndryshoret në varësi të të tjerave.


• Të njehsojnë, në situata praktike, njërën nga ndryshoret në formulën e interesit të thjeshtë dhe huasë, kur njihen tri të tjerat.

26 / Matematika 11


• E njëjta gjë, për formulën për shumën e huasë.

• Të nxjerrin me arsyetim formulën për interesin e përzier In= 1 1100

nrk + −

.

• Të nxjerrin nga kjo formulë, në raste praktike njërën nga ndryshoret, kur njihen tri ndryshoret e tjera. • Të kuptojnë lidhjen midis interesit të thjeshtë dhe progresionit aritmetik; midis interesit të përzier e progresionit gjeometrik.

• Të përdorin formulën për interesin e kredisë bankare I=100 360

k r n⋅ ⋅⋅

në situata praktike të kombinuara.


• Të planifikojnë depozitimet dhe huatë, duke bërë zgjidhjen optimale për buxhetin e familjes së vet. • Të bëjnë parashikime për situatën financiare familjare.

PLANIFIKIMI I MËSIMIT

Plani mësimor ditor është një detajim i parapërgatitur i elementeve të mësimit ditor, të renditura sipas radhës në të cilën do të kryhen.Mësuesi që e nënvlerëson planin e mësimit dhe improvizon vazhdimisht është shumë i ekspozuar ndaj rrezikut për të zhvilluar mësime të cekëta, pa cilësi e rendiment.Një ditë mësimi e suksesshme nuk arrihet pa një plan të mirë. Nuk ka rëndësi formati që do të zgjidhet për hartimin e planit, por fakti që plani i mësimit të ketë një ndërtim logjik, të jetë i qartë e i lehtë për t’u zbatuar.Suksesi (e mos-suksesi) i një ore mësimi varet nga planifikimi i mirë (i keq) dhe nga aftësia (pa-aftësia) e mësuesit për realizimin e planit.Nganjëherë mësuesit me përvojë e nënvlerësojnë planin e mësimit. Por asnjë mësues nuk mund të përballojë mirë një orë mësimore pa menduar thellë që më parë se çfarë do të mësojnë nxënësit në orën e mësimit dhe si do ta mësojnë atë.Mësuesi detyrimisht duhet të dijë mirë se cilat janë objektivat e mësimit, cila është përmbajtja që do të trajtohet, cilat do të

jenë procedurat që do të ndiqen dhe si do të zbatohen ato.Ka mësues që mendojnë se janë më të suksesshme mësimet e pastrukturuara, të paplanifikuara. Ata besojnë se nxënësit e gjejnë rrugën e tyre drejt të mësuarit të vërtetë më mirë në situata të tilla. Kjo tezë është shumë e diskutueshme. Veçanërisht mësuesit e rinj, duhet t’u shmangen mendimeve të tilla, sepse mësimet të zhvilluara ashtu, shpesh përfundojnë në rastësi të padëshirueshme dhe herë-herë në kaos.Studiuesit sugjerojnë që edhe mësuesit me përvojë duhet t’i kushtojnë kujdes planeve të tyre mësimore, nëse duan të vazhdojnë të jenë të suksesshëm. Por ata mund të mos e shkruajnë planin e mësimit në mënyrë të hollësishme.Planifikimi i kujdesshëm siguron një familjarizim të mirë me përmbajtjen dhe i jep për këtë arsye mësuesit besim e siguri tek vetja. Duke e ditur mirë atë që po bën, ai ballafaqohet lirshëm me nxënësit, i jep mësimit strukturë, organizim e vijueshmëri, përdor në mënyrë racionale kohën.

27


Funksionet e planit të mësimitPlani i mësimit:

- ndihmon veprimin,- jep strukturën, organizimin e mësimit,- ndihmon të shfrytëzohet drejt koha sipas hapave dhe detyrave të parashikuara,- ndihmon mësuesin për të qartësuar tipin e të mësuarit e të nxënies për çdo mësim,- përqendron mësuesin në çështjet kryesore,- ndihmon mësuesin të përzgjedhë mirë mjetet mësimore,- e familjarizon mësuesin me përmbajtjen,- tregon përgatitje të mirë të mësuesit para nxënësve,- ndihmon për planifikimet e ardhshme (sidomos për zhvillimin e të njëjtit mësim me një grup tjetër nxënësish) nëpërmjet mbajtjes së shënimeve.

Elementet kryesore të planifikimit e përgatitjes së mësimit1. Përzgjedhja e objektivave mësimorëObjektivat mësimorë (të programit lëndor, të kreut, të mësimit) janë tri llojesh:

a) Për njohuritë (p.sh. “të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive të fundme”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar këto objektiva, janë: të gjejnë, të përshkruajnë, të njehsojnë, të tregojnë, të dallojnë etj.b) Për aftësitë (p.sh. “të zbatojnë njohuritë mbi njëvlershmërinë për të zgjidhur ekuacione që sillen në trajtën ax+b=0”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar, janë: të përdorin, të zbatojnë, të krahasojnë, të mbledhin informacion etj.c) Për qëndrimet (p.sh. “të vlerësojnë rolin e metodës për gjetjen e vlerave ekstremale të funksionit në praktikë”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të vlerësojnë, të diskutojnë, të debatojnë etj.

2. Përzgjedhja e përmbajtjes së mësimit3. Përzgjedhja e veprimtarive në mësim4. Përzgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve për mësim4. Parashikimi i mënyrës së drejtimit dhe të vlerësimit të nxënësve.

Etapat për të përgatitur një plan ditor mësimiI. Para se të ulet për të shkruar një plan ditor, mësuesi duhet të mendojë e të shënojë:

- qartësimin e qëllimit dhe të objektivave të mësimit;- zbulimin e vlerave kryesore të mësimit (për t’ia paraqitur klasës);- qartësimin e veprimtarive në orën e mësimit, duke veçuar veprimtarinë kulmore;- përzgjedhjen e metodave më të përshtatshme që do të përdoren;- përzgjedhjen e materialeve ilustruese më të përshtatshme që ka në dispozicion;- përzgjedhjen e teknikave më të mira të vlerësimit;- parashikimin e punës me grupe a individë të veçantë;- parashikime për lidhjen e mësimit me temat e tjera të lëndës ose me lëndët e tjera;- parashikimin e përdorimit të T.I.K.

II. Gjatë hartimit të planit të mësimit, mësuesi duhet të mbajë parasysh këto parime (pavarësisht nga formati i zgjedhur për planin):

- qëllimi është në përshtatje me objektivat lëndore dhe objektivat e kreut;- çdo objektiv mësimor synon një arritje të të nxënit;- mësimi i planifikuar të jetë i realizueshëm;

28 / Matematika 11


- veprimtaritë mësimore të mbështesin objektivat e vëna;- çdo veprimtarie i duhet lënë kohë e mjaftueshme.

Klasifikimi i mësimeveMësimet ndahen në dy lloje të mëdha:

- Me shtjellim të njohurive të reja;- Për përpunim të njohurive (këtu hyjnë mësimet për ushtrime, për punë laboratori, për përsëritje, për testime, për projekte kurrikulare etj.).

Shkurt për përsëritjenNëpërmjet mësimeve të përsëritjes mësuesi i ndihmon nxënësit të vendosin rregull në morinë e njohurive të sapo mësuara d.m.th. të nxjerrin në pah konceptet e metodat përshkuese të kapitullit dhe ato njohuri që duhet të nguliten fort në kujtesë.Ka rëndësi shumë të madhe metodologjia e përsëritjes. Disa mësues u parashtrojnë vetë nxënësve një përmbledhje të kreut, duke besuar se ata e bëjnë këtë më mirë se sa vetë nxënësit dhe në këtë mënyrë nxënësit përfitojnë më mirë. Të tjerë mësues përpiqen të stërvitin nxënësit që të përmbledhin ata vetë atë që kanë mësuar për disa orë mësimore; u japin detyrë të kalojnë “diagonalisht” faqet e tekstit, të mbajnë shënim gjërat themelore, të mbajnë shënim atë çka nxënësit nuk e kanë fort të qartë.Përsëritja e një kreu nuk ka qëllim vetëm një rimarrje përmbledhtas të tij. Ajo ka vlerë të madhe për të vërejtur lidhjet midis njohurive, për të qartësuar strukturën e kreut. Dihet që faktet mbahen mend më gjatë e konceptet rishqyrtohen më thellë duke i këqyrur ato në lidhjet e tyre të brendshme. Por, përsëritja

shkon më tej, sepse shqyrtimi i strukturës së brendshme të kreut është i mirë, por jo i mjaftueshëm.Dihet që njohuritë e reja të një kreu janë të lidhura me njohuritë e kreut paraardhës, me lëndën e zhvilluar në atë vit, me lëndën e zhvilluar në vitet e mëparshme, bile me lëndën e zhvilluar në vitet e tjera. Është kryesisht përsëritja ajo që e vendos çdo njohuri të re në mozaikun e njohurive të lëndës, të fushës kurrikulare dhe të kurrikulës në tërësi. Në mënyrë të gabuar disa mësues e shkurtojnë kohën e përsëritjes ose e kthejnë atë në një farë konsultimi para testimit për një apo disa kapituj.Përsëritja është përherë e domosdoshme, pasi vetëm nëpërmjet saj nxënësit:- nxjerrin në pah konceptet e faktet themelore,- përvijojnë strukturën e kreut (d.m.th. lidhjen midis koncepteve e fakteve themelore),- integrojnë njohuritë e fituara me njohuritë e mëparshme.Më poshtë do të flasim kryesisht për planifikim e mësimeve me shtjellim të njohurive të reja.

Përshtatja e veprimtarive me nevojat mësimorePas caktimit dhe përshkrimit të objektivave mësimore përcaktohen veprimtaritë mësimore, së bashku me mënyrën për organizimin dhe drejtimin e tyre.Për zgjedhjen e veprimtarive udhëhiqemi nga këto parime:

1. Mësuesi ta zgjedhë llojin e veprimtarisë në përputhje me objektivat. Këshillohet të mos mbështetet në një metodë të vetme, por në strategji e taktika që kombinojnë modelet, metodat e procedurat.2. Dallohen veprimtari hyrëse, veprimtari motivuese për të filluar mësimin, veprimtari zhvilluese për ta mbajtur mësimin në proces, veprimtari kulmor edhe veprimtari vlerësuese.Veprimtari të ndryshme mund të luajnë role të ndryshme në procesin e mësimit (disa

29


janë të mira për motivim, disa për sqarim, disa për zhvillimin e aftësive e disa janë multi-funksionale).3. Veprimtaritë në mësim duhet të zgjidhen në përshtatje me mundësitë e nxënësve, elasticitetin e tyre, stilin e të nxënit sepse nxënës të ndryshëm reagojnë në mënyra të ndryshme ndaj metodave të ndryshme.4. Veprimtaritë mësuesi t’i zgjedhë duke marrë në konsideratë edhe mundësitë e pëlqimet e tij.5. Për organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktorë të tillë si koha, hapësira, pajisjet, shëndeti dhe siguria.6. Strategjitë e taktikat e mësimdhënies, që mishërohen në veprimtaritë, të jenë të përshtatshme për çështjen dhe lëndën që mësohet.7. Secila veprimtari të synojë të paktën njërin nga objektivat e mësimi dhe për çdo objektiv të ketë të paktën një veprimtari që synon tek ai objektiv.

Veprimtaritë sipas strukturës E.R.R (Evokim; Realizim; Reflektim)

EvokimiNë këtë fazë të mësimdhënies nxënësit rikujtojnë çfarë dinë rreth temës. Është faza ku nxënësi motivohet për atë çfarë do të ndodhë më pas. Shërben si urë lidhëse e njohurive që ka nxënësi me njohuritë e reja që do të merren.

Realizimi i kuptimitNë këtë fazë merren njohuritë e reja. Mësuesi drejton dhe orienton drejt të nxënit. Të gjitha veprimtaritë kanë të bëjnë me të kuptuarit e njohurive të reja. Nxënësi vëzhgon, eksperimenton, diskuton, bën pyetje, shkëmben mendime etj.

ReflektimiËshtë faza ku nxënësi do të shprehë idetë, mendimet dhe përmbajtjen me fjalët e tij. Është faza ku njohuritë vihen në një kontekst të ri. Aktivitetet këtu kanë karakter krijues, analizues, përgjithësues, reflektues, vlerësues etj. Në këtë fazë konsolidohet informacioni i ri.

Formati i planit mësimitNë përgjithësi çdo plan ditor përbëhet nga katër blloqe:

- Objektivat- Metodologjia- Burimet e mësimdhënie-mësimnxënies- VlerësimiKëto blloqe mund të zbërthehen në disa formate

Modeli i propozuar nga Instituti i Zhvilimit të Arsimit (IZHA)1. Tema e orës së mësimit2. Objektivi përkatës i programit mësimor3. Objektivi (objektivat) e orës së mësimit4. Procedurat që do të ndiqen5. Vlerësimi6. Detyrat e shtëpisë7. Refleksione

30 / Matematika 11


Zbatimi i planit të mësimitRekomandohet përgjithësisht që të zbatohet me përpikmëri plani i hartuar i mësimit, duke shmangur improvizimet. Frymëzimet impulsive vërtet të mira janë shumë të rralla.Por plani është një mjet për të arritur një qëllim. Nëse diçka më e mirë lind gjatë zhvillimit të mësimit, mësuesi është i lirë ta përdorë atë.Ekzistojnë së paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkëputur nga plani i parapërgatitur.

1. Kur mësimi i planifikuar shkon keq dhe duhet bërë diçka për ta shpëtuar atë.2. Kur ka ndodhur (ose ndodh) diçka e rëndësishme para (ose gjatë mësimit).3. Kur vetë nxënësit e kërkojnë ndryshimin.

Mësuesi e sheh në fytyrat e nxënësve nëse mësimi po ndiqet e po kuptohet. Nëse kjo nuk ndodh, ai duhet të ndryshojë metodën, duke e thjeshtuar trajtimin.Disa herë të tjera nxënësit shtrojnë pyetje për çështje që ia vlen të ndiqen në detaje; në rrethana të tilla mësuesi mund të braktisë planin e parapërgatitur dhe të merret me problemin e pozuar.Herë të tjera, brenda ose jashtë klasës ndodhin ngjarje me rëndësi, që imponojnë heqjen dorë nga plani i parapërgatitur. Në rastin e një ngjarje me rëndësi kombëtare apo për shkollën, mund të ndërpritet zhvillimi i mësimit duke biseduar për të, ndonëse ajo mund të mos ketë lidhje të drejtpërdrejtëe me mësimin që zhvillohet. Për një ngjarje shumë emocionale, mund të lihen nxënësit të shprehen rreth saj për disa minuta në fillim të mësimit, që të shkarkojnë emocionet para se t’i përvishen punës.Kriteret mbi të cilat ju mund të bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planit, janë të thjeshta:

- çfarë do të ishte dobiprurëse për nxënësit,- çfarë do ta çonte përpara të mësuarit,- ç’domethënie ka ndryshimi për lëndën që zhvillohet?

MBI ORGANIZIMIN E PUNËS NË KLASË

Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe mekanizmat më të përshtatshme për organizimin e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të vetmin kusht: respektimin e programit dhe realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij të organizojë klasën për realizimin e aspekteve të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në klasën e vet.Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar (real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin e masës së nxënësve. Hetimi i situatës së parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë. Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të

sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës). Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe argumentimet e tyre për detyrat e vëna dhe për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin ai duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime ose gabime.Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhet të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje. Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të punës së përbashkët d.m.th të punës me grup.Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i tyre me zakonin që të mos nguten, të mos

31


përgjigjen përciptas, të ndalen kur nuk kuptojnë. Mësuesi nuk duhet të ngutet të korrigjojë e t’i presë fjalën nxënësit që gabon; pa mohuar rëndësinë e përgjigjes së saktë, e rëndësishme është të evidentohet se si ka menduar nxënësi për të dhënë përgjigjen, prandaj mësuesi duhet të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për nxënësin që gabon.Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasysh që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër sesa mund të mbajë, të mos detyrohet që të kopjojë.Rekomandohet që parashtrimi i materialit mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull ose një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej nëpërmjet shembujsh (a kundërshembujsh) dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhura). Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit të saj, në trajtën e një përfundimi përgjithësues, në lëndë si matematika, kalohet në vërtetimin e tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshme rigoroziteti në profile të ndryshme). Më tej kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh se për zotërimin e koncepteve dhe të metodave lëndore ka rëndësi të madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë qëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës së

pavarur a në grup të nxënësve, një rol qendror luan zgjedhja e çështjeve dhe problemeve që u parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh.:

a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që kërkohet të zhvillohen tek nxënësit?b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për një nxënës të klasës së shqyrtuar?c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet e njohurive për t’i zgjidhur?d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje të metodës?

Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë dendur veprimtari të ndryshme, si krahasimi (për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato të veçantat), klasifikimi dhe modelimi si forma të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të larmishme lëndore, situata e modele të botës përreth si p.sh. nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në lidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësit jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të ardhshme të nxënësve.

PUNA MBI PROJEKTET KURRIKULARE

Projekti kurrikular është një përpjekje për t’i dhënë zgjidhje një situate për të cilën nxënësit nuk kanë një përgjigje të gatshme dhe për të cilën duhet të rrëmojnë në njohuritë e nxëna shkollore e më tej.Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht në sistemimin e informacioneve të qëmtuara në tekstin shkollor e në burime të tjera; ai përmban edhe punë origjinale, ku shfaqet qëndrimi vetjak i nxënësit. Sensi i një projekti kurrikular është zbatimi i informacioneve, por niveli më i lartë i zbatimit është nxitja ose

arritja e ndryshimeve përmirësuese.Projekti kurrikular mund të jetë të paktën tri llojesh:Njëri lloj i takon planit të shkollës. Secili nxënës gjatë tri viteve të gjimnazit duhet të marrë pjesë në projekte të tilla në të paktën 36 orë mësimore.Dy llojet e tjera të projektit kurrikular i takojnë planit mësimor të mësuesit dhe llogariten në ngarkesën totale të tij në orë mësimore.Projekti kurrikular mund të jetë thjesht lëndor ose të përfshijë më tepër se një lëndë; ai mund

32 / Matematika 11


t’i përkasë një fushe të nxëni ose të shtrihet në disa fusha.Projekti kurrikular mund të zgjasë disa ditë, javë ose muaj, por mbyllet kryesisht brenda një viti shkollor. Projekti kurrikular mund të merret përsipër nga një ose disa mësues.Mësuesi mund të zgjedhë projektin kurrikular si një metodë pune për të shtjelluar njohuritë e reja ose për përpunimin e njohurive.Tema e një projekti kurrikular përzgjidhet nëpërmjet bashkëpunimit të mësuesve me nxënësit. Mirë është që të ketë propozime nga nxënësit për këtë përzgjedhje, por mësuesi duhet të ketë një fond temash, ndër të cilat u lihet nxënësve të përzgjedhin. Në përzgjedhjen e temave është mirë që të përfshihen edhe prindërit.

Në projektin kurrikular mësuesi është në rolin e lehtësuesit të veprimtarisë së nxënësve. Ai nuk duhet të jetë anëtar a kryetar i grupit të nxënësve. Ai nuk duhet t’u diktojë nxënësve se çfarë të bëjnë, as t’u japë atyre informacione e përgjigje të gatshme.Nxënësve duhet t’u bëhet e qartë se përgjegjësia për suksesin e projektit kurrikularu takon atyre, por mësuesi do t’u qëndrojë pranë për çfarëdo pyetje a shqetësim.Asistenca e mësuesit gjatë viteve të shkollimit në këtë veprimtari shkon sipas një kurbe zbritëse.Mësuesi duhet që vazhdimisht t’i inkurajojë nxënësit gjatë punës së tyre, të vërë në dukje anët pozitive që vëren.

Nga mësuesi, për realizimin e projektit kurrikular, kërkohet që:- Të planifikojë dhe të realizojë orët mësimore të projektit kurrikular.- Të lehtësojë nxënësit në menaxhimin e projektit.- Të vëzhgojë mirëkryerjen nga nxënësit të veprimtarive të planifikuara.- Të vlerësojë nxënësit.

Hartimi i një projekti kurrikular nga mësuesiFormati tip për një plan të tillë ka këto zëra:

- Titulli i projektit- Objektivat e projektit- Lista e njohurive kryesore lëndore që do të përvetësohen a rimerren- Kontributi i çdo mësuesi bashkëpunues, me orët mësimore përkatëse- Partnerët në projekt (prindër, OJF etj.)- Numri i nxënësve ose i klasave që përfshihen në projekt- Përshkrimi përmbledhës i veprimtarive kryesore (me hapat kryesore, afatet e personat përgjegjës)- Burimet kryesore të informacionit- Përshkrimi i produktit të projektit- Tematika e secilës orë mësimore në kuadrin e projektit- Mënyra e vlerësimit të nxënësveNë ditarin e mësuesit shënohet çdo orë mësimore që i takon një projekti kurrikularNjë nga synimet kryesore të projektit kurrikular është stërvitja e nxënësve për kërkimin e informacioneve nga burime të tjera sa më të larmishme (internet, kabinet i TIK, bibliotekë shkolle, qyteti, familjare, media e shkruar a vizive). Një rëndësi të posaçme kanë edhe informacionet e gjalla-bisedat.Secili nxënës i përfshirë në projekt plotëson dora-dorës portofolin e projektit; ai duhet ta ketë të qartë qysh në fillim se do të vlerësohet dhe i duhen bërë të njohura kriteret e vlerësimit.

33


Vlerësimi i nxënësve në projektin kurrikularBëhet duke pasur parasysh këto elemente:

- plani i paraqitur- zbatimi i planit- menaxhimi i informacionit- etika e punës në grup- kontributi në raportin përfundimtar- prezantimi i punë së kryerMënyra më e mirë e vlerësimit është ajo që kombinon vlerësimin e punës së grupit (notë me peshën 50%) me atë të nxënësit si individ (notë me peshën 50%).Nota që merr nxënësi si individ vendoset në bazë të vëzhgimeve të mësuesit dhe të portofolit të nxënësit.

Projektet kurrikulare si pjesë e përpunimit të njohuriveProjektet kurrikulare mund të përdoren për përsëritjen (e integruar) të njohurive të një ose disa kapitujve. Por, në projektin kurrikular nuk ka objektiva për përvetësimin e njohurive të reja; në të ka objektiva vetëm për përforcimin e njohurive të mësuara më parë.Kombinimi i njohurive të disa kapitujve për të zgjidhur një situatë problemore, transferimi i njohurive të një lënde për të zgjidhur probleme

të një lënde tjetër e sidomos në situata reale, i stërvit nxënësit të kuptojnë më thellë konceptet e metodat kryesore të lëndës.Mund të ndodhë që nxënësit, në procesin e kërkimit të informacioneve, të hasen edhe me njohuri që nuk i kanë hasur më parë. Por, atyre nuk duhet t’u kërkohet të mbajnë mend njohuri që nuk përmbahen në program dhe sidomos nuk duhet të vlerësohen me notë për to.

Projekti kurrikular në planin mësimor vjetor të mësuesitProjekti kurrikular shënohet në këtë plan po ashtu si edhe kapitujt lëndorë. Por, mësuesi nuk është i detyruar t’i paracaktojë të gjitha temat e projektit kurrikular, qysh në fillim të vitit shkollor.Të gjitha orët mësimore që janë parashikuar për projekte kurrikulare zhvillohen sikurse orët e tjera lëndore, d.m.th. me të gjithë klasën, në praninë e mësuesit.Disa orë janë të përbashkëta për secilin projekt kurrikular. Të tilla janë orët për:

- të lehtësuar nxënësit në përzgjedhjen e temës (temave);- të këshilluar nxënësit gjatë zhvillimit të punës me projektin;- prezantim nga nxënësit të gjetjeve të ndërmjetme të projektit;- përgatitje për përfundimin e projektit.

Një pjesë të mirë të kohës për punën me projektin, nxënësit e harxhojnë në klasë, ku shtrojnë pyetje për mësuesin etj.Orët brenda në klasë shënohen në regjistër nga secili mësues, krahas orëve të tjera të lëndës.

Shembull projekti kurrikularLënda: Matematikë, Klasa XITitulli: Veçimi i një shkronje në një formulëSasia e orëve të planifikuara në planin mësimor: 5Koha: 1 muaj e gjysmë (1 Mars - 15 Prill)Objektivat:

1. Të gjithë nxënësit e klasës të jenë të aftë të veçojnë sipas kërkesës njërën nga shkronjat (ndryshore reale) në formulat e trajtës y=ax+b;y=(a+b)x+c;y= ; y=ax2; y=ax3; në

34 / Matematika 11


situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore ose në situata jetësore, direkt apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë.

2. Të gjithë nxënësit të gjejnë vlerën e y kur njihet x në formulat y=sinx;y=cosx ( 02

x< < π ); y=ax; y=logax(a>1), duke përdorur makinën llogaritëse shkencore.3. 90% e nxënësve të klasës të jenë të aftë të veçojnë njërën nga shkronjat (ndryshore racionale) sipas kërkesës në formulat e trajtës

2 2 2; ( ) ;y ax n y a x m n y ax bx c= + = − + = + + në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore ose situata jetësore.4. 70% e nxënësve të klasës gjejnë vlerën e ndryshores x;y kur njihet tjetra (duke diskutuar për mundësinë e kryerjes së këtij procesi sipas vlerës së parametrit) në formulat y=asinx;y=acosx;

; logxay ca y d x= = .

5. 50% e nxënësve të klasës gjejnë vlerën e njërës ndryshore kur njihet tjetra në formulën y=asinx+bcosx.

Njohuritë kryesore lëndore që do të përdoren1. Njëvlershmëria e ekuacioneve me një ndryshore.2. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore.3. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore.4. Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale e logaritmikë5. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike elementare.6. Njohuritë e marra në klasat e mëparshme lidhur me veçimin e një shkronje në një formulë.

Kontributet e mësuesve bashkëpunues1. Mësuesi i fizikës (2 orë)

- Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 10,11- Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje në një formulë.

2. Mësuesi i kimisë dhe i biologjisë (2 orë)- Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 10,11- Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje në një formulë.

Partnerë në projektPrindërit e nxënësve të shkollës me profesione të tilla, si: inxhinierë, teknikë, ekonomistë etj.Numri i nxënësve të përfshirë në projekt: Të gjithë nxënësit e klasës.

Veprimtaritë kryesore Nr Veprimtaria Afati Përgjegjësi

1 Hartimi i një liste paraprake formulash të njohura (nga të gjitha fushat) Java I Mësuesit

2 Hartimi i një liste paraprake burimesh informacioni (të të gjitha llojeve) Java I Mësuesi me

nxënësit

3 Përcaktimi i detyrës konkrete për secilin nxënës Java I Mësuesi

35


4 Përdorimi nga nxënësit i literaturës mësimore të rekomanduar Java II Secili nxënës

5 Takime për hapje horizonti me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore Java II Mësuesit

6 Kërkim në burime të tjera informacioni Java III Secili nxënës

7 Fillim i plotësimit të portofolit me gjetjet kryesore Java III Secili nxënës

8 Diskutim në klasë i gjetjeve kryesore, me evidentimin e mangësive dhe të rrugëve për plotësim Java III Mësuesi dhe

nxënësit

9 Hartimi i draftit përfundimtar individual nga secili nxënës Java IV Secili nxënës

10 Puna për hartimin e draftit përfundimtar përmbledhës me gjetjet kryesore Java V Mësuesi me

nxënësit

11 Dorëzimi produktit përfundimtar (raportit) si edhe i portofoleve të secilit nxënës Java VI Nxënësit

12 Prezantimi i raportit Java VI2-3 nxënës të përzgjedhur nga klasa

Burimet kryesore të informacionit1. Tekstet mësimore të matematikës (për klasat 9,10,11).2. Tekstet mësimore të lëndëve tekniko-shkencore (për klasat 9,10,11).3. Biseda me specialistë të profileve të ndryshme tekniko-shkencore dhe ekonomike.4. Vëzhgime të dukurive natyrore, teknike e sociale5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj)6. Përdorim CD të posaçme7. Biseda me prindër për probleme jetësore (buxheti i familjes, depozitat, huatë, kreditë etj.).

Produkti i pritshëm i projektitRaport i argumentuar ku të përshkruhen formulat kryesore me të cilat nxënësit e kësaj moshe hasen në këtë fazë të përvojës së tyre mësimore e jetësore, së bashku me rrugët optimale për të shprehur në këto formula njërën nga ndryshoret në varësi të tjetrës.

Tematika e orëve të planifikuara në planin mësimor1. Ndarja e detyrave për secilin nxënës, së bashku me literaturën e rekomanduar mësimore.2. Realizimi i bisedave me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore3. Diskutimi në klasë i rezultateve kryesore paraprake të arritura nga nxënësit4. Përzgjedhja e rezultateve kryesore për raportin përfundimtar.5. Prezantimi i raportit

Mënyra e vlerësimit të nxënësveBëhet sipas kritereve të pranuara e të shpallura, duke nxjerrë notën e nxënësit sipas formulës

ku nk është nota e klasës si grup ni është nota e nxënësit si individ

36 / Matematika 11


MBI VLERËSIMIN FORMUES NË MATEMATIKË NË KLASËN XI

Tri llojet më të përdorshme të vlerësimit në klasë (pa përfshirë vlerësimin me qëllim klasifikimi a vendosje) janë:• Vlerësimi diagnostikues, që synon të zbulojë shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore të problemeve që kanë nxënësit, në mënyrë që të përcaktohen teknikat korrigjuese.• Vlerësimi formues, i cili mbikëqyr përparimin gjatë procesit të të nxënit, siguron një feed-back për të lehtësuar nxënësit dhe për të korrigjuar gabimet.• Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet në përfundim të kreut, të vitit a të ciklit për të vendosur notat dhe për të bërë çertifikimin. Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret për të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose të procesit mësimor.Vlerësimi formues është vlerësimi i përditshëm dhe i vazhdueshëm që u bëhet nxënësve (e që shprehet me notë) për pyetjet, kërkesat e detyrat që u jepen në klasë, për detyrat e shtëpisë, për përgjigjet, për testet kohëshkurtër etj. Ai ka për qëllim kryesor përmirësimin e cilësisë së të mësuarit dhe jo thjesht kontrollin ose diferencimin e nxënësve. Ky vlerësim duhet përdorur për feed-back gjatë procesit të mësimdhënies e të nxënies, sepse gjatë këtij lloj vlerësimi mësuesi nxjerr në pah dhe ndreq në mënyrë të shpejtë dobësitë dhe të metat e nxënësve. Përdorimi i këtij vlerësimi diktohet edhe nga fakti që, siç pranohet gjerësisht, ora e mësimit nuk është e motivuar dhe shpesh herë bëhet e pakëndshme, kur nuk përdoret vlerësimi formues, por pritet të mbarojë kreu dhe pastaj të bëhet vlerësimi (qoftë edhe me teste) i nxënësve.Gjatë vlerësimit formues, duke përdorur në mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit mund e duhet të marrin informacion për atë që nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Duke u mbështetur në rezultatet e vlerësimit formues, mësuesit duhet t’i këshillojnë nxënësit se si të

përmirësojnë të nxënit.Format më të përdorshme të vlerësimit formues në matematikë, në gjimnaz janë:

- vlerësimi me notë për pyetjet në tabelë,- vlerësimi për aktivizim në klasë, gjatë zbatimit të materialit të kaluar dhe parashtrimit të materialit të ri,- vlerësim për aktivizimin me punën në grupe,vlerësim me teste kohëshkurtër për përvetësimin e një teme të caktuar,- vlerësim për kryerjen e detyrave të shtëpisë.- Vlerësimi formues nuk këshillohet të bëhet me të njëjtën teknikë vlerësimi, sepse nxënësit familjarizohen me të dhe i përgatisin përgjigjet pa i kuptuar çështjet.

Mendojmë se është e dobishme praktika e të mësuarit të nxënësve të teknikave për vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit në klasë dhe të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit gjithashtu të fitojnë shprehi për të menduarit dhe për të vlerësuarit vetjak.Në lëndën e matematikës në gjimnaz konceptet synohet të formohen nëpërmjet trajtimit të situatave problemore. Itinerari i zotërimit të njohurive është menduar të jetë spiral dhe jo linear; ato mendohen të përvetësohen jo me paraqitjen e tyre të parë dhe as me përsëritje të thjeshtë, por pas plotësimeve dhe thellimeve nëpërmjet rimarrjes aktive.Gjatë vlerësimit formues duhet mbajtur parasysh se aktiviteti matematik i nxënësve në secilin profil përfshin observimin (vëzhgimin), abstragimin, eksperimentimin dhe vërtetimin.Parashtrimi i përmbajtjes së re si rregull duhet të artikulohet me studimin e situatave të larmishme, që shërbejnë si motivim, si çështje që kërkojnë zgjidhje apo si mbështetje e zbatim i këtij parashtrimi dhe nxënësi duhet të vlerësohet, në mënyrë të vazhdueshme për sasinë dhe cilësinë e aktivizimit të tij në këto aspekte (të paktën një herë në 6-7 orë mësimi).

37


Gjatë vlerësimit formues kujdes duhet t’i kushtohet përvetësimit të koncepteve dhe metodave kryesore të lëndës, si bazë e formimit matematik të nxënësve. Në këtë kuadër, gjatë vlerësimit formues duhet të mbajmë parasysh se nuk ka rëndësi riprodhimi i vërtetimit të një teoreme dhe zbatimi mekanik i saj në një situatë standarde, nëse nxënësi nuk ka të qartë thelbin e saj dhe nuk është i aftësuar për ta zbatuar atë në situata të larmishme, qoftë edhe të thjeshta. Si rregull, në çdo orë mësimi kryhen ushtrime (në radhë të parë zbatime të thjeshta) për të kuptuar thelbin e koncepteve dhe metodave matematike dhe si modele të punës së pavarur në shtëpi. Puna e pavarur me ushtrimet dhe zbatimet në klasë duhet të zërë jo më pak se 40% të kohës së mësimit. Gjatë shtjellimit të materialit mësimor mësuesi duhet të krijojë situata problemore të strukturuara për të vënë në lëvizje mendimin e pavarur të nxënësit. Strukturimi i pyetjeve të shtruara klasës, bën që secili nxënës të angazhohet në punë të pavarur, sipas mundësive të veta, me një kohë të mjaftueshme për të përvetësuar përmbajtjen deri në një nivel të caktuar arritjeje, për të cilin ai mund të vlerësohet edhe në vend.Konceptimi i lëndës dhe mënyra e realizimit të saj duhet të thyejë kornizat tradicionale të orës së mësimit. Trajtimi i materialit të ri mësimor jo rrallë duhet të bëhet me tekst përpara, sepse nxënësit duhet të plotësojnë në të kërkesat që janë lënë qëllimisht pa u plotësuar, të zgjidhin ushtrimet apo të analizojnë shembujt.Në shumicën e temave, ora e mësimit duhet të përbëjë një sintezë të dhënies e të kontrollit të njohurive, të vlerësimit të dijeve e shkathtësive (shprehive) dhe vlerave tek nxënësit. Në këtë këndvështrim format tradicionale të kontrollit e të vlerësimit të nxënësve, që janë mbështetur në riprodhimin gojor të materialit mësimor, të

lidhur me binomin mësues-nxënës (në tabelë) dhe me një numër të vogël nxënësish të vlerësuar janë të papranueshme.Kontrolli dhe vlerësimi formues i nxënësve duhet të jetë i larmishëm, i lidhur më tepër me veprimtarinë matematike të nxënësve në klasë, jo i mbështetur kryesisht në riprodhimin gojor të materialit mësimor, jo i kufizuar në një interval kohor të caktuar. Ai përfytyrohet i shkrirë me veprimtarinë matematike të nxënësve, duke siguruar pjesëmarrje të plotë të tyre në punë. Mësuesi duhet të jetë vazhdimisht në kontakt me punën e nxënësve në bankë gjatë gjithë orës së mësimit. Ai duhet të vrojtojë e të vlerësojë jo vetëm çka di nxënësi, por si e mëson, si vepron për ta zbatuar, si nxjerr përfundime etj. Në këtë mënyrë, gjatë këtij lloj vlerësimi, nxënësi është më i çliruar nga emocionet dhe nga ana tjetër krijohen mundësi më të mëdha për kontakte e ndihmë të diferencuar tek nxënësit.Natyrisht, format e larmishme të kontrollit të shtrirë në trajtimin e materialit të ri (dhe vlerësimi përkatës) nuk përjashtojnë vlerësimin e nxënësit të ngritur në tabelë ose vlerësimin masiv të pjesshëm (me teste të shkurtra).Nxënësi duhet të regjistrojë në kujtesë një sërë faktesh të rëndësishme matematike. Por kjo nuk do të thotë që në të mësuarit e matematikës kujtesa e tij të ngarkohet tej mase me rregulla e formula të ndryshme, kur këto mund të gjenden nga manualet, tabelat dhe tekstet. Prandaj vlerësimi nuk duhet të bazohet në kujtesën mekanike; të mbahet parasysh se aftësimi i nxënësve për të kërkuar në këto materiale ndihmëse, formulat dhe faktet që nevojiten për zgjidhjen e ushtrimeve ose për vërtetimin e pohimeve të ndryshme, veçanërisht kur ato i përkasin temave të zhvilluara më parë, pasqyron shkallën e formimit matematik të tij dhe duhet vlerësuar.

PROCEDURA E VLERËSIMIT

Sistemi i vlerësimit që rekomandohet të zbatohet në gjimnaz është krahasimi me standardet e vendosura.

38 / Matematika 11


Një nga problemet më të shpeshta dhe më të ndërlikuara me të cilat ndeshen aktualisht dhe do të ndeshen deri në një të ardhme të afërt mësuesit në gjimnaz është gjykimi i statusit dhe i përparimit të nxënësit në intervale të ndryshme kohe, vënia e notave. Është e qartë që vlerësimi duhet të ndjekë qëllimet arsimore, objektivat mësimore, objektivat e vlerësimit. Vlerësimi duhet të mbështetet mbi një sasi të mjaftueshme të dhënash në të cilat duhet të përfshihen edhe këto elemente:

- vlerësimi me notë për përgjigjet në tabelë- vlerësimi i aktivizimit nga vendi- vlerësimi i ndihmesës gjatë punës në grup- testet në fund të kapitullit

- testet në fund të semestrit- testet në fund të vitit- provimet vjetore- provimi i pjekurisë

Vlerësimi me notëSiç dihet, nota përdoret për të paraqitur rezultatin e arritjeve dhe të përparimit akademik të nxënësit. Ajo ka për qëllim të dëshmojë për arritjet e nxënësit, për të drejtuar te nxënësit e tij, për të drejtuar zhvillimin vetjak të nxënësit deri në diplomimin e tij, për të informuar prindërit për nivelin e përparimit të fëmijëve të tyre etj. Për këto arsye mendojmë që vlerësimi me notë është i domosdoshëm në gjimnaz.Nota nuk duhet vendosur si rezultante e arritjeve akademike dhe sjelljeve disiplinore të nxënësit, por vetëm e arritjeve akademike. Ajo duhet bazuar në standarde të caktuara dhe në burime të shumta.

Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktivizimin në klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dhe aktivizimin në klasë shërben listë-kontrolli.

Vlerësimi me notë mund të përdoret edhe për të matur punën në grup dhe aktivizimin në klasë gjatë trajtimit të materialit mësimor. Për të bërë vlerësimin e punës në grup dhe aktivizimin në klasë shërben vetëkontrolli.

Vlerësimi i punës në grup duhet të mbajë parasysh këto elemente:

- ndarja e informacionit me të tjerët;- ndihmesa në ide;- ndjekja e udhëzimeve;- shfaqja e iniciativës gjatë zgjidhjes së problemeve në grup;- dhënia e vlerësimeve për pikëpamjet e të tjerëve.

Vlerësimi i përgjigjeve me gojë të nxënësve ka qenë dhe mbetet një sfidë për mësuesin. Për të vlerësuar përgjigjen për një pyetje të strukturuar duhet të mbahen parasysh të gjitha kërkesat në të cilat është ndarë ajo dhe peshën e secilës kërkesë. Në hapin e mëtejshëm vlerësohet realizimi i secilës kërkesë, duke përdorur metodën analitike dhe duke u bazuar në një përgjigje ideale të parapërgatitur (e cila gjithashtu strukturohet sipas kërkesave të pyetjes, duke parashikuar pikët e plota të mundshme për secilën kërkesë). Gjatë vlerësimit, elementet e të shkruarit duhen vlerësuar jo të ndara nga përmbajtja.

Nxjerrja e notës përfundimtare. Jemi të mendimit se nota përfundimtare për një semestër në matematikë duhet të bëhet duke marrë parasysh vlerësimet për pyetjet në tabelë, testet, vlerësimin për punën në klasë, vlerësimin për punën me detyrat e shtëpisë, por me pesha të

39


ndryshme. Konkretisht propozojmë këtë skemë:

Vlerësimi për pyetjet në tabelë 20%Testet 50%Vlerësimi i punës në klasë 20%Vlerësimi për detyrat e shtëpisë 10%.

Teknika dhe instrumente të matjes gjatë vlerësimit formuesJo gjithçka që nxënësit nxënë gjatë viteve të gjimnazit në matematikë, mund të matet me anë të testeve me shkrim. Kështu, gjatë vlerësimit formues, përgjigja e nxënësit në tabelë, aktivizimi nga vendi, ndihmesa gjatë punës me grup nuk mund të matet me anë të testeve me shkrim, por me teknika dhe instrumente të tjera.

Vrojtimi i drejtpërdrejtë është një teknikë e përshtatshme, që përdoret në të gjitha nivelet e shkollimit, pra edhe në shkollën e mesme, sidomos për të vlerësuar aktivizimin nga vendi dhe ndihmesën gjatë punës me grup. Ai ka si anë të mirë që siguron një kontroll për përparimin e përditshëm të nxënësit, siguron të dhëna pa cënuar kohën mësimore. Ka si kufizim faktin që është i vështirë të planifikohet, ka besueshmëri të diskutueshme të dhënash (këto më shpesh janë cilësore ose përshkruese) dhe nuk shmang dot plotësisht të gjykuarit subjektiv.

Buletini i pjesëmarrjes është një instrument që mund të përdoret gjatë vrojtimit të ndihmesës në punën me grupe të vogla. Nëpërmjet tij tregohet se kush jep ndihmesë dhe sa të vlefshme janë ndihmesat. Ai mund të hartohet për një periudhë relativisht të gjatë (një semestër) por duke bërë shënime të herëpashershme në një tabelë ku janë shënuar emrat e nxënësve të klasës (sipas vrojtimeve në orët e mësimit).

Shembull: Buletini i pjesëmarrjes në punën me grupe gjatë semestrit të parë të vitit shkollor 2010-2011, në klasën XI të gjimnazit A, është:

Nr. NxënësiTipi i ndihmës

Shumë i mirë I mirë I mjaftueshëm I dobët1 A.H. III III III II II -2 B.SH. I II IIII III III3 B.K. - II IIII II4 E.L. - - II IIII III5 E.K. I IIII I IIII II I6 E.M. - - II IIII IIII7 E.D. - II IIII III II8 H.D. - I IIII II IIII I9 J.B. - II IIII IIII IIII II10 M.R. - I IIII III I11 R.A. - I IIII IIII IIII I12 R.M. IIII I IIII IIII - -13 R.L. IIII IIII IIII IIII14 R.K. - I IIII IIII I

40 / Matematika 11


Çdo vijë vertikale në një kuti përfaqëson një pjesëmarrje. P.sh. nxënësi A.H. ka tre pjesmarrje shumë të mira. tetë pjesëmarrje të mira, dhe dy të mjaftueshme. Mbi bazën e këtij buletini, në bazë të një shkalle vlerësimi të caktuar, mund të vendoset një notë për pjesëmarrjen në punën me grupe në fund të semestrit.Shkalla e vlerësimit që mund të përdoret është kjo:Nota semestrale për punën me grupe gjendet nga formula:

1 2 3 4

1 2 3 4

10 8 6 4g

x x x xn

x x x x ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= + + + ku x1 , x2, x3 , x4 , janë denduritë e ndihmesave të vërejtura gjatë semestrit (x1- denduria e ndihmesës shumë të mirë etj.) duke rrumbullakuar.

P.sh. për nxënësin A.H. kemi ng =

Listë-kontrolli është një instrument që përmban një listë konceptesh, shkathtësish (shprehish) dhe vlerash për të vrojtuar dhe matur p.sh. aktivizimin e nxënësit gjatë punës së pavarur nga vendi në klasë. Ai lejon të regjistrohet në vazhdimësi përparimi i nxënësit, duke dëshmuar se si i ka përvetësuar nxënësi njohuritë, shkathtësitë e vlerat që kanë të bëjnë me një pjesë të caktuar të materialit mësimor (temë, grup temash, kapitull). Nxirren për pjesën e vrojtuar të lëndës njohuritë, shkathtësitë (shprehitë) e vlerat kryesore që duhet të përvetësojë nxënësi. Për secilin nxënës, sa herë vrojtohet një element nga kjo listë, bëhet shënimi përkatës:*shumë mirë, + mirë, x mjaftueshëm, - dobëtPër të bërë vlerësimin me notë mbi bazën e kësaj liste kontrolli, ajo duhet të shoqërohet nga pesha (në përqindje) që do t’i jepet çdo elementi që do të vlerësohet dhe nga shkalla e vlerësimit që do të përdoret.

ShembullKl. XI e gjimnazit A Listë kontrolli për temën “Grafiku i funksionit”Njohuritë, shkathtësitë (shprehitë) e vlerat, me peshat përkatëse

a) Përkufizimi i grafikut të funksionit (20%)b) Ndërtimi i grafikut të funksionit të dhënë me tabelë (15%)c) Ndërtimi me pika i grafikut të funksionit të dhënë me formulë (25%)d) Gjetja e vlerës së funksionit, për një vlerë të caktuar të ndryshores, kur njihet grafiku i tij (10%)e) Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të funksionit kur njihet grafiku i tij (20%)f) Gjetja e bashkësisë së vlerave të funksionit kur njihet grafiku i tij (10%)

Vlerësimi i nxënësve të kl. XI të gjimnazit A për aktivizimin nga vendi për këtë temë:

Nr. NxënësiElementet e notës

Notaa b c d e f

1 A.H.

2 B.SH. + + -

3 B.K. + + - -

* *

41


4 E.L. - -

5 E.K + +

6 E.M. + -

7 E.D + - -

8 H.D + x x x

9 J.B. + x -

10 M.R x x -

11 R.A. x x - x

12 R.M. +

13 AR.L.

14 R.K. - x x

Për vlerësimin e nxënësve me notë është përdorur kjo shkallë vlerësimi:......

......a a a b b b f f f

a va a b b f f

x p n x p n x p nn

x p x p x p⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅=

⋅ + ⋅ + + ⋅(na·v= nota e aktivizimit nga vendi)ku: ni - nota e vendosur për çështjen “i” pi - pesha e kësaj çështje xi = 1 ose 0, sipas rastit nëse kemi vlerësim apo jo për çështjen “i”.P.sh. për nxënësin A.H. kemi: për çështjen a: 1· 0,2 · 10 (shifra 1 tregon se për këtë çështje kemi një vlerësim; shifra 0,2 pasqyron peshën prej 20% të kësaj çështje; shifra 10 tregon notën përkatëse (shumë mirë). Kështu veprohet edhe për çështjet e tjera. Pra kemi:

Vlerësimi i nxënësit të pyetur në tabelëNëse kërkojmë që të pyeturit e një nxënësi në tabelë në lëndën e matematikës të plotësojë synimet e një vlerësimi formues për të, duke qenë edhe në dobi të formimit matematik të klasës, duhet të mbahen parasysh disa kërkesa:

1. Pyetja (çështja që pyetet) duhet të jetë e ndryshme nga ajo që punon klasa në mënyrë të pavarur, por të ketë lidhje me ato çështje që po kontrollohen për klasën.2. Të kërkojë kohë jo të madhe për t’u zgjidhur (jo më shumë së 10-15 minuta).3. Të paraqesë interes për klasën dëgjimi i përgjigjes.4. Të ketë kërkesa jo vetëm për kontrollin e njohurive të kaluara, por të trajtohen edhe elemente të materialit të ri (në trajtën e punës krijuese të nxënësit).5. Disa elemente të përgjigjes së nxënësit në tabelë duhet të ndiqen (të dëgjohen) nga klasa (edhe sikur për këtë asaj t’i duhet të ndërpresë punën e vet).6. Korrigjimet eventuale t’i kërkohen nxënësit për t’i kthyer vetë fillimisht.7. Vlerësimi i nxënësit me notë mund të bëhet për këtë ushtrim ose duke i dhënë akoma pyetje plotësuese në bangë.

Vlerësimi i përgjigjes së nxënësit të pyetjeve në tabelë bëhet në bazë të gjykimit vetjak të mësuesit, por mbi bazën e standardeve të arritjes. Për të pasur një vlerësim objektiv është

*

**

*

42 / Matematika 11


mirë që pyetja të strukturohet në një numër të kufizuar kërkesash.Vlerësimi i përgjigjes së dhënë nga nxënësi që pyetet në tabelë ka anë pozitive sepse lejon të maten aftësitë për arsyetim matematik (evidentimi i marrëdhënieve shkak-pasojë; zbatimi i aksiomave, teoremave dhe përdorimi i përkufizimeve gjatë argumentimit; aftësimi për të ngritur hipoteza dhe për t’i kontrolluar ato; nxjerrja e përfundimeve; vetëvlerësimi i arsyetimit të ndjekur) si dhe aftësitë për të komunikuar me gojë dhe me shkrim.

43


1.1 Ekuacioni i drejtëzës në plan

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Koordinatat e pikës në plan. Ekuacioni i vijës në plan. Këndi i drejtëzës me boshtin Ox. Koeficienti këndor. b) Veti. Largesa midis dy pikave. Trajta e përgjithshme e ekuacionit të drejtëzës në plan. Ekuacioni y-y0=k(x-x0). Ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna. c) Metoda. Metoda koordinative në plan.

Shkathtësi Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të dallojnë ç’lloj vije paraqet ekuacioni ax+by+c=0 (a2+b2>0). • Të gjejnë koeficientin këndor të kësaj drejtëze dhe këndin që ajo formon me boshtin Ox. • Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës kur njihet një pikë dhe koeficienti këndor i saj. • Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër dy pika të dhëna.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit

Mësimi përqendrohet në përsëritjen e njohurive të trajtuara në klasën X dhe në zhvillimin e aftësive të fituara. Rekomandohet që mësuesi t’u vërë si detyrë paraprake nxënësve rikujtesën e këtyre njohurive, duke bërë përmbledhjen me shkrim të fakteve kryesore. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Shembujt e zgjidhur që janë në tekst të diskutohen me klasën, duke kërkuar edhe

mënyra të tjera zgjidhjeje e duke veçuar racionalen. Nxënësit duhet të aktivizohen në punë të pavarur a me grupe për zgjidhje ushtrimesh nga ato të tekstit ose të ngjashme me shembujt, duke bërë më pas edhe analizën e punës së kryer. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 4, 6, 8.

Ushtrime plotësuese

KREU 1

1. Gjeni koeficientin këndor dhe pikën e prerjes me boshtin Ox për drejtëzën që kalon nëpër pikat P(2; -8) dhe Q(-1; +7).

2. Çfarë vije është grafiku i lëvizjes drejtvizore të njëtrajtshme S=S0+vt në sistemin kënddrejtë koordinativ tOs?

3. Katrori me brinjë 24 njësi ka si diagonale boshtet koordinative Ox, Oy. Shkruani ekuacionet e brinjëve të katrorit.

4. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që formon me boshtin Ox këndin 60o dhe e pret boshtin Ox në pikën me abshisë 5.

5. Rrezja e dritës është drejtuar sipas drejtëzës 2 43

y x= − . Pasi mbërrin në boshtin Ox, ajo

reflektohet prej tij. Gjeni: a) Pikën ku rrezja prek boshtin Ox. b) Ekuacionin e drejtëzës për rrezen e reflektuar.

44 / Matematika 11

Kreu 1

6. a) Të njehsohen gjatësitë e mesoreve të trekëndëshit me kulme në pikat A(3; -2), B(5; 1) C(-1; 4).

b) Të shkruhen ekuacionet e drejtëzave ku shtrihen mesoret.

7. Të vërtetohet në tre mënyra që pikat A(1; 3), B(0; 2), C(-3; -1) janë në një vijë të drejtë.

1.2. Drejtëza paralele me një vektor. Kushtet e paralelizmit e të pingultisë së dy drejtëzave

Njohuri kryesore teorike a) Kuptime. Ekuacioni i drejtëzës. Vektori drejtues i saj. Koordinatat e vektorit në plan. Drejtëza paralele ose pingule në plan. b) Veti. Ekuacioni i drejtëzës kur njihet një pikë dhe vektori drejtues. Vektori drejtues i një drejtëze me ekuacion të dhënë. Kushti që dy drejtëza me ekuacione të dhëna të jenë paralele (pingule). c) Metoda. Metoda koordinative në plan.


• Të shkruajnë ekuacionin e një drejtëze kur njohin një pikë dhe vektorin drejtues të saj. • Të gjejnë vektor drejtues për një drejtëz me ekuacion të dhënë. • Të përcaktojnë nëse dy drejtëza me ekuacione me koeficientë këndorë a të përgjithshëm janë paralele ose pingule. • Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta praktike.


Materiali mësimor, i parashikuar për këtë orë mundëson aktivizimin e gjerë të nxënësve në punë të pavarur a me grupe për nxjerrjen e përfundimeve përgjithësuese. Mësuesi t’u shtrojë si detyrë nxënësve nxjerrjen e ekuacionit të drejtëzës kur jepen pika e saj M0(x0, y0) dhe një vektor drejtues i saj (d.m.th. vektor paralel me drejtëzën a i shtrirë në të). Të kërkohet argumentimi për njëvlershmëritë:

dM ∈ ⇔ 0 ||M M OP→ →

⇔

0M M k OP→ → = ⋅

⇔ 0

0

x x ky y k

− = ⋅ − = ⋅

αβ

.

Të mbahet parasysh se në tekst është paraqitur një sintezë e përmbledhur e përfundimeve.Kur shqyrtohen kushtet e paralelizmit (pingultisë) së dy drejtëzave është mirë të trajtohen (me punë të pavarur a me grupe të nxënësve) dhe këto dy raste:

1. Drejtëzat kanë të dyja ekuacione të trajtave x=a1; x=a2. 2. Njëra nga drejtëzat ka ekuacion y=kx+t, kurse tjetra x=a.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2/a, d; 3; 5; 7; 8/a, b.


1. Janë dhënë kulmet e trekëndëshit A(-1; 2), B(3; -1), C(0; 4). Të gjenden ekuacionet e drejtëzave që hiqen nga këto pika, paralele me brinjët përballë.

45


2. a) Të vërtetohet se katër pikat A(-2; -2), B(-3; 1), C(7; 7) dhe D(3; 1) janë kulme të një trapezi. b) Të shkruhet ekuacioni i vijës së mesme të trapezit.

3. Janë dhënë pikat A(3; 2) dhe B(-1; 4). Të gjenden koordinatat e pikës M nëse:

a) AM MB→ →

= ; b) 2AM MB→ →

= .

4. Ç’kusht duhet të kënaqin koeficientët a dhe b që drejtëzat ax+by+1=0, 2x-3y+5=0 dhe x-1=0 të kalojnë nëpër të njëjtën pikë?

5. Për ç’vlerë të parametrit a: a) Drejtëzat ax+2y-3=0 dhe 3x-4y=0 janë paralele? b) Drejtëzat ax+4y-5=0 dhe –x+ay+3=0 janë pingule?

6. A mund të shërbejnë drejtëzat 2x-4y+3=0 dhe –x+y=5 si brinjë të kundërta të një paralelogrami?

7. A mund të shërbejnë si diagonale të një rombi drejtëzat: a) 2x-3y+5=0 dhe 3x+2y-4=0; b) y=x+5 dhe y=-x+2.

8. Pika që del nga origjina e koordinatave merr pjesë njëkohësisht në dy lëvizje: sipas boshtit Ox me shpejtësi konstante v1 dhe sipas boshtit Oy me shpejtësi konstante v2. Gjeni ekuacionin e trajektores së lëvizjes së pikës.

1.3. Këndi midis dy drejtëzave

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Prodhimi numerik i dy vektorëve. Këndi midis dy vektorëve. b) Veti. Formula për ϕcos për dy drejtëza të dhëna me ekuacione me koeficient këndor. Formula për . c) Metoda. Përdorimi i trigonometrisë për zgjidhjen e problemeve gjeometrike.


• Të njehsojnë tangentin e këndit të ngushtë të dy drejtëzave të dhëna me koeficient këndor. • Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta matematikore e reale.


Mësuesi duhet t’u japë paraprakisht nxënësve, si detyrë, përsëritjen në shtëpi të njohurive për prodhimin numerik të dy vektorëve, shprehjen e tij në koordinata dhe njehsimin e kosinusit të këndit midis dy vektorëve në koordinata. Mbi këtë premisë, pavarësisht nga trajtimi sintetik i materialit në tekst, mund të organizohet në klasë një veprimtari frytdhënëse (e pavarur a me grupe) e nxënësve, për nxjerrjen e përfundimeve dhe formulave. Mësuesi, nëpërmjet pyetjeve të strukturuara, t’u parashtrojë nxënësve kërkesën për gjetjen e kosinusit të këndit midis dy drejtëzave me ekuacione y = k1x + t1; y = k2x + t2. Për nxënësit e mirë mund të shtrohet detyra për drejtëzat e dhëna me ekuacione të përgjithshme a1x+b1y+c1=0; a2x+b2y+c2=0. Po këta nxënës me punë të pavarur mund të nxjerrin formulën

46 / Matematika 11

Kreu 1

tg2ϕ=2

2 1

1 21k k

k k − +

, ndërsa nxënësit e tjerë punojnë (me grupe) ushtrimin 1 të vendosur në

materialin teorik. Rezultatet e punës së pavarur a me grupe të nxënësve duhet të analizohen e të diskutohen me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 8.


1. Vërtetoni që drejtëzat y=3x-1, x-7y=7 dhe x+y-7 shërbejnë si brinjë të një trekëndëshi dybrinjënjëshëm.

2. Shkruani ekuacionin e drejtëzës simetrike të drejtëzës 3x-2y+1=0 në lidhje me pikën M(5; 1).

3. Jepen tri kulme të trekëndëshit O(0; 0), A(1; 3), B(2; 7). Gjeni tangentin e këndit të trekëndëshit.

4. Gjeni ekuacionin e drejtëzës simetrike të drejtëzës y=2x kundrejt përgjysmores së kuadrantit të parë dhe të tretë. 5. A mundet që dy brinjë të trekëndëshit

barabrinjës të jenë në drejtëzat 3

3y x= −

dhe 33

y x= ?

6. Drejtëza kalon nëpër pikën (2; -1) dhe formon me boshtin Ox këndin që është dy herë më i madh se këndi që formon me këtë bosht

drejtëza 4

3xy += . Gjeni ekuacionin e saj.

7. Në trekëndëshin kënddrejtë dybrinjënjëshëm njihen koordinatat e kulmit të një këndi të ngushtë (5; 7) dhe ekuacioni i katetit përballë 6x+4y-9=0. Gjeni ekuacionet e dy brinjëve të tjera të trekëndëshit.

8. Janë dhënë qendra A(-1; 0) e katrorit dhe ekuacioni i njërës brinjë x+3y-5=0. Gjeni ekuacionet e diagonaleve të katrorit.

1.4 Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë, paralel a pingul me një drejtëz të dhënë

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Ekuacioni i drejtëzës. Koeficienti këndor. Drejtëza paralele a pingule në plan. b) Veti. Ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika M0(x0, y0) dhe është paralele (pingule) me drejtëzën me ekuacion y=kx+t (x=a; ax+by+c=0). c) Metoda. Analiza dhe deduksioni.


• Të shkruajnë ekuacionin e drejtëzës që kalon nga një pikë e dhënë dhe është paralel (pingule) me një drejtëz me ekuacion të njohur. • Të zbatojnë këto njohuri në situata të thjeshta matematikore a praktike.


Të gjitha përfundimet përgjithësuese mund të nxirren nëpërmjet punës së pavarur a me grupe

47


brenda orës së mësimit. Për të realizuar këtë, mësuesi të shtrojë para grupeve të nxënësve në fillim dy detyra:

1. Të gjendet ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika M0(x0, y0) dhe është paralele me drejtëzën y=kx+t. 2. Të gjendet ekuacioni i drejtëzës që kalon nga pika M0(x0, y0) dhe është pingule me drejtëzën y=kx+t.

(Nëse është e nevojshme të jepet udhëzimi për të gjetur fillimisht koeficientin këndor të drejtëzës së kërkuar.) Pasi analizohen rezultatet e punës me grupe, shtrohen dy detyra analoge, për rastin kur drejtëza e dhënë ka ekuacionin x=a. Më tej shqyrtohet rasti i përgjithshëm, duke shtruar detyrat analoge për drejtëzën e dhënë me ekuacionin ax+by+c=0. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2/a; 4; 5; 7/a, b.


1. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nga pika A(3; -1) dhe është paralele me: a) boshtin Ox; b) boshtin Oy; c) përgjysmoren e kuadrantit II dhe IV.

2. Nga pika M(1; 2) të hiqet drejtëza që gjendet në largësi të njëjtë nga pikat A(3; 3) dhe B(5; 2) (2 zgjidhje).

3. Të gjendet bashkësia e pikave të planit që janë të baraslarguara nga pikat A(1; 3) dhe B(3; 1).

4. Sipas cilës vijë duhet të lëvizë pika materiale, duke u nisur nga pozicioni fillestar M0(3; 5) për të arritur me rrugën më të shkurtër deri tek

drejtëza 1 12

y x= − ? Sa është kjo rrugë?

5. Jepen dy pika A(-3; 1) dhe B(3; -7). Në boshtin Oy të gjendet pika M(0; m) që drejtëzat (AM) dhe (BM) të jenë pingule.

6. Nga pikat ku drejtëza 3x+5y-15=0 pret boshtet koordinative janë hequr pingulet ndaj kësaj drejtëze. Gjeni ekuacionet e tyre.

7. Është dhënë pika A(2; 4) dhe drejtëza d:x-y=0. Gjeni:

a) Projeksionin e pikës A mbi drejtëzën d. b) Pikën simetrike të A ndaj drejtëzës d.

8. Në një rreth ndodhen pikat A(4; 3) dhe B(3; 4). Gjeni qendrën e rrethit, duke ditur që ajo ndodhet në boshtin Ox.

1.5 Largesa e pikës nga drejtëza

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Largesa e një pike nga një drejtëz. Largesa midis dy drejtëzave paralele. Largesa midis dy pikave. b) Veti. Formula për largesën e një pike nga një drejtëz me ekuacion të dhënë. c) Metoda. Induksioni.


• Të fiksojnë në kujtesë formulën për largesën e një pike nga një drejtëz. • Ta zbatojnë atë në situata të thjeshta matematikore e reale.

48 / Matematika 11

Kreu 1


Programi parashikon dhënien pa vërtetim të formulës për largesën e një pike, me koordinata të njohura, nga një drejtëz me ekuacion të njohur dhe kjo është mbajtur parasysh në trajtimin e materialit mësimor në tekst. Është zgjidhur në fillim problemi për gjetjen e largesës së një pike konkrete nga një drejtëz konkrete. Ky problem mund të strukturohet në këto kërkesa më të thjeshta:

- Ç’quajmë largesë të një pike nga një drejtëz? - Shkruani ekuacionin e drejtëzës p, që kalon nga pika e dhënë A, pingule me drejtëzën e dhënë d. - Gjeni pikën B të prerjes së drejtëzave p, d. - Njehsoni largesën AB. - Sa është largesa e A nga d?

Pastaj të jepet pa vërtetim formula për largesën e pikës M0(x0, y0) nga drejtëza me ekuacion ax+by+c=0. Më tej kalohet në mënyrë graduale në zbatim; në fillim direkte (si p.sh. largesa e pikës A(2; 1) nga drejtëza 3x+4y-7=0), e më tej të kombinuara (si p.sh. largesa midis dy drejtëzave paralele x-3y+5=0, x-3y=0). Me interes do të ishte edhe analiza e problemit për gjetjen e sipërfaqes së trekëndëshit me tri kulme të dhëna. Si ushtrime të nivelit minimal do të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5/a, b.


1. Të gjendet largesa e origjinës së koordinatave nga drejtëza që kalon nëpër pikat A(1; 3) dhe B(0; 2).

2. Jepen kulmet e trekëndëshit A(-3; -4), B(3; 4), C(0; 5). Gjeni:

a) Lartësinë e trekëndëshit mbi brinjën [AB]. b) Sipërfaqen e trekëndëshit.

3. Në boshtin Oy gjeni pikën që është e baraslarguar nga origjina dhe nga drejtëza 3x-4y+12=0.

4. Në boshtin Ox gjeni pikën që e ka largesën

a nga drejtëza 1x ya b

+ = (a,b≠0).

5. Diagonalet e rombit, me gjatësi 30 dhe 16 njësi, janë marrë si boshte Ox, Oy. Gjeni largesën midis brinjëve paralele të rombit.

6. Nëpër pikën P(-2; 1) është hequr drejtëza y=kx+t, që e ka largesën 4 njësi nga pika C(3; 1). Gjeni k.

7. Nga gjithë drejtëzat paralele me drejtëzën

13 4x y− = , gjeni ato që kalojnë 5 njësi larg nga

pika (2; 3). 8. Është dhënë drejtëza 12x+5y-52=0. Gjeni ekuacionin e drejtëzës që është paralele me të dhe ndodhet në largesën d=2 prej saj.

1.6 Ushtrime

Synimi i mësuesit për organizimin e kësaj ore mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Ai duhet t’u japë nxënësve paraprakisht, si detyrë, përsëritjen në shtëpi dhe sistemimin në mënyrë të përmbledhur me shkrim të fakteve e vetive të mësuara në orët paraardhëse.

49


Në orën e mësimit të alternohet e kombinohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen e ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm në tabelë. Secili nga ushtrimet që jepen për t’u punuar duhet të diskutohet e të analizohet me klasën në tërësi. Kujdes duhet treguar ndërkaq për t’u lënë nxënësve kohë të mjaftueshme për t’u menduar, për t’u shprehur e për t’u vetëkorrigjuar. Si ushtrime të nivelit minimal (pra prioritare për t’u punuar nga klasa me punë të pavarur a me grupe) do të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 12, 16, 18.


1. Jepen kulmet e trekëndëshit A(2, 3), B(0, -3), C(5, -2). a) Gjeni pikën e prerjes së përmesoreve të tij. b) Gjeni pikën e prerjes së mesoreve të tij.

2. Jepen kulmet e katërkëndëshit A(-9, 0), B(-3, 6), C(3, 4), D(6, -3). Gjeni pikën e prerjes së diagonaleve të tij dhe këndin midis diagonaleve.

3. Gjeni kulmet e rombit, kur njihen ekuacionet e dy brinjëve të tij 2x-5y-1=0, 2x-5y-34=0 dhe ekuacioni i njërës diagonale x+3y-6=0.

4. Gjeni ekuacionet e brinjëve të rombit, duke ditur dy kulme të kundërta të tij A(-3, 1), B(5, 2) dhe ekuacionin e njërës brinjë x+3y=0.

5. Jepen ekuacionet e dy brinjëve fqinjë të paralelogramit x-y-1=0, x-2y=0 dhe pika e prerjes së diagonaleve M(3, -1). Gjeni ekuacionet e dy brinjëve të tjera të paralelogramit.

6. Shkruani ekuacionin e njërës nga lartësitë e trekëndëshit, duke ditur tri kulmet e tij A(1; 1), B(3; 3), C(2; 4).

7. Në trekëndëshin ABC njihen: brinja (AB): 4x+y-12=0, lartësia (BH): 5x-4y-15=0 dhe lartësia (AH): 2x+2y-9=0. Gjeni ekuacionet e dy brinjëve të tjera dhe lartësinë e tretë.

8. Nëpër pikën A(1; 2) të hiqet drejtëza, e tillë që segmenti i saj i përfshirë ndërmjet boshteve Ox, Oy ta ketë mesin e vet në pikën A.

50 / Matematika 11

Kreu 2

KREU 2

FUNKSIONI NUMERIK

2.1 Funksioni numerik (Përsëritje)

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime: Funksioni numerik. Bashkësia e përcaktimit. Bashkësia e vlerave. Barazimi i funksioneve numerikeb) Metoda: Mënyrat e zgjidhjes së inekuacioneve algjebrike me një ndryshore e të sistemeve të tyre.

ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

- Të dallojnë relacione që janë funksione numerike.- Të kalojnë nga një mënyrë e dhënies së funksionit në një tjetër.- Të zgjidhin inekuacione të thjeshta algjebrike me një ndryshore e sisteme të tyre.- Të dallojnë kushtet për bashkësinë e përcaktimit në funksione konkrete.


Duke u nisur nga parimi “të dish do të thotë të jesh në gjendje të zbatosh”, vëmendja e mësuesit duhet të përqendrohet në zgjidhjen e ushtrimeve që përpunojnë konceptet kryesore: funksion, funksion numerik, bashkësi përcaktimi, bashkësi vlerash, barazim funksionesh numerike. Sinteza e njohurive teorike që figuron në tekst mund të rekomandohet për lexim të pavarur paraprak nga nxënësit në shtëpi, para orës së mësimit. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur; nxënësit të lexojnë në të shembujt e zgjidhur e të aktivizohen, me punë të pavarur e me grupe, për zgjidhjen e ushtrimeve që figurojnë në të. Grupi më i përshtatshëm për punë është ai i nxënësve të një bange.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2/a,b; 3; 5; 6/a; 8/a,b,c; 10/a.

Ushtrime plotësuese1. Gjeni bashkësinë e vlerave të shprehjeve:

a) x+4; b) 1x

; c) x2-1; nëse x∈[1,2].

2. Gjeni kufijtë e shprehjeve:a) x3 nëse x∈[-2,-1].

b) 31

1x − nëse x∈[-2;-1].

3. Nëse për funksionin numerik f kemi f(x+1)=x2+1, ∀ x∈R, atëherë gjeni f(x).

4. a) Për funksionin f: y=3x-1, x∈R gjeni për ç’vlera të x-it kemi f(x2)>f(x).b) Për funksionin f: y= sin x, x∈R gjeni për ç’vlera të x kemi f(2x)=2·f(x)

5. Për ç’vlera të x∈R:

a) vlerat e funksionit y=( 13

)x –9 janë pozitive?b) vlerat e funksionit y=log3(x-1) janë negative?

51


6. Për funksionin g: x→ 22

1 1x xx x

+ + + ,

x∈R* tregoni që g(1x

)=g(x).

7. Për ç’vlera të x∈R:

a) Vlera e funksionit y=4x është 12

?b) Vlera e funksionit y=(0, 4)2x+3 është 0,064?c) Vlera e funksionit y=ax (0<a ≠ 1) është

?

8. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksioneve:

a) b)

c) 1)21( −= xy d) xy 4

41 −=


a) 4log5 −→ xx

b) xx 2log3 −→

10. A janë të njëjta bashkësitë e përcaktimit të funksioneve:

a) )5( −= xxy dhe

c) )ln( 2xy = dhe y=2 lnx

b) x

xy−−=

67

dhe x

xy−−=

67

d) )ln( 3xy = dhe


a) 25log( )

4x xy −=

b) 13 2

yx x

=− −

12. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit

y= 3 24 3x x x+ + .

13. A janë të barabartë funksionet e dhënë me formulat:

a) y=x, b) y= 3 3logx , c) y=log5(5x),

d) y= 2x ?

2.2 Grafiku i funksionit numerik. Monotonia e funksionit (Përsëritje).

Njohuri teorike kryesore

a) Kuptime. Grafiku i funksionit numerik.Funksioni rritës (zbritës) në A.b) Veti. Trajtat e grafikëve të funksioneve të njohura. Monotonia e tyre.c) Metoda. Mënyra e ndërtimit të grafikëve të dhënë me formulë. Leximi i një grafiku të dhënë. Mënyra për studimin e monotonisë së funksionit me anë të shenjës së raportit

2 1

2 1

( ) ( )f x f xx x

−−

.


- Të dallojnë nëse një vijë e dhënë në planin xOy është grafik funksioni numerik.- Të skicojnë grafikët e funksioneve të thjeshtë të njohur.- Të nxjerrin nga grafikët e dhënë ose të njohur përfundime për monotoninë.- Të nxjerrin përfundime për monotoninë e funksioneve të thjeshtë duke studiuar shenjën e

raportit 2 1

2 1

( ) ( )f x f xx x

−−

.

52 / Matematika 11

Kreu 2


Edhe për këtë mësim është mirë që materiali teorik i përsëritjes të lexohet paraprakisht prej nxënësve në shtëpi. Mësimi në klasë të zhvillohet me libër hapur, duke aktivizuar nxënësit që me punë të pavarur a me grupe të zgjidhin ushtrimet që figurojnë në materialin teorik. Pasi t’u lënë nxënësve kohën e mjaftueshme për zgjidhje, mësuesi duhet të organizojë analizën dhe diskutimin e mënyrave të zgjidhjes. Nxënësve u duhet lënë kohë e mjaftueshme të mendohen, të shprehen, të vetëkorrigjohen e të korrigjojnë gabimet e shokëve.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1/a; 2/a,b; 4; 5/a.


1. Funksioni numerik është dhënë në tabelë:

x -1 0 1 2 3 4y -5 -3 -1 1 3 5

x -2 -1 0 1 2 3y 4 3 2 1 0 1

Ndërtoni grafikun e funksionit dhe jepeni funksionin me formulë të trajtës y=ax+b.

2. Përcaktoni pozicionin e secilës nga pikat

A( ,12π ), B( ,1

4π ), C( 1, )

2−π në lidhje me

grafikët e funksioneve y=sinx, y=cos x.

3. Është dhënë funksioni y=x2-4x+3.a) Ndërtoni grafikun e funksionit duke gjetur kulmin dhe pikat e prerjes me boshtin Ox.b) Zgjidhni grafikisht inekuacionin x2-4x+3≤-1.

4. Gjeni bashkësinë e pikave të planit xOy që plotësojnë kushtin:

a) x<y<x2, b) log2x<y<2x

5. Për funksionin e mëposhtëm gjeni bashkësinë e përcaktimit, ndërtoni grafikun dhe gjeni bashkësinë e vlerave:

a) y=2 25

5xx

−−

, b) y=( x )2,

c) y=ln(x2)-lnx, d) y= cosx xx

.

6. E njëjta kërkesë për funksionin:

a) y=|1-x|, b) y= 2( 2)x − ,

c) y= 2 6 9x x− + , d) y=| |xx

, e) y=E(x-1).

7. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit:

a) y= sin x , b) y=log(-cosx),

c) y= 2sin 1x − , d) y= 2 cos x− .

8. a) Ndërtoni grafikun e funksionit f, të tillë që:

b) Gjeni bashkësinë e vlerave të funksionit.

9. Ndërtoni grafikun e funksionit y=|1-x2|

Udhëzim. Kemi |1-x2|=

d.m.th. |1-x2|=

53


2.3 Grafikët e funksioneve të dhënë me formula të ndryshme në pjesë të ndryshme të bashkësisë së përcaktimit. Elemente të tjera të monotonisë së funksionit

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Grafiku i funksionit numerik. Funksioni rritës (zbritës) në A.b) Veti. Teoremat mbi shumën e prodhimin e dy funksioneve me monotoni të njëjtë.c) Metoda. Mënyra e ndërtimit të grafikëve të funksioneve të dhënë në trajtën

( ) për x Ag(x) për x Bf x

y∈

= ∈.


- Të ndërtojnë grafikë të thjeshtë të trajtës së mësipërme.- Të studiojnë monotoninë e funksioneve të thjeshta duke i shkruar ato në mënyrë të përshtatshme si shumë a prodhim funksionesh me monotoni të njëjtë.


Shtjellimi i materialit të ri është mirë të fillojë me shqyrtimin e një situate reale që kërkon studimin e funksioneve të tilla, p.sh. me zgjidhjen e ushtrimit 12 të mësimit 2.1. Mësuesi mund të skicojë vetë në tabelë grafikun e funksionit në të cilin çon problema. Më tej ai i vë nxënësit të

lexojnë në tekst shembullin e zgjidhur për grafikun e funksionit 2 për x 0

-x për x<0xy

≥=

.

Pastaj kërkohet nga nxënësit që, me punë të pavarur a me grupe, të zgjidhin ushtrimin 1 dhe organizohet diskutimi i punës së kryer prej tyre. Është e rëndësishme të kuptohet mirë se ushtrimet që janë vënë në tekst në materialin teorik janë pjesë përbërëse e tij, të nevojshme për dhënien e përpunimin e koncepteve e të metodave dhe prandaj zgjidhja e diskutimi i tyre nuk duhet të anashkalohen. Nëpërmjet shembujve e ushtrimeve të pazgjidhura synohet që nxënësit të përgjithësojnë, duke nxjerrë përfundimet e teoremave 1 dhe 2, të cilat në tekst janë formuluar pa vërtetim. Nxënësit duhet të kuptojnë thelbin e metodës së re të paraqitur në tekst për studimin e monotonisë së një funksioni dhe të aftësohen në përdorimin e saj. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 4; 5; 7/a,b.


1. Ndërtoni grafikun e funksionit f të tillë që:

a) y=

b) y=

2. Ndërtoni grafikun e funksionit f të tillë që:

a) y=

b) y=

3. Për funksionin e mëposhtëm të gjendet bashkësia e përcaktimit dhe pastaj të ndërtohet grafiku:

54 / Matematika 11

Kreu 2

a) 2 1

1xyx

−=+

, b) | |xyx

= , c) | |y x x= ⋅ .

4. Në trekëndëshin ABC jepen AB=10 cm, BC=4 cm. Hiqet lartësia [CH] ⊥[AB]; segmenti [AH] e ka gjatësinë 3 cm. Nga një pikë M e segmentit [AB] ngrihet pingulja [MN] me [AB], e cila pret ndonjë nga brinjët e tjera në pikën N. (N ndodhet në [AC] ose në [BC]). Shënojmë AM=x (cm).

a) Shprehni gjatësinë l të segmentit MN nëpërmjet x: (l:y=f1(x)).b) Shprehni syprinën S të katërkëndëshit MNCH nëpërmjet x: (S: y=f2(x)).c) Gjeni bashkësinë E të vlerave të x. d) Ndërtoni grafikët e funksioneve y=f1(x), y=f2(x), x∈E

5. Për prodhimin e një artikulli të ri fabrika shpenzoi 200000 lekë për teknologjinë. Përveç këtyre, për të prodhuar një copë të këtij artikulli shpenzon 60 lekë (për lëndë të parë, për fuqinë punëtore etj.).

a) Kur prodhohen x copë, sa janë shpenzimet gjithsej?b) Sa është kostoja C(x) e prodhimit për copë?Paraqitni grafikisht funksionin y=C(x), mbasi të gjeni bashkësinë e vlerave të mundshme të x.

c) A mund të bëhet kostoja më e vogël se 100 lekë? Po më e vogël se 50 lekë?

6. Ndërtoni grafikun e funksionit të mëposhtëm f, me bashkësi përcaktimi R dhe zgjidhni grafikisht inekuacionin f(x)≥0.

a) y=

b) y=

c) y=x2-2.|x|+1

7. Skiconi grafikun e funksionit të mëposhtëm dhe nxirrni nga grafiku përfundime për monotoninë e funksionit:

a) y=x2-4x+5; b) y=-x2+6x-8

8. Funksioni f është rritës në intervalin ]-a,a[. Vërtetoni që:

a) Funksioni c·f është rritës në ]-a,a[ kur c<0. b) Funksioni c·f është zbritës në ]-a,a[ kur c<0.

9. Funksioni f është rritës në intervalin ]-a,a[. Vërtetoni që:

a) Funksioni y=f(-x) është zbritës në [-a,a[. b) Funksioni y=-f(x) është zbritës në ]-a,a[.

2.4 Vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni numerik. Ekstremumet

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Vlera më e madhe (më e vogël) e një funksioni në bashkësinë A. Maksimumi (minimumi) i një funksioni në një pikë a.

b)Veti. Vlera më e madhe e funksionit 2y ax bx c= + + arrihet për 2bxa

= −

c) Metoda. Metoda grafike për gjetjen e M; m dhe të ekstremumeve të funksionit.


- Të gjejnë M;m për një funksion të dhënë grafikisht.

55


- Të gjejnë M;m për funksionet e thjeshta të njohura në bashkësi që janë pjesë të R.- Të gjejnë ekstemumet e një funksioni të dhënë grafikisht.- Të zbatojnë njohuritë në situata praktike reale.


Mësimi ka ngarkesë të konsiderueshme konceptuale e vëllimore, prandaj shtjellimit të materialit të ri, me synim formimin e koncepteve e përvetësimin e metodave, i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes me nxënës të ngritur në tabelë. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Ushtrimet 1; 2; 3 që janë vendosur në materialin teorik, janë pjesë përbërëse e rëndësishme e tij, prandaj duhet të kërkohet që të punohen nga nxënësit dhe zgjidhja e tyre të diskutohet. Mësuesi, pas analizës së punës së nxënësve, të bëjë sintezën e rezultateve të arritura, duke dalë natyrshëm në përfundime përgjithësuese.Nuk duhet kërkuar nga nxënësit formulimi i përkufizimeve (për M;m; ekstremumet). Nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë rregullin për gjetjen e M;m për funksionin e fuqisë së dytë e të aftësohen për zbatimin e tij në situata reale. Ata duhet të aftësohen gjithashtu për gjetjen e M;m dhe të ekstremumeve të një funksioni të dhënë grafikisht në një bashkësi A. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 6; 7; 8; 9.


1. Ndërtoni grafikun e funksionit dhe gjeni bashkësinë e vlerave të tij.

a) 2 53

xy −= x∈[-2,4]; b) y=4-x2, x∈R-

2. E njëjta kërkesë për funksionet:

a) y= ;

b) y=


a) y= ; b) y=

4. Ndërtoni grafikun e një funksioni me bashkësi përcaktimi segmentin [-1,9] që të ketë maksimume për x=2, x=5, x=8 dhe minimume për x=0, x=4.

5. Është dhënë funksioni f: y=

Ndërtoni grafikun dhe gjeni nga grafiku ekstremumet e tij.

6. Bashkësia e vlerave të funksionit y=3-x është:

a) R; b) ]- ∞,0[; c) ]0,+ ∞[; d) [0, +∞[ . Rrethoni përgjigjen e saktë.

7. Nga shitja e x kv të një produkti bujqësor arkëtohen R(x) dollarë, ku R(x)=-0,4x2+8x.

a) Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit y=R(x).b) Gjeni vlerën më të madhe të këtij funksioni.

8. Në kushtet e problemës 15, shpenzimet për të prodhuar x kv janë c(x)=x+15 dollarë.

a) Gjeni vlerat e x për të cilat kemi fitim. b) Gjeni për ç’vlerë të x fitimi është më i madhi.

9. Gjeni, pa përdorur grafikun, bashkësinë e vlerave të funksionit:

a) 1 1, [0,2]3

y x x= + ∈ ,

b) 3, [ 1,2]y x x= ∈ − ,

c) , [1,4]y x x= ∈

Zgjidhjeb) Kemi 21 ≤≤− x . Ngremë të gjitha

56 / Matematika 11

Kreu 2

gjymtyrët në fuqi të njëjtë me eksponent 3. Marrim mosbarazimin e njëvlershëm: (-1)3≤x3≤23 d.m.th. -4≤x3≤8. Kështu, bashkësia e vlerave të këtij funksioni është [-1;8].

10. Tregoni që:

a) Funksioni 21

1y

x=

− ka një maksimum

në pikën x=0. b) Funksioni y=sin2x-cos2x ka minimum në pikën x=0.

2.5 Krahasimi i funksioneve numerike

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Mosbarazime f>g;f<g në bashkësinë A. Grafiku i funksionit numerik.b) Metoda. Mënyrat e zgjidhjes së inekuacioneve me një ndryshore. Interpretimi i grafikut


- Të zgjidhin inekuacione të thjeshta algjebrike me një ndryshore, për të krahasuar funksionet numerike.- Të skicojnë grafikët e funksioneve të thjeshta e të bëjnë krahasimin e pozicioneve të tyre.- Të “projektojnë” pjesë grafikësh në boshtin Ox.- Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta reale.


Krahasimi i funksioneve numerike f;g në një bashkësi A mund të bëhet në dy mënyra:1. Algjebrikisht, duke studiuar shenjën e diferencës f(x)-g(x)2. Grafikisht, duke ndërtuar grafikët e funksioneve e duke përcaktuar se cili është vendosur mbi tjetrin.

Rekomandojmë të ndiqet ecuria metodike e paraqitur në tekst. Në të sinteza teorike e materialit është e shkurtër; vend kryesor i është lënë shembujve të zgjidhur a gjysmë të zgjidhur dhe ushtrimeve që janë pjesë përbërëse e teorisë.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 4; 5


1. Krahasoni funksionet f, g në rast se kemi:

a) f: 3

4xy −= g: y=1-x

b) f: y= 4x+1 g: y=x2+4

c) f: 25 3 2y x x= − + g: y=x2-5x+1d) f: y=2x3 g: y=x


a) 12 4xyx−=−

y=4x-1

b) 2( 1)y x= − 2y x=

c) 2( 1) 4y x= − − 2 11

yx

= −−

d) 1 (4 )2

y x x= − 43

xyx

−=−


a) 3( 1) ;y x= − 1

1y

x=

−

b) 3)1( += xy 161

yx

=+

57


4. Krahasoni grafikisht funksionet f, g në rast se:

a) f: 2xy = g: y x=

b) f: xy 2log= g: 1−= xy

c) f: xy = g: xy 2log=

d) f: xy 2= g: xy 2=

e) f: x21+ g: 24 xy −=

5. Jepen funksionet f:

a) Gjeni bashkësinë e përcaktimit të secilit prej tyre. b) A janë të barabarta këto funksione?

6. a) Vërtetoni që, kur 0<x<1, kemi

0<x3<x2<x< x <1. b) Interpretoni grafikisht këtë rezultat.

7. a) Vërtetoni që kur x>1, kemi x3>x2>x> >1.

b) Interpretoni grafikisht këtë rezultat.8. Krahasoni grafikisht funksionet y=sin x, y=cos x.

a) Në [π,2π] b) Në [ ,0]2

− π.

9. Zgjidhni grafikisht inekuacionin:

a) 342 −> xx c)

e) 233 −> xx

b) 122 −≤ xx d) 2 21xx

+ >

f) - 3xx ≤

10. Është dhënë funksioni f:y=x2-5x+6a) Vërtetoni që për çdo x∈R kemi

f(x) 14

≥ − .b) Vërtetoni që për çdo x∈]2,3[ kemi

1 4( )f x

≤ − .

2.6 Veprime me funksione numerike. Kufizueshmëria e funksionit

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Shuma, prodhimi, herësi i dy funksioneve numerike. Funksioni i kufizuar (i kufizuar nga lart, nga poshtë) në një bashkësi.b) Veti. Bashkësia e përcaktimit e shumës, prodhimit, herësit të dy funksioneve numerike.c) Metoda. Dhënia e funksionit me formulë. Gjetja e bashkësisë së përcaktimit të funksionit të dhënë me formulë.


- Të gjejnë shumën, prodhimin, herësin e shprehjeve algjebrike të thjeshta.- Të zgjidhin inekuacione të thjeshta me një ndryshore a sisteme të tyre.- Të skicojnë grafikë funksionesh të kufizuar.- Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion i dhënë është i kufizuar (i kufizuar nga lart, i kufizuar nga poshtë) në R apo në ndonjë pjesë të saj.


Shtjellimi i mësimit është mirë të fillojë me shqyrtimin e shembujve, për të dalë më pas në përfundime përgjithësuese. Mësuesi nuk duhet të këmbëngulë në përcaktimin teorik të bashkësisë së përcaktimit të funksionit shumë (prodhim, herës) të dy funksioneve, sepse nëse këto funksione

58 / Matematika 11

Kreu 2

janë dhënë me formula (gjë që ndodh në shumicën e rasteve të shqyrtuara), gjetja e bashkësisë së përcaktimit për funksionin që është rezultat veprimi (p.sh. për funksionin f.g) bëhet duke shqyrtuar formulën që e jep atë (y=f(x)·g(x)).Trajtimi i kuptimit të funksionit të kufizuar është mirë të bëhet (si në tekst) duke shqyrtuar grafikun. Në tekst nuk është dhënë metodë për studimin e kufizueshmërisë së funksionit. Për nxënësit e mirë, mësuesi mund të vërë në dukje se shuma dhe prodhimi i dy funksioneve të kufizuar është funksion i kufizuar.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3/a,b; 7.


1. Është dhënë funksioni f: 2 34

xy −= .

a) Gjeni funksionin f2 =f·f dhe funksionin –f. b) Ndërtoni grafikët e funksioneve f2 dhe –f.

2. Janë dhënë funksionet f: 2( 2)xy

x x+=−

dhe

g: 2 4xy

x=

−.

a) Gjeni bashkësitë e përcaktimit të funksioneve f, g. b) Gjeni funksionet –3f; f-g; f.g. c) A është i barabartë funksioni f·g me

funksionin 21 ?

( 2)y

x=

−

3. Jepen funksionet f: x x→ dhe

g: 31xx

x→

+ .

a) Gjeni bashkësinë e përcaktimit të g. b) Gjeni f2, -f, g-f, f·g dhe bashkësitë e tyre të përcaktimit. c) Gjeni numrat realë a, b të tillë që për çdo

x>0 të kemi ( . )( )1

bf g x ax

= ++

.

4. Jepen funksionet f: 22 5 32 1

x xyx+ +=

+ dhe

xy 5= . a) Tregoni se në [1,+ ∞[ kemi f≤g.

b) Nëse h: 23

y x= tregoni se në [1,+ ∞[, kemi f≥h. c) Interpretoni grafikisht këtë rezultat.

5. Jepet funksioni f: 1y x x= + − . Tregoni që në ]0,+ ∞[, kemi 0≤f(x) ≤1.

6. Jepen funksionet: f: 21y x= + dhe g: y=2x. Tregoni se në ]0,+ ∞ [, kemi f>g.

7. Një ndërmarrje i propozon një shitësi dy mënyra pagese mujore. I. Një pagë fikse prej 15 000 lekë dhe një shpërblim 2% mbi fitimin mujor të shitjes.II. Një pagë fikse 10 000 lekë dhe një shpërblim sa 3% e fitimit mujor, kur ky fitim është mbi 300 000 lekë.

a) Shprehni dy pagesat mujore y1, y2 në varësi të fitimit mujor x. b) Paraqitni grafikisht funksionet e dhëna me këto formula. c) Përcaktoni grafikisht dhe algjebrikisht vlerën e x për të cilën dy llojet e pagesave janë të barabarta. d) Cila është pagesa më e mirë?

8. Mbas studimesh të gjata, një firmë përcaktoi që lidhja midis ofertës S dhe kërkesës d për një artikull jepet nga barazimet:

10.000 25,000S p= − dhe 90.000dp

=

ku p është çmimi për copë (në dollarë).Gjeni vlerën e p, për të cilën oferta është e njëjtë me kërkesën.

9. a) Nëse funksioni është rritës në A, a mund të themi që është i pakufizuar nga lart në A?b) Nëse funksioni është zbritës në A, a mund të themi që është i pakufizuar nga poshtë në A?

59


10. Vërtetoni që funksioni y= 2

1x

është i kufizuar nga poshtë dhe i pakufizuar nga lart në ]0,+∞[.

2.7 Çiftësia e funksionit. Funksionet periodike

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksioni çift (tek) në E. Funksioni periodik në E. Perioda.b)Veti. Veti të grafikut të funksionit çift (tek) në E. Veti të grafikut të funksionit periodik në E.c) Metoda. Shndërrime të shprehjeve me ndryshore. Mënyrat e ndërtimit të grafikut


- Të dallojnë nëse një funksion i dhënë me grafik a formulë është çift (tek) në E,- Të plotësojnë grafikun e një funksioni të tillë, duke njohur vetëm pjesën e tij për x>0,- Të skicojnë grafikun e një funksioni periodik, duke njohur pjesën e tij për një segment me gjatësi sa perioda,- Të gjykojnë për çiftësinë a periodicitetin e funksioneve të thjeshta të njohur.


Mësimi ka ngarkesë të konsiderueshme konceptuale e vëllimore, prandaj trajtimit të materialit të ri i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes, me nxënës të ngritur në tabelë. Trajtimi i kuptimit të funksionit çift (tek) dhe po ashtu edhe atij periodik, të nisë me shqyrtimin e shembujve, si në tekst, e pastaj të dilet në përkufizimet e tyre. Nuk është e rëndësishme që nxënësit të formulojnë përkufizimet (kjo mund të kërkohet për nxënësit e mirë); e rëndësishme është që ata të dallojnë nëse një funksion i dhënë me formulë a grafik është çift (tek) a periodik. Nxënësit duhet të aftësohen për ndërtimin e grafikut të një funksioni çift (tek) kur njihet pjesa e tij për x>0; po ashtu të aftësohen për skicimin e grafikut të plotë të funksionit periodik duke njohur pjesën e tij në segmentin me gjatësi sa perioda [0.T].Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2/a,b; 3/a; 5; 6; 7.


1. a) Jepni 3 shembuj funksionesh që nuk janë as çift, as tek.

b) Jepni një shembull funksioni që është edhe çift edhe tek.

2. f është një funksion numerik i përcaktuar në R. Shqyrtoni çiftësinë e funksionit.

a) y = f(x) + f(-x) b) y = f(x) - f(-x).

3. Ndërtoni grafikun e funksionit f, duke shqyrtuar në fillim çiftësinë e tij:

4. A është periodik funksioni:

5. Tregoni që funksioni f: y=10

për x racionalpër xirracional

60 / Matematika 11

Kreu 2

gëzon vetinë f(x+a) = f(x) për çdo a racional.

6. Tregoni që funksioni i mëposhtëm nuk është periodik.

7. Funksioni është periodik me periodë 2 dhe i përcaktuar në R. Skiconi grafikun e tij nëse në segmentin [-1,1] ai jepet me formulën:

a) y = 1-x2 b) y=|x|

8. Vërtetoni që: Nëse funksionet f, g janë tek në bashkësinë A, atëherë funksioni f + g është tek në A, ndërsa funksioni f ⋅ g është çift në A.

2.8 Studimi i variacionit të funksioneve të thjeshta

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Variacioni i funksionit numerik. Funksioni y=x3.b) Veti. Vetitë e funksionit y=x3.Trajta e grafikut të tij.c) Metoda. Metoda (ecuria) prej hapash për studimin e variacionit të funksionit numerik.


- Të nxjerrin vetitë kryesore të funksionit y=x3.- T’i përdorin ato për skicimin e grafikut të këtij funksioni.- T’i përdorin ato për studimin e vetive të funksioneve të trajtës y=x3+a; y=ax3.- Të nxjerrin vetitë dhe të skicojnë grafikun e funksionit .


Në tabelë të paraqiten hapat për studimin e variacionit të funksioneve të thjeshta. Vetitë e funksionit y=x3 të nxirren nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe, duke diskutuar zgjidhjet e dhëna dhe duke fiksuar rezultatet përfundimtare. Nxënësve u duhet vënë në dukje dobia e plotësimit të tabelës së variacionit edhe me pika të tjera, veç pikave karakteristike, për të pasur një trajtë sa më të mirë të grafikut. Kalimi nga tabela e plotësuar në skicimin e grafikut është jo i lehtë e duhet përpunuar mirë. Nxënësve është mirë t’u vihet në dukje se për studimin e variacionit të funksionit ka metoda më të fuqishme, me të cilat ata do të njihen gjatë studimit të njehsimit diferencial. Është mirë t’u vihet gjithashtu në dukje se ekzistojnë programe kompjuterike speciale (p.sh. “Geogebra”) për skicimin e grafikëve të dhënë me formula. Nëse ekziston mundësia të bëhet një demonstrim i tyre. Njëkohësisht, u duhet theksuar nevoja për shkathtësimin vetjak të tyre për skicimin e grafikëve të funksioneve të thjeshtë.Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 5; 7.


1. Studioni variacionin e funksionit.

3 33) ) )a y x b y x c y x= − = =

2. a) Gjeni koeficientin a që grafiku i funksionit

y a x= ⋅ 3 të kalojë nëpër pikën M(1; 1).b) Skiconi grafikun e këtij funksioni.

61


3. Zgjidhni grafikisht inekuacionet

4. Zgjidhni grafikisht inekuacionet.

5. Nëse funksioni f është çift dhe rritës në R+, atëherë funksioni -f është:

a) Tek dhe zbritës në R+

b) Çift dhe zbritës në R+

c) Tek dhe rritës në R+

d) Çift dhe rritës në R+

Rrethoni përgjigjen e saktë.6. f është një funksion çift, i përcaktuar në R

dhe i tillë që për: 1( ) .1

x R kemi f xx

+∈ =+

a) Përcaktoni f në R- b) Ndërtoni grafikun

7. Duke e shkruar funksionin në trajtë shume, shqyrtoni monotoninë e tij.

8. Duke e shkruar funksionin në trajtë prodhimi, studioni variacionin e tij.

2.9 Ndërtimi i grafikëve të funksioneve të tjerë, duke u nisur nga grafiku i funksionit f

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Veprimet me funksionet numerike. Grafiku i funksionitb) Metoda. Mënyrat e ndërtimit të grafikëve të funksioneve –f;f ,y=f(x)+b;y=f(x-m) kur njihet grafiku i funksionit f.

ShkathtësiNë mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

- Të lexojnë grafikë, duke nxjerrë prej tyre veti të funksionit përkatës.- Të skicojnë grafikë funksionesh të thjeshtë, të dhënë me një a dy formula në A R⊂ .- Të skicojnë grafikët e funksioneve të shënuara më lart, kur njihet grafiku i funksionit y=f(x), x∈A.


Materiali i parashikuar në tekst për këtë mësim ka ngarkesë vëllimore, prandaj shtjellimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me libër të hapur, duke aktivizuar nxënësit në punë të pavarur a me grupe, nëpërmjet pyetjesh të strukturuara, për të nxjerrë përfundimet përgjithësuese.Si ushtrime të nivelit minimal, të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 3; 4; 5; 6.

62 / Matematika 11

Kreu 2


1. Duke përdorur grafikun e funksionit y x= ndërtoni grafikët e funksioneve:

a) y x= − b) y x=

c) 1y x= + d) 12

y x= − .

2. Duke përdorur grafikun e funksionit y =2x, ndërtoni grafikët e funksioneve:

a) y=2-x b) y=2x c) y=-22 d) y=1-2x e) y=2+2x f)

3. Me anë të grafikut të funksionit y=lnx ndërtoni grafikët e funksioneve:

a) y=1n(-x) b) y=1nx c) y=-1nx d) y=1nx+1 e) f) y=1n(ex)

4. Ndërtoni grafikët e funksioneve.

a) y x= −1 b) y x= −1

c) y x x= − +2 2 15. a) Ndërtoni grafikun e funksionit f:y=x2-4x

b) Zgjidhni grafikisht inekuacionin x x2 4 3− >

c) E njëjta kërkesë për inekuacionet x2+4x>-3; x2-4x+1>x

6. a) Ndërtoni grafikun e funksionit y=x-x2

b) Diskutoni, duke përdorur këtë grafik,

për sasinë dhe shenjat e rrënjëve reale të ekuacionit x2-x=m, sipas vlerave të parametrit mc) E njëjta kërkesë për ekuacionet

2 2; .x x m x x m+ = − =

7. Funksioni f është rritës në intervalin ]a, b[. Shqyrtoni monotoninë e funksionit:

a) y = f(x)+b b) y=f(-x), x∈]-b,-a[

8. Funksioni është çift në intervalin ]-a,a[. Ç’mund të thoni për çiftësinë e funksionit:

a) y=f(x) b) y=f(-x)c) y=f(x)+b?

9. Me anë të grafikut të funksionit y=x2 ndërtoni grafikët e funksioneve:

a) y=(x-1)2 b) y =(x-2)2+1

10. Ndërtoni grafikun e funksionit:

a) 61

yx

=−

b) 63

yx

=−

11. Duke përdorur grafikë të njohur, ndërtoni grafikët e funksioneve:

a) 1 22

xy = ⋅ b) 1log( )

1y

x=

−c) y=x3+3x2+3x+1 d) y=log2(4x)

2.10 Përbërja e funksioneve numerike

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Përbërjet fog; gof të funksioneve f;g.b)Veti. fog në përgjithësi është e ndryshme nga gof.c) Metoda. Mënyrat e dhënies së fog kur funksionet f;g janë dhënë me tabela ose formula.


- Të gjejnë përbërjen fog;gof kur f;g jepen me tabela ose grafe.

63


- Të gjejnë duke dhënë me formulën y=f[g(x)], përbërjen fog të funksioneve numerikë të dhënë me formulat y=f(x);y=g(x).- Të zbërthejnë një funksion të thjeshtë si përbërje dy funksionesh të tjera.


Shtjellimi i materialit të ri duhet të fillojë, si në tekst, me shqyrtimin e shembujve që çojnë në kuptimin e funksionit të përbërë. Është i rëndësishëm trajtimi i shembullit 1, që zbërthen mënyrën e gjetjes së përbërjes së dy funksioneve të dhëna me formula. Mësuesi duhet të shtrojë para klasës pyetje dhe të dëgjojë e të analizojë me nxënësit përgjigjet e dhëna, për të nxjerrë përfundime përgjithësuese. Praktika ka treguar se nxënësit kuptojnë më mirë e përdorin më saktë dhënien e përbërjes fog me formulën y=f [g(x)]. Këtu aktivizohen (dhe përforcohen) shkathtësitë e fituara për shndërrimin e shprehjes me një ndryshore dhe shënimin simbolik të vlerës së saj në pikën x.Shembulli 4 të punohet me nxënësit e mirë.Është shumë e rëndësishme vërejtja e dhënë në tekst për gjetjen e bashkësisë së përcaktimit të fog, në rastin e dhënies së f;g me formula.Si ushtrime të nivelit minimal, të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 4; 6/a,b; 8.


1. f, g janë dy funksione me bashkësi përcaktimi

R, të tillë që: 1( ) 3 2; ( )4

xf x x g x −= − =

a) Gjeni shëmbëllimin e numrit 5 në funksionin fog; gof.b) Shkruani g[f(x)], f[g(x)]c) Jepni funksionet fog; gof.

2. Janë dhënë funksionet f. g. Jepni në formulë funksionet fog, gof dhe gjeni bashkësitë e përcaktimit të tyre në rast se:

a) 4: 3 :f x x g x x→ − →

b) 2 1: :3 2

x xf x g xx

−→ →−

c) 2: 4 :1

xf x x g xx

→ − →+

3. f, g, h janë tri funksione me bashkësi përcaktimi R. Duke përdorur skemën e mëposhtme (fig. 2.9) vërtetoni që fo(goh) = (fog) oh.

4. Jepen funksionet f: 2 2 3: :

3 1x xf x g x

x x− +→ →− +

a) Gjeni bashkësitë e përcaktimit të funksioneve f, g.b) Jepni me formulë funksionet fog, gof.c) Gjeni bashkësitë e përcaktimit të fog, gof.d) A mund të themi që fog = i?

5. Jepni me formulë funksionet fog, gof; gjeni bashkësitë e përcaktimit dhe ndërtoni grafikët e tyre në rast se:

a) f: x→3x g: x →log3xb) f: x→x5 g: x → x5

c) f: x →x2 g:x → xd) f: x → 1

x g:x → x2

6. Përdorni një ndryshore të re u, duke shprehur y nëpërmjet u dhe u nëpërmjet x në rast se:

a) y = cos (2x )

b) y = ln(sinx)c) y= sin(2x-π)

d) y tgx=

e) y x= +1 3

64 / Matematika 11

Kreu 2

7. Zbërtheni secilin nga funksionet e mëposhtme si përbërje, me anë të funksioneve

y x y x yx

= = =2 1, , dhe shqyrtoni monotoninë e tij në intervalin e dhënë.

a) y = (x-3)2 në ]3, + ∞[

b) y = 2 8x − në [4, +∞[

c) y = 23x −

në ] - ∞[

d) y = 21

( 1)x − në ] 1,+∞[

2.11 Ushtrime për përsëritje

Para zhvillimit të kësaj ore, mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit që, me punë të pavarur në shtëpi, të hartojnë në mënyrë të përmbledhur me shkrim, pasqyrën e njohurive kryesore teorike të kreut (përkufizime konceptesh, teorema, metoda e rregulla, skica grafikësh të rëndësishëm).Në tekst, në materialin e propozuar për këtë orë mësimi ka bollëk ushtrimesh. Është e dëmshme kërkesa e synimi për t’i zgjidhur të gjitha ushtrimet (brenda e jashtë orës së mësimit). Nuk është e rëndësishme që nxënësit të njohin skemat e zgjidhjes për shumë ushtrime, por të aftësohen për të përdorur metodat e njohura në situata të larmishme, duke filluar nga ato më të thjeshtat e duke vazhduar më tej me situata komplekse e me situata jo-standarde.Ora e mësimit duhet të organizohet duke kombinuar punën me grupe të nxënësve, për zgjidhjen e disa ushtrimeve (që diskutohen pastaj me gjithë klasën), me punën në tabelë të disa nxënësve të ndryshëm, që zgjidhin ushtrime të tjera të tekstit (këto zgjidhje gjithashtu analizohen me klasën).Për punë të pavarur a me grupe mund të punohen ushtrimet me numrat 1; 3; 6; 9/a,b; 10; 11/a.Mësuesi t’u japë nxënësve si detyrë për shtëpi punimin e ushtrimeve të testit (mësimi 2.12), në mënyrë që ata të bëjnë vetëkontroll dhe vetëvlerësim të gjendjes së tyre.


1. Ndërtoni grafikët e funksioneve të mëposhtme, duke u bazuar në grafikë funksionesh të njohur.

a) y = e-x b) y xe

= ln( )

c) y=log(1-x) d) 32 1y x= + −

2. Pa i ndërtuar grafikët, tregoni se në ç’pjesë të R grafikut i funksionit f është sipër grafikut të g, në rast se:

a) f:y=x3 dhe g:y = -2x

b) 26 2: :9

f y dhe g y xx

= =

c) f:y = 3x - 3 dhe g:y = x3-1

3. Ndërtoni grafikun e funksionit:

a) 2 4y x x= − b) 2 4 4y x x= − +

c)y=ln(x2-4x+4)

4. Është dhënë funksioni f:y = x2-5x+4. Shënojmë me l vijën që është grafiku i tij në planin koordinativ xOy.

65


a) Ndërtoni me dy mënyra vijën l.b) Ndërtoni vijat l1, l2 që janë përkatësisht grafikët e funksioneve:y = -f(x)+2; y =f(-x+2)c) Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së l me l1; të l me l2 (me rrugë algjebrike).

5. Për të nxjerrë një lloj të ri produkti, një ndërmarrje shpenzoi 50000 dollarë për teknologjinë. Përveç këtyre, për të prodhuar një njësi të produktit, shpenzohen 25 dollarë (për lëndë të parë, pagesë të fuqisë punëtore etj.). Shënojmë me x numrin e njësive të fabrikuara nga ky produkt.

a) Gjeni shpenzimet e përgjithshme në varësi të x.b) Gjeni koston e një njësie të produktit në varësi të x.c) Paraqitni grafikisht funksionin p = f(x).d) Në rast se çmimi i shitjes së një njësie të produktit është 40 dollarë, nga ç’sasi prodhimi ndërmarrja del me fitim?

6. Grafiku i funksionit 1ln( )yx

= merret prej

grafikut të funksionit y = lnx me anë të:a) një homotetie, b) një zhvendosje paralele, c) një simetrie ndaj boshtit Ox, d) një simetrie ndaj boshtit Oy?Rrethoni përgjigjen e saktë.

7. Dihet që grafiku i funksionit y=x2+3x+m është tangent me drejtëzën y= -3. Atëherë m është e barabartë me

a) -5 b)-3 c) -1 d) Rrethoni përgjigjen e saktë.

8. Vërtetoni që:a) Nëse f është funksion tek dhe xo është pikë minimumi, atëherë (-xo) është pikë maksimumi e tij.b) Nëse f është funksion çift dhe është rritës në intervalin ]a, b[, atëherë f është zbritës në ]-b, -a[.

66 / Matematika 11

Kreu 3

KREU 3

3.1 Përsëritje

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë; funksionet trigonometrike të

këndit x, ]180,0[ oox ∈ . b) Veti. Teorema e sinusit; teorema e kosinusit; lidhjet midis këndeve dhe brinjëve në trekëndëshin kënddrejtë; shprehjet për sipërfaqen e trekëndëshit. c) Metoda. Përdorimi i formulave të njohura për përcaktimin e një elementi në trekëndësh kur njihen elemente të tjera. Përdorimi i formulave për njehsimin e sipërfaqes së trekëndëshit kur jepen elemente përcaktuese të tij.

Shkathtësi Në mbarim të orës së mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të gjejnë elementet e trekëndëshit kënddrejtë në rast se njohin dy prej tyre (nga të cilat të paktën, njëra brinjë). • Të njehsojnë vlerat e funksioneve trigonometrike të këndit x, 0o<x<180o, duke përdorur tabelën për këndin ose për shtuesin e tij. • Të gjejnë me anë të teoremave të sinusit dhe kosinusit, elementet e panjohura në një trekëndësh çfarëdo. • Të njehsojnë sipërfaqen e trekëndëshit çfarëdo, duke pasur të dhënë elemente përcaktuese të tij. • Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta reale.


Mësuesi mund t’u japë paraprakisht si detyrë nxënësve ta lexojnë në mënyrë të pavarur mësimin në shtëpi dhe të hartojnë një përmbledhje të formulave (të shumta) që përmbahen në të. Duke zbatuar parimin “të dish do të thotë në gjendje të zbatosh”, mësuesi duhet të përqendrohet në zgjidhjen nga nxënësit, me punë të pavarur ose me grupe, të ushtrimeve si edhe në diskutimin e zgjidhjeve të propozuara. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 2/a; 3; 4; 5; 6; 7/a.


1. Duke shënuar a,b,c brinjët e trekëndëshit kënddrejtë (c-hipotenuza) dhe A,B këndet e ngushta përballë a,b (përkatësisht), vërtetoni që;

a) asinB=bsinA b) 2 2 2 2( )(1 )c c b tg B= − +

c) sin cosa b B Bc+ = +

67


2. Me të njëjtat të dhëna,vërtetoni që:

3. Gjeni elementet e tjera të trekëndëshit kënddrejtë, duke njohur:

a) a=6 dhe B= 030 b) a=2 3 dhe b=2

c) c=4 dhe b=2 3

4. Vërtetoni që, midis elementeve të një trekëndëshi çfarëdo ekzistojnë lidhjet e mëposhtme:

a)sin( ) sin( ) sin( )

a b cB C A C A B

= =+ + +

b) sin sin sin sinA B C Aa b c a+ + =

+ +

5. Vërtetoni që:

6. Vërtetoni që:

7. Vërtetoni që:

(2p=perimetri)

8. Vërtetoni që:

3.2 Radiani. Rrethi trigonometrik. Harqe trigonometrike

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Radiani. Rrethi trigonometrik. Harku trigonometrik. Këndi trigonometrik. Vlera e harkut (këndit) trigonometrik. Kuadranti. b) Veti. Formula që lidh masën në gradë të këndeve me masën në radian. Formula për vlerën e një harku trigonometrik = k · 3600 + a. c) Metoda. Rrotullimi rreth një pike.

Shkathtësi Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të njehsojnë masën në gradë të këndit, kur njihet masa në radian dhe anasjellas. • Të shkruajnë formulën për vlerat e harqeve trigonometrike , kur njihet vlera a e njërit prej tyre. • Të tregojnë kuadrantin në të cilin mbaron harku trigonometrik , kur njihet vlera e tij x∈R. • Të zbatojnë njohuritë e fituara në situata të thjeshta reale.


Mësuesi duhet t’i shmanget paraqitjes së njohurive në mënyra të gatshme. Në varësi të gjendjes së klasës ai duhet të shtrojë para nxënësve pyetje të strukturuara e të presë përgjigje prej tyre, për të dalë në rezultatet përgjithësuese. P.sh., “Vlera e harkut trigonometrik që merret pasi pika e

68 / Matematika 11

Kreu 3

lëvizshme, duke u nisur nga A arrin në M, e më pas bën një xhiro të plotë në kahun kundërorar, është 3600+a. Sa do të jetë kjo vlerë kur M ka bërë në kahun kundërorar 2, 3, 4, n xhiro të plota?” Edhe shembujt, që në tekst jepen të zgjidhur, mund të trajtohen në klasë në formë gjysmë të zgjidhur, duke e kërkuar plotësimin e zgjidhjes prej nxënësve. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1; 2; 3; 4; 5; 6.


1. a) Gjeni një kënd pozitiv që e ka brinjën e mbarimit të njëjtë me këndin –45o. b) Gjeni dy kënde negativë që e kanë brinjën e mbarimit të njëjtë me këndin 370o.

2. Në cilin kuadrant ndodhet pika M kur harku trigonometrik e ka vlerën –1100o? Sa është ora nëse pas mesit të natës akrepi i minutave është rrotulluar me kënd –840o.

4. a) Shkruani formulën e harqeve trigonometrike, për të cilat pika e mbarimit M përputhet me pikën B’.b) Shkruani formulën e këndeve trigonometrike, për të cilat brinja e mbarimit është OB.

5. Shkruani formulën e këndeve trigonometrike me brinjë të dytë:

a) përgjysmoren e kuadrantit II. b) përgjysmoren e kuadrantit III.

6. Cilat nga formulat e mëposhtme tregojnë harqe me mbarim të njëjtë (k∈Z).

a) x = k.360o+45o b) x = k.360o+135o c) x = k.360o-225o

d) 24

x k ππ= − e) 924

x k ππ= + .

7. Gjashtëkëndëshi i rregullt ABCDEF është brendashkruar në rrethin trigonometrik. Shkruani formulën që jep masat e harqeve me mbarim në kulmet e tij.

8. Shprehni në gradë dhe në radian këndin që ka përshkruar akrepi i minutave pas kalimit të

një kohe të barabartë me: a) 1 e orës4

b) 2 e orës3

c) 3 e orës8

9.

9. Njehsoni, në gradë e në radian, këndet e brendshme të një trekëndëshi, duke ditur që ata janë të përpjesshëm me numrat 1; 2; 3.

3.3 Përkufizimet e funksioneve trigonometrike. Vetitë e sinusit e të kosinusit

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Sinusi, kosinusi, tangenti i këndit me vlerë x në rrethin trigonometrik. Koordinatat e pikës e të vektorit. Funksioni çift; funksioni tek në R. b) Veti. Kufizueshmëria dhe periodiciteti i funksioneve y=sinx; y=cosx. Çiftësia e tyre. Shenjat e funksioneve y=sinx; y=cosx sipas kuadranteve. c) Metoda. Metoda e koordinatave.

Shkathtësi Në mbarim të orës së mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përcaktojnë shenjën e sinusit (kosinusit) në varësi të kuadrantit ku mbaron harku. • Të njehsojnë në raste të veçanta vlerat e sinx, cosx, duke u nisur nga përkufizimet e tyre.

69


• Të përdorin në situata të thjeshta matematikore periodicitetin, kufizueshmërinë dhe çiftësinë e funksioneve y=sinx, y=cosx. • Të zbatojnë njohuritë e fituara në situata të thjeshta.


Materiali i parashikuar në tekst për këtë orë mësimi ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj shtjellimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes me nxënës të ngritur në tabelë. Përkufizimet e sinx, cosx, tgx, cotgx të jepen si në tekst, por nxënësve t’u kërkohen t’i nxjerrin me punë të pavarur lidhjet:

tgx= sincos

xx

, cotgx= cossin

xx

, tgx·cotgx=1.

Pas punimit të shembullit 1, klasa me punë të pavarur apo me grupe të punojë ushtrimin për gjetjen e sin225o, cos225o. Përfundimet për shenjat e sinx, cosx sipas kuadranteve të nxirren nga nxënësit me punë të pavarur ose me grupe. Është e rëndësishme të vihet në dukje se, duke treguar që sin(2π+x)=sinx, ne kemi treguar që funksioni y=sinx është periodik dhe perioda mund të jetë 2π ose numër pozitiv më i vogël se 2π.

Pas vërtetimit të faktit që 1|sin| ≤x , nxënësit të vërtetojnë vetë që 1|cos| ≤x e më tej të zgjidhet ushtrimi që figuron në tekst. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1; 4; 7; 10.


1. Gjeni vlerën e funksioneve të mëposhtme për x = 3π.

a) y = cos2x; b) y = cos(x-2π

);

c)y = sin2x

.

2. Gjeni shenjën e numrave:a) sin(-70o); b) cos160o;

c) sin5

6π; d) cos(

45π− ).

3. Gjeni shenjën e numrave:

a) tg110o; b) tg4

5π; c) cotg(-

34π

).

4. Gjeni shenjën e numrave: a) sin2; b) cos2; c) sin3; d) cos4.

5. Në cilin kuadrant mbaron harku trigonometrik kur masa e tij x plotëson kushtet:

a) cosx>0 dhe sinx = -31 ;

b) sinx<0 dhe cosx = -72

.

6. Gjeni vlerën më të vogël dhe më të madhe të funksionit:

a) y = sin(2x-40o); b) y = 31

cosx;

c) y = 2sin2x .

7. Gjeni vlerën më të vogël dhe më të madhe të funksionit:

a) y = 1-sinx; b) y = 13 sin x+

;

c) y = 57 4sin x−

.

8. Zgjidhni ekuacionet (inekuacionet) në [0,2π].

a) cosx+cosy = 2; b) sinx-siny = 2; c) sinx+siny≥2.

70 / Matematika 11

Kreu 3

9. Në cilin kuadrant mbaron këndi me vlerë x kur është dhënë: sinx · cosx>0 dhe sinx+cosx<0.

10. Krahasoni sinx me x për ]0, [2

x π∈ .

3.4 Variacioni i sinusit dhe i kosinusit

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Rrethi trigonometrik. Koordinatat e pikës. Funksionet y=sinx, y=cosx. Variacioni i funksionit.

b) Veti. Tabelat e variacionit për funksionet y=sinx; y=cosx. Grafikët e tyre për ]2,0[ π∈x. c) Metoda. Metoda e koordinatave. Metoda e ndërtimit të grafikut në bazë të tabelës së njohur të variacionit.


• Të studiojnë variacionin e sinusit (kosinusit) në një kuadrant të çfarëdoshëm, në bazë të paraqitjes gjeometrike të tij në rrethin trigonometrik. • Të riprodhojnë tabelat e variacionit të sinusit (kosinusit).

• Të skicojnë në bazë të tabelave, grafikët e funksioneve y=sinx, y=cosx për ]2,0[ π∈x .


Edhe për këtë mësim, materiali i paraqitur në tekst është mjaft i ngjeshur, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Rekomandojmë të ndiqet shtjellimi i materialit siç është paraqitur në tekst. Janë shumë me rëndësi skicat që tregojnë si ndryshon gjatësia e OQ (ordinata e pikës M) kur lëviz pika M në një kuadrant, sepse në bazë të tyre nxirren përfundimet për variacionin e sinx, kur x rritet në

segmentet 0,2π

, ,

2π π

, 3,

2ππ

, 3 , 2

2π π

.

Variacioni i sinx kur x rritet nga 2

3π drejt π2 të kryhet nga nxënësit me punë të pavarur ose

punë me grupe, siç është parashikuar në tekst. Është hap i rëndësishëm skicimi i grafikut në bazë të tabelës së variacionit. Për këtë, në fillim ndërtohen pikat karakteristike dhe më tej bashkohen ato me vijë të lëmuar. Duhet të mbahet parasysh (e t’u theksohet nxënësve) që merret π≈3,14, sepse përndryshe do të kishim cenim të trajtës së grafikut. Studimi i variacionit të funksionit y=cosx, që duhet të konfirmojë saktësinë e tabelës së variacionit të dhënë në tekst, të kryhet nga nxënësit me punë të pavarur apo me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1, 4, 6, 7, 8/a, b, c.

71



1. Skiconi grafikët e funksioneve të mëposhtme

për ]2,[ ππ−∈x a) y = cosx; b) y= sin2x; c) y = 1+sinx.

2. Krahasonia) cos1 me cos1o; b) sin2 me sin2o; c) cos4 me cos4o.

3. Zgjidhni inekuacionin cosx<sinx për:

a) [0, ]2

x π∈ ; b) 3[ , ]2

x ππ∈ .

4. Plotësoni: a) cos(-780o) = …b) sin(930o) = …

5. Gjeni periodën T për x∈[0, T] dhe skiconi grafikun e funksionit:

a) y = 21

sinx; b) y = cos(x+60o);

c) y = 1-2sinx.

6. Gjeni periodën T dhe për x∈[0, T] skiconi grafikun e funksionit:

a) y = sin2x; b) y = cos2x;

c) y = cos4x; d) y = sin2x

e) y = sin xπ2 ; f) y = cos xπ ;

g) y = sin 2π

x.

7. Të vërtetohet që perioda e funksionit y=sinx është 2π.

8. a) Nëse për çdo vlerë të plotë të k njehsojmë

numrin sin( )30

kπ , sa numra të ndryshëm do të marrim?b) Si duhet të jetë numri a që bashkësia e numrave të trajtës cos (πna), ku n është numër i plotë, të jetë e fundme?

3.5 Vetitë dhe variacioni i funksionit y=tgx

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksioni y=tgx. Koordinatat e pikës e të vektorit. b) Veti. Paraqitja e tgx nëpërmjet vektorit . Shenja e funksionit y=tgx sipas kuadranteve

sipas sincos

xx

. Periodiciteti i tangentit. Tabela e variacionit e tangentit për ,2 2

x π π ∈ − .

Grafiku i tij. c) Metoda. Metoda e koordinatave. Metoda e ndërtimit të grafikut sipas tabelës së dhënë të variacionit.


• Të përcaktojnë shenjën e tangentit sipas kuadrantit ku mbaron harku. • Të përdorin në situata të thjeshta matematikore periodicitetin dhe çiftësinë e funksionit y=tgx.

• Të riprodhojnë tabelën e variacionit të funksionit y=tgx në ,2 2π π −

.

• Të skicojnë në bazë të tabelës së variacionit grafikun e y=tgx për ,2 2

x π π ∈ − .

72 / Matematika 11

Kreu 3


Shtjellimi i materialit të ri duhet të zërë të gjithë orën e mësimit, për shkak të ngarkesës konceptuale dhe vëllimore që ka. Ndër vetitë e funksionit y=tgx, mësuesi të trajtojë vetë shkurt gjetjen e bashkësisë së përcaktimit dhe paraqitjen gjeometrike në rrethin trigonometrik, me anë të vektorit . Për studimin e shenjës së tgx sipas kuadranteve dhe për vërtetimin e faktit tg(180o+x)=tgx, është mirë të aktivizohet klasa për punë të pavarur ose me grupe. Për studimin e variacionit të funksionit y=tgx rekomandohet të ndiqet ecuria metodike e parashtruar në tekst, duke përdorur skicat që tregojnë si ndryshon AT (pra, ordinata e T) kur pika M lëviz në rrethin trigonometrik (pra, kur ndryshon x). Mësuesi nuk duhet të ndalet gjatë në shënimet:

( )2( )2

limxx

ππ

→<

tgx=+∞, ( )2( )2

limxx

ππ

→>

=-∞

dhe nuk duhet të kërkojë nga nxënësit riprodhimin e tyre e sqarime për to.

Për shënimin e parë mjafton të kuptohet që “kur vlerat e x, duke mbetur më të vogla se 2π

i

afrohen pambarimisht 2π

, atëherë tgx rritet pambarimisht”.

Kuptimi i limitit që haset këtu do të trajtohet gjerësisht në kreun VI. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 2, 3, 4, 7, 8.


1. Vërtetoni se në rrethin trigonometrik tgx = yT.

2. Për cilën vlerë të x arrin vlerën më të madhe funksioni a) y = sin(cosx); b) y = tg(sinx)?

3. Vërtetoni që perioda e funksionit y=tgx është π.

4. a) Vërtetoni që funksioni y=tgx është funksion tek.b) Duke përdorur këtë fakt, skiconi grafikun e

funksionit y=tgx për ] ,0[2

x π∈ −

5. Skiconi, për ]0, [x π∈ , grafikun e funksionit:

a) y=-tgx b) y=1+tgx c) y=2tgx d) y= tgx

6. Në rrethin trigonometrik është dhënë harku AM me vlerë x. Shënojmë me S pikën ku gjysmëdrejtëza OM pret tangjenten e hequr ndaj rrethit trigonometrik në pikën B të tij. Vërtetoni që cotgx është i barabartë me abshisën e pikës S.

7. Duke pasur parasysh se cotgx=xS,shqyrtoni variacionin e funksionit y=cotgx për x∈]0,π[

8. Në një rreh trigonometrik ndërtoni këndin më të vogël pozitiv AOM, për të cilin tangenti

është: a) 5 2 b)-2 3

73


3.6 Identitete trigonometrike

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Bashkësia e vlerave të lejuara të shprehjes me ndryshore. Identiteti.

b) Veti. Formula themelore sin2x+cos2x=1. Lidhjet cos2x= 21

1 tg x+; sin2x=

2

21tg x

tg x+.

c) Metoda. Metoda e vërtetimit të identiteteve trigonometrike, duke bërë shndërrime në njërën anë.


• Të riprodhojnë nxjerrjen e formulës themelore. • Të gjejnë, duke përdorur atë, vlerën e sinx (cosx), kur njihet cosx (sinx) dhe kuadranti ku mbaron këndi x.

• Të gjejnë me anë të formulave x2sin =2

21tg x

tg x+; x2cos = 2

11 tg x+

vlerën e sinx (cosx)

kur njihet tgx dhe kuadrantin ku mbaron këndi x. • Të vërtetojnë identitete të thjeshta trigonometrike, duke bërë shndërrime në njërën anë.


Si formula themelore sin2x+cos2x=1, ashtu edhe identitetet x2cos = 21

1 tg x+; x2sin =

2

21tg x

tg x+,

për të cilat në tekst janë dhënë vërtetime sintetike, është mirë të kërkohet të nxirren nga nxënësit me punë të pavarur ose me grupe. Kjo punë diskutohet me klasën. Mësuesi të drejtojë punën e nxënësve edhe në vërtetimin e identiteteve të thjeshta. Rëndësi ka kuptimi i saktë i identitetit në bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshoreve që figurojnë në anët e tij. Të dobishme janë edhe barazimet shkronjore që nuk janë identitete; për konstatime të tilla të përdoret metoda e kundërshembullit. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen numrat 1, 2, 3, 4, 6/a, b.


1. Harku me masë x i përket kuadrantit IV.

a) Gjeni cosx, kur sinx = - .

b) Gjeni sinx, kur cosx = 53

.

2. Dihet që y∈]90o, 180o[.

a) Gjeni siny, kur cosy = -22

.

b) Gjeni tgy, kur siny = 23 .

3. Dihet që -2π

<x<2π

.

a) Gjeni cosx, kur sinx = 0,8.

b) Gjeni cosx, kur tgx = -43 .

4. Zgjidhni ekuacionin: a) 2sin2x = 3cosx; b) 2cos2x – sinx = 1; c) cos2x = sin2x; d) sin4x = cos4x.

5. Tregoni se për çdo vlerë të lejueshme të x ka vend barazimi:

a) cos4x+sin4x = 1-2sin2x·cos2x; b) cos2x+sin2x·cos2x+sin4x = 1.

74 / Matematika 11

Kreu 3

c) 1+cotg2x = x2sin

1;

d) sin6x+cos6x = 1-3sin2x·cos2x.

6. Gjeni shenjën e prodhimit sinx·cosx·tgx

7. a) Shndërroni shprehjen

,

në mënyrë që të përmbajë vetëm sinx.b) Shndërroni shprehjen

,

në mënyrë që të përmbajë vetëm cosx.

8. Shndërroni shprehjen e mëposhtme në mënyrë që të përmbajë vetëm tgx:

9. Gjeni, për këndin e ngushtë x, sinx dhe cosx,

duke ditur që sinx+cosx= 2 .

3.7 Ushtrime

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe përmirësimi i shkathtësive të zhvilluara në orët paraardhëse të kreut. Mësuesi mund t’u japë më parë nxënësve për detyrë përgatitjen në shtëpi të përmbledhjes së sistemuar të fakteve kryesore të trajtuara në mësimet 3.1-3.6. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit mund të lexojnë në të në mënyrë të pavarur (kjo i shërben edhe aftësimit për menaxhimin e informacionit prej tyre) shembujt nr. 1, nr. 2, të dhënë të zgjidhur në tekst. Më tej mund të organizohet një diskutim për të nxjerrë përfundime përgjithësuese prej tyre dhe pastaj të kalohet në zgjidhjen me punë të pavarur të kërkesave 1, 2 të ushtrimit. Në të njëjtën mënyrë procedohet për trajtimin e shembujve të zgjidhura nr. 3, nr. 4, nr. 5. Më tej vazhdohet me zgjidhje me punë të pavarur apo me grupe të ushtrimeve të pazgjidhura që figurojnë në tekst. Për organizimin e punës së diferencuar në klasë të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimal janë ato me numër 1; 2/a,b; 3; 4/a,b; 6.


1. Gjeni pozicionin fillestar, periodën dhe amplitudën për lëkundjen e përshkruar nga funksioni:

a) y = sin2t

; b) y = 3sin2t;

c) y = sin(t+4π

); d) y = sinπt;

e) y = 2sin(3t-π).

2. Krahasoni çiftet e lëkundjeve:a) y = sint; y = cost. b) y = sinπt; y = 3sinπt.

c) y = cos(t+2π

); y = -sint.

3. Për lëvizjen lëkundëse janë dhënë (sipas radhës):

- pozicioni fillestar i pikës - perioda - amplituda Jepni lëvizjen lëkundëse me një ekuacion të formës y = f(t). a) 0; 2π; 3 b) 1; π; 5 c) 2; 4; 3.Gjeni periodën dhe vlerën më të madhe.

75


4. Jepni tabelën e variacionit të funksionit

y = 5sin(6π t).

5. Të dy akrepat e sahatit janë të mbivendosura në orën 12. Pas sa kohe do të mbivendosen përsëri për herën e parë?

6. Studioni variacionin e funksionit y=sinx (y=cosx),për ] 2 ,0[x π∈ − .

7. Thjeshtoni shprehjen:a)

b)0 2 0

2 0 0 2 0( )cos0 ( ) sin 270cos90 2 sin90 180a b a b

a ab b tg+ + −

+ +.

8. Studioni shenjën e shprehjes sinx·cosx në

intervalin ]0, 2 [π .

9. Duke u nisur nga paraqitja gjeometrike e sinx, cosx në rrethin trigonometrik, vërtetoni që:

a) sinx+cosx>1 , për ]0, [2

x π∈

b) .

10. Vërtetoni që, për ]0. [2

x π∈ , kemi tgx+cotgx 2≥ .

3.8 Formulat e reduktimit

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Këndi trigonometrik, rrethi trigonometrik, kuadranti i mbarimit, radiani.

b) Veti. Formulat për sin2π α ±

, cos2π α ±

, ( )απ ±sin , ( )απ ±cos , ( )απ ±2sin ,

( )απ −2cos . c) Metoda. Përdorimi i formulave të reduktimit për njehsimin e vlerave të funksioneve trigonometrike nga 0o në 360o, nëpërmjet vlerave të funksioneve trigonometrike të këndeve të ngushtë.


• Të shkruajnë një kënd të dhënë në mënyrë të përshtatshme nëpërmjet një këndi të ngushtë për të përdorur formulat e reduktimit. • Të zbatojnë rregullin mnemonik që lejon mbajtjen mend të formulave. • Të shndërrojnë shprehje të thjeshta trigonometrike duke përdorur formulat e reduktimit.


Materiali mësimor i parashikuar për këtë orë mësimi lejon aktivizim të masës së nxënësve në shtjellimin e tij.

Mësuesi të shpjegojë vetë mënyrën se si nxirren formulat për sin2π α −

e cos2π α −

.

Nxënësit më tej, me punë të pavarur ose me grupe, të drejtuar nga mësuesi, të nxjerrin formulat

për sin2π α + , cos

2π α + .

76 / Matematika 11


Mësuesi tregon se si mund të merren formulat për )sin( απ + nga ajo për sin2π α +

, duke

shkruar π+a =2π +

2π α +

=2

uπ + .

Nxënësit zgjidhin me punë të pavarur ose me grupe ushtrimin për nxjerrjen e formulave për

)cos( απ + , )sin( απ − , )cos( απ − .

Mësuesi trajton shkurt si në tekst nxjerrjen e formulave për )2sin( απ − , )2cos( απ − . Nxënësve u duhet vënë në dukje dobia e rregullës për mbajtjen mend të formulave. Sqarimit të përmbajtjes dhe mënyrës së zbatimit të tij i duhet kushtuar koha dhe vëmendja e duhur nëpërmjet trajtimit të shembujve dhe zgjidhjes së ushtrimeve. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numër 1, 2, 3, 4, 5.


1. Vërtetoni që: a) sin(360o-x) = -sinx b) cos(360o-x) = cosx

2. Paraqitni më thjesht shprehjet:

a) sin(x-90o) + cos(x+90o) + sin(2π

+x) +

+ cos(2π

-x)

b) sin(180o+x) + sin(90o+x) + + sin(-x) · tg(90o-x)

c) cos(π-x) · cos(x+2π

) +

+ cos(180o+x) · cotg(2π

-x).

3. Skiconi grafikun e funksionit: a) y = cos(90o-x); b) y = cos(180o-x); c) y = cos(-2x).

4. Gjeni: a) sin(270o+x); b) cos(270o-x); c) sin(x-270o); d) cos(x-270o).

5. Vërtetoni identitetin (për vlera të lejuara të a):

2( )cos( )a b

α+

−+

43sin( )2

abπ α−

= 2( )

sin( )2

a bπ α

−

+.

6. Vërtetoni identitetet: a) cos(45o+x) = sin(45o-x);

b) tg(4π

-x) = cotg(4π

+x).

7. ∧A ,

∧B ,

∧C janë kënde të një trekëndëshi.

Vërtetoni që:

a) sin∧A = sin(

∧B +

∧C ) ;

b) sin2

∧A

= cos(2

B C∧ ∧

+ )

8. Gjeni vlerën e shprehjes:

a) ;

b) tg5o·tg10o·tg15o…tg85o

3.9 Zbatime

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Vlera e harkut (këndit) trigonometrik. Funksionet trigonometrike.

b) Veti. Formulat për 2

tg n π α ± .

77


c) Metoda. Reduktimi i problemit të gjetjes së vlerave të funksioneve trigonometrike të këndit x, në gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrike të një këndi në [0o, 90o].


• Të përdorin formulat për 2

tg n π α ± për njehsimin e vlerës së tgx, kur oo x 3600 <≤ .

• Të përdorin për vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve nga [0o, 90o] tabelën e vlerave dhe makina llogaritëse të përshtatshme.


Materiali mësimor i parashikuar për këtë orë mësimi lejon aktivizim të mirë të masës së nxënësve si në nxjerrjen e formulave, ashtu edhe në zbatimet e tyre. Të ndiqet shtjellimi metodik i propozuar në tekst. Është me rëndësi të theksohet fakti që për të mbajtur mend formulat mund të adoptohet rregulli mnemonik, i ngjashëm me atë për formulat për sinusin e kosinusin. Në tekst ka disa shembuj të cilët është mirë të trajtohen si gjysmë të zgjidhur, për të siguruar pjesëmarrjen aktive të nxënësve në procesin e zgjidhjes. Reduktimi në [0o, 90o] është efikas nëse nxënësit janë në gjendje të kryejnë gjetjen e vlerave të funksioneve trigonometrike në këtë segment nëpërmjet tabelës reale të vlerave (“Matematika 10”, faqe 181) dhe përdorimit të makinave llogaritëse të përshtatshme. Ushtrime për përforcimin e këtyre aftësive duhet të punohen detyrimisht në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal, të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 4, 5.


1. Vërtetoni që “Nëse njohim vlerat e sinx, cosx për x∈[0, 45o], mund të gjejmë edhe vlerat e tyre për x∈[45o, 90o]”.

2. Radhitni numrat e mëposhtëm sipas radhës rritëse, pa gjetur vlerat e tyre.

a) sin(-15o), sin115o, sin165o, sin205o b) sin25o, cos50o, sin95o, cos345o.

3. Krahasoni: a) log3 (sin150o) me log3 (sin135o) b) log0,5 (cos330o) me log0,5 (cos20o) c) 2cos 60 me cos260o.

4. Thjeshtoni shprehjet:

a) sin(270 0 0) sin(450 )α α− + − b)

5. Njehsoni vlerën e shprehjes:a)

b)

6. Vërtetoni barazimet:

a) 0 0sin(70 ) cos(20 )α α+ = − b)

7. Vërtetoni identitetin:

2 22

2 22 2

[1 cot ( )]4 2 1(1 ) [1 cot ( )]

2

gtgtg g

π ααπα α

− −+ =

+ + −

8. Reduktoni në kuadrantin e parë:a)

b) .

78 / Matematika 11


3.10 Ekuacione trigonometrike elementare

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Ekuacioni me një ndryshore. Rrënja e tij. Ekuacione të njëvlershme. Rrethi trigonometrik. Funksionet trigonometrike. b) Veti. Formulat që japin bashkësitë e zgjidhjeve të ekuacioneve trigonometrike elementare sinx=a, cosx=b, tgx=c. c) Metoda. Paraqitja e funksioneve trigonometrike në rrethin trigonometrik. • Shndërrime të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore.


• Të zgjidhin ekuacione trigonometrike elementare sinx=a, cosx=b, tgx=c në R. • Të zgjidhin ekuacione trigonometrike që sillen në elementare me shndërrime të thjeshta identike e të njëvlershme.


Mësimi është mirë të zhvillohet me tekst të hapur. Shtjellimi i materialit në tekst synon që nëpërmjet shembullit të arrihet në përfundimin përgjithësues për bashkësinë e zgjidhjeve të ekuacionit sinx=a. Është mirë që shembulli të trajtohet në klasë gjysmë i zgjidhur, duke shtruar para nxënësve pyetje të strukturuara dhe të ndiqet nga punimi i një ushtrimi, para se të kalohet në sintezën për ecurinë e zgjidhjes së ekuacionit sinx=a. Për zgjidhjen e ekuacioneve cosx=b, tgx=c të ndiqet ecuria metodike e parashtruar në tekst.

Shembulli për 3

tg x ππ − = 3− mund të lihet për lexim të pavarur nga nxënësit.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 6, 7, 11.


1. Paraqitni zgjidhjet e ekuacionit me një formulë të vetme.

a) sinx = 0; b) sinx = 1; c) sinx = -1; d) cosx = 0; e) cosx = 1; f) cosx = -1.

2. Zgjidhni ekuacionin:

a) sin3x = -22

; b) sin5

2x = 1;

c) sin(x-30o) = 23 ; d) sin(2x-1) =

21 ;

e) cos2x = 0; f) cos(2x-60o) = -21

.


a) sin2π y = 0; b) sinπt = 1;

c) sin2π

t = -1; d) cos2π t = 1.

4. Për ç’vlera të x janë të vërteta barazimet:

a) sin(π+x) = 22 ; b) sin(

2π

-x) = -21 ;

c) cos(π-x) = -21

; d) cos(π+3x) = 21

.

5. Zgjidhni ekuacionet:

a) tg3x = 0; b) tg(2x-10o) = -33 ;

c) tg(π-2x) = -1.

6. Zgjidhni ekuacionet: a) cosx = sinx; b) sinx+cosx = 0;

c) sinx+ 3 cosx = 0.

79


7. Zgjidhni ekuacionin: a) 1 11 cos x

=+

b) 2 11 sin x

=+

c) 2 3 0tg x tgx+ =

8. Zgjidhni ekuacionin: a) (2sinx+1)(tgx+1)=0

b) 22cos 3 2 cos 2 0x x− + =

9. Zgjidhni ekuacionin: a)2cos 2(1 sin )

sinx x

x= −

b) 2 21 1 2

sin 1 cosx x+ =

+.

3.11 Ushtrime

Synimi i mësuesit në trajtimin e materialit të vendosur në tekst për këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe forcimi i aftësive për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike të thjeshta, në vazhdim të punës së nisur në mësimin 3.10. Mësimi të zhvillohet me tekst hapur, duke gërshetuar shqyrtimin e shembujve dhe zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në tekst. Pasi të trajtohet nga mësuesi në tabelë zgjidhja e ushtrimit 1, nxënësit me punë të pavarur e me grupe zgjidhin ushtrimet 2 dhe 3/a. Trajtohet nga mësuesi në tabelë ushtrimi i zgjidhur nr. 4, e më pas nxënësit zgjidhin me punë të pavarur e me grupe ushtrimin 5/a e më pas ushtrimin 6/a, b. Mësuesi trajton ushtrimin e zgjidhur nr. 8 dhe vë nxënësit në punë për zgjidhjen e ushtrimit 9/a. Mësuesi zgjidh në tabelë ushtrimin 12 e më pas nxënësit, me punë të pavarur, zgjidhin ushtrimin 13/a. Të mbahet parasysh se ushtrime të nivelit minimal konsiderohen ato me numrat 2, 3, 5, 7/a, b,9.


1. Paraqitni me një formulë të vetme bashkësinë e zgjidhjeve të ekuacionit:

a) cosx·sinx = 0; b) (sinx-1)·cosx = 0;

c) sin2x · sinx = 0; d) cosx·cos2x = 0.

2. Zgjidhni ekuacionet: a) 2cosx+1 = 0; b) sin2x+sinx = 0;

c) 3 tg2x - tgx = 0; d) 4sin2x – 1 = 0.

3. Zgjidhni ekuacionet: a) 2sin25x - 1 = 0; b) 2sin2x – sinx – 1 = 0;c) 2cos2x – 3cosx+1 = 0; d) cos4x+2 = 3cos2x.


a) 2sinx = tgx; b) 2(sinx – 1) = 4

sin x;

c) cos x = cosx; d) 2sinx · cotgx+1 = cosx.

5. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit në [0, 2π]

a) y = 2 - cosx; b) y = 5

1 2sin2x−

;

c) y = cos2x – 2cosx – 5.

6. Zgjidhni sistemin e ekuacioneve për

]2,0[, π∈vu

80 / Matematika 11


a) cos cos 0cos cos 1

u vu v

+ = − =

;

b) cos 3 0

cos 3 0

tgu v

tgu v

+ + =

− + =.


a) coscos

xx

= 0; b) xx

sinsin

= 1.

8. Zgjidhni në [0, 2π] inekuacionet:

a) cosx<21

; b) sinx>-21

; c) |sinx|< 22

.


a) 0 0sin(3 10 ) cos(80 3 ) 1x x+ + − =

b) 2 0 02sin ( 30 ) 3cos( 60 ) 1 0x x+ − − + =

3.12 Formulat për sinusin (kosinusin) e shumës dhe diferencës së dy këndeve

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksionet trigonometrike të një këndi në rrethin trigonometrik. Prodhimi numerik i dy vektorëve.

b) Veti. Formulat për )sin( 21 xx ± , )cos( 21 xx ± .


• Të përdorin formulat për )sin( 21 xx ± , )cos( 21 xx ± për njehsimin e vlerave të funksioneve trigonometrike të këndeve, që shkruhen si shumë a diferencë e këndeve 30o, 45o, 60o, 90o. • Të përdorin këto formula për thjeshtimin e shprehjeve trigonometrike. • Të përdorin këto formula për të zgjidhur ekuacione trigonometrike të thjeshta.


Ushtrimi që jep, nëpërmjet krahasimit të cos(90o-60o) me cos90o-cos60o, idenë që kosinusi (sinusi) i shumës nuk është kurdoherë i barabartë me shumën e kosinuseve (sinuseve) është mjaft i rëndësishëm për të paraprirë gabime të mundshme të nxënësve, që për fat të keq vihen re shpesh. Nxjerrja e formulës për cos(x1-x2) të bëhet nga mësuesi, duke kërkuar herë pas here mendimin e nxënësve. Pas punimit të shembullit për cos15o, të kërkohet që nxënësit me punë të pavarur të njehsojnë cos150o (pa përdorur paraqitjen në rrethin trigonometrik). Formula për cos(x1+x2) të nxirret nga nxënësit me punë të pavarur ose me grupe, duke u dhënë vetëm sugjerimin “të bëhet me formulën e njohur për cos(x1-x2), zëvendësimi i x2 me –x2”. Këtu do të ishte me vend sqarimi paraprak se formula për cos(x1-x2) është një identitet me dy ndryshore reale dhe prandaj mbetet e vërtetë nëse zëvendësojmë x1, x2 me kënde të çfarëdoshme. Pasi trajtohet shembulli për cos105o, të kërkohet nga nxënësit që të njehsojnë me punë të pavarur cos225o (pa paraqitje në rrethin trigonometrik). Diskutimi i kësaj pune mund të përdoret për të

vënë në dukje se formula për )180cos( α+o mund të nxirret nga formula për cos(x1+x2). Formulat për sin(x1+x2) (me sugjerimin për zëvendësimin e x1 me (90o-x1) në identitetin për

81


sin(x1+x2)) dhe ajo për sin(x1-x2) të nxirren nga nxënësit me punë të pavarur ose me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 3, 5, 8, 9.


1. Vërtetoni formulën për sin(x1-x2) duke njohur atë për sin(x1+x2).

2. Paraqitni më thjesht shprehjet: a) sin2x·cosx = cos2x·sinx;

b) sinx·sin2x

+cosx · cos2x .

3. Gjeni saktë: a) sin75o; b) cos15o; c) cos105o.

4. Paraqitni më thjesht shprehjet: a) sin(x+y) + sin(x-y); b) cos(x-y) – cos(x+y).

5. Paraqitni më thjesht shprehjet: a) cos(x+30o) + sin(x+60o);

b) sin(4π

+x) · sin(4π -x).

6. Harku me masë x i përket kuadrantit të dytë.

a) Gjeni sin(60o+x), kur cosx = -54 ;

b) Gjeni cos(x-135o), kur sinx = 22

.

7. Zgjidhni ekuacionin: a) cos3x · cosx + sin3x · sinx = 1; b) sin(x+35o) + sin(x-35o) = 0;

c) sinx·cos2x

- cosx·sin2x

= -21 ;

d) 2cos(4π

+x)· cos(4π

-x) + sin2x = 0.

8. Kosinuset e dy këndeve të një trekëndëshi

janë: 3 12;5 13

.

Gjeni kosinusin e këndit të tretë.

9. Vërtetoni që:

tg2x – tgx = sincos cos 2

xx x⋅

;

3.13 Zbatime

Njohuri teorike kryesore a) Veti. Formulat për , . b) Metoda. Shndërrimi i shprehjes asinx+bcosx në trajtën .


• Të përdorin formulat për për njehsim vlerash të funksionit tangent. • Të përdorin këto formula për thjeshtimin e shprehjeve trigonometrike jo të ndërlikuara. • Të përdorin këto formula për zgjidhje ekuacionesh trigonometrike të thjeshta. • Të përdorin shndërrimin asinx+bcosx= në situata të thjeshta matematikore. • Të gjejnë amplitudën dhe periodën kur mblidhen dy lëvizje lëkundëse harmonike me të njëjtën periodë.


Materiali i parashikuar në tekst për këtë orë mësimi krijon hapësira të gjera për pjesëmarrjen aktive të nxënësve.

82 / Matematika 11


Mësuesi trajton nxjerrjen e formulës për tg (a+b) dhe në kërkesa që nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, të nxjerrin formulën e ngjashme për tg (a-b).

Pasi trajton shndërrimin e shprehjes asinx+bcosx në trajtën sin( )cos

a x αα

+ , mësuesi (pavarë-

sisht se në tekst është dhënë zgjidhja) kërkon që nxënësit të zbatojnë këtë lloj shndërrimi duke kryer, me punë të pavarur a me grupe, zgjidhjen e ekuacionit 3sinx- cosx=3. Mbledhja e dy lëvizjeve lëkundëse harmonike është mirë të trajtohet me aktivizimin e nxënësve, duke shtruar fillimisht para tyre ushtrimin për gjetjen e ekuacionit të lëvizjes rezultante të pikës, që merr pjesë njëherësh në dy lëvizje me ekuacion y=3sin2t; y=4cos2t. Më tej nxirret rezultati përgjithësues për rezultanten e dy lëvizjeve lëkundëse harmonike me

ekuacione tay ωsin= ; tby ωcos= (me të njëjtën periodë). Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 2, 3, 6, 7.


1. Gjeni vlerat e funksioneve trigonometrike të

këndit: a) 0105 b) 0165 .

2. Duke ditur tgx=2; tgy=1 dhe 0 0 0 00 90 ;0 90x y< < < < gjeni:

a) tg(x+y); tg(x-y); sin(x+y); sin(x-y).

3. Gjeni sin( 090 α β+ + ) duke njohur:

.

4. Vërtetoni që

5. Vërtetoni që, nëse x dhe y janë kënde të ngushta, atëherë sinx+siny<1

6. Duke ditur që tga; tgb janë rrënjët e ekuacionit të fuqisë së dytë x2+px+q=0, shprehni

nëpërmjet p;q vlerat e .

7. Vërtetoni identitetin:a)

b) ( ) ( ) cot( ) ( ) cot

tg x y tg x y gy tgytg x y tg x y gx tgx

+ + − +=+ − − +

.

8. Vërtetoni identitetin:a) sinx·sin(y-z)+siny·sin(z-x)++ sinz · sin(x-y)=0b) sin(x+y) · sin(x-y)+sin(y+z) · sin(y-z)+sin(z+x)sin(z-x)=0.

9. Vërtetoni identitetin:a)

b) .

3.14 Funksionet trigonometrike të dyfishit të këndit

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. sin2x; cos2x. b) Veti. Formulat sin2x=2sinx·cosx; cos2x=cos2x-sin2x.


• Të nxjerrin formulat për sin2x, cos2x prej formulave të njohura.

83


• Të përdorin këto formula për njehsim vlerash të funksioneve trigonometrike; për thjeshtim shprehjesh trigonometrike; për zgjidhje ekuacionesh trigonometrikë të thjeshtë. • Të përdorin këto formula në situata të thjeshta reale.


Materiali i paraqitur në këtë orë mësimi mund dhe duhet të sigurojë një pjesëmarrje aktive të nxënësve në trajtimin e tij. Është domethënës ushtrimi 1, që synon nxjerrjen nga nxënësit me punë të pavarur të formulave për sin2x, cos2x. Në tekst është dhënë më tej një vërtetim sintetik për këto formula, duke u bazuar në formulat e njohura për sin(x1+x2), cos(x1+x2). Shembulli për vlerën më të madhe të funksionit y=sin2x-cos2x është mirë të shtrohet fillimisht si ushtrim para nxënësve.

Pasi mësuesi të vërtetojë formulën x2sin =2

2cos1 x− , është mirë të pozohet problemi analog

për shprehjen e cos2x nëpërmjet cos2x para nxënësve. Po kështu me punë me grupe mund të kërkohet vërtetimi i formulës për tg2x me dy rrugë:

a) tg(2x)=tg(x+x)=1tgx tgx

tgx tgx+

− ⋅;

b) tg(2x)= sin 2cos2

xx

= 2 22sin cos

cos sinx x

x x−=

2

2 2

2

2sin coscos

cos sincos

x xx

x xx

−.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 5, 6/a, b.


1. Paraqitni më thjesht shprehjet:

a) 2sin2x

cos2x

; b) 4sin4u

cos4u

;

c) cos2

8x

- sin2

8x

; d) 4sin2v cos2v;

e) cos2cos sin

xx x−

; f) cos4a- sin4a;

g) (sin2x+cos2x)2.

2. Zgjidhni ekuacionet: a) 2siny cosy = 1;

b) 21 - (cosx-sinx) (cosx+sinx) = 0;

c) (sinu-cosu)2 = 1; d) sin4x = tg2x.

3. Për ç’vlerë të ],0[ π∈x merr vlerën më të madhe (më të vogël) funksioni:

a) y = sin2x – cos2x; b) y = 4sin23x cos23x; c) y = sinx cosx; d) y = (1-sinx cosx)2.

4. Shprehni a) tg2a nëpërmjet tga; b) cotg2x nëpërmjet cotgx.

5. Trekëndëshi kënddrejtë me hipotenuzë c, njërin kënd të ngushtë e ka x. Për ç’vlerë të x syprina e trekëndëshit është më e madhja?

6. Është dhënë që x∈]90o, 180o[

a) Gjeni sin2x, kur sinx = 54 ;

b) Gjeni cos2x, kur cosx = -23 ;

c) Gjeni sin2x, kur cosx = -31

.

84 / Matematika 11


7. Vërtetoni që për gjithë vlerat e lejuara të ndryshores ka vend barazimi:

a) sin 21 cos2

αα+

= tga;

b) tgx + cotgx = x2sin

2.

8. Zgjidhni ekuacionet: a) 1 – cos2x = 2sinx; b) cos4x + sin2x = 1;

c) 1 + cosx = 2cos2x

.

9. Është dhënë x∈]270o, 360o[.

a) Gjeni cosx, kur cos2x = 21

;

b) Gjeni sin2x

, kur cosx = +21

.

10. Në një trekëndësh dybrinjënjëshëm

kosinusi i këndit në bazë është 53

.

a) Gjeni kosinusin e këndit në kulm. b) Cili është lloji i trekëndëshit?

3.15 Kthimi në prodhim i shumës apo ndryshesës së dy sinuseve apo dy kosinuseve

Njohuri teorike kryesore a) Veti. Formulat për ba sinsin ± , ba coscos ± . b) Metoda. Zëvendësimi i ndryshores për sjelljen e një shprehjeje në trajtë të përshtatshme.


• Të përdorin formulat për ba sinsin ± , ba coscos ± për thjeshtime të shprehjeve trigonometrike dhe për të zgjidhur ekuacione trigonometrike të thjeshta. • T’i përdorin ato për të modeluar situata reale të thjeshta, si p.sh. për mbledhjen e dy lëvizjeve lëkundëse harmonike me perioda të ndryshme.


Paraqitja e materialit në tekst i ka lënë shumë vend vërtetimeve sintetike. Por brendia e këtij materiali është e tillë që mund (dhe duhet) të sigurojë pjesëmarrjen aktive të nxënësve në shtjellimin e tij. Pas nxjerrjes së formulës për cosa+cosb, ku nxënësit njihen me dobinë që paraqet futja e

ndryshoreve të reja x1, x2 të tilla që: 1 2

1 2

x x ax x b

+ = − =

, është mirë që më tej formula për cosa-cosb të

nxirret nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe. E njëjta linjë të mbahet edhe për nxjerrjen e formulës për sina+sinb. Pas nxjerrjes së formulave, duke mos u kufizuar me shembujt e dhënë në tekst, rekomandohet të kalohet në zbatime të thjeshta të formulave për shndërrime shprehjesh e zgjidhje ekuacionesh të thjeshta trigonometrike, duke përdorur këto formula. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 6.


1. Vërtetoni formulat për kthimin në prodhim të sina + sinb; cosa - cosb duke përdorur formulën për cosa + cosb.

2. Zgjidhni ekuacionet: a) sin4x + sin2x = 0; b) sin5x + sin3x = cosx;

85


c) sin7x – sin5x = sinx; d) cos4x + cos2x = cosx.

3. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit: a) y = cos(30o-x) + sinx; b) y = sinx + cosx;

4. Gjeni periodën, amplitudën dhe pozicionin fillestar në lëkundjen që jepet me formulën:

a) y = sin(t+60o) + sint;

b) y = cost + cos(t+4π

); c) y = cost – sint.

5. Ktheni në prodhim:

a) 1 + sinx; b) 21

+ cosx;

c) sinx + 2sin2x

; d) 1 + 2cosx + cos2x.

6. Ktheni në prodhim: cotga+ cotgb.

7. Të zgjidhet ekuacioni:

a) 0 0sin( 45 ) sin( 45 ) 1x x+ + − = b) .

8. Të zgjidhet ekuacioni:a) sin7x+sin3x=sin5x+sinx b) sinx+2sin3x+sin5x=0

9. Të zgjidhet ekuacioni:a) sin4x+cos4x= b) sin2x+cos2x=sinx+cosx

3.16 PërsëritjeSynimi i mësuesit në këtë orë duhet të jetë strukturimi i njohurive kryesore teorike të kreut dhe zhvillimi i mëtejshëm i aftësive të fituara gjatë trajtimit të tij. Nxënësit, nën drejtimin dhe me porosi të mësuesit, duhet të bëjnë një punë të konsiderueshme përgatitore për këtë orë mësimi, duke përmbledhur, sistemuar e hedhur në letër në mënyrë sintetike njohuritë teorike kryesore (e jo vetëm formulat). Zhvillimi i mësimit të bëhet me tekst hapur. Pyetjet e shkurtra me karakter teorik që figurojnë në të kërkojnë përgjigje individuale nga secili nxënës. Pas tyre ka ushtrime me karakter zbatimesh, duke filluar nga ato më të thjeshtat. Mësuesi, për trajtimin e tyre, duhet të kombinojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve mbi disa nga këto zbatime, me punën në tabelë të nxënësve të ndryshëm që zgjidhin të tjera ushtrime. I duhet kushtuar kohë paraqitjes së zgjidhjes së secilit ushtrim (si nga grupi në bankë, ashtu edhe nga nxënësi në tabelë) dhe analizës së saj. Mësuesi duhet t’i lërë nxënësit të shprehen, të kontrollojnë përgjigjet që japin, të bëjnë vetëkorrigjimin e gabimeve eventuale; ai duhet të kërkojë argumentimin e gjykimeve të shprehura. Si ushtrime të nivelit minimal (prioritare në trajtimin me punë të pavarur prej nxënësve) të konsiderohen ato me numrat 1/b, c; 2/b, c; 3/b, c; 4/b; 6; 7/b; 11/a, b; 13/b; 14/b; 18/b. Mësuesi nuk duhet të synojë e as të kërkojë zgjidhjen me punë të pavarur (qoftë edhe në shtëpi, pas mësimit) të të gjitha ushtrimeve që figurojnë në tekst, duke u kujdesur të mos shkaktojë mbingarkesë lëndore e të pafrytshme tek nxënësit.

Ushtrime plotësuese1. Gjeni me disa mënyra sin510o.

2. Zgjidhni me mënyra të ndryshme ekuacionin: a) cosx = sinx; b) sinx = sin2x.

3. Zgjidhni ekuacionin: a) sin2x = 1 – sinx cosx;

b) tgx + cotgx – 2 = 0; c) 1 – sin2x sinx = cos2x cosx.

d) sinx + cos2x = 0; e) 1 – cosx - sin2x

= 0;

86 / Matematika 11


f) 1 – cos(3π+x) + sin2

x+π = 0.


a) cos

1 sinx

x− = 0; b)

1 sincos

xx

− = 0;

c) sinx.cotgx+1 = 0.

5. Vërtetoni që për të gjitha vlerat e lejuara të ndryshores x ka vend barazimi:

a) 2sin

1 cosxx+

= 1 – cosx;

b) (cosx+sinx) (cosy+siny) = cos(x+y) + + cos(x-y); c) sin24x – sin22x = sin6x·sin2x;

d) 1 cos sin

2tg

α αα− = .

6. Të zgjidhet ekuacioni:a) 2sin5x-sin9x=sinx b) sin(nx)+cos(nx)=sinx+cosx

7. Të zgjidhet ekuacioni:

a) 1 3sin cos sin3 02 2

x x x+ + =

b) 2 2cos 2 sin 1x x+ =

8. Të vërtetohet identiteti:2sin(x+y)·sin(x-y)=cos2y-cos2x

9. Të vërtetohet që, nëse x;y;z janë kënde të një trekëndëshi, atëherë ka vend barazimi:

a)

b)

10. Të zgjidhet sistemi:

a) 030

cos sin 1x y

x y − =

+ = b) 0

1

45

tgx tgy

x y

+ =

+ =

c)

3.17 Ushtrime për përsëritje

Materiali i paraqitur për këtë mësim është vendosur pas risistemimit e ristrukturimit të njohurive kryesore teorike të kreut dhe përmban zbatime më komplekse të tyre. Në organizimin e orës së mësimit, sikurse edhe në orën e mëparshme, mësuesi është mirë të kombinojë punën e pavarur e me grupe të nxënësve mbi disa nga këto zbatime, me zgjidhjen në tabelë nga nxënës të ndryshëm të disa ushtrimeve të tjera. E rëndësishme është që kjo punë të vlerësohet, të paraqitet e të diskutohet pa lejuar rrëmujë në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për punë të pavarur a me grupe të nxënësve, të konsiderohen ushtrimet me numrat 1, 3, 7, 8, 14, 15. Punimi i ushtrimeve të testit (mësimi 3.18) t’u lihet nxënësve për punë individuale në shtëpi, për të bërë vetëkontrollin.

Përmbledhje për kreun III

1. Lidhjet midis këndeve dhe brinjëve në trekëndëshin kënddrejtë:

ca=αsin ;

cb=αcos ; ;

abg =αcot .

87


2. Shprehjet për sipërfaqen e trekëndëshit: 12 bS b h= ⋅ ; 1

2S P r= ⋅ ; ( )( )( )S p p a p b p c= − − − ; 1 sin

2S bc α= ;

4abcS

R= .

3. Këndi qendror e ka masën 1 radian kur harku përkatës e ka gjatësinë sa rrezja e rrethit. 1 radian ≈ 57o17’.

Lidhja e masës b në radian me masën a të këndit është 180o

β απ

= .

4. Rreth trigonometrik quhet rrethi me qendër në O(0, 0) me rreze 1 dhe me pikë fillimi të harqeve A(1; 0).

5. Vlerat e gjithë harqeve trigonometrike të rrethit trigonometrik jepen nga formula

, ku a është masa e njërit prej tyre, kurse k∈Z gëzon dy veti: a) |k| është numri i rrotullimeve të plota të kryera nga M. b) k është pozitiv kur rrotullimet bëhen në kahun antiorar dhe negativ kur ato bëhen në kahun orar.

6. Nëse është hark trigonometrik në rrethin trigonometrik dhe x është vlera e tij, atëherë me përkufizim:

Myx =sin ; Mxx =cos ; M

M

ytgxx

= ; cot M

M

xgxy

= .

Kemi sincos

xtgxx

= ; coscotsin

xgxx

= ; 1cot gxtgx

= .

tgx është ordianta e pikës T, ku drejtëza (OM) pret tangjenten ndaj rrethit trigonometrik, hequr në pikën A.

7. Për çdo Rx ∈ kemi:

1|sin| ≤x ; 1|cos| ≤x ; sin(-x)=-sinx; cos(-x)=cosx; tg(-x)=-tgx.

8. Funksionet y=sinx, y=cosx janë periodikë me periodë π2 . Funksioni y=tgx është periodik me periodë π . Sidoqoftë Zk ∈ kemi:

xkx sin)2sin( =⋅+ π ; xkx cos)2cos( =⋅+ π ; .

9. Tabelat e variacionit për sinusin dhe kosinusin për ]2,0[ π∈x janë:

xsinx

00 1 0 -1

π2 π

0

2π3π2

xcosx

01 0 -1 0

π2 π

1

2π3π2

10. Tabela e variacionit për tangentin për ,2 2

x π π ∈ − është:

xtgx -∞ 0 ∞

π2 π

π2

-

11. Për çdo Rx ∈ kemi, sin2x+cos2x=1.

Kemi 2

22sin

1tg xx

tg x=

+; 2

21cos

1x

tg x=

+ (

2x k ππ≠ + ).

88 / Matematika 11


12. Rregulli mnemonik për formulat e reduktimit: a) Formulat e reduktimit për këndet απ ± , απ ±2 nuk e ndryshojnë emrin e funksionit.

Për këndet 2π α± , 3

2π α± emri i funksionit ndryshon në ko-funksion.

b) Shenja në anën e djathtë të formulës së reduktimit është e njëjtë me shenjën e funksionit që reduktohet në kuadrantin përkatës, duke e menduar a kënd të ngushtë ( ).

13. Për të zgjidhur ekuacionin sinx=a, kur 11 ≤≤− a veprojmë kështu: a) Gjejmë një kënd a që e ka sinusin a ( a=αsin ). b) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit sinx=a jepen nga formulat:

α+⋅= okx 360 ose )180(360 α−+⋅= ookx ( Zk ∈ ).

14. Për të zgjidhur ekuacionin cosx=b, kur 11 ≤≤− b veprojmë kështu: a) Gjejmë një kënd a që e ka kosinusin të barabartë me b ( b=αcos ). b) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit cosx=b jepen nga formulat:

α+⋅= okx 360 ose α−⋅= okx 360 ( Zk ∈ ).

15. Për të zgjidhur ekuacionin tgx=c ( Rc ∈ ) veprojmë kështu: a) Gjejmë një kënd α që e ka tangjenten të barabartë me c. b) Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit tgx=c jepen nga formula:

α+⋅= okx 180 ( Zk ∈ ).

16. Për çdo x1, x2 nga R kemi: cos(x1-x2)=cosx1·cosx2+sinx1·sinx2; cos(x1+x2)=cosx1·cosx2-sinx1·sinx2; sin(x1+x2)=sinx1·cosx2+cosx1·sinx2; sin(x1-x2)=sinx1·cosx2-cosx1·sinx2.

17. Për vlerat e lejuara të x1, x2 kemi:

tg(x1+x2)=1 2

1 21tgx tgx

tgx tgx+

−.

18. Për çdo Rx ∈ kemi:

sin2x=2sinx·cosx; cos2x=cos2x-sin2x; x2sin = 1 cos 22

x− ; x2cos = 1 cos 22

x+ .

19. Për çdo a, b nga R kemi:

cosa+cosb= 2cos2

a b+ cos2

a b− ; cosa-cosb= 2sin2

a b+− sin2

a b− ;

sina+sinb= 2sin2

a b+ cos2

a b− ; sina-sinb= 2sin2

a b− cos2

a b+ .

20. Teorema e sinusit në trekëndëshin çfarëdo:

sina

α=

sinb

β =sin

cγ =2R. (R-rrezja e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit).

21. Teorema e kosinusit në trekëndëshin çfarëdo: 2 2 2 2 cosa b c bc α= + − .

89


KREU 4

PLANI DHE DREJTËZA NË HAPËSIRË

E quajmë të këshillueshme që në fillim të këtij kreu, mësuesi të zhvillojë me nxënësit një bisedë lidhur me përmbajtjen e kursit të gjeometrisë në hapësirë, duke vënë në dukje veçoritë që ai ka në krahasim me gjeometrinë në plan.Në hyrje të këtij kreu në tekst thuhet se “gjeometria në hapësirë studion figurat gjeometrike, pikat e të cilave nuk ndodhen të gjitha në një plan. Kjo do të thotë se pohime të caktuara të gjeometrisë në plan e ruajnë vërtetësinë e dhe në gjeometrinë në hapësirë. (Teorema e Pitagorës, vetitë e paralelogramit, shuma e këndeve të trekëndëshit etj). Por, nisur nga kjo veçori, që në fillim duhet t’u jepen nxënësve shembuj të tillë figurash të cilat tregojnë se të njëjtës pyetje mund t’u jepen përgjigje të ndryshme në gjeometrinë në plan dhe gjeometrinë në hapësirë. Disa teorema duhen “plotësuar” madje edhe “ndryshuar”. P.sh.: në gjeometrinë në plan, përcaktohen dy raste të pozicionit të drejtëzave: drejtëzat ose janë paralele, ose priten; ndërsa në gjeometrinë në hapësirë janë tri pozicione të mundshme të dy drejtëzave. Ato janë ose paralele, ose prerëse ose të kithëta.Akoma edhe një shembull tjetër: në gjeometrinë në plan vërtetohet se ekzistojnë dy drejtëza paralele më një drejtëz të dhënë dhe që ndodhen në një largesë të caktuar prej saj. Në gjeometrinë në hapësirë është e qartë që ekzistojnë një numër i pafundmë drejtëzash të tilla. (P.sh. të gjitha përftueset e cilindrit janë paralele me boshtin e tij dhe ndodhen në të njëjtën largesë prej tij.)

Elementet e para të kreut plani dhe drejtëza në hapësirë nxënësi i njeh që nga shkolla 9 vjeçare. Ky fakt shtron domosdoshmërinë e njohjes së këtij programi nga ana e mësuesit. Kështu nxënësi njihet që në shkollën 9 vjeçare me koncepte apo veti lidhur me pikën, drejtëzën e planin, pozicionin reciprok të tyre (drejtëza paralele, prerëse e të kithëta), plane paralelë, drejtëza paralele dhe pingule me planin, pingulja dhe e pjerrëta me planin, këndi i drejtëzës më planin, plane pingulë). Në shkollën 9 vjeçare mjaft koncepte e njohuri, janë dhënë në mënyrë empirike e duke u bazuar kryesisht në vëzhgim e përvojë.Objektivi në trajtimin e këtij kreu në shkollën e mesme konsiston në afrimin me sistemin aksiomatik të pranuar në gjeometri. Por theksojmë se programi nuk merr në konsideratë idenë e ndërtimit të plotë aksiomatik të gjeometrisë në hapësirë. Në këtë mënyrë në të gjithë kreun, krahas vërtetimeve deduktive ka edhe përfytyrime apo përfundime induktive. Madje herë-herë edhe teoremat e domosdoshme për ecurinë e lëndës vetëm sa formulohen e nuk vërtetohen. Në ndonjë rast kur mësuesi e konsideron të arsyeshme e të mundshme (në varësi të kohës, nivelit të nxënësve etj) mund të realizojë vërtetimin e tyre duke i trajtuar si ushtrime (me të gjithë klasën apo me nxënës të veçantë). Nga ana tjetër edhe vërtetimi i ndonjë teoreme, në qoftë se konsiderohet i vështirë për nxënësit, mund të mos realizohet duke u mjaftuar vetëm me formulimin e sajTheksojmë se qëllimi kryesor i këtij kreu është aftësimi i nxënësve në zgjidhjen e problemeve si

90 / Matematika 11

Kreu 4

dhe parapërgatitja e tyre për kreun e ardhshëm (shumëfaqëshat dhe trupat e rrumbullakët) dhe jo përfshirja e tyre në një sistem të tërë përkufizimesh, aksiomash e teoremash që vetëm sa mund ta “hutojnë “ nxënësin. Është e udhës që mësuesi që në mësimet e para t’i njohë nxënësit me specifikën e trajtimit të gjeometrisë në hapësirë.Në gjeometrinë në hapësirë, figura paraqet raportet hapësinore në një pamje të caktuar dhe mundësia për ta plotësuar atë është shumë më e kufizuar se sa në gjeometrinë në plan. Madje vetë plotësimi i figurës mundëson zhvillimin e imagjinatës hapësinore sepse kërkon përfytyrime paraprake mjaft të qarta të figurave të paraqitura.Vëmë në dukje dhe një veçori tjetër të gjeometrisë në hapësirë. Rolin e madh të modeleve. Vështirësitë e lidhura me përfytyrimet e pamjaftueshme hapësinore, na detyrojnë në një farë mase përdorimin e mjeteve vizuale. Është i njohur roli i madh i modeleve, por nga ana tjetër mësuesi nuk duhet të udhëhiqet nga ideja e përdorimit të tepruar të tyre. Në këtë drejtim duhet inkurajuar ndërtimi i modeleve nga vetë nxënësit.Duke mos ulur rolin e modeleve theksojmë rolin e madh të figurës. Përvoja tregon se ndeshemi jo rrallë me dukurinë e mospërfilljes nga ana e mësuesve të ndërtimit të figurës. Pasioni për modelet nuk duhet të përligjet me cilësinë e dobët të figurës. Kjo na bën që t’i japim preferencë një modeli të mirë në krahasim me një figurë të keqe.Nga ana tjetër një figurë e ndërtuar mirë është një mjet tepër i vlefshëm, ndërsa ndërtimi i figurave të mira nga ana e nxënësve, në fakt është një ushtrim që u jepet atyre, i cili ndikon në përvetësimin më të mirë të lëndës. Çdo mësues, i cili e ndjek mirë këtë aspekt dhe i kushton figurës vëmendje maksimale, ai vetë e ngre mësimdhënien në një nivel më të lartë.

4.1 Drejtëzat dhe planet

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Pika, drejtëza, plani. b) Veti. Aksiomat e planit.c) Metoda. Vëzhgim, demonstrim, përgjithësim, formulim.


- Të formulojnë saktë tri aksiomat e planit.- Të ndërtojnë plane që kanë një drejtëz të përbashkët.- Të japin shembuj të përdorimit të aksiomave në praktikë. (P.sh. të verifikojnë me anën e vizores nëse një sipërfaqe është apo jo plan etj.)


Ashtu si edhe në gjeometrinë në plan, në gjeometrinë në hapësirë përcaktohen objektet themelore të saj: pika, drejtëza, plani, të cilat nuk përkufizohen. Fakti që me këto objekte nxënësit njihen që në shkollën 9 vjeçare, e lehtëson punën e mësuesit. Duke u mbështetur në trupa të njohur gjeometrikë (kubi, kuboidi) si edhe në mjedisin e klasës, jepen shembuj pikash, drejtëzash dhe planesh. Në mënyrë të veçantë insistohet në vetitë e tyre, të cilat shprehen me anën e aksiomave.Mbi bazën e pyetjeve të mirëmenduara, mësuesi duhet të ngulë këmbë në aktivizimin e nxënësve që mundësisht të formulohet prej tyre aksioma e parë. Në qoftë se dy pika të një drejtëze

91


ndodhen në një plan, atëherë të gjitha pikat e saj ndodhen në këtë plan.Lidhur me këtë aksiomë, veç shembullit të tekstit, u tregohet nxënësve se si nëpërmjet saj shpjegohen disa metoda pune në veprimtarinë praktike të njerëzve.Kështu marangozi, kur ndërton një tryezë të sheshtë, interesohet që sipërfaqja e saj të jetë plan. Për këtë qëllim ai përdor një vizore të drejtë (të kontrolluar). Kontrolli realizohet në këtë mënyrë: Ai e mbështet vizoren mbi tavolinë dhe sheh nëse depërton drita ndërmjet saj dhe tavolinës. Nëse drita depërton, rezulton që tavolina nuk është e sheshtë. Pas kësaj u propozohet nxënësve që të gjejnë shembuj trupash, drejtëzat e të cilave kanë dy pika të përbashkëta me planin dhe që shtrihen në plan.Aksioma e dytë. Në qoftë se dy plane kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato priten sipas një drejtëze që kalon nga kjo pikë.Veç shembullit të tekstit ajo mund të ilustrohet edhe me shembuj të tjerë. Dyshemeja dhe muri anësor kanë një pikë të përbashkët (në dysheme). Atëherë ato kanë një drejtëz të përbashkët që është drejtëza sipas të cilës priten dyshemeja me murin anësor. Po kështu në qoftë se marrim dy drejtkëndësha prej kartoni dhe i vendosim në mënyrë të tillë që njeri prej tyre të ketë vetëm një kulm në planin e drejtkëndëshit tjetër, atëherë duke i konsideruar drejtkëndëshat si pjesë planesh, arrihet në përfundimin se ato kanë një drejtëz të përbashkët, e cila kalon nga kjo pikë. Theksojmë se ky shembull duhet trajtuar me shumë kujdes sepse jo të gjithë nxënësit menjëherë arrijnë në përfytyrimin se planet kanë një drejtëz të përbashkët.Është e këshillueshme që në këtë rast nxënësit të arrijnë në njëvlershmërinë e dy gjykimeve:

1) Planet priten;2) Planet kanë një drejtëz të përbashkët dhe nuk kanë asnjë pikë tjetër të përbashkët

jashtë kësaj drejtëze.Që këtej mund të arrihet në këtë përkufizim: Bashkësia e pikave të përbashkëta të dy planeve që priten është drejtëza e ndërprerjes së tyre.

Përmbajtja e aksiomës së tretë, nëpër tri pika që nuk ndodhen në një drejtëz kalon një dhe vetëm një plan, mund të ilustrohet me shembullin e tekstit.Bazuar në këtë aksiomë, realizohet pozicioni horizontal i disa instrumenteve matës (teodoliti). Ato kanë tri këmbë të cilat zgjaten ose shkurtohen. Në këtë mënyrë ato përcaktojnë një plan dhe arrihet krijimi i pozicionit të duhur horizontal.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3, dhe 4.


1. Në Fig. 4.1 jepet kubi ABCDMNPQ. (Ushtrimi zgjidhet më lehtë në qoftë se disponohet një model kubi me tela.)

a) Cila është drejtëza e përbashkët e faqes së sipërme dhe faqes së majtë të kubit?b) Ku ndodhen pikat e përbashkëta të faqes së poshtme dhe faqes ballore të kubit?c) Cilat faqe i takojnë brinjës së poshtme të djathtë të kubit?ç) Cilave faqe u përket pika e marrë prapa në brinjën e majtë të kubit?d) Sa faqeve u përket secila brinjë e kubit? Secila pikë e marrë në brinjën e kubit?

Fig. 4.1A B

C

PQ

M

D

N

92 / Matematika 11

Kreu 4

dh) Sa faqeve u përkasin të gjitha brinjët e kubit? Të gjithë kulmet e kubit?

P. [d) Në përgjithësi dy, por në qoftë se pika është skaj i brinjës edhe tri]

2. Ç’mund të thuhet për pozicionin reciprok të dy drejtëzave në hapësirë, në qoftë se ato kanë dy pika të përbashkëta?

3. A është e mundur që dy drejtëza në hapësirë të kenë më shumë se një pikë të përbashkët?

4. Në cilin rast tri pika të hapësirës nuk përcaktojnë një plan të vetëm që i përmban ato?

5. A është e mundur që dy plane të ndryshëm të kenë vetëm një pikë të përbashkët? Vetëm dy pika të përbashkëta? Tri pika të përbashkëta?

6. Kulmet A, B, C dhe D të katërkëndëshit ABCD ndodhen në planin α. Ç’mund të thuhet për brinjët dhe diagonalet e këtij katërkëndëshi në lidhje me planin α?

7. Pika M ndodhet në zgjatimin e brinjës AB të paralelogramit ABCD. Të vërtetohet se pikat M, C dhe D ndodhen në një plan.

4.2 Rrjedhime nga aksiomat

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Mënyrat e përcaktimit të planit. b) Veti. Plani përcaktohet në mënyrë të vetme nga:

1) Një drejtëz dhe një pikë jashtë saj.2) Dy drejtëza paralele.3) Dy drejtëza prerëse.

c) Metoda. Vërtetim i teoremave përkatëse.

ShkathtësiNë përfundim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

- Të përdorin saktë lidhëzat logjike “ose”; “dhe”; “sjell”; “në qoftë se-atëherë” etj.- Të zbatojnë aksiomat dhe teoremat për zgjidhjen e problemeve dhe vërtetimin e pohimeve (teoremave) të thjeshta.


Të tri teoremat kanë formulime të ngjashme: ekzistencën e planit dhe unicitetin e tij: “Ekziston një dhe vetëm një plan…”. Një trajtimi i mundshëm i mësimit është:1) Mësuesi shkruan në tabelë kushtin dhe përfundimin e teoremës.2) Mësuesi vërteton teoremën e parë duke bërë në tabelë ndërtimet përkatëse. Në ndonjë rast mund të rekomandohet që nxënësit të shkruajnë në fletore.Në vërtetimin e teoremës 2, në tekst disa përfundime shoqërohen me pyetjen pse? Është e domosdoshme që përgjigja e tyre të realizohet detyrimisht dhe duke nxitur të menduarit e nxënësve për të dhënë përgjigje.Po japim një shembull se si mund të realizohet skematikisht shtjellimi i teoremës 2.

Kushti: Jepen drejtëza d dhe pika C jashtë saj

93


Përfundimi: Të vërtetohet se: a) Nëpër d dhe C mund të ndërtohet një plan α; b) Plani α është i vetëm.Vërtetimi

- Shënojmë A dhe B dy pika në d.- Nëpër A, B dhe C kalon një plan α. (Aksioma 3)- α kalon nga d dhe C. (Aksioma 1)- Plani që kalon nga d dhe C duhet të kalojë nga A, B dhe C.- Nëpër A,B dhe C kalon një plan i vetëm. (Aksioma 3)- α është plani i vetëm që kalon nga d dhe C.

Në mënyrë analoge mund të veprohet edhe për teorema të tjera.Është e udhës të jepen disa shembuj që tregojnë se si bazuar në këto teorema shpjegohen disa mënyra të veprimtarisë praktike të njerëzve. P.sh. të gjithë e dimë se një trekëndësh prej plastmasi, prej druri, apo metalik, i vendosur me një nga anët e tij në dysheme, dhe me kulmin përballë tek muri anësor, është në pozicion të qëndrueshëm. (Teorema 1)Po kështu kujtojmë se për të ndërtuar një gardh me hunj prej druri, kërkohet që ai të jetë vertikal dhe me formë të sheshtë. Për këtë ndërmjet dy hunjve të ngulur vertikalisht në tokë, vendosim dy dërrasa paralele njëra me tjetrën, dhe pastaj hunjtë që formojnë gardhin mbështeten tek dërrasa.Rrjedhimi i tretë përdoret edhe për t’i dhënë hartave apo pllakateve të ndryshme formë të sheshtë (plan). Për këtë arsye në pjesën e sipërme dhe të poshtme të hartës, fiksohen dy listela druri paralele me njëra-tjetrën. Duke u varur ato në mur, pesha e tyre bën që listelat të largohen nga njera tjetra dhe harta merr një pozicion të qëndrueshëm, atë të planit.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2, 3 e 6.


1. Të vërtetohet se trekëndëshi është figurë plane.2. Në Fig. 4.2 jepen tri drejtëza a, b dhe c. A ndodhen këto drejtëza në një plan? P. [po]

b

Ca

Fig. 4.2

AM2

M1d1d2

N1

N2

Fig. 4.3 Fig. 4.4

S

A

B

C

M

3. Në Fig. 4.3 drejtëzat d1 dhe d2 priten në pikën A. Pikat M1 dhe N1 ndodhen në d1, ndërsa pikat M2 dhe N2 ndodhen në d2. Ç’mund të thuhet për drejtëzat M1M2 dhe N1N2?

P. [ Ndodhen në një plan, pra janë ose paralele ose prerëse]

4. Verifikoni saktësinë e pohimeve të mëposhtme:a) Në qoftë se segmentet AB dhe CD janë të barabartë, atëherë pika D ndodhet në planin ABC. P. [ jo]

94 / Matematika 11

Kreu 4

b) Planet ABC dhe BCA puthiten. P. [ po]

c) Në qoftë se pika A ndodhet në planin α dhe pika B ndodhet në planin β, atëherë planet α dhe β, priten sipas drejtëzës AB.

P. [ jo]ç) Në qoftë se trekëndëshat ABC dhe AMP kanë vetëm pikën A të përbashkët, atëherë planet ABC dhe AMP kanë vetëm pikën A të përbashkët.

P. [jo]d) Në qoftë se drejtëzat AB dhe CD priten në pikën M, atëherë planet AMD dhe ABC puthiten. P. [ po]

5. Në Fig. 4.4 jepet katërfaqëshi SABC, të gjitha brinjët e të cilit janë të barabarta me a. Pika M është mesi i brinjës BC. Të gjendet sipërfaqja e vijëzuar.

2aP. [ ]

2

4.3 Pozicioni reciprok i dy drejtëzave në hapësirë

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Drejtëza paralele, drejtëza prerëse, drejtëza të kithëta.b) Veti. Lidhur me pozicionin reciprok të dy drejtëzave në hapësirë ekzistojnë këto mundësi.1) Drejtëzat d1 dhe d2 ndodhen në një plan. Në këtë rast:

a) Drejtëzat kanë një pikë të përbashkët. Ato janë prerëse.b) Ato nuk kanë asnjë pikë të përbashkët. Ato janë paralele.

2) Drejtëzat d1 dhe d2 nuk ndodhen në një plan (rrjedhimisht nuk kanë asnjë pikë të përbashkët). Ato janë të kithëta.

c) Metoda. Vëzhgimi, klasifikimi, përkufizimi.


- Të dallojnë pozicionet e mundshme reciproke ndërmjet dy drejtëzave në hapësirë (paralele, prerëse, të kithëta) në modele të paraqitur, në mjedisin rrethues apo në figura në ndërtuara në tabelën e zezë.- Të ndërtojnë vetë modele për raste të ndryshme të pozicionit reciprok të dy drejtëzave në hapësirë.- T’i përdorin këto njohuri në zgjidhjen e problemeve.


Fillimisht rekomandohet të jepen disa ushtrime përgatitore (p.sh. bazuar në figurën e një kuboidi apo në një model kuboidi me tela). (Fig. 4.5)Mund të ndërtohen pyetje të tilla:1. Cilat brinjë të kuboidit ndodhen në një plan me brinjën CD?2. Cili është pozicioni reciprok i këtyre brinjëve në lidhje me CD?3. Cilat janë pozicionet e mundshme të dy drejtëzave në një plan?4. A është e mundur të ndërtohet një plan nëpër brinjët DC dhe AA1?

A B

C

A1

D1

B1

C1

D

Fig. 4.5

95


Pasi i është dhënë përgjigje këtyre pyetjeve, bashkë me shpjegimet përkatëse dilet në përkufizimin: Drejtëzat që nuk ndodhen në një plan quhet të kithëta. (Me fjalë të tjera drejtëza të kithëta quhen drejtëzat, nëpër të cilat nuk mund të ndërtohet një plan).Duhet ngulur këmbë në faktin që përfundimi për pamundësinë e ndërtimit të planit që kalon nëpër brinjët CD dhe AA1 është hipotetik. Programi nuk e përfshin vërtetimin e tij. Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 4, 5 e 6.


1. Jepet drejtëza d. Sa drejtëza paralele me të dhe në largesë a prej saj mund të ndërtohen?P. [numër i pafundëm]

2. Cili mund të jetë pozicioni reciprok i dy drejtëzave d1 dhe d2, të cilat e presin planin α përkatësisht në pikat A dhe B? (Fig. 4.6).

P. [paralele, ose prerëse ose të kithëta]

3. Në fig. 4.7 MN është drejtëza sipas të cilës priten planet α dhe β. Pika A ndodhet në planin α dhe pika B ndodhet në planin β. (Pikat A dhe B nuk ndodhen në drejtëzën MN sipas të cilës priten planet α dhe β).Cili është pozicioni reciprok i drejtëzave AB dhe MN?

P. [të kithëta]

Fig. 4.7

β

M

A

B

�

N

d1 d2

α

Fig. 4.6

4. Në Fig. 4.8 jepet kuboidi ABCDMNPQ. Të vërtetohet se diagonalet AC dhe BD janë paralele.

A B

C

PQ

M

D

N

Fig. 4.8 Fig. 4.9

S

A

B

NP

C

M Q

5. Në Fig. 4.9 jepet katërfaqëshi SABC, të gjitha brinjët e të cilit janë të barabarta me a. Shënojmë me M, N, P dhe Q, përkatësisht meset e brinjëve SA, AB ,BC dhe SC. Cila është natyra e katërkëndëshit MNPQ?

P. [romb]

96 / Matematika 11

Kreu 4

4.4 Pingulja dhe e pjerrëta me planin

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Drejtëz pingule me planin; drejtëz e pjerrët me planin; projeksion i të pjerrëtës me planin; largesa e pikës nga plani; këndi i të pjerrëtës me planin.b) Veti

- Drejtëza pingule me dy drejtëza të planit që kalojnë nga pika e ndërprerjes është pingule me çdo drejtëz të planit që kalon nga kjo pikë.- Gjatësia e pingules me planin është më e vogël se gjatësia e çdo të pjerrëte të hequr nga ajo pikë mbi atë plan.- Të pjerrëtat e barabarta kanë projeksione të barabarta dhe anasjellas.

Metoda: Vëzhgim, konkretizim, formulim, vërtetim


- Të provojnë nëse një drejtëz është apo jo pingule me një plan.- Të gjejnë projeksionin e të pjerrëtës me planin.- Të gjejnë largesën e një pike nga një plan.- Të zbatojnë në probleme marrëdhëniet ndërmjet të pjerrëtave dhe projeksioneve të tyre.


Pothuaj të gjithë nxënësit kanë një përfytyrim intuitiv lidhur me drejtëzën pingule me një plan. Ata mund të japin mjaft shembuj nga mjedisi rrethues të drejtëzës pingule me planin. (P.sh. këmba e tavolinës është pingule me planin e dyshemesë; drejtëza ku priten dy faqet anësore të mureve të klasës është pingule me dyshemenë etj.Por vëmë në dukje se, si rregull ato dallojnë vetëm rastet e veçanta, kur plani ndaj të cilit ndërtohet pingulja është plani horizontal. Nxënësit e kanë më të vështirë të gjejnë drejtëza pingule me muret anësore të klasës, me faqet anësore të kuboidit etj.Prandaj në këtë rast mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit, gjetjen e drejtëzës pingule me një plan, kur ky merr pozicione të ndryshme.Kalimi nga përfytyrimi intuitiv lidhur me pingultinë e drejtëzës me planin, në konceptin e saktë matematik mund ta realizojmë siç është shtjelluar në tekst, pra nëpërmjet konkretizimit.Në këtë mënyrë mund të inkurajohen nxënësit ta formulojnë vetë përkufizimin e drejtëzës pingule me planin.Teorema e ekzistencës së drejtëzës pingule me planin, nuk vërtetohet, ajo vetëm sa formulohet. Por këtu duhet ngulur këmbë në të kuptuarit e raportit ndërmjet përkufizimit dhe teoremës, sepse në mjaft raste ato ngatërrohen dhe përdoren në vend të njëra-tjetrës. Si përfundim pingultia e drejtëzës me planin rrjedh nga fakti i pingultisë së kësaj drejtëze me dy drejtëza të planit, të cilat kalojnë nga pika e prerjes.Zbatime praktike të kësaj teoreme, mund të gjenden mjaft. P.sh. për të vendosur një fidan peme në pozicionin vertikal mbi një sipërfaqe të sheshtë, mjafton të marrim dy trekëndësha vizatimi, të cilët me njërin katet të mbështeten në tokë dhe me tjetrin të mbështeten tek pema. (Fig. 4.10)Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ushtrimet me numër 1, 2 e 3.

97


Fig. 4. 11

M N

Q

D

P

C

BA

Fig. 4.10


1. Sa brinjë të kubit, pingule me brinjën AB të tij kalojnë nga pika A?

2. A është e mundur që një drejtëz d, e cila e pret planin α në pikën A dhe nuk është pingule me të, të jetë pingule:

a) Vetëm me një drejtëz të planit? P. [po]

b) Me dy drejtëza të planit që kalojnë nga pika A? P. [ jo]

3. Në fig. 4.11 jepet kuboidi ABCDMNPQ në të cilin AB = 3 cm; AD= 3 cm dhe AM= 2 cm. Të gjendet këndi që diagonalja BQ formon me planin e bazës.

P.[ 300]

4. Nga pika A janë ndërtuar pingulja AO me planin α dhe dy të pjerrëta të barabarta AB dhe AC.(Fig. 4.12) Projeksionet e tyre në planin α formojnë kënd të drejtë. Jepet AO=b dhe AB=AC=a. Çfarë lidhje ekziston ndërmjet a dhe b në mënyrë që trekëndëshi ABC të jetë barabrinjës?

P. [ a=b 2]

Fig. 4.13

A B

C

PQ

M

D

N

E

A

Bα

O

C

Fig.4.125. Në fig. 4.13 ABCDMNPQ është kub me brinjë a. Pika E është mesi i brinjës NB. Të gjendet sipërfaqja e trekëndëshit MEP.

98 / Matematika 11

Kreu 4

P. [2a 64

]6. Nga pika A, e cila ndodhet në largesë a nga plani α, është ndërtuar pingulja AO dhe të pjerrëtat AB dhe AC. AB formon me AO këndin 450 dhe AC formon me AO këndin 600. Duke ditur se AB⊥AC, të gjendet largesa ndërmjet pikave B dhe C.

P. [ a 6]

7. Brinja AD e rombit ABCD ndodhet në planin α, ndërsa brinja përballë DC ndodhet në largesë a nga plani α. Këndi i ngushtë i rombit është 600. Dy brinjët e tjera të rombit formojnë me planin α këndin 450. Të gjendet sipërfaqja e katërkëndëshit, i cili është projeksion i rombit ABCD në planin α.

P. [a2]

4.5 Teorema e tri pinguleve

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Drejtëz pingule me planin; drejtëz e pjerrët me planin; projeksion i të pjerrëtës me planin; drejtëza pingule.b) Veti. Teorema e drejtpërdrejtë dhe e anasjellë e tri pinguleve.c) Metoda. Vërtetimi i teoremës së drejtpërdrejtë; Përdorimi i teoremës së tri pinguleve në zgjidhjen e problemeve; Teorema e anasjellë iu lihet nxënësve si punë e pavarur. Zgjidhja e problemeve shembuj, ku gjen zbatim teorema e tri pinguleve.


- Të formulojnë teoremën e drejtpërdrejtë dhe të anasjellë të tri pinguleve.- T’i zbatojnë këtë teorema në zgjidhjen e problemeve.


Është i njohur fakti që një numër tepër i madh problemesh të gjeometrisë në hapësirë, zgjidhen duke u bazuar në teoremën e tri pinguleve. Ky fakt shtron domosdoshmërinë e përvetësimit të saktë të saj, dhe sidomos të përdorimit të saj në zgjidhjen e problemeve.Përvoja tregon se nxënësit nuk e kanë të lehtë të përfytyrojnë në mënyrë vizuale të pjerrëtën ndaj planit dhe njëkohësisht drejtëzën e planit e cila është pingule me këtë të pjerrët. Nga ky fakt rezulton që në shumë raste, përvetësimi i teoremës realizohet formalisht dhe nxënësit nuk dallojnë zbatimin e saj në probleme të ndryshme. Është kjo arsyeja që mësuesi duhet t’i kushtojë vëmendje të veçantë vërtetimit të saj (duke nisur që nga ndërtimi i figurës). Mirë do të ishte që të krijohej një model me tela për ilustrimin e saj.Vërtetimi i teoremën është relativisht i thjeshtë dhe përvetësohet nga nxënësit.Duhet përqendruar vëmendja e nxënësve në faktin që drejtëza b, pingule me projeksionin e të pjerrëtës është drejtëz e planit a. Në qoftë se ajo nuk është drejtëz e planit α, nuk është pingule me të pjerrëtën.Teorema e anasjellë mund të trajtohet si ushtrim, ose t’u jepet vetëm disa nxënësve si punë e pavarur.Kujdes i veçantë i duhet kushtuar shembujve të zgjidhur ku nxënësit të gjejnë modelin e

99


teoremës.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë numrat 1, 3 dhe 4


1. Në fig. 4.14, OB është pingule me planin e qarkut me rreze OA= 3 cm. AC është tangente me rrethin në pikën A dhe AC= 2 cm. Të gjendet BC.

P. [ 7 cm]

O

B

AC

Fig. 4.14

B

M

C

A H B

Fig. 4.15 Fig. 4.16

A

B

F

S

C

O

2. Në Fig. 4.15 jepet MC⊥(ABC); CA⊥CB; MH⊥AB dhe AH=HB. Të gjendet këndi ∠CAB. P. [ 450]

3. Në Fig. 4.16, SABC është piramidë trekëndëshe e rregullt. Jepet ∠SFO=450.

Të gjendet raporti ABC

BSC

SS

.

3 2P. [ ]

24. Brinjët e një trekëndëshi janë 15cm; 37cm dhe 44 cm. Në kulmin e këndit më të madh, ndërtohet pingulja më planin e trekëndëshit me gjatësi 16 cm. Të gjenden largesat e skajeve të kësaj pinguleje nga brinja më e madhe e trekëndëshit.

P. [ 12cm; 20 cm]

5. Në planin α merren dy pika A dhe B. Nga këto pika, në njërën anë të planit α, ndërtohen pingulet me këtë plan dhe në to merren pikat M dhe N të tilla që AM= m dhe BN= n. Të vërtetohet se drejtëzat AN dhe BM priten dhe të gjendet largesa e pikës së prerjes së tyre nga plani α.

⋅m nP. [ ]m+n

4.6 Ushtrime

Në këtë orë mësimi, synimi i mësuesit është përpunimi i njohurive të mësimeve të mëparshme. Këtu, para se të zgjidhen të dy ushtrimet e tekstit ( ose ndonjë ushtrim tjetër i menduar nga mësuesi), duhet ngulur këmbë në përsëritjen që duhet bërë për konceptet themelore të trajtuara deri në këtë kohë. Madje rekomandohet që në orën e mëparshme nxënësit të njoftohen për të përsëritur këto mësime në shtëpi. Para se të fillojë zgjidhja e problemave, mësuesi rikujton këto koncepte. (Sigurisht nëpërmjet pjesëmarrjes së nxënësve).

100 / Matematika 11

Kreu 4

Njëkohësisht mësuesi trajton dy teoremat e tekstit të cilat janë dhënë pa vërtetim dhe që janë të domosdoshme për zgjidhjen e problemave.Gjatë zgjidhjes së problemave mund të punohet me grupe të ndryshme nxënësish, disa duke i zgjidhur në tabelë, e disa në fletore.Është e këshillueshme që ushtrimet më tipikë të diskutohen me të gjithë nxënësit.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 3, 5 e 6.


1. Brinja e trekëndëshit barabrinjës është a. Të gjendet largesa e planit të trekëndëshit nga një pikë e cila ndodhet në largesë b nga secili kulm i trekëndëshit.

−2

2 aP. [ b ]3

2. Në planin α ndodhet rombi ABCD me brinjë a dhe kënd të ngushtë 300. Nga kulmi i këndit të

gjerë B, ndërtohet pingulja BM me planin e tij dhe në të merret pika M e tillë që a 3BM= .2

Të gjendet largesa e pikës M nga brinjët e rombit.

a 3P. [ ;a]

23. Në Fig. 4.17 jepet prizmi i rregullt trekëndor me brinjë të bazës 2 cm. Sipërfaqja e vijëzuar është cm2. Të gjendet këndi që PE formon me planin e bazës ku E është mesi i AB.

P. [ 450]

AE

B

C

M

N

P

S

Fig. 4.17

OA

B

C

S

Fig. 4.18 Fig. 4.19

OA

E

B

C

S

4. Nga qendra O e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit ABC ngrihet pingulja me planin e tij. (Fig. 4.18). Jepet AB=BC=AC=OS = 6 cm. Të gjendet këndi që formojnë brinjët SA, SB dhe SC me planin e bazës. P. [ 600]

5. Në Fig. 4.19, ABC është trekëndësh dybrinjënjëshëm me bazë AB=6 cm dhe lartësi EC= 9 cm. Pika S është e baraslarguar nga kulmet e këtij trekëndëshi dhe në largesë SO= 12 cm nga plani i trekëndëshit. Të gjendet largesa e pikës S nga brinjët e trekëndëshit.

P. [4 10 cm]

101


4.7 Drejtëza paralele me planin

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Përkufizimi i drejtëzës paralele me planin. Ekzistenca e drejtëzës paralele me planin.b) Veti. Teoremat 1 dhe 2 për drejtëzën paralele me planin.c) Metoda. Vërtetimi i të dy teoremave. Në teoremën e parë realizohet vërtetimi dhe më pas bëhet formulimi. Është mirë që formulimi i saj mundësisht të dalë nga vetë nxënësit. Teorema e dytë formulohet e më pas vërtetohet.


- Të formulojnë teoremat 1 dhe 2 lidhur me drejtëzën paralele me planin.- Të përdorin përfundimet e këtyre teoremave në zgjidhjen e problemave.


Mësuesi u kujton nxënësve, se duke u bazuar në modelin e kuboidit ata kanë presupozuar ekzistencën e drejtëzave të cilat nuk kanë pika të përbashkëta me një plan. Drejtëza të tilla i quajmë paralele me planin.Për t’u bindur në vërtetësinë e një supozimi të tillë, duhet vërtetuar ekzistenca e tyre. Kjo realizohet me anën e teoremës 1.Fillimisht jepet përkufizimi: Drejtëza d dhe plani a quhen paralelë në qoftë se nuk kanë asnjë pikë të përbashkët. Pas kësaj vërtetohet teorema.Metoda e përdorur në tekst (ku fillimisht kryhen arsyetimet dhe veprimet), e më pas bëhet formulimi rekomandohet të përdoret herë pas here. Veprohet kështu, sepse në mënyrë të natyrshme teorema fillimisht është vërtetuar e më pas, duke vëzhguar ecurinë e përdorur janë vendosur kushtet përkatëse.Ushtrimi 1 mund të zgjidhet në tabelë nga një nxënës, ndërsa ushtrimi 2 mund e duhet zgjidhur nga mësuesi (sigurisht me pjesëmarrjen e nxënësve).Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 1, 2, 4 dhe 5.


1. Brinja e bazës e një prizmi trekëndësh të rregullt është a dhe brinja anësore e tij është b. Të gjendet sipërfaqja e prerjes që kalon nga njëra brinjë anësore e prizmit dhe nga boshti i tij.

ab 3P. [ ]

22. Brinjët e përkundrejta të një rombi ndodhen në dy plane paralelë me largesë 16 cm nga njeri tjetri. Projeksionet e diagonaleve të rombit në njërin plan janë 32 cm dhe 8 cm. Të gjendet brinja e rombit.

P. [20 cm]

3. Në Fig. 4. 20 jepet prizmi gjashtëkëndësh i rregullt me brinjë të bazës 3 cm dhe brinjë anësore 13 cm. Të gjendet sipërfaqja e vijëzuar.

P. [ 2a2]

102 / Matematika 11

Kreu 4

Fig. 4.20

Aα

E C

D

B

Fig. 4.21 Fig. 4.22

α C

A1

A B

B1

4. Në Fig. 4.21, ABCDE është pesëkëndësh i rregullt. Brinja AB e tij ndodhet në planin α, ndërsa kulmet e tjerë ndodhen jashtë planit α. Të vërtetohet se EC//α.

5. Në Fig. 4.22, ABC është trekëndësh kënddrejtë ( ∠C=900). Pika C ndodhet në planin α dhe AB//α. Projeksionet e kateteve të trekëndëshit në planin α janë përkatësisht A1C=3 dm dhe B1C= dm. Largesa e hipotenuzës nga plani α është 1 dm. Të gjendet projeksioni A1B1 i hipotenuzës AB në planin α.

P. [ 6 cm]

6. Brinja AD e rombit ABCD ndodhet në planin α, ndërsa brinja përballë BC ndodhet në largesë a nga plani α. Këndi i ngushtë i rombit është 600. Dy brinjët e tjera të rombit formojnë me planin α këndin 450. Të gjendet sipërfaqja e katërkëndëshit, i cili është projeksion i rombit ABCD në planin α.

P. [ a2]

4.8 Plane paralelë Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Plane paralele. Teorema e ekzistencës e planeve paralelë. Largesa e drejtëzës nga plani paralel me të. Largesa ndërmjet dy planeve paralele.b) Veti. Planet pingule me një drejtëz janë paralelë (Teorema 1). Ndërprerja e dy planeve paralelë me një plan të tretë. (Teorema 2).c) Metoda. Përkufizimi i planeve paralelë; Formulimi dhe vërtetimi i teoremës. Zgjidhja e shembujve.


- Të formulojnë dy teoremat e planeve paralele.- Të japin përkufizimin e largesës së drejtëzës nga plani paralel me të dhe të largesës ndërmjet dy planeve paralele.- Të përdorin përkufizimet dhe teoremat në zgjidhjen e problemave.


Mësuesi u kujton nxënësve (edhe nëpërmjet modeleve) disa situata lidhur me pozicionin reciprok

103


të planeve, të cilat njihen nga nxënësit më parë, por që është e domosdoshme të sistemohen.1) Nisur nga aksioma e tretë, rezulton se planet, të cilët kanë tri pika të përbashkëta që nuk ndodhen në një drejtëz puthiten.2) Planet prerësDy plane quhen prerës, në qoftë se kanë një dhe vetëm një drejtëz të përbashkët. Nisur nga aksioma e dytë e planit, në qoftë se dy plane kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato kanë edhe një drejtëz të përbashkët e cila kalon nga kjo pikë.3) Pas kësaj kalohet në përkufizimin e planeve paralelë. (Dy plane quhen paralelë në qoftë se nuk kanë asnjë pikë të përbashkët) dhe më pas vërtetohen teoremat 1 dhe 2. Gjatë vërtetimit të teoremës 1 duhet bërë diskutim me nxënësit lidhur me pyetjet që shtrohen gjatë këtij vërtetimi (p.sh. pse d ⊥α⇒ d ⊥a dhe ⇒ d ⊥b)?

Siç është vënë në dukje edhe në mësimet e mëparshme, vërtetimi i teoremës duhet shoqëruar me shënimet përkatëse në tabelë.Më pas jepen përkufizimet për largesën e drejtëzës nga plani paralel me të dhe të largesës ndërmjet dy planeve paralelë. Të dy këta largesa është e udhës të konkretizohen në modele (kubi, klasa etj).Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 1, 3 dhe 5.


1. Të vërtetohet se të gjitha drejtëzat, paralele me një plan të dhënë, e që kalojnë nga e njëjta pikë, ndodhen në planin paralel me planin e dhënë që kalon nga ajo pikë.

2. Gjykoni vërtetësinë e pohimeve:a) Dy drejtëza paralele me të njëjtin plan, janë paralele ndërmjet tyre. b) Dy plane paralelë me të njëjtën drejtëz, janë paralelë ndërmjet tyre.[ Të dy pohimet janë të gabuar. Të jepen kundërshembuj nga modeli i kuboidit)

3. Në fig. 4.23 jepet α//β. Plani γ pret planet α dhe β sipas drejtëzave d1 dhe d2. Plani δ pret planet α dhe β sipas drejtëzave d1 dhe d3. Të vërtetohet se d2//d3.

Fig. 4.24

BA

M

Q

D

EF

P

N

C

d1

d2 d3α

γδ

β

Fig. 4.23

4. Në Fig. 4.24, ABCDMNPQ është kub me brinjë a. Pikat E dhe F janë përkatësisht meset e brinjëve MN dhe NP. Të gjenden perimetri dhe sipërfaqja i katërkëndëshit ACEF.

104 / Matematika 11

Kreu 4

5. Dy segmente AB= 15 cm dhe CD= 41 cm i kanë skajet e tyre në dy plane paralelë. (Pikat A dhe D ndodhen në njërin plan). Projeksioni i segmentit CD është 28 cm më i gjatë se projeksioni i segmentit AB. Të gjendet largesa ndërmjet këtyre planeve).

P. [ 9 cm]

6. Nga pika M, e cila ndodhet jashtë dy planeve paralele, ndërtohen dy drejtëza, që presin këto plane përkatësisht në pikat A, B , A1 dhe B1. Jepet BB1=28 cm; MA:AB=5:2. Të gjendet AA1.

P. [ 20 cm]

4.9 Ushtrime

Në këtë orë mësimi duhet të synohet në përpunimin e njohurive teorike dhe zbatimeve të mësimeve 4.7 e 4.8.Ky përpunim do të realizohet nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimeve dhe duke bërë argumentimet përkatëse që kanë të bëjnë me këto njohuri teorike.Është e këshillueshme që mësuesi të porositë nxënësit që në shtëpi të përsëritin përkufizimet dhe teoremat që kanë të bëjnë me paralelizmin e drejtëzës më planin dhe paralelizmin e dy planeve. Si gjithmonë ai kujdeset edhe për konkretizimin dhe zbatimin e këtyre njohurive.Gjatë zgjidhjes të problemeve që janë marrë si shembull në tekst mësuesi aktivizon nxënësit gjatë zgjidhjes dhe herë pas herë bën pyetjen “pse”? Është e domosdoshme që këto pyetje të sqarohen në mënyrë që nxënësit të mos mësojnë në mënyrë mekanike por me argumentime. Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 2, 3, 6.

Ushtrime

1. Në fig. 4.25, pikat E dhe F janë meset e brinjëve AM dhe CP të kubit me brinjë a.

a) Të gjenden brinjët e katërkëndëshit EBFQ. a 5P. [ EB=BF=FQ=QE= ]2

b) Të gjenden diagonalet e tij.

Fig. 4.27

S

C

EO

B

A

M

Q P

C

BA

E

NF

D

Fig. 4.25

A

D

S

C

B

O

Fig. 4.26

2. Në Fig. 4.26 jepet SA=SB=SC=SD=16 3 cm dhe ∠SCO=300. Të gjendet largesa e pikës S nga brinjët e katrorit.

P. [ 8 21 cm]

105


3. Në Fig. 4.27 jepet ∠SEO=450; SO=6 cm. Të gjendet ABC

AES

SS

.

P. [ 2 3 cm]

4. Në qendrën O të rrethit me rreze 17 cm ngrihet pingulja OS =5 cm me planin e tij. Të gjendet largesa e pikës S nga korda me gjatësi 16 cm e këtij rrethi.

P. [ 5 10 cm]

5. Pika S është jashtë planit të drejtkëndëshit ABCD dhe e baraslarguar nga kulmet e tij. Jepet AB= 8 cm dhe BC= 6 cm. Largesa e pikës A nga brinja BC është 5 cm. Të gjendet largesa e pikës S nga brinja AB. P. [ 3 2 cm]

6. Në një piramidë katërkëndëshe të rregullt brinja anësore është 13 cm dhe apotema është 12 cm. Të gjendet largesa e kulmit S nga plani i bazës së piramidës.

P. [ 119 cm]

4.10 Këndi dyfaqësh

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Këndi dyfaqësh; elementet e dyfaqëshit (brinja, faqet); prerja e drejtë e dyfaqëshit; këndet me brinjë paralele; këndi ndërmjet dy planeve.b) Veti. Prerjet e drejta të dyfaqëshave janë të barabarta. Këndet me brinjë paralele (me kah të njëjtë) janë të barabartë.c) Metoda. Vëzhgim; përvojë; Përkufizimi i dyfaqëshit; Vërtetimi i teoremës lidhur me prerjet e drejta të dyfaqëshit; Zgjidhje problemash ku zbatohen njohuritë teorike të këtij mësimi si dhe të mësimeve të mëparshme


- Të përkufizojnë dyfaqëshin dhe të emërtojnë elementet e tij.- Të gjejnë prerjen e drejtë të dyfaqëshit në të dy mënyrat e paraqitura në tekst.- Të formulojnë teoremën përkatëse.- Të zbatojnë njohuritë e mësimit për zgjidhjen e problemave.


Siç tregon praktika, zhvillimi i kësaj ore mësimi dhe realizimi i objektivave të saj nuk është i lehtë. Çështja qëndron në faktin se mësimi përmban disa përkufizime, shumica e të cilave janë koncepte krejtësisht të reja për nxënësin. Së fundi, edhe teorema e vërtetuar nuk rezulton e lehtë për nxënësit. Për të shmangur këtë mbingarkesë propozojmë këtë ecuri të orës së mësimit:

1) përkufizohet këndi dyfaqësh dhe elementet e tij;2) përkufizohet prerja e drejtë e dyfaqëshit;3) përkufizohet dyfaqëshi i drejtë;4) formulohet dhe vërtetohet teorema;5) formulohet e njëjta teoremë lidhur me këndet me brinjë paralele. (Shtojmë se kjo teoremë

106 / Matematika 11

Kreu 4

nuk lidhet drejtpërdrejtë me këtë mësim, por është e rëndësishme të theksohet sepse do të përdoret në mësimet e ardhshme);6) përkufizohet këndi ndërmjet dy planeveShumë e rëndësishme në këtë orë mësimi konsiderohen shembujt e zgjidhur në tekst. Në qoftë se mësuesi (në varësi të gjendjes e nivelit të klasës) e gjykon të arsyeshme, mundet që teorema të mos vërtetohet por vetëm të ilustrohet me shembuj.

Si ushtrime të nivelit minimal në këtë orë mësim janë ushtrimet me numra 1,3,4.


1. Në njërën faqe të dyfaqëshit merren dy pika M dhe N. (Fig. 4.28). Largesat e këtyre pikave nga faqja tjetër janë MC= 2 cm dhe ND= 3 cm. Largesat e këtyre pikave nga brinja e dyfaqëshit janë MA= 5cm dhe NB. Të gjendet NB.

P. [ 7, 5 cm]

Fig. 4.30

C

A

BE

D

A

B

D

N

C

M

Fig, 4.28

A

P D

M

A

C

B

N

Fig. 4.29

2. Jepet prizmi i drejtë me bazë trekëndëshin ABC në të cilin AB=BC= 10 cm dhe AC= 12 cm. (Fig. 4.29). Plani i trekëndëshit DAC formon me planin e bazës ABC këndin 450. Të gjendet sipërfaqja e vijëzuar.

2P. [48 2 cm ]

3. Trekëndëshi kënddrejtë ABC ( ∠C=900), e ka katetin AC në planin α. Plani i trekëndëshit ABC formon me planin α këndin 450. Jepet AC= 6 cm dhe BC= 10 cm. Të gjendet largesa e kulmit B nga plani α.

P. [4 2 cm]

4. Në fig. 4.30, ABC dhe ABD janë trekëndësha dybrinjënjëshëm me bazën AB të përbashkët, planet e të cilëve formojnë këndin 600. Jepet AB= 16 cm; DA=DB= 17 cm dhe ∠CAB= 900. Të gjendet largesa CD ndërmjet kulmeve C dhe D të tyre.

P. [ 13 cm]

107


4.11 Plane pingule

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Plane pingulë; dyfaqëshi i drejtëb) Veti. Teorema e ekzistencës e planeve pingulë (teorema e drejtë dhe e anasjellë).c) Metoda. Përkufizimi i planeve pingulë. Vërtetimi i teoremës dhe zbatimi i saj praktik. Zbatime në zgjidhjen e problemave


- Të formulojnë përkufizimin e planeve pingulë.- Të formulojnë teoremat përkatëse.- Të zbatojnë këto teorema në zgjidhjen e problemave.


Përvoja tregon se nxënësit janë në gjendje të japin shembuj planesh që janë pingulë njeri me tjetrin (muret anësore të klasës janë pingule më dyshemenë; faqet anësore të kuboidit janë pingule me bazat e tij etj). Mësuesi duhet të ngulë këmbë në gjetjen e shembujve ku njëra nga faqet të mos jetë horizontale. P.sh. të insistohet edhe në shembullin ku muret anësore të njëpasnjëshëm të klasës janë pingulë njeri me tjetrin.Mjaft i rëndësishëm është edhe zbatimi praktik i teoremës (pe plumbi i muratorit). Me prova të drejtpërdrejta nxënësit të binden praktikisht që çdo plan që kalon nga këmba e tavolinës është pingul me dyshemenë.Vërtetimi i teoremës së dytë mund të bëhet nga nxënësit në klasë ose në mënyrë të pavarur në shtëpi.Mjaft i rëndësishëm është shembulli i zgjidhur në tekst, i cili duhet të trajtohet me shumë vëmendje. Është e rekomandueshme që për të, të realizohet një model i thjeshtë prej teli, që të kuptohet më mirë figura.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 1,3, 5.


1. Në planet pingulë α dhe β merren pikat M dhe N (M∈α dhe N∈β); MA dhe NB janë pingule me drejtëzën e ndërprerjes së planeve α dhe β. Jepet AB= 6 cm; AM= 3 cm; BN= 2 cm. Të gjendet MN.

P. [7 cm]

2. Trekëndëshat dybrinjënjëshëm kanë bazën AB të përbashkët por shtrihen në plane të ndryshme. Të vërtetohet se drejtëzat AB dhe CD janë pingule.

3. Baza e piramidës katërkëndore SABCD është trapezi ABCD (AB//CD). Të gjitha brinjët anësore të piramidës formojnë kënde të barabartë me planin e bazës. Të vërtetohet se trapezi ABCD është dybrinjënjëshëm.

4. Baza e një piramide është trekëndëshi kënddrejtë ABC me katete AB= 8 cm dhe AC = 6 cm. Dihet se kulmi S ka largesa të barabarta nga pikat A, B dhe C. Jepet SA=SB=SC= 13 cm. Heqim lartësinë SO të piramidës.

108 / Matematika 11

Kreu 4

a) Ku ndodhet këmba O e pingules?b) Të gjendet SO.

5. Në Fig. 4.31 planet α dhe β janë pingulë. Largesat AE dhe BF të pikave A dhe B nga brinja e MN e dyfaqëshit janë të barabarta. Të gjendet raporti i këndeve që formon AB me planet α dhe β. P. [ 1]

4.12 Ushtrime

Në këtë orë mësimi synim kryesor duhet të jetë përsëritja e të gjithë koncepteve që kanë të bëjnë me dyfaqëshat dhe planet pingule. Kjo njëkohësisht i aftëson nxënësit për zgjidhjen e problemave.Shembulli 1, i zgjidhur në tekst konsiderohet mjaft i rëndësishëm. Por nga ana tjetër përvoja tregon se edhe nxënësit e mirë me vështirësi orientohen në figurën e ndërlikuar. Për këtë arsye sugjerojmë që për këtë problem të ndërtohet një model modest (qoftë edhe prej kartoni e telash). I njëjti model mund të përdoret edhe për shembullin e dytë.Gjithsesi sugjerojmë që në qoftë se mësuesi (duke u nisur nga niveli i klasës), i konsideron si të vështira këto ushtrime, mund të përzgjedhë të tjerë ushtrime më të lehtë.Si ushtrime të nivelit minimal në këtë mësim janë ato me numër 2 e 4.


1. Në fig. 4.32 jepet katërfaqëshi SABC të gjitha brinjët e të cilit janë të barabarta. Të gjendet këndi që formojnë faqet anësore me bazën.

1P. [cos = ]3

α

S

A

BE

O C

Fig. 4.32 Fig. 4.33

S

B

CE

A

2. Në piramidën SABC ( Fig. 4.33) jepet SA=SB=SC=a; ∠BSC=900; ∠ASB=∠ASC=600. Të vërtetohet se planet (SCA) dhe (ABC) janë pingule.

Fig. 4.31

β

α

E

A

BF

109


3. Jepet trekëndëshi barabrinjës ABC me brinjë 12 cm. Pika S ndodhet jashtë planit të trekëndëshit. Segmentet SA; SB dhe SC formojnë me planin e trekëndëshit kënde 600. Të gjenden largesat e pikës S nga kulmet dhe brinjët e trekëndëshit.

P. [ 4 6 cm; 2 15 cm]

4. Në planin α jepen drejtëzat paralele AB dhe CD në largesë 28 cm nga njëra tjetra. EF është një drejtëz jashtë planit α, paralele me AB, në largesë 17 cm nga AB. Drejtëza EF ndodhet në largesë 15 cm nga plani α. Të gjendet largesa ndërmjet drejtëzave EF dhe CD. (2 raste).

P. [ 25 cm ose 39 cm]

5. Jepet plani α dhe segmenti AB= 2 cm paralel me të, në largesë 7 cm nga plani α. AB dhe CD janë dy të pjerrëta me planin α, me gjatësi secila 8 cm, pingule me AB dhe në anë të ndryshme të AB. Të gjendet CD.

P. [8 cm]

4.13 Ushtrime për kreun 4

Në këtë orë mësimi zhvillohet përsëritje e koncepteve themelore të kreut. Nuk është e këshillueshme që mësuesi të trajtojë të gjithë përkufizimet apo teoremat, sepse kjo do të rëndonte së tepërmi orën e mësimit, do të kërkonte shumë kohë dhe efektiviteti i saj do të ishte minimal.Ne jemi të mendimit se nëpërmjet ushtrimeve mund të përsëriten ato koncepte të cilat janë të domosdoshme për kreun e ardhshëm. Të tillë janë teorema e tri pinguleve, këndi i të pjerrëtës më planin, largesa e pikës nga plani, prerja e drejtë e dyfaqëshit, planet pingulë etj.Mjaft e rëndësishme për këtë orë mësimi është edhe parapërgatitja për testin. Testi model i dhënë në tekst nuk presupozon që do te jepen detyrimisht ato ushtrime. Ai vetëm se është një orientim lidhur me ngarkesën që do te jepet. Mësuesi mund të përzgjedhë ushtrime të tjerë e t’i kombinojë ato.


1. Pika M ndodhet jashtë planit të këndit të drejtë ABC në largesa MA=MC=m, nga brinjët e këndit dhe MB= n nga kulmi i këndit. ( Fig. 4.34). Të gjendet largesa e pikës M nga plani i këndit.

−2 2P. [ 2m n ]

Fig.4.36

B

A

D

C dαBA

C

M

O

Fig. 4.34

H

A

B

C dα

Fig. 4.35

110 / Matematika 11

Kreu 4

2. Në Fig. 4.35 jepet AH⊥α; AB ⊥d; AB= 10 cm; AH=6 cm; BC= 2 cm. Të gjendet CH.P. [ 2 17 cm]

3. Në Fig. 4.36 jepet AB⊥α; BC⊥CD; BC= 2 cm; CD= 5cm ; AB=2 3cm . Të gjendet sipërfaqja e trekëndëshit ACD.

P. [ 10 cm2]

4. Në Fig. 4.37 jepet AB⊥α; BC⊥CD; AB= 12 cm; BC= 5 cm; CD= 4 cm. Të gjendet sipërfaqja e trekëndëshit ACD.

P. [ 26 cm2]A

BC

D

α

Fig. 4.37 Fig. 4.38

α

A

A1 B1

B

5. Në Fig. 4.38, A1dhe B1 janë projeksione të pikave A dhe B në planin α.

a) Të gjendet këndi që formon me planin α drejtëza BA në qoftë se jepet 1 11A B AB2

=

b) Të gjendet sipërfaqja e katërkëndëshit AA1B1B në qoftë se drejtëza BA formon me planin α këndin 450 dhe AB=10 2 cm ; AA1= 8 cm.

P. [ a) 600; b) 90cm2]

111


5.1 Shumëfaqëshat. Prizmi

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Shumëfaqëshi. Prizmi; prizmi i drejtë, prizmi i rregullt. Kuboidi. Kubi. Baza dhe lartësia e prizmit. b) Veti. Prerjet e prizmit me plane paralele me bazat janë shumëkëndësha të barabartë. Sipërfaqja anësore e prizmit të drejtë është Pb·h. c) Metoda. Prerjet e shumëfaqëshave me plane.


• Të dallojnë shumëfaqëshat (në veçanti prizmat) në mjedisin rrethues. • Të dallojnë llojet e ndryshme të prizmave (të drejtë, të rregullt). • Të nxjerrin nga përkufizimet e llojeve të prizmave veti të thjeshta të tyre. • Të përdorin në situata të thjeshta matematikore a reale formulën për sipërfaqen anësore të prizmit të drejtë.


Mësimi është një sintezë përgjithësuese e njohurive mbi prizmin, që nxënësit kanë marrë nga klasat e mëparshme. Mësuesi duhet të përdorë për ilustrim modele ose trupa nga mjedisi rrethues. Është me rëndësi pjesëmarrja aktive e nxënësve në mësim. Pas sqarimit të brendisë së çdo përkufizimi, nxënësit mund dhe duhet, që me punë të pavarur a me grupe, të vërtetojnë veti të thjeshta për lloje të ndryshme prizmash. Edhe formula për sipërfaqen anësore të prizmit të drejtë mund të nxirret nga nxënësit (me punë të pavarur a me grupe), dhe më tej të diskutohet rezultati i arritur me të gjithë klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6/a.


1. a) Sa faqe e sa dyfaqësha ka prizmi pesëkëndor? b) Sa prerje diagonale mund të hiqen nga një brinjë anësore e tij? c) Sa diagonale ka ai?

2. Dy prej faqeve anësore fqinjë të një prizmi janë pingule me bazën. A është ky prizëm i drejtë?

3. Vërtetoni se ndërprerja e dy planeve diagonalë të prizmit është drejtëz paralele me brinjën anësore të tij.

4. Në prizmin e rregullt gjashtëkëndor, njehsoni raportin e sipërfaqeve të prerjeve diagonale, që nuk janë të barabarta.

KREU 5

112 / Matematika 11

Kreu 5

5. Në një prizëm të drejtë, baza është romb dhe njëra nga prerjet diagonale është kongruente me njërën nga faqet anësore. Gjeni këndet e rombit.

6. Sipërfaqja e përgjithshme e kubit është 54 cm2. Njehsoni diagonalen e tij.

7. Dy nga faqet anësore të një prizmi të pjerrët trekëndor janë pingul ndërmjet tyre. Brinja e përbashkët e këtyre dy faqeve është 48 cm dhe largesat e saj nga dy brinjët e tjera anësore janë 24 cm dhe 70 cm. Njehsoni sipërfaqen anësore të prizmit.

5.2 Piramida. Sipërfaqja anësore e piramidës së rregullt

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Piramida. Piramida e rregullt. Apotema e saj. Baza dhe lartësia e piramidës.

b) Veti. Vetitë e piramidës së rregullt. Sipërfaqja anësore e piramidës së rregullt është aPb ⋅21

c) Metoda. Prerjet e shumëfaqëshave me plane.


• Të dallojnë piramidën midis shumëfaqëshave të tjerë. • Të japin përkufizimin për piramidën e rregullt. • Të nxjerrin nga përkufizimi veti të thjeshta të piramidës së rregullt (p.sh. faqet anësore janë të barabarta). • Të nxjerrin formulën për Sa të piramidës së rregullt. • Ta përdorin këtë formulë në situata të thjeshta matematikore a reale.


Duke vlerësuar komponenten epistemiologjike të të mësuarit të matematikës, mësuesi t’u sqarojë nxënësve prejardhjen e termit “piramidë” (nga greqishtja e vjetër “pirema”=lartësi, fjalë që rrjedh nga fjala e lashtë egjiptiane “pero”=shtëpi e lartë). Materiali mësimor përmbledh e sistemon njohuritë, që nxënësit kanë nga klasat e kaluara dhe është paraqitur në mënyrë sintetike. Mësuesi mund dhe duhet të kërkojë nga nxënësit që, me punë të pavarur a me grupe, të nxjerrin me vërtetim veti të thjeshta (por të rëndësishme) të piramidës së rregullt, si edhe formulën për sipërfaqen anësore të saj. Më tej, ai të organizojë zbatimin e këtyre njohurive në zgjidhjen, brenda orës së mësimit, të ushtrimeve që kanë të bëjnë me situata të thjeshta matematikore a reale. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 5.


1. Është dhënë piramida KABCD, me bazë katrorin ABCD dhe me lartësi KD. a) Vërtetoni që KC⊥BC dhe KA⊥AB. b) Ç’kënd formojnë faqet anësore KDC dhe KBC.

2. Në kushtet e ushtrimit 1, njehsoni sipërfaqen e bazës, kur brinja anësore më e madhe është 6 cm dhe formon me planin e bazës këndin 45o.

113


3. Piramida ka sipërfaqen e bazës 150 cm2 dhe pritet me një plan paralel me bazën, në largësinë 14 cm prej saj. Sipërfaqja e prerjes është 54 cm2. Gjeni lartësinë e piramidës.

4. Ndërtoni prerjen e piramidës trekëndore me planin që kalon në meset e dy brinjëve të bazës, paralele me njërën nga brinjët anësore. Cili është lloji i figurës që formohet?

5. a) Të gjitha brinjët e një piramide trekëndore e kanë gjatësinë a. Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të saj.

b) E njëjta kërkesë për piramidën katërkëndore, të gjitha brinjët e të cilës janë a.

6. Është dhënë piramida me bazë katrorin me brinjë 12 cm. Njëra nga brinjët anësore, që është pingule me bazën është 16 cm. Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të piramidës.

7. Baza e një piramide është trekëndëshi dybrinjënjëshëm me bazë 6 cm dhe lartësi 9 cm. Brinjët anësore të piramidës janë 13 cm.

a) Vërtetoni që këmba e lartësisë bie në qendrën e rrethit të jashtëshkruar bazës. b) Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të piramidës.

5.3 Ushtrime

Synimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara nga nxënësit në dy mësimet e mëparshme (5.1 dhe 5.2). Kjo arrihet duke angazhuar nxënësit në veprimtari për zgjidhjen e ushtrimeve, sipas mundësive të tyre, me punë të pavarur a me grupe. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht (me laps në dorë) dy shembujt e zgjidhur, të dhënë në tekst. Më tej organizohet diskutim me klasën për mënyrën e zgjidhjes së tyre, duke veçuar ato ecuri që kanë vlerë në pikëpamje të metodës. Pastaj kombinohet puna me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa prej ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen e ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm të ngritur në tabelë. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje të diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u punuar nga nxënësit e klasës, të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 4.


1. Vërtetoni se ndërprerja e dy planeve diagonale të prizmit është paralele me brinjën anësore të tij.

2. Njehsoni forcën rezultante të tri forcave prej 3N, 4N, 12N, që ushtrohen në një kulm të kuboidit dhe janë të drejtuara sipas tri brinjëve të tij.

3. Në ç’largesë prej kulmit të një piramide, me lartësi 12 cm, duhet të hiqet një plan paralel me planin e bazës, në mënyrë që sipërfaqja e prerjes të jetë 4 herë më e vogël se sipërfaqja e bazës.

4. Vërtetoni se tri pohimet e mëposhtme janë të njëvlershme. I. ”Brinjët anësore të piramidës kanë gjatësi të barabarta”. II. “Lartësia e piramidës bie në qendrën e rrethit të jashtëshkruar bazës”. III. “Brinjët anësore caktojnë me planin e bazës kënde me masa të barabarta”.

5. Baza e një piramide është një trekëndësh (katërkëndësh, gjashtëkëndësh) i rregullt, me gjatësi

114 / Matematika 11

Kreu 5

brinje a dhe të gjitha faqet anësore të saj formojnë me planin e bazës kënde të barabartë α . a) Vërtetoni se lartësia e piramidës bie në qendrën e bazës. b) Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës.

6. Prizmi i rregullt trekëndor e ka brinjën anësore a. Plani që kalon nga njëra brinjë e bazës dhe nga mesi i brinjës anësore përballë saj, formon me planin e bazës këndin 45o. Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të prizmit.

7. Baza e piramidës është katror me brinjë a. Dy nga faqet anësore të piramidës janë pingule me bazën, kurse dy të tjerat formojnë këndin a midis tyre. Njehsoni sipërfaqen anësore të piramidës.

5.4. Vëllimet e trupave

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Vëllimi i trupit. Masa e vëllimit. Prizmi; lartësia e tij. b) Veti. Vëllimi i kuboidit është sa prodhimi i përmasave të tij. Vëllimi i prizmit është i barabartë me Sb·h. c) Metoda. Parimi i Kavalierit.


• Të kuptojnë mënyrën e lidhjes midis trupave dhe vëllimeve të tyre. • Të riprodhojnë formulimin e parimit të Kavalierit. • Të nxjerrin me anë të tij formulën V=Sb·h për vëllimin e prizmit. • Të përdorin këtë formulë (e në veçanti formulën për vëllimin e kuboidit V=a·b·c) në situata të thjeshta matematikore a reale.


Mësimi ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj shtjellimit të materialit të ri i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. I duhet kushtuar kujdes parimeve (që në fakt janë aksioma), sipas të cilave vendoset lidhja midis trupave dhe vëllimeve të tyre (duke theksuar faktin që kubit me brinjë njësinë e gjatësisë i lidhet numri 1). Mësuesi t’u kërkojë nxënësve, në punë me grupe, që të nxjerrin me vërtetim formulën për vëllimin e kuboidit. Sqarimi i brendisë së parimit të Kavalierit dhe vërtetimi (mbi bazën e tij) i formulës V=Sb·h për vëllimin e prizmit, të bëhet si në tekst. Dy shembujt e zgjidhur që pasojnë, mund të lexohen nga nxënësit individualisht në libër. Më tej të kalohet në zgjidhjen (me punë të pavarur a me grupe) të ushtrimeve, që janë zbatime të thjeshta me karakter praktik. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 4, 5, 6.


1. Duke përdorur parimin e Kavalierit, vërtetoni se prerja diagonale e ndan prizmin katërkëndor, që e ka bazën paralelogram në dy pjesë të njëvlershme.

2. Përmasat e kuboidit formojnë progresion gjeometrik me kufizë të dytë 10 cm. Gjeni vëllimin e kuboidit.

115


3. Brinjët e bazës së një kuboidi janë a dhe b. Diagonalja e kuboidit formon me planin e bazës këndin me masë a. Njehsoni vëllimin e kuboidit.

4. Duke ditur brinjën e bazës a dhe brinjën anësore b të një prizmi të rregullt (trekëndor, katërkëndor, gjashtëkëndor), njehsoni vëllimin e tij.

5. Baza e një prizmi të drejtë katërkëndor është paralelogram, me diagonale 8 cm dhe 15 cm, që priten duke formuar këndin 60o. Diagonalja më e vogël e prizmit formon me planin e bazës këndin 30o. Njehsoni vëllimin e prizmit.

6. Njehsoni vëllimin e prizmit të rregullt katërkëndor nëse jepen: a) Gjatësia l e diagonales dhe masa a e këndit, që ajo formon me planin e bazës. b) Gjatësia l e diagonales dhe masa b e këndit, që ajo formon me faqen anësore.

7. Baza e një prizmi të pjerrët është katrori me brinjë a. Brinja anësore ka gjatësi 2a dhe formon me planin e bazës këndin me masë a. Njehsoni vëllimin e prizmit.

5.5 Ushtrime

Synimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në mësimin e mëparshëm (për vëllimin e prizmit). Kjo arrihet duke organizuar mirë veprimtarinë e pavarur a me grupe për diskutimin dhe zgjidhjen e ushtrimeve, që janë zbatime të thjeshta, por të larmishme. Dy shembujt që janë dhënë të zgjidhur në tekst, nxënësit t’i lexojnë individualisht në tekst (mësimi të zhvillohet me libër hapur) me laps në dorë. Pas një intervali kohor të mjaftueshëm, mësuesi të organizojë diskutim me klasën për mënyrën e dhënë të zgjidhjes, duke veçuar ato ecuri që kanë vlera në pikëpamje të metodës. Pastaj të kombinohet puna me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të diskutohet e analizohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u punuar me klasën, të konsiderohen ata me numrat 3, 4, 8.


1. Kuboidi ka përmasat 3 cm, 4 cm dhe 12 cm. Njehsoni gjatësinë e brinjës së kubit që është i njëvlershëm me të.

2. Në një kuboid sipërfaqet e faqeve janë S1, S2, S3. Vërtetoni që vëllimi i kuboidit është

1 2 3S S S⋅ ⋅ .

3. Diagonalja e bazës së një kuboidi e ka gjatësinë l, këndi i ngushtë midis diagonaleve të bazës është a, kurse diagonalja e faqes anësore më të vogël formon me planin e bazës këndin b. Gjeni vëllimin e kuboidit.

4. Prizmi me vëllim 160 cm3 ka për bazë trapezin dybrinjënjëshëm me baza 21 cm, 13 cm dhe brinjë anësore 5 cm. Njehsoni lartësinë e prizmit.

5. Baza e një prizmi të pjerrët është trekëndëshi barabrinjës me brinjë a. Njëra nga faqet anësore të prizmit është pingule me planin e bazës dhe është romb me diagonalen e vogël b. Njehsoni vëllimin e prizmit.

116 / Matematika 11

Kreu 5

6. Baza e prizmit ABCA1B1C1 është trekëndëshi kënddrejtë dybrinjënjëshëm me hipotenuzë AB=2a. Brinja anësore e prizmit është 2a. Kulmi C1 është i baraslarguar nga kulmet A, B, C. Njehsoni vëllimin e prizmit.

7. Baza e një prizmi të drejtë është romb. Brinja anësore e prizmit është 2 cm. Diagonalet e prizmit janë 5 cm, 8 cm. Njehsoni vëllimin e prizmit.

8. Brinja anësore e një prizmi të rregullt trekëndor është l. Diagonalja e faqes anësore formon me faqen tjetër anësore këndin 30o. Njehsoni sipërfaqen anësore dhe vëllimin e prizmit.

5.6 Vëllimi i piramidës

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime .Piramida. Baza; lartësia e saj. b) Veti .Dy piramida trekëndore me baza të njëvlershme e lartësi të barabarta kanë vëllime të

barabarta. Vëllimi i piramidës është hSb ⋅31

. c) Metoda. Parimi i Kavalierit.


• Të riprodhojnë vërtetimin e lemës.

• Të nxjerrin formulën hSV b ⋅=31

për piramidën katërkëndore.

• Të përdorin formulën për vëllimin e piramidës në situata të thjeshta matematikore e reale.


Dy teoremat e rëndësishme, që trajtohen në këtë mësim, kanë vërtetime jo të thjeshta, që kuptohen me vështirësi nga nxënësit. Prandaj trajtimit të materialit mësimor të tekstit i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit. Vërtetimi të bëhet me metodën e bisedës, duke shtruar në çdo fazë para nxënësve pyetje të strukturuara, e duke i shpënë nxënësit, nëpërmjet tyre drejt nxjerrjes së përfundimeve.

Në tekst është thënë shkurt se formula hSV b ⋅=31 vlen edhe për piramidën me bazë çfarëdo,

por nuk është bërë vërtetimi. Mësuesi mund të aktivizojë nxënësit për të bërë vërtetimin, me punë të pavarur a me grupe, për piramidën katërkëndore (duke e ndarë atë në dy piramida trekëndore me anë të një plani diagonal). Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5.


1. Njehsoni vëllimin e piramidës së rregullt trekëndore që i ka të gjitha brinjët të barabarta me a.

2. Baza e një piramide katërkëndore është rombi me diagonale 8 cm dhe 6 cm. Të gjitha faqet anësore formojnë me planin e bazës kënde të barabartë me 60o.

a) Tregoni që këmba e lartësisë bie në qëndrën e rombit. b) Njehsoni vëllimin e piramidës.

117


3. Baza e një piramide është trekëndëshi barabrinjës me brinjë a. Të gjitha faqet anësore formojnë me planin e bazës kënde nga 45o. Njehsoni vëllimin e piramidës. 4. Baza e piramidës është katrori me brinjë a. Të gjitha faqet anësore formojnë me planin e bazës kënde nga 60o. Njehsoni vëllimin e piramidës. 5. Baza e një piramide është drejtkëndëshi me brinjë 12 cm dhe 16 cm. Të gjitha brinjët anësore të piramidës formojnë me planin e bazës kënde nga 45o. Njehsoni vëllimin e piramidës. 6. Baza e një piramide është trekëndëshi dybrinjënjishëm me brinjë anësore 10 cm dhe bazë 16 cm. Të gjitha faqet anësore formojnë me planin e bazës këndin α . Njehsoni vëllimin e piramidës. 7. Vëllimi i një piramide të rregullt katërkëndore është 16m3. Njehsoni vëllimin e piramidës me të njëjtin kulm dhe me bazë katërkëndëshin, që i ka kulmet në meset e brinjëve të katrorit të bazës së piramidës së dhënë.

5.7 Ushtrime

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të mësuara në mësimin e mëparshëm (vëllimi i piramidës). Këtu kalohet në zbatime të larmishme komplekse. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Në fillim mësuesi kërkon nga nxënësit që të studiojnë individualisht (“me laps në dorë”) dy shembujt, që janë dhënë të zgjidhur në tekst. Më pas organizohet diskutimi me klasën i mënyrës së zgjidhjes, duke veçuar ato ecuri që përbëjnë metoda për zbatime të mëtejshme. Pastaj kombinohet puna e pavarur a me grupe e klasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me punën në tabelë të disa nxënësve, që zgjidhin të tjera ushtrime. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje analizohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u punuar me klasën, të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5.


1. Piramida KABCD ka për bazë katrorin ABCD me brinjë a dhe si lartësi KD. Këndi që formon brinja anësore KB me planin e bazës është a. Gjeni vëllimin e piramidës.

2. Sipërfaqja e bazës së një piramide është 100 cm2. Hiqet një plan paralel me bazën me largesë 6 cm nga baza. Sipërfaqja e prerjes është 25 cm2. Gjeni vëllimin e piramidës.

3. Baza e një piramide është një trekëndësh me brinjë a dhe kënd përballë kësaj brinje a. Të gjitha brinjët anësore të piramidës formojnë me planin e bazës kënde me masë b. Gjeni vëllimin e piramidës.

4. Baza e një piramide është trekëndëshi dybrinjënjëshëm me bazë a dhe kënd në kulm a. Të gjitha brinjët anësore të piramidës e kanë gjatësinë a.

a) Njehsoni lartësinë e piramidës dhe vëllimin e saj. b) Për ç’vlerë të këndit a ekziston kjo piramidë?

5. Është dhënë piramida me bazë trekëndëshin dybrinjënjëshëm që ka brinjët 9 cm, 9 cm, 6 cm. Brinjët anësore të piramidës janë nga 13 cm. Njehsoni lartësinë dhe vëllimin e piramidës.

6. Është dhënë piramida trekëndore me brinjët e bazës 39 cm, 28 cm, 17 cm. Të gjitha brinjët anësore janë nga 22,9 cm. Njehsoni vëllimin e piramidës.

118 / Matematika 11

Kreu 5

7. Vëllimi i një piramide trekëndore është 40 cm3. Brinjët e bazës janë 7 cm, 8 cm, 9 cm. Të gjitha faqet anësore formojnë kënde të barabarta me planin e bazës. Gjeni lartësinë e piramidës.

5.8 Cilindri

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Sipërfaqja cilindrike; vija drejtuese; përftuesja. Cilindri i drejtë rrethor; boshti i tij; baza. b) Veti. Prerjet e cilindrit me plane paralelë me bazat e tij janë rrathë të barabartë. Prerja e cilindrit me plan, që kalon nga boshti i tij është drejtkëndësh. Sipërfaqja anësore e cilindrit është 2πR ·l. c) Metoda. Përftimi i trupave me rrotullim figurash plane. Prerjet boshtore të trupave.


• Të nxjerrin veti të thjeshta të cilindrit të drejtë rrethor. • Të përdorin përftimin e cilindrit të drejtë rrethor nga rrotullimi i drejtkëndëshit në situata të thjeshta. • Të dallojnë veti të prerjeve të cilindrit me plane që kalojnë nga boshti apo janë pingulë me boshtin. • Të përdorin formulën Sa=2πR ·l në situata të thjeshta matematikore apo reale.


Paraqitja e materialit në tekst shfrytëzon njohuritë që nxënësit kanë për cilindrin nga klasat e mëparshme dhe prandaj ka trajtë sintetike. Mësuesi duhet të nxisë veprimtarinë e nxënësve për nxjerrjen prej tyre, me punë të pavarur a me grupe, të fakteve kryesore mbi vetitë e cilindrit të drejtë rrethor. Nxënësve u duhet vënë në dukje se nxjerrja e formulës Sa=2πR ·l me anë të prerjes së cilindrit sipas përftueses nuk është vërtetim rigoroz (nuk jemi të sigurt që hapja e përftuar është tamam drejtkëndësh). Nxënësit duhet të zgjidhin në klasë, në mënyrë të pavarur a me grupe, ushtrime zbatimi të thjeshta të formulës Sa=2πR ·l . Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2; 3; 5; 6/a, b.


1. Cilindri i drejtë rrethor pritet me një plan paralel me lartësinë. Ç’figurë merret nga prerja?

2. Në një cilindër të drejtë rrethor lartësia është 6 cm dhe rrezja e bazës 5 cm. Njehsoni sipërfaqen e prerjes së cilindrit me planin, që është paralel me boshtin dhe në largësi 4 cm prej tij.

3. Prerja boshtore e një cilindri të drejtë rrethor është një katror me sipërfaqe S. Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të cilindrit.

4. Drejtkëndëshi me përmasa a, b rrotullohet rreth njërës pastaj rreth tjetrës ndër dy brinjë fqinje. Njehsoni raportin e sipërfaqeve të përgjithshme të dy cilindrave të përftuar.

5. Në një cilindër është brendashkruar një prizëm i rregullt gjashtëkëndor. Njehsoni raportin e sipërfaqeve anësore të cilindrit dhe të prizmit.

119


6. Në një kazan avulli cilindrik me diametër 1 m dhe lartësi 3 m, trysnia e avullit është 5N/m2. Njehsoni forcën që ushtron avulli mbi sipërfaqen anësore të kazanit.

5.9 Koni

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Sipërfaqja konike, kulmi, vija drejtuese. Koni i drejtë rrethor, baza, përftuesja, lartësia. b) Veti. Prerja e konit të drejtë rrethor me plan paralel me bazën është rreth. Prerja e konit të drejtë rrethor me plan që kalon nga boshti i tij është trekëndësh dybrinjënjëshëm. Sipërfaqja anësore e konit të drejtë rrethor është aR ⋅π . c) Metoda. Marrja e trupave nëpërmjet rrotullimit të figurave plane. Prerjet e trupave sipas planeve, që kalojnë nga boshti apo janë pingule me të.


• Të nxjerrin veti të thjeshta të konit të drejtë rrethor, duke e shqyrtuar atë si trup rrotullimi. • Të përdorin në situata të thjeshta, vetitë e prerjeve boshtore apo pingule me boshtin për konin e drejtë rrethor. • Të përdorin formulën për sipërfaqen anësore të konit të drejtë rrethor Sa=πR·a në situata të thjeshta matematikore a praktike.


Paraqitja e materialit mësimor në tekst është bërë në mënyrë sintetike. Duke e shqyrtuar konin e drejtë rrethor si trup rrotullimi, mund të nxirren thjeshtë shumë veti të konit a të prerjeve të tij. Mësuesi duhet të ngulmojë që kjo të realizohet në klasë nga nxënësit, me punë të pavarur a me grupe. Ai duhet t’u vërë në dukje atyre se mënyra e nxjerrjes së formulës Sa=πR·a, duke bërë prerjen e konit të drejtë rrethor sipas përftueses, nuk përbën një vërtetim rigoroz (nuk jemi të sigurt që nga hapja përftohet pikërisht sektor qarkor). Si është nxjerrë formula, duhet të kalohet në zgjidhje ushtrimesh, që janë zbatime të thjeshta të saj, me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 4, 6, 8.


1. Ç’vijë formon bashkësia e pikave në sipërfaqen anësore të një koni rrethor të drejtë, të cilat janë të baraslarguara nga kulmi i tij?

2. Lartësia e konit rrethor të drejtë është e barabartë me rrezen R të bazës. Në bazën e konit është brendashkruar katrori. Nga njëra brinjë e katrorit dhe nga kulmi i konit hiqet plani. Njehsoni sipërfaqen e prerjes.

3. Koni rrethor i drejtë me përftuese 13 cm dhe lartësi 12 cm pritet me një plan paralel me bazën dhe në largësi 6 cm nga baza. Njehsoni sipërfaqen e prerjes dhe raportin e saj me sipërfaqen e përgjithshme të konit.

4. Koni i drejtë rrethor e ka rrezen e bazës R. Lartësia e tij formon me përftuesen këndin a. Gjeni sipërfaqen anësore të konit.

120 / Matematika 11

Kreu 5

5. Koni i drejtë rrethor e ka lartësinë h dhe përftuesja e tij formon me planin e bazës këndin α . Njehsoni sipërfaqen e përgjithshme të konit.

6. Trekëndëshi dybrinjënjëshëm me bazë 30 cm dhe me brinjë anësore 25 cm rrotullohet rreth njërës brinjë. Njehsoni sipërfaqen e trupit të formuar, nëse rrotullimi bëhet:

a) rreth bazës; b) rreth brinjës anësore.

5.10 Vëllimi i cilindrit dhe i konit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Vëllimi i trupit. Cilindri i drejtë rrethor. Koni i drejtë rrethor. b) Veti. Vëllimi i cilindrit të drejtë rrethor është πR2 · h. Vëllimi i konit të drejtë rrethor është

hR ⋅2

31π .

c) Metoda. Parimi i Kavalierit. Analogjia.


• Të përdorin formulën për vëllimin e cilindrit të drejtë rrethor në situata të thjeshta matematikore reale. • Të përdorin formulën për vëllimin e konit të drejtë rrethor në situata të tilla.


Materiali mësimor në tekst është paraqitur në mënyrë sintetike. Mësuesi mund dhe duhet të angazhojë nxënësit në veprimtari për nxjerrjen e përfundimeve përgjithësuese. Mund të nxirret në fillim formula për vëllimin e konit të drejtë rrethor dhe pastaj të kërkohet që nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, duke përdorur analogjinë, të nxjerrin formulën për vëllimin e cilindrit të drejtë rrethor. Pastaj të trajtohen shembujt e zgjidhur të dhënë në tekst; nxënësit lexojnë në libër zgjidhjen e tyre e më pas organizohet diskutimi me klasën mbi mënyrën e propozuar të zgjidhjes. Më tej kalohet në zgjidhje ushtrimesh, që janë zbatime të thjeshta, me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 9.


1. Katrori me brinjë a rrotullohet në hapësirë sipas një drejtëze, që ndodhet në planin e tij dhe në largesë b nga njëra brinjë, paralel me të. Njehsoni vëllimin e trupit të formuar.

2. Njehsoni vëllimin e cilindrit të brendashkruar në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor, nëse brinja e bazës së prizmit është 6 cm dhe lartësia e tij 10 cm.

3. Rrezja e bazës së një koni rrethor është R. Sa është rrezja e prerjes paralele me bazën, që e ndan konin në dy pjesë me vëllime të barabarta?

4. Trekëndëshi kënddrejtë me katete 6 cm dhe 8 cm rrotullohet në hapësirë rreth hipotenuzës së tij. Njehsoni vëllimin e trupit të formuar.

121


5. Trapezi dybrinjënjëshëm me baza 14 cm, 6 cm dhe me kënd të ngushtë 600 rrotullohet rreth bazës së madhe. Gjeni vëllimin e trupit të formuar.

6. Drejtkëndëshi me përmasa a, b rrotullohet sipas njërës brinjë, pastaj sipas brinjës tjetër. Gjeni raportin e vëllimeve të trupave të formuar.

5.11 Ushtrime

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në dy mësimet e mëparshme (5.10 dhe 5.11). Nxënësit të lexojnë individualisht dy shembujt e zgjidhur të paraqitur në tekst. Më pas të organizohet diskutimi me klasën i mënyrës së zgjidhjes, duke theksuar ato ecuri që kanë vlera në pikëpamje të metodës. Pastaj të kombinohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u zgjidhur nga klasa, të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 4, 6, 8.


1. Në konin e drejtë rrethor, përftuesja l cakton me bazën këndin me masë a. Njehsoni vëllimin e konit.

2. Njehsoni vëllimin e konit të brendashkruar në katërfaqëshin e rregullt me brinjë a.

3. Trapezi dybrinjënjëshëm ka bazën e vogël dhe brinjën anësore të barabarta me a. Këndi i ngushtë i tij është 45o. Njehsoni vëllimin e trupit që përftohet nga rrotullimi i trapezit:

a) rreth bazës së vogël; b) rreth brinjës anësore.

4. Trekëndëshi dybrinjënjëshëm ka lartësi 6 cm dhe brinjë anësore 10 cm. Njehsoni vëllimin e trupit që përftohet nga rrotullimi i trekëndëshit:

a) rreth brinjës anësore të tij; b) rreth drejtëzës që kalon nga kulmi dhe është paralele me bazën e trekëndëshit dybrinjënjëshëm.

5. Njehsoni sipërfaqen e cilindrit të jashtëshkruar kubit me brinjë a (kulmet e kubit ndodhen në bazat e cilindrit).

6. Cilindri me lartësi h është brendashkruar në konin e drejtë rrethor me lartësi H dhe rreze të bazës R. Gjeni raportin e vëllimeve të cilindrit dhe të konit.

7. Është dhënë trekëndëshi barabrinjës ABC me brinjë a. Drejtëza d kalon nga plani i trekëndëshit dhe ka me të vetëm pikën A të përbashkët, duke formuar me (AB) këndin e ngushtë 30o. Gjeni vëllimin e tupit që formohet nga rrotullimi i trekëndëshit ABC rreth drejtëzës d.

122 / Matematika 11

Kreu 5

5.12 Sipërfaqja sferike. Sfera Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Sipërfaqja sferike (sfera). Korda, diametri i sferës.. Rrethi i madh. Plani tangent ndaj sferës. b) Veti. Sfera është sipërfaqja e përftuar nga rrotullimi i një gjysmërrethi rreth diametrit të tij. Sfera është bashkësia e pikave të hapësirës të baraslarguara nga një pikë fikse. Prerja e sferës me plan është rreth, ose pikë ose boshe. c) Metoda. Përftimi i trupave me anë të rrotullimit të figurave. Prerja e trupave me plane.


• Të japin përkufizimin e sferës si sipërfaqe rrotullimi. • Të tregojnë njëvlershmërinë me konceptimin si bashkësi pikash të baraslarguara nga qendra. • Të karakterizojnë vijën e prerjes së sferës me plan, në varësi të largesës së planit nga qendra.


Në tekst sfera është përkufizuar si sipërfaqe rrotullimi dhe më tej është vënë në dukje vetia karakteristike si bashkësi pikash të hapësirës, të baraslarguara nga qendra. Ky është fakt i rëndësishëm dhe mësuesi duhet të këmbëngulë në evidentimin e njëvlershmërisë së dy konceptimeve. Më tej, të trajtohet në mënyrë problemore aspekti i prerjes (pikave të përbashkëta) të sferës me planin. Përfundimi përgjithësues (teorema) të nxirret nga nxënësit me punë të pavarur a me grupe, duke shqyrtuar edhe rastet d=0 e d>R. Në të njëjtën mënyrë të veprohet për dy teoremat:

1) Plani tangent me sferën është pingul me rrezen që kalon nga pika e takimit. 2) Plani pingul me rrezen e sferës në skajin e kësaj rreze është plan tangent me sferën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5, 6.


1. Ç’vija janë prerjet e dy sferave bashkëqendrore me një plan?

2. Vërtetoni se prerjet e sferës me dy plane, të baraslarguara nga qendra e saj, kanë rreze të barabarta.

3. Në sferën me rreze 13 cm janë dhënë tri pika A, B, C, largesat midis të cilave janë 6 cm, 8 cm, 10 cm. Njehsoni largesën e qendrës së sferës nga plani i trekëndëshit ABC.

4. Dy plane pingulë e presin sferën me rreze 7 cm sipas rrathëve me rreze të njëjtë. Njehsoni rrezet e këtyre rrathëve, duke ditur se korda e përbashkët e tyre është 2 cm.

Udhëzim Shqyrtoni katërkëndëshin e formuar nga qendra e sferës, qendrat e dy rrathëve dhe mesi i kordës së përbashkët.

5. Sa plane tangjente me sferën mund të hiqen: a) nga një pikë e saj; b) nga një pikë jashtë sferës.

123


6. Është dhënë rombi me diagonale 15 cm dhe 20 cm. Sfera me rreze 10 cm takon brinjët e këtij rombi. Gjeni largesën e qendrës së sferës nga plani i rombit.

5.13 Vëllimi i rruzullit dhe sipërfaqja e sferës Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Sfera. Rruzulli. Cilindri dhe koni (i drejtë rrethor).

b) Veti. Vëllimi i rruzullit është 3

34 Rπ ; sipërfaqja e sferës është 4πR2.

c) Metoda. Parimi i Kavalierit.


• Të përdorin formulat për vëllimin e rruzullit dhe sipërfaqen e sferës në situata të thjeshta matematikore a reale.


Të ndiqet mënyra e trajtimit, e dhënë në tekst, për nxjerrjen e formulës për vëllimin e rruzullit, duke përdorur parimin e Kavalierit. Mund të përdoret metoda e bisedës, duke i drejtuar klasës pyetje të strukturuara, për të nxjerrë

përfundimin përgjithësues 3

34 RV π= .

Në tekst, formula për sipërfaqen e sferës është dhënë pa vërtetim. Mësuesi të aktivizojë më tej nxënësit për të zgjidhur, me punë të pavarur a me grupe, ushtrimet që janë zbatime të thjeshta, por të larmishme. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5, 7, 8.


1. Ndryshesa e vëllimeve të dy rruzujve është 156π cm3, ndërsa ndryshesa e rrezeve është 3 cm. Njehsoni rrezet e tyre.

2. Në një sferë janë dhënë dy korda pingule me një skaj të përbashkët e me gjatësi të barabarta . Qendra e sferës ndodhet 4 cm larg nga plani i trekëndëshit ABC. Njehsoni

vëllimin e rruzullit që kufizon kjo sferë.

3. Përmasat e një kuboidi janë 4 m, 6 m, 12 m. Njehsoni sipërfaqen e sferës së jashtëshkruar këtij kuboidi.

4. Është dhënë prizmi i drejtë me lartësi 4 cm dhe me bazë trekëndëshin kënddrejtë me katete 2 cm dhe 4 cm. Njehsoni sipërfaqen e sferës së jashtëshkruar këtij prizmi.

5. Në konin rrethor të drejtë me rreze 12 cm dhe përftuese 20 cm, brendashkruhet rruzulli. Të gjendet vëllimi i rruzullit.

6. Vërtetoni se raporti i vëllimeve të rruzullit dhe konit të jashtëshkruar atij, është i barabartë me raportin e sipërfaqeve të tyre.

124 / Matematika 11

Kreu 5

5.14 Ushtrime

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përpunimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në dy mësimet e mëparshme (5.12-5.13). Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë individualisht (me laps në dorë) dy shembujt që janë dhënë të zgjidhur në tekst. Pastaj mësuesi të organizojë diskutimin e tyre me klasën, duke evidentuar ato ecuri që kanë vlera në pikëpamje të metodës. Më tej, të kombinohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të analizohet e diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 5, 7.


1. Një sferë pritet nga dy plane paralelë, me largesë 21 cm njëri nga tjetri. Rrezet e rrathëve të përftuar nga prerja janë 12 cm dhe 9 cm. Njehsoni sipërfaqen e sferës.

2. Sa drejtëza tangjente me sferën mund të hiqen: a) nga një pikë e saj; b) nga një pikë jashtë saj.

3. Në një katërfaqësh të rregullt brendashkruhen dhe jashtëshkruhen sferat. Gjeni raportin e sipërfaqeve të këtyre sferave.

4. Shqyrtohen një cilindër rrethor i drejtë, me lartësi të barabartë me rrezen e bazës; gjysmërruzulli i brendashkruar në të dhe koni i drejtë rrethor, me bazë bazën e cilindrit dhe me kulm në qendrën e bazës tjetër. Vërtetoni se vëllimet e tyre formojnë progresion aritmetik.

5. Qendra e një sfere me rreze r ndodhet në brinjën e një dyfaqëshi me prerje të drejtë ao. Sa është sipërfaqja e pjesës së sferës që ndodhet ndërmjet faqeve të dyfaqshit?

6. Prizmit të drejtë, me bazë trekëndëshin kënddrejtë ABC ( ), ku BC=a dhe , i brendashkruhet rruzulli. Njehsoni vëllimin e rruzullit.

5.15 Ushtrime për kreun

Ky mësim ka natyrë përsëritje. Rekomandohet që mësuesi t’u japë paraprakisht, si detyrë shtëpie nxënësve, hartimin e një përmbledhje të njohurive dhe fakteve kryesore të kreut. Kjo bashkë me punën për zgjidhjen e ushtrimeve në klasë, do të bëjë të mundur realizimin e rimarrjes e thellimit të njohurive kryesore, kuptimin e lidhjeve midis tyre (struktura e kreut) dhe integrimin e njohurive të kreut në kuadrin e vetë lëndës mësimore. Dy shembujt e zgjidhur, të dhënë në tekst, të lexohen individualisht (me laps në dorë) nga nxënësit. Pastaj të organizohet me klasën diskutimi i tyre, duke veçuar ecuritë që kanë vlerë në pikëpamje të metodës. Më tej, organizohet kombinimi i punës së nxënësve për zgjidhjen (me punë të pavarur a me grupe) të disa ushtrimeve të tekstit, me punën për zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje të analizohet e diskutohet me klasën.

125


Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 5, 6.


1. Kemi një fletë letre drejtkëndore, ku diagonalja formon me bazën këndin α . Fleta mbështillet në formën e cilindrit, njëherë me përftuese brinjën më të madhe dhe një herë tjetër me përftuese brinjën më të vogël. Gjeni raportin e vëllimeve të cilindrave të formuar.

2. Prerja plane e një cilindri rrethor të drejtë me një plan, që është paralel me boshtin e cilindrit dhe në largesë d prej tij, cakton në rrethin e bazës harkun me masë α . Sipërfaqja e kësaj prerje është S. Njehsoni vëllimin e cilindrit.

3. Njehsoni vëllimin e konit rrethor të drejtë, duke ditur sipërfaqen e bazës S1 dhe sipërfaqen anësore S2.

4. Në një kon rrethor të drejtë përftuesja formon me bazën këndin α . Rrezja e sferës së jashtëshkruar konit është R. Gjeni vëllimin e konit.

5. Në cilindrin rrethor të drejtë, të brendashkruar në rruzull, brendashkruhet rruzull. Gjeni raportin e vëllimeve të këtyre rruzujve.

6. Në konin rrethor të drejtë, që është brendashkruar në sferë, brendashkruhet sferë. Gjeni raportin e sipërfaqeve të sferave, duke ditur që përftuesja e konit formon me planin e bazës së tij këndin α .

7. Në konin me përftuese sa diametri i bazës është brendashkruar sfera dhe në këtë sferë është brendashkruar kubi. Gjeni gjatësinë e brinjës së kubit, duke ditur se përftuesja e konit është a.

8. Dy rrathë nuk ndodhen në të njëjtin plan, por kanë të përbashkëta dy pika A, B. Në qendrat e këtyre rrathëve hiqen pingulet me planet e tyre.

a) Vërtetoni se këto pingule ndodhen në planin që kalon nga mesi i [AB] pingul me [AB]. b) Tregoni qendrën dhe rrezen e sipërfaqes sferike që përmban dy rrathët e dhënë.

126 / Matematika 11

Kreu 5

KREU 6

6.1 Funksione që kanë limit +∞ kur x→+∞ Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Limiti +∞ i funksionit, kur x→+∞. Grafiku.

b) Veti. = +∞;

= +∞ (n∈N);

ax= +∞;

= +∞ (a>1).

c) Metoda. Metoda grafike për të konstatuar nëse f(x)= +∞.

Shkathtësi Në mbarim të orës së mësimit nxënësit të jenë në gjendje:

• Të dallojnë nëse një funksion me grafik të njohur ka limit +∞ kur x→+∞.

• Të tregojnë në bazë të përkufizimit që xn= +∞;

= +∞.

• Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit +∞ kur x→+∞.


Kuptimi i limitit rezulton historikisht i vështirë për nxënësit e kësaj moshe, aq më tepër që kursi i mëparshëm matematikor që ata kanë ndjekur nuk i ka përgatitur për këtë kuptim. Prandaj i duhet kushtuar kujdes daljes në këtë kuptim nëpërmjet situatave të thjeshta, duke përdorur gjerësisht përfytyrimet grafike. Është me rëndësi që nxënësit të bëjnë mirë dallimin midis shprehjeve “x merr vlera shumë të mëdha” dhe “x merr vlera sa të duam të mëdha”. Të ndiqet më tej ecuria metodike e paraqitur në tekst. Trajta e thjeshtë e përkufizimit të f(x)=+∞ është “vlerat e f bëhen sa të duam të mëdha, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha”. Nënvizimet janë të rëndësishme sepse shprehin thelbin e kërkesës. Në tekst jepet pastaj edhe përkufizimi i saktë për f(x)= +∞ “për çdo numër M>0 të dhënë, ekziston një x0>a e tillë që për x>x0 të kemi f(x)>M”.

Ky përkufizim është përdorur për të vërtetuar që 3 x = +∞ e do të përdoret më tej edhe

në disa raste të tjera (p.sh. për të vërtetuar që ax= +∞ kur a>1). Por vëmendja duhet

përqendruar në kuptimin e thelbit të faktit që f(x)= +∞, sipas përkufizimit të parë dhe në interpretimin grafik të tij. Nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë rezultatet e rëndësishme:

nx = +∞; n x = +∞ (n∈N);

xa = +∞; = +∞ (a>1).

127


Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 7/a,b,c.

Ushtrime të zgjidhura

Nr. 5/c. Të vërtetohet që për k>0, n∈N kemi nxk ⋅ = +∞.

Zgjidhje

Le të jetë M>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi Mxk n >⋅ është i njëvlershëm me n Mxk

>

d.m.th. me n nx > nkM

pra |x|> nkM

. Marrim x0= nkM

.

Atëherë për x>x0 kemi x> nkM

, prandaj edhe |x|> nkM

, që ku rrjedh Mxk n >⋅ .

Kjo do të thotë, në bazë të përkufizimit, që = +∞.

Nr. 6/c. Të vërtetohet që = ∞+ .

Zgjidhje

Le të jetë M>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi x2 -1>M është i njëvlershëm me

x2 >M+1, d.m.th. me x >2

1+M, d.m.th. (për x>0) është i njëvlershëm me x>

212

M +

.

Marrim x0=21

2M +

. Atëherë për x>x0 kemi x>

212

M +

, që ku del 12

Mx +> ,

pra x2 -1>M. Kjo do të thotë, sipas përkufizimit që = ∞+ .

Nr. 7/c. Të vërtetohet që funksioni y=cosx nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.

Zgjidhje Për çdo Rx ∈ kemi 1cos ≤x . Nëse marrim M=2, nuk ekziston asnjë x0>0 që për x>x0 të kemi cosx>M. Prandaj funksioni y=cosx nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.

Nr. 7/b. Të vërtetohet që funksioni x

y 1= nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.

Zgjidhje

Për 1≥x kemi 11 ≤x

. Po të marrim M=0 nuk ekziston asnjë 10 ≥x që për x>x0 të kemi Mx

>1

Prandaj funksioni x

y 1= nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.

6.2 Disa teorema. Funksione që kanë limit -∞ kur x→ +∞ Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Limiti ∞− i funksionit kur x→+∞. b) Veti. Katër teorema për funksionet që kanë limit ∞+ kur x→+∞. c) Metoda. Metoda e krahasimit për funksionet që kanë limit ∞+ kur x→+∞.

128 / Matematika 11

Kreu 5


• Të përdorin katër teorema për gjetjen e limiteve ∞+ të funksioneve të thjeshta, kur x→+∞. • Të tregojnë nëse një funksion ka limit ∞− kur x→+∞, duke zbatuar përkufizimin dhe teoremat e njohura.


Nga katër teorema të paraqitura është vërtetuar vetëm e para , kurse për tre të tjerat është thënë që pranohen pa vërtetim. Me këtë jepet një indikacion për mësuesin, që nuk duhet të përqendrohet në vërtetime, por kryesisht në zbatime në raste të thjeshta të këtyre teoremave. Shqyrtimi i shembullit për funksionin y=-x2 është i nevojshëm për të dalë natyrshëm tek përkufizimi:

lim ( )x

f x→+∞

= −∞ ⇔ lim [ ( )]x

f x→+∞

− = +∞ .

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 4, 6, 9, 10.


Nr. 3. Duke përdorur teoremën 1 tregoni që funksioni y=x2+cosx ka limit ∞+ kur x→+∞.

Zgjidhje

Për çdo Rx ∈ (pra edhe për x>0) kemi 1cos −≥x , prandaj x2+cosx ≥ x2-1.

Meqenëse (x2-1)= ∞+ , nga teorema 1 rrjedh që edhe (x2+cosx)= ∞+ .

Nr. 5. Duke krahasuar me funksion të përshtatshëm, tregoni që funksioni i mëposhtëm ka limit ∞+ kur x→+∞.

a) y=4x-1; b) y=3x+x1

.

Zgjidhje a) Për x>1 kemi 4x-1>3x. Meqenëse 3x= ∞+ , nga teorema 1 rrjedh që edhe

(4x-1)= ∞+ .

b) Për x>0 kemi 3x+x1

>3x. Meqenëse 3x= ∞+ , nga teorema 1 rrjedh që edhe 13xx

+ = ∞+ .

Nr. 8. Dihet që f(x)= ∞+ , por funksioni y=f(x)+g(x) nuk ka limit kur x→+∞. Ç’mund të thuhet për funksionin y=g(x)?

Zgjidhje Nëse do të kishim

g(x)= ∞+ , atëherë nga teorema 2 do të dilte që edhe

[f(x)+g(x)]= ∞+ , në kundërshtim me kushtin. Mbetet që funksioni y=g(x) nuk ka limit ∞+ kur x→+∞.

129


Nr. 13.a) Tregoni që për x>3 kemi –x2+2x<3-2x.

b) Tregoni që (3-2x)= ∞− .

c) Tregoni që (-x2+2x)= ∞− .

Zgjidhje a) Mosbarazimi –x2+2x<3-2x është i njëvlershëm me –x2+4x-3<0, d.m.th. me x2-4x+3>0. Duke zgjidhur këtë inekuacion të fuqisë së dytë gjejmë që ai vërtetohet për x<1 ose x>3, çfarë deshëm të vërtetojmë. b) Kemi (3-2x)= ∞− , sepse (2x-3)= ∞+ .

c) Nga mosbarazimi –x2+2x<3-2x (për x>3) dhe fakti që (3-2x)= ∞− rrjedh që

(-x2+2x)= ∞− .

6.3 Funksione që kanë limit 0 kur x→+∞

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Limiti 0 i funksionit kur x→+∞.

b) Veti. nx1

=0; n x1

=0 (n∈N).

c) Metoda. Interpretimi grafik i faktit që f(x)=0.


• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka limit 0 kur x→+∞. • Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit 0 kur x→+∞.

• Të tregojnë, sipas përkufizimit, që nx1

= 1

n x=0 për vlera të caktuara natyrore

të n.


Të ndiqet ecuria metodike e paraqitur në tekst. Zgjidhja e ushtrimit të propozuar synon të krijojë idenë që ka funksione, vlera absolute e të cilëve bëhet sa të duam e vogël me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha. Përkufizimi i faktit që f(x)=0 jepet në dy trajta:

1. ”|f(x)-0| të bëhet sa të duam ne e vogël, me kusht që të shqyrtohen vlera të x mjaft të mëdha”. 2. ”sidoqoftë numri ε>0, ekziston një numër pozitiv M, i tillë që për x>M të kemi

ε<− |0)(| xf ”. Trajta e dytë e përkufizimit (që është më e thelluara) është ajo që përdoret për vërtetime rigoroze

(p.sh. që 3

1x

=0).

Por operimi me të mund të kërkohet vetëm për nxënësit e mirë; për masën e nxënësve mjafton të

130 / Matematika 11

Kreu 5

kuptohet mirë trajta e parë dhe sidomos interpretimi grafik i faktit që f(x)=0. Nxënësit duhet të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në raste të thjeshta faktet:

nx1

=0; n x1

=0.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3/a,5.


1. Të vërtetohet që 3 xe

=0.

Zgjidhje

Le të jetë 0>ε një numër i dhënë çfarëdo. Mosbarazimi 3

0ex

− ε< është i njëvlershëm

me ε<3 xe

, d.m.th. me 3 | |

ex

ε< , pra me 3 | |x

e>

ε1

d.m.th. εex >3 || d.m.th. |x|>

3

εe

.

Nëse marrim M=3

εe

, për x>M kemi |x|>M d.m.th. |x|>3

εe

, që ku rrjedh mosbarazimi i

njëvlershëm ε<− 03 xe

.

Kjo do të thotë, sipas përkufizimit që 03

=x

e.

Nr. 4/b. Të vërtetohet që 12

2+x

=0.

Vërtetim Le të jetë ε>0 një numër i dhënë. Shqyrtojmë vlera të x>0.

Kemi 1 0

2 1xε− <

+ ⇔ 1

2 1xε<

+ ⇔

ε112 >+x (kemi 2x+1>0) ⇔

⇔ (2x+1)>21

ε ⇔ 2x>

21

ε-1 ⇔ x>

21 21 1

ε −

.

Marrim M=21

−

11 2

ε. Për x>M kemi x>

21

−

11 2

ε, d.m.th. marrim mosbarazimin e

njëvlershëm 1 02 1x

ε− <+

.

Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, që 12 1x +

=0.

131



ogx−l

=0.

Zgjidhje

Le të jetë ε>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi 10ogx

ε− <l

është i njëvlershëm me ,

d.m.th. me ⇔ . Marrim M= .

Për x>M kemi , prandaj , që ku del 10ogx

ε− <l

.

Kjo do të thotë, sipas përkufizimit, që 10ogx−l

=0.

6.4 Limiti i polinomit kur x→∞

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Polinomi, monomi, fuqia. b) Veti. “Limiti i polinomit, kur x→+∞ është sa limiti i monomit me fuqi më të lartë”.


• Të gjejnë limitin e një monomi kur x→+∞. • Të gjejnë limitin e një polinomi të trajtës kanonike kur x→+∞.


Mësimi të nisë nga shqyrtimi i gjetjes së limitit të monomit kur x→+∞, duke shqyrtuar monome me koeficientë e fuqi konkrete. Ushtrimi i dhënë në tekst, për gjetjen e limitit të funksionit y=2x3+x2+x+1, duke ditur që

(2x3)= ∞+ , synon të ngjallë tek nxënësit një hamendje të caktuar.

Megjithatë mësuesi nuk duhet të presë shumë prej tij, sepse ka të ngjarë që shumë nxënës të mos arrijnë ta zgjidhin. Prandaj është i dobishëm shqyrtimi i shembullit vijues, ku vërtetohet saktë që

(x3-x2-x+1)= (x3).

Pas kësaj të kërkohet zgjidhja nga nxënësit me punë të pavarur e me grupe e ushtrimit, ku vërtetohet që (-2x4-x3-x2-x)= (-2x4).

Këta dy raste janë të mjaftueshëm për të nxjerrë përfundimin përgjithësues që shpreh tema. Më tej të kalohet në zbatimet e thjeshta, si në ushtrimin (e pazgjidhur) që figuron në tekst. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, b.

132 / Matematika 11

Kreu 6


Nr. 3/c. Të gjendet (x+1)5(x-1)3.

Zgjidhje Duke shkruar (x+1)5=(x+1)2(x+1)2(x+1) bindemi që kemi një polinom, monomi i të cilit me fuqinë më të lartë është x5. Meqenëse (x-1)3=x3-3x2+3x-1 (monomi me fuqinë më të lartë është x3), rrjedh që monomi me fuqinë më të lartë i polinomit (x+1)5(x-1)3 është x5·x3=x8. Prandaj

(x+1)5(x-1)3= x8= ∞+ .

Nr. 5 a) Gjeni m që grafiku i funksionit y=mx3-4x2+5x-1 të kalojë nëpër pikën A(1; 7). b) Gjeni pastaj limitin e këtij funksioni kur x→+∞.

Zgjidhje a) Duhet e mjafton të kemi 7=m·13-4·12+5·1-1, dmth 7=m-4+5-1; del m=7. b) (7x3-4x2+5x-1)= (7x3)= ∞+ .

6.5 Funksione që kanë limit l kur x→+∞

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Limiti l i funksionit kur x→+∞. Limiti 0 i funksionit kur x→+∞.

b) Metoda. Zëvendësimi i shprehjes f(x) me shprehjen l−)(xf për të arritur në një përfundim të caktuar.


• Të tregojnë sipas përkufizimit nëse limiti i një funksioni të thjeshtë kur x→+∞ është 0. • Të përdorin këtë shkathtësi për të treguar sipas përkufizimit nëse limiti i një funksioni të thjeshtë kur x→+∞ është l.


Mësuesi mund t’u japë nxënësve si detyrë të lexojnë në tekstin e hapur shembullin, ku bëhet

krahasimi i vlerave të funksioneve y= 2 11

xx

+−

dhe y= 2112 −

−+

xx

.

Më tej, para se të jepet përkufizimi, ai mund të trajtojë vetë një shembull të ngjashëm, p.sh.

për funksionet y= 2

2 1x

x + dhe y= 11

2

2

−+x

x (d.m.th. y= 2

1x

). Kështu, dilet natyrshëm tek përkufizimi

⇔ .

Pastaj nxënësit me punë të pavarur e me grupe të punojnë ushtrimin e vendosur në materialin

teorik të tekstit:

+

x15 =5.

133


Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, 7/b.


Nr. 4/a. Të vërtetohet që 0)1(32 =−

xx

.

Zgjidhje

Mjafton të vërtetojmë që 2

3(1 )x

x= +∞

−. Për x>1 kemi 0<3(1-x)<4x dmth |3(1-x)<4|x|=4x.

Prandaj për x>1 kemi |)1(3|

1x−

>x4

1 dhe

2

| 3(1 ) |x

x−>

xx

412

Por 4x

= ∞+ , prandaj nga teorema 1 rrjedh |)1(3|

2

xx−

= ∞+ ,

Që nga 2

)1(3x

x−=0.

Nr. 6/a. Të gjendet limiti kur x→+∞ i funksionit y= 3

2 1x

xx ++.

Zgjidhje

Shohim 3

2 1x

x x+ +=

3

2 1x

x x+ + (sepse x>0).

Për 2≥x kemi x2+x+1<2x2, prandaj 1

12 ++ xx

> 221x

d.m.th. 3

2 1x

x x+ +> 2

3

2xx

. Por 2x

= ∞+ , prandaj nga teorema 1 del edhe

12

3

++ xxx

= ∞+ , që nga 2

31x x

x+ + =0.

6.6 Limite të funksionit kur x→∞

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Limiti ( ∞−∞+ ,,,0 l ) i funksionit kur x→+∞. b) Metoda. Zëvendësimi i ndryshores.


• Të gjejnë (nëse ekziston) limitin e një funksioni të thjeshtë y=f(x), kur x→+∞, duke gjetur limitin f(-t).

134 / Matematika 11

Kreu 6

• Të dallojnë grafikisht funksione që kanë limit ( ∞−∞+ ,,,0 l ) kur x→+∞. • Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limite kur x→+∞.


Të ndiqet ecuria metodike e paraqitur në tekst. Ka rëndësi kuptimi i saktë i faktit “kur vlerat e x rriten pambarimisht, vlerat e ndryshores t=-x bëhen më të vogla se çdo numër pozitiv i dhënë”.

Pastaj të trajtohen, duke ngjallur diskutim në klasë, shembujt me funksionet y=2+x1

, y=2x kur x→+∞. Mbi këtë bazë të dilet në përfundimin përgjithësues që fut kuptimin e limitit të funksionit kur x→-∞.

lim ( )x

f x→−∞

= l ⇔ .

Më tej të punohet shembulli për (x3-2x2+x-3) dhe pastaj nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur, (2x4-x3+x+1).

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 4/a, 6, 8.


Nr. 2/b. Të vërtetohet që xx3

=0.

Zgjidhje

Zëvendësojmë x=-t dhe shqyrtojmë tt

−−3

= tt3

.

Ky limit është zero, sepse 3 t

t= 3 2t = ∞+ .

Nr. 4/b. Të vërtetohet që

12| |n x

+ l

=2.

Vërtetim

Zëvendësojmë x=-t dhe shqyrtojmë 12| |n t

+ − l

= 12nt

+ l

.

Kemi

, prandaj

=0.

Meqenëse diferenca 12nt

+ l

-2 e ka limitin 0, del 12nt

+ l

=2.

Nr. 5/a. Të vërtetohet që )(

5xn −l

=0.

Vërtetim

Shënojmë x=-t dhe marrim 5( )n x−l

= .

135


Kemi

, prandaj

= ∞+ , prej ku

=0.

6.7 Ushtrime

Këto ushtrime synojnë përpunimin e njohurive dhe zhvillimin e aftësive të përvetësuara në mësimet 6.1-6.6. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke kombinuar zgjidhjen me punë të pavarur a me grupe të disa ushtrimeve nga nxënësit në banka, me zgjidhjen e disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ngritur në tabelë. E rëndësishme është që nxënësit të marrin pjesë aktive në zgjidhjen dhe diskutimin e ushtrimeve. Përgjigjja e nxënësit nga banka ose nga tabela për zgjidhjen e një ushtrimi duhet të dëgjohet nga klasa (duke ndërprerë përkohësisht, po qe e nevojshme edhe punën e vet), duke bërë edhe korrigjimet e nevojshme. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2; 4; 6; 11/a, b; 13.


Nr. 1. Të vërtetohet që (ax+b)= ∞+ kur a>0.

Zgjidhje Le të jetë M>0 një numër i dhënë. Mosbarazimi ax+b>M është i njëvlershëm me ax>M-b dhe

me x>a

bM − (duke pasur parasysh që a>0).

Shënojmë x0= abM −

. Atëherë për x>x0 kemi x>a

bM −, që ku rrjedh mosbarazimi i njëvlershëm

ax+b>M, çfarë deshëm të vërtetojmë.

Nr. 5. Dihet që )()(

xgxf

= ∞+ dhe g(x)= ∞+ .

Ç’mund të thuhet për funksionin y=f(x)?

Zgjidhje

Kemi f(x)=)()(

xgxf

·g(x). Meqenëse )()(

xgxf

= ∞+ dhe g(x)= ∞+ , nga teorema 3

(mësimi 6.2) rrjedh f(x)= ∞+ .

Nr. 7. Të vërtetohet që, kur a>1, .

Vërtetim

Të vërtetojmë në fillim që = . Shënojmë , atëherë x=t

a

1 , që ku

tax −= , prandaj , d.m.th. .

136 / Matematika 11

Kreu 6

Kështu = .

Por (sepse a>1), prandaj = ∞− .

Nr. 8. Të vërtetohet që: a) Nëse f(x)= ∞− dhe g(x)= ∞− , atëherë [f(x)+g(x)]= ∞− .

b) Nëse )()( xgxf ≤ dhe g(x)= ∞− , atëherë f(x)= ∞− .

Zgjidhje a) Meqenëse f(x)= ∞− dhe g(x)= ∞− , kemi

[-f(x)]= ∞+ dhe [-g(x)]= ∞+ .

Nga teorema 2 (mësimi 6.2) rrjedh që [-f(x)-g(x)]= ∞+ . Por kjo do të thotë që [f(x)+g(x)]= ∞− .

b) Nga )()( xgxf ≤ rrjedh )()( xgxf −≥− .

Por [-g(x)]= ∞+ (sepse g(x)= ∞− ).

Nga mosbarazimi )()( xgxf −≥− rrjedh, sipas teoremës 1 të mësimit 6.2, që [-f(x)]= ∞+ . Por kjo do të thotë që f(x)= ∞− .

6.8 Asimptota horizontale. Disa teorema mbi limitet

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Grafiku. Limiti l i funksionit kur x→+∞ (x→-∞). Asimptota horizontale b) Veti. Teoremat mbi limitin e shumës, prodhimit, herësit të dy funksioneve kur x→+∞ (x→-∞). Teorema e dy policëve. c) Metoda. Metoda grafike për studimin e vetive të funksionit.


• Të gjejnë asimptotat horizontale për funksionet homografike.

• Të gjejnë asimptotat horizontale për funksione të thjeshtë, për të cilët f(x)= l . • Të përdorin në raste të thjeshta teoremat mbi shumën, prodhimin, herësin e dy funksioneve, që kanë limit kur x→+∞ (x→-∞). • Të përdorin teoremën e “dy policëve” kur x→+∞ (x→-∞).


Të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst. Tek kuptimi i asimptotës horizontale të dilet

nëpërmjet shembullit të funksionit y=x1

. Pastaj të trajtohet ushtrimi për funksionin y=1+x1

.

Pasi të shqyrtohet rasti i përgjithshëm për funksionin y=f(x) dhe drejtëzën y= l , kur x→+∞ dhe të jepet përkufizimi i asimptotës horizontale kur x→+∞, duhet ndalur në shqyrtimin e rastit kur x→-∞.

137


Të punohet, lidhur me këtë, nga nxënësit (me punë të pavarur apo me grupe) ushtrimi për

asimptotën horizontale të grafikut të funksionit y=112

−+

xx

kur x→-∞. Teoremat mbi limitet e funksioneve kur x→+∞ (x→-∞) në tekst janë dhënë pa vërtetim, në përputhje me kërkesat e programit. Mësuesi mund të kërkojë nga nxënësit që të lexojnë në tekst formulimet e teoremave dhe shembujt përkatës që janë dhënë. Më tej duhet të kalohet në ushtrime të thjeshta zbatuese. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3/a, b; 4.


Nr. 3/a. Të gjendet asimptota horizontale e grafikut të funksionit y=x

xsin1+.

Zgjidhje Kemi 1sin1 ≤≤− x , prandaj 2sin10 ≤+≤ x .

Për x>0 (sepse x→+∞) kemi xx

x 2sin10 ≤+≤ .

Por 0=0 dhe x2

=0, prandaj nga teorema e “dy policëve” rrjedh që edhe

xxsin1+

=0. Asimptotë horizontale e grafikut kur x→+∞ është drejtëza y=0.

Nr. 5/b. Të gjendet asimptota horizontale e grafikut të funksionit y= 2 13 4

xx

+−

.

Zgjidhje

Duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me x, marrim y=

12

43

x

x

+

−.

Kemi x1

=0 dhe

−

x4

=0, prandaj

+

x12 =2 dhe

−

x43 =3

( 0≠ ). Në bazë të teoremës 3/c (mësimi 6.8) del

12

43

x

x

+

−=

32

.

Asimptotë horizontale e grafikut, kur x→+∞ është drejtëza y=32

.

6.9 Limiti i funksionit racional thyesor, kur x→+∞ (x→-∞) Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksioni racional thyesor. Limiti i funksionit kur x→+∞. b) Veti. Teorema që pohon se limiti i funksionit racional thyesor, kur x→+∞ (x→-∞) është sa

138 / Matematika 11

Kreu 6

limiti i raportit të monomeve me fuqi më të lartë të x në numërues e në emërues. c) Metoda. Shndërrime identike të shprehjeve thyesore racionale. Rregullat e kalimit në limit, kur x→+∞ (x→-∞).


• Të gjejnë limitin e funksionit racional thyesor kur x→+∞ (x→-∞). • Të shkruajnë ekuacionin e asimptotës horizontale të tij.


Në paraqitjen e materialit në tekst është ndjekur rruga induktive; nëpërmjet shembujve të nxirret përfundimi përgjithësues. Është e rëndësishme që nxënësit, me punë të pavarur a me grupe, të zgjidhin ushtrimin hyrës, ku trajtohen disa funksione të thjeshtë racionalë. Mësuesi mund të bëjë sugjerimin “të pjesëtohet numëruesi dhe emëruesi me fuqinë më të lartë të x”. Në klasë të trajtohet hollësisht shembulli 1 (duke aktivizuar nxënësit nëpërmjet strukturimit të pyetjeve). Shembujt 2, 3 nxënësit mund t’i lexojnë brenda orës së mësimit në tekst. Në këtë mënyrë arrihet në rrugë të natyrshme tek përfundimi përgjithësues, që shprehet nga teorema. Pasi trajtohet shkurt shembulli i dhënë i zgjidhur, më tej në tekst është e rëndësishme që nxënësit të kryejnë, me punë të pavarur a me grupe, zgjidhjen e ushtrimit të vënë në tekst (me 3 kërkesa), që përbën një zbatim direkt të teorisë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4.


Nr. 5/b. Të gjendet 10

9( 5)( 1)xx+−

.

Zgjidhje

Duke shkruar (x+5)10 = 2)5( +x 2)5( +x 2)5( +x 2)5( +x 2)5( +x bindemi që monomi i tij

me fuqi më të lartë është 22222 xxxxx ⋅⋅⋅⋅ = x10.

Duke shkruar 9)1( −x = 3)1( −x 3)1( −x 3)1( −x bindemi që monomi i tij me fuqi më të lartë

është 333 xxx ⋅⋅ = 9x .

Prandaj 9

10

)1()5(

−+

xx

= = x= ∞+ .

Nr. 7. Është dhënë funksioni y= 2)(12

mxx−

−.

a) Gjeni m që grafiku i funksionit të kalojë nëpër pikën A(0; -1). b) Gjeni asimptotat horizontale të grafikut të funksionit .

Zgjidhje a) Koordinatat e pikës A duhet e mjafton të vërtetojnë ekuacionin

y= 2)(12

mxx−

−, pra të kemi –1= 2)(

1m−−

, që nga m2=1, dmth m=1 ose m=-1.

139


b) Për m=1 kemi funksionin y= 22 1

( 1)x

x−

−.

2)1(12

−−

xx

= 2

2x

x= x

2=0.

Edhe 2)1(12

−−

xx

=0.

Drejtëza y=0 është asimptotë horizontale e grafikut të funksionit kur x→+∞ ose x→-∞. Kur

m=-1 kemi funksionin y= 2)1(12

+−

xx

.

Edhe për grafikun e tij drejtëza y=0 është asimptotë horizontale (kur x→+∞, kur x→-∞).

Nr. 8. Është dhënë funksioni y= .

a) Gjeni a, b që grafiku të kalojë nëpër pikat A(0; 1) dhe B(1; 3). b) Gjeni pastaj limitet e funksionit kur x→+∞, x→-∞.

Zgjidhje a) Duhet e mjafton që koordinatat e pikës A dhe koordinatat e pikës B të vërtetojnë ekuacionin

y=2 2 3x xax b+ +

+, d.m.th. të kemi

31

63

b

a b

= = +

që ku b=3 dhe a=-1.

Funksioni është y=3

322

+−++

xxx

.

b) 2 2 3

3x x

x+ +− +

= 2xx−

= ∞− ;

3322

+−++

xxx

= x

x−

2

= ∞+ .

6.10 Ushtrime për përpunim të njohurive

Synimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i aftësive të përvetësuara në mësimet e mëparshme të kreut, sidomos në mësimet 6.8-6.9. Është e këshillueshme që të kombinohet puna në banka (e pavarur a në grupe) e nxënësve të klasës për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të veçantë. Zgjidhja e secilit ushtrim duhet të analizohet e të diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 3/a, b; 4; 5.


Nr. 3/a. Të gjenden asimptotat horizontale të grafikut të funksionit y=a+ nx1

( Nn ∈ )

140 / Matematika 11

Kreu 6

Zgjidhje

Dimë se për Nn ∈ , kemi nx1

=0. Por a=a.

Prandaj (teorema 1/a e mësimit 6.8) kemi 1na

x + =a+0=0.

Drejtëza y=a është asimptotë horizontale e grafikut, kur x→+∞. (Njëlloj arsyetohet edhe për rastin kur x→-∞.) Nr. 6/b.

Zgjidhje

Sidoqoftë m, grafiku i funksionit y=17

3−−

xmx

ka si asimptotë horizontale, kur x→+∞, drejtëzën

y=73

, sepse 173

−−

xmx

= x

x73

=73

.

Nr. 8/b.

Zgjidhje

Për 0≠a , grafiku i funksionit y= ka si asimptotë horizontale, kur x→+∞. (x→-∞.)

drejtëzën y=a2

, sepse

=

=a2

.

Për a=0 ( 0≠b ), grafiku i funksionit nuk ka asimptotë horizontale, sepse

(sipas shenjës së b).

6.11 Funksione që kanë limit zero në zero

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Limiti 0 i funksionit në zero. Grafiku i funksionit. b) Veti.

0lim→x xn=0 (n∈N).

c) Metoda. Metoda grafike për gjetjen e limitit zero të funksionit kur 0→x .


• Të dallojnë nga grafiku nëse funksioni ka limit zero kur 0→x . • Të japin shembuj funksionesh që nuk kanë limit zero kur 0→x . • Të vërtetojnë sipas përkufizimit që

0lim

+→xxn=0 (n∈N).


Kuptimi i limitit zero të funksionit kur 0→x nuk është aspak një kuptim i thjeshtë dhe përvoja

141


shumëvjeçare botërore ka treguar që ai nuk intervizohet lehtë në të menduarit e nxënësit. Prandaj në tekst është proceduar me kujdes, duke filluar nga shembujt më të thjeshtë (funksioni f:y=x2), në

ata më pak të thjeshtë (g:y=

=≠01

02

xpërxpërx

; h:y=x

x 2

) duke përdorur edhe ilustrimet grafike,

për të kuptuar mirë dy gjëra esenciale: a) Vlerat e funksionit mund të bëhen sa të duam afër numrit zero, kur vlerat e x (x≠0) zgjidhen mjaft afër zeros. b) Pika e lëvizshme M(x, y) e grafikut i afrohet pambarimisht origjinës, kur vlerat e x i afrohen pambarimisht zeros.

Trajta e dytë e përkufizimit për 0

lim→x

f(x)=0 (në gjuhën r−ε ) është dhënë për të krijuar një

bazament teorik rigoroz për disa vërtetime të para. Mësuesi nuk duhet t’i vërë kësaj gjuhe theks të posaçëm në trajtimin e lëndës pasardhëse e nuk duhet të kërkojë zotërimin e saj nga masa e nxënësve. Mjafton vërtetimi në këtë gjuhë i faktit që

0lim→x

nx =0 ( Nn ∈ ).

Pas dhënies së përkufizimit e trajtimit të shembujve, është mirë të zhvillohen ushtrime për

interpretimin grafik të 0

lim→x

f(x)=0. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2/a, b; 3; 4; 9.


1. Të vërtetohet që 0

lim→x

3− x=0.

Zgjidhje

Le të jetë 0>ε një numër i dhënë, sado i vogël. Kemi 3| − x|=| 3− ||x|= ||3 x .

Për të pasur ε<− |3| x , mjafton të marrim ε<||3 x , d.m.th. |x|<3

ε

Marrim r=3

ε dhe për [,] rrx −∈ ( 0≠ ) kemi |x|<

3ε

d.m.th. ε<− |3| x , çfarë deshëm të vërtetojmë.

Nr. 5. Të vërtetohet që 0

lim→x

|x|=0.

Zgjidhje Le të jetë 0>ε një numër i dhënë. Mjafton të marrim ε=r , sepse për [,] rrx −∈ ( 0≠x )

kemi rx <|| d.m.th. ε<|| x , çfarë deshëm të vërtetojmë.

Nr. 7/b. Të gjendet limiti kur 0→x i funksionit y=xx3

.

Zgjidhje Ky funksion nuk është i përcaktuar për x=0, megjithatë ka limit zero kur 0→x .

142 / Matematika 11

Kreu 6

Le të jetë 0>ε një numër i dhënë. Mosbarazimi ε<|)(| xf është ε<xx3

dhe për 0≠x

është i njëvlershëm me ε<|| 2x ⇔ ε<2|| x ⇔ ε<|| x .

Mjafton të marrim ε=r . Për 0≠x nga ]-r, r[ kemi 0<|x|<r d.m.th. ε<< ||0 x , që ku del

ε<xx3

, çfarë deshëm të vërtetojmë.

Nr. 7/a. Tregoni që funksioni y=2 01 0

x për xpër x

≠ =

ka limit 0 kur 0→x .

Zgjidhje

Ndonëse f(0)=1, kemi 0

lim→x

f(x)=0. Le të jetë 0>ε një numër i dhënë.

Për x≠0, mosbarazimi ε<|)(| xf ka pamjen ε<|2| x ⇔ 2

|| ε<x .

Marrim 2ε=r . Atëherë për 0<|x|<r kemi 0<|x|<

2ε

, që ku del ε<|2| x d.m.th. ε<|)(| xf ,

çfarë deshëm të vërtetojmë.

6.12 Funksione që kanë limit 0 kur x→a. P.m.v.

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Limiti 0 i funksionit kur ax → . Funksione p.m.v kur ax → . b) Veti. Katër teorema mbi vetitë e funksionit p.m.v. c) Metoda. Interpretimi grafik i limitit të funksionit.


• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka limit 0 kur x→a. • Të japin grafikisht shembuj funksionesh që nuk janë p.m.v kur x→a.. • Të përdorin në raste të thjeshta faktin që

ax→lim (x-a)n=0.

• Të përdorin në raste të thjeshta teoremat që shprehin vetitë e funksioneve p.m.v.


Materiali i paraqitur për këtë orë mësimi ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst, duke e zhvilluar mësimin me libër hapur, duke punuar me punë me grupe për ushtrimet e vëna në materialin teorik dhe duke lexuar shembujt. Ka rëndësi që nxënësit të kuptojnë saktë shprehjet: “Vlerat e funksionit mund të bëhen sa të duam afër numrit zero, kur vlerat e x zgjidhen mjaft afër numrit a (x≠0)”. “Pika M(x, y) në grafik i afrohet pambarimisht pikës A(a; 0), kur vlerat e x ( ax ≠ ) i afrohen pambarimisht numrit a”.

143


Trajta e dytë e përkufizimit për ax→

lim f(x)=0 (ajo në gjuhën r−ε ) nuk konsiderohet kryesore në trajtimin e materialit (sepse është e vështirë për t’u përdorur nga nxënësit). Roli i saj do të jetë vetëm në ndonjë vërtetim të thjeshtë në hapat e para. Teoremat që shprehin vetitë e p.m.v. janë dhënë pa vërtetim; vëmendja të përqendrohet në zbatimet e tyre. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3; 5/a; 6/a; 7/a, b.


Nr. 3. Tregoni që 1

lim→x

|x-1|=0.

Zgjidhje Le të jetë 0>ε një numër pozitiv i dhënë. Mjafton të marrim ε=r , sepse për 1≠x dhe

)1,1( rrx +−∈ vërtetohet mosbarazimi |x-1|<r, d.m.th. ε<− |1| x . Nr. 7/a. Vërtetoni që

0lim→x

x·sin2x=0.

Zgjidhje Për çdo Rx ∈ kemi 1|2sin| ≤x , që ku |||2sin||| xxx ≤⋅ , prandaj |||2sin|0 xxx ≤≤ .

Por 0

lim→x

0=0 dhe 0

lim→x

|x|=0.

Nga teorema e dy policëve rrjedh 0

lim→x

|x·sin2x|=0.

Meqenëse |2sin|2sin|2sin| xxxxxx ≤≤− rrjedh, po nga ajo teoremë që 0

lim→x

x·sin2x=0.

Nr. 8/c. Të vërtetohet (sipas vetive të p.m.v.) që 13x

− 11x

+ x1

=0.

Vërtetim

Duke kryer shumëzimet marrim: 13x

− 11x

+ x1 =

23 1x x

− 11x

+ =

23 1x x

−+ 2 3

3 1x x

− .

Të gjitha kufizat brenda kllapës së fundit e kanë limitin 0 kur +∞→x , prandaj nga teorema 1

del 23 1x x

− + 2 33 1x x

− =0.

6.13 Limiti i funksionit kur x→a Njohuri teorike kryesore a) Kuptime Limiti i funksionit kur ax → . P.m.v. kur ax → .

b) Veti. Teorema: ⇔ [f(x)- l p.m.v. kur ax → ]. ax→

lim c=c; ax→

lim x=a

c) Metoda. Zëvendësimi i shprehjes me një më të përshtatshme.


• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion ka limit l kur ax → .

144 / Matematika 11

Kreu 6

• Të gjejnë në raste shumë të thjeshta limitin e f kur x→a, duke treguar që l−)(xf është p.m.v. kur x→a. • Të përdorin në raste të thjeshta faktet që

ax→lim c=c;

ax→lim x=a.


Edhe trajtimit të materialit të këtij mësimi i duhet kushtuar ora e plotë. Në pjesën e parë të mësimit synohet që nëpërmjet shembujve dhe ilustrimeve grafike të sqarohet përmbajtja e përkufizimit që vijon: “Vlerat e f mund të bëhen sa të duam afër numrit l, kur vlerat e x zgjidhen mjaft afër numrit a”. Përkufizimi i

ax→lim f(x)=l në gjuhën ε, r nuk do të luajë rol në trajtimin e mëtejshëm të lëndës,

prandaj mësuesi nuk duhet të ndalet gjatë në përpunimin e tij. Përkundrazi është shumë e rëndësishme (në vetvete dhe për zbatimet) teorema:

“ ⇔ [f(x)- l p.m.v. kur x→a].

Po kështu, shumë të rëndësishëm janë faktet ax→

lim c=c dhe ax→

lim x=a. Mësuesi të kërkojë që

nxënësit me punë të pavarur a me grupe të zgjidhin ushtrimin për grafikun e funksionit

y=242

−−

xx

dhe limitin e tij, kur x→2, i cili ka mjaft vlera formuese.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 9.



lim→x 2

522 +− xx =2.

Zgjidhje

Marrim diferencën 22

522

−+− xx=

2122 +− xx

=2

)1( 2−x.

Funksioni y=(x-1)2 është p.m.v. kur x→1, prandaj edhe funksioni y=21

(x-1)2 është p.m.v. kur x→1 (teorema 3 tek vetitë e p.m.v.).

Nr. 5/b. Të vërtetohet që cos 2x

x − =-2.

Zgjidhje

Marrim diferencën cos 2xx

− -(-2)=

xxcos

. Por xxcos

=0 (sepse mund të shkruajmë

xxx

x1cos1 ≤≤− ). Kjo tregon që

− 2cos

xx

=-2.

Nr. 8/ç. Vërtetoni sipas përkufizimit që 2

lim→x 42

42

−−

xx

=2.

145


Zgjidhje

Le të jetë ε një numër pozitiv i dhënë. Për x≠2 mosbarazimi |f(x)-2|<ε merr pamjen 2 22

x + −

ε< ⇔ 2

|2| −x ε< ⇔ |x-2|<2ε.

Marrim ε2=r . Atëherë për 2≠x nga (2-r, 2+r) kemi |x-2|<r, dmth |x-2|<2ε, që ku rrjedh

mosbarazimi i njëvlershëm ε<− |2)(| xf .

6.14 Teoremat themelore mbi limitin

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksioni p.m.v. kur x→a. Limiti l i funksionit kur x→a. b) Veti. Teoremat mbi shumën dhe prodhimin e disa funksioneve që kanë limit kur x→a. Dy rrjedhime prej tyre. c) Metodë. Zëvendësimi i shprehjes me një tjetër më të përshtatshme.


• Të përdorin teoremat mbi limitin e shumës dhe të prodhimit në raste të thjeshta për gjetje limitesh kur x→a. • Të përdorin lirisht nxjerrjen e konstantes jashtë shenjës së limitit. • Të gjejnë limitin e një fuqie kur njihet limiti i bazës së saj.


Teorema mbi limitin e shumës është vërtetuar duke përdorur ekuivalencën logjike

lim ( )x a

f x→

= l ⇔ [f(x)- l p.m.v. kur x→a].

E rëndësishme është që nxënësit ta zbatojnë atë në raste të thjeshta (duke ditur që ax→

lim c=c dhe

ax→lim x=a), edhe kur numri i të mbledhshmëve është më i madh se dy.

Teorema për limitin e prodhimit është dhënë pa vërtetim; përkundrazi janë vërtetuar thjeshtë rrjedhimet e saj (rasti i fuqisë për n=2). Edhe këtu është e rëndësishme që nxënësit të vihen në punë të pavarur e me grupe në zbatime të thjeshta të saj fillimisht, duke kaluar më tej në zbatime me kombinim të dy teoremave, si p.sh.

5lim→x

(x2-x).

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3, 4, 5.


Nr. 6/a. Të gjendet 2

lim→x

(x2-5x+7).

Zgjidhje Kemi

2lim→x

(x2-5x+7)= 2lim→x (x2)-

2lim→x

(5x)+2

lim→x

7=22-52

lim→x

x+7=22-5·2+7=1.

Nr. 7/a. Nëse funksioni g ka limit kur x→a, kurse funksioni f nuk ka limit kur x→a, ç’mund të themi për funksionin f-g?

146 / Matematika 11

Kreu 6

Zgjidhje (f-g) nuk ka limit kur x→a. Me të vërtetë, nëse funksioni (f-g) do të kishte limit, atëherë edhe funksioni f që shkruhet si shumë f=(f-g)+g do të kishte limit kur x→a, gjë që është në kundërshtim me kushtin.

Nr. 7/b. Nëse funksioni g nuk ka limit, kurse funksioni gf

ka limit kur x→a, ç’mund të thoni për funksionin f?

Zgjidhje

Mund të ndodhë që f të ketë limit. P.sh. f=x, g=x1

dhe a=0.

( f(x)=0; )()(

xgxf

= x2=0; g(x) nuk ekziston.)

Mund të ndodhë që f të mos ketë limit. P.sh. f(x)=g(x)=x1

, kur x→0.

6.15 Teoremat themelore mbi limitin

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Polinomi. Funksioni racional thyesor. Funksioni i zakonshëm.

b) Veti. ax→

lim P(x)=P(a); ax→

lim( )( )

P xQ x

= ( )( )

P aQ a

kur 0)( ≠aQ . Teorema mbi limitin e raportit.

ax→lim f(x)=f(a) kur f është funksion i zakonshëm dhe a është pikë e bashkësisë së përcaktimit.

c) Metoda. Përgjithësimi.


• Të zbatojnë, duke respektuar kushtet, teoremën mbi limitin e raportit. • Të gjejnë limitin e polinomit në një pikë a. • Të gjejnë limitin e funksionit racional thyesor në pikat ku emëruesi është ≠0. • Të dallojnë nëse një funksion i dhënë është funksion i zakonshëm. • Të gjejnë limitin e funksionit të zakonshëm në një pikë të bashkësisë së përcaktimit.


Të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst. Sipas saj, një shembull i zgjidhur, i ndjekur nga shembuj gjysmë të zgjidhur apo ushtrime të posaçme synon të lindë tek nxënësit një hamendje e caktuar. Pasi formulohet përfundimi përgjithësues dhe merret konfirmimi që ai qëndron, kalohet në zbatime të larmishme, duke filluar nga ato më të thjeshtat. Duhet theksuar fort fakti që teorema mbi limitin e raportit mund të zbatohet vetëm kur limiti i emëruesit është i ndryshëm nga zero. Të jepet shembull kur teorema nuk mund të zbatohet. Kuptim i rëndësishëm e përmbledhës është ai i funksionit të zakonshëm. Sqarimit të këtij kuptimi, mësuesi duhet t’i kushtojë vëmendjen e

duhur, duke treguar edhe shembuj funksionesh që nuk janë të tillë, si y=2 1

1x për xx për x

≥

<.

Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 3; 4/a; 5/a; 8.

147




lim→x

72 ++ xx .

Zgjidhje

Funksioni y= 72 ++ xx është funksion i zakonshëm dhe është i përcaktuar në pikën x=1. Prandaj limiti i tij kur 1→x do të jetë sa vlera e funksionit në pikën x=1.

Kështu, 1

lim→x

72 ++ xx = 7112 ++ = 9 =3.


lim−→x

32

211

xx

+ −

.

Zgjidhje

Funksioni y=32

211

xx

+ −

është funksion i zakonshëm dhe i përcaktuar për x=-3. Prandaj limiti

i tij kur 3−→x është i barabartë me vlerën e tij në pikën x=-3.

Kështu 3

lim−→x

32

211

xx

+ −

=39 1

9 1+

−=

1000512

= 102

= 585

.

6.16 Funksione pambarimisht të mëdhenj (p.m.m.) kur x→a Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksioni p.m.m. (p.m.m. me shenjë +, p.m.m. me shenjë -) kur x→a. Funksioni p.m.v. kur x→a.

b) Veti. Njëvlershmëria [f është p.m.m. kur x→a] ⇔ [f1

është p.m.v. kur x→a]. Vetitë e funksioneve p.m.m. c) Metodë. Shqyrtimi i inversit të një funksioni.


• Të dallojnë nga grafiku nëse një funksion është p.m.m. kur x→a. • Të dallojnë nëse një funksion është p.m.m. (p.m.m. me shenjë +, p.m.m. me shenjë -) duke shqyrtuar inversin e tij, në raste të thjeshta. • Të zbatojnë vetitë e funksioneve p.m.m në raste të thjeshta.


Materiali i parashikuar për këtë orë mësimi ka ngarkesë konceptuale dhe vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit.

Shtjellimi në tekst nis me shqyrtimin e grafikut të një funksioni (y= 2

1x

për x=0), duke evidentuar

faktin që kur vlerat e x i afrohen pambarimisht numrit 0, pika M(x, y) e grafikut largohet

148 / Matematika 11

Kreu 6

pambarimisht nga origjina. Më tej, me rrugën analitike, tregohet që në këtë rast ne mund t’i bëjmë vlerat e funksionit sa të duam të mëdha, mjafton të marrim vlera të x mjaft afër zeros, (x≠0). Më tej konstatohet se inversi i funksionit të shqyrtuar (y=x2) është p.m.v. në pikën x=0. Ky fakt vihet në themel të përkufizimit të funksionit p.m.m. në pikën x=a. Pas shqyrtimit të një shembulli tjetër, ku

ax→lim f(x)= ∞+ , jepen përkufizimet e p.m.m. me shenjë

+ apo – kur x→a. Nga vetitë e funksioneve p.m.m. që janë listuar në tekst është vërtetuar vetëm teorema 1 (mbi prodhimin e dy p.m.m.). Është mirë që mësuesi të aktivizojë nxënësit që me punë të pavarur a me grupe të vërtetojnë ndonjë nga vetitë pasuese për p.m.m. me shenjë + ose -. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2/a; 3/a; 4; 5; 6/a, b; 7.


Nr. 3/b. Të tregohet që funksioni y=|| ax

c−

, ku c<0, është p.m.m. me shenjë – kur x→a.

Zgjidhje

Për x≠a kemi |x-a|>0, pra ||

1ax −

>0 dhe || ax

c−

<0 (sepse c<0). Veç kësaj funksioni

y=c

ax || − (inversi i funksionit tonë) është p.m.v. kur x→a,

sepse ax→

limc

ax || −=

caa || −

=0.

Si përfundim, funksioni y=|| ax

c−

(kur c<0) është p.m.m. me shenjë (–) kur x→a.

Nr. 6/c. Të gjendet 4

lim→x |4| −x

x.

Zgjidhje

Shkruajmë |4| −x

x=

|4|1−x

x . Funksioni y=|4|

1−x

është p.m.m. (me shenjë +)

kur x→4, sepse inversi y=|x-4| është p.m.v. kur x→4.

Nga ana tjetër funksioni y= x ka limit të ndryshëm nga zero kur 4→x ,

4lim→x

x = 4 =2. Prandaj në bazë të teoremës 4 të vetive të p.m.m. themi që funksioni

y=|4| −x

x është p.m.m. me shenjë + kur x→4.

Nr. 8/c. Ç’mund të themi për funksionin f+g në rast se lim f(x)= ∞+ dhe lim g(x)= ∞− ?

Zgjidhje Apriori-asgjë. Mund të ndodhin raste të ndryshme në varësi të trajtës konkrete të f, g.

149


P.sh. f: y=x2 dhe g: y=-x2 [f(x)+g(x)]=0.

f: y=2x2 dhe g: y=-x2 [f(x)+g(x)]= +∞.

f: y=x2 dhe g: y=-2x2 [f(x)+g(x)]= -∞.

f: y=x2+5 dhe g: y=-x2 [f(x)+g(x)]=5.

f: y=x2+sinx dhe g: y=-x2 Nuk ekziston limiti i f+g kur x→ +∞.

6.17 Asimptotat vertikale

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Asimptota vertikale. Asimptota horizontale.

b) Veti. Drejtëza x=a është asimptotë nëse ax→

lim f(x)=∞. Që drejtëza të jetë asimptotë vertikale

e grafikut të funksionit racional thyesor y=)()(

xQxP

, duhet që Q(a)=0.

c) Metoda. Leximi i grafikut të funksionit. Gjetja e pikave ku funksioni është p.m.m.


• Të dallojnë nga grafiku nëse drejtëza x=a (y=b) është asimptotë vertikale (horizontale) e tij. • Të gjejnë asimptotat horizontale dhe vertikale të grafikut të funksionit racional thyesor.


Mësuesi duhet të japë përsëritje për nxënësit mësimin 2.8 (Asimptota horizontale). Kjo lehtëson punën për kuptimin e asimptotës vertikale dhe të kuptimit të asimptotës në përgjithësi. Rekomandohet të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst, që siguron pjesëmarrje aktive të nxënësve në mësim gjatë gjithë shtjellimit të materialit mësimor. Për funksionet racionale thyesore, krahas kërkimit të asimptotave vertikale të grafikut, është mirë të shqyrtohet edhe problemi i asimptotave horizontale të tij. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1; 2; 4; 6/a, b.


Nr. 5/b. Të gjenden asimptotat vertikale të grafikut të funksionit y=1

2sin

2 −

x

xπ

.

Zgjidhje Emëruesi bëhet 0 kur x=1 ose x=-1.

Kemi 1

lim→x 1

12 −x

= ∞ (sepse 1

lim→x

(x2-1)=0) dhe 1

lim→x

x

2sin π

=

⋅1

2sin π

=1.

150 / Matematika 11

Kreu 6

Nga teorema 4 (vetitë e p.m.m.) del 1

lim→x

= ∞.

Drejtëza x=1 është asimptotë vertikale e grafikut të funksionit y= . (E njëjta gjë del edhe për drejtëzën x=-1.)

Nr. 6/c. Të gjenden asimptotat vertikale të grafikut të funksionit y= 113

+x

.

Zgjidhje E vetmja pikë që nuk i përket bashkësisë së përcaktimit të funksionit është x=0.

Kemi 0

lim→x

3 x =0, prandaj 0

lim→x 3

1x

=∞. Si pasojë, edhe 0

lim→x 3

1 1x

+ = +∞ .

(Teorema 3; vetitë e p.m.m.)Prandaj drejtëza x=0 është asimptotë vertikale e grafikut të funksionit.

6.18 Format e pacaktuara. Forma 00


a) Kuptime. “Forma e pacaktuar 00

”. Limiti i funksionit. Funksioni p.m.m.

b) Veti. Rregullat e kalimit në limit. Skema e Hornerit. Teorema Bezu. c) Metoda. Metoda e thjeshtimit me (x-a). Metoda e zëvendësimit të ndryshores. Metoda e kalimit të rrënjës nga një gjymtyrë e thyesës në tjetrën (shumëzimi me të konjuguarën).


• Të dallojnë nëse në raportin ( )( )

f xg x

kemi formë të pacaktuar 00 .

• Të zbatojnë drejt rregullat e kalimit në limit në raste të thjeshta. • Të gjejnë limitin e raportit të dy polinomeve kur x→a, duke pjesëtuar me (x-a), nëse kemi

formë të pacaktuar 00

.

• Të gjejnë limite të rasteve të thjeshta të formës së pacaktuar 00 , duke bërë zëvendësim të

ndryshores.

• Të gjejnë ax→

lim)()(

xgxf

kur kemi formën e pacaktuar 00

, nëse f(x), g(x) janë të trajtave

(ax+b) apo .


Të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst, duke punuar me libër hapur.

Nëpërmjet ushtrimit të hyrjes, synohet të dilet në kuptimin e formës së pacaktuar 00 . Tre rastet

151


e këtij ushtrimi analizohen gjerësisht më poshtë, duke treguar se si veprohet për të gjetur limitin në rastin kur nuk përdoren dot teoremat e njohura. Të sqarohet mirë, siç është bërë në tekst, që nëse

ax→lim f(x)=0 dhe

ax→lim g(x)=0, ne themi që kemi

të bëjmë me formën e pacaktuar 00 , por kjo nuk do të thotë që limiti është

00 (sepse simboli

00

nuk ka kuptim); thjesht kjo është një mënyrë të shprehuri për të vënë në dukje se në këtë rast nuk mund të përdorim teoremat e njohura. Në këtë orë mësimi trajtohen nëpërmjet shembujve tre mënyra të posaçme për gjetjen e limitit, kur

kemi të bëjmë me formë të pacaktuar 00 : mënyra e thjeshtimit me (x-a), mënyra e zëvendësimit

të ndryshores, mënyra e kalimit të rrënjës nga emëruesi në numërues dhe anasjellas. Shembujt janë të shumtë, prandaj trajtimit të materialit të ri duhet t’i kushtohet e gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes. Pas punimit të shembujve nxënësve duhet t’u kërkohet të zgjidhin ushtrime zbatime, me punë të pavarur a me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.


Nr. 5/c. 8

lim→x

3

22

64x

x−

−. Kemi formën e pacaktuar

00 (pse?)

Zgjidhje

Shkruajmë 823

−−

xx

81+x

. Kemi 8

lim→x 8

1+x

= (pse?)

Për të gjetur 8

lim→x 8

23

−−

xx

zëvendësojmë tx =3 . Kur 8→x , 2→t dhe anasjellas.

Atëherë 8

lim→x 8

23

−−

xx

=2

lim→t 8

23 −−

tt

=2

lim→t

=2

lim→t 4

12 ++ tt

=

(kemi thjeshtuar me t-2).

Atëherë 8

lim→x 8

23

−−

xx

·8

1+x

= ·

=

1601

.

Nr. 6/b.

2

limπ→x 3sin5sin2

sin12 +−

−xx

x.

Zgjidhje

Kemi formën e pacaktuar 00 . Zëvendësojmë sinx=t. Kur

2π→x , t→1.

Atëherë marrim 1

lim→t 352

12 +−

−ttt

.

Duke pjesëtuar 2t2-5t+3, sipas skemës së Hornerit, marrim 2t2-5t+3=(t-1)(2t-3).

152 / Matematika 11

Kreu 6

Prandaj marrim 1

lim→t

=1

lim→t 32

1−

−t

=1.

6.19 Format e pacaktuara (vazhdim)

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Funksionet trigonometrike. Forma e pacaktuar ∞⋅0 .

b) Veti. 0

lim→x

=k; 0

lim→x x

tgx=1;

0lim→x 2

cos1x

x−=

21

.

c) Metoda. Përdorimi i 0

lim→x x

xsin=1 për gjetjen e limiteve të funksioneve trigonometrikë.


• Të dallojnë për funksione trigonometrikë nëse kemi të bëjmë me format e pacaktuara 00

apo 0 · ∞.

• Të riprodhojnë vërtetimet për 0

lim→x

=k; 0

lim→x 2

cos1x

x−=

21

.

• Të përdorin këto përfundime për gjetjen e limiteve të funksioneve trigonometrike në raste

të thjeshta të formave të pacaktuara 00

apo ∞⋅0 .


Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur ecurinë metodike të propozuar në tekst. T’u vihet në dukje nxënësve se detyrimisht kur kërkohet një limit funksioni, duhet kontrolluar fillimisht nëse kemi të bëjmë apo jo me një formë të pacaktuar.

Limitet e x

xsin , , 2

cos1x

x− , x

tgx kur x→0 duhen konsideruar si rezultate të teorisë e

duhen fiksuar në kujtesë për t’u përdorur në zbatime të tjera. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ato me numrat 1, 2, 3.


Nr. 4/a. 0

lim→x xx

xxsin

2sin+

+. Kemi formën e pacaktuar

00 .

Duke pjesëtuar tek shprehja xxxx

sin2sin

++

numëruesin dhe emëruesin me x, marrim

xx

xx

sin1

2sin1

+

+.

153


Meqenëse 0

lim→x

+

xx2sin1 =1+2=3 dhe

0lim→x

+

xxsin1 =1+1=2, kemi

0lim→x

xx

xx

sin1

2sin1

+

+=

23

.

Nr. 4/b. 0

lim→x 3

sinx

xtgx −. Kemi 3

sinx

xtgx −= 3

sin sincos

x xxx

−= 3

sin sin coscos

x x xx

x

−

=

=xx

xxcos

)cos1(sin3

−=

xxsin

· 2

cos1x

x−·

xcos1

.

Kemi 0

lim→x x

xsin=1;

0lim→x 2

cos1x

x−=

21

; 0

lim→x xcos

1=

0cos1

=1, prandaj del

0lim→x 3

sinx

xtgx −=1·

21

·1=21

.

Nr. 5/b. 0

lim→x 2

2cos1x

x−. Kemi 1-cos2x=2sin2x.

Prandaj 0

lim→x 2

2cos1x

x−=

0lim→x

2 2

2sinx

x= =2

0lim→x x

xsin·

xxsin

=2.1·1=2.

Nr. 6/a. 0

lim→x 2

3cos5cosx

xx −. Kemi cos5x-cos3x=-2sin4x·sinx.

Prandaj 0

lim→x 2

3cos5cosx

xx −=

0lim→x 2

sin4sin2x

xx−= =-2

0lim→x x

x4sin·

xxsin

=-2·4·1=-8.

Nr. 7/a.

4

limπ→x xx

xsincos

2cos−

=

4

limπ→x xx

xxsincossincos 22

−−

==

4

limπ→x

(cosx+sinx)=4

cos π+

4sin π

= 2 .

Nr. 7/b.

2

limπ→x x

x2

3

cossin1−

=

2

limπ→x

=

=

2

limπ→x x

xxsin1

sinsin1 2

+++

=

2sin1

2sin

2sin1 2

π

ππ

+

++=

11111

+++

=23

.

154 / Matematika 11

Kreu 6

6.20 Format e pacaktuara (vazhdim)


a) Kuptime. Funksioni p.m.m. Format e pacaktuara ∞∞

dhe ∞−∞ .

b) Veti. Limiti i polinomit kur x →± ∞ është sa limiti i monomit me fuqi më të lartë. c) Metoda. Kalimi i rrënjës nga emëruesi në numërues; thjeshtimi me fuqinë më të lartë të x.


• Të dallojnë rastet e thjeshta kur kemi forma të pacaktuara ∞∞ apo ∞−∞ .

• Të përdorin për zhdukjen e papërcaktueshmërisë sipas rastit, pjesëtimin me fuqinë më të lartë të x, shumëzimin me të konjuguarën.


Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur ecurinë metodike që propozohet në tekst. Nxënësit duhet të vihen të punojnë të pavarur a me grupe për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik pas shembujve.

Kujdes duhet treguar për rastin kur x→-∞. Në këtë rast 2x =|x|=-x (sepse x<0). Si ushtrime të nivelit minimal do të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 7, 8.


Nr. 5/b. xxx

x7

312 +−

−. Kemi formën e pacaktuar

∞∞

.

Pjesëtojmë numëruesin dhe emëruesin me x, duke pasur parasysh se x=- 2x (sepse x<0).

xxxx

7312 +−

−=

2

1 3

7

xx

x x xx

−

− +=

2

2

31

71

xx x

x

−

++

=2

2

31

71

xx x

x

−

++

=

31

71 1

x

x

−

+ +.

Kemi

−

x31 =1 dhe

++

x711 = 11+ =2.

Prandaj xxx

x7

312 +−

−=

21

.

Nr. 9/a.

2 11 cosxx

− . Kemi formën e pacaktuar ∞⋅0 .

Bëjmë zëvendësimin tx

=1. Kur x→+∞, 0→t .

Marrim 0

lim→t

21

t(1-cost)=

0lim→t 2

1 cos tt

− =21

.

155


6.21 Ushtrime për përpunimin e njohurive

Mësimi synon përforcimin e njohurive dhe zhvillimin e aftësive të fituara nga nxënësit në mësimet 6.11-6.20. Rekomandohet që të punohet me libër hapur, duke kombinuar zgjidhjen e ushtrimeve nga nxënësit në banka, me punë të pavarur a me grupe, me zgjidhjen e ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm në tabelë. Secili nga këto ushtrime të analizohet e diskutohet me të gjithë klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 4; 5; 6; 8/a, b; 10/a, b, c; 14; 15/b.


Nr. 3. Të gjendet 1

lim→x 1

13

−−

xx

në dy mënyra.

Zgjidhje

Mënyra I. Bëjmë zëvendësimin tx =3 . Kur 1→x , 1→t .

Kemi 1

lim→x 1

13

−−

xx

=1

lim→t 1

13 −−

tt

=

=1

lim→t

=1

lim→t 1

12 ++ tt

=31

.

Mënyra II. 1

lim→x 1

13

−−

xx

=1

lim→x

3 23 3

3 2 3

( 1)( 1)

( 1)( 1)

x x x

x x x

− + +

− + +=

=1

lim→x

=1

lim→x 3 2 3

1

1x x+ +=

31

.

Nr. 10/d. 0

lim→x x

xx 4sin−=

0lim→x

−

xx

xx 4sin

=1-4=-3.

Nr. 12/a. ax→

limax

ax−− coscos

=ax→

lim2sin sin

2 2x a x a

x a

− +−

−.

Zëvendësojmë x-a=t. Kur ax → , 0→t dhe anasjellas.

Marrim 0

lim→t

2sin sin( )2 2t ta

t

− +=-2

0lim→t

sin2t

t 0lim→t

+

2sin ta = =-2·

21

· sina=-sina.

Nr. 12/b.1

lim→x x

x−1

sinπ. Zëvendësojmë 1-x=t (x=1-t).

156 / Matematika 11

Kreu 6

Kur 1→x , 0→t dhe anasjellas. Marrim 0

lim→t t

t+

− )1(sinπ=

0lim→t t

t+

− )sin( ππ=

=0

lim→t t

t+

+ πsin=π .

6.22 Përsëritje

Mësuesi paraprakisht duhet t’u ketë dhënë si detyrë nxënësve të bëjnë përmbledhjen e njohurive teorike kryesore të kapitullit (përkufizime, teorema, veti). Ky është një kusht e premisë për një organizim efektiv të kësaj ore mësimi. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke kombinuar zgjidhjen nga nxënësit në banka, me punë të pavarur a me grupe, të disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm. Çdo ushtrim që jepet për zgjidhje duhet të analizohet e diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1; 2; 3/a; 5/a, b; 6; 9; 10; 11/a,b,c; 12; 13.


Nr. 8. Është dhënë funksioni y=63 −x

xn

.

a) Të përcaktohet n që grafiku të kalojë nga pika A(2; 4). b) Të gjendet asimptota horizontale e grafikut.

Zgjidhje

a) Duhet e mjafton të ketë vend barazimi 4=68

2−

n

, d.m.th. 82 =n ⇔ 322 =n ⇔ n=3.

b) Kemi 63

3

−xx

=1. Pra drejtëza y=1 është asimptotë horizontale e grafikut, si kur

x→+∞, ashtu edhe kur x→-∞.

2.

a) Sa raste paraqiten për ax→

limax

x−− 42

?

Zgjidhje Nëse a është rrënjë e trinomit (x2-4) (d.m.th. a=2 ose a=-2) kemi të bëjmë me formë të pacaktuar

00

. Limiti është 4 kur a=2 dhe –4 kur a=-2.

Nëse

−≠≠

22

aa

kemi prodhim të një funksioni, që ka limit të ndryshëm nga zero me një p.m.m.

157


Funksioni është p.m.m.


lim→x

3cos 1cos 1

xx

−−

.

Zgjidhje Duke shënuar cosx=t, kemi që kur x→0, t→1.

Marrim 1

lim→t 1

13

−−

tt

=1

lim→t

2( 1)( 1)1

t t tt

− + +−

=3.

Mënyra II. Bëjmë direkt thjeshtimin 1cos1cos3

−−

xx

=cos2x+cosx+1.

Përmbledhje për kreun “Limitet”• Themi që f(x)= +∞, nëse për çdo numër të dhënë M >0 ekziston një x0 i tillë që për

x>x0 të kemi f(x)>M.

•

nx =

n x = ∞+ .

Për a>1 kemi ax= ∞+ dhe

.

• Nëse për x≥a kemi )()( xfxg ≥ dhe

, atëherë edhe

.

• Nëse

dhe

∞+)(xg , atëherë

,

)()( xgxf ⋅ = ∞+ dhe

)(xfk ⋅ = ∞+ (k>0).

• Themi që

)(xf = ∞− , nëse = ∞+ .

• Themi që f(x)=0, nëse për çdo 0>ε të dhënë, ekziston një numër pozitiv M i tillë që

për x>M të kemi ε<|)(| xf .

• nx1

= n x1

=0.

• Limiti i polinomit, kur x→+∞ është i barabartë me limitin e monomit të tij që ka fuqinë më të lartë.

• Themi që

l=)(xf , nëse

])([ l−xf =0.

• Për të shqyrtuar limitin e funksionit y=f(x) kur x→-∞, shqyrtojmë limitin e funksionit y=f(-x) kur x→+∞.

158 / Matematika 11

Kreu 6

• Drejtëza d quhet asimptotë e vijës l në një drejtim të caktuar, nëse largesa e pikës M e vijës nga drejtëza shkon në zero, kur pika M largohet pambarimisht mbi vijën l në këtë drejtim.

• Nëse

l=)(xf , atëherë drejtëza y= l është asimptotë horizontale e grafikut të funksionit f kur x→+∞.

• Limiti i funksionit racional thyesor, kur x→+∞ (x→-∞) është i barabartë me limitin e raportit të monomeve me fuqi më të lartë të x në numërues dhe në emërues.

• Themi që 0

lim→x

f(x)=0, nëse për çdo numër ε>0 të dhënë, gjejmë një r>0 të tillë që për

),( rrx −∈ ( 0≠x ) të kemi ε<|)(| xf .

• 0

lim→x

xn =0; 0

lim→x

n x =0.

• Themi që ax→

lim f(x)=0, nëse për çdo 0>ε të dhënë, ekziston një r>0 që për [,] rarax +−∈

( ax ≠ ) të kemi ε<|)(| xf . Në këtë rast funksioni quhet p.m.v. kur x→a.

• ax→

lim 0=0; ax→

lim nax )( − =0 ( Nn ∈ ).

• Shuma dhe prodhimi i dy funksioneve p.m.v kur ax → është p.m.v kur ax → . Prodhimi i një p.m.v. me një funksion që ka limit kur ax → është p.m.v kur ax → .

Nëse për ax ≠ nga një interval ]a-r, a+r[ kemi )()()( xhxgxf ≤≤ dhe

ax→lim f(x)=

ax→lim h(x)=0, atëherë edhe

ax→lim g(x)=0 (Teorema e dy policëve).

• Themi që ax→

lim l=)(xf , nëse për çdo 0>ε të dhënë ekziston një r>0 e tillë që për ax ≠

nga ]a-r, a+r[, kemi ε<− |)(| lxf .

• Që ax→

lim l=)(xf duhet e mjafton që ax→

lim 0])([ =− lxf , d.m.th. funksioni l−f të jetë p.m.v. kur ax → .

• ax→

lim c=c; ax→

lim x=a.

• Nëse funksionet f1, f2 kanë limite 21 , ll kur ax → , atëherë:

ax→lim [f1(x)+f2(x)]= 21 ll + ;

ax→lim f1(x)·f2(x)= 21 ll ⋅ ;

ax→lim

)()(

2

1

xfxf

=2

1

l

l

(kur 02 ≠l );

159


ax→lim =

n1l ( Nn ∈ );

ax→lim [c·f1(x)]= 1l⋅c .

• Nëse P(x) është polinom me ndryshore x, atëherë ax→

lim P(x)=P(a).

• Nëse )()(

xQxP është shprehje thyesore racionale, atëherë

ax→lim

)()(

xQxP

=)()(

aQaP

(kur 0)( ≠aQ ).

• Nëse f është një funksion i zakonshëm dhe a është një numër që ndodhet në bashkësinë e përcaktimit të f, atëherë funksioni f ka limit kur x→a dhe ky limit është sa vlera f(a).

• Funksioni f quhet pambarimisht i madh (p.m.m.) kur x→a, nëse funksioni f1 është p.m.v kur

x→a. Shënohet ax→

lim f(x)=∞.

• Prodhimi i dy funksioneve p.m.m. kur x→a është p.m.m. kur x→a.

• Prodhimi i një funksioni që ka limit të ndryshëm nga zero kur x→a, me një p.m.m. kur x→a, është p.m.m. kur x→a.

• Shuma e një funksioni që ka limit kur x→a, me një funksion p.m.m. kur x→a, është funksion p.m.m. kur x→a.

• Shuma e disa funksioneve p.m.m. me të njëjtën shenjë, kur x→a është p.m.m. me po atë shenjë kur x→a.

• Nëse ax→

lim ∞=)(xf , atëherë drejtëza x=a është asimptotë vertikale e grafikut të funksionit y=f(x).

Për funksionin racional thyesor y=)()(

xQxP

, që drejtëza x=a të jetë asimptotë vertikale e grafikut duhet që Q(a)=0.

• 0

lim→x x

xsin=1;

0lim→x x

tgx=1;

0lim→x =a;

0lim→x 2

1cos12 =−

xx

.

160 / Matematika 11

Kreu 7

KREU 7

7.1 Parimi i mbledhjes. Parimi i shumëzimit Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Çifti i radhitur. Prodhimi kartezian i dy bashkësive. Sistemi i radhitur i elementëve nga një bashkësi. b) Veti. Parimi i mbledhjes, bazuar në n(A∪B)=n(A)+n(B) kur A∩B=Φ. Parimi i shumëzimit, bazuar në n(AxB)=n(A)·n(B). c) Metoda. Përdorimi i bashkësive.


• Të formulojnë parimin e mbledhjes dhe atë të shumëzimit. • Të bëjnë argumentimin për bazimin e tyre. • Të zbatojnë parimin e mbledhjes dhe atë të shumëzimit në situata të thjeshta reale.


Rekomandohet që mësuesi t’u japë detyrë nxënësve të përsërisin paraprakisht njohuritë e trajtuara në klasat e mëparshme për A∩B, A∪B, AXB dhe formulat për n(A∩B), n(AxB). Në formulimin e parimit të mbledhjes dhe të atij të shumëzimit të arrihet nëpërmjet shqyrtimit të shembujve të zgjidhur, a gjysmë të zgjidhur, që synojnë formimin e hamendjes së duhur. Kjo përforcohet më tej nëpërmjet ushtrimeve, për të arritur në përfundimet përgjithësuese. Më tej kalohet në zgjidhjen e ushtrimeve të tjera me karakter zbatues në situata të larmishme, nëpërmjet punës së pavarur a me grupe të nxënësve në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 4, 5, 7/a.


1. Të caktohet numri i elementëve të AxB dhe të jepet me emërtim BxA, nëse A={a, b} dhe B={1, 2, 3, 4}.

2. Sa numra dyshifrorë mund të formohen? Po numra treshifrorë?

3. a) Sa numra dyshifrorë çift mund të formohen? b) Sa numra dyshifrorë mund të formohen me shifrat {6, 7, 8}?

4. Një fabrikë tekstili prodhon disa variante basme, nga 5 lloje endje, secila në tre vizatime të mundshme. Sa variante basmash mund të prodhohen?

5. Një fener sinjalesh e ka të ndarë pjesën që ndriçohet në 2 zona; në secilën zonë mund të vendoset llambë ndriçimi e bardhë, e kuqe, blu e verdhë. Sa sinjale të ndryshme mund të formohen?

6. Një nxënës mban mend shifrën e parë të përgjigjes së një ushtrimi, që është një numër dyshifror.

161


Midis sa numrave të ndryshëm është përgjigjja e saktë?

7. Sa dokumente të ndryshëm mund të emërtohen me dy shenja, ku njëra ose të dyja shenjat janë zanore të alfabetit shqip dhe shenja tjetër, nëse s’është zanore, është shifër e sistemit dhjetor.

7.2 Përkëmbimet

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Faktoriali. Përkëmbimet e një bashkësie me n elementë. b) Veti. Numri i përkëmbimeve të një bashkësie me n elementë është n!. c) Metoda. Kombinimi i induksionit me deduksionin.


• Të njehsojnë n! për vlera të dhëna të n. • Të formulojnë përkufizimin e përkëmbimit. • Të dallojnë në situata praktike, nëse bëhet fjalë për sisteme të radhitura elementësh, që janë përkëmbime. • Të përdorin skemën njehsuese me kutiza, për të gjetur përkëmbime të një bashkësie konkrete, që kënaqin një kusht plotësues.


Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur. Mësuesi duhet të organizojë me nxënësit diskutimin e shembujve të zgjidhur, punën për plotësimin e shembujve gjysmë të zgjidhur dhe zgjidhjen e ushtrimeve të tekstit. E gjithë kjo të synojë që me rrugë induktive të arrihet në nxjerrjen e përfundimit përgjithësues. Më tej kalohet në shqyrtimin e situatave të larmishme praktike, duke filluar nga ato më të thjeshtat. Në praktikë rrallë kërkohet numri i sistemeve të radhitur të gjithë elementëve të një bashkësie, pa ndonjë kusht plotësues. Prandaj nxënësit duhet të ushtrohen në përballimin e situatave të tilla. E rëndësishme për zbatimet është skema njehsuese me kutiza, që plotësohet sipas situatës konkrete. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 4, 5, 6.


1. Sa përkëmbime të shkronjave të fjalës FIER mbarojnë me zanore?

2. Sa përkëmbime të bashkësisë {1, 2, 3, 4, 5} mund të shkruhen si numra pesëshifrorë tek?

3. a) Gjashtë nxënës vendosen në një rresht. Në sa mënyra të ndryshme mund të vendosen? b) Një punëtor vajis tre makina. Në sa mënyra të ndryshme mund të kryejë radhën e vajisjes së tyre?

4. a) Sa numra treshifrorë formohen me shifrat 1, 2, 3, 4, 5 (pa përsëritje të shifrave)? b) E njëjta kërkesë, kur përdoren shifrat 0, 1, 2, 3, 4.

5. a) Sa numra katërshifrorë të plotpjesëtueshëm me 5 mund të formohen me shifrat 3, 4, 5, 6? (pa përsëritje shifrash).

b) Sa numra treshifrorë çift, pa përsëritje të shifrave, formohen me shifrat 1, 2, 3?

162 / Matematika 11

Kreu 7

6. Sa numra të plotpjesëtueshëm me 5, pa përsëritje të shifrave, mund të formohen me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6?

7. Sa përkëmbime të shkronjave të fjalës VLORA kanë bashkëtingëllore në vendin e parë dhe të dytë?

7.3 Dispozicionet

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Dispozicionet. Dispozicionet me përsëritje. b) Veti. Formula Dn,k =n(n-1)(n-2)···(n-k+1). c) Metoda. Skema njehsuese me kutiza.


• Të njehsojnë Dn,k sipas formulës përkatëse, për vlera të dhëna të n dhe k. • Të dallojnë në situata të thjeshta praktike nëse kemi të bëjmë me dispozicione. • Të përdorin skemën njehsuese me kutiza për të gjetur, në raste të thjeshta praktike, numrin e sistemeve të radhitur me k elementë, me përsëritje, nga n elementë të dhënë gjithsej.


Për shtjellimin e materialit të ndiqet ecuria metodike e propozuar në tekst. Për të dalë në kuptimin e dispozicionit si një sistem i radhitur k elementësh, të ndryshëm nga n të dhënë gjithsej, të diskutohen të dy shembujt. Formula për Dn,k nxirret me arsyetim, në fillim për një rast të veçantë e më pas bëhet vërtetimi i saj për rastin e përgjithshëm. Riprodhimi i këtij vërtetimi të kërkohet vetëm nga nxënësit e mirë. Është me rëndësi shqyrtimi i shembujve (e më pas zgjidhja e ushtrimeve) nga situata praktike, ku kërkohet numri i sistemeve të radhitur, ku ka përsëritje të elementëve. Zgjidhja e tyre bëhet me anë të skemës njehsuese me plotësim kutizash; nxënësit duhet të ushtrohen në mënyrë të mjaftueshme në përdorimin e saj. Të shqyrtohen edhe shembuj, ku plotësimi i skemës nuk fillon nga kutiza e parë (shpesh p.sh. ka kërkesa plotësuese për elementin e fundit të sistemit të radhitur, prandaj duhet nisur nga plotësimi i kutizës së fundit). Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 4, 6, 8.


1. Në sa mënyra të ndryshme mund të kryejmë një radhitje saksish në 4 dritare, kur kemi 6 saksi dhe në çdo dritare mund të vendoset vetëm nga një saksi.

2. Në një të diel organizohen tre ndeshje sportive jo njëkohësisht. Agimi ka në program të ndjekë dy prej tyre. Sa variante zgjidhjesh ka ai?

3. Sa numra me katër shifra mund të formohen, duke i përdorur të gjitha shifrat pa i përsëritur?

4. Sa numra tek me katër shifra mund të formohen duke përdorur të gjitha shifrat, pa përsëritje?

5. Sa numra çift me tre shifra mund të formohen, duke përdorur shifrat 1, 2, 3, 4, 5 me kushtin

163


që asnjë shifër të mos përsëritet?

6. Sa numra më të vegjël se 8000 formohen me shifrat 3, 5, 6, 7.

7. Vërtetoni që:

a) 3,54,6 6 DD ⋅= ; b) 3,14, −⋅= nn DnD ; c) 3,4, nn DD − = 3,)4( nDn − .

7.4 Kombinacionet

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Nënbashkësia. Kombinacione të n elementëve të marrë k në një herë.

b) Veti. Formula Cn,k= !,

k

D kn .

c) Metoda. Gjetja e numrit të nënbashkësive të një bashkësie.


• Të njehsojnë Cn,k për vlera konkrete të n, k. • Të dallojnë kombinacionin si nënbashkësi të një bashkësie. • Të dallojnë në situata praktike, kur kërkohet numri i grupeve të elementëve të një bashkësie pa i dhënë rëndësi radhitjes, që kemi të bëjmë me kombinacione.


Synimi kryesor i mësuesit duhet të jetë dallimi qartas, nga nxënësit i grupimeve (sistemeve) të radhitura të elementëve nga një bashkësi (me apo pa përsëritje elementësh) prej grupimeve të krijuara nga kjo bashkësi elementësh, pa i dhënë rëndësi radhitjes. Pikërisht, këta të fundit janë kombinacione. Shtjellimi i mësimit të fillojë pikërisht me shqyrtimin e dy situatave të tilla. Pastaj të jepet përkufizimi i kombinacionit. Më tej të shqyrtohen disa situata të thjeshta praktike, ku kemi të bëjmë me kombinacione. Formula për numrin e kombinacioneve të nxirret për një rast konkret, duke bërë krahasimin me numrin e dispozicioneve, siç është bërë në tekst.

Pasi jepet formula në trajtën e përgjithshme Cn,k = !,

k

D kn të kalohet në shqyrtim situatash të

larmishme me kombinacione, nga matematika (përfshirë situata gjeometrike) dhe praktika. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5/a.


1. Sa grupe pune prej katër vetash mund të krijohen në një klasë që ka 20 nxënës.

2. Gjashtë pika ndodhen në një rreth. Sa korda formohen duke i bashkuar ato dy nga dy? Po vektorë?

3. Pesë pika ndodhen në një rreth. Sa trekëndësha të brendashkruar rrethit, me kulme në këto pika, mund të formohen?

4. Sa është numri i diagonaleve të një pesëkëndëshi të mysët? Të një gjashtëkëndëshi të mysët?

164 / Matematika 11

Kreu 7

5. Do të kontrollohen 5 llamba në një parti prej 100 llambash, që ndodhen në magazinë. Në sa mënyra të ndryshme mund të bëhet kontrolli?

6. Një nxënës do të fusë në çantën e vet 3 prej 7 fletoreve që ka. Në sa mënyra të ndryshme mund të mbushet çanta?

7. Një nxënës zgjedh dy bileta teatri nga një bllok me 100 bileta. Në sa mënyra të ndryshme mund ta bëjë ai zgjedhjen?

7.5 UshtrimeMësuesi t’u japë si detyrë paraprake nxënësve, shqyrtimin me punë të pavarur të tre shembujve të zgjidhur në tekst, në hyrje të materialit. Në klasë mund të diskutohet një situatë praktike e ngjashme me atë të shembullit 1, ku të kemi të bëjmë me gjetjen e numrit të kombinacioneve me grupe. Për përpunim të njohurive e zhvillim të mëtejshëm të aftësive të nxënësve, mësuesi më tej të kombinojë punën (e pavarur a me grupe) të nxënësve në banka, për zgjidhjen e disa ushtrimeve nga ato të tekstit, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm të disa ushtrimeve të tjera. Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për punën e nxënësve në banka, të konsiderohen ata me numrat 1, 3, 4.


1. Një klasë ka 15 vajza dhe 10 djem. Në sa mënyra të ndryshme mund të zgjidhet këshilli i klasës, që të përmbajë 2 vajza dhe 1 djalë?

2. Kemi 5 sfera të kuqe dhe 4 të bardha. Në sa mënyra të ndryshme mund të krijojmë një grup me katër sfera, dy të kuqe dhe dy të bardha?

3. Kemi 3 trëndafila dhe 5 zambakë. Në sa mënyra të ndryshme mund të krijohet një tufë lulesh, që të ketë 2 trëndafila dhe 1 zambak.

4. Në testin e matematikës do të jepen 9 ushtrime. Katër prej tyre do të zgjidhen ndër 20 ushtrime gjeometrie dhe 5 të tjerat ndër 30 ushtrime algjebre. Në sa mënyra të ndryshme mund të hartohet testi?

5. Grupi artistik i shkollës përgatit një koncert me 3 valle (ndër 10 që njeh) dhe 5 këngë (ndër 15 që njeh). Në sa mënyra të ndryshme mund të hartohet repertori i koncertit?

7.6 Probabiliteti

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Barasmundësia e rezultateve të një prove. Hapësira e ?. Ngjarja. Probabiliteti i ngjarjes. Ngjarja e sigurt, e pamundur, e kundërt.

b) Veti. Formulat P(A)= ( )( )

n An H

, )(AP = )(1 AP− .

c) Metoda. Përdorimi i kombinatorikës. Pema.

165



• Të dallojnë barasmundësinë e rezultateve të një prove. • Të njehsojnë, në raste të thjeshta duke përdorur kombinatorikën, n(H) dhe n(A). • Të njehsojnë mbi këtë bazë P(A). • Të dallojnë në situata praktike ngjarjen e sigurt, ngjarjen e pamundur. • Të dallojnë në situata praktike të thjeshta të kundërtën e një ngjarjeje dhe të zbatojnë formulën )(1)( APAP −= .


Vendin kryesor këtu e zënë njohuritë e trajtuara në klasën X, prandaj mësuesi paraprakisht t’u vërë si detyrë nxënësve të përsërisin njohuritë probabilitare të kësaj klase. Mësimi mund të zhvillohet me libër hapur, duke ia kushtuar gjithë orën e mësimit punës me materialin mësimor të tekstit. Mësuesi mund të kërkojë që nxënësit në klasë të lexojnë në libër sintezën e shkurtër teorike dhe shembujt 1, 2. Të trajtohet hollësisht, duke u diskutuar me nxënësit, shembulli 3. Këtu të kërkohet krahasimi i dy mënyrave të ndryshme të zgjidhjes. Më pas të kalohet në trajtimin e disa ushtrimeve të pazgjidhura të tekstit, duke organizuar punën e pavarur a me grupe të nxënësve, me kalim gradual nga zbatimet e thjeshta, por të larmishme praktike, në ato komplekset. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 6, 8.


1. Në një qese janë tri sfera të kuqe dhe 5 të bardha. Sa është probabiliteti i ngjarjes që, në dy sfera të nxjerra njëherësh nga qesja, të jenë të dyja të kuqe?

2. Në një parti 100 llambash, 5 janë me defekt. Zgjedhim rastësisht një llambë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që ajo të jetë pa defekt?

3. Klasa ka 30 nxënës, të ulur në tre kolona bankash, nga një djalë e një vajzë në çdo bankë. Mësuesi do të pyesë rastësisht një nxënës.

a) Sa është probabiliteti i ngjarjes që ky të jetë djalë nga kolona e parë? b) Sa është probabiliteti i ngjarjes që kjo të jetë vajzë nga bankat e para? c) Sa është probabiliteti i ngjarjes që të pyeteni ju?

4. Tezat e provimit me gojë janë shënuar me numra, nga 1 deri në 35. Tërhiqet rastësisht një tezë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri i saj të jetë i thjeshtë?

5. Në një çantë ndodhen 10 sfera, nga të cilat 3 janë të biruara. Nxirren rastësisht 3 sfera njëherësh. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të jenë të trija të biruara?

6. Në mbjelljen e fidanëve, në çdo dhjetëshe një fidan nuk zë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që, kur zgjidhen rastësisht 7 fidanë, të zënë që të gjithë.

7. Hidhen njëherësh 2 zare, në faqet e të cilëve janë shënuar shifrat nga 1 në 6. Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri që shfaqet nga hedhja të jetë i plotpjesëtueshëm me 3?

166 / Matematika 11

Kreu 7

7.7 Probabiliteti i bashkimit të ngjarjeve

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Prerja e ngjarjeve. Bashkimi i ngjarjeve. Ngjarje të papajtueshme. b) Veti. Formulat P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B); P(A∪B) = P(A)+P(B), kur A dhe B janë të papajtueshme. c) Metoda. Përdorimi i koncepteve e metodave bashkësiore.


• Të dallojnë në situata të thjeshta praktike prerjen e dy ngjarjeve. • Të dallojnë në situata të thjeshta praktike dy ngjarje të papajtueshme. • Të dallojnë në situata të thjeshta praktike bashkimin e dy ngjarjeve. • Të zbatojnë për ngjarjet e papajtueshme formulën P(A∪B)=P(A)+P(B).


Këtu kemi të bëjmë kryesisht me rimarrjen dhe thellimin e disa njohurive të trajtuara në klasën X. Prandaj rekomandohet, që mësuesi të kërkojë paraprakisht që nxënësit të përsërisin mësimet përkatëse nga teksti i klasës X, dhe konkretisht ato mbi prerjen, bashkimin e ngjarjeve dhe ngjarjet e papajtueshme. Mbi këtë bazë mund të organizohet një veprimtari efektive, e pavarur a me grupe e nxënësve në orën e mësimit, gjatë shtjellimit të materialit mësimor të parashtruar në tekst. Ushtrimet, që në tekst janë dhënë si shembuj (të zgjidhur), është mirë të shtrohen si problema para nxënësve e të analizohen zgjidhjet e propozuara, duke organizuar diskutime. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 6/a.


1. Në një qese ndodhen 10 sfera, nga të cilat 3 të kuqe, 2 të bardha e të tjerat blu. Nxirret rastësisht një sferë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që ajo të jetë e bardhë ose blu?

2. Nga 10 djem e 15 vajza të klasës do të formohet këshilli i klasës prej 4 personash. Sa është probabiliteti i ngjarjes që ky këshill të ketë më tepër se dy vajza?

3. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes që shuma e numrave të jetë 5 ose të jetë 6?

4. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes që shuma e dy numrave të jetë 5 ose të dy numrat të jenë 4?

5. Në një klasë me 20 vajza e 15 djem, pyeten në një orë mësimi rastësisht dy nxënës. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të dy nxënësit të jenë djem ose të dyja vajza?

6. Hidhen njëri pas tjetrit dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes që numri i formuar të jetë 5 ose të jetë numër çift?

7. Në një makinë tekstile përdoren 20 fije, nga 5 për secilën nga ngjyrat: e kuqe, e verdhë, blu, e bardhë. Fijet janë në dy përmasa: të bardhat e të verdhat janë të shkurtuara dhe të tjerat janë të

167


gjata. Mundësia e këputjes për të gjitha fijet është e njëjtë. Sa është probabiliteti i ngjarjes që kur këputen dy fije në makinë, ato të jenë të dyja të shkurtra ose të dyja të bardha?

7.8 Ushtrime

Synimi i mësuesit duhet të jetë përpunimi i njohurive të trajtuara dhe zhvillimi i shkathtësive të fituara në dy mësimet paraardhëse. Ai mund t’u vërë nxënësve si detyrë leximin paraprak në shtëpi të dy shembujve, që janë të zgjidhur në tekst, dhe të diskutojnë në klasë, duke tërhequr mendimet e ndryshme të nxënësve, mënyrën e zgjidhjes së tyre dhe të nxisë kërkimin e mënyrave të tjera të zgjidhjes. Më tej organizohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve për të zgjidhur disa nga ushtrimet (e pazgjidhura) të tekstit, duke e kombinuar atë me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm, të ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna analizohet me të gjithë klasën. Si ushtrime të nivelit minimal, që këshillohet të jepen për t’u zgjidhur nga nxënësit në banka, të konsiderohen ata me numrat 1; 2/a; 4; 7; 8.


1. Në 30 ditë pune të një makine, dy janë me defekt. Sa është probabiliteti i ngjarjes që në 15 ditë, të zgjedhura rastësisht, asnjëra të mos jetë me defekt?

2. Në një seri detalesh të prodhuara, 47 janë të mira dhe 3 defektoze. Nëse marrim rastësisht 5 prej tyre, sa është probabiliteti që asnjë të mos jetë me defekt?

3. Në një qese ndodhen 7 sfera të bardha dhe 3 të kuqe. Nëse nxjerrim rastësisht tri sfera, sa është probabiliteti i ngjarjes që sferat të jenë:

a) të gjitha të kuqe; b) jo të gjitha të kuqe; c) asnjëra e kuqe?

4. Në kushtet e ushtrimit plotësues 5 të mësimit 7.7, sa është probabiliteti i ngjarjes: a) vetëm njëri të jetë djalë; b) asnjëri të mos jetë djalë?

5. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes: a) shuma e numrave të jetë 10; b) asnjë nga numrat të mos jetë 6?

6. Në kushtet e ushtrimit plotësues 7 të mësimit 7.7, sa është probabiliteti i ngjarjes që kur këputen tri fije:

a) të jenë të tria të kuqe; b) të paktën njëra të jetë e kuqe; c) të shumtën dy të jenë të shkurtra.

7.9 Informacioni statistikor

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Informacioni statistikor. Përqindja. Diagramat. Histogramat. Karakteristikat e shpërndarjes. b) Metoda. Përdorimi i grafikëve dhe i teknikës llogaritëse.

Shkathtësi

168 / Matematika 11

Kreu 7

Në mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje: • Të sistemojnë në mënyrë të përshtatshme një informacion statistikor të dhënë. • Të nxjerrin prej tij të dhëna për karakteristikat e shpërndarjes së një ndryshore të rastit, diskrete a të vazhdueshme.


Ky mësim përfaqëson një rimarrje të njohurive të thjeshta për sistemimin e informacioneve statistikore, mesataret dhe karakteristikat e shpërndarjes, të trajtuara në klasat e mëparshme. Rekomandohet që shtjellimi i materialit të bëhet me libër hapur. Me nxënësit diskutohet për shembujt e zgjidhur, të paraqitur në tekst dhe pastaj organizohet puna e pavarur a me grupe e tyre për të zgjidhur ushtrime, duke analizuar rezultatet e arritura e duke u dhënë nxënësve kohë të mjaftueshme për tu menduar, për tu shprehur dhe për tu vetëkorrigjuar. Të gjitha ushtrimet e pazgjidhura të tekstit mund të konsiderohen të një niveli të pranueshëm për masën e nxënësve.


1. Një klasë me 30 nxënës ka 60% vajza, kurse një tjetër me 40 nxënës ka 70% vajza. Sa për qind e numrit të nxënësve, në të dyja klasat janë vajza?

2. Në një detyrë me shkrim në një klasë me 35 nxënës u morën këto nota:

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr. i nxënësve 0 0 0 0 2 7 10 5 5 3 3

Gjeni: a) Mesataren aritmetike të notës. b) Mesoren e notës.

3. Janë bërë matjet e shtatlartësive për 50 nxënës të arsimit të detyruar.

Shtatlartësia [150, 155[ [155, 160[ [160, 165[ [165, 170[ [170, 175[ [175, 180[

Nr. i nxënësve 6 6 9 8 12 9

a) Ndërtoni histogramin. b) Gjeni mesataren aritmetike dhe mesoren.

4. Popullsia e një qyteti, sipas grup-moshave, në vitet 1990 dhe 2010, ka qënë:

Grupmosha (vjeç) [0, 10[ [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[

Nr. i personave (në mijë) në 1990 3,8 3,9 3,8 2,7 2,5 2,0 1,5 1,1 0,8

Nr. i personave (në mijë) në 2010 4,0 4,0 3,8 3,7 2,6 2,1 1,6 1,0 0,7

a) Vizatoni histogramat. b) Gjeni mesataren aritmetike dhe mesoren për secilin varg.

169


7.10 Analiza e të dhënave Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Shmangia mesatare katrore. Dispersioni. b) Veti. Formulat për njehsimin σ2 dhe σ për ndryshoren e rastit diskrete e të vazhdueshme. c) Metoda. Përdorimi i teknikës llogaritëse.


• Të njehsojnë σ2 dhe σ për një ndryshore të rastit diskrete me shpërndarje të njohur të vlerave. • Të gjykojnë në bazë të njehsimit të dispersionit, për shpërhapjen e vlerave nga mesatarja aritmetike. • Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta praktike.


Synimi i mësimit është rimarrja e njohurive për karakteristikat e shpërhapjes së ndryshores së rastit diskrete, që janë trajtuar në klasën X. Për të siguruar efektivitetin e orës së mësimit, mësuesi paraprakisht t’u vërë si detyrë nxënësve përsëritjen në shtëpi të mësimeve për shmangien mesatare katrore dhe për dispersionin, të trajtuar në klasën X. Mbi këtë bazë mund të sigurohet një pjesëmarrje aktive dhe e frytshme e nxënësve në mësim. Fillimisht diskutohen me ta shembujt e zgjidhur në tekst dhe pastaj organizohet puna e pavarur a me grupe e nxënësve në banka, për zgjidhjen e ushtrimeve të tekstit. Analizohen rezultatet e arritura. Për një eficiencë të dëshirueshme, nxënësit duhet të jenë të gjithë të pajisur me makina llogaritëse të thjeshta. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5.


1. Sasia e fletoreve në çantat e 20 nxënësve të një klase jepet nga vargu 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. a) Gjeni mesataren aritmetike m dhe shmangien mesatare katrore σ2. b) Sa për qind e popullimit ndodhet ndërmjet vlerave m-σ dhe m + σ.

2. Gjatë një detyre me shkrim me 30 nxënës të një klase, u morën këto nota:

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nxënës 0 0 0 0 3 7 6 4 4 3 3

a) Gjeni mesataren aritmetike m dhe shmangien mesatare katrore σ2. b) Sa % e kufizave të vargut ndodhen në intervalin ]m-σ, m +σ[?

3. Për ushtrimet plotësuese të mësimit 7.8 gjeni në secilin: a) σ2; b) Përqindjen e kufizave të vargut që ndodhen në ]m-σ, m +σ[ .

170 / Matematika 11

Kreu 7

7.11 Ushtrime për kreunMësuesi duhet të ketë si synim përpunimin e njohurive dhe zhvillimin e aftësive të fituara gjatë trajtimit të kreut. Për këtë qëllim, ai të kombinojë punën e pavarur a me grupe të nxënësve në banka për zgjidhjen e disa prej ushtrimeve të tekstit, me punën në tabelë të disa nxënësve të ndryshëm, të zgjidhin të tjera ushtrime. Secili nga ushtrimet dhënë për zgjidhje (në bankë a në tabelë) duhet të analizohet e të diskutohet me klasën. Si ushtrime të nivelit minimal, të përshtatshme për t’u zgjidhur nga nxënësit në banka, të konsiderohen ata me numrat 1/a, b; 2; 3; 4; 5.


1. Hidhni një zar dhe një monedhë. a) Njehsoni probabilitetin e ngjarjes “bien më pak se 5 pikë dhe stema”. b) Njehsoni probabilitetin e ngjarjes “bie numër çift”.

2. Në një qese ka 8 sfera, 5 të kuqe e 3 të bardha. Nxirren rastësisht dy sfera njëherësh. Sa është probabiliteti i ngjarjes:

a) ”Të dy sferat janë të bardha”. b) Asnjëra nga sferat nuk është e bardhë. c) Të paktën njëra nga sferat është e bardhë.

3. Në një tavolinë ndodhen 6 lapsa shkrimi dhe 4 lapsa me ngjyra. Merren rastësisht 3 lapsa. Sa është probabiliteti i ngjarjes që të jenë:

a) Të gjithë lapsa me ngjyra. b) Të shumtën dy lapsa me ngjyra.

4. Një klasë ka 15 djem e 20 vajza. Sa është probabiliteti që në ekipin përfaqësues të klasës, në një konkurs (përbërë nga 7 nxënës) të jenë 3 djem e 4 vajza.

5. Kur hedhim një zar, sa është probabiliteti i ngjarjes që të bjerë: a) Numër më i madh se 7. b) Numër shumëfish i dyshit ose numër i thjeshtë.

6. Hidhen njëherësh dy zare. Sa është probabiliteti i ngjarjes: a) Shuma e dy numrave të dhënë është shumëfish i 6. b) Shuma e dy numrave të dhënë të jetë shumëfish i treshit ose i katrës.

7. Hidhen njëri pas tjetrit dy zare. a) Tregoni hapësirën e rezultateve. b) Sa është probabiliteti i ngjarjes, që diferenca e shifrave të rëna të jetë 2? c) Sa është probabiliteti i ngjarjes, që të kemi numër dyshifror shumëfish të gjashtës ose të katrës.

8. Në 1000 të shtëna me një pushkë sportive, 150 prej tyre nuk godasin në qendër. Gjeni probabilitetin që në 10 prej këtyre të shtënave, të gjitha të godasin në qendër.

171


KREU 8

MATEMATIKA DHE FINANCA NË JETËN E PËRDITSHME

Qëllimi i mësimeve të këtij kreu është njohja me disa nga operacionet financiare që realizohen në veprimtarinë e përditshme. Këto mësime për herë të parë përfshihen për përdorim masiv në të gjitha kategoritë e shkollave të mesme. Ky fakt nuk ka të bëjë me vështirësinë e aparatit matematik për kryerjen e veprimeve. Përkundrazi në shtjellimin e njohurive të reja nuk kërkohet aparat matematik i sofistikuar. Të gjitha teknikat realizohen me anën e veprimeve aritmetike të njohura.Trajtimi i njohurive të reja ka drejtim kryesisht empirik. Ato realizohen me anën e shembujve, të cilave për lehtësi veprimesh i është dhënë karakter mësimor, në kuptimin që në shumicën e rasteve të dhënat dhe koeficientet janë caktuar të tillë që të mos çojnë në veprime të gjata e të ndërlikuara me të cilat operojnë bankat, gjë që do të spostonte vëmendjen nga objektivi themelor i kreut, që është rruga dhe mënyra e llogaritjeve dhe jo aspektet njehsuese.Kreu përfshin disa njohuri fillestare lidhur me operacionet financiare më të thjeshta.

Kur një kapital financiar shfrytëzohet, presupozohet se ai jepet borxh ose depozitohet në bankë. Personi që jep borxh këtë kapital përfiton të drejtën e një kompensimi të quajtur interes. Përcaktimi i normave të interesit për kapitale të caktuara realizohet me marrëveshje dypalëshe.Kontrata e përcaktuar në këtë rast (dhënia e përkohshme e kapitalit dhe kthimi më pas i tij sipas disa kushteve të caktuara) quhet operacion financiar. Në këtë operacion marrin pjesë dy subjekte: kreditori dhe debitori. Koha ndërmjet dhënies së kapitalit dhe kthimit të plotë të tij është kohëzgjatja e operacionit financiar.Është e natyrshme që interesi të varet nga shuma e kapitalit të përfshirë në operacion si dhe kohëzgjatja e tij.Në këtë kre, ne do të operojmë në kushte të sigurisë së plotë të operacioneve d.m.th. nuk do të marrim në konsideratë elemente të tillë subjektivë si mosrealizimi i kontratave, mbijetesa e personave etj.Vëmë në dukje edhe një veçori tjetër të këtij kreu. Në qoftë se problemet trajtohen me kujdes e pa mbingarkesë, janë interesante për nxënësit sepse në shumë raste lidhen me veprimtarinë konkrete në familjet e tyre. Ky fakt duhet shfrytëzuar nga mësuesi, për punë grupi të pavarur e të diferencuar duke iu dhënë nxënësve mundësinë të shprehen për detyra konkrete që hasin në familjet e tyre

8.1 Depozitat dhe normat e interesit. Interesi i thjeshtë

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Kapitali, interesi, perioda, norma e interesit.b) Veti. Formula e interesit të thjeshtë.c) Metoda. Nxjerrja e formulës së interesit të thjeshtë (me induksion). Zgjidhje problemesh.

172 / Matematika 11

Kreu 8


- Nga formula e interesit të thjeshtë të veçojnë njërën të panjohur kur njihen tri të tjerat.- Të zgjidhin problema që kanë të bëjnë me interesin e thjeshtë.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Me interesin e thjeshtë nxënësit njihen që në shkollën 9 vjeçare, kështu që mësuesi duhet ta shfrytëzojë këtë fakt në organizimin e orës së mësimit.Çështja e parë që duhet të diskutohet së bashku me nxënësit është ajo që depozitimi i parave në bankë është domosdoshmëri. Arsyet për këtë janë të shumta, por mësuesi mund të ndalet vetëm në ato që janë trajtuar në tekst. Shembujt e tekstit duhet të përvetësohen mirë nga nxënësit, gjë që do të shërbejë për t’u orientuar më mirë në mësimet e ardhshme.Ushtrimet e këtij kreu janë relativisht të lehtë e mund të përvetësohen nga nxënësit.


1. Për sa kohë kapitali prej 360.000 lekë, jep një interes prej 45.000 lekë me normë vjetore interesi prej 5%?

P. [ 2,5 vjet]

2. Të gjendet norma e interesit për të cilën kapitali prej 100.000 lekë, për 81 ditë jep interesin prej 1350 lekë.

P. [ 6%]

3. Kapitali prej 60.000 lekë, me normë interesi prej 3,5%, vendoset në bankë për 8 muaj. Sa do të jetë ai në fund të kësaj periudhe?

P. [ 61.400 lekë]

4. Të gjendet kapitali fillestar, i cili për 15 muaj, me normë interesi vjetor prej 5%, bëhet 340.000 lekë.

P. [320.000 lekë]

5. Të gjendet perioda, për të cilën kapitali prej 200.000 lekë, me normë interesi prej 4% bëhet 204.000 lekë. P. [ 6 muaj]

6. Sa është norma e interesit, për të cilën për 45 ditë, kapitali prej 80.000 lekë bëhet 80.700 lekë.

P. [ 7 %]

8.2 Huaja

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Huaja, kambiali.b) Veti. Formula e shumës që merr debitori kur nga banka i akordohet borxhi prej K lekë.c) Metoda. Zgjidhje problemesh kur kërkohet njëra nga madhësitë në varësi të madhësive të tjera.

173



- Të veçojnë njërën nga të panjohurat që marrin pjesë në formulë në varësi të të tjerave.- Të zbatojnë formulën në forma të ndryshme në varësi të të dhënave dhe kërkesave të problemit.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kjo orë mësime në thelb nuk ka ndryshim me orën e mëparshme. Në të dy këto raste kemi të bëjmë me formulën e interesit të thjeshtë. Vetëm se operacioni financiar që kryhet në këtë rast ka drejtim të kundërt me operacionin financiar të mësimit të mëparshëm. Në mësimin e mëparshëm kreditor është klienti dhe në rastin e dytë kreditor është banka. Në këtë mënyrë, në rastin e parë klienti përfiton nga banka interesin, ndërsa në rastin e dytë, banka i mban personit interesin. Veprimet matematike që kryhen në të dy rastet janë të njëjta.Në varësi të nivelit të nxënësve, po ta gjykojë të arsyeshme, mësuesi mund të bëjë një interpretim gjeometrik të formulës.

Kemi K t r K r K rI= t=m t ku m=100 100 100⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ .

Vëmë re se I është funksion linear i periodës t. Grafikisht ai paraqitet në Fig. 8.1

Fig. 8.2

t

M1

M=K(1- )tr100

r100O 1 t

I

I= ∙ t

Kr100

Fig. 8.1

Kemi t r t rM=K(1 ) K(1 p t) ku p=100 100

⋅ ⋅− = − ⋅ . Grafikisht funksioni M paraqitet në Fig. 8.2


1. Pasi u rrit me 5% çmimi i një produkti u bë 89,25 lekë. Sa ishte çmimi në fillim? P. [ 85 lekë]

2. Çmimi i një produkti u rrit nga 120 lekë, në 134,4 lekë. Me sa për qind u rrit çmimi? P. [ 12%]

3. Një person mori në bankë borxhin prej 200.000 lekë me normë vjetore interesi prej 8%. Ai e shleu këtë borxh për 5,5 vjet. Sa lekë i dha ai bankës?

P. [357.142 lekë]

4. Kapitali prej 250.000 lekë i vendosur për 8 muaj dhe kapitali prej 400.000 lekë i vendosur për 5 muaj së bashku japin interesin prej 10.000 lekë. Sa ishte norma e interesit?

P. [ 3%]

174 / Matematika 11

Kreu 8

5. Një person fut në bankë shumën prej 800.000 lekë për 9 muaj me normë interesi 4%. Sa lekë duhet të fusë në bankë një person i dytë në mënyrë që pas 10 muajsh, me normë interesi prej 5% të përfitojë të njëjtën shumë?

P. [576.000 lekë]

8.3 Interesi i përbërë

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Interesi i përbërë; shuma e kapitalizuar; faktori i interesit (shkalla e përqindjes së interesit).b) Veti. Formula e interesit të përbërë dhe kapitalit përkatës.c) Metoda. Nxjerrja e formulave përkatëse duke përdorur metodën e induksionit.

ShkathtësiNë mbarim të mësimit nxënësit të jenë në gjendje;

- Të operojnë me formulat për Kn dhe In për të gjetur njërën të panjohur kur jepen të tjerat.- Të bëjnë llogaritje me makinën llogaritëse.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në rastin e kapitalit të thjeshtë, interesi mbetet vazhdimisht i ndarë nga kapitali dhe i shtohet atij vetëm në fund të periudhës. Zakonisht ky lloj kapitalizimi përdoret për intervale të shkurtra kohe, jo më shumë se një vit.Kur kohëzgjatja e angazhimit është relativisht e gjatë, ajo ndahet në periudha më të shkurtra kohore, të barabarta, ku në përfundim të secilës prej tyre llogariten interesat, të cilat i shtohen kapitalit fillestar.Me këtë procedurë, e cila quhet kapitalizim i përbërë, thuhet që interesat në fund të çdo periudhe kapitalizohen.Është e kuptueshme që në kapitalizimin e thjeshtë, kapitali frytdhënës është gjithmonë ai fillestar, ndërkohë që në kapitalizimin e përbërë, kapitali frytdhënës shtohet në fund të çdo periudhe, si rrjedhojë e interesave që i shtohen kapitalit.Kapitalizimi i përbërë është vjetor ose i tërë, në qoftë se periudha është një vit, ose i fraksionuar në qoftë se periudha është nënfish i vitit ( gjashtëmujor, tremujor apo mujor).

Në formulat n nn n

r rK K(1+ ) dhe I K[(1+ ) 1]100 100

= = − marrin pjesë katër madhësi.

Rrjedhimisht kur jepen tri prej tyre, mund të gjendet e katërta..Formula e interesit të përbërë përdoret jo vetëm në veprimet financiare. P.sh. ajo përdoret veçanërisht edhe në problemet që kanë të bëjnë me ndryshimet në popullatën e një vendi.Duhet theksuar se në rastet kur si e panjohur është n, ekuacionet që përftohen janë ekuacione eksponenciale, të cilët mund të jenë të vështirë për t’u zgjidhur. Ndodh kështu sepse kemi të bëjmë me numra dhjetorë të ngritur në fuqi. Praktikisht këto raste, ashtu siç është vënë në dukje edhe në tekst, bankat operojnë me tabela të gatshme.Mësuesi duhet të kujdeset që të evitohen shembuj veprimesh të gjatë e të ndërlikuar.


1. Kapitali prej x lekë, i vendosur me normë interesi prej 4% dhe kapitali prej y lekë, i vendosur

175


me normë interesi prej 5% për dy vjet japin së bashku interesin prej 54.498 lekë.Kapitali prej y lekë, i vendosur me normë interesi prej 4% dhe kapitali prej x lekë, i vendosur me normë interesi prej 5% për dy vjet japin së bashku interesin prej 54.707 lekë. Të gjenden kapitalet x dhe y.

P. [x= 30.000 lekë; y=20.000 lekë]

2. Një person vendos në bankë shumën prej m lekë me normë vjetore interesi 8%. Pas sa vitesh kapitali i tij do të dyfishohet?

P. [≈ 9 vjet]

3. Bankës i kemi hua shumën prej 2000 euro, e cila duhet kthyer pas tri vitesh me normë interesi prej 4%. Në qoftë se këtë borxh do ia kthejmë menjëherë, sa lekë duhet t’ japim bankës?

P. [1778 euro]

4. Një person fut në bankë shumën prej 1000 euro, me normë vjetore interesi të përbërë prej 10% për dy vjet. Sa euro duhet të futë në bankë një person i dytë, në mënyrë që me normë interesi të përbërë 6 mujor prej 5%, pas dy viteve të ketë të njëjtin kapital me personin e parë?

P. [ ≈ 995 euro]

8.4 Ushtrime

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë orë mësimi mësuesi bën një përsëritje të koncepteve të zhvilluara në tri mësimet e mëparshme. Dy ushtrimet e zgjidhur në tekst, në dukje nuk kanë lidhje të drejtpërdrejtë me interesin. Por, siç e kemi thënë edhe më lart, rruga e zgjidhjes së tyre është e njejtë me atë të interesit të përbërë. Është e rëndësishme që probleme të kësaj natyre të trajtohen herë pas here në mësim, sepse kanë të bëjnë me situata me të cilat nxënësit ndeshen në shumë fusha të veprimtarisë së përditshme.


1. Një makinë kushton A lekë. Pas 5 vitesh përdorimi, vlera e saj është sa 35

e vlerës fillestare. Me sa për qind është zvogëluar vlera e kësaj makine çdo vit? P. [ 9,28%]

2. Vlera e një makine zvogëlohet çdo vit me 6%. Pas sa vitesh ajo do të përgjysmohet?

P. [ ≈ 11 vjet]

3. Një person ka 100.000 lekë dhe mund t’i depozitojë në këto banka:1) në bankën A me normë interesi vjetor prej 8%.2) në bankën B me normë interesi 6 mujor prej 4%.3) në bankën C me normë interesi 3 mujor prej 2%.Sa është kapitali i këtij personi pas 2 vitesh në secilën bankë?Ku ka përfituar më shumë interes?

176 / Matematika 11

Kreu 8

4. Kapitali prej 1.500.000 lekë, me normë interesi të thjeshtë 6 mujor prej 1% jep interes 30.000 lekë më pak se sa me normë interesi prej 1,25%. Të gjendet periudha kohore.

P. [ 4 vjet]

8.5 Interesi dhe progresionet

Njohuri teorike kryesore a) Kuptime. Interesi i thjeshtë dhe i përzier; Progresioni aritmetik dhe gjeometrik. Kufiza e përgjithshme dhe shuma e kufizave.b) Veti. Raportet e dyanshme: interes i thjeshtë ⇔ progresion aritmetik.Interes i përbërë ⇔ progresion gjeometrik.c)Metoda. Interpretim analitikisht dhe grafikisht i varësisë reciproke ndërmjet interesave dhe progresioneve.


- Të argumentojnë varësinë reciproke: interes i thjeshtë ⇔ progresion aritmetik dhe interes i përbërë ⇔ progresion gjeometrik.Duke gjykuar mbi progresionet, të arrihet në përfundimin e preferencës së interesit të përbërë ndaj atij të thjeshtë kur periudha kohore është më shumë se një vit.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi duhet të kujdeset që me anën e shembujve të thjeshtë të përcaktojë kapitalin pas n vitesh të llogaritur me interes të thjeshtë dhe të përbërë.Në rastin e interesit të thjeshtë kemi të bëjmë me kufizën e çfarëdoshme dhe shumën e kufizave të progresionit aritmetik dhe në rastin e interesit të përbërë me kufizën e çfarëdoshme dhe shumën e kufizave të progresionit gjeometrik.Mjaft i rëndësishëm është interpretimi grafik sipas Fig. 8.2 të tekstit. Në të duhet theksuar se për 0<t<1 grafiku i interesit të përbërë është nën grafikun e interesit të thjeshtë, çka tregon se ai është më i vogël. Për t=0 dhe t=1 të dy interesat përputhen, ndërsa për t>1, interesi i përbërë është më i madh se interesi i thjeshtë.Më pas zgjidhen 2 ushtrimet e dhëna në tekst.Shtojmë se në të gjithë ushtrimet, mësuesi duhet të evitojë veprimet e gjata dhe mundësisht të mos përdorë logaritmet (vetëm se iu duhet treguar nxënësve rruga e llogaritjeve).


1. Një familje planifikon të kalojë pushimet në një udhëtim turistik me kosto 4000 euro. Për këtë ajo dy vjet para, çdo tre muaj, ajo fut në bankë shumën prej 500 euro me normë interesi 3 mujor prej 2% . Sa lekë do të marrë kjo familje në bankë pas dy vitesh? P. [ 4377 euro]2. Një makinë kushton a lekë.

Rasti i parë: Çmimi i saj rritet me 10% dhe më pas ulet me 10%.Rasti i dytë: Çmimi i saj ulet me 10% dhe më pas rritet me 10%.

177


Në cilin rast çmimi përfundimtar bëhet më i madh? Përgjigja të argumentohet me llogaritje!

3. Një person i punësuar në një firmë, veç rrogës merr edhe 5% të shitjeve që ai bën. Sa lekë merr ky person në një muaj në qoftë se shet 200.000 lekë mall dhe rrogën mujore e ka 25.000 lekë?

4. Një qytet kishte 218.707 banorë në vitin 1990 dhe 243.705 në vitin 2000. a) Sa është përqindja e rritjes së popullsisë së tij?b) Sa do të jetë popullsia e këtij qyteti në vitin 2020?

8.6 Kredia bankare

Njohuri teorike kryesore a) KuptimeMarrëveshje financiare; huadhënësi ( kreditori); huamarrësi ( debitori); Kufiri i kredisë.b) Veti Formulat përkatëse për llogaritjen e interesit në dhënien e kredisë.c) MetodaZgjidhje ushtrimesh me të dhëna për qëllime mësimore.


- Të bëjnë llogaritje të thjeshta për gjetjen e njërës nga të panjohurat I, K, r; n kur jepen të tjerat.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Sikurse edhe në mësimet e mëparshme nëpërmjet shembujve të zgjidhur si edhe ushtrimeve të tekstit u jepen përgjigje kërkesave të problemit.Në rastet kur ka shumë veprime, mësuesi cakton grupe të ndryshme nxënësish, të cilët duke punuar në mënyrë të pavarur gjejnë rezultate që ia japin grupit tjetër. Ushtrimet plotësuese të propozuara në këtë mësim, mund të përdoren edhe në orën e ardhshme dhe duhet të trajtohen vetëm me nxënës të nivelit mbi mesatar.


1. Një person duhet t’i paguaj bankës shumën prej 200.000 lekë për një periudhë 5 vjeçare. Në qoftë se ai dëshiron t’ia paguajë bankës këtë shumë menjëherë, sa lekë do të paguajë? Norma vjetore e interesit r=5%.

2. Ndërtimi i një objekti ka zgjatur me ndërprerje 4 vjet. Para fillimit të tij janë depozituar 100.000 euro dhe në fund të çdo viti janë paguar për punët e kryera 10.000 euro. Norma vjetore e interesit 5%. Sa është vlera e këtij objekti?

3. Për 10 vitet e fundit popullsia e një qyteti është rritur nga 70.000 në 95.000 banorë. Pas sa vitesh ky qytet do të ketë 130.000 banorë?

4. Fondi për dhurata i një shkolle është 1000 euro. Ajo e fut këtë shumë në bankë me normë interesi vjetor prej 5% dhe vendos që çdo fund viti të japë shpërblime në masën 200 euro, por pa e prekur fondin fillestar. Pas sa vitesh do të fillojë shpërndarja e dhuratave?

Libri i Mesuesit Matematika 11

Documents

Transcript of Libri i Mesuesit Matematika 11