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Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza
Fissione nucleare
Lezione 5
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Fissione nucleare
• Nella fissione nucleare ci troviamo nell’altro lato della curva dell’energia media di legame.
• Nuclei pesanti possono scin- dersi in nuclei più leggeri e più legati liberando energia: – Processo possibile per A≳120 – Non avviene spontaneamente
a causa della solita barriera di potenziale:
• stabilità dei nuclei rispetto alla repulsione elettrostatica
– Può venire indotto da un’eccitazione:
• interazioni con neutroni • materiali fissili ed energia nucleare
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Fissione nucleare
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• La fissione è il processo in cui un nucleo si spezza in frammenti più piccoli – il caso più semplice è la fissione in due frammenti
• L’energia rilasciata nel processo di fissione si trova attraverso la differenza di massa
• Perchè la fissione sia permessa deve essere Qfiss > 0 • Utilizzando l’energia di legame
• Dove l’energia di legame è data dalla formula di Bethe-Weizsäcker
ZAX → Z1
A1X + Z2A2X +Qfiss
Qfiss = M A,Z( ) −M A1,Z1( ) −M A2,Z2( )
A = A1 + A2Z = Z1 + Z2
B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3
Z 2
A13+ a4
A − 2Z( )2
A± a5A
−34
Qfiss = B A,Z( ) − B A1,Z1( ) − B A2,Z2( )
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Fissione nucleare
• L’energia disponibile è approssimati- vamente 0.9 MeV per nucleone.
• Densità di energia immagazzinata molto maggiore di quella in combustibili chimici 20—50 MJ/kg
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• 1 g ~ NA nucleoni – 1 kg ~ 6×1026 nucleoni
• Densità di energia: 5.4 ×1026 MeV/kg – 1 MeV = (106 e) J= 1.6×10-13 J – 8.6 ×1013 J/kg – 8.6 ×107 MJ/kg
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Energy density
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http://xkcd.com/
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Processo di fissione
• Possiamo visualizzare il processo di fissione come la separazione di una goccia di liquido nucleare:
• L’energia del sistema evolve: – da quella dovuta all’energia di
legame del nucleo originale – a quella dei due nuclei separati. – il nucleo può esistere solo se
lo stato iniziale è metastabile – In tal caso la fissione necessita di
superare una barriera di potenziale
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E = B A,Z( )E = B A1,Z1( ) + B A2,Z2( ) +
Z1Z2e2
4πε0r
r
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Fissione nucleare: termine di superficie
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• Dalla formula dell’energia di legame
– i termini influenzati da una deformazione del nucleo sono:
• l’energia superficiale • l’energia di Coulomb
• Assumiamo che il nucleo assuma una forma di ellissoide prolato ( semiasse x = semiasse y < semiasse z ) – Introduciamo il parametro ε che definisce una
deformazione che mantiene costante il volume
– il termine nella formula di Bethe-Weizsäcker diventa
• Concludiamo che l’energia superficiale aumenta
B A,Z( ) = −a1A + a2A23 + a3
Z 2
A13+ a4
A − 2Z( )2
A± a5A
−34
2a
2b
V = 43πab2 = 4
3πR3
a = R 1+ ε( ) b = R / 1+ εS = 4πR2 1+ 2
5ε2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a2A23 → a2A
23 1+ 2
5ε2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
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Fissione nucleare: termine Coulombiano
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• Discutiamo adesso il termine dell’energia di legame dovuto alla repulsione elettrostatica – Due elementi di carica ρdV1 e ρdV2 – hanno un’energia elettrostatica
– Per una distribuzione sferica l’energia
si calcola facilmente – Il caso dell’ellisoide prolato è più
complesso
• Pertanto, per tenere conto dell’effetto della deformazione, nella formula di Bethe-Weizsäcker si opera la sostituzione
• L’energia elettrostatica diminuisce
U = 12
14πεo
ρ r1( )dV1ρ r2( )dV21r12
∫∫U = 3
514πεo
Q2
R
U = 3514πεo
Q2
R1− ε
2
5⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a3Z 2
A13→ a3
Z 2
A131− ε
2
5⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
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Fissione nucleare: stabilità
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• In definitiva l’effetto della deformazione è
• La differenza rispetto al nucleo sferico è
– Introducendo i valori delle costanti
• Il nucleo sferico stabile se ΔE > 0 – La condizione di stabilità è pertanto
• Questa condizione è verificata anche per nuclei molto pesanti – Il nucleo sferico è pertanto molto stabile – La positività dell’energia ΔE per quasi tutti i nuclei spiega
perchè la fissione spontanea è un fenomeno raro
a2A23 1+ 2
5ε2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ a3
Z 2
A131− ε
2
5⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = a2A
23 + a3
Z 2
A13+25a2A
23 −15a3Z 2
A13
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ε2
ΔE = 25a2A
23 1− a3
2a2Z 2
A⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ε2
a2 = 17.804a3 = 0.7103
ΔE ≈ 25a2A
23 1− 1
50Z 2
A⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ε2
Z 2
A< 50
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Vite medie parziali per fissione
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λfiss = BR × λtotale• pari-pari ◦ pari-dispari
Branching Ratio BR frazione dei decadimenti in un certo canale.
λfiss−1 =
τBR
=τ1/2
0.69BR
235U 238U
τ1/2 7×108 yr 4.5×109 yr
BR 7×10-11 5.5×10-7
λfiss-1 1.4×1018 yr 4×1025 s
1.2×1016 yr 3.6×1023 s
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Energia nucleare
• Il processo di fissione è alla base della produzione di energia nucleare.
• La fissione spontanea non è in grado di produrre una potenza apprezzabile: necessario ricorrere a fissione indotta da neutroni: – Proprietà della fissione – Diverso comportamento dei materiali
• Reazione a catena – Possibilità di automantenimento della produzione di energia – Controllo della reazione:
• moderatore → distribuzione in energia nelle interazioni • neutroni ritardati → trasformata di Laplace
(argomento opzionale)
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Fissione indotta
• Un evento di fissione rilascia una notevole quantità di energia: – Ad esempio per 238U ci aspettiamo:
• 0.9 MeV/nucleone × 238 nucleoni = 214 MeV – La potenza però è limitata:
• 1 g di 238U emette per fissione:
• e per radioattività α:
• La fissione può essere indotta da collisioni con neutroni che pongono il nucleo in uno stato eccitato: – riduce l’altezza della barriera di potenziale da superare
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P = QfissNAAλfiss ≈ 200 MeV
6 ×1023
2381
1.6 ×1023s≈ 4 MeV/s
≈ 6 ×10−13 W
P = QαNAA0.69τ1/2
≈ 4 MeV 6 ×1023
2380.69
4.5×109 yr × 3×107s/yr
≈ 50000 MeV/s ≈ 8×10−9 W
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Fissione indotta
• Un esempio di reazione:
• Ce ne sono molte possibili con le stesse caratteristiche: – nuclei figli ricchi di neutroni: decadimenti β – neutroni in eccesso emessi nella reazione
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n + 92235U → 92236U* → 53137I + 3996Y + 3n
53137 I Q=6.0 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 54137 Xe
Q=4.1 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 55
137Cs Q=1.1 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 56137 Ba
3996 Y Q=7.1 MeV⎯ →⎯⎯⎯⎯ 4096 Zr
Qfiss = 183 MeV
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Fissione Indotta
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• La fissione indotta dell’Uranio 235 è molto più probabile della fissione spontanea – succede che il nucleo 235U assorbe un
neutrone molto lento (al limite fermo) e produce un nucleo di 236U
– Nel processo vengono rilasciati 6.3 MeV • significa che per estarre un
neutrone dal nucleo 236U occorre fornire 6.3 MeV
– L’energia disponibile è sufficiente a pro-durre lo stato eccitato 236U* ( 5.7 MeV )
– Poichè il nucleo è in uno stato eccitato la barriera è più bassa.
– La fissione è molto più probabile • ricordiamo che la probabilità di
effetto tunnel è una funzione esponenziale dell’altezza e della lunghezza della barriera
236U
236U*
235U+n
6.3 MeV 5.7 MeV
5.7
MeV
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Fissione indotta
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• Abbiamo utilizzato l’isotopo 235U, molto meno abbon-dante dell’isotopo 238U – I minerali naturali di Uranio (es. Pechblenda o Uranite)
contengono solo una piccola percentuale di 235U : circa lo 0.7%
• Per l’isotopo 238U l’equivalente processo di fissione indotta sarebbe quello rappresentato in figura: – l’energia liberata nella cattura non è sufficiente a
produrre il primo stato eccitato 239U*
• Il motivo di questa differenza si può comprendere ricordando l’ultimo termine dell’energia di legame della formula di Bethe-Weizsäcker – è nullo per A dispari ( 239U ) – è negativo per nuclei pari-pari ( 236U )
• Pertanto l’ultimo neutrone dell’isotopo 239U è “meno legato” e l’energia rilasciata nella cattura non è sufficiente per raggiungere il primo stato eccitato – la barriera rimane alta e il processo è più raro
239U
239U*
238U+n
6.0 MeV 4.8 MeV
B A,Z( ) = ... ± a5A−34
a5 = 33.6 MeV
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• Sezioni d’urto per fissione e cattura neutronica:
• Per l’isotopo 238U la soglia della fissione è molto elevata ( > 2 MeV ) • Per neutroni lenti ( < 1 eV ) la fissione è molto più frequente in 235U
– ad esempio per E ~ 0.1 eV σ235 ~ 1000 σ238 • Ė anche riportata la sezione d’urto di cattura radiativa di neutrone
– l’energia in eccesso viene liberata come fotone e non avviene la fissione – è importante per il funzionamento del reattore nucleare
• riduce il numero di neutroni che possono generare altre fissioni
Fissione indotta
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σ [b
]
σ [b
]
∼103
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Materiali fissili e materiali fertili
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 17
• 235U è l’unico materiale fissile che – è soggetto a fissione indotta con neutroni termici – è presente in natura in quantità significative: 0.7% dell’uranio naturale
• È possibile produrre altri materiali fissili dai “materiali fertili” – Ad esempio 239Pu e 233U da 238U e 232Th, rispettivamente
– Ad esempio, un reattore che brucia 239Pu e che insieme al combustibile contiene 238U produce altro combustibile 239Pu
– reattori autofertilizzanti
n + 92238U → 92239U + γ
92239U→ 93239Np + e− τ1/2 = 23.4 minuti
τ1/2 = 2.36 giorni 93239Np→ 94239Pu + e−
n + 90232Th→ 90233Th + γ
90233Th→ 91233Pa + e− τ1/2 = 23.3 minuti
τ1/2 = 26.97 giorni 91233Pa→ 92233U + e−
kT=25 meV a 300 K
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Reazione a catena
• Il principio alla base dei reattori nucleare è la reazione a catena: – Un nucleo di 235U cattura un neutrone – Si scinde in due nuclei più leggeri ed un certo numero di neutroni
• L’energia cinetica dei nuclei, come pure quella degli e- e fotoni nei decadimenti β e γ successivi, si trasforma in calore del materiale:
– usato per la produzione di energia • alcuni nuclei possono a loro volta emettere neutroni (neutroni ritardati)
– Questi neutroni possono: • uscire dalla zona di reazione • venire catturati da nuclei che si diseccitano emettendo γ • colpire un altro nucleo di 235U e produrre una nuova fissione
• L’aspetto critico è il controllo della catena: – Se non ci sono abbastanza neutroni per nuove fissioni la catena rallenta e si
ferma. – Se ce ne sono troppi, il numero di reazioni aumenta esponenzialmente:
esplosione. Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 18
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Il controllo della catena
• Possiamo descrivere l’evoluzione del numero di neutroni:
– N(t): numero di neutroni – τ: tempo medio necessario ad un neutrone per produrre una fissione – ν: numero medio di neutroni prodotti da una fissione – q: probabilità che un neutrone possa produrre una fissione
• La soluzione è: – νq1: supercritico
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N t( ) = N 0( )exp νq −1( )tτ
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
dNdt
= N t( )1τνq −1( )
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Struttura del reattore
• Analizziamo ora alcuni degli elementi che influenzano q Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 20
assorbimento di neutroni
rapporto 235U/238U
contenimento e termalizzazone dei neutroni
H20 usata anche per il raffreddamento
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Sezioni d’urto
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 21
• Consideriamo adesso una massa di uranio naturale: le frazioni dei due isotopi sono – 238U f = 99.3% 235U f = 0.7%
• Consideriamo un neutrone di energia cinetica T = 2 MeV – A questa energia le sezioni d’urto totali di neutrone su
235U o 238U sono circa uguali: σtot 7 barn
– In generale, se si ha una miscela di sostanze, ciascuna con frazione fi, si definisce una sezione d’urto media
• Per l'uranio naturale (ρ=19.05 g/cm3, A=238) il numero di atomi per unita di volume è nT = 4.8×1028 atomi/m3
• Otteniamo un libero cammino medio (distranza tra due collisioni)
• Il tempo medio fra due collisioni è
β =2Tmn
= 0.065
σ = fiσ i∑
λ =1
7×10−28 × 4.8×1028= 0.03 m
tc =λv=λβc
= 1.5×10−9 s
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Sezioni d’urto
• Ad ogni collisione il neutrone può: – indurre una fissione, con probabilità – venire catturato con emissione di γ
(non più disponibile per produrre una fissione)
– subire una collisione elastica o anelastica con perdita di energia
• È questo il processo con probabilità maggiore! • In U naturale la sezione d’urto media è circa
quella di 238U. • Per un neutrone di 2 MeV:
– il numero di diffusioni prima di un’intera- zione distruttiva
– probabilità di indurre una fissione:
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ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59
Incident Energy (MeV)
Cro
ss S
ectio
n (b
arns
)
10-10 10-5 110-10
10-5
1
105
σ [b] 235U 238U
σtot 7.15 7.3
σfiss 1.89 0.53
σ(n,γ) 0.059 0.048
pfiss = σ fiss /σ tot
pn,γ = σ n,γ /σ tot
n = 1 / (pfiss + pn,γ )
q = pfiss / (pfiss + pn,γ )
238U σtot
σfiss
σn,γ
Ad ogni urto l’energia del n diminuisce. Quando si scende sotto la soglia di fissione di 238U, q≪1
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Numero di collisioni
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• La successione di eventi casuali che porta alla fissione o cattura è schematizzabile come segue – La probabilità che l'interazione
avvenga alla prima collisione è – La probabilità che l'interazione
avvenga alla seconda collisione è – La probabilità che l'interazione
avvenga alla terza collisione è
– E così via • La somma delle probabilità è correttamente normalizzata
• Il numero medio di collisioni è
?
?
?
p p
1-p 1-p
P1 = p
P2 = p 1− p( )
P3 = p 1− p( )2
Pk = p 1− p( )k−1
Pkk=1
∞
∑ = p 1− p( )k−1k=1
∞
∑ = p 1− p( )kk=0
∞
∑ = p1
1− 1− p( )= 1
k = kPkk=1
∞
∑ = p k 1− p( )k−1k=1
∞
∑ = −p∂∂p
1− p( )kk=1
∞
∑
= −p ∂∂p
1− p( )kk=0
∞
∑ = −p∂∂p1p
1kp
=
p
1-p
p = pfiss + pn,γ
-
ENDF Request 23291, 2015-Nov-22,11:51:20
Incident Energy (MeV)
Cro
ss S
ectio
n (b
arns
)
10-10 10-5 1
10-2
1
102
104
Sezioni d’urto
• La situazione cambia qualitativamente per neutroni termici: – T=25 meV, β=7×10-6
• In U naturale – f di 235U=0.7% – –
–
– Poiché ν≈2.4, νq>1 si può avere una reazione a catena!
– Primo reattore di Fermi a Chicago, 1938
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 24
σ [b] 235U 238U
σtot 703 12
σfiss 589 1.7×10-5
σ(n,γ) 99 2.7
σ n,γ = 0.007× 99 b + 0.993× 2.7 b
q = σ fissσ fiss +σ n,γ
= 0.55
235U σtot
σfiss
σn,γ
• Moderatore per termalizzare i neutroni • Arricchimento in 235U per aumentare q
σ fiss = 0.007× 589 b = 4.1 b= 3.4 b
Nobel 1938 studio delle trasmu-tazioni indotte da n.
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Interludio: massa critica
• Abbiamo visto che un n effettua molte collisioni prima di essere catturato o indurre fissione.
• La distanza media tra queste collisioni è il libero cammino medio:
• Essendo questo un processo casuale, random walk, la distanza media percorsa dal n rispetto al punto di produzione è:
– Se il blocco di combustibile ha una dimensione minore di tale distanza, i n usciranno senza aver fatto in tempo ad interagire.
– Esiste quindi una dimensione minima Lmin che il reattore deve avere perché la reazione possa autostostenersi.
– di conseguenza un valore minimo di volume Vmin~Lmin3, e di massa ρVmin: massa critica
– Il valore esatto dipende da geometria, combustibile, ...
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 25
n = 1 / (pfiss + pn,γ )
λ = 1 /σ totnT
l = λ n
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Rallentamento dei neutroni
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 26
• I neutroni rallentano (perdono energia) in seguito alle collisioni con i nuclei del materiale in cui si muovono – Quando il neutrone è veloce una causa di
rallentamento è una interazione inelastica
– Nel bilancio energetico della reazione entra anche l’energia del livello eccitato che pertanto non è più disponibile come energia cinetica del neutrone finale
– Questo meccanismo diventa rapidamente
inefficace quando l’energia dei neutroni diventa insufficiente per eccitare il bersaglio
• Da questo momento in poi il meccanismo più efficace è lo scattering elastico
n + A→ A* + n
Tn = TA + EA* + ʹTn
ʹTn ≈ Tn − EA*
ENDF Request 23292, 2015-Nov-22,11:56:59
Incident Energy (MeV)
Cro
ss S
ectio
n (b
arns
)
10-10 10-5 110-10
10-5
1
105238U σtot
σfiss
σn,γ
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Scattering elastico
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 27
• Studiamo l’urto elastico di un neutrone su un nucleo di massa A
• Siamo interessati a – la distribuzione dell’energia del neutrone dopo l’urto – l’energia media dopo l’urto – la distribuzione dell’angolo dopo l’urto
• Il processo è non relativistico • Il processo è molto semplice nel sistema
di riferimento del centro di massa – Il modulo della velocità del neutrone
è lo stesso prima e dopo l’urto – Lo stesso vale per il nucleo
n + A → n + Av1 v2 v3 v4
mAmn
≈ A
vcm =mnv1 +mAv2mn +mA
=v1A +1
'1vnm
'2vAm
'3vnm
'4vAm
v3' = v1' v4' = v2'vi' = vi − vcm
vcm∗θ
∗θLmnv1 mnv3
mAv4 mAv2 = 0
-
Rallentamento dei neutroni
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 28
• I dati del problema sono la velocità del neutrone prima dell’urto e le masse
• Calcoliamo esplicitamente la velocità del neutrone – la velocità nel c.m. prima dell’urto è – Sappiamo che – Dopo l’urto, nel sistema di laboratorio, la velocità del neutrone è
• Siamo interessati alle energie e quindi calcoliamo il quadrato della velocità dopo l’urto nel sistema di laboratorio
vcm =mnv1 +mAv2mn +mA
=v1A +1
vi' = vi − vcm
v1' = v1 −v1A +1v3' = v1'
v3 = v3' + vcm
v3( )2 = v3' + vcm( )
2= v3'( )
2+ vcm( )
2 + 2v3' ⋅ vcm
11A
A=
+v
v3( )2 =
A2
A +1( )2v12 +
1A +1( )2
v12 + 2A
A +1( )2v12 cosθ∗
E3E1
=
12mn v3( )
2
12mn v1( )
2=v3( )
2
v1( )2 =
A2
A +1( )2+
1A +1( )2
+ 2 AA +1( )2
cosθ∗
-
Rallentamento dei neutroni
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 29
• L’energia massima e l’energia minima corrispondono a cosθ* = ±1
• In caso di scattering isotropo, in genere vero per energie inferiori al MeV nel c.m.
• Il calcolo della distribuzione dell’energia nel laboratorio è:
( ) ( ) ( )
23
2 2 21
1 2 cos1 1 1
E A AE A A A
= + ++ + +
∗θ
1cost =cos 2dN
d=∗θ
dNdE3
=dN
d cosθ∗d cosθ∗
dE3
cosθ∗ = A +1( )2
2AE3E1
−A2
A +1( )2−
1A +1( )2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
d cosθ∗
dE3=
A +1( )2
2A1E1
xmax =E3maxE1
= 1 xmin =E3minE1
=A −1( )2
A +1( )2
E3/E1 nel laboratorio
cosθ* nel centro di massa
-
Rallentamento dei neutroni
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• Riepiloghiamo i risultati trovati
• introducendo • si ottiene:
• Vediamo che dopo l’urto la distribuzione dell’energia del neutrone è uniforme
• Ė immediato calcolare il valor medio
dNd cosθ∗
= cost = 12
dNdE3
=dN
d cosθ∗d cosθ∗
dE3d cosθ∗
dE3=
A +1( )2
2A1E1
dNdx
=A +1( )2
4A
x = E3E1
xmin =A − 1( )2
A +1( )2 max= 1x
x = E3E1
A +1( )2
4A
dNdx
x
x = 12xmin + xmax( ) =
12
A −1( )2
A +1( )2+1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
( )
2
211
AA
+=+
E3E1
=A2 +1A +1( )2
-
Rallentamento dei neutroni
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• La formula trovata ci permette di capire quali materiali funzionano meglio per rallentare i neutroni – dopo l’urto l’energia del neutrone è uniformemente distribuita fra
– Se il nucleo è leggero l’intervallo è largo
• Ad esempio idrogeno A = 1, si ha 0≤x≤1 • In un urto il neutrone può perdere molta energia
– Se il nucleo è pesante l’intervallo è stretto • Ad esempio uranio A = 238, si ha 0.98≤x≤1 • In un urto il neutrone praticamente non perde energia
• Per rallentare i neutroni occorre utilizzare nuclei leggeri
x = E3E1
E3minE1
=A −1( )2
A +1( )2E3maxE1
= 1dNdx
1 x0
dNdx
1 x0
xmin =2372
2392= 0.98
-
Rallentamento dei neutroni
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• Ci poniamo adesso la domanda: quante collisioni sono necessarie per raggiungere una energia termica ? – supponiamo che il neutrone faccia
una successione di urti – nel passo k - 1 → k lenergia varia da Ek-1 a Ek – Il rapporto x = Ek-1/Ek è distribuito uniformemente – I limiti della distribuzione dipendono dal nucleo (A)
• Possiamo scrivere
• Conviene considerare il logaritmo di questa espressione
• Ancora una volta notiamo che x = Ek-1/Ek ha sempre la stessa distribuzione
EnE0
=EnEn−1
En−1En−2……E2
E1E1E0
=EiEi−1i=1
n
∏
ln EnE0
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ln EkEk−1k=1
n
∏⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = ln
EkEk−1i=1
n
∑
k 0
1
2 k-1
k+1
n
A − 1( )2
A +1( )21 x
-
Rallentamento dei neutroni
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• Dal momento che abbiamo molti urti e che la distribuzione di x = Ek-1/Ek è sempre la stessa possiamo scrivere
• Utilizzando questo risultato
• Per finire calcoliamo il valor medio del logaritmo
ln EkEk−1k=1
n
∑ ≈ n ln EfEi
lnEfEi
Ei: energia prima dell’urto Ef: energia dopo l’urto
=1
xmax − xminln x dx
xmin
xmax∫ = 1xmax − xminx ln x( ) −1⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥xmin
xmax
lnEfEi
=A −1( )2
2Aln A +1
A −1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −1
xmax = 1
xmin =A −1( )2
A +1( )2ln En
E0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = n ln
EfEi
n =ln En
E0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ln EfEi
-
Moderatori
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• Le formule appena trovate permettono di confrontare i vari materiali per il loro uso come moderatori.
• Ad esempio per “raffreddare” da 2 MeV a 0.02 eV un neutrone
– idrogeno H: A = 1
– deuterio 2H: A = 2
– grafite: 12C: A = 12
n =ln En
E0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
ln EfEi
lnEfEi
=A −1( )2
2Aln A +1A −1
−1
lnEfEi
= −1 n = − ln 0.022 ×106⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 18
lnEfEi
= −0.72 n = − 10.72
ln 0.022 ×106⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 25
lnEfEi
= −0.16 n = −10.16
ln 0.022 ×106⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 115
-
Moderatori
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• Per concludere il discorso sui moderatori occorre tenere conto del fatto che molte collisioni aumentano la probabilità di cattura del neutrone – i materiali devono anche essere confrontati sulla base
delle loro sezioni d’urto elastiche e di assorbimento – la probabilità di assorbimento in una collisione è p
– la probabilità di sopravvivenza dopo n collisioni è δ – Ricordiamo che δ è un limite inferiore:
ulteriori urti mentre il neutrone si muove dopo la termalizzazione
Moderatore σel σnγ p n δ 1H2O 44.8 0.66 1.5×10
-2 18 0.76 2H2O 10.4 1.0×10-3 9.6×10-5 25 0.998
12C 4.7 4.5×10-3 9.6×10-4 115 0.895
p =σ nγσ el
δ = 1− p( )n
-
Il controllo della catena
• Possiamo descrivere l’evoluzione del numero di neutroni:
• La soluzione è: – νq1: supercritico
• Si possono combinare combustibile e moderatori per ottenere νq=1 • Qualunque variazione allontana dall’equilibrio
– controllo di q tramite barre di materiale in grado di catturare n • I tempi della reazione τ~10-6 s
– troppo veloci per un sistema meccanico – I neutroni ritardati permettono di rallentare
i tempi di risposta.
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N t( ) = N 0( )exp νq −1( )tτ
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
dNdt
= N t( )1τνq −1( )
τ ≈λβ=
1βnTσ
-
Neutroni ritardati
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• L’elemento chiave che si utilizza per il controllo dei reattori sono i neutroni ritardati – alcuni dei prodotti di fissione decadono
a loro volta in stati molto eccitati che a loro volta decadono emettendo neutroni
• ad esempio il 87Br con un tempo di dimezzamento di 55 s
– Nel caso di 235U i neutroni ritardati sono circa una frazione νd = 0.0075
• Se si calcolano i tempi di reazione del reattore in condizione critica tenendo conto dei neutroni ritardati si scopre che la scala dei tempi è fortemente influenzata dalla vita media 87Br (o simili)
• In questo modo si rende il reattore “più lento” – compatibile con i tempi di movimento meccanico delle barre
Opzionale
-
Cinetica del reattore: neutroni ritardati
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• All’istante di tempo t il numero di neutroni (ritardati) che provengono dal 87Br (o simili) è dato da:
– il numero presente a t1 per la probabilità che sia sopravvissuto νd ×n1×p1 – il numero presente a t2 per la probabilità che sia sopravvissuto νd ×n2 ×p2 – il numero presente a tk per la probabilità che sia sopravvissuto νd ×nk×pk – e così via …
• La probabilità di sopravvivenza è
• Al limite del continuo,la somma diventa un integrale:
t1 t2 … tk tn t
νdn t1( ) p t − t1( )
νdλβ n x( )exp −λβ t − x( )[ ]dx−∞t∫
≡ exp −λβt[ ]λβdtp t( ) = e−tτβ dtτβ
+νdn t2( ) p t − t2( ) +!+νdn tk( ) p t − tk( )
Opzionale
-
Cinetica del reattore: neutroni ritardati
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 39
• Pertanto al tempo t i neutroni ritardati sono
• l’equazione dell’evoluzione temporale del numero dei neutroni:
• Questa equazione si risolve molto semplice-
mente utilizzando la Trasformata di Laplace • Le proprietà che ci sevono sono
νdλβ n x( )exp −λβ t − x( )[ ]dx−∞t∫
dn = n t( ) νq −1( )λdtdndt
= n t( ) νq −1( )λ +νdqλλβ n x( )e−λβ t−x( ) dx
−∞
t∫
probabilità di assorbimento convoluzione
n t( ) ⇔ !n s( ) = n t( )e−st dt0∞∫
dn t( )dt
⇔ s !n s( ) − n 0( )
f x( )g t − x( )dx−∞
+∞∫ ⇔ !f s( ) !g s( )
exp −λβt[ ] ⇔1
s + λβ
Opzionale
-
Cinetica del reattore: neutroni ritardati
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 40
• Applichiamo la Trasformata di Laplace
• L’incognita è ñ(s) – L’equazione integrodifferenziale è diventata un’equazione algebrica
• la condizione iniziale è introdotta automaticamente • La soluzione è
• A quale funzione n(t) corrisponde ? – si potrebbe calcolare l’antitrasformata
• In questo caso conviene utilizzare un metodo semplice ma istruttivo
dndt
= n t( ) νq −1( )λ +νdqλλβ n x( )e−λβ t−x( ) dx
−∞
t∫
s !n s( ) − n 0( )s !n s( ) − n 0( ) = !n s( ) νq −1( )λs !n s( ) − n 0( ) = !n s( ) νq −1( )λ +νdqλλβ !n s( )1
s + λβ
!n s( ) = n 0( )s + λβ
s2 + s λβ − νq −1( )λ[ ] − νq +νdq −1( )λλβ
Opzionale
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Cinetica del reattore: neutroni ritardati
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 41
• osserviamo che q è un parametro (noto) e tutte le altre costanti sono note
• Il denominatore è un polinomio di secondo grado – ha due zeri
• La funzione razionale può essere espressa come somma di due funzioni più semplici
• Le costanti A e B si determinano da:
• Confrontando con l’espressione originale
!n s( ) = n 0( )s + λβ
s2 + s λβ − νq −1( )λ[ ] − νq +νdq −1( )λλβ
s± =− λβ − νq −1( )λ[ ] ± λβ − νq −1( )λ[ ]
2 + 4 νq +νdq −1( )λλβ2
!n s( )n 0( )
=A
s − s++
Bs − s−
!n s( )n 0( )
=A + B( )s − As− − Bs+s − s+( ) s − s−( )
A + B = 1s−A + s+B = −λβ
⎧⎨⎪
⎩⎪
Opzionale
-
Cinetica del reattore: neutroni ritardati
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 42
• Ricordiamo adesso una delle proprietà della Trasformata di Laplace
• Confrontiamo con la soluzione trovata
• Le costanti A e B sono semplicemente
• Ricordando gli esponenziali:
• s- è un esponenziale decrescente, e non influenza la reazione • s+ può essere positivo: da tenere sotto controllo:
– costante di tempo 1/λβ invece che 1/λ
exp −λβt[ ] ⇔1
s + λβ
n t( )n 0( )
= Aes+t + Bes−t!n s( )n 0( )
=A
s − s++
Bs − s−
A + B = 1s−A + s+B = −λβ
⎧⎨⎪
⎩⎪A =
s+ + λβs+ − s−
B = −s− + λβs+ − s−
s± = λβ− 1− νq −1( )α[ ] ± 1− νq −1( )α[ ]2 + 4 νq +νdq −1( )α
2α =
λλβ
Opzionale
-
Neutroni ritardati: soluzione
• È evidente che la soluzione stazionaria è
• Nei d’intorni di questo valore:
• Se νq>1, anche di poco e: (ritroviamo il caso di espan- sione con scala di tempi λ)
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 43
ν = 2.47νd = 0.0075
α = λ / λβ ≈ 105s+ = λβ
− 1− νq −1( )α[ ] + 1− νq −1( )α[ ]2 + 4 νq +νdq −1( )α2
s+ = 0→ q =1
ν +νd= 0.4036
νq −1 = −νdq = −3×10−3 νq −1( )α ≈ −3×102
s+ ≈ λβ1− νq −1( )α[ ]
2−1+ 1+ 4 νq +νdq −1( )α
1− νq −1( )α[ ]2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ≈ λβ
1− νq −1( )α[ ]2
−1+1+ 124 νq +νdq −1( )α1− νq −1( )α[ ]2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= λβ4 νq +νdq −1( )α1− νq −1( )α[ ]
≈ λβνq +νdq −1( )α− νq −1( )α
≈ λβνq +νdq −1( )− νq −1( )
s+ ≈ λβ 1− νq −1( )α[ ] ≈ λβ νq −1( )α
s+ ≈ λ νq −1( )
Opzionale
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Sicurezza del reattore
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 44
• Una caratteristica molto importante dei reattori è la variazione del parametro k = νq con la quantità del materiale refrigeratore – Cosa succede se avviene una perdita nel moderatore/refrigerazione ?
• Il risultato è la combinazione di due effetti – se la quantità di moderatore diminuisce
• l’energia dei neutroni è più alta • i neutroni rilasciano un’energia maggiore • la temperatura aumenta
– d’altro canto se l’energia dei neutroni è più alta • la probabilità di fissione diminuisce • la potenza del reattore diminuisce • la temperatura diminuisce
• Il reattore è sicuro se il secondo effetto prevale sul primo dkdT
< 0
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Sommario
• In un evento di fissione si libera ~1 MeV/nucleone – energia di legame ~7 MeV/nucleone per A~200, – ~8 MeV/nucleone in media per A>60
• La fissione spontanea è molto rara: – dalle probabilità di decadimento, potenza prodotta 10-13W – necessità di superare una barriera di potenziale
• La fissione può venire indotta dalla cattura neutronica – energia disponibile per superare la barriera, dovuta all’energia di
legame del neutrone catturato – materiali fissili hanno A dispari e sfruttano il termine a5 della
relazione di Bethe-Weiszäcker che aumenta tale energia
• Il mantenimento della fissione si basa sul controllo di n: – equilibrio tra le sezioni d’urto per fissione e cattura (n,γ) – cinematica degli urti con il moderatore
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 45
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ESERCIZI
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 46
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Esercizio 5.1
Si consideri un processo in cui un n percorre na distanza λ tra un’interazione e l’altra, ed ad ogni interazione è riemesso isotropicamente. Dimostrare che dopo k collisioni, il valor medio del quadrato della distanza l percorsa è ⟨l2⟩=kλ2
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 47
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Esercizio 5.2
Dopo una una collisione elastica con 12C, un neutrone può uscire con l’energia distribuita uniformemente tra 0.716Eprima
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Esercizio 5.3
Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Lezione 5 A. Andreazza - a.a. 2016/17 49
Usando le sezioni d’urto in tabella, ed assumen- do che, se si usa acqua come moderatore, un neutrone abbia una probabilità del 47% di essere catturato in acqua, calcolare la frazione di 235U richiesta per avere un reattore critico. Oggi la frazione di 235U è dello 0.7%, ma in passato era maggiore: calcolare quando era sufficiente per- ché l’U naturale potesse essere critico. Un reattore naturale, che ha operato 2×109 anni fa è stato effettivamente scoperto a Oklo in Gabon
σ [b] 235U 238U
σtot 703 12
σfiss 589 1.7×10-5
σ(n,γ) 99 2.7