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Lezione 1. Introduzione alle proprietà strutturali
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ቐ𝑥 𝑘 + 1 =
1 01 −1
𝑥 𝑘 +01𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 1 1 𝑥 𝑘
𝐺 𝑧 = 1 1𝑧 − 1 0−1 𝑧 + 1
−101
= ⋯
… =𝑧 − 1
𝑧 − 1 𝑧 + 1=
1
𝑧 + 1
Qual è il «significato» di questa cancellazione?
Esempio: cancellazione polo/zero
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൞
𝑥1 𝑘 + 1 = 𝑥1 𝑘
𝑥2 𝑘 + 1 = 𝑥1 𝑘 − 𝑥2 𝑘 + 𝑢
𝑦 𝑘 = 𝑥1 𝑘 + 𝑥2 𝑘
𝑘
ቊ𝑥2 𝑘 + 1 = −𝑥2 𝑘 + 𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 𝑥2 𝑘
ቐ𝑥 𝑘 + 1 =
1 01 −1
𝑥 𝑘 +01𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 1 1 𝑥 𝑘
Si osservi che per 𝑥1 0 = 0 allora 𝑥1 𝑘 = 0 per ogni 𝑘 ≥ 0
il sistema, dal punto di vista ingresso/uscita, è identico a
𝐺 𝑧 =1
𝑧 + 1
Si esplicitino le equazioni di stato
Quindi, quando si ha condizione iniziale 𝑥1 0 = 0 ,
Il fatto che ci sia una cancellazione nella funzione di trasferimento
consiste nel fatto che una variabile di stato “non si veda” nella
rappresentazione ingresso/uscita.
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La funzione di trasferimento è detta rappresentazione esterna del
sistema, mentre quella in variabili di stato è detta rappresentazione
interna. In generale, però, non hanno il medesimo contenuto
informativo (la rappresentazione di stato “dice” sempre tutto, la
funzione di trasferimento solo se non ci sono cancellazioni)
?
Rappresentazione interna
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘
Rappresentazione esterna
𝑌 𝑧 = 𝐺 𝑧 𝑈 𝑧
𝑥 0 = 0
𝐺 𝑧 = 𝐶 𝑧𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷
“realizzazione”con
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ቊ𝑥 𝑘 + 1 = 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘
𝑥 𝑘 = 𝑇𝑥 𝑘
൝𝑥 𝑘 + 1 = 𝑇𝑥 𝑘 + 1 = 𝑇 𝐴𝑥 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 = 𝑇𝐴𝑇−1 𝑥 𝑘 + 𝑇𝐵𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = 𝐶𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘 = 𝐶𝑇−1 𝑥 𝑘 + 𝐷𝑢 𝑘
det 𝑇 ≠ 0
Cambiamento di variabili di stato
con
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ~ ሚ𝐴, ෨𝐵, ሚ𝐶, ෩𝐷
൝𝑥 𝑘 + 1 = ሚ𝐴𝑥 𝑘 + ෨𝐵𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = ሚ𝐶 𝑥 𝑘 + ෩𝐷𝑢 𝑘ሚ𝐴 = 𝑇𝐴𝑇−1, ෨𝐵 = 𝑇𝐵, ሚ𝐶 = 𝐶𝑇−1, ෩𝐷 = 𝐷
Nota - Rappresentazioni equivalenti di sistemi LTI
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stesso sistema
(diversa rappresentazione di stato ma stesso legame ingresso-uscita)
Equilibrio
Movimento
det 𝐴 ≠ 0 ⇒ 𝑑𝑒𝑡 ሚ𝐴 ≠ 0 e 𝜇 = 𝜇
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ~ ሚ𝐴, ෨𝐵, ሚ𝐶, ෩𝐷
stesso movimento dell’uscita
in corrispondenza del medesimo ingresso e
della condizione iniziale
𝑦 𝑡
𝑥0 = 𝑇𝑥0
Autovalori
Gli autovalori si A e di A sono uguali. Per questa ragione la stabilità è
una proprietà strutturale, poichè non dipende dalla particolare
rappresentazione del sistema.
⁓
7
Esempio di simulazione
𝐴 =−0.5 0.50.5 0.5
𝐵 =11
𝒙 𝑘 + 1 = 𝐴𝒙 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘
𝒚 𝑘 = 𝐶𝒙 𝑘𝐶 = 1 −1
ingresso random uscita
stato x1 stato x2
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Rappresentazione della traiettoria delle variabili di stato nello
spazio di stato x1-x2
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Effettuiamo un cambiamento di variabili di stato usando la trasformazione
𝑇 =−1 −11 0
Le nuove variabili di stato saranno quindi calcolate a partire dalle vecchie così
𝒙 𝑘 = 𝑇𝒙 𝑘
𝑥1 𝑘 = −𝑥1 𝑘 − 𝑥2 𝑘𝑥2 𝑘 = 𝑥1 𝑘
Il sistema viene quindi rappresentato come segue
ሚ𝐴 = 𝑇𝐴𝑇−1 =1 1
−0.5 1෨𝐵 = 𝑇𝐵 =
−21
𝒙 𝑘 + 1 = ሚ𝐴𝒙 𝑘 + ෨𝐵𝑢 𝑘
𝑦 𝑘 = ሚ𝐶𝒙 𝑘ሚ𝐶 = 𝐶𝑇−1 = 1 2
Come cambierà il comportamento del sistema
applicando il medesimo (identico) ingresso di prima?
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L’uscita non cambia. Il comportamento
ingresso/uscita rimane inalterato. Il sistema è lo
stesso, è solo stato modificato lo spazio di stato.
uscita vecchia uscita nuova
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stato x1 vecchio
stato x2 vecchio
stato x1 nuovo
stato x2 nuovo
~~
~
~
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Rappresentazione della traiettoria delle variabili di stato nei due
spazi di stato
Lo spazio di stato è stato ruotato e scalato.
vecchio nuovo
~~
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𝐿 ሶ𝑥1 𝑡 = 𝑅 𝑢 𝑡 − 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡
𝐿 ሶ𝑥2 𝑡 = 𝑅 𝑢 𝑡 − 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝑅 𝑢 𝑡 − 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡
𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡
𝐿
𝑢 𝑡
𝐿𝑅𝑦 𝑡
La rete è descritta dalle seguenti equazioni:
Esempio
Due induttori
identici in
parallelo
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ቊሶ𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡
𝐴 =−𝑅
𝐿−𝑅
𝐿
−𝑅
𝐿−𝑅
𝐿
𝐵 =
𝑅
𝐿𝑅
𝐿
Le equazioni della rete ammettono questa scrittura in variabili di stato:
𝐶 = −𝑅 −𝑅
𝐷 = 𝑅
𝐺 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷 =𝑠𝑅
𝑠 + 2𝑅𝐿
C’è una
cancellazione!
La funzione di trasferimento è:
Per analizzare il sistema si effettui il seguente cambio di variabili di stato:
𝑥 𝑡 = 𝑇𝑥 𝑡 con 𝑇 =1 11 −1 det 𝑇 ≠ 0Si osservi che
cioè: ቊ𝑥1 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡
𝑥2 𝑡 = 𝑥1 𝑡 − 𝑥2 𝑡
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൝ሶ𝑥 𝑡 = ሚ𝐴 𝑥 𝑡 + ෨𝐵𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = ሚ𝐶 𝑥 𝑡 + ෩𝐷𝑢 𝑡
ሚ𝐴 = 𝑇𝐴𝑇−1 =1 11 −1
−𝑅
𝐿−𝑅
𝐿
−𝑅
𝐿−𝑅
𝐿
1
21 11 −1
= −2𝑅
𝐿𝟎
𝟎 𝟎
෨𝐵 = 𝑇𝐵 =1 11 −1
𝑅
𝐿𝑅
𝐿
=2𝑅
𝐿𝟎
ሚ𝐶 = 𝐶𝑇−1 = −𝑅 −𝑅1
21 11 −1
= −𝑅 𝟎
෩𝐷 = 𝐷 = 𝑅
Il sistema, nelle nuove variabili di stato, sarà descritto dalle seguenti
equazioni:
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La funzione di trasferimento è (ovviamente) uguale:
𝐺 𝑠 = ෨𝐺 𝑠 = ሚ𝐶 𝑠𝐼 − ሚ𝐴−1 ෨𝐵 + ෩𝐷 =
𝑅𝑠2
𝑠 𝑠 +2𝑅𝐿
=𝑅𝑠
𝑠 +2𝑅𝐿
Qual è il significato della cancellazione?
La rappresentazione nelle nuove variabili di stato ci aiuta:
ሶ𝑥1 𝑡 = −2𝑅
𝐿𝑥1 𝑡 +
2𝑅
𝐿𝑢 𝑡
ሶ𝑥2 𝑡 = 0
𝑦 𝑡 = −𝑅 𝑥1 𝑡 + 𝑅𝑢 𝑡
L’ingresso u non influenza x2, nè
direttamente, nè tramite x1.
⁓
⁓
L’uscita y non è influenzata da x2, nè
direttamente, nè tramite x1.
⁓
⁓
Nel legame ingresso/uscita non si “vede” lo stato x2⁓
Infatti x2 è la differenza tra le correnti negli induttori e sono sempre uguali!⁓
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𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡
𝐿
𝑢 𝑡
𝐿𝑅𝑦 𝑡
𝑥1 𝑡
𝐿
2
𝑢 𝑡
𝑅𝑦 𝑡
ቐሶ𝑥1 𝑡 = −
2𝑅
𝐿𝑥1 𝑡 +
2𝑅
𝐿𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = −𝑅 𝑥1 𝑡 + 𝑅𝑢 𝑡
𝐺 𝑠 =𝑅𝑠
𝑠 +2𝑅𝐿
Riscrivendo le equazioni del sistema dinamico «ridotto» e calcolando
la funzione di trasferimento si ha:
Non posso «controllare»
indipendentemente le due
correnti negli induttori.
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Nelle prossime lezioni saranno studiate le proprietà strutturali
dei sistemi dinamici che spiegano i problemi connessi con le
cancellazioni (e non solo).
La più nota delle proprietà strutturali è la stabilità.
Altre proprietà strutturali sono:
✓ Raggiungibilità e controllabilità
✓ Osservabilità e ricostruibilità
Queste proprietà saranno definite per sistemi LTI a tempo
discreto, ma le definizioni potranno essere estese ai sistemi
dinamici a tempo continuo (ed ai sistemi ad eventi), a patto di
prestare alcune attenzioni.
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In quale misura è possibile influire sulla dinamica dei sistemi agendo sull’ingresso?
Raggiungibilità: fissato lo stato iniziale, qual è l’insieme di stati in cui può essere
portato il sistema agendo sull’ingresso?
x0
u1
u2
un
x1
x2
xn
.
.
.
?
Controllabilità: fissato lo stato finale, qual è l’insieme degli stati a partire dai
quali esiste qualche ingresso che porta il sistema nello stato finale?
xf
u1
u2
un
x1
x2
xn
.
.
.
?
Per i sistemi lineari le proprietà di raggiungibilità e di controllabilità sono riferite
allo stato x=0.
Quindi si parla di insiemi di stati controllabili (a 0) e stati raggiungibili (da 0).
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In quale misura è possibile determinare lo stato di un sistema a partire dai dati di
uscita (ed ingresso)?
Osservabilità: è possibile determinare lo stato al tempo usando
misure di uscita (ed ingresso) a tempi precedenti
෨𝑘
Ricostruibilità: è possibile determinare lo stato al tempo usando
misure di uscita (ed ingresso) a tempi successivi
𝑘 ≤ ෨𝑘
෨𝑘
𝑘 ≥ ෨𝑘
I concetti di osservabilità e ricostruibilità si riferiscono quindi
alla possibilità di determinare lo stato di un sistema a partire
dai dati di uscita (e di ingresso).
Infatti non sempre le variabili di stato sono direttamente
misurabili, ma possono essere necessarie/utili per risolvere un
problema di controllo.
Si pone quindi un problema di stima o ricostruzione dello
stato.