Lezione 5.Le Piastre Circolari
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Corso diProgetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 – 2013
Le piastre circolari ed
anulari
Dott. Marco VONADiSGG, Università di Basilicata
[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Sono considerate tali le piastre che abbiano carichi e vincoli dotatidi simmetria radiale
r r
Tutte le grandezze (spostamenti, deformazioni, tensioni …)
dipendono soltanto dalla variabile raggior
Il problema si risolve con equazioni differenziali ordinarie
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
L’impostazione del problema è analoga a quella del calcolo dellapiastra in coordinate rettangolari
Per ragioni di simmetria leincognite si riducono aTRE
Consideriamo un elementinoinfinitesimo di una piastracircolare
dθθθθ
M t
Mr
M t bz
t
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
M t bz
È evidente che sulle facceradiali si annullano i tagli etutti i momenti torcenti
dθθθθ
M t
Mr
z
t
Le equazioni siriducono a:
2 equazioni diequilibrio
2 di collegamento aMr ed Mt
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Equazioni di collegamento
t
r
χχ Curvatura radiale
Curvatura tangenziale
⋅=
D
M
M
t
r
1
1
νν
⋅
t
r
χχ
2
2
dr
wdr =χ
w spostamento in P
w1 spostamento in P1 drdr
dwww +=1
( )222 drrr +=+ λDa cui (a meno di infinitesimi del II ordine):
rdr22 =λ
rP
P1
dr
λ
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Equazioni di collegamento
Ricordando che la derivata seconda dell’abbassamento è propriopari alla curvatura si ha:
2
2
dr
wdr =χ
rdr
dw
rdr
drdr
dwwww
t ==+−=2
222
11
λχ
drLe equazioni di collegamento assumono quindi la forma
⋅=
D
M
M
t
r
1
1
νν
⋅
dr
dw
r
dr
wd
12
2
rdrrdr2λ
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Equazioni di collegamento
Ovvero ricordando che la rotazione ha la seguente espressione:
dr
dw−=ϕ
Le equazioni di collegamento assumono quindi la forma
⋅=
D
M
M
t
r
1
1
νν
⋅
r
dr
d
ϕ
ϕ
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
La forza corrispondente al caricoesternobz assume la forma:
Equilibrio delle forze in direzione verticale (assez)
r
z
bz ϑrdrdbz
Il corrispondente valore del taglio Q :
r
ϑQrddθθθθ
M t
Mr
M t bz
t
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
r
z
bz
Mr
M t bz
Equilibrio delle forze in direzione verticale (assez)
r
L’incremento di taglio Q lungo un generico elementodθ dellapiastra vale:
( )[ ] ( ) ϑϑϑ ddrdr
QrdQrdQrdQrd
+−=+−
dθθθθ
M t t
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Quindi l’equazione di equilibrio sipuò scrivere come:
[ ] ( )0=+ +−− ϑϑϑ rdrdbddr
QrdQrQrd
r
z
bz
Equilibrio delle forze in direzione verticale (assez)
[ ] ( )0=+
+−− ϑϑϑ rdrdbddrdr
QrdQrQrd z
Ovvero:
∫= rdrbQr z
( )rb
dr
Qrdz=
Integrandolungo il raggio ∫= rdrb
rQ z
1
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Consideriamo un carico applicato su di circonferenza di raggior
Integrando e tenendo conto delle condizioni al contorno si ha
r
Equazioni di equilibrio
r
ρρππ dbrQr
z∫=0
22
Da cui si ricava ρρdbr
Qr
z∫=0
1
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
In tali casi il problemadella soluzione
Piastre anulari vincolate lungo entrambi i bordi
Il taglio diviene iperstatico nel caso di piastre anulari vincolatelungo entrambi i bordi
In tali casi il problemadella soluzionenumerica si affronta riconducendo iltutto alla sovrapposizione di due o piùcasi a taglio isostatico
Quindi in generale il taglio Q può essere sempre consideratonoto
In tali termini lo si tratterà nel seguito
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
In tutti i casi di piastra circolare deveessere Q = 0 al centro (r = 0 ) ovvero:
Condizioni al contorno
01 0
0
== ∫=
ρρdbr
Qr
z
r
0r
Nel caso di piastra anulare libera a uno deidue bordi (supponiamo di raggio R ) deveessere Q = 0 perr = R quindi il taglio sicalcola come:
ρρdbr
Qr
R
z∫= 1
R
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
In tutti questi casi il taglio si puòdeterminare in base al solo equilibrioovvero il taglio èisostatico
Condizioni al contorno
r
Inoltre, deve essere ricordato che leespressioni per il calcolo del tagliopossono essere determinate anche inbase a condizioni di equilibrioglobale
R
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Equilibrio dei momenti intorno all’asse tangentet
Il momento corrispondente aMt vale:
ϑdrdM t
Il momento corrispondente abtz è infinitesimo di ordine superiore
( )0=+− ϑϑϑ drdMdrd
dr
rMdQrdrd t
t
L’equazione di equilibrio si scrive come:
( )QrM
dr
rMdt
t =−
Ovvero:
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Equilibrio dei momenti intorno all’asse tangentet
( ) ϑϑ drddr
rMdrdM r
r +Il momento corrispondenteal taglio Q vale:
ϑQrdrd
dθθθθt
ϑrdM r
ϑQrdrd
Il momento corrispondente aMr vale:
( ) ( ) ϑϑϑ drddr
rMdddr
dr
rMdrMrdM rr
rr =
+−
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Equilibrio dei momenti intorno all’asse tangentet
( )0=+− ϑϑϑ drdMdrd
dr
rMdQrdrd t
t
( )QrM
dr
rMdt
t =−Ovvero:
QrMdr t =−
Equazioni di collegamento
⋅=
D
M
M
t
r
1
1
νν
⋅
r
dx
d
ϕ
ϕ
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Sostituendo le equazioni di collegamento nell’equazione diequilibrio intorno a t si ottiene:
D
Qr
dr
d
rdr
dr
dr
d =
++
+− ϕνϕνϕϕ
Ovveroderivandoulteriormenterispettoadr esemplificando:Ovveroderivandoulteriormenterispettoadr esemplificando:
D
Q
rdr
d
rdr
d −=−+22
2 1 ϕϕϕ
Che può essere messa nella forma :
D
Q
dr
rd
rdr
d −=
ϕ1
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Tale espressione può risolversi perintegrazioni successive
D
Q
dr
rd
rdr
d −=
ϕ1
Indicando con il segno di apice la( ) Q=
′ ′′1Indicando con il segno di apice la
derivata rispetto alla variabiler ( )D
Qwr
r=
′′1
∫= rdrbr
Q z
1Ricordando l’espressione del taglio
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Moltiplicando perr e derivando entrambi i membri
( )D
bwr
rr
rz=
′
′
′′11
Ricordando che l’equazione della superficie elastica
È evidente l’analogia con l’equazione della linea elastica
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
È un’equazione differenziale ordinaria, lineare a coefficientivariabili
( )D
bwr
rr
rz=
′
′
′′11
Da tale espressione si può ricavare la curvatura
−++′
′−=−= ∫∫ ∫
′
221
00 02 2
11
r
CCQddQd
rDdr
d rr
r ρρρρϕχρ
++′
′−=−= ∫ ∫
′
221
0 02 2
11
r
CCdQd
rDdr
d r
r ρρρϕχρ
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
È un’equazione differenziale ordinaria, lineare a coefficientivariabili
( )D
bwr
rr
rz=
′
′
′′11
Da tale espressione si possono ricavare i momenti
( ) ( ) ( )221
00 02
12
11
r
CCQddQd
rM
rr
r ννρρρρν ρ
−−+++′
′−−= ∫∫ ∫
′
( ) ( ) ( )221
00 02
12
11
r
CCQddQd
rM
rr
t ννρνρρρν ρ
−++++′
′−= ∫∫ ∫
′
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Infine, quindi, la soluzione di carattere generale per la superficieelastica assume la forma:
Soluzione particolarenon omogenea
+′′
′
′
′′−== ∫ ∫ ∫∫
′′ ′rr
ddQdD
dw0 0 00
11 ρρρρρ
ρϕρ ρ
0 0 00
Soluzione generaleomogenea associata
La costante C3 può essere posta nella forma
323 ln rCC =Con r3 da determinarsi in base alle condizioni al contorno
+++ 32
2
1 ln4
CrCr
C
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
La soluzione di carattere generale del problema delle piastrecircolari è quindi la seguente
D
Q
dr
rd
rdr
d −=
ϕ1Da una prima integrazione di:
Si ottiene:
Integrando ancora
+−= ∫
r
CQdDdr
rd
r 0
1
11 ρϕ
+−= ∫
r
rCQdrDdr
rd
0
1
1 ρϕ
++′
′−= ∫ ∫
r r
CCr
dQdD
r0
21
2
0 2
1 ρρρϕ
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Ovvero:
La derivata seconda dello spostamentow ha forma:
++′
′−= ∫ ∫
r r
CCr
dQdrD 0
21
2
0 2
11 ρρρϕ
( ) ( ) =∂∂′
∂∂+
∂∂′
∂∂=
∂∂
xw
x
rw
rx
w ϑϑϑ
ϑ coscos2
2
∂∂∂∂∂ xxrx ϑ
rww
ϑϑ2
2 sincos ′+′′=
( ) ( ) =∂∂′
∂∂+
∂∂′
∂∂=
∂∂
yw
y
rw
ry
w ϑϑϑ
ϑ sinsin2
2
rww
ϑϑ2
2 cossin ′+′′=
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Applicando l’operatore di Laplace agli spostamenti
La derivata seconda dello spostamentow ha forma:
∂∂+
∂∂=∆
2
2
2
2
y
w
x
ww ν
( ) ( )ϑϑϑϑ 2222 cossin1
sincos +′++′′= wr
w ( ) ( )ϑϑϑϑ cossinsincos +′++′′= wr
w
( )′′=′+′′=∆ wrr
wr
ww11
EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
( )D
bwr
rr
rw z=
′
′
′′=∆ 112
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
La derivata prima dello spostamentow ha forma:
x
w
x
r
r
w
x
w
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂ ϑ
ϑ y
w
y
r
r
w
y
w
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂ ϑ
ϑ
Per un problemadi tipo assialsimmetrico lo spostamentow nonPer un problemadi tipo assialsimmetrico lo spostamentow nondipende daϑ e dunque si può scrive :
0≡∂∂ϑw
wdr
dw
r
w ′==∂∂
ϑcoswx
w ′=∂∂
ϑsinwy
w ′=∂∂
Le derivate prime dellospostamentow si semplificanoquindi nella forma :
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Deve essere osservato che all’equazione della superficie elastica sipoteva pervenire considerando la trasformazione da coordinatecartesiane a coordinate polari
y r
ϑϑ
sin
cos
ry
rx
==
x
ϑϑsinry =
x
y
yxr
arctan
22
=
+=
ϑ
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
y r
ϑ
Le derivate prime delle nuove coordinate polari
ϑcos22
==+
=∂∂
r
x
yx
x
x
r
ϑsin22
==+
=∂∂
r
y
yx
y
y
r
x
ϑ+∂ ryxy
rr
y
x
y
x
yx
ϑϑ sin
1
1222 −=−=
+−=
∂∂
rr
x
x
x
yy
ϑϑ cos1
1
122 ==
+−=
∂∂
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Quindi risulta come già ottenuto :
+′′
′
′
′′−== ∫ ∫ ∫∫
′′ ′rr
ddQdD
dw0 0 00
11 ρρρρρ
ρϕρ ρ
+++ 32
2
1 ln4
CrCr
C4
Piastra circolare
Per le piastre circolari, in virtù della simmetria, si può scrivere
0=ϕ 0=rper Da cui consegue: 02 =C
Inoltre, risulta anche perr = 0 ( )2
1 1CMM tr ν+==
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
I risultati esposti in precedenza descrivono le procedure necessarieper trattare il problema delle piastre circolari ed anulari caricatesimmetricamente
Le applicazione sui singoli casi si traggono di conseguenzaconsiderando i carichi assegnati, i vincoli e le conseguenticondizioni al contorno specifiche del problema trattato
r
z
bz
dθθθθ
M t
Mr
M t bz
t
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Deve essere ricordato che in qualsiasi piastra circolare caricatasimmetricamente una delle condizioni fondamentali è:
0=ϕ 0=rper
Quindi (soluzionedelproblema):
++′
′−= ∫ ∫
r r
CCr
dQdrD 0
21
2
0 2
11 ρρρϕ
Quindi (soluzionedelproblema):
02 =C
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Da cui, ricordando le espressioni dei momenti :
( ) ( ) ( )221
00 02
12
11
r
CCQddQd
rM
rr
r ννρρρρν ρ
−−+++′
′−−= ∫∫ ∫
′
( ) ( ) ( )221
21
21
1
r
CCQddQd
rM
rr
t ννρνρρρν ρ
−++++′
′−= ∫∫ ∫
′
200 0
2 2 rrt
∫∫ ∫
( )2
1 1CMM tr ν+==0=rper
In ogni piastra circolare si annulla la costante di integrazioneC2 = 0 e i momenti tangenziale e radiale sono uguali tra loro alcentro della piastra
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Consideriamo una condizione divincolo di incastro lungo il bordo :
R R
0=ϕ Rr =per
Dalle condizioni alcontorno si ricavala rotazione
R
∫ ∫ =+′
′−=
′R RCdQd
RR
0
1
0
02
1)( ρρρϕ
ρ
∫ ∫ ′
′−=
′R
dQdR
C0 0
21
2 ρρρρ
la rotazione
C2 = 0
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Casi particolari
R R
Carico uniformemente ripartitobz
rbQ z2
1=zbrrQ 22 ππ =
In questo caso il carico esterno definisce il valore del taglio nelseguente modo:
42
2
00
rbrdr
bQdr z
rz
r
== ∫∫Integrando
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Casi particolari
R R
Carico uniformemente ripartitobz
( ) 2
0
3
20 0
21 82
1
2
12R
bd
R
bddb
RC z
Rz
R
z −=′′−=′
′−= ∫∫ ∫
′
ρρρρρρρ
−=
2
22
116 R
rr
D
Rbzϕ
Ricordando l’espressione degli abbassamenti
∫=r
dw0
ρϕ
Casi particolari
Carico uniformemente ripartito
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
0
+++ 32
2
1 ln4
CrCr
C
′′
′
′
′′−= ∫ ∫ ∫
′′ ′r
ddQdD
w0 0 0
11 ρρρρρ
ρ ρ
EssendoC2 = 0
+−= 3
224
4864
1C
rRbrb
Dw zz
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Viene determinato in base alla condizione3C 0=w Rr =per
Da cui 43 64
Rb
C z−=
Casi particolari
Carico uniformemente ripartito
64
Quindi:
2
2
24
164
−=
R
r
D
Rbw z
Si può osservare che w non dipende daν , come prevedibile,poichéν non compare ne nell’equazione della superficie elasticane nelle condizioni al contorno
L’EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
Ricordando le espressione dei momenti tangenziale e radiale
( ) ( ) ( ) 21 111 CC
QddQdMrr
r ννρρρρν ρ
−−+++′
′−−= ∫∫ ∫
′
Casi particolari
Carico uniformemente ripartito
( ) ( )2
00 02
12
1r
QddQdr
M r ννρρρρ −−+++′
′−= ∫∫ ∫
( ) ( ) ( )221
00 02 1
21
1
r
CCQddQd
rM
rr
t ννρνρρρν ρ
−++++′
′−= ∫∫ ∫
′
Sostituendo i valori ricavati dalle precedenti espressioni econsiderando le condizioni al contorno
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
I momenti possono essere calcolati come:
( ) ( ) =+−+−−=16
1416
1222 Rbrbrb
M zzzr νν
Casi particolari
Carico uniformemente ripartito
16416
( ) ( )
++−−=
2
22
3116 R
rrbz νν
( ) ( ) =+−+−=16
1416
1222 Rbrbrb
M zzzt ννν
( ) ( )
−−+−=
2
22
31116 R
rrbz νν
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
I diagrammi dei momenti e diw hanno andamenti che sonoqualitativamente simili a quelli visti per un trave incastrata agliestremi. I momenti dipendono daν
( ) ( ) 22 rrb
Casi particolari
Carico uniformemente ripartito
( ) ( )
++−−=
2
22
3116 R
rrbM z
r νν
( ) ( )
−−+−=
2
22
31116 R
rrbM z
t νν
2
2
24
164
−=
R
r
D
Rbw z
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Sia il carico ripartito su un raggioR1 < R. Sia P la risultante
Carico ripartito lungo una circonferenza
0=Q
10 Rr ≤≤Per
Casi particolari
R
0=Q
r
PQ
π2=
RrR ≤≤1Per
R1 R
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Casi particolari
Carico ripartito lungo una circonferenza
R R
00
=∫r
Qdr
R1 R
10 Rr ≤≤Per
RrR ≤≤1Per ∫∫∫ ==r
R
r
R
r
drr
PQdrQdr
1120 π
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
La costante di integrazioneC1 è pari a:
Carico ripartito lungo una circonferenza
=′
′−=′
′−= ∫ ∫∫ ∫
′′ R
R R
R
R R
dd
R
PdQd
RC
1 11 1
221
2 ρρρρ
πρρρ
ρρ
∫∫′′′
−=′′′−=R
R
R
R R
d
RRR
R
R
Pd
RR
P
11 111
2
12
12
lnlnρρρ
πρρρ
π
1Rρµ ′=Posto: Si ha:
∫=
=
−=RR
dR
RPC
1
1
2
11 ln
µ
µ
µµµπ
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Integrando per parti
( )1
1
222
11 1ln
4
RR
R
RPC
=
=
−
−=µ
µ
µµπ
Carico ripartito lungo una circonferenza
+
−=2
1
2
11 ln1
4 R
R
R
RPC
π
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Carico ripartito lungo una circonferenza10 Rr ≤≤Per
( ) ( ) ( )221
00 02
12
11
r
CCQddQd
rM
rr
r ννρρρρν ρ
−−+++′
′−−= ∫∫ ∫
′
( ) ( ) ( )221
00 02 1
21
1
r
CCQddQd
rM
rr
t ννρνρρρν ρ
−++++′
′−= ∫∫ ∫
′
Dalle espressioni diMr e Mt si ricava
( ) ( )
+
−+=+==2
1
2
11 ln18
12
1R
R
R
RPCMM tr π
νν
Il cerchio di raggioR1 è soggetto a momentiMr = M t = cost
Essendo la curvatura dellaSM deformata uguale in ogni punto e inogni direzione, si è in un caso diFLESSIONE SFERICA
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Carico ripartito lungo una circonferenza RrR ≤≤1Per
( ) ( )( )
+
−+−+
+
−+=22
1
2
1
2
1 ln11
1ln1
81
R
r
R
R
R
R
R
RPM r ν
νπ
ν
( ) ( )( )
+
−+−−
+
−+=2
1
2
1
2
1
2
1 ln11
1ln1
81
R
r
R
R
R
R
R
RPM t ν
νπ
ν
( )
+ 118 RRRR νπ
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Casi particolari
Sia il carico ripartito su un cerchio di raggioa < R
Carico ripartito su un cerchio di raggio a
a R
R
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Il carico ripartito su un cerchio di raggioa < R, può suddividersiin anelli di raggioρ e larghezzadρ
Carico ripartito su un cerchio di raggio a
ρπρdbz 2=ρρρρ
dρρρρ
Il carico corrispondente al singoloanello è:
ρπρdbz 2=
Qualunque effetto del carico può essere ricavato persovrapposizione degli effetti dai risultati dal casoprecedentemente visto relativo al carico ripartito su di unacirconferenza. Ad esempio i momenti al centro della piastravalgono:
( ) ρρρρπ
πνd
RR
bMM
az
tcrc ∫
+
−+==0
22
ln18
21
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Ponendo
Carico ripartito su un cerchio di raggio a
R
ρµ =
( ) ( ) µµµµµν µ
µ
dRb
MMRa
ztcrc ∫
=
=
+−+==0
232
ln4
1
µ =0
( )
−+==22
4
1ln
4
1
R
a
R
aabMM z
tcrc
ν
Analogamente all’incastro si ottiene:
−=22
2
11
4 R
aabM z
rinc rinctc MM ν=
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Casi particolari
I momenti Mt ed Mr risultano dalle espressioni per il caricoripartito su un cerchio conR1 che tende a zero
Carico P concentrato al centro
01 =R
R
R
01 =R
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Carico P concentrato al centro
( ) rP ( ) rP
R
( )
++=R
rPM r ln11
4ν
π( )
++=R
rPM t ln1
4νν
π
Si può osservare che perr che tende a zero i due momentiMt ed Mr tendono a infinito
Ciò può essere spiegato innanzitutto osservando che(1) il caricoconcentrato è un’astrazione matematicae che il carico sarà inpratica applicato a un’area molto piccola
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Carico P concentrato al centro
Inoltre (2) vengonomeno le ipotesi di basedella teoria, così
R
Inoltre (2) vengonomeno le ipotesi di basedella teoria, cosìcome avviene anche per i carichi non concentrati ma ripartiti suuna area molto piccola.
In particolare, leσz non saranno più trascurabili mentre le forzedi taglio in prossimità del carico concentrato saranno così grandida NON potersi più ammettere la CONSERVAZIONE DEISEGMENTI RETTILINEI
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Carico P concentrato al centro
In sostanza ciò vuol dire che i risultati della trattazione del caricoconcentrato sono validisoltanto ad una certa distanza dal
R
punto di applicazione del carico stesso
In tal modo sono sempre verificate le ipotesi di calcolo mentre peril principio di de Saint Venant non si risentono gli effetti dellaconcentrazione del carico
La distanza può essere assunta pari allo spessore della piastra
Per r<h le tensioni devono essere determinate utilizzando lateoria dell’elasticità
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Piastra appoggiata al contorno
Si può operare per sovrapposizione degli effetti
R
-M -M
In unaprima fase si considera una piastra incastrata e si calcola ilmomento radialeM all’incastro dovuto al carico
In unaseconda fasesi considera la piastra appoggiata soggetta adun momentoM negativo applicato al bordo
-M -M
PIASTRA INCASTRATA AL CONTORNO
Piastra appoggiata al contorno
La soluzione risulterà dalla sovrapposizione delle due fasi.
In particolare risulta:
Dall’equazione generale dei momenti per la piastra circolare:
0=rM Rr =Per
( ) ( ) ( )221
00 02
12
11
r
CCQddQd
rM
rr
r ννρρρρν ρ
−−+++′
′−−= ∫∫ ∫
′
( ) ( ) ( )221
00 02 1
21
1
r
CCQddQd
rM
rr
t ννρνρρρν ρ
−++++′
′−= ∫∫ ∫
′
PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO
Piastra appoggiata al contorno
Nella seconda fase risulta Q = 0 e quindi, ricordando che in talecondizione risulta:
02 =C
( )MCMM tr =+== 12
1 νMCMM tr === 12
( ) rD
MC
r
D νϕ
+−=−=
12
11
In sostanza per un momento costante applicato al contorno, lapiastra circolare è soggetta aFLESSIONE SFERICA
Casi particolari
Il momento M all’incastro (r = R ) vale:
a) Carico uniformemente ripartito
8
2RbM z
rinc =
Quindi il momento da applicare al bordo vale8
2RbM z
rinc −=−
PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO
8M rinc −=−
I momenti Mt ed Mr della piastra appoggiata valgono:
( ) ( ) ( )
−+−=−
+−+−=
R
rRbRb
R
rRbM zzz
r
22222
13168
3116
ννν
( ) ( ) ( )
+−+−=−
+−+−=
R
rRbRb
R
rRbM zzz
r
22222
313168
31116
νννν
Casi particolari
All’incastro ( r = R ) si ha:
a) Carico ripartito lungo una circonferenza di raggio R1 < R
( ) ( )( )
−=
−
+−+
−+−=
2
1
2
1
2
1 111
11 RPRRP
M r πνν
πν
PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO
All’interno della circonferenza caricata si ha:
( )
−=
−+
+
−−= 14
11
18 RRR
M r πνπ
( )
−−
+
−+==2
1
2
1
2
1 14
ln18
1
R
RP
R
R
R
RPMM tr ππ
ν
Casi particolari
a) Carico ripartito lungo una circonferenza di raggio R1 < R
All’interno della circonferenza caricata si ha:
( ) ( )
−−−
+==2
1
2
1 11ln8
1
R
R
R
RPMM tr ν
πν
PIASTRA APPOGGIATA AL CONTORNO
( )
−−−
== 11ln8 RR
MM tr νπ
Analogamente si possono determinare i momenti all’esternodella circonferenza caricata
Seguendo la stessa procedura è possibile studiare qualsiasi altracombinazione di carico