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Funções Derivadas Verossimilhança
LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES
GENÉTICOSAULA 1: NIVELAMENTO
Antonio Augusto Franco GarciaRoland Vencovsky
Departmento de GenéticaESALQ/USP
2007
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Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função f definida em A comvalores em B é uma lei que associa a todo elemento de A umúnico elemento de B.Notação: y = f(x)
EXEMPLOS
Distância nos cromossomos é função da fração derecombinaçãoFenótipo é função do genótipoFunção de densidade de probabilidades - dist. normal
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FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função f definida em A comvalores em B é uma lei que associa a todo elemento de A umúnico elemento de B.Notação: y = f(x)
EXEMPLOS
Distância nos cromossomos é função da fração derecombinaçãoFenótipo é função do genótipoFunção de densidade de probabilidades - dist. normal
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FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função f definida em A comvalores em B é uma lei que associa a todo elemento de A umúnico elemento de B.Notação: y = f(x)
EXEMPLOS
Distância nos cromossomos é função da fração derecombinaçãoFenótipo é função do genótipoFunção de densidade de probabilidades - dist. normal
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FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função f definida em A comvalores em B é uma lei que associa a todo elemento de A umúnico elemento de B.Notação: y = f(x)
EXEMPLOS
Distância nos cromossomos é função da fração derecombinaçãoFenótipo é função do genótipoFunção de densidade de probabilidades - dist. normal
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FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
O conjunto A é chamado domínio da função f , o conjunto B éo contra-dominio de f .
EXEMPLOS
Qual o domínio de f(x) = 1x−2?
Qual o domínio de m = −12 log(1− 2r)?
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FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
O conjunto A é chamado domínio da função f , o conjunto B éo contra-dominio de f .
EXEMPLOS
Qual o domínio de f(x) = 1x−2?
Qual o domínio de m = −12 log(1− 2r)?
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Funções Derivadas Verossimilhança
FUNÇÕES
DEFINIÇÃO
O conjunto A é chamado domínio da função f , o conjunto B éo contra-dominio de f .
EXEMPLOS
Qual o domínio de f(x) = 1x−2?
Qual o domínio de m = −12 log(1− 2r)?
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CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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FUNÇÕES BÁSICAS
Função afim: f(x) = ax + b
−3 −2 −1 0 1 2 3
−4
02
46
x
2 *
x +
1
−3 −2 −1 0 1 2 3
−5
05
10
x
−3
* x
+ 1
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FUNÇÕES BÁSICAS
Função Quadrática: f(x) = ax2 + bx + c
−3 −2 −1 0 1 2 3
510
1520
2530
35
x
2 *
x^2
+ 3
* x
+ 7
−3 −2 −1 0 1 2 3
−40
−30
−20
−10
x
−4
* x^
2 +
x −
3
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FUNÇÕES BÁSICAS
Função Exponencial: f(x) = ax
−3 −2 −1 0 1 2 3
02
46
8
x
2^x
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FUNÇÕES BÁSICAS
Função Logarítmica: f(x) = loga x
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−6
−4
−2
0
x
log(
x)
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PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1 loga(bc) = loga b + loga c
2 loga(b/c) = loga b− loga c
3 loga bα = α loga b
4 loga b = logc blogc a
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Funções Derivadas Verossimilhança
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1 loga(bc) = loga b + loga c
2 loga(b/c) = loga b− loga c
3 loga bα = α loga b
4 loga b = logc blogc a
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Funções Derivadas Verossimilhança
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1 loga(bc) = loga b + loga c
2 loga(b/c) = loga b− loga c
3 loga bα = α loga b
4 loga b = logc blogc a
![Page 21: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/21.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1 loga(bc) = loga b + loga c
2 loga(b/c) = loga b− loga c
3 loga bα = α loga b
4 loga b = logc blogc a
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Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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Funções Derivadas Verossimilhança
IDÉIAS GERAIS
−3 −2 −1 0 1 2 3
02
46
8
xx^
2
DEFINIÇÃO
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = f(x)num ponto P qualquer é a derivada de f calculada no ponto P .Notacao: f ′(x) = d y
d x
Principal aplicação no nosso contexto: obtenção de pontosde máximo de funções
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Funções Derivadas Verossimilhança
IDÉIAS GERAIS
−3 −2 −1 0 1 2 3
02
46
8
xx^
2
DEFINIÇÃO
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = f(x)num ponto P qualquer é a derivada de f calculada no ponto P .Notacao: f ′(x) = d y
d x
Principal aplicação no nosso contexto: obtenção de pontosde máximo de funções
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Funções Derivadas Verossimilhança
IDÉIAS GERAIS
−3 −2 −1 0 1 2 3
02
46
8
xx^
2
DEFINIÇÃO
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = f(x)num ponto P qualquer é a derivada de f calculada no ponto P .Notacao: f ′(x) = d y
d x
Principal aplicação no nosso contexto: obtenção de pontosde máximo de funções
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Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = c, f ′(x) = 0 (c = cte)f(x) = xn, f ′(x) = nxn−1
EXEMPLO
f(x) = x
f(x) = x2
g(x) = cf(x), g′(x) = cf ′(x)
EXEMPLO
f(x) = 5x8
f(x) = u(x) + v(x), f ′(x) = u′(x) + v′(x)
EXEMPLO
f(x) = 4x4 + 7x2 + 3
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Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = c, f ′(x) = 0 (c = cte)f(x) = xn, f ′(x) = nxn−1
EXEMPLO
f(x) = x
f(x) = x2
g(x) = cf(x), g′(x) = cf ′(x)
EXEMPLO
f(x) = 5x8
f(x) = u(x) + v(x), f ′(x) = u′(x) + v′(x)
EXEMPLO
f(x) = 4x4 + 7x2 + 3
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Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = c, f ′(x) = 0 (c = cte)f(x) = xn, f ′(x) = nxn−1
EXEMPLO
f(x) = x
f(x) = x2
g(x) = cf(x), g′(x) = cf ′(x)
EXEMPLO
f(x) = 5x8
f(x) = u(x) + v(x), f ′(x) = u′(x) + v′(x)
EXEMPLO
f(x) = 4x4 + 7x2 + 3
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Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = c, f ′(x) = 0 (c = cte)f(x) = xn, f ′(x) = nxn−1
EXEMPLO
f(x) = x
f(x) = x2
g(x) = cf(x), g′(x) = cf ′(x)
EXEMPLO
f(x) = 5x8
f(x) = u(x) + v(x), f ′(x) = u′(x) + v′(x)
EXEMPLO
f(x) = 4x4 + 7x2 + 3
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Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = c, f ′(x) = 0 (c = cte)f(x) = xn, f ′(x) = nxn−1
EXEMPLO
f(x) = x
f(x) = x2
g(x) = cf(x), g′(x) = cf ′(x)
EXEMPLO
f(x) = 5x8
f(x) = u(x) + v(x), f ′(x) = u′(x) + v′(x)
EXEMPLO
f(x) = 4x4 + 7x2 + 3
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Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = c, f ′(x) = 0 (c = cte)f(x) = xn, f ′(x) = nxn−1
EXEMPLO
f(x) = x
f(x) = x2
g(x) = cf(x), g′(x) = cf ′(x)
EXEMPLO
f(x) = 5x8
f(x) = u(x) + v(x), f ′(x) = u′(x) + v′(x)
EXEMPLO
f(x) = 4x4 + 7x2 + 3
![Page 33: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/33.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = c, f ′(x) = 0 (c = cte)f(x) = xn, f ′(x) = nxn−1
EXEMPLO
f(x) = x
f(x) = x2
g(x) = cf(x), g′(x) = cf ′(x)
EXEMPLO
f(x) = 5x8
f(x) = u(x) + v(x), f ′(x) = u′(x) + v′(x)
EXEMPLO
f(x) = 4x4 + 7x2 + 3
![Page 34: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/34.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = u(x)v(x), f ′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
EXEMPLO
f(x) = (x2 + x)(3x4 + 5)
OPS! Note que para produtos o processo pode sertrabalhoso(uvx)′ = u′vx + uv′x + uvx′
![Page 35: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/35.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = u(x)v(x), f ′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
EXEMPLO
f(x) = (x2 + x)(3x4 + 5)
OPS! Note que para produtos o processo pode sertrabalhoso(uvx)′ = u′vx + uv′x + uvx′
![Page 36: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/36.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = u(x)v(x), f ′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
EXEMPLO
f(x) = (x2 + x)(3x4 + 5)
OPS! Note que para produtos o processo pode sertrabalhoso(uvx)′ = u′vx + uv′x + uvx′
![Page 37: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/37.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = u(x)v(x) , f ′(x) = u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
[v(x)]2
Regra da cadeia:Se y = f(u), u = g(x), y = f (g(x)),
d y
d x=
d y
d u
d u
d x
EXEMPLO
y = (x2 + 7)3
y =√
(x2 + 1)
![Page 38: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/38.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = u(x)v(x) , f ′(x) = u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
[v(x)]2
Regra da cadeia:Se y = f(u), u = g(x), y = f (g(x)),
d y
d x=
d y
d u
d u
d x
EXEMPLO
y = (x2 + 7)3
y =√
(x2 + 1)
![Page 39: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/39.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = u(x)v(x) , f ′(x) = u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
[v(x)]2
Regra da cadeia:Se y = f(u), u = g(x), y = f (g(x)),
d y
d x=
d y
d u
d u
d x
EXEMPLO
y = (x2 + 7)3
y =√
(x2 + 1)
![Page 40: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/40.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = u(x)v(x) , f ′(x) = u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
[v(x)]2
Regra da cadeia:Se y = f(u), u = g(x), y = f (g(x)),
d y
d x=
d y
d u
d u
d x
EXEMPLO
y = (x2 + 7)3
y =√
(x2 + 1)
![Page 41: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/41.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = loga x, f ′(x) = 1x
1loge a
EXEMPLO
y = log10 x
y = loge x
y = loge(x2 + 7)
ATENÇÃO Note a conveniência em se usar a base e
![Page 42: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/42.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = loga x, f ′(x) = 1x
1loge a
EXEMPLO
y = log10 x
y = loge x
y = loge(x2 + 7)
ATENÇÃO Note a conveniência em se usar a base e
![Page 43: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/43.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = loga x, f ′(x) = 1x
1loge a
EXEMPLO
y = log10 x
y = loge x
y = loge(x2 + 7)
ATENÇÃO Note a conveniência em se usar a base e
![Page 44: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/44.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = loga x, f ′(x) = 1x
1loge a
EXEMPLO
y = log10 x
y = loge x
y = loge(x2 + 7)
ATENÇÃO Note a conveniência em se usar a base e
![Page 45: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/45.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
REGRAS BÁSICAS
f(x) = loga x, f ′(x) = 1x
1loge a
EXEMPLO
y = log10 x
y = loge x
y = loge(x2 + 7)
ATENÇÃO Note a conveniência em se usar a base e
![Page 46: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/46.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
![Page 47: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/47.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÁXIMOS (E MÍNIMOS)
EXEMPLO
−3 −2 −1 0 1 2 3
−5
05
1015
x
x^3
+ x
^2 −
5 *
x −
5
●
●P1
P2
O que tem em comum os pontos P1 e P2 (extremosrelativos)?Resp: f ′(P1) = 0 e f ′(P2) = 0
CUIDADO Formalmente, há várias condições que devem serverificadas
REGRA Máximo: f ′′(x) < 0
![Page 48: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/48.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÁXIMOS (E MÍNIMOS)
EXEMPLO
−3 −2 −1 0 1 2 3
−5
05
1015
x
x^3
+ x
^2 −
5 *
x −
5
●
●P1
P2
O que tem em comum os pontos P1 e P2 (extremosrelativos)?Resp: f ′(P1) = 0 e f ′(P2) = 0
CUIDADO Formalmente, há várias condições que devem serverificadas
REGRA Máximo: f ′′(x) < 0
![Page 49: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/49.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÁXIMOS (E MÍNIMOS)
EXEMPLO
−3 −2 −1 0 1 2 3
−5
05
1015
x
x^3
+ x
^2 −
5 *
x −
5
●
●P1
P2
O que tem em comum os pontos P1 e P2 (extremosrelativos)?Resp: f ′(P1) = 0 e f ′(P2) = 0
CUIDADO Formalmente, há várias condições que devem serverificadas
REGRA Máximo: f ′′(x) < 0
![Page 50: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/50.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
PONTO DE MÁXIMO
EXERCICIO
Quais os pontos de máximo de f(x) = x3 + x2 − 5x− 5?
![Page 51: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/51.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
![Page 52: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/52.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
ALGUNS CONCEITOS
EXPERIMENTOS
Conjunto de dadosInformações de como esses dados foram coletados
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Desejamos explicitar o modelo que deu origem aos dadosUsualmente, o modelo envolve um ou mais parâmetrosdesconhecidosOs parâmetros devem ser estimados através dos dados
![Page 53: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/53.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
ALGUNS CONCEITOS
EXPERIMENTOS
Conjunto de dadosInformações de como esses dados foram coletados
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Desejamos explicitar o modelo que deu origem aos dadosUsualmente, o modelo envolve um ou mais parâmetrosdesconhecidosOs parâmetros devem ser estimados através dos dados
![Page 54: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/54.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
ALGUNS CONCEITOS
EXPERIMENTOS
Conjunto de dadosInformações de como esses dados foram coletados
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Desejamos explicitar o modelo que deu origem aos dadosUsualmente, o modelo envolve um ou mais parâmetrosdesconhecidosOs parâmetros devem ser estimados através dos dados
![Page 55: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/55.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
ALGUNS CONCEITOS
EXPERIMENTOS
Conjunto de dadosInformações de como esses dados foram coletados
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
Desejamos explicitar o modelo que deu origem aos dadosUsualmente, o modelo envolve um ou mais parâmetrosdesconhecidosOs parâmetros devem ser estimados através dos dados
![Page 56: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/56.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Suponha que um modelo probabilístico tenha sidoformulado para um experimentoImagine que esse modelo envolva um parâmetro θ
Desejamos usar os dados para estimar θ
Formalmente, desejamos determinar quais são ospossíveis valores de θ mais plausíveis (prováveis,verossímeis), à luz das observações
![Page 57: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/57.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Suponha que um modelo probabilístico tenha sidoformulado para um experimentoImagine que esse modelo envolva um parâmetro θ
Desejamos usar os dados para estimar θ
Formalmente, desejamos determinar quais são ospossíveis valores de θ mais plausíveis (prováveis,verossímeis), à luz das observações
![Page 58: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/58.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Suponha que um modelo probabilístico tenha sidoformulado para um experimentoImagine que esse modelo envolva um parâmetro θ
Desejamos usar os dados para estimar θ
Formalmente, desejamos determinar quais são ospossíveis valores de θ mais plausíveis (prováveis,verossímeis), à luz das observações
![Page 59: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/59.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Suponha que um modelo probabilístico tenha sidoformulado para um experimentoImagine que esse modelo envolva um parâmetro θ
Desejamos usar os dados para estimar θ
Formalmente, desejamos determinar quais são ospossíveis valores de θ mais plausíveis (prováveis,verossímeis), à luz das observações
![Page 60: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/60.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
EXEMPLO
Seja θ a proporção de indivíduos Aa numa populaçãogrande e homogênea, proveniente de um retrocruzamento.Nesse caso, temos teoricamente 50% dos indivíduos comesse genótipo.Para comprovar isso, selecionamos aleatoriamente nindivíduos, e verificamos seu genótipo.Após o experimento, notamos que x deles são Aa.
![Page 61: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/61.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
EXEMPLO
Seja θ a proporção de indivíduos Aa numa populaçãogrande e homogênea, proveniente de um retrocruzamento.Nesse caso, temos teoricamente 50% dos indivíduos comesse genótipo.Para comprovar isso, selecionamos aleatoriamente nindivíduos, e verificamos seu genótipo.Após o experimento, notamos que x deles são Aa.
![Page 62: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/62.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
EXEMPLO
Seja θ a proporção de indivíduos Aa numa populaçãogrande e homogênea, proveniente de um retrocruzamento.Nesse caso, temos teoricamente 50% dos indivíduos comesse genótipo.Para comprovar isso, selecionamos aleatoriamente nindivíduos, e verificamos seu genótipo.Após o experimento, notamos que x deles são Aa.
![Page 63: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/63.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
EXEMPLO
Seja θ a proporção de indivíduos Aa numa populaçãogrande e homogênea, proveniente de um retrocruzamento.Nesse caso, temos teoricamente 50% dos indivíduos comesse genótipo.Para comprovar isso, selecionamos aleatoriamente nindivíduos, e verificamos seu genótipo.Após o experimento, notamos que x deles são Aa.
![Page 64: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/64.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
A probabilidade de observarmos esse evento E éP (E; θ) = probab. de x, de um total de n indivíduos,possuírem o genótipo Aa
P (E; θ) = Cn,x θx(1− θ)(n−x)
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Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
A probabilidade de observarmos esse evento E éP (E; θ) = probab. de x, de um total de n indivíduos,possuírem o genótipo Aa
P (E; θ) = Cn,x θx(1− θ)(n−x)
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Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
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Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
DEFINIÇÃO
A função de verossimilhança de θ é definida comoL(θ) = c.P (E; θ)Função de Verossimilhança: função densidade deprobabilidade das observações, interpretada como umafunção dos parâmetros que determinam a distribuição(Siegmund e Yakir, 2007)Edwards (1992): The likelihood L(H/R), of the hypothesisH given data R, and a specific model, is proportional toP (R/H), the constant of proportionality being arbitrary.A constante c, por não depender dos parâmetros,normalmente é desconsiderada
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Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
DEFINIÇÃO
A função de verossimilhança de θ é definida comoL(θ) = c.P (E; θ)Função de Verossimilhança: função densidade deprobabilidade das observações, interpretada como umafunção dos parâmetros que determinam a distribuição(Siegmund e Yakir, 2007)Edwards (1992): The likelihood L(H/R), of the hypothesisH given data R, and a specific model, is proportional toP (R/H), the constant of proportionality being arbitrary.A constante c, por não depender dos parâmetros,normalmente é desconsiderada
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MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
DEFINIÇÃO
A função de verossimilhança de θ é definida comoL(θ) = c.P (E; θ)Função de Verossimilhança: função densidade deprobabilidade das observações, interpretada como umafunção dos parâmetros que determinam a distribuição(Siegmund e Yakir, 2007)Edwards (1992): The likelihood L(H/R), of the hypothesisH given data R, and a specific model, is proportional toP (R/H), the constant of proportionality being arbitrary.A constante c, por não depender dos parâmetros,normalmente é desconsiderada
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MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
DEFINIÇÃO
A função de verossimilhança de θ é definida comoL(θ) = c.P (E; θ)Função de Verossimilhança: função densidade deprobabilidade das observações, interpretada como umafunção dos parâmetros que determinam a distribuição(Siegmund e Yakir, 2007)Edwards (1992): The likelihood L(H/R), of the hypothesisH given data R, and a specific model, is proportional toP (R/H), the constant of proportionality being arbitrary.A constante c, por não depender dos parâmetros,normalmente é desconsiderada
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Funções Derivadas Verossimilhança
MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Para simplificar, é usual trabalharmos com o log de L(θ)Qual a razão?
ATENÇÃO Os pontos de máximo e mínimo não se alteramapós o uso do logaritmo
Notação: l(θ) = loge(θ) = log L(θ)d l(θ)
dθ é dita função score
I(θ) = −d2l(θ)dθ2 é dita função de informação de Fisher
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MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Para simplificar, é usual trabalharmos com o log de L(θ)Qual a razão?
ATENÇÃO Os pontos de máximo e mínimo não se alteramapós o uso do logaritmo
Notação: l(θ) = loge(θ) = log L(θ)d l(θ)
dθ é dita função score
I(θ) = −d2l(θ)dθ2 é dita função de informação de Fisher
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MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Para simplificar, é usual trabalharmos com o log de L(θ)Qual a razão?
ATENÇÃO Os pontos de máximo e mínimo não se alteramapós o uso do logaritmo
Notação: l(θ) = loge(θ) = log L(θ)d l(θ)
dθ é dita função score
I(θ) = −d2l(θ)dθ2 é dita função de informação de Fisher
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MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Para simplificar, é usual trabalharmos com o log de L(θ)Qual a razão?
ATENÇÃO Os pontos de máximo e mínimo não se alteramapós o uso do logaritmo
Notação: l(θ) = loge(θ) = log L(θ)d l(θ)
dθ é dita função score
I(θ) = −d2l(θ)dθ2 é dita função de informação de Fisher
![Page 75: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/75.jpg)
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MÉTODO DA VEROSSIMILHANÇA
Para simplificar, é usual trabalharmos com o log de L(θ)Qual a razão?
ATENÇÃO Os pontos de máximo e mínimo não se alteramapós o uso do logaritmo
Notação: l(θ) = loge(θ) = log L(θ)d l(θ)
dθ é dita função score
I(θ) = −d2l(θ)dθ2 é dita função de informação de Fisher
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Funções Derivadas Verossimilhança
CONTEÚDO
1 FUNÇÕESDefiniçõesFunções Básicas
2 DERIVADASIntroduçãoRegrasPontos de Máximo
3 VEROSSIMILHANÇAIntroduçãoDefiniçãoEstimador de Máxima Verossimilhança
![Page 77: LGN5830 - Biometria de Marcadores Genéticos - Aula 1 ...docentes.esalq.usp.br/aafgarci/pub/aula1.pdf · Funções Derivadas Verossimilhança LGN5830 - BIOMETRIA DE MARCADORES GENÉTICOS](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022040619/5f2bbad83b34553a13409980/html5/thumbnails/77.jpg)
Funções Derivadas Verossimilhança
ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
EXERCÍCIO
1 Qual a função de verossimilhança do exemplo anterior?2 Qual a função score?3 Qual é o ponto de máximo de l(θ), dito θ̂?4 θ̂ é o MLE de θ
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Funções Derivadas Verossimilhança
ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
EXERCÍCIO
1 Qual a função de verossimilhança do exemplo anterior?2 Qual a função score?3 Qual é o ponto de máximo de l(θ), dito θ̂?4 θ̂ é o MLE de θ
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Funções Derivadas Verossimilhança
ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
EXERCÍCIO
1 Qual a função de verossimilhança do exemplo anterior?2 Qual a função score?3 Qual é o ponto de máximo de l(θ), dito θ̂?4 θ̂ é o MLE de θ
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Funções Derivadas Verossimilhança
ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
EXERCÍCIO
1 Qual a função de verossimilhança do exemplo anterior?2 Qual a função score?3 Qual é o ponto de máximo de l(θ), dito θ̂?4 θ̂ é o MLE de θ