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Lezioni di Geometria

Maria Scafati Tallini e Maurizio Iurlo

Luglio 2006

Indice

Introduzione v

1 La geometria analitica 1

2 Coordinate cartesiane 4

2.1 Ascisse sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Rette orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Distanze orientate sopra una retta . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Ascisse sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Uso delle ascisse sopra la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Cambiamento di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Coordinate cartesiane nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Angolo di due semirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Angolo di due rette orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Angolo di due rette non orientate . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Riferimenti cartesiani nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Riferimenti cartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Coordinate di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

M. Scafati Tallini e M. Iurlo Lezioni di Geometria

Equazione di una retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Forme notevoli dell’equazione di una retta . . . . . . . . . . . 19

Forma segmentaria dell’equazione della retta . . . . . . . . . . 19

Retta per due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Punto di intersezione e condizione di parallelismo di due rette 22

Retta per un punto parallela a una retta data . . . . . . . . . 23

Fascio di rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Nozioni metriche 33

3.1 Distanza di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Coseni direttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Equazione normale di una retta orientata . . . . . . . . . . . 36

3.4 Espressione dei coseni direttori di una retta orientata in fun-

zione di a, b, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Coefficiente angolare di una retta . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 Distanza di un punto da una retta . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7 Angolo di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8 Condizione di perpendicolarità di due rette . . . . . . . . . . . 44

3.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Lo spazio ampliato e le coordinate omogenee 49

4.1 Punti impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Coordinate cartesiane omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Ampliamento della retta e del piano . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 Equazione di una retta in coordinate omogenee . . . . . . . . 52

4.5 Interpretazione geometrica dei punti impropri come direzioni . 53

Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G.Tallini”- n. 153 ii


4.6 La retta impropria del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.7 Retta per due punti in coordinate omogenee . . . . . . . . . . 55

4.8 Retta proiettiva e piano proiettivo . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.9 Trasformazione delle coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . 56

4.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Ampliamento complesso dello spazio reale 58

5.1 Considerazioni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Elementi complessi coniugati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Rette isotrope. Punti ciclici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Coordinate polari 63

6.1 Trasformazione delle coordinate cartesiane in polari e viceversa 65

7 La circonferenza 67

7.1 L’equazione cartesiana di una circonferenza . . . . . . . . . . . 67

7.2 Intersezioni di una circonferenza con una retta . . . . . . . . . 69

7.3 Intersezioni di una circonferenza con la retta impropria . . . . 70

7.4 Tangente a una circonferenza in un suo punto . . . . . . . . . 71

7.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8 La parabola - L’ellisse - L’iperbole 77

8.1 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.2 L’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.3 L’iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Teoria generale delle coniche 87

9.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G.Tallini”- n. 153 iii


9.2 Intersezioni di una retta con una conica . . . . . . . . . . . . . 88

9.3 Classificazione della coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.4 Tangente in un punto a una conica . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.5 Polarità rispetto a una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.6 Significato geometrico della polare . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10 Riduzione a forma canonica delle coniche 95

10.1 Centro e diamentri di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2 Fuochi e direttrici di una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.3 Equazioni canoniche delle coniche a centro . . . . . . . . . . . 99

10.4 Equazione canonica e proprietà della parabola . . . . . . . . . 99

10.5 Fuochi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

11 Fasci di coniche 102

11.1 Intersezione di due coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11.2 Coniche degeneri di un fascio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.3 Numero dei punti che individuano una conica . . . . . . . . . 103

11.4 Configurazione dei punti base di un fascio di coniche . . . . . 104

11.5 Il metodo del fascio di coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

11.6 Equazione di una conica sottoposta a condizioni . . . . . . . . 108

12 Luoghi geometrici e curve piane 112

12.1 Rappresentazione grafica di una curva . . . . . . . . . . . . . . 112

12.2 Luoghi geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

13 Elementi di calcolo vettoriale 120

13.1 Concetto di vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

13.2 Somma di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G.Tallini”- n. 153 iv


13.3 Prodotto di un vettore per un numero reale . . . . . . . . . . 125

13.4 Angolo di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

13.5 Prodotto scalare di due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

13.6 Prodotto vettoriale e prodotto misto di due vettori . . . . . . 128

14 Geometria analitica dello spazio 131

14.1 Riferimenti cartesiani nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.2 Stella di piani di centro un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.3 Piano per tre punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.4 Parallelismo di due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

14.5 Equazione cartesiana di una retta nello spazio . . . . . . . . . 135

14.6 Fasci di piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

14.7 Parallelismo di retta e piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

14.8 Complanarità di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

14.9 Piano per un punto parallelo a due rette . . . . . . . . . . . . 140

14.10Piano per un punto perpendicolare a una retta data . . . . . . 141

14.11Perpendicolarità di due piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

15 Linee e superficie nello spazio 143

15.1 Equazione di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

15.2 Classi notevoli di superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

15.3 Superficie di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

15.4 Superficie algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

15.5 Equazioni particolari di una superficie . . . . . . . . . . . . . . 146

15.6 Rappresentazione di curve nello spazio . . . . . . . . . . . . . 147

15.7 Proiezioni piane di una curva dello spazio . . . . . . . . . . . . 147

15.8 Curve tracciate sopra una superficie . . . . . . . . . . . . . . . 148

Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G.Tallini”- n. 153 v

Introduzione

La matematica che si studia nelle scuole secondarie fin dai primi anni si

differenzia in geometria e aritmetica prima e successivamente in algebra.

Sostanzialmente, la geometria riguarda il contenuto degli Elementi di Eu-

clide, mentre l’algebra riguarda il calcolo letterale e lo studio delle equazioni

di primo e secondo grado e i sistemi di equazioni lineari. Si parte dallo studio

delle espressioni numeriche e poi si sostituiscono ai numeri le lettere con il

loro opportuno algoritmo. Si attua, cioè, un primo processo di astrazione:

quello di sostituire ai numeri le lettere.

Nell’algebra, a livello di primo corso universitario, si va molto oltre questo

primo processo di astrazione.

Precisamente l’algebra concerne - se si vuol dire in breve - lo studio delle

strutture algebriche, ove con questo nome si intende un insieme dotato di

una o piú operazioni soddisfacenti a determinate proprietà, o assiomi, della

struttura.

Quindi è tipico dell’algebra un procedimento che astrattizza e assiomatiz-

za. Per comprendere meglio le finalità e i contenuti dell’algebra è opportuno

dare un cenno storico al suo sviluppo.

Algebra è una parola araba (al-giabr : al articolo, giabr “mettere a posto”),

usata per al prima volta dal matematico arabo Al-Khuwaritzmı̄ del nono

vi


secolo d. C. per indicare il trasporto di un termine da un membro all’altro,

in un espressione letterale:

a− b = c =⇒ a = b+ c.

È chiaro che il significato di questa parola “algoritmo” si è andato via via

ampliando e ramificando.

Si parla talora di algebra elementare per indicare il complesso delle regole

del calcolo letterale e la teoria delle equazioni algebriche (ossia polinomi

uguagliati a zero). I greci erano pervenuti a risolvere le equazioni di secondo

grado e alcuni casi particolari di equazioni di grado superiore al secondo,

usando considerazioni geometriche. Infatti, l’equazione di secondo grado era

concepita come una relazione tra aree di rettangoli, in cui appare un lato

incognito, da costruirsi geometricamente.

Gli indiani si interessarono piú della parte pratica, cioè della numerazione

decimale, introducendo anche i numeri negativi.

Gli arabi si considerarono allievi dei greci, ma trassero dagli indiani il

sistema di numerazione (cifre arabiche). Il contributo essenziale degli arabi

è dato da quel complesso di regole ed espressioni (algoritmo) che costituisce

appunto l’algebra elementare. L’algebra araba fu introdotta nel mondo ad

opera di Leonardo Fibonacci (il suo liber abaci è del 1202).

Queste nuove idee diedero i loro frutti a opera della scuola bolognese

(secolo 16◦). Scipione dal Ferro (1465-1526) diede la formula risolutiva del-

l’equazione cubica ridotta (ossia priva del termine di 2◦ grado) e questo fu il

primo passo decisivo dell’algebra, nuovo risultato rispetto a quelli dei greci e

degli arabi. Niccolò Tartaglia, bresciano (seconda metà del ’500), dell’ateneo

di Padova e Cardano (1501-1576) milanese, sempre in quel periodo, diedero

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la formula risolutiva per radicali dell’equazione cubica generale. Cardano

scrisse un volume, l’Ars Magna, nel 1545, in cui appunto pubblicò la formula

dell’equazione di 3◦ grado, riscoprendo e generalizzando la formula di dal Fer-

ro e diede per la prima volta la formula risolutiva dell’equazione generale di

4◦ grado, dovuta al suo allievo Ferrari, formula implicante radicali quadratici

e cubici. A tali studi contribuí pure R. Bombelli di Bologna che introdusse i

numeri complessi (quantità silvestri). Successivamente la scuola francese con

Viète, Girard e Cartesio (17◦ secolo) riprese tali questioni, introducendo le

notazioni moderne per i concetti suddetti e calcolando le formule per la som-

ma e il prodotto delle radici a partire dai coefficienti dell’equazione stessa.

Cartesio, in particolare, con la sua “Géométrie” dà all’algebra una posizione

autonoma, la considera un nuovo mezzo per creare e risolvere nuovi problemi

geometrici, fondando in tal modo la geometria analitica. Successivamente,

si tentò di dare una formula risolutiva per radicali anche all’equazione di 5◦

grado, ma solo nella prima metà dell”800 Ruffini e Abel dimostrarono che

ciò è impossibile. Nello studio delle equazioni algebriche da questo punto di

vista il risultato piú importante risale a Galois, il quale appunto nella metà

dell”800 dimostrò che un’equazione algebrica è risolubile per radicali allora e

soltanto allora, che il gruppo di Galois associato a essa è un gruppo risolu-

bile, secondo un’opportuna definizione. Altro risultato notevole nel settore

delle equazioni algebriche fu il Teorema fondamentale dell’algebra, dovuto a

Gauss (fine ’700), secondo cui ogni equazione algebrica ammette almeno una

radice (e quindi n, se n è il suo grado). Da quanto detto si comprende come

l’algebra per molto tempo ruotò intorno al problema della risoluzione delle

equazioni.

L’algebra moderna, ossia lo studio delle strutture algebriche nacque col

Quaderni del Seminario di Geometrie Combinatorie “G.Tallini”- n. 153 viii


concetto di gruppo che risale appunto ad Abel, Galois, Jordan, Frobenius,

Klein. Essa cominciò a imporsi in Germania agli inizi del ’900 con Dedekind,

E. Noether, Steinitz e in America con Wedderburn, Albert. All’algebra si

affiancò a un certo punto, quasi contemporaneamente, la geometria algebri-

ca, ossia la teoria geometrica delle equazioni algebriche, disciplina questa

che prende le mosse dalla concezione cartesiana dello studio delle curve nel

piano, cioè dal metodo delle coordinate. La geometria algebrica, intesa ap-

punto come studio geometrico di enti rappresentati algebricamente, nacque

soprattutto in Italia a opera di grandi matematici quali Corrado Segre, Fe-

derigo Enriques, Guido Castelnuovo, Francesco Severi. A un certo punto,

la geometria algebrica passò da una visione intuitiva geometrica verso un

punto di vista piú astratto e rigoroso. I prodromi di ciò si ebbero si ebbero

con il matematico tedesco B. L. van der Waerden e altri. Egli, nel 1931,

pubblicò un famoso trattato “Moderne Algebra” in cui codifica e applica la

teoria delle strutture algebriche alla geometria algebrica astratta, ossia non

piú intesa alla maniera cartesiana, bensí introducendo a rappresentare gli en-

ti geometrici opportune strutture algebriche. Il Severi criticò in parte questo

indirizzo che poi prevalse, perché assolutamente rigoroso, anche se meno fe-

condo di intuizioni e risultati. A proposito del volume di Van der Waer-

den, il grande matematico aretino Francesco Severi ebbe a dire che piuttosto

che algebra moderna avrebbe preferito chiamarla senz’altro algebra, perché

avrebbe avuto lunga vita, talché si sarebbe poi chiamata algebra antica.

La geometria algebrica astratta diede nuovo impulso all’algebra, portando

al sorgere di nuove branche e nuove teorie.

Il concetto informatore dell’algebra è quello di struttura algebrica, ossia

di operazione introdotta in un insieme, e quindi alla base di tutto stanno i

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concetti di insieme e quello di operazione.

In algebra si assume come primitiva, ossia non riconducibile ad altra

piú semplice, la nozione di oggetto o elemento, inteso come individuo, e la

nozione di classe, o aggregato di oggetti. Si riserva poi la parola insieme a

una classe di oggetti tale che esista una legge ben precisa, senza equivoci o

contraddizioni logiche che affermi quando un oggetto appartiene a esso.

Per esempio, la classe di tutti gli insiemi non è un insieme, come mostra

il famoso Paradosso di Russel, di cui merita di parlare.

Chiamiamo normale ogni insieme che non contenga se stesso come oggetto

e anormale ogni insieme che invece contenga se stesso come oggetto. Con-

sideriamo la classe degli insiemi normali, N . Essa non si può chiamare in-

sieme, nel senso che la sua definizione porta a una contraddizione logica.

Chiaramente, un insieme o è normale o è anormale.

Proviamo a supporre N normale. Allora N non contiene se stesso come

oggetto, ma essendo N normale, esso deve appartenere a se stesso, classe di

tutti gli elementi normali, quindi N è anormale, contro l’ipotesi.

Proviamo ora a supporre N anormale. Allora N contiene se stesso come

oggetto, ma allora N deve essere normale, in quanto in N si trovano come

oggetti tutti gli insiemi normali, quindi N è normale, ancora una volta contro

l’ipotesi.

Quindi, N non può essere né normale, né anormale, il che è assurdo. L’as-

surdo proviene dall’aver considerato N come un insieme. La sua definizione

porta a un assurdo.

Altro concetto fondamentale è quello di operazione (binaria) intesa come

legge che associa a due elementi di un insieme un elemento ancora dell’in-

sieme, operazione godente di opportune proprietà, che sono gli assiomi di

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quella data struttura algebrica.

Una teoria algebrica è il complesso delle deduzioni logiche (o teoremi) da

quegli assiomi.

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Capitolo 1

La geometria analitica

La geometria, nel significato che a noi interessa, significa di fatto Geome-

tria analitica, ossia il metodo delle coordinate che consente di interpretare

algebricamente problemi geometrici, risolverli con i metodi dell’algebra e in-

terpretarli di nuovo geometricamente. La geometria classica fu introdotta

dai matematici greci la cui produzione scientifica culminò con gli Elementi

di Euclide, geometra di Alessandria d’Egitto del III secolo a.C..

Egli riassunse e organizzò con rigore logico per la prima volta nella storia

del pensiero umano nozioni acquisite ed elaborate dai geometri dei secoli

precedenti, al punto tale che gli argomenti trattati negli elementi di Euclide

costituiscono ancora oggi, sia pure presentati con un linguaggio piú moderno,

la parte fondamentale della cosiddetta geometria elementare, insegnata e

studiata nelle scuole di tutto il mondo.

Quasi contemporaneamente a Euclide, Apollonio e Archimede (intorno al

200 a.C.) si dedicarono il primo allo studio delle coniche, intese come sezioni

piane del cono rotondo, il secondo ai problemi della rettificazione della cir-

conferenza, dell’area del cerchio e del volume della sfera. Dopo l’epoca aurea

1


della geometria greca, riassunta dai tre grandi nomi di Euclide, Apollonio

e Archimede, la geometria subí una crisi dovuta da un lato all’insufficienza

dei metodi euclidei e dall’altro alla generale decadenza della cultura che si

protrasse per gran parte del medioevo.

Spetta agli arabi il merito di aver assimilato e diffuso il bagaglio di nozioni

della cultura matematica greca e non soltanto. Attraverso gli arabi la cul-

tura scientifica greca e orientale ritornò in Europa e anzi essa fu elaborata e

permise successivamente nuovi sviluppi. Come detto, primi importanti risul-

tati nuovi rispetto alla Matematica greca furono ottenuti in Italia a partire

dal 1500, dagli algebristi Cardano, milanese, Tartaglia, bresciano, Ferrari e

Bombelli, di Bologna, che si dedicarono alla risoluzione delle equazioni di ter-

zo e quarto grado. I risultati nell’algebra suggerirono l’idea di tradurre i prob-

lemi geometrici in problemi algebrici o analitici, tramite il calcolo letterale,

nel risolverli algebricamente, per poi risalire all’interpretazione geometrica

dei risultati ottenuti. Questo fa sí che i problemi possono essere trattati in

modo generale e uniforme superando le difficoltà della geometria euclidea,

nella quale ogni problema richiede una trattazione a sé. La geometria analit-

ica si sviluppò appunto con l’introduzione del metodo delle coordinate dovuto

a Cartesio e Fermat nel 1600 ed è lo strumento indispensabile per risolvere

un qualunque problema matematico sia teorico che applicativo.

Il metodo delle coordinate consiste nell’associare a ogni punto del piano

euclideo una coppia ordinata di numeri reali e conseguentemente di rap-

presentare mediante equazioni o sistemi di equazioni, rette, circonferenze,

coniche. Tale metodo si estende allo spazio tridimensionale, o spazio ordi-

nario, e agli spazi di dimensione superiore, o iperspazi.

In tempi piú recenti il metodo delle coordinate ha subito un’ulteriore gene-

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ralizzazione estendendo la rappresentazione analitica dei vari enti geometrici

mediante insiemi numerici, detti campi, nei quali sono possibili le quattro

operazioni fondamentali di somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

In particolare tali campi possono essere costituiti da un numero finito di

elementi (Campi di Galois). Prendendo le coordinate nei campi di Galois,

si origina la Geometria discreta, nella quale possono essere utilizzati oltre ai

metodi geometrici quelli dell’algebra e dell’aritmetica.


Capitolo 2

Coordinate cartesiane

Gli enti geometrici che qui considereremo, piú precisamente punto, retta,

piano e spazio, sono intesi nel senso della geometria euclidea classica

2.1 Ascisse sulla retta

Rette orientate

Una retta r, sia nel piano che nello spazio è una linea aperta, che si può

immaginare percorsa da un punto mobile su di essa in due versi opposti.

Una retta r si dice orientata se su di essa è fissato uno dei due versi come

positivo. Il verso opposto sarà detto negativo (Figura 2.1).

r A B C

Figura 2.1

4


Distanze orientate sopra una retta

Sia r una retta e u un’unità di misura per i segmenti, ad esempio il metro.

Dato un segmento A1A2 la sua misura è un numero reale positivo, che in-

dicheremo con A1A2, che dicesi lunghezza del segmento di estremi A1 e A2,

ovvero distanza dei due punti A1 e A2 e che è dato dal rapporto tra il seg-

mento A1A2 e il segmento unitario. Se r è orientata si parlerà di distanza

orientata, o con segno, tra i punti A1 e A2, che risulterà positiva o negativa

a seconda che il punto A2 segua o preceda il punto A1 nel verso fissato come

positivo su r, ovvero a seconda che il verso che porta da A1 a A2 sia con-

corde o discorde con il verso positivo su r. Indicheremo con A1A2 la distanza

orientata, che pertanto sarà un numero reale relativo.

Si avrà precisamente

A1A2 = A1A2 ovvero A1A2 = −A1A2.

Si ha

A1A2 = 0⇐⇒ A1 = A2,

A1A2 = A2A1 e A1A2 = −A2A1.

Inoltre si ha

A1A2 + A2C = A1C,

qualunque sia la posizione reciproca dei tre punti A1, A2, C sulla retta.

Se sulla retta r sono dati n punti qualsiasi A1, A2, . . . , An, si ha

A1A2 + A2A3 + . . .+ An−1An = A1An.



Ascisse sulla retta

Sulla retta r si scelgano un punto O detto origine e un punto U , distinto da

O, detto unitario. Tali due elementi costituiscono un riferimento cartesiano

R(O,U), o un sistema di ascisse cartesiane sulla retta. Piú precisamente,

in tal modo si viene a stabilire una biezione, o corrisponenza biunivoca, tra i

punti della retta e i numeri reali. Fissiamo come positivo il verso che porta da

O verso U . Per ogni punto P di r, si definisce ascissa di P , rispetto al riferi-

mento R(O,U), il numero reale x distanza orientata tra O e P , assumendo

come unità di misura la lunghezza del segmento OU.

Uso delle ascisse sopra la retta

Fissati sulla retta r un’origine O e un punto unitario U , siano A1 e A2 due

punti, rispettivamente di ascisse x1 e x2, che indicheremo con A1(x1) e A2(x2).

Si ha

x1 = OA1, x2 = OA2,

e quindi

A1A2 = x2 − x1, A1A2 = |x2 − x1| ,

dove |x2 − x1| indica il valore assoluto di x2 − x1, con

|x2 − x1| = ±(x2 − x1).

Punto medio di un segmento

Sia M il punto medio del segmento A1A2. Sarà allora:

A1M = MA2



Detta x l’ascissa di M , si ha:

x− x1 = x2 − x,

ossia:

x =x1 + x2

2.

Si può quindi enunciare:

• L’ascissa del punto medio di un segmento è data dalla semisomma delle

ascisse degli estremi del segmento.

Cambiamento di riferimento

Se passiamo dal riferimento R(O,U) al riferimento R′(O′, U ′), un qualsiasi

punto P di r avrà un’ascissa x rispetto al riferimento R(O,U) e un’ascissa

x′ rispetto al riferimento R′(O′, U ′) (Figura 2.2).

Si ha

rO O′U U ′ P

Figura 2.2

x =OP

OU, x′ =

O′P

O′U ′

e inoltre O′P = O′O +OP onde

x′ =O′O +OP

O′U ′=O′O

O′U ′+OP

OU

OU

O′U ′,

cioè

x′ = mx+ a, (2.1)



posto

m =OU

O′U ′, a =

O′O

O′U ′.

I due numeri reali m e a, rappresentano rispettivamente il rapporto tra le

due unità di misura e l’ascissa dell’origine O nel riferimento R′(O′, U ′). La

(2.1) si chiama formula di trasformazione delle coordinate da un riferimento

cartesiano a un altro.

Viceversa, ogni relazione del tipo della (2.1) si può interpretare come

formula di trasformazione delle ascisse passando da un riferimento a un altro.

Le (2.1) si invertono in

x = m′x′ + a′, (2.2)

con

m′ =1

m=O′U ′

OU, a′ = −a =

OO′

OU.

La (2.1) e la sua inversa (2.2) si possono interpretare in modo diverso come

ascisse di due punti qualora non si effettui un cambiamento di riferimento

e allora rappresentano una biezione di r in sé, che dicesi similitudine. Si

dimostra che esiste una e una sola similitudine nella quale a due punti distinti

A1 e A2 corrispondono due dati punti distinti A′

1 e A′

2. Infatti,

x′1 = mx1 + a,

x′2 = mx2 + a.

Risolvendo il sistema si ottiene

m =x′1 − x′2x1 − x2

, a =x1x

′

2 − x2x′

1

x1 − x2

.



2.2 Coordinate cartesiane nel piano

Il piano della geometria elementare è una superficie aperta avente due facce

opposte. Si orienta un piano fissando una delle due facce come positiva, di

solito quella rivolta verso l’osservatore.

Angolo di due semirette

Dato un piano, le semirette di esso uscenti da un suo punto O costituiscono

fascio di semirette di origine O, centro del fascio.

In un fascio si distinguono due distinti versi di rotazione attorno al punto

O. Se ne sceglie uno come positivo, il fascio si dice orientato. Fissato un

verso positivo di rotazione attorno a un punto O tale verso rimane fissato

in ogni altro punto del piano, in modo tale che si può parlare di verso di

rotazione positivo del piano. Di solito esso coincide con il verso antiorario,

ossia quello contrario al verso di rotazione delle lancette di un orologio.

La coppia ordinata di due semirette r ed s appartenenti a uno stesso

fascio orientato di centro O, determina un angolo orientato che si indicherà

con r̂s. Scelta un’unità di misura per gli angoli, per esempio il radiante (che

è la misura dell’angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza uguale al

raggio) si definisce come misura dell’angolo orientato r̂s, la misura dell’angolo

che una semiretta, inizialmente coincidente con r e ruotante intorno a O,

deve percorrere per sovrapporsi a s. Osserviamo che l’angolo r̂s è definito a

meno di multipli di 2π; infatti, la retta r si sovrappone una prima volta a s

dopo la rotazione di un certo angolo ϕ0 < 2π (vedi Figura 2.3), si ha cioè

r̂s = ϕ = ϕ0 + 2kπ, con k intero, positivo negativo o nullo.

Se si dicono congrui modulo 2π due angoli ϕ e ψ, i quali differiscono tra loro



per un multiplo intero di 2π e si esprime tale relazione scrivendo:

ϕ ≡ ψmod 2π,

si può anche dire che due misure qualsiasi dell’angolo r̂s sono congrue modulo

2π.

O

r

s

ϕ0

Figura 2.3

Angolo di due rette orientate

Siano −→r e −→s due rette orientate di un piano, che si incontrano in un punto

O. Indicheremo con ←−r ed ←−s le stesse due rette orientate in verso opposto.

Fissato un verso di rotazione positivo nel piano, l’angolo −̂→r −→s è l’angolo

formato dalla semiretta di −→s , che consta di tutti i punti che seguono O,

con la semiretta di −→r , valutato tenendo conto del verso di rotazione indotto

intorno a O dal verso positivo delle rotazioni del piano. Tenuta presente la



−→r

−→s←−r

←−s

ϕ4

ϕ1

ϕ2

ϕ3

Figura 2.4

Figura 2.4 (in cui l’angolo −̂→r −→s è indicato con ϕ1), si ha

ϕ1 = −̂→r −→s ,ϕ2 = −̂→r←−s ≡ (ϕ1 + π) mod 2π,

ϕ3 = ←̂−r −→s ≡ (ϕ1 + π) mod 2π,

ϕ4 = ←̂−r←−s ≡ ϕ1 mod 2π.

Detto ϕ uno qualunque degli angoli ϕi (i = 1, . . . , 4) si ha

sinϕ+ π = − sinϕ

cosϕ+ π = − cosϕ

tanϕ+ π = tanϕ

da cui segue che il seno e il coseno dell’angolo di due rette orientate cambiano

entrambi di segno o rimangono inalterati a seconda che si inverta il verso su

una o su entrambe le rette. Pertanto la tangente dell’angolo di due rette

orientate di un fascio orientato non muta se su una o entrambe di tali rette

si inverte il verso.



Angolo di due rette non orientate

Siano r e s due rette non orientate di un piano, che si incontrano in punto

O. I quattro angoli ϕi (i = 1, . . . , 4) della Figura 2.4 possono tutti essere

definiti come angolo delle due rette non orientate r e s.

Dal punto di vista trigonometrico

• se r e s sono due rette non orientate in un fascio orientato, il seno e

il coseno sono definiti a meno del segno, mentre la tangente è univoca-

mente determinata.

Piú precisamente, se cos r̂s = ±a e sin r̂s = ±b, si ha:

tan r̂s =b

a,

con a2 + b2 = 1.

2.3 Riferimenti cartesiani nel piano

Riferimenti cartesiani

Si fissino nel piano due rette x, y, intersecantisi in un punto O, e un punto

U non appartenente né a x né a y (vedi Figura 2.5).

Tali dati individuano nel piano un riferimento cartesiano R(O,U, x, y), nel

quale le rette x e y si dicono assi, il punto O si dice origine e il punto U si

dice punto unitario.

Si tracci dal punto U la parallela all’asse y (all’asse x), fino a incontrare

l’asse x (y) nel punto Ux (Uy) (vedi Figura 2.6). Si orienti l’asse x (y) fissando

come verso positivo su di esso quello che porta da O a Ux (Uy). Sull’asse x (y)



O x

y

U

Figura 2.5

O x

y

U

Figura 2.6

resta cosí definito il riferimento cartesianoR(O,Ux) (R′(O,Uy)). In sostanza,

per dare un riferimento cartesiano R(O,U, x, y), si scelgono i due assi x e y

orientati intersecantisi nell’origine O e le unità di misura OUx e OUy con le

quali misurare i segmenti sugli assi x e y rispettivamente.

Un riferimento cartesiano si dice monometrico o dimetrico a seconda che

le unità di misura per i due assi siano uguali o distinte. Si dice ortogonale o

obliquo a seconda che gli assi siano tra loro ortogonali o meno.

D’ora in poi, salvo contrario avviso, utilizzeremo riferimenti ortogonali

monometrici.



Coordinate di un punto

Si fissi in un piano un riferimento cartesiano R(O,U, x, y). Sia P un punto

qualunque del piano. Si tracci da P la parallela all’asse y (x), fino a incontrare

l’asse x (y) nel punto Px (Py).

Si chiama ascissa (ordinata) del punto P il numero reale x (y) dato dalla

lunghezza del segmento OPx (OPy) assumendo OUx (OUy) come unità di

misura. I due numeri reali x e y si chiamano coordinate di P e si scriverà

O x

y

U

Ux

Uy

Px

Py P (x, y)

Figura 2.7

P (x, y).

Viceversa, fissata una coppia ordinata di numeri reali (x, y), rimane uni-

vocamente determinato il punto P del piano che le ammette come coordinate,

ossia il riferimento cartesiano dato stabilisce una biezione tra i punti del pia-

no e le coppie ordinate di numeri reali. Si dice quindi che il piano euclideo

reale P2,R è un ente geometrico a due dimensioni.

Pertanto possiamo dire che un punto è una coppia ordinata di numeri

reali.

Se supponiamo che le due coordinate x e y anziché variare nell’insieme



dei numeri reali R, appartengano all’insieme dei numeri complessi C, avremo

il piano complesso P2,C.

Piú in generale, possiamo supporre che le coordinate di un punto del

piano varino in un qualsiasi corpo K.

Ricordiamo che si definisce corpo una terna (K,+, ·) in cui sono definite due

operazioni binarie, +, ·, dette rispettivamente prodotto e somma, tale che

siano soddisfatti gli assiomi seguenti.

∀x, y ∈ K, x+ y = y + x ∈ K

∃0 ∈ K : x+ 0 = x,

∀x ∈ K ∃ − x ∈ K : x+ (−x) = 0

∀x, y, z ∈ K, x+ (y + z) = (x+ y) + z

∀x, y ∈ K, x · y ∈ K

∃1 6= 0 ∈ K : x · 1 = 1 · x = x

∀x, y, z ∈ K, x · (yz) = (xy) · z

∀x ∈ K\ {0} ∃x−1 ∈ K : x · x−1 = x−1 · x = 1

∀x, y, z ∈ K, x · (y + z) = (x · y) + (x · z).

∀x, y, z ∈ K, (y + z) · x = (y · x) + (z · x).

I primi quattro assiomi definiscono la coppia (K,+) come gruppo abeliano (o

commutativo) denotato additivamente.

In defintiva un corpo K è un insieme tale che in esso si possono effettuare

le quattro operazioni elementari, addizione sottrazione, moltiplicazione e di-

visione.

Un corpo in cui il prodotto è commutativo si dice campo.



Osserviamo che l’insieme (R,+,×) dei numeri reali è un campo rispetto alle

ordinarie operazioni di somma e di moltiplicazione.

Anche l’insieme dei numeri complessi (C,+,×) è un campo.

Nel caso in cui le coordinate di un punto varino in un corpo K si ha un piano

costruito sul corpo K o a coordinate in K, denotato P2,K.

È chiaro che le proprietà algebriche del corpo K si rifletteranno sulle

proprietà geometriche di P2,K, e viceversa.

Equazione di una retta

Siano P1(x1, y1) e P2(x2, y2) due punti distinti del piano. Vogliamo deter-

minare le coordinate del punto P (x, y) variabile sulla retta r = P1P2.

Per il Teorema di Talete, se r non è parallela a nessuno degli assi, si ha

(vedi Figura 2.8):

P1P

P2P=A1A

A2A= k, (2.3)

con k ∈ R. Tenuto conto della definizione di coordinate di un punto si ha

x− x1

x− x2

=y − y1

y − y2

= k.

Da queste si ricava

x =x1 − kx2

1− k , y =y1 − ky2

1− k .

Se r è parallela all’asse y (x), si ha ovviamente x1 = x2 (y1 = y2) e quindi

tutti i punti di r hanno la stessa ascissa (ordinata) dei punti P1 e P2 onde il

punto P di r ha in tal caso un’ascissa (ordinata)

x = x1 = x2 (y = y1 = y2).



O x

y

B1

A1

P1

B2

A2

P2

P

A

B

r

Figura 2.8

Per il punto P (x, y) della retta r = P1P2 vale allora la relazione

x− x1

x− x2

=y − y1

y − y2

ossia

x(y1 − y2)− y(x1 − x2) = x2y1 − x1y2. (2.4)

La (2.4) è soddisfatta da tutti e soli i punti della retta P1P2 e pertanto

si chiama l’equazione della retta r = P1P2. Se la retta r è parallela all’asse y

(x), essa ha equazione x = x1 (y = y1).

Posto

a = y1 − y2, b = −(x1 − x2), c = x2y1 − x1y2, (2.5)

la (2.4) è della forma

ax+ by + c = 0, (2.6)



con a e b non contemporaneamente nulli, perché i punti P1 e P2 sono distinti.

Essa è un’equazione lineare, cioè di primo grado, nelle due variabili x e

y.

Viceversa, ogni equazione lineare in x e y rappresenta l’equazione di una

retta per i due punti

P1

(− ca− b, a

), P2

( ca, 0

),

qualora sia a diverso da zero. Infatti, posto

x1 = − ca− b, y1 = a, x2 =

c

a, y2 = 0,

sono soddisfatte le (2.5). Se invece a = 0, sarà b 6= 0 e allora la (2.6) è

l’equazione della retta per i due punti

P1(−b,−c

b), P2(0,−

c

b).

Si può quindi affermare che

• ogni equazione lineare in x e y, nella quale i coefficienti di x e y siano

entrambi non nulli, rappresenta l’equazione di una retta.

Se una retta è rappresentata dalla (2.6), la stessa retta, ossia lo stesso

luogo o insieme di punti, è rappresentata da tutte le equazioni della forma

λax+ λby + λc = 0.

Si può perciò affermare che le rette del piano dipendono da tre parametri

omogenei (cioè definiti a meno di un comune fattore di proporzionalità non

nullo), a, b e c, con a e b non simultaneamente nulli, ovvero da due parametri

essenziali.



Forme notevoli dell’equazione di una retta

Osserviamo che le rette di equazione

ax+ by = 0

sono tutte e sole quelle passanti per l’origine delle coordinate, le rette di

equazione

by + c = 0

sono tutte e sole le rette parallele all’asse x, le rette di equazione

ax+ c = 0

sono tutte e sole le rette parallele all’asse y.

Se la retta r di equazione ax + by + c = 0 non è parallela all’asse y, è

b 6= 0 e l’equazione di r può scrivere nella forma

y = mx+ q,

posto

m = −ab, q = −c

b.

Forma segmentaria dell’equazione della retta

Se r non passa per l’origine e non è parallela agli assi si ha

a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0

e l’equazione della retta può scriversi nella forma

x

p+y

q= 1, (2.7)



posto

p = − ca, q = −c

b.

La (2.7) si chiama equazione segmentaria di r perché i numeri p e q rappre-

sentano le misure dei segmenti staccati dalla retta rispettivamente sugli assi

x e y. Ciò equivale a dire che la retta r passa per i punti

(p, 0), (0, q).

Retta per due punti

Siano P1(x1, y1) e P2(x2, y2) due punti distinti. La retta per essi deve essere

tale che siano soddisfatte le due condizioni

ax1 + by1 + c = 0,

ax2 + by2 + c = 0.(2.8)

La (2.8) è un sistema di due equazioni lineari omogenee nelle tre incog-

nite a, b, c, dal quale a, b, c vengono determinate a meno di un fattore di

proporzionalità.

Dalle (2.5) si ha che l’equazione della retta assume la forma

(y1 − y2)x− (x1 − x2) y + (x1y2 − x2y1) = 0. (2.9)

La (2.9) si può anche scrivere nella forma∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y 1

x1 y1 1

x2 y2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0, (2.10)



come si ha sviluppando il determinante secondo gli elementi della prima riga.

Infine, se x1 e y1 sono distinti rispettivamente da x2 e y2, l’equazione della

retta P1P2 si può scrivere nella forma

x− x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

. (2.11)

La (2.11) si chiama anche equazione della retta in forma di rapporti uguali.

Posto

x− x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

= t,

per il punto variabile sulla retta P1P2, si ha

x = x1 + t(x2 − x1),

y = y1 + t(y2 − y1).(2.12)

La (2.11), posto

l1 = x2 − x1, l2 = y2 − y1,

si scrive:

x− x1

l1=y − y1

l2.

I due numeri l1, l2 si dicono parametri direttori della retta

l2(x− x1) = l1(y − y1).

Dalla (2.12), si ha

x = x1 + l1t,

y = y1 + l2t.(2.13)



Le (2.12) e le (2.13) si sicono equazioni parametriche di una retta e da

esse risulta che i punti di una retta dipendono da un parametro.

La (2.10) dà automaticamente la condizione di allineamento di tre punti

P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3), data da∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 y1 1

x2 y2 1

x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.

Punto di intersezione e condizione di parallelismo di due rette

Siano date due rette r ed s, le cui equazioni rispettive siano ax+ by + c = 0

e a′x + b′y + c′ = 0. Determinare il punto di intersezione delle due rette

equivale a risolvere il sistema

ax+ by + c = 0,

a′x+ b′y + c′ = 0.(2.14)

Viceversa, il problema algebrico di risolvere il sistema (2.14) nelle incog-

nite x e y, si può interpretare geometricamente come il problema di deter-

minare il punto comune a due rette. Se e soltanto se il determinante dei

coefficienti ab′ − a′b è non nullo, il sistema (2.14) ammette una e una sola

coppia di soluzioni data da

x =bc′ − b′cab′ − a′b, y =

a′c− ac′ab′ − a′b ,

e il sistema si dice determinato.

Se è

ab′ − a′b = a′c− ac′ = bc′ − b′c = 0



ciò equivale alle condizioni

a

a′=b

b′=c

c′

e quindi le due rette r e s coincidono e il sistema (2.14) è indeterminato. Se

è ab′ − a′b = 0, e a′c − ac′ e bc′ − b′c non sono contemporaneanente nulli, il

sistema (2.14) è impossibile, cioè le due rette sono parallele e distinte.

Quindi, per il sistema (2.14) i tre casi: determinato, indeterminato, im-

possibile, corrispondono dal punto di vista geometrico al fatto che le due

rette siano incidenti, coincidenti o parallele e distinte.

Poiché la coincidenza di due rette si considera come caso particolare del

parallelismo, si può affermare che

• Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano parallele è

che sia ab′ − a′b = 0, cioèa

a′=b

b′.

Pertanto se e soltanto se due rette sono parallele, le loro equazioni dif-

feriscono per il solo termine noto.

Retta per un punto parallela a una retta data

La retta parallela alla retta r : ax + by + c = 0 e passante per il punto

P0(x0, y0), ha equazione

a(x− x0) + b(y − y0) = 0. (2.15)

Infatti, la retta (2.15) passa per il punto P0(x0, y0) ed è parallela alla retta r.



Fascio di rette

Dicesi fascio di rette la totalità delle rette del piano passanti per un punto,

ovvero parallele a una retta data.

Nel primo caso il fascio si dice proprio e il punto comune a tutte le rette

del fascio si dice centro del fascio. Nel secondo caso il fascio si dice improprio

e si dice che le rette hanno tutte la stessa direzione.

Si osservi ora che due rette distinte r ed s individuano un fascio di rette,

a cui esse appartengono. Se infatti r ed s sono incidenti, il fascio da esse

individuato è il fascio delle rette passanti per il loro punto di intersezione e

a tale fascio appartengono r ed s. Se invece r ed s sono parallele, il fascio

da esse individuato è il fascio di tutte le rette parallele a r (e a s), al quale

appartengono anche r ed s.

Si supponga che le due equazioni (2.14) siano rispettivamente le equazioni

di r ed s. Allora tutte e sole le rette del fascio hanno equazione

λ(ax+ by + c) + µ(a′x+ b′y + c′) = 0, (2.16)

con λ e µ non ambedue nulli.

Diremo che l’equazione del fascio individuato da r ed s è data dalla com-

binazione lineare, con i parametri omogenei λ e µ, delle equazioni di r ed

s.

Infatti se il fascio individuato da r ed s è proprio, le coordinate del punto

P = r ∩ s, soddisfano a entrambe le equazioni (2.14) e, quindi, alla (2.16),

qualunque siano λ e µ. Se il fascio è improprio, sarà

ab′ − a′b = 0, (2.17)

ma allora ogni retta della forma (2.16) è parallela a r, perché dalla (2.17)



segue

a(λb+ µb′)− (λa+ µa′)b = 0,

qualunque siano λ e µ. Pertanto, ogni retta del tipo (2.16) appartiene al

fascio individuato da r ed s.

Viceversa, se t è una retta del fascio individuato da r ed s, essa si può

sempre scrivere nella forma (2.16). Infatti, se P0(x0, y0) è un punto di t

distinto da P = r ∩ s, se il fascio è proprio, vi è una e una sola retta del

tipo (2.16) che passa per P0. Infatti, imponendo alla (2.16) il passaggio per

il punto P0, si ottiene l’equazione

λ(ax0 + by0 + c) + µ(a′x0 + b′y0 + c′) = 0, (2.18)

che è un’equazione di primo grado, nel rapporto λµ

o µ

λ. Pertanto la (2.18)

determina λ e µ a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. Rimane

cosí individuata una retta del tipo (2.16) che coincide con t, avendo con essa

in comune i due punti distinti P e P0, se il fascio è proprio, ed essendo la

parallela a r per P0, se il fascio è improprio.

Pertanto le rette di un fascio dipendono da due parametri omogenei,

ovvero da un parametro essenziale (il rapporto λµ

o µ

λ).

2.4 Esercizi

Esercizio 2.1. Scrivere l’equazione della retta congiungente i punti P1(2, 3)

e P2(5,−2).

Soluzione n. 1. L’equazione di una retta congiungente due punti P1(x1, y1),



P2(x2, y2) è

x− x1

x2 − x1

=y − y1

y2 − y1

.

Con semplici calcoli, si ottine l’equazione

5x+ 3y − 19 = 0. (2.19)

Si può verificare che i punti dati appartengano all’equazione sostituendo

i valori delle loro coordinate al posto di x e y. Si ha per P1 e P2,

rispettivamente:

5 · 2 + 3 · 3− 19 = 0, 5 · 5− 3 · 2− 19 = 0.

Soluzione n. 2 L’equazione della retta cercata è del tipo

ax+ by + c = 0. (2.20)

Affinché il punto P1 appartenga alla retta (2.20), le sue coordinate

devono soddisfare all’equazione della retta stessa. Allora, deve essere

2a+ 3b+ c = 0.

Procedendo analogamente per P2 si ha:

5a− 2b+ c = 0.

In definitiva si ha il sistema

2a+ 3b+ c = 0,

5a− 2b+ c = 0.

Si tratta di un sistema di due equazioni lineari in tre incognite, pertanto

i valori delle incognite non possono essere univocamente determinati.



D’altronde, ciò è ovvio se si pensa che una retta determina i coefficienti

della sua equazione a meno di un coefficiente di proporzionalità non

nullo. Ne segue, quindi, che a uno dei coefficienti può essere dato

un valore arbitrario non nullo. Posto, per esempio, c = 1, il sistema

diviene:

2a+ 3b = −1,

5a− 2b = −1.

Si trova:

a = − 5

19, b = − 3

19, c = 1

e, quindi, l’equazione

− 5

19x− 3

19x+ 1 = 0. (2.21)

Moltiplicando la (2.21) per 19 essa si riduce alla (2.19).

Esercizio 2.2. Verificare che i tre punti P1(2, 3), P2(3,−5), P3(4,1

2) non

sono allineati.

Soluzione n. 1 Il problema può essere risolto determinando l’equazione del-

la retta, ad esempio, per i punti P1 e P2, e quindi verificando che le

coordinate di P3 non soddisfano all’equazione trovata.

Soluzione n. 2 Il problema può essere facilmente risolto verificando che i

tre punti non soddisfino alla condizione di allineamento di tre punti,

cioè verificando che non è nullo il determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 1

3 −5 1

4 1

21

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.



Sviluppando il determinante si ha che esso vale 27

2, per cui i tre punti

non sono allineati.

Esercizio 2.3. Determinare il punto di intersezione delle due rette di equazioni

2x+ 3y − 13 = 0, 5x+ 7y − 31 = 0.

Soluzione. Determinare il punto di intersezione delle due rette equivale a

determinare la coppia di numeri x, y soddifacenti al sistema:

2x+ 3y − 13 = 0,

5x+ 7y − 31 = 0.

Tale coppia esiste certamente ed è univocamente determinata (se le due

rette sono non parallele e non coincidenti). Ciò equivale, dal punto di

vista analitico a che il determinante dei coefficienti sia non nullo.

Risolviamo il sistema con il metodo di Cramer. Si ha:

x =

∣∣∣∣∣∣

13 3

31 7

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3

5 7

∣∣∣∣∣∣

= 2, y =

∣∣∣∣∣∣

2 13

5 31

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3

5 7

∣∣∣∣∣∣

= 3.

Il punto (2, 3) è il punto di intersezione delle due rette date. Come

verifica del risultato, si può provare che sostituendo al posto di x e y

rispettivamente 2 e 3, nelle equazioni delle rette date, si ottengono due

identità.

Esercizio 2.4. Detto P il punto di intersezione delle rette

r : 2x+ y − 17 = 0,

s : 3x− 7y + 34 = 0,



scrivere l’equazione della retta passante per P e

a) parallela all’asse x o all’asse y (Sol.: y − 7 = 0, x− 5 = 0);

b) passante per il punto Q(2, 3) (Sol.: 4x− 3y + 1 = 0);

c) passante per il punto M(3, 11) (Sol.: 2x+ y − 17 = 0);

d) staccante il segmento −5 sull’asse x (Sol.: 7x− 10y + 35 = 0);

e) staccante sugli assi x e y rispettivamente due segmenti che stanno fra

loro come 6 : 7 (Sol.: 7x+ 6y − 77 = 0).

Soluzione. a) Si calcolino le coordinate del punto di intersezione delle

due rette, come nell’esercizio precedente. Si trova che il punto

ha coordinate (5, 7). Le infinite rette per P hanno equazione

del tipo:

a(x− 5) + b(y − 7) = 0.

Una retta parallela all’asse x ha equazione del tipo y = k, con

k costante. Se tale retta deve passare per P (5, 7) deve essere

k = 7.

L’equazione della retta per il punto P parallela all’asse x ha

dunque equazione:

y = 7.

Analogamente nel secondo caso.

Il problema proposto può essere risolto senza calcolare pre-

liminarmente le coordinate del punto P. Il fascio di rette di



centro P ha equazione:

λ(2x+ y − 17) + µ(3x− 7y + 34) = 0.

Dividendo per µ e posto λ/µ = k, si può scrivere l’equazione

del fascio in forma non omogenea:

3x− 7y + 34 + k(2x+ y − 17) = 0.

Si deve ora determinare k soddisfacente alla condizione im-

posta. Se la retta del fascio deve essere parallela all’asse x,

deve essere nullo il coefficiente della x, cioè deve aversi:

3 + 2k = 0 =⇒ k = −3

2.

Sostituendo nell’equazione del fascio, si ottiene:

−17

2y +

119

2= 0,

ossia, molptiplicando per − 2

17:

y − 7 = 0.

b) Se la retta del fascio

λ(2x+ y − 17) + µ(3x− 7y + 34) = 0

deve passare per il punto Q(2, 3), ponendo

x = 2, y = 3,

nell’equazione del fascio, si ottiene

4x− 3y + 1 = 0.



c) Operando come nell’esercizio precedente si ottiene l’assurdo:

−34 = 0.

Il presentarsi dell’equazione assurda è conseguenza dell’aver

scritto l’equazione del fascio in forma non omogenea, cioè

dell’aver posto

k =λ

µ.

Tale posizione è possibile solo per µ = 0, per cui l’equazione

del fascio in forma non omogenea non rappresenta tutte le

rette del fascio, ma solo quelle per cui µ 6= 0. Se si pone µ = 0

in

λ(2x+ y − 17) + µ(3x− 7y + 34) = 0,

si ottiene la retta

2x+ y − 17 = 0,

che è la retta cercata, come si può ad esempio dimostrare

partendo dalla generica equazione per il punto P :

a(x− 5) + b(y − 7) = 0

e ivi sostituendo le coordinate di M.

Se invece si fosse partiti dall’equazione omogenea del fascio

λ(2x+ y − 17) + µ(3x− 7y + 34) = 0,

sostituendo in essa x = 3 e y = 11, si sarebbe ottenuto

−34µ = 0 =⇒ µ = 0,



che sostituito nell’equazone omogenea del fascio, avrebbe da-

to:

2x+ y − 17 = 0,

in accordo con quanto per altre vie trovato.


Capitolo 3

Nozioni metriche

Le nozioni metriche sono quelle coinvolgenti i concetti di distanza di due

punti, angolo di due rette, aree di figure piane, nozioni legate al concetto di

misura. Nel seguito supporremo di usare riferimenti cartesiani ortogonali e

monometrici. Il piano sarà orientato positivamente verso l’osservatore e il

verso positivo delle rotazioni nel piano sarà quello antiorario. Ogni fascio

proprio di rette del piano risulterà allora automaticamente orientato.

3.1 Distanza di due punti

Dati due punti P1(x1, y1) e P2(x2, y2) (vedi Figura 3.1), si tracci da P1 la

parallela all’asse x fino a incontrare in P ′ la perpendicolare all’asse x da P2.

Essendo gli assi ortogonali, la retta P2P′ è parallela all’asse y. Ne segue che la

lunghezza del segmento P2P ′ è misurata dalla differenza delle ordinate di P2

e P1, ossia da |y2 − y1|. Similmente, si ha P1P′ = |x2 − x1|. Per Il Teorema

di Pitagora, applicato al triangolo P1P′P2, rettangolo in P ′, si ha

P1P2

2= P1P ′

2+ P ′P2

2,

33


O x

y

P1

P2

P ′

Figura 3.1

ossia

P1P2 =√

(x2 − x1)2 − (y2 − y1)2.

Pertanto

• la distanza di due punti in un riferimento cartesiano ortogonale e mono-

metrico è data dalla radice quadrata positiva della somma dei quadrati

delle differenze delle coordinate omonime dei due punti.

3.2 Coseni direttori

Sia −→r una retta orientata,←−r la stessa retta orientata in verso opposto. Siano−→x e −→y gli assi x e y, orientati positivamente. Le due quantità cos −̂→x−→r e

cos −̂→y −→r si chiamano coseni direttori della retta orientata −→r .

Se si inverte il verso fissato come positivo sulla retta −→r , si ha

cos −̂→x←−r = − cos −̂→x−→r ,

cos −̂→y←−r = − cos −̂→y −→r ,



O −→x

−→y−→r

Figura 3.2

sicché si ha che:

• Cambiando il verso su −→r i suoi coseni direttori cambiano simultanea-

mente di segno.

Quindi se la retta r è non orientata, i suoi coseni direttori sono determinati

a meno di un simultaneo cambiamento di segno.

Tra i coseni direttori di una retta −→r , vale la relazione:

cos2 −̂→x−→r + cos 2̂−→y −→r = 1.

Infatti, supposto −→r passante per l’origine, si ha

sin −̂→x−→r = sin(π

2− −̂→r −→y

)= cos −̂→r −→y = cos −̂→y −→r , (3.1)

onde

cos2 −̂→x−→r + cos 2̂−→y −→r = cos2 −̂→x−→r + sin2 −̂→x−→r = 1.



3.3 Equazione normale di una retta orientata

Come si è visto, la (2.6) è l’equazione di una retta. Vogliamo ora determinare

l’equazione di una retta orientata.

Sia −→r una retta orientata; orientiamo la normale alla retta −→r in modo

che sia −̂→n−→r = π2, ossia orientata in modo tale che la coppia −→n−→r sia sovrap-

ponibile in direzione e verso alla coppia −→x−→n . Per un punto P (x, y) (vedi

O −→x

−→y

−→r

H

K

Px

PyP (x, y)

−→n

−→y′

Figura 3.3

Figura 3.3) della retta −→r si ha, con le notazioni in figura:

OK = OH +HK

e

OH = x cos −̂→x−→n , HK = y sin −̂→x−→n = y cos −̂→y −→n .

Quindi, posto OK = p (distanza di O da r, valutata sulla normale orientata



nel modo anzidetto), si ha:

x cos −̂→x−→n + y cos −̂→y −→n = p. (3.2)

La precedente equazione è detta equazione normale della retta orientata −→r ,in quanto i coefficienti della x e della y sono, rispettivamente, i coseni direttori

della normale alla retta −→r orientata in modo tale che sia −̂→n−→r = π2.

Se la (3.2) e la (2.6) rappresentano la stessa retta, deve esistere un numero

ρ non nullo tale che:

cos −̂→x−→n = ρa, cos −̂→y −→n = ρb, p = −ρc, (3.3)

per cui, si ha

ρ2(a2 + b2

)= 1 =⇒ ρ =

1√a2 + b2

. (3.4)

Da (3.3) e (3.4), risulta:

cos −̂→x−→n = ± a√a2 + b2

,

cos −̂→y −→n = ± b√a2 + b2

,

p = ∓ c√a2 + b2

.

La doppia scelta dei segni (tutti i superiori o tutti gli inferiori) corrisponde

alle due possibili orientazioni della retta.

Possiamo quindi concludere che

• I coefficienti a e b dell’equazione ax+ by+ c = 0 di una retta sono pro-

porzionali ai coseni direttori della normale alla retta data e tali coseni

direttori valgono

cos −̂→x−→n = ± a√a2 + b2

, cos −̂→y −→n = ± b√a2 + b2

, (3.5)



dove sono da prendere simultaneamente i segni superiori o quelli infe-

riori.

3.4 Espressione dei coseni direttori di una retta

orientata in funzione di a, b, c

Se −→r è una retta orientata ed −→n è la normale alla −→r per O, orientata in

modo che la coppia −→n−→r sia sovrapponibile alla coppia −→x−→y , dalla Figura

3.4 risulta subito la relazione

O −→x

−→y

−→r

−→n

Figura 3.4

−̂→x−→r +3

2π ≡ −̂→x−→n mod 2π,

dalla quale si ricava:

sin

(−̂→x−→r +

3

2π

)= sin −̂→x−→n , cos

(−̂→x−→r +

3

2π

)= cos −̂→x−→n .



Tenendo presente le formule

sin(α+ β) = sinα cos β + cosα sin β

cos(α+ β) = cosα cos β − sinα sin β

e che

sin3

2π = −1, cos

3

2π = 0,

si trova:

− cos −̂→x−→r = sin −̂→x−→n , sin −̂→x−→r = cos −̂→x−→n . (3.6)

Ma, per la (3.1) è

sin −̂→x−→r = cos −̂→y −→r , sin −̂→x−→r = cos −̂→y −→n ,

sicché le (3.6) divengono:

cos −̂→x−→r = − cos −̂→y −→n , cos −̂→y −→r = cos −̂→x−→n . (3.7)

Tenute presenti le (2.6), le (3.7) divengono:

cos −̂→x−→r = ∓ b√a2 + b2

, cos −̂→y −→r = ± a√a2 + b2

, (3.8)

dove sono da prendere simultaneamente i segni superiori o inferiori.

In conclusione:

• I coseni direttori di una retta di equazione ax + by + c = 0 sono pro-

porzionali ai numeri −b, a e sono dati dalle formule (3.8), dove sono

da prendere simultaneamente i segni superiori o inferiori. Rimane de-

terminata una scelta dei segni ogni volta che alla retta si attribuisce un

deteminato verso come positivo.

Tale risultato conferma quanto già detto e cioè che per una retta non

orientata i due coseni direttori sono determinati a meno di un simultaneo

cambiamento di segno.



3.5 Coefficiente angolare di una retta

Dividendo la seconda delle (3.8) per la prima, tenuto conto che si ha sin −̂→x−→r =

cos −̂→y −→r , si ricava:

sin −̂→x−→rcos −̂→x−→r

= tan −̂→x−→r = −ab, (3.9)

sia prendendo insieme i segni superiori che i segni inferiori nelle (3.8).

Ciò è conforme a quanto già stabilito e cioè che la tangente dell’angolo di

due rette è univocamente definita, indipendentemente dai versi fissati come

positivi sulle due rette.

Il quoziente

m = −ab

si dice coefficiente direttivo o angolare della retta r e rappresenta la tangente

trigonometrica dell’angolo formato dalla retta con l’asse x.

È evidente, inoltre, che due rette parallele hanno lo stesso coefficiente

angolare.

È bene osservare inoltre che la divisione in (3.9) è eseguibile solo se b 6= 0,

cioè solo se la retta non è parallela all’asse y. Si può dire che una retta

parallela all’asse y ha coefficiente angolare infinito.

Ricordando che l’equazione di una retta (non parallela all’asse y) è della

forma y = mx+q, si osserva che la retta per un punto P0(x0, y0) di coefficiente

angolare m ha equazione

y − y0 = m(x− x0).



3.6 Distanza di un punto da una retta

Sia −→r una retta orientata di equazione normale

x cos −̂→x−→n + y cos −̂→y −→n = p,

essendo −→n la normale per O alla retta −→r , orientata in modo che la coppia

di rette ortogonali formata dalla normale −→n orientata positivamente e dalla

retta −→r sia sovrapponibile alla coppia −→x −→y . Con le notazioni della Figura

O

H

KP0(x0, y0)

x

y−→r −→n

Figura 3.5

3.5 si avrà allora in valore e segno (vedi §3.3):

p = OK.

L’equazione della retta parallela alla retta −→r passante per il punto P0(x0, y0)

e con verso concorde alla retta −→r , ha equazione:

x cos −̂→x−→n + y cos −̂→y −→n = p0,

dove p0 deve essere tale che l’equazione sia soddisfatta per x = x0, y = y0. Si

ha dunque:

p0 = x0 cos −̂→x−→n + y0 cos −̂→y −→n ,



e, inoltre, p0 = OH. Ma

OH +HK = OK,

ossia

HK = p− p0 = p− x0 cos −̂→x−→n − y0 cos −̂→y −→n .

La misura δ del segmento HK dà la misura della distanza orientata del

punto p0 dalla retta −→r .Tenuto conto delle espressioni dei coseni direttori di una retta e che

p = ∓ c√a2 + b2

,

si ottiene:

δ = ∓ax0 + by0 + c√a2 + b2

.

Se interessa conoscere soltanto il valore assoluto della distanza δ, si ha la

formula:

|δ| =∣∣∣∣ax0 + by0 + c√

a2 + b2

∣∣∣∣ .

3.7 Angolo di due rette

Siano −→r ,−→r′ due rette orientate e siano −→n ,−→n′ le loro rispettive normali (con-

dotte per fissare le idee, dal punto di intersezione delle due rette) orientate

come nel Paragrafo 3.3. Ovviamente, l’angolo −̂→r −→r′ uguaglia l’angolo −̂→n−→n′ .

Dalla Figura 3.6 segue subito:

−̂→n−→n′ ≡ −̂→x

−→n′ − −̂→x−→n mod 2π.



O −→x

−→y −→r

−→n−→r′

−→n′

Figura 3.6

Sarà anche:

−̂→r−→r′ = −̂→x

−→n′ − −̂→x−→n ,

da cui:

sin −̂→r −→r′ = sin −̂→x−→n′ cos −̂→x−→n − cos −̂→x−→n′ sin −̂→x−→n ,

cos −̂→r −→r′ = cos −̂→x−→n′ cos −̂→x−→n + sin −̂→x−→n′ sin −̂→x−→n .(3.10)

Le equazioni delle due rette, −→r e−→r′ , siano rispettivamente:

ax+ by + c = 0, a′x+ b′y + c′ = 0. (3.11)

Per le (3.5) e (3.1) si ha:

cos −̂→x−→n = ± a√a2 + b2

, sin −̂→x−→n = ± b√a2 + b2

,

cos −̂→x−→n′ = ± a′√a′2 + b′2

, sin −̂→x−→n′ = ± b′√a′2 + b′2

,(3.12)



ossia, sostituendo nella (3.10):

sin −̂→r−→r′ = ± ab′ − a′b√

a2 + b2√a′2 + b′2

, (3.13)

cos −̂→r−→r′ = ± aa′ + bb′√

a2 + b2√a′2 + b′2

, (3.14)

dove valgono simultaneamente i segni superiori o inferiori.

Se le due rette −→r e−→r′ , considerate come non orientate, sono parallele o

coincidenti, si ha −̂→r −→r′ ≡ 0 mod 2π, ovvero −̂→r −→r′ ≡ πmod 2π; e inversamente.

In entrambi i casi deve essere sin −̂→r −→r′ = 0, ossia, per la (3.13):

ab′ − a′b = 0.

Si ritrova così la condizione per il parallelismo di due rette.

3.8 Condizione di perpendicolarità di due rette

Supponiamo che le due rette −→r e−→r′ , considerate come non orientate, siano

tra loro perpendicolari. Sarà allora −̂→r −→r′ ≡ π2

mod 2π, ovvero −̂→r −→r′ ≡ 3π2

mod 2π.

Inversamente se è soddisfatta una delle due precedenti congruenze, le due

rette sono tra loro perpendicolari.

Se sono soddisfatte le due congruenze, si ha cos −̂→r −→r′ = 0, onde da (3.14)

segue aa′ + bb′ = 0.

Vale quindi il risultato seguente.

• Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette, di equazioni rispet-

tive

ax+ by + c = 0, a′x+ b′y + c′ = 0,



siano tra loro perpendicolari, è che sia

aa′ + bb′ = 0. (3.15)

Se, data una retta di equazione ax+ by + c = 0, si vogliono determinare

i coefficienti a′ e b′ dell’equazione di una qualunque retta perpendicolare a

una retta data (il termine noto c′ rimane arbitrario, perché tutte le perpen-

dicolari sono parallele tra loro), si può porre b′ = a, dato che i coefficien-

ti dell’equazione da trovare sono determinati a meno di un coefficiente di

proporzionalità non nullo, dopo di che si avrà:

a′ = b.

L’equazione della retta cercata ha quindi la forma:

bx− ay + c′ = 0, (3.16)

con c′ arbitrario.

Ricordando l’espressione del coefficiente angolare di una retta, dalla (3.15)

si ottiene (se m ed m′ sono i coefficienti angolari di due rette date) che la

condizione di perpendicolarità di due rette può scriversi:

mm′ + 1 = 0,

cioè:

• Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano perpendico-

lari è che il prodotto dei loro coefficienti angolari valga −1.

Se, in particolare, si vuole determinare la perpendicolare alla retta ax +

by + c = 0 per il punto P0(x0, y0), imponendo che il punto appartenga alla



retta (3.16), si ha:

bx0 − ay0 + c′ = 0,

dalla quale, ricavando e sostituendo c′ nella (3.16), si ha l’equazione:

b(x− x0)− a(y − y0) = 0.

3.9 Esercizi

Esercizio 3.1. Orientare la retta r di equazione x + 2y + 1 = 0 in modo

che essa formi l’asse orientato delle x un angolo minore di 180◦

. Scrivere

l’equazione normale della retta.

Soluzione. Tenuta presente l’equazione segmentaria di una retta, si vede che

la retta data stacca sugli assi x e y i segmenti di lunghezze rispettive −1

e −1

2. Dalla figura si vede che la retta r forma con la direzione positiva

ϕ2

ϕ1

−1−1/2

x

y

r

Figura 3.7



dell’asse x due angoli (< 2π), ϕ1 < π e ϕ2 = ϕ1 + π > π. L’angolo−̂→x−→r deve quindi essere l’angolo ϕ1 e l’orientamento della retta quello

indicato in figura. Ricordiamo che i coseni direttori di una retta di

equazione ax+ by + c = 0 sono dati da

cos −̂→x−→r = ∓ b√a2 + b2

, cos −̂→y −→r = ± a√a2 + b2

,

dove valgono simultaneamente i segni superiori o inferiori, a seconda

dell’orientamento fissato sulla retta. Nel caso in esame, si ha:

cos −̂→x−→r = ∓ 2√12 + (22)2

= ∓ 2√5.

Poiché π < −̂→x−→r < 2π, deve essere

cos −̂→x−→r < 0

e quindi si deve prendere il segno superiore. Si deve prendere il segno

superiore anche nelle

cos −̂→x−→n = ± a√a2 + b2

, cos −̂→y −→n = ± b√a2 + b2

,

che dànno i coseni direttori della normale alla retta. Ricordiamo che l’e-

quazione normale di una retta orientata si ottiene dividendo l’equazione

della retta (nella forma ax + by + c = 0) per ±√a2 + b2. L’equazione

richiesta è quindi:

x√5

+2√5y +

1√5

= 0.

Esercizio 3.2. Determinare l’equazione della retta passante per il punto

(1, 5) e parallela alla retta 2x− 3y + 7 = 0.



Soluzione. Risolvendo l’equazione della retta data rispetto alla y, si ha:

y =2

3x+

7

3.

Il coefficiente angolare vale2

3. L’equazione di una generica retta paral-

lela alla retta data ha equazione

y =2

3x+ q

e per determinare q basta imporre che la retta passi per il punto (1, 5).

Deve aversi:

5 =2

3+ q =⇒ q =

13

3.

Esercizio 3.3. Scrivere l’equazione della retta passante per il punto (2, 9) e

perpendicolare alla retta 7x− 8y − 11 = 0.

Soluzione. L’equazione di una generica retta per il punto (2, 9) ha equazione:

y − 9 = m(x− 2),

ovvero

y = mx+ (9− 2m).

Ricordiamo che la condizione affinché due rette siano perpendicolari

è che il prodotto dei loro coefficienti angolari valga −1. Deve quindi

aversi:

7

8m = −1 =⇒ m = −8

7.

L’equazione cercata è quindi:

y = −8

7x+

79

7.


Capitolo 4

Lo spazio ampliato e le coordinate

omogenee

4.1 Punti impropri

Sia data una retta r e un punto S non appartenente a essa. Proiettiamo i

r

r

P

p

S

Figura 4.1

punti P di r dal punto S, cioè congiungiamo ogni punto P di r con S. Le

rette che così si ottengono appartengono al fascio F di centro S. Se si fa

49


corrispondere a ogni punto P di r la retta p del fascio F congiungente P con

S e a ogni retta p del fascio F il punto P in cui essa interseca la retta r,

veniamo a stabilire una biezione tra i punti di r e le rette del fascio F che

ammette una sola eccezione (vedi Figura 4.1).

Infatti, mentre a ogni punto P di r corrisponde una ben determinata

retta del fascio, a ogni retta del fascio corrisponde un punto di r, con la

sola eccezione della retta r parallela a r per P , a cui non corrisponde nessun

punto di r.

Si osservi che quando il punto P si allontana indefinitamente su r, la

retta p, congiungente S con P tende alla posizione limite r e, viceversa,

quando la retta p del fascio F ruota in uno dei due versi possibili intorno

a S, tendendo alla posizione limite r, il punto di intersezione di p con r si

allontana indefinitamente, nell’uno o nell’altro verso.

Si può dire allora che quando la retta p coincide con r, il punto P diventa

il punto all’infinito della retta r o punto improprio.

Con tale convenzione, si dice che la retta r e la retta r hanno in comune

un punto improprio e che la corrispondenza tra i punti di r e le rette del

fascio F risulta biettiva.

Si osservi che le rette r ed r hanno la stessa “direzione”, cosicché la nozione

di punto improprio può identificarsi con quella di direzione.

In questo modo, si ha che due rette hanno sempre un punto in comune: un

punto proprio quando si intersecano (nel senso della geometria elementare),

improprio quando sono parallele.

Una retta possiede uno e un solo punto improprio e l’ente geometrico

costituito da una retta e dal suo punto improprio si dirà retta ampliata.



4.2 Coordinate cartesiane omogenee

Ci proponiamo ora di vedere come i punti e le rette, sia propri che impropri,

si possano rappresentare analiticamente nello stesso modo.

Sia fissato sulla retta un riferimento cartesiano, in modo che ogni punto

possieda una ascissa x e, inversamente, a ogni numero reale x corrisponda

un punto.

Si ponga

x =x1

x2

, x2 6= 0. (4.1)

A ogni coppia di numeri reali (x1, x2), tale che x2 6= 0, possiamo associare

il numero reale x dato da (4.1). D’altra parte, se consideriamo la coppia

(ρx1, ρx2), con ρ 6= 0, al variare di ρ si ottiene lo stesso numero x.

Chiameremo coppia omogenea una coppia di numeri reali (6= (0, 0)) defini-

ta a meno di un fattore di proporzionalità non nullo.

Le coppie omogenee (x1, x2), tali che x2 6= 0, sono quindi in corrispon-

denza biunivoca con i punti della retta e prendono il nome di coordinate

omogenee del punto P di ascissa x.

In modo analogo, nel piano fissiamo un riferimentoR(0, U, x, y) e poniamo

x =x1

x3

, y =x2

x3

, x3 6= 0. (4.2)

Le terne omogenee di numeri reali (x1, x2, x3), definite cioè a meno di un

fattore di proporzionalità non nullo, con x3 6= 0, sono in corrispondenza

biunivoca con le coppie (x, y) ottenute tramite (4.2) e, quindi, con i punti

del piano.

Esse prendono il nome di coordinate omogenee del punto P nel riferimento

R(0, U, x, y) e le coordinate x e y si chiamano anche coordinate non omogenee.



Analoghe considerazioni si fanno per lo spazio. Sulla retta, nel piano o

nello spazio possiamo quindi individuare i punti con coppie, terne o quaterne

di coordinate omogenee.

4.3 Ampliamento della retta e del piano

Sia fissata sulla retta un’ascissa x e siano (x1, x2) le coordinate omogenee

associate a x tramite le (4.1). Se lasciamo cadere la condizione x2 6= 0

e consideriamo come punto anche la coppia (x1, 0), con x1 6= 0, abbiamo

aggregato ai punti della retta un altro punto, il punto improprio (introdotto

nel Paragrafo 4.1).

Analogamente, è possibile effettuare un ampliamento del piano con i punti

all’infinito, in quali costituiscono la retta di equazione

x3 = 0.

4.4 Equazione di una retta in coordinate omo-

genee

Sia ax+by+c = 0 l’equazione di una retta in coordinate cartesiane ordinarie

o non omogenee. Tenute presenti le (4.2), l’equazione può scriversi nella

forma:

ax1

x3

+ bx2

x3

+ c = 0

ovvero, moltiplicando per x3:

ax1 + bx2 + cx3 = 0. (4.3)



È chiaro che la condizione necessaria e sufficiente perché un punto proprio

P (x1, x2, x3) appartenga alla retta di equazione (4.3) è tale che le sue coor-

dinate omogeneee soddisfino l’equazione stessa. Ciò vale anche per il punto

improprio (x1, x2, 0). Da ciò segue:

• Ogni retta del piano possiede uno e un sol punto improprio.

Si ha quindi che:

• La retta di equazione ax + by + c = 0 o in coordinate omogenee di

equazione ax1 + bx2 + cx3 = 0 possiede uno e un sol punto improprio

di coordinate

x1 = b, x2 = −a, x3 = 0.

4.5 Interpretazione geometrica dei punti impro-

pri come direzioni

Il punto improprio della retta ax1+bx2+cx3 = 0, come si è visto nel paragrafo

precedente, non dipende dal coefficiente c. Ne segue che tutte le rette che

sono parallele alla retta ax1 + bx2 + cx3 = 0 passano tutte per lo stesso punto

improprio.

Inversamente, sia P (x1, x2, 0), con x1, x2 non simultaneamente nulli, un

dato punto improprio. Per i coefficienti a, b, c di una qualunque retta, deve

allora essere soddisfatta l’equazione:

ax1 + bx2 = 0.



Il rapporto ab

è dunque univocamente determinato, mentre c rimane arbi-

trario. Di conseguenza, tutte le rette per P sono tra loro parallele.

Si può dunque dire:

• Tutte le rette che passano per un dato punto improprio sono tra loro

parallele.

Vi è dunque corrispondenza biunivoca tra i punti impropri del piano e le

direzioni.

4.6 La retta impropria del piano

La condizione necessaria e sufficiente affinché un un punto di coordinate

P (x1, x2, x3) sia improprio è che sia soddisfatta l’equazione

x3 = 0. (4.4)

Si osservi che l’equazione (4.4) è un caso particolare della (4.3), rappresen-

tante l’equazione di una retta. Perciò, la totalità dei punti impropri del piano

costituisce una retta, la retta impropria, di cui la (4.4) ne è l’equazione.

In contrapposto alla retta impropria, le rette del piano nel senso ordinario

del termine sono dette proprie.

Come si è visto, una retta propria possiede un solo punto improprio. La

retta impropria è invece costituita da tutti e soli i punti impropri del piano.



4.7 Retta per due punti in coordinate omoge-

nee

Si osservi preliminarmente che due punti, propri o impropri, individuano una

retta. Infatti, se i due punti sono entrambi propri, ciò è stato svolto nel n.

??. Se i due punti sono entrambi impropri, la retta da essi individuata è la

retta impropria. Se infine un punto è proprio e l’altro è improprio, e quindi

comune a tutte le rette parallele a una data retta r, la retta in questione è

la parallela alla retta r passante per il punto proprio.

Ciò premesso, siano P ′(x′1, x′

2, x′

3) e P′′

(x′′

1 , x′′

2 , x′′

3) due punti distinti del

piano. L’equazione della retta che li congiunge, in coordinate omogenee, si

può porre nella forma:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

x′1 x′2 x′3

x′′

1 x′′

2 x′′

3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

equazione che si deduce da quella relativa al caso delle coordinate non omo-

genee.

In forma parametrica, cioè mettendo in evidenza i due parametri omogenei

da cui dipende il punto variabile sopra una retta, i punti di r hanno coordinate

date da

x1 = λx′1 + µx′′1,

x2 = λx′2 + µx′′2,

x3 = λx′3 + µx′′3.

(4.5)



4.8 Retta proiettiva e piano proiettivo

La retta ampliata con il suo punto improprio si chiama retta proiettiva. Esiste

una biezione tra i punti di una retta proiettiva e le rette di un fascio ovvero

tra i punti di una retta proiettiva e i punti di una circonferenza.

Il piano euclideo ampliato con la retta impropria, ovvero con l’insieme

delle direzioni, si chiama piano proiettivo.

4.9 Trasformazione delle coordinate cartesiane

Analogamente al caso della retta, si dimostra che passando dal riferimen-

to R(O,U, x, y) al riferimento R′(O′, U ′, x′, y′) le coordinate sono legate da

relazioni della forma

x′ = a11x+ a12y + a13

y′ = a21x+ a22y + a23

con ‖aij‖ 6= 0.

4.10 Esercizi

Esercizio 4.1. Determinare le coordinate omogenee del punto P1(5, 7), del

punto improprio della retta 3x+ 7y − 8 = 0 e del punto all’infinito dell’asse

x.

Soluzione. Le coordinate omogenee del punto (5, 7) sono date da tre numeri

x1, x2, x3 tali che

5 =x1

x3

, 7 =x2

x3

.



Bisogna notare che sono determinati soltanto i rapporti di x1, x2 a x3.

Una delle x1, x2, x3 può ricevere un valore arbitrario, non nullo, dopo

di che le altre sono determinate. Il modo piú semplice è quello di

porre x3 = 1. Ricordiamo che due terne che rappresentano lo stesso

punto sono proporzionali e viceversa. Per il punto della retta 3x+7y−8 = 0 ricordiamo che deve aversi x3 = 0. Scriviamo la retta in forma

omogenea. Otteniamo:

3x1 + 7x2 − 8x3 = 0.

Deve essere

3x1 + 7x2 = 0.

Tale equazione determina il rapportox1

x2

oppurex2

x1

, ovvero x1 e x2 a

meno di un fattore di proporzionalità. Posto x2 = 1, da 3x1+7x2 = 0 si

ha x1 = −7

3, per cui la terna

(−7

3, 1, 0

)rappresenta il punto improprio

della retta 3x+ 7y− 8 = 0. L’equazione dell’asse x è in coordinate non

omogenee y = 0, ovvero in coordinate non omogeneex2 = 0. Per il punto

improprio dell’asse x deve essere dunque x3 = 0 e x2 = 0, mentre la

coordinata x1 rimane arbitraria, e la poniamo uguale a 1. Il punto

cercato è quindi (1, 0, 0).


Capitolo 5

Ampliamento complesso dello

spazio reale

5.1 Considerazioni preliminari

La trattazione dei problemi geometrici, la quale porti alla risoluzione di

equazioni algebriche di grado superiore al primo, può dar luogo a soluzioni

non tutte reali. Allo scopo di estendere alla geometria il vantaggio, ottenuto

dall’algebra con l’estensione dal campo reale a quello complesso di tutti i suoi

procedimenti, appare allora evidente l’opportunità di introdurre la nozione di

punti complessi, cioè a coordinate (cartesiane) complesse. Ciò avviene sem-

plicemente stabilendo per convenzione che, fissato nel piano un riferimento

cartesiano, ogni coppia di numeri x, y rappresenti un punto, anche se x e

y non sono entrambi reali, ma uno o entrambi complessi. Ovviamente, un

punto a coordinate complesse non può essere rappresentato graficamente.

Successivamente, si estendono ai punti a coordinate complesse tutte le

58


locuzioni ed operazioni finora considerate per i punti a coordinate reali. Cosí,

per esempio, la condizione necessaria e sufficiente perché un punto a ccor-

dinate comunque complesse, stia sopra una retta è che le sue coordinate

soddisfini all’equazione della retta. Inoltre, come si considerano rette, la

cui equazione sia a coefficienti reali, si possono piú in generale considerare

rette, nella cui equazione intervengono coefficienti complessi qualunque (rette

complesse).

5.2 Elementi complessi coniugati

Se un punto P ha le coordinate x = a + ib e y = c + id, essendo i l’unità

immaginaria e a, b, c, d reali, il punto P , che ha coordinate x = a − ib e

y = c− id, ossia le quantità complesse coniugate rispettivamente di x e y, si

dice il punto complesso coniugato di P.

Si noti che la retta congiungente due punti complessi coniugati è una retta

reale.

Se infatti nell’equazione della retta per due punti P1(x1, y1) e P2(x2, y2):

(y1 − y2)x− (x1 − x2)y + (x1y2 − x2y1) = 0,

poniamo

x1 = a+ ib, y1 = c+ id, x2 = a− ib, y2 = c− id,

si ottiene l’equazione:

2idx− 2iby + ((a+ ib)(c− id)− (a− ib)(c+ id)) = 0,

ossia:

dx− by + bc− ad = 0,



che è l’equazione di una retta reale.

Se r è una retta di equazione

(a+ ib)x+ (c+ id)y + (e+ if) = 0, (5.1)

la retta r, avente coefficienti complessi coniugati a quelli di r, ossia la retta

di equazione

(a− ib)x+ (c− id)y + (e− if) = 0, (5.2)

si dice la retta complessa coniugata di r.

L’intersezione delle due rette complesse coniugate è un punto reale. In-

fatti, sommando (e dividendo per 2) e poi sottraendo (e dividendo per 2i) le

equazioni

(a+ ib)x+ (c+ id)y + (e+ if) = 0,

(a− ib)x+ (c− id)y + (e− if) = 0,

si ottengono le equazioni

ax+ cy + e = 0, bx+ dy + f = 0, (5.3)

che rappresentano due rette reali e distinte (perché se fossero coincidenti la

terna a, c, e sarebbe proporzionale alla terna b, d, f e quindi l’immaginario

nelle equazioni delle due rette entrerebbe solo apparentemente). Ogni punto

comune alle due rette di equazioni (5.1) (5.2) appartiene alle rette di equazioni

(5.3). In conseguenza di ciò vi è uno solo di tali punti ed è reale (proprio o

improprio).

Da quanto detto finora segue subito:



• Per ogni punto complesso passa una e una sola retta reale; su ogni retta

complessa esiste uno e un solo punto reale.

Infatti, per un punto complesso passa una retta reale, e cioè quella che lo

congiunge col punto complesso coniugato; questa retta è poi unica perché

se un punto complesso appartiene a una retta reale, a questa stessa appar-

tiene anche il complesso coniugato. Similmente si dimostra la seconda parte

dell’enunciato.

Se per rappresentare i punti del piano si usano coordinate omogenee, nella

terna delle coordinate di un punto complesso dovranno figurare delle quantità

complesse. Tuttavia per effetto del fattore di proporzionalità che è insito nelle

coordinate omogenee, un punto a coordinate complesse può di fatto essere

reale. Per esempio, il punto (i, i, i) non differisce dal punto (1, 1, 1), ossia dal

punto unitario.

Infine, si potrà parlare anche di punti complessi impropri.

5.3 Rette isotrope. Punti ciclici

Si immagini di operare in un riferimento cartesiano ortogonale monometrico.

Si voglia stusiare la totalità dei punti che hanno da un punto fisso P (α, β)

distanza nulla.

I punti di tale totalità sono tutti e soli quelli le cui ordinate x, y soddis-

fanno all’equazione

(x− α)2 + (y − β)2 = 0. (5.4)

Nel campo reale si ha solo il punto x = α, y = β.



Nel campo complesso si può invece scrivere:

(y − β)2 = −(x− α)2


y = ±i(x− α),

dalla quale viceversa si ricava la (5.4). L’equazione precedente rappresenta

ora l’equazione di due rette complesse coniugate, che si dicono le rette isotrope

uscenti dal punto P (α, β).

Da ogni punto reale proprio P del piano escono due rette, tra loro comp-

lesse coniugate, tutti i punti di ciascuna delle quali hanno dal punto P distan-

za nulla. I coefficienti direttori delle due rette isotrope uscenti da un punto

qualunque del piano sono sempre i e −i, sicché si può dire che le rette isotrope

del piano costituiscono due fasci di rette parallele. Corrispondentemente,

tutte le rette isotrope del tipo:

y − β = i(x− α)

passano per il punto improprio (1, i, 0), mentre quelle di equazione

y − β = −i(x− α)

passano tutte per il punto improprio (1,−i, 0).

I due punti impropri, tra loro complessi coniugati, di coordinate (1,±i, 0),

si dicono i punti ciclici del piano.

La ragione di tale denominazione si vedrà piú avanti.


Capitolo 6

Coordinate polari

Il sistema delle coordinate cartesiane è soltanto uno dei possibili sistemi per

individuare la posizione di un punto nel piano mediante una coppia (ordinata)

di numeri. Un altro sistema è quello delle coordinate polari.

Il riferimento polare è costituito da (vedi Figura 6.1):

1. un punto O detto polo o origine;

2. una semiretta p per O detta asse polare;

3. un’unità di misura per i segmenti.

Se P è un punto proprio qualunque del piano, distinto da O, restano

individuati:

a) la distanza ρ = OP , misurata con la prefissata unità di misura;

b) l’angolo ϕ, misurato in radianti, che la semiretta uscente da O e

passante per P forma con l’asse polare.

L’angolo ϕ è valutato a meno di multipli di 2π, tenendo conto del verso

antiorario fissato come positivo nel piano.

63


Op

P

θ

u

Figura 6.1

I numeri ρ e ϕ si chiamano le coordinate polari del punto P e si scrive

P (ρ, ϕ).

Più precisamente, il numero ρ si dice raggio vettore, mentre l’angolo ϕ si

dice l’anomalia del punto P .

Per l’origine O il raggio vettore è nullo, mentre l’anomalia è indetermina-

ta.

Si osservi inoltre che il luogo dei punti che hanno un dato raggio vettore

ρ è la circonferenza di centro O e raggio ρ. Invece, il luogo dei punti che

hanno una data anomalia ϕ, è la semiretta per O che forma l’angolo ϕ con

l’asse polare.

Tali osservazioni dimostrano che (vedi Figura 6.2):

O

ρ

P

θ

Figura 6.2



• Ogni punto P del piano, distinto dal polo O, determina la coppia (ρ, ϕ)

delle sue coordinate polari. Inversamente, ogni coppia di numeri (ρ, ϕ)

è la coppia delle coordinate polari di un punto P univocamente deter-

minato, dato dal punto di intersezione della circonferenza di centro O

e raggio ρ con la semiretta uscente da O che forma con l’asse polare

l’angolo ϕ.

6.1 Trasformazione delle coordinate cartesiane

in polari e viceversa

Dato un riferimento polare, come nel paragrafo precedente, associamo a esso

un riferimento cartesiano ortogonale con l’origine coincidente con il polo O,

il semiasse positivo x coincidente con l’asse polare e il verso dell’asse y in

modo che il verso positivo di rotazione del piano che ne risulta sia antiorario.

La comune unità di misura dell’asse x e dell’asse y sia coincidente con l’unità

di misura del riferimento polare.

Ogni punto P del piano distinto da O ha due coordinate cartesiane x, y e

due coordinate polari ρ, ϕ. Si hanno le seguenti formule di passaggio dalle

coordinate polari a quelle cartesiane (vedi Figura 6.3):

x = ρ cosϕ,

y = ρ sinϕ,(6.1)

come si ricava facilmente dall’esame del triangolo OPxP (vedi figura) ret-

tangolo in Px.

Le formule inverse che dànno le coordinate polari in funzione delle coor-

dinate cartesiane, si possono ottenere sia dall’esame del triangolo OPxP sia



O xx

y

y

P

Px

θ

Figura 6.3

invertendo le (6.1). Si ha:

ρ =

√x2 + y2,

ϕ = arctany

x.

(6.2)

Si osservi che la seconda delle (6.2) determina ϕ a meno di multipli di π.

Si hanno cioè due distinte determinazioni di ϕ (ciascuna definita a meno di

multipli di 2π), ad esempio ϕ0 e ϕ0 + π. Per decidere quale determinazione

scegliere bisogna tener conto che vale quel valore di ϕ per cui, per esempio

sia

cosϕ =x

ρ=

x√x2 + y2

,

cioè che cosϕ abbia lo stesso segno di x.


Capitolo 7

La circonferenza

7.1 L’equazione cartesiana di una circonferenza

La circonferenza di centro O(α, β) e raggio r è l’insieme o luogo dei punti

che hanno distanza dal centro uguale al raggio (vedi Figura 7.1 nella pagina

seguente) Pertanto l’equazione della circonferenza sarà:

(x− α)2 + (y − β)2 = r2, (7.1)

ossia è un’equazione del tipo

x2 + y2 + ax+ by + ac = 0, (7.2)

posto

a = −2α, b = −2β, c = α2 + β2 − r2.

L’equazione (7.2) è sempre l’equazione di una circonferenza di centro α =

−a2

e raggio r = 1

2

√a2 + b2 − 4c, purché sia a2+b2−4c > 0. Se a2+b2−4c = 0,

la (7.1) diventa

(x− α)2 + (y − β)2 = [(x− α) + i(y − β)] [(x− α)− i(y − β)] = 0.

67


O

O

r

Figura 7.1

Tale equazione rappresenta due rette complesse coniugate (cioè l’una avente

i coefficienti complessi coniugati di quelli dell’altra) passanti per O(α, β) che

si chiamano rette isotrope. La coppia di tali rette si chiama circonferenza di

raggio nullo e ha un unico punto reale: il centro O(α, β). I punti impropri

delle rette isotrope hanno coordinate (1,±i, 0) e si chiamano punti ciclici.

Se è a2 + b2 − 4c < 0 il raggio della circonferenza è immaginario e la

circonferenza è priva di punti reali.

Essa si chiama circonferenza di raggio immaginario.

Come si deduce dall’equazione, le circonferenze dipendono da tre parametri

indipendenti. Pertanto per tre punti non allineati passa una e una sola cir-

conferenza, poiché imponendo a una circonferenza il passaggio per essi si

ottengono tre condizioni lineari e indipendenti. Con facili calcoli si prova che



siffatta circonferenza ha equazione:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2 + y2 x y 1

x21 + y2

1 x1 y1 1

x22 + y2

2 x2 y2 1

x23 + y2

3 x3 y3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

ottenuta sviluppando il determinante secondo gli elementi della prima riga.

7.2 Intersezioni di una circonferenza con una

retta

Sia data la circonferenza

x2 + y2 − 2αx− 2βy + α2 + β2 − r2 = 0

e la retta di equazione

y = mx+ q.

Determinare le intersezioni di una circonferenza con una retta significa, dal

punto di vista analitico, risolvere il sistema delle due equazioni indicate:

x2 + y2 − 2αx− 2βy + α2 + β2 − r2 = 0

y = mx+ q.(7.3)

Si tratta di un sistema di secondo grado, la cui equazione risultante può

avere due radici reali e distinte, due radici complesse e coniugate o due radici

reali e coincidenti. La retta si dirà corrispondentemente secante, esterna o

tangente alla circonferenza. Ciò accade a seconda che la distanza del centro

dalla retta sia minore, maggiore o uguale al raggio.



7.3 Intersezioni di una circonferenza con la ret-

ta impropria

Anche la retta impropria, come ogni altra retta del piano, ha due punti in

comune con ogni circonferenza.

Per trovare tali punti, occorre passare alle coordinate omogenee.

Posto

x =x1

x3

, y =x2

x3

nella

x2 + y2 + ax+ by + c = 0,

moltiplicando per x23, si ottiene l’equazione

x2

1 + x2

2 + αx1x3 + bx2x3 + cx2

3 = 0.

Per un punto improprio P (x1, x2, x3) della circonferenza deve essere x3 = 0

e quindi:

x2

1 + x2

2 = 0.

L’equazione precedente determina il rapporto

x2

x1

.

Infatti, essa si può scrivere

(x2

x1

)2

= −1,




x2

x1

= ±i,

ossia

x2 = ±ix1.

Posto, per esempio, x1 = 1, si ha:

x2 = ±i.

Si conlude che i due punti impropri della circonferenza sono i punti

(1,±i, 0), ossia i due punti ciclici del piano.

Abbiamo quindi dimostrato che:

• Tutte le circonferenze del piano passano per i punti ciclici.

Tale proprietà giustifica la denominazione di “punti ciclici ”.

7.4 Tangente a una circonferenza in un suo pun-

to

Data la circonferenza di centro O(α, β) di equazione

x2 + y2 − 2αx− 2βy + c = 0,

la tangente nel punto P1(x1, y1) è la perpendicolare alla retta OP1 in P1. La

retta OP1 ha equazione:

x(y1 − β)− y(x1 − α) = αy1 − βx1.



La tangente cercata avrà quindi equazione:

(x1 − α)(x− x1) + (y1 − β)(y − y1) = 0,

con la condizione

x2

1 + y2

1 − 2αx1 − 2βy1 + c = 0,

sicché l’equazione della tangente diviene

xx1 + yy1 − α(x+ x1)− β(y + y1) + c = 0.

In particolare, se P1 coincide con l’origine l’equazione della tangente è

αx+ βy = 0.

Osserviamo che imporre a una circonferenza la condizione di tangenza a

una retta r in un suo dato punto P1(x1, y1), dà luogo a due condizioni lineari

per i coefficienti della circonferenza: il passaggio della circonferenza per il

punto e avere il centro sulla perpendicolare per P1 a t.

Imporre a una data retta di essere tangente a una circonferenza dà luogo a

una condizione di secondo grado, consistente nell’annullarsi del discriminante

dell’equazione risultante del sistema (7.3).

7.5 Esercizi

Esercizio 7.1. Equazione della circonferenza per i tre punti (0, 0), (0, 2),

(−4, 0).

Soluzione. Il passaggio di una circonferenza per un punto equivale a una

condizione lineare, che si scrive imponendo che le coordinate note del



punto, sostituite nell’equazione della circonferenza, rendano tale equa-

zione soddisfatta. Si tratta di una condizione lineare nelle a, b, c perché

a, b, c intervengono a primo grado nell’equazione.

Poiché il passaggio per un punto è una condizione lineare, il problema

si riduce a un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite a, b, c.

Ci si deve dunque aspettare una e una sola soluzione.

Sostituendo successivamente le coordinate dei tre punti nell’equazione

della circonferenza

x2 + y2 + ax+ by + c = 0,

si ottiene il sistema

c = 0,

4 + 2b+ c = 0,

16 + 4a+ c = 0.

Si trova che la terna a = 4, b = −2, c = 0, è la soluzione del sistema.

Sostituendo i valori trovati nell’equazione della circonferenza, si ha:

x2 + y2 + 4x− 2y = 0.

Esercizio 7.2. Circonferenza con un dato punto come centro.

Soluzione. Avere un dato punto come centro equivale a due condizioni

lineari. Infatti, se α e β sono le coordinate note del centro, deve essere

α =a

2, β = − b

2,

ossia

a+ 2α = 0, b+ 2β = 0.



Esercizio 7.3. Equazione della circonferenza tangente alla retta y = 3x

nell’origine e passante per il punto (2,7).

Soluzione. Il passaggio per il punto (2,7) si esprime con la condizione line-

are:

2a− 7b+ c = −53.

Per imporre la tangenza nell’origine alla retta y = 3x, si può imporre

il passaggio per l’origine, cioè imporre

c = 0,

e poi imporre che il centro(−a

2, − b

2

),

della circonferenza stia sulla perpendicolare alla retta y = 3x, ossia

appartenga alla retta di equazione:

x+ 3y = 0.

Si ottiene in tal modo la condizione lineare:

a+ 3b = 0.

Si ha dunque il sistema

2a− 7b+ c = −53,

a+ 3b = 0,

c = 0.

Si può anche ricordare che l’equazione della retta tangente nell’origine

a una circonferenza di centro (α, β) è data da

αx+ βy = 0.



Esercizio 7.4. Equazione della circonferenza con il centro nel punto (5, 2) e

tangente alla retta y = 3x.

Soluzione. Si ponga l’equazione della circonferenza nella forma

(x− α)2 + (x− β)2 = r2,

dove α, β rappresentano le coordinate del centro e r il raggio. Sarà

allora in questo caso α = 5, β = 2, e tutto si riduce a calcolare il

raggio. Il raggio r è la distanza (in valore assoluto) del centro dalla

tangente y − 3x = 0.

Ricordiamo che la distanza di un punto di coordinate (x0, y0) da una retta

di equazione ax+ by + c = 0 è data da:

|δ| =∣∣∣∣ax0 + by0 + c√

a2 + b2

∣∣∣∣ .

.

In questo caso si ha:

r =

∣∣∣∣2− 3 · 5√

10

∣∣∣∣ =13√10.

Sostituendo i valori trovati nell’equazione della circonferenza, si ha

(x− 5)2 + (y − 2)2 =169

10.

Si può anche partire dall’equazione della circonferenza nella forma

x2 + y2 + ax+ by + c = 0,



e considerare come incognite a, b, c. Se allora il centro è il punto di coordinate

(5, 2), ciò si esprime con le due condizioni lineari

a+ 10 = 0, b+ 4 = 0,

ricordando che

α = −a2, β = − b

2,

ossia

a+ 2α = 0, b+ 2β = 0.

Per la terza condizione, che sarà quadratica, si ha il sistema

x2 + y2 + ax+ by + c = 0,

y = 3x.

Eliminando la y, si ottiene l’equazione

10x2 + (a+ 3b)x+ c = 0,

dalla quale dovendo essere nullo il discriminante, si ricava:

(a+ 3b)2 − 40c = 0.

Tutto si riduce allora a risolvere il sistema

(a+ 3b)2 − 40c = 0,

a+ 10 = 0,

b+ 4 = 0.


Capitolo 8

La parabola - L’ellisse - L’iperbole

8.1 La parabola

Dati un punto F e una retta d non passante per F , si chiama parabola di

fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da

F e da d.

La distanza fuoco-direttrice sarà indicata con la lettera p. Supponiamo

che la retta d sia parallela all’asse delle ascisse, cioè abbia equazione y = y0,

e sia F (x1, y1) il fuoco (vedi Figura 8.1 nella pagina successiva). Un punto

P (x, y) appartiene alla parabola se, e soltanto se, si ha:

dist(F, P ) = dist(P, d),

ovvero:√

(x− x1)2 + (y − y1)

2 = |y − y0| .

Elevando al quadrato, si ottiene:

(x− x1)2 + (y − y1)

2 = y − y0 =⇒

77


x

y

Fb

d

y0

bP

Hb

Figura 8.1

x2 − 2xx1 + x2

1 + y2 − 2yy1 + y2

1 = y2 − 2y0y + y2

0 =⇒

2yy1 − 2y0y = x2 − 2xx1 + x2

1 + y2 + y2

1 − y2

0 =⇒

2y (y1 − y0) = x2 − 2x1x+ x2

1 + y2

1 − y2

0.

Poiché P /∈ r, allora y1 6= y0 e quindi:

y =1

2 (y1 − y0)x2 − x1

y1 − y0

x+x2

1 + y21 − y2

0

2 (y1 − y0).

Posto

a =1

2 (y1 − y0), b = − x1

y1 − y0

x, c =x2

1 + y21 − y2

0

2 (y1 − y0), (8.1)

l’equazione della parabola si può scrivere nella forma:

y = ax2 + bx+ c, (8.2)

con a, b, c ∈ R e a 6= 0.



Dalle (8.1) e (8.2), si ottiene:

x = − b

2a, y1 = −∆− 1

4a, y0 = −∆ + 1

4a,

con ∆ = b2 − 4ac.

La retta a per F perpendicolare a r è chiaramente un asse di simmetria

e si chiama asse della parabola. L’asse interseca la parabola nel vertice V

(vedi Figura 8.2).

a

dD

F

V

Figura 8.2

L’equazione di una parabola acquista la sua forma più semplice se si fa uso

di un riferimento con l’origine nel vertice e il semiasse positivo delle ascisse

passante per il fuoco F . Si ha allora

F =(0,p

2

)

e l’equazione della direttrice è

y = −p2

(vedi Figura 8.3 nella pagina successiva).



y

x

y = ax2, a > 0

Figura 8.3

8.2 L’ellisse

Fissati nel piano due punti F e F ′, detti fuochi, e un numero reale positivo

2a, con 2a > FF ′, si dice ellisse il luogo geometrico dei punti del piano

per cui è costante, e uguale a 2a, la somma delle distanze dai fuochi (vedi

Figura 8.4 nella pagina seguente).

Per determinare l’equazione dell’ellisse scegliamo un sistema di riferimen-

to in cui i fuochi appartengano a uno degli assi cartesiani (per esempio l’asse

x) con l’origine O coincidente con il punto medio di FF ′. Si avrà F (c, 0),

F ′(−c, 0), con c > 0.

Un punto appartiene all’ellisse se PF + PF ′ = 2a, cioè se

√(x− c)2 + y2 +

√(x+ c)2 + y2 = 2a,



F ′ F

P

Figura 8.4

da cui

a√x2 + c2 + 2cx+ y2 = a2 + cx,

e ancora

(a2 − c2

)x2 + a2y2 = a2

(a2 − c2

).

Posto

a2 − c2 = b2 (8.3)

(la quantità a2 − c2 è positiva), si ottiene infine:

x2

a2+y2

b2= 1,

equazione che viene detta equazione canonica dell’ellisse.

La retta che contiene i fuochi è detta asse focale, l’origine è detta centro

dell’ellisse. I punti di intersezione dell’ellisse con l’asse focale e con la retta

a esso perpendicolare passante per il centro sono detti vertici dell’ellisse



F ′ FA′

B

A

B′

Figura 8.5

(A,A′, B,B′ in Figura 8.5). Il segmentoAA′ è detto asse maggiore dell’ellisse,

il segmento BB′ è detto asse minore.

Osservazione 1. Se l’asse focale coincide con l’asse delle ordinate,

l’equazione dell’ellisse è

x2

b2+y2

a2= 1, con a > b.

Se il centro dell’ellisse viene fissato nel punto (x0, y0) e si sceglie come

asse focale la retta y = y0, si trova facilmente che in questo caso l’equazione

dell’ellisse è

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1.

Osservazione 2. Nella definizione di ellisse è necessario specificare la con-

dizione

FF ′ < 2a.



Infatti, dall’esame del triangolo PFF ′ (vedi Figura 8.4 nella pagina 81), si

vede che se FF ′ = 2a si ottiene il segmento FF ′, mentre se FF ′ > 2a, si

ottiene l’insieme vuoto.

8.3 L’iperbole

Siano dati nel piano due punti F e F ′, detti fuochi, e un numero positivo 2a <

FF ′. Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante

(e uguale a 2a) la differenza delle distanze dai fuochi (vedi Figura 8.6). La

F ′ F

P

Figura 8.6

differenza delle distanze di un punto arbitrario P da due punti fissati F e F ′

non può evidentemente essere superiore alla distanza tra questi due punti.

Questa differenza è uguale alla distanza tra F e F ′ se e soltanto se il punto

M si trova su uno dei prolungamenti del segmento FF ′. Di conseguenza,

il luogo geometrico dei punti per i quali la differenza delle distanze da due



punti fissati F e F ′ è una grandezza costante, uguale alla distanza tra F e F ′

è costituito dai due prolungamenti del segmento FF ′. Se la differenza delle

distanze di un punto P dai punti F e F ′ è nulla, questo punto è equidistante

da F e F ′.

Di conseguenza, il luogo geometrico dei punti per i quali la differenza delle

distanze dai due punti fissati F e F ′ è costante e uguale a zero, rappresenta

una retta perpendicolare al segmento FF ′, passante per il punto medio del

segmento (asse del segmento).

Da ciò si vede la necessità della limitazione introdotta.

Nella derivazione dell’equazione canonica dell’iperbole bisogna considerare

due situazioni in quanto risulta PF − PF ′ = 2a se PF > PF ′, oppure

PF′ − PF = 2a se PF < PF ′. Questa differenza viene eliminata negli

elevamenti al quadrato.

Sia F = (c, 0) e F ′ = (−c, 0). Procedendo come nel caso dell’ellisse, si

trova l’equazione

(c2 − a2

)x2 − a2y2 = a2

(c2 − a2

).

Posto

b2 = c2 − a2

(si ricordi che c > a), si ottiene

x2

a2− y2

b2= 1. (8.4)

La retta che contiene i fuochi è detta asse focale o asse trasverso dell’iper-

bole, l’origine è detta centro dell’iperbole. Ponendo y = 0 nell’equazione

dell’iperbole, si trovano i punti di intersezione dell’iperbole con l’asse focale:



F ′ A′

P ′

P

F

K

A

H

Figura 8.7

sono i punti A′ = (−a, 0) A = (a, 0). Il numero 2a è la misura del segmento

AA′.

La circonferenza di centro l’origine e raggio c contiene i fuochi dell’iperbole

e incontra la retta x = a in due punti: H,K (vedi Figura 8.7).

Poiché, per definizione, b2 = c2−a2, risultaH = H(a, b), come si dimostra

applicando il Teorema di Pitagora al Triangolo OAH. Le rette passanti per

l’origine, di equazioni

y =b

ax, y = − b

ax

sono dette asintoti dell’iperbole. Si può dimostrare che dati un punto P (x, y),

appartenente all’iperbole, e un punto P ′(x, bx/a) appartenente all’asintoto (e

con la stessa ascissa di P ), la distanza PP ′ diventa sempre più piccola quando

x aumenta (in valore assoluto).

Nel caso in cui a = b, la (8.4) diviene:

x2 − y2 = a2



i cui asintoti sono le rette y = x e y = −x (come in Figura 8.7), cioè

le bisettrici dei quadranti. In questo caso l’iperbole viene detta iperbole

equilatera (Figura 8.8) Altro caso notevole si ha quando i fuochi sono del tipo

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

0

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

F ′

F

Figura 8.8

F (a, a) e F ′(−a,−a) (vedi Figura 8.8). In questo caso l’equazione dell’ipebole

è data da

xy =a2

2,

i cui asintoti sono gli assi coordinati.

Osservazione. L’ipotesi FF ′ > 2a è necessaria. Se infatti fosse FF ′ =

2a otterremmo le semirette (−∞, c) e (c,+∞), mentre se fosse FF ′ < 2a

otterremmo l’insieme vuoto.


Capitolo 9

Teoria generale delle coniche

9.1 Generalità

Si definisce conica l’insieme dei punti del piano che soddisfano all’equazione

generale di secondo grado. Essa si suole scrivere nella forma:

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0. (9.1)

La stessa equazione in coordinate omogenee si scrive:

a11x2

1 + 2a12x1x2 + a22x2

2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + a33x2

3 = 0. (9.2)

Si ha che le coniche dipendono da 5 parametri indipendenti.

Una conica si dice riducibile se l’equazione (9.1) è spezzata nel prodotto di

due equazioni lineari, irriducibile in caso contrario, e si chiama semplicemente

degenere o doppiamente degenere, a seconda che le due rette siano distinte o

coincidenti.

87


9.2 Intersezioni di una retta con una conica

Intersecare una retta r con una conica C significa analiticamente risolvere il

sistema dato dalle rispettive equazioni.

Quindi una retta e una conica hanno in comune due punti. Se essi

coincidono la retta si dirà tangente alla conica.

Se P ′(x′1, x′

2, x′

3) e P ′′(x′′1, x′′

2, x′′

3) sono due punti di r le equazioni para-

metriche di r, ogni punto di r ha coordinate (vedi (4.5))

x1 = λx′1 + µx′′1,

x2 = λx′2 + µx′′2,

x3 = λx′3 + µx′′3.

Poniamo

f(P ) = a11x2

1 + 2a12x1x2 + a22x2

2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + a33x2

3 = 0,

f1(P ) = a11x1 + a12x2 + a13x3,

f2(P ) = a21x1 + a22x2 + a23x3,

f3(P ) = a31x1 + a32x2 + a33x3,

aik = aki, i, k = 1, 2, 3.

Si ha che f(P ) = 0 se e soltanto se P appartiene a C e per due qualsiasi

punti del piano P ′(x′1, x′

2, x′

3) e P ′′(x′′1, x′′

2, x′′

3) si pone

ϕ(P ′, P ′′) = f1(P′)x′′1 + f2(P

′)x′′2 + f3(P′)x′′3 =

= f1(P′′)x′1 + f2(P

′′)x′2 + f3(P′′)x′3 = ϕ(P ′′, P ′)

Sostituendo le (4.5) nell’equazione (9.2) si ottiene

λ2f(P ′) + 2λµϕ(P ′, P ′′) + µ2f(P ′′) = 0. (9.3)



La (9.3) se non è identicamente soddisfatta è un’equazione di secondo grado

nel rapporto λ/µ (o µ/λ) le cui due radici forniscono le coordinate dei due

punti comuni a r e C. Se la (9.3) è identicamente soddisfatta, allora tutti i

punti di r appartengono a C, la quale pertanto degenera in r e in una retta

residua.

Quindi:

• Una conica e una retta hanno due punti comuni, tranne il caso in cui

la conica sia degenere e la retta sia una delle sue componenti.

A seconda che i due punti comuni a r e C siano reali e distinti, coincidenti

o complessi e coniugati, la retta si dirà secante, tangente o esterna alla conica.

9.3 Classificazione della coniche

Intersecando C con la retta impropria di equazione x3 = 0, si ottiene l’e-

quazione di secondo grado nel rapporto x1/x2 (o x2/x1)

a11x2

1 + 2a12x1x2 + a22x2

2 = 0.

Tale equazione, se non è un’identità ha due radici reali e distinte, reali e

coincidenti o complesse coniugate, a seconda che il suo discriminante a212 −

a11a22 sia maggiore, uguale o minore di zero. Tuttavia si suole chiamare

discriminante △ di una conica l’espressione

△ = a11a22 − a2

12.

Se il discriminante △ di C è maggiore di zero, la conica ammette due

punti impropri complessi coniugati, cioè è esterna alla retta impropria, e si

chiama ellisse.



Se è△ = 0, la conica è tangente alla retta impropria e si chiama parabola.

Se è △ < 0, la conica C ha due punti impropri reali e distinti e si chiama

iperbole.

9.4 Tangente in un punto a una conica

Supponiamo, con le posizioni del Paragrafo 9.2, che il punto P ′ stia sulla

conica. Sarà allora f(P ′) = 0, onde la (9.3) diventa:

µ [2λϕ(P ′, P ′′) + µf(P ′′)] = 0. (9.4)

Essa ammette la radice µ = 0, in accordo con il fatto che per µ = 0 il punto

(4.5) si riduce a P ′, il quale è ora uno dei punti comuni alla retta r e a

C. Ovviamente si ha che µ = 0 è radice doppia di (9.4) se e soltanto se

ϕ(P ′, P ′′) = 0, ossia se e soltanto se P ′′ soddisfi all’equazione

f1(P′)x1 + f2(P

′)x2 + f3(P′)x3 = 0. (9.5)

Si devono distinguere due casi:

1. f1(P′), f2(P

′), f3(P′) non simultaneamente nulli;

2. f1(P′) = f2(P

′) = f3(P′) = 0.

Nel caso 1 la (9.5) rappresenta la retta tangente in P ′ alla conica. Nel

caso 2 si dice che la tangente in P ′ a C è indeterminata e allora C si spezza in

due rette per P ′ distinte o coincidenti. Infatti è ϕ(P ′, P ′′) = 0, qualunque sia

P ′′ e prendendo comunque P ′′ su C, distinto da P ′, sarà f(P ′′) = 0 e allora la

(9.4) sarà identicamente soddisfatta, ossia la retta P ′P ′′ è una componente

della conica.

Si può dunque enunciare che:



• Se P ′(x′1, x′

2, x′

3) è un punto di C, per esso passa una e una sola retta

tangente alla conica, salvo il caso in cui C degeneri in due rette per P ′

e la tangente per P ′ è indeterminata.

L’equazione della tangente in P ′ a C è:

(a11x′

1 + a12x′

2 + a13x′

3)x+(a21x′

1 + a22x′

2 + a23x′

3) y+(a31x′

1 + a32x′

2 + a33x′

3) = 0,

con l’analoga ovvia forma in coordinate non omogenee.

Se in particolare C passa per l’origine, la sua equazione è priva del termine

noto e l’equazione della tangente ivi a essa si ottiene annullando i termini di

primo grado a13x+ a23y.

Il deteminante simmetrico

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(9.6)

si chiama determinante della conica. Si prova che esso è nullo se e soltanto

se la conica è degenere.

9.5 Polarità rispetto a una conica

Sia C una conica non degenere di equazione omogenea (9.2) e P ′(x′1, x′

2, x′

3)

sia un punto della conica. La retta di equazione (9.5)

f1(P′)x1 + f2(P

′)x2 + f3(P′)x3 = 0

è l’equazione della tangente in P ′ alla conica. Se P ′ è un punto qualunque del

piano l’equazione (9.5) rappresenta una retta che si dice polare p′ del punto

P ′ rispetto alla conica C, mentre P ′ si dice il polo di p′.



Viceversa, ogni retta del piano è polare di un opportuno punto P ′. Infatti

considerata la retta di equazione

u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0,

essa è polare del punto P ′(x′1, x′

2, x′

3) tale che

u1 = f1(P′), u2 = f2(P

′), u3 = f3(P′),

ossia del punto P ′ soluzione del sistema:

u1 = a11x′

1 + a12x′

2 + a13x′

3,

u2 = a21x′

1 + a22x′

2 + a23x′

3,

u3 = a31x′

1 + a32x′

2 + a33x′

3.

(9.7)

Il sistema (9.7), di tre equazioni lineari non omogenee in tre incognite, am-

mette una e una sola soluzione, in quanto il suo determinante è diverso da

zero, poiché C è non degenere. Pertanto, associando a ogni punto del piano

la sua polare rispetto a C, si stabilisce una biezione tra i punti e le rette del

piano che si chiama polarità determinata dalla conica irriducibile C.Il punto P ′′ si dirà coniugato a P ′, rispetto a C, se esso appartiene alla

polare di P ′.

Poiché ϕ(P ′, P ′′) = ϕ(P ′′, P ′) e poiché la condizione analitica per cui P ′′

è coniugato di P ′ è che sia ϕ(P ′, P ′′) = 0, ne segue che se P ′′ è coniugato di

P ′, anche P ′ è coniugato di P ′′.

In ciò consiste la Legge di reciprocità, nella teoria della polarità rispetto

a una conica irriducibile:

• Se P ′ e P ′′ sono due punti tali che P ′′ appartiene alla polare di P ′

rispetto alla conica C, allora P ′ appartiene alla polare di P ′′.



Dalla Legge di reciprocità, seguono:

1. Se p′ e p′′ sono due rette tali che p′′ passi per il polo P ′ di p′ la retta

p′ passa per il polo P ′′ di p′′. Due rette come p′ e p′′ si dicono rette

coniugate nella polarità rispetto a C.

2. Se un punto P ′′ descrive la polare p′ di un punto P ′ la sua polare p′′

descrive il fascio di centro P ′.

3. Se una retta p′′ descrive il fascio di rette di centro P ′, il suo polo P ′′

descrive la polare p′ di P ′.

9.6 Significato geometrico della polare

Si è visto che se un punto P ′ appartiene alla conica, la sua polare è la tangente

ivi alla conica. Se P ′ non appartiene a C, la polare p′ di P ′ non è tangente a

C, e pertanto la polare interseca la conica in due punti distinti, reali e distinti

o complessi coniugati. Nel primo caso si dirà che P ′ è esterno alla conica,

nel secondo caso che è interno.

Facendo variare il polo sulla retta p′ la polare descrive il fascio di centro

P ′. Se tale polo cade nelle due intersezioni di p′ con C, le rispettive polari

sono le tangenti da P ′ a C. Pertanto (vedi figura):

• La polare di un punto non appartenente a C è la congiungente i punti

di contatto delle due tangenti che si possono condurre dal punto alla

conica.



p′

P ′

C

Figura 9.1


Capitolo 10

Riduzione a forma canonica delle

coniche

10.1 Centro e diamentri di una conica

Sia C una conica non degenere. Si chiama centro C di una conica il polo

della retta impropria rispetto alla conica stessa.

Le rette per il centro sono quindi le polari dei punti impropri e si chiamano

diametri (vedi punto 2 pag. 93).

Sia P il punto improprio di coordinate (λ, µ, 0). La sua polare rispetto

alla conica (9.2) ha equazione

λ (a11x1 + a12x2 + a13x3) + µ (a21x1 + a22x2 + a23x3) = 0.

Al variare dei parametri omogenei λ, µ si ottiene il fascio dei diametri.

Per trovare il centro C della conica, basta risolvere il sistema

a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0,

a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0,(10.1)

95


delle polari dei punti impropri degli assi.

Si presentano due casi:

1. Il centro C è un punto proprio (conica a centro);

2. Il centro C è improprio, il che equivale a dire polo e polare si apparten-

gono e allora la conica è tangente alla retta impropria (conica non a

centro o parabola).

Nel primo caso la conica è un’ellisse o un’iperbole, a seconda che la retta

impropria sia esterna o secante C. Nel secondo caso la conica è una parabola.

In questo caso i diametri sono tutti paralleli e passano per il punto improprio

della conica.

Se C è una conica a centro, i due diametri si dicono coniugati se uno passa

per il polo dell’altro.

Nel caso della parabola ogni diametro è coniugato con la retta impropria.

Si chiamano asintoti di una conica le tangenti nei punti impropri della

conica. Essi sono diametri autoconiugati.

L’ellisse ha due asintoti complessi coniugati, l’iperbole ha due asintoti

reali e distinti.

L’equazione complessiva dei punti impropri di una conica è data da

a11x2

1 + 2a12x1x2 + a22x2

2 = 0,

ovvero, in coordinate non omogenee:

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 = 0, (10.2)

da risolversi nel rapporto y/x (x/y).



L’equazione (10.2) è il prodotto delle due rette per l’origine e per i punti

impropri della conica. Le parallele per il centro a tali rette sono gli asintoti

della conica. Se gli asintoti sono reali e distinti e tra loro ortogonali si ha

un’iperbole equilatera.

La condizione analitica perché ciò avvenga, è data da

a11 + a22 = 0.

Infatti per i rispettivi coefficienti angolari m,m′ degli asintoti si deve avere

mm′ = −1, e ciò avviene se

a11

a22

= −1,

cioè se a11 + a22 = 0.

In un riferimento cartesiano ortogonale e monometrico poniamo la ques-

tione di determinare due diametri coniugati d, d, che siano ortogonali. Ana-

liticamente, tale condizione geometrica si traduce nella condizione analitica

(a12λ+ a22µ)λ− (a11λ+ a21µ)µ = 0,

che è un’equazione di secondo grado nel rapporto λ/µ (µ/λ). Il discriminante

di tale equazione è sempre positivo, essendo dato da

(a22 − a11)2 + 4a2

12,

tranne nel caso in cui a22 = a11, a12 = 0, caso che si verifica quando la conica

è una circonferenza, per la quale quindi ogni diametro è perpendicolare al

suo coniugato.

Se la conica a centro non è una circonferenza, la (10.2) dà luogo a due

radici reali e distinte e, quindi, a un’unica coppia di diametri coniugati e

ortogonali che si chiamano assi della conica.



Nel secondo caso, la conica irriducibile è una parabola (detA 6= 0, a11a22−a2

12 = 0).

Allora tutti i diametri sono paralleli e passano per il punto improprio della

parabola. Ogni diametro è polare di un punto improprio cioè è coniugato con

una data direzione.

Si definisce asse di una parabola il diametro coniugato con la direzione

ortogonale a quella dei diametri.

L’equazione di una parabola può scriversi nella forma

(ax+ by)2 + 2a13x+ 2a23y + a33 = 0.

La direzione del punto improprio della parabola, cioè di tutti i diametri, è

quella della retta ax+ by = 0. La direzione ortogonale a quella dei diametri

è data dalla retta bx− ay = 0, il cui punto improprio ha coordinate (a, b, 0).

La polare di tale punto rispetto alla parabola ha equazione:

a (a11x+ a12y + a13) + b (a22y + a12x+ a23) = 0,

ed è l’equazione dell’asse della parabola.

Il punto di intersezione dell’asse della parabola con la parabola si chiama

vertice della parabola. Si dimostra che la tangente nel vertice è perpendico-

lare all’asse della parabola.

10.2 Fuochi e direttrici di una conica

Consideriamo le tangenti alla conica a centro C uscenti dai punti ciclici. Si

tratta di quattro rette r, s, r, s, a due a due complesse coniugate, tali che dei

loro quattro punti di intersezione, due sono reali e due complessi coniugati.



Tali punti si chiamano fuochi.

Sia l’ellisse che l’iperbole hanno due fuochi reali, appartenenti a uno stesso

asse, detto asse focale, e due fuochi immaginari appartenenti all’altro asse.

Si chiama direttrice di una conica, relativa a un fuoco, la polare del fuoco

rispetto alla conica.

10.3 Equazioni canoniche delle coniche a centro

Assumendo come assi coordinati gli assi della conica, si può provare che

l’equazione di un’ellisse è

x2

a2+y2

b2= 1,

dove l’asse x incontra l’ellisse nei punti (a, 0) e (−a, 0) e l’asse y incontra

l’ellisse nei punti (0, b) e (0,−b).Per a = b si ha una circonferenza.

L’iperbole si scrive invece nella forma:

x2

a2− y2

b2= 1.

10.4 Equazione canonica e proprietà della parabo-

la

Si assume come riferimento cartesiano quello avente come origine il vertice

della parabola e come assi l’asse della parabola e la sua tangente nel vertice.

In tal modo l’equazione a cui si perviene è del tipo:

y2 = 2px.

La parabola ha un solo fuoco.



10.5 Fuochi

Abbiamo detto che se dai punti ciclici del piano si conducono le rette tangenti

a una conica C, le intersezioni di queste rette si chiamano fuochi. In altri

termini, un punto F si dice fuoco di C se le rette isotrope che passano per F

risultano tangenti a C.Si osservi anzitutto che i fuochi sono interni alla conica (in caso contrario

le rette per F tangenti alla conica sarebbero reali).

Dimostriamo che questa definizione coincide con quella data nel Capitolo

8.

Si consideri l’ellisse C:x2

a2+y2

b2= 1.

la retta isotropa

y = ix+ p

(con p ∈ C) è tangente a C se l’equazione in x, data da

x2

a2+

(ix+ p)2

b2= 1,

ha radici coincidenti. Ricordando la (8.3) si ottiene

c2x2 − 2a2pix+ a2(b2 − p2

)= 0.

Il discriminante dell’equazione precedente è uguale a

−4a2(a2p2 + c2

(b2 − p2

))

e risulta uguale a zero se p2 + c2 = 0, ossia se

p = ±ic.



Allora le rette

r : y = ix+ ic,

s : y = ix− ic,

sono tangenti a C.In modo analogo, partendo dall’equazione y = −ix + q, si ottengono le

tangenti

r : y = −ix− ic,

s : y = −ix+ ic.

I punti

r ∩ r, s ∩ s,

sono reali e precisamente di coordinate

(−c, 0), (c, 0)

e coincidono con i punti chiamati fuochi nel Capitolo 8.

In modo analogo si procede per l’iperbole e la parabola.


Capitolo 11

Fasci di coniche

11.1 Intersezione di due coniche

Siano C e C′ due coniche distinte non degeneri, di equazioni rispettive:

a11x21 + 2a12x1x2 + a22x

22 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + a33x

23 = 0,

a′11x21 + 2a′12x1x2 + a′22x

22 + 2a′13x1x3 + 2a′23x2x3 + a′33x

23 = 0.

I loro punti comuni sono le soluzioni del sistema

f = a11x

21 + 2a12x1x2 + a22x

22 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + a33x

23 = 0,

f ′ = a′11x21 + 2a′12x1x2 + a′22x

22 + 2a′13x1x3 + 2a′23x2x3 + a′33x

23 = 0.

Si tratta di un sistema di quarto grado e pertanto i due punti comuni a

due coniche sono quattro, non necessariamente tutti distinti. Due coniche

entrambe degeneri, con una componente in comune, hanno invece infiniti

punti in comune.

Si chiama fascio di coniche individuato da C e C′ la conica C di equazione

λf + µf ′ = 0. (11.1)

102


Tutte le coniche del fascio passano per i punti comuni alle due coniche Ce C′, punti che si chiamano punti base del fascio.

11.2 Coniche degeneri di un fascio

Se si indicano con aik e a′ik (i, k = 1, 2, 3) rispettivamente i coefficienti di f e

f ′, i coefficienti della conica C saranno

λaik + µa′ik

e C è degenere se è nullo il determinante

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

λa11 + µa′11 λa12 + µa′12 λa13 + µa′13

λa21 + µa′21 λa22 + µa′22 λa23 + µa′23

λa31 + µa′31 λa32 + µa′32 λa33 + µa′33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.

La precedente è un’equazione di terzo grado nel rapportoλ

µ

(oµ

λ

).

11.3 Numero dei punti che individuano una co-

nica

Ovviamente per un punto del piano distinto dai punti base passa una e una

sola conica del fascio, ovvero esiste una e una sola conica del fascio soddis-

facente a una condizione lineare indipendente dal passaggio per i punti base.

Infatti, se per cinque punti assegnati passassero due coniche, esse avrebbero

infiniti punti in comune, perché, come abbiamo visto, due coniche hanno

quattro oppure infiniti punti in comune. Le due coniche, allora, dovrebbero

essere entrambe degeneri e la retta comune conterrebbe quattro dei cinque



punti assegnati. Infatti, se la prima conica si spezza nelle rette r, r′ e la sec-

onda conica si spezza nelle rette r, r′′, poiché r′ e r′′ essendo distinte hanno

esattamente un punto in comune, gli altri quattro dei cinque punti dati deb-

bono appartenere a r.

È poi evidente che se dei cinque punti tre sono allineati, la conica per essi è

unica, ma risulta spezzata nella retta che contiene i tre punti allineati e nella

retta contenente gli altri due punti dati.

Si ha quindi:

• Per cinque punti dati in un piano, dei quali non piú di tre allineati,

passa sempre una e una sola conica. Se tre dei punti dati sono allineati,

la conica è degenere.

11.4 Configurazione dei punti base di un fascio

di coniche

Le coniche degeneri di un fascio dipendono dalla natura dei punti base del

fascio: se essi sono quattro, tra di essi distinti, siano essi M,N,P,Q, allora le

coniche degeneri sono (MN · PQ) , (MQ · PN), (MP ·NQ). Esse sono tre

coniche distinte semplicemente degeneri (vedi Figura 11.4).

Se per esempio, M = P , cioè se le coniche del fascio sono tutte tangenti

in P a una stessa retta t, le coniche degeneri del fascio sono (PN · PQ)e

(NQ · t), cioè sono due e semplicemente degeneri (vedi Figura 11.4).

Se M = P e N = Q, le coniche del fascio sono bitangenti in M a t e in N

a s, e le coniche degeneri sono (s · t) e (M · N)2 ossia sono due, di cui una



M N

P Q

Figura 11.1 Punti base del fascio distinti

semplicemente degenere e l’altra doppiamente degenere (vedi Figura 11.4).

Se M = N = P , cioè se le coniche si osculano in P con tangente comune t,

vi è un’unica conica semplicemente degenere data da (t · PQ). (vedi Figura

11.4).

Se M = N = P = Q, le coniche si iperosculano in P , avendo in comune una

stessa tangente t e vi è un’unica conica doppiamente degenere data t2. (vedi

Figura 11.4).

11.5 Il metodo del fascio di coniche

Le coniche dipendono da cinque parametri essenziali (cioè non definiti a

meno di un fattore di proporzionalità non nullo) e indipendenti. Pertan-

to per cinque punti, i quali offrano condizioni indipendenti a una conica che



M = N

P Q

t

Figura 11.2

li contenga, passa una e una sola conica.

In altre parole, esiste una e una sola conica soddisfacente a cinque con-

dizioni lineari e indipendenti nei cinque coefficienti essenziali della sua equa-

zione.

Piú in generale esiste un numero finito di coniche soddisfacente a cinque

condizioni indipendenti.

Per determinare una conica soddisfacente a cinque condizioni di cui quat-

tro almeno siano lineari, si procede nel modo seguente. Si determinano le

coniche del fascio relative a quattro condizioni lineari, combinando linear-

mente due delle coniche degeneri del fascio. A tale fascio di coniche si impone

poi l’ulteriore quinta condizione, anche non lineare, ottenendo in tal modo la

soluzione del problema.

Per esempio, se si vuole determinare la conica tangente in due punti a due



M = P N = Q

ts

Figura 11.3

rette in due punti distinti e passante inoltre per un punto fissato, si scrive

la combinazione lineare tra il prodotto delle due tangenti e la congiungente i

punti di contatto contata due volte a cui si impone il passaggio per il punto.

Per esempio, se vogliamo determinare la conica tangente in (0, 0) alla

retta di equazione x + y = 0, tangente a y = 0 in (1, 0) e passante per

P (0, 1), si scrive l’equazione del fascio

(x+ y)(x− 1) + ky2 = 0.

Imponendo poi alla conica del fascio il passaggio per P (0, 1), si ottiene k = 1

e pertanto si ottiene la conica di equazione

x2 + xy + y2 − x− y = 0.



M = N = P

t

D

Figura 11.4

11.6 Equazione di una conica sottoposta a con-

dizioni

Come detto, se si cerca l’equazione di una conica soddisfacente a date con-

dizioni geometriche, ciascuna di tali condizioni si traduce in una o piú con-

dizioni per i coefficienti, a priori incogniti, dell’equazione della conica.

Diamo alcuni esempi.

1. Passaggio per un punto (proprio o improprio).

Il passaggio per un punto, proprio o improprio, di date coordinate,

equivale a una condizione lineare, che si ottiene imponendo alle coor-

dinate del punto di soddisfare alla condizione

a11x2

1 + 2a12x1x2 + a22x2

2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3 + a33x2

3 = 0. (11.2)



M = N = P = Q t

Figura 11.5

2. Conica con un dato punto come centro.

Per una conica, avere un dato punto come centro, equivale a due condizioni

lineari.In questo caso, bisogna infatti imporre che le coordinate del

punto dato soddifino alle (10.1).

3. Punto e retta polo e polare rispetto a una conica.

Perché un punto P e una retta p siano polo e polare l’uno dell’altra,

rispetto alla conica (11.2), devono essere soddisfatte due condizioni lineari.

Infatti, se x′1, x′

2, x′

3 sono le coordinate diP e ax1 + bx2 + cx3 = 0 è

l’equazione della retta p, l’equazione

(a11x′

1+a12x′

2+a13x′

3)x1+ (a21x′

1+a22x′

2+a23x′

3)x2+ (a31x′

1+a32x′

2+a33x′

3)x3 = 0

della polare di P , rispetto allla (11.2), deve identificarsi con l’equazione

ax1 + bx2 + cx3 = 0, per cui devono essere soddisfatte le relazioni:

a11x′

1 + a12x′

2 + a13x′

3

a=a21x

′

1 + a22x′

2 + a23x′

3

b=a31x

′

1 + a32x′

2 + a33x′

3

c,

ossia le due condizioni lineari:

b (a11x

′

1 + a12x′

2 + a13x′

3)− a (a21x′

1 + a22x′

2 + a23x′

3) = 0,

c (a11x′

1 + a12x′

2 + a13x′

3)− a (a31x′

1 + a32x′

2 + a33x′

3) = 0.



4. Conica tangente in un punto a una retta data.

Se un punto P appartiene alla conica, allora la polare del punto rispetto

alla conica è la tangente nel punto alla conica. Allora, dal caso prece-

dente, si ha che la condizione di tangenza in un punto a una retta data

equivale a due condizioni lineari.

5. Conica con una retta data come tangente.

La condizione di tangenza a una retta (in un punto non assegnato)

equivale a una condizione quadratica. Infatti, si deve imporre che l’e-

quazione di secondo grado da cui dipende la determinazione delle inter-

sezioni della conica con la retta (equazione che si ottiene elimimando

una delle coordinate correnti tra le equazioni di conica e retta) abbia

una radice doppia, cioè che sia nullo il suo discriminante, che risulta

appunto di secondo grado nei coefficienti.

6. La conica sia una parabola.

L’imposizione equivale alla condizione di secondo grado:

a11a22 − a2

12 = 0,

la quale è un caso particolare del precedente, in quanto una parabola

è una conica tangente alla retta impropria.

7. La conica sia un’iperbole equilatera.

L’imposizione equivale alla condizione lineare:

a11 + a22 = 0,

traducente la condizione geometrica che i punti impropri della conica

siano due direzioni ortogonali



8. La conica sia degenere.

La condizione data equivale alla condizione cubica:

detA = 0.

9. Conica con un dato asse.

L’imposizione di avere un asse assegnato equivale a tre condizioni lineari.

Infatti, ciò equivale a dare una retta e il suo polo (cioè si deve imporre

che la retta data è la polare del punto improprio in direzione ortogonale

alla retta data). Si ha quindi un caso particolare del numero 3.

10. Conica con una coppia di diametri coniugati.

L’imposizione a una conica di avere una coppia di diametri coniugati

assegnati equivale a tre condizioni lineari, perché equivale ad assegnare

il centro, con l’aggiunta dell’ulteriore condizione lineare esprimente che

la polare del punto improprio di un diametro è l’altro diametro (qui

una sola condizione perché i diametri già passano per il centro).

11. Conica con un fuoco assegnato.

Ciò equivale a imporre due condizioni quadratiche, in quanto la conica

deve essere tangente alle rette isotrope uscenti dal fuoco.


Capitolo 12

Luoghi geometrici e curve piane

12.1 Rappresentazione grafica di una curva

Per curva piana si intende il luogo dei punti che con le loro coordinate

cartesiane x, y soddisfano a un’equazione del tipo

ϕ(x, y) = 0,

dove ϕ è una funzione in due variabili soddisfacente ad alcune condizioni di re-

golarità (continuità, derivabilità, ecc.). Il problema fondamentale dello studio

delle curve piane, intese come luoghi di punti, è quello di dare la rappresen-

tazione grafica dell’equazione ϕ(x, y) = 0. Si perviene all’equazione suddetta,

imponendo al punto variabile nel piano alcune opportune condizioni geome-

triche che diano luogo a un insieme di punti dipendenti da un parametro,

quale è da intendersi che sia una curva. Infatti, esistono vari modi per la

rappresentazione analitica di una curva: nella sua forma più generale si ha

un’equazione del tipo ϕ(x, y) = 0. Essa può essere esplicitata rispetto a y,

cioè della forma y = y(x), oppure esplicitata rispetto alla x, x = x(y). Una

112


curva piana può anche essere rappresentata fornendo l’ascissa e l’ordinata del

punto variabile sulla curva in funzione di un parametro t, ossia

x = x(t),

y = y(t).

Piú generalmente, una curva si può rappresentare nella forma

ϕ(x, y, t) = 0,

ψ(x, y, t) = 0.

Dalle equazioni parametriche si arriva all’equazione cartesiana eliminando

il parametro t.

Se nell’equazione cartesiana di una curva la y (la x) figura con potenze

pari la curva è simmetrica rispetto all’asse x (y). La curva è ovviamente sim-

metrica rispetto all’origine se la sua equazione cartesiana non varia mutando

x in −x e y in −y.L’equazione di una curva può anche essere scritta in coordiante polari e

sarà del tipo

f(ρ, ϕ) = 0.

Una curva piana si dice algebrica se la sua equazione in coordinate carte-

siane è un polinomio uguagliato a zero. Una curva che non sia algebrica si

dice trascendente.

Si dice ordine di una curva algebrica f(x, y) = 0 il grado del polinomio

f , ossia il massimo della somma dei gradi degli esponenti della x e della y

nei suoi vari monomi.

Il significato geometrico dell’ordine di una curva algebrica di ordine n è

dato dal numero dei punti (reali o complessi, distinti o coincidenti) che la

curva ha in comune con una retta del piano.



L’equazione di una curva algebrica può scriversi nella forma:

ϕ0 + ϕ1(x, y) + ϕ2(x, y) + . . .+ ϕn(x, y) = 0,

dove ϕi(x, y), i = 0, . . . , n, è un polinomio omogeneo di grado i, nelle due

coordinate x e y.

Se il termine noto ϕ0 è nullo, la curva passa per l’origine e la tangente (cioè

la retta avente in comune con la curva due punti coincidente nell’origine) ivi

a essa si ottiene uguagliando a zero il complesso dei termini di primo grado,

cioè

ϕ1(x, y) = ax+ by = 0. (12.1)

Per studiare la curva nell’intorno di un suo punto, possiamo sempre scegliere

il sistema di riferimento in modo che il punto in oggetto coincida con l’origine

delle coordinate.

La retta tangente può in alcuni casi avere piú di due punti coincidenti nel

punto di contatto, nel senso che la molteplicità della radice x = 0, può essere

uguale a s, con 2 < s ≤ n. Se s = 3, la tangente si chiama tangente di flesso

e si dimostra che la curva è da parti opposte rispetto alla tangente stessa, il

che accade più in generale se s = 2k + 1. Se invece s = 2k, la curva è tutta

da una stessa parte rispetto alla tangente.

Se a = b = 0 in (12.1), le rette del fascio per l’origine incontrano la curva

in due punti coincidenti nell’origine stessa e il punto si dice punto doppio

per la curva. Intersecando la curva con la retta y = mx del fascio di centro

l’origine, si ottiene l’equazione

(a11 + 2a12m+ a22m

2)x2 + ϕ3(x,mx) + . . .+ ϕn(x,mx) = 0.



L’equazione di secondo grado in m

a11 + 2a12m+ a22m2,

dà l’equazione complessiva di due rette che hanno con la curva un contatto

almeno tripunto. Tali rette si chiamano tangenti principali alla curva nel

punto doppio e possono essere due rette reali e distinte, reali e coincidenti,

complesse coniugate. Il punto si chiamerà rispettivamente nodo, cuspide o

punto doppio isolato.

Se una delle tangenti ha un contatto tripunto e l’altra quadripunto, il

punto si dice flecnodo. Se ambedue le tangenti principali hanno contatto

quadripunto, il punto si chiama biflecnodo. Poiché è

m =y

x,

l’equazione

ϕ2(x, y) = a11x2 + 212xy + a22y

2 = 0,

rappresenta l’equazione complessiva delle due tangenti principali nel punto

doppioO(0, 0). Piú generalmente, un punto (che possiamo sempre considerare

coincidente con l’origine) si dirà s-plo per una curva algebrica quando le

rette del fascio di centro O hanno almeno s intersezioni coincidenti con esso

e l’equazione della curva è del tipo

ϕs(x, y) + ϕs+1(x, y) + . . .+ ϕn(x, y) = 0.

Risolvendo nel rapporto y/x l’equazione omogenea di grado s, ϕs(x, y) =

0, si ottiene l’equazione complessiva delle s tangenti principali (non neces-

sariamente tutte distinte) aventi un contatto almeno (s+1)-punto nel punto

s-plo.



12.2 Luoghi geometrici

Determinare un luogo geometrico significa determinare l’equazione della cur-

va luogo dei punti che soddisfano a date proprietà geometriche. Si sceglierà il

riferimento cartesiano legato opportunamente alle condizioni poste, in modo

che i calcoli siano semplificati al massimo. Si traducono analiticamente le

proprietà geometriche e il luogo potrà esserre definito con la sua equazione

cartesiana o con le sue equazioni parametriche.

Esempio 12.1. Determinare il luogo dei punti equidistanti da due punti dati

A e B.

Conviene fissare il riferimento cartesiano assumendo come asse x la retta

AB e come origine il loro punto medio. Allora sarà A(a, 0) e B(−a, 0). La

condizione di appartenenza al luogo del punto P (x, y) è data da PA = PB,

ossia analiticamente

√(x− a)2 + y2 =

√(x+ a)2 + y2,

cioè, elevando al quadrato e semplificando:

x = 0,

che si chiama l’asse del segmento AB.

Esempio 12.2. Determinare il luogo dei punti le cui distanze da due punti

A e B hanno prodotto costante.

Scelto il riferimento come nell’esempio precedente e indicata con k2 la costante

positiva assegnata, la condizione di appartenenza del punto P al luogo è dato

da

(PA) · (PB) = k2,



ossia

x2 + y2 − 2a2(x2 − y2

)+ a4 − k4 = 0.

Esempio 12.3. Luogo dei centri delle iperboli equilatere passanti per i punti

P1(1, 0), P2(2, 0) e aventi un asintoto passante per l’origine.

Uno degli asintoti avrà equazione y = −mx. Le perpendicolari a esso hanno

equazione my + x + h = 0. Tutte le iperboli che hanno tali asintoti hanno

equazione

(y −mx) (my + x+ h) + λ = 0.

Imponendo a tali iperboli equilatere il passaggio per P1 e P2, si ricava

h = −3, λ = −2m.

Gli asintoti di tali iperboli hanno equazioni

y −mx = 0

my + x− 3 = 0(12.2)

Poiché il centro è l’intersezione dei due asintoti, l’equazione cartesiana del

luogo si ottiene eliminando m dal sistema (12.2). Si ottiene, pertanto, l’e-

quazione

x2 − y2 − 3x = 0,

che rappresenta la circonferenza con centro nel punto (3

2, 0), che è il punto

medio tra P1 e P2, passante per l’origine.

Esempio 12.4. Luogo dei poli delle tangenti alla parabola y2 = 2x rispetto

alla parabola x2 = 2y.

Le tangenti nel punto M(x1, y1) della parabola y2 = 2x hanno equazione

yy1 = x+ x1.



La polare di un punto (x, y) rispetto alla parabola x2 = 2y, ha equazione

xx = y + y.

Affinché le due equazioni suddette coincidano deve essere

x

1=

1

y1

= − y

x1

,

da cui

x =1

y1

, y = −x1

y1

.

Pertanto, le equazioni

x =1

y1

, (12.3)

y = −x1

y1

(12.4)

sono le equazioni parametriche del luogo, insieme con la condizione

y2

1 = 2x1 (12.5)

di appartenenza di M(x1, y1) alla parabola y2 = 2x. Per avere l’equazione

cartesiana del luogo basta eliminare x1, y1 dalle tre equazioni (12.3), (12.4) e

(12.5). Si ottiene

xy = −1

2,

che è un’iperbole equilatera avente gli assi come asintoti.

Esempio 12.5. Data la parabola y2 = 2px si consideri il luogo dei punti

medi dei segmenti intercettati sulla parabola dal fascio di rette per un punto



P (x1, y1).

Il fascio delle rette per P ha equazione

(y − y1) = m(x− x1). (12.6)

Intersecando tali rette con la parabola si ottiene l’equazione

m2x2 + 2(my1 −m2x1 − p

)x+

(y2

1 +m2x2

1 − 2mx1y1

)= 0,

le cui radici dànno le ascisse degli estremi del segmento intercettato dalla

retta sulla parabola. L’ascissa x del punto medio di tale segmento sarà

x =(p+m2x1)− (my1)

m2. (12.7)

L’ordinata di tale punto si ottiene imponendo l’appartenenza del punto medio

alla retta (12.6). Cosí si ottengono le equazioni parametriche del luogo. Per

ottenere l’equazione cartesiana basta elimeinare m tra (12.6) e (12.7) e si

ottiene l’equazione

y (y − y1) = p (x− x1) ,

che è l’equazione di una parabola avente l’asse parallelo all’asse x, ossia

parallelo a quello della parabola di partenza.


Capitolo 13

Elementi di calcolo vettoriale

13.1 Concetto di vettore

Siano A e B due punti distinti del piano. Il segmento che ha i punti A e B

come estremi, percorso nel verso da A a B, è detto segmento orientato (o

vettore applicato). I punti A e B sono detti, rispettivamente, punto iniziale,

A

B

Figura 13.1

o di applicazione, e punto finale, o secondo estremo.

Il vettore applicato AB è quindi individuato da

a) la direzione, che è quella della retta AB;

120


b) il verso, cioè il verso che sulla retta AB porta da A a B;

c) il modulo, cioè la lunghezza del segmento AB misurata rispetto a una

fissata unità di misura.

Viceversa, fissati una direzione, un verso e un modulo non è determinato

un unico segmento orientato. Ogni segmento orientato che abbia la stessa

lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso di un segmento orientato si

dice equipollente al segmento dato (due segmenti di lunghezza nulla sono

equipollenti). Nell’insieme dei segmenti orientati del piano la relazione di

A

B

C

D

Figura 13.2

equipollenza è una relazione di equivalenza (cioè una relazione che gode delle

proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva).

Due segmenti orientati AB e CD sono equipollenti se si verifica una delle

seguenti condizioni:

1) se B coincide con A, anche D coincide con C;

2) se AB e CD appartengono alla stessa retta sono uguali (cioè hanno la

stessa lunghezza) e concordi (cioè hanno lo stesso verso);



3) se AB e CD appartengono a due rette parallele e la retta che congiunge

i primi estremi è parallela alla retta che congiunge i secondi estremi.

Due vettori applicati AB e CD sono quindi equipollenti, se il quadrilatero

ABDC è un parallelogramma (inclusi i casi degeneri). Un vettore libero, o

A

B

C

D

A = C

B = D

Figura 13.3

semplicemente vettore, è una classe di equivalenza di segmenti equipollen-

ti, cioè è l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un segmento

orientato assegnato.

Considerato un vettore, che indicheremo con u o con −→u , se AB è un suo

rappresentante si pone

u = B − A oppure B = A+ u.



Il modulo o norma del vettore u = B − A si indica con

‖u‖ , o ‖B − A‖ , o |u| , o |B − A| .

Il vettore libero individuato da un qualunque vettore applicato nullo si

chiama vettore nullo e si indica con 0. I vettori con modulo 1 sono detti

versori.

Osserviamo che dato un segmento orientato AB e un punto O esiste uno

e un solo segmento orientato OP a esso equipollente. Infatti, supponiamo

B 6= A e O non appartenente alla retta AB. Allora, si conduca da B la

parallela alla retta AO e da O la parallela alla retta AB; detto P il punto

comune alle due rette, si ha AB equipollente a OP . Analogamente negli altri

casi.

13.2 Somma di due vettori

La somma di due vettori si definisce su due rapresentanti dei vettori. Essa è

definita nel modo seguente. Scelto un punto A, se B−A è un rappresentante

del vettore u e C−B un rappresentante del vettore v allora C−A è un rap-

presentante del vettore u + v (vedi Figura 13.4). L’operazione non dipende

dalla scelta del punto A. È possibile costruire il rappresentante del vettore

u + v anche mediante la regola del parallelogramma (se u e v non hanno la

stessa direzione).

Se B − A è un rappresentante del vettore u e D − A un rappresentante del

vettore v, si costruisce il parallelogramma ABCD e il segmento orientato

AC rappresenta u + v (vedi Figura 13.5). Dalla definizione precedente segue

facilmente che la somma di due vettori è una operazione commutativa, cioè



A B

C

Figura 13.4

A B

CD

Figura 13.5

per ogni coppia di vettori u,v si ha:

u + v = v + u.

Inoltre si osservi che per il vettore nullo 0 si ha:

u + 0 = 0 + u = u,

qualunque sia il vettore u.

Se u = B −A e se denotiamo con −u il vettore rappresentato da A−B,

si ha l’identità

u+ (−u) = 0.



Inoltre, l’operazione di somma di due vettori è associativa, cioè si ha:

u+ (v + w) = (u + v) + w,

per ogni terna di vettori u,v,w. Infatti, si ha:

(B − A) + (C −B) + (D − C) = D − A,

comunque si raggruppino gli addendi (vedi Figura 13.6). Possiamo quindi

A B

CD

Figura 13.6

dire:

• L’insieme dei vettori con l’operazione di somma forma un gruppo com-

mutativo.

13.3 Prodotto di un vettore per un numero reale

Il prodotto λu di un vettore u per un numero reale λ è, per definizione, il

vettore che ha la stessa direzione di u, modulo uguale a quello di u moltipli-

cato per |λ| e verso concorde o discorde con quello di u, a seconda che λ sia

positivo o negativo. Se λ = 0 oppure u = 0 allora si pone λu = 0. Si osservi



PSfrag

u 2u −0.5u

Figura 13.7

che valgono le proprietà seguenti.

λ (u + v) = λu+λv,

(λ+ µ)u = λu + µu,

(λµ)u = λ (µu) ,

1u = u,

dove u e v sono due vettori e λ, µ ∈ R. Si ha quindi che l’operazione di

moltiplicazione di un vettore per uno scalare è compatibile con la somma di

vettori e con le operazioni di somma e prodotto tra gli scalari.

Si dice allora che l’insieme dei vettori, definiti come classi di segmenti del

piano orientati equipollenti con le operazioni di somma e di moltiplicazione

per uno scalare è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Diamo infine, la seguente definizione.

• Due vettori u e v si dicono paralleli se hanno rappresentanti sulla

stessa retta, cioè se

u = λv.

Si osservi che per definire i vettori e le operazioni di somma e prodotto

sono stati usati soltanto il concetto di parallelismo tra rette e la possibilità

di confrontare le lunghezze di segmenti situati su rette parallele. Non è



invece necessario disporre di un’unità di misura assoluta delle distanze né

del concetto di perpendicolarità.

13.4 Angolo di due vettori

Fissato un punto O, si considerino i vettori u = A−O e v = B−O. L’angolo

(u,v) tra i due vettori è l’angolo convesso delle semirette AO,OB.

13.5 Prodotto scalare di due vettori

Dati due vettori u e v, si dice prodotto scalare dei vettori u e v il numero reale

prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell’angolo da essi determinato.

Se indichiamo il prodotto scalare con u · v possiamo scrivere:

u× v = |u| |v| cos (u,v) .

Il prodotto scalare di due vettori è nullo se almeno uno dei due vettori è

il vettore nullo oppure se il coseno dell’angolo da essi formato è nullo, cioè se

i due vettori sono ortogonali.

Possiamo quindi dire che

• Condizione necessaria e sufficiente affinché due vettori u e v siano

ortogonali è che

u× v = 0.

Se u = v, allora si ha:

u× u = |u| |u| =(|u|2

),



ossia il modulo di un vettore u è la radice quadrata del numero u× u.

Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà.

i) u× v = v × u;

ii) (λu)× v = u× (λv) ;

iii) u× (v + w) = u× v + u×w;

iv) u× v ≥ 0; u× v = 0⇔ u = 0.

13.6 Prodotto vettoriale e prodotto misto di

due vettori

Dati due vettori u e v si definisce prodotto vettoriale o prodotto esterno u∧v

dei due vettori, un vettore per cui:

a) il modulo è espresso dall’area del parallelogramma che ha u e v come

lati, cioè:

|u| |v| sinφ,

dove φ è uno degli angoli orientati formati da due rette orientate come

u e v;

b) la direzione è perpendicolare sia alla direzione di u che a quella di v;

c) il verso è quello di un osservatore che posto sul piano di u e v (immag-

inati uscenti da uno stesso punto), vede la minima rotazione di u per

sovrapporsi a v avvenire in verso antiorario.



A B

C

u

v

u ∧ v

Figura 13.8

Si ha che

• Il prodotto vettoriale di due vettori non nulli è nullo se e solanto se i

due vettori hanno la stessa direzione.

Per il prodotto vettoriale valgono le seguenti proprietà.

i) (u + u′) ∧ v = u ∧ v + u

′ ∧ v,

ii) u ∧ (v + v′) = u ∧ v + u ∧′

v,

iii) (λu) ∧ v = u ∧ (λv) = λ(u ∧ v), λ ∈R,

iv) u ∧ v = −v ∧ u,

v) u ∧ u = 0.

Il prodotto misto di tre vettori u,v,w è il numero reale u×v ∧w (ovvia-

mente si esegue prima il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare, motivo

per il quale è possibile omettere le parentesi).

Si ha che se almeno uno dei suoi tre fattori è nullo, il prodotto misto è

nullo. Inoltre, il prodotto misto è nullo se e soltanto se v ∧w è perpendi-



colare a u. Ma, poiché v ∧w è normale a v e w, ne segue che u,v,w sono

complanari o, piú in generale, paralleli a un medesimo piano.

Sia il prodotto misto dei tre vettori non nullo e immaginiamo i tre vettori

uscenti da uno stesso punto. Il vettore v ∧w ha lunghezza uguale all’area

del parallelogramma costruito sui due vettori; inoltre, u× v ∧w è dato dal

prodotto della lungezza di u per la lunghezza di v ∧w per il coseno del-

l’angolo di tali vettori. Ne segue che u× v ∧w rappresenta il volume del

parallelepipedo costruito sui tre vettori come lati.


Capitolo 14

Geometria analitica dello spazio

14.1 Riferimenti cartesiani nello spazio

Un riferimento cartesiano nello spazio si ottiene fissando tre rette x, y, z

uscenti da uno stesso punto O e non giacenti su uno stesso piano (assi

coordinati) e un punto U non appartenente ai tre piani xy, yz, xz (piani

coordinati).

Per ogni puntoP dello spazio si considerano i tre piani per il punto

paralleli ai tre piani coordinati. Tali piani intersecano gli assi coordinati

rispettivamente in tre punti Px, Py, Pz.

Le coordinate cartesiane di un punto P , se indichiamo con−→i ,−→j e−→k tre

versori fondamentali, sono le componenti del vettore

−→OP = OPx

−→i +OPy

−→j +OPz

−→k = x

−→i + y

−→j + z

−→k

e si chiamano rispettivamente ascissa, ordinata e quota.

In tal modo si viene a stabilire una biezione tra i punti dello spazio e le

terne ordinate di numeri reali.

131


Se P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) sono due punti qualsiasi dello spazio si ha

che le componenti del vettore−−→P1P2 sono rispettivamente

(x2 − x1), (y2 − y1), (z2 − z1).

Se α è un piano qualunque dello spazio, P0 un punto di esso e −→v =

a−→i +b

−→j +c

−→k è un vettore perpendicolare al piano, il piano può considerarsi

come luogo dei punti P (x, y, z) dello spazio per i quali i due vettori P0P e −→vsono perpendicolari. Allora sarà nullo il loro prodotto scalare

P0P ×−→v ,

cioè sarà

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.

L’equazione precedente si può scrivere anche

ax+ by + cz + d = 0. (14.1)

La terna a, b, c non tutta nulla è proporzionale ai coseni direttori di ogni retta

normale al piano. Poiché a, b, c, d sono determinati a meno di un comune

fattore di proporzionalità non nullo, i piani dello spazio dipendono da tre

parametri indipendenti. Se un piano passa per l’origine la sua equazione è

priva del termine noto d.

Se è c = 0, il vettore −→v = a−→i + b

−→j è tale che

−→v ×−→k = 0,

ed è dunque perpendicolare all’asse z, ma −→v è perpendicolare al piano

ax+ by + d = 0,



onde tale piano deve essere parallelo all’asse z e, viceversa, se un piano è

parallelo all’asse z nella sua equazione deve essere c = 0.

Ragionando in modo analogo nel caso a = 0, o b = 0, si può affermare che

un piano è parallelo all’asse x (o y o z) se, e soltanto se, nella sua equazione

è nullo il coefficiente della x (della y o della z).

Se nell’equazione (14.1) si ha c = d = 0, il piano passa per l’origine ed è

parallelo all’asse z, onde contiene l’asse z ed ha equazione

ax+ by = 0.

Analogamente, i piani per l’asse x e per l’asse y hanno rispettivamente

equazioni

by + cz = 0, ax+ cz = 0.

Se a = b = 0, il piano, dovendo essere simultaneamente parallelo all’asse

x e all’asse y, è parallelo al piano xy e ha un’equazione del tipo

z = costante.

Analogamente, i piani paralleli ai piani xz, yz hanno equazioni rispettive

y = costante e z = costante.

Infine, se nell’equazione (14.1) è a = b = d = 0 il piano deve passare per

l’origine ed essere parallelo al piano xy, ossia coincide col piano xy, che ha

pertanto equazione

z = 0.

Analogamente,

x = 0, y = 0,

sono le equazioni rispettive dei piani coordinati yz e xz.



14.2 Stella di piani di centro un punto

Imponendo al piano (14.1) di passare per il punto P0(x0, y0, z0) deve essere

ax0 + by0 + cz0 + d = 0,

onde è d = − (ax0 + by0 + cz0), ossia l’equazione dei piani per P0 è

a (x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.

Pertanto tutti i piani per un punto dipendono da tre paramenri omogenei,

ovvero da due essenziali.

Tale insieme di piani è detto stella di piani di centro P0.

14.3 Piano per tre punti

Dati i tre punti non allineati P1(x1, y1, z1), P (x2, y2, z2) e P3(x3, y3, z3) l’e-

quazione del piano per essi, si può scrivere nella forma

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x y z 1

x1 y1 z1 1

x2 y2 z2 1

x3 y3 z3 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (14.2)

Se i tre punti giacciono rispettivamente sui tre assi coordinati, essendo cioè

P1(p, 0, 0), P2(0, q, 0) e P3(0, 0, r), la (14.2) si riduce alla forma

x

p+y

q+z

r= 1,

che si dice equazione segmentaria del piano, in quanto sono evidenziati i

segmenti staccati dal piano sugli assi.



14.4 Parallelismo di due piani

Siano dati due piani π e π′ di equazioni

ax+ by + cz + d = 0

e

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0.

Se essi sono paralleli, allora i due vettori

−→v = a−→i + b

−→j + c

−→k

e

−→v′ = a′

−→i + b′

−→j + c′

−→k ,

rispettivamente perpendicolari a π e π′, sono tra loro paralleli, cioè le loro

componenti sono proporzionali, cioè:

a

a′=b

b′=c

c′.

In definitiva le equazioni di due piani paralleli differiscono per il termine noto.

14.5 Equazione cartesiana di una retta nello

spazio

Sia r una retta dello spazio, P0(x0, y0, z0) un suo fissato punto e −→v = l−→i +

m−→j +n

−→k un vettore parallelo ad r. La retta r è il luogo dei punti P (x, y, z)

tali che il vettore−−→P0P è parallelo al vettore −→v . Dovrà quindi essere

x− x0 = λl, y − y0 = λm, z − z0 = λn, (14.3)



da cui

x = x0 + λl, y = y0 + λm, z = z0 + λn,

che si dicono equazioni parametriche della retta.

Da esse, si deduce

x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n. (14.4)

L’equazione (14.4) fornisce anche, al variare dei tre parametri omogenei

l,m, n, le equazioni delle rette per un punto o stella di rette per P0. Esse

dipendono da due parametri indipendenti.

Se nelle (14.3) si pone n = 1, si hanno per la retta le equazioni

x− x0 = l(z − z0),

y − y0 = m(z − z0),(14.5)

il che equivale a rappresentare la retta come intersezione dei piani per essa

rispettivamente paralleli all’asse y e all’asse x.

Posto

p = x0 − lz0, q = y0 −mz0,

le (14.5) divengono

x = lz + p,

y = mz + q,

che si chiamano equazioni ridotte della retta.

Le rette dello spazio sono quindi rappresenate biettivamente dalla quater-

na di parametri essenziali l,m, p, q e pertanto le rette dello spazio dipendono

da quattro parametri.



La forma più generale per una rappresentazione analitica di una retta

nello spazio è data dal sistema

ax+ by + cz + d = 0,

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0.(14.6)

In tal caso essa viene rappresentato come intersezione di due qualsiasi piani

distinti e non paralleli.

14.6 Fasci di piani

Si chiama fascio di piani la totalità dei piani passanti per una retta (fascio

proprio) che si chiama asse del fascio, ovvero la totalità dei piani paralleli a

un piano (fascio proprio).

I piani di un fascio hanno equazione

λ(ax+ by + cz + d) + µ(a′x+ b′y + c′z + d′) = 0.

14.7 Parallelismo di retta e piano

Dato il piano ax+by+cz+d = 0 e la rettax− x0

l=y − y0

m=z − z0

nla loro

condizione di parallelismo equivale al fatto che il vettore −→v = a−→i +b−→j +c

−→k ,

perpendicolare al piano, e il vettore−→v′ = l

−→i +m

−→j +n

−→k , parallelo alla retta,

siano perpendicolari, ossia che abbiano prodotto scalare nullo. La condizione

richiesta è pertanto

al + bm+ cn = 0. (14.7)



Se la retta è data nella forma

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

a′′x+ b′′y + c′′z + d′′ = 0

e il piano ha equazione (14.1), la condizione (14.7) diventa:

A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c

a′ b′ c′

a′′ b′′ c′′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.

Si consideri il sistema dato dalle equazioni di tre piani π, π′, π′′

ax+ by + cz + d = 0,

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0,

a′′x+ b′′y + c′′z + d′′ = 0.

Tale sistema può essere determinato, cioè ammettere un’unica soluzione, data

dal punto di intersezione dei tre piani, se il determinante A dei coefficienti

è diverso da zero (in questo caso la retta e il piano non sono paralleli). Se

A = 0 il sistema è impossibile o indeterminato. Il primo caso si ha se π non

interseca la retta comune a π′ e π′′, cioè se la retta r è parallela al piano π.

Il sistema è indeterminato se essi appartengono a un fascio proprio, oppure

se i tre piani coincidono (il che attualmente non accade perché i piani π′ e

π′′ sono distinti).

14.8 Complanarità di due rette

La retta r sia data dal sistema

ax+ by + cz + d = 0,

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0,



e la retta r′ dal sistema

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0,

a′1x+ b′1y + c′1z + d′1 = 0.

La complanarità delle due rette equivale all’esistenza di un piano comune ai

due fasci aventi come assi le due rette date, rappresentati rispettivamente

dalle equazioni seguenti:

(λa+ µa′)x+ (λb+ µb′)y + (λc+ µc′)z + (λd+ µd′) = 0,

(λ1a1 + µ1a′

1)x+ (λ1b1 + µ1b′

1)y + (λ1c1 + µ1c′

1)z + (λ1d1 + µ1d′

1) = 0.

Devono pertanto esistere quattro valori dei parametri λ, µ, λ1, µ1 tali che le

due equazioni precedenti abbiano coefficienti proporzionali. Ciò accade se e

soltanto se il determinante dei coefficienti

△ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a b c d

a′ b′ c′ d′

a1 b1 c1 d1

a′1 b′1 c′1 d′1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

è nullo.

Se le due rette sono scritte in forma ridotta

x = lz + p,

y = mz + q,

x = l′z + p′,

y = m′z + q′,



la condizione di complanarità si scrive

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 −l −p0 1 −m −q1 0 −l1 p1

0 1 m1 −q1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

da cui, sottraendo dalla terza riga la prima e dalla quarta la seconda, si

ottiene:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 −l −p0 1 −m −q0 0 l − l1 p− p1

0 0 m−m1 q − q1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0,

ossia∣∣∣∣∣∣

l − l1 p− p1

m−m1 q − q1

∣∣∣∣∣∣= 0.

14.9 Piano per un punto parallelo a due rette

Siano date due rette non parallele di parametri direttori rispettivamente

l,m, l′,m′. Il piano per P0(x0, y0, z0) parallelo alle due rette è il piano delle

parallele alle rette date passanti per P0. Pertanto, i coefficienti dell’equazione

di tale piano debbono soddisfare le due condizioni

al + bm+ cn = 0,

al′ + bm′ + cn′ = 0.

Si tratta di un sistema di due equazioni omogenee nelle tre incognite omoge-

nee a, b, c, cioè definite a meno di un comune fattore di proporzionalità non



nullo ρ. Il piano richiesto ha pertanto equazione:∣∣∣∣∣∣

m n

m′ n′

∣∣∣∣∣∣(x− x0)−

∣∣∣∣∣∣

l n

l′ n′

∣∣∣∣∣∣(y − y0) +

∣∣∣∣∣∣

l m

l′ m′

∣∣∣∣∣∣(z − z0) = 0,

che si può scrivere anche nella forma:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x− x0 y − y0 z − z0

l m n

l′ m′ n′

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.

14.10 Piano per un punto perpendicolare a una

retta data

Sia r rappresentata nella forma (14.4):

x− x0

l=y − y0

m=z − z0

n.

Ogni vettore perpendicolare a un piano normale a r, deve essere parallelo

a r e pertanto ogni piano siffatto avrà equazione del tipo

lx+my + nz + d = 0.

Se esso passa per P0(x0, y0, z0) avrà equazione

l(x− x0) +m(y − y0) + n(z − z0) = 0.

Pertanto, la retta (14.4) e il piano ax+by+cz+d = 0 sono perpendicolari

se e soltanto se

a

l=

b

m=c

n.



14.11 Perpendicolarità di due piani

Dati due piani π e π′ la loro perpendicolarità equivale alla perpendicolarità

dei vettori perpendicolari a essi, di componenti rispettive a, b, c e a′, b′c′.

Pertanto la condizione sarà espressa da:

aa′ + bb′ + cc′ = 0.


Capitolo 15

Linee e superficie nello spazio

15.1 Equazione di una superficie

Si definisce superficie l’insieme dei punti che con le loro coordinate soddisfano

a un’equazione del tipo

ϕ(x, y, z) = 0, (15.1)

che si chiama equazione cartesiana della superficie.

Fissate due delle tre variabioli x, y, z la terza rimane determinata, anche se

non univocamente dalla condizione (15.1). Pertanto, i punti di una superficie

dipendono da due parametri e quindi si può dire che una superficie è un ente

a due dimensioni. Se la (15.1) è un’equazione lineare, la superficie è un piano.

Una superficie si può anche rappresentare parametricamente

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

(15.2)

143


dove u e v sono i parametri che rappresentano il punto variabile sulla super-

ficie.

15.2 Classi notevoli di superficie

Una superficie si dice rigata se essa consta di una famiglia di rette dipendenti

da un parametro. Le rette della rigata si chiamano anche generatrici della

rigata.

Fra le superficie rigate abbiamo i coni e i cilindri che sono famiglie di

rette passanti rispettivamente per un punto che si chiama vertice del cono,

ovvero generatrici tutte parallele tra loro, nel qual caso il vertice è un punto

improprio.

Si chiama direttrice di una rigata una curva tracciata sulla rigata stessa

che incontri in un sol punto tutte le generatrici.

Dati nello spazio una linea L e un punto V le rette che congiungono V

con i punti di L costituiscono una rigata, che è un cono di vertice V , del

quale L è una direttrice. Se da ogni punto di L si considerano le parallele

a una retta data, le rette così ottenute sono le generatrici di un cilindro del

quale L è una diretttrice.

Osserviamo che tre direttrici L1,L2,L3 individuano una rigata nel modo

seguente. Per fissare le idee, si consideri un punto V variabile su L1 e si

considerino i coni di vertice V e direttrici rispettive L2 e L3. Essi si incontrano

in un numero finito di generatrici. Al variare di V su L1, si ottiene una

rigata luogo di rette che si appoggiano alle tre direttrici L1,L2,L3 (cioè che

le intersecano) dipendenti dal parametro t del punto variabile sulla curva L1.

Ad esempio se L1,L2,L3 sono tre rette, r1, r2, r3, a due a due sghembe dello



spazio, la rigata da esse individuata è il luogo delle rette intersezioni dei piani

Pr2 e Pr3 al variare di P su r1. Tale rigata ha un’equazione cartesiana di

secondo grado che si chiama quadrica rigata.

15.3 Superficie di rotazione

Facendo ruotare una linea L intorno a una retta che si chiama asse di

rotazione, si genera una superficie di rotazione o rotonda.

Ogni punto di L descrive una circonferenza detta parallelo, che giace in

un piano perpendicolare all’asse.

I piani per l’asse intersecano la superficie secondo curve simmetriche

rispetto all’asse, dette meridiani.

La superficie può considerarsi generata da un meridiano che ruoti intorno

all’asse.

15.4 Superficie algebriche

Una superficie si dice algebrica se la sua equazione cartesiana è un polinomio

in x, y, z uguagliato a zero,

f(x, y, z) = 0.

Si dice ordine di una superficie algebrica il grado del polinomio che la

rappresenta. Ad esempio, i piani sono superficie algebriche di ordine 1, le

quadriche sono superficie algebriche di ordine 2.

Se consideriamo la retta

x = lz + p,

y = mz + q,



essa interseca la superficie in un numero di punti uguale all’ordine della

superficie stessa.

15.5 Equazioni particolari di una superficie

Se nell’equazione di una superficie in coordinate cartesiane manca una delle

tre variabili, cioè se è per esempio della forma f(x, y) = 0, essa è un cilindro

con generatrici parallele all’asse della coordinata mancante, cioè all’asse z.

Infatti se p e q sono tali che f(p, q) = 0, ogni punto della retta, parallela

all’asse z,

x = p,

y = q,

appartiene alla superficie, che risulta così un cilindro con generatrici parallele

all’asse z. Ad esempio se f(x, y) = 0 coincide con ax + by + c = 0, la

superficie è un piano parallelo all’asse z, precisamente il piano che si ottiene

considerando le parallele all’asse z uscenti da ciascun punto della retta del

piano xy rappresentata ivi dalla retta ax+ by + c = 0.

Se l’equazione f(x, y, z) = 0 è omogenea di ordine k nelle coordinate non

omogenee x, y, z, cioè è tale che

f(λx, λy, λz) = λkf(x, y, z) = 0,

la superficie è un cono con vertice nell’origine. Infatti, se P (l,m, n) è un

punto della superficie, si avrà

f(l,m, n) = 0⇔ f(λl, λm, λn) = 0.



Ne segue che se P (l,m, n) appartiene alla superficie, tutti i punti di coordi-

nate x = λl, y = λm, z = λn, cioè tutti i punti della retta OP , appartengono

alla superficie.

Più in generale se l’equazione di una superficie è omogenea nei binomi

(x− x0), (y − y0), (z − z0), la superficie è un cono di vertice P0(x0, y0, z0).

15.6 Rappresentazione di curve nello spazio

Una curva è un luogo di punti dipendenti ad un parametro t, pertanto le

equazioni parametriche di una curva nello spazio saranno del tipo

x = x(t),

y = y(t),

z = z(t).

Una curva può anche rappresentarsi come intersezione di due superficie

f1(x, y, z) = 0,

f2(x, y, z) = 0.(15.3)

15.7 Proiezioni piane di una curva dello spazio

Una curva si dice piana se tutti i suoi punti appartengono a un piano e

sghemba, o gobba, in caso contrario.

Sia L una curva piana o sghemba rappresenata dal sistema (15.3). Se in

esso si elimina ad esempio la z, si ottiene un’equazione del tipo

g(x, y) = 0 (15.4)



che è soddisfatta dai punti di L. Ma la (15.4) rappresenta un cilindro con

generatrici paralelle all’asse z, pertanto essa rappresenta un cilindro con gen-

eratrici parallele all’asse z e passante per L, avente come generatrici le par-

allele all’asse z uscenti dai punti di L, ossia le perpendicolari al piano xy

uscenti dai punti di L. Pertanto se una curva L dello spazio è rappresentata

dalle due superficie f1(x, y, z) = 0 e f2(x, y, z) = 0, eliminando la x (o la y o

la z) tra le due precedenti equazioni, si ottiene un’equazione in yz (o in xz o

in xy) che, interpretata come equazione di una curva nel piano yz (o in xz o

in xy), rappresenta la proiezione ortogonale di L su tale piano.

15.8 Curve tracciate sopra una superficie

Se

x = x(u, v),

y = y(u, v),

z = z(u, v),

sono le equazioni parametriche di una superficie, ponendo u = u(t), v = v(t),

si ottengono le equazioni parametriche

x = x(u(t), v(t)),

y = y(u(t), v(t)),

z = z(u(t), v(t)),

che rappresentano ovviamente una curva appartenente alla superficie e vice-

versa.


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