Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico · Os circuitos lógicos correspondem...
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Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógicos
Os circuitos lógicos correspondem (executam) expressões booleanas, as quais representam problemas no
mundo real.
Porém, os circuitos gerados por tabelas verdade muitas vezes admitem simplificações, o que reduz o
número de portas lógicas; essa redução diminui o grau de dificuldade na montagem e custo do sistema
digital,
Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Constantes, Variáveis e Expressões
➢ Existem apenas duas constantes booleanas:
• 0 (zero) 1 (um)
➢ Uma variável booleana é representada por letra e pode assumir apenas dois valores (0 ou 1)
• Exemplos: A, B, C
➢ Uma expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas
e seu resultado assume apenas dois valores (0 ou 1)
• Exemplos:
S = A.B
S = A+B.C
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Postulados & Propriedades
➢ Na álgebra booleana há postulados (axiomas) a partir dos quais são estabelecidas várias propriedades
➢ Existem várias propriedades da negação (complemento, inversor), adição (porta E) e soma (porta OU)
➢ Estas propriedades podem ser verificadas como equivalências lógicas
➢ Para demonstrar cada uma, basta utilizar as tabelas-verdade, constatando a equivalência
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Postulados
➢ Complemento
▪ Se 𝐴 = 0 então ҧ𝐴 = 1
▪ Se 𝐴 = 1 então ҧ𝐴 = 0
➢ Notações alternativas
▪ ҧ𝐴 = 𝐴′
▪ ҧ𝐴 = ¬ 𝐴
▪ 𝐵 . 𝐶 = (𝐵. 𝐶)′
➢ Adição
▪ 0 + 0 = 0
▪ 0 + 1 = 1
▪ 1 + 0 = 1
▪ 1 + 1 = 1
➢ Multiplicação
▪ 0 . 0 = 0
▪ 0 . 1 = 0
▪ 1 . 0 = 0
▪ 1 . 1 = 1
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Propriedades
Propriedade Complemento Adição Multiplicação
Identidade ҧ𝐴 = 𝐴
𝐴 + 0 = 1
𝐴 + 1 = 𝐴
𝐴 + 𝐴 = 𝐴
𝐴 + ҧ𝐴 = 1
𝐴 . 0 = 0
𝐴 . 1 = 𝐴
𝐴 . 𝐴 = 𝐴
𝐴 . ҧ𝐴 = 0
Comutação 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝐴 . 𝐵 = 𝐵 . 𝐴
Associativa 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶
Distributiva 𝐴 + 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 . (𝐴 + 𝐶) 𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶
Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Propriedades
➢ Absorção
▪ 𝐴 + (𝐴 . 𝐵) = 𝐴
▪ 𝐴 . (𝐴 + 𝐵) = 𝐴
➢ Outras Identidades
▪ 𝐴 + ҧ𝐴 . 𝐵 = 𝐴 + 𝐵
▪ 𝐴 + 𝐵 . 𝐴 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 . 𝐶
➢ De Morgan
▪ (𝐴 . 𝐵)′ = ҧ𝐴 + ത𝐵
▪ 𝐴 + 𝐵 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵
➢ De Morgan se estende para n variáveis
▪ 𝐴 . 𝐵.…𝑛 ′ = ҧ𝐴 + ത𝐵 +⋯+ ത𝑛
▪ 𝐴 + 𝐵 +⋯+ 𝑛 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵 . … . ത𝑛
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Propriedades
Propriedade Complemento Adição Multiplicação
Identidade ҧ𝐴 = 𝐴
𝐴 + 0 = 1
𝐴 + 1 = 𝐴
𝐴 + 𝐴 = 𝐴
𝐴 + ҧ𝐴 = 1
𝐴 . 0 = 0
𝐴 . 1 = 𝐴
𝐴 . 𝐴 = 𝐴
𝐴 . ҧ𝐴 = 0
Comutação 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝐴 . 𝐵 = 𝐵 . 𝐴
Associativa 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝐴 . 𝐵 . 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 . 𝐶
= 𝐴 . 𝐵 . 𝐶
Distributiva 𝐴 + 𝐵 . 𝐶
= 𝐴 + 𝐵 . (𝐴 + 𝐶)
𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 . 𝐵 + 𝐴 . 𝐶
➢ Absorção
▪ 𝐴 + (𝐴 . 𝐵) = 𝐴
▪ 𝐴 . (𝐴 + 𝐵) = 𝐴
➢ Outras Identidades
▪ 𝐴 + ҧ𝐴 . 𝐵 = 𝐴 + 𝐵
▪ 𝐴 + 𝐵 . 𝐴 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 . 𝐶
➢ De Morgan
▪ (𝐴 . 𝐵)′ = ҧ𝐴 + ത𝐵
▪ 𝐴 + 𝐵 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵
➢ De Morgan se estende para n variáveis
▪ 𝐴 . 𝐵.…𝑛 ′ = ҧ𝐴 + ത𝐵 +⋯+ ത𝑛
▪ 𝐴 + 𝐵 +⋯+ 𝑛 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵 .… . ത𝑛
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Exemplo 1:
Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Exemplo 2:
Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Exemplo 3:
Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Exemplo 4:
Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Exemplo 5:
Álgebra de Boole e Simplificações de Circuitos Lógico
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Simplificação de Expressões Booleanas
➢ Usando a álgebra booleana é possível simplificar expressões
➢ Como cada circuito corresponde a uma expressão, simplificações de expressões significam em
simplificações de circuitos
➢ Há duas formas para simplificar expressões
• Fatoração
• Mapas de Veitch-Karnaugh
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Fatoração
Consiste na aplicação dos postulados e propriedades da álgebra booleana, com o objetivo de simplificar a
expressão
Exemplo:
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Fatoração
Portanto, A.B.C + A.C’ + A.B’ = A
Essa expressão mostra a importância da simplificação de
expressões e a consequente minimização do circuito, sendo o
resultado final igual ao da variável A
Circuito antes da simplificação
Circuito após simplificação
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
No mapa encontramos todas as possibilidades assumidas entre as variáveis A e B
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
(𝑎) (𝑏) (𝑐) (𝑑)
𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 1
𝑏 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 0 ҧ𝐴 = 1 .
𝑐 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 = 0 ത𝐵 = 1 .
𝑐 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 = 1.
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Com 2 variáveis, podemos obter 4 possibilidades:
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Com 2 variáveis, podemos obter 4 possibilidades:
No caso 0, temos: A = 0 ( ҧ𝐴 = 1) e B = 0 ( ത𝐵 = 1). A região do
diagrama que mostra esta condição é a da intersecção das
regiões onde ҧ𝐴 = 1 e ത𝐵 = 1 :
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
Esta região também pode ser chamadade região ҧ𝐴 ത𝐵.
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Com 2 variáveis, podemos obter 4 possibilidades:
No caso 1, temos: A = 0 ( ҧ𝐴 = 1) e B = 1. A região do diagrama
que mostra esta condição é a da intersecção das regiões
onde ҧ𝐴 = 1 e 𝐵 = 1 :
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
Esta região também pode ser chamadade região ҧ𝐴𝐵.
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Com 2 variáveis, podemos obter 4 possibilidades:
No caso 2, temos: A = 1 e B = 0 ( ത𝐵 = 1) . A região do diagrama
que mostra esta condição é a da intersecção das regiões onde 𝐴
= 1 e ത𝐵 = 1 :
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
Esta região também pode ser chamadade região 𝐴 ത𝐵.
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Com 2 variáveis, podemos obter 4 possibilidades:
No caso 3, temos: A = 1 e B = 1. A região do diagrama que
mostra esta condição é a da intersecção das regiões onde A = 1
e B = 1) :
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
Esta região também pode ser chamadade região 𝐴𝐵.
A B
0 0
0 1
1 0
1 1
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Podemos distribuir, então, as 4 possibilidades neste diagrama, da seguinte forma:
Caso 0ҧ𝐴 ത𝐵
0 0
Caso 1ҧ𝐴 ത𝐵
0 1
Caso 2ҧ𝐴 ത𝐵
1 0
Caso 3ҧ𝐴 ത𝐵
1 1
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
A tabela da verdade mostra o estudo de uma função de 2 variáveis. Vamos colocar seus resultados no diagrama de
Veitch-Karnaugh.
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Passando para o mapa os casos da tabela da verdade.
Caso 0ҧ𝐴 ത𝐵
0 0
Caso 1ҧ𝐴 ത𝐵
0 1
Caso 2ҧ𝐴 ത𝐵
1 0
Caso 3ҧ𝐴 ത𝐵
1 1
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
1
ത𝐵 𝐵
ҧ𝐴
𝐴
0
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Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
➢ Quadra:
Conjunto de 4 regiões, onde S é igual a 1. No diagrama de 2 variáveis, é o agrupamento máximo,
proveniente de uma tabela onde todos os casos valem 1. Assim sendo, a expressão final simplificada obtida
é S = 1.
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Conjunto de 2 regiões onde S é 1, que tem um lado em comum, são vizinhos. As figuras mostram exemplos
de 2 pares agrupados e suas respectivas expressões, dentro os 4 possíveis em 2 variáveis:
➢ Pares:
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Regiões onde S é 1, sem vizinhança para grupamentos. São os próprios casos de entrada, sem
simplificação. A figura exemplifica 2 termos isolados, sem possibilidade de agrupamento.
➢ Termos Isolados:
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Exemplo 1, efetuando o agrupamento
Escrevemos a expressão de cada par, ou seja a região que o parocupa no diagrama.
➢ O par 1 ocupa a região onde A é igual a 1, então, suaexpressão será Par 1 = A.
➢ O par 2 ocupa a região onde A é igual a 1, então, suaexpressão será Par 2 = B.
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Para obter a expressão simplificada. basta, agruparmos os
termos obtidos nos agrupamentos:
S = Par 1 + Par 2 ∴ S = A + B
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Exemplo 2, vamos simplificar o circuito que executa a tabela da verdade a seguir:
Obtendo a expressão diretamente da tabela, temos:
Transportando a tabela para o diagrama.
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
As expressões dos pares:
𝑃𝑎𝑟 1 = ҧ𝐴
𝑃𝑎𝑟 2 = ത𝐵
𝑆 = ҧ𝐴 + ത𝐵
Simplificações de Expressões Boolenas
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Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis
Exemplo 2, vamos simplificar o circuito que executa a tabela da verdade a seguir:
Notamos que a tabela verdade é a de uma porta NE. Aplicando o teorema de De Morgan à expressão, após
a simplificação, encontramos a expressão de uma porta NE
➢ De Morgan
▪ (𝐴 . 𝐵)′ = ҧ𝐴 + ത𝐵
▪ 𝐴 + 𝐵 ′ = ҧ𝐴 . ത𝐵
𝑆 = ҧ𝐴 + ത𝐵 𝑆 = 𝐴𝐵
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No mapa, encontramos todas as possibilidades assumidas entre asvariveis A, B e C. Regiões do mapa de Veitch-Karnaugh.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
Diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 Variáveis
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Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
33
Neste diagrama, também temos uma região para cada caso da tabela da verdade. A tabelA e a figura
mostram os casos para 3 variáveis e as respectivas localizações no mapa.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Vamos analisar a localização somente de uma das possibilidades, visto que as outras são de maneira
análoga. Assim sendo, vamos localizar no diagrama o caso 3:
No diagrama, será a intersecção das regiões que:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
𝐴 = 0 ҧ𝐴 = 1 , 𝐵 = 1 𝑒 𝐶 = 1
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A figura mostra esta localização no diagrama, para a colocação do respectivo caso de entrada da coluna S.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
𝐴 = 0 ҧ𝐴 = 1 , 𝐵 = 1 𝑒 𝐶 = 1
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Exemplo:
Tabela da verdade:
Expressão extraída da tabela da verdade:
Transpondo a tabela para o diagrama, temos:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Os agrupamentos possíveis:
a) Oitava:
Agrupamento máximo, onde todas as localidades valem 1:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Os agrupamentos possíveis:
b) Quadras:
Quadras são agrupamentos de 4 regiões S é igual a 1, adjacentes ou em sequência:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Os agrupamentos possíveis:
b) Pares:
A figura apresenta como exemplo 2 pares entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis:
Logisim
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Os agrupamentos possíveis:
b) Temos isolados:
Na figura, exemplos de termos isolados que são os casos de entrada sem simplificação.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Exemplo 02:
Primeiramente agrupamos a quadra e logo após um par:
A expressão final minimizada será:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Exemplo 03:
Dado a tabela da verdade, minimize o circuito
Transpondo para o diagrama, temos:
A expressão minimizada será:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Exemplo 03:
Poderíamos também ter agrupado de outra maneira, conforme mostra a figura
Transpondo para o diagrama, temos:
A expressão minimizada será:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 3 variáveis
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Exemplo 03:
As duas expressões, aparentemente deferentes, possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade,
fato este comprovado, levantando-se as respectivas tabelas da verdade.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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O diagrama para 4 variáveis:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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O diagrama para 4 variáveis:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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O diagrama para 4 variáveis:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Tabela da verdade e diagrama
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
49
Vamos analisar a colocação de uma das possibilidades.
Da intersecção dessas regiões, obtemos 𝐴𝐵𝐶𝐷 a região , que é o caso 8.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 04:
Expressão de S, extraída da tabela da verdade:
Transpondo a tabela para o diagrama, temos:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 04:
Para efetuarmos a simplificação, seguimos o mesmo processo para os diagramas de 3 variáveis, somente
que neste caso, o principal agrupamento será a oitava.
Devemos ressaltar aqui, que no diagrama, os lados extremos opostos se comunicam, ou seja, podemos
formar oitavas, quadras e pares com os temos localizados nos lados extremos apostos.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 04:
a) Exemplos de pares:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 04:
a) Exemplos de quadras:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 04:
a) Exemplos de oitavas:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 05:
Somando as expressões, teremos a expressão final minimizada:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 06:
Minimizar o circuito que executa a tabela.
Transpondo a tabela da verdade para o diagrama, temos:
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 06:
Minimizar o circuito que executa a tabela.
No diagrama, temos: 2 quadras, 1 par e 1 termo isolado.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 07:
Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir, utilizando os diagramas
de Veitch-Kamaugh.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 08:
Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir, utilizando os diagramas
de Veitch-Kamaugh.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 09:
Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir, utilizando os diagramas
de Veitch-Kamaugh.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 10:
Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir, utilizando os diagramas
de Veitch-Kamaugh.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 10:
Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir, utilizando os diagramas
de Veitch-Kamaugh.
Diagrama de Veitch- Karnaugh para 4 variáveis
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Exemplo 10:
Simplifique as expressões obtidas das tabelas a seguir, utilizando os diagramas
de Veitch-Kamaugh.